Eva Björklund Heléne Dalsmyr
5B
matematik
Koll på
Lärarguide
KollpaMatematik_5B_LG_omslag_ORIG.indd 2
2017-03-14 13:37
Sanoma Utbildning Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08-58764210 Telefax 08-58764202 Redaktör: Jerker Bengtsson Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout: Typoform/Jenny Bryant Omslag: Typoform/Andreas Lilius Illustrationer: Typoform/Yann Robardey Foton: s 123 muha04/iStock/Thinkstock, s 155 Turmiosieni/iStock/Thinkstock Foto baksida: Håkan Flank Koll på matematik 5B Lärarguide ISBN 978-91-523-3371-6 © 2016 Eva Björklund, Heléne Dalsmyr och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Tredje tryckningen Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Undantag från kopieringsförbudet: I denna lärarguide får sidor märkta ”kopiering tillåten” kopieras för användning i den egna klassen. Tryck: Livonia Print, Lettland, 2018
01-09_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 2
2018-09-20 11:56
Innehåll Välkommen till Lärarguiden, Koll på matematik!. . . . . .
4
6
Ekvationer, uttryck och mönster.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7
Massa och vinklar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8
Bråk och procent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9
Beräkningar, prioritering, avrundning. . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Arbetsblad 6:1–6:6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Arbetsblad 7:1–7:8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Arbetsblad 8:1–8:8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Arbetsblad 9:1–9:6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10 Cirkeldiagram, lägesmått och sannolikhet.. . . . . . . . .
126 Arbetsblad 10:1–10:8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Mattekollen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
Bedömningsmatriser 6–10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
Test 6–10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
Pedagogisk planering 6–10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
01-09_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 3
2018-09-20 11:56
Välkommen till Lärarguiden, Koll på matematik! Koll på matematik är ett basläromedel för årskurs 4–6 som är skrivet utifrån Lgr 11. Genom att använda dig av Koll på matematiks Lärarguide kan du känna dig trygg i att du får hjälp med kursplanens alla delar i din undervisning. Du som lärare är den absolut viktigaste faktorn när det gäller vad och hur dina elever lär. I läroplanen står det att ”skolan ska erbjuda eleverna strukturerad under visning under lärares ledning” och i Koll på matematik hjälper och stöttar vi dig i detta viktiga arbete.
Vi hoppas kunna stödja och inspirera dig i din mate matikundervisning och hjälpa dig skapa goda för utsättningar för dina elever så att de utvecklas till toppen av sin potential! Vår målsättning är att ge eleverna förutsättningar att utveckla sin förmåga att reflektera över och kunna uttrycka vad de lärt sig, hur de lärt sig och vad de behöver arbeta vidare med. Eva och Heléne
Elevboken
6
algebra
Ekvationer, uttryck och mönster
6
Begrepp algebra
variabel
ekvation
obekant
algebraiskt uttryck
likhet
prövning
numeriskt uttryck
Mål för kapitlet
Du kommer att utveckla kunskaper om: • att obekanta tal kan skrivas med en symbol • att lösa och pröva lösningar till ekvationer • att tolka, skriva, beskriva och beräkna värdet av uttryck • att beskriva mönster med ord, bild eller symboler
Förmågor
Hur kan du beskriva figurernas omkrets med hjälp av bokstäverna?
Problemlösning Begrepp
2·x x
a 2·x
Metod
3·a
Kommunikation och resonemang
Ekvationer
· 4 = 3 + ?
Likheter
I matematik används likhetstecknet = när man arbetar med likheter. Det finns även symboler för att beskriva olikheter, ≠, < och >.
I en likhet ska det som står till vänster om likhetstecknet vara lika stort som det som står till höger om likhetstecknet.
lika med = använder du när det är lika mycket på båda sidor om tecknet
inte lika med ≠ använder du när det inte är lika mycket på båda sidor om tecknet
15 + 4 = ? + 7
3+5=8
4 + 9 ≠ 12
För att ta reda på det som fattas i likheten kan du tänka så här:
mindre än < använder du när det som står till vänster om tecknet är mindre än det som står till höger
större än > använder du när det som står till vänster om tecknet är större än det som står till höger
16 – 8 < 9
24 > 3 __
Har någon vunnit? Vad kan det stå på korten?
För att höger sida också ska vara 19 saknas talet 12.
15 + 4 = ? + 7
På vänster sida är det 19.
15 + 4 =
15 + 4 = 12 + 7
+7
6
Pröva och se om du förstår
Pröva och se om du förstår
Vilket tecken kan stå istället för frågetecknet?
?
6
Ekvationer
Likheter och olikheter
Räkna ut talet som fattas. 63 = 4 + ? ___ 9
9 + 6 ? 18 Jämför och resonera.
Räkna ut talet som fattas. Byt ut frågetecknet mot likhetstecknet = eller tecknet för är inte lika med ≠.
1
På vilka sätt kan du beskriva hur nästa figur ska se ut?
2
a) 8 + 6 ? 15 a) 8 · 3 ? 24
b) 439 + 7 ? 446 b) 4 · 4 ? 12
c) 61 – 3 ? 57 25 ? 5 c) ___ 5
d) 118 – 8 ? 108 36 ? 9 d) ___ 6
Byt ut frågetecknet mot mindre än < eller större än >.
Mattekollen
Figur 1
Figur 2
Figur 3
1
Det här kan jag redan om ekvationer, uttryck och mönster.
6
3
a) 7 + 4 ? 13
b) 19 + 7 ? 29
c) 89 + 7 ? 101
d) 78 + 6 ? 83
4
a) 15 – 7 ? 9
b) 62 – 8 ? 57
c) 143 – 8 ? 132
d) 502 – 4 ? 501
b) 7 · 3 ? 20
32 ? 6 c) ___
42 ? 4 d) ___
5
7
a) 4 · 6 ? 28
8
7
8 • ekvationer, uttryck och mönster
6
a) 8 + 6 = ?
b) 9 + ? = 15
7
a) 13 – 7 = ?
b) 16 – ? = 9
c) ? – 5 = 8
d) ? = 12 – 9
8
a) ? + 8 = 6 + 7
b) 4 + ? = 1 + 31
c) 18 + 4 = 17 + ?
d) 8 + 3 = ? + 6
9
a) 15 – 1 = 17 – ?
b) 23 – ? = 25 – 7
c) ? – 6 = 8 – 5
d) 13 – 4 = ? – 2
10
a) 18 + ? = 27 – 2
b) 16 – 8 = 5 + ?
c) 7 + 4 = 13 – ?
d) 14 – 6 = ? + 3
11
63 = 3 · ? a) ___ 7
b) 6 · 6 = 9 · ?
c) ? · 4 = 8 · 3
24 d) ? · 2 = ___ 3
c) ? = 7 + 8
d) ? + 7 = 13
ekvationer, uttryck och mönster • 9
Introduktionsuppslaget
Grundkurs
Detta uppslag innehåller Mål, Begrepp och introduktionsfrågor för kapitlet. Målen är ned brutna utifrån det centrala innehållet i Lgr 11. I Begreppsrutan hittar du grundläggande begrepp till det matematiska innehåll som kapitlet behandlar.
I varje elevbok är det fem kapitel. Varje kapitel är indelat i tre avsnitt där eleverna får utveckla kunskaper om kapitlets mål. I början av ett avsnitt finns en Faktaruta att gå igenom tillsam mans i klassen. Sedan följs faktarutan av en lik nande uppgift att göra enskilt, i par och i grupp. Den har vi kallat för Pröva och se om du förstår. Där diskuterar eleverna sina lösningar.
Med rutan Förmågor vill vi synliggöra vikten av att förmågorna genomsyrar hela undervisningen. Stanna gärna upp under arbetets gång vid någon uppgift och resonera kring vilken för måga som behandlas.
I varje avsnitt finns det fler faktarutor och Pröva och se om du förstår. Dessa kan antingen göras enskilt eller tillsammans.
Introduktionsfrågorna är av öppen karaktär för att få syn på vad eleverna redan har för kun skaper eller vad som för vissa elever kan vara en svårighet. Här får du hjälp att lyfta delar av kapit lets kritiska punkter. I Mattekollen 1 sätter eleverna ord på det de redan kan kring innehållet i kapitlet.
4 • Välkommen till Lärarguiden
01-09_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 4
2018-09-20 11:56
6
Ekvationer
6
Ekvationer
Spela & kommunicera
Problemlösning
Turas om att slå en tärning. Sätt in värdet på tärningen istället för x i ekvationen. Talet du får istället för frågetecknet blir din poäng. Lägg ihop dina poäng efter hand. Den som har flest poäng efter sju omgångar vinner.
Spelare 1 Poäng
x=3
7
x=4
x = x = x =
4+x= ?
E
Tärningsslag
Poäng
x=6
10
p xem 12 – x = ? 3·x= ?
x = x =
Ekvation
8
?
el
x=3
x =
5+x= ?
x =
2·x+1= ?
x =
4·x–3= ?
x =
2
Totalpoäng
9
x =
___ = x
Fördjupning
83
Vilken figur saknas? Välj bland svaren i rutan.
a) x
x+x=8
b) y c) z
1
2
10 15 14
4
14
3
C
17 13
9
18
B
D
12 11
A
8
E
16
Figur 1
F
12 G 13
14
7
H
I
6
10
J
4
9
5
16
2
a) d b) e c) f
3
x+y=7
y·z=6
Bokstav nr x är N.
6+x=8
Bokstav nr x är A
3 · x = 27
Bokstav nr x är I
16 – x = 10
Bokstav nr x är G
8 = 16 – x
Bokstav nr x är L
30 = 6 ___
e
e
= 34
Bokstav nr x är N
e
d
= 33
d f
= 31 = 36 = 32
a) a b) b
a + a + a = 27
c) c
a + b + b = 18
a + b + 2 · c = 18,5
Exempel
Algebra är när man använder bokstäver eller symboler för att beteckna en variabel i ett uttryck eller ett obekant tal i en ekvation.
Uttryck: 6+x Ekvation: 6 + x = 15
Algebra kan även användas för att beskriva geo− metriska figurer och mönster.
Figur 3
?
2
obekant
B
A
C
D
Mönster:
84 86 Figur 2
En obekant är något vi ännu inte känner till.
Obekant tal i ett uttryck: 8+x
I ett uttryck och i en ekvation skriver vi oftast ett obekant tal med x eller någon annan bokstav.
Obekant tal i en ekvation: 13 – x = 9
variabel
I algebraiska uttryck kan det obekanta talet x betyda olika tal. Man säger att x är en variabel.
ekvation
När vi använder en symbol istället för ett obekant tal i en likhet kallas det för en ekvation.
likhet
En likhet är när det är lika mycket på båda sidor om likhetstecknet.
8+6=7+7
prövning
En lösning till en ekvation kan kontrolleras genom prövning.
Först löser du ekvationen 56 ___ = 8 x x = 7
numeriskt uttryck
I ett numeriskt uttryck är alla tal skrivna med siffror.
Uttrycket 5 + 4 betyder 4 mer än 5. Du kan räkna ut att svaret är 9.
algebraiskt uttryck
I ett algebraiskt uttryck används en bokstav istället för en siffra.
Uttrycket x + 3 betyder 3 mer än x. I det algebraiska uttrycket kan x betyda olika tal.
Figur 3
x+5 Om x = 2 är lösningen 2 + 5 = 7 7 + x = 16 x–2=9 8x = 40
= 32
e
Figur 2
Hur många stickor är det i figur 4?
Träna metod
d
d
Förklaring
algebra
Vilket tal saknas?
?
a) Hur många stickor är det i figur 1? b) Hur många stickor är det i figur 2?
A
B
C
d) Hur många stickor är det i figur 4?
87
Sedan kontrollerar du om din lösning stämmer 56 __ = 8 7 Det stämmer att x = 7
x
63 9 = ___ x
?
Bokstav nr x är S
14 = 13 + x
Bokstav nr x är F
4 · x = 16
Bokstav nr x är Ö
24 = 8 ___
6 · 7 = 42 72 __ = 10 – 2 9
D
c) Hur många stickor är det i figur 3?
Vilket värde har
1
Begrepp
I en magisk kvadrat är summan densamma vågrätt, lodrätt och diagonalt.
Lös ekvationerna för att ta reda på ordet. Svaret på varje ekvation är den plats bokstaven har i ordet.
Problemlösning
Ekvationer, uttryck och mönster
85
Figur 1
Totalpoäng
6
Begrepp och metoder
Ekvationer, uttryck och mönster
Magiska kvadrater
Spelare 2
Tärningsslag
6
A
B
C
Mattekollen
D
3
Det här kan jag nu om ekvationer, uttryck och mönster.
x
ekvationer, uttryck och mönster • 13
12 • ekvationer, uttryck och mönster
ekvationer, uttryck och mönster • 31
30 • ekvationer, uttryck och mönster
Välj bland förmågorna
Fördjupning
Efter varje avsnitt hittar du Välj bland förmågorna. Här kan eleverna arbeta mer med kapitlets inne håll, sorterat utifrån förmågorna. Du kan välja att göra någon uppgift gemensamt i klassen, bestämma vad eleverna ska arbeta med eller låta eleverna själva bedöma vad de behöver träna på. Eleverna kan alltid gå tillbaka och göra Välj bland förmågorna från tidigare avsnitt om du tycker att det passar.
På Fördjupningssidorna ges eleven möjlighet att gå djupare in i kapitlets innehåll. Här kan de hitta uppgifter som är lite mer krävande eller bygger på flera steg. Några uppgifter är lite mer öppna och i dessa har eleverna möjlighet att själva påverka innehåll och svårighetsgrad. Vissa av uppgifterna i fördjupningsdelen är även av problemlösningskaraktär.
Begrepp och metoder
I Mattekollen 2 får eleverna utvärdera vad de nu kan om kapitlets mål och sedan planera hur de kan arbeta vidare med målen för kapitlet. Till sin hjälp har de en mall för självbedömning.
Här finns de begrepp och metoder som behand las i kapitlet. Du kan uppmuntra eleverna att gå till dessa sammanfattningssidor om de behöver repetera matematiska begrepp och metoder. De kan också använda Metod och begrepps sidorna som en uppslagsbok. I Mattekollen 3 sammanfattar eleven vad han/hon nu kan om kapitlets innehåll.
6
Träna mera
6
Träna mera
Ekvationer
Uttryck 55
5+3= ? +1
Byt ut frågetecknet mot mindre än < eller större än >.
För att kunna fylla i det som saknas i likheten kan du tänka så här:
a) 6 + 8 ? 15
På vänster sida är det 8.
c) 9 · 5 ? 42
5+3=
Byt ut frågetecknet mot det tal som saknas.
56 För att höger sida också ska vara 8 saknas talet 7.
15 + 4 = ? + 1 15 + 3 = 7 + 1
57 58
Skriv och tolka
a) 4 + 8 = ?
b) 9 + ? = 13 d) 15 = 9 + ?
a) 13 – ? = 7
b) ? – 4 = 8
c) 6 = 14 – ?
d) 5 = ? – 7
a) 3 + 5 = 1 + ?
b) ? + 7 = 1 + 8
c) 8 + ? = 3 + 9
d) 3 + 4 = ? + 2
Oliver är 2 år yngre än Nemi x – 2
Alma är 3 år äldre än Nemi x + 3
a) 4 mindre än x
b) x delat på 4
c) 4 gånger så mycket som x
d) 4 mer än x
b) 8 + x = 13
c) x + 7 = 15
d) 8 + x = 11
60
a) 14 – x = 6
b) x – 5 = 7
c) 11 – x = 9
d) x – 9 = 3
61
a) 7 · x = 21
b) 4 · x = 36
35 = 7 c) ___ x
x = 8 d) __ 2
62
För vilken/vilka av ekvationerna stämmer det att x = 4? A 7 + x = 12
63
B 11 – x = 7
C 3 · x = 12
27 = 9 D ___ x
Lös ekvationerna. Pröva om din lösning stämmer. a) 17 + x = 23
b) 15 – x = 7
c) 6 · x = 18
24 = 4 d) ___ x
26 • ekvationer, uttryck och mönster
x–4
4·x x __ 4
Skriv ett uttryck som visar
66
Henrik har x kolor. Skriv ett uttryck för hur många kolor de andra barnen har.
a) 3 gånger mer än x
Del 3 är en uppgift som på ett annat sätt anknyter till projektet.
Arbetssätt Du kan redovisa ditt projekt på olika sätt. Välj till exempel att göra ett bildspel, en bok, en väggaffisch. Har du en egen idé hur du vill redovisa ditt projekt har du möjlighet att göra det.
b) 2 mindre än x
c) 4 mer än x
d) x delat på 5
c) Malin har dubbelt så många.
b) Anders har hälften så många kolor. d) Sabina har 4 gånger så många kolor.
olika hus som möjligt. Kuberna måsta sitta ihop med minst en sidoyta. >> Bygg minst 10 olika hus. >> Välj ut några av dina hus och ta reda på hur mycket de skulle kosta att bygga. P riserna hittar du i tabellen.
Yta
Pris per kvadrat formad sidoyta
Yttervägg
10 000 kr
Tak
15 000 kr
Golv
8 000 kr
punkterna eller skriv egna frågor som du vill ha svar på.
67
Hur gammal är Petra när David är
68
Beräkna värdet av uttrycket x + 6 om x = 2.
69
Beräkna värdet av uttrycket x – 4 om x = 7.
70
Beräkna värdet av uttrycket 5 · x om x = 3.
71
x Beräkna värdet av uttrycket __ om x = 16. 2
a) 10 år
b) 15 år
från Lärar guiden. Lägg en kub framför dig med en av kanterna mot dig. Börja med att rita av den kanten, mellan två prickar. uppe och nere.
1 Använd fyra kuber och skapa så många
2 Arbeta vidare med ditt projekt med hjälp av
e) Miriam har 5 kolor färre.
>> Lär dig rita en kub. A Använd dig av isometriskt prickpapper
B Rita kanterna som går åt sidorna, både
Del 2 ger dig möjlighet att fördjupa dig i projektet. Uppgifterna är friare och du kan själv påverka innehållet. Det kanske är någon av uppgifterna du vill arbeta mer med. Utifrån den kan du komma på egna frågor. Det är meningen. Gör projektet till ditt eget!
Planera hur du ska lägga upp ditt projekt och vad du ska ta reda på.
65
Redovisningen till en ekvation ser ut så här: 7 + x = 11 x=4
Lös ekvationen. a) 7 + 6 = x
x+4
Vilket av de algebraiska uttrycken betyder
a) Stefan har 2 kolor fler.
59
Det här projektet handlar om att skapa bygg nader med kuber och rita byggnader med hjälp av isometriska papper.
Del 1 är tänkt som en introduktion till projektet. Nemis ålder x
64
P
PROJEKT 6: Bygg och avbilda
Projektbeskrivning Projekten består av uppgifter som du kommer att jobba med under en längre tid. Vissa uppgifter kommer du att behöva söka information för att kunna svara på. Du har även möjlighet att kunna utgå från dina egna tankar och fördjupa dig i ett projekt. Varje projekt är indelat i tre olika delar.
b) 74 – 9 ? 66 28 ? 5 d) ___ 7
c) 14 = ? + 7
Projekt
C Rita kanterna till vänster och höger och
rita ihop toppkvadraten. A
B
C
>> Rita några av dina hus på isometriskt papper. >> Bygg andra figurer och rita av dem. >> Bygg och avbilda någon valfri byggnad. Det kan vara ditt hem, en känd byggnad eller en påhittad byggnad. >> Beräkna hur mycket byggnaden skulle kosta att bygga med hjälp av priserna i tabellen. >> Rita ett helt område och lägg till vägar, vatten, djur, växter och människor. Skriv och berätta om ditt område.
3 Skriv och berätta om arkitekten Antonio Gaudi.
c) 38 år
David x
Petra x + 3
ekvationer, uttryck och mönster • 27
projekt • 137
136 • projekt
Träna mera
Projekt
På Träna mera-sidorna ges eleven möjlighet att repetera de delar som de fortfarande är osäkra på. Varje sida motsvarar ett avsnitt från grund kursen. Det betyder alltså inte att eleven måste göra hela Träna mera utan bara de delar som eleven är osäker på. När eleven sedan är säker på alla delar kan han/hon gå vidare till Fördjupning.
Till varje kapitel finns ett Projekt som är kopp lat till det innehåll som kapitlet behandlat. Pro jekten består av uppgifter som eleven kan arbeta med under en längre tid. Här får eleverna möjlig het att utgå från sina egna tankar och fördjupa sig i det som intresserar. Läs mer om projekten på sidan 8.
01-09_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 5
Välkommen till Lärarguiden • 5
2018-09-20 11:56
Lärarguiden Lärarguiden är lätt att följa. Varje uppslag från elevboken visas i mitten av varje uppslag i lärar guiden. Runt elevuppslaget får du som lärare hjälp och stöd i din undervisning.
6
6
algebra
Ekvationer, uttryck och mönster
6
Begrepp variabel
algebra
ekvation
obekant
algebraiskt uttryck
likhet
prövning
numeriskt uttryck
Mål för kapitlet
Du kommer att utveckla kunskaper om:
Förmågor
• att obekanta tal kan skrivas med en symbol
Kapitlets innehåll
• att lösa och pröva lösningar till ekvationer • att tolka, skriva, beskriva och beräkna värdet av uttryck • att beskriva mönster med ord, bild eller symboler
Kapitlet inleds med ett avsnitt om likheter och olikheter, obekanta tal och ekvationer.
Hur kan du beskriva figurernas omkrets med hjälp av bokstäverna?
Problemlösning Begrepp
2·x x
? · 4=3+
Metoder för enkel ekvationslösning. Hur mönster i talföljder och geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas.
Figur 1
Figur 2
Figur 3
6
7
Detta är en öppen ekvation, där två obekanta tal är tecknade med ett frågetecken.
Förmågor Exempel på uppgifter kopplade till respektive förmåga.
Problemlösning Uppgift 31c: Hur gammal var Lena när Mimmi var 30 år?
Begrepp Uppgift 20a: Lös ekvationerna. Pröva om din lösning stämmer. 8 + x = 17
Metod
1
Det här kan jag redan om ekvationer, uttryck och mönster.
Om det står 1 på det blå kortet är det 4 på vänster sida om likhetstecknet. För att det ska vara 4 på höger sida, ska det stå 1 på det röda kortet. Om det står 2 på det blå kortet ska det stå 5 på det röda. Det är lättare att sätta in ett tal på det blå kortet och anpassa talet på det röda kortet efter det. Om ni till exempel sätter in talet 2 på det röda kortet måste det stå 1,25 på det blå.
till sidan 6
Eleverna kan beskriva figur 4 med ord: det är fyra kvadrater på en rad i mitten, och en rund figur fastsatt på varje kvadrat. Det är fyra kvadrater och 10 runda figurer.
Faktarutan handlar om numeriska och algebraiska uttryck. Begreppen är förmodligen nya för eleverna men de är inte så krångliga som de kan verka. Att ett uttryck är numeriskt innebär att det endast består av siffror. Ett algebraiskt uttryck däremot innehåller något obekant tal som betecknas med en symbol, ofta x, y, z, a, b eller c. I algebraiska uttryck säger man att symbolen är en variabel eftersom den kan bytas ut mot vilket tal som helst.
ekvation När vi använder en symbol istället för ett obekant tal i en likhet kallas det för en ekvation.
Till skillnad från en ekvation är ett uttryck ingen likhet. Detta innebär att x i en ekvation har ett bestämt värde. I ett uttryck däremot är x en variabel.
Fråga först eleverna om de kommer ihåg hur omkrets räknas ut. För att skapa uttryck för figurernas omkrets adderas sidorna.
Det kan vara bra att stanna upp vid faktarutan och ge eleverna flera olika exempel, först med enbart tal och sedan med en variabel:
Triangelns omkrets kan beskrivas med uttrycket x + 2 · x + 2 · x = 5x och rektangelns omkrets med 3 · a + a + 3 · a + a = 8a
5 mer än 3
3+5
5 mer än x
x+5
2 gånger så mycket som 7 2 · 7 2 gånger så mycket som x 2 · x
De kan också beskriva figur 4 med bild genom att rita den. Eleverna kan också med ord beskriva mer generellt hur mönstret växer för varje figur, och inte bara just figur 4.
När vi byter x mot 3 i ekvationerna, stämmer lösningen på den blå lotten.
3 mindre än 8
8–3
3 mindre än x
x–3
2 delat med 3
2 __
x delat med 3
Testa gärna med större tal, t.ex. 200 på det blå kortet, vilket ger 797 på det röda.
3 x __ 3
Pröva och se om du förstår
Uppgift 33a: Beräkna värdet av uttrycket x + 5 om x = 3
Här kan eleverna först pröva själva och sedan jämföra med andra för att till sist resonera i helklass. x __ 5
Kommunikation och resonemang Uppgift 48c: Figur 1
Figur 2
Figur 3
Beskriv med ord hur mönstret växer för varje figur.
Mattekollen
Filip är 2 år yngre än André. Om du kallar Andrés ålder för x, kan du skriva Filips ålder som ett uttryck. Eftersom Filip är 2 år yngre än André blir uttrycket för Filips ålder
I det algebraiska uttrycket kan x betyda olika tal. Man säger att x är en variabel.
André André
x–2
x
Filip
21
Vilket av de numeriska uttrycken betyder
2·4
4+2
2 __
24 4 __
4–2
4
2
a) 2 mer än 4
b) hälften så mycket som 4
c) 2 mindre än 4
d) två gånger så mycket som 4
22
Vilket av de algebraiska uttrycken betyder
x+3
23
25 26
e) 2 delat med 4
3·x
x–3
x __ 3
a) x delat med 3
b) 3 gånger så mycket som x
c) 3 mer än x
d) 3 mindre än x
Skriv ett uttryck som visar a) 7 gånger så mycket som x b) 7 mindre än x c) 7 mer än x
27 28
29
d) x delat med 7
Det är x kakor i en låda. Vilket uttryck beskriver en sjättedel av kakorna? Det är y kulor i en påse. Vilket uttryck beskriver hur många kulor det är i 3 påsar?
x+6
6·x
x–6
x __
y+3
3·y
y–3
y __
x+5
5·x
x–5
x __
4·z
z–4
z __
Samira har x kulor. Claes har 5 kulor färre. Vilket uttryck beskriver hur många kulor Claes har? Darya har z kulor. Frans har 4 kulor fler. Vilket uttryck beskriver hur många kulor Frans har?
z+4
Kommentarer till faktarutan
x–2
En fryst krabba kostar x kr. En färsk krabba är fyra gånger så dyr som en fryst krabba. Skriv ett uttryck för hur mycket den färska krabban kostar.
6
3
5
4
För att hjälpa eleverna att skriva algebraiska uttryck till textuppgifter kan du fråga hur de skulle skriva ett numeriskt uttryck till Filips ålder om de vet att André är, till exempel 10 år (10 – 2). Om de inte vet Andrés ålder, blir det algebraiska uttrycket för Filips ålder x – 2. Här betecknar vi Andrés ålder med variabeln x. Vi kan alltså byta ut x mot vilken ålder som helst. Att sätta in värden istället för en variabel återkommer vi till på nästa sida. För fler exempel kan du fråga hur det algebraiska uttrycket ser ut för din kollegas ålder om du kallar din ålder för x om kollegan är, till exempel 3 år yngre?
Josefine har x kulor. Skriv ett uttryck för hur många kulor de andra barnen har. a) Hilma har 3 kulor fler än Josefine.
b) Tilia har dubbelt så många som Josefine.
c) Felicia har 4 kulor färre än Josefine.
d) Alvi har hälften så många kulor som Josefine.
Martin är y år. Skriv ett uttryck för de andra personernas ålder. a) Marie är 2 år äldre än Martin.
Pröva och se om du förstår
b) Farideh är 3 år yngre än Martin.
c) Niklas är 4 gånger så gammal som Martin. d) Emma är hälften så gammal som Martin.
14 • ekvationer, uttryck och mönster
ekvationer, uttryck och mönster • 15
Vi rekommenderar att eleverna skriver svaren till de Pröva och se om du förstår-uppgifter som klassen inte gör gemensamt. 4·x
Tänk på Uppgift 22a och 23d: Uppgifter med division kan också skrivas 1 tredjedel av x respektive 1 sjundedel av x.
Tänk på Uppgift 24: Det kan vara svårt för eleverna att x tolka ”en sjättedel av x”. Det är __ 6
Aktivitet Låt eleverna skriva egna förklaringar till algebraiska uttryck i en spalt och uttrycken blandade i en spalt bredvid. Sedan kan de lösa varandras uppgifter genom att dra streck från förklaring till uttryck. Exempel: 4 mindre än x
x __
x delat med 5
5 x+7
7 mer än x
x–4
1 Arbetsblad 6:3
Se sidan 158 i Lärarguiden.
10
Filip
Pröva och se om du förstår
Jämför och resonera.
algebraiskt uttryck I ett algebraiskt uttryck används en bokstav istället för en siffra.
Mattekollen
Ett algebraiskt uttryck kan användas för att till exempel beskriva någons ålder.
I ett algebraiskt uttryck är obekanta tal skrivna med en bokstav. Uttrycket x + 3 betyder 3 mer än x.
Skriv ett uttryck som visar x delat med 5.
algebra Algebra är när man använder bokstäver eller symboler för att beteckna en variabel i ett uttryck eller ett obekant tal i en ekvation. Algebra kan även användas för att beskriva geometriska figurer och mönster.
?
Obekanta tal och deras egenskaper samt situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol. Enkla algebraiska uttryck och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven.
I ett numeriskt uttryck är alla tal skrivna med siffror. Uttrycket 4 + 3 betyder 3 mer än 4.
6
6
Uttryck
Skriv och tolka
Kommentarer till faktarutan
Här har vi valt att beskriva några begrepp som kanske inte är bekanta för eleverna.
På vilka sätt kan du beskriva hur nästa figur ska se ut?
Ur det centrala innehållet
Uttryck
Pröva och se om du förstår
Alla begrepp finns beskrivna på sidan 31 i elevboken. Har någon vunnit?
Vad kan det stå på korten?
6
3·a
Kommunikation och resonemang
Därefter följer ett avsnitt om att tolka och skriva algebraiska uttryck. Sist får eleverna träna på att tolka och beskriva mönster.
Sist i avsnittet får eleverna både tolka och skriva algebraiska uttryck.
Begrepp
a 2·x
Metod
Avsnittsintroduktion Kapitlets andra avsnitt handlar om uttryck. Först får eleverna arbeta med numeriska uttryck för att sedan övergå till algebraiska uttryck.
11
18 • ekvationer, uttryck och mönster
ekvationer, uttryck och mönster • 19
Introduktionsuppslaget
Grundkurs
Kapitlets innehåll
Avsnittsintroduktion
Här kan du få en översikt över vad som behand las i kapitlets tre avsnitt.
Under den här rubriken finns en mer utförlig beskrivning av vad avsnittet innehåller. Här kan även finnas en förklaring till valet av innehåll.
Ur det centrala innehållet Denna rubrik visar från vilken del i det centrala innehållet som vi brutit ner målen för kapitlet.
Förmågor Här visas exempel på uppgifter från kapitlet som vi kopplat till de olika förmågorna: Problemlösning, Begrepp, Metod, Kommunikation och resonemang. Dessa symboler finns även på Välj bland förmågorna-sidorna.
Symbolerna till introduktionsfrågorna Varje fråga på introduktionsuppslaget hör ihop med en symbol. Vid varje symbol kan du få för slag på vilka svar du kan få och vilka ytterligare frågor du kan ställa.
Begrepp Här har vi valt att beskriva några begrepp som kanske inte är bekanta för eleverna. Kapitlets alla begrepp finns beskrivna på sista sidan i kapitlet.
Mattekollen 1, 2 och 3 Underlag till Mattekollen finns på sidan 156.
Kommentarer till faktarutan Här får du som lärare hjälp med hur du kan gå igenom faktarutan. Du kan även hitta teori kring det som faktarutan behandlar. Tycker du att klas sen behöver ytterligare ett exempel kan du hitta det här.
Pröva och se om du förstår Denna ruta hänger ihop med faktarutan. Upp giften liknar den i faktarutan men här prövar först eleverna själva för att sedan jämföra med andra och till sist resonera i helklass.
Tänk på Under denna rubrik kan du få tips på hur spe cifika uppgifter skiljer sig från de övriga och hur vissa kritiska punkter kan förebyggas eller behandlas.
Aktivitet Här får du som lärare inspiration och förslag till praktiska övningar som är anpassade till det innehåll som behandlas.
Arbetsblad Till varje kapitel finns arbetsblad. Dessa innehål ler extra träning till kapitlets olika avsnitt.
6 • Välkommen till Lärarguiden
01-09_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 6
2018-09-20 11:56
6
Arbetsgång På Välj bland förmågorna-sidorna tränas kapitlets centrala innehåll utifrån de matematiska förmågorna. Här kan du som lärare eller eleven själv välja i vilken ordning övningarna ska göras. Det kan antingen vara att ni tillsammans kommit fram till en viss förmåga/förmågor som eleven behöver utveckla. Det kan också vara att du som lärare vill få tillfälle att bedöma en specifik förmåga. I vissa kapitel kan eleven själv i Mattekollen 1 upptäckt någon förmåga som den behöver/vill utveckla. Beroende på hur man tar sig an olika övningar kan eleverna utveckla även de andra matematiska förmågorna än den som framgår av rubriken.
6
Ekvationer
Problemlösning
Turas om att slå en tärning. Sätt in värdet på tärningen istället för x i ekvationen. Talet du får istället för frågetecknet blir din poäng. Lägg ihop dina poäng efter hand. Den som har flest poäng efter sju omgångar vinner.
Spelare 1 Poäng
x=3
7
x=4 x= x=
x= x=
8
Ekvation 4+x= ?
Tärningsslag
Poäng
x=6
10
mp
12 – x = ? 3·x= ?
Exe
?
el
x=3
x=
___ = x
x=
5+x= ?
x=
2
2·x+1= ?
x=
4·x–3= ?
x=
Totalpoäng
Totalpoäng
Problemlösning
Magiska kvadrater
Spelare 2
Tärningsslag
x=
9
I en magisk kvadrat är summan densamma vågrätt, lodrätt och diagonalt. Vilket tal saknas?
1
2
10 15 14
4
14
17 13
9
18
B
D
12 11
A
8
E
16
C
3
F
12 G 13
14
7
H
I
6
10
J
4
9
5
16
2
Träna metod Lös ekvationerna för att ta reda på ordet. Svaret på varje ekvation är den plats bokstaven har i ordet.
Problemlösning
Bokstav nr x är N.
6+x=8
Bokstav nr x är A
3 · x = 27
Vilket värde har
Vissa av övningarna kan du välja att göra i helklass.
1
Eleverna kan när som helst längre fram i boken gå tillbaka till tidigare Välj bland förmågornasidor.
2
a) d
3
a) a
a) x b) y c) z
b) e c) f
b) b c) c
x+x=8
d
e
6
6
Ekvationer
Spela & kommunicera
x+y=7
d
y·z=6
e
e
= 34
f
e
d
= 33
a + b + b = 18
16 – x = 10 8 = 16 – x
Bokstav nr x är L
= 32
d
Bokstav nr x är N Bokstav nr x är S
= 31 = 36 = 32
a + a + a = 27
Bokstav nr x är I Bokstav nr x är G
a + b + 2 · c = 18,5
För att lösa uppgiften behöver eleverna utgå från det de redan vet.
10 15 14
39
17 13
9
39
12 11
A
x
55
4
14
18
B
D
8
E
16
a) 4 + 8 = ?
58
15 + 3 = 7 + 1
ekvationer, uttryck och mönster • 13
12 • ekvationer, uttryck och mönster
Eleverna kan variera spelet om de vill. De kan till exempel använda en tiosidig tärning.
Träna metod Bokstäverna bildar ordet SNÖFLINGA.
Problemlösning
Bokstav nr 2 är N
a) 3 + 5 = 1 + ?
b) ? + 7 = 1 + 8
c) 8 + ? = 3 + 9
d) 3 + 4 = ? + 2
a) 14 – x = 6 a) 7 · x = 21
b) 8 + x = 13
c) x + 7 = 15
b) x – 5 = 7
F
12 G 13
14
7
Uppgift 1: x + x = 8, alltså är x = 4.
Bokstav nr 7 är N
Uppgift 2: e + e + e = 36, alltså är e = 12
Bokstav nr 1 är S
Uppgift 3: a + a + a = 27, alltså är a = 9
Bokstav nr 4 är F Bokstav nr 3 är Ö
1 a) x = 4
b) y = 3
För vilken/vilka av ekvationerna stämmer det att x = 4?
Lös ekvationerna. Pröva om din lösning stämmer.
B 11 – x = 7
I
6
H 10
9
5
2 J 16
b) e = 12
c) f = 11
3 a) a = 9
b) b = 4,5
c) c = 2,5
b) 9 + ? = 13
d) 15 = 9 + ?
a) 13 – ? = 7
c) 6 = 14 – ?
b) ? – 4 = 8
b) ? + 7 = 1 + 8 d) 3 + 4 = ? + 2
Lös ekvationen.
59
a) 7 + 6 = x
b) 8 + x = 13
c) x + 7 = 15
d) 8 + x = 11
a) 14 – x = 6
b) x – 5 = 7
c) 11 – x = 9
d) x – 9 = 3
61
a) 7 · x = 21
För vilken/vilka av ekvationerna stämmer det att x = 4? A 7 + x = 12
63
b) 4 · x = 36
B 11 – x = 7
35 = 7 c) ___ x
C 3 · x = 12
c) 6 · x = 18
66 Redovisningen till en ekvation ser ut så här: 7 + x = 11 x=4
b) Anders har hälften så många kolor. d) Sabina har 4 gånger så många kolor.
24 = 4 d) ___ x
34
4
Uppgift 76–77: Här får eleverna välja bland uttryck till en text. Uttrycken är lite svårare att förstå än de på grundkursen. Uppmana gärna eleverna att rita och anteckna till sina uppgifter för att göra det lättare för dem att förstå uppgiften.
x–5
Uppgift 78–81: Dessa uttryck är svårare än på grundkursen eftersom uttrycken innehåller addition och subtraktion tillsammans med multiplikation.
x
I rektangeln är bredden x cm och längden x + 1 cm.
x+1
b) Hur lång är rektangelns omkrets om x = 3 cm?
6x
6x + 2
4x + 2
4x
Bredden i en rektangel är x cm. Rektangelns längd är 2 cm längre än bredden.
c) Hur långa är rektangelns sidor om omkretsen är 20 cm?
Uppgift 82: Denna uppgift blir väsentligt enklare om eleverna bygger figurerna med konkret material.
Petra x+3 Figur 1
Figur 2
a) Hur många klossar är det i figur 4?
Figur 3
b) Hur många klossar är det i figur 5?
c) Hur många klossar är det i figur 6?
ekvationer, uttryck och mönster • 27
6
ekvationer, uttryck och mönster • 29
Fördjupning
Ekvationer, uttryck och mönster Begrepp
83
d) 4 mer än x
4·x
Vilken figur saknas? Välj bland svaren i rutan.
Figur 2
algebra
4
Figur 2
D
b) 15 år
b) Hur många stickor är det i figur 2?
? A
B
C
likhet
prövning
87
70
Beräkna värdet av uttrycket 5 · x om x = 3.
71
x Beräkna värdet av uttrycket __ om x = 16. 2
Petra x+3
72
Para ihop rätt figur med rätt uttryck för figurens omkrets.
73
a) Vilket uttryck stämmer med rektangelns omkrets?
B
x
A
Fördjupning
76 77
4x
10y
Figur 1
Figur 2
78
Figur 1
Figur 2
79
Figur 3
Vilken figur saknas? Frans betalar x kr för 4 påsar äpplen. Välj bland en svaren i rutan. Vilket uttryck beskriver hur mycket påse äpplen kostar?
x+4
5y
x–4
x __
4x
80
x–6
6 – x x
?
Om x = 2 är lösningen 2 + 5 = 7 7 + x = 16 x–2=9
8+6=7+7 6 · 7 = 42 72 __ = 10 – 2 9
numeriskt uttryck
I ett numeriskt uttryck är alla tal skrivna med siffror.
Uttrycket 5 + 4 betyder 4 mer än 5. Du kan räkna ut att svaret är 9.
algebraiskt uttryck
I ett algebraiskt uttryck används en bokstav istället för en siffra.
Uttrycket x + 3 betyder 3 mer än x. I det algebraiska uttrycket kan x betyda olika tal.
3
2x – 5
x–5 variabel
I algebraiska uttryck kan det obekanta talet x betyda olika tal. Man säger att x är en variabel.
ekvation
När vi använder en symbol istället för ett obekant tal i en likhet kallas det för en ekvation.
?
d) 4x – 2 B
C
D
likhet
En likhet är när det är lika mycket på båda sidor om likhetstecknet.
prövning
En lösning till en ekvation kan kontrolleras genom prövning.
x x+1
6x
6x + 2
4x + 2
4x
Bredden i en rektangel är x cm. Rektangelns längd är87 2 cm längre än bredden.
? A
c) Hur många stickor är det i figur 6?
B
d) Hur många stickor är det i figur 10?
Figur 1
e) Beskriv med ord hur mönstret växer för varje figur.
a) Hur många klossar är det i figur 4?
Figur 2
28 • ekvationer, uttryck och mönster
Figur 3
30 • ekvationer, uttryck och mönster
Exempel
Figur 2
C
x+5
D en formelsamling där alla kapitlets begrepp och metoder är beskrivna
8+6=7+7 6 · 7 = 42 72 __ = 10 – 2 9 Först löser du ekvationen 56 ___ = 8 x x = 7
I ett numeriskt uttryck är alla tal skrivna med siffror.
Uttrycket 5 + 4 betyder 4 mer än 5. Du kan räkna ut att svaret är 9.
I ett algebraiskt uttryck används en bokstav istället för en siffra.
Uttrycket x + 3 betyder 3 mer än x. I det algebraiska uttrycket kan x betyda olika tal.
Mattekollen
c) Hur många klossar är det i figur 6?
ekvationer, uttryck och mönster • 29
Projekt
D repetition inför testet
Extrauppgift till kapitlet, se projekten sidan 136 i elevboken.
3
Det här kan jag nu om ekvationer, uttryck och mönster.
ekvationer, uttryck och mönster • 31
30 • ekvationer, uttryck och mönster
ekvationer, uttryck och mönster • 31
Välj bland förmågorna
Kommentar till sidorna
Arbetsgång
Här finns en allmän information om vad Träna mera är.
Här finns en beskrivning hur du som lärare kan använda dig av Välj bland förmågorna-sidorna.
Problemlösning
Träna mera
Denna ruta innehåller olika lösningar på prob lemen eller förslag på ledtrådar du kan ge till de elever som tycker att det är svårt.
Här beskrivs vad uppgifterna handlar om och hur vi i vissa fall har förenklat innehållet, till exempel med bildstöd. Till vissa Träna merasidor hänvisar vi till till tidigare Aktiviteter.
Ord & begrepp
Arbetsblad
Här hittar du information och facit till vissa av uppgifterna.
Träna metod Här hittar du information och facit till vissa av uppgifterna.
Spela & kommunicera Här hittar du information och facit till vissa av uppgifterna. Här kan du även hitta förslag på anpassningar av uppgifterna.
3
Se sidan 160 i Lärarguiden.
D en uppslagsbok till begreppen
Om x = 2 är lösningen 2 + 5 = 7 7 + x = 16 x–2=9
numeriskt uttryck
b) Hur många klossar är det i figur 5?
Mattekollen
Begrepp och metoder-sidan kan användas aktivt av elever. Den kan användas som
Obekant tal i ett uttryck: 8+x Obekant tal i en ekvation: 13 – x = 9
algebraiskt uttryck
D Figur 3
Begrepp och metoder
Uttryck: 6+x Ekvation: 6 + x = 15 Mönster:
Sedan kontrollerar du om din lösning stämmer 56 __ = 8 7 Det stämmer att x = 7
b) Skriv ett uttryck för rektangelns omkrets. c) Hur långa är rektangelns sidor om omkretsen är 20 cm?
82
b) Hur många stickor är det i figur 5?
Figur 1
En obekant är något vi ännu inte känner till. I ett uttryck och i en ekvation skriver vi oftast ett obekant tal med x eller någon annan bokstav.
x–5
2
a) Skriv ett uttryck för rektangelns längd.
Figur 3
Rita figur 4.
a) Rita figur 4.
ekvationer, uttryck och mönster • 31
6
8x = 40
b) x – 3
A
I rektangeln är bredden x cm och längden x + 1 cm. b) Hur lång är rektangelns omkrets om x = 3 cm?
81
Förklaring Algebra är när man använder bokstäver eller symboler för att beteckna en variabel i ett uttryck eller ett obekant tal i en ekvation. Algebra kan även användas för att beskriva geo− metriska figurer och mönster.
obekant
x __
Skriv en händelse till uttrycket. Rita en bild och skriv en förklaring.
a) Vilket uttryck beskriver rektangelns omkrets?
c) Hur många stickor är det i figur 3? d) Hur många stickor är det i figur 4?
algebra
4
85
x+6
B C D A Livia har fångat x krabbor vid stranden. Elma har fångat dubbelt så många krabbor som Livia. Ylva har fångat 5 krabbor färre än Elma. Vilket uttryck beskriver hur många 86 krabbor Ylva har fångat?
a) x + 7 x c) __ + 3 2
a) Hur många stickor är det i figur 1? b) Hur många stickor är det i figur 2?
6
Julia har 6 pepparkakor färre än Märta. Vilket uttryck beskriver hur många pepparkakor Märta har om Julia har x pepparkakor?
Figur 3
84
4y
b) Hur lång är rektangelns omkrets om y = 2 cm?
Figur 2
Obekant tal i ett uttryck: 8+x
Obekant tal i en ekvation: 13 – x = 9 x+5
Mattekollen
D
Begrepp och metoder
Hur många stickor är det i figur 4? F 12x
12y
74
Figur 1
C
Ekvationer, uttryck och mönster Begrepp
83
x
4x
E 4x
6y
B
30 • ekvationer, uttryck och mönster
Fördjupning
Ekvationer, Ekvationer, uttryck och uttryck mönsteroch mönster
C 5x
3x
D 10x
Ekvation: 6 + x = 15 Mönster:
Först löser du ekvationen 56 ___ = 8 x x = 7
Det här kan jag nu om ekvationer, uttryck och mönster.
6
Träna mera
y
En lösning till en ekvation kan kontrolleras genom prövning.
Sedan kontrollerar du om din lösning stämmer 56 __ = 8 7 Det stämmer att x = 7
? David x
En likhet är när det är lika mycket på båda sidor om likhetstecknet.
Uppgift 87: Om eleverna kör fast här är knepet att de två yttre bilderna på varje rad bildar tillsammans bilden i mitten.
D
c) Hur många stickor är det i figur 3?
c) 38 år
Beräkna värdet av uttrycket x + 6 om x = 2.
När vi använder en symbol istället för ett obekant tal i en likhet kallas det för en ekvation.
I ett uttryck och i en ekvation skriver vi oftast ett obekant tal med x eller någon annan bokstav.
Hur gammal är Petra när David är
Beräkna värdet av uttrycket x – 4 om x = 7.
Exempel Uttryck: 6+x
En obekant är något vi ännu inte känner till.
I algebraiska uttryck kan det obekanta talet x betyda olika tal. Man säger att x är en variabel.
ekvation
8x = 40
b) Anders har hälften så många kolor. d) Sabina har 4 gånger så många kolor.
68
Förklaring
obekant
variabel
Uppgift 84: Ett tips till eleverna är att de kan utgå från antalet stickor som de kom fram till i uppgift 83, och sen bygga på därifrån.
Figur 3
a) Hur många stickor är det i figur 1?
Henrik har x kolor. Skriv ett uttryck för hur många kolor de andra barnen har. a) Stefan har 2 kolor fler. c) Malin har dubbelt så många.
Uttryck och mönster
75
C
86 Figur 1
ekvationer, uttryck och mönster • 27
6
? B
A
Skriv ett uttryck som visar b) 2 mindre än x
Algebra är när man använder bokstäver eller symboler för att beteckna en variabel i ett uttryck eller ett obekant tal i en ekvation.
Uppgift 83–84: Dessa uppgifter blir väsentligt enklare om man bygger figurerna med konkret material. Algebra kan även användas för att beskriva geo− metriska figurer och mönster.
Figur 3
84
x __
6 och mönster Ekvationer, uttryck
Begrepp och metoder
Ekvationer, uttryck och mönster
Figur 1
d) x delat på 5
Ekvationer, uttryck och mönster
x __
4x
2x – 5
82 David x
Figur 3
Hur många stickor är det i figur 4?
x–4
a) 3 gånger mer än x
69
A
Uppgift 74–75: De sista uppgifterna handlar om att tolka geometriska mönster genom att rita nästa figur i mönstret och först i sista uppgiften även beskriva med ord hur mönstret växer.
x–5
2
d) 4x – 2
a) Skriv ett uttryck för rektangelns längd. c) 38 år
e) Beskriv med ord hur mönstret växer xFigur 2 Figurav1 uttrycket __ för varje figur. om x = 16. 71 Beräkna värdet 2
x+4 b) x delat på 4
26 • ekvationer, uttryck och mönster
Uppgift 72–73: Eleverna får här para ihop och välja uttryck för omkretsen hos geometriska objekt. Till skillnad från grundkursen behöver inte eleverna skapa uttryck för omkretsen utan endast välja bland färdiga.
x __
b) x – 3
b) Skriv ett uttryck för rektangelns omkrets.
b) 15 år
Beräkna värdet av uttrycket x + 6 om x = 2.
d) Hur många stickor är det i70 figurBeräkna 10? värdet av uttrycket 5 · x om x = 3.
Alma är 3 år äldre än Nemi x+3
c) 4 mer än x
a) 10 år
27 = 9 D ___ x
Uttryck och mönster
x–4
6 – x x
d) Hur många stickor är det i figur 4?
67
x=8 d) __ 2
34
ekvationer, uttryck och mönster • 17
x–6
Skriv en händelse till uttrycket. Rita en bild och skriv en förklaring.
a) Vilket uttryck beskriver rektangelns omkrets?
Figur 3
Hur gammal är Petra när David är
b) Hur många stickor är det i figur 5? 69 Beräkna värdet av uttrycket x – 4 om x = 7. c) Hur många stickor är det i figur 6?
e) Miriam har 5 kolor färre.
Arbetsblad 6:5–6:6
16 • ekvationer, uttryck och mönster
80
a) Stefan har 2 kolor fler. c) Malin har dubbelt så många.
a) 10 år
68
x+4
Julia har 6 pepparkakor färre än Märta. Vilket uttryck beskriver hur många pepparkakor Märta har om Julia har x pepparkakor?
Livia har fångat x krabbor vid stranden. Elma har fångat dubbelt så många krabbor som Livia. Ylva har fångat 5 krabbor färre än Elma. Vilket uttryck beskriver hur många krabbor Ylva har fångat?
a) x + 7 x c) __ + 3 2
81 67
a) Rita figur 4.
6
Oliver är 2 år yngre än Nemi x–2
Vilket av de algebraiska uttrycken betyder c) 4 gånger så mycket som x
65
Lös ekvationerna. Pröva om din lösning stämmer. b) 15 – x = 7
79
b) 2 mindre än x d) x delat på 5
85
Nemis ålder x
64
d) 5 = ? – 7
a) 3 + 5 = 1 + ?
62
4y
28 • ekvationer, uttryck och mönster
a) 4 mindre än x
c) 8 + ? = 3 + 9
60
a) 17 + x = 23
4
57 58
10y
4
b) 74 – 9 ? 66
a) 4 + 8 = ?
c) 14 = ? + 7
Uppgift 67–71: Här ska eleverna sätta in värden för variabler i uttryck och beräkna värdet. 15 + 3 = 7 + 1
12y
x __
28 ? 5 d) ___ 7
Byt ut frågetecknet mot det tal som saknas.
15 + 4 = ? + 1
6y
Figur 2
Rita figur 4.
75
27 = 9 D ___ x
24 = 4 d) ___ x
c) 6 · x = 18
Skriv och tolka
Byt ut frågetecknet mot mindre än < eller större än >. a) 6 + 8 ? 15
c) 9 · 5 ? 42
Skriv ett uttryck som visar
78
4·x
x–4
d) 4 mer än x
e) Miriam har 5 kolor färre.
Figur 1
d) x – 9 = 3 x=8 d) __ 2
C 3 · x = 12
b) 15 – x = 7
Uttryck 55
56
Arbetsblad 6:3–6:4
c) z = 2
2 a) d = 10
Ekvationer
5+3=
x+4
b) x delat på 4
c) 4 mer än x
Frans betalar x kr för 4 påsar äpplen. Vilket uttryck beskriver hur mycket en påse äpplen kostar?
x+6
Alma är 3 år äldre än Nemi x+3
d) 8 + x = 11
c) 11 – x = 9 35 = 7 c) ___ x
b) 4 · x = 36
62 63
Uppgift 64–66: Första halvan av sidan handlar om att tolka och skriva algebraiska uttryck. Först får eleverna välja bland uttryck och sedan ska de skriva uttrycken själva. För att höger sida också ska vara 8 saknas talet 7.
77
x
Oliver är 2 år yngre än Nemi 4x x – 2
Vilket av de algebraiska uttrycken betyderF 12x E 4x
a) 3 gånger mer än x 5y
Träna mera
5+3= ? +1
Bokstav nr 6 är I
Nu vet eleverna värdet på en av de obekanta talen och kan använda sig av det för att lösa resten av uppgifterna.
Träna mera
För att kunna fylla i det som saknas i likheten kan du tänka så här:
65
y
74
a) 7 + 6 = x
60 61
A 7 + x = 12
På vänster sida är det 8.
C 5x
3x
64
Redovisningen till en ekvation ser ut så här: 7 + x = 11 x=4
Lös ekvationen.
59
Arbetsblad 6:1–6:2
6
76
B
x
4x
d) 5 = ? – 7
b) Hur lång är rektangelns omkrets om y = 2 cm? 66 Henrik har x kolor. Skriv ett uttryck för hur många kolor de andra barnen har.
Uppgift 62–63: I de här uppgifterna ska eleverna sätta in värden för variablerna och pröva ekvationerna.
Uttryck
30 Uppgift 3: I denna kvadrat ska summan i varje rad vara 34. Alltså måste H vara 11. F = 1 G = 8 H = 11 I = 15 J = 3
Här ska eleverna hitta en lösning som passar alla ekvationerna. För att de inte ska behöva pröva sig fram, är det enklast att börja med den ekvation som endast innehåller en obekant.
Bokstav nr 5 är L
A
D 10x
b) ? – 4 = 8
C
Bokstav nr 9 är A Bokstav nr 8 är G
c) 4 gånger så mycket som x a) Vilket uttryck stämmer med rektangelns omkrets?
Nemis ålder x
d) 15 = 9 + ?
a) 13 – ? = 7 c) 6 = 14 – ?
6
Fördjupning
Ekvationer, uttryck och mönster
och tolka Para ihop rätt figur med rättSkriv uttryck för figurens omkrets.
73
b) 9 + ? = 13
c) 14 = ? + 7
a) 4 mindre än x
57
15 + 4 = ? + 1
6
Träna mera
72
b) 74 – 9 ? 66 28 ? 5 d) ___ 7
Byt ut frågetecknet mot det tal som saknas.
56 För att höger sida också ska vara 8 saknas talet 7.
26 • ekvationer, uttryck och mönster
Spela & kommunicera
Träna mera
Uttryck ochUttryck mönster
Byt ut frågetecknet mot mindre än < eller större än >. a) 6 + 8 ? 15 c) 9 · 5 ? 42
På vänster sida är det 8.
5+3=
a) 17 + x = 23
x
På Fördjupningssidorna ges eleverna möjlighet att gå djupare in i kapitlets innehåll. Här kan de hitta uppgifter som är lite mer krävande.
6
Träna mera
Ekvationer 5+3= ? +1 För att kunna fylla i det som saknas i likheten kan du tänka så här:
Uppgift 56–58: De uppgifter där det är två termer på varje sida kan vara lite svårare. I dessa uppgifter har vi dock valt att inte behandla multiplikation och division.
Uppgift 2: I denna kvadrat ska summan i varje rad vara 30. Alltså måste C vara 12. B = 10 C = 12 D = 2 E = 6
63 9 = ___ x
4 · x = 16 24 = 8 ___
6
Ekvationer
6
Kommentar till sidorna
Aktivitet Gå gärna tillbaka till aktiviteterna i kapitlet och låt eleverna arbeta praktiskt, för att befästa sina kunskaper.
Uppgift 55: Först får eleverna träna på att använda tecknen för större än och mindre än.
30 = 6 ___
Bokstav nr x är Ö
Kommentar till sidorna På Träna mera-sidorna ges eleverna möjlighet att repetera de delar som de fortfarande är osäkra på. Varje sida motsvarar ett avsnitt från grundkursen. Det betyder alltså inte att eleverna måste göra hela Träna mera utan bara de delar som berörs. När eleven sedan är säker på alla delar kan han/hon gå vidare till Fördjupning.
Uppgift 1: I denna kvadrat ska summan i varje rad vara 39. Alltså måste A vara 16. A = 16
39 39
14 = 13 + x
Bokstav nr x är F
6
Till varje kapitel finns arbetsblad. Dessa innehål ler extra träning till kapitlets olika områden.
Kommentar till sidorna Här finns en allmän information om vad Fördjup ning är. Till vissa av uppgifterna finns tips på hur eleverna kan jobba vidare.
Fördjupning Texten i rutan kommenterar de uppgifter som eleverna möjligtvis kan fastna på.
Begrepp och metoder I denna ruta står det hur du som lärare kan infor mera dina elever hur Begrepp och metoder kan användas. På Skolverkets hemsida finns de mate matiska begreppen översatta till flera olika språk.
Projekt Här får du veta på vilka sidor du kan hitta Projekten.
01-09_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 7
Välkommen till Lärarguiden • 7
2018-09-20 11:57
Läxbok
Pedagogisk planering 6–10
5B
Eva Björklund Heléne Dalsmyr
matematik
Koll på
PROJEKT 9: Kryptering
Det här projektet handlar om hur vinklar och linjer kan ritas för att lura våra sinnen.
Det här projektet handlar om hur alfabetet kan krypteras för att skicka hemliga meddelanden.
av punkterna nedan eller skriv egna frågor som du vill ha svar på. >> Gör en egen variant av de optiska illusio nerna i 1A och B. Använd dig gärna av hjälplinjerna på ett rutat papper, och rita sedan av din illusion på ett vitt papper. >> Leta reda på och rita av någon av illusio nerna, geometriska illusioner, optiska omöjliga illu sioner eller motion induced blindness.
C
Ceasarkrypto
3 Skriv och berätta om Julian Beever och hans 3D Pavement Drawings.
och 75 % av den andra figuren. >> Använd dig av en kartbok och uppskatta hur många procent Lappland är av Sveriges yta.
2 Arbeta vidare med ditt projekt med hjälp av punkterna
nedan eller skriv egna frågor som du vill ha svar på. Använd dig av en kartbok. >> Uppskatta hur många procent Skåne är, av Sveriges yta. >> Ungefär vilka landskap täcker tillsammans 50 % av Sveriges yta? >> Ungefär hur många procent av Sveriges yta är det landskap du bor i? >> Hitta en tabell där landskapens ytor finns angivna och räkna ut om det du uppskattat stämmer.
3 Skriv och berätta om ett dygn i ditt liv.
Tänk att 1 timme är ca 4 % av ditt dygn. Uppskatta hur många procent av dygnet du till exempel sover, äter mm.
V W X Y Z P Q R S T
O
N
U T
O P Q R S I J K L M
>> 1 Rita två valfria figurer. Färglägg 20 % av den ena figuren
I J K G H L C D E A B F
Det här projektet handlar om att göra uppskattningar i procent.
U
B C Ö A D Y Z E W X Å Ä
V
Ö
PROJEKT 8: Uppskatta procent.
Ä
Å
F
I projekten är upp gifterna friare och elev erna kan själva påverka innehållet. Vissa upp gifter kommer de att behöva söka informa tion för att kunna svara på.
ingen, förutom de som har krypteringsnyck eln, ska kunna läsa den. Kryptering används till exempel av datorprogram vid t.ex. betal ning och inloggning. Här är ett krypto som kallas Caesarkrypto, som Julius Caesar ska ha använt för att skicka meddelanden till sina trupper runt om i Romarriket.
H
B
N
A
1 Kryptering är ett sätt att ändra en text så att
G
ger en vinklad bild av verkligheten. Det som ögat ser kan ge en bild som är mot sägelsefull eller omöjlig. >> Förklara på vilket sätt bilderna lurar ögat.
2 Arbeta vidare med ditt projekt med hjälp
2 Arbeta vidare med ditt projekt med hjälp
DD beskriva geometriska mönster med ord
Begreppsförmåga
DD skriva algebraiska uttryck, till exempel omkretsen av en kvadrat med sidan
Problemlösningsförmåga
DD tolka resultat och dra någon relevant slutsats
DD formulera och lösa problem genom att välja och använda strategier och
metoder som passar problemet DD tolka resultat och dra någon relevant slutsats
x skrivs 4 ∙ x eller två mindre än x skrivs x – 2
Begreppsförmåga
man väger ett brev DD känna igen spetsig, trubbig och rät vinkel
DD kapitlets begrepp
DD hantera enhetsbyten inom storheten massa
DD skillnaden mellan likhet (=), inte lika med (≠) och olikhet (>, <)
Visa, använda och uttrycka kunskaper om:
DD att obekanta tal kan betecknas med en symbol till exempel en bokstav, en
DD kapitlets begrepp
variabel, som kan anta olika värden
DD prefixen milli, hekto och kilo
DD enkla algebraiska uttryck till exempel att 2 + a har olika värde beroende på
värdet av a
Metodförmåga
DD reflektera över vilken enhet som är lämplig att använda till exempel när
Metodförmåga
DD använda likhetstecknet korrekt, det vill säga vänster och höger led är olika
uttryck för samma tal
DD jämföra och storleksordna massor DD göra rimliga uppskattningar av massa i olika sammanhang DD mäta massa med hjälp av olika mätredskap och standardiserade enheter till
DD beräkna värdet av ett enkelt uttryck till, exempel värdet av a + 7 då a = 6
exempel kg, hg och g
eller a = 9
DD mäta vinklar
DD rita nästa figur i ett påbörjat mönster
DD använda vinkelsumman för att bestämma vinklar i trianglar och
Visa, använda och uttrycka kunskaper om:
fyrhörningar
DD någon informell metod för att lösa enkla ekvationer
Kommunikations- och resonemangsförmåga
DD hur en lösning till en enkel ekvation kan kontrolleras genom prövning, till 35 = 7 exempel att x = 5 är en lösning till ekvationen ___
x
Kommunikations- och resonemangsförmåga
DD rita vinklar DD föra enkla resonemang om rimligheten i ett resultat DD beskriva/redovisa kunskaper som har med massa och vinklar att göra på
DD motivera varför en lösning till en ekvation inte stämmer, till exempel
olika sätt till exempel med bilder, ord eller matematiska symboler och växla mellan dessa
2+5<3+8
DD beskriva/redovisa kunskaper om likheter, obekanta tal, ekvationer och geo-
DD ställa frågor, framföra och bemöta matematiska resonemang om massa och
metriska mönster med olika uttrycksformer, till exempel med bilder, ord och/eller matematiska symboler och växla mellan dessa DD ställa frågor, framföra och bemöta matematiska resonemang om likheter,
obekanta tal, ekvationer och geometriska mönster Hur det centrala innehållet ska behandlas
Så får eleverna visa sina kunskaper
DD genomgångar
DD det dagliga arbetet på lektionerna
DD diskussioner i helklass och i mindre grupper
DD muntliga diskussioner och resonemang
DD arbete i Koll på matematik
DD Mattekollen 1, 2 och 3
DD aktiviteter
DD test
DD
DD
DD
DD
DD
DD
188 • bedömning
kopiering tillåten © sanoma Utbildning ab Koll på matematik 4B
vinklar Hur det centrala innehållet ska behandlas
Så får eleverna visa sina kunskaper
DD genomgångar
DD det dagliga arbetet på lektionerna
DD diskussioner i helklass och i mindre grupper
DD muntliga diskussioner och resonemang
DD arbete i Koll på matematik
DD Mattekollen 1, 2 och 3
DD aktiviteter
DD test
DD
DD
DD
DD
DD
DD
kopiering tillåten © sanoma Utbildning ab Koll på matematik 4B
bedömning • 189
Pedagogisk planering
P
av punkterna nedan eller skriv egna frågor som du vill ha svar på. >> Tillverka ett eget krypto.
Vi har gjort en grund till en pedagogisk plane ring där de fem matematiska förmågorna och det centrala innehållet från kursplanen i matematik finns med. Detta hittar du även i bedömnings matriserna på sidan 173. I de pedagogiska pla neringarna kan du själv fylla på med fler punkter under ”Hur det centrala innehållet ska behand las”, gärna med elevernas egna idéer, och under ”Så får eleven visa sina kunskaper”. Pedagogiska planeringar finns på sidan 188.
A Tillverka ett krypto i två delar, som
Caesar kryptot. Bestäm vilka bok stäver som ska motsvara vilka, alltså hur många steg i alfabetet du vill vrida de två ringarna i ditt hjul. B Om du inte vill använda bokstäver, kan
du byta ut bokstäverna mot tecken, till exempel: ) & ( # ” ? + <3. >> Bestäm dig för vad du vill skriva för meddelande och kryptera det med hjälp av din nyckel. Låt en kamrat avkoda ditt meddelande. >> När är det bra med krypto? >> Leta upp morsealfabetet och skriv ett meddelande i morsekod.
3 Skriv och berätta om Samuel Morse och morsealfabetet eller Julius Caesar.
M
forts. från Projekt på sid 5:
1 Optisk illusion, synvilla, är en illusion som
Massa och vinklar
Problemlösningsförmåga
Visa, använda och uttrycka kunskaper om:
Efter problemlösningsuppgiften kommer det uppgifter på det som avsnittet behandlar och till sist kommer några repetitionsuppgifter. Att repe tera det eleverna tidigare lärt sig gör att eleverna reflekterar över sin tidigare vunna kunskap.
PROJEKT 7: Vinklar och våra sinnen
Pedagogisk planering kapitel 7
Ekvationer, uttryck och mönster
DD tolka enkel muntlig och skriftlig information med matematiskt innehåll
Läxor finns i en sepa Läxbok rat läxbok och till varje kapitel finns tre läxor. Alla läxor bör jar med en problem lösningsuppgift. Detta för att eleverna inte ska få känslan av att problemlösning är något svårt. Att ha en sådan uppgift först visar även att den är viktig. Om man som lärare tidssätter elevernas läxor, dvs. säger att de ska arbeta med sin läxa i 20–30 minuter är det inte säkert att eleverna hinner med någon problemlösning om den ligger sist.
P
Pedagogisk planering kapitel 6
Ringarna består av två alfabet som är vrid na mot varandra. Den inre ringen är kryp teringsnyckeln och den yttre ringen är det vanliga alfabetet. Om man vill skriva ordet HEJ blir det krypterat BÄD. Utgå från Caesarkryptot. >> Vilken bokstav ska du skriva om du vill kryptera bokstaven W? >> Kryptera ordet SPION? >> Vilket är det krypterade ordet ÖCÄHÅÄ? >> Det här kryptot är skrivet utan mellanslag. Vad står det? ÖFSÖCÄHÅÄHVLBVL
Samuel Morse
138 • projekt
projekt • 139
Varje projekt är indelat i tre delar: DD Introduktionsuppgift DD Fördjupningsuppgift DD Skrivuppgift Elever som börjat på ett projekt kan fortsätta på det även om han/hon börjat på ett nytt kapitel. Tycker eleven inte att projektet som är kopplat till kapitlet verkar intressant kan den alltid gå tillbaka och göra projekt till tidigare kapitel om du tycker att det passar.
8 • Välkommen till Lärarguiden
01-09_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 8
2018-09-20 11:57
6
6
algebra
Ekvationer, uttryck och mönster
Mål för kapitlet
Du kommer att utveckla kunskaper om: • att obekanta tal kan skrivas med en symbol
Kapitlets innehåll
• att lösa och pröva lösningar till ekvationer • att tolka, skriva, beskriva och beräkna värdet av uttryck • att beskriva mönster med ord, bild eller symboler
Kapitlet inleds med ett avsnitt om likheter och olikheter, obekanta tal och ekvationer.
Förmågor Problemlösning Begrepp Metod Kommunikation och resonemang
Därefter följer ett avsnitt om att tolka och skriva algebraiska uttryck. Vad kan det stå på korten?
Sist får eleverna träna på att tolka och beskriva mönster.
? · 4=3+
? På vilka sätt kan du beskriva hur nästa figur ska se ut?
Ur det centrala innehållet Obekanta tal och deras egenskaper samt situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol. Enkla algebraiska uttryck och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven. Metoder för enkel ekvationslösning. Hur mönster i talföljder och geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas.
Figur 1
Figur 2
Figur 3
6
Detta är en öppen ekvation, där två obekanta tal är tecknade med ett frågetecken.
Förmågor Exempel på uppgifter kopplade till respektive förmåga.
Problemlösning Uppgift 31c: Hur gammal var Lena när Mimmi var 30 år?
Begrepp Uppgift 20a: Lös ekvationerna. Pröva om din lösning stämmer. 8 + x = 17
Metod
Om det står 1 på det blå kortet är det 4 på vänster sida om likhetstecknet. För att det ska vara 4 på höger sida, ska det stå 1 på det röda kortet. Om det står 2 på det blå kortet ska det stå 5 på det röda. Det är lättare att sätta in ett tal på det blå k ortet och anpassa talet på det röda kortet efter det. Om ni till exempel sätter in talet 2 på det röda kortet måste det stå 1,25 på det blå. Testa gärna med större tal, t.ex. 200 på det blå kortet, vilket ger 797 på det röda.
Uppgift 33a: Beräkna värdet av uttrycket x + 5 om x = 3.
Kommunikation och resonemang Uppgift 48c: Figur 1
Figur 2
Figur 3
Beskriv med ord hur mönstret växer för varje figur.
10
10-31_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 10
2018-09-20 12:18
Begrepp variabel
algebra
ekvation
obekant
Hur kan du beskriva figurernas omkrets med hjälp av bokstäverna?
algebraiskt uttryck
likhet
prövning
numeriskt uttryck
2·x x
Begrepp
a 2·x
3·a
Alla begrepp finns beskrivna på sidan 31 i elevboken. Här har vi valt att beskriva några begrepp som kanske inte är bekanta för eleverna.
Har någon vunnit?
algebra Algebra är när man använder bokstäver eller symboler för att beteckna en variabel i ett uttryck eller ett obekant tal i en ekvation. Algebra kan även användas för att beskriva geometriska figurer och mönster. algebraiskt uttryck I ett algebraiskt uttryck används en bokstav istället för en siffra.
Mattekollen
1
Det här kan jag redan om ekvationer, uttryck och mönster.
7
till sidan 6
Eleverna kan beskriva figur 4 med ord: det är fyra kvadrater på en rad i mitten, och en rund figur fastsatt på varje kvadrat. Det är fyra kvadrater och tio runda figurer.
ekvation När vi använder en symbol istället för ett obekant tal i en likhet kallas det för en ekvation.
Fråga först eleverna om de kommer ihåg hur omkrets räknas ut. För att skapa uttryck för figurernas omkrets adderas sidorna. Triangelns omkrets kan beskrivas med uttrycket x + 2 · x + 2 · x = 5x och rektangelns omkrets med 3 · a + a + 3 · a + a = 8a.
De kan också beskriva figur 4 med bild genom att rita den. Eleverna kan också med ord beskriva mer generellt hur mönstret växer för varje figur, och inte bara just figur 4.
När vi byter x mot 3 i ekvationerna, stämmer lösningen på den blå lotten.
Mattekollen
1
Se sidan 158 i Lärarguiden.
11
10-31_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 11
2018-09-20 12:18
6
Avsnittsintroduktion Första avsnittet syftar till att eleverna skall förstå likhetstecknets innebörd och med den förståelsen kunna lösa ekvationer. Kapitlets första avsnitt börjar därför med med likheter och olikheter. Sedan får eleverna lösa ekvationer med hjälp av en informell metod.
6
Ekvationer
Likheter och olikheter I matematik används likhetstecknet = när man arbetar med likheter. Det finns även symboler för att beskriva olikheter, ≠, < och >. lika med = använder du när det är lika mycket på båda sidor om tecknet
inte lika med ≠ använder du när det inte är lika mycket på båda sidor om tecknet
3+5=8
4 + 9 ≠ 12
mindre än < använder du när det som står till vänster om tecknet är mindre än det som står till höger
större än > använder du när det som står till vänster om tecknet är större än det som står till höger
16 – 8 < 9
24 > 3 __ 6
Sist får de pröva ekvationslösningar. Pröva och se om du förstår Vilket tecken kan stå istället för frågetecknet?
Kommentarer till faktarutan I faktarutan presenterar vi symbolerna för olikheter; inte lika med ≠, mindre än < och större än >. Genom att jobba med likhetstecknet tillsammans med dessa symboler tror vi eleverna får en större kunskap om likhetstecknets innebörd. Alltså att det som står på vänster sida om likhetstecknet ska vara lika med det som står på höger sida om likhetstecknet. Ge gärna eleverna fler exempel att träna på, till exempel: 20 + 7 = 27
9 + 6 ? 18 Jämför och resonera.
Byt ut frågetecknet mot likhetstecknet = eller tecknet för är inte lika med ≠.
1
a) 8 + 6 ? 15
b) 439 + 7 ? 446
c) 61 – 3 ? 57
d) 118 – 8 ? 108
2
a) 8 · 3 ? 24
b) 4 · 4 ? 12
25 ? 5 c) ___ 5
36 ? 9 d) ___ 6
3
a) 7 + 4 ? 13
b) 19 + 7 ? 29
c) 89 + 7 ? 101
d) 78 + 6 ? 83
4
a) 15 – 7 ? 9
b) 62 – 8 ? 57
c) 143 – 8 ? 132
d) 502 – 4 ? 501
b) 7 · 3 ? 20
32 ? 6 c) ___
42 ? 4 d) ___ 7
Byt ut frågetecknet mot mindre än < eller större än >.
5
a) 4 · 6 ? 28
8
8 • ekvationer, uttryck och mönster
32 – 8 ≠ 5 22 – 3 < 20 34 – 6 > 25
Pröva och se om du förstår Här kan eleverna först pröva själva och sedan jämföra med andra för att till sist resonera i helklass. Istället för frågetecknet kan det stå < eller ≠.
Aktivitet Låt eleverna i par skriva fyra egna uppgifter där det saknas = eller ≠ och fyra egna uppgifter där det saknas < eller >. Låt paren byta uppgifter med varandra och sätta in rätt tecken. Låt sedan eleverna visa varandra sina lösningar för att se om de har gjort rätt.
12 • ekvationer, uttryck och mönster
10-31_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 12
2018-09-20 12:18
Likheter I en likhet ska det som står till vänster om likhetstecknet vara lika stort som det som står till höger om likhetstecknet.
15 + 4 = ? + 7
För att höger sida också ska vara 19 saknas talet 12.
För att ta reda på det som fattas i likheten kan du tänka så här:
Kommentarer till faktarutan
15 + 4 = ? + 7
På vänster sida är det 19.
15 + 4 =
6
6
Ekvationer
15 + 4 = 12 + 7
+7
Pröva och se om du förstår Räkna ut talet som fattas. 63 = 4 + ? ___ 9
Räkna ut talet som fattas.
6
a) 8 + 6 = ?
b) 9 + ? = 15
c) ? = 7 + 8
7
a) 13 – 7 = ?
b) 16 – ? = 9
c) ? – 5 = 8
d) ? = 12 – 9
8
a) ? + 8 = 6 + 7
b) 4 + ? = 1 + 31
c) 18 + 4 = 17 + ?
d) 8 + 3 = ? + 6
9
a) 15 – 1 = 17 – ?
b) 23 – ? = 25 – 7
c) ? – 6 = 8 – 5
d) 13 – 4 = ? – 2
10
a) 18 + ? = 27 – 2
b) 16 – 8 = 5 + ?
c) 7 + 4 = 13 – ?
d) 14 – 6 = ? + 3
11
63 = 3 · ? a) ___ 7
b) 6 · 6 = 9 · ?
c) ? · 4 = 8 · 3
24 d) ? · 2 = ___ 3
d) ? + 7 = 13
I faktarutan visar vi mer om likheter. En v anlig missuppfattning är att likhetstecknet visar vad ett uttryck ”blir”. Innan vi visar e kvationer vill vi att eleverna förstår att en likhet i nnebär att det som står till vänster om likhetstecknet är lika mycket som det som står till höger om likhetstecknet. Uppmärksamma gärna eleverna på att de alltid måste läsa från vänster till höger på varje sida om likhetstecknet, så att de tänker ”femton minus någonting är åtta” (8 = 15 – ? ), istället för det felaktiga ”någonting minus femton är åtta”. Visa gärna fler exempel än det i faktarutan: 6 = 13 – ? 14 – 6 = 7 + ?
? · 5 = 18 + 2
ekvationer, uttryck och mönster • 9
Pröva och se om du förstår Vi rekommenderar att eleverna skriver svaren till de Pröva och se om du förstår-uppgifter som klassen inte gör gemensamt. Istället för frågetecknet ska det stå 3.
Aktivitet Låt eleverna skriva fem likheter var som de byter med en kamrat. Sedan löser de varandras ekvationer. Här kan du upptäcka hur väl de har förstått innehållet på sidan, så samla gärna in och utgå från deras eventuella missuppfattningar nästa lektion.
Arbetsblad 6:1
10-31_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 13
ekvationer, uttryck och mönster • 13
2018-09-20 12:18
Bedömning
Bedömning i Koll på matematik I arbetet med Koll på matematik uppmanar vi till ett förhållningssätt där du bedömer eleverna dagligen och anpassar undervisningen efter elevernas behov. Det kan till exempel vara att stanna upp och träna på ett visst moment genom en aktivitet, hoppa över något avsnitt som du märker att klassen redan har tillräckliga kunskaper i eller lägga till en egen övning för att ytterligare verklighetsanknyta. Eleverna får i Koll på matematik möjlighet att tre gånger i varje kapitel göra en själv bedömning (se Matte kollen sidan 156).
Kapitel 6
6
Namn:
Mattekollen 2 Kunskaper
Osäker
Ganska Säker säker
Exempel
Använda tecknen
=≠><
Lösa ekvationer
Skriva och tolka uttryck
Beräkna värdet av ett uttryck
Ekvationer, uttryck och mönster På väg mot godtagbar nivå
Godtagbar/E-nivå
Högre nivå
Eleven:
Problemlösning
DD beskriver geometriska mönster med ord
f
DD tolkar resultat och drar någon relevant slutsats
8b
8c
Eleven:
DD skriver algebraiska uttryck, till exempel omkretsen av en kvadrat
med sidan x skrivs 4 ∙ x eller två mindre än x skrivs x – 2
Eleven visar, använder och uttrycker kunskaper om: DD kapitlets begrepp
Begrepp
DD skillnaden mellan likhet (=), inte lika med (≠) och olikhet (>, <)
f
DD att obekanta tal kan betecknas med en symbol till exempel att en
bokstav, en variabel, kan anta olika värden
DD enkla algebraiska uttryck till exempel att 2 + a har olika värde
beroende på värdet av a
1a, 1b, 1c, 2a, 2b, 2c, 5a, 6, 7a Eleven:
DD använder likhetstecknet korrekt, det vill säga vänster och höger led
är olika uttryck för samma tal
DD beräknar värdet av ett enkelt uttryck, till exempel värdet av a + 7 då
a = 6 eller a = 9
DD ritar nästa figur i ett påbörjat mönster
Visa, använda och uttrycka kunskaper om
Metod
En del av den formativa bedömningen kan vara själv bedömning. Det är viktigt att göra eleverna medvet na om sitt eget lärande. Det kan innebära att använ da eleverna som resurser för varandra, vilket då inne fattar samarbete och att stötta och lära av varandra. Genom detta hjälper vi dem att utveckla sin egen förmåga att be om hjälp och förklara vad de tycker är svårt.
För att lättare kunna se vad som ska bedömas, göra en likvärdig bedömning och för att enkelt kunna återkoppla till eleverna finns det till varje kapitel en bedömningsmatris. Där är det centrala innehållet för kapitlet nedbrutet utifrån förmågorna. För årkurs 4 och 5 är Godtagbar/E-nivå beskrivet. För årskurs 6 finns E-, C-, och A-nivå Bedömningsmatriser 6–10 beskrivna. Vi tror att Bedömningsmatris kapitel 6 det är bra att redan i årskurs 5 visa för elev er och föräldrar att kunskaperna bedöms mot de matematiska förmågorna. Precis som i kunskapskraven i matematik har vi valt att sätta ihop kommu nikations- och resone mangsförmågorna till en förmåga. f
DD någon informell metod för att lösa enkla ekvationer
DD hur en lösning till en enkel ekvation kan kontrolleras genom pröv35 = 7 ning, till exempel att x = 5 är en lösning till ekvationen ___
x
3a, 3b, 3c, 4a, 4b, 5b, 7b, 8a
3d, 7c
Eleven:
DD motiverar varför en lösning till en ekvation inte stämmer, till
Kommunikation och resonemang
Forskning säger att formativ bedömning ger den bästa effekten på elevers kunskapsutveckling. For mativ bedömning handlar om var eleverna är i sin utveckling, vart de ska och hur de ska komma dit. Bedömningen blir formativ när resultatet används för att forma lärandet och anpassa undervisningen till att motsvara behovet hos eleverna. Det är de små for mativa bedömningarna som har visat sig ge de stora effekterna. Det handlar om en daglig anpassning av undervisningen, till exempel att du som lärare ser att eleven inte förstått ett moment och då ger den fler utmanande frågor eller ytterligare material att arbe ta med. Det kan också vara att elever ska hoppa över uppgifter då du ser att den redan behärskar momen tet så att de i stället kan fördjupa sina kunskaper.
f
exempel 2 + 5 < 3 + 8
DD beskriver/redovisar kunskaper om likheter, obekanta tal, ekvationer
och geometriska mönster med olika uttrycksformer, till exempel med bilder, ord och/eller matematiska symboler och växlar mellan dessa
DD ställer frågor, framför och bemöter matematiska resonemang om
likheter, obekanta tal, ekvationer och geometriska mönster
4b
f = Uppgift från test 6
bedömning • 173
Kapiteltest Till varje kapitel finns ett test. Där får eleverna visa sina kunskaper utifrån kapitlets innehåll och de matematiska förmågorna på olika nivå. I bedöm ningsmatrisen kan du se vilken förmåga vi anser att frågorna testar. Till varje test finns även en bedöm ningsanvisning där vi på vissa frågor beskrivit vad som krävs för att visa kunskaper på E-nivå respektive högre nivå. Testerna och bedömningsanvisningarna finns på sidan 178. Den formativa bedömningen innehåller ett förslag till fortsatt handlande. Vi rekommenderar därför att du återkopplar resultatet av testerna med kommen tarer i stället för poäng, till exempel med hjälp av bedömningsmatrisen. Eleverna behöver veta vad de kan göra för att förbättra sig och hur de ska gå till väga för att utveckla sina matematiska förmågor och kunskaper.
Ritar nästa figur i ett mönster Beskriva mönster med ord Förstå och använda kapitlets matematiska begrepp Så här arbetar jag vidare: Använda tecknen = ≠ > <
Träna mera s. 26
Fördjupning s. 29–30
s. 26
Projekt
Skriva och tolka uttryck
s. 27–28
s. 136–137
Beräkna värdet av ett uttryck
s. 27–28
Lösa ekvationer
Ritar nästa figur i ett mönster
s. 28
Beskriva mönster med ord
s. 28
Begrepp och metoder
s. 31
Egen reflektion:
kopiering tillåten © sanoma Utbildning ab Koll på matematik 5B
01-09_Koll_pa_matematiken_5B_LH.indd 9
mattekollen • 159
Välkommen till Lärarguiden • 9
2018-09-20 11:57
5B Lärarguide
Koll på matematik är ett läromedel för årskurs 1–6. Med Koll på matematik 4–6 arbetar eleven utifrån Lgr 11, mot kunskapskraven i årskurs 6. Stor vikt läggs på att eleven ska ha möjlighet att utveckla samtliga matematiska förmågor. Läromedlet ger även eleven förutsättningar att bli medveten om sin kunskapsutveckling genom självbedömning. Koll på matematik 5B består av en elevbok, en läxbok och en lärarguide.
Heléne Dalsmyr (t v) är legitimerad lärare för åk 1–7 i matematik och NO. Heléne har varit matematikutvecklare i Nässjö kommun sedan år 2007. Hon är även matematikhandledare i Matematiklyftet. Eva Björklund (t h) är legitimerad lärare i matematik för Fsk- åk 9 och NO åk 1–7. Eva har varit matematikutvecklare i flera kommuner sedan starten år 2006. Hon har även under flera år föreläst om sina metoder i matematikundervisning. Eva Björklund tilldelades år 2014 Ingvar Lindqvist priset för inspirerande arbete i matematik.
ISBN 978-91-523-3371-6
KollpaMatematik_5B_LG_omslag_ORIG.indd 1
2017-03-14 13:37