matematik Kerstin Olofsson Verner Gerholm
1a
Smak prov !
Innehåll 1 Matematik i vardag och yrkesliv
3 Algebra och ekvationer 6
1.1 Matematik i vardag och yrkesliv. . . . . . . . . . . . 8 Tumregler 8 Att tolka manualer, tabeller och scheman 12
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Tal
20
2.1 De fyra räknesätten
och prioriteringsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Prioriteringsregler 22 Parenteser 25
2.2 Negativa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Addition och subtraktion med negativa tal 28 Multiplikation och division med negativa tal 31
2.3 Positionssystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tal i decimalform 35 Avrundning 39 Uppskattning och överslagsräkning 43
2.4 Bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bråk 46 Förhållande 50 Addition och subtraktion av bråk 54 Multiplikation av bråk 57 Division av bråk 60
2.5 Potenser och prefix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Potenser 63 Tiopotenser 66 Prefix 69
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
84
3.1 Formler och uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Vad är en ekvation? 106 Ekvationslösningens grunder 109 Mer om ekvationslösning 112 Problemlösning med hjälp av ekvationer 115 Att lösa ut ur formler 119 122 124 126 127 130 132
4.1 Procent och procentberäkningar
.........
134
Procent – ett sätt att skriva hundradelar 134 Andelen, delen och det hela 138 Huvudräkning med procent 142 Promille och ppm 146
4.2 Procentuella förändringar
................
149
Förändringsfaktor 149 Förändring i flera steg 152 Procentenheter 156
.............
........................
Index och KPI 159 Ränta 164 Lån och kreditköp 166 Lån och ränta med kalkylprogram 168 170 172 174 175 178
244
Koordinatsystemet 246 Tolka grafer 252 197
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.1 Enkla slumpförsök
samband
7.1 Grafer och koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . 246
Statistik med kalkylprogram 197
6 Sannolikhetslära
7 Linjära och exponentiella
212 214
Sannolikheten för en händelse 214 Att bestämma sannolikhet med experiment 219
6.2 Slumpförsök i flera steg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Träddiagram 223 Beroende och oberoende händelser 228 Komplementhändelse 232
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.2 Linjära och exponentiella samband . . . . . . 255 Linjära samband 255 Proportionalitet 261 Exponentiella samband 266 Matematiska modeller 270
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8 Geometri och bevis
282
8.1 Omkrets, area och volym . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Omkrets och area 284 Volym 289 Enhetsomvandlingar 294 Kvadrater och kvadratrötter 297
Vinklar, månghörningar och symmetri 300 Olika slags vinklar 300 Vinklar i månghörningar 303 Skala 306 Likformighet och kongruens 309 Symmetri 312
8.2 P
8.3 P
Trigonometri
...........................
316
Pythagoras sats 316 Tangens 319 Sinus och cosinus 322 Beräkna vinklar 325
8.3 P
4.3 Procentberäkningar i samhället . . . . . . . . . . 159
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Tolka och granska statistik . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.2 Statistik med kalkylprogram
3.2 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Procent
180
Tolka tabeller och diagram 182 Lägesmått 188 Statistiska felkällor och missvisande diagram 193
Arbeta med uttryck och formler 86 Ställa upp och tolka uttryck och formler 90 Att göra uttryck enklare 94 Uttryck med parenteser 96 Mönster och formler 99 Formler i kalkylprogram 102
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Statistik
Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Vad är en vektor? 329 Addition av vektorer 333 Vinkelräta komposanter 336
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Facit
352
Register
390
Innehåll 1 Matematik i vardag och yrkesliv
3 Algebra och ekvationer 6
1.1 Matematik i vardag och yrkesliv. . . . . . . . . . . . 8 Tumregler 8 Att tolka manualer, tabeller och scheman 12
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Tal
20
2.1 De fyra räknesätten
och prioriteringsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Prioriteringsregler 22 Parenteser 25
2.2 Negativa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Addition och subtraktion med negativa tal 28 Multiplikation och division med negativa tal 31
2.3 Positionssystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tal i decimalform 35 Avrundning 39 Uppskattning och överslagsräkning 43
2.4 Bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bråk 46 Förhållande 50 Addition och subtraktion av bråk 54 Multiplikation av bråk 57 Division av bråk 60
2.5 Potenser och prefix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Potenser 63 Tiopotenser 66 Prefix 69
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
84
3.1 Formler och uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Vad är en ekvation? 106 Ekvationslösningens grunder 109 Mer om ekvationslösning 112 Problemlösning med hjälp av ekvationer 115 Att lösa ut ur formler 119 122 124 126 127 130 132
4.1 Procent och procentberäkningar
.........
134
Procent – ett sätt att skriva hundradelar 134 Andelen, delen och det hela 138 Huvudräkning med procent 142 Promille och ppm 146
4.2 Procentuella förändringar
................
149
Förändringsfaktor 149 Förändring i flera steg 152 Procentenheter 156
.............
........................
Index och KPI 159 Ränta 164 Lån och kreditköp 166 Lån och ränta med kalkylprogram 168 170 172 174 175 178
244
Koordinatsystemet 246 Tolka grafer 252 197
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.1 Enkla slumpförsök
samband
7.1 Grafer och koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . 246
Statistik med kalkylprogram 197
6 Sannolikhetslära
7 Linjära och exponentiella
212 214
Sannolikheten för en händelse 214 Att bestämma sannolikhet med experiment 219
6.2 Slumpförsök i flera steg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Träddiagram 223 Beroende och oberoende händelser 228 Komplementhändelse 232
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.2 Linjära och exponentiella samband . . . . . . 255 Linjära samband 255 Proportionalitet 261 Exponentiella samband 266 Matematiska modeller 270
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8 Geometri och bevis
282
8.1 Omkrets, area och volym . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Omkrets och area 284 Volym 289 Enhetsomvandlingar 294 Kvadrater och kvadratrötter 297
Vinklar, månghörningar och symmetri 300 Olika slags vinklar 300 Vinklar i månghörningar 303 Skala 306 Likformighet och kongruens 309 Symmetri 312
8.2 P
8.3 P
Trigonometri
...........................
316
Pythagoras sats 316 Tangens 319 Sinus och cosinus 322 Beräkna vinklar 325
8.3 P
4.3 Procentberäkningar i samhället . . . . . . . . . . 159
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Tolka och granska statistik . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.2 Statistik med kalkylprogram
3.2 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Procent
180
Tolka tabeller och diagram 182 Lägesmått 188 Statistiska felkällor och missvisande diagram 193
Arbeta med uttryck och formler 86 Ställa upp och tolka uttryck och formler 90 Att göra uttryck enklare 94 Uttryck med parenteser 96 Mönster och formler 99 Formler i kalkylprogram 102
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Statistik
Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Vad är en vektor? 329 Addition av vektorer 333 Vinkelräta komposanter 336
Samhälle och yrkesliv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Koll på kapitlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Facit
352
Register
390
1
Matematik i vardag och yrkesliv Håll ut!
När du är klar med kapitlet ska du kunna använda tumregler vid beräkningar konstruera enkla tumregler avläsa och tolka diagram och tabeller ur exempelvis manualer och handböcker
Det finns en tumregel som säger att när en person står med utsträckta armar, så är avståndet mellan fingertopparna detsamma som personens längd. I den här aktiviteten ska du undersöka om den tumregeln stämmer.
Du ska kunna Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
Arbeta i en grupp om 3–4 personer. Ni behöver en tumstock eller ett måttband. Välj ut 5 personer i klassen. Mät varje persons längd och för in resultaten i en tabell. Mät avståndet mellan fingertopparna när varje person har armarna utsträckta åt sidorna. För in resultaten i tabellen. Längd (cm) Avstånd mellan fingertopparna (cm) Person 1 Person 2 Person 3 Person 4 Person 5
Hur väl stämmer tumregeln? Om tumregeln inte stämmer, kan ni komma på en bättre tumregel? Inledande aktivitet De inledande aktiviteterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om. Aktiviteterna är utmärkta verktyg för att undersöka elevernas förkunskaper.
6
Steglängd Olika personer tar olika långa steg. Hur långa steg tar du? Formulera en tumregel för din egen steglängd.
7
1
Matematik i vardag och yrkesliv Håll ut!
När du är klar med kapitlet ska du kunna använda tumregler vid beräkningar konstruera enkla tumregler avläsa och tolka diagram och tabeller ur exempelvis manualer och handböcker
Det finns en tumregel som säger att när en person står med utsträckta armar, så är avståndet mellan fingertopparna detsamma som personens längd. I den här aktiviteten ska du undersöka om den tumregeln stämmer.
Du ska kunna Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
Arbeta i en grupp om 3–4 personer. Ni behöver en tumstock eller ett måttband. Välj ut 5 personer i klassen. Mät varje persons längd och för in resultaten i en tabell. Mät avståndet mellan fingertopparna när varje person har armarna utsträckta åt sidorna. För in resultaten i tabellen. Längd (cm) Avstånd mellan fingertopparna (cm) Person 1 Person 2 Person 3 Person 4 Person 5
Hur väl stämmer tumregeln? Om tumregeln inte stämmer, kan ni komma på en bättre tumregel? Inledande aktivitet De inledande aktiviteterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om. Aktiviteterna är utmärkta verktyg för att undersöka elevernas förkunskaper.
6
Steglängd Olika personer tar olika långa steg. Hur långa steg tar du? Formulera en tumregel för din egen steglängd.
7
Promille och ppm
Exempel: För att ett livsmedel ska få kallas glutenfritt, måste andelen gluten
I informationsbladet till en medicin brukar det stå hur vanligt det är med vissa biverkningar. Det kan se ut så här:
ligga under 20 ppm. En maträtt som väger 349 gram innehåller 0,1 gram gluten. Klarar den gränsvärdet?
1 av 10: Dåsighet, yrsel 1 av 100: Allmän sjukdomskänsla, huvudvärk 1 av 1 000: Värk i leder och muskler, sömnsvårigheter 1 av 1 000 000: Synrubbningar, kramper, svimningsanfall
Procent
Lösning: Vi beräknar andelen gluten. 0,1 delen andelen = _______ = ____ ≈ 0,000 29 = 290 ppm det hela 349 0,000 29 = 0,000 290
Svar: Nej, maträtten får inte kallas glutenfri.
Andelen patienter som drabbas av huvudvärk är 1 på 100, dvs. 1 procent. 1 ____ = 0,01 = 1 % 100
Promille Teori och exempel
Andelen som drabbas av sömnsvårigheter är bara 1 på 1 000. För att ange så små andelar använder man ordet promille, som betyder tusendel. Att veta vad matematiken används till skapar motivation. I både teori Tecknet för promille är ‰. och exempel ger vi exempel på 1 1 ‰ = 0,1 % matematikens relevans. Teori- _____ = 0,001 = 1 ‰ 1 000 genomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa, utan att för den ppm Ännu mer ovanligt är det att patienterna får kramper. Det drabbar i skull väja för det som är svårt. genomsnitt bara en på miljonen. För att ange så små andelar använder Exemplen är rikligt kommenterade man ordet ppm. Det kommer från engelskans parts per million och och har utförliga förklaringar.
betyder miljondelar miljondelar.
1 ________ = 0,000 001 = 1 ppm
1 ppm = 0,001 ‰ = 0,0001 %
1 000 000
Procent, promille och ppm är alltså olika sätt att uttrycka andelar.
Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.
0,001
800 ppm
0,9 %
8‰
NIVÅ 1 4151 Skriv i decimalform a) 5 ‰
b) 50 ‰
c) 500 ‰
d) 0,5 ‰
a) 4 % av 500 gram b) 4 ‰ av 500 gram
Lösning: Vi skriver andelarna i decimalform och beräknar delen med hjälp av sambandet delen = andelen · det hela.
b) 0,073
c) 0,0012
d) 0,6 %
a) 7 ppm
b) 38 ppm
c) 905 ppm
d) 4 300 ppm
Starter. Det är ofta en uppgift av öppen karaktär som bjuder in till 4156 och Hursvar. mycket olika lösningar Inte är sällan är uppgiften konstruerad a) 8 ‰ av 1 000 kr för att ge möjlighet att diskutera vanliga missuppfattningar. b) 1 ppm av 2 000 000 kr
b) 2,5 ‰ av 65 000 kr c) 3,5 ppm av 3,5 miljoner kr
4158 Hur många promille är a) 6 kg av 3 000 kg b) 15 meter av 20 000 meter
a) 0,04 · 500 g = 20 g
4 % = 0,04
b) 0,004 · 500 g = 2 g
4 ‰ = 0,004
a) 0,000 009
b) 0,000 436
c) 0,000 004 · 500 g = 0,002 g
4 ppm = 0,000 004
c) 0,000 2
d) 5 ‰
procent . procent och procentberäkningar
4% 40 % 4‰ 0,4 ‰ 4 ppm
a) 14 ‰ av 3 500 kr
a) 0,004
4153 Skriv i decimalform
c) 4 ppm av 500 gram
0,0004 0,004 0,04 0,4 Starter 0,000 004 Uppgifterna inleds med en
4157 Beräkna
4152 Skriv som promille
Exempel: Beräkna
146
4155 Para ihop de tal som är lika stora.
Starter
4154 Skriv som ppm
4159 Vad är mest: 7 ‰ av 8 000 eller 9 ppm av 6 miljoner?
procent . procent och procentberäkningar
147
Promille och ppm
Exempel: För att ett livsmedel ska få kallas glutenfritt, måste andelen gluten
I informationsbladet till en medicin brukar det stå hur vanligt det är med vissa biverkningar. Det kan se ut så här:
ligga under 20 ppm. En maträtt som väger 349 gram innehåller 0,1 gram gluten. Klarar den gränsvärdet?
1 av 10: Dåsighet, yrsel 1 av 100: Allmän sjukdomskänsla, huvudvärk 1 av 1 000: Värk i leder och muskler, sömnsvårigheter 1 av 1 000 000: Synrubbningar, kramper, svimningsanfall
Procent
Lösning: Vi beräknar andelen gluten. 0,1 delen andelen = _______ = ____ ≈ 0,000 29 = 290 ppm det hela 349 0,000 29 = 0,000 290
Svar: Nej, maträtten får inte kallas glutenfri.
Andelen patienter som drabbas av huvudvärk är 1 på 100, dvs. 1 procent. 1 ____ = 0,01 = 1 % 100
Promille Teori och exempel
Andelen som drabbas av sömnsvårigheter är bara 1 på 1 000. För att ange så små andelar använder man ordet promille, som betyder tusendel. Att veta vad matematiken används till skapar motivation. I både teori Tecknet för promille är ‰. och exempel ger vi exempel på 1 1 ‰ = 0,1 % matematikens relevans. Teori- _____ = 0,001 = 1 ‰ 1 000 genomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa, utan att för den ppm Ännu mer ovanligt är det att patienterna får kramper. Det drabbar i skull väja för det som är svårt. genomsnitt bara en på miljonen. För att ange så små andelar använder Exemplen är rikligt kommenterade man ordet ppm. Det kommer från engelskans parts per million och och har utförliga förklaringar.
betyder miljondelar miljondelar.
1 ________ = 0,000 001 = 1 ppm
1 ppm = 0,001 ‰ = 0,0001 %
1 000 000
Procent, promille och ppm är alltså olika sätt att uttrycka andelar.
Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.
0,001
800 ppm
0,9 %
8‰
NIVÅ 1 4151 Skriv i decimalform a) 5 ‰
b) 50 ‰
c) 500 ‰
d) 0,5 ‰
a) 4 % av 500 gram b) 4 ‰ av 500 gram
Lösning: Vi skriver andelarna i decimalform och beräknar delen med hjälp av sambandet delen = andelen · det hela.
b) 0,073
c) 0,0012
d) 0,6 %
a) 7 ppm
b) 38 ppm
c) 905 ppm
d) 4 300 ppm
Starter. Det är ofta en uppgift av öppen karaktär som bjuder in till 4156 och Hursvar. mycket olika lösningar Inte är sällan är uppgiften konstruerad a) 8 ‰ av 1 000 kr för att ge möjlighet att diskutera vanliga missuppfattningar. b) 1 ppm av 2 000 000 kr
b) 2,5 ‰ av 65 000 kr c) 3,5 ppm av 3,5 miljoner kr
4158 Hur många promille är a) 6 kg av 3 000 kg b) 15 meter av 20 000 meter
a) 0,04 · 500 g = 20 g
4 % = 0,04
b) 0,004 · 500 g = 2 g
4 ‰ = 0,004
a) 0,000 009
b) 0,000 436
c) 0,000 004 · 500 g = 0,002 g
4 ppm = 0,000 004
c) 0,000 2
d) 5 ‰
procent . procent och procentberäkningar
4% 40 % 4‰ 0,4 ‰ 4 ppm
a) 14 ‰ av 3 500 kr
a) 0,004
4153 Skriv i decimalform
c) 4 ppm av 500 gram
0,0004 0,004 0,04 0,4 Starter 0,000 004 Uppgifterna inleds med en
4157 Beräkna
4152 Skriv som promille
Exempel: Beräkna
146
4155 Para ihop de tal som är lika stora.
Starter
4154 Skriv som ppm
4159 Vad är mest: 7 ‰ av 8 000 eller 9 ppm av 6 miljoner?
procent . procent och procentberäkningar
147
3103 Beräkna värdet av y i formeln y = 20x + 50 när
3107 Med hjälp av formeln V = π · r2 · h kan man beräkna volymen av en cylinder med radien r och höjden h. Vilka två beräkningar ger volymen av cylindern i figuren?
a) x = 1 b) x = 0
4
c) x = –0,5
3104 Omkretsen av triangeln kan beräknas med
(cm)
12
uttrycket 2x + 7. Hur stor är omkretsen om x = 12?
V = π ∙ 4 ∙ 2 ∙ 12 V = π ∙ 42 ∙ 12 V = π ∙ 12 ∙ 12 ∙ 4 V = π ∙ 122 ∙ 4 V = π ∙ 4 ∙ 4 ∙ 12
(cm) x
3108 Beräkna värdet av uttrycken när Uppgifter på tre nivåer a = –3 och b = 6.
x
7
3105 Vilka av alternativen i rutan är
Till varje avsnitt finns rikligt med a)som 2a + b uppgifter, både för den elev behöver enkla ingångar och för den elev som behöver c) ab utmaningar.
b) a – b b d) __ a
3109 Uttrycken 3 + a och 3a ser ganska lika ut.
a) formler
a) Vad är skillnaden mellan dem?
b) algebraiska uttryck
b) Vad är värdet av uttrycken om a = 5?
y = 2x – 3
2x – 3 3a + 5b
U=R∙I
c) Är 3a alltid större än 3 + a ?
71nn 3110 Om man säljer a produkter som kostar p 3106 Kostnaden K kronor för att hyra en moped i Thailand x dagar kan man beräkna med formeln K = 150 + 50x.
kronor kan man beräkna intäkten I kr med formeln
3112 Jämför uttrycken x2 och 2x. a) Förklara vad som skiljer uttrycken åt. b) Vad är värdet av x2 och vad är värdet av 2xx om x = 3? c) Är x2 alltid större än 2x?
Förstoringsglas Uppgifter märkta med förstorings-
3113 Stoppsträckan sm för en personbil med glas är uppgifter där eleverna själva hastigheten vfår km/h ärpås eller = 0,037 · v2. den ta reda uppskatta information som saknas.
a) Beräkna stoppsträckan en bil med Uppgifterna övarför modelleringshastigheten 50 km/h. förmågan och lämpar sig för helklassarbete, eftersom olika b) En tumregel säger att om hastigheten antaganden leder till olika svar.
fördubblas, så fyrdubblas stoppsträckan. Undersök med ett räkneexempel om tumregeln stämmer.
71nn 3114 Kostnaden för att åka taxi kan beräknas med formeln K = 45 + 11x + 500y där K är kostnaden i kronor, x är antalet kilometer och y är tiden i timmar. Vad skulle det kosta att åka taxi från skolan hem till dig?
71nn 3115 Vattnets kokpunkt ändras med höjden över havet. Den kan beräknas med formeln t = 100 – 3,8h där t är kokpunkten i grader Celsius och h är höjden över havet i kilometer. Äggvita koagulerar vid temperaturen 68 grader. Är det möjligt att koka ägg på toppen av Mount Everest?
NIVÅ 3 3116 Beräkna värdet av uttrycken för x = –2, y = 1 och z = –3. a) x2 + 3xy – z2 b) 2xz + 5y – z3
71nn 3117 En gris som väger x kg ska enligt jordbruksverket ha möjlighet att röra sig på en yta som är minst y m2 där x y = 0,20 + ___ 84 a) Hur stort utrymme behöver en gris som väger 50 kg? b) En bonde har en yta på 30 m2. Hur många grisar kan han ha där?
I=p·a
a) Vad kostar det att hyra en moped 3 dagar?
a) Beräkna intäkten om man säljer 1 500 produkter till priset 299 kr.
b) Vad kostar det att hyra en moped 3 veckor?
b) Ge förslag på vilka värden a och p kan ha om I = 100 000.
NIVÅ 2 3111 Beräkna värdet av uttrycken för a = 3 och b = –2. a) a – b b) 2a – 3b c) ab + b2
88
algebra och ekvationer . formler och uttryck
algebra och ekvationer . formler och uttryck
89
3103 Beräkna värdet av y i formeln y = 20x + 50 när
3107 Med hjälp av formeln V = π · r2 · h kan man beräkna volymen av en cylinder med radien r och höjden h. Vilka två beräkningar ger volymen av cylindern i figuren?
a) x = 1 b) x = 0
4
c) x = –0,5
3104 Omkretsen av triangeln kan beräknas med
(cm)
12
uttrycket 2x + 7. Hur stor är omkretsen om x = 12?
V = π ∙ 4 ∙ 2 ∙ 12 V = π ∙ 42 ∙ 12 V = π ∙ 12 ∙ 12 ∙ 4 V = π ∙ 122 ∙ 4 V = π ∙ 4 ∙ 4 ∙ 12
(cm) x
3108 Beräkna värdet av uttrycken när Uppgifter på tre nivåer a = –3 och b = 6.
x
7
3105 Vilka av alternativen i rutan är
Till varje avsnitt finns rikligt med a)som 2a + b uppgifter, både för den elev behöver enkla ingångar och för den elev som behöver c) ab utmaningar.
b) a – b b d) __ a
3109 Uttrycken 3 + a och 3a ser ganska lika ut.
a) formler
a) Vad är skillnaden mellan dem?
b) algebraiska uttryck
b) Vad är värdet av uttrycken om a = 5?
y = 2x – 3
2x – 3 3a + 5b
U=R∙I
c) Är 3a alltid större än 3 + a ?
71nn 3110 Om man säljer a produkter som kostar p 3106 Kostnaden K kronor för att hyra en moped i Thailand x dagar kan man beräkna med formeln K = 150 + 50x.
kronor kan man beräkna intäkten I kr med formeln
3112 Jämför uttrycken x2 och 2x. a) Förklara vad som skiljer uttrycken åt. b) Vad är värdet av x2 och vad är värdet av 2xx om x = 3? c) Är x2 alltid större än 2x?
Förstoringsglas Uppgifter märkta med förstorings-
3113 Stoppsträckan sm för en personbil med glas är uppgifter där eleverna själva hastigheten vfår km/h ärpås eller = 0,037 · v2. den ta reda uppskatta information som saknas.
a) Beräkna stoppsträckan en bil med Uppgifterna övarför modelleringshastigheten 50 km/h. förmågan och lämpar sig för helklassarbete, eftersom olika b) En tumregel säger att om hastigheten antaganden leder till olika svar.
fördubblas, så fyrdubblas stoppsträckan. Undersök med ett räkneexempel om tumregeln stämmer.
71nn 3114 Kostnaden för att åka taxi kan beräknas med formeln K = 45 + 11x + 500y där K är kostnaden i kronor, x är antalet kilometer och y är tiden i timmar. Vad skulle det kosta att åka taxi från skolan hem till dig?
71nn 3115 Vattnets kokpunkt ändras med höjden över havet. Den kan beräknas med formeln t = 100 – 3,8h där t är kokpunkten i grader Celsius och h är höjden över havet i kilometer. Äggvita koagulerar vid temperaturen 68 grader. Är det möjligt att koka ägg på toppen av Mount Everest?
NIVÅ 3 3116 Beräkna värdet av uttrycken för x = –2, y = 1 och z = –3. a) x2 + 3xy – z2 b) 2xz + 5y – z3
71nn 3117 En gris som väger x kg ska enligt jordbruksverket ha möjlighet att röra sig på en yta som är minst y m2 där x y = 0,20 + ___ 84 a) Hur stort utrymme behöver en gris som väger 50 kg? b) En bonde har en yta på 30 m2. Hur många grisar kan han ha där?
I=p·a
a) Vad kostar det att hyra en moped 3 dagar?
a) Beräkna intäkten om man säljer 1 500 produkter till priset 299 kr.
b) Vad kostar det att hyra en moped 3 veckor?
b) Ge förslag på vilka värden a och p kan ha om I = 100 000.
NIVÅ 2 3111 Beräkna värdet av uttrycken för a = 3 och b = –2. a) a – b b) 2a – 3b c) ab + b2
88
algebra och ekvationer . formler och uttryck
algebra och ekvationer . formler och uttryck
89
Formler i kalkylprogram Exempel
Summa
Sixten vill beräkna lagrets totala värde genom att summera värdena i kolumn D. I cell D8 skriver han formeln
När man gör beräkningar med datorer använder man ofta kalkylprogram. Då sparar man mycket tid på att använda sig av formler.
=D2+D3+D4+D5+D6
Sixten har en frisersalong och har inventerat sitt lager för att se hur mycket det är värt. I kalkylbladet ser du ett utdrag av inventeringen.
När han trycker på Retur ser han att lagrets totala värde är 4 017 kr.
Många kalkylprogram har de vanligaste formlerna förprogrammerade, t.ex. formeln för summa.
Kolumner namnges med bokstäver.
Rader namnges med siffror.
Nya kursplaner I den nya ämnesplanen i Matematik 1a, finns ett tydligare fokus på digitala verktyg. Matematik Origo 1a är utvecklad i enlighet med den nya ämnesplanen.
En ruta kallas för en cell. I cell C3 står det 42.
= D2 + D3 + D4 + D5 + D6
Infoga formel
Sixten vill beräkna vad produkterna har kostat i inköp. För att göra det behöver han multiplicera antalet i kolumn B med inköpspriset i kolumn C för varje produkt. I cell D2 skriver han formeln =B2*C2
I ett kalkylprogram börjar en formel alltid med ett likhetstecken.
När han trycker på Retur dyker värdet 23 · 34 = 782 upp i ruta D2. Sixten tar tag i cellens kant och drar nedåt. Då beräknas motsvarande värden även i de andra raderna.
Exempel: Irfan är plattsättare. Han vill snabbt kunna räkna ut hur många kakelplattor som behövs när han ska kakla en vägg. Han vet att det går åt 45 standardplattor per kvadratmeter. Vilken formel ska stå i cell B3?
Lösning: Vi beräknar först arean av väggen. Väggens area = längd · höjd = B1 * B2. Sedan multiplicerar vi arean med 45 eftersom det gick åt 45 plattor per kvadratmeter. Svar: I cell B3 skriver Irfan = 45 * B1 * B2
102
algebra och ekvationer . formler och uttryck
algebra och ekvationer . formler och uttryck
103
Formler i kalkylprogram Exempel
Summa
Sixten vill beräkna lagrets totala värde genom att summera värdena i kolumn D. I cell D8 skriver han formeln
När man gör beräkningar med datorer använder man ofta kalkylprogram. Då sparar man mycket tid på att använda sig av formler.
=D2+D3+D4+D5+D6
Sixten har en frisersalong och har inventerat sitt lager för att se hur mycket det är värt. I kalkylbladet ser du ett utdrag av inventeringen.
När han trycker på Retur ser han att lagrets totala värde är 4 017 kr.
Många kalkylprogram har de vanligaste formlerna förprogrammerade, t.ex. formeln för summa.
Kolumner namnges med bokstäver.
Rader namnges med siffror.
Nya kursplaner I den nya ämnesplanen i Matematik 1a, finns ett tydligare fokus på digitala verktyg. Matematik Origo 1a är utvecklad i enlighet med den nya ämnesplanen.
En ruta kallas för en cell. I cell C3 står det 42.
= D2 + D3 + D4 + D5 + D6
Infoga formel
Sixten vill beräkna vad produkterna har kostat i inköp. För att göra det behöver han multiplicera antalet i kolumn B med inköpspriset i kolumn C för varje produkt. I cell D2 skriver han formeln =B2*C2
I ett kalkylprogram börjar en formel alltid med ett likhetstecken.
När han trycker på Retur dyker värdet 23 · 34 = 782 upp i ruta D2. Sixten tar tag i cellens kant och drar nedåt. Då beräknas motsvarande värden även i de andra raderna.
Exempel: Irfan är plattsättare. Han vill snabbt kunna räkna ut hur många kakelplattor som behövs när han ska kakla en vägg. Han vet att det går åt 45 standardplattor per kvadratmeter. Vilken formel ska stå i cell B3?
Lösning: Vi beräknar först arean av väggen. Väggens area = längd · höjd = B1 * B2. Sedan multiplicerar vi arean med 45 eftersom det gick åt 45 plattor per kvadratmeter. Svar: I cell B3 skriver Irfan = 45 * B1 * B2
102
algebra och ekvationer . formler och uttryck
algebra och ekvationer . formler och uttryck
103
fördjupning
3271 Om du tjänar L kronor i lön före skatt, så
ges av
I=p·a där p är varans pris i kronor och a är antalet sålda varor.
E = 0,7L
Lös ut h.
a) Lös ut p ur formeln.
a) Lös ut L ut formeln.
b) Vad är priset om I = 25 500 och a = 150?
b) Vad är din lön före skatt om E = 23 450?
Lösning: a) I = p · a
t timmar, så kan sträckan s km beräknas med formeln a) Lös ut variabeln t.
NIVÅ 2 3273 Lös ut variabeln inom parentes ur formlerna.
Starter a) Vilka två av formlerna betyder samma sak som y = 2x + m?
2x = y + m y – m = 2x y __ – m = x m = y – 2x 2 b) Lös ut x ur formeln y = 2x + m.
NIVÅ 1
a) x + b = –15 2x c) ___ = b 3
b) x – 2b + 3 = 0 d) b = 3 – x
3270 Omkretsen av en cirkel kan beräknas med formeln O=π·d där O är omkretsen, d är diametern och π ≈ 3,14.
d
3268 Lös ut s ur formeln
c) 2s = b
c) W = mgh (h)
U b) R = __ I
a) Lös ut d ur formeln. b) Hur stor diameter har en cirkel med omkretsen 35 cm?
algebra och ekvationer . formler och uttryck
b) Lös ut det hela.
a) b(a + x) = 30 1 c) _____ = 2a x+1
((I) I)
A = πr2 där r är cirkelns radie. Lös ut variabeln r (r > 0).
3278 Formeln
1 1 1 ___ = ___ + ___ ger den totala
Rtot R1 R2 resistansen för kopplingen i figuren. R1
a) d) v = v0 + at ((a)
Kommunikationsuppgifter
3274 Lös ut x ur formeln 1 1 b) __ = __ x y
Varje delkapitel avslutas med Reso- R2 nemang och begrepp. Det är uppgifter som prövar elevernas a)begreppsförBeräkna Rtot när R1 = 400 Ω och ståelse och inbjuder eleverna att R2 = 700 Ω. samtala matematik.
b) Lös ut Rtot ur formeln.
Resonemang och begrepp Sant eller falskt
Fundera och förklara
Avgör om påståendena är sanna eller falska.
Sofie och Eva har löst ekvationen 30 – 6x = 9x. Har någon av dem gjort rätt?
lösningen x = –1 x = 1 är en lösning till ekvationen
3x5 + 4 = x3 + 6
Ekvationen 3x + 7x = 9x saknar lösning. Ekvationen
120
(s)
Ekvationen 2x + 8 = 3x + 9 har b) s – 3 = b s d) __ = b 4
a) Lös ut delen.
3277 Arean A av en cirkel beräknas med formeln
b) Hur lång tid tar det att köra 20 mil med hastigheten 80 km/h?
3269 Lös ut x ur formeln
r
NIVÅ 3
s=v·t
s a) v = _ t
h
delen det hela man arbetar med procent.
3272 Om vi kör bil med hastigheten v km/h i
a a I __ En del avsnitt har vi valt att =p a markera som fördjupning. Det ger dig som lärare möjlighet att P = __I anpassa innehållet efter din a elevgrupp och efter de karakI ______ 25 500 __ = 170 tärsämnen som eleverna läser.b) p = = a 150 Svar: Priset är 170 kr.
V = πr2h
3276 Formeln andelen = _______ används när
Dividera båda leden med a.
I ____ p·a __ =
Fördjupning
a) s + 2 = b
3275 Volymen V av en cylinder
kan lönen efter skatt E kr beräknas med formeln
x2 = 81
Sofie
Eva
30 = 3x
30 = 15x
10 = x
2=x
30 – 6x = 9x
30 – 6x = 9x
har två lösningar. algebra och ekvationer . formler och uttryck
121
fördjupning
Exempel: När man säljer en vara kan intäkten I kr beräknas med formeln
fördjupning
3271 Om du tjänar L kronor i lön före skatt, så
ges av
I=p·a där p är varans pris i kronor och a är antalet sålda varor.
E = 0,7L
Lös ut h.
a) Lös ut p ur formeln.
a) Lös ut L ut formeln.
b) Vad är priset om I = 25 500 och a = 150?
b) Vad är din lön före skatt om E = 23 450?
Lösning: a) I = p · a
t timmar, så kan sträckan s km beräknas med formeln a) Lös ut variabeln t.
NIVÅ 2 3273 Lös ut variabeln inom parentes ur formlerna.
Starter a) Vilka två av formlerna betyder samma sak som y = 2x + m?
2x = y + m y – m = 2x y __ – m = x m = y – 2x 2 b) Lös ut x ur formeln y = 2x + m.
NIVÅ 1
a) x + b = –15 2x c) ___ = b 3
b) x – 2b + 3 = 0 d) b = 3 – x
3270 Omkretsen av en cirkel kan beräknas med formeln O=π·d där O är omkretsen, d är diametern och π ≈ 3,14.
d
3268 Lös ut s ur formeln
c) 2s = b
c) W = mgh (h)
U b) R = __ I
a) Lös ut d ur formeln. b) Hur stor diameter har en cirkel med omkretsen 35 cm?
algebra och ekvationer . formler och uttryck
b) Lös ut det hela.
a) b(a + x) = 30 1 c) _____ = 2a x+1
((I) I)
A = πr2 där r är cirkelns radie. Lös ut variabeln r (r > 0).
3278 Formeln
1 1 1 ___ = ___ + ___ ger den totala
Rtot R1 R2 resistansen för kopplingen i figuren. R1
a) d) v = v0 + at ((a)
Kommunikationsuppgifter
3274 Lös ut x ur formeln 1 1 b) __ = __ x y
Varje delkapitel avslutas med Reso- R2 nemang och begrepp. Det är uppgifter som prövar elevernas a)begreppsförBeräkna Rtot när R1 = 400 Ω och ståelse och inbjuder eleverna att R2 = 700 Ω. samtala matematik.
b) Lös ut Rtot ur formeln.
Resonemang och begrepp Sant eller falskt
Fundera och förklara
Avgör om påståendena är sanna eller falska.
Sofie och Eva har löst ekvationen 30 – 6x = 9x. Har någon av dem gjort rätt?
lösningen x = –1 x = 1 är en lösning till ekvationen
3x5 + 4 = x3 + 6
Ekvationen 3x + 7x = 9x saknar lösning. Ekvationen
120
(s)
Ekvationen 2x + 8 = 3x + 9 har b) s – 3 = b s d) __ = b 4
a) Lös ut delen.
3277 Arean A av en cirkel beräknas med formeln
b) Hur lång tid tar det att köra 20 mil med hastigheten 80 km/h?
3269 Lös ut x ur formeln
r
NIVÅ 3
s=v·t
s a) v = _ t
h
delen det hela man arbetar med procent.
3272 Om vi kör bil med hastigheten v km/h i
a a I __ En del avsnitt har vi valt att =p a markera som fördjupning. Det ger dig som lärare möjlighet att P = __I anpassa innehållet efter din a elevgrupp och efter de karakI ______ 25 500 __ = 170 tärsämnen som eleverna läser.b) p = = a 150 Svar: Priset är 170 kr.
V = πr2h
3276 Formeln andelen = _______ används när
Dividera båda leden med a.
I ____ p·a __ =
Fördjupning
a) s + 2 = b
3275 Volymen V av en cylinder
kan lönen efter skatt E kr beräknas med formeln
x2 = 81
Sofie
Eva
30 = 3x
30 = 15x
10 = x
2=x
30 – 6x = 9x
30 – 6x = 9x
har två lösningar. algebra och ekvationer . formler och uttryck
121
fördjupning
Exempel: När man säljer en vara kan intäkten I kr beräknas med formeln
uppslaget
Uppslaget Uppslaget
Vem har rätt?
På Uppslaget finns uppgifter som särskilt tränar de matematiska förmågorna.
1 Tre personer har försökt lösa ekvationen 5(2x – 8) + 30 = 45 Vem har löst ekvationen korrekt? Vilka fel har de andra gjort? Agneta 10x – 8 + 30 = 45 10x + 22 = 45 10x = 23 x = 2,3 Beata
Calle
uppslaget
U
10x – 40 + 30 = 45 10x – 10 = 45 10x = 35 x = 3,5 5(2x – 8) + 30 = 45 5(2x – 8) = 15 2x – 8 = 3 2x = 11 x = 5,5
2 Robin och Ivan beräknar värdet av uttrycket 3a – a + 8 för a = 4. De gör på olika sätt. Robin: 34 – 4 + 8 = 38 Ivan: 3 + 8 = 11 a) Vilka fel har Robin och Ivan gjort? b) Beräkna värdet av uttrycket. 3 Alma, Torun och Bahram har skrivit var sin formel för hur många rutor som finns i figur n. Hur kan de ha tänkt? Har någon av dem gjort rätt? Alma
n + 1 + n2
Torun
(n + 1)2 – n
Bahram
n(n + 1) + n
n=1
Matematik i användning
Modellering
n=2
1 Titi hyr en glasskiosk en sommar. Hjälp Titi att ställa upp en formel som visar hur hennes vinst beror av antalet glassar hon säljer. Du får själv uppskatta vilka kostnader och intäkter Titi har, men listan här nedanför kan ge lite inspiration. Arbetstid Timkostnad Hyra för lokal Kostnader för glass och strutar Försäljning av glass
På många hemsidor kan du få hjälp att göra beräkningar. Du kan exempelvis få hjälp att beräkna din lön efter skatt eller beräkna hur många liter vatten som ryms i en pool med vissa mått. Hemsidornas beräkningsverktyg har skapats med hjälp av formler. I den här uppgiften får du hjälpa en förening att skapa sådana formler. En förening hyr ut sin klubbstuga för 600 kronor i grundavgift och sedan 50 kronor per gäst. Föreningen vill att de som bokar via hemsidan snabbt ska kunna beräkna vad det kostar att hyra stugan. Hjälp föreningen genom att ange vilka formler som ska stå i de färgade rutorna. Använd gärna ett kalkylprogram för att testa dina formler.
n=3
A
Problemlösning 1 Ett tåg startar från Stockholm. I Sala ökar antalet passagerare med 10. I Avesta blir antalet passagerare hälften så stort. I Säter minskar antalet passagerare med 5. Därefter finns det 102 passagerare på tåget. Hur många passagerare fanns på tåget när det lämnade Stockholm?
122
algebra och ekvationer uppslaget
2 I en frågesport får du 3 poäng om du ger rätt svar, men 1 minuspoäng om du svarar fel. Kan du få 14 poäng om du svarat på tio frågor? 3 Det är rea på varuhuset. Amanda köper ett par byxor, en tröja och ett par skor och får betala 1 180 kr. Byxorna kostar 100 kr mer än tröjan. Byxorna och tröjan kostar tillsammans 180 kronor mer än skorna. Hur mycket kostar varje plagg?
2 Med body mass index,, BMI, kan man bedöma om en person är underviktig eller överviktig. Formeln för BMI är BMI = m/l2 där m är personens vikt i kilogram och l är längden i meter. I USA mäter man vikt i pounds och längd i inches.. Gör om formeln så att den ger samma svar i USA.
Relevans
1
Antal gäster
2
Antal nätter
3
Total summa
4
Total summa per gäst
5
Total summa per natt för varje gäst
B
I Matematik i användning får eleverna se konkreta exempel på hur matematiken används i samhället.
algebra och ekvationer uppslaget
123
uppslaget
Uppslaget Uppslaget
Vem har rätt?
På Uppslaget finns uppgifter som särskilt tränar de matematiska förmågorna.
1 Tre personer har försökt lösa ekvationen 5(2x – 8) + 30 = 45 Vem har löst ekvationen korrekt? Vilka fel har de andra gjort? Agneta 10x – 8 + 30 = 45 10x + 22 = 45 10x = 23 x = 2,3 Beata
Calle
uppslaget
U
10x – 40 + 30 = 45 10x – 10 = 45 10x = 35 x = 3,5 5(2x – 8) + 30 = 45 5(2x – 8) = 15 2x – 8 = 3 2x = 11 x = 5,5
2 Robin och Ivan beräknar värdet av uttrycket 3a – a + 8 för a = 4. De gör på olika sätt. Robin: 34 – 4 + 8 = 38 Ivan: 3 + 8 = 11 a) Vilka fel har Robin och Ivan gjort? b) Beräkna värdet av uttrycket. 3 Alma, Torun och Bahram har skrivit var sin formel för hur många rutor som finns i figur n. Hur kan de ha tänkt? Har någon av dem gjort rätt? Alma
n + 1 + n2
Torun
(n + 1)2 – n
Bahram
n(n + 1) + n
n=1
Matematik i användning
Modellering
n=2
1 Titi hyr en glasskiosk en sommar. Hjälp Titi att ställa upp en formel som visar hur hennes vinst beror av antalet glassar hon säljer. Du får själv uppskatta vilka kostnader och intäkter Titi har, men listan här nedanför kan ge lite inspiration. Arbetstid Timkostnad Hyra för lokal Kostnader för glass och strutar Försäljning av glass
På många hemsidor kan du få hjälp att göra beräkningar. Du kan exempelvis få hjälp att beräkna din lön efter skatt eller beräkna hur många liter vatten som ryms i en pool med vissa mått. Hemsidornas beräkningsverktyg har skapats med hjälp av formler. I den här uppgiften får du hjälpa en förening att skapa sådana formler. En förening hyr ut sin klubbstuga för 600 kronor i grundavgift och sedan 50 kronor per gäst. Föreningen vill att de som bokar via hemsidan snabbt ska kunna beräkna vad det kostar att hyra stugan. Hjälp föreningen genom att ange vilka formler som ska stå i de färgade rutorna. Använd gärna ett kalkylprogram för att testa dina formler.
n=3
A
Problemlösning 1 Ett tåg startar från Stockholm. I Sala ökar antalet passagerare med 10. I Avesta blir antalet passagerare hälften så stort. I Säter minskar antalet passagerare med 5. Därefter finns det 102 passagerare på tåget. Hur många passagerare fanns på tåget när det lämnade Stockholm?
122
algebra och ekvationer uppslaget
2 I en frågesport får du 3 poäng om du ger rätt svar, men 1 minuspoäng om du svarar fel. Kan du få 14 poäng om du svarat på tio frågor? 3 Det är rea på varuhuset. Amanda köper ett par byxor, en tröja och ett par skor och får betala 1 180 kr. Byxorna kostar 100 kr mer än tröjan. Byxorna och tröjan kostar tillsammans 180 kronor mer än skorna. Hur mycket kostar varje plagg?
2 Med body mass index,, BMI, kan man bedöma om en person är underviktig eller överviktig. Formeln för BMI är BMI = m/l2 där m är personens vikt i kilogram och l är längden i meter. I USA mäter man vikt i pounds och längd i inches.. Gör om formeln så att den ger samma svar i USA.
Relevans
1
Antal gäster
2
Antal nätter
3
Total summa
4
Total summa per gäst
5
Total summa per natt för varje gäst
B
I Matematik i användning får eleverna se konkreta exempel på hur matematiken används i samhället.
algebra och ekvationer uppslaget
123
koll på kapitlet
självskattning
exempel
Formler och uttryck s. 86–105 ge exempel på begreppen variabel, konstantterm och koefficient
du ska kunna
Ekvationer s. 106–121 pröva om en lösning till en ekvation är korrekt
Är x = 5 en lösning till ekvationen 3,4(x + 2) = 28,8 – x? VL = 3,4(5 + 2) = 23,8 HL = 28,8 – 5 = 23,8 Eftersom VL = HL är x = 5 en lösning till ekvationen.
Värdet av uttrycket 4a – 3b + 6 då a = 5 och b = 2 är 4 ∙ 5 – 3 ∙ 2 + 6 = 20 – 6 + 6 = 20
lösa ekvationer av första graden
7x – 6 = 3x + 28 7x = 3x + 34 4x = 34 x = 8,5
Beräkna klotets volym då r = 5 dm 4 ∙ π ∙ r3 Vklot = _______ 3 4 ∙ π ∙ 53 Vklot = _______ ≈ 524 dm3 3
beskriva skillnaden mellan ett uttryck, en formel och en ekvation
koefficient
3 + 4x konstantterm
beräkna värdet av ett algebraiskt uttryck
använda formler
variabel
förenkla algebraiska uttryck genom att räkna ihop termer av samma sort
Vi förenklar uttryck genom att räkna ihop termer av samma sort. 4x + 3 – 2x + x2 + 5 – 3x2 = 4x + 3 – 2x + x2 + 5 – 3x2 = = 2x + 8 – 2x2
förenkla algebraiska uttryck med parenteser
5 + (a – 3) = 5 + a – 3 = a + 2 5 – (a – 3) = 5 – a + 3 = 8 – a 5(a – 3) = 5 ∙ a – 5 ∙ 3 = 5a – 15
beskriva ett mönster med ord eller med en formel
Beskriv talföljden 5, 11, 17, 23, 29, … Med ord: Talföljden börjar med 5 och ökar sedan med 6 för varje tal. Med en formel: a = 5 + 6(n – 1) = 6n – 1
Kan inte Känner igen men behöver repetera
Subtrahera 4x från båda leden Dividera båda leden med 4
Konstantterm
Variabelterm
Sören är x år. Om Bosse är 3x år, så betyder det att han är tre gånger så gammal som Sören.
algebra och ekvationer koll på kapitlet
Addera 6 till båda leden
Ett algebraiskt uttryck har inte något likhetstecken. Det är en summa av variabeltermer och konstanttermer. 14y + 13x – 5
tolka uttryck och formler
124
självskattning
exempel
En formel har alltid minst två variabler. En variabel står i det ena ledet och det finns ett algebraiskt uttryck i det andra ledet. V = 14,5x – 12 Variabel
En ekvation är en likhet. I en ekvation finns en obekant vars värde man vill bestämma. 3x + 7 = 2x + 14 använda ekvationer vid problemlösning
Känner mig ganska säker Är helt säker
På badhuset betalar man en medlemsavgift på 300 kr och sedan 25 kr per besök. Hur många gånger kan man simma för 550 kr? Anta att du kan simma x gånger. Du kan lösa problemet genom att ställa upp ekvationen Sammanfattning 300 + 25x = 550 I Koll på kapitlet sammanfattar 25x = 250 vi innehållet i kapitlet utifrån x = 10 de lärandemål vi formulerade i Du kan simma 10 gånger. inledningen. Till varje lärandemål finns både konkreta exempel och en självvärdering.
algebra och ekvationer koll på kapitlet
125
koll på kapitlet
du ska kunna
koll på kapitlet
självskattning
exempel
Formler och uttryck s. 86–105 ge exempel på begreppen variabel, konstantterm och koefficient
du ska kunna
Ekvationer s. 106–121 pröva om en lösning till en ekvation är korrekt
Är x = 5 en lösning till ekvationen 3,4(x + 2) = 28,8 – x? VL = 3,4(5 + 2) = 23,8 HL = 28,8 – 5 = 23,8 Eftersom VL = HL är x = 5 en lösning till ekvationen.
Värdet av uttrycket 4a – 3b + 6 då a = 5 och b = 2 är 4 ∙ 5 – 3 ∙ 2 + 6 = 20 – 6 + 6 = 20
lösa ekvationer av första graden
7x – 6 = 3x + 28 7x = 3x + 34 4x = 34 x = 8,5
Beräkna klotets volym då r = 5 dm 4 ∙ π ∙ r3 Vklot = _______ 3 4 ∙ π ∙ 53 Vklot = _______ ≈ 524 dm3 3
beskriva skillnaden mellan ett uttryck, en formel och en ekvation
koefficient
3 + 4x konstantterm
beräkna värdet av ett algebraiskt uttryck
använda formler
variabel
förenkla algebraiska uttryck genom att räkna ihop termer av samma sort
Vi förenklar uttryck genom att räkna ihop termer av samma sort. 4x + 3 – 2x + x2 + 5 – 3x2 = 4x + 3 – 2x + x2 + 5 – 3x2 = = 2x + 8 – 2x2
förenkla algebraiska uttryck med parenteser
5 + (a – 3) = 5 + a – 3 = a + 2 5 – (a – 3) = 5 – a + 3 = 8 – a 5(a – 3) = 5 ∙ a – 5 ∙ 3 = 5a – 15
beskriva ett mönster med ord eller med en formel
Beskriv talföljden 5, 11, 17, 23, 29, … Med ord: Talföljden börjar med 5 och ökar sedan med 6 för varje tal. Med en formel: a = 5 + 6(n – 1) = 6n – 1
Kan inte Känner igen men behöver repetera
Subtrahera 4x från båda leden Dividera båda leden med 4
Konstantterm
Variabelterm
Sören är x år. Om Bosse är 3x år, så betyder det att han är tre gånger så gammal som Sören.
algebra och ekvationer koll på kapitlet
Addera 6 till båda leden
Ett algebraiskt uttryck har inte något likhetstecken. Det är en summa av variabeltermer och konstanttermer. 14y + 13x – 5
tolka uttryck och formler
124
självskattning
exempel
En formel har alltid minst två variabler. En variabel står i det ena ledet och det finns ett algebraiskt uttryck i det andra ledet. V = 14,5x – 12 Variabel
En ekvation är en likhet. I en ekvation finns en obekant vars värde man vill bestämma. 3x + 7 = 2x + 14 använda ekvationer vid problemlösning
Känner mig ganska säker Är helt säker
På badhuset betalar man en medlemsavgift på 300 kr och sedan 25 kr per besök. Hur många gånger kan man simma för 550 kr? Anta att du kan simma x gånger. Du kan lösa problemet genom att ställa upp ekvationen Sammanfattning 300 + 25x = 550 I Koll på kapitlet sammanfattar 25x = 250 vi innehållet i kapitlet utifrån x = 10 de lärandemål vi formulerade i Du kan simma 10 gånger. inledningen. Till varje lärandemål finns både konkreta exempel och en självvärdering.
algebra och ekvationer koll på kapitlet
125
koll på kapitlet
du ska kunna
samhälle och yrekesliv
NIVÅ 1
Leonardo Fibonacci levde omkring år 1200. Han skötte uppdrag åt köpmän som bedrev handel med länderna runt Medelhavet. Under sina många resor kom han i kontakt med både arabiska och grekiska matematiker. I boken Liber abbaci, som utkom år 1202, sammanfattade han vad han hade lärt sig om aritmetik (räknekonst) och algebra. I den boken presenterade han också de siffror som vi använder i dag.
Fibonacci är mest känd för att han har gett namn åt en talföljd. Talföljden börjar med två ettor. Varje tal i följden är sedan summan av de två föregående talen.
Drönarnas stamtavla 5 3 2 1 1 hanbi
honbi
Gyllene snittet Om vi dividerar två på varandra följande tal i Fibonaccis talföljd, så får vi en ny talföljd: A
C
B
2 3 5 8 13 1 __ __ , , __, __, __, ___, … 1 1 2 3 5 8
I pärlbåtsnäckans spiraler ger förhållandet mellan diametrarna AB gyllene snittet: ___ ≈ 1,618. CB
? Fortsätt skissen av drönarens stamtavla ytterligare två led.
126
Talen i talföljden kommer så småningom att närma sig
b) x = –2 c) x = 0
algebra och ekvationer samhälle och yrkesliv
b) Vad blir kostnaden om du ringer 35 minuter och skickar 17 sms?
b) 2 – 6y + 3 + 2y c) 3y + 8 + 2 – 4y
3 Förenkla uttrycken Samhälle och yrkesliv I avsnittet Samhälle och yrkesliv sätter vi matematiken i ett historiskt eller samhälleligt sammanhang och lyfter fram hur den används i yrkeslivet.
a) y är 18 mindre än x
a) 10 + (4b – 7)
b) x är en tredjedel så stort som y
b) 18m – (13n + 10m)
9 Skriv de tre första talen i talföljden
c) 12x – 3(x + 5)
a) a = 2n
4 Lös ekvationerna
b) a = n – 1
a) 5x + 3 = 38
c) a = 2n – 1
b) 12 = 18 – 1,2y 4x c) ___ = –16 3
d) a = n2 + 1
10 Man mäter hastighet i både meter per sekund (m/s) och kilometer i timmen (km/h). För att omvandla mellan enheterna använder man formeln
5 Lös ekvationerna a) 4(x – 3) + 7 = 35 b) 3x – 12 = 24 – x
3,6 · hastigheten i m/s = hastigheten i km/h
c) 2x + 17 = 6x – 22
6 Teckna ett uttryck för fyrhörningens omkrets och förenkla uttrycket så långt som möjligt.
a) När det stormar blåser det 25 m/s. Hur många kilometer i timmen är det? b) Hur många meter per sekund är 72 km/h?
3x + 1
√5 + 1 ______ ≈ 1,618 Talet 1,618 brukar kallas för det gyllene snittet. Det gyllene snittets proportioner förekommer i såväl naturen som i konst och arkitektur.
a) Vilka variabler finns i formeln?
a) y + 2y + 3y
__
2
sms.
8 Skriv formler som visar följande samband
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Fibonaccis talföljd återfinns i många mönster i naturen. Ett exempel är hanbiets stamtavla. Ett hanbi kallas också för drönare. Drönaren föds ur ett obefruktat ägg och har alltså endast en förälder. Drottningarna däremot kommer från befruktade ägg, vilket innebär att en drottning har två föräldrar. Detta gör att drönarens stamtavla växer precis som Fibonaccis talföljd.
Blandade uppgifter Till varje kapitel hör flera sidor 7 Kostnaden K kr för med Blandade uppgifter. Detatt är ringa och skicka SMS från Polen till Sverige en blandning av uppgifter som kan man beräkna med tillsammans 1,29x + 0,99y 0,99y där x är formelnbehandlar K = 150hela + 1,29x kapitlets innehåll. antal samtalsminuter och y är antal skickade
a) x = 5
2 Förenkla uttrycken
Fibonaccis talföljd
Leonardo Fibonacci (1170–1250).
1 Beräkna värdet av uttrycket 5x + 8 om
x+2 x 3x
algebra och ekvationer blandade uppgifter
127
blandade uppgifter
Fibonaccis talföljd
samhälle och yrekesliv
NIVÅ 1
Leonardo Fibonacci levde omkring år 1200. Han skötte uppdrag åt köpmän som bedrev handel med länderna runt Medelhavet. Under sina många resor kom han i kontakt med både arabiska och grekiska matematiker. I boken Liber abbaci, som utkom år 1202, sammanfattade han vad han hade lärt sig om aritmetik (räknekonst) och algebra. I den boken presenterade han också de siffror som vi använder i dag.
Fibonacci är mest känd för att han har gett namn åt en talföljd. Talföljden börjar med två ettor. Varje tal i följden är sedan summan av de två föregående talen.
Drönarnas stamtavla 5 3 2 1 1 hanbi
honbi
Gyllene snittet Om vi dividerar två på varandra följande tal i Fibonaccis talföljd, så får vi en ny talföljd: A
C
B
2 3 5 8 13 1 __ __ , , __, __, __, ___, … 1 1 2 3 5 8
I pärlbåtsnäckans spiraler ger förhållandet mellan diametrarna AB gyllene snittet: ___ ≈ 1,618. CB
? Fortsätt skissen av drönarens stamtavla ytterligare två led.
126
Talen i talföljden kommer så småningom att närma sig
b) x = –2 c) x = 0
algebra och ekvationer samhälle och yrkesliv
b) Vad blir kostnaden om du ringer 35 minuter och skickar 17 sms?
b) 2 – 6y + 3 + 2y c) 3y + 8 + 2 – 4y
3 Förenkla uttrycken Samhälle och yrkesliv I avsnittet Samhälle och yrkesliv sätter vi matematiken i ett historiskt eller samhälleligt sammanhang och lyfter fram hur den används i yrkeslivet.
a) y är 18 mindre än x
a) 10 + (4b – 7)
b) x är en tredjedel så stort som y
b) 18m – (13n + 10m)
9 Skriv de tre första talen i talföljden
c) 12x – 3(x + 5)
a) a = 2n
4 Lös ekvationerna
b) a = n – 1
a) 5x + 3 = 38
c) a = 2n – 1
b) 12 = 18 – 1,2y 4x c) ___ = –16 3
d) a = n2 + 1
10 Man mäter hastighet i både meter per sekund (m/s) och kilometer i timmen (km/h). För att omvandla mellan enheterna använder man formeln
5 Lös ekvationerna a) 4(x – 3) + 7 = 35 b) 3x – 12 = 24 – x
3,6 · hastigheten i m/s = hastigheten i km/h
c) 2x + 17 = 6x – 22
6 Teckna ett uttryck för fyrhörningens omkrets och förenkla uttrycket så långt som möjligt.
a) När det stormar blåser det 25 m/s. Hur många kilometer i timmen är det? b) Hur många meter per sekund är 72 km/h?
3x + 1
√5 + 1 ______ ≈ 1,618 Talet 1,618 brukar kallas för det gyllene snittet. Det gyllene snittets proportioner förekommer i såväl naturen som i konst och arkitektur.
a) Vilka variabler finns i formeln?
a) y + 2y + 3y
__
2
sms.
8 Skriv formler som visar följande samband
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Fibonaccis talföljd återfinns i många mönster i naturen. Ett exempel är hanbiets stamtavla. Ett hanbi kallas också för drönare. Drönaren föds ur ett obefruktat ägg och har alltså endast en förälder. Drottningarna däremot kommer från befruktade ägg, vilket innebär att en drottning har två föräldrar. Detta gör att drönarens stamtavla växer precis som Fibonaccis talföljd.
Blandade uppgifter Till varje kapitel hör flera sidor 7 Kostnaden K kr för med Blandade uppgifter. Detatt är ringa och skicka SMS från Polen till Sverige en blandning av uppgifter som kan man beräkna med tillsammans 1,29x + 0,99y 0,99y där x är formelnbehandlar K = 150hela + 1,29x kapitlets innehåll. antal samtalsminuter och y är antal skickade
a) x = 5
2 Förenkla uttrycken
Fibonaccis talföljd
Leonardo Fibonacci (1170–1250).
1 Beräkna värdet av uttrycket 5x + 8 om
x+2 x 3x
algebra och ekvationer blandade uppgifter
127
blandade uppgifter
Fibonaccis talföljd
kapiteltest 1 Uttrycket 3x – x + 2y kan förenklas till
Del 2 6 Vilket av alternativen är en lösning till ekvationen 7(z – 2) = 21?
1 3 + 2y X 2x + 2y
1 z=5
2 4+x+y
X z=4 2 z=3
med formeln
X 56
1 a = 3n
2 11
X a = 3 + 6n
b) 8x – 4 = 3 – (2x + 2)
13 Nino köper godis för 7,9 kr/hg och nötmix för 12,5 kr/hg. Kostnaden för godis och nötter beskrivs av uttrycket 7,9x + 12,5y. Vad står x och y för i uttrycket?
2 a = 6n – 3
3 I uttrycket 17a + 2b + 3 är 1 a och b variabler och 3 är en koefficient
b) Beräkna värdet av uttrycket om x = 2 och y = 5.
a) 3x – 8 = 14,5
7 Talföljden 3, 9, 15, 21, 27, … kan beskrivas
1 13
11 a) Förenkla uttrycket 2x – 3y + 4x + 5y – 6
X 15
2 4,8 m3
5 Uttrycket 4 – (3y – 9) kan förenklas till 1 –3y – 13 X 13 – 3y 2 3y – 5
X 8+x
9 Vilket samband beskriver att x är fyra gånger så stort som y? 1 x=y+4 X y = 4x 2 x = 4y
10 Vilket alternativ är en lösning till ekvationen 4x + 12 = 2x + 12? 1 x=2 2 x=4
algebra och ekvationer kapiteltest
n=3
n=4
18 Viktor och Sanna ska arrangera en fest. De
2 3(x + 5)
X x=0
130
n=2
3(2x + 4) – 4(3 – 4x) = 2(x + 7)
1 2x + 16
m3
Beskriv med ord eller med en formel hur du kan beräkna antalet rutor om du vet figurens nummer.
17 Lös ekvationen
x+5
1 45 m3
16 Här nedanför ser du ett mönster med rutor.
n=1
term
3 volymen av en kon. Vilken volym har en kon med B = 10 m och h = 4,5 m?
x + 2x + 4x = 44 x + 2x + 8x = 44 x + 4x + 8x = 44
3
2 a och b koefficienter och 3 är en konstant-
B·h ____ kan man beräkna
Arvid är dubbelt så gammal som Vincent. Tillsammans är de 44 år. Hur gammal är Vincent? Om Vincent är x år, vilken av ekvationerna kan då lösa problemet?
8 Rektangelns area kan beskrivas med uttrycket
X a och b variabler och 3 är en konstantterm
4 Med formeln V =
15 Martina är 4 gånger så gammal som Arvid.
12 Lös ekvationerna
2 Vilket är värdet av uttrycket 2a + 3b om a = 5 och b = 1?
kapiteltest
Del 1
U R I strömstyrka, U elektrisk spänning och R resistans. Hur förändras strömstyrkan om resistansen fördubblas?
14 Formeln I = __ kallas Ohms lag. I formeln är
Kapiteltest Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärandemålen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med flervalsfrågor och en del där eleverna ska redovisa sina lösningar.
har fasta kostnader på 3 250 kronor och rörliga kostnader på 125 kronor per gäst. a) Ställ upp ett uttryck för den totala kostnaden för festen. b) Ställ upp ett uttryck för kostnaden per person. c) Vilket ska biljettpriset vara om det kommer 65 personer och de varken ska gå med vinst eller förlust?
19 Lisa och Amin bor 20 km ifrån varandra. De startar samtidigt i respektive hem och springer tills de möts. Lisa springer med 11 km/h och Amin med 13 km/h. Var och efter hur lång tid kommer de att mötas? algebra och ekvationer kapiteltest
131
kapiteltest 1 Uttrycket 3x – x + 2y kan förenklas till
Del 2 6 Vilket av alternativen är en lösning till ekvationen 7(z – 2) = 21?
1 3 + 2y X 2x + 2y
1 z=5
2 4+x+y
X z=4 2 z=3
med formeln
X 56
1 a = 3n
2 11
X a = 3 + 6n
b) 8x – 4 = 3 – (2x + 2)
13 Nino köper godis för 7,9 kr/hg och nötmix för 12,5 kr/hg. Kostnaden för godis och nötter beskrivs av uttrycket 7,9x + 12,5y. Vad står x och y för i uttrycket?
2 a = 6n – 3
3 I uttrycket 17a + 2b + 3 är 1 a och b variabler och 3 är en koefficient
b) Beräkna värdet av uttrycket om x = 2 och y = 5.
a) 3x – 8 = 14,5
7 Talföljden 3, 9, 15, 21, 27, … kan beskrivas
1 13
11 a) Förenkla uttrycket 2x – 3y + 4x + 5y – 6
X 15
2 4,8 m3
5 Uttrycket 4 – (3y – 9) kan förenklas till 1 –3y – 13 X 13 – 3y 2 3y – 5
X 8+x
9 Vilket samband beskriver att x är fyra gånger så stort som y? 1 x=y+4 X y = 4x 2 x = 4y
10 Vilket alternativ är en lösning till ekvationen 4x + 12 = 2x + 12? 1 x=2 2 x=4
algebra och ekvationer kapiteltest
n=3
n=4
18 Viktor och Sanna ska arrangera en fest. De
2 3(x + 5)
X x=0
130
n=2
3(2x + 4) – 4(3 – 4x) = 2(x + 7)
1 2x + 16
m3
Beskriv med ord eller med en formel hur du kan beräkna antalet rutor om du vet figurens nummer.
17 Lös ekvationen
x+5
1 45 m3
16 Här nedanför ser du ett mönster med rutor.
n=1
term
3 volymen av en kon. Vilken volym har en kon med B = 10 m och h = 4,5 m?
x + 2x + 4x = 44 x + 2x + 8x = 44 x + 4x + 8x = 44
3
2 a och b koefficienter och 3 är en konstant-
B·h ____ kan man beräkna
Arvid är dubbelt så gammal som Vincent. Tillsammans är de 44 år. Hur gammal är Vincent? Om Vincent är x år, vilken av ekvationerna kan då lösa problemet?
8 Rektangelns area kan beskrivas med uttrycket
X a och b variabler och 3 är en konstantterm
4 Med formeln V =
15 Martina är 4 gånger så gammal som Arvid.
12 Lös ekvationerna
2 Vilket är värdet av uttrycket 2a + 3b om a = 5 och b = 1?
kapiteltest
Del 1
U R I strömstyrka, U elektrisk spänning och R resistans. Hur förändras strömstyrkan om resistansen fördubblas?
14 Formeln I = __ kallas Ohms lag. I formeln är
Kapiteltest Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärandemålen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med flervalsfrågor och en del där eleverna ska redovisa sina lösningar.
har fasta kostnader på 3 250 kronor och rörliga kostnader på 125 kronor per gäst. a) Ställ upp ett uttryck för den totala kostnaden för festen. b) Ställ upp ett uttryck för kostnaden per person. c) Vilket ska biljettpriset vara om det kommer 65 personer och de varken ska gå med vinst eller förlust?
19 Lisa och Amin bor 20 km ifrån varandra. De startar samtidigt i respektive hem och springer tills de möts. Lisa springer med 11 km/h och Amin med 13 km/h. Var och efter hur lång tid kommer de att mötas? algebra och ekvationer kapiteltest
131
matematik
1a Matematik Origo är moderna läroböcker med Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Tematiska uppgifter, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av
Beställ ditt eget personliga utvärderingsexemplar på vår hemsida: www.sanomautbildning.se/ matematikorigo1a
Matematik Origo 1a och 2a
Beställningsinformation Matematik Origo 1a 523-3275-7 321 kr
Kontakt Emelie Reuterswärd, förlagsredaktör emelie.reutersward@sanomautbildning.se
Matematik Origo 1a Lärarguide 523-4574-0 610 kr
Olof Edblom, förläggare olof.edblom@sanomautbildning.se
Prov, Övningsblad och Aktiviteter 1a Cecilia Egerö, marknadsförare 523-4656-3 880 kr cecilia.egero@sanomautbildning.se Matematik Origo 2a utkommer vt 2018 ISBN 978-91-523-3275-7
(523-3275-7)