9789152324721

matematik Prefix

9

Förkortning

Betyder

Skrivs

tera

T

en biljon

1 000 000 000 000

giga

G

en miljard

1 000 000 000

mega

M

en miljon

1 000 000

> teori, exempel och övningar på tre nivåer

kilo

k

ett tusen

1 000

> Historia och samhälle – temaavsnitt

milli

m

en tusendel

0,001

mikro

μ

en miljondel

0,000 001

> Problem, resonemang och kommunikation – uppgifter som tränar alla matematiska förmågor

nano

n

en miljarddel

0,000 000 001

piko

p

en biljondel

0,000 000 000 001

1 000 000

Katarina Cederqvist Stefan Larsson Patrik Gustafsson

Prio Matematik är moderna läroböcker med

> Begreppslista, Tankekarta och Metodsamling – uppslagsdelar för sammanfattning och repetition Serien består av

M

mega

> Elevbok

9

> Digitalt material

1 000

> Lärarguide 1 000 100

k

kilo

h

> Prov, övningsblad och aktiviteter

10

hekto

1 000 100

Grundenhet

0,1 0,01 0,001

d

deci

9

10

10

c

centi

dividera mätetalet

matematik

1 000

multiplicera mätetalet

10

m

milli

1 000

0,000 001

µ

mikro

ISBN 978-91-523-2472-1

(523-4141-4)

Prio9_omslag_4tryck.indd 1-4

2016-03-08 17:28

Katarina Cederqvist Stefan Larsson Patrik Gustafsson

matematik

9

SANOMA UTBILDNING

Prio9_framvagn_4tryck.indd 1

2016-03-08 17:22

SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon: 08-587 642 10 Telefax: 08-587 642 02 Redaktion: Johan Skarp och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Karin Olofsson och Jakob Robertsson Prio Matematik 9 ISBN 978-91-523-2472-1 © 2014 Katarina Cederqvist, Stefan Larsson, Patrik Gustafsson och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Fjärde tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t. ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga er sättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Tryck: Livonia Print, Lettland 2016

Prio9_framvagn_4tryck.indd 2

2016-03-08 17:22

Till läsaren Välkommen till din nya matematikbok. Vi som har gjort den här boken vill att matematik ska vara mer än att bara räkna. Vår önskan är att matematik ska vara stimulerande med mycket tankearbete, problemlösning och diskussion.

Så här fungerar Prio Matematik: När du börjar arbeta med ett kapitel får du en överblick över innehållet genom att titta på listan med Begrepp som tas upp i kapitlet. Därefter kan du starta med Uppvärmningen, frågor som du bör kunna svara på med de förkunskaper du har.

Varje avsnitt börjar med teori. Där får du en bakgrund och en översikt över den matematik du ska lära dig. Elevexemplen har många kommentarer, ledningar och tips. En Starter som ni jobbar tillsammans med i klassen kan inleda avsnittet. Därefter följer uppgifter på tre nivåer. Du kan komma överens med din lärare vilka uppgifter som du ska jobba med. Behöver du läsa mer om olika lösningsmetoder, så kan du gå till Metodsamlingen längst bak i boken.

Historia och samhälle är ett avsnitt som ger dig lite intressant fakta och avslutas med några matematiska problem. Problem, resonemang och kommunikation är ett uppslag med uppgifter som lyfter fram och tydliggör de olika matematiska förmågorna.

I slutet av kapitlet prövar du dina nyvunna kunskaper med ett Begreppstest och ett Kapiteltest. Du kan repetera och träna med hjälp av Blandade Uppgifter. Om du lyckades bra på testet, så kan du jobba på Hög höjd. Det är mer krävande uppgifter. Visar ditt testresultat att du behöver träna mer på vissa områden, så är det Baslägret som gäller.

När kapitlet är helt klart är det dags att summera innehållet. Det gör vi i en Begreppslista och en Tankekarta. De kan användas som uppslagsdel, repetition och kontroll.

Kapitel 4 repeterar alla områden du har jobbat med i högstadiets matematik. I kapitel 5 finns valbara avsnitt med matematik som förbereder dig för såväl vardagslivet som för gymnasiet.

Vi hoppas att Prio ska hjälpa dig upptäcka att matematik kan vara spännande, intressant och utmanande.

Lycka till på din kunskapsresa!

Författarna

Prio9_framvagn_4tryck.indd 3

2016-03-08 17:22

Innehåll 1 Tal och algebra

6

4 Prio – från 7 till 9

138

1.1 Bråk.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1 Taluppfattning och tals användning. . . . . . . . 140

1.2 Addition och subtraktion av bråk. . . . . . . . . . . . 12

4.2 Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

1.3 Multiplikation av bråk.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

1.4 Division av bråk.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 Sannolikhet och statistik. . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

1.5 Algebraiska uttryck.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5 Samband och förändring.. . . . . . . . . . . . . . . . . 198

1.6 Multiplicera uttryck i parenteser.. . . . . . . . . . . . 28

4.6 Problemlösning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

1.7 Faktorisera uttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.8 Ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.9 Problemlösning med ekvationer. . . . . . . . . . . . 39

2 Samband och förändring

5 Mer Prio

220

5.1 Är det sant?.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.2 Ut och resa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

54

5.3 Banker, lån och ränta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

2.1 Funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 Konjugat- och kvadreringsregler.. . . . . . . . . . . 229

2.2 Linjära funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5 Andragradsekvationer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

2.3 Räta linjens ekvation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.6 Talbaser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

2.4 Procentuell förändring.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 Upprepad procentuell förändring. . . . . . . . . . . 78

3 Geometri

94

3.1 Symmetri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2 Likformighet och kongruens.. . . . . . . . . . . . . . . 99 3.3 Längdskala.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4 Areaskala och volymskala.. . . . . . . . . . . . . . . . 110

Blandade uppgifter

238

Metodsamling

244

Facit

268

Register

294

3.5 Likformiga trianglar och topptriangelsatsen.. 116 3.6 Pythagoras sats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Prio9_framvagn_4tryck.indd 5

2016-03-08 17:22

1

Tal och algebra När du först lärde dig räkna räckte det med hela tal. För att kunna lösa fler och svårare problem har du även fått lära dig använda negativa tal, tal i bråkform och irrationella tal som π.

Inom algebran räknar man inte bara med tal, utan även med symboler för tal, till exempel x. Algebra ligger bakom mycket av det du möter i din vardag, som t.ex. sökfunktioner på internet.

I det här kapitlet får du lära dig mer om hur man räknar med tal i bråkform. Du får även fördjupa dina kunskaper i algebra genom att till exempel förenkla uttryck och lösa ekvationer.

Centralt innehåll Reella tal och deras egenskaper LL

Innebörden av variabelbegreppet LL

Centrala metoder för beräkningar LL

Algebraiska uttryck, formler och LL

samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer. med tal i bråkform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer.

och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer. ekvationer i situationer som är relevanta för eleven.

Metoder för ekvationslösning.

LL

6

Prio9_kap01_4tryck.indd 6

2016-03-08 17:22

Avsnitt

Begrepp

1.1 Bråk

bråk täljare nämnare blandad form förlänga förkorta enklaste form minsta gemensamma nämnare, MGN

1.2 Addition och subtraktion av bråk 1.3 Multiplikation av bråk 1.4 Division av bråk 1.5 Algebraiska uttryck 1.6 Multiplicera uttryck i parenteser 1.7 Faktorisera uttryck 1.8 Ekvationer

algebra numeriska uttryck algebraiska uttryck förenkla faktorisera ekvation obekant prövning

1.9 Problemlösning med ekvationer

Uppvärmning 1 4 Vilket bråk är mindre än __ ​ ​ ?

1 Vilket av följande bråk är störst?

3 A ​ __ ​ 4

3 B ​ __ ​ 5

3 C ​ __ ​ 6

2 Vilket av följande bråk har inte samma värde

6 som ___ ​ ​ ?

10 3 A ​ __ ​ 5

6 5

B ​ __ ​

12 20

C ​ ___ ​

10 10

3 B ​ ___ ​ 20

6 C ​ ___ ​ 10

26 B ​ ___ ​ 50

2

19 40

C ​ ___ ​

5 Om x = 5, så har uttrycket 2x + 3 värdet A

3 3 3 Summan ___ ​ ​ + ​ ___ ​ är lika med 6 A ​ ___ ​ 20

15 A ​ ___ ​ 20

13

B

16

C

28

6 Uttrycket 5x + 3y + 2x – y kan förenklas till A

7x + 3

B

7x + 2y

C

9xy

7 Ekvationen 4x – 3 = 41 har lösningen A

x = 4

B

x = 11

C

x = 44

7

Prio9_kap01_4tryck.indd 7

2016-03-08 17:22

1.1 Bråk Bråk

3

5

  ____  ​ ​  

Täljare Nämnare

Förlänga

Thea och Yasmine äter på varsin lika stor chokladkaka. Thea har 3 6 ​ ​ av sin chokladkaka och Yasmine har ätit ___ ätit __ ​ ​ av sin chokladkaka.

5 10 De har ätit lika stor andel.

3 Genom att multiplicera både täljare och nämnare i bråket ​ __ ​ med 2 får 5 6 3 ​ ​. Man säger att man har förlängt __ man bråket ___ ​ ​ med 2. Värdet av ett 10 5 bråk förändras inte när man förlänger det.

3 3 ∙ 2 ___ 6 ​ __ ​ = ____ ​ ​ = ​ ​ 5 5 ∙ 2 10

=

1

Multiplicera täljare och nämnare med 2.

Värdet av bråket förändras inte.

Förkorta

6 1 Bråken ___ ​ ​ och ​ __ ​ har samma värde. Om man dividerar både täljare och 12 2 6 1 nämnare i bråket ​ ___ ​ med 6, så får man ​ __ ​. Man har förkortat bråket 12 2 med 6. Värdet av ett bråk förändras inte när man förkortar det.

6 6/6 1 ​ ___ ​ = ​ _____ ​ = ​ __ ​ 12 12/6 2

=

Dividera täljare och nämnare med 6.

Värdet av bråket förändras inte.

Enklaste form

Blandad form

Exempel

Lösning

När man inte kan förkorta ett bråk är det förkortat så långt som möjligt.

Man har då skrivit bråket i enklaste form. Enklaste form av bråket 6 1 ___ ​ ​ är ​ __ ​ 12 2 12 2 Bråket ___ ​ ​ är större än en hel. Man kan skriva det som 2 __ ​ ​ . Då har man 5 5 skrivit bråket i blandad form, det vill säga med både heltal och tal i bråkform.

15 Skriv bråket ___ ​ ​ i enklaste form.

25 Både 15 och 25 är delbara med 5. Förkorta bråket med 5.

15 15/5 3 ___ ​ ​ = ​ _____ ​ = ​ __ ​ 25

25/5 5 3 Svar: __ ​ ​ 5

8

3 Bråket ___ ​ ​ kan inte förkortas längre. Det är i enklaste form.

5

tal och algebra 1.1 bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 8

2016-03-08 17:22

Exempel

Vilket bråk är störst?

3 a) ​ __ ​ eller 4

Lösning

3 ​ ___ ​ 10

9 b) ​ ___ ​ eller 20

8 ​ ___ ​ 14

5 c) ​ __ ​ eller 8

9 ​ ___ ​ 16

a) Bråken har samma täljare. Eftersom en fjärdedel är större än 3 3 en tiondel, så är __ ​ ​> ​ ___ ​ 4 10 3 ​ ​ är störst.

Svar: __ 4 1 b) Jämför bråken med __ ​ ​ 2 1 10 9 1 ___ ​ ​ ​ ​ = ____ ​ ___ ​ är mindre än ​ __ ​ 2 20 20 2 8 1 1 7 ___ ​ ___ ​ är större än ​ __ ​ ​ ​ ​ ​ = ____ 2 14 14 2 8 9 Därför är ​ ___ ​ > ​ ___ ​ 14 20 8 Svar: ​ ___ ​ är störst.

14

1

c) Bråken har olika täljare och nämnare. För att jämföra dem kan 5 man förlänga __ ​ ​ med 2 så att bråken får samma nämnare.

8 5 5 10 ∙ 2 ​ __ ​= ​ ____ ​= ​ ___ ​ 8 8 ∙ 2 16 10 9 5 9 Eftersom ___ ​ ​ > ​ ___ ​, så är ​ __ ​> ​ ___ ​ 16 16 8 16 5 Svar: ​ __ ​ är störst.

8 Övningsblad 1.1 A och B

Aktivitet 1.1

Starter

3 Qaiser har sett __ ​ ​ av avsnitten i sin 4 1 favoritserie. Alexandra har sett __ ​ ​ av 2 avsnitten av sin favoritserie.

Vem har sett flest avsnitt?

NIVÅ ETT

1 Vilka av följande bråk har samma värde 1 som __ ​ ​?

2

10 ____ ​ ​ 20

5 __ ​ ​ 9

30 ____ ​ ​ 60

16 ____ ​ ​ 8

5 ____ ​ ​ 10

2 Skriv 3 olika bråk som har samma värde 6 som __ ​ ​ 8

tal och algebra 1.1 bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 9

9

2016-03-08 17:22

3 Vilka av bråken i rutan är större än 1?

8 __ ​ ​

5 __ ​ ​ 9

3

4 ____ ​ ​

15 a) ​ ___ ​ 25

6 __ ​ ​

10

8 Förkorta bråken med 5.

5

1

11 ____ ​ ​ 20

1 2

23 ____ ​ ​ 50

rutan.

det minsta.

5 __ ​ ​ 9

b)

2 __ ​ ​ 9

21 ____ ​ ​ 2

5 Skriv bråken i storleksordning. Börja med a)

1 2

9,4

3 __ ​ ​ 2

5 __ ​ ​ 2

9 b) Skriv __ ​ ​ i blandad form. Välj bland talen i 4 rutan.

10 ____ ​ ​

15 c) ​ ___ ​ 20

9 a) Skriv 2 __ ​ ​ i bråkform. Välj bland talen i

4 Vilka av bråken i rutan är mindre än __ ​ ​?

3 8 __ ​ ​ ​ ​ ____ 7 17

40 b) ​ ___ ​ 45

1 1 ​ ​ 9 __ ​ ​ 2 __ 4 4

9

10 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten 7 7 ____ ​ ​ ​ __ ​ 10

6

7 ​ ____ ​ 25

1 3 som den består av tre delar och en är färgad.

Förklara vad som är fel i hans resonemang.

6 Ahmed påstår att __ ​ ​ av bilden är färgad efter-

ska gälla?

5 x a) ​ __ ​= ​ ___ ​ 8 16 3 9 ​ ​ c) ​ __ ​ = __ 7 x

1 x b) ​ __ ​ = ​ ___ ​ 4 12 x 2 d) ​ ___ ​ = ​ __ ​ 10 5

11 Felicia vet inte vilket som är störst av talen 1 1 ___ ​ ​ och ​ ___ ​. Förklara hur hon kan tänka för

20 19 att avgöra vilket tal som är störst.

12 Stefan och Patrik har beställt två likadana

7 Förläng bråken med 4.

3 a) ​ __ ​ 5

10

1 b) ​ __ ​ 8

3 c) ​ ___ ​ 25

3 pizzor. Stefan har ätit upp __ ​ ​av sin pizza.

4 2 Patrik har lämnat kvar __ ​ ​ av sin pizza. Vem 5 har ätit mest pizza?

tal och algebra 1.1 bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 10

2016-03-08 17:22

mindre än 1.

13 Skriv av tabellen och fyll i det som saknas.

7 8

18 Skriv tre olika bråk som är större än __ ​ ​ men

NIVÅ två

Bråkform

Blandad form

9 __ ​ ​

1 2 __ ​ ​ 4 1 3 ​ __ ​ 5

4

19 Använd överslagsräkning för att avgöra om följande summor är större eller mindre än 1.

4 1 4 5 a) ​ __ ​ + ​ __ ​ b) ​ __ ​ + ___ ​ ​ 9 3 8 12 11 3 7 11 d) ​ ___ ​ + ​ __ ​ c) ​ ___ ​ + ​ ___ ​ 13 20 25 6 1 20 Rita en kvadrat med sidan 6 cm. Färglägg __ ​ ​ 3 av omkretsen.

9 __ ​ ​ 7

2 4 __ ​ ​ 3 23 ____ ​ ​ 8

a) en halvtimme

24 b) ​ _____ ​ 400 30 d) ​ _____ ​ 200

25 a) ​ ___ ​ 35

24 b) ​ ___ ​ 36

nivå TRE

22 Figuren består av kvadrater. Hur stor andel är färgad?

15 Skriv bråken i enklaste form.

b) tre kvart

Svara med ett bråk i enklaste form.

14 Förläng eller förkorta bråken så att nämnaren blir 100.

7 a) ​ ___ ​ 20 8 c) ​ ___ ​ 25

1

21 Hur stor andel av ett dygn är

3 6 __ ​ ​ 4

64 c) ​ ____ ​ 112

16 Vilka får mest: 4 personer som delar på 3 persikor eller 8 personer som delar på 5 persikor?

17 Skriv bråken i storleksordning. Börja med det minsta. a)

7 3 __ ​ ​ ​ ​ ___ 6

9

4 ​ __ ​ 5

23 Bråken är skrivna i storleksordning med det 8 15 ___ 21 största talet först: __ ​ ​ ___ ​ ​ ​ ​ 7 14 20 8 Förklara med ord hur du kan veta att __ ​ ​ är 7 15 21 15 större än ___ ​ ​ och att ​ ___ ​ är större än ​ ___ ​ 14 14 20

24 Hur många olika bråk finns det som är större b)

c)

24 ____ ​ ​ 48

13 6 ____ ​ ​ ____ ​ ​ 25 14

2 __ ​ ​

3 15 ___ ​ ​ ____ ​ ​

3

4

24

3 ​ ​ men mindre än 1? Motivera ditt svar. än __ 4

2 2 3 3 b) Vilket bråk på tallinjen har ett fem gånger 1 så stort avstånd till talet ___ ​ ​ som det har 15 1 till talet – ​ __ ​ ?

3

25 a) Rita en tallinje från – ​ __ ​ till ​ __ ​

tal och algebra 1.1 bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 11

11

2016-03-08 17:22

1.2 Addition och subtraktion av bråk Samma nämnare

4 1 Bråken i uttrycket __ ​ ​ + ​ __ ​ har samma nämnare. Man kan beräkna 9 9 summan direkt genom att addera täljarna: 4 1 4 + 1 __ 5 ​ __ ​ + ​ __ ​ = ​ _____ ​ = ​ ​ 9 9 9 9

Olika nämnare

1

Bråken har också andra gemensamma nämnare, t.ex. 12: 2 8 1 · 2 2 · 4 ____ ​= ​ ​ + ____ ​ ​ ​ = ​ ______ ​+ ______ 6 · 2 3 · 4 12 12 10 5 ​ ​ = ​ ____ ​= __ 12 6

Exempel

1 2 I uttrycket __ ​ ​ + ​ __ ​ har bråken olika nämnare. För att kunna beräkna 6 3 2 summan förlänger man ​ __ ​ med 2. Bråken får den minsta gemensamma 3 nämnaren, MGN 6: 1 2 1 2 ∙ 2 1 4 1 + 4 __ 5 __ ​ ​ + ​ __ ​ = ​ __ ​ + ​ _____ ​ = ​ __ ​ + ​ __ ​ = ​ _____ ​ = ​ ​ 6 3 6 3∙2 6 6

Lösning

6

För att kunna addera och subtrahera tal i bråkform måste de först skrivas med en gemensam nämnare.

Beräkna 3 2 a) ​ __ ​ + __ ​ ​ 7 7

6

5 1 b) ​ ___ ​ – ​ __ ​ 16 4

3 1 c) ​ __ ​+ ​ __ ​ 4 6

3 2 _____ 3+2 5 a) ​ __ ​ + __ ​ ​ = ​ ​ = __ ​ ​

7 7 7 7

5 1 5 1 ∙ 4 5 4 5 – 4 ___ 1 b) ​ ___ ​ – ​ __ ​ = ​ ___ ​ – ​ _____ ​ = ​ ___ ​ – ​ ___ ​ = ​ _____ ​ = ​ ​ 16 4 16 4 ∙ 4 16 16 16 16

Bråken har samma nämnare. Man kan addera täljarna direkt.

1 Bråken har olika nämnare. Förläng ​ ___ ​ 4 med 4 för att få den gemensamma nämnaren 16.

c) Metod 1 3 1 Bråken har olika nämnare. Förläng __ ​ ​ med 3 och ​ __ ​ med 2 för att 4 6 få den minsta gemensamma nämnaren, MGN 12.

3 1 3 ∙ 3 1 ∙ 2 9 2 9 + 2 ___ 11 ​ __ ​+ ​ __ ​ = ​ _____ ​+ ​ _____ ​ = ​ ___ ​ + ​ ___ ​ = ​ _____ ​ = ​ ​ 4 6 4 ∙ 3 6 ∙ 2 12 12 12 12

Metod 2

Det är inte nödvändigt att använda just den minsta gemensamma nämnaren. Man kan alltid förlänga varje bråk med det andra bråkets nämnare och sedan förkorta i svaret.

3 1 3 ∙ 6 1 ∙ 4 18 4 22 11 ​ __ ​+ ​ __ ​ = ​ _____ ​+ ​ _____ ​ = ​ ___ ​ + ​ ___ ​ = ​ ___ ​= ​ ___ ​ 4 6 4 ∙ 6 6 ∙ 4 24 24 24 12 Förkorta med 2 för att få enklaste form.

12

tal och algebra 1.2 addition och subtraktion av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 12

2016-03-08 17:22

Exempel Förenkla

x x a) ​ __ ​+ ​ __ ​ 3 3 Lösning

3a a b) ​ ___ ​ – ​ __ ​ 4 2

Bråk med variabler adderas och subtraheras på samma sätt som andra bråk. x x x + x ___ 2x a) ​ __ ​+ ​ __ ​= ​ _____ Bråken har samma nämnare. Man kan addera ​ = ​ ​ 3 3 3 3

täljarna direkt.

3a a 3a a · 2 3a 2a 3a – 2a __ a b) ​ ___ ​ – ​ __ ​= ​ ___ ​ – ​ _____ ​= ​ ___ ​ – ​ ___ ​ = ​ ________ = ​ ​ ​ 4 2 4 2·2 4 4 4 4

1

a Förläng ___ ​ ​med 2 för att få den gemensamma nämnaren 4.

2

Aktivitet 1.2

Starter

3 1 __ 4 Ebba tror att __ ​ ​ + __ ​ ​ = ​ ​ 5 2 7 a) Använd ord, bilder och beräkningar och visa varför det är fel. b) Hur kan Ebba ha tänkt när hon utförde beräkningen?

4 Vilken är den minsta gemensamma nämnaren, MGN, till bråken 3 1 2 9 3 1 a) ​ __ ​ och ​ __ ​ b) ​ __ ​ och ___ ​ ​ c) ​ __ ​ och ​ __ ​ 8 4 5 20 4 6

5 Beräkna 1 1 a) ​ __ ​ + ​ __ ​ 3 6

7 3 b) ​ ___ ​ – ​ __ ​ 10 5

1 1 c) ​ __ ​ – ​ __ ​ 2 8

1 3 3 med __ ​ ​ liter fruktsoda. Hur många liter blir 4 Sverkers bål?

6 Till bålet blandar Sverker __ ​ ​ liter flädersaft

NIVÅ ETT

Beräkna 5 2 1 a) ​ __ ​– ​ __ ​ 8 8 7 4 10 10

2 a) ​ ___ ​ – ​ ___ ​

1 4 b) ​ __ ​ + ​ __ ​ 9 9

3 1 c) ​ __ ​ + __ ​ ​ 5 5

3 3 b) ​ ___ ​ + ​ ___ ​ 16 16

7 c) 1 – ____ ​ ​ 100

3 Hur många delar behöver färgas i figuren till höger för att likheten ska gälla? a)

Övningsblad 1.2

+

1 4

7 I en säck med innebandybollar är __ ​ ​ blå,

1 ​ __ ​ gula och resten gröna.

8 a) Hur stor andel av bollarna är antingen blå eller gula? b) Hur stor andel av bollarna är gröna?

=

b) +

=

tal och algebra 1.2 addition och subtraktion av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 13

13

2016-03-08 17:22

3 1 8 4

8 Några elever har beräknat __ ​ ​ – ​ __ ​ och kommit

14 Vilken är den minsta gemensamma nämnaren, MGN, till bråken 3 4 5 2 5 a) ​ __ ​ och ​ __ ​ b) ​ __ ​ och ​ __ ​ c) ​ __ ​ och 4 5 6 9 8

fram till olika svar.

3 1 3–1 2 1 Kasandro: ​ __ ​ – ​ __ ​ = ​ _____ ​ = ​ __ ​= ​ __ ​ 8 4 8–4 4 2 1 3 2 1 3 John: ​ __ ​ – ​ __ ​ = ​ __ ​ – ​ __ ​ = ​ __ ​ 8 4 8 8 8 1 1,5 1 ____ 0,5 3 ​ ​ = ​ ​ Sixten: ​ __ ​ – ​ __ ​ = ​ ___ ​ – __ 8 4 4 4 4 a) Vem eller vilka har rätt?

15 Förenkla

b) Vad har de övriga gjort för fel?

nivå TRE

x x a) ​ __ ​+ ​ __ ​ 4 4

4x x b) ​ ___ ​ + ​ __ ​ 5 5

1 ​ __ ​ 6

3x x c) ​ ___ ​ – ___ ​ ​ 10 10

16 Talen x och y är positiva heltal. Vilka tal är x

1

NIVÅ två

3 1 4 2 a) Lös uppgiften med hjälp av en figur.

9 Du har fått i uppgift att beräkna __ ​ ​– ​ __ ​ b) Lös uppgiften med en beräkning.

Beräkna och svara i enklaste form 7 1 2 4 3 1 10 a) ​ __ ​– ​ __ ​ b) ​ __ ​ + ​ __ ​ c) ​ __ ​ + __ ​ ​ 8 4 3 9 5 4 5 1 8 3

11 a) ​ __ ​– ​ __ ​ 2 7

12 a) 3 – __ ​ ​

5 3 b) ​ __ ​– ​ __ ​ 6 4

2 1 c) ​ __ ​ + ​ __ ​ 3 5

9 2 b) 2 ___ ​ ​ + ​ ___ ​ 10 10

1 3 1 c) ​ __ ​ + ​ ___ ​ – ​ __ ​ 2 10 5

13 På en lunchrestaurang finns det tre alternativ som dagens rätt: kött, fisk eller 2 vegetariskt. En dag valde __ ​ ​ av gästerna 3 1 ​ ​ fisk och resten vegetariskt. Hur stor kött, __ 4 andel av gästerna valde att äta vegetariskt?

x y 31 och y om __ ​ ​+ ​ ___ ​ = ​ ___ ​ ?

3 11 33

17 Ett stambråk är ett bråk med täljaren 1.

Beräkna summan av följande stambråk 1 1 1 1 1 1 1 a) ​ __ ​ + ​ __ ​ + ​ ___ ​ b) ​ __ ​ + ​ __ ​ + ​ __ ​ + ​ __ ​ 2 4 10 2 3 4 5

18 Beräkna och svara i enklaste form.

2 1 ​ ​ + 1 __ a) 4 __ ​ ​ 9 3

3 5 b) 5 __ ​ ​– 2 ​ __ ​ 4 8

1 10 c) 3 __ ​ ​ – ​ ___ ​ 6 12

x x b) ​ __ ​+ ​ __ ​ 6 3

3 1 c) ​ ___ ​ + ​ ___ ​ 4x 2x

19 Förenkla 3 5 a) ​ __ ​+ __ ​ ​ x x

1 5 3 __ ​ ​. Vilket kan det andra talet vara?

4

20 Differensen av två tal är __ ​ ​. Det ena talet är

14

tal och algebra 1.2 addition och subtraktion av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 14

2016-03-08 17:22

1.3 Multiplikation av bråk Multiplikation med heltal

2 Mohammed, Aron och Elias äter __ ​ ​ var av en baguette.

7 Sammanlagt äter de 3 kompisarna 2 2 __ 2 6 __ ​ ​ + __ ​ ​ + ​ ​ = __ ​ ​ 7

7

7

7

Man kan beräkna samma sak genom att multiplicera antalet personer med andelen som varje person har ätit: 2 3 ∙ 2 __ 6 3 ∙ ​ __ ​ = ____ ​ ​ = ​ ​ 7 7 7

Heltalet multipliceras med täljaren.

3 2 Eftersom 3 = __ ​ ​ kan multiplikationen 3 ∙ __ ​ ​ också skrivas 1 7 2 3 __ 2 3 ∙ 2 __ 6 Täljare multipliceras med täljare.

3 ∙ ​ __ ​ = __ ​ ​ ∙ ​ ​ = ____ ​ ​ = ​ ​ 7 1 7 1∙7 7 Nämnare multipliceras med nämnare.

Multiplikation med bråk

1

1 4 Till baguetten äter Aron soppa. Han äter upp __ ​ ​ av ​ __ ​ liter. Hur mycket 3 5 1 4 soppa Aron äter kan beräknas med hjälp av multiplikationen ​ __ ​ · ​ __ ​ : 3 5 Täljare multipliceras med täljare.

1 4 1·4 4 ​ __ ​ · ​ __ ​ = ​ ____ ​ = ​ ___ ​ Nämnare multipliceras med nämnare.

3 5 3 · 5 15 1 4 Multiplikationen __ ​ ​ · ​ __ ​ kan också visas med en bild: 3 5 4 1 4 ____ ___ ​ ​ = ​ ​ ​ ​ · ___ 3 5 15

          

1  __  ​ ​ 3 4 __ ​ ​ 5

4 Aron äter ___ ​ ​ liter soppa.

15

Multiplikation av bråk När man multiplicerar ett heltal med ett bråk, multiplicerar man heltalet med täljaren. b a∙b a ∙ __ ​ ​= ____ ​ ​ c c

8 2 4 ∙ 2 ___ ​ ​ = ​ ​ T.ex. 4 ∙ ___ ​ ​ = ______ 9 9 9

När man multiplicerar två bråk, multiplicerar man täljarna för sig och nämnarna för sig. a c a∙c __ ​ ​∙ ​ __ ​= ​ ____ ​ b d b∙d

2 ∙ 4 ____ 8 2 4 ______ ​ ​ = ​ T.ex. ___ ​ ​ ∙ ___ ​= ​ ​ 9 5 9 ∙ 5 45

tal och algebra 1.3 multiplikation av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 15

15

2016-03-08 17:22

Exempel

Lösning

3 Pär simmar __ ​ ​ timme varje gång han tränar. En månad simmade 4 han 9 gånger. Hur länge simmade Pär sammanlagt den månaden?

3 9 ∙ 3 ___ 27 9 ∙ __ ​ ​= ​ ____ ​ = ​ ​ 4 4 4 27 3 ___ ​ ​ = 6 __ ​ ​ 4 4

Heltalet multipliceras med täljaren.

Det är enklare att se ungefär hur stort svaret är om du skriver i blandad form.

3 Svar: Pär simmade sammanlagt 6 __ ​ ​ timmar.

4

1

Exempel

3 6 ___ ​ ​ timmar = 6 timmar 4 och 45 minuter.

7 2 Beräkna __ ​ ​∙ ​ __ ​ och svara i enklaste form.

8 9 7 2 7 ∙ 2 14 14/2 7 8 9 8 ∙ 9 72 72/2 36

Lösning ​ __ ​∙ ​ __ ​= ____ ​ ​= ​ ___ ​ = ​ _____ ​ = ​ ___ ​ Täljare multipliceras med täljare.

Nämnare multipliceras med nämnare.

Skriv svaret i enklaste form genom att förkorta med 2.

Man kan även förkorta i beräkningen, innan man multiplicerar: 7 2 7 ∙ 2 1 _____ 7∙1 7 ​ __ ​∙ ​ __ ​= ____ ​ ​= ​ ​ = ​ ___ ​ 8 9 4 8 ∙ 9 4 ∙ 9 36 Förkortar med 2

7 Svar: ___ ​ ​ 36

Exempel

Förenkla 4 x a) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 5 2

Lösning

6x y b) ​ ___ ​∙ ​ __ ​ y 9

4 x 2 4 ∙ x 2 ∙ x 2x a) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​= ​ ____ ​= ​ ____ ​ = ___ ​ ​ 5 2 5 ∙ 21 5 ∙ 1 5

2x Svar: ___ ​ ​ 5 6x y 26 ∙ x ∙ y 1 b) ​ ___ ​∙ ​ __ ​= ​ _______ ​ = y 9 1 y ∙ 93

Multiplicera täljare för sig och nämnare för sig.

Förkorta med 2 i beräkningen.

2 ∙ x ∙ 1 ___ 2x _______ ​ ​ = ​ ​ Multiplicera täljare för sig och nämnare för sig.

1∙3

3

Förkorta med både 3 och y i beräkningen.

2x Svar: ___ ​ ​ 3 Övningsblad 1.3

16

tal och algebra 1.3 multiplikation av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 16

2016-03-08 17:22

8 Vilket bråk är

Starter

2 a) dubbelt så stort som __ ​ ​ 3 1 b) hälften så stort som __ ​ ​ 2

Vilket bråk kan A vara om 3 3 a) ​ __ ​ ∙ A är mindre än ​ __ ​ 8 8 3 3 b) ​ __ ​ ∙ A är större än ​ __ ​ 8 8 3 3 c) ​ __ ​ ∙ A är lika med ​ __ ​ 8 8

9 Vilka av följande

NIVÅ ETT

1 Beräkna 1 a) 3 ∙ __ ​ ​ 8

2 b) 5 ∙ ___ ​ ​ 13

2 c) 4 ∙ ___ ​ ​ 11

5 = __ ​ ​ 6 12 = ___ ​ ​ 7

b) d)

2 8 ∙ __ ​ ​ = __ ​ ​ 9 9 3 9 ∙ __ ​ ​ = ___ ​ ​ 5 20

6 3 Vilka uttryck har samma värde som __ ​ ​ ?

7

3 6 __ ​ ​ ​ ​ ∙ __ 7 3

6 2 __ ​ ​ ∙ __ ​ ​ 7 2

4 6 __ ​ ​ ∙ __ ​ ​ 5 7

5 6 __ ​ ​ ∙ __ ​ ​

5 ∙ 4 20 5 __ ​ ​∙ 4 = ​ _____ ​= ​ ___ ​

4 5 __ ​ ​ ∙ __ ​ ​

5 5 5 4 __ ​ ​ ∙ __ ​ ​ 4 5 4 7 __ ​ ​ ∙ __ ​ ​ 5 9

1

5 6

6 6 ∙ 4 24 Har Miriam gjort rätt? Motivera ditt svar.

NIVÅ två

Beräkna och svara i enklaste form.

5 4 3 5 7 8 11 a) ​ __ ​∙ ​ __ ​ b) ​ ___ ​ ∙ ​ __ ​ c) ​ ___ ​ ∙ ​ __ ​ 8 7 10 6 12 9 8 10 15 11

12 a) ​ ___ ​ ∙ ​ ___ ​

5 7

3 5 4 6 ​ ​ ​ __ ​∙ __ 5 6 7 4 __ ​ ​ ​ ​ ∙ __ 3 5

10 Miriam ska beräkna __ ​ ​∙ 4. Hon räknar så här:

2 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska gälla?

1 a) ​ __ ​ ∙ 6 3 c) ​ __ ​ ∙ 7

1 4 __ ​ ​ ​ ​∙ __

produkter är 4 ​ ​ a) större än __ 5 4 b) mindre än __ ​ ​ 5 4 c) lika med __ ​ ​ 5

5 4 b) ​ ___ ​ ∙ ​ ___ ​ 12 15

3 8 c) ​ ___ ​ ∙ ​ ___ ​ 16 27

4 I åk 9 på Centralskolan finns det 75 elever.

3 Av dem har __ ​ ​ konfirmerat sig. Hur många 5 elever har konfirmerat sig?

Beräkna 1 3 5 a) ​ __ ​∙ ​ __ ​ 7 5 3 5 4 7

6 a) ​ __ ​∙ ​ __ ​

4 1 b) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 9 3

1 4 c) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 5 3

1 3 b) ​ __ ​ ∙ ​ ___ ​ 8 10

2 4 c) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 3 5

7 Viktor bakar bröd. Till ett bröd behövs

2 __ ​ ​ liter mjöl. Hur mycket mjöl behövs till

3 24 bröd?

tal och algebra 1.3 multiplikation av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 17

17

2016-03-08 17:22

13 Beräkna och svara i enklaste form.

2 1 3 a) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 3 4 5

nivå TRE

8 1 3 b) ​ __ ​∙ ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 9 6 4

20 Beräkna och svara i enklaste form.

7 16 15 a) ​ __ ​∙ ​ ___ ​ ∙ ​ ___ ​ 8 35 42

14 Hur förändras värdet av ett bråk om a) täljaren multipliceras med 2

21 Två bråk med olika nämnare har produkten

b) nämnaren multipliceras med 2

4 __ ​ ​ . Ge två olika förslag på vilka bråk det kan

c) bråket förlängs med 2

15 Catrine, Åsa och Petra äter äppelpaj. När de

1

2 ​ ​ av pajen kommer Jonas. Alla delar har ätit __ 3 lika på det som är kvar. Hur stor del av hela pajen får Jonas?

16 För att beräkna hälften av ett tal kan man 1 multiplicera det med __ ​ ​.

5 c) ​ __ ​∙ 6

19 Beräkna och svara i enklaste form.

18

ska gälla?

3 3 a) x ∙ __ ​ ​= ​ __ ​ 4 2

3 1 b) ​ __ ​ ∙ x = ​ ___ ​ 8 16

23 Beräkna och svara i enklaste form.

7 2 3 b) ​ __ ​– ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 8 3 4

18 Ge förslag på ett bråk som kan stå i rutan så

1 4 5 a) ​ __ ​ · ​ ___ ​ · ​ __ ​ 2 15 6

22 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten

( )

1 17 Förklara vad det är för skillnad på 4 __ ​ ​ och 8 1 4 ∙ __ ​ ​ 8

> 1

5 vara.

1 1 4 ​ ​ – ​ __ ​ ​∙ __ ​ ​ a) ​ __ 4 8 5

2 9 ​ ​ a) Beräkna hälften av ___ 12 b) Visa med hjälp av en figur.

att likheten gäller.

5 5 a) ​ __ ​∙ = 1 b) ​ __ ​∙ 6 6

21 2 15 b) ​ ___ ​ ∙ ​ __ ​∙ ___ ​ ​ 45 9 28

2 4 3 b) ​ __ ​ · ​ __ ​ · ​ ___ ​ 3 9 16

<1

Förenkla 3x 4 24 a) ​ ___ ​ ∙ ​ ___ ​ 8 15 12a 10 5 3a

25 a) ​ ____ ​ ∙ ​ ___ ​

2x x b) ​ ___ ​ ∙ __ ​ ​ 5 6

9y 20 c) ​ ___ ​ ∙ ​ ___ ​ 5 3y

4x2 6 b) ​ ____ ​ ∙ ___ ​ ​ 5 7x

4a 3a ___ ​ ∙ ​ ​ c) ​ ___ b3 9b

1 3 3 chokladbitarna. Sedan bjöd hon på __ ​ ​ av de 5 chokladbitar som var kvar. De sista 12 bitarna var det ingen som ville äta upp. Hur många chokladbitar åt Saga?

26 Saga hade en chokladask. Hon åt upp __ ​ ​ av

tal och algebra 1.3 multiplikation av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 18

2016-03-08 17:22

1.4 Division av bråk

3 Ingrid har __ ​ ​ liter smet som hon ska hälla i muffinsformar. Varje form 4 1 har volymen __ ​ ​ liter. För att räkna ut hur många muffins som smeten 8 1 3 ​ ​ i ​ __ ​? räcker till ställer hon frågan: Hur många gånger ryms __ 8 4 1 __ ​ ​

1 ​ __ ​ 8 1 ​ __ ​ 8

8 1 ​ __ ​ 8

1 __ ​ ​

1 ​ __ ​ 8 1 ​ __ ​ 8

8 1 ​ __ ​ 8

      

      

4

4

3 __ ​ ​

3 __ ​ ​

1

1 3 Bilden visar att __ ​ ​ ryms 6 gånger i ​ __ ​. Ingrid har gjort beräkningen 8 4 3 1 ​ ​ = 6. Smeten räcker till 6 muffins. ​ __ ​ __ 4 8

/

3 8 Om man beräknar multiplikationen __ ​ ​· ​ __ ​ ser man att den ger samma 4 1 3 1 ​ ​ ovan: resultat som divisionen __ ​ ​ __ 4 8

/

3 8 3 ∙ 8 ___ 24 ​ __ ​∙ ​ __ ​ = ____ ​ ​ = ​ ​ = 6 4 1 4∙1 4

Inverterat tal

Dubbelbråk

3 3 8 ___ ​ ​ ger samma resultat som ___ ​ ​ ​ ​ · ___ 4 1

4

/

1 ___ ​ ​ 8

1 Att dividera ett tal med __ ​ ​ ger samma resultat som att multiplicera talet 8 8 med __ ​ ​ , där täljare och nämnare har bytt plats. Det kallas för det 1 inverterade talet till bråket. Att dividera med ett bråk ger samma resultat som att multiplicera med det inverterade talet.

Ett annat sätt att dividera med bråk är att se divisionen som ett 3 1 ​ ​ och nämnaren är ​ __ ​ : dubbelbråk, där täljaren är __ 4 8 3 3 __ 8 3 __ 8 ​ ​∙ ​ ​ __ ​ ​∙ ​ ​ ​ __ ​ __ 1 ___ 3 __ 4 4 1 4 1 = ____ __ _____ _____ ​ ​ ​ ​ = ​ 1 ​ = ​ 1 8 ​= ​ 1 ​ ​ 24 ​ 34 ∙∙ 81 ​ = ___ 4 ​ = 6 4 8 __ __ __ ​ ​ ​ ​ ∙ ​ ​ 8 8 1

/

8 Förläng med ___ ​ ​ så att nämnaren blir 1.

1

Division av bråk I det inverterade talet till ett bråk har täljare och nämnare bytt plats.

När man dividerar två bråk multiplicerar man det första bråket med det inverterade talet till det andra bråket.

/

a c __ a d a∙d __ ​ ​ __ ​ ​= ​ ​∙ ​ __ ​= ____ ​ ​ b d b c

b∙c

/

2 7 ______ 2 ∙ 7 ____ 14 2 5 ___ ​ ​ = ​ T.ex. ___ ​ ​ ___ ​ ​ = ​ ​ ∙ ___ ​= ​ ​ 3 7 3 5 3 ∙ 5 15

tal och algebra 1.4 division av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 19

19

2016-03-08 17:22

Exempel

Beräkna genom att rita figur.

/

/

1 a) 2 __ ​ ​ 4

Lösning

6 b) ​ __ ​ 3 7

1 a) ​ __ ​ ryms 8 gånger i 2: 4 1 ​ ​ = 8 2 __ 4 6 2 ​ ​ på 3 ger ​ __ ​ till varje: b) Att dela __ 7 7 2 6 __ ​ ​ ​ ​ 3 = __ 7 7

2 hela motsvarar 8 fjärdedelar.

/

1 Exempel

2  __  ​ ​  7

      

/

6 __ ​ ​ 7

4 Familjen Ottossons hushåll orsakar ett utsläpp av __ ​ ​ ton koldioxid 5 per år. a) Hur mycket motsvarar det per månad?

2 ​ ​ ton per år. b) Varje familjemedlem bidrar till ett utsläpp av ___ 15 Hur många personer består familjen Ottosson av?

Lösning

a) Det är 12 månader på ett år:

/

1

4 4 1 4·1 1·1 1 __ ​ ​ 12 = __ ​ ​ · ​ ___ ​ = ​ _____ ​ = ​ ____ ​ = ​ ___ ​ 5

5 12 5 · 12 3 5 · 3 15

Multiplicera med det inverterade talet till 12.

Förkorta med 4.

1 Svar: Familjen Ottosson orsakar ett utsläpp av ___ ​ ​ ton per månad.

15 2 4 b) Man ska ta reda på hur många gånger ___ ​ ​ får plats i ​ __ ​ . Det kan 15 5 4 2 ​ ​ : man göra med beräkningen __ ​ ​ ___ 5 15

/

/

4 ​ __ ​ 5

2

3

1

5·21 1·1

2 4 15 4 · 15 ____ 2·3 ___ ​ ​ = ​ __ ​ · ​ ___ ​ = _____ ​ ​ = ​ ​ = 6 15 5 2

Multiplicera med det 2 inverterade talet till ____ ​ ​ 15

6 familjemedlemmar.

Förkorta med 2 och med 5.

Svar: Familjen har 6 medlemmar.

Aktivitet 1.4

20

Övningsblad 1.4

tal och algebra 1.4 division av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 20

2016-03-08 17:22

3 4 blomkålssoppa om varje skål rymmer 1 1 a) ​ __ ​ liter b) ​ __ ​ liter 4 8

4 Till hur många skålar räcker __ ​ ​liter

Starter

Vilka beräkningar har ett svar som är 1 större än __ ​ ​? Diskutera hur man kan 2 avgöra det utan att utföra beräkningarna.

1 1 1 1 1 __ ​ ​ __ ​ ​ ​ __ ​ __ ​ ​ ​ ​ 4 __ 2 2 8 2 2

/

/

/

/

/

1 1 ​ ​ ​ __ ​ ___ 2 10

1 1 ​ ​ ​ __ ​ __ 2 3

Beräkna 6 5 a) ​ __ ​ 2 5

/ /

1 2

6 a) 8 __ ​ ​ NIVÅ ETT

9 10 dela lika på den.

1 Det är ___ ​ ​ kvar av tårtan. Tre personer ska

/

9 3 20 20

7 a) ​ ___ ​ ___ ​ ​

/

/

16 b) ​ ___ ​ 4 17

15 c) ​ ___ ​ 5 24

1 ​ ​ b) 5 __ 3

1 ​ ​ c) 4 __ 4

/ /

3 b) ​ __ ​ 4

1 __ ​ ​ 4

/ /

8 c) ​ ___ ​ 11

1

2 ___ ​ ​ 11

8 Frank ska tillverka ljus och har två liter flytande stearin som han ska hälla i formar 1 ​ ​ liter. Hur många ljus räcker som rymmer __ 6 stearinet till?

9 Är det sant? a) När man dividera ett bråk med 2 får man samma resultat som när man 1 multiplicerar bråket med __ ​ ​ 2 1 b) När man dividerar ett bråk med __ ​ ​ får 2 man samma resultat som när man multiplicerar bråket med 2.

a) Hur stor andel av hela tårtan får var och en? Svara med ett bråk. b) Vilket eller vilka uttryck beskriver situationen?

/

9 ____ ​ ​ 3 10

9 1 ____ ​ ​ ​ ​ ∙ __ 10 3

9 ____ ​ ​ ∙ 3

10 Till en tv-serie spelas det in totalt 12 timmar

10

4 5 1 påsar med __ ​ ​ liter i varje. Hur många påsar 5 behövs?

3 ​ ​ timme. Hur film. Varje avsnitt ska vara __ 4 många avsnitt blir det av tv-serien?

2 Philip har __ ​ ​ liter blåbär som ska förpackas i

3 Florian har kokat 4 liter buljong som han

1 ska hälla upp i flaskor som rymmer __ ​ ​ liter.

3 Vilken eller vilka uträkningar visar hur många flaskor som behövs?

1 1 1 __ A 4 ∙ __ ​ ​ B ​ __ ​ 4 C 4 ​ 3 ​ 3 3

/

/

NIVÅ två

Beräkna 9 1 11 a) ​ ___ ​ ___ ​ ​ 10 20

7 b) ​ __ ​ 2 8

5 c) ​ __ ​ 6

1 __ ​ ​

4 9

3 b) 9 __ ​ ​ 4

2 c) ​ __ ​ 3

2 __ ​ ​

/

/

12 a) ​ __ ​ 8

/ /

/ /

3

9

tal och algebra 1.4 division av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 21

21

2016-03-08 17:22

13 Para ihop rätt händelse med rätt uttryck i rutan.

A Inez har bakat 4 sockerkakor som hon

delar i halvor. Hur många bitar får hon?

B Malva köper 4 flaskor med en halv liter

drickyoghurt i varje. Hur många liter drickyoghurt köper hon?

1

/

4 __ ​ ​

1 1 4 ∙ __ ​ ​ 4 __ ​ ​ 4 ∙ 2 2 2

/

Beräkna och svara i enklaste form.

15 3 10 5 63 21 21 a) ​ ___ ​ __ ​ ​ ​ ​ ​ ​ b) ​ ___ ​ __ c) ​ ___ ​ ___ 28 7 27 6 80 16

/

/

1 3

22 a) 2 1 __ ​ ​

/ /

2 b) 4 __ ​ ​ 7 3

/ /

3 1 c) 3 __ ​ ​ 4 __ ​ ​ 5 5 1 3 4 8

11 16

23 Beräkna medelvärdet av bråken __ ​ ​, ​ __ ​ och ​ ___ ​ Svara i bråkform.

24 Talet A är ett bråk. Du får veta att

/

2

1 6

14 Visa med en bild att 2 __ ​ ​ = 12 15 Rektor Ruthström lägger schemat på sin skola.

2 ​ ​ timme.

Varje lektionspass ska vara __ 3 a) Hur många lektionspass kan han lägga ut på en skoldag som är 8 timmar? b) En skolvecka ska vara 26 timmar lång.

Hur många lektionspass blir det?

1 4 Ge två olika förslag på vilka bråk det kan vara.

16 Två bråk med olika nämnare har kvoten __ ​ ​.

1 8 A __ ​ ​ = ​ ___ ​ 5 21 a) Hur mycket är i sådana fall 2 ​ ​ ?

A __ 5 b) Förklara med ord hur du kan veta vad 2 ​ ​ är.

A __ 5 c) Vilket tal ska A divideras med för att få 16 svaret ___ ​ ​?

21

/ /

25 Förenkla

/

2x a) ​ ___ ​ 3

6x ___ ​ ​ 5

/

a2b b) ​ ____ ​ 4

a __ ​ ​ b

/

3x c) ​ ___ ​ y

2

5x ____ ​ 3 ​ 9y

17 Vilket tal ska stå i stället för x?

/ /

/ /

5 10 ​ ​ a) ​ ___ ​ x = ___ 13 13

3 15 ​ ​ b) ​ ___ ​ 5 = ___ x 20

4 8 ​ ​ c) ​ ___ ​ 2 = __ 18 x

x d) ​ __ ​ 7

18 Förenkla 4x a) ​ ___ ​ 2

/

3x b) ​ ___ ​ 3 4

1 __ ​ ​= 6 7

/

x 1 c) ​ __ ​ __ ​ ​ 8 2

nivå TRE

2 3 8 är __ ​ ​. Vilket är det andra bråket?

9

19 Två bråk har produkten __ ​ ​ . Det ena bråket 2 5 1 vinbärssaft med 1 __ ​ ​ liter vatten. Hur stor 2 andel av den färdigblandade saften är vatten?

20 Evelina blandar __ ​ ​ liter koncentrerad

22

tal och algebra 1.4 division av bråk

Prio9_kap01_4tryck.indd 22

2016-03-08 17:22

historia och samhälle Koder och krypton JNL SHKK ENSANKKROKÖMDM JKNBJÖM EXQÖ!

Förstod du uppmaningen? Ibland vill man kunna skicka hemlig information, som bara mottagaren ska kunna förstå. Meningen här ovanför är ett exempel på ett chiffer eller ett krypto. Varje bokstav är ersatt med en annan enligt ett bestämt mönster. De som känner till mönstret kan enkelt avkryptera, läsa och förstå meddelandet.

1

När du till exempel handlar på internet vill du inte att obehöriga ska komma åt information om dina bankkonton. För att öka säkerheten är mycket av informationen krypterad. Det vanligaste sättet att kryptera bankinformation bygger på koder som är skapade med hjälp av stora primtal.

Julius Caesar använde redan på 100-talet f.Kr. den typ av krypto som i dag bär hans namn.

1 Lös kryptot längst upp på sidan. Ersätt varje bokstav med den som kommer efter i alfabetet, eller använd kodnyckeln längst ner på sidan. Bokstäverna i meningen motsvaras av rad 1 och lösningen av motsvarande bokstäver i rad 2.

Caesarkrypto En av de enklaste typerna av krypton kallas Caesarkrypton. Det innebär att varje bokstav i meddelandet byts ut mot den bokstav som kommer ett bestämt antal steg före eller efter i alfabetet. Meningen längst upp på sidan är ett Caesarkrypto. För att lösa det ska du ersätta varje bokstav med den som kommer efter i alfabetet.

2 Använd kodnyckeln längst ner på sidan för att lösa kryptot. Rad 1 har bytts mot rad 2 när meddelandet skrevs. a) IÖNUB NFSB QBOOLBLPS! b) TLBUUFO ÖS HANE J HBSBHFU.

Om vi bestämmer oss för att rad 1 byts mot rad 3 (se kodnyckeln nedan) när vi skriver ordet PRIO, så blir kryptotexten RTKQ. För att lösa kryptot byts bokstaven i rad 3 mot motsvarande bokstav i rad 1.

3 Skriv ett eget meddelande. Bestäm själv vilken rad du använder som kodnyckel.

4 Knäck kryptot! Det är en del av en känd sångtext.

Här är några exempel på kodnycklar till ett Caesarkrypto.

AR PHÅ FKQB QOL ABQ ÄIFO PLJJÅO FCÅII FKQB KXK PYQQBO CÅOQ

1

Ö

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

X

Y

Z

Å

Ä

2

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

X

Y

Z

Å

Ä

Ö

3

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

X

Y

Z

Å

Ä

Ö

A

4

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

X

Y

Z

Å

Ä

Ö

A

B

tal och algebra historia och samhälle

Prio9_kap01_4tryck.indd 23

23

2016-03-08 17:22

problem, resonemang och kommunikation

1

Värdera lösningar

NOG

Studera lösningarna och avgör om de är korrekta och väl utförda.

Avgör om du har fått tillräckligt med information för att lösa uppgiften.

1 Levi, Nathan och Felix fick i uppgift att

1 Linus fick pengar i födelsedagspresent. Han

24 ​ ​ så långt som möjligt. förkorta bråket ___ 72 1 4 24 Levi: ​ ___ ​= ​ __ ​ 72 1 7 3/3 1 24/8 ____ Nathan: ​ ____ ​= ​ ​= ​ __ ​ 72/8 9/3 3 12 6 3 24 Felix: ​ ___ ​= ​ ___ ​= ​ ___ ​ = ​ __ ​ 72 36 18 9 a) Har någon av dem löst uppgiften korrekt?

Motivera ditt svar.

3 använde __ ​ ​av pengarna till att köpa en 4 1 ​ ​ av pengarna. sportbag. Han gick på bio för __ 6 De 45 kr som blev kvar sparade han. Hur mycket pengar fick Linus i födelsedagspresent?

b) Vilka fel finns i lösningarna?

c) Lös uppgiften om det finns tillräckligt med information.

3 5

/

2 Fyra elever beräknade __ ​ ​ 6 Alva:

10

         3 __ ​ ​

2 Hugo gjorde dubbelt så många mål som

5

a) Finns det tillräcklig information för att du ska kunna lösa uppgiften?

1 3 ​ __ ​ 6 = ___ ​ ​ 10 5

b) Om det inte finns tillräcklig information, vilken information saknar du?

3 3 1 3 1 Tyra: ​ __ ​ 6 = __ ​ ​· ​ __ ​= ​ ___ ​ = ​ ___ ​

c) Lös uppgiften om det finns tillräckligt med information.

5

5 6 30 10

30 6 = ​ ___ ​ 5 3 1 3 30 ___ ​ ​ = ​ ​ = ​ ___ ​ ​ __ ​ ___ 5 5 30 10

Hoda:

/ /

1

3 Annie tjänade 20 % mer än Felicia på sitt sommarjobb. Felicia jobbade 15 timmar mindre än Annie. Tillsammans tjänade de 14 300 kr. Hur mycket tjänade Annie?

3 3·1 1 Rebecka: ​ __ ​ 6 = ____ ​ ​= ​ ___ ​

a) Finns det tillräcklig information för att du ska kunna lösa uppgiften?

a) Hur tror du att de olika eleverna har tänkt?

b) Om det inte finns tillräcklig information, vilken information saknar du?

b) Vilken lösning föredrar du? Motivera.

c) Lös uppgiften om det finns tillräckligt med information.

5

42

b) Om det inte finns tillräcklig information, vilken information saknar du?

Markus. Isak gjorde 5 mål mer än Markus.

Joel gjorde 9 mål. Vem gjorde flest mål?

1 ​ ____ ​

/ /

a) Finns det tillräcklig information för att du ska kunna lösa uppgiften?

5 · 6 2 10

tal och algebra problem, resonemang och kommunikation

Prio9_kap01_4tryck.indd 42

2016-03-08 17:22

Lös problemet

Modellering

Matematisk problemlösning där du själv väljer metod.

Här får du själv bestämma lämpliga och realistiska värden för att kunna lösa uppgiften.

1 I en låda finns kuber i tre färger. Två

Hur mycket vatten använder du till att duscha på ett helt år?

tredjedelar av kuberna är röda. Antal gröna kuber är en fjärdedel av antalet röda kuber.

Resten av kuberna är blå. a) Hur stor andel av kuberna är blå? b) Det finns 14 blå kuber i lådan. Hur många röda kuber finns det?

2 a) Hitta två nämnare så att likheten stämmer.

7 3 1 ​ __ ​ __ ​ ​ = 2 ​ __ ​ ? ?

3 b) Finns det fler lösningar? Motivera ditt svar.

/

Hur mycket kostar det att duscha under ett år?

Bedömningsuppgift

1

Här får du visa kvalitet på olika matematiska förmågor.

Välj tre heltal som följer på varandra, t.ex. 4, 5 och 6. Addera talen, t.ex. 4 + 5 + 6. Multiplicera antalet tal med talet i mitten, t.ex. 3 ∙ 5. a) Upprepa med tre olika talföljder med tre på varandra följande tal.

3 Studera mönstret.

b) Beskriv det mönster du ser. Använd ord och/ eller formel för att förklara mönstret.

c) Undersök på samma sätt talföljder med fem på varandra följande tal. Beskriv mönstret med ord och/eller formel.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a) Ange i bråkform andelen färgade rutor i figur 1, 2, 3 och 4. b) Beskriv med ord hur täljare och nämnare i bråken som beskriver andelen färgade rutor förändras.

d) Undersök på samma sätt andra talföljder där differensen mellan talen är större. Beskriv mönstret med en formel.

c) Skriv ett uttryck som visar andelen färgade rutor i figur n.

tal och algebra problem, resonemang och kommunikation

Prio9_kap01_4tryck.indd 43

43

2016-03-08 17:23

begreppstest 2 7

1 Bråket __ ​ ​ förlängs med 4. Resultatet är

8 7

2 28

A ​ __ ​

C ​ ___ ​

2 Vilket av följande bråk är skrivet i enklaste form?

7 9

3 6

A ​ __ ​

1

8 28

B ​ ___ ​

5 15

B ​ __ ​

C ​ ___ ​

3 Vilket av följande bråk är minst?

9 8

9 10

A ​ __ ​

9 12

B ​ ___ ​

C ​ ___ ​

4 Vilken beräkning stämmer?

3 1 2 A ​ __ ​– ​ __ ​ __ ​ ​

3 1 3 B ​ __ ​– ​ __ ​ __ ​ ​

4 2 2

3 1 1 C ​ __ ​– ​ __ ​ __ ​ ​

4 2 8

4 2 4

3 8

3 8

A mindre än __ ​ ​ B större än __ ​ ​

6 Ylva har plockat 6 liter blåbär. Hon packar dem i burkar som rymmer 3 __ ​ ​liter. Ylva kan beräkna hur många burkar hon behöver genom

4 uträkningen 3 A 6 __ ​ ​ 4

/

3 4

/

C ​ __ ​ 6

B 2 – x

C x – 2

8 Uttrycket 3x + 2(x – 3) kan förenklas till A x – 6

B 5x – 3

9 Vad ska stå i rutan om 12x + 8 = A 9

B 4

C 5x – 6

(3x + 2)?

C 9x

10 Till vilken av ekvationerna är x = 5 en lösning?

A 9x + 7 = 38

3 4

B 6 ∙ __ ​ ​

7 Uttrycket 5 – (x + 3) kan förenklas till A 8 – x

5 3 6 8 5 C större än __ ​ ​ 6

5 Vilket påstående om multiplikationen __ ​ ​∙ ​ __ ​ stämmer? Produkten är

B 6x + 3 = 68

20 x

C ​ ___ ​+ 2 = 6

11 Oliwer har gjort x mål. Filip har gjort dubbelt så många mål som Oliwer.

Bilal har gjort två mål mer än Oliwer. Tillsammans har de gjort 30 mål.

Vilken ekvation beskriver hur många mål de har gjort sammanlagt?

A x + 2x + 2 = 30

B x + 2x + x + 2 = 30

C x + 2 + 2 = 30

44

tal och algebra begreppstest

Prio9_kap01_4tryck.indd 44

2016-03-08 17:23

kapiteltest

a) med 4

2 3

1 Förläng bråket __ ​ ​ b) så att nämnaren blir 24

Beräkna och svara i enklaste form.

3 1 10 2

5 1 b) ​ __ ​– ​ __ ​ 6 4

2 a) ​ ___ ​ + ​ __ ​

3 a) 5 ∙ ___ ​ ​

4 a) ​ __ ​ __ ​ ​

5 Beräkna värdet av uttrycket om x = 10 och y = 4.

7 10

/

3 3 4 8

a) 2xy

2 4 b) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 3 5

/

/

1 ​ ​ b) 4 __ 2

b) x – y

8 c) ​ ___ ​ 4 15

1

c) 20 – (x + y)

6 Rickard har lånat x böcker på biblioteket. Simon har lånat 3 böcker färre. a) Skriv ett uttryck för hur många böcker Simon har lånat. b) Anna har lånat 2(x – 3) böcker. Förklara vad uttrycket innebär.

Förenkla uttrycken

7 a) 7x + (2x – 8)

b) 9x + 8 – (x – 4)

8 a) 4(2x + 7)

b) 20x – 2(x + 5)

9 Bryt ut faktorn 2 ur uttrycken. a) 10y + 8

b) 6x + 20

Lös ekvationerna.

10 a) 8x – 5 = 51

x b) ​ __ ​+ 7 = 17 4

c) 5x + 9 = 64

11 a) 7x – 6 = 3x + 42

b) 4(2x – 1) = 12

c) 15x – (2x + 10) = 120

12 I en rektangel är den längsta sidan 5 gånger så lång som den kortaste sidan. Omkretsen är 36 cm. Hur lång är den längsta sidan?

13 Vera, Ellen och Cecilia försökte slå världsrekord i att göra längsta pärlhalsbandet. De gav upp när de hade använt 2 250 pärlor. Vera använde dubbelt så många pärlor som Ellen. Cecilia använde 350 fler pärlor än Ellen. Hur många pärlor använde Ellen?

tal och algebra kapiteltest

Prio9_kap01_4tryck.indd 45

45

2016-03-08 17:23

basläger 1.1

1 1 Vilka av bråken i rutan är mindre än __ ​ ​?

9 Bestäm den minsta gemensamma nämnaren, MGN, till bråken 5 1 3 1 a) ​ __ ​och ​ __ ​ b) ​ __ ​och ​ __ ​ 6 3 4 8

2

2 __ ​ ​

7 ____ ​ ​ 12

5

4 __ ​ ​ 9

9 ____ ​ ​ 15

10 ____ ​ ​ 21

10 Skriv bråken med gemensam nämnare och beräkna 5 1 a) ​ __ ​– ​ __ ​ 6 3

2 Vilka av bråken i rutan har samma värde som 8 ___ ​ ​?

1

10

4 8 ____ ​ ​ ​ __ ​ 20

5

16 ​ ____ ​ 20

24 ​ ____ ​ 40

80 ​ _____ ​

MGN, till bråken 2 3 1 2 a) ​ __ ​ och ​ __ ​ b) ​ __ ​ och ​ __ ​ 3 4 5 7

3 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.

8 8 8 ___ __ a) ​ ___ ​ ​

​ ​ ​ 10 13 5 3 8 5 b) ​ __ ​ ​ __ ​ ​ __ ​ 9 9 9 10 8 11 ___ ​ ​ ___

​ c) ​ ___ ​ ​ 12 21 16 9 10

1 b) ​ __ ​ 8

6 c) ​ __ ​ 7

6 Förkorta bråken med 4.

16 b) ​ ___ ​ 20

36 c) ​ ___ ​ 40

7 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla?

3 x a) ​ __ ​= ​ ___ ​ 4 20

2 6 b) ​ __ ​ = __ ​ ​ 5 x

4 16 c) ​ __ ​= ​ ___ ​ x 28

1.2

46

12 Skriv bråken med gemensam nämnare och beräkna 5 1 a) ​ __ ​– ​ __ ​ 4 6

2 3 b) ​ __ ​ + ​ __ ​ 3 4

2 1 c) ​ __ ​ – __ ​ ​ 7 5

1 ​ ​ guldfärgade kulor. Av alla kulorna var __ 4 3 röda och __ ​ ​ blå. Resten var guldfärgade.

8 Hur stor andel av kulorna var guldfärgade?

1.3

2 a) 2 · __ ​ ​ 9

1 b) 3 · __ ​ ​ 7

3 c) ​ ___ ​ · 5 16

15 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla?

1 7 · __ ​ ​ = ​ __ ​ 8 8 8 2 ​ ​ c) ​ __ ​ · 4 = ___ 9

a)

3 b) 5 · __ ​ ​ = ​ ___ ​ 8 8

16 Beräkna 2 1 a) ​ __ ​ · ​ __ ​ 3 5

5 5 b) ​ __ ​· ​ __ ​ 6 8

3 4 c) ​ __ ​ · __ ​ ​ 7 5

17 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla?

8 Beräkna 3 2 a) ​ __ ​ + ​ __ ​ 8 8

5 1 c) ​ __ ​och ​ __ ​ 8 6

14 Beräkna

5 Förläng bråken med 3.

8 a) ​ ___ ​ 12

3 7 c) ​ __ ​– ​ ___ ​ 4 20

13 Li klädde julgranen med röda, blå och

4 Skriv ett bråk som är större än ___ ​ ​ men

4 a) ​ __ ​ 5

3 1 b) ​ __ ​+ ​ __ ​ 4 8

11 Bestäm den minsta gemensamma nämnaren,

100

mindre än 1.

3 7 c) ​ __ ​och ​ ___ ​ 4 20

9 3 b) ​ ___ ​ – ​ ___ ​ 10 10

1 c) 1 – __ ​ ​ 5

3 5 a) ​ __ ​ · ​ __ ​= ​ ___ ​ 8 6 48

2 4 ___ 8 b) ​ __ ​ · __ ​ ​ = ​ ​ 7 9

3 21 c) ​ ___ ​ · ​ __ ​ = ___ ​ ​ 8 5 40

tal och algebra basläger

Prio9_kap01_4tryck.indd 46

2016-03-08 17:23

basläger 3 4 smet till varje crêpe. Smeten räckte till 24 crêpes. Hur mycket crêpesmet hade Vanessa gjort?

18 Vanessa stekte crêpes. Hon använde __ ​ ​dl

1.5

27 Philip springer x km. Para ihop uttrycken i rutan med hur långt hans kompisar springer.

19 Beräkna och svara i enklaste form.

2 3 a) ​ __ ​ · __ ​ ​ 9 5

4 10 b) ​ __ ​ · ​ ___ ​ 5 3

8 3 c) ​ __ ​· ​ ___ ​ 3 10

5 20 På Centralskolan är varje lektion __ ​ ​ timme.

6 Klass 9A har 24 lektioner i veckan. Hur många timmar har de lektion under en vecka?

x+2

x–2

x __ ​ ​

2x

2

a) Eddie springer dubbelt så långt som Philip. b) Albin springer hälften så långt som Philip. c) Mehmed springer 2 km längre än Philip.

1

28 Frida är 12 cm längre än Linn. Skriv ett uttryck för Linns längd om Frida är x cm.

1.4

21 Egon och Arvid delar lika på ett glasspaket.

Hur mycket glass får var och en om glasspaketet innehåller 1 3 a) ​ __ ​ liter glass b) ​ __ ​liter glass 2 4

22 Beräkna

/

6 a) ​ __ ​ 2 7

/

9 b) ​ ___ ​ 3 10

/

15 c) ​ ___ ​ 5 16

29 Beräkna värdet av uttrycket om x = 10. a) x – 3

b) 5x + 2

x c) ​ __ ​ 2

30 Skriv ett uttryck för kvadratens omkrets och förenkla det så långt som möjligt.

4x + 2

23 Sofia har 2 liter växtgödning. Till hur många vattningar räcker gödningen om det vid varje vattning går åt 1 1 1 a) ​ __ ​ liter b) ​ __ ​ liter c) ​ ___ ​ liter 4 5 10

24 Beräkna

/

1 ​ ​ a) 5 __ 2

25 Beräkna

/

4 1 ​ ​ a) ​ __ ​ __ 5 5

31 Förenkla uttrycket a) 5x + 7 – 2x – 1 b) 10 + 7x + 2y + 2x – y c) 20 + 9y + 4x – 2x – 10 + y

/

1 ​ ​ b) 4 __ 8

/

9 3 ​ ​ b) ​ ___ ​ ___ 10 10

/

1 ​ ​ c) 3 __ 4

32 Beräkna värdet av uttrycket om a = 8 och b=2

/

8 2 ​ ​ c) ​ ___ ​ ___ 15 15

3 26 Susanne har gjort __ ​ ​liter chokladmousse.

4 Hon häller upp den i glas som rymmer 1 __ ​ ​ liter. Till hur många glas räcker 8 chokladmoussen?

a) a + b

b) a – b

c) 3a + 2b

d) 5ab

1.6

33 Vilket av uttrycken i rutan har samma värde som 4(2x + 7)?

42x+ 7

8x + 7

8x + 28

tal och algebra basläger

Prio9_kap01_4tryck.indd 47

47

2016-03-08 17:23

basläger 34 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? a) 3(5x – 2) = 15x –

bröt ut faktorn 2 ur uttrycket

b) 4(4x +

a) 20x + 14 2(10x + 7)

c) 9(

b) 12y + 18 2(6y +18)

) = 16x + 24 + 7) = 18x + 63 1.8

35 Multiplicera in i parentesen.

1

43 Lös ekvationen

a) 8(3x – 5)

b) 2(5y + 3)

c) 6(8 + 4x)

d) 10(7y – 9)

36 Skriv ett uttryck för rektangelns area och förenkla så långt som möjligt. a)

2

b)

4x + 3

3 6y – 1

37 Multiplicera in i parentesen och förenkla så långt som möjligt. a) 25 + 2(3x – 8)

b) 12x + 3(4x + 8)

c) 6x + 17 + 5(2x – 3)

a) 6x – 2 = 28 c) 19 = 7 + 4x

x b) ​ __ ​+ 1 = 6 2 d) –15 = 3x

44 Lös ekvationen a) 8x + 13 = 69

b) 67 = 7x + 18

c) 32x – 7 = 121

d) 78 = 21 + 19x

45 Lös ekvationen x a) ​ __ ​= 20 5 x c) ​ __ ​+ 45 = 53 4

x b) 28 = ​ __ ​ 2 x d) ​ __ ​– 9 = 22 2

46 Pröva om x = 25 är en lösning till ekvationen

1.7

38 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? a) 45 = 9 ·

c) 6x = 2x ·

b) 50 =

·25

d) 20x = 5 ·

39 Skriv som en produkt av två faktorer. a) 22

b) 35

c) 13x

d) 26y

40 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? a) 25x – 10 =

(5x – 2)

b) 36x + 24 =

(6x + 4)

c)

(7x + 3) = 14x + 6

d)

(4y – 8) = 20y – 40

a) 40x + 16

b) 28x – 8

a) 2x + 5 = 55

x b) ​ __ ​+ 2 = 7 5

x c) 100 = __ ​ ​ 4

47 Lös ekvationen. Börja med att förenkla a) 8x + 31 + 2x – 10 = 71 b) 70 = 10 + 24x – 6 – 2x c) 7x + 8 + 3x – 3 = 30

48 Lös ekvationen. Börja med att förenkla vänster led. a) 30x – (5x + 4) = 96 b) 38 – (15 – 2x) = 31

41 Bryt ut faktorn 4 ur uttrycket

48

42 Kontrollera om Chang gjorde rätt när han

c) 2(4x + 7) = 46 c) 8x + 12

d) 60 = 3(6x + 2)

tal och algebra basläger

Prio9_kap01_4tryck.indd 48

2016-03-08 17:23

basläger 53 Rektangelns omkrets är 124 cm.

1.9

49 Arvid har x spel i sin telefon. Oskar har 15 spel mer än Arvid.

a) Skriv ett uttryck för hur många spel Oskar har.

50 Leyla simmar x m. Emma simmar 175 m kortare än Leyla. Sammanlagt simmar de 1 025 m. a) Skriv ett uttryck för hur långt Emma simmar. b) Ställ upp en ekvation som visar hur långt de simmar sammanlagt. c) Lös ekvationen. Hur långt simmar Leyla?

51 En parkering har parkeringsplatser både inne och ute. Sammanlagt finns det 478 platser. Inne finns det 342 platser fler än ute. a) Skriv ett uttryck för antalet platser inne om det finns x platser ute. b) Ställ upp en ekvation för det totala antalet platser. c) Lös ekvationen och ta reda på hur många platser det finns inomhus.

52 Stina, Mark och Carlos har vunnit 1 200 kr som de ska dela på. Stina ska ha dubbelt så mycket som Mark. Carlos ska ha tre gånger så mycket som Mark. a) Skriv uttryck för hur mycket Stina och Carlos ska ha, om Mark ska ha x kr.

4x 6x + 2

a) Ställ upp en ekvation som visar rektangelns omkrets.

b) Tillsammans har Oskar och Arvid 93 spel.

Ställ upp en ekvation som visar hur många spel de har tillsammans. c) Lös ekvationen. Hur många spel har Oskar?

(cm)

b) Bestäm längden av rektangelns sidor.

54 Triangelns omkrets är 133 cm. Bestäm

1

längden av triangelns sidor.

(cm)

3x + 4

5x + 3

8x – 2

55 I ett nybyggt område finns det 142 lägenheter fördelade på 6 låghus och 4 höghus. I varje låghus finns det x lägenheter. I varje höghus finns det 18 lägenheter mer än i ett låghus. a) Vilken av ekvationerna kan användas för att beräkna antalet lägenheter i ett låghus?

A 6x + 4x = 142

B 6x + 4x + 18 = 142

C 6x + 4(x + 18) = 142

D x + 6 + 4 + 18 = 142

b) Hur många lägenheter finns det i ett låghus och hur många lägenheter finns det i ett höghus?

56 Summan av tre på varandra följande tal är 123. Låt det minsta talet vara x. a) Skriv uttryck för de andra två talen. b) Skriv ett uttryck för summan av de tre talen. c) Vilka är talen?

b) Ställ upp en ekvation som visar hur mycket pengar de får sammanlagt. c) Lös ekvationen. Hur mycket pengar får Stina, Mark och Carlos?

tal och algebra basläger

Prio9_kap01_4tryck.indd 49

49

2016-03-08 17:23

HÖG HÖJD 1 Bestäm triangelns vinklar.

6 Talen x, y och z är tre olika heltal. Talet y är dubbelt så stort som talet x. Talet z är tre gånger så stort som talet y. Vilket tal är z, om x + y + z = 432?

3x + 10 55° 2x

2 a) En rektangel har omkretsen 44 cm.

Rektangeln är 4,5 gånger så lång som bred. Beräkna arean av rektangeln.

1

b) En annan rektangel har också omkretsen 44 cm. Den rektangeln är 10 gånger så lång som bred. Har den rektangeln lika stor area? Motivera ditt svar.

3 Skriv av och fyll i de tomma rutorna. Talet i varje ruta är summan av talen i de två rutorna det står på. a)

b)

3

1 ___ ​ ​ 4

18

5 __ ​ ​ 9

4 Ge exempel på två bråk med olika nämnare som har

3 c) produkten ___ ​ ​ 10

1 b) differensen __ ​ ​ 5 1 d) kvoten __ ​ ​ 2

5 Längden av ett stearinljus i centimeter när det har brunnit x timmar kan beskrivas med uttrycket 24 – 3,2x. a) Hur långt var ljuset från början? b) Hur lång tid tar det för ljuset att brinna ner helt? c) Hur mycket kortare är ljuset efter 45 minuter?

50

8 När Frida och Jenny möts på väg till stallet

1 har Frida gått __ ​ ​ av sin väg. Jenny har gått 6 1 __ ​ ​ av sin väg. Vem har längst väg till stallet?

4

9 Beräkna och svara i enklaste form 15 3 a) ​ ___ ​– ​ ___ ​ 16 20

8 2 b) ​ ___ ​ + ​ ___ ​ 14 35

5 6 21 a) ​ ___ ​ ∙ ​ __ ​ ∙ ​ ___ ​ 24 7 25

11 ____ ​ ​

1 ___ ​ ​ 2

5 a) summan __ ​ ​ 6

1 1 1 kan avgöra att __ ​ ​ + ​ __ ​ + ​ __ ​ är mindre än 1.

3 4 8

11 4 c) ​ ___ ​ – ​ __ ​ 12 9

10 Beräkna och svara i enklaste form

1 ___ ​ ​ 2

2 ___ ​ ​

7 Förklara hur du utan att utföra beräkningen

4 6 49 b) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ ∙ ​ ___ ​ 9 7 50

11 William, Oscar och Lukas jämför kostnaden av sina gymkort. William betalar 25 % mindre än Oscar. Lukas betalar 40 kr mer än William. Sammanlagt betalar de 940 kr per månad. Hur mycket betalar Lukas för sitt gymkort?

12 Vad blir differensen när summan och

2 1 ​ ​ och 1 ​ __ ​ subtraheras? produkten av __ 3 2

13 I en rektangel är den längsta sidan 4 gånger så lång som den kortaste sidan. Om den längsta sidan förlängs med 6 cm, så ökar arean med 108 cm2. Hur långa är sidorna i den ursprungliga rektangeln?

14 Förenkla uttrycken.

5x x a) ​ ___ ​ + __ ​ ​ 8 2

(

2 3x ​ ​ + 6 ​ b) ​ __ ​​ ___ 3 4

)

tal och algebra hög höjd

Prio9_kap01_4tryck.indd 50

2016-03-08 17:23

HÖG HÖJD 15 Lös ekvationen

22 Salma har 70 kronor mer än Thea. Hon får 50 kronor av Thea och har nu dubbelt så mycket pengar som vad Thea har. Hur mycket pengar har Salma nu?

x + 3 _____ x–2 a) ​ _____ ​ – ​ ​ = 5 4 6 –6 x 2x + 1 ​ + _____ ​ ​ = 10 b) ​ ______ 8 12

16 Om 2x = 32 och 3y = 81, vad är då xy?

17 Biobiljetterna kostar 110 kr för vuxna och 90 kr för barn. Till en föreställning såldes sammanlagt 120 biljetter för totalt 11 640 kr.

Hur många vuxna såg föreställningen?

18 Arean av det färgade området är 135 cm2.

Bestäm x.

20 cm

3x

20 cm

19 En cirkusbiljett kostade 60 kr mer för vuxna än för barn. En dag sålde man 120 vuxenbiljetter och 235 barnbiljetter för sammanlagt 113 700 kr. Vad kostade en barnbiljett?

20 Tindra har en krukväxt som är 180 cm hög.

Om växten inte får vatten, torkar den ut och blir mindre. För varje vecka som den inte 5 får vatten så minskar längden till __ ​ ​ av 6 längden veckan innan. Tindra reser bort och glömmer vattna sin krukväxt. a) Hur hög är växten en vecka senare? b) Hur hög är växten 3 veckor senare? c) Skriv ett uttryck för hur hög växten är x veckor senare.

21 Talet 6 018 kan skrivas som en produkt av tre

23 Talen x och y är två olika positiva heltal som

1 1 5 har summan 20. Du vet att __ ​ ​+ ​ __ ​= ​ ___ ​. Vad är x y 24 då x ∙ y?

24 Mattias har fångat en fisk. Han säger att fisken består av tre delar: huvud, kropp och stjärt och gör en krånglig beskrivning av fiskens längd: Huvudet är 5 cm långt. Stjärten är lika lång som huvudet plus halva kroppen.

Kroppen är lika lång som huvudet plus stjärten. Hur lång är fisken?

1

25 I en musikklass har eleverna antingen fiol eller piano som huvudinstrument. Vid en konsert får eleverna välja mellan ett soloframträdande eller att uppträda i par. En pianist kan bara uppträda tillsammans med 2 en violinist och tvärt om. Det visar sig att __ ​ ​ 3 av eleverna med piano som huvudinstrument 3 och ​ __ ​ av eleverna med fiol som huvud5 instrument valde att framträda i par. Hur stor andel av alla eleverna uppträdde solo?

26 Kylaren i en bil rymmer 8 l. Kylarvätskan

3 ​ ​ av glykol och resten vatten. För består till ___ 10 3 ​ ​ tappar man ut lite att höja glykolhalten till __ 5 kylarvätska och fyller på med glykol. Hur mycket kylarvätska måste man tappa ut?

27 Ersätt de obekanta talen x, y och z med tre olika tal så att ekvationen stämmer. Kan du hitta flera lösningar?

1 1 1 __ ​ ​– ​ __ ​= ​ __ ​ x y z

olika positiva heltal, a ∙ b ∙ c på flera olika sätt.

Vilket är det största möjliga värdet som summan a + b + c kan ha?

tal och algebra hög höjd

Prio9_kap01_4tryck.indd 51

51

2016-03-08 17:23

BEGREPPSLISTA Förklaring

bråk

Tal som är skrivet som en kvot av två heltal.

täljare

1

Sida 8

täljare

Talet ovanför bråkstrecket.

nämnare

7 1 __ ​ ​ = 2 __ ​ ​ 3

3

nämnare

Talet under bråkstrecket.

blandad form

Tal som är skrivet som ett heltal och ett tal i bråkform.

likvärdiga bråk

Bråk som har samma värde.

2 4 __ 6 8 __ ​ ​ = __ ​ ​ = ​ ​ = ____ ​ ​

8

förlänga bråk

Att multiplicera täljare och nämnare med samma heltal. Värdet av bråket ändras inte.

3 3 · 2 ____ 6 __ ​ ​ = ______ ​= ​ ​ ​

8

förkorta bråk

Att dividera täljare och nämnare med samma heltal. Värdet av bråket ändras inte.

5 5/5 __ 1 ____ ​ ​ = _______ ​ = ​ ​ ​

8

enklaste form

Ett bråk är skrivet i enklaste form om det inte går att förkorta mer.

7 ____ ​ ​

8

minsta gemensamma nämnare, MGN

När två eller flera bråk har samma nämnare, så säger man att de har gemensam nämnare.

När den gemensamma nämnaren har så litet värde som möjligt, så är det den minsta gemensamma nämnaren.

2 5 __ ​ ​ och __ ​ ​ har den gemensamma nämnaren

12

algebra

När man använder bokstäver eller symboler för att beteckna en variabel i ett uttryck eller en obekant i en ekvation.

Uttryck: 4x + 3 Ekvation: 5b + 4 = 14

24

numeriska uttryck

Uttryck som innehåller tal och symboler för räkneoperationer.

3+4∙7

24

algebraiska uttryck

Uttryck som innehåller tal, symboler för räkne- 8x + 7 operationer och variabler.

24

förenkla

Att skriva ett uttryck på ett enklare sätt.

Förenkla 3x + 7 – 3 + 6x 3x + 7 – 3 + 6x = 3x + 6x + 7 – 3 = 9x + 4

24

faktorisera

Dela upp i faktorer.

32 kan faktoriseras, t.ex. 8 · 4 eller 2·2·2·2·2

32

I algebraiska utttryck kallas det också att bryta ut.

52

Exempel

  

Begrepp

bråkform

blandad form

3 6 9 12 5 5 · 2 10

10 10/5 2

11 Det finns inget heltal som delar både 7 och 11.

3 6 12 eller 18 etc. Den minsta gemensamma nämnaren är 6, MGN = 6.

Ur uttrycket 18x – 15 kan man bryta ut 3: Först 18x – 15 = 3(6x – 5)

ekvation

En likhet som innehåller minst en obekant.

13x − 18 = 112

35

obekant

I en ekvation betecknas det obekanta talet med en bokstav eller symbol, ofta x, y eller z.

Det obekanta står för ett tal som gör att likheten stämmer.

3x + 2 = 20 x är obekant Likheten stämmer om x = 6

35

prövning

Att pröva en lösning till en ekvation innebär att man kontrollerar att värdet av ekvationens båda sidor är lika stora.

Lösningen till ekvationen 3x + 2 = 20 är x = 6 Prövning ger: VL = 3 ∙ 6 + 2 = 20 HL = 20 VL = HL Lösningen stämmer.

35

tal och algebra begreppslista

Prio9_kap01_4tryck.indd 52

2016-03-08 17:23

TANKEKARTA

Tal

Reella tal

__

​√7 ​ __​ 3 ​ 4

p

__​ 1 ​

–2

__​ ​

1 – 2

Rationella tal

–3

• Ekvationer

​ __​

36 3,6 = 10 100 –11 5 4 6 25 2,5 = Naturliga tal 10 39 8 –14 0 12 3 125 –36 –14

3 Hela tal

• Formler

__ ​ ​

7

2

Algebra • Uttryck

__

​√2 ​

• Problemlösning

​ ___​

1

Tal i bråkform • Täljare och nämnare

Algebraiska uttryck • Variabel, t.ex. x eller y.

Ekvationer • Vänster led, VL

• Blandad form

T.ex. 2a + 3

• Höger led, HL

• Enklaste form

• Algebraisk likhet

• Obekant, t.ex. x eller y

• Ekvationer

T.ex. 5x + 3 = 28

• Formler Addition och subtraktion av bråk • Gemensam nämnare 3+1 4 3 1 ______ ​ ​ = ​ ​ = ​ ___ ​ ​ ___ ​+ ___ 8 8 8 8 • Olika nämnare 2 1 __ 2 2 ____ 1 4 ____ 1 4 – 1 ____ 3 ​ __ ​ – ____ ​ ​ = ​ ​ · __ ​ ​ – ​ ​ = ____ ​ ​ – ​ ​ = ______ ​ ​ = ​ ​ 5 10 5 2 10 10 10 10 10

Förenkla uttryck • Ta bort parenteser

Lösningsmetoder för ekvationer • Förenkla

• Multiplicera in i parenteser

• Huvudräkning • Ekvationslösning

• Faktorisera, bryta ut en faktor

• Prövning

4x – (3x + 1) = 4x – 3x – 1 Multiplikation och division av bråk • Multiplikation av bråk med heltal 3 · 60 3 ​ ​ = 15 ​ __ ​· 60 = _______ 4 4 • Multiplikation av två tal i bråkform 3 10 _______ 3 · 10 ​ __ ​· ____ ​ ​ = ​ ​ 5 21 5 · 21 • Vid division av bråk, multiplicera första bråket med det inverterade talet till det andra bråket.

2 7 ___ 14 2 5 __ ​ ​ = ​ ​ ​ __ ​ __ ​ ​= ​ ​ · __ 3 7 3 5 15

3(5x + 4) = 15x + 12 20x – 8 = 4(5x – 2)

Problemlösning med ekvationer 1. Tolka uppgiften 2. Skriv en ekvation 3. Lös ekvationen 4. Tolka och kontrollera din lösning

/

tal och algebra tankekarta

Prio9_kap01_4tryck.indd 53

53

2016-03-08 17:23

4

Prio — från 7 till 9 Har du tänkt på hur olika områden i matematiken hänger ihop? Du har till exempel nytta av kunskaper i procent när du ska räkna ut en sannolikhet. Med hjälp av de negativa talen kan du skriva små tal i grundpotensform. Ekvationer kan användas för att lösa geometriska problem. Men kommer du ihåg allt du har lärt dig? I det här kapitlet får du repetera alla områden som du har jobbat med i matematiken. Som vanligt finns uppgifter på tre nivåer som tränar olika matematiska förmågor, så att du kan repetera grundläggande kunskaper eller utmana dig själv med fördjupningar.

Centralt innehåll Taluppfattning och tals användning LL Algebra LL Geometri LL

Sannolikhet och statistik LL Samband och förändring LL Problemlösning LL

138

Prio9_kap04_4tryck.indd 138

2016-03-08 17:26

Innehåll 4.1 Taluppfattning och tals användning 140

4.4 Sannolikhet och statistik

186

Tal i decimalform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Tolka diagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Multiplikation och division. . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Lägesmått och spridningsmått. . . . . . . . . . . . . . . 192

Bråk.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Kombinatorik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Negativa tal.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Sannolikhet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Potenser och kvadratrötter. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Prioriteringsregler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Avrundning och överslagsräkning.. . . . . . . . . . . 154

4.2 Algebra

156

4.5 Samband och förändring

198

Beräkna andelen, delen och det hela.. . . . . . . . . 200 Procentuell förändring och förändringsfaktor. . 202 Procentenheter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Algebraiska uttryck.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Koordinatsystem och tolka grafer.. . . . . . . . . . . . 205

Förenkla uttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Proportionalitet och linjära samband. . . . . . . . . 207

Ekvationslösning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Räta linjens ekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Mönster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Formler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.3 Geometri

168

4.6 Problemlösning

214

Bedömningsuppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Vinklar och månghörningar. . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Omkrets och enheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Area och volym.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Symmetri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Likformiga figurer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Skala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Pythagoras sats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

139

Prio9_kap04_4tryck.indd 139

2016-03-08 17:26

testa dig själv Metod och begrepp Här kan du testa dina kunskaper om de begrepp och metoder som tas upp i kapitlet. Hur säker känner du dig på uppgiften? Rita av symbolen till höger och markera på färgskalan: Kan inte Känner mig ganska säker

4 1

1 Vilket av följande tal är störst?

A 8,3

B 8,27

B 7,4

Taluppfattning och tals användning

B 1 000

1 4

2 3 5 10

C ​ ___ ​

7 10

?

?

B –8

C 0,3

B –3

C 5

?

B 13

C 28

?

B 6

C 8

?

8 Beräkna 5 + 2 ∙ 4 9 Värdet av 23 är A 5

___

10 Vilken pil pekar på ​√20 ​ ?

A

B

0

140

5 15

7 Beräkna –4 – (–1)

A 11

?

6 Vilket av följande tal är minst?

A –5

8 16

B ​ ___ ​

A –32

C ​ ___ ​

5 Summan ​ __ ​ + ___ ​ ​ är 5 10

2 8

?

6 24

B ​ ___ ​

A ​ ___ ​

C 10 000

= 3 750

4 Vilket av följande bråk har inte samma värde som __ ​ ​ ?

A ​ __ ​

?

C 7,5

3 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? 0,357 ∙ A 100

?

C 8,09

2 Differensen 7,45 – 0,5 är A 6,95

Känner igen men behöver repetera Är helt säker

C

?

10

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 140

2016-03-08 17:26

Taluppfattning och tals användning Resonemang och kommunikation De här uppgifterna ger dig möjlighet att träna resonemang och kommunikation. Arbeta tillsammans, diskutera och jämför era lösningar med varandra. Kan man lösa uppgifterna på flera sätt? Finns det bättre och sämre sätt att redovisa lösningar?

1

4 Vad är ____ ​ ​?

0,5 Louise: Det är 2, man tar bara hälften.

4 1

Tove: Det måste vara 8, för 0,5 får plats 8 gånger i 4.

4 40 Gabbi: ___ ​ ​ = ​ ___ ​ = 8 0,5

5

a) Vem eller vilka har gjort rätt?

Taluppfattning och tals användning

b) Vilka fel kan den eller de andra ha gjort?

2

3 4 Mezut har läst __ ​ ​av sin bok. Sebastian har läst __ ​ ​ av sin.

4 5 Vem har flest sidor kvar att läsa?

3

Skriv två tal som har summan –8.

A Talen ska vara heltal.

B Talen ska vara decimaltal.

C Talen ska vara bråktal.

D Talen ska vara negativa tal.

4

Vilket uttryck har det största värdet?

0,2 A 0,2 ∙ 0,5 eller ____ ​ ​ 0,5 2 2 B 0,5 eller 0,2 C –22 eller (–2)2 D 25 eller 52 __

__

E ​√ 5 ​ eller √ ​ 2 ​

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 141

141

2016-03-08 17:26

Tal i decimalform Exempel

Placera ut talen på en tallinje.

0,5

Lösning

För att lättare kunna jämföra tal i decimalform kan man skriva talen med lika många decimaler.

T.ex. 0,50 och 1,25

4 1

5

Taluppfattning och tals användning

Exempel

Lösning

__

–6

–3,8

–5

–4

–3

–2

89 b) ​ ____ ​ 100

a) 3,6 · 100 = 360

2

5

3

4

5

6

c) 0,01 · 269

54 d) ​ ___ ​ 0,1

Talet 3,6 ökar sitt värde 100 gånger. Varje siffra blir värd 100 gånger mer. Entalssiffran 3 blir hundratalssiffra.

89 b) ​ ____ ​ = 0,89 100

Talet 89 minskar sitt värde 100 gånger. Entalssiffran 9 blir hundradelssiffra.

B

C

Att multiplicera ett tal med 0,01 innebär att talet 1 ​ = 0,01 minskar sitt värde 100 gånger. ​ ___ 100 Division med 0,1 ger samma resultat som multiplikation med 10.

3 Skriv det tal som är en hundradel större än a) 5,274

1 Vilka tal är markerade på tallinjen?

b) 6,5

c) 8,39

4 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.

7

1

22

A

0

​√9 ​

Beräkna

NIVÅ ETT

8

2 Vilket värde har siffran 8 i talet a) 38 461

142

–1

54 d) ​ ___ ​ = 54 · 10 = 540 0,1

___

0,5 1,25

​ 9 ​ √

​ 9 ​ = 3, eftersom 3 ∙ 3 = 9 √

1 c) 0,01 · 269 = ____ ​ ​ · 269 = 100 269 = ____ ​ ​ = 2,69 100

__

22

–3,8

22 = 2 ∙ 2 = 4

a) 3,6 · 100

–6

Det minsta talet är –6 och det största talet är 5. Om de två talen får plats på tallinjen, så får övriga tal också plats.

–6

1,25

b) 2 983

a) 3,10

3,9

3,2

b) 4,823

4,9

4,85

c) 52,85

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 142

2016-03-08 17:26

5 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla?

3,487 –

a) 5,72 och 5,8

= 3,407

6 Beräkna

a) 5,3 + 0,25

b) 40 – 19,5

c) 3,73 – 0,6

d) 25,82 + 3,4

Beräkna

10

8,2 · 10

0,1

8 a) 5,7 · 100

d) 100 · 0,54 b) 10 · 0,092 63,2 d) ​ _____ ​ 10

762 100 6 721 c) ​ ______ ​ 1 000

439,4 b) ​ ______ ​ 100 88,13 d) ​ ______ ​ 10

11 I en affär säljs fiskrom i burkar som rymmer 200 g. Ett romkorn väger ungefär 0,1 g. Hur många romkorn finns i burken?

12 Vilka tal är markerade på tallinjen?

A

B C

–4

–3

13 Beräkna b) 82,2 · 0,1 82,3 d) ​ _____ ​ 0,01

5,7 c) ​ ____ ​ = 5,7 · 0,1

4 1

d) ​ _____ ​ = 75 0,01

19 Använd siffrorna 2, 3, 6, 8 och ett decimaltecken för att skriva ett tal som är så a) nära 750 som möjligt b) nära 50 som möjligt nivå TRE

20 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla?

903,5 a) ​ ______

​ = 90 350 x b) 314 413 · x = 31,4413 x ​ = 88 c) ​ _____ 0,01

21 Placera talen på en tallinje.

1 __ ​ ​ 2

___

​√12 ​

(–1)3

_______

​ 1,5 · 1,5 ​ √

0,52

22 Hur många tal finns det mellan 2,79 och 2,80? Motivera ditt svar.

NIVÅ två

14 Skriv det tal som är åtta tiondelar mindre än a) 45,6

73 · 8,85 = 0,885 b) ​ ___ ​ = 7 300

Taluppfattning och tals användning

860 c) ​ ____ ​ 10

a) 0,01 · 245 67 c) ​ ___ ​ 0,1

gälla?

b) 5,74 · 100

9 a) 78,3 · 10

18 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska a)

10 a) ​ ____ ​

8,2 8,2 ____ ​ ​ ​ ____ ​ 8,2 · 0,1

7 Hanna och Florian beräknade 0,7 – 0,02.

c) 3,2 · 1 000

b) –300 och –350

17 Vilka beräkningar ger samma svar?

Hanna svarade 0,5 och Florian svarade 0,68. Vem av dem räknade rätt?

16 Förklara hur du vet vilket tal som är störst av

b) 19,72

c) 8

15 Vilket tal ligger mitt emellan 3,47 och 3,48?

23 En sandlåda rymmer 2 m3 sand. En liter sand väger ungefär 3 kg. Anta att ett sandkorn väger 0,01 g. Klara säger att det inte finns mer än 10 000 000 sandkorn i lådan. Stämmer det? Motivera ditt svar.

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 143

143

2016-03-08 17:26

Multiplikation och division Exempel

Beräkna 60 000 b) ​ ________ ​ 20 000

a) 4 · 300

Lösning

Du kan också tänka: Hur många gånger går 20 000 i 60 000?

4 1

Exempel

a) 4 · 300 = 4 · 3 · 100 = 12 · 100 = 1 200 300 = 3 hundratal

60 000 _______________ 60 000/10 000 __ 6 ​= ​ ​= 3 b) ​ ________ ​= ​ 20 000/10 000 2

20 000

Beräkna

Taluppfattning och tals användning

a) 13 · 0,2

Lösning

25 b) ​ ____ ​ 0,5

1 0,1 = ____ ​ ​ 10

250 25 25 · 10 ____ ​ = ​ ​ = 50 b) ​ ____ ​ = ​ _______ 0,5 0,5 · 10 5

Förläng så att nämnaren blir ett heltal genom att multiplicera täljare och nämnare med 10.

2,4 2,4 · 100 ____ 240 c) ​ _____ ​ = ​ __________ ​ = ​ ​ = 80 0,03 0,03 · 100 3

600 a) ​ _____ ​ 3

Uppgifterna ska lösas utan räknare.

24 Beräkna a) 2 · 60

Förläng med 100 för att få heltal i nämnaren.

27 Beräkna

NIVÅ ETT

2,4 c) ​ _____ ​ 0,03

26 a) 13 · 0,2 = 13 ∙ 2 · 0,1 = 26 · 0,1 = ___ ​ ​ = 2,6 10 0,2 = 2 · 0,1

Division med 0,5 ger samma resultat som multiplikation med 2.

Förkorta täljare och nämnare med 10 000 för att få ental i nämnaren.

600 b) ​ _____ ​ 300

4 500 c) ​ ______ ​ 500

28 Vilka av följande produkter är större än 47? b) 400 · 6

c) 30 · 50

25 Du vet att 45 · 13 = 585. Hur mycket är 4 500 · 13?

1,002 · 47 0,8 · 47 47 · 2,5 47 · 0,99 1,1 · 47

26 Beräkna a) 9 · 0,3

144

b) 0,4 · 800 c) 0,2 · 80

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 144

2016-03-08 17:26

29 Vilka av följande kvoter är större än 8?

38 a) 400 · 0,08

8 ____ ​ ​ 0,2

8 __ ​ ​ 2

8 ____ ​ ​ 20

8 ______ ​ ​ 0,02

8 ____ ​ ​

Beräkna c) 700 · 0,7

1,5

42 0,6

39 a) ​ ____ ​

Beräkna 35 30 a) ​ ____ ​ 0,5 2,5 0,5

31 a) ​ ____ ​

2 b) ​ ___ ​ 0,1

4 c) ​ ____ ​ 0,2

6,2 b) ​ ____ ​ 0,1

4,8 c) ​ ____ ​ 0,8

32 En liten skruv väger 4,1 g. Hur mycket väger a) 2 000 skruvar

b) 4 000 skruvar

33 Vilket av följande uttryck har det största värdet?

4 ____ ​ ​ 0,5

d) 0,4 · 0,6 32 b) ​ ____ ​ 0,8

8,1 c) ​ _____ ​ 0,09

40 Skriv i storleksordning. Börja med det uttryck som har det minsta värdet.

72 A ​ ____ ​ B 0,8 · 72 0,2 72 C 72 · 0,3 D ​ _____ ​ 0,01

4 1

7 0,5

41 Tre elever beräknar ____ ​ ​ 7 Elsa: ____ ​ ​ = 3,5 0,5

7 70 Hedda: ____ ​ ​ = ​ ___ ​ = 14

4 ____ ​ ​ 0,3

0,3 ____ ​ ​ 4

4 · 0,3

4 · 0,5

0,5 5 7 Terje: ____ ​ ​ = 7 · 2 = 14 0,5 a) Vem eller vilka har räknat rätt? b) Hur kan den eller de andra ha tänkt?

NIVÅ två

34 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla?

297 a) 0,1 ∙ 297 = ____ ​ ​

b) 53 ∙

32 c) 32 ∙ 0,25 = ___ ​ ​

d) 2 800 ∙

53 = ____ ​ ​ 100 2 800 = ______ ​

​ 50

35 Beräkna a) 0,7 · 0,9

Taluppfattning och tals användning

b) 0,6 · 3 000

b) 0,03 · 0,8 c) 0,05 · 0,2

36 Ge ett exempel på vad som kan stå i rutan om kvoten ska bli a) mindre än 40

40 ___ ​ ​

b) större än 40

37 Att trycka 40 st reklamblad kostar 23 kr/st. Den totala kostnaden blir 920 kr. Att trycka 40 000 reklamblad kostar 2,30 kr/st. Vilken blir den totala kostnaden att trycka 40 000 blad?

nivå TRE

42 Vilket alternativ är närmast värdet av uttrycket 0,48 · 0,821?

A 0,39

B 0,039

C 3,9

D 0,47

E 0,047

F 4,7

0,69 b) ​ _____ ​ 0,3

0,04 c) ​ ______ ​ 0,005

43 Beräkna 640 a) ​ _____ ​ 0,08

44 Du vet att 280 ____ ​ ​ = 87,5

3,2 Använd det för att beräkna 28 2 800 280 b) ​ ___ ​ c) ​ ______ ​ a) ​ _____ ​ 0,32 32 6,4

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 145

145

2016-03-08 17:26

Bråk Exempel

Vilket av bråken är störst?

3 a) ​ __ ​ eller 7

4 1

Lösning

Taluppfattning och tals användning

Du kan också göra så här: Skriv först bråken med gemensam nämnare: 24 4 4 ∙ 6 ____ __ ​= ​ ​ ​ ​ ​ = ______ 5 5 ∙ 6 30 25 5 5 ∙ 5 ____ ​= ​ ​ ​ ​ __ ​= ______ 6 6 ∙ 5 30 Nu är det lätt att se att 5 4 ​ ​ ​ __ ​> __ 6 5

Exempel

Lösning

4 b) ​ __ ​ eller 5

9

5 ​ __ ​ 6

1 a) Undersök om bråken är större eller mindre än __ ​ ​ 2 1 3 3 1 Eftersom ​ __ ​ = ​ __ ​, så är ​ __ ​ är mindre än __ ​ ​ 2 6 7 2 1 5 5 1 Eftersom __ ​ ​ = ​ ___ ​, så är ​ __ ​ är större än ​ __ ​ 2 10 9 2 5 3 Svar: Bråket ​ __ ​ är större än ​ __ ​ 9 7 4 1 b) I bråket __ ​ ​ fattas ​ __ ​ för att det ska ha värdet en hel.

5 5 5 1 I bråket ​ __ ​ fattas ​ __ ​ för att de ska ha värdet en hel.

6 6 1 1 Eftersom ​ __ ​ är större än ​ __ ​ 5 6 4 5 så är ​ __ ​ mindre än ​ __ ​ 5 6 5 4 Svar: Bråket ​ __ ​ är större än ​ __ ​ 6 5

Beräkna och svara i enklaste form.

5 1 a) ​ __ ​+ ​ __ ​ 9 9

5 __ ​ ​

3 1 b) ​ __ ​– ​ __ ​ 4 3

5 1 5 + 1 __ 6 2 a) ​ __ ​+ ​ __ ​ = ​ _____ ​ = ​ ​= ​ __ ​ 9 9 3 9 9

Bråken har samma nämnare. Man kan addera täljarna direkt.

Förkorta bråket med 3.

3 1 3∙3 1∙4 b) ​ __ ​– ​ __ ​ = ​ _____ ​– ​ _____ ​ = 4 3 4∙3 3∙4

2 c) 16 – 1 __ ​ ​ 3

Bråken har olika nämnare. Förläng __ ​ 43 ​ med 3 och _​ 31 ​ med 4 för att få den gemensamma nämnaren 12.

9 4 9 – 4 ___ 5 = ___ ​ ​ – ​ ___ ​ = ​ _____ ​ = ​ ​ 12 12 12 12

2 2 2 1 1 c) 16 – 1 ​ __ ​ = 15 – ​ __ ​ = 14 + 1 – ​ __ ​ = 14 + ​ __ ​ = 14 ​ __ ​ 3 3 3 3 3

Subtrahera först heltalen.

Blandad form 2 2 ​ ​ 1 ​ ___ ​= 1 + ___ 3 3

146

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 146

2016-03-08 17:26

Exempel

Beräkna

/

3 2 a) ​ __ ​ ∙ __ ​ ​ 5 3

Lösning

3 b) ​ __ ​ 4

1 __ ​ ​ 8

3 2 ____ 3 ∙ 2 ___ 6 a) ​ __ ​ ∙ __ ​ ​ = ​ ​ = ​ ​ = 5 3 5 ∙ 3 15

6/3 __ 2 = _____ ​ ​ = ​ ​ 15/3 5

Täljare multipliceras med täljare, nämnare multipliceras med nämnare.

Förkorta med 3 för att få svaret i enklaste form.

Man kan även förkorta i beräkningen, innan man multiplicerar.

1

3 2 ____ 3 ∙ 2 ____ 1∙2 2 ​ __ ​ ∙ __ ​ ​ = ​ ​ = ​ ​ = __ ​ ​ 5 3 5 ∙ 31 5 ∙ 1 5 Det inverterade 1 8 talet till __ ​ ​ är __ ​ ​ 8 1

/

3 1 ____ 3∙8 ​ ​ = ​ ​ = b) ​ __ ​ __ 4 8 4∙1

24 24/4 __ 6 = ___ ​ ​ = _____ ​ ​ = ​ ​ = 6 4 4/4 1

4 1

Multiplicera det första bråket med det inverterade talet till det andra bråket.

Förkorta med 4 för att få svaret i enklaste form.

/

3 ​ __ ​ 4

2

1 3 8 3 ∙ 8 ____ 3∙2 6 __ ​ ​ = ​ __ ​∙ ​ __ ​ = ____ ​ ​ = ​ ​ = ​ __ ​ = 6 8 4 1

1

4∙1

1∙1

1

4 6

NIVÅ ETT

47 Skriv tre bråk som har samma värde som __ ​ ​ .

45 Vilka av talen i rutan är

48 Förkorta med 2.

1 a) mindre än __ ​ ​ b) större än 1 2 1 ​ ​ men mindre än 1 c) större än __ 2

9 __ ​ ​ 6

2 __ ​ ​ 3

3 __ ​ ​ 8

8 ___ ​ ​ 3

4 ​ ____ ​ 11

8 a) ​ ___ ​ 10

12 b) ​ ___ ​ 14

10 c) ​ ___ ​ 18

49 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska gälla?

2 a) ​ __ ​ = ___ ​ ​ 5 10

3 __ ​ ​ 4

1 b) ​ ___ ​ = ​ __ ​ 18 6

7 8 Motivera ditt svar.

4 20 c) ​ __ ​ = ​ ___ ​ 5

Taluppfattning och tals användning

Man kan även förkorta i beräkningen.

8 9

50 Vilket av bråken __ ​ ​ och ​ __ ​ är störst?

46 Skriv bråken i storleksordning. Börja med det minsta.

4 2 6 __ __ a) ​ __ ​ ​

​ ​

​ 7 7 7 6 6 6 ___ __ ​ ​

​ b) ​ ___ ​ ​ 11 25 7 2 7 5 ___

​ c) ​ __ ​ ​ __ ​ ​ 9 5 14

Beräkna 2 3 51 a) ​ __ ​ + __ ​ ​ 7 7

8 7 b) ​ __ ​– ​ __ ​ 9 9

4 2 c) ​ __ ​ – ​ __ ​ 5 5

1 1 2 6

3 5 b) ​ __ ​– ​ __ ​ 4 8

3 2 c) ​ ___ ​ + ​ __ ​ 10 5

52 a) ​ __ ​ + ​ __ ​

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 147

147

2016-03-08 17:26

1 4 glas räcker en kanna med

53 Ett glas rymmer __ ​ ​ liter. Till hur många

2 5 3 påskbuffén. Av dem som åt sill var det __ ​ ​ 4 som åt senapssill. Hur stor andel av alla gäster åt senapssill? Svara i enklaste form.

63 Det var bara __ ​ ​ av gästerna som åt sill på

1 b) 1 __ ​ ​ liter vatten 2

a) 2 liter vatten

54 Beräkna 2 a) 3 ∙ ___ ​ ​ 11 1 ​ ​ c) 4 __ 3

2 3 b) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 3 4 1 5 ​ ​ d) ​ __ ​ __ 8 8

/

nivå TRE

/

64 Skriv först bråken med samma nämnare och ordna dem sedan i storleksordning med det minsta först.

55 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla?

4 1

3 6 ∙ ___ ​ ​ = ​ ___ ​ 10 10

a)

5 15 b) ​ __ ​∙ ​ ___ ​ = ___ ​ ​ 9 4 36

5 __ ​ ​ 6

2 2 ___ ​ ​ = ​ ​ c) ​ __ ​ ∙ __ 5 3 15

Taluppfattning och tals användning

56 Noa och Isak delar på en familjepizza. Noa

3 __ ​ ​ 4

7 __ ​ ​ 8

7 ____ ​ ​ 12

65 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla?

1 4 a) ​ __ ​ + ​ __ ​= 1 3 x

1 1 äter __ ​ ​ av pizzan och Isak äter ​ __ ​ av pizzan.

4 8 Hur stor andel av pizzan är kvar?

1 15 b) ​ __ ​ + ​ ___ ​ = 1 4 x

Beräkna och svara i enklaste form.

2 3 1 5 3 4 66 a) ​ __ ​ + ​ __ ​– ​ __ ​ b) ​ ___ ​ ∙ ​ ___ ​ ∙ ​ ___ ​ 3 4 2 12 10 15

NIVÅ två

57 Förläng eller förkorta bråket så att nämnaren blir 100.

24 75 a) ​ ___ ​ b) ​ _____ ​ 25 500

18 c) ​ _____ ​ 300

58 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla?

18 3 9 72 a) ​ ___ ​ = __ ​ ​ b) ​ __ ​= ​ ___ ​ x 8 x 80

x 5 c) ​ ___ ​ = ​ __ ​ 36 6

59 Förklara hur man kan hitta ett bråk som är 9 större än ___ ​ ​ men mindre än 1.

10

60 Beräkna 5 1 a) ​ __ ​– ​ __ ​ 6 8

2 3 b) ​ __ ​ – ​ __ ​ 3 7

2 3 c) ​ ___ ​ + ​ ___ ​ 15 10

Beräkna och svara i enklaste form.

5 4 3 8 24 5 61 a) ​ __ ​∙ ​ __ ​ b) ​ __ ​∙ ​ __ ​ c) ​ ___ ​ ∙ ​ __ ​ 8 7 4 9 25 6

/

1 1 2 6

62 a) ​ __ ​ __ ​ ​

148

/

5 b) ​ __ ​ 2 8

/

12 c) ​ ___ ​ 5

( )

3 5 2 __ ​ ​ ∙ ​ ​ ​ c) ​ __ ​– ​ __ 8 3 4

( ) / ​ 225 ​

3 1 d) ​ __ ​ ​ + __ ​ ​ ​ 5 2

___

67 Förenkla uttrycket 3x2 2 a) ​ ____ ​ · ​ __ ​ 4 x 2x x 5x ​ ​ – ​ __ ​ c) ​ ___ ​ + ___ 3 3 3

x 6y b) ​ ___ ​· ​ ___ ​ 3y 7

68 Samtidigt som ett plan startar i Malmö på väg till London så startar ett plan i London på väg till Malmö. Avståndet mellan London och Malmö är 980 km.

3 a) När planet från Malmö har åkt ___ ​ ​ av 10 1 sträckan har planet från London åkt __ ​ ​ 3 av sträckan. Hur långt ifrån varandra är planen då? b) Restiden för planet från Malmö är 1,2 h.

Hur lång restid har planet från London?

6 __ ​ ​ 7

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 148

2016-03-08 17:26

Negativa tal Exempel

Beräkna a) –12 + 5

Lösning

b) –3 + (–6)

a) –12 + 5 = –7

Addition med ett positivt tal innebär att värdet ökar.

b) –3 + (–6) = –3 – 6 = –9

Addition med ett negativt tal ger samma resultat som subtraktion med det motsatta talet. Värdet minskar.

Det motsatta talet till –6 är 6.

c) –5 – (–3)

Två olika tecken direkt efter varandra ersätts med subtraktion.

c) –5 – (–3) = –5 + 3 = –2

4 1

Subtraktion med ett negativt tal ger samma resultat som addition med det motsatta talet. Värdet ökar.

Två lika tecken direkt efter varandra ersätts med addition.

Beräkna (–16) b) ​ ______ ​ (–4)

a) 8 ∙ (–4) Lösning

a) 8 ∙ (–4) = –32

Olika tecken på faktorerna ger negativ produkt.

(–16) b) ​ ______ ​ = 4 (–4)

Lika tecken på täljare och nämnare ger positiv kvot.

NIVÅ ETT

72 Skriv tre negativa tal som är större än –2.

73 Temperaturen var en morgon –5 °C.

Beräkna

69 a) –10 + 2

b) –8 – 5

c) 4 + (–1)

d) 21 + (–32)

e) 1 – 1,5

f) –4 + (– 11)

70 a) –6 + (–2)

d) –21 – (–21)

e) –8 + (– 8)

f) –7 – (– 11)

71 Vilket tal eller vilket tecken ska stå i rutan för att likheten ska gälla?

c) 2

= –100 b) –5 –

(–4) = –2

b) På eftermiddagen var temperaturen 7 grader varmare än på morgonen.

Vilken var temperaturen då?

b) –3 – (–4)

c) 8 – (–2)

a) –50 +

a) Under natten var det 2 grader kallare.

Vilken var temperaturen då?

d) –30

= –7 (–5) = –25

c) På kvällen var temperaturen 5 grader varmare än på morgonen. Vilken var temperaturen då?

Beräkna

74 a) –5 ∙ 6 –80 –8

75 a) ​ ____ ​

b) –3 ∙ (–3)

c) 9 ∙ (–2)

20 b) ​ ___ ​ –5

–50 c) ​ ____ ​ 10

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 149

Taluppfattning och tals användning

Exempel

149

2016-03-08 17:26

NIVÅ två

nivå TRE

76 Beräkna värdet av uttrycket om a = –5.

83 Ett läger för bergsklättrare ligger

a a) ​ __ ​ 2

b) 3a + 1

c) 3a – 4

77 Vilket tal ligger mitt emellan –7 och 4?

Beräkna

78 a) –10 + (–2) – 3

b) –9 – (–3) + 1

c) 14 + (–10) – (–5)

4 1 Taluppfattning och tals användning 150

79 a) (–2) ∙ (–3) ∙ 5 4 ∙ (–5)

c) ​ _______ ​ –10

84 Beräkna värdet av uttrycket om a = –2 och b = –10. a) ab + a

b) 8 ∙ (–5) ∙ 2 12 – 16

d) ​ _______ ​ –2

80 Hur kan man veta att produkten (–3) · (–3) · 5 · (–2) · (–2) är positiv? Motivera ditt svar.

81 Ge exempel på två negativa tal så att a) summan av talen är –5 b) differensen mellan talen är –10

82 Beräkna värdet av uttrycket om x = 3 och y = –5. a) 3x + 2y

6 135 m.ö.h. Där visar termometern –19 °C. För varje 100 meter närmare toppen man kommer sjunker temperaturen med 0,5 °C. Hur högt är berget om det är –28 °C på toppen?

b) 5x – y

b b) ​ __ ​– a a

85 Avgör om produkten är positiv eller negativ när man multiplicerar a) 18 negativa faktorer. b) 23 negativa faktorer. c) Formulera en regel som hjälper dig att avgöra om värdet av en produkt med negativa faktorer är positiv eller negativ.

86 Medelvärdet av 5 olika heltal är –3. Ge ett exempel på vilka tal det kan vara.

87 En kvadrat är inritad i ett koordinatsystem. Hörnen sitter i punkterna, (–2, –2), (–2, –8), (4, –2), och (4, –8). Beräkna arean av kvadraten.

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 150

2016-03-08 17:26

Potenser och kvadratrötter Exempel

Skriv utan potens a) 43

Lösning

68 c) ​ ___4 ​ 6

c) 5,4 ∙ 106

d) 70

a) 43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 b) 5,4 ∙ 106 = 5,4 ∙ 1 000 000 = 5 400 000 68 c) ​ ___4 ​= 68 – 4 = 64 = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 296 6 d) 70 = 1

Exempel

Beräkna och svara i grundpotensform.

Lösning

b) 3 · 103 · 4,5 · 105

Potenser med basen 10 kallas tiopotenser. Ett tal i grundpotensform skrivs som en produkt av ett tal mellan 1 och 10 och en tiopotens.

Taluppfattning och tals användning

a) 10 ∙ 3,2 ∙ 105

4 1

a0 = 1 för alla värden på a ≠ 0.

a) 10 ∙ 3,2 ∙ 105 = 3,2 ∙ 101 ∙ 105 = 3,2 ∙ 105 + 1 = 3,2 ∙ 106 10 = 101

b) 3 · 103 · 4,5 · 105 = 3 · 4,5 · 103 · 105 = 13,5 · 108

Exempel

13,5 · 108 = 1,35 · 109 ___

Skriv svaret i grundpotensform.

___

är markerade på en tallinje. Vilket av talen ligger Talen √ ​ 64 ​ ​ 90 ​ och √ närmast 9? ___

____

Lösning ​√ 64 ​ = 8 och ligger 1 steg från 9 på tallinjen. Eftersom √ ​ 100 ​ = 10 och ​ ___ ___ mindre än 10 och ligger närmast 9. ​ 90 ​ √ 81 ​ = 9 så är √

NIVÅ ETT

91 Vilket av följande tal är lika med 53 ?

Beräkna

88 a)

52 ____

89 a) ​√ 100 ​

b)

23 ___

b) ​√ 16 ​

c)

a)

b)

6,5 ∙ 103

15

125

5 000

104 __

c) ​√ 9 ​

90 Skriv utan potens 7 ∙ 103

92 Vad ska stå i stället för x för att likheten ska gälla? a) 10x = 1 000 000

c)

b) 10x = 100

2,4 ∙ 104

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 151

151

2016-03-08 17:26

93 Skriv utan potens a) 7,3 ∙ 108

b) 3,92 ∙ 105

c) 8,5 ∙ 10–3

94 Skriv i grundpotensform a) 38 000 000

b) 0,008

c) 0,000 023

d) 572

NIVÅ två

4 1

95 Mellan vilka heltal ligger ___

a) ​√ 68 ​

__

b) ​√ 7 ​

____

c) ​√ 105 ​

96 Är talet 59 ∙ 107 skrivet i grundpotensform?

Motivera ditt svar.

Taluppfattning och tals användning

97 Beräkna och svar i potensform. a) 63 · 64

710 b)​ ___ ​ 72

c) 3 · 34

98 Skriv som en potens med basen 2. a) 4

b) 8

c) 64

99 En kvadratisk tomt har arean 1 296 m2. a) Hur långa är tomtens sidor? b) Hur stor area har en tomt med dubbelt så långa sidor? c) Hur långa sidor har en tomt med dubbelt så stor area?

100 Beräkna och svara i grundpotensform. a) 2 · 103 · 4 · 102 9 · 103 c) ​ ______8 ​ 3 · 10

102 Temperaturen på solens yta är ungefär 6 000 °C. a) Skriv temperaturen i grundpotensform. b) Temperaturen i solens centrum kan vara 2 500 gånger så hög som på ytan.

Vilken temperatur kan det vara i solens centrum? Svara i grundpotensform. nivå TRE

103 Det finns 6,02 ∙ 1022 kolatomer i 12 g kol.

Hur många kolatomer finns i 1 kg kol?

104 Vilket tal ska stå i stället för x för att

8 · 108 b) ​ ______2 ​ 2 · 10

likheten ska gälla?

d) 3 · 10–2 · 6 · 104

b) 79 ∙ 10–6 = 7,9 ∙ 10x

101 Ljusets hastighet är ungefär 3 · 108 m/s.

En blinkning tar ungefär 0,1 sekunder.

Hur långt färdas ljuset under en blinkning?

a) 628 ∙ 109 = 6,28 ∙ 10x c) 489 ∙ 10–9 = 4,89 ∙ 10x

105 Avgör vilket tal som är störst utan att använda räknare. Motivera ditt svar. a) 401 eller 140 b) 104 + 104 eller 108

152

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 152

2016-03-08 17:26

Prioriteringsregler Exempel

Beräkna a) 4 + 2 · 6

Lösning

b) 5 – (2 + 8) + 3 · 10

c) 5 · (1 + 2)2

a) 4 + 2 · 6 = 4 + 12 = 16

Multiplikation och division beräknas före addition och subtraktion.

b) 5 – (2 + 8) + 3 · 10 =

Beräkna det som står i parentesen först.

= 5 – 10 + 3 ∙ 10 =

Därefter beräknas multiplikation och division.

= 5 – 10 + 30 = 25

Sist beräknas addition och subtraktion.

4 1

c) 5 · (1 + 2)2 = 5 · 32 =

Beräkna det som står i parentesen först, därefter potensen.

= 5 · 9 = 45

NIVÅ två

106 Beräkna

b) (3 + 5) ∙ 4

c) 9 + 2 ∙ 4

d) 6 + 2 ∙ 10 – 5

107 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska gälla? + 4 ∙ 6 = 30

c) 15 + 5 ∙

b) 8 ∙ 4 –

= 24

melonsorter. Ge förslag på vad man kan beräkna med uttrycket a) (2 · 37) + (3 · 14) b) 100 – (2 · 37) – (3 · 14) Melon

111 a) –82 c) (10 – 4) ∙ 1,2

b) 4 ∙ 6 + 2 ∙ (10 – 4) d) 3,5 + 2 ∙ 1,5 b) 6,8 – (2,4 + 0,6) d) (–8)2

112 Tre elever beräknar 1 + 2 · 3 + 4. Niki svarar

= 40

108 Tabellen visar priset för några olika

10 2 c) (9 – 5) ∙ (4 + 6)

110 a) 5 + 6 ∙ 2 – ___ ​ ​

a) 7 + 3 ∙ 2

a)

Beräkna

Pris per kg

11, Elin svarar 13 och Selma svarar 21. a) Vem har räknat rätt? b) Hur kan de andra två ha tänkt?

Taluppfattning och tals användning

NIVÅ ETT

nivå TRE

113 Skriv av och sätt ut en parentes så att likheten gäller.

Vattenmelon

14 kr

Honungsmelon

37 kr

a) 2 ∙ 6 + 5 – 1 ∙ 4 = 18

Nätmelon

25 kr

b) 2 ∙ 6 + 5 – 1 ∙ 4 = 28 c) 2 ∙ 6 + 5 – 1 ∙ 4 = 80

109 Beräkna a) 22 + (4 + 6)2

b) 16 – (1 + 3)2

114 Beräkna

_____________

__________

2 · (60 + 4) ​ b) ​√ 80 · 5 · 102 ​ a) ​√10 prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 153

153

2016-03-08 17:26

Avrundning och överslagsräkning Exempel

Avrunda talet 405,38 till a) tiotal b) en decimal c) tre gällande siffror

4 1

Lösning

Taluppfattning och tals användning

Den sista siffran i ett tal som man väljer att ha med kallas avrundningssiffra. Om siffran efter avrundningssiffran är 5 eller högre, så avrundas talet uppåt.

Värdet av avrundningssiffran ökar då med ett steg.

a) Tiotalsiffran 0 är avrundningssiffra. Siffran efter avrundningssiffran är 5. Talet avrundas uppåt. Värdet av avrundningssiffran höjs ett steg.

Svar: 405,38 ≈ 410 Avrundningssiffra

b) Siffran efter avrundningssiffran är större än 5. Talet avrundas uppåt.

Svar: 405,38 ≈ 405, 4 Avrundningssiffra

c) Siffran efter avrundningssiffran är mindre än 5. Talet avrundas nedåt.

Svar: 405,38 ≈ 405 Avrundningssiffra

Exempel

Lösning

Nollan är gällande när den står mellan två andra siffror.

Använd överslagsräkning. Ungefär hur mycket är 0,78 ∙ 0,41?

Avrunda till tal som är enkla att räkna med.

0,78 ∙ 0,41 ≈ 0,8 ∙ 0,4 = 0,32 Svar: 0,78 ∙ 0,41 ≈ 0,32

116 Avrunda talet 45 729,2 till

NIVÅ ETT

115 Avrunda talet 392,755 till a) tiotal

b) ental

a) tusental

b) hundratal

c) tiotusental

c) två decimaler

154

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 154

2016-03-08 17:26

117 Ett telefonabonnemang har avgiften 69 öre/minut. Ungefär hur mycket kostar det att ringa i a) 20 minuter

b) 40 minuter

c) 10 timmar

118 Talet 738,9 kan t.ex. avrundas till 700 eller 740. Förklara varför båda avrundningarna kan stämma.

119 Annie är 9 år. Ungefär hur många dagar har hon levt?

NIVÅ två

123 I annonsen står det ”Köp 3 paket för 95 kr”.

Omar räknar ut att ett paket kostar 95 ___ ​ ​ ≈ 31,66666667 kr. Hur bör han svara på 3 frågan: Vad kostar ett paket?

124 Avrunda talet 4 798,1 till a) två gällande siffror b) hundratal c) tiotal

A 3 000

B 30 000

C 300

D 300 000

120 Ungefär hur mycket är 2,13 · 15,1?

B 3,2

C 3

D 28

121 Anna beräknar arean av en cirkel med radien 3,5 cm. Hennes räknare visar 38,456.

Hur bör hon svara?

122 När Nila passerar Piteå har hon 136 km kvar att köra. Hastighetsmätaren visar lite mer än 70 km/h. Hur lång tid tar det innan Nila är framme om hon kör ungefär lika fort hela tiden? Använd överslagsräkning.

fått in ungefär 12 000 kr. Vilket är det största och minsta beloppet Pontus kan ha fått in om han avrundade till a) tusentals kronor b) hundratals kronor

126 Familjen Lindell beställer en kebabpizza för 89 kr, en hawaii för 79 kr, en kebabtallrik för 85 kr, en sallad för 68 kr och en barnpizza för 59 kr. Mattias har med sig 4 hundralappar att betala med. Räcker pengarna till att också köpa läsk för 30 kr?

Visa med en överslagsberäkning.

127 Ungefär hur mycket är 0,067 ∙ 0,712?

A 0,05

B 0,5

C 0,06

D 0,6

nivå TRE

4 1 Taluppfattning och tals användning

A 32

125 Pontus räknade kassan och sa: I dag har jag

128 Vilka är de minsta och största värdena som kan ha avrundats till 1 000, om det är avrundat till heltal?

129 Vilket eller vilka uttryck har ett värde som är större än 1 000?

A 25,02 ∙ 10,1 ∙ 4,1

3 982 092 3 983

C ​ __________

​

7 441 7,408

B ​ ______ ​ D 49,82 ∙ 10,03 ∙ 1,81

prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning

Prio9_kap04_4tryck.indd 155

155

2016-03-08 17:26

matematik Prefix

9

Förkortning

Betyder

Skrivs

tera

T

en biljon

1 000 000 000 000

giga

G

en miljard

1 000 000 000

mega

M

en miljon

1 000 000

> teori, exempel och övningar på tre nivåer

kilo

k

ett tusen

1 000

> Historia och samhälle – temaavsnitt

milli

m

en tusendel

0,001

mikro

μ

en miljondel

0,000 001

> Problem, resonemang och kommunikation – uppgifter som tränar alla matematiska förmågor

nano

n

en miljarddel

0,000 000 001

piko

p

en biljondel

0,000 000 000 001

1 000 000

Katarina Cederqvist Stefan Larsson Patrik Gustafsson

Prio Matematik är moderna läroböcker med

> Begreppslista, Tankekarta och Metodsamling – uppslagsdelar för sammanfattning och repetition Serien består av

M

mega

> Elevbok

9

> Digitalt material

1 000

> Lärarguide 1 000 100

k

kilo

h

> Prov, övningsblad och aktiviteter

10

hekto

1 000 100

Grundenhet

0,1 0,01 0,001

d

deci

9

10

10

c

centi

dividera mätetalet

matematik

1 000

multiplicera mätetalet

10

m

milli

1 000

0,000 001

µ

mikro

ISBN 978-91-523-2472-1

(523-4141-4)

Prio9_omslag_4tryck.indd 1-4

2016-03-08 17:28