matematik Prefix
9
Förkortning
Betyder
Skrivs
tera
T
en biljon
1 000 000 000 000
giga
G
en miljard
1 000 000 000
mega
M
en miljon
1 000 000
> teori, exempel och övningar på tre nivåer
kilo
k
ett tusen
1 000
> Historia och samhälle – temaavsnitt
milli
m
en tusendel
0,001
mikro
μ
en miljondel
0,000 001
> Problem, resonemang och kommunikation – uppgifter som tränar alla matematiska förmågor
nano
n
en miljarddel
0,000 000 001
piko
p
en biljondel
0,000 000 000 001
1 000 000
Katarina Cederqvist Stefan Larsson Patrik Gustafsson
Prio Matematik är moderna läroböcker med
> Begreppslista, Tankekarta och Metodsamling – uppslagsdelar för sammanfattning och repetition Serien består av
M
mega
> Elevbok
9
> Digitalt material
1 000
> Lärarguide 1 000 100
k
kilo
h
> Prov, övningsblad och aktiviteter
10
hekto
1 000 100
Grundenhet
0,1 0,01 0,001
d
deci
9
10
10
c
centi
dividera mätetalet
matematik
1 000
multiplicera mätetalet
10
m
milli
1 000
0,000 001
µ
mikro
ISBN 978-91-523-2472-1
(523-4141-4)
Prio9_omslag_4tryck.indd 1-4
2016-03-08 17:28
Katarina Cederqvist Stefan Larsson Patrik Gustafsson
matematik
9
SANOMA UTBILDNING
Prio9_framvagn_4tryck.indd 1
2016-03-08 17:22
SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon: 08-587 642 10 Telefax: 08-587 642 02 Redaktion: Johan Skarp och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Karin Olofsson och Jakob Robertsson Prio Matematik 9 ISBN 978-91-523-2472-1 © 2014 Katarina Cederqvist, Stefan Larsson, Patrik Gustafsson och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Fjärde tryckningen
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t. ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga er sättning till upphovsman/rättsinnehavare. Tryck: Livonia Print, Lettland 2016
Prio9_framvagn_4tryck.indd 2
2016-03-08 17:22
Till läsaren Välkommen till din nya matematikbok. Vi som har gjort den här boken vill att matematik ska vara mer än att bara räkna. Vår önskan är att matematik ska vara stimulerande med mycket tankearbete, problemlösning och diskussion.
Så här fungerar Prio Matematik: När du börjar arbeta med ett kapitel får du en överblick över innehållet genom att titta på listan med Begrepp som tas upp i kapitlet. Därefter kan du starta med Uppvärmningen, frågor som du bör kunna svara på med de förkunskaper du har. Varje avsnitt börjar med teori. Där får du en bakgrund och en översikt över den matematik du ska lära dig. Elevexemplen har många kommentarer, ledningar och tips. En Starter som ni jobbar tillsammans med i klassen kan inleda avsnittet. Därefter följer uppgifter på tre nivåer. Du kan komma överens med din lärare vilka uppgifter som du ska jobba med. Behöver du läsa mer om olika lösningsmetoder, så kan du gå till Metodsamlingen längst bak i boken. Historia och samhälle är ett avsnitt som ger dig lite intressant fakta och avslutas med några matematiska problem. Problem, resonemang och kommunikation är ett uppslag med uppgifter som lyfter fram och tydliggör de olika matematiska förmågorna. I slutet av kapitlet prövar du dina nyvunna kunskaper med ett Begreppstest och ett Kapiteltest. Du kan repetera och träna med hjälp av Blandade Uppgifter. Om du lyckades bra på testet, så kan du jobba på Hög höjd. Det är mer krävande uppgifter. Visar ditt testresultat att du behöver träna mer på vissa områden, så är det Baslägret som gäller. När kapitlet är helt klart är det dags att summera innehållet. Det gör vi i en Begreppslista och en Tankekarta. De kan användas som uppslagsdel, repetition och kontroll. Kapitel 4 repeterar alla områden du har jobbat med i högstadiets matematik. I kapitel 5 finns valbara avsnitt med matematik som förbereder dig för såväl vardagslivet som för gymnasiet. Vi hoppas att Prio ska hjälpa dig upptäcka att matematik kan vara spännande, intressant och utmanande. Lycka till på din kunskapsresa! Författarna
Prio9_framvagn_4tryck.indd 3
2016-03-08 17:22
Innehåll 1 Tal och algebra
6
4 Prio – från 7 till 9
138
1.1 Bråk.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1 Taluppfattning och tals användning. . . . . . . . 140
1.2 Addition och subtraktion av bråk. . . . . . . . . . . . 12
4.2 Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
1.3 Multiplikation av bråk.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1.4 Division av bråk.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Sannolikhet och statistik. . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
1.5 Algebraiska uttryck.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 Samband och förändring.. . . . . . . . . . . . . . . . . 198
1.6 Multiplicera uttryck i parenteser.. . . . . . . . . . . . 28
4.6 Problemlösning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
1.7 Faktorisera uttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.8 Ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.9 Problemlösning med ekvationer. . . . . . . . . . . . 39
2 Samband och förändring
5 Mer Prio
220
5.1 Är det sant?.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.2 Ut och resa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
54
5.3 Banker, lån och ränta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2.1 Funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Konjugat- och kvadreringsregler.. . . . . . . . . . . 229
2.2 Linjära funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Andragradsekvationer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
2.3 Räta linjens ekvation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6 Talbaser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
2.4 Procentuell förändring.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 Upprepad procentuell förändring. . . . . . . . . . . 78
3 Geometri
94
3.1 Symmetri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2 Likformighet och kongruens.. . . . . . . . . . . . . . . 99 3.3 Längdskala.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4 Areaskala och volymskala.. . . . . . . . . . . . . . . . 110
Blandade uppgifter
238
Metodsamling
244
Facit
268
Register
294
3.5 Likformiga trianglar och topptriangelsatsen.. 116 3.6 Pythagoras sats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Prio9_framvagn_4tryck.indd 5
2016-03-08 17:22
1
Tal och algebra När du först lärde dig räkna räckte det med hela tal. För att kunna lösa fler och svårare problem har du även fått lära dig använda negativa tal, tal i bråkform och irrationella tal som π. Inom algebran räknar man inte bara med tal, utan även med symboler för tal, till exempel x. Algebra ligger bakom mycket av det du möter i din vardag, som t.ex. sökfunktioner på internet. I det här kapitlet får du lära dig mer om hur man räknar med tal i bråkform. Du får även fördjupa dina kunskaper i algebra genom att till exempel förenkla uttryck och lösa ekvationer.
Centralt innehåll Reella tal och deras egenskaper LL
Innebörden av variabelbegreppet LL
Centrala metoder för beräkningar LL
Algebraiska uttryck, formler och LL
samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer. med tal i bråkform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer.
och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer. ekvationer i situationer som är relevanta för eleven.
Metoder för ekvationslösning. LL
6
Prio9_kap01_4tryck.indd 6
2016-03-08 17:22
Avsnitt
Begrepp
1.1 Bråk
bråk täljare nämnare blandad form förlänga förkorta enklaste form minsta gemensamma nämnare, MGN
1.2 Addition och subtraktion av bråk 1.3 Multiplikation av bråk 1.4 Division av bråk 1.5 Algebraiska uttryck 1.6 Multiplicera uttryck i parenteser 1.7 Faktorisera uttryck 1.8 Ekvationer
algebra numeriska uttryck algebraiska uttryck förenkla faktorisera ekvation obekant prövning
1.9 Problemlösning med ekvationer
Uppvärmning 1 4 Vilket bråk är mindre än __ ?
1 Vilket av följande bråk är störst?
3 A __ 4
3 B __ 5
3 C __ 6
2 Vilket av följande bråk har inte samma värde
6 som ___ ? 10 3 A __ 5
6 5
B __
12 20
C ___
10 10
3 B ___ 20
6 C ___ 10
26 B ___ 50
2
19 40
C ___
5 Om x = 5, så har uttrycket 2x + 3 värdet A
3 3 3 Summan ___ + ___ är lika med 6 A ___ 20
15 A ___ 20
13
B
16
C
28
6 Uttrycket 5x + 3y + 2x – y kan förenklas till A
7x + 3
B
7x + 2y
C
9xy
7 Ekvationen 4x – 3 = 41 har lösningen A
x = 4
B
x = 11
C
x = 44
7
Prio9_kap01_4tryck.indd 7
2016-03-08 17:22
1.1 Bråk Bråk
3 5
____
Täljare Nämnare
Förlänga
Thea och Yasmine äter på varsin lika stor chokladkaka. Thea har 3 6 av sin chokladkaka och Yasmine har ätit ___ ätit __ av sin chokladkaka. 5 10 De har ätit lika stor andel. 3 Genom att multiplicera både täljare och nämnare i bråket __ med 2 får 5 6 3 . Man säger att man har förlängt __ man bråket ___ med 2. Värdet av ett 10 5 bråk förändras inte när man förlänger det. 3 3 ∙ 2 ___ 6 __ = ____ = 5 5 ∙ 2 10
=
1
Multiplicera täljare och nämnare med 2. Värdet av bråket förändras inte.
Förkorta
6 1 Bråken ___ och __ har samma värde. Om man dividerar både täljare och 12 2 6 1 nämnare i bråket ___ med 6, så får man __ . Man har förkortat bråket 12 2 med 6. Värdet av ett bråk förändras inte när man förkortar det. 6 6/6 1 ___ = _____ = __ 12 12/6 2
=
Dividera täljare och nämnare med 6. Värdet av bråket förändras inte.
Enklaste form
Blandad form
Exempel
Lösning
När man inte kan förkorta ett bråk är det förkortat så långt som möjligt. Man har då skrivit bråket i enklaste form. Enklaste form av bråket 6 1 ___ är __ 12 2 12 2 Bråket ___ är större än en hel. Man kan skriva det som 2 __ . Då har man 5 5 skrivit bråket i blandad form, det vill säga med både heltal och tal i bråkform.
15 Skriv bråket ___ i enklaste form. 25 Både 15 och 25 är delbara med 5. Förkorta bråket med 5. 15 15/5 3 ___ = _____ = __ 25
25/5 5 3 Svar: __ 5
8
3 Bråket ___ kan inte förkortas längre. Det är i enklaste form. 5
tal och algebra 1.1 bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 8
2016-03-08 17:22
Exempel
Vilket bråk är störst? 3 a) __ eller 4
Lösning
3 ___ 10
9 b) ___ eller 20
8 ___ 14
5 c) __ eller 8
9 ___ 16
a) Bråken har samma täljare. Eftersom en fjärdedel är större än 3 3 en tiondel, så är __ > ___ 4 10 3 är störst. Svar: __ 4 1 b) Jämför bråken med __ 2 1 10 9 1 ___ = ____ ___ är mindre än __ 2 20 20 2 8 1 1 7 ___ ___ är större än __ = ____ 2 14 14 2 8 9 Därför är ___ > ___ 14 20 8 Svar: ___ är störst. 14
1
c) Bråken har olika täljare och nämnare. För att jämföra dem kan 5 man förlänga __ med 2 så att bråken får samma nämnare. 8 5 5 10 ∙ 2 __ = ____ = ___ 8 8 ∙ 2 16 10 9 5 9 Eftersom ___ > ___ , så är __ > ___ 16 16 8 16 5 Svar: __ är störst. 8 Övningsblad 1.1 A och B
Aktivitet 1.1
Starter
3 Qaiser har sett __ av avsnitten i sin 4 1 favoritserie. Alexandra har sett __ av 2 avsnitten av sin favoritserie. Vem har sett flest avsnitt?
NIVÅ ETT
1 Vilka av följande bråk har samma värde 1 som __ ? 2
10 ____ 20
5 __ 9
30 ____ 60
16 ____ 8
5 ____ 10
2 Skriv 3 olika bråk som har samma värde 6 som __ 8
tal och algebra 1.1 bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 9
9
2016-03-08 17:22
3 Vilka av bråken i rutan är större än 1? 8 __
5 __ 9
3
4 ____
15 a) ___ 25
6 __
10
8 Förkorta bråken med 5.
5
1
11 ____ 20
1 2
23 ____ 50
rutan.
det minsta. 5 __ 9
b)
2 __ 9
21 ____ 2
5 Skriv bråken i storleksordning. Börja med a)
1 2
9,4
3 __ 2
5 __ 2
9 b) Skriv __ i blandad form. Välj bland talen i 4 rutan.
10 ____
15 c) ___ 20
9 a) Skriv 2 __ i bråkform. Välj bland talen i
4 Vilka av bråken i rutan är mindre än __ ? 3 8 __ ____ 7 17
40 b) ___ 45
1 1 9 __ 2 __ 4 4
9
10 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten 7 7 ____ __ 10
6
7 ____ 25
1 3 som den består av tre delar och en är färgad. Förklara vad som är fel i hans resonemang.
6 Ahmed påstår att __ av bilden är färgad efter-
ska gälla? 5 x a) __ = ___ 8 16 3 9 c) __ = __ 7 x
1 x b) __ = ___ 4 12 x 2 d) ___ = __ 10 5
11 Felicia vet inte vilket som är störst av talen 1 1 ___ och ___ . Förklara hur hon kan tänka för
20 19 att avgöra vilket tal som är störst.
12 Stefan och Patrik har beställt två likadana
7 Förläng bråken med 4. 3 a) __ 5
10
1 b) __ 8
3 c) ___ 25
3 pizzor. Stefan har ätit upp __ av sin pizza. 4 2 Patrik har lämnat kvar __ av sin pizza. Vem 5 har ätit mest pizza?
tal och algebra 1.1 bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 10
2016-03-08 17:22
mindre än 1.
13 Skriv av tabellen och fyll i det som saknas.
7 8
18 Skriv tre olika bråk som är större än __ men
NIVÅ två
Bråkform
Blandad form
9 __
1 2 __ 4 1 3 __ 5
4
19 Använd överslagsräkning för att avgöra om följande summor är större eller mindre än 1. 4 1 4 5 a) __ + __ b) __ + ___ 9 3 8 12 11 3 7 11 d) ___ + __ c) ___ + ___ 13 20 25 6 1 20 Rita en kvadrat med sidan 6 cm. Färglägg __ 3 av omkretsen.
9 __ 7
2 4 __ 3 23 ____ 8
a) en halvtimme
24 b) _____ 400 30 d) _____ 200
25 a) ___ 35
24 b) ___ 36
nivå TRE
22 Figuren består av kvadrater. Hur stor andel är färgad?
15 Skriv bråken i enklaste form.
b) tre kvart
Svara med ett bråk i enklaste form.
14 Förläng eller förkorta bråken så att nämnaren blir 100. 7 a) ___ 20 8 c) ___ 25
1
21 Hur stor andel av ett dygn är
3 6 __ 4
64 c) ____ 112
16 Vilka får mest: 4 personer som delar på 3 persikor eller 8 personer som delar på 5 persikor?
17 Skriv bråken i storleksordning. Börja med det minsta. a)
7 3 __ ___ 6
9
4 __ 5
23 Bråken är skrivna i storleksordning med det 8 15 ___ 21 största talet först: __ ___ 7 14 20 8 Förklara med ord hur du kan veta att __ är 7 15 21 15 större än ___ och att ___ är större än ___ 14 14 20
24 Hur många olika bråk finns det som är större b)
c)
24 ____ 48
13 6 ____ ____ 25 14
2 __
3 15 ___ ____
3
4
24
3 men mindre än 1? Motivera ditt svar. än __ 4
2 2 3 3 b) Vilket bråk på tallinjen har ett fem gånger 1 så stort avstånd till talet ___ som det har 15 1 till talet – __ ? 3
25 a) Rita en tallinje från – __ till __
tal och algebra 1.1 bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 11
11
2016-03-08 17:22
1.2 Addition och subtraktion av bråk Samma nämnare
4 1 Bråken i uttrycket __ + __ har samma nämnare. Man kan beräkna 9 9 summan direkt genom att addera täljarna: 4 1 4 + 1 __ 5 __ + __ = _____ = 9 9 9 9
Olika nämnare
1
Bråken har också andra gemensamma nämnare, t.ex. 12: 2 8 1 · 2 2 · 4 ____ = + ____ = ______ + ______ 6 · 2 3 · 4 12 12 10 5 = ____ = __ 12 6
Exempel
1 2 I uttrycket __ + __ har bråken olika nämnare. För att kunna beräkna 6 3 2 summan förlänger man __ med 2. Bråken får den minsta gemensamma 3 nämnaren, MGN 6: 1 2 1 2 ∙ 2 1 4 1 + 4 __ 5 __ + __ = __ + _____ = __ + __ = _____ = 6 3 6 3∙2 6 6
Lösning
6
För att kunna addera och subtrahera tal i bråkform måste de först skrivas med en gemensam nämnare.
Beräkna 3 2 a) __ + __ 7 7
6
5 1 b) ___ – __ 16 4
3 1 c) __ + __ 4 6
3 2 _____ 3+2 5 a) __ + __ = = __ 7 7 7 7 5 1 5 1 ∙ 4 5 4 5 – 4 ___ 1 b) ___ – __ = ___ – _____ = ___ – ___ = _____ = 16 4 16 4 ∙ 4 16 16 16 16
Bråken har samma nämnare. Man kan addera täljarna direkt. 1 Bråken har olika nämnare. Förläng ___ 4 med 4 för att få den gemensamma nämnaren 16.
c) Metod 1 3 1 Bråken har olika nämnare. Förläng __ med 3 och __ med 2 för att 4 6 få den minsta gemensamma nämnaren, MGN 12. 3 1 3 ∙ 3 1 ∙ 2 9 2 9 + 2 ___ 11 __ + __ = _____ + _____ = ___ + ___ = _____ = 4 6 4 ∙ 3 6 ∙ 2 12 12 12 12
Metod 2
Det är inte nödvändigt att använda just den minsta gemensamma nämnaren. Man kan alltid förlänga varje bråk med det andra bråkets nämnare och sedan förkorta i svaret.
3 1 3 ∙ 6 1 ∙ 4 18 4 22 11 __ + __ = _____ + _____ = ___ + ___ = ___ = ___ 4 6 4 ∙ 6 6 ∙ 4 24 24 24 12 Förkorta med 2 för att få enklaste form.
12
tal och algebra 1.2 addition och subtraktion av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 12
2016-03-08 17:22
Exempel Förenkla
x x a) __ + __ 3 3 Lösning
3a a b) ___ – __ 4 2
Bråk med variabler adderas och subtraheras på samma sätt som andra bråk. x x x + x ___ 2x a) __ + __ = _____ Bråken har samma nämnare. Man kan addera = 3 3 3 3 täljarna direkt. 3a a 3a a · 2 3a 2a 3a – 2a __ a b) ___ – __ = ___ – _____ = ___ – ___ = ________ = 4 2 4 2·2 4 4 4 4
1
a Förläng ___ med 2 för att få den gemensamma nämnaren 4. 2
Aktivitet 1.2
Starter
3 1 __ 4 Ebba tror att __ + __ = 5 2 7 a) Använd ord, bilder och beräkningar och visa varför det är fel. b) Hur kan Ebba ha tänkt när hon utförde beräkningen?
4 Vilken är den minsta gemensamma nämnaren, MGN, till bråken 3 1 2 9 3 1 a) __ och __ b) __ och ___ c) __ och __ 8 4 5 20 4 6
5 Beräkna 1 1 a) __ + __ 3 6
7 3 b) ___ – __ 10 5
1 1 c) __ – __ 2 8
1 3 3 med __ liter fruktsoda. Hur många liter blir 4 Sverkers bål?
6 Till bålet blandar Sverker __ liter flädersaft
NIVÅ ETT
Beräkna 5 2 1 a) __ – __ 8 8 7 4 10 10
2 a) ___ – ___
1 4 b) __ + __ 9 9
3 1 c) __ + __ 5 5
3 3 b) ___ + ___ 16 16
7 c) 1 – ____ 100
3 Hur många delar behöver färgas i figuren till höger för att likheten ska gälla? a)
Övningsblad 1.2
+
1 4
7 I en säck med innebandybollar är __ blå,
1 __ gula och resten gröna. 8 a) Hur stor andel av bollarna är antingen blå eller gula? b) Hur stor andel av bollarna är gröna?
=
b) +
=
tal och algebra 1.2 addition och subtraktion av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 13
13
2016-03-08 17:22
3 1 8 4
8 Några elever har beräknat __ – __ och kommit
14 Vilken är den minsta gemensamma nämnaren, MGN, till bråken 3 4 5 2 5 a) __ och __ b) __ och __ c) __ och 4 5 6 9 8
fram till olika svar. 3 1 3–1 2 1 Kasandro: __ – __ = _____ = __ = __ 8 4 8–4 4 2 1 3 2 1 3 John: __ – __ = __ – __ = __ 8 4 8 8 8 1 1,5 1 ____ 0,5 3 = Sixten: __ – __ = ___ – __ 8 4 4 4 4 a) Vem eller vilka har rätt?
15 Förenkla
b) Vad har de övriga gjort för fel?
nivå TRE
x x a) __ + __ 4 4
4x x b) ___ + __ 5 5
1 __ 6
3x x c) ___ – ___ 10 10
16 Talen x och y är positiva heltal. Vilka tal är x
1
NIVÅ två
3 1 4 2 a) Lös uppgiften med hjälp av en figur.
9 Du har fått i uppgift att beräkna __ – __ b) Lös uppgiften med en beräkning.
Beräkna och svara i enklaste form 7 1 2 4 3 1 10 a) __ – __ b) __ + __ c) __ + __ 8 4 3 9 5 4 5 1 8 3
11 a) __ – __ 2 7
12 a) 3 – __
5 3 b) __ – __ 6 4
2 1 c) __ + __ 3 5
9 2 b) 2 ___ + ___ 10 10
1 3 1 c) __ + ___ – __ 2 10 5
13 På en lunchrestaurang finns det tre alternativ som dagens rätt: kött, fisk eller 2 vegetariskt. En dag valde __ av gästerna 3 1 fisk och resten vegetariskt. Hur stor kött, __ 4 andel av gästerna valde att äta vegetariskt?
x y 31 och y om __ + ___ = ___ ? 3 11 33
17 Ett stambråk är ett bråk med täljaren 1. Beräkna summan av följande stambråk 1 1 1 1 1 1 1 a) __ + __ + ___ b) __ + __ + __ + __ 2 4 10 2 3 4 5
18 Beräkna och svara i enklaste form. 2 1 + 1 __ a) 4 __ 9 3
3 5 b) 5 __ – 2 __ 4 8
1 10 c) 3 __ – ___ 6 12
x x b) __ + __ 6 3
3 1 c) ___ + ___ 4x 2x
19 Förenkla 3 5 a) __ + __ x x
1 5 3 __ . Vilket kan det andra talet vara? 4
20 Differensen av två tal är __ . Det ena talet är
14
tal och algebra 1.2 addition och subtraktion av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 14
2016-03-08 17:22
1.3 Multiplikation av bråk Multiplikation med heltal
2 Mohammed, Aron och Elias äter __ var av en baguette. 7 Sammanlagt äter de 3 kompisarna 2 2 __ 2 6 __ + __ + = __ 7
7
7
7
Man kan beräkna samma sak genom att multiplicera antalet personer med andelen som varje person har ätit: 2 3 ∙ 2 __ 6 3 ∙ __ = ____ = 7 7 7
Heltalet multipliceras med täljaren.
3 2 Eftersom 3 = __ kan multiplikationen 3 ∙ __ också skrivas 1 7 2 3 __ 2 3 ∙ 2 __ 6 Täljare multipliceras med täljare. 3 ∙ __ = __ ∙ = ____ = 7 1 7 1∙7 7 Nämnare multipliceras med nämnare.
Multiplikation med bråk
1
1 4 Till baguetten äter Aron soppa. Han äter upp __ av __ liter. Hur mycket 3 5 1 4 soppa Aron äter kan beräknas med hjälp av multiplikationen __ · __ : 3 5 Täljare multipliceras med täljare. 1 4 1·4 4 __ · __ = ____ = ___ Nämnare multipliceras med nämnare. 3 5 3 · 5 15 1 4 Multiplikationen __ · __ kan också visas med en bild: 3 5 4 1 4 ____ ___ = · ___ 3 5 15
1 __ 3 4 __ 5
4 Aron äter ___ liter soppa. 15
Multiplikation av bråk När man multiplicerar ett heltal med ett bråk, multiplicerar man heltalet med täljaren. b a∙b a ∙ __ = ____ c c
8 2 4 ∙ 2 ___ = T.ex. 4 ∙ ___ = ______ 9 9 9
När man multiplicerar två bråk, multiplicerar man täljarna för sig och nämnarna för sig. a c a∙c __ ∙ __ = ____ b d b∙d
2 ∙ 4 ____ 8 2 4 ______ = T.ex. ___ ∙ ___ = 9 5 9 ∙ 5 45
tal och algebra 1.3 multiplikation av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 15
15
2016-03-08 17:22
Exempel
Lösning
3 Pär simmar __ timme varje gång han tränar. En månad simmade 4 han 9 gånger. Hur länge simmade Pär sammanlagt den månaden? 3 9 ∙ 3 ___ 27 9 ∙ __ = ____ = 4 4 4 27 3 ___ = 6 __ 4 4
Heltalet multipliceras med täljaren. Det är enklare att se ungefär hur stort svaret är om du skriver i blandad form.
3 Svar: Pär simmade sammanlagt 6 __ timmar. 4
1
Exempel
3 6 ___ timmar = 6 timmar 4 och 45 minuter.
7 2 Beräkna __ ∙ __ och svara i enklaste form. 8 9 7 2 7 ∙ 2 14 14/2 7 8 9 8 ∙ 9 72 72/2 36
Lösning __ ∙ __ = ____ = ___ = _____ = ___ Täljare multipliceras med täljare. Nämnare multipliceras med nämnare.
Skriv svaret i enklaste form genom att förkorta med 2.
Man kan även förkorta i beräkningen, innan man multiplicerar: 7 2 7 ∙ 2 1 _____ 7∙1 7 __ ∙ __ = ____ = = ___ 8 9 4 8 ∙ 9 4 ∙ 9 36 Förkortar med 2
7 Svar: ___ 36
Exempel
Förenkla 4 x a) __ ∙ __ 5 2
Lösning
6x y b) ___ ∙ __ y 9
4 x 2 4 ∙ x 2 ∙ x 2x a) __ ∙ __ = ____ = ____ = ___ 5 2 5 ∙ 21 5 ∙ 1 5 2x Svar: ___ 5 6x y 26 ∙ x ∙ y 1 b) ___ ∙ __ = _______ = y 9 1 y ∙ 93
Multiplicera täljare för sig och nämnare för sig. Förkorta med 2 i beräkningen.
2 ∙ x ∙ 1 ___ 2x _______ = Multiplicera täljare för sig och nämnare för sig. 1∙3
3
Förkorta med både 3 och y i beräkningen.
2x Svar: ___ 3 Övningsblad 1.3
16
tal och algebra 1.3 multiplikation av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 16
2016-03-08 17:22
8 Vilket bråk är
Starter
2 a) dubbelt så stort som __ 3 1 b) hälften så stort som __ 2
Vilket bråk kan A vara om 3 3 a) __ ∙ A är mindre än __ 8 8 3 3 b) __ ∙ A är större än __ 8 8 3 3 c) __ ∙ A är lika med __ 8 8
9 Vilka av följande
NIVÅ ETT
1 Beräkna 1 a) 3 ∙ __ 8
2 b) 5 ∙ ___ 13
2 c) 4 ∙ ___ 11
5 = __ 6 12 = ___ 7
b) d)
2 8 ∙ __ = __ 9 9 3 9 ∙ __ = ___ 5 20
6 3 Vilka uttryck har samma värde som __ ? 7
3 6 __ ∙ __ 7 3
6 2 __ ∙ __ 7 2
4 6 __ ∙ __ 5 7
5 6 __ ∙ __
5 ∙ 4 20 5 __ ∙ 4 = _____ = ___
4 5 __ ∙ __
5 5 5 4 __ ∙ __ 4 5 4 7 __ ∙ __ 5 9
1
5 6
6 6 ∙ 4 24 Har Miriam gjort rätt? Motivera ditt svar.
NIVÅ två
Beräkna och svara i enklaste form. 5 4 3 5 7 8 11 a) __ ∙ __ b) ___ ∙ __ c) ___ ∙ __ 8 7 10 6 12 9 8 10 15 11
12 a) ___ ∙ ___
5 7
3 5 4 6 __ ∙ __ 5 6 7 4 __ ∙ __ 3 5
10 Miriam ska beräkna __ ∙ 4. Hon räknar så här:
2 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska gälla? 1 a) __ ∙ 6 3 c) __ ∙ 7
1 4 __ ∙ __
produkter är 4 a) större än __ 5 4 b) mindre än __ 5 4 c) lika med __ 5
5 4 b) ___ ∙ ___ 12 15
3 8 c) ___ ∙ ___ 16 27
4 I åk 9 på Centralskolan finns det 75 elever. 3 Av dem har __ konfirmerat sig. Hur många 5 elever har konfirmerat sig?
Beräkna 1 3 5 a) __ ∙ __ 7 5 3 5 4 7
6 a) __ ∙ __
4 1 b) __ ∙ __ 9 3
1 4 c) __ ∙ __ 5 3
1 3 b) __ ∙ ___ 8 10
2 4 c) __ ∙ __ 3 5
7 Viktor bakar bröd. Till ett bröd behövs
2 __ liter mjöl. Hur mycket mjöl behövs till
3 24 bröd?
tal och algebra 1.3 multiplikation av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 17
17
2016-03-08 17:22
13 Beräkna och svara i enklaste form. 2 1 3 a) __ ∙ __ ∙ __ 3 4 5
nivå TRE
8 1 3 b) __ ∙ __ ∙ __ 9 6 4
20 Beräkna och svara i enklaste form. 7 16 15 a) __ ∙ ___ ∙ ___ 8 35 42
14 Hur förändras värdet av ett bråk om a) täljaren multipliceras med 2
21 Två bråk med olika nämnare har produkten
b) nämnaren multipliceras med 2
4 __ . Ge två olika förslag på vilka bråk det kan
c) bråket förlängs med 2
15 Catrine, Åsa och Petra äter äppelpaj. När de
1
2 av pajen kommer Jonas. Alla delar har ätit __ 3 lika på det som är kvar. Hur stor del av hela pajen får Jonas?
16 För att beräkna hälften av ett tal kan man 1 multiplicera det med __ .
5 c) __ ∙ 6
19 Beräkna och svara i enklaste form.
18
ska gälla? 3 3 a) x ∙ __ = __ 4 2
3 1 b) __ ∙ x = ___ 8 16
23 Beräkna och svara i enklaste form. 7 2 3 b) __ – __ ∙ __ 8 3 4
18 Ge förslag på ett bråk som kan stå i rutan så
1 4 5 a) __ · ___ · __ 2 15 6
22 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten
( )
1 17 Förklara vad det är för skillnad på 4 __ och 8 1 4 ∙ __ 8
> 1
5 vara.
1 1 4 – __ ∙ __ a) __ 4 8 5
2 9 a) Beräkna hälften av ___ 12 b) Visa med hjälp av en figur.
att likheten gäller. 5 5 a) __ ∙ = 1 b) __ ∙ 6 6
21 2 15 b) ___ ∙ __ ∙ ___ 45 9 28
2 4 3 b) __ · __ · ___ 3 9 16
<1
Förenkla 3x 4 24 a) ___ ∙ ___ 8 15 12a 10 5 3a
25 a) ____ ∙ ___
2x x b) ___ ∙ __ 5 6
9y 20 c) ___ ∙ ___ 5 3y
4x2 6 b) ____ ∙ ___ 5 7x
4a 3a ___ ∙ c) ___ b3 9b
1 3 3 chokladbitarna. Sedan bjöd hon på __ av de 5 chokladbitar som var kvar. De sista 12 bitarna var det ingen som ville äta upp. Hur många chokladbitar åt Saga?
26 Saga hade en chokladask. Hon åt upp __ av
tal och algebra 1.3 multiplikation av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 18
2016-03-08 17:22
1.4 Division av bråk
3 Ingrid har __ liter smet som hon ska hälla i muffinsformar. Varje form 4 1 har volymen __ liter. För att räkna ut hur många muffins som smeten 8 1 3 i __ ? räcker till ställer hon frågan: Hur många gånger ryms __ 8 4 1 __
1 __ 8 1 __ 8
8 1 __ 8
1 __
1 __ 8 1 __ 8
8 1 __ 8
4
4
3 __
3 __
1
1 3 Bilden visar att __ ryms 6 gånger i __ . Ingrid har gjort beräkningen 8 4 3 1 = 6. Smeten räcker till 6 muffins. __ __ 4 8
/
3 8 Om man beräknar multiplikationen __ · __ ser man att den ger samma 4 1 3 1 ovan: resultat som divisionen __ __ 4 8
/
3 8 3 ∙ 8 ___ 24 __ ∙ __ = ____ = = 6 4 1 4∙1 4
Inverterat tal
Dubbelbråk
3 3 8 ___ ger samma resultat som ___ · ___ 4 1
4
/
1 ___ 8
1 Att dividera ett tal med __ ger samma resultat som att multiplicera talet 8 8 med __ , där täljare och nämnare har bytt plats. Det kallas för det 1 inverterade talet till bråket. Att dividera med ett bråk ger samma resultat som att multiplicera med det inverterade talet. Ett annat sätt att dividera med bråk är att se divisionen som ett 3 1 och nämnaren är __ : dubbelbråk, där täljaren är __ 4 8 3 3 __ 8 3 __ 8 ∙ __ ∙ __ __ 1 ___ 3 __ 4 4 1 4 1 = ____ __ _____ _____ = 1 = 1 8 = 1 24 34 ∙∙ 81 = ___ 4 = 6 4 8 __ __ __ ∙ 8 8 1
/
8 Förläng med ___ så att nämnaren blir 1. 1
Division av bråk I det inverterade talet till ett bråk har täljare och nämnare bytt plats.
När man dividerar två bråk multiplicerar man det första bråket med det inverterade talet till det andra bråket.
/
a c __ a d a∙d __ __ = ∙ __ = ____ b d b c
b∙c
/
2 7 ______ 2 ∙ 7 ____ 14 2 5 ___ = T.ex. ___ ___ = ∙ ___ = 3 7 3 5 3 ∙ 5 15
tal och algebra 1.4 division av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 19
19
2016-03-08 17:22
Exempel
Beräkna genom att rita figur.
/
/
1 a) 2 __ 4
Lösning
6 b) __ 3 7
1 a) __ ryms 8 gånger i 2: 4 1 = 8 2 __ 4 6 2 på 3 ger __ till varje: b) Att dela __ 7 7 2 6 __ 3 = __ 7 7
2 hela motsvarar 8 fjärdedelar.
/
1 Exempel
2 __ 7
/
6 __ 7
4 Familjen Ottossons hushåll orsakar ett utsläpp av __ ton koldioxid 5 per år. a) Hur mycket motsvarar det per månad? 2 ton per år. b) Varje familjemedlem bidrar till ett utsläpp av ___ 15 Hur många personer består familjen Ottosson av?
Lösning
a) Det är 12 månader på ett år:
/
1
4 4 1 4·1 1·1 1 __ 12 = __ · ___ = _____ = ____ = ___ 5
5 12 5 · 12 3 5 · 3 15
Multiplicera med det inverterade talet till 12.
Förkorta med 4.
1 Svar: Familjen Ottosson orsakar ett utsläpp av ___ ton per månad. 15 2 4 b) Man ska ta reda på hur många gånger ___ får plats i __ . Det kan 15 5 4 2 : man göra med beräkningen __ ___ 5 15
/
/
4 __ 5
2
3
1
5·21 1·1
2 4 15 4 · 15 ____ 2·3 ___ = __ · ___ = _____ = = 6 15 5 2
Multiplicera med det 2 inverterade talet till ____ 15
6 familjemedlemmar.
Förkorta med 2 och med 5.
Svar: Familjen har 6 medlemmar. Aktivitet 1.4
20
Övningsblad 1.4
tal och algebra 1.4 division av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 20
2016-03-08 17:22
3 4 blomkålssoppa om varje skål rymmer 1 1 a) __ liter b) __ liter 4 8
4 Till hur många skålar räcker __ liter
Starter
Vilka beräkningar har ett svar som är 1 större än __ ? Diskutera hur man kan 2 avgöra det utan att utföra beräkningarna. 1 1 1 1 1 __ __ __ __ 4 __ 2 2 8 2 2
/
/
/
/
/
1 1 __ ___ 2 10
1 1 __ __ 2 3
Beräkna 6 5 a) __ 2 5
/ /
1 2
6 a) 8 __ NIVÅ ETT
9 10 dela lika på den.
1 Det är ___ kvar av tårtan. Tre personer ska
/
9 3 20 20
7 a) ___ ___
/
/
16 b) ___ 4 17
15 c) ___ 5 24
1 b) 5 __ 3
1 c) 4 __ 4
/ /
3 b) __ 4
1 __ 4
/ /
8 c) ___ 11
1
2 ___ 11
8 Frank ska tillverka ljus och har två liter flytande stearin som han ska hälla i formar 1 liter. Hur många ljus räcker som rymmer __ 6 stearinet till?
9 Är det sant? a) När man dividera ett bråk med 2 får man samma resultat som när man 1 multiplicerar bråket med __ 2 1 b) När man dividerar ett bråk med __ får 2 man samma resultat som när man multiplicerar bråket med 2.
a) Hur stor andel av hela tårtan får var och en? Svara med ett bråk. b) Vilket eller vilka uttryck beskriver situationen?
/
9 ____ 3 10
9 1 ____ ∙ __ 10 3
9 ____ ∙ 3
10 Till en tv-serie spelas det in totalt 12 timmar
10
4 5 1 påsar med __ liter i varje. Hur många påsar 5 behövs?
3 timme. Hur film. Varje avsnitt ska vara __ 4 många avsnitt blir det av tv-serien?
2 Philip har __ liter blåbär som ska förpackas i
3 Florian har kokat 4 liter buljong som han
1 ska hälla upp i flaskor som rymmer __ liter. 3 Vilken eller vilka uträkningar visar hur många flaskor som behövs? 1 1 1 __ A 4 ∙ __ B __ 4 C 4 3 3 3
/
/
NIVÅ två
Beräkna 9 1 11 a) ___ ___ 10 20
7 b) __ 2 8
5 c) __ 6
1 __
4 9
3 b) 9 __ 4
2 c) __ 3
2 __
/
/
12 a) __ 8
/ /
/ /
3
9
tal och algebra 1.4 division av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 21
21
2016-03-08 17:22
13 Para ihop rätt händelse med rätt uttryck i rutan. A Inez har bakat 4 sockerkakor som hon
delar i halvor. Hur många bitar får hon? B Malva köper 4 flaskor med en halv liter
drickyoghurt i varje. Hur många liter drickyoghurt köper hon?
1
/
4 __
1 1 4 ∙ __ 4 __ 4 ∙ 2 2 2
/
Beräkna och svara i enklaste form. 15 3 10 5 63 21 21 a) ___ __ b) ___ __ c) ___ ___ 28 7 27 6 80 16
/
/
1 3
22 a) 2 1 __
/ /
2 b) 4 __ 7 3
/ /
3 1 c) 3 __ 4 __ 5 5 1 3 4 8
11 16
23 Beräkna medelvärdet av bråken __ , __ och ___ Svara i bråkform.
24 Talet A är ett bråk. Du får veta att
/
2
1 6
14 Visa med en bild att 2 __ = 12 15 Rektor Ruthström lägger schemat på sin skola. 2 timme. Varje lektionspass ska vara __ 3 a) Hur många lektionspass kan han lägga ut på en skoldag som är 8 timmar? b) En skolvecka ska vara 26 timmar lång. Hur många lektionspass blir det? 1 4 Ge två olika förslag på vilka bråk det kan vara.
16 Två bråk med olika nämnare har kvoten __ .
1 8 A __ = ___ 5 21 a) Hur mycket är i sådana fall 2 ? A __ 5 b) Förklara med ord hur du kan veta vad 2 är. A __ 5 c) Vilket tal ska A divideras med för att få 16 svaret ___ ? 21
/ /
25 Förenkla
/
2x a) ___ 3
6x ___ 5
/
a2b b) ____ 4
a __ b
/
3x c) ___ y
2
5x ____ 3 9y
17 Vilket tal ska stå i stället för x?
/ /
/ /
5 10 a) ___ x = ___ 13 13
3 15 b) ___ 5 = ___ x 20
4 8 c) ___ 2 = __ 18 x
x d) __ 7
18 Förenkla 4x a) ___ 2
/
3x b) ___ 3 4
1 __ = 6 7
/
x 1 c) __ __ 8 2
nivå TRE
2 3 8 är __ . Vilket är det andra bråket? 9
19 Två bråk har produkten __ . Det ena bråket 2 5 1 vinbärssaft med 1 __ liter vatten. Hur stor 2 andel av den färdigblandade saften är vatten?
20 Evelina blandar __ liter koncentrerad
22
tal och algebra 1.4 division av bråk
Prio9_kap01_4tryck.indd 22
2016-03-08 17:22
historia och samhälle Koder och krypton JNL SHKK ENSANKKROKÖMDM JKNBJÖM EXQÖ! Förstod du uppmaningen? Ibland vill man kunna skicka hemlig information, som bara mottagaren ska kunna förstå. Meningen här ovanför är ett exempel på ett chiffer eller ett krypto. Varje bokstav är ersatt med en annan enligt ett bestämt mönster. De som känner till mönstret kan enkelt avkryptera, läsa och förstå meddelandet.
1
När du till exempel handlar på internet vill du inte att obehöriga ska komma åt information om dina bankkonton. För att öka säkerheten är mycket av informationen krypterad. Det vanligaste sättet att kryptera bankinformation bygger på koder som är skapade med hjälp av stora primtal.
Julius Caesar använde redan på 100-talet f.Kr. den typ av krypto som i dag bär hans namn.
1 Lös kryptot längst upp på sidan. Ersätt varje bokstav med den som kommer efter i alfabetet, eller använd kodnyckeln längst ner på sidan. Bokstäverna i meningen motsvaras av rad 1 och lösningen av motsvarande bokstäver i rad 2.
Caesarkrypto En av de enklaste typerna av krypton kallas Caesarkrypton. Det innebär att varje bokstav i meddelandet byts ut mot den bokstav som kommer ett bestämt antal steg före eller efter i alfabetet. Meningen längst upp på sidan är ett Caesarkrypto. För att lösa det ska du ersätta varje bokstav med den som kommer efter i alfabetet.
2 Använd kodnyckeln längst ner på sidan för att lösa kryptot. Rad 1 har bytts mot rad 2 när meddelandet skrevs. a) IÖNUB NFSB QBOOLBLPS! b) TLBUUFO ÖS HANE J HBSBHFU.
Om vi bestämmer oss för att rad 1 byts mot rad 3 (se kodnyckeln nedan) när vi skriver ordet PRIO, så blir kryptotexten RTKQ. För att lösa kryptot byts bokstaven i rad 3 mot motsvarande bokstav i rad 1.
3 Skriv ett eget meddelande. Bestäm själv vilken rad du använder som kodnyckel.
4 Knäck kryptot! Det är en del av en känd sångtext.
Här är några exempel på kodnycklar till ett Caesarkrypto.
AR PHÅ FKQB QOL ABQ ÄIFO PLJJÅO FCÅII FKQB KXK PYQQBO CÅOQ
1
Ö
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
X
Y
Z
Å
Ä
2
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
X
Y
Z
Å
Ä
Ö
3
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
X
Y
Z
Å
Ä
Ö
A
4
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
X
Y
Z
Å
Ä
Ö
A
B
tal och algebra historia och samhälle
Prio9_kap01_4tryck.indd 23
23
2016-03-08 17:22
problem, resonemang och kommunikation
1
Värdera lösningar
NOG
Studera lösningarna och avgör om de är korrekta och väl utförda.
Avgör om du har fått tillräckligt med information för att lösa uppgiften.
1 Levi, Nathan och Felix fick i uppgift att
1 Linus fick pengar i födelsedagspresent. Han
24 så långt som möjligt. förkorta bråket ___ 72 1 4 24 Levi: ___ = __ 72 1 7 3/3 1 24/8 ____ Nathan: ____ = = __ 72/8 9/3 3 12 6 3 24 Felix: ___ = ___ = ___ = __ 72 36 18 9 a) Har någon av dem löst uppgiften korrekt? Motivera ditt svar.
3 använde __ av pengarna till att köpa en 4 1 av pengarna. sportbag. Han gick på bio för __ 6 De 45 kr som blev kvar sparade han. Hur mycket pengar fick Linus i födelsedagspresent?
b) Vilka fel finns i lösningarna?
c) Lös uppgiften om det finns tillräckligt med information.
3 5
/
2 Fyra elever beräknade __ 6 Alva:
10
3 __
2 Hugo gjorde dubbelt så många mål som
5
a) Finns det tillräcklig information för att du ska kunna lösa uppgiften?
1 3 __ 6 = ___ 10 5
b) Om det inte finns tillräcklig information, vilken information saknar du?
3 3 1 3 1 Tyra: __ 6 = __ · __ = ___ = ___
c) Lös uppgiften om det finns tillräckligt med information.
5
5 6 30 10
30 6 = ___ 5 3 1 3 30 ___ = = ___ __ ___ 5 5 30 10
Hoda:
/ /
1
3 Annie tjänade 20 % mer än Felicia på sitt sommarjobb. Felicia jobbade 15 timmar mindre än Annie. Tillsammans tjänade de 14 300 kr. Hur mycket tjänade Annie?
3 3·1 1 Rebecka: __ 6 = ____ = ___
a) Finns det tillräcklig information för att du ska kunna lösa uppgiften?
a) Hur tror du att de olika eleverna har tänkt?
b) Om det inte finns tillräcklig information, vilken information saknar du?
b) Vilken lösning föredrar du? Motivera.
c) Lös uppgiften om det finns tillräckligt med information.
5
42
b) Om det inte finns tillräcklig information, vilken information saknar du?
Markus. Isak gjorde 5 mål mer än Markus. Joel gjorde 9 mål. Vem gjorde flest mål?
1 ____
/ /
a) Finns det tillräcklig information för att du ska kunna lösa uppgiften?
5 · 6 2 10
tal och algebra problem, resonemang och kommunikation
Prio9_kap01_4tryck.indd 42
2016-03-08 17:22
Lös problemet
Modellering
Matematisk problemlösning där du själv väljer metod.
Här får du själv bestämma lämpliga och realistiska värden för att kunna lösa uppgiften.
1 I en låda finns kuber i tre färger. Två
Hur mycket vatten använder du till att duscha på ett helt år?
tredjedelar av kuberna är röda. Antal gröna kuber är en fjärdedel av antalet röda kuber. Resten av kuberna är blå. a) Hur stor andel av kuberna är blå? b) Det finns 14 blå kuber i lådan. Hur många röda kuber finns det?
2 a) Hitta två nämnare så att likheten stämmer. 7 3 1 __ __ = 2 __ ? ? 3 b) Finns det fler lösningar? Motivera ditt svar.
/
Hur mycket kostar det att duscha under ett år?
Bedömningsuppgift
1
Här får du visa kvalitet på olika matematiska förmågor. Välj tre heltal som följer på varandra, t.ex. 4, 5 och 6. Addera talen, t.ex. 4 + 5 + 6. Multiplicera antalet tal med talet i mitten, t.ex. 3 ∙ 5. a) Upprepa med tre olika talföljder med tre på varandra följande tal.
3 Studera mönstret.
b) Beskriv det mönster du ser. Använd ord och/ eller formel för att förklara mönstret.
c) Undersök på samma sätt talföljder med fem på varandra följande tal. Beskriv mönstret med ord och/eller formel.
Figur 1
Figur 2
Figur 3
a) Ange i bråkform andelen färgade rutor i figur 1, 2, 3 och 4. b) Beskriv med ord hur täljare och nämnare i bråken som beskriver andelen färgade rutor förändras.
d) Undersök på samma sätt andra talföljder där differensen mellan talen är större. Beskriv mönstret med en formel.
c) Skriv ett uttryck som visar andelen färgade rutor i figur n.
tal och algebra problem, resonemang och kommunikation
Prio9_kap01_4tryck.indd 43
43
2016-03-08 17:23
begreppstest 2 7
1 Bråket __ förlängs med 4. Resultatet är
8 7
2 28
A __
C ___
2 Vilket av följande bråk är skrivet i enklaste form? 7 9
3 6
A __
1
8 28
B ___
5 15
B __
C ___
3 Vilket av följande bråk är minst? 9 8
9 10
A __
9 12
B ___
C ___
4 Vilken beräkning stämmer? 3 1 2 A __ – __ __
3 1 3 B __ – __ __
4 2 2
3 1 1 C __ – __ __
4 2 8
4 2 4
3 8
3 8
A mindre än __ B större än __
6 Ylva har plockat 6 liter blåbär. Hon packar dem i burkar som rymmer 3 __ liter. Ylva kan beräkna hur många burkar hon behöver genom
4 uträkningen 3 A 6 __ 4
/
3 4
/
C __ 6
B 2 – x
C x – 2
8 Uttrycket 3x + 2(x – 3) kan förenklas till A x – 6
B 5x – 3
9 Vad ska stå i rutan om 12x + 8 = A 9
B 4
C 5x – 6
(3x + 2)? C 9x
10 Till vilken av ekvationerna är x = 5 en lösning? A 9x + 7 = 38
3 4
B 6 ∙ __
7 Uttrycket 5 – (x + 3) kan förenklas till A 8 – x
5 3 6 8 5 C större än __ 6
5 Vilket påstående om multiplikationen __ ∙ __ stämmer? Produkten är
B 6x + 3 = 68
20 x
C ___ + 2 = 6
11 Oliwer har gjort x mål. Filip har gjort dubbelt så många mål som Oliwer. Bilal har gjort två mål mer än Oliwer. Tillsammans har de gjort 30 mål. Vilken ekvation beskriver hur många mål de har gjort sammanlagt? A x + 2x + 2 = 30
B x + 2x + x + 2 = 30
C x + 2 + 2 = 30
44
tal och algebra begreppstest
Prio9_kap01_4tryck.indd 44
2016-03-08 17:23
kapiteltest
a) med 4
2 3
1 Förläng bråket __ b) så att nämnaren blir 24
Beräkna och svara i enklaste form. 3 1 10 2
5 1 b) __ – __ 6 4
2 a) ___ + __
3 a) 5 ∙ ___
4 a) __ __
5 Beräkna värdet av uttrycket om x = 10 och y = 4.
7 10
/
3 3 4 8
a) 2xy
2 4 b) __ ∙ __ 3 5
/
/
1 b) 4 __ 2
b) x – y
8 c) ___ 4 15
1
c) 20 – (x + y)
6 Rickard har lånat x böcker på biblioteket. Simon har lånat 3 böcker färre. a) Skriv ett uttryck för hur många böcker Simon har lånat. b) Anna har lånat 2(x – 3) böcker. Förklara vad uttrycket innebär.
Förenkla uttrycken
7 a) 7x + (2x – 8)
b) 9x + 8 – (x – 4)
8 a) 4(2x + 7)
b) 20x – 2(x + 5)
9 Bryt ut faktorn 2 ur uttrycken. a) 10y + 8
b) 6x + 20
Lös ekvationerna.
10 a) 8x – 5 = 51
x b) __ + 7 = 17 4
c) 5x + 9 = 64
11 a) 7x – 6 = 3x + 42
b) 4(2x – 1) = 12
c) 15x – (2x + 10) = 120
12 I en rektangel är den längsta sidan 5 gånger så lång som den kortaste sidan. Omkretsen är 36 cm. Hur lång är den längsta sidan?
13 Vera, Ellen och Cecilia försökte slå världsrekord i att göra längsta pärlhalsbandet. De gav upp när de hade använt 2 250 pärlor. Vera använde dubbelt så många pärlor som Ellen. Cecilia använde 350 fler pärlor än Ellen. Hur många pärlor använde Ellen?
tal och algebra kapiteltest
Prio9_kap01_4tryck.indd 45
45
2016-03-08 17:23
basläger 1.1
1 1 Vilka av bråken i rutan är mindre än __ ?
9 Bestäm den minsta gemensamma nämnaren, MGN, till bråken 5 1 3 1 a) __ och __ b) __ och __ 6 3 4 8
2
2 __
7 ____ 12
5
4 __ 9
9 ____ 15
10 ____ 21
10 Skriv bråken med gemensam nämnare och beräkna 5 1 a) __ – __ 6 3
2 Vilka av bråken i rutan har samma värde som 8 ___ ?
1
10
4 8 ____ __ 20
5
16 ____ 20
24 ____ 40
80 _____
MGN, till bråken 2 3 1 2 a) __ och __ b) __ och __ 3 4 5 7
3 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta. 8 8 8 ___ __ a) ___ 10 13 5 3 8 5 b) __ __ __ 9 9 9 10 8 11 ___ ___ c) ___ 12 21 16 9 10
1 b) __ 8
6 c) __ 7
6 Förkorta bråken med 4. 16 b) ___ 20
36 c) ___ 40
7 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla? 3 x a) __ = ___ 4 20
2 6 b) __ = __ 5 x
4 16 c) __ = ___ x 28
1.2
46
12 Skriv bråken med gemensam nämnare och beräkna 5 1 a) __ – __ 4 6
2 3 b) __ + __ 3 4
2 1 c) __ – __ 7 5
1 guldfärgade kulor. Av alla kulorna var __ 4 3 röda och __ blå. Resten var guldfärgade. 8 Hur stor andel av kulorna var guldfärgade?
1.3
2 a) 2 · __ 9
1 b) 3 · __ 7
3 c) ___ · 5 16
15 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? 1 7 · __ = __ 8 8 8 2 c) __ · 4 = ___ 9
a)
3 b) 5 · __ = ___ 8 8
16 Beräkna 2 1 a) __ · __ 3 5
5 5 b) __ · __ 6 8
3 4 c) __ · __ 7 5
17 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla?
8 Beräkna 3 2 a) __ + __ 8 8
5 1 c) __ och __ 8 6
14 Beräkna
5 Förläng bråken med 3.
8 a) ___ 12
3 7 c) __ – ___ 4 20
13 Li klädde julgranen med röda, blå och
4 Skriv ett bråk som är större än ___ men
4 a) __ 5
3 1 b) __ + __ 4 8
11 Bestäm den minsta gemensamma nämnaren,
100
mindre än 1.
3 7 c) __ och ___ 4 20
9 3 b) ___ – ___ 10 10
1 c) 1 – __ 5
3 5 a) __ · __ = ___ 8 6 48
2 4 ___ 8 b) __ · __ = 7 9
3 21 c) ___ · __ = ___ 8 5 40
tal och algebra basläger
Prio9_kap01_4tryck.indd 46
2016-03-08 17:23
basläger 3 4 smet till varje crêpe. Smeten räckte till 24 crêpes. Hur mycket crêpesmet hade Vanessa gjort?
18 Vanessa stekte crêpes. Hon använde __ dl
1.5
27 Philip springer x km. Para ihop uttrycken i rutan med hur långt hans kompisar springer.
19 Beräkna och svara i enklaste form. 2 3 a) __ · __ 9 5
4 10 b) __ · ___ 5 3
8 3 c) __ · ___ 3 10
5 20 På Centralskolan är varje lektion __ timme. 6 Klass 9A har 24 lektioner i veckan. Hur många timmar har de lektion under en vecka?
x+2
x–2
x __
2x
2
a) Eddie springer dubbelt så långt som Philip. b) Albin springer hälften så långt som Philip. c) Mehmed springer 2 km längre än Philip.
1
28 Frida är 12 cm längre än Linn. Skriv ett uttryck för Linns längd om Frida är x cm.
1.4
21 Egon och Arvid delar lika på ett glasspaket. Hur mycket glass får var och en om glasspaketet innehåller 1 3 a) __ liter glass b) __ liter glass 2 4
22 Beräkna
/
6 a) __ 2 7
/
9 b) ___ 3 10
/
15 c) ___ 5 16
29 Beräkna värdet av uttrycket om x = 10. a) x – 3
b) 5x + 2
x c) __ 2
30 Skriv ett uttryck för kvadratens omkrets och förenkla det så långt som möjligt.
4x + 2
23 Sofia har 2 liter växtgödning. Till hur många vattningar räcker gödningen om det vid varje vattning går åt 1 1 1 a) __ liter b) __ liter c) ___ liter 4 5 10
24 Beräkna
/
1 a) 5 __ 2
25 Beräkna
/
4 1 a) __ __ 5 5
31 Förenkla uttrycket a) 5x + 7 – 2x – 1 b) 10 + 7x + 2y + 2x – y c) 20 + 9y + 4x – 2x – 10 + y
/
1 b) 4 __ 8
/
9 3 b) ___ ___ 10 10
/
1 c) 3 __ 4
32 Beräkna värdet av uttrycket om a = 8 och b=2
/
8 2 c) ___ ___ 15 15
3 26 Susanne har gjort __ liter chokladmousse. 4 Hon häller upp den i glas som rymmer 1 __ liter. Till hur många glas räcker 8 chokladmoussen?
a) a + b
b) a – b
c) 3a + 2b
d) 5ab
1.6
33 Vilket av uttrycken i rutan har samma värde som 4(2x + 7)?
42x+ 7
8x + 7
8x + 28
tal och algebra basläger
Prio9_kap01_4tryck.indd 47
47
2016-03-08 17:23
basläger 34 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? a) 3(5x – 2) = 15x –
bröt ut faktorn 2 ur uttrycket
b) 4(4x +
a) 20x + 14 2(10x + 7)
c) 9(
b) 12y + 18 2(6y +18)
) = 16x + 24 + 7) = 18x + 63 1.8
35 Multiplicera in i parentesen.
1
43 Lös ekvationen
a) 8(3x – 5)
b) 2(5y + 3)
c) 6(8 + 4x)
d) 10(7y – 9)
36 Skriv ett uttryck för rektangelns area och förenkla så långt som möjligt. a)
2
b)
4x + 3
3 6y – 1
37 Multiplicera in i parentesen och förenkla så långt som möjligt. a) 25 + 2(3x – 8)
b) 12x + 3(4x + 8)
c) 6x + 17 + 5(2x – 3)
a) 6x – 2 = 28 c) 19 = 7 + 4x
x b) __ + 1 = 6 2 d) –15 = 3x
44 Lös ekvationen a) 8x + 13 = 69
b) 67 = 7x + 18
c) 32x – 7 = 121
d) 78 = 21 + 19x
45 Lös ekvationen x a) __ = 20 5 x c) __ + 45 = 53 4
x b) 28 = __ 2 x d) __ – 9 = 22 2
46 Pröva om x = 25 är en lösning till ekvationen
1.7
38 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? a) 45 = 9 ·
c) 6x = 2x ·
b) 50 =
·25
d) 20x = 5 ·
39 Skriv som en produkt av två faktorer. a) 22
b) 35
c) 13x
d) 26y
40 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? a) 25x – 10 =
(5x – 2)
b) 36x + 24 =
(6x + 4)
c)
(7x + 3) = 14x + 6
d)
(4y – 8) = 20y – 40
a) 40x + 16
b) 28x – 8
a) 2x + 5 = 55
x b) __ + 2 = 7 5
x c) 100 = __ 4
47 Lös ekvationen. Börja med att förenkla a) 8x + 31 + 2x – 10 = 71 b) 70 = 10 + 24x – 6 – 2x c) 7x + 8 + 3x – 3 = 30
48 Lös ekvationen. Börja med att förenkla vänster led. a) 30x – (5x + 4) = 96 b) 38 – (15 – 2x) = 31
41 Bryt ut faktorn 4 ur uttrycket
48
42 Kontrollera om Chang gjorde rätt när han
c) 2(4x + 7) = 46 c) 8x + 12
d) 60 = 3(6x + 2)
tal och algebra basläger
Prio9_kap01_4tryck.indd 48
2016-03-08 17:23
basläger 53 Rektangelns omkrets är 124 cm.
1.9
49 Arvid har x spel i sin telefon. Oskar har 15 spel mer än Arvid.
a) Skriv ett uttryck för hur många spel Oskar har.
50 Leyla simmar x m. Emma simmar 175 m kortare än Leyla. Sammanlagt simmar de 1 025 m. a) Skriv ett uttryck för hur långt Emma simmar. b) Ställ upp en ekvation som visar hur långt de simmar sammanlagt. c) Lös ekvationen. Hur långt simmar Leyla?
51 En parkering har parkeringsplatser både inne och ute. Sammanlagt finns det 478 platser. Inne finns det 342 platser fler än ute. a) Skriv ett uttryck för antalet platser inne om det finns x platser ute. b) Ställ upp en ekvation för det totala antalet platser. c) Lös ekvationen och ta reda på hur många platser det finns inomhus.
52 Stina, Mark och Carlos har vunnit 1 200 kr som de ska dela på. Stina ska ha dubbelt så mycket som Mark. Carlos ska ha tre gånger så mycket som Mark. a) Skriv uttryck för hur mycket Stina och Carlos ska ha, om Mark ska ha x kr.
4x 6x + 2
a) Ställ upp en ekvation som visar rektangelns omkrets.
b) Tillsammans har Oskar och Arvid 93 spel. Ställ upp en ekvation som visar hur många spel de har tillsammans. c) Lös ekvationen. Hur många spel har Oskar?
(cm)
b) Bestäm längden av rektangelns sidor.
54 Triangelns omkrets är 133 cm. Bestäm
1
längden av triangelns sidor.
(cm)
3x + 4
5x + 3
8x – 2
55 I ett nybyggt område finns det 142 lägenheter fördelade på 6 låghus och 4 höghus. I varje låghus finns det x lägenheter. I varje höghus finns det 18 lägenheter mer än i ett låghus. a) Vilken av ekvationerna kan användas för att beräkna antalet lägenheter i ett låghus?
A 6x + 4x = 142
B 6x + 4x + 18 = 142
C 6x + 4(x + 18) = 142
D x + 6 + 4 + 18 = 142
b) Hur många lägenheter finns det i ett låghus och hur många lägenheter finns det i ett höghus?
56 Summan av tre på varandra följande tal är 123. Låt det minsta talet vara x. a) Skriv uttryck för de andra två talen. b) Skriv ett uttryck för summan av de tre talen. c) Vilka är talen?
b) Ställ upp en ekvation som visar hur mycket pengar de får sammanlagt. c) Lös ekvationen. Hur mycket pengar får Stina, Mark och Carlos?
tal och algebra basläger
Prio9_kap01_4tryck.indd 49
49
2016-03-08 17:23
HÖG HÖJD 1 Bestäm triangelns vinklar.
6 Talen x, y och z är tre olika heltal. Talet y är dubbelt så stort som talet x. Talet z är tre gånger så stort som talet y. Vilket tal är z, om x + y + z = 432?
3x + 10 55° 2x
2 a) En rektangel har omkretsen 44 cm. Rektangeln är 4,5 gånger så lång som bred. Beräkna arean av rektangeln.
1
b) En annan rektangel har också omkretsen 44 cm. Den rektangeln är 10 gånger så lång som bred. Har den rektangeln lika stor area? Motivera ditt svar.
3 Skriv av och fyll i de tomma rutorna. Talet i varje ruta är summan av talen i de två rutorna det står på. a)
b)
3
1 ___ 4
18
5 __ 9
4 Ge exempel på två bråk med olika nämnare som har
3 c) produkten ___ 10
1 b) differensen __ 5 1 d) kvoten __ 2
5 Längden av ett stearinljus i centimeter när det har brunnit x timmar kan beskrivas med uttrycket 24 – 3,2x. a) Hur långt var ljuset från början? b) Hur lång tid tar det för ljuset att brinna ner helt? c) Hur mycket kortare är ljuset efter 45 minuter?
50
8 När Frida och Jenny möts på väg till stallet
1 har Frida gått __ av sin väg. Jenny har gått 6 1 __ av sin väg. Vem har längst väg till stallet? 4
9 Beräkna och svara i enklaste form 15 3 a) ___ – ___ 16 20
8 2 b) ___ + ___ 14 35
5 6 21 a) ___ ∙ __ ∙ ___ 24 7 25
11 ____
1 ___ 2
5 a) summan __ 6
1 1 1 kan avgöra att __ + __ + __ är mindre än 1. 3 4 8
11 4 c) ___ – __ 12 9
10 Beräkna och svara i enklaste form
1 ___ 2
2 ___
7 Förklara hur du utan att utföra beräkningen
4 6 49 b) __ ∙ __ ∙ ___ 9 7 50
11 William, Oscar och Lukas jämför kostnaden av sina gymkort. William betalar 25 % mindre än Oscar. Lukas betalar 40 kr mer än William. Sammanlagt betalar de 940 kr per månad. Hur mycket betalar Lukas för sitt gymkort?
12 Vad blir differensen när summan och
2 1 och 1 __ subtraheras? produkten av __ 3 2
13 I en rektangel är den längsta sidan 4 gånger så lång som den kortaste sidan. Om den längsta sidan förlängs med 6 cm, så ökar arean med 108 cm2. Hur långa är sidorna i den ursprungliga rektangeln?
14 Förenkla uttrycken. 5x x a) ___ + __ 8 2
(
2 3x + 6 b) __ ___ 3 4
)
tal och algebra hög höjd
Prio9_kap01_4tryck.indd 50
2016-03-08 17:23
HÖG HÖJD 15 Lös ekvationen
22 Salma har 70 kronor mer än Thea. Hon får 50 kronor av Thea och har nu dubbelt så mycket pengar som vad Thea har. Hur mycket pengar har Salma nu?
x + 3 _____ x–2 a) _____ – = 5 4 6 –6 x 2x + 1 + _____ = 10 b) ______ 8 12
16 Om 2x = 32 och 3y = 81, vad är då xy? 17 Biobiljetterna kostar 110 kr för vuxna och 90 kr för barn. Till en föreställning såldes sammanlagt 120 biljetter för totalt 11 640 kr. Hur många vuxna såg föreställningen?
18 Arean av det färgade området är 135 cm2. Bestäm x.
20 cm
3x
20 cm
19 En cirkusbiljett kostade 60 kr mer för vuxna än för barn. En dag sålde man 120 vuxenbiljetter och 235 barnbiljetter för sammanlagt 113 700 kr. Vad kostade en barnbiljett?
20 Tindra har en krukväxt som är 180 cm hög. Om växten inte får vatten, torkar den ut och blir mindre. För varje vecka som den inte 5 får vatten så minskar längden till __ av 6 längden veckan innan. Tindra reser bort och glömmer vattna sin krukväxt. a) Hur hög är växten en vecka senare? b) Hur hög är växten 3 veckor senare? c) Skriv ett uttryck för hur hög växten är x veckor senare.
21 Talet 6 018 kan skrivas som en produkt av tre
23 Talen x och y är två olika positiva heltal som
1 1 5 har summan 20. Du vet att __ + __ = ___ . Vad är x y 24 då x ∙ y?
24 Mattias har fångat en fisk. Han säger att fisken består av tre delar: huvud, kropp och stjärt och gör en krånglig beskrivning av fiskens längd: Huvudet är 5 cm långt. Stjärten är lika lång som huvudet plus halva kroppen. Kroppen är lika lång som huvudet plus stjärten. Hur lång är fisken?
1
25 I en musikklass har eleverna antingen fiol eller piano som huvudinstrument. Vid en konsert får eleverna välja mellan ett soloframträdande eller att uppträda i par. En pianist kan bara uppträda tillsammans med 2 en violinist och tvärt om. Det visar sig att __ 3 av eleverna med piano som huvudinstrument 3 och __ av eleverna med fiol som huvud5 instrument valde att framträda i par. Hur stor andel av alla eleverna uppträdde solo?
26 Kylaren i en bil rymmer 8 l. Kylarvätskan
3 av glykol och resten vatten. För består till ___ 10 3 tappar man ut lite att höja glykolhalten till __ 5 kylarvätska och fyller på med glykol. Hur mycket kylarvätska måste man tappa ut?
27 Ersätt de obekanta talen x, y och z med tre olika tal så att ekvationen stämmer. Kan du hitta flera lösningar? 1 1 1 __ – __ = __ x y z
olika positiva heltal, a ∙ b ∙ c på flera olika sätt. Vilket är det största möjliga värdet som summan a + b + c kan ha?
tal och algebra hög höjd
Prio9_kap01_4tryck.indd 51
51
2016-03-08 17:23
BEGREPPSLISTA Förklaring
bråk
Tal som är skrivet som en kvot av två heltal.
täljare
1
Sida 8
täljare
Talet ovanför bråkstrecket.
nämnare
7 1 __ = 2 __ 3
3
nämnare
Talet under bråkstrecket.
blandad form
Tal som är skrivet som ett heltal och ett tal i bråkform.
likvärdiga bråk
Bråk som har samma värde.
2 4 __ 6 8 __ = __ = = ____
8
förlänga bråk
Att multiplicera täljare och nämnare med samma heltal. Värdet av bråket ändras inte.
3 3 · 2 ____ 6 __ = ______ =
8
förkorta bråk
Att dividera täljare och nämnare med samma heltal. Värdet av bråket ändras inte.
5 5/5 __ 1 ____ = _______ =
8
enklaste form
Ett bråk är skrivet i enklaste form om det inte går att förkorta mer.
7 ____
8
minsta gemensamma nämnare, MGN
När två eller flera bråk har samma nämnare, så säger man att de har gemensam nämnare. När den gemensamma nämnaren har så litet värde som möjligt, så är det den minsta gemensamma nämnaren.
2 5 __ och __ har den gemensamma nämnaren
12
algebra
När man använder bokstäver eller symboler för att beteckna en variabel i ett uttryck eller en obekant i en ekvation.
Uttryck: 4x + 3 Ekvation: 5b + 4 = 14
24
numeriska uttryck
Uttryck som innehåller tal och symboler för räkneoperationer.
3+4∙7
24
algebraiska uttryck
Uttryck som innehåller tal, symboler för räkne- 8x + 7 operationer och variabler.
24
förenkla
Att skriva ett uttryck på ett enklare sätt.
Förenkla 3x + 7 – 3 + 6x 3x + 7 – 3 + 6x = 3x + 6x + 7 – 3 = 9x + 4
24
faktorisera
Dela upp i faktorer.
32 kan faktoriseras, t.ex. 8 · 4 eller 2·2·2·2·2
32
I algebraiska utttryck kallas det också att bryta ut.
52
Exempel
Begrepp
bråkform
blandad form
3 6 9 12 5 5 · 2 10
10 10/5 2
11 Det finns inget heltal som delar både 7 och 11. 3 6 12 eller 18 etc. Den minsta gemensamma nämnaren är 6, MGN = 6.
Ur uttrycket 18x – 15 kan man bryta ut 3: Först 18x – 15 = 3(6x – 5)
ekvation
En likhet som innehåller minst en obekant.
13x − 18 = 112
35
obekant
I en ekvation betecknas det obekanta talet med en bokstav eller symbol, ofta x, y eller z. Det obekanta står för ett tal som gör att likheten stämmer.
3x + 2 = 20 x är obekant Likheten stämmer om x = 6
35
prövning
Att pröva en lösning till en ekvation innebär att man kontrollerar att värdet av ekvationens båda sidor är lika stora.
Lösningen till ekvationen 3x + 2 = 20 är x = 6 Prövning ger: VL = 3 ∙ 6 + 2 = 20 HL = 20 VL = HL Lösningen stämmer.
35
tal och algebra begreppslista
Prio9_kap01_4tryck.indd 52
2016-03-08 17:23
TANKEKARTA
Tal
Reella tal
__
√7 __ 3 4
p
__ 1
–2
__
1 – 2
Rationella tal
–3
• Ekvationer
__
36 3,6 = 10 100 –11 5 4 6 25 2,5 = Naturliga tal 10 39 8 –14 0 12 3 125 –36 –14 3 Hela tal
• Formler
__
7
2
Algebra • Uttryck
__
√2
• Problemlösning
___
1
Tal i bråkform • Täljare och nämnare
Algebraiska uttryck • Variabel, t.ex. x eller y.
Ekvationer • Vänster led, VL
• Blandad form
T.ex. 2a + 3
• Höger led, HL
• Enklaste form
• Algebraisk likhet
• Obekant, t.ex. x eller y
• Ekvationer
T.ex. 5x + 3 = 28
• Formler Addition och subtraktion av bråk • Gemensam nämnare 3+1 4 3 1 ______ = = ___ ___ + ___ 8 8 8 8 • Olika nämnare 2 1 __ 2 2 ____ 1 4 ____ 1 4 – 1 ____ 3 __ – ____ = · __ – = ____ – = ______ = 5 10 5 2 10 10 10 10 10
Förenkla uttryck • Ta bort parenteser
Lösningsmetoder för ekvationer • Förenkla
• Multiplicera in i parenteser
• Huvudräkning • Ekvationslösning
• Faktorisera, bryta ut en faktor
• Prövning
4x – (3x + 1) = 4x – 3x – 1 Multiplikation och division av bråk • Multiplikation av bråk med heltal 3 · 60 3 = 15 __ · 60 = _______ 4 4 • Multiplikation av två tal i bråkform 3 10 _______ 3 · 10 __ · ____ = 5 21 5 · 21 • Vid division av bråk, multiplicera första bråket med det inverterade talet till det andra bråket. 2 7 ___ 14 2 5 __ = __ __ = · __ 3 7 3 5 15
3(5x + 4) = 15x + 12 20x – 8 = 4(5x – 2)
Problemlösning med ekvationer 1. Tolka uppgiften 2. Skriv en ekvation 3. Lös ekvationen 4. Tolka och kontrollera din lösning
/
tal och algebra tankekarta
Prio9_kap01_4tryck.indd 53
53
2016-03-08 17:23
4
Prio — från 7 till 9 Har du tänkt på hur olika områden i matematiken hänger ihop? Du har till exempel nytta av kunskaper i procent när du ska räkna ut en sannolikhet. Med hjälp av de negativa talen kan du skriva små tal i grundpotensform. Ekvationer kan användas för att lösa geometriska problem. Men kommer du ihåg allt du har lärt dig? I det här kapitlet får du repetera alla områden som du har jobbat med i matematiken. Som vanligt finns uppgifter på tre nivåer som tränar olika matematiska förmågor, så att du kan repetera grundläggande kunskaper eller utmana dig själv med fördjupningar.
Centralt innehåll Taluppfattning och tals användning LL Algebra LL Geometri LL
Sannolikhet och statistik LL Samband och förändring LL Problemlösning LL
138
Prio9_kap04_4tryck.indd 138
2016-03-08 17:26
Innehåll 4.1 Taluppfattning och tals användning 140
4.4 Sannolikhet och statistik
186
Tal i decimalform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Tolka diagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Multiplikation och division. . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Lägesmått och spridningsmått. . . . . . . . . . . . . . . 192
Bråk.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Kombinatorik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Negativa tal.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Sannolikhet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Potenser och kvadratrötter. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Prioriteringsregler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Avrundning och överslagsräkning.. . . . . . . . . . . 154
4.2 Algebra
156
4.5 Samband och förändring
198
Beräkna andelen, delen och det hela.. . . . . . . . . 200 Procentuell förändring och förändringsfaktor. . 202 Procentenheter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Algebraiska uttryck.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Koordinatsystem och tolka grafer.. . . . . . . . . . . . 205
Förenkla uttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Proportionalitet och linjära samband. . . . . . . . . 207
Ekvationslösning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Räta linjens ekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Mönster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Formler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3 Geometri
168
4.6 Problemlösning
214
Bedömningsuppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Vinklar och månghörningar. . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Omkrets och enheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Area och volym.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Symmetri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Likformiga figurer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Skala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Pythagoras sats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
139
Prio9_kap04_4tryck.indd 139
2016-03-08 17:26
testa dig själv Metod och begrepp Här kan du testa dina kunskaper om de begrepp och metoder som tas upp i kapitlet. Hur säker känner du dig på uppgiften? Rita av symbolen till höger och markera på färgskalan: Kan inte Känner mig ganska säker
4 1
1 Vilket av följande tal är störst? A 8,3
B 8,27
B 7,4
Taluppfattning och tals användning
B 1 000
1 4
2 3 5 10
C ___
7 10
?
?
B –8
C 0,3
B –3
C 5
?
B 13
C 28
?
B 6
C 8
?
8 Beräkna 5 + 2 ∙ 4 9 Värdet av 23 är A 5
___
10 Vilken pil pekar på √20 ? A
B
0
140
5 15
7 Beräkna –4 – (–1)
A 11
?
6 Vilket av följande tal är minst?
A –5
8 16
B ___
A –32
C ___
5 Summan __ + ___ är 5 10
2 8
?
6 24
B ___
A ___
C 10 000
= 3 750
4 Vilket av följande bråk har inte samma värde som __ ? A __
?
C 7,5
3 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? 0,357 ∙ A 100
?
C 8,09
2 Differensen 7,45 – 0,5 är A 6,95
Känner igen men behöver repetera Är helt säker
C
?
10
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 140
2016-03-08 17:26
Taluppfattning och tals användning Resonemang och kommunikation De här uppgifterna ger dig möjlighet att träna resonemang och kommunikation. Arbeta tillsammans, diskutera och jämför era lösningar med varandra. Kan man lösa uppgifterna på flera sätt? Finns det bättre och sämre sätt att redovisa lösningar?
1
4 Vad är ____ ? 0,5 Louise: Det är 2, man tar bara hälften.
4 1
Tove: Det måste vara 8, för 0,5 får plats 8 gånger i 4.
4 40 Gabbi: ___ = ___ = 8 0,5
5
a) Vem eller vilka har gjort rätt?
Taluppfattning och tals användning
b) Vilka fel kan den eller de andra ha gjort?
2
3 4 Mezut har läst __ av sin bok. Sebastian har läst __ av sin. 4 5 Vem har flest sidor kvar att läsa?
3
Skriv två tal som har summan –8. A Talen ska vara heltal. B Talen ska vara decimaltal. C Talen ska vara bråktal. D Talen ska vara negativa tal.
4
Vilket uttryck har det största värdet? 0,2 A 0,2 ∙ 0,5 eller ____ 0,5 2 2 B 0,5 eller 0,2 C –22 eller (–2)2 D 25 eller 52 __
__
E √ 5 eller √ 2
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 141
141
2016-03-08 17:26
Tal i decimalform Exempel
Placera ut talen på en tallinje. 0,5
Lösning
För att lättare kunna jämföra tal i decimalform kan man skriva talen med lika många decimaler. T.ex. 0,50 och 1,25
4 1
5
Taluppfattning och tals användning
Exempel
Lösning
__
–6
–3,8
–5
–4
–3
–2
89 b) ____ 100
a) 3,6 · 100 = 360
2
5
3
4
5
6
c) 0,01 · 269
54 d) ___ 0,1
Talet 3,6 ökar sitt värde 100 gånger. Varje siffra blir värd 100 gånger mer. Entalssiffran 3 blir hundratalssiffra.
89 b) ____ = 0,89 100
Talet 89 minskar sitt värde 100 gånger. Entalssiffran 9 blir hundradelssiffra.
B
C
Att multiplicera ett tal med 0,01 innebär att talet 1 = 0,01 minskar sitt värde 100 gånger. ___ 100 Division med 0,1 ger samma resultat som multiplikation med 10.
3 Skriv det tal som är en hundradel större än a) 5,274
1 Vilka tal är markerade på tallinjen?
b) 6,5
c) 8,39
4 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.
7
1
22
A
0
√9
Beräkna
NIVÅ ETT
8
2 Vilket värde har siffran 8 i talet a) 38 461
142
–1
54 d) ___ = 54 · 10 = 540 0,1
___
0,5 1,25
9 √
9 = 3, eftersom 3 ∙ 3 = 9 √
1 c) 0,01 · 269 = ____ · 269 = 100 269 = ____ = 2,69 100
__
22
–3,8
22 = 2 ∙ 2 = 4
a) 3,6 · 100
–6
Det minsta talet är –6 och det största talet är 5. Om de två talen får plats på tallinjen, så får övriga tal också plats.
–6
1,25
b) 2 983
a) 3,10
3,9
3,2
b) 4,823
4,9
4,85
c) 52,85
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 142
2016-03-08 17:26
5 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? 3,487 –
a) 5,72 och 5,8
= 3,407
6 Beräkna
a) 5,3 + 0,25
b) 40 – 19,5
c) 3,73 – 0,6
d) 25,82 + 3,4
Beräkna
10
8,2 · 10
0,1
8 a) 5,7 · 100
d) 100 · 0,54 b) 10 · 0,092 63,2 d) _____ 10
762 100 6 721 c) ______ 1 000
439,4 b) ______ 100 88,13 d) ______ 10
11 I en affär säljs fiskrom i burkar som rymmer 200 g. Ett romkorn väger ungefär 0,1 g. Hur många romkorn finns i burken?
12 Vilka tal är markerade på tallinjen? A
B C
–4
–3
13 Beräkna b) 82,2 · 0,1 82,3 d) _____ 0,01
5,7 c) ____ = 5,7 · 0,1
4 1
d) _____ = 75 0,01
19 Använd siffrorna 2, 3, 6, 8 och ett decimaltecken för att skriva ett tal som är så a) nära 750 som möjligt b) nära 50 som möjligt nivå TRE
20 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla? 903,5 a) ______ = 90 350 x b) 314 413 · x = 31,4413 x = 88 c) _____ 0,01
21 Placera talen på en tallinje. 1 __ 2
___
√12
(–1)3
_______
1,5 · 1,5 √
0,52
22 Hur många tal finns det mellan 2,79 och 2,80? Motivera ditt svar.
NIVÅ två
14 Skriv det tal som är åtta tiondelar mindre än a) 45,6
73 · 8,85 = 0,885 b) ___ = 7 300
Taluppfattning och tals användning
860 c) ____ 10
a) 0,01 · 245 67 c) ___ 0,1
gälla?
b) 5,74 · 100
9 a) 78,3 · 10
18 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska a)
10 a) ____
8,2 8,2 ____ ____ 8,2 · 0,1
7 Hanna och Florian beräknade 0,7 – 0,02.
c) 3,2 · 1 000
b) –300 och –350
17 Vilka beräkningar ger samma svar?
Hanna svarade 0,5 och Florian svarade 0,68. Vem av dem räknade rätt?
16 Förklara hur du vet vilket tal som är störst av
b) 19,72
c) 8
15 Vilket tal ligger mitt emellan 3,47 och 3,48?
23 En sandlåda rymmer 2 m3 sand. En liter sand väger ungefär 3 kg. Anta att ett sandkorn väger 0,01 g. Klara säger att det inte finns mer än 10 000 000 sandkorn i lådan. Stämmer det? Motivera ditt svar.
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 143
143
2016-03-08 17:26
Multiplikation och division Exempel
Beräkna 60 000 b) ________ 20 000
a) 4 · 300
Lösning
Du kan också tänka: Hur många gånger går 20 000 i 60 000?
4 1
Exempel
a) 4 · 300 = 4 · 3 · 100 = 12 · 100 = 1 200 300 = 3 hundratal
60 000 _______________ 60 000/10 000 __ 6 = = 3 b) ________ = 20 000/10 000 2
20 000
Beräkna
Taluppfattning och tals användning
a) 13 · 0,2
Lösning
25 b) ____ 0,5
1 0,1 = ____ 10
250 25 25 · 10 ____ = = 50 b) ____ = _______ 0,5 0,5 · 10 5
Förläng så att nämnaren blir ett heltal genom att multiplicera täljare och nämnare med 10.
2,4 2,4 · 100 ____ 240 c) _____ = __________ = = 80 0,03 0,03 · 100 3
600 a) _____ 3
Uppgifterna ska lösas utan räknare.
24 Beräkna a) 2 · 60
Förläng med 100 för att få heltal i nämnaren.
27 Beräkna
NIVÅ ETT
2,4 c) _____ 0,03
26 a) 13 · 0,2 = 13 ∙ 2 · 0,1 = 26 · 0,1 = ___ = 2,6 10 0,2 = 2 · 0,1
Division med 0,5 ger samma resultat som multiplikation med 2.
Förkorta täljare och nämnare med 10 000 för att få ental i nämnaren.
600 b) _____ 300
4 500 c) ______ 500
28 Vilka av följande produkter är större än 47? b) 400 · 6
c) 30 · 50
25 Du vet att 45 · 13 = 585. Hur mycket är 4 500 · 13?
1,002 · 47 0,8 · 47 47 · 2,5 47 · 0,99 1,1 · 47
26 Beräkna a) 9 · 0,3
144
b) 0,4 · 800 c) 0,2 · 80
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 144
2016-03-08 17:26
29 Vilka av följande kvoter är större än 8?
38 a) 400 · 0,08
8 ____ 0,2
8 __ 2
8 ____ 20
8 ______ 0,02
8 ____
Beräkna c) 700 · 0,7
1,5
42 0,6
39 a) ____
Beräkna 35 30 a) ____ 0,5 2,5 0,5
31 a) ____
2 b) ___ 0,1
4 c) ____ 0,2
6,2 b) ____ 0,1
4,8 c) ____ 0,8
32 En liten skruv väger 4,1 g. Hur mycket väger a) 2 000 skruvar
b) 4 000 skruvar
33 Vilket av följande uttryck har det största värdet?
4 ____ 0,5
d) 0,4 · 0,6 32 b) ____ 0,8
8,1 c) _____ 0,09
40 Skriv i storleksordning. Börja med det uttryck som har det minsta värdet. 72 A ____ B 0,8 · 72 0,2 72 C 72 · 0,3 D _____ 0,01
4 1
7 0,5
41 Tre elever beräknar ____ 7 Elsa: ____ = 3,5 0,5
7 70 Hedda: ____ = ___ = 14
4 ____ 0,3
0,3 ____ 4
4 · 0,3
4 · 0,5
0,5 5 7 Terje: ____ = 7 · 2 = 14 0,5 a) Vem eller vilka har räknat rätt? b) Hur kan den eller de andra ha tänkt?
NIVÅ två
34 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla? 297 a) 0,1 ∙ 297 = ____
b) 53 ∙
32 c) 32 ∙ 0,25 = ___
d) 2 800 ∙
53 = ____ 100 2 800 = ______ 50
35 Beräkna a) 0,7 · 0,9
Taluppfattning och tals användning
b) 0,6 · 3 000
b) 0,03 · 0,8 c) 0,05 · 0,2
36 Ge ett exempel på vad som kan stå i rutan om kvoten ska bli a) mindre än 40
40 ___
b) större än 40
37 Att trycka 40 st reklamblad kostar 23 kr/st. Den totala kostnaden blir 920 kr. Att trycka 40 000 reklamblad kostar 2,30 kr/st. Vilken blir den totala kostnaden att trycka 40 000 blad?
nivå TRE
42 Vilket alternativ är närmast värdet av uttrycket 0,48 · 0,821? A 0,39
B 0,039
C 3,9
D 0,47
E 0,047
F 4,7
0,69 b) _____ 0,3
0,04 c) ______ 0,005
43 Beräkna 640 a) _____ 0,08
44 Du vet att 280 ____ = 87,5
3,2 Använd det för att beräkna 28 2 800 280 b) ___ c) ______ a) _____ 0,32 32 6,4
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 145
145
2016-03-08 17:26
Bråk Exempel
Vilket av bråken är störst? 3 a) __ eller 7
4 1
Lösning
Taluppfattning och tals användning
Du kan också göra så här: Skriv först bråken med gemensam nämnare: 24 4 4 ∙ 6 ____ __ = = ______ 5 5 ∙ 6 30 25 5 5 ∙ 5 ____ = __ = ______ 6 6 ∙ 5 30 Nu är det lätt att se att 5 4 __ > __ 6 5
Exempel
Lösning
4 b) __ eller 5
9
5 __ 6
1 a) Undersök om bråken är större eller mindre än __ 2 1 3 3 1 Eftersom __ = __ , så är __ är mindre än __ 2 6 7 2 1 5 5 1 Eftersom __ = ___ , så är __ är större än __ 2 10 9 2 5 3 Svar: Bråket __ är större än __ 9 7 4 1 b) I bråket __ fattas __ för att det ska ha värdet en hel. 5 5 5 1 I bråket __ fattas __ för att de ska ha värdet en hel. 6 6 1 1 Eftersom __ är större än __ 5 6 4 5 så är __ mindre än __ 5 6 5 4 Svar: Bråket __ är större än __ 6 5
Beräkna och svara i enklaste form. 5 1 a) __ + __ 9 9
5 __
3 1 b) __ – __ 4 3
5 1 5 + 1 __ 6 2 a) __ + __ = _____ = = __ 9 9 3 9 9
Bråken har samma nämnare. Man kan addera täljarna direkt.
Förkorta bråket med 3.
3 1 3∙3 1∙4 b) __ – __ = _____ – _____ = 4 3 4∙3 3∙4
2 c) 16 – 1 __ 3
Bråken har olika nämnare. Förläng __ 43 med 3 och _ 31 med 4 för att få den gemensamma nämnaren 12.
9 4 9 – 4 ___ 5 = ___ – ___ = _____ = 12 12 12 12
2 2 2 1 1 c) 16 – 1 __ = 15 – __ = 14 + 1 – __ = 14 + __ = 14 __ 3 3 3 3 3
Subtrahera först heltalen.
Blandad form 2 2 1 ___ = 1 + ___ 3 3
146
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 146
2016-03-08 17:26
Exempel
Beräkna
/
3 2 a) __ ∙ __ 5 3
Lösning
3 b) __ 4
1 __ 8
3 2 ____ 3 ∙ 2 ___ 6 a) __ ∙ __ = = = 5 3 5 ∙ 3 15 6/3 __ 2 = _____ = 15/3 5
Täljare multipliceras med täljare, nämnare multipliceras med nämnare.
Förkorta med 3 för att få svaret i enklaste form.
Man kan även förkorta i beräkningen, innan man multiplicerar. 1
3 2 ____ 3 ∙ 2 ____ 1∙2 2 __ ∙ __ = = = __ 5 3 5 ∙ 31 5 ∙ 1 5 Det inverterade 1 8 talet till __ är __ 8 1
/
3 1 ____ 3∙8 = = b) __ __ 4 8 4∙1 24 24/4 __ 6 = ___ = _____ = = 6 4 4/4 1
4 1
Multiplicera det första bråket med det inverterade talet till det andra bråket. Förkorta med 4 för att få svaret i enklaste form.
/
3 __ 4
2
1 3 8 3 ∙ 8 ____ 3∙2 6 __ = __ ∙ __ = ____ = = __ = 6 8 4 1
1
4∙1
1∙1
1
4 6
NIVÅ ETT
47 Skriv tre bråk som har samma värde som __ .
45 Vilka av talen i rutan är
48 Förkorta med 2.
1 a) mindre än __ b) större än 1 2 1 men mindre än 1 c) större än __ 2
9 __ 6
2 __ 3
3 __ 8
8 ___ 3
4 ____ 11
8 a) ___ 10
12 b) ___ 14
10 c) ___ 18
49 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska gälla? 2 a) __ = ___ 5 10
3 __ 4
1 b) ___ = __ 18 6
7 8 Motivera ditt svar.
4 20 c) __ = ___ 5
Taluppfattning och tals användning
Man kan även förkorta i beräkningen.
8 9
50 Vilket av bråken __ och __ är störst? 46 Skriv bråken i storleksordning. Börja med det minsta. 4 2 6 __ __ a) __ 7 7 7 6 6 6 ___ __ b) ___ 11 25 7 2 7 5 ___ c) __ __ 9 5 14
Beräkna 2 3 51 a) __ + __ 7 7
8 7 b) __ – __ 9 9
4 2 c) __ – __ 5 5
1 1 2 6
3 5 b) __ – __ 4 8
3 2 c) ___ + __ 10 5
52 a) __ + __
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 147
147
2016-03-08 17:26
1 4 glas räcker en kanna med
53 Ett glas rymmer __ liter. Till hur många
2 5 3 påskbuffén. Av dem som åt sill var det __ 4 som åt senapssill. Hur stor andel av alla gäster åt senapssill? Svara i enklaste form.
63 Det var bara __ av gästerna som åt sill på
1 b) 1 __ liter vatten 2
a) 2 liter vatten
54 Beräkna 2 a) 3 ∙ ___ 11 1 c) 4 __ 3
2 3 b) __ ∙ __ 3 4 1 5 d) __ __ 8 8
/
nivå TRE
/
64 Skriv först bråken med samma nämnare och ordna dem sedan i storleksordning med det minsta först.
55 Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla?
4 1
3 6 ∙ ___ = ___ 10 10
a)
5 15 b) __ ∙ ___ = ___ 9 4 36
5 __ 6
2 2 ___ = c) __ ∙ __ 5 3 15
Taluppfattning och tals användning
56 Noa och Isak delar på en familjepizza. Noa
3 __ 4
7 __ 8
7 ____ 12
65 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla? 1 4 a) __ + __ = 1 3 x
1 1 äter __ av pizzan och Isak äter __ av pizzan. 4 8 Hur stor andel av pizzan är kvar?
1 15 b) __ + ___ = 1 4 x
Beräkna och svara i enklaste form. 2 3 1 5 3 4 66 a) __ + __ – __ b) ___ ∙ ___ ∙ ___ 3 4 2 12 10 15
NIVÅ två
57 Förläng eller förkorta bråket så att nämnaren blir 100. 24 75 a) ___ b) _____ 25 500
18 c) _____ 300
58 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla? 18 3 9 72 a) ___ = __ b) __ = ___ x 8 x 80
x 5 c) ___ = __ 36 6
59 Förklara hur man kan hitta ett bråk som är 9 större än ___ men mindre än 1. 10
60 Beräkna 5 1 a) __ – __ 6 8
2 3 b) __ – __ 3 7
2 3 c) ___ + ___ 15 10
Beräkna och svara i enklaste form. 5 4 3 8 24 5 61 a) __ ∙ __ b) __ ∙ __ c) ___ ∙ __ 8 7 4 9 25 6
/
1 1 2 6
62 a) __ __
148
/
5 b) __ 2 8
/
12 c) ___ 5
( )
3 5 2 __ ∙ c) __ – __ 8 3 4
( ) / 225
3 1 d) __ + __ 5 2
___
67 Förenkla uttrycket 3x2 2 a) ____ · __ 4 x 2x x 5x – __ c) ___ + ___ 3 3 3
x 6y b) ___ · ___ 3y 7
68 Samtidigt som ett plan startar i Malmö på väg till London så startar ett plan i London på väg till Malmö. Avståndet mellan London och Malmö är 980 km. 3 a) När planet från Malmö har åkt ___ av 10 1 sträckan har planet från London åkt __ 3 av sträckan. Hur långt ifrån varandra är planen då? b) Restiden för planet från Malmö är 1,2 h. Hur lång restid har planet från London?
6 __ 7
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 148
2016-03-08 17:26
Negativa tal Exempel
Beräkna a) –12 + 5
Lösning
b) –3 + (–6)
a) –12 + 5 = –7
Addition med ett positivt tal innebär att värdet ökar.
b) –3 + (–6) = –3 – 6 = –9
Addition med ett negativt tal ger samma resultat som subtraktion med det motsatta talet. Värdet minskar.
Det motsatta talet till –6 är 6.
c) –5 – (–3)
Två olika tecken direkt efter varandra ersätts med subtraktion.
c) –5 – (–3) = –5 + 3 = –2
4 1
Subtraktion med ett negativt tal ger samma resultat som addition med det motsatta talet. Värdet ökar.
Två lika tecken direkt efter varandra ersätts med addition.
Beräkna (–16) b) ______ (–4)
a) 8 ∙ (–4) Lösning
a) 8 ∙ (–4) = –32
Olika tecken på faktorerna ger negativ produkt.
(–16) b) ______ = 4 (–4)
Lika tecken på täljare och nämnare ger positiv kvot.
NIVÅ ETT
72 Skriv tre negativa tal som är större än –2.
73 Temperaturen var en morgon –5 °C.
Beräkna
69 a) –10 + 2
b) –8 – 5
c) 4 + (–1)
d) 21 + (–32)
e) 1 – 1,5
f) –4 + (– 11)
70 a) –6 + (–2)
d) –21 – (–21)
e) –8 + (– 8)
f) –7 – (– 11)
71 Vilket tal eller vilket tecken ska stå i rutan för att likheten ska gälla?
c) 2
= –100 b) –5 –
(–4) = –2
b) På eftermiddagen var temperaturen 7 grader varmare än på morgonen. Vilken var temperaturen då?
b) –3 – (–4)
c) 8 – (–2)
a) –50 +
a) Under natten var det 2 grader kallare. Vilken var temperaturen då?
d) –30
= –7 (–5) = –25
c) På kvällen var temperaturen 5 grader varmare än på morgonen. Vilken var temperaturen då?
Beräkna
74 a) –5 ∙ 6 –80 –8
75 a) ____
b) –3 ∙ (–3)
c) 9 ∙ (–2)
20 b) ___ –5
–50 c) ____ 10
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 149
Taluppfattning och tals användning
Exempel
149
2016-03-08 17:26
NIVÅ två
nivå TRE
76 Beräkna värdet av uttrycket om a = –5.
83 Ett läger för bergsklättrare ligger
a a) __ 2
b) 3a + 1
c) 3a – 4
77 Vilket tal ligger mitt emellan –7 och 4?
Beräkna
78 a) –10 + (–2) – 3
b) –9 – (–3) + 1
c) 14 + (–10) – (–5)
4 1 Taluppfattning och tals användning 150
79 a) (–2) ∙ (–3) ∙ 5 4 ∙ (–5) c) _______ –10
84 Beräkna värdet av uttrycket om a = –2 och b = –10. a) ab + a
b) 8 ∙ (–5) ∙ 2 12 – 16 d) _______ –2
80 Hur kan man veta att produkten (–3) · (–3) · 5 · (–2) · (–2) är positiv? Motivera ditt svar.
81 Ge exempel på två negativa tal så att a) summan av talen är –5 b) differensen mellan talen är –10
82 Beräkna värdet av uttrycket om x = 3 och y = –5. a) 3x + 2y
6 135 m.ö.h. Där visar termometern –19 °C. För varje 100 meter närmare toppen man kommer sjunker temperaturen med 0,5 °C. Hur högt är berget om det är –28 °C på toppen?
b) 5x – y
b b) __ – a a
85 Avgör om produkten är positiv eller negativ när man multiplicerar a) 18 negativa faktorer. b) 23 negativa faktorer. c) Formulera en regel som hjälper dig att avgöra om värdet av en produkt med negativa faktorer är positiv eller negativ.
86 Medelvärdet av 5 olika heltal är –3. Ge ett exempel på vilka tal det kan vara.
87 En kvadrat är inritad i ett koordinatsystem. Hörnen sitter i punkterna, (–2, –2), (–2, –8), (4, –2), och (4, –8). Beräkna arean av kvadraten.
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 150
2016-03-08 17:26
Potenser och kvadratrötter Exempel
Skriv utan potens a) 43
Lösning
68 c) ___4 6
c) 5,4 ∙ 106
d) 70
a) 43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 b) 5,4 ∙ 106 = 5,4 ∙ 1 000 000 = 5 400 000 68 c) ___4 = 68 – 4 = 64 = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1 296 6 d) 70 = 1
Exempel
Beräkna och svara i grundpotensform.
Lösning
b) 3 · 103 · 4,5 · 105
Potenser med basen 10 kallas tiopotenser. Ett tal i grundpotensform skrivs som en produkt av ett tal mellan 1 och 10 och en tiopotens.
Taluppfattning och tals användning
a) 10 ∙ 3,2 ∙ 105
4 1
a0 = 1 för alla värden på a ≠ 0.
a) 10 ∙ 3,2 ∙ 105 = 3,2 ∙ 101 ∙ 105 = 3,2 ∙ 105 + 1 = 3,2 ∙ 106 10 = 101
b) 3 · 103 · 4,5 · 105 = 3 · 4,5 · 103 · 105 = 13,5 · 108
Exempel
13,5 · 108 = 1,35 · 109 ___
Skriv svaret i grundpotensform.
___
är markerade på en tallinje. Vilket av talen ligger Talen √ 64 90 och √ närmast 9? ___
____
Lösning √ 64 = 8 och ligger 1 steg från 9 på tallinjen. Eftersom √ 100 = 10 och ___ ___ mindre än 10 och ligger närmast 9. 90 √ 81 = 9 så är √
NIVÅ ETT
91 Vilket av följande tal är lika med 53 ?
Beräkna
88 a)
52 ____
89 a) √ 100
b)
23 ___
b) √ 16
c)
a)
b)
6,5 ∙ 103
15
125
5 000
104 __
c) √ 9
90 Skriv utan potens 7 ∙ 103
92 Vad ska stå i stället för x för att likheten ska gälla? a) 10x = 1 000 000
c)
b) 10x = 100
2,4 ∙ 104
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 151
151
2016-03-08 17:26
93 Skriv utan potens a) 7,3 ∙ 108
b) 3,92 ∙ 105
c) 8,5 ∙ 10–3
94 Skriv i grundpotensform a) 38 000 000
b) 0,008
c) 0,000 023
d) 572
NIVÅ två
4 1
95 Mellan vilka heltal ligger ___
a) √ 68
__
b) √ 7
____
c) √ 105
96 Är talet 59 ∙ 107 skrivet i grundpotensform? Motivera ditt svar.
Taluppfattning och tals användning
97 Beräkna och svar i potensform. a) 63 · 64
710 b) ___ 72
c) 3 · 34
98 Skriv som en potens med basen 2. a) 4
b) 8
c) 64
99 En kvadratisk tomt har arean 1 296 m2. a) Hur långa är tomtens sidor? b) Hur stor area har en tomt med dubbelt så långa sidor? c) Hur långa sidor har en tomt med dubbelt så stor area?
100 Beräkna och svara i grundpotensform. a) 2 · 103 · 4 · 102 9 · 103 c) ______8 3 · 10
102 Temperaturen på solens yta är ungefär 6 000 °C. a) Skriv temperaturen i grundpotensform. b) Temperaturen i solens centrum kan vara 2 500 gånger så hög som på ytan. Vilken temperatur kan det vara i solens centrum? Svara i grundpotensform. nivå TRE
103 Det finns 6,02 ∙ 1022 kolatomer i 12 g kol. Hur många kolatomer finns i 1 kg kol?
104 Vilket tal ska stå i stället för x för att
8 · 108 b) ______2 2 · 10
likheten ska gälla?
d) 3 · 10–2 · 6 · 104
b) 79 ∙ 10–6 = 7,9 ∙ 10x
101 Ljusets hastighet är ungefär 3 · 108 m/s. En blinkning tar ungefär 0,1 sekunder. Hur långt färdas ljuset under en blinkning?
a) 628 ∙ 109 = 6,28 ∙ 10x c) 489 ∙ 10–9 = 4,89 ∙ 10x
105 Avgör vilket tal som är störst utan att använda räknare. Motivera ditt svar. a) 401 eller 140 b) 104 + 104 eller 108
152
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 152
2016-03-08 17:26
Prioriteringsregler Exempel
Beräkna a) 4 + 2 · 6
Lösning
b) 5 – (2 + 8) + 3 · 10
c) 5 · (1 + 2)2
a) 4 + 2 · 6 = 4 + 12 = 16
Multiplikation och division beräknas före addition och subtraktion.
b) 5 – (2 + 8) + 3 · 10 =
Beräkna det som står i parentesen först.
= 5 – 10 + 3 ∙ 10 =
Därefter beräknas multiplikation och division.
= 5 – 10 + 30 = 25
Sist beräknas addition och subtraktion.
4 1
c) 5 · (1 + 2)2 = 5 · 32 =
Beräkna det som står i parentesen först, därefter potensen.
= 5 · 9 = 45
NIVÅ två
106 Beräkna
b) (3 + 5) ∙ 4
c) 9 + 2 ∙ 4
d) 6 + 2 ∙ 10 – 5
107 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska gälla? + 4 ∙ 6 = 30
c) 15 + 5 ∙
b) 8 ∙ 4 –
= 24
melonsorter. Ge förslag på vad man kan beräkna med uttrycket a) (2 · 37) + (3 · 14) b) 100 – (2 · 37) – (3 · 14) Melon
111 a) –82 c) (10 – 4) ∙ 1,2
b) 4 ∙ 6 + 2 ∙ (10 – 4) d) 3,5 + 2 ∙ 1,5 b) 6,8 – (2,4 + 0,6) d) (–8)2
112 Tre elever beräknar 1 + 2 · 3 + 4. Niki svarar
= 40
108 Tabellen visar priset för några olika
10 2 c) (9 – 5) ∙ (4 + 6)
110 a) 5 + 6 ∙ 2 – ___
a) 7 + 3 ∙ 2
a)
Beräkna
Pris per kg
11, Elin svarar 13 och Selma svarar 21. a) Vem har räknat rätt? b) Hur kan de andra två ha tänkt?
Taluppfattning och tals användning
NIVÅ ETT
nivå TRE
113 Skriv av och sätt ut en parentes så att likheten gäller.
Vattenmelon
14 kr
Honungsmelon
37 kr
a) 2 ∙ 6 + 5 – 1 ∙ 4 = 18
Nätmelon
25 kr
b) 2 ∙ 6 + 5 – 1 ∙ 4 = 28 c) 2 ∙ 6 + 5 – 1 ∙ 4 = 80
109 Beräkna a) 22 + (4 + 6)2
b) 16 – (1 + 3)2
114 Beräkna
_____________
__________
2 · (60 + 4) b) √ 80 · 5 · 102 a) √10 prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 153
153
2016-03-08 17:26
Avrundning och överslagsräkning Exempel
Avrunda talet 405,38 till a) tiotal b) en decimal c) tre gällande siffror
4 1
Lösning
Taluppfattning och tals användning
Den sista siffran i ett tal som man väljer att ha med kallas avrundningssiffra. Om siffran efter avrundningssiffran är 5 eller högre, så avrundas talet uppåt. Värdet av avrundningssiffran ökar då med ett steg.
a) Tiotalsiffran 0 är avrundningssiffra. Siffran efter avrundningssiffran är 5. Talet avrundas uppåt. Värdet av avrundningssiffran höjs ett steg. Svar: 405,38 ≈ 410 Avrundningssiffra
b) Siffran efter avrundningssiffran är större än 5. Talet avrundas uppåt. Svar: 405,38 ≈ 405, 4 Avrundningssiffra
c) Siffran efter avrundningssiffran är mindre än 5. Talet avrundas nedåt. Svar: 405,38 ≈ 405 Avrundningssiffra
Exempel
Lösning
Nollan är gällande när den står mellan två andra siffror.
Använd överslagsräkning. Ungefär hur mycket är 0,78 ∙ 0,41? Avrunda till tal som är enkla att räkna med. 0,78 ∙ 0,41 ≈ 0,8 ∙ 0,4 = 0,32 Svar: 0,78 ∙ 0,41 ≈ 0,32
116 Avrunda talet 45 729,2 till
NIVÅ ETT
115 Avrunda talet 392,755 till a) tiotal
b) ental
a) tusental
b) hundratal
c) tiotusental
c) två decimaler
154
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 154
2016-03-08 17:26
117 Ett telefonabonnemang har avgiften 69 öre/minut. Ungefär hur mycket kostar det att ringa i a) 20 minuter
b) 40 minuter
c) 10 timmar
118 Talet 738,9 kan t.ex. avrundas till 700 eller 740. Förklara varför båda avrundningarna kan stämma.
119 Annie är 9 år. Ungefär hur många dagar har hon levt?
NIVÅ två
123 I annonsen står det ”Köp 3 paket för 95 kr”. Omar räknar ut att ett paket kostar 95 ___ ≈ 31,66666667 kr. Hur bör han svara på 3 frågan: Vad kostar ett paket?
124 Avrunda talet 4 798,1 till a) två gällande siffror b) hundratal c) tiotal
A 3 000
B 30 000
C 300
D 300 000
120 Ungefär hur mycket är 2,13 · 15,1? B 3,2
C 3
D 28
121 Anna beräknar arean av en cirkel med radien 3,5 cm. Hennes räknare visar 38,456. Hur bör hon svara?
122 När Nila passerar Piteå har hon 136 km kvar att köra. Hastighetsmätaren visar lite mer än 70 km/h. Hur lång tid tar det innan Nila är framme om hon kör ungefär lika fort hela tiden? Använd överslagsräkning.
fått in ungefär 12 000 kr. Vilket är det största och minsta beloppet Pontus kan ha fått in om han avrundade till a) tusentals kronor b) hundratals kronor
126 Familjen Lindell beställer en kebabpizza för 89 kr, en hawaii för 79 kr, en kebabtallrik för 85 kr, en sallad för 68 kr och en barnpizza för 59 kr. Mattias har med sig 4 hundralappar att betala med. Räcker pengarna till att också köpa läsk för 30 kr? Visa med en överslagsberäkning.
127 Ungefär hur mycket är 0,067 ∙ 0,712? A 0,05
B 0,5
C 0,06
D 0,6
nivå TRE
4 1 Taluppfattning och tals användning
A 32
125 Pontus räknade kassan och sa: I dag har jag
128 Vilka är de minsta och största värdena som kan ha avrundats till 1 000, om det är avrundat till heltal?
129 Vilket eller vilka uttryck har ett värde som är större än 1 000? A 25,02 ∙ 10,1 ∙ 4,1
3 982 092 3 983
C __________
7 441 7,408
B ______ D 49,82 ∙ 10,03 ∙ 1,81
prio – från 7 till 9 4.1 taluppfattning och tals användning
Prio9_kap04_4tryck.indd 155
155
2016-03-08 17:26
matematik Prefix
9
Förkortning
Betyder
Skrivs
tera
T
en biljon
1 000 000 000 000
giga
G
en miljard
1 000 000 000
mega
M
en miljon
1 000 000
> teori, exempel och övningar på tre nivåer
kilo
k
ett tusen
1 000
> Historia och samhälle – temaavsnitt
milli
m
en tusendel
0,001
mikro
μ
en miljondel
0,000 001
> Problem, resonemang och kommunikation – uppgifter som tränar alla matematiska förmågor
nano
n
en miljarddel
0,000 000 001
piko
p
en biljondel
0,000 000 000 001
1 000 000
Katarina Cederqvist Stefan Larsson Patrik Gustafsson
Prio Matematik är moderna läroböcker med
> Begreppslista, Tankekarta och Metodsamling – uppslagsdelar för sammanfattning och repetition Serien består av
M
mega
> Elevbok
9
> Digitalt material
1 000
> Lärarguide 1 000 100
k
kilo
h
> Prov, övningsblad och aktiviteter
10
hekto
1 000 100
Grundenhet
0,1 0,01 0,001
d
deci
9
10
10
c
centi
dividera mätetalet
matematik
1 000
multiplicera mätetalet
10
m
milli
1 000
0,000 001
µ
mikro
ISBN 978-91-523-2472-1
(523-4141-4)
Prio9_omslag_4tryck.indd 1-4
2016-03-08 17:28