9789151107295

Att bygga tänkande klassrum i matematik Peter Liljedahl

Innehåll Inledning Elever som inte tänker Institutionella normer På väg mot ett tänkande klassrum Att läsa den här boken

1. Uppgifter att använda i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här

2. Gruppindelning i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum Acceptans Eliminering av sociala barriärer Ökad kunskapsrörlighet Ökad entusiasm inför matematiklektionerna Minskad social stress

Vanliga frågor

21 26 30 31 35 37 37 42 43 48 53 53 53 53 54 55 55 56 58 61 62 63 63 64 64

Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här

3. Elevernas arbetsytor i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här Årskurs F–3: Vad är jag för färg? Årskurs 4–7: Hur många sjuor? Årskurs 8–9 och gymnasiet: Dela upp 25

4. Att möblera ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här Årskurs F–2: Karameller Årskurs 3–8: Fyra siffror Årskurs 9 och gymnasiet: Guldkedjan

70 70 70 70 71 73 73 73 74 80 82 82 82 83 83 84 84 85 87 87 88 88 93 94 94 94 95 95 95 96 96

5. Att besvara frågor i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet Närhetsfrågor Sluta tänka-frågor Fortsätt tänka-frågor

På väg mot ett tänkande klassrum Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här Årskurs F–4: Glasstrutar Årskurs 5–8: Palindrom Årskurs 9 och gymnasiet: Vinskåpet

6. När, var och hur uppgifter ges i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum När ska man ge eleverna uppgiften?

Var ska man ge eleverna uppgiften?

Hur ska man ge eleverna uppgiften?

Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärder Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här Årskurs F–3: Intilliggande tal Årskurs 4–9 och gymnasiet: Skatteindrivaren

97 97 98 98 100 101 101 105 108 108 108 109 110 110 110 111 113 113 114 115 115 117 118 123 127 127 128 128 129 129 130

7. Läxor i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet Gjorde inte läxan Fuskade Fick hjälp Försökte själv

På väg mot ett tänkande klassrum Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här

8. Att främja elevautonomi i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här Årskurs F–4: Pentomino Årskurs 5–8: Tvåkronor, femkronor och tiokronor Årskurs 9 och gymnasiet: Födelsedagstårta

9. Att använda ledtrådar och utvecklande frågor i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum Att upprätthålla flow med hjälp av utvecklande frågor Att upprätthålla flow med hjälp av ledtrådar Att upprätthålla flow genom att byta engagemangsform

131 131 132 132 133 134 134 136 138 141 141 141 141 142

143 144 144 145 149 151 151 151 152 152 152 153 153

155 155 156 156 158 166 168

Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här Årskurs F–3: Svaren är … Årskurs 4–9 och gymnasiet: Svaren är …

10. Att befästa kunskap i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här Årskurs F–5: Bonden Årskurs 6–9: Färgade kuber Gymnasiet: Tic-tac-toe i 3D (tredimensionellt luffarschack)

11. Elevernas anteckningar i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här Årskurs F–5: Prickmönster Årskurs 6–9: 1 001 enkronor Gymnasiet: Bankrånaren

170 175 175 175 176 176 176 178 179 179 180 180 187 191 191 191 191 192 192 193 193 195 195 196 200 208 212 212 212 213 213 213 214 214

12. Vad vi väljer att utvärdera i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum Utvärderingsformulär 1. Fokus 2. Antal kolumner 3. Rubriker 4. Mindre text 5. Färre förmågor per utvärderingsformulär

Att utforma utvärderingsformulär Att använda utvärderingsformuläret Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här Årskurs F–3: Hur många sjuor? Årskurs 4–9: Vägen runt sjön Gymnasiet: Piraterna och diamanten

13. Att använda formativ bedömning i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet På väg mot ett tänkande klassrum Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här

215 215 216 217 217 219 220 221 221 223 224 226 227 231 231 231 231 232 232 232 233

235 235 236 237 245 252 252 252 253 253

14. Att betygsätta i ett tänkande klassrum Frågeställningen Problemet Poängsamlingsparadigmet Datainsamlingsparadigmet

På väg mot ett tänkande klassrum Att ta fram betyg

Vanliga frågor Sammanfattning Makroåtgärd Mikroåtgärder

Frågor att fundera på Prova det här

15. Att kombinera de 14 metoderna och bygga ett tänkande klassrum Forskningen Att bygga ett tänkande klassrum Verktygslåda 1 Verktygslåda 2 Verktygslåda 3 Verktygslåda 4

Från kollektiv synergi till individuella kunskaper och handlingar Att bygga ett tänkande klassrum på nytt Verktygslåda 1 Verktygslåda 2

Att inte se skogen för alla träd Vanliga frågor Frågor att fundera på

Litteraturförteckning

255 255 256 257 260 260 263 269 279 279 279 279 280

281 282 282 284 286 287 288 289 294 296 297 297 298 300 301

1 Uppgifter att använda i ett tänkande klassrum Om vi vill att våra elever ska tänka måste vi ge dem något att tänka på – något som inte bara kräver att de tänker utan även stimulerar dem till att tänka.

I matematiken ger vi dem uppgifter, och det är viktigt att välja rätt uppgifter.

Resten av boken handlar om saker som vi kan Om vi vill att våra elever göra i vår undervisning för att bygga upp tänkande ska tänka måste vi ge klassrum, men i det här kapitlet ska vi titta på själva dem något att tänka på. uppgifterna som ligger till grund för ett tänkande klassrum. Efter att ha läst det här kapitlet kommer du att veta mer om de olika typer av uppgifter som du kan använda för att bygga upp ett tänkande klassrum, var du hittar sådana uppgifter och hur du kan utforma egna uppgifter.

Frågeställningen En uppgift är inte levande i sig. För att den ska få liv krävs det att någon för­ söker lösa den. När jag talar med lärare om vilken typ av uppgifter som fungerar bra när man bygger upp ett tänkande klassrum, talar jag därför inte om vad en uppgift är utan vad den gör. Och det en uppgift måste göra är att få eleverna att tänka. Ta till exempel den här uppgiften: Vilket tal är störst – åtta eller nio?

Du kanske inte tycker att det här är en bra uppgift. Och om frågan ställs till en niondeklassare så har du rätt. Det är fel målgrupp för den här uppgiften. Men om samma fråga ställs till ett fyraårigt barn är det en mycket bra uppgift. De strategier som barnet måste använda för att komma på svaret är både komplexa och nyanserade, och lösningen kräver mycket tänkande. Frågan är alltså inte om ”Vilket tal är störst?” är en bra uppgift eller inte. Frågan är: Vad är uppgiften bra för? Och svaret på den frågan är att det är en bra uppgift för att stimulera tänkande hos elever som ännu inte har fått rutin på vilka siffror som finns och hur de förhåller sig till varandra.

När man ska diskutera uppgifter som får elever att tänka är det bäst att 37

att bygga tänkande klassrum i matematik börja med problemlösning. I litteraturen finns det gott om redogörelser för fördelarna med att låta elever ägna sig åt problemlösning – från Pólyas bok Problemlösning (1970 [1945]) till den amerikanska matematiklärarorganisationen NCTM:s Principles and standards for school mathematics (2000). Även om det råder oenighet kring exakt vilka processer som ingår och vilka kompetenser som krävs, är alla överens om att problemlösning är det vi gör när vi inte vet vad vi ska göra. Problemlösning är alltså inte samma sak som att noggrant följa en på förhand känd metod. Det är inte att använda en inlärd algoritm. Och det är inte en friktionsfri tillämpning av formler. Problemlösning är en rörig, icke-linjär och individuell process. Eleverna fastnar. De tänker. Och de kommer vidare. Och under tiden lär de sig – de lär sig om matematik, de lär sig om sig själva, och de lär sig hur man tänker.

En bra problemlösningsuppgift får På samma sätt som med uppgifter eleven att fastna och sedan tänka, som bygger upp tänkande klassrum, kan att experimentera, att försöka och att man avgöra om en problemlösningsuppmisslyckas, att tillämpa sina kunskaper gift är bra utifrån vad den gör – eller på nya sätt för att komma vidare. snarare utifrån vad eleverna måste göra för att kunna lösa den. En bra problemlösningsuppgift får eleven att fastna och sedan tänka, att experimentera, att försöka och att misslyckas, att tillämpa sina kunskaper på nya sätt för att komma vidare.

Uppgiften med katterna och råttorna i introduktionskapitlet är ett bra exempel. För att kunna lösa problemet måste man veta en del om bråk och kvoter, men det i sig räcker inte. Det som krävs är inte mer kunskap om matematik. För att kunna lösa uppgiften – för att komma vidare – måste vi tänka på ett annat sätt än vi normalt gör när det gäller likvärdiga bråk och kvoter. Vi måste inse att om sex katter dödar sex råttor på sex minuter, så kan antingen sex katter döda en råtta på en minut, eller en katt döda en råtta på sex minuter. Det som eleven gör för att komma fram till den här insikten är problemlösning.

Problemlösningsuppgifter kallas ofta icke-standarduppgifter (nonroutine tasks) eftersom de kräver att eleverna använder sin kunskap på ett sätt som inte följer ett standardformat eller en rutin.

När eleverna följer rutiner så imiterar de i stället för att tänka, eller som Lithner (2008) skriver – de härmar i stället för att vara kreativa. Bra problemlösningsuppgifter är så kallade ”rika” uppgifter, där eleverna måste använda många olika matematiska kunskaper och kombinera dem på olika sätt för att kunna lösa problemet. Uppgifterna kallas även ”rika” för att problemlösandet leder till att eleven möter ett rikt och varierande tvärsnitt av matematiken. Oavsett vilken benämning man använder blir en problemlösningsuppgift bra 38

1. Uppgifter att använda i ett tänkande klassrum inte på grund av vad den är, utan på grund av vad den gör. Och det den gör är att den får elever att tänka.

Min tidiga forskning om tänkande klassrum fokuserade på uppgifter. Trots det jag hade varit med om i Janes klass trodde jag fortfarande att det bästa sättet att få elever att tänka var att ge dem en uppgift som skulle motivera dem, eller till och med tvinga dem, att tänka. Därför lade jag mycket tid på att söka efter och utforma uppgifter som skulle fungera på det sättet. Det som jag fick fram var en samling uppgifter som jag började kalla högengagerande uppgifter för tänkande. Till denna samling lade jag en mängd matematiska korttrick och utvecklade en sorts verklighetsbaserade problemlösningsuppgifter som jag ­kallade uppgifter för talförståelse (numeracy tasks).

Låt oss titta närmare på var och en av dessa uppgiftstyper: Högengagerande uppgifter för tänkande är så engagerande, så intressanta, att folk inte kan låta bli att tänka. De är intressanta för en bred målgrupp och kan användas i flera olika årskurser. Vissa fungerar ända från årskurs 4 och hela vägen upp till gymnasiet. Till en början trodde jag att de var ovanliga – så ovanliga att jag länge var osäker på om de över huvud taget fanns. Men sedan hittade jag en. Och sedan ännu en. Och sedan hittade jag många. Nu vet jag att det finns gott om dem, om man vet var man ska leta. Här är fyra exempel på sådana uppgifter, ordnade efter skolstadium.

1. Lågstadiet: Hur många kvadrater finns det i den här bilden?

2. Mellanstadiet: Jag köper ett tv-spel för 100 kronor. Sedan säljer jag det för 200 kronor. Jag köper tillbaka det för 300 kronor. Till slut säljer jag det igen för 400 kronor. Hur mycket pengar har jag då tjänat eller förlorat?

3. Högstadiet: Jag har ett timglas där sanden tar fyra minuter att rinna igenom och ett där sanden tar sju minuter. Går det att använda dem till att koka ett niominutersägg? Om det går, hur länge får man vänta på sitt ägg?

4. Gymnasiet: En excentrisk kvinna har bokat tre hotellrum intill varandra.

När hon checkar in säger hon till receptionisten att om han behöver få tag på henne så kommer hon alltid att vara i rummet bredvid det rum hon 39

4 Att möblera ett tänkande klassrum Ett tänkande klassrum definieras framför allt av den typ av aktiviteter som eleverna ägnar sig åt, och av lärarens sätt att leda dessa aktiviteter. Hittills har jag diskuterat ett antal forskningsresultat som visar hur vi kan stimulera till tänkande genom vårt sätt att välja uppgifter, göra gruppindelningar och utforma arbetsytor. Dessa metoder har om och om igen visat sig öka mängden tid som eleverna ägnar åt att tänka i klassrummet.

Men vad händer när eleverna Men vad händer när eleverna och läraren går och läraren går hem, och hem, och det enda som finns kvar är klassrummet det enda som finns kvar är och sakerna där? Är det fortfarande ett tänkande klassrummet och sakerna där? klassrum? Självklart inte. Om det inte finns någÄr det fortfarande ett tänkande ra elever som kan tänka, är det inget tänkande klassrum? klassrum. Det var i alla fall vad jag trodde. I det här kapitlet kommer du att få veta mer om våra forskningsresultat kring hur den fysiska placeringen av möblerna i klassrummet påverkar elevernas ­tänkande och hur alla klassrum kan organiseras för att optimera elevernas tänkande.

Frågeställningen I grunden är ett klassrum bara ett rum med inredning. Utan eleverna och lärarna är ett klassrum en livlös plats som ska fyllas, som ska användas; en plats där tänkande ska ske. Men det innebär inte att själva klassrummet, i all sin livlöshet, inte har någon betydelse alls för vad som händer i det. Tvärtom har det en enormt stor betydelse för vilken typ av lärande som kan ske. För att ta ett extremt exempel så möjliggör en gymnastiksal en typ av lärande som skiljer sig mycket från det som sker i en träslöjdssal, som i sin tur skiljer sig från lärandet i en bildsal eller en musiksal. Klassrum är kort sagt utformade för olika typer av lärande. Det gäller även klassrum som är avsedda för matematik. Olika typer av inredning möjliggör olika typer av lärande. Vi har redan sett detta när det gäller vertikala icke-permanenta ytor. Klassrum som har många vertikala icke-permanenta ytor möjliggör en annan typ av lärande än klassrum som inte har några alls. Men klassrummens inredning omfattar mycket mer än whiteboards.

87

att bygga tänkande klassrum i matematik

Problemet När vi började forska om att bygga tänkande klassrum upptäckte jag något intressant. Varje gång vi arbetade i klassrum där allt var väldigt välorganiserat – där bänkarna eller borden stod i perfekta rader, där det fanns inkorgar och utkorgar för allt, där allt var färgkodat och stod på rätt plats – så var det svårare för oss att få eleverna att tänka. Det spelade ingen roll om experimenten handlade om vertikala ytor, slumpmässiga gruppindelningar, olika sätt att besvara frågor, läxarbete eller något annat. Om När vi arbetade i klassrum rummet var väldigt välorganiserat var det svårare där allt var väldigt väl­ att få positiva resultat. Men när vi arbetade i klassorganiserat var det svårare rum som var lite – men inte överdrivet – oorganiatt få eleverna att tänka. serade, så fick vi bättre resultat. Vad var det med de där välorganiserade klassrummen som motverkade en del av våra annars så effektiva metoder för att generera tänkande?

Att tänka är en stökig process. Det krävs att man tar en hel del risker, prövar sig fram och arbetar icke-linjärt. I extremt välorganiserade klassrum ser vi att eleverna inte känner sig fria att vara stökiga på det sättet. Budskapet de tar till sig är att deras lärande ska vara ordnat, strukturerat och precist. I de perfekt organiserade klassrummen går det fysiska rummet som eleverna förväntas tänka i inte ihop med tänkandets stökighet. Det här är ett problem. Samtidigt ska tänkandet inte vara fullständigt ostrukturerat.

Att tänka är en stökig process.

Det krävs urval och organisation för att mönster I extremt välorganiserade ska börja utkristallisera sig. Alltför kaotiska rum klassrum ser vi att eleverna är alltså inte heller någon lösning. inte känner sig fria att vara När jag tittade närmare på vilka typer av klassstökiga på det sättet. rum som genomgående gav positiva resultat, blev det tydligt att de varken var för organiserade eller för kaotiska. De var avslappnade rum där eleverna kände sig fria att ta risker, att försöka och att misslyckas.

Samtidigt var de inte så kaotiska att klassrummets fysiska struktur blev en distraktion för eleverna. Det verkade som om klassrummet behövde vara precis lagom oorganiserat för att tänkandet skulle komma igång. Jag ville se var minimigränsen för denna oordning gick.

På väg mot ett tänkande klassrum Hur bänkar och bord står i ett klassrum säger mer än något annat om vilken typ av lärandebeteende – och därmed även tänkandebeteende – som förväntas i just det rummet. Läraren kanske själv har en avslappnad inställning, men om bänkarna står i spikraka rader så förmedlas budskapet att det är viktigt med ordning och reda. Bänkar och bord är de största föremål som kan på88

4. Att möblera ett tänkande klassrum verka ett klassrum, och sättet de står på säger mycket om vad som förväntas hända i klassrummet.

Tänk på när du senast var på kurs eller fortbildning. Om rummet var fullt av stolar och det fanns ett podium men inga bord, så förstod du att du skulle få lyssna på en föreläsning – och du förstod det långt innan det hela började. Om du kom in och såg bord i prydliga rader med stolar som alla var vända mot podiet så förstod du att det troligen skulle bli föreläsning även här – men med viss möjlighet till ytterligare aktiviteter. Om det var bord med stolar runtomkring varje bord så förstod du att det skulle ges När du kom in i rummet tid för diskussion. När du kom in i rummet visste visste du direkt vad du du alltså direkt vad du skulle förvänta dig – och skulle förvänta dig – och den den förväntningen påverkade ditt beteende. I visförväntningen påverkade ditt sa fall kanske du vände om och gick därifrån, om beteende. det gick. Och om det inte gick så kanske du valde att sätta dig längst bak eller med dina vänner, eller så gjorde du något annat val. Rummets inredning avslöjade direkt vad som skulle hända, och det började forma dina attityder och beteenden långt innan föreläsaren eller kursledaren började tala. Möblernas placering i ett rum har betydelse.

I ett tänkande klassrum ser vi att möblernas placering till och med har stor betydelse. Den sänder ett budskap. Det viktiga är att budskapet som sänds passar ihop med den aktivitet man planerar. Ett tänkande klassrum måste alltså inredas på ett sätt som visar att tänkande, samarbete och risktagande förväntas.

Bänkrader ger inte det budskapet – inte ens om I ett tänkande klassrum bänkarna ställs ihop två och två eller tre och tre. har möblernas placering Inte heller fungerar bord i prydliga rader, där alla stor betydelse. elever sitter vända mot en kateder. Allt detta motverkar det budskap vi vill sända ut.

I mina försök att hitta den optimala möbleringen för ett tänkande klassrum visade jag helt enkelt eleverna bilder av en rad olika klassrum och frågade dem hur de trodde att läraren och undervisningen skulle vara i dessa rum. Bilderna (se figur 4.1) visade klassrum med bänkar och bord placerade på olika sätt. Det första vi såg var att allt som var rakt jämställdes med ordning och reda – ordningsamma lärare, välorganiserad undervisning. Det spelade ingen roll om det var bänkar eller bord i klassrummen; om de stod i raka rader upp­fattade eleverna det som att klassrummet var välorganiserat och välordnat. När vi ställde mer djupgående fråDet första vi såg var gor såg vi att eleverna antog att samma sak gällde att allt som var rakt förväntningarna på dem och deras beteende – de jämställdes med ordning antog att de förväntades vara ordningsamma, att och reda – ordningsamma deras arbeten och personliga utrymmen förvänlärare, välorganiserad tades vara välorganiserade och att oordning skulundervisning.

89

att bygga tänkande klassrum i matematik

Figur 4.1 Klassrum med olika typer av möblering.

le betraktas som negativt. Även om vissa elever uttryckte sig uppskattande om den här typen av ordning, så uttryckte majoriteten att det skulle innebära en mängd förväntningar och stor press att vara elev i ett sådant klassrum. Kort sagt förmedlade de raka linjerna ett budskap – positivt eller negativt – om vad som förväntades i klassrummen.

Symmetrisk inredning – bänkar som stod i en hästskoform eller cirkel, eller parallella bord – visade sig också förmedla en förväntan om ordning och reda.

Symmetri är en vanlig bieffekt av att något står rakt, och därför tog det längre tid att få fram det här resultatet. Samma sak gäller när man ställer stolarna så att alla elever sitter riktade mot den del av klassrummet som räknas som ”längst fram”. Även sådan framåtriktning sänder ett budskap om att ordning och lydnad förväntas i klassrummet. Det signalerar också att eleverna kommer att få ägna sig mycket åt att titta och lyssna. Om möbleringen har alla dessa tre egenskaper – rakt, symmetriskt och framåtriktat (se figur 4.2) – upplever eleverna rummet som mycket välordnat och förväntar sig att alla aktiviteter ska kretsa kring läraren.

När jag använde mig av min experimentella tvärtom-metod drog jag slutsatsen att vi måste försöka utforma utrymmen där bänkarna och borden varken stod rakt eller symmetriskt och där stolarna var placerade så att eleverna inte satt framåtriktade. Våra undersökningar kring Det räckte att koncentrera sig detta bestod av två experiment. Det första gick ut på att klassrummet inte skulle på att visa eleverna bilder av klassrum där bänkar, vara framåtriktat – då blev bord och stolar var ordnade på ett sätt som varken klassrummet också mindre var rakt, symmetriskt eller framåtriktat (se figur rakt och symmetriskt.

4.3). De flesta elever reagerade positivt på dessa 90

10 Att befästa kunskap i ett tänkande klassrum Att befästa kunskapen är en viktig del av varje lektion. Då kopplas lektionens olika delar samman och det hjälper eleverna att konkretisera sina erfarenheter till en sammanhängande, begreppsmässig helhet – det abstrakta eller ogripbara blir till något konkret och verkligt. Men hur fungerar det här i ett tänkande klassrum, där strävan efter att hålla grupperna i flow är viktigare än att hålla ihop alla grupper, och där elevernas autonomi gör att grupperna kan lösa uppgifter på väldigt olika sätt? I det här kapitlet får du veta mer om hur kunskap bör befästas i ett tänkande klassrum, inte bara utifrån perspektivet att ett brett urval av elevernas arbete ska sammanfattas, utan också utifrån idén om att det ska göras samtidigt som tänkandet fortsätter att stå i fokus.

Frågeställningen När jag började forska och besökte de där 40 klassrummen såg jag många exempel på hur man arbetade med att befästa kunskaper. Oftast skedde det efter en din tur att försöka-uppgift. Ibland gick det ut på att eleverna fick visa sina lösningar, men det var vanligare att läraren gick igenom lösningen steg för steg på tavlan. I inledningen såg vi hur rytmen där man ger en din tur att försökauppgift, sedan väntar (4 minuter och 22 sekunder) och därefter går igenom uppgiften gör det möjligt för eleverna – eller snarare uppmuntrar dem – att maska eller fejka i väntan på att inte bara få en lösning utan den bästa lösningen från läraren.

Arbetet med att befästa kunskaper efter en din tur att försöka-uppgift bestod till stora delar av det som Alan Schoenfeld (1985) kallar levelling to the top – att gå vidare till den högsta nivån. Det innebär att lärarna går igenom de mest avancerade och komplexa aspekterna av lösningen, oavsett var eleverna befinner sig i sitt tänkande eller i lösningsprocessen. Detta gör de i tron att eleverna måste veta hur man löser en viss din tur att försöka-uppgift för att kunna gå vidare till nästa uppgift, och om de inte har fattat efter 4 minuter och 22 se­kun­ der så ska vi helt enkelt ge dem lösningen så att de kan komma vidare. Vi går alltså vidare till den högsta nivån i ett försök att lyfta alla till den högsta nivån.

179

att bygga tänkande klassrum i matematik

Problemet Problemet är att det inte fungerar. Om eleven själv inte har kommit nära lösningen i sitt tänkande, så blir det ett alltför stort kognitivt hopp. Och resultatet blir raka motsatsen till det vi hade hoppats på – i stället för att eleverna blir förberedda för nästa uppgift så blir de faktiskt mindre förberedda och har mindre chans att hitta lösningen. Om alla elever kunde lära sig genom att vi helt enkelt berättar för dem hur de ska göra, så hade vi Om alla elever kunde lära inte haft några problem i matematikundervissig genom att vi helt enkelt ningen. berättar för dem hur de ska I över 100 år har den dominerande pedagogiska göra, så hade vi inte haft metoden varit att undervisa genom att berätta. några problem i matematik­ Om det hade fungerat hade alla elever legat på undervisningen. högsta nivå och fått högsta betyg. Men så har det inte blivit. Att elever har svårt för matematik har varit ett genomgripande och systemiskt problem ända sedan den offentliga utbildningen uppstod – inte för att elever inte kan lära sig matematik, utan för att de flesta elever inte kan lära sig det genom att någon berättar hur man ska göra.

För att tala mer specifikt om tänkande så kunde jag också konstatera att när läraren gick vidare till den högsta nivån så blev det en icke-tänkande aktivitet både för de elever som redan hade kommit dit och för de elever som inte ens hade kommit i närheten. För den senare gruppen blev det hela en övning i att koppla bort tankeverksamheten och ta anteckningar. Jag återkommer till det här i kapitel 11, men här och nu kan jag säga att Eleverna började blanda eleverna började blanda ihop lärande med att få ihop lärande med att få något berättat för sig, och de blandade ihop kunnågot berättat för sig, och de skap med att ha något nedskrivet. blandade ihop kunskap med Det här såg vi om och om igen i våra observaatt ha något nedskrivet. tioner från klassrum och i intervjuer med elever.

Om du har börjat införa det tänkande klassrummet samtidigt som du har läst den här boken har du förmodligen också sett detta. När eleverna frågar ”När ska du bara börja lära oss matte igen?” så frågar de egentligen när du ska gå tillbaka till att berätta (eller visa) allt för dem så att de bara kan skriva ner allt i sina anteckningsböcker.

På väg mot ett tänkande klassrum Om det nu inte fungerar att gå upp till den högsta nivån, vad skulle då hända om man gick ner till den lägsta nivån? Och hur skulle man göra det? Det här var precis vad vi började experimentera med. Om ”att gå till den högsta nivån” gick ut på att presentera den lösning som vi ville att alla elever skulle kunna 180

10. Att befästa kunskap i ett tänkande klassrum komma fram till, så måste ”befästa kunskap från lägstanivån” vara att börja med att presentera lösningar som alla elever kommit fram till. Den tanken var vår utgångspunkt. Befästandet följer alltså samma bana som de utvecklande uppgifterna, som gradvis blir svårare och som vi använder för att framkalla och upprätthålla flow i elevernas arbete.

När det gäller en uppgift som inte är bunden till läroplanen, som uppgiften med guldkedjan (se kapitel 4), så kan vi till exempel När man befäster kunskap börja med att diskutera hur en lösning kan se ut om från lägstanivån måste man vi kapar varannan länk. Det här är något som alla börja med att presentera grupper börjar med, och det visar sig alltid att det lösningar som alla elever inte leder till en fungerande lösning. Efter det kan kommit fram till. vi gå vidare till att diskutera en lösning där vi kapar var tredje länk och använder bitar med två hela länkar för att betala för både rum och kapning de dagar som en kapning görs. Med hjälp av dina ledtrådar har varje grupp kunnat komma fram till den här lösningen. Detta följs av en diskussion om en lösning där vi börjar få växel för våra guldlänkar. Om vi till exempel är skyldiga två guldlänkar en viss dag betalar vi med fyra samman1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

Figur 10.1 Den ovanliga bagarens tårtor.

181

att bygga tänkande klassrum i matematik hängande guldlänkar och får två enstaka länkar i växel. I stället för att börja befästa kunskaperna genom att gå direkt till modellen med växel – den modell som vi vill att alla elever ska komma fram till – börjar vi med att gå igenom den lösning som alla grupper börjat med.

Om det gäller uppgifter som är bundna till läroplanen, som uppgiftsserien för faktorisering av andragradsekvationer (kapitel 9), så börjar vi befästa kunskaperna genom att gå igenom hur man faktoriserar andragradsekvationer där alla koefficienter är positiva och den ledande koefficienten är 1 – något som alla grupper har kunnat göra. Därefter går vi vidare och diskuterar hur man faktoriserar andragradsekvationer där den sista koefficienten är negativ och så vidare. När det gäller uppgifterna om den ovanliga bagaren (kapitel 9) kan du börja med att gå igenom de två första uppgifterna (se figur 10.1). Då kan du än en gång understryka betydelsen av antalet bitar samt bitarnas storlek i förhållande till varandra när man ska försöka avgöra hur stor andel av tårtan varje bit är. Därefter kan du hoppa till tårta nummer fyra och fem, och gå igenom hur man kan lägga till extra linjer för att få fram bitar som är lika stora och så vidare.

När vi började experimentera med det här sättet att befästa kunskap märkte vi omedelbart att eleverna inte tappade intresset under genomgången. I stället hängde alla elever med från början, och ett större antal elever höll engagemanget uppe. För de elever som fortsatte vara engagerade var genomgångarna inte längre bara en förlängning av en lektion där läraren visade färdiga lösningar.

I stället blev det en aktivitet där deras idéer konkretiserades, värdesattes och utvecklades. Det ledde till mer tänkande och därmed mer lärande. Saker och ting fastnade bättre.

Det finns tre sätt att befästa kunskaper från lägstanivån: 1. Läraren leder en allmän diskussion om uppgifterna och lösningarna men skriver inte ner något.

182

att bygga tänkande klassrum i matematik de håller på med. Förberedelsen för kunskapsbefästandet är något som läggs till det viktiga arbetet med att framkalla och underhålla elevernas flow – inte något som ersätter det.

Fråga: Ska jag försöka välja något från varenda vertikal yta till gallerirundvandringen?

Svar: Nej. Det skulle leda till alltför mycket redundans och skulle göra att genomgången tog alltför lång tid. Med tiden kommer alla elever att få sitt arbete uppmärksammat. Det måste inte ske varje gång.

Fråga: I det här kapitlet pratar du om att befästa kunskaper och konkretisera dem på den nivå som eleverna själva har kommit till. Och du har också pratat om att det inte fungerar att ”gå till den högsta nivån”. Betyder det att vi aldrig kan lyfta elevernas förståelse över den nivå som de själva har kommit upp till?

Svar: Jo, det kan vi. Men det finns en gräns för hur mycket vi kan lyfta deras förståelse vid ett och samma tillfälle. Vad vi såg i forskningen var att när vi började befästa kunskap från lägstanivån och rörde oss uppåt genom de nivåer som eleverna redan hade arbetat sig igenom, så kunde vi lyfta deras förståelse över den nivå som de själva hade kommit till. Att gå till den högsta nivån fungerar inte eftersom man då börjar befästa kunskap på en högre (ofta mycket högre) nivå än eleverna själva har nått, i stället för att först samla in eleverna på en lägre nivå, konkretisera idéer och terminologi och sedan gå vidare till högre nivåer.

Fråga: Om den lärarledda gallerirundvandringen är det mest effektiva, när är de andra två metoderna för att befästa kunskap lämpliga?

Svar: Den första metoden – att diskutera utan att anteckna – är riktigt användbar när man diskuterar övergripande strategier som har visat sig i elevernas arbete: ”Vad ska vi börja med när vi ska göra en graf?”, ”När behöver vi göra omgrupperingar?” Den är också en viktig del av det konkretiserande samtalet, som pågår under hela den lärarledda gallerirundvandringen. Den andra metoden – att diskutera och anteckna – kan också användas när som helst under en lärarledd galleri­rundvandring, som ett sätt att tillämpa en grupps strategi på en ny uppgift: ”Hur skulle 190

10. Att befästa kunskap i ett tänkande klassrum den här gruppen addera de här två talen?” Som fristående strategi bör den dock användas sparsamt, eftersom det kan bli så likt en föreläsning att eleverna lätt försätts i ett passivt läge där de tar emot kunskap, i stället för att hamna i ett aktivt läge där de tänker.

Sammanfattning Makroåtgärd • Utgå från lägstanivån när du befäster kunskaper.

Mikroåtgärder • Bevara elevanteckningar genom att ringa in dem med din röda penna.

• Använd dig av ledtrådar för att se till att de idéer som saknas kommer upp på de vertikala ytorna.

• Välj ut elevarbeten och tänk ut en ordning inför gallerirundvandringen.

• Se till att eleverna står upp.

• Se till att eleverna går runt.

• Lägg mer tid på de grundläggande idéerna i början av genomgången.

• Låt inte elever presentera sina egna anteckningar.

Frågor att fundera på 1. Vilka saker i det här kapitlet tycker du spontant känns rätt?

2. I det här kapitlet har du fått läsa om att befästa kunskaper genom att röra sig genom de olika flow-nivåerna i en uppgift eller en serie uppgifter. När man gör det ska man börja långsamt och öka takten efter hand. Det innebär att de mest nyanserade och avancerade lösningarna kommer att få minst uppmärksamhet. Vad tycker du om det?

3. I avsnittet ”Vanliga frågor” står det att det är en mycket bra idé att ta bilder. Men det står också att man inte ska låta eleverna sitta medan man visar bilderna. Vad är då bilderna bra för, och kan du komma på några sätt att använda dessa bilder i ett tänkande klassrum utan att de motverkar tänkande?

191

att bygga tänkande klassrum i matematik 4. Det kan kännas överväldigande att behöva planera och förbereda genomgången samtidigt som man försöker hålla uppe elevernas flow. Vad finns det för saker du kan göra i förväg så att det blir mindre överväldigande?

5. I kapitel 6 fick du se att vår forskning visar att vi måste få eleverna att tänka kring en uppgift inom fem minuter från det att lektionen börjar.

Det gör att vår möjlighet att undervisa i början av lektionen försvinner.

Det här kapitlet, som handlar om att befästa kunskaper, har nu gett oss ett utrymme för undervisning. Hur känner du inför kunskapsbefästande – vid lektionens slut – som undervisning?

6. Vilka svårigheter förväntar du dig att stöta på när du ska tillämpa de strategier som beskrivs i det här kapitlet? På vilka sätt kan du övervinna dessa svårigheter?

Prova det här Här följer några uppgifter som leder till flera olika lösningar och lösnings­vägar.

Därför passar de bra att använda när man ska öva på att befästa kunskaper och utgå från lägstanivån.

Årskurs F–5: Bonden En bonde har några kycklingar och några grisar. En dag märker bonden att alla djuren sammanlagt har 22 ben. Hur många av djuren kan vara kycklingar och hur många kan vara grisar? Kan du komma på någon annan lösning? Kan du komma på en lösning till? Kan du komma på alla möjliga lösningar? Hur vet du att du har hittat alla lösningar?

192

10. Att befästa kunskap i ett tänkande klassrum

Årskurs 6–9: Färgade kuber En kub med måtten 3 × 3 × 3, som består av 27 kuber med måtten 1 × 1 × 1, doppas i en hink med färg. När färgen har torkat tas den stora kuben isär så att man får 27 kuber. Hur många av de här kuberna har färg på tre sidor, två sidor, en sida, inga sidor? Hur blir det med en kub med måtten 4 × 4 × 4? Eller en kub med måtten 5 × 5 × 5? En kub med måtten 10 × 10 × 10? Hur blir det om det är en kub med måtten n × n × n?

Gymnasiet: Tic-tac-toe i 3D (tredimensionellt luffarschack) I tic-tac-toe, en sorts luffarschack, vinner man när man får 3 X eller 3 O på rad.

Det finns 8 sätt att vinna i vanlig tic-tac-toe – tre som går uppifrån och ner, tre från sida till sida, och två diagonalt. Hur många sätt finns det att vinna om man har en tredimensionell spelplan, där reglerna är desamma – att man vinner när man får 3 X eller O i rad eller diagonalt?

Hur blir det om spelplanen är 4 × 4 × 4 och man behöver 4 i rad för att vinna?

Och om spelplanen är 5 × 5 × 5 och man behöver 5 i rad för att vinna? Hur blir det om spelplanen är n × n × n och man behöver n i rad för att vinna?

193

Att bygga tänkande klassrum i matematik Peter Liljedahl Översättning: Maria Åsard

En tänkande elev är en engagerad elev. I den här boken har den kanaden­ siska läraren och forskaren Peter Liljedahl samlat erfarenheterna från fem­ ton års forskning. Resultatet är en praktisk vägledning i att steg för steg skapa en miljö för ett tänkande och lärande som sätter eleven i centrum – ett tänkande klassrum i matematik.

Det handlar om att utmana de normer och vanor som genomsyrar många av dagens klassrum och som bidrar till att eleverna slutar att tänka. Boken är en djupgående och kärnfull genomgång av vad det innebär att undervisa, lära och utvärdera i ett tänkande klassrum. I allt från hur man möblerar klassrum till hur man ställer frågor, från vem som ska hålla i pennan till hur man främjar ihärdighet och uthållighet, skapar författaren en grund för ett genuint engagemang för matematik hos elever i alla åldrar. Med hjälp av fjorton metoder visar författaren hur lärare i grundskola och gymnasium kan åstadkomma stora förändringar i elevernas engagemang och lärande.

Peter Liljedahl är professor i matematikdidaktik vid Simon Fraser University i Vancouver, Kanada. Han är tidigare matematiklärare på gymnasienivå och har uppmärksammats mycket för sin forskning. Att bygga tänkande klass­ rum i matematik är den första bok av honom som ges ut på svenska. ”Att skapa ett tänkande klassrum eller att förändra en undervisningsmiljö i matematik är en stor utmaning, ändå är det inte en utopi. Med stöd i omfat­ tande klassrumsstudier visar Peter Liljedahl hur vi med relativt små steg kan åstadkomma stor förändring i klassrummet.”

Maria Johansson, biträdande professor vid Luleå tekniska universitet och fack­ granskare till boken.

9 789151 107295