2a
Exponent 2a är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans yrkesprogram. Innehållet är anpassat till ämnesplanen som gäller från höstterminen 2021.
2a
I Exponent 2a finns många olika uppgiftstyper som är kategoriserade efter de sex matematiska förmågorna som beskrivs i ämnesplanen. Återkommande kunskapskontroller i form av tester, övningar och omfattande problem ger eleverna repetition och bra träning inför nationella prov. Här finns en mjuk progression bland övningsuppgifterna. Här finns även gruppaktiviteter, mer tidskrävande utmaningar, gruppuppgifter och reflekterande frågor, som gör det enkelt att variera undervisningen. Antal uppgifter anpassade till karaktärsämnen har utökats. Dessa uppgifter täcker alla delar av kurs 2a till alla tolv program.
EXPONENT 1a
EXPONENT
Matematik för gymnasiet
2a
EXPONENT
Serien består av tryckta elevböcker samt digitala läromedel.
Författare till Exponent 2a är Tommy Olsson och Sören Hector. Båda är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning på yrkesprogrammen.
ISBN 9789151107042
9 789151 107042
exp2a2_omslag.indd 1
2021-07-05 17:30
Exponent 2a, andra upplagan Denna nya upplaga av Exponent har reviderats med utgångspunkt i de nya reviderade ämnesplaner. Boken är anpassad efter gymnasiekursen Matematik 2a och riktar sig till dig som läser yrkesförberedande program. Här är de viktigaste förändringarna: • Anpassad efter gymnasiekursen Matematik 2a och ämnesplanen som gäller från hösttermin 2021 • Tydligare struktur och fler uppgifter anpassade till karaktärsämnen som täcker alla delar av kurs 2a till alla tolv program • Mängder av övningar av varierande karaktär och svårighetsgrad • Många olika uppgiftstyper som är kategoriserade efter de sex matematiska förmågorna
Så här funkar boken Fördiagnos och Repetition Varje kapitel inleds med Fördiagnos som testar vad du kan eller behöver repetera innan du påbörjar arbete med ett arbetsområde.
Ekvation
Varje kapitel avslutas med en repetitionssida som ger dig möjlighet att träna upp dina inhämtade kunskaper för att sedan kunna klara av andra gymnasiekurser.
ÖVA 2 FLER FÖRMÅGOR
En ekvation är det som uppstår när vi vill veta vad vi ska för ingångsvärde i en funktion för att få precis det vi vill ha som utvärde av funktionen.
1047
Inez har en moped klass 2 som drar 2 l bensin per 100 km. Rita en graf där man ser hur långt man kommer på en viss mängd bensin. Använd grafen för att bestämma hur långt man kommer på 3,3 liter bensin. Formulera en ekvation och använd den för att lösa problemet med hur långt man kommer på 3,3 liter bensin.
1048
Inez kör sin moped i den lagliga hastigheten av 45 km/h. Nu har Abbe bjudit in henne på eftermiddagsfika kl. 15.00 och det vill hon ju absolut inte missa. Hon bor 25 km från Abbe. a) Rita en graf som beskriver hur långt Inez kör med avseende på tiden hon kör. b) Hur lång tid tar det för Inez att köra till Abbe? c) När måste Inez senast åka för att komma i tid till fikat? d) Formulera en funktion som beskriver hur långt Inez kör med avseende på tiden. e) Formulera den ekvation som beskriver problemet om hur lång tid det tar för Inez att köra till Abbe. f) Lös ekvationen för hur lång tid det tar för Inez att åka till Abbe.
Ekvation
EXEMPEL
Didar jobbar på pizzerian som inringt cykelbud. Han brukar få ut 50:- per timme efter skatt. Han har sett ett vackert halsband som han tror att hans älskade Ayaan skulle gilla. Det kostar 300:-. Hur länge måste han jobba för att kunna köpa Ayaan halsbandet? Lösning: 50 x = 300 50 x/50 = 300/50 x=6 Svar: Han måste jobba 6 timmar för att kunna köpa halsbandet.
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR 1041
1042
1043
40
k apitel
1 ;
1044
Gör en tabell samt rita grafen till ekvationen y = 3x + 2 Lös med hjälp av tabellen och grafen ekvationen a) 3x + 2 = 5 b) 3x + 2 = 14 c) 3x + 2 = 0
y 6 5 4 3 2 1
Gör en tabell samt rita grafen till ekvationen y = –2x + 3 Lös med hjälp av tabellen och grafen ekvationen a) –2x + 3 = 1 b) –2x + 3 = 11 c) –2x + 3 = 0 Vilket värde måste x ha i uppgift 1044 då: a) y = 2 b) y = –2 c) y = 0
Bestäm ur grafen nedan linjens ekvation.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
6
x
–2 –3 –4 –5 –6
1045
Rita grafen till ekvationen y = –2/3x + 2/5 Lös med hjälp av grafen ekvationen. a) –2/3x + 2/5 = 2/5 b) –2/3x + 2/5 = 0 c) –2/3x + 2/5 = 4/5
1046
Lös ekvationen 2x – 2 = 4 grafiskt.
1049
Inez, som bor granne med en bensinstation, rullar med tom tank in på macken med 2 tjugor. Hon köper bensin för dem. Bensinen kostar 15 kr per liter. a) Formulera en funktion för kostnaden att köpa bensin. b) Ställ upp en ekvation och ta reda på, genom att lösa ekvationen, hur mycket bensin Inez får för sina tjugor. c) Använd den funktion som fanns i uppgiften ovan för att bestämma hur långt Inez kan köra nu? Kommer hon fram och tillbaka till Abbe eller måste hon bli kvar hos Abbe?
HAR DU FÖRSTÅTT?
1 2 3
Diskutera med någon/några kompisar eller med dig själv:
5 6
1. Vad innebär det att lösa en ekvation? 2. Beskriv med egna ord vad du gör när du löser ekvationen 5 = x + 2 grafiskt.
r äta l i n j e n
k apitel
1 ;
r äta l i n j e n
41
Teori och exempel
Har du förstått?
Tydliga teorigenomgångar med många lösta exempel.
Med jämna mellanrum får du testa din förståelse för det delavsnitt som har behandlats, oftast utan att göra några invecklade beräkningar.
Öva I behandlar begrepp och procedur, medan Öva II behandlar flera förmågor.
inledning
3
Förmågor I det övergripande syftet i ämnesplanen i matematik beskrivs 6 olika matematiska förmågor som du ska få träna på. Varje kurs har sedan ett Centralt innehåll, t.ex. algebra och funktioner. För att undervisningen ska bli varierad och för att du ska få ett rikt matematiskt kunnande, har de olika uppgifterna i boken märkts med vilken förmåga du avser att träna.
Forskare i Sverige och internationellt anser att här finns den enskilt största förbättringspotentialen för matematikundervisningen, att gå från en procedurbetonad matematik till en mer mångsidig. 1. Begreppsförmåga 2. Procedurförmåga 3. Problemlösningsförmåga 4. Modelleringsförmåga 5. Resonemangsförmåga 6. Kommunikationsförmåga
AVSNITTSKOLL 1:4 Detta skall du förstå innan du fortsätter med nästa avsnitt. 1 2 3
LIN JÄ RA
Gör en tabell samt plotta grafen till y = 2x + 2. Lös därefter ekvationen 2x + 2 = 4.
EK VAT ION
AK TI VI TE
Rita grafen 2x + y = 4. Lös därefter ur grafen ekvationen 4 – 2x = 2 Lös ekvationen 3x – 9 = 0 grafiskt.
SS YS TE M
T
Mät upp en
4
Lös ekvationen 4x – 8 = –6
5
Liam har just klippt sig och det ser ut som … Han vill snabbt ha längre hår igen och bestämmer sig för att låta det växa. Han mäter varje kväll och märker att håret växer enligt formeln: y = 2x + 2 Där y = hårlängden i cm x = tiden i månader
sträcka
Mät upp en sträcka där det är fritt att etc.) Mät läng gå. (Det kan d och bredd vara bredden på era skor. (Starta på var av en korridor, Låt två pers sin sida.) De ett klassrum oner gå mot ene ska steg tådelen i näst varandra på a med fotlä a steg), den denna sträc ngd (gå rakt ka. andre ska gå skobredd). fram och sätta stega med skob De ska ta varje klacken mot redd (på tväre steg samtidig hjälp av skol n med skob t så att de tar ängd/skobred redd mot lika d beräkna var många steg Stämde det? . Försök att de kommer i förväg med att mötas och lägg där ut en markering .
Hur länge måste han vänta innan håret har fått den acceptabla längden av 7 cm?
1 2 3 5 6
UTMANING 1:5
Oskar cyklar till gymmet för att träna. Det är 20 km landsväg och Oskar klarar av att hålla 40 km/h. Oskars pappa Jörgen orkade inte cykla utan tog bilen till samma gym. De startade samtidigt. Hur länge hinner han värma upp på testcykeln innan Oskar kommer om han kan köra i 80 km/h på landsvägen?
1 2 3
BLANDADE ÖVNINGAR 3 ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR 1
42
k apitel
1 ;
254
K APiTel
7 ;
Skriv som en potens. b) 2–3 ∙ 162 a) 23 ∙ 42 ∙ 81 c) 27 ∙ 32 ∙ 729
3
Skriv om följande potenser till bråktal. b) 5–3 a) 4–2 d) 5–2 ∙ 3/22 c) 10–4 ∙ 102
72 ⋅ 2−x 32 = 2 50 5 5 Beräkna värdet av 2/x3 ∙ 5/x4 då x = 3 AKTiViT
eTer o Ch Pro Ble
MlöSni
ngAr
4
Bestäm x då
6
Uttryck hälften av 108 i potensform.
7
Vilket rationellt tal motsvaras av talet 0,42424242...
8
Föreslå ett rationellt tal som är en tredjedel av 5/18
9
Avsnittskoll, Utmaning, och Aktiviteter Med jämna mellanrum dyker ”Avsnittskoll” upp som testar om du behärskar att lösa grundläggande uppgifter på det senaste delavsnittet. Det dyker även upp en och annan ”Utmaning” med jämna mellanrum som tränar dig i problemlösning. En ”Aktivitet” är en större och friare uppgift där många av de matematiska förmågorna kan tränas. De olika Aktiviteterna hittar du i slutet av boken.
10
6 ⋅ 21 3,5
b)
1,28 0,32
d)
100 ⋅ 0,081 8,1
Lös ekvationerna. 3x 4 − 2 = 22 b) a) 3x3 = 81 2 c) 5x5 – 64 = 96
1
1
b) 729 4 ⋅ 729 4
Förenkla a) (x + 8)(x – 8) b) 8(x + 0,5)(x – 0,5) c) 6(x – 2)(2 + x)
14
Föreslå en division som innehåller två rötter där kvoten blir 12
15
Beräkna utan miniräknare. 3
a) 25 2 16
5
4
c) 1 000 3
b) 4 2 ( x − 1)( x + 1) Förenkla (1 − x )(1 + x )
17
Summan av kvadraten och roten på ett tal är lika stor som kvadraten på talet adderat med talet 2. Vilket är talet?
18
Förenkla b) (– 3x + 1)2 a) (1 + 0,5x)2 c) 4(– 2x – 2)2 d) (x2 – 2)2 e) (2x – 3)2 + (x + 2)2
19
Skriv om uttrycken till kvadratiska uttryck. b) 8x2 + 32x + 32 a) y2 – 10y + 25 d) 25/4 – 15x + 9x2 c) 4x2 – 12x + 9
20
Föreslå två tal a och b som har egenskapen att (a – b)2 = 16
21
Lös ekvationen (x + 1)2 = (2x + 3)2
2,4 0,6
ÖVA 2 FLER FÖRMÅGOR 11
1
=4
13
Beräkna utan miniräknare
c)
4
1 2
( )
c) x 5
Föreslå ett rationellt tal som fyra gånger så stort som 3/7
a)
Förenkla och beräkna. 5
c) (2,53)2
2
r äta l i n j e n
12
a) 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2
Beräkna värdet av b) 23 ∙ 32 ∙ 51 a) 1,13
Kapitelprov
k apitel
3 ;
aritme tik och algebr a
117
Sammanfattning, Blandade övningar och Problemlösning I slutet av varje kapitel finns en sammanfattning samt blandade övningar. Sist i boken hittar du problemlösningsuppgifter av olika karaktär som ger dig en extra utmaning i problemlösning.
4
inledning
Uppgifter för karaktärsämnen Kapitel 6 innehåller uppgifter med speciell anknytning till yrkesprogrammens inriktning.
I detta kapitel finns uppgifter som täcker in alla delar av kursen till alla tolv program. Det finns ca två uppslag per program.
2.
NATURBRUKSPROGRAMMET
Räta linjen 1.
Abel, Aciz och Adele sålde gårdsförpackade stekar enligt priser enligt diagrammet till höger. a) Hur mycket hade de fått in efter att ha sålt 6 st? b) Vilka inkomster hade de haft om de sålt 10 st? c) Hur många hade de behövt sälja för att få in 800 kr? d) Vad innebär lutningen på linjen?
Abel, Aciz och Adele sålde gårdsförpackade stekar enligt priser enligt diagrammet till höger. e) Hur mycket hade de fått in efter att ha sålt 6 st? f) Vilka inkomster hade de haft om de sålt 10 st? g) Hur många hade de behövt sälja för att få in 800 kr? h) Vad innebär lutningen på linjen?
y
Antal (st)
10 9 8 7
D
6
C
B
5
3.
4 3 2 1
Försäljningsvärde (kr)
A
0 0
y
200
400
600
800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000 x
Föräsljningsvärde (kr)
2 000 1 800
Vara
Antal
Total inkomst
1 200
B
Gris
4
1 600
1 000
C
Filé och stekkött
2
5 500
Nöt framdel
3
6 600
Nöt bakdel
4
8 800
1 400
800 600
Det finns massor av vildsvin i omgivningen och gården får ett erbjudande att under en kväll lära ut styckning av gris till sina kunder. Gården ska få 6 000 i fast summa + att de köper sina grislådor för halva ordinarie priset (de har ju gjort jobbet själva). Alternativt så ska de göra nöt bakdel som han redan har en beställning på. Det tar 1 timme att göra en nötlåda och han vill ju tjäna mer på grislådorna om han ska satsa på kvällen. Hur många timmar och hur många grislådor måste de minst göra för att det ska löna sig med vildsvinskvällen? Utred med en graf.
6.
Hur hade det varit om de istället hade velat göra nöt framdel inför älgjakten? Vi tänker oss att det tar lika lång tid för alla kursdeltagare att göra en framdelslåda tillsammans som det tar för gårdens slaktare att göra en bakdelslåda. Utred med en graf.
7.
När familjen Kvittén kommer hem efter att handlat på gårdsslakteriet åt hela släkten tittar de på kvittot och ser att det står att de köpt 6 lådor för 6 000 kronor. De köpte grislådor och nöt framdelslådor, men hur många av varje låda köpte de? a) Rita en graf för att lösa problemet. b) Kan du lösa problemet genom att bara räkna? Hur?
D
Antal (st)
A 0
6 ;
5.
400
0
k apitel
Gården har nu bestämt sig för att ha inkomst på y-axeln och antal på x-axeln. Man prickar in antal sålda lådor och deras inkomst på några olika köttlådor. a) Men vad visar (betyder) k-värdet om m-värdet är 0? b) Dessutom drar man en rät linje från origo genom det inprickade värdet. Vad betyder lutningen (k-värdet) på linjen? c) Skapa linjer för följande varor:
Linjära ekvationssystem
1 600
200
234
Gården har naturbetande köttdjur och ett eget gårdsslakteri. Man har nu bestämt sig för att sälja köttlådor med detta goda kött. För att få bättre kontroll på försäljningen vill man göra diagram av försäljningen. Om man prickar in varje dag vilken inkomst man haft på respektive låda samt hur många lådor man sålt så borde man få koll på vad som går bra och vilka produkter som man tjänar bäst på. Men ska inkomst eller antal stå på x-axeln respektive y-axeln? a) Vad säger de olika varianterna? Vilka funktioner bildar de? b) Vilka värden ska vara på axlarna? Vad ska de ha för definitionsmängd och vilken värdemängd är lämpligt?
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
4.
Gården har just köpt delar till en av traktorerna för 15 000. Hur många av respektive låda måste de sälja då? Kan du läsa ut det ur diagrammet? Kan du beräkna det?
y r k e s r e l at e r a d e u p p g i f t e r
k apitel
6 ;
y r k e s r e l at e r a d e u p p g i f t e r
235
Till läraren:
Exponent 2a som ett heltäckande digitalt läromedel Aktuellt innehåll med hög kvalitet Med Exponent 2a får du ett digitalt läromedel av hög kvalitet med innehåll som alltid är aktuellt. Här behandlas många olika uppgiftstyper där alla de sex matematiska förmågorna som beskrivs i ämnesplanen tränas. Varje avsnitt avslutas med en sammanfattning, blandade övningar och problemlösningsuppgifter av olika karaktär. Många uppgifter är kopplade till karaktärsämnena i samtliga tolv yrkesprogram. Återkommande kunskapskontroller ger eleverna repetition och bra träning inför nationella prov.
Lärarstöd Exponent 2a innehåller ett fylligt lärarmaterial med övningar, prov, timplanering och simuleringar som kan användas vid genomgångar samt facit till uppgifterna.
Flexibel struktur ger möjlighet till individualisering I Exponent 2a har du som lärare stor flexibilitet att lägga upp undervisningen. Du kan enkelt anpassa innehållet genom att välja de avsnitt du önskar använda, och komplettera med eget material. Du kan sedan dela din egenskapade översikt med dina elever, vilket ger stora möjligheter till individualisering.
inledning
5
INNEHÅLL 1. RÄTA LINJEN 10
2.1 Grafisk lösning av ekvationssystem 67
1.0 Repetition Funktioner 11
2.2 Antal lösningar till linjära ekvationssystem, 71
Fördiagnos Räta linjen, 12
1.1 Funktionsbegreppet 13 Funktioner, 13
1.2 Definitions- och värdemängd 17 Avsnittskoll 1:1, 19
1.3 Linjära funktioner 20 Räta linjen i k-form, 22 Parallella linjer, 24 Proportionalitet, 25 Allmän form, 28 Olika form – ser de lika ut?, 29 Avsnittskoll 1:2, 31
1.4 Problemlösning med linjära funktioner 32 Avsnittskoll 1:3, 36
1.5 Funktion/ekvation 37 Funktion, 37 Ekvation, 38 Avsnittskoll 1:4, 40
1.6 Lutning 41 Hur konstrueras en trappa?, 41 Lutningen för en rät linje, 44 Avsnittskoll 1:5, 52
2.3 Algebraisk lösning av ekvationssystem 76 Substitutionsmetoden, 76 Additionsmetoden, 77 Avsnittskoll 2:2, 81
2.4 Ekvationssystem med fler obekanta än två 82 Avsnittskoll 2:3, 84 Sammanfattning, 85
2.5 Repetition Linjära ekvationssystem 85 Blandade övningar 2, 85
3. ARITMETIK OCH ALGEBRA 88 3.0 Repetition Aritmetik och Algebra 89 Fördiagnos Aritmetik och Algebra, 90
3.1 Potenser 91 Multiplikation med potenser med samma bas, 92 Division med potenser med samma bas, 93 Upphöjning av potenser, 95
1.7 Ekvationen för en rät linje 53
Avsnittskoll 3:1, 96
Enpunktsformeln, 55 Avsnittskoll 1:6, 57 Sammanfattning, 58
3.2 Potenser, rötter och ekvationer med rationella exponenter 97
1.8 Repetition Räta linjen, 59 Blandade övningar 1, 60
2. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM 64 2.0 Repetition Ekvationer 65 Fördiagnos Linjära ekvationssystem, 66
6
Fri variabel , 73 Avsnittskoll 2:1, 75
innehåll
Samband mellan rötter och potenser, 98 Rötter, 99 Beräkningar med rötter, 100 Potensekvationer med heltalsexponenter, 101 Potensekvationer med rationella exponenter, 103 Avsnittskoll 3:2, 105
3.3 Multiplikation av parentesuttryck, konjugat- och kvadreringsreglerna 106
Utökade distributiva lagen, 109 Konjugatregeln, 110 Kvadreringsreglerna, 111 Avsnittskoll 3:3, 112 Sammanfattning, 113
3.4 Repetition Aritmetik och Algebra 114 Blandade övningar 3, 115
4.3 Exponentialfunktioner 156 Exponentialekvationer, 159 Avsnittskoll 4:7, 161 Sammanfattning, 162
4.4 Repetition Icke linjära funktioner och ekvationer 163 Blandade övningar 4, 165
4. ICKE LINJÄRA FUNKTIONER OCH EKVATIONER 116
5. STATISTIK OCH MODELLERING 166
4.0 Repetition Potenser och Ekvationer 117
Fördiagnos Statistik och Modellering, 168
Fördiagnos Icke linjära funktioner och ekvationer, 118
5.1 Lådagram 169
4.1 Andragradsekvationer 119
Percentiler, 173
Bestämning av p och q i andragradsekvationer, 119 Avsnittskoll 4:1, 121 Andragradsekvationer skrivna på formen x²+ q = 0, 122 Andragradsekvationer med parentes, 123 Avsnittskoll 4:2, 125 Tre typer av andragradsekvationer, 126 Andragradsekvationer som har två lösningar, 126 Andragradsekvationer som har endast en lösning, 128 Andragradsekvationer som saknar lösning, 130 Avsnittskoll 4:3, 131 Faktorisering och nollprodukt, 132 Andragradsekvationer skrivna på formen x2 + px = 0, 134 Faktoriserade ekvationer, 135 Avsnittskoll 4:4, 136 Lösning av fullständig andragradsekvation, 137 Formel för lösning av andragradsekvationer, 141 Avsnittskoll 4:5, 143
Avsnittskoll 5:1, 174
4.2 Potensekvationer 144
Avsnittskoll 5:6, 191
Lösa potensekvationer med grafritande räknare eller dator, 147 Potensekvationer med positiva exponenter som inte är heltal, 149 Potensfunktioner med negativa exponenter, 151 Avsnittskoll 4:6, 155
5.7 Modellering 192
5.0 Repetition Statistik 167
5.2 Standardavvikelse 175 Avsnittskoll 5:2, 177
5.3 Normalfördelning, 178 Avsnittskoll 5:3, 180
5.4 Korrelation, Signifikans och Kausalitet 181 Korrelation, 181 Signifikans, 182 Kausalitet, 183 Avsnittskoll 5:4, 184
5.5 Regressionsanalys 185 Avsnittskoll 5:5, 188
5.6 Statistiska undersökningar 189
Sammanfattning, 194
5.8 Repetition Statistik och Modellering 196 Blandade övningar 5, 197
innehåll
7
6. YRKESRELATERADE UPPGIFTER 199
7. AKTIVITETER OCH PROBLEMLÖSNINGAR 248
Barn- och fritidsprogrammet, 200 Bygg- och anläggningsprogrammet, 204
Repetition Aktivitet inom område Taluppfattning och aritmetik 249
El- och energiprogrammet, 208
Aktivitet Racerbilspelet, 250
Fordons- och transportprogrammet, 211
Aktivitet Att göra reklam, 250
Handels- och administrationsprogrammet, 216
Problemlösning Räta linjen, 251
Hantverksprogrammet, 220
Aktivitet Mät upp en sträcka, 252
Hotell- och turismprogrammet, 224
Problemlösning Linjära ekvationssystem, 253
Industritekniska programmet, 228 Naturbruksprogrammet, 232 Restaurang- och livsmedelsprogrammet, 236 VVS- och fastighetsprogrammet, 240 Vård- och omsorgsprogrammet, 244
Aktivitet Klossar och formler, 254 Aktivitet Stort och smått, 254 Problemlösning Aritmetik och Algebra, 255 Aktivitet Sammanlagda area hos heltalskvadrater, 256 Aktivitet Andragradsfunktioner, 256 Problemlösning Icke linjära funktioner och ekvationer, 257 Aktivitet Muggspelet, 258 Problemlösning Statistik och modellering, 259
Facit 260 Register, 299 Bildförteckning, 300
8
innehåll
Kapitel 1
RÄTA LINJEN
Om funktionen beskrivs med en rät linje i ett koordinatsystem så säger man att funktionen följer ”Räta linjens ekvation”. Det som kännetecknar sådana funktioner är att de ökar eller minskar lika mycket för varje ökning av x. I detta kapitel kommer du att titta närmare på sådana funktioner och lära dig metoder som kan hjälpa dig att lösa olika problem.
10
k apitel
1 ;
r äta l i n j e n
R EP ET ER A
1.0 REPETITION FUNKTIONER y
Koordinatsystem En punkts läge anges först av x-värdet (3), sedan y-värdet (2).
3
(3,2)
2 1
–3
–2
1
–1
2
x
3
–1
Origo (0,0)
–2 –3
Med hjälp av en värdetabell, kan man rita funktionens graf. T.ex. y = x – 1
y 3
x
y = x –1
–1
–2
(–1, –2)
0
–1
(0, –1)
2
1
Koordinater (x, y)
(2, 1)
2 1
–3
–2
1
–1
2
x
3
–1 –2 –3
En funktion är ett samband mellan variabler t.ex. x och y. Varje x-värde motsvaras av endast ett y-värde.
Grafen till en proportionalitet går genom (0, 0) y och är en rät linje.
x y x
Definitionsmängd De x-värden som är tillåtna att sätta in i funktionen y = f(x). Värdemängd De y-värden som resulteras av funktionen y = f(x). En rät linjes funktion på k-form y = kx + m k = riktningskoefficienten m = linjens skärning med y-axeln
y
y
Exponentialfunktionen y = 30 ∙ 1,65x anger en exponentiell ökning och har följande graf: y
x
y
x y
x
y
x
Riktningskoefficienten Förändringi y-led Δy k = = Förändringi x-led Δx
Exponentialfunktionen y = 100 ∙ 0,45x anger en exponentiell minskning och har följande graf:
y
x
x
x k apitel
1 ;
r äta l i n j e n
11
FÖRDIAGNOS
Fördiagnos Räta linjen
Kommer du ihåg det här från Matematik kurs 1a? 1. En funktion definieras som f(x) = 3x – 2. Bestäm: a) f(1) b) f(3) c) f(–2) 2. Bestäm k och m för funktionerna: a) f(x) = –4x + 3 b) f(x) = 5x – 3 3. Rita en värdetabell för funktionen f(x) = 2x –
1 2
4. Sätt ut följande punkter i ett koordinatsystem: (4, 3) (0, 5) (3, –1) (2, 0) (–3, 3) (–2, –3). a) Vilken punkt ligger på x-axeln? b) Vilken punkt ligger på y-axeln? c) Vilka punkter ligger ovanför x-axeln? d) Vilka punkter ligger under x-axeln? e) Vilka punkter ligger till höger om y-axeln? 5. Vilken är linjens ekvation om lutningen k = 3 och skärningen med y-axeln är – 6? A: y = 6x – 3 B: y = 3x + 6 C: y = –6x + 3 D: y = 3x – 6 6. Vad har en graf till en proportionell funktion för egenskaper?
Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna 1–6.
12
k apitel
1 ;
r äta l i n j e n
EX
Teorigenomgång
1.1 FUNKTIONSBEGREPPET Centralt innehåll • Räta linjens ekvation • Begreppet funktion, definitions- och värdemängd • Tillämpningar av och egenskaper hos linjära funktioner.
Funktioner Inom matematiken är en funktion en regel som beskriver hur ett invärde genererar ett visst utvärde. Ofta kan detta beräknas med hjälp av en matematisk formel. En mycket viktig egenskap hos funktioner är att ett visst invärde alltid genererar samma utvärde. Vi kan därför se en funktion på samma sätt som en maskin, en maskin som varje gång levererar rätt utvärde så fort som man stoppar in ett invärde. De invärdena och utvärdena kallas för variabler. Invärdena kan vi välja själva så de kallas oberoende variabler. Har vi då en funktion så är ju redan regeln färdig. Därför kan vi räkna fram vårt utvärde eller beroende variabel.
EXEMPEL
Vattenkran När man vill ha vatten ur en vattenkran lyfter man på kranen så att det kommer ut vatten. Ju mer man lyfter, desto mer vatten kommer det. Det är den funktion man vill ha av en vattenkran. Det finns ett samband mellan hur mycket man lyft på kranen och hur mycket vatten som kommer ut. Vi skulle kunna beskriva det genom följande figur: x
f
y = f(x)
Beskriver vi samma sak med ett flödesschema: x
2
3
f(x)
f(x)
f(2) f(3) k apitel
1 ;
r äta l i n j e n
13
Vi ser att lyftningen motsvaras av x och att vattenflödet är effekten y. Vi kan tänka att funktionen f(x) är samma sak som hur mycket vatten som kommer ut när jag vrider x mycket på kranen. f(x) x=2
y = f(2)
Eller för en visst given lyftning, x, så blir det ett visst vattenflöde, y.
Vi skulle kunna beskriva det via en tabell, en graf, en formel, en avbildning där man på en linje ser hur mycket man lyft och ser på en annan linje hur mycket vatten som flödar. Värdetabell för vilket vattenflöde som skapas vid en viss lyftning på vattenkranen. Lyfthöjd på kran cm
Vattenflöde liter/minut
0
0
1
3
2
6
3
9
4
12
5
15
Om vi vill se vad som händer när vi lyfter på kranen kan vi titta på hur det avbildas på två tallinjer. Från den översta som beskriver hur mycket vi lyfter på vår kran till den nedre som visar hur mycket vatten som flödar. 0
1
2
3
4
5 Lyfthöjd (cm)
Flöde (l/min) 0
14
k apitel
1 ;
r äta l i n j e n
3
6
9
12
15
Oftast beskriver vi det med dessa två axlar i ett koordinatsystem istället. Då blir varje pil som binder ihop de två olika axlarna istället en punkt med skärningen utgående från x-axelns respektive y-axelns värden.
y
Vattenflöde (l/min)
20
x
15
x 10
x x
5
x Lyfthöjd (cm) 0
x 0
y
Vi har ju inte bara vissa lyfthöjder i hack utan lyfter vi en aning mer på kranen så kommer det lite mer vatten. Vi kan därför binda samman alla punkter med en linje så vi kan läsa av även värden mellan våra mätvärden.
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Vattenflöde (l/min)
20
x
15
x 10
x x
5
x Lyfthöjd (cm) 0
x 0
Hur mycket vatten flödar det om man lyfter 2,5 cm?
y
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Vattenflöde (l/min)
20
x
15
x 10
x
7,5 l/min x 5
x Lyfthöjd (cm) 0
x 0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
2,5 cm
k apitel
1 ;
r äta l i n j e n
15
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR 1001
1002
När man sätter på ugnen så finns det en skala som visar vilken temperatur ugnen ska ha när den är varm. På min ugn visar det att det är maxtemperatur 270° C och då har man vridit 3 varv (270 graders vridning) 4 på knappen. Gör en tabell som visar vilken temperatur det kommer att bli beroende på hur mycket du vridit. Pricka in det i en graf och dra linjen som visar sambandet mellan temperatur och din vridning. Beskriv med egna ord funktionen. När Evin föddes så vägde hon 4 kg. När hon var 14 dagar så ökade hon sin vikt med 50 g per dag. Tänk om hon hade växt så hela tiden från första dagen och sen fortsatt så. Gör en tabell som visa Evins vikt beroende på hur gammal hon är. Pricka även in värdena i en graf samt dra linjen som visar sambandet mellan Evins vikt och hennes ålder. Varför går inte linjen genom origo? (x = 0 och y = 0) Och hur tung kommer hon att bli när hon är 17 år = 17 · 365 dagar?
HAR DU FÖRSTÅTT?
Diskutera med någon/några kompisar eller med dig själv och förklara det med egna ord: Vad är en funktion? Vad beskrivs på x-axeln? Vad beskrivs på y-axeln? Hur läser man av funktionen på grafen?
16
k apitel
1 ;
1003
r äta l i n j e n
1
5 6
Mobilabonnemang kostar 79 kr per månad. Gör en tabell som visar kostnaden för abonnemanget under ett år samt pricka in värdena i en graf. Beskriv med egna ord funktionen.
1004
Att hyra en film på nätet kostar 49 kr per film. Pricka in kostnaden att hyra flera filmer i en graf. Beskriv med egna ord funktionen.
1005
Cia har börjat träna på gym. Det kostar 50 kr per gång. Rita en graf som visa kostnaden beroende på hur många gånger hon tränar.
EX
UTMANING 1:1
Alysa går hem från skolan varje dag. Hon går alltid med samma hastighet för hon vill få lite vardagsmotion. Det är 3 km och tar alltid 30 minuter. Hennes kille Edvin tänker gå och möta henne. Han går hemifrån Alysas hem precis när Alysa börjar gå (hon skickar ett sms). Han är lite långsammare men hans tempo är 3 km på 40 minuter. Rita in i samma graf de bådas promenader. När och var kommer de att mötas?
1 2 3
Simulering
1.2 DEFINITIONS- OCH VÄRDEMÄNGD EXEMPEL
Begränsningar hos en vattenkran Inom vilka gränser kan man lyfta kranen i exemplet vi tittat på tidigare? Det går inte att stänga den till mindre än 0 cm för då finns det inget mer att stänga! Vi kan inte öppna kranen mer än tills den är helt öppen. Det sker vid 5 cm. Invärdena är begränsade mellan 0 och 5 cm. Man kan säga att x är större än eller lika med 0 och mindre än eller lika med 5 cm. Detta kan skrivas med matematiska tecken: 0 ≤ x ≤ 5 cm. De tal som finns i detta intervall kallas funktionens definitionsmängd. 0 ≤ x ≤ 5 y
Lyfthöjd (cm) 0
1
2
3
4
5
6
7
8
20
x
15 l/min
Den mängd vatten som kommer ut är beroende av hur mycket kranen är öppen, vattenflödet varierar mellan 0 och 15 l/min. Detta kallas funktionens värdemängd, 0 ≤ y ≤15 l/minut, avläses på y-axeln.
15
10
5
Definitionsmängden avbildas på x-axeln. Värdemängden avbildas på y-axeln.
0 l/min
0
Vattenhastigheten i liter per minut är 3 gånger antalet cm vi höjt vattenkranen. Det är vår funktion. Vattenflödet = 3 · Lyfthöjden Uttryckt med matematisk terminologi bildas en formel: y = 3x Vi kan beskriva vårt tillåtna område i grafen. Ritar vi in de gränser vi har för x-värdena (vår definitionsmängd) samt de möjliga utvärdena (vår värdemängd) får vi följande begränsade graf. Vi ritar det som en linje med slutpunkterna som ringar. Om starteller slutvärdet kan nås och därmed tillhör mängden ritar vi en fylld ring men om vi inte ska ha med slutvärdet i vår mängd ritar vi en ofylld ring.
y
Vattenflöde
Definitionsmängd Värdemängd
20
15
10
5
Lyfthöjd (cm) 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
k apitel
1 ;
r äta l i n j e n
17
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR 1006
Gaspedalen på en bil kan tryckas ned maximalt 8 cm. Då kan det sprutas in bränsle upp till 5 liter per mil. Bestäm definitionsmängd och värdemängd. Beskriv funktionen med ord. Skissa en graf. Här tar vi inte hänsyn till tomgången.
1007
Temperaturskalan på en ugn går från 0 till 275 °C då man vrider knappen mellan 0 och 275 grader. Bestäm definitionsmängd och värdemängd. Beskriv funktionen med ord. Skissa en graf.
ÖVA 2 FLER FÖRMÅGOR 1008
Vid 10 på kvällen blir du fruktansvärt glassugen. Du tar upp ett paket glass ur frysen som har temperaturen –18 °C och ställer det på diskbänken. I köket är det 20 °C. Det ringer i telefonen och du glömmer bort din glass och går och lägger dig och vaknar inte förrän det är dags för frukost vid 7 på morgonen. Beskriv med ord hur temperaturen på glassen ändrar sig under natten allt eftersom tiden går. Bestäm definitionsmängd och värdemängd för din tänkta funktion. (Tips från coachen: Temperaturen beror på tiden...)
Funktioner kan beskrivas med: • Diagram • Graf • Formel
18
k apitel
1 ;
r äta l i n j e n
1009
Undersök med din miniräknare vilka tal som går att slå in och vad man får för svar om man använder x 2. Bestäm definitionsmängd och värdemängd.
1010
Undersök med din miniräknare vilka tal som går att slå in och vad man får för svar om man använder x . Bestäm definitionsmängd och värdemängd. HAR DU FÖRSTÅTT?
Diskutera med någon/några kompisar eller med dig själv: 1. Vad beskriver definitionsmängden? Var i en graf finns den beskriven? 2. Vad beskriver värdemängden? Var i en graf finns den beskriven? 3. Hur gör man för att beskriva att mängderna i grafen är begränsade?
1 2
6
AVSNITTSKOLL 1:1 Detta skall du förstå innan du fortsätter med nästa avsnitt.
1 David cyklar till skolan varje dag. Det är 5 km långt till skolan och det tar 15 minuter. Rita en graf som beskriver Davids cyklande till skolan om han cyklar med samma hastighet hela tiden. Bestäm även definitionsmängden och värdemängden på hans cyklande. 2 Ella som är 6 år dricker saft med sugrör. Hon försöker dricka hela tiden och samtidigt få saften att vara så länge som möjligt. Sakta suger hon i sig saften, samma mängd vid varje tidpunkt. När hon började hade hon en dl saft och nu när den tog slut så har det gått två minuter. Det är hennes personliga rekord på hur lång tid det kan ta! Rita Ellas saftdrickande i en graf där mängden saft hon har kvar är en funktion av tiden. Bestäm även definitions- och värdemängd.
3 En linjär funktion bestäms av att definitionsmängden är – 1 ≤ x ≤ 3 och värdemängden är 1 ≤ y ≤ 5. Funktionen är linjär och ökande. Rita funktionen.
UTMANING 1:2
1 2
Vad händer när man delar ett tal med 0? Vad blir 5/0? Undersök en kvot genom att systematiskt ändra nämnaren till mindre och mindre tal. Ta t.ex. 5/1, 5/0,1, 5/0,01 osv. Vad händer när man kommer till 0? Vad händer om man låter nämnaren vara ett negativt tal som närmar sig 0?
4 5
Ord och begrepp Koll på avsnittet
k apitel
1 ;
r äta l i n j e n
19
Kapitel 5
STATISTIK OCH MODELLERING
I detta kapitel kommer ni bland annat jobba med olika statistiska underökningar och se hur man kan presentera de med hjälp av lådagram. Ni kommer även undersöka vad standardavvikelse och normalfördelning är och lära er begreppen korrelation, signifikans, kausalitet och regressionsanalys.
R EP ET ER A
5.0 REPETITION STATISTIK Medelvärde:
Summan av alla observationer Antal observationer
Median: Den observation som förekommer oftast. Variationsbredd: Differensen mellan det största och det minsta värdet. Kvartilavstånd: Differensen mellan övre kvartil Q3 och nedre kvartilen Q1. Nedre kvartil Q1: Medianen för de tal som finns till vänster om medianen för alla tal. Medianen Q2: Medianen för alla tal. Övre kvartil Q3: Medianen för de tal som finns till höger om medianen för alla tal. 76 78 78 79 80 80 81 81 82 83 84 85 87 90 94 Nedre kvartil Q1
Median Q2
Övre kvartil Q3
Lådagram: En typ av diagram där man delar in observationerna i 4 bitar om 25 % vardera. Minsta värde
Nedre kvartil
Median
Övre kvartil
Största värde
0%
25 %
50 %
75 %
100 %
En stickprovsundersökning kan ske på olika sätt: 1. Obundet slumpmässigt urval innebär att varje individ i undersökningen väljs helt slumpmässigt. 2. Systematiskt urval innebär att till exempel var tionde person väljs från en lista på hela populationen. Om listan är sorterad efter till exempel ålder får vi en spridning i urvalet. 3. Stratifierat urval innebär att hela populationen delas upp i sorterade delpopulationer till exempel efter ålder och sedan görs ett obundet slumpmässigt urval. Urvalet kan vara proportionellt mot delpopulationens storlek. Några så kallade felkällor när vi utför en undersökning kan vara: 1. Bortfall är de som inte svarar av olika anledningar. 2. Mätfel kan till exempel vara frågor som är otydliga. 3. Urvalsfel är att gruppen vi frågar kanske inte är representativ för hela populationen. Signifikans: Ett kvantitativt mått på hur väl ett värde uträknat från ett stickprov överensstämmer med det värde som är det troligaste värdet. Korrelation: Då det finns ett samband mellan två faktorer så säger vi att dessa faktorer korrelerar. Kausalitet: Ett orsakssamband mellan två korrelerade faktorer där den ena direkt påverkar den andra. k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
167
FÖRDIAGNOS
Fördiagnos Statistik
Kommer du ihåg det här från Matematik kurs 1a? 1. Vilket medelvärde har talen a) 10, 20 och 30 b) 2, 3,5 och 6 c) 2, 3, 4, 8, 10, 11, 11, 12, 13 och 22 2. Bestäm medianen till talen a) 1, 7 och 13 b) 2, 8, 5 och 7 c) 4, 8, 10, 2, 3 och 22 3. Ge ett exempel på tre tal som har samma medelvärde och median. 4. Vid en bilresa som tar 2,5 timmar är medelhastigheten 60 km/h första 90 minuterna och 80 km/h andra timmen. Hur lång är resan? 5. Bortfallet i en statistisk undersökning är 2%. De som svarade är 980 stycken. Hur många tillfrågades i undersökningen? 6. Varför är det fel att bara fråga de som röker vad de tycker om rökförbudet på offentliga platser? 7. Ge något exempel på ett mätfel vid en statistisk undersökning. 8. Fyll a, b och c så att det råder en korrelation mellan mätvärdena (0,0);(1,2);(2,a);(b,8);(10,c) 9. Är det sant att två korrelerade faktorer där den ena påverkar den andra kallas för en kausalitet? 10. Är det sant att om ett värde avviker mycket från det troligaste värdet kallas det för signifikant?
Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna 1–10.
168
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
Teorigenomgång
5.1 LÅDAGRAM Centralt innehåll • L ägesmått och spridningsmått, inklusive percentiler och standardavvikelse, samt digitala metoder för att bestämma dessa. • Begreppet normalfördelning och egenskaper hos normalfördelat material. Metoder för att göra enklare beräkningar på normalfördelat material. • Tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer. Utvärdering av matematiska modellers egenskaper och begränsningar.
I ett statistiskt materiel kan vi bestämma medelvärde och median. Dessa mått inom statistiken kallas för lägesmått. Enkelt uttryckt adderar vi alla mätvärden och delar på antalet mätvärden då vi bestämmer medelvärdet och ställer mätvärdena i storleksordning och bestämmer vilket av mätvärdena som är i mitten då vi bestämmer medianen. Ett problem är när vi har ett jämt antal mätvärden då har vi två tal i mitten. Detta löser vi genom att ta medelvärdet på dessa två tal som blir vår median.
EXEMPEL
Beräkna talens medelvärde Har vi talen 1,2,4,4,6,11,12,14,16,19 och 21 så bestämmer vi medelvärdet genom att addera talen och dela med 11 eftersom det är 11 stycken tal: 1+ 2 + 4 + 4 + 6 + 11+ 12 + 14 + 16 + 19 + 21 110 = = 10 11 11 Talens medelvärde är alltså 10 och betecknas x = 10 Svar: Talens medelvärde blir 10.
Medianen bestämmer vi genom att se vilket tal som är i mitten. Talen står i storleksordning så bland talen 1, 2, 4, 4, 6, 11, 12, 14, 16, 19, 21 är talet 11 median. Med hjälp av exemplet ovan inför vi två begrepp. Det första är variationsbredd och innebär skillnaden mellan det största och minsta värdet. I vårt exempel med talen 1, 2, 4, 4, 6, 11, 12, 14, 16, 19 och 21 så är 21 det största värdet och 1 det minsta så variationsbredden är 21 – 1 = 20.
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
169
Det andra begreppet vi ska införa är kvartiler som i princip betyder fjärdedel. Tittar vi på vårt exempel med talen 1, 2, 4, 4, 6, 11, 12, 14, 16, 19, 21 så ser vi att medianen delar talen i två delar. Talen 1, 2, 4, 4, 6 som är mindre än medianen och talen 12, 14, 16, 19, 21 som är större än medianen. Bestämmer vi nu medianen bland de små talen 1, 2, 4, 4, 6 ser vi att den är 4 och bland de stora talen 12, 14, 16, 19, 21 är medianen 16. Medianen bland de små talen kallas för nedre kvartil och medianen bland de stora talen kallas övre kvartil. I vårt exempel är nedre kvartil = 4 och övre kvartil = 16. Skillnaden mellan övre kvartil och nedre kvartil kallas för kvartilavstånd och i vårt exempel blir kvartilavståndet 16 – 4 = 12
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR
ÖVA 2 FLER FÖRMÅGOR
5001
5005
Kan kvartilavståndet i en mätserie vara mindre än variationsbredden?
5006
Bestäm övre och undre kvartil bland talen: a) 3, 5, 6, 7, 8, 9, 22, 26, 33, 36, 41 b) 3, 5, 7, 9, 11 c) 5, 7, 6, 3, 1, 0, 11
5002
5003
5004
170
k apitel
Bestäm medianen bland talen: a) 3, 5, 7, 9, 22 b) 2, 5, 7, 16, 6 c) 5, 7, 6, 3 Bestäm variationsbredden bland talen: a) 1, 3, 5, 7, 9, 22 b) 8, 2, 5, 7, 16, 6 c) 12, 3, 33, 5, 7, 6, 3 I en mataffär vägdes fem vattenmeloner: 1,89 kg 2,01 kg 2,13 kg 2,21 kg 2,31 kg Bestäm variationsbredden. Sju anställda i ett företag hade följande månadslöner: 36 500 kr 33 100 kr 33 500 kr 43 500 kr 37 150 kr 37 450 kr 50 300 kr Bestäm kvartilavståndet.
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
I exempel på sidan 169 och 170 bestämde vi medianen till talet 11, variationsbredden som skillnaden mellan det största och det minsta talet 21 och 1, övre kvartil till talet 16 och undre kvartil till talet 4. Märker vi ut dessa tal på en tallinje får vi: Minsta värde
0
1
2
Nedre kvartil
3 4
Övre kvartil
Median
5
6
7
8
Största värde
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Nu binder vi ihop de tre mellersta strecken så att vi får en låda i mitten. Detta kallas för lådagram. Minsta värde
0
1
2
Nedre kvartil
3 4
Övre kvartil
Median
5
6
7
8
Största värde
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR
ÖVA 2 FLER FÖRMÅGOR
5007
Ahmad studerar ett lådagram och kan då utläsa att minsta värdet är 6, nedre kvartilen är 12, medianen är 20, övre kvartilen är 24 och största värdet är 49. Bestäm: a) variationsbredden b) kvartilavståndet
5010
I ett låddiagram är medianen 50 och kvartilavståndet 35. Fyll i rätt siffror i figuren (ringarna).
5008
Vilket eller vilka av följande värden kan bestämmas genom att studera ett lådagram? a) median b) medelvärde c) kvartilavstånd d) variationsbredd
5011
Rita ett lådagram över mätvärdena: a) 1, 1, 2, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 14, 16 b) 1, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 23, 23, 27 c) 1, 5, 5, 6, 7, 7, 8
5009
Avläs kvartilavståndet och median i lådagrammet nedan. Ålder
0
10
20
30
40
50
60
70
80
År
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
171
Vår talmängd är med nedre kvartil, median och övre kvartil uppdelad i fyra delar därav namnet kvartil. Det här är ett exempel på spridnings mått då det är enkelt att se hur stor spridning mätvärdena har. Ofta betecknar man den nedre kvartilen som Q1, medianen som Q2 och den övre kvartilen som Q3. Skillnaden mellan den övre och den nedre kvartilen kallas för kvartilavståndet och motsvarar 50 % av värdena som befinner sig i mitten av talserien. Kvartilavståndet är ett mått på hur stor spridningen är i närheten av medianen. En bild över mätvärdenas procentuella spridning ges av figuren. Minsta värde
Nedre kvartil
Median
Övre kvartil
Största värde
0%
25 %
50 %
75 %
100 %
I vårt exempel med talen 1, 2, 4, 4, 6, 11, 12, 14, 16, 19, 21 vet vi att medianen är 11 och medelvärdet 10. Talen 7, 7, 8, 8, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13 har också medianen 11 och medelvärdet 10, men är inte alls lika spridda. Motsvarande lådagram visar en tydlig bild av talens spridning som inte median och medelvärdet kan ge. Nedre kvartil
0
1
2
3 4
5
6
7
8
Minsta värde
Övre kvartil
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Median Största värde
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR 5012
172
k apitel
Rita två lådagram med sju tal som har samma median och medelvärde. Variationsbredden är 6 respektive 2.
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
Percentiler Nu har vi delat upp våra mätvärden i fjärdedelar (kvartiler) men vi skulle kunna dela upp våra mätvärden i hundradelar. En sådan uppdelning i hundradelar kallas för uppdelning i percentiler. I vårt exempel motsvarar den nedre kvartilen (Q1), den 25:e percentilen och betecknas P25 (25 % av mätvärdena är mindre än detta värde). Medianen skrivs som P50 och övre kvartilen som P75. Eftersom vårt exempel 1 innehåller så få mätvärden är det lämpligare att använda sig av kvartiler än percentiler. Om en serie består av ett större antal värden som till exempel en undersökning av längden bland flera tusen människor hade användning av percentiler kunnat vara mer användbar.
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR 5013
Antalet mätvärden i mellan P25 och P75 är 32 stycken. Hur många mätvärden innehåller hela undersökningen?
5014
Hur många procent av mätvärdena är större än P25?
5015
Vilka ord saknas i följande meningar? Percentiler delar upp ett statistiskt material i … lika stora delar. Det finns tre kvartiler: nedre kvartil, median och övre kvartil som delar upp det statistiska materialet i … delar.
HAR DU FÖRSTÅTT?
Förklara för en kompis begreppen variationsbredd, kvartiler och percentiler. Beskriv också hur man konstruerar ett lådagram.
k apitel
5 ;
1 2 3 4 5 6
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
173
AVSNITTSKOLL 5:1 Detta skall du förstå innan du fortsätter med nästa avsnitt.
1
Bestäm: a) Median b) Kvartilavstånd c) Variationsbredd d) Q1,Q2 och Q3 i lådagrammet nedan.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
UTMANING 5:1
Rita ett lådagram där kvartilavståndet är hälften av variationsbredden och Q3/Q2 = 1,6
1 2 3 4 5
Träna mera Kapitel 6 Statistik och modellering, uppgift 14 och 15
EX
174
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
5.2 STANDARDAVVIKELSE När vi använder kvartiler för att bearbeta statistiska data sa använder vi spridningen runt medianen. Vi skulle istället kunna använda oss av spridningen runt medelvärdet. Detta spridningsmått kallas för standardavvikelse. Med standardavvikelsen menar vi ett mått på den genomsnittliga avvikelsen från medelvärdet i en serie mätvärden. Ju större standardavvikelsen är, desto större är spridningen bland våra mätvärden. När vi beräknar standardavvikelsen behöver vi lära oss en beräkningsmodell. 1. Beräkna medelvärdet av mätvärdena. 2. Beräkna skillnaden mellan medelvärdet alla mätvärden. Det vill säga alla avvikelser från medelvärdet. 3. Kvadrera alla avvikelser från medelvärdet. 4. Addera alla dessa kvadrater på avvikelser från medelvärdet. 5. Dela denna summa med talet n-1 så får vi det som kallas varians. Talet n-1 är ett mindre än antalet mätvärden. 6. Drar vi roten ur variansen så får vi standardavvikelsen.
Detta verkar lite klurigt så vi följer modellen ovan i ett exempel.
EXEMPEL
Beräkna standardavvikelse Sju elever jämförde resultaten på ett av deras prov. Provresultaten var 32, 32, 31, 31, 29, 28 och 27 poäng. Vi börjar enligt beräkningsmodellen med att bestämma medelvärdet (1). 32 + 32 + 31+ 31+ 29 + 28 + 27 210 = = 30 Medelvärdet blir x = 7 7 Nu gör vi en tabell för att bestämma avvikelser från medelvärdet (2) och kvadrerar alla avvikelser från medelvärdet (3) i vår beräkningsmodell. Provresultat
Avvikelse från medelvärde
Kvadraten på avvikelsen
27
–3
9
28
–2
4
29
–1
1
31
1
1
31
1
1
32
2
4
32
2
4 k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
175
(4) Adderar vi dessa kvadrater på avvikelser från medelvärdet får vi 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 = 24 (5) Delar vi summan med talet n–1(sju mätvärden minus ett ger 6) så får vi 24 = 4 som kallas 6 varians. (6) Nu bestämmer vi standardavvikelsen genom att dra roten ur variansen 4 = 2 Svar: Standardavvikelse är 2.
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR 5016
5018
Variansen vid en statistisk undersökning var 2,25. Hur stor är standardavvikelsen?
Hastighet (km/h)
5017 Använd beräkningsmodellen och
beräkna standardavvikelsen för: a) Resultaten på ett prov med resultaten 32,34,35,36 respektive 38 poäng. b) Vikten på en sorts matbröd som produceras 800, 799, 803, 798, 800, 799, 801, 799, 804, 797 i gram.
HAR DU FÖRSTÅTT?
Förklara för en kompis begreppen varians och standardavvikelse. Beskriv också hur man beräknar standardavvikelse (du kan ta hjälp av beräkningsmodellen men ska förklara de olika stegen).
176
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
Fyll i det som saknas i tabellen och bestäm standardavvikelsen. Medelhastigheten är x = 104 km/h. Avvikelse från medelvärde
Kvadraten på avvikelsen
100 –1 16 0 105
x = 104
1 2 3 4 5 6
Σ =…
AVSNITTSKOLL 5:2 Detta skall du förstå innan du fortsätter med nästa avsnitt. 1 Standardavvikelsen vid en statistisk undersökning var 3. Hur stor är variansen? 2 Skriv i saknade ord i beräkningsmodellen:
1. Beräkna
av mätvärdena.
2. Beräkna
mellan medelvärdet alla mätvärden. Det vill säga alla från medelvärdet.
3.
alla avvikelser från medelvärdet.
4.
alla dessa kvadrater på avvikelser från medelvärdet.
5. Dela denna summa med talet n-1 så får vi det som kallas Talet n-1 är ett mindre än antalet mätvärden. 6. Drar vi
.
ur variansen så får vi
UTMANING 5:2
Ge förslag på 7 tal där medelvärdet är 20 och standardavvikelsen är 2.
.
1 2 3 4 5 6
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
177
5.3 NORMALFÖRDELNING Om en statistisk undersökning är normalfördelad menas att observationerna koncentreras kring medelvärdet och att fördelningen av dem ser likadant ut på båda sidorna över och under medelvärdet. Många företeelser i vår värld visar att mätvärdena följer detta mönster. Längd och födelsevikt är exempel på normalfördelade data som går att beskriva med en normalfördelningskurva som har formen av en så kallad klockkurva. Kurvan nedan visar hur många procent av mätvärdena som finns i de olika intervallen beskrivna med avståndet från medelvärdet (betecknad med x) för olika multiplar av standardavvikelser (betecknad med σ).
0,1 % 2,1 %
– 3σ
13,6 %
– 2σ
34,1 %
– 1σ
13,6 %
34,1 %
x
1σ
2,1 % 0,1 %
2σ
3σ
Medelvärde En standardavvikelse Två standardavvikelser Tre standardavvikelser
EXEMPEL
Normalfördelning I intervallet mellan medelvärdet (x) och en standardavvikelse (1σ) finns 34,1 % av mätvärdena.
34,1 %
x
1σ
Medelvärde 178
k apitel
5 ;
En standardavvikelse s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
I intervallet mellan medelvärdet (x) och minus två standardavvikelser (–2σ) finns 13,6 % + 34,1 % = 47,7 % av mätvärdena.
13,6 %
– 2σ
I intervallet mellan minus två standardavvikelser (–2σ) och en standardavvikelse (1σ ) finns 13,6 % + 34,1 % + 34,1 % = 81,8 % av mätvärdena.
13,6 %
34,1 %
– 1σ
– 2σ
x
– 1σ
34,1 %
x
1σ
Medelvärde
Medelvärde
En standardavvikelse
En standardavvikelse
Två standardavvikelser
Två standardavvikelser
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR
5019
Hur många procent av ett statistiskt material finns mellan –1σ och 1 σ?
5020
10 värden i en statistisk undersökning finns mellan x och 1σ. Hur många värden omfattar undersökningen?
ÖVA 2 FLER FÖRMÅGOR 5021
34,1 %
Enligt innehållsförteckningen innehåller en burk Misse kattmat 500 g. En undersökning visar att vikten är normalfördelad kring medelvärdet 490 g och att standardavvikelsen är 5 g enligt diagrammet nedan.
a) Ett varuhus köper in 3 000 burkar Misse kattmat. Hur många av dessa burkar kan förväntas innehålla minst de 500 g kattmat som anges på burken? b) Medelvärdet i undersökningen är 490 g. Antag att standardavvikelsen skulle vara större än 5 g. Förklara med ord hur fördelningen av burkarnas vikter och därmed också kurvans utseende förändras av den ändrade standardavvikelsen. Skissa också de båda kurvorna, med standardavvikelsen 5 g respektive större än 5 g, i ett enda diagram. (Nationellt prov, kurs B, ht 1998)
Vikt/g 480
485
490
495
500
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
179
HAR DU FÖRSTÅTT?
Förklara för en kompis begreppet normalfördelning. Beskriv också hur klockkurvan är indelad i intervall (du kan ta hjälp av figuren på klockkurvan men ska förklara hur man kan använda den).
5 6
EX
AVSNITTSKOLL 5:3 Detta skall du förstå innan du fortsätter med nästa avsnitt. 1 Fyll i rutorna i figuren med det som saknas.
0,1 % 2,1 %
– 3σ
13,6 %
– 2σ
34,1 %
– 1σ
34,1 %
x
– 1σ
2 Hur många procent i ett normalfördelat statistiskt matriel finns i intervallet mellan –2σ och 2σ?
UTMANING 5:3
Om elevernas längd på en skola med 1 000 elever är normalfördelad med medellängden 170 cm och standardavvikelsen är 10. Hur många elever bör vara under 150 cm?
180
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
1 2 3 4
13,6 %
– 2σ
2,1 % 0,1 %
3σ
5.4 KORRELATION, SIGNIFIKANS OCH KAUSALITET Vi repeterar begreppet korrelation från kurs 1A med ett exempel.
Korrelation Morteza som är intresserad av statistik undrar om det finns ett samband mellan antalet pluggtimmar och provresultat. Efter att frågat ett slumpmässigt antal elever på sin skola plottar han detta i ett diagram. Resultat:
100 Provresultat (%)
80 60 40 20 0
0
5
10
15
20
Antal pluggtimmar
POSITIV KORRELATION
100 80 60 40 20 0
0
5
10
15
NEGATIV KORRELATION
100 Träff på piltavlan (%)
Antalet pluggtimmar och provresultatet kal�las för faktorer och begreppet som beskriver sambandet kallas korrelation. Finns det ett samband mellan två faktorer så säger vi att dessa faktorer korrelerar. Med detta menas att faktorernas punkter befinner sig omkring en skattad rät linje. Det finns till exempel en korrelation mellan ett barns längd och ålder. När ett barn blir äldre så växer barnet och blir längre. Detta kallas för positiv korrelation och innebär att om en faktor ökar så ökar även den andra. Om den ena faktorn däremot minskar när den andra ökar kallas det negativ korrelation. Ju mer datapunkterna ser ut att följa en viss trend (rät linje), desto mer korrelerade säger man att de är. Om de ligger nästan exakt på en linje säger man att variablerna är starkt korrelerade medan om de är mer utspridda är de svagt korrelerade. Korrelationskoefficienten är ett mått på hur stark en korrelation är. Den varierar mellan –1 och 1.
Provresultat (%)
EXEMPEL
80 60 40 20 0
20
0
Antal pluggtimmar
STARK POSITIV KORRELATION
100
80
60
60
40
40
20
20 0
5
10
15
10
15
20
STARK NEGATIV KORRELATION
100
80
0
5
Avstånd till piltavla (m)
0
20
0
5
10
15
20
INGEN KORRELATION
100 80 60 40 20 0
0
5
10
15
20
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
181
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR 5022
Avgör vilka av dessa faktorer som korrelerar: a) Vikt och klädstorlek. b) Snödjup och varma kläder. c) Hastighet och bromssträcka för en bil. d) Matvanor och skolresultat. e) Vitaminintag och förkylning. f) Vattentemperatur och antalet badgäster.
EX
Signifikans Om man som Morteza i tidigare exempel utför en stickprovsundersökning så finns det ett begrepp som heter signifikans som visar hur tillförlitlig en undersökning är. Signifikans är ett kvantitativt mått på hur väl ett värde uträknat från ett stickprov överensstämmer med det värde som är det troligaste värdet.
Signifikans
EXEMPEL
Om vi skulle fråga ungdomar i till exempel Pajala vad de tycker om snöskoterkörning så skulle vi säkert få ett helt annorlunda svar jämfört om vi frågade alla ungdomar i hela landet.
182
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR
ÖVA 2 FLER FÖRMÅGOR
5023
5024
Förklara ordet signifikans då man jobbar med statistik.
5025
Ge ett påhittat exempel på en statistisk stickprovsundersökning som ej är signifikant och varför.
k apitel
Då en större rikstäckande undersökning visade att ungdomar mellan 16–19 år använder mobilen mer än fyra timmar per dag. Är det då signifikant att en lokal skolundersökning bland ungdomar visar en mobilanvändning på 30 timmar per vecka?
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
Kausalitet Kausalitet är ett orsakssamband mellan två korrelerade faktorer där den ena direkt påverkar den andra.
Kausalitet
EXEMPEL
Ett exempel på en korrelation där det också finns en kausalitet (orsakssamband) är längd och ålder hos barn. Ju äldre barnet är, desto längre är barnet.
På vintern är det fler som halkar och slår sig och fler som tänder stearinljus dessa faktorer är korrelerade. Det man inte kan säga är att tända ljus får fler att halka. Det finns en korrelation mellan tända stearinljus och halkskador, men ingen kausalitet. Vintern är en gemensam faktor som orsakar både halare väglag och att fler ljus tänds.
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR
ÖVA 2 FLER FÖRMÅGOR
5026
5027
På vintern ökar både antalet husbränder och bilolyckor. Man kan säga att de är korrelerade. Finns det en kausalitet mellan husbränder och bilolyckor eller någon annan gemensam faktor?
5028
Ge ett påhittat exempel där det finns en korrelation mellan faktorerna och även en kausalitet (det vill säga att de påverkar varandra).
Avgör om det finns en kausalitet av dessa faktorer: a) Vikt och klädstorlek. b) Snödjup och varma kläder. c) Hastighet och bromssträcka för en bil. d) Matvanor och skolresultat. e) Vitaminintag och förkylning. f) Vattentemperatur och antalet badgäster.
HAR DU FÖRSTÅTT?
Förklara för en kompis begreppen korrelation, signifikans och kausalitet. Diskutera kritiskt följande korrelation med en kompis.
k apitel
5 ;
1 2 3 4 5 6
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
183
AVSNITTSKOLL 5:4 Detta skall du förstå innan du fortsätter med nästa avsnitt. 1 Fyll i det som saknas så att koordinaterna korrelerar (1,3), (2,x) och (y,9).
12lbs
1000 grader
11lbs
800 grader
10lbs
600 grader
9lbs
2000
2001
2002
2003
2004
Ingenjörsdoktorat
2005
2006
2007
2008
Mozzarellaostkonumtion
UTMANING 5:4
Naima och Eliza diskuterar provresultatet i matematik. Naima fick nästan alla rätt, medan Eliza bara fick några poäng. Naima hade pluggat nästan hela natten före provet, medan Eliza somnade då hon skulle plugga. Slutsatsen då flickorna diskuterade resultatet blev att mindre sömn ger bättre provresultat. Det vill säga att antalet sovtimmar korrelerar starkt negativt med antalet provpoäng. Hur förklarar du detta?
184
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
2009
1 2
5
400 grader
Ingenjörsdoktorat
Mozzarellaostkonsumtion
2 Förklara varför längd och vikt inte alltid korrelerar. Finns det en kausalitet mellan sunda kostvanor och skolresultat? Vad menas att en undersökning är signifikant?
5.5 REGRESSIONSANALYS Med hjälp av regressionsanalys kan man se ett eventuellt samband mellan serier av observationsvärden. Det innebär att man anpassar en linje, regressionslinje, y = kx + m till det i ett koordinatsystem inprickade observationerna. I nedanstående koordinatsystem har 28 observationer inprickats. Vi ritar en skattad linje som i möjligaste mån ansluter till alla punkter. y 10 9 8 7 6
(12,7)
5 4 3 2
(3,3)
1
x
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Leta reda på 2 lättavlästa punkter på den dragna linjen och beräkna linjens ekvation. I exemplet har punkterna (3,3) och (12,7) använts. Börja med att beräkna k-värdet för linjen (linjens lutning). k = 7−3 = 4 12− 3 9 Fortsätt med att stoppa in k-värdet och en av punkternas x- och y-värde i y = kx + m, till exempel (12,7). 4 7 = ⋅12+ m 9 m = 5 = 12 3 3
4 2 Regressionslinjens ekvation är y = x +1 9 3 I stället för att skatta regressionslinjens ekvation kan man beräkna den med följande formler:
k=
Σ(x − x)(y − y) och m = y – kx Σ(x − x)2
där x och y står för medelvärdena av punkternas x- och
y-värden. Tecknet ∑ (grekiska bokstaven sigma) betyder här ”summan av …"
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
185
När vi beräknar regressionslinjens ekvation y = kx + m kan vi använda oss av en beräkningsmodell. Rita först en tabell med sex spalter:
Kolumn 1
2.
Kolumn 2
Kolumn 3
Kolumn 4
Kolumn 5
Kolumn 6
x
y
x–x
y–y
(x – x) (y – y)
(x – x)2
1.
1.
3.
4.
5.
6.
x
2.
5. Summa:
y
6. Summa:
1. För in x-koordinaterna i kolumn 1 och y-koordinaterna i kolumn 2. 2. Beräkna medelvärdet av x-koordinaterna och y-koordinaterna längst ner i kolumn 1 och kolumn 2. 3. För in differensen av x-koordinaterna och medelvärdet av x-koordinaterna i kolumn 3. 4. För in differensen av y-koordinaterna och medelvärdet av y-koordinaterna i kolumn 4. 5. Multiplicera raderna i kolumn 3 och 4. För in resultatet i kolumn 5 och skriv summan längst ner. 6. Kvadrera raderna i kolumn 3. För in resultatet i kolumn 6 och skriv summan längst ner. 7. Dela summan i kolumn 5 med summan i kolumn 6 och vi får k. Vi får m genom att ta y – kx.
En undersökning visar följande värden (2,7), (5,9), (4,10), (9,11), (7,11) och (3,6) som användes i tabellen nedan och ritas även in i ett koordinatsystem: För att rita linjen söker vi nu efter k och m.
186
k apitel
5 ;
x
y
x–x
y–y
(x – x) (y – y)
(x – x)2
2
7
–3
–2
6
9
5
9
0
0
0
0
4
10
–1
1
–1
1
9
11
4
2
8
16
7
11
2
2
4
4
3
6
–2
–3
x=5
y=9
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
6 Summa: 23
4 Summa: 24
k=
23 ≈ 1 24
m=9–1·5=5
Det vill säga att regressionslinjen är y = x + 4 (y = 1 ∙ x + 4) som nu kan ritas in i koordinatsystemet. y 11
y=x+4
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
x
0 0
1
2
3
5
4
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Hur starkt ett samband mellan alla observationer i en materiel är, kan beräknas med korrelation och korrelationskoefficienten r.
r=
Σ(x – x)(y – y) Σ(x – x)2 Σ(y – y)2
Vi beräknar korrelationskoefficienten r på samma materiel som nyss. Tabellen utvidgas med en kolumn till höger:
r=
x
y
x–x
y–y
(x – x) (y – y)
(x – x)2
(y – y)2
2
7
-3
-2
6
9
4
5
9
0
0
0
0
0
4
10
–1
1
–1
1
1
9
11
4
2
8
16
4
7
11
2
2
4
4
4
3
6
–2
-3
x=5
y=9
23 24 ⋅ 22
6 Summa: 23
4 Summa: 24
9 Summa: 22
≈1
r > 0 betyder ett positivt samband (t.ex. människans längd kontra vikt) r = 0 betyder att samband saknas r < 0 betyder ett negativt samband (t.ex. människans ålder kontra synförmåga) –1
0
1
Starkt negativt samband
Inget samband
Starkt positivt samband k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
187
5030
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR 5029
Beräkna en regressionslinje till punktmängden i koordinatsystemet nedan. Använd de två punkter som är angivna.
y
(3,4)
3
2
6
9
3
1
2
6
5
8
8
5031
Beräkna korrelationskoefficienten för sambandet på värdena i uppgift 5030.
6 5
1
y
Rita in punkterna i ett koordinatsystem och beräkna regressionslinjens ekvation med hjälp av formlerna. Rita tabell.
(8,6)
7
X
9 8
Följande resultat och värden finns efter en liten undersökning.
4
EX
3 2 1
x
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
HAR DU FÖRSTÅTT?
1. Förklara för en kompis begreppet regressionsanalys. 2. Vad innebär korrelationskoefficient?
1
4 5 6
AVSNITTSKOLL 5:5 Detta skall du förstå innan du fortsätter med nästa avsnitt. 1 Gör en linjär regression för punkterna (3,4),(2,2) och (-1,-4). 2 Vad menas med att korrelationskoefficienten vid en beräkning är 1?
UTMANING 5:5
Förklara varför fyra koordinatpar kan ge samma regressionslinje som fyra andra koordinatpar trots att inga av de åtta punkterna är lika.
188
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
1 2 3 4 5 6
EX
5.6 STATISTISKA UNDERSÖKNINGAR Inför olika sorters beslut kan det vara viktigt att ta reda på vad människorna som påverkas av beslutet tycker. Statistiken ger oss metoder och modeller som ger oss möjlighet att få en uppfattning om detta. När vi jobbar med statistik är sättet som vi utför våra undersökningar (samlar information) och behandlar våra värden (data) mycket viktigt. När vi gör våra undersökningar så kan vi samla information genom t.ex. enkäter, intervjuer eller mätningar och när vi behandlar våra data kan vi dra slutsatser med olika metoder.
EXEMPEL
Stickprovsundersökning Vi vill undersöka vad medlemmarna i en förening tycker i en viss fråga. Alla medlemmar i före ningen kallas för en population. Frågar vi alla medlemmar kallas det för en totalundersökning. Vi kan också välja att fråga ett urval (några) av medlemmarna och då kallas det en stickprovsundersökning. Detta är praktiskt då det kanske är svårt att fråga alla. En stickprovsundersökning kan ske på olika sätt. 1. Obundet slumpmässigt urval innebär att varje individ i undersökningen väljs helt slumpmässigt. 2. Systematiskt urval innebär att till exempel var tionde person väljs från en lista på hela populationen. Om listan är sorterad efter till exempel ålder får vi en spridning i urvalet. 3. Stratifierat urval innebär att hela populationen delas upp i sorterade delpopulationer till exempel efter ålder och sedan görs ett obundet slumpmässigt urval. Urvalet kan vara proportionellt mot delpopulationens storlek. När vi utför en stickprovsundersökning är det viktigt att de vi frågar är representativa för hela populationen. Att en grupp är representativ menas att sammansättningen i gruppen är så lik hela populationen som möjligt.
EXEMPEL
Felkällor vid statistiska undersökningar Om vi vill veta vad eleverna på en skola tycker om matematikundervisningen så är det inte så smart att bara fråga de elever som skolkat mest från matematikundervisningen. Några så kallade felkällor när vi utför en undersökning kan vara: 1. Bortfall är de som inte svarar av olika anledningar. 2. Mätfel kan till exempel vara frågor som är otydliga. 3. Urvalsfel är att gruppen vi frågar kanske inte är representativ för hela populationen.
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
189
ÖVA 1 BEGREPP OCH PROCEDUR 5032
5033
En fabrik som tillverkar maskindelar upptäcker vid ett stickprov att 2 av 1 000 tillverkade maskindelar är felaktiga. Hur många felaktiga delar kan förväntas då fabriken tillverkar 750 000 maskindelar per år? Vilken typ av undersökning är en valprognos inför ett riksdagsval?
ÖVA 2 FLER FÖRMÅGOR 5034
Översätt orden data och undersökning då man jobbar med statistik.
5035
Förklara ordet population i en statistisk undersökning.
5036
Ge exempel på olika sätt att genomföra en stickprovsundersökning.
5037
Vad menas med att en grupp i ett stickprov är representativ?
5038
Kalle som tycker att serien Game of Thrones är den bästa serie som någonsin visats undrar om alla jämnåriga tycker lika som honom. Kalle frågar sina kompisar som också tittar på serien vad de tycker. a) Gör Kalle en representativ undersökning? b) Om Kalle frågat alla jämnåriga i landet så kallas det för en …? c) D iskutera hur Kalle bör göra sin undersökning för att den ska bli så bra som möjligt.
HAR DU FÖRSTÅTT?
1. Förklara för en kompis hur man kan genomföra en stickprovsundersökning. 2. På en gymnasieskola med 950 elever i årskurserna 1–3 framfördes klagomål på skolmaten. Skolledningen gjorde en stickprovsundersökning där var fjärde elev på klasslistan i varje klass fick en enkät hemskickad till sig. Av dessa elever svarade 75 att de tyckte bra om skolmaten och 55 att de inte tyckte om den. 116 elever besvarade inte enkäten. Enligt skolledningen tyder undersökningen på att en majoritet av skolans elever tycker bra om skolmaten. a) Ge en kritisk synpunkt på skolledningens stickprovsundersökning. Elevrådet gjorde också en stickprovsundersökning där alla elever i nio av de tolv klasserna i årskurs 3 tillfrågades om vad de tyckte om skolmaten. Av dessa elever svarade 97 att de tyckte om skolmaten och 124 att de inte tyckte om den. 9 elever var inte närvarande och kunde inte besvara frågan. Enligt elevrådet tyder undersökningen på att en majoritet av skolans elever inte tycker om skolmaten. b) Ge en kritisk synpunkt på elevrådets stickprovsundersökning. c) Förklara varför bristerna i de båda stickprovsundersökningarna gör att slutsatserna om elevernas åsikter blir osäkra. 190
k apitel
(Nationellt prov, kurs C, vt 2002) 5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
1 2 3 4 5 6
AVSNITTSKOLL 5:6 Detta skall du förstå innan du fortsätter med nästa avsnitt. 1
Yobo skickar ut en enkät till 1 000 gymnasieelever. 780 av dessa svarar. Yobo ringer de som inte svarat och får tag i hälften så att han kan ställa frågorna muntligt. Vilket eller vilka av nedanstående värden visar undersökningens bortfall? 780 220 0 1 000 110 1 780 1 220 1 110 Träna mera Kapitel 6 Statistik och modellering, uppgift 14–16
2 Vad innebär obundet slumpmässigt urval?
UTMANING 5:6
I en kommun är politikerna intresserade av att veta invånarnas inställning till olika skolfrågor. Det bestäms att en stickprovsundersökning ska utföras och 800 personer väljs ut slumpvis. Ett frågeformulär skickas ut där en av frågorna lyder: ”Tycker du att samtliga gymnasieelever i kommunen skall få låna en bärbar dator under sina gymnasiestudier?” Man fick följande svar: Ja
Nej
Vet ej
325
220
20
1 2 3 4 5 6
a) Antag att åsikterna hos de som inte svarat fördelar sig på samma sätt. Hur många procent av kommunens invånare tycker att gymnasieeleverna ska få låna en bärbar dator? b) Politikerna vill ha ett säkrare resultat av undersökningen och diskuterar därför följande två alternativ: Alternativ 1: Komplettera undersökningen med 800 nya slumpvis utvalda personer. Alternativ 2: Komplettera med en bortfallsundersökning för att ta reda på vad de som tillfrågats men inte svarat tycker. Förklara varför det kan vara lämpligt att välja alternativ 2. c) Man väljer att göra en bortfallsundersökning och ringer upp 50 personer av de som inte svarat på frågan om ”lån av dator”. De svarade enligt följande: Ja
Nej
Vet ej
15 20 15
Bestäm utifrån de två genomförda undersökningarna hur många procent av kommunens invånare som är för ”lån av dator”.
(Nationellt prov, kurs C, ht 1999)
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
191
5.7 MODELLERING
Då inser vi snabbt att vi bara får en idé om hur vår modell kan lösa vårt problem. Om vi nu använder vår matematiska modell till att förutsäga vad som kommer att hända så kan vi vara tvungna att ändra på vår gen vär tta iakttagna värld. Vår nu uppdaterade modell kanske kräver att vi gör Modellerad om vår matematiska modell. Om vi gör det några gånger så kanske vi värld kommer närmare en korrekt matematisk beskrivning av vårt problem. Är detta då bara onödigt arbete eftersom det inte fungerar? Nej, denna process ligger bakom de flesta tekniska utvecklingar. Om vi inte hade gjort detta hade vi inte haft så bra grejer som vi har. Bränsleförbrukningen på bilar är ett tydligt exempel på detta. Under 50-talet drog en personbil ett par liter bensin per mil, under 80-talet drog motsvarande bil drygt litern och hade dubbelt så stor motoreffekt. Idag har bensinförbrukningen halverats och ytterligare minskningar utvecklas, och ändå ökar prestanda hela tiden. Hur gör man då en matematisk modell? Man börjar med att använda det man redan kan, att göra antaganden och uppskattningar om en förenklad värld, för att därefter förbättra sin modell.
rlden
EXEMPEL
ld
Iak
Vä
Om vi ska göra matematik av något som sker måste vi göra en matematisk modell. Vi måste införa variabler som beskriver det som kan ändras. För att förstå vad som sker måste vi sätta upp sambanden mellan dessa variabler – funktioner och ekvationer. Hur mycket vi kan lita på vår modell beror på hur bra vi har lyckats göra modellen. Det är som vanligt: skräp in – skräp ut. Vi måste alltså vara noggranna när vi gör vår modell. Om vi är det, kan vi i alla fall missa något? Självklart! Om vi tänker oss vår värld som en oregelbunden amöba, vår iakttagna värld som en regelbunden cirkel i vår amöba och vår matematiska modell som en fyrkantig regelbunden värld inuti vår iakttagna värld.
Buss eller bil? Att åka buss mellan Sandviken och Gävle kostar 47 kr. Det är 25 km mellan orterna. Jag har en bil som drar 8,0 liter per 100 km och bensinen kostar 15 kr per liter. Vilket är billigast? En enkel jämförelse är att bilresan har bränslekostnaden 0,8 ∙ 2,5 ∙ 15 kr = 30 kr. Alltså är bilen billigast. Är detta hela sanningen? Nja, bilen måste ju försäkras, skattas, servas och … Man brukar uppskatta att en begagnad bil av denna modell har en milkostnad på 30 kr per mil om man räknar in allt. Vad är då billigast? 0,8 ∙ 2,5 ∙ 30 kr = 60 kr. Då är det tydligen 13 kr dyrare att åka bil än att åka buss. Men då var ju inte resan till bussen inräknad. Om man då cyklar så är det ju gratis! Men bussen tar så mycket tid. Hur ska jag värdera att jag får vänta? Hur mycket är jag beredd att betala för att slippa vänta? Är det värt 13 kronor att slippa vänta? Jag måste kanske cykla i 10 minuter samt vänta i tre minuter, både på vägen dit och hem. Då är det 50 öre per minut. Nu kommer det in andra faktorer. Men som grund för mitt beslut är beräkningarna användbara.
192
k apitel
5 ;
s tat i s t i k o c h m o d e l l e r i n g
2a
Exponent 2a är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans yrkesprogram. Innehållet är anpassat till ämnesplanen som gäller från höstterminen 2021.
2a
I Exponent 2a finns många olika uppgiftstyper som är kategoriserade efter de sex matematiska förmågorna som beskrivs i ämnesplanen. Återkommande kunskapskontroller i form av tester, övningar och omfattande problem ger eleverna repetition och bra träning inför nationella prov. Här finns en mjuk progression bland övningsuppgifterna. Här finns även gruppaktiviteter, mer tidskrävande utmaningar, gruppuppgifter och reflekterande frågor, som gör det enkelt att variera undervisningen. Antal uppgifter anpassade till karaktärsämnen har utökats. Dessa uppgifter täcker alla delar av kurs 2a till alla tolv program.
EXPONENT 1a
EXPONENT
Matematik för gymnasiet
2a
EXPONENT
Serien består av tryckta elevböcker samt digitala läromedel.
Författare till Exponent 2a är Tommy Olsson och Sören Hector. Båda är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning på yrkesprogrammen.
ISBN 9789151107042
9 789151 107042
exp2a2_omslag.indd 1
2021-07-05 17:30