9789151102825

Matematikdidaktik i fรถrskolan

2:A UPPL.

Ola Helenius, Maria L. Johansson, Troels Lange, Tamsin Meaney & Anna Wernberg

ATT UTVECKLA LEKFULLA, MATEMATISKA BARN

Författarpresentation Ola Helenius har en doktorsexamen i matematik, och arbetar som fors­ kare och undervisningsutvecklare på Nationellt centrum för matematik­ utbildning (NCM) vid Göteborgs universitet. Han är intresserad av matematikdidaktik på alla nivåer i skolsystemet och var med i grup­ pen som gav råd inför framtagandet av den reviderade läroplanen för förskolan 2010. Maria L. Johansson har en doktorsexamen i matematik och också en i matematikdidaktik. Hennes doktorsavhandling i matematikdidak­ tik fokuserade på frågor som handlar om matematik i förskolan och då särskilt på kompetensutveckling av förskollärare och barnskötare. Maria är biträdande professor vid Luleå tekniska universitet, där hon arbetar inom lärarutbildningarna. Hennes forskningsintressen är breda och täcker allt från matematik och matematikdidaktik för förskola till gymnasieskola. Troels Lange har varit lärarutbildare i matematik i över 20 år, först i Danmark, sedan i Australien och Sverige. Han arbetar just nu som professor på Høgskulen på Vestlandet. Troels forskningsintressen fokuserar på hur barn upplever lärandet av matematik. Tamsin Meaney är professor i matematikdidaktik vid Høgskulen på Vestlandet och dessförinnan har hon varit professor på Malmö hög­ skola. Tamsin har arbetat med lärarutbildning i Nya Zeeland, Austra­ lien, Sverige och Norge. Hennes forskningsintressen är mångsidiga men kretsar främst kring behovet av matematikdidaktik som fokuserar på att undanröja sociala orättvisor och skillnader.

Anna Wernberg är lektor inom matematik på lärarutbildningarna vid Malmö högskola. Hon har tidigare arbetat i Kristianstad och Borås. Annas forskningsintressen handlar, förutom förskolans matematik, om hur ”variationsteorin” kan användas i matematikklassrum i grund­ skolan.

Innehåll

1. Förskolans matematik och matematiska aktiviteter Bishops matematiska aktiviteter Bishops idéer och förskolans läroplan för matematik Avslutning

2. Leka Lek och allvar Kreativitet Förhandling av regler Deltagande Avslutning

3. Förklara Förklara genom att klassificera Att undervisa om att förklara Teorier-i-handling Förklaringar som ges med hjälp av bilder Förklaringar som ges med hjälp av fysiska objekt Förklaringar som ges med hjälp av gester Verbala förklaringar Förskollärarens roll Avslutning

11 15 25 26 31 32 34 39 42 44 49 50 51 52 55 58 59 60 63 64

4. Lokalisera Orientera sig i den rumsliga omvärlden Utforska Begreppsliggöra Symbolisera Avslutning

5. Designa Den matematiska aktiviteten designa enligt Bishop Designa i läroplanen Att utveckla uppfattningar om form Tidig symbolisering Avslutning

6. Mäta Aktiviteten mäta enligt Bishop Utforska Begreppsliggöra Mätskala Symbolisera Avslutning

7. Räkna Räkna och mäta som två sidor av samma mynt Olika aspekter av att räkna Läroplan Utforska aktiviteten räkna Begreppsliggöra Symbolisera Avslutning

8. Undervisning, utveckling och dokumentationens roll Fördjupa och följa upp Uppföljning av lärande och utveckling Utveckling av undervisning och av förskollärares kunskap Dokumentation i undervisningen

69 71 73 75 83 87 91 95 96 98 103 107 113 115 117 120 125 129 130 135 136 141 145 146 148 152 154 159 162 163 164 166

Referenser 169

”I lekens och det lustfyllda lärandets olika former stimuleras fantasi, inlevelse, kommunikation och förmåga till symboliskt tänkande …”

1. Förskolans matematik och matematiska aktiviteter Matematik är en mycket gammal mänsklig aktivitet som har föränd­ rats och förädlats i generationer. Matematik verkar uppkomma i alla mänskliga kulturer, men den uppstår i lite olika former. Människors skäl att skapa och använda matematik kan vara olika. De problem som människor står inför, och den värld de lever i, påverkar vilken matematik som utvecklas, och även hur själva utövandet av mate­ matik går till. För att kunna identifiera och diskutera vad som är gemensamt för matematik i allmänhet är det en förutsättning att också identifiera skillnader mellan olika varianter av matematik. Den här boken handlar om förskolans matematik. Vi undersöker och be­ skriver förskolans matematik utifrån förskolans premisser. De första frågorna man då kan ställa sig är: Vad är matematik i förskolan? Varför måste man karakterisera en viss matematik som förskolans? Matematik är väl vad den är? Är det inte bara lite olika varianter av samma matematik som forskande matematiker, beräkningsingenjö­ rer, skolelever eller förskolebarn sysslar med? I den här boken visar vi hur man kan utgå från det som barn redan vet, och kan göra, och utifrån ett sådant förhållningssätt arbeta för att få dem nyfikna på olika matematiska aspekter. I Sverige, liksom i många andra länder, får de flesta sina erfaren­ heter av matematik genom skolan. Den matematik som man känner till är just skolans matematik. Skolmatematik kopplas ofta ihop med att hantera matematiska symboler, begrepp eller procedurer, som siff­ ror, räkneuppställningar, medelvärden eller trianglar. Alltför ofta blir 11

Matematikdidaktik i förskolan under­visning av matematik en fråga om att lära ut olika regler för hur man manipulerar matematikens symboler. I skolan möter elever matematik på matematiklektioner, det vill säga i situationer som är avgränsade som matematiska. När samma elever på eftermiddagen är engagerade i matematiska situationer som att handla, dela godis, spela dataspel och så vidare, ser de sällan kopp­ lingen till matematik på grund av att den nu är i en annan kontext. Skolmatematiken kan alltså ses som en speciell social praktik. Den svaga kopplingen mellan skolmatematik och vardagsmatematik fram­ hålls ofta som en förklaring till att eleverna inte upplever att vardags­ matematiken hör till skolans matematik (Schoenfeld 1992). När vi ska diskutera förskolans matematik finns det en poäng att jämföra med skolans matematik. Ordet skola är en del av ordet förskola: Ska förskolans matematik helt enkelt vara en matematik som kommer före skolans matematik, en enklare variant av skolans matematik? Denna fråga är avgörande när förskolans matematik diskuteras. Eftersom skolans matematik är så pass väl definierad kan man enkelt ställa frågan: Hur ska förskolans matematik utformas för att på ett så effektivt sätt som möjligt förbereda barnen på skolans matematik? Det går att undersöka den frågan och komma till ganska exakta svar, vilket flera amerikanska forskare också har gjort (Cross, Woods & Schweingruber 2009). Detta är emellertid inte en självklar väg. I Sverige har man under lång tid försökt utveckla varje del av skolsystemet efter dess egna förutsättningar. När till exempel studentexamen togs bort 1968, var ett av skälen att man ville minska inflytandet från universitet och högskolor på gymnasieskolans innehåll. Förskolan i Sverige har en lång tradition av att ha ett pedagogiskt uppdrag och inte bara ett omvårdande uppdrag. Detta pedagogiska uppdrag har en unik karaktär och är inte bara ett förstadium till sko­ lans pedagogiska uppdrag. Förskolans specifika pedagogiska uppdrag har varit tydligt sedan förskolan fick sin första läroplan 1998. Till exempel finns det starka skrivningar om att leken ska vara en grund för den pedagogiska verk­ samheten. När läroplanen för förskolan, Lpfö 98 (Skolverket 2010), reviderades blev det pedagogiska uppdraget än mer framskrivet, sam­ tidigt som omsorgen och leken fortfarande betonades. 12

1. Förskolans matematik och matematiska aktiviteter Leken är viktig för barns utveckling och lärande. Ett medvetet bruk av leken för att främja varje barns utveckling och lärande ska prägla verk­ samheten i förskolan. I lekens och det lustfyllda lärandets olika former stimuleras fantasi, inlevelse, kommunikation och förmåga till symboliskt tänkande samt förmåga att samarbeta och lösa problem. Barnet kan i den skapande och gestaltande leken få möjligheter att uttrycka och bearbeta upplevelser, känslor och erfarenheter. (Skolverket 2010 s. 6)

I Lpfö 18 finns en egen rubriknivå som säger att ”Lek är grunden för utveckling, lärande och välbefinnande” (Skolverket 2018 s. 8) och man fortsätter: Lek ska ha en central plats i utbildningen. Ett förhållningssätt hos alla som ingår i arbetslaget och en miljö som uppmuntrar till lek bekräftar lekens betydelse för barnens utveckling, lärande och välbefinnande. (Skolverket 2018, s. 8)

En aspekt som gör förskolans verksamhet väsensskild från skolan är att i skolan organiseras huvuddelen av arbetet i lektioner, vilket inte sker i förskolan. Lektionen ger, på gott och ont, en speciell struktur för skolarbetet och formar relationen mellan elever och lärare på ett spe­ cifikt sätt. I den här boken kommer vi att diskutera begreppet under­ visning när det gäller förskolans verksamhet. Förskolans verksamhet är organiserad på ett fundamentalt annorlunda sätt än skolans, eftersom förskollärarens pedagogiska uppdrag är annorlunda än lärarens. Bara införandet av begreppet undervisning i förskolekontexten ses som kontroversiellt, eftersom undervisning är så intimt förknippat med skolans verksamhet. I 2010 år upplaga av förskolans läroplan skärp­ tes skrivningarna om barnens lärande och förskollärares ansvar för att dokumentera och följa upp lärande och utveckling, men termen undervisning undveks (Skolverket, 2010). Till 2018 års version har termen undervisning förts in i läroplanen med hjälp av formuleringen ”I utbildningen ingår undervisning. Undervisning innebär att stimu­ lera och utmana barnen med läroplanens mål som utgångspunkt och riktning, och syftar till utveckling och lärande hos barnen” (Skolverket 2018, s. 7). 13

Matematikdidaktik i förskolan Det här betyder dock inte att all undervisning ska planeras och genomföras i samlingar eller andra avgränsade sammanhang. ”Under­ visningen ska utgå från ett innehåll som är planerat eller uppstår spon­ tant eftersom barns utveckling och lärande sker hela tiden” (Skolverket 2018, s. 7). Även sådant som barnen gör spontant kan alltså falla under begreppet undervisning. Det gäller också aktiviteter där inte förskol­ läraren eller annan personal deltar. Det går ju att stimulera och utmana barn, eller på andra sätt göra utveckling möjlig, även när man själv inte deltar. Hur miljön organiseras och vilka sagor som berättas spelar till exempel roll för vad barnen kommer att göra. Det är dock inte bara undervisningens karaktär som skiljer skolans matematik från förskolans. Om vi inte väljer att se förskolans mate­ matik som enbart förberedande för skolan behöver vi ett annat sätt att betrakta förskolans matematik. Inom förskolans verksamhet har man varit försiktig med att använda symboler för att beteckna mate­ matiska objekt och i stället arbetat med mer konkreta processer, som att räkna antal föremål, jämföra längder samt sortera och klassificera olika konkreta objekt. Ibland är det emellertid svårt att säga vad som är det matematiska i detta. Om man sorterar en mängd knappar, är det matematik eller är det städning av sybehörslådan? I de flesta fall spelar det kanske ingen roll vad vi kallar det, men när det explicita målet är att utveckla barns matematiska kunnande behövs en grund att stå på. Därför är det inte tillräckligt att tänka sig att förskolans matematik är matematik som är mer vardaglig och innehåller färre symboler. I den här boken kommer Alan Bishops (1988a; 1988b) sex kulturhistoriska matematiska aktiviteter att användas som en sådan grund för att förstå förskolans matematik. Bishop studerade vilka matematiska aktiviteter som var gemensamma i olika kulturer. Dessa grundläggande matema­ tiska aktiviteter utgjorde principerna för hur matematik utvecklades och är också ett sätt att närma sig den matematik som barn i förskolan möter. Det perspektiv på matematik som grundar sig i Bishops matema­ tiska aktiviteter var en av inspirationskällorna bakom de mål som rör matematik i 2010 års version av läroplanen för förskolan (Skolverket 2010). De finns återgivna i Förskola i utveckling som är bakgrundstext 14

1. Förskolans matematik och matematiska aktiviteter till förändringarna i läroplanen som gavs ut av Utbildningsdeparte­ mentet (2010). Även om texten inte refererar till Alan Bishop, är det tydligt att hans sätt att beskriva matematik har inspirerat författarna. För 2018 års läroplan finns det ingen sådan bakgrundstext. Eftersom de mål som rör matematik bara är ytterst lite förändrade mellan 2010 och 2018 års versioner kommer vi att arbeta under premissen att Bishops sex matematiska aktiviteter kan utgöra en bra grund även för Lpfö 18. Som start på vår undersökning av förskolans matematik börjar vi där­ för med att beskriva hur dessa sex kulturhistoriskt grundade aktiviteter (Bishop 1988a; 1988b) på olika sätt anknyter till hur matematik skapas, utvecklas och används. Avsikten är att på ett tydligt sätt beskriva hur de olika matematiska målen kan förverkligas i förskolan.

Bishops matematiska aktiviteter För att förstå vad som avses med matematisk aktivitet kan man före­ ställa sig att vi aldrig hade hört talas om matematik och aldrig sett några matematiska symboler och aldrig använt några matematiska begrepp, som antal, längd eller likhet. Säg att vi skulle bygga något, kanske ett staket för att hålla tamdjur instängda eller vilddjur ute­ stängda. Vi vill ha en stor mängd lika långa stolpar. Enkelt: Vi tar en mängd stolpar, håller dem bredvid varandra och hugger allihop så de blir lika långa. Hur gör man om någon ska gå och hämta stolpar på ett annat ställe och vill hugga av dem på plats? Genom att ta med sig en av de lika långa stolparna och sedan hugga de nya lika långa som måttstolpen, kommer även alla nya att ha rätt längd. Så vi bygger vårt staket. Någon tänker att det kan vara bra att spara en stolpe, om man behöver en ersättare till en trasig stolpe eller rent av vill bygga ett likadant staket till. Måttstolpen sparas, men nu har något hänt. Den här stolpen är nu inte längre bara en stolpe utan den har fått en ny roll. Den är också en tanke, nämligen tanken om en speciell längd. Även om måttstolpen skulle tappas bort, finns idén om en sådan stolpe kvar i personers medvetande och man skulle kunna skaffa fram en ny måttstolpe med rätt längd. Man kan säga att idén om denna stolpes längd, eller vilken stolpe som helst med just den längden, är ett första 15

Matematikdidaktik i förskolan steg mot en objektifiering av längd. Längd blir en egenskap som kan användas i andra sammanhang och man kan göra saker med en längd, till exempel dubblera eller halvera den, eller ange den med hjälp av olika mätvärden, som till exempel meter, fot eller tum. Det finns flera besläktade teorier som säger att detta är en grund­ läggande princip för hur matematiska aktiviteter utvecklas. Männi­ skor deltar i något sammanhang som kan ha flera mål och syften, ofta något helt annat än just matematik, till exempel bygga ett staket som i exemplet ovan. I sådana aktiviteter uppkommer mönster eller regelbundenhet, till exempel en stolpe av en viss längd. Genom att denna regelbundenhet urskiljs och särskiljs från omgivningen, har vi förstadiet till en abstrakt idé, till exempel ett mått för längd – en liten del av matematiken. Undervisning av matematik utgår oftast från de färdiga matema­ tiska objekten. Det antas att man först bör lära sig om det matematiska objektet, till exempel längd, för att därefter kunna tillämpa matema­ tiken i något sammanhang. När vi tittar på historien ovan ser vi att mätning egentligen användes redan innan motsvarande matematiska objekt uppfanns. Vi kan därför säga att staketbyggandet innehöll den matematiska aktiviteten mätning, trots att vi under tiden inte viss­ te något om den abstrakta idén om mätning. Då man ser det på det här sättet blir relationen mellan den matematiska aktiviteten och det abstrakta formaliserade språket i matematik något helt annat. Enligt Alan Bishop utvecklar varje matematisk aktivitet sin egen form av språk. Om vi tar exemplet med mätningen, vet vi i dag att vi har olika begrepp för att beskriva längden på stolpen som krävdes för att bygga staketet. Vi har alltså ett formellt sätt att beskriva längd med hjälp av måttenheter. Att studera den abstrakta formen av mätning, till exempel det som ofta kallas mätandets princip, blir således bara en form av den matematiska aktiviteten mätning. Naturligtvis kan vi inte tänka oss att barn ska lära sig all matema­ tik som om de befann sig i en tid när matematik inte fanns; inte heller att det är barnen som själva upptäcker matematiken och konstruerar sin egen version av den. En poäng med att matematiska aktiviteter är kulturövergripande är att de också finns i vår kultur. Till exempel 16

1. Förskolans matematik och matematiska aktiviteter mäter vi ofta längder och ser det inte direkt som något matematiskt. Matematiska aktiviteter är inte exotiska eller endast historiska utan också högst vardagliga. Olika verktyg för längdmätning finns runt oss: linjaler, måttband, tumstockar och så vidare. Vi använder ord som anknyter till längd och längdmätning, som meter eller avstånd, men även ord som på ett mer underförstått sätt anknyter till längd, som till exempel kort och lång. De vardagliga orden beskriver en annan del av mätandet: jämförandet. Detta gör det lättare att få syn på eller skapa situationer där mätning förekommer på förskolan. Får plastdjuret plats i leksaksbilen? Passar extraoverallen barnet vars overall har blivit blöt? Eller kan det handla om situationer där det dyker upp behov av att mäta, som vid staketbygget, eller situa­ tioner där det finns verktyg som lockar till att experimentera med mätning. Det kan också handla om att använda ord som anknyter till mätning. Allt detta utgör en konkretisering av samlad mänsklig kunskap som har tagit lång tid att utveckla. När det finns i barnets omvärld utgör det en slags potential. Kunskapen finns utanför barnet, och i olika situationer där mätande är en del kan barnet realisera detta i mätande aktiviteter för att så småningom också själv bli en bärare av kunnandet: att kunna mäta. I läroplanen står det att barn ska utveckla sin förmåga att urskilja, undersöka, uttrycka och använda matematik (Skolverket 2018 s. 14). De här förmågorna behöver alltså inte komma i ordning utan förstärker snarare varandra. I exemplet ovan användes stolpen som ett uttryck för (en speciell) längd, innan själva längdbegreppet urskildes. På samma sätt kan det fungera med andra matematiska aktiviteter. Alan Bishop urskilde sex sådana matematiska aktiviteter: • • • • • •

leka förklara designa lokalisera mäta räkna.

17

”Barn behöver ges möjligheter att utforska, begreppsliggöra och symbolisera sina idéer för att sedan kunna utveckla sitt symboliserande. Förskollärarnas roll är viktig, eftersom deras val av situationer och de problem de presenterar för barnen är katalysatorer som bidrar till att utmana teorier i handling.”

5. Designa I kapitel 3 beskrev vi att ”teorier-i-handling” (theories-in-action) kan ses som implicita idéer om hur världen fungerar som barn använder för att vägleda sina handlingar (Kamiloff-Smith & Inhelders 1975). Teorier är ju vanligen beskrivningar av hur vi tänker oss att någon mekanism i världen fungerar, men det speciella med teorier-i-handling är att de vanligen är implicita, det vill säga inte uttryckta i ord eller text, utan snarare en del av individens handlingsmönster. På liknande sätt kan man prata om ”begrepp-i-handling”. Begrepp är våra idéer om konkreta eller abstrakta saker i världen. Vanligen är begrepp förknippade med termer, det vill säga ord som beskriver begreppen. Men precis som teorier-i-handling är implicita teorier, är begrepp-i-handling vissa begreppsliknande mentala strukturer som barn kan ha, som de inte nödvändigtvis kan redogöra för. Ett exempel på begrepp-i-handling är när barn börjar räkna. Till en början vet de inte vad tal är, men agerar som om dom visste genom att till exempel peka och räkna. Räkneorden kommer inte nödvändigt­ vis i rätt följd men barnen avslutar ändå med att svara på frågan ”Hur många?” med att säga det sista ordet som räknades. Barnen har då börjat bygga upp en förståelse för en grundläggande egenskap hos tal. Ett annat exempel är symmetri. Barn kan bygga symmetriskt utan att veta vad begreppet står för och då kan vi säga att barnen har begreppet symmetri-i-handling. Teorier-i-handling kan både vara kor­ rekta eller inte korrekta, men begrepp-i-handling kan däremot endast karakteriseras som mer eller mindre relevanta för den situation som för tillfället är aktuell. Gérard Vergnaud (1983; 1996; 1997; 1998a; 1998b; 2009) har under lång tid utvecklat dessa idéer i sin forskning om barns 91

Matematikdidaktik i förskolan taluppfattning, med grund i Piagets teorier. En viktig poäng som Ver­ gnaud gör är att både teorier-i-handling och begrepp-i-handling oftast förblir lokaliserade till vissa speciella situationer, där barnen först har upptäckt dem. Det är inte förrän begreppen och teorierna börjar ut­ tryckas som det går att generalisera mellan olika situationer. Därför är det mycket viktigt att benämna kategoriseringar, resonemang och dylikt som barnen illustrerar med sina handlingar. Den enklaste for­ men av uttryck eller symbolisering är just benämning. När vi sätter ord, termer och beskrivningar på saker blir de helt enkelt mer verkliga och mycket enklare för hjärnan att uppfatta i nya sammanhang. Det är intressant att tänka på det här när vi nu ska läsa om form och ”formens matematik”. Former verkar ju intuitivt vara något som vi borde kunna uppfatta på ett väldigt direkt sätt. Behöver vi verkligen träna oss på att se att ett hjul ser ut som en cirkel eller att en dörr ser ut som en rektangel? Ja, det visar sig att det som vi uppfattar av världen, hur den ser ut för oss, i själva verket i hög grad är beroende av vad vi har lärt oss att titta efter. Det är därför som det finns så många så kallade optiska illusioner som lurar ögat. Ett exempel kan vara när små barn börjar utforska leksaker och försöker att passa in klossar av olika former i rätt hål i leksakslådan/ bollen. Redan innan de fyllt ett år kan de börja utveckla sin förstå­ else för var de olika formerna passar, men det dröjer innan de kan stoppa i rätt form, vänd åt rätt håll, i rätt hål. Det här är inte bara en fråga om att utveckla sin motorik eller sin syn. Det handlar också om att utveckla sin uppmärksamhet och att identifiera att det objekt som man ska stoppa in i lådans eller bollens hål faktiskt har en form, att objektets form är en del av objektet som kan ”separeras” från helheten och sedan matchas med hålet. När vi vuxna gör detta tänker vi inte längre på hur det går till, men när man observerar barns ansträngningar ser man att det är en avancerad process. Objektet som ska in i hålet är ju tredimensio­ nellt, men det är bara dess kant sett från ett visst håll som ska passa in i bollens motsvarande hål. Det är till exempel ingen lätt uppgift att programmera en robot med syn och armar att utföra den här typen av uppgift. Samma fenomen kan vi se när äldre barn bygger pussel, 92

5. Designa hur de lätt identifierar olika former och kan vrida och vända dem på rätt sätt för att stämma med ritningen. Det är en otrolig utveckling. Denna kompentens utvecklas genom interaktion med vuxna eller andra barn. Ett exempel på detta kan vara att barnet kan skilja raka kanter från svängda men inte utnyttjar detta karakteriserande drag hos vissa bitar i så hög grad som den vuxne vill. Genom att arbeta med former, tänka på dem och prata om dem, ökar barnet sin känslighet för vilka aspekter av former som det urskiljer. Den av Bishops aktiviteter som anknyter till form och formens matematik är design. Att designa är en intressant aktivitet som å ena sidan kan innefatta att tillverka något och å andra sidan kan vara att observera något objekt och fundera på hur det kan modifieras till en alternativ form eller funktion. Av estetiska eller praktiska skäl tänker vi oss att vi påverkar naturen eller något objekt i naturen för att det ska se ut eller fungera som vi vill. Kanske vill vi snida ett svärd av en träbit (genom att skära bort allt på träbiten som inte är ett svärd) eller så vill vi göra en käpp av en rak gren. I dessa två fall skiljer sig mängden av åverkan som vi måste göra på objektet åt, men en sak är samma: vi tänker oss att objektet (träbiten, käppen) ska få en annan funktion. Att designa handlar alltså om att göra åverkan på något, såväl fysiskt som mentalt. Vi tänker oss att saken ska få en annan form och funktion och då väljer vi också att se saken på ett speciellt sätt. Sara Lidman (1980) har skrivit så här: Rönn. Varje gång ordet lät höra sig steg en av trädets egenskaper fram. (Lidman 1980)

Egenskaperna som träder fram beror på omständigheterna och den vik­ tigaste egenskapen av dessa är antagligen den vi själva tänker på, vilka planer vi har eller vad vi vill se. En gren, till exempel, har många olika visuella och fysiska egenskaper som man kan se, känna eller urskilja. När vi tänker oss att designa en käpp, så är det bara vissa speciella egenskaper som framträder, till exempel om den är rak och kan stödja vår vikt. Bladens form och deras funktion att fånga ljus och koldioxid till trädet är i detta fall inga egenskaper som fokuseras. 93

Matematikdidaktik i förskolan

Figur 5.1  Ett barns ritning av sin familj.

Bilden i figur 5.1 är, ritad av ett barn som är fyra år. Barnet har ritat sin familj, sig själv, storebror, lillasyster, mamma och pappa. Män­ niskorna är ganska realistiska, de har huvud med näsa, mun och ögon, de har armar och fingrar, ben och fötter. Man kan också se att personerna är ordnade i storlek. Men en intressant detalj är att många av kroppsdelarna är konstruerade av rektanglar och cirklar. Barnet har med största sannolikhet inte ”ritat av” familjemedlemmarna och tyckt att de faktiskt såg så där kantiga ut. I stället har hon använt vissa ”mentala objekt” som redan fanns i hennes upplevda värld som byggstenar i teckningen. Cirkeln och rektangeln är former som hon känner till sedan tidigare och kanske till och med har namn för. När hon ska rita familjemedlemmarna behöver hon alltså inte försöka att exakt återge dem som de verkligen ser ut. Hon kan bygga dem av fär­ diga bitar. Inte för att hon rent fysiskt har dessa bitar framför sig som modeller, utan för att hon kan föreställa sig dem. Man skulle kunna kalla detta för ”mentala mallar” (Bishop 1988a). Man kan tänka sig att barnet som ritade bilden genom att till exempel använda sig av ”mallen” rektangel, på så sätt lättare kunde få med många detaljer när hon ritade familjemedlemmarna. Hon behövde inte i detalj fundera 94

5. Designa på hur var och en av kroppsdelar som överben och underben egent­ ligen såg ut, bara att de fanns där och kunde illustreras som avlånga rektanglar.

Den matematiska aktiviteten designa enligt Bishop Enligt Bishop (1988b) avser aktiviteten designa tillverkning av föremål och teknologi som alla kulturer skapar för hemmet, handel, prydnad, krigsföring, spel och religionsutövning. Även hur den rumsliga om­ givningen konstrueras, med hus, byar, trädgårdar, hagar, vägar och så vidare är ett resultat av aktiviteten designa. Aktiviteten designa kännetecknas som vi beskrev i inledningen av att någon del av natu­ ren ändras och omvandlas till något annat. Men vad är det matema­ tiska i designaktiviteten? Bishop beskriver det som att ”dra ut” former från den naturliga omgivningen. Den slutgiltiga produkten är inte matematiskt viktig, medan den kan vara det när naturvetenskapliga idéer utvecklas, där man ofta är in­ tresserad av faktiska egenskaper hos materia. Det viktiga för oss inom matematikutbildning är planen, strukturen, den tänkta formen, det upplevda rumsliga förhållandet mellan objekt och syfte, den abstrakta formen och abstraktionsprocessen. (Bishop 1988b s. 39)

Att designa något handlar inte alltid om att direkt tillverka det. Kanske ritar vi det först i sand, på papper eller på datorn. Eller så bygger vi en modell. Sådana symboler har utvecklats för att göra det möjligt att studera och förutsäga olika aspekter av det som man vill tillverka redan innan man faktisk sätter i gång på riktigt. För att förstå behovet av en sådan process räcker det att tänka sig väldigt stora föremål som hus, broar eller vägnät, eller objekt som ska göras av dyra eller ovanliga ma­ terial som smycken av guld eller ädelstenar. Enligt Bishop är det just så­ dana situationer som har ”skapat en efterfrågan för matematiska idéer om form, storlek, skala, mått, och många andra geometriska begrepp” (Bishop 1988a s. 41, vår översättning). Han ser detta som ett exempel på hur frånvaron av det fysiska objektet har provocerat utvecklingen av symboliska idéer om att designa, på samma sätt som behovet för 95

Matematikdidaktik i förskolan idéer om lokalisering stimuleras av situationer där man inte kan se den plats man söker eller beskriver. Det verkar alltså som att matematiska idéer utvecklas när vi tvingas föreställa oss föremål eller situationer, det vill säga när vi tänker hypotetiskt. På många sätt liknar detta vad som skrevs i kapitel 2, där hypotetiskt tänkande relaterades till lek.

Designa i läroplanen Det av läroplanens många mål som direkt pekar på den matematiska aktiviteten designa är att: ”förskolan ska sträva efter att varje barn utvecklar sin förståelse för … form” (Skolverket 2018 s. 14). Emeller­ tid lär barn sig om form med hela kroppen, alla sinnen och genom att kommunicera om sina upplevelser. Därför är många andra av målen ”aktiverade” när verksamheten riktar sig mot barns utveckling av för­ ståelse för rum och form, till exempel: förmåga att använda och förstå begrepp, se samband och upptäcka nya sätt att förstå sin omvärld, förståelse för rum, tid och form … förmåga att bygga, skapa och konstruera med hjälp av olika tekniker, material och redskap. (Skolverket 2018, s. 13–14)

För vårt syfte i detta kapitel är en speciell formulering från förskolans läroplan värd att fundera på, nämligen: Förskolan ska ge varje barn förutsättningar att utveckla … förmåga att urskilja, uttrycka, undersöka och använda matematiska begrepp och samband mellan begrepp, (Skolverket 2018, s. 13–14)

Hur gör man då detta? Och hur gör man det redan innan man känner till några matematiska begrepp? Det kan tyckas vara en förutsättning att man först känner till de matematiska begreppen innan man börjar 96

5. Designa undersöka, uttrycka och använda dem. Men rent idémässigt behöver det inte alls vara så, och det är detta som ligger bakom den idé om mate­matiska aktiviteter som vi använder i den här fortbildnings­ modulen. Designa är kanske den av aktiviteterna som allra bäst illust­ rerar detta. I kapitel 1 beskrevs hur ett staket designades (eller byggdes) och hur begreppet längd kunde ”dyka upp” ur denna process. På samma sätt kan andra matematiska begrepp dyka upp när man använder, undersöker och uttrycker sig om föremål. Och så småningom är det kanske inte längre själva föremålet man undersöker, använder och ut­ trycker sig om, utan det matematiska begreppet. Utbildningsdepartementets (2010) bakgrundsdokument till för­ skolans läroplan utgår från Bishops sex matematiska aktiviteter som ”ett sätt att konkret närma sig läroplanens mål” (s. 11). Den matema­ tiska aktiviteten som Bishop benämner designa, kallas i Utbildnings­ departementets text konstruera: Konstruera – Sortera och karakterisera objekt med tanke på egenskaper som storlek, form, mönster och samband. Formge och konstruera former och objekt med olika material. Utforska egenskaper hos geometriska objekt som till exempel cirklar, trianglar, och rektanglar. Representera konstruktioner med avbildningar, ord och andra uttrycksformer. Reso­ nera kring egenskaper, perspektiv och proportioner. (s. 11) Inom ramen för lek och vardag i förskolan finns rikliga möjligheter för barnen att upptäcka och utforska de geometriska grundformerna och att utveckla sin förståelse för begrepp som längd, bredd, höjd, area och volym. Form är en viktig egenskap hos föremål. Att kunna urskilja och känna igen former samt kunna relatera olika former till varandra är nödvändigt för att barnen ska kunna strukturera sin omvärld och är grundläggande för till exempel skrivning och geometri. För att stödja och utmana barns matematiska lärande och utveckling kan såväl konkret material som olika medier användas. (s. 12)

Konstruera och designa är två närbesläktade men inte helt synonyma begrepp. Å ena sidan antyder de olika saker. Designa kanske mer får oss att tänka på olika estetiska kvaliteter, medan konstruktion snarare leder tankarna till olika funktionella kvaliteter. Å andra sidan finns det 97

Matematikdidaktik i förskolan sådant som är gemensamt för de båda begreppen och det är denna ge­ mensamma sida som gör dem till matematiska aktiviteter. Både designa och konstruera handlar om att förändra, förädla eller skapa något. De handlar inte i första hand om själva tillverkningen av föremål, utan om den praktiska och mentala process som det innebär att fundera ut; vad det ska bli, hur det ska fungera och hur det ska se ut.

Att utveckla uppfattningar om form Det är inte svårt att tro på att barns utveckling av uppfattningar om rum och form beror på vilka erfarenheter de gör. Det är genom samtal och kommunikation som erfarenheter skapas av upplevelser. Ålder och mognad innebär inte automatisk medvetenhet om formers egenskaper.

Utforska Barn behöver ges möjlighet att delta i problemlösande situationer som uppmuntrar dem att på ett informellt och undersökande sätt utforska ett brett utbud av regelbundna och oregelbundna tvådimensionella och tredimensionella figurer. I figur 5.2 tillverkar barnet en fjäril. Barnet lägger färg på ena sidan av papperet för att göra hälften av fjärilen. Sedan viker barnet papperet för att tillverka den andra halvan som en spegelvänd kopia av den första hälften. På detta sätt utforskar barnet enkla idéer om symmetri med oregelbundna tvådimensionella figurer. Det är ett relativt okomplicerat sätt för förskolläraren att möj­ liggöra för barn att utforska symmetri. Men att tillverka en bild där papperet viks två gånger kräver att barnen har en mental bild av hur vikningen kommer att påverka den slutliga produkten. För att utmana barnens teorier-i-handling så att de kan använda vad de vet från att tillverka fjärilen ovan till att utforma en mer komplex fjäril, behöver förskolläraren ge dem många olika möjligheter att måla, klippa och vika papper.

98

”Det är genom att dokumentera processer, händelser och resultat som vi kan få kunskap om vilken påverkan de saker vi väljer att göra faktiskt har.”

8. Undervisning, utveckling och dokumentationens roll I det här kapitlet sammanfattar vi några av de teman som har behand­ lats i tidigare kapitel och diskuterar hur dessa kan utvecklas ytter­ ligare i förskolans arbete. Ett speciellt intresse ägnas åt dokumentation och de olika roller som dokumentation kan spela i förskolan. Vi inleder med att summera hur Bishops (1988) sex matematiska aktiviteter kan stödja arbetet i förskolan genom att fokusera på sådant som barn kan göra, för att sedan beröra frågor om digitalisering, språk och relationer till föräldrar. I boken har vi använt Bishops sex matematiska aktiviteter som ett ramverk. Vi hoppas att du från tidigare kapitel kan se att detta ramverk låter oss fokusera på sådan matematik som barnen kan göra, snarare än sådan de kan tänkas behöva senare i livet. Det här en nyckel för det vi menar är förskolans matematik. Självklart finns det en över­ lappning. När vi utgår från den matematik som barn kan göra eller delta i just nu, eller vad som är precis bortom det de redan förstår, kan det mycket väl vara sådant som även hänger samman med det de senare ska göra i till exempel skolan. Genom att utgå från det barnen kan göra nu, är det lättare att identifiera matematiska aktiviteter som redan uppenbaras i vardagliga situationer. Små barns sätt att formulera och lösa problem utifrån sina egna erfarenhetsvärldar erbjuder många möjligheter att väcka barnens nyfikenhet på matematiska idéer. Denna nyfikenhet kan också vara en startpunkt för interaktioner med vuxna som ytterligare kan stimulera nyfikenhet och upptäckarglädje. Det här är ett att skälen till att vi började att utforska Bishops matematiska 159

Matematikdidaktik i förskolan aktiviteter genom att diskutera leken i sig och lekens betydelse för att förstå matematik. Att leka kan handla om processen att utöva matematik genom sin kreativitet, deltagande och förhandling av regler. Men naturligtvis är inte all lek ”matematisk”, och matematik ska inte heller betraktas som något som alltid finns närvarande. Barn kan också engageras i de sex matematisk aktiviteterna genom lärarledda uppgifter eller utmaningar som de vi har erbjudit som exempel i bokens kapitel. Men sådana upp­ gifter är inte att leka och det finns även ett behov av att stödja barn i att formulera och lösa egna problem som bygger på idéer som barnen har fått diskutera i samband med lärarledda uppgifter. Här fyller doku­ mentation en mycket viktig funktion vilket vi berör senare i kapitlet. Digitalisering är något som får allt större fokus också i förskolans värld, och överlag i relation till små barn. I den här boken har vi inklu­ derat flera exempel på interaktion mellan barn och föräldrar, till exem­ pel i kapitel 5 om att designa. Digitala applikationer kan erbjuda vissa utmaningar när det gäller hur små barn kan formulera och lösa egna problem inom den virtuella miljön, som ofta kan förefalla ganska låst och där problemen man löser kommer från den virtuella miljön i sig. Palmér (2015) har till exempel visat att utformningen av den digitala applikationen påverkar dialoger och vilka möjligheter till matematiskt lärande som uppkommer när barn arbetar med dem. Vissa applikatio­ ner stödjer barns möjligheter att utforska olika scenarier medan andra presenterar uppgifter i en linjär längd där det inte är möjligt att göra något annat än det som är förutbestämt i applikationen För att stödja barns möjligheter att vara kreativa, deltagande och att förhandla regler, det vill säga vara med om något av det som ka­ rakteriserar lekande, måste digitala applikationer inkluderas som en av flera möjligheter till interaktion. Det kan till exempel bli möjligt om applikationer relaterar till verkliga situationer som att klippa hår och låta hår växa ut eller att använda en våg. Att förflytta sig mellan den digitala världens virtuella verklighet och den vardagliga världen runt omkring oss, kan skapa fler möjligheter för kreativt deltagande i den digitala omgivningen samt öka möjligheterna för diskussion och ut­ forskande av matematiska idéer med en vuxen i en vardaglig situa­ 160

8. Undervisning, utveckling … tion. Sådana diskussioner kan också föras efter att barn har använt ett digitalt spel, så att idéer från spelet kan influera lekar i den verkliga världen. För att sådana möjligheter ska kunna förverkligas måste lä­ rare se möjligheterna som digitala miljöer kan erbjuda och ge barnen stöd i att se sambanden. Som vid allt arbete med förskolebarn kräver det här tankar om effekter av de potentiella pedagogiska handlingar man tänker sig. Vilka av dessa handlingar är mest värdefulla för hur barn engagerar sig i matematiska aktiviteter och för deras deltagande med matematiska idéer? Att utveckla ett matematiskt språk har också varit ett tema genom samtliga av bokens kapitel. Att förstå hur barn kommunicerar om ma­ tematik med både verbalt och icke-verbalt språk är viktigt eftersom det erbjuder insikter om vad barn fokuserar på i sin omgivning. Därför är observationer av barns kommunikation också viktigt ur ett dokumen­ tationsperspektiv. Att identifiera vilka strategier barn använder bland de som finns i deras kommunikativa repertoar skapar möjligheter för förskollärare att utveckla och utvidga barnens tänkande, samtidigt som de anknyter till barnens intresse. Även när det gäller att utvidga och förfina barns matematiska språk är det viktigt att utgå från deras redan existerande verbala och icke-verbala kommunikationsregister. När barn med annat modersmål än svenska börjar i förskolan är det ännu viktigare att stimulera hela deras språkliga register och inte bara stanna vid det verbala utan även ägna uppmärksamhet till vad de gör och vad de kanske tänker. Det är också viktigt att barn får utveckla sin matematiska repertoar på alla språk som de kommer i kontakt med. Denna breda utveckling kommer att hjälpa dem att vara kreativa när de tänker på matematiska idéer, själva såväl som ihop med andra. Ett exempel på det här finns i kapitel 4 om att lokalisera där olika sätt att beskriva var saker är placerade visar hur olika språk använder olika prepositioner för lokalisering. Föräldrar är också viktiga som barnens första utbildare, och att hitta sätt att arbeta ihop med dem är en del av förskolans arbete. Lembrérs (2020) forskning i Norge har visat hur föräldrar anpassar sina peda­ gogiska tillämpningar vid lekar i hemmet och när de interagerar med barn runt olika erfarenheter. Till exempel när en förälder pratade om 161

Matematikdidaktik i förskolan att spela Yatzy med sitt barn sa föräldern: ”Vi spelar med en tärning med siffrorna 1 till 6, men med yngre barn har vi en tärning med prickar. Det är lite enklare då.” När föräldrar inte själva har gått i svensk förskola kan det ha många andra frågor om hur de kan stödja lärare i att utveckla sina barns deltagande i matematiska aktiviteter. Föräldrar kan också bidra med alternativa perspektiv som kan stimulera barnens nyfikenhet att ut­ forska matematiska idéer, men också varandra. Att undersöka olika sätt att räkna i olika kulturer är ett exempel på när föräldrar kan en­ gageras i arbetet i förskolan genom att komma och visa hur de räknar på sitt språk och i sin kultur. Föräldrar kan å andra sidan ofta känna att det är viktigast att barn lär sig om den svenska kulturen och kan­ ske inte känner att det är lämpligt att föreslå alternativ. Därför har förskollärare en viktig roll att spela i att få alla föräldrar att känna sig välkomna att dela med sig av sin kultur och sina erfarenheter så att dessa inkluderas i potentiella matematiska erfarenheter.

Fördjupa och följa upp I förskolans läroplan kopplas utvärdering och uppföljning mycket tyd­ ligt till utveckling. Varje barns utveckling och lärande ska följas upp och det görs för att det ska vara möjligt att tillgodose barnets möjlig­ heter att kontinuerligt utvecklas och lära sig i enlighet med läroplanens mål (Skolverket, 2018). Det här är alltså en genuint formativ ansats. För att kunna utveckla undervisningen och verksamheten i allmänhet så att barnen lär sig, måste information om undervisningens påverkan samlas in, det vill säga dokumenteras. I det här kapitlet ser vi på dessa saker genom ett raster av doku­ mentation. Det är genom att dokumentera processer, händelser och resultat som vi kan få kunskap om vilken påverkan de saker vi väljer att göra faktiskt har. Vi kommer inte systematiskt att behandla olika former av dokumentation, som video, foto och text. Detta diskute­ ras till exempel i Anna Palmers (2011) bok Hur blir man matematisk? och i Margareta Forsbäcks (2006) kapitel i Små barns matematik. Vi redogör inte heller för alla turer i den mycket aktiva debatten om hur 162

Matematikdidaktik i förskolan

ANDRA UPPLAGAN

Att utveckla lekfulla, matematiska barn Ola Helenius, Maria L. Johansson, Troels Lange, Tamsin Meaney & Anna Wernberg Vad är matematik i förskolan? Hur kan man väcka barns nyfikenhet på matematik? I den här boken visar författarna hur man kan utgå från det som barn redan vet och kan, och utifrån ett sådant förhållningssätt arbeta med olika matematiska aspekter i förskolan. I boken ges ett särskilt perspektiv på matematikdidaktik i förskolan, där barnet och leken sätts i centrum. Författarna problematiserar de matematiska målen i förskolans läroplan med hjälp av Alan Bishops sex kulturhistoriska matematiska aktiviteter: leka, förklara, lokalisera, designa, mäta och räkna. Dessa aktiviteter beskriver hur matematik skapas och används i alla mänskliga kulturer. Genom en förståelse för hur dessa aktiviteter fungerar kan man förverkliga de matematiska målen i förskolans läroplan och samtidigt utveckla lekfulla, matematiska barn. I denna reviderade upplaga är innehållet anpassat efter den nya läroplanen för förskolan (Lpfö 18). Boken har också försetts med flera nya exempel, undervisningsbegreppet diskuteras tydligare och arbetet med flerspråkighet i förskolan har lyfts. Bokens författare har under flera år tillsammans bedrivit forskning som fokuserar på förskolans matematik och olika aspekter av den. Författarna är verksamma inom förskollärarprogrammet och andra lärarprogram vid olika lärosäten i Sverige och Norge. De har också skrivit materialet till matematiklyftet för förskola och förskoleklass.

ISBN 9789151102825

9 789151 102825