LIBER Matematik
LIBER
fortsättning nivå 2 matematik
LIBER
JONAS KLINGBERG
OLOF KLINGBERG
ISBN 978-91-47-14842-4
©2026LiberAB
PROJEKTLEDARE:LouiseWestin
REDAKTÖR:JonasKlingberg
FÖRFATTARE:JonasKlingbergochOlofKlingberg
OMSLAG:ToveFreiij(foto),LottaRennéus(form)
FORMGIVNING:NetteLövgren,CeciliaFrank,OlofKlingberg
BILDREDAKTÖR:MattiasJosefsson
ILLUSTRATIONER:OlofKlingberg
PRODUKTION:MariaTholander
Förstaupplagan
1
REPRO:IntegraSoftwareServices
TRYCK:LivoniaPrint,Lettland2026
KOPIERINGSFÖRBUD
Dettaverkärskyddatavupphovsrättslagen.Kopiering,utöver läraresocheleversbegränsaderättattkopieraförundervisningsbruk enligtBONUS-avtal,ärförbjuden.BONUS-avtaltecknasmellan upphovsrättsorganisationerochhuvudmanförutbildningsanordnare, t.ex.kommunerochuniversitet.
Intrångiupphovsrättshavarensrättigheterenligtupphovsrättslagen kanmedförastraf(böterellerfängelse),skadeståndoch beslag/förstöringavolovligtframställtmaterial.Såvälanalog somdigitalkopieringreglerasiBONUS-avtalet.Läsmerpå www.bonuscopyright.se.
LiberAB,11398Stockholm www.liber.se/kundservice www.liber.se
Välkommentillfortsättningnivå2!
Ämnenochkurser
Dettaskrivsnärgymnasietstidigarekurseri matematikiställetblirtillämnen.Matematik fortsättningärettämneitvånivåer,och dennabokbehandlaralltsådenandra.Mycket avinnehålletärendirektfortsättningpå Matematikfortsättningnivå1,somisinturär väldigtlikdentidigarekurs3.Förnärvarande ärdetocksåivåratidigareböckerförkurserna 3boch3c,somduhittarsådantvisyftarpånär viitextenhänvisartillnivå1.Inteminstgäller dettadenteoretiskabakgrundentillderivata ochintegraler.
Införhögskolan
Dethärärdenavslutandedelenavden obligatoriskamatematikenförNatur-och Teknikprogrammen.Mångakommersedanatt gåvidaretillhögskolestudierdärmatematik ingårinågonform.Förattförberedainför dettaharvi,särskiltislutetavboken,skapat endelövningsuppgiftersompåminnerom demmankanmötaiuniversitetsmatematiken. Oftahandlardessaomresonemangoch kommunikation,feraäravtypen”visaatt…”, ochvigerintealltidnågotfacittilldem.
Övningsuppgifterochaktiviteter
Övningsuppgifternaibokenärindeladeitre svårighetsnivåerochmärktaefterdesåkallade förmågorsombehandlas:Bförbegrepp,P förprocedur,PLförproblemlösning,Mför modellering,RförresonemangochKför kommunikation.Uppgifternaärocksåindeladei sådanasomskalösasmedendastpapperoch
penna,ochsådanadärettdigitaltverktyg behövs.Detdigitalaverktygetbörvara symbolhanterande.EttbrasådantärGeogebra Classic5,somviocksåanvänderidefestaav deaktivitetersomfnnsimångadelkapitel. Övrigadelarbyggeroftadirektpåresultat frånaktiviteterna,såhoppainteöverdem! Genomfördemgärnatillsammansmedeneller ferakamrater,ochföljuppdemigrupp.
Defnitionerochexempel
Ibokensteoritexterfnnsviktigadefnitioner ochbegreppigrönarutorochgenomräknade exempeliblå.Oftadykerocksåkontrollfrågor upp,somkanvarabraattdiskuteraiklassen. Vissafrågorärlitesvårare,viharkallatdem utmaningar.Någradelavsnittärmarkerade somfördjupning.Mankannåettgottresultat inivå2utandessa,menförintresseradeelever kandebidratillendjupareförståelse.
Repetitioninförkursprov
Islutetavbokenfnnsettrepetitionsavsnitt medblandadeuppgifter,somutansärskild ordningkantauppmomentfrånsamtliga föregåendekapitel–litepåsammasättsom iexempelvisettnationelltprov.Längstbak fnnerduettregister,somviförsöktgöra ganskafylligt.Sökgärnaidetta,omdu kännerdigosäkerellerkanskenyfkenpånågot begrepp.
Meddettaåterstårförossendastattönskaett stortlyckatillmedmatematikstudierna!
Författarna
Innehåll
1 TRIGONOMETRI
1.1Radianer–ettvinkelmått...........2
1.2Trigonometriskadefnitioner.........11
AKTIVITET–Sinusochcosinusi enhetscirkeln.....................16
1.3Trigonometriskaformler............25
AKTIVITET–Kurvortillsinusochcosinus ..42
1.4Trigonometriskafunktioner.........45
AKTIVITET–Amplitudochperiod iGeogebra ......................47
AKTIVITET–Fasförskjutningav sinuskurvoriGeogebra ...............52
AKTIVITET–Grafenförtangens iGeogebra ......................61
1.5Trigonometriskaekvationer..........67
AKTIVITET–Kurvan y = a sin x + b cos x ..78
KAPITELTESTGRUNDLÄGGANDE ......84
KAPITELTESTAVANCERAT ..........86
2DERIVATAOCH DERIVERINGSREGLER
2.1Derivata......................88
AKTIVITET–Tangentlinjenslutning ......89
AKTIVITET–Tangentlinjerför y =cos x ...93
AKTIVITET–PendeliGeogebra ........119
2.2Kedjeregelnitillämpningar..........125
2.3Asymptoterochkurvritning.........128
2.4Deriveringsreglersamlade...........140
KAPITELTESTGRUNDLÄGGANDE ......141
KAPITELTESTAVANCERAT ..........142
3INTEGRALER
3.1Primitivafunktioner..............144
AKTIVITET–Integralerochareori Geogebra.......................151
3.2Tillämpningaravintegraler..........156
AKTIVITET–RotationsvolymiGeogebra ...176
AKTIVITET–NormalfördelningiGeogebra ..185
KAPITELTESTGRUNDLÄGGANDE ......195
KAPITELTESTAVANCERAT ..........197
4KOMPLEXATAL
4.1Reellatal......................200
4.2Komplexatal...................203
AKTIVITET–Räkneoperationermed komplexataliPython ...............216
4.3Detkomplexatalplanet.............220
AKTIVITET–KomplexataliGeogebra ....227
4.4Komplexatalsomvektorer..........230 AKTIVITET–PolärformiPython .......243
4.5Denkomplexaexponentialfunktionen...247 AKTIVITET–Rötterutmedenhetscirkeln tillekvationen z3 =1 ...............252
4.6Polynomekvationer...............259
AKTIVITET–Parametriskakurvori Geogebra.......................280 KAPITELTESTGRUNDLÄGGANDE ......282 KAPITELTESTAVANCERAT ..........284
Kapitel 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Radianer – ett vinkelmått
Trigonometriska definitioner
Trigonometriska formler
Trigonometriska funktioner
Trigonometriska ekvationer
TRIGONOMETRI
Ur innehållet:
Ett annat sätt att mäta vinklar.
Fler trigonometriska samband.
Funktioner som beskriver svängningar och vågor.
Ekvationer med trigonometriska uttryck.
Omvändningar till sinus, cosinus och tangens.
1.1 Radianer–ettvinkelmått
Trigonometriutgårifrånvinklar,ochidettaförstadelkapitelundersöker visådana–särskiltiförhållandetillenhetscirkeln,somviintroducerade iMatematik–fortsättningnivå1.
Hittillsiskolmatematikenharvimättvinklarigrader.Engradären 360-dels,ellerensjättedelavensextiondels,varv.Dettaärbesläktat medattvidelartimmarochminuterisextiondelarochgrundarsig troligenihurmanräknadeiSumer,historiensäldstakändacivilisation.
Sumer lågidetsomnuärIrak.Denna 4600årgamlasumeriskalerplattavisar areorsomprodukteravlängder–världens äldstabevaradeberäkningar.
Inommatematikochfysikärdetoftasmidigareattmerdirektrelatera envinkelsstorlektillförhållandetmellanlängdenavencirkelbågeoch cirkelnsradie.
Cirkelsektor
En cirkelsektor begränsasavencirkelbågeochdetvåradiernatilldess ändpunkter.Omradienbetecknas r ochcirkelbågen b,angervistorlekenpåvinkelnmellanradierna,detvillsägamedelpunktsvinkeln,som b r radianer.Icirkelsektornifgurennedanärvinkelnmellanradierna såstoratt b = r.Därmedärvinkelnsstorlekiradianerhär b r = r r = 1.
r b = r 1 rad
Cirkelnshelaomkretsär 2rπ.Envinkelsomutgörettheltvarv (360◦)hardärmediradianerstorleken 2π.Påliknandesättär 180◦ = π radianer, 90◦ = π 2 radianer ochsåvidare.
Iblandanvändsförkortningenradförattbetecknaenhetenradianer, menoftareangesvinklariradianerheltutanenhet.Såävenidenna bok,därvifördetmestakommerattanvändaradianersomvinkelmått. Idesammanhangdärvinklariställetangesigrader,ärdetdärför destoviktigareattalltidanvändasymbolen ◦.Inteminstmed digitalaverktygmåstemanvaranogamedvilketavmåttensom används.
KONTROLL1 1.Uttryckigrader. a) π 4 b) 3π 2 2. Uttryckiradianer. a) 60◦ 150◦
Areanavencirkelsektor
Envinkelmedstorleken v radutgörandelen v 2π avettheltvarv. Omencirkelsradieär r,ärhelacirkelskivansarea r2π.Förencirkelsektormedradien r ochmedelpunktsvinkeln v angiveniradianer gällerdärför
cirkelsektorsarea = v 2π · r2π = vr2 2
Vi kommerattanvändadettasenareikapitlet.
KONTROLL2
Bestämexaktareanavencirkelsektormed
1.medelpunktsvinkeln π 5 ochradien5.
2.medelpunktsvinkeln 1radochradien4.
Radian ochcirkelbåge
Omradieniencirkelsektorharsammalängdsomcirkelbågen, ärmedelpunktsvinkelnsstorlek 1radian.
Storlekeniradianeravenhelvinkel(enhelcirkel)är 2π
Vinkelmåttiradianerskrivsmedenhetenrad,ellerutanenhet.
Areanavencirkelsektormedradien r ochmedelpunktsvinkeln v rad är vr 2 2 .
Omvandlingsformer
Antaattenvinkel u◦ = v rad.Settsomandelaravettheltvarvfårvi då u 360 = v 2
Ur sambandetkanvilösaut
EXEMPEL 1 1.Envinkelär 36◦.Angedessstorlekiradianer.
2.Envinkelär 2π 9 . Angedessstorlekigrader.
Lösning
1. π · 36 180 = π 5
Svar: Vinkelnär π 5 2. 180 2π 9π = 40
Svar:Vinkelnär 40◦
EXEMPEL 2 Användnågotdigitaltverktygförattmedtvådecimalers noggrannhetuttrycka
a) 173◦ iradianer.b) 2,35radigrader.
Lösning
a) π 173 180 ≈ 3,02
Svar: 3,02rad. b) 180 · 2,35 π ≈ 134,65
Svar: 134,65◦ .
KONTROLL3 Visameddigitaltverktygatt
1. 1rad ≈ 57,3◦
2. 157◦ ≈ 2,74rad
UTANDIGITALAVERKTYG
NIVÅ1 B PPLM R K
1101 Omvandlatillgrader,omvinkelstorlekeni radianerär a) π 3 b) 2π 3
1102 Omvandlatillradianer.Svaraexakt,på enklasteform.
a) 30◦ b) 90◦ c) 270◦ d) 135◦ e) 10◦ f) 350◦
g) 15◦ h) 45◦ i) 210◦ j) 300◦
1103 Beräknaareanavencirkelsektormed medelpunktsvinkeln v ochradie r,då
a) v = π 4 och r =3
b) v = 4π 3 och r =1
1104 Ange storlekeniradianerförmedelpunktsvinkelniencirkelsektormedarea A och radie r,då
a) A = 20π 3 och r =4
b) A = 3π 16 och r = 1 2
MED DIGITALAVERKTYG
NIVÅ1
B PPLM R K
1105 Värdenanedanäriradianer.Omvandla tillgrader.Svaramedtvådecimalers noggrannhet.
a) 3,5radb) 9π 7 c) 0,31rad
1106 Omvandlatillradianer.Svaramedfyra värdesifrorsnoggrannhet.
a) 2,19◦ b) 311◦ c) 177,3◦
NIVÅ2 B P PL M R K
1107 Angemedtvådecimalersnoggrannhet areanavencirkelsektormed medelpunktsvinkeln 23◦ ochradien 7,5mm.
1108 Angeigradermedtrevärdesifrors noggrannhetmedelpunktsvinkelnien cirkelsektormedarean 75cm2 ochradien 13,4cm.
Negativavinklar
IMatematik–fortsättningnivå1cintroduceradevienhetscirkeln,en cirkelmedradien 1 ochmedelpunkteniorigoikoordinatsystemet.Vi undersöktevinklarmellandenpositiva x-axelnochenradietillen punktpåcirkeln.Ensådanvinkelkalladeviförenvinkeltillpunkten.Videfnieradepositivriktningsommotursochnegativriktning sommedurs,fråndenpositiva x-axeln.Dettagällerpåsammasättför vinklarangivnairadianer.
Ienhetscirkelnärvinkeln 0 vinkelntillenenpunktmedkoordinaterna (1, 0).Tänkerviossattpunktendärifrånrörsigutmedcirkelni positivriktning,moturs,fårvinkelntillpunktenettväxandepositivt värde.Ompunkteniställetrörsiginegativriktning,medurs,får vinkelnettavtagandenegativtvärde.Figurernanedanvisarsom exempelvinklarna π 3 och π 3
Vi kantänkaossattenpunktnåttettgivetlägepåcirkelngenomatt rörasigantingenipositivellernegativriktningfrån (1, 0).Därförkan vinklartillenochsammagivnapunktbeskrivasmedbådenegativa ochpositivavärden.Ifgurennedanserviattdenpunktpåcirkeln somharvinkeln
Vinklarstörreänettvarv
Påliknandesättkanvisedetsomattenpunktrörtsigmeränett heltvarv, 2π,från (1, 0).Ifgurernanedanservisomexempelatten punktmedenvinkel π 3 är
Attsubtraheranågonheltalsmultipelav 2π frånenvinkeländrarinte hellerpunktenslägepåenhetscirkeln,eftersomdettamotsvararen rörelseettheltantalvarvinegativriktning.
Vinklarpåformen v +2nπ
Omenvinkeltillenpunktpåenhetscirkelnär v,äralltsåallavinklar v plusellerminusnågongodtyckligheltalsmultipelav 2π ocksåvinklar tillsammapunkt.Omväntkanallavinklartillpunktenskrivaspå dettasätt.Medmatematisksyntaxuttryckervidetsomattsamtliga vinklartillpunktenär v +2nπ,där n är(ettgodtyckligt)heltal.
Vanligtvisbrukarmanhärange v somettvärdeiantingenintervallet ] π,π] eller [0, 2π[.Tillägget”där n ärheltal”kanersättasmed”∈ Z”. Bokstaven Z betecknarmängdenheltalochtecknet”∈”betyder ”tillhör”.
Vinklarienhetscirkeln
Vinkelntillenpunktpåenhetscirkelnangesfrånpositiva x-axelntillenradiefrånorigotillpunkten,ipositiveller negativriktning.
Omenvinkeluttrycktiradianertillenpunktpåenhetscirkeln är v,skrivssamtligavinklartillsammapunktsom
v +2nπ, n ∈ Z
Om v iställetärvärdetförvinkelnigrader,skrivssamtliga vinklartillsammapunktsom
v◦ + n · 360◦ , n ∈ Z
KONTROLL4 Envinkeltillenvisspunktpåenhetscirkelnär 4π 7 . Ange samtligavinklar v tillsammapunkt.
EXEMPEL 3 Vinkelntillenvisspunktpåenhetscirkelnär v.Angeenvinkel tillsammapunktiintervallet ] π,π], då a) v =
π 4
intervallet ] π,π].
Svar: π 4
EXEMPEL 4 Tillenpunktpåenhetscirkelnärenvinkel 5π 6 . Angetill sammapunktenvinkel v iintervallet [0, 2π[
Lösning
1109 Vinkelntillenvisspunktpåenhetscirkeln
är 4π 3
Ange samtligavinklartillpunkten.
1110 Tvåavuttryckenia)–f)angervinklartill sammapunktpåenhetscirkeln–vilka?
1114 v är envinkeltillenvisspunktpåenhetscirkeln.Angeigraderinomintervallet ] 180◦ , 180◦] envinkeltillsammapunkt, då
a) v =270◦ b) v =410◦
c) v =359◦
NIVÅ2 B P PL M R K
1115 v är envinkeltillenvisspunktpåenhetscirkeln.Angeinomintervallet ]3π, 5π] en vinkeltillsammapunkt,då
a) v = π b) v = 2π 3 c) v = 3π d) v = 2π 3
1111 Vinkelntillenvisspunktpåenhetscirkeln
är v.Angeenvinkeltillsammapunkti intervallet ] π,π],då a)
1116 En vinkeltillenvisspunktpå enhetscirkelnär 7π 12 Ange samtligavinklartillsammapunkt inomintervallet ] 5π, π]
MEDDIGITALAVERKTYG
1112 Vinkelntillenvisspunktpåenhetscirkelnär v.Angeinomintervallet [0, 2π[ envinkeltillsammapunkt,då
a) v = π 6 b) v = 2π c) v = 2π 5
1113 Vinkelntillenvisspunktpåenhetscirkeln
är v.Angeigradersamtligavinklartill sammapunkt,då
a) v =15◦ b) v = 45◦
c) v = π 2
1117 v är envinkeltillenvisspunktpåenhetscirkeln.Angemedfyravärdesifrors noggrannhetinomintervallet ] 3,142;3,142] envinkeltillsamma punkt,då
a) v =4,152radb) v =17,02rad
c) v =6,283rad
1.2 Trigonometriskadefnitioner
Sinus,cosinusochtangens
IMatematik–fortsättningnivå1cvisadevihurvidefnierarsinus ochcosinusgenomattutgåifrånenhetscirkeln.Förenvinkel v tillen punktpåenhetscirkeln,är cos v likamedpunktens x-koordinatoch sin v likamedpunktens y-koordinat.
Minns attradienienhetscirkeln harlängd1.
Förtangensharviatt tan v = sin v cos v . När cos v =0 är tan v odefnierat.
Sinus, cosinusochtangens
Förenpunktpåenhetscirkelnmedvinkeln v tillpositiva x-axelnär
cos v = punktens x-koordinat
sin v = punktens y-koordinat
tan v = sin v cos v (cos v = 0)
Då cos v =0 ärtangensodefnierat.
KONTROLL5 Skadetstå < 0
sin v
cos v
KONTROLL6 Irätvinkligatrianglardefnierassinus,cosinusochtangensför envinkel 0 <v< π 2 enligt
sin v = motstående katet hypotenusan
cos v = närliggandekatet hypotenusan
tan v = motståendekatet närliggande katet Visaattdessadefnitioneröverensstämmermeddefnitionerna somutgårifrånenhetscirkeln.
Sinus ochcosinusförrelaterade vinklar
IMatematik–fortsättningnivå1cresoneradeviutifrånenhetscirkeln, förattvisanågragrundläggandetrigonometriskasamband.Virepeterar dessa,numedvinklarangivnairadianer,ochmotiverarendastmed fgurer. x y cos v v x y cos(–v) = cos v –v
¬ v
cos(π ¬ v) = –cos v
cos( v)=cos v
cos(π v)= cos v x y sin v v x y
sin(π ¬ v) = sin v π ¬ v
sin(–v) = –sin v –v x y
sin( v)= sin v
sin(π v)=sin v
Nyaförnivå2ärettparenklamenviktigasambandmellansinus ochcosinus.Vikanseatt x-koordinatenförenpunktpåenhetscirkeln medvinkeln v tillpositiva x-axelnärlikamed y-koordinatenfören
punktmedvinkeln π 2 v Därförgäller
Påmotsvarandesättharviatt y-koordinatenförpunktenmedvinkel v ärlikamed x-koordinatenförpunktenmedvinkel π 2 v, vilketger x y sin v v x y v 2 π cos v 2 π( ( sin v = cos π 2 v
Tangensförrelateradevinklar
Förtangensgersambandenförsinusochcosinusochenhetscirkeln
tan( v)= sin( v) cos( v) = sin v cos v = sin v cos v = tan v
tan(π v)= sin(π v) cos(π v) = sin v cos v = sin v cos v = tan v
tan(v π)=tan (π v) = tan(π v)=tan v
tan(v + π)=tan(v π +2π)=tan(v π)=tan v
tan( v)= tan v
tan(v π)=tan(v + π)=tan v
KONTROLL7 Skadet v eller ( v) idetommarutorna?
sin v =sin
cos( v)=cos
sin(π v)=sin
sin(π + v)=sin
sin( v)=cos π 2 +
AKTIVITET
Sinus ochcosinusienhetscirkeln
•ÖppnaettnyttfönsteriGeogebra.
•Klickaochdraifönstretsnedrehögrahörn.Förstorafönstret ordentligt,ibådebreddochhöjd.
•Högerklickai Ritområdet,välj Ritområde… Klickapå hänglåssymbolen,förattlåsaförhållandetmellankoordinataxlarna som 1:1.Stängfönstret Inställningar-Ritområde genomattklicka påkryssetdessövrehögrahörn.
•Zoomain,exempelvismedhjälpavverktygetunder Flyttaritområdet.Låt x-axelnvarasynligiungefärintervallet [ 1,4;3] och y-axelniintervallet [ 1,4;1,4]
•Välj Inställningar,Namnpåobjekt,Inganyaobjekt
•Ställmarköreni Inmatningsfältet.Skriv (0,0).Tryck Enter.
•Skriv (1,0).Tryck Enter.
•Låtmarkörenståi Inmatningsfältet.Skriv Cirkel(A,1).Tryck Enter Encirkelmedcentrumiorigoochradien1skasynasi Ritområdet.
•Högerklickapå A=(0,0) i Algebrafönstret.
•Välj Egenskaper.Markerairutanvid Låsobjekt.
•Låspåliknandesättpunkten B=(1,0) ochcirkeln c
•Väljverktyget Punkt ochklickapåcirkelnnågonstansiförsta kvadranten,förattsättautenpunkt C.
•Väljverktyget Sträcka.
•Klickai Ritområdet pådennyapunkten C ochsedanpåpunkten A=(0,0).
•Högerklickapåsträckan.Välj Egenskaper,Färg.Väljenrödfärg.
•Ställmarköreni Inmatningsfältet.Skriv x(C).Tryck Enter.
•Skriv y(C).Tryck Enter.I Algebrafönstret ska x-koordinatenför punkten C hafåttbeteckningen a och y-koordinaten beteckningen b
•Väljverktyget Vinkel . Klickai Ritområdet påpunkterna B=(1,0),A=(0,0) och C,idenordningen.
•Högerklickapådenskapadevinkeln.Välj Egenskaper, Grundinställningar.
•Ändrairutanför Namn: till v
•Setillatt Visaetikett ärmarkerat,menväljimenynintill Namn i ställetför Värde.
•Välj Vinkelmellan: 0◦ och 180◦.Stängdialogrutangenomattklicka påkryssetdessövrehögrahörn.
•Väljverktyget Text
•Klickanågonstansi Ritområdet utanförcirkeln,inärhetenav punkten C
•Dialogrutan för Text skasynas.Markeravid LaTeX-formel.Ställ markörenirutan Redigera
Skriv \sin{v}=
Klicka Objekt,välj b
Skriv \\\cos{v}=
Klicka Objekt,välj a
Klicka OK
•Sparaflen.
•Väljverktyget Flytta (pilen) Klickapåpunkten C ochdraden utmedcirkeln.Noterahurvärdenaför sin v och cos v påverkas.
•Ställmarköreni Inmatningsfältet.Skriv (a,-b).
•Väljverktyget Sträcka.Klickapådennyapunkten D ochpå punkten A (origo).
•Väljverktyget Vinkel.Klickapåpunkterna D,A och B=(1,0),i denordningen.
•Högerklickapådennyavinkeln.Välj Egenskaper,Grundinställningar Ställmarkörenirutan Förklaring: Skriv -v.
•Setillatt Visaetikettärmarkerat.Ändrairutanintilltill Förklaring
•Välj Vinkelmellan: 0◦ och 180◦.Stängdialogrutangenomattklicka påkryssetidessövrehögrahörn.
•Väljverktyget Text.Klickanågonstansi Ritområdet,utanförcirkeln inärhetenavdennyapunkten D.
•Markeraidialogrutanvid LaTeX-formel.Ställmarkörenirutan Redigera
Skriv \sin{(-v)}=- (Läggmärketillbådaminustecknen.)
Klicka Objekt,välj b
Skriv \\\cos{(-v)}=
Klicka Objekt,välj a
Klicka OK
•Spara flen.
•Väljverktyget Flytta (pilen).Experimenteragenomattdrapunkten C utmedcirkeln.Jämförvärdenaförsinusochcosinusför v och v.
•Avmarkerai Algebrafönstret,genomattklickapåpunkternavid objekten
Punkten D
Sträckan g=1
Vinkeln α
Textelementet Text2.
•Ställmarköreni Inmatningsfältet.Skriv (-a,b) ochtryck Enter
•Skapaensträckamellandennyapunkten E ochorigo.
•Väljverktyget Vinkel.Klickaiordningpåpunkterna B=(1,0), A=(0,0) ochdennyapunkten E
•Högerklickapådennyavinkeln β.Välj Egenskaper, Grundinställningar.Ställmarkörenirutanvid Förklaring: Klickapå knappen α,välj π,skriv -v
•Ändravidbehovsåatt Visaetikett ärmarkeratochdetstår Förklaring irutanintill.
•Låtdetstå Vinkelmellan: 0◦ och 360◦
•Väljfiken Utseende.Drauppvisarenför Storlek till70.Stäng dialogrutan.
•Väljverktyget Text.Klickanågonstansi Ritområdet,utanförcirkeln inärhetenavdennyapunkten E.
•Markeraidialogrutanvid LaTeX-formel.Ställmarkörenirutan
Redigera
Skriv \sin{(\pi-v)}=
Klicka Objekt,välj b
Skriv \\\cos{(\pi-v)}=-
Klicka Objekt,välj a
Klicka OK
•Spara flen.
•Väljverktyget Flytta (pilen).Experimenteragenomattdrapunkten C utmedcirkeln.Jämförvärdenaförsinusochcosinusför v och
π v
•Avmarkerai Algebrafönstret,genomattklickapåpunkternavid objekten
Punkten E
Sträckan h=1
Vinkeln β
Textelementet Text3
•Ställmarköreni Inmatningsfältet.Skriv (b,a) ochtryck Enter.
•Skapaensträckamellandennyapunkten F ochorigo.
•Väljverktyget Vinkel.Klickaiordningpåpunkterna B=(1,0), A=(0,0) ochdennyapunkten F.
•Högerklickapådennyavinkeln γ.Välj Egenskaper, Grundinställningar. Ställmarkörenirutanvid Förklaring: Klickapå knappen α,välj π,skriv /2-v.
•Kontrolleraatt Visaetikett ärmarkeratochattdetstår Förklaring i rutanintill.
•Ändratill Vinkelmellan: 0◦ och 180◦ .
•Väljfiken Utseende.Drauppvisarenför Storlek till70.Stäng dialogrutan.
•Väljverktyget Text.Klickanågonstansi Ritområdet,utanförcirkeln inärhetenavdennyapunkten F
•Markeraidialogrutanvid LaTeX-formel.Ställmarkörenirutan
Redigera
Skriv \sin{(\pi/2-v)}=
Klicka Objekt,välj a
Skriv \\\cos{(\pi/2-v)}=
Klicka Objekt,välj b
Klicka OK
•Sparaflen.
•Väljverktyget Flytta (pilen).Experimenteragenomattdrapunkten
C utmedcirkeln.Jämförvärdenaförsinusochcosinusför v och
π/2 v.
Exaktatrigonometriskavärden
Ienhetscirkelnärvinkeln 0 tillenpunktmed x-koordinaten 1 och y-koordinaten 0.Tillenpunktmed x-koordinaten 0 och y-koordinaten 1 ärvinkeln π 2 , alltsåenrätvinkel.Därförär
sin0=cos π 2 = 0 och sin π 2 = cos0=1
Vifårocksåatt tan0= sin0 cos0 = 0 1 = 0,medantangensför π 2 är odefnierat.
IMatematik–fortsättningnivå1chärleddeviexaktavärdenförsinus, cosinusochtangenstillvinklarna 30◦ och 60◦ medhjälpavenhalv liksidigtriangelochPythagorassats.Förattfåframmotsvarande värdenförvinkeln 45◦,utgickvifrånenlikbent,rätvinkligtriangel.Vi skrivervinklarnairadianersom π 6 , π 3 respektive π 4 ochsammanställer dessavärdenochdeförvinklarna 0 och π 2 i entabell:
Tabellenskalärasinutantill.Vinklarnaiden,tillsammansmedde vinklarvienligttidigareavsnittkanrelateratilldem,återkommer ständigtiberäkningar.Oftakallasdeför standardvinklar.Attvara säkerpådetrigonometriskavärdenaförstandardvinklargerenfördel jämförbarmedattigrundläggandematematikbehärska multiplikationstabellen.
EXEMPEL 5 Användsambandenfråntidigareikapitlet,förattbestämma exaktavärdenför
Lösning
NIVÅ1 BPPL MRK
1201 Skrivavtabellernaochfyllideexakta värdena.
1202 Vadgäller?Skrivavochmarkerairätt kolumn. <
v
sin v cos v
1203 Beräknaexakt.
1204 Visa att
1.3 Trigonometriskaformler
Trigonometriskaettan
Olikaskrivsätt
Kvadrateravtrigonometriskauttryckärmycketvanliga,ochdetfnns förenkladeskrivsättfördem.Detärexempelvisheltkorrektatt betecknakvadratenav sin v med (sin v)2.Menförattsparapåplats ochparentesteckenskrivermaniställetoftast sin2 v.Påsammasätt skriverman cos2 v och tan2 v iställetför (cos v)2 och (tan v)2
Pythagorassatsienhetscirkeln x y cos v v 1 (cos v, sin v)
I fgurenovansynsenvinkel v tillenpunktiförstakvadrantenpå enhetscirkeln.Dennapunkt,origoochenpunktpå x-axelnmedkoordinater (cos v, 0) utgörhörnenienrätvinkligtriangel.Idennatriangel hardenmotståendekatetentill v (blåifguren)längden sin v.Den närliggandekateten(grön)harlängden cos v.Hypotenusan(röd)utgör radieienhetscirkeln.Desslängdärdärmed1.
Pythagorassatsgeratt sin2 v +cos2 v =12 =1.Dettamycketanvändbarasambandbrukarkallas trigonometriskaettan ochgällerinteendast förvinklartillpunkteriförstakvadranten.Seexempelvisfgurennedan:
cos u u 1 (cos u, sin u)
x
Vinkeln u ärtillenpunktitredjekvadrantenienhetscirkeln.Enrätvinkligtriangelmotsvarandedenidenförstafgurenärinritad.Här harbåde sin u och cos u negativavärden.Längdenavdenblåkateten är sin u ochlängdenavdengröna cos u.Menkvadratenavtvå motsattatalärlika,detvillsäga ( sin u)2 =sin2 u och ( cos u)2 =cos2 u Därförharviävenhär sin2 u +cos2 u =1.Påliknandesättkanman lättvisaatttrigonometriskaettangällerocksåidenandraochfjärde kvadrantenochdärmedförgodtyckligavinklar.
Trigonometriskaettan
sin2 v +cos2 v =1
KONTROLL8 1.Bestäm
2.Ienhetscirkelnär v envinkeltillenpunktifjärdekvadranten.Dennapunkt,origoochenpunktmedkoordinaterna (cos v, 0) utgörhörnienrätvinkligtriangel.Bestämexakta uttryckförkateternaslängder.
1 cos2 x 1 =tan2 x
Lösning
VL = 1 cos2 x 1
[trigonometriska ettanitäljaren] = sin2 x +cos2 x cos2 x 1
[dela uppbråketitvå] = sin2 x cos2 x + cos2 x cos2 x 1
[förkortadetandrabråket] = sin2 x cos2 x + 1 1
[förenkla] = sin2 x cos2 x
[skriv somenkvadrat] = sin x cos x 2
[defnition avtangens:] =tan2 x = HL
Detärocksåmöjligtattvisalikhetenfrånhögerledstegvistill vänsterled.Prövadetta!
EXEMPEL 7 a)Beräkna sin v cos v om (sin v +cos v)2 =0,54.
b)Antaattvinkeln v iföregåendeuppgiftärtillenpunktpå enhetscirkeln.Ivilkakvadranterkandennapunktligga?
Lösning
a) (sin v +cos v)2 =0,54
[utvecklakvadraten]
sin2 v +2sin v cos v +cos2 v =0,54
[trigonometriskaettan] 1+2sin v cos v =0,54
[subtraheramed1] 2sin v cos v = 0,46
[divideramed2] sin v cos v = 0,23
b)Eftersom sin v cos v ärnegativt,måstedenenaavfaktorerna sin v och cos v varanegativochdenandrapositiv.Därmed är v envinkeltillenpunktiandraellerfjärdekvadranten.
Lösning
Trigonometriskaettangerallmänt: sin2 v +cos2 v =1
subtraheramed cos 2 v sin2 v =1 cos 2 v
[sin v kanvarapositivtellernegativt]
sin v = ± 1 cos2 v
UTANDIGITALAVERKTYG
[givet värde]
[kvadrera bråket]
1301 Visaatt
a) 1 cos2 x =sin2 x b) (sin v +cos v)2 1 2 = sin v cos v
c) (sin x +cos x)2 =2 (cos x sin x)2
1302 Beräkna
1303 Visaatt
a) 2tan u cos2 u +1=(sin u +cos u)2
b) sin2 3π 8 + sin2 π 8 = tan π 4
c) cos4 v sin4 v = cos2 v sin2 v
d) 1 sin α + 1 1 sin α 1 2 =2tan2 α
1304 Beräkna exakt sin v om
a) cos v = 3 4 och π<v< 0
b) cos v = 2 3 och π<v< 0
c) cos v =0,6 och π<v< 2π
1305 Låt u = π v.Beräknaexakt cos u om
a) sin v = √5 4 och π 2 < v< 3π 2
b) sin v = 9 10 och π 2 < v< π 2
1306 Beräkna exakt tan v om
a) sin v = 6 7 och π 2 < v<π
b) cos v = 1 5 och sin v< 0
1307 Beräknaexakt sin v och cos v om a) tan v = 2 3 och π 2 < v< 3π 2
b) tan v = 4 5 och 3π<v< 4π
1308 Det gälleratt cos π 10 = √2 5 + √5 4 Visa att sin π 10 = √5 1 4 .
Additionsformler
Trigonometriskaettanärengodbörjan.Mendetfnnsfersamband mellanolikatrigonometriskauttryckmanbörbehärska.Idettaavsnitt gårviigenomnågraavdeviktigaste.
Vibörjarmedattpåminnaom avståndsformeln,somviintroducerade iMatematiknivå2.Satsenäregentligenendastentillämpningav Pythagorassats,ochviformulerardenhärutanbevis.
Avståndsformeln
Mellantvåpunktermedkoordinater (x1,y1) respektive (x2,y2) äravståndet
d = (x2 x1)2 + (y2 y1)2
Formlerförcosinus
1 (cos v, sin v) (cos u, sin u)
v u u – v
I fgurenovansynsenblåochenrödpunktpåenhetscirkeln.Tillden blåpunktenärvinkeln v ochtilldenröda u.Koordinaternaförden rödapunktenär (cos u, sin u) ochfördenblå (cos v, sin v).Viseren likbenttriangel,därradiernatilldenblåochdenrödapunktenutgör delikasidorna,medmellanliggandevinkel u v.Dentredjesidan harlängden d.Medhjälpavtvåolikauttryckförkvadratenavdenna längd: d2,kommerviattnåframtillettannatsättattuttrycka cos(u v)
Avståndsformelnger
d = (cos u cos v)2 + (sin u sin v)2
[kvadrerabådaled]
d2 =(cos u cos v)2 +(sin u sin v)2
[utvecklakvadraterna]
d2 =cos 2 u 2cos u cos v +cos2 v +sin2 u 2sin u sin v +sin2 v
[ordnaomtermerna]
d2 =sin2 u +cos2 u +sin2 v +cos2 v 2cos u cos v 2sin u sin v
[användtrigonometriskaettantvågånger]
d2 =1+1 2cos u cos v 2sin u sin v
[summeraochbrytut]
d2 =2 2(cos u cos v +sin u sin v))
(cos(u – v), sin(u – v)) d
I fgurennedanhardenrödapunkteniställetkoordinaterna (cos(u v), sin(u v)) ochdenblå (1, 0).Vikansedetsomattvi harvridittriangelnnedmot x-axeln.Denrödaochdenblåsidanär fortfaranderadier,medoförändradlängd,ochvinkelnmellandessa sidorärävenhär u v.Därmedmåstedentredjesidanitriangeln ocksåhasammalängdsomdentredjesidanitriangelnidenförra fguren,alltså d. x y u – v 1 1 (1, 0)
Vi använderåteravståndsformeln,förattfåettuttryckför d2
d = (cos(u v) 1)2 +(sin(u v) 0)2
[kvadrerabådaled]
d2 =(cos(u v) 1)2 +(sin(u v) 0)2
[utvecklakvadraterna]
d2 =cos 2 (u v) 2 · 1 · cos(u v)+12 +sin2 (u v) 0+0
[förenklaochordnaomtermer]
d2 =sin2 (u v)+cos2 (u v)+1 2cos(u v)
[användtrigonometriskaettanochsummera]
d2 =2 2cos(u v)
Likställervidebådauttryckenför d2 fårvi
2 2cos(u v)=2 2(cos u cos v +sin u sin v)
[subtraheramed2ochdelamed 2] cos(u v)=cos u cos v +sin u sin v
Förattfåframettmotsvarandeuttryckför cos(u + v) kanvi
substituera v med v.Dettager
cos(u ( v))=cos u cos( v)+sin u sin( v)
[ ( v)= v och cos( v)=cos v]
cos(u + v)=cos u cos v +sin u sin( v)
[sin( v)= sin v]
cos(u + v)=cos u cos v sin u sin v
Subtraktions-ochadditionsformlerförcosinus
cos(u v)=cos u cos v +sin u sin v
cos(u + v)=cos u cos v sin u sin v
Om viantaratt u = v fårvi
cos(v + v)=cos2v =cos v cos v sin v sin v =cos2 v sin2 v
Formelförcosinusavdubblavinkeln
cos2v =cos2 v sin2 v
KONTROLL9 Låt u = π 6 ochlåt sin v = 3 5, där 0 <v< π 2
1. Beräknautandigitalaverktygexaktvärdeav
a) cos(u + v)
b) cos(u v)
2.Bekräftamedräkningattformelnför cos2u stämmerför u = π 6 och 2u = π 3
Formlerförsinus
Medhjälpavsubtraktionsformelnförcosinuskanvihärledaadditionsformelnförsinus.
sin x =cos π 2 x
sin(u + v)=cos π 2 (u + v)
förenkla]
[ny parentes]
[subtraktionsformelförcosinus]
Omvipåliknandesättsommedformelnförcosinusersätter v med v fårvisubtraktionsformelnförsinus.
sin(u +( v))=sin u cos( v)+cos u sin( v)
[cos( x)=cos x och sin( x)= sin x]
sin(u v)=sin u cos v cos u sin v
Subtraktions-ochadditionsformlerförsinus
sin(u + v)=sin u cos v +cos u sin v
sin(u v)=sin u cos v cos u sin v
Om viåterigenantaratt u = v fårvi
sin(v + v)=sin2v =sin v cos v +cos v sin v =2sin v cos v
Formelförsinusavdubblavinkeln
sin2v =2sin v cos v
EXEMPEL 9 Beräknaexakt cos π 12 Lösning
Den aktuellavinkelnutgördiferensenmellantvå standardvinklar: π 12 = π 3 π 4
Vi kandärförutgåifrånkändavärdenochsubtraktionsformeln förcosinus:
Varianterpåformelför cos2v
Formelnförcosinusavdubblavinkelnkanskrivaspåtvåalternativa former.Härledningarnautgörendelavövningsuppgift1309.
Andraformerförcosinusavdubblavinkeln
cos2v =2cos2 v 1
cos2v =1 2sin2 v
Ytterligare omskrivningarlederframtilldesambandsombrukarkallas formlernaförhalvavinkeln.Härledningarnautgörövningsuppgift1315.
Sinus ochcosinusförhalvavinkeln
cos2 v 2 = 1 +cos v 2 sin2 v 2 = 1 cos v 2
NIVÅ1
1309 Visa att
a) cos2v =2cos2 v 1
MRK
1313 Beräkna exakt
a) sin 7π 12
b) tan 5π 12
Ledning: Användtrigonometriskaettan.
b) cos2v =1 2sin2 v
c) tan2v = 2sin v cos v cos2 v sin2 v
d) (sin x + cos x)2 =1+sin2x
e) cos2y =(cos y +sin y)(cos y sin y)
f) 2tan α = sin2α 1 sin2 α
1310 Visa att
a) tan2v = 2sin v cos v cos2 v sin2 v
b) cos2u =1 2sin2 u
c) (sin x +cos x)2 =1+sin2x
d) cos2y =(cos y +sin y)(cos y sin y)
e) 2tan α = sin2α 1 sin2 α .
1311 Förenklasålångtsommöjligt
a) cos v + π 3 + cos v π 3
b) sin v + π 3 + sin v π 3
1312 Visa att
MRK
a) sin u cos u sin u cos u cos u + sin u =tan2u 1
b) 1 tan α tan α = 2 tan2α
c) sin v + π 4 cos v + π 4 = √2sin v
1314 Visa att 3sin v 4sin3 v =sin3v
Ledning: 3v =2v + v
1315 Härledformlernaförhalvavinkeln,det villsäga:
a) cos2 v 2 = 1 +cos v 2
b) sin2 v 2 = 1 cos v 2
Ledning: Substituera 2v för v.
1316 a) Visaatt (1 cos v)2+sin2 v =2 2cos v
b)Visamedhjälpavformelnför
sin2 v att √2 2cos v =2sin v 2 för
0 ≤ v ≤ 2π.
c) Ifgurennedansynsenkvartscirkel medradien r.Visaattsträckan (kordan)mellanpunkternaAochB harlängden 2r sin v 2
A r v
NIVÅ3
BPPL M RK
IMatematik–fortsättningnivå1diskuteradevigränsvärden,ochvi lärdeossattgränsvärdeutgörgrundförbegreppetderivata.Inästa kapitelkommerviattkombineraderivatamedtrigonometri.Vi kommerdåatthänvisatillettparviktigagränsvärden,somvibevisar redanidettafördjupningsavsnitt.
Enolikhet
Dendubblaolikheten sin x<x< tan x utgörgrundenfördetförsta avdetvågränsvärdena.Vibevisarolikhetenutifrånettgeometriskt resonemang,somisigkangegodträningiattförståtrigonometriska begrepp.Viutgåribevisetfrånatt x ärpositivtochmindreän π 2 .
Figuren ovanvisarendelavencirkelmedradien 1.Storlekenav vinkeln ∠SOPangervitill x,mättiradianer.
VibetecknarlängdenavsträckanOSmed |OS|.Dengivnastorleken förcirkelngeratt |OS| =1.LängdenavsträckanPQbetecknarvi |PQ|.Attcirkelnärlikastorsomenhetscirkelngeratt |PQ| =sin x. Defnitionenavvinkelmåttetradianeriförhållandetillenhetscirkeln gerattlängdenavcirkelbågenmellanPochSär x.
DetkortasteavståndetfrånPtillsträckanOSär |PQ| =sin x,eftersom PQärvinkelrätmotOS.PQäralltsåkortareäncirkelbågenmellanP ochS.Därmedärdetklartatt sin x<x,ochdenvänstradelenav olikhetenärvisad.
Tangenskandefnierassommotståendekatetdeladmednärliggande. Alltsåär
tan x = |RS| |OS| = |RS| 1 = |RS|
Förareanavtriangeln △OSRgäller
|OS||RS| 2 = 1 · tan x 2 = tan x 2
Arean avcirkelsektornOSPär
|
Men detärtydligtfrånfgurenattareanavcirkelsektornOSPär mindreänareanavtriangeln △OSR.Alltsåär x 2 < tan x 2 ⇔ x < tan x Därmedärocksådenhögradelenavolikhetenvisad.
Ettgränsvärde
Detgränsvärdeviundersökermedhjälpavdennyssvisadeolikheten är
lim x→0 sin x x
När vibevisadeolikhetenförutsatteviatt x ärettpositivttal.Vi fortsätterattutgåfråndetta,ochatt x alltsånärmarsig 0 frånhöger påtallinjen.
Denvänstradelenav sin x<x< tan x ger
sin x<x
[divideramed x x> 0 ⇒ vändinteolikhetstecknet]
sin x x < x x
[förkortaHL]
sin x x < 1
Oavsetthurnäraellerlångtifrån 0 värdetpå x är,ärvärdetav sin x x alltså mindreän 1.Fördenhögradelenavolikhetengäller
x< tan x
[skrivomHL]
x< sin x cos x
[dividera med x ochförkortaVL. x> 0 ⇒ vändintetecken]
1 < sin x x cos x
[multiplicera med cos x x → 0 ⇒ cos x> 0 ⇒ vändintetecken]
cos x< sin x x
Men limx→0 cos x = 1.Därmedärvärdetav sin x x instängt mellan ettvärdesomgårmot 1 och 1.Slutsatsenmåstebliatt
lim x→0 sin x x = 1
Detåterstårnuattbehandlafalletdåvariabelnharnegativtvärde ochalltsånärmarsig 0 frånvänsterpåtallinjen.Men sin x ärvadsom kallasenuddafunktion,detvillsäga sin( x)= sin x.Om x är positivtoch x ärnegativt,fårvidärför
sin( x) x = sin x x = sin x x
ochgränsvärdetdå x gårmot 0 måstevaradetsammaförvänsteroch högerledovan.
lim x→0 sin x x = 1
Ännu ettgränsvärde
Innanvigårvidare,påminnerviomenavderäknereglerförgränsvärdenvipresenteradeiMatematik–fortsättningnivå1.Regelngäller för egentligagränsvärden,alltsåsådanasomutgörsavbestämdatal (inte −∞, ∞,ellervärdensomintekanbestämmas).
Gränsvärdetavenprodukt
Gränsvärdetavenproduktärlikamedproduktenavde ingåendegränsvärdena.Detvillsäga:om f och g är funktionersådanaatt
lim x→a f (x)= A och lim x→a g(x)= B gälleratt
lim x→a f (x)g(x)= AB
Det andraavdetvågränsvärdenavivisaridettaavsnittär
lim x→0 cos x 1 x
Vi börjarmedattskrivaomkvoten.
[förlängmedtäljarenskonjugat.] cos x 1 x = (cos x 1)(cos x + 1) x(cos x + 1)
[konjugatregelnförtäljaren] = cos2 x 1 x(cos x + 1)
[trigonometriskaettanochförenkling] = cos2 x (sin2 x +cos2 x) x(cos x + 1) = sin2 x x(cos x + 1)
[faktorisera] = sin x · sin x x · 1 cos x + 1
Vårtförstagränsvärdevar
lim x→0 sin x x = 1
Vianvänderresultatettillsammansmedräkneregelnförprodukterav gränsvärden.Eftersom limx→0 sin x =0 och limx→0 cos x =1 fårvi
lim x→0 cos x 1 x = lim x→0 sin x · sin x x · 1 cos x + 1 = 0 · 1 · 1 1 +1 =0
lim x→0 cos x 1 x = 0
KONTROLL10
1.Bestämommöjligtgränsvärdena
a) lim x→0 x sin x b) lim x→0 cos x x 1 2x
2. Varförförutsatteviatt x< π 2 i bevisetavolikheten?
3.Imångatillämpningarutgårmanifrånenpraktisk approximationförvärdetav sin v försmåvinklar v Vilkenapproximationskulledettakunnavara?Utgå ifrångränsvärdet limx→0 sin x x
AKTIVITET
Kurvortillsinusochcosinus
Viundersökersambandetmellanenhetscirkelnochkurvornatillsinus ochcosinus.
•ÖppnaettnyttfönsteriGeogebra.
•Välj Inställningar, Namnpåobjekt, Inganyaobjekt.
•Högerklickanågonstansi Ritområdet.Välj Ritområde…, xAxeln, markerarutanför Avstånd ochväljilistan π/2.Klickapåkrysset ihörnetförattstängafönstret Inställningar.
•Skapaenglidare.Sättnamnettill v och Min:0, Max:8pi Kontrolleraatt Tal ärmarkerat.Accepteraförvaldsteglängd(tomt fält)ochklicka OK
•Ställmarköreni Inmatningsfältet,skriv (0,0) ochtryck Enter.En punktiorigoskasynas.I Algebrafönstret fårpunktennamnet A.
•Skapapåliknandesättenpunkti (1,0).Punktenfårnamnet B
•Väljverktyget Cirkel(medelpunktochperiferipunkt).Klickapå punkteniorigoochsedanpåpunktenmedkoordinaterna (1, 0).
•Klickapåtriangelninedre,högrahörnetavikonenförverktyget Vinkel.Välj Vinkelmedgivenstorlek.
•Klickapåpunktenmedkoordinaterna (1, 0) ochsedanpåpunkteni origo (0, 0).Endialogrutaöppnas.Ändraifältetdetgivnavärdet förvinkelntill v (utangradtecken).Kontrolleraatt moturs är markeratochklicka OK
•Högerklickapåvinkeln α i Algebrafönstret ochavmarkera Visa etikett.
•Skriv (v,0) i Inmatningsfältet ochtryck Enter.Punktenfårnamnet C i Algebraförnstret.
•Skriv (v,sin(v)) i Inmatningsfältet ochtryck Enter.Punktenfår namnet D
•Skriv Sträcka(C,D) i Inmatningsfätet ochtryck Enter.Sträckanfår namnet f.
•Högerklickapåsträckan f i Algebrafönstret.Ändrasträckansfärg ochväljenstreckad Linjetyp.
•Ställmarköreni Inmatningsfältet,skriv v/pi ochtryck Enter.
•Skriv sin(v) i Inmatningsfältet ochtryck Enter.I Algebrafönstret ska talen a och b visas.
•Väljverktyget Text (underikonenför Glidare).
•Klickanågonstansi Ritområdet.Endialogrutaöppnas.
•Markeraför LaTeX-formel.Ställmarkörenifältet Redigera.Skriv v\approx.Klicka Objekt ochvälj a.Skriv \pi.Tryck Enter förnyrad, skriv \\,tryck Enter igen,skriv \sin{v}\approx,välj Objekt och b
Klicka OK förattstängadialogfönstret.
•Ställmarköreni Inmatningsfältet.Skriv Funktion(sin(x),0,v) och tryck Enter
•Draiglidaren v förattundersökasambandetmellanvärdenaför v och sin v,försinusfunktionensgrafochförenhetscirkeln.
•Spara flenmedappenförsinusgrafenmedlämpligtnamn.
•ÖppnaettnyttfönsteriGeogebraochskapaenliknandeappför cosinusgrafen.Följinstruktionernaovan,menersättöverallt sin med cos.Sparaflenmedappenmedlämpligtnamn.Vikommer attåterkommatillbådaapparnaisenareavsnitt.
1.4 Trigonometriskafunktioner
Iaktivitetenovanskapadevikurvorför sin v och cos v,genomattmed englidareantavärden 0 ≤ v ≤ 8π.Gränsernavarsattaavpraktiska skäl.Meneftersomenvinkel v0 ochenvinkel v0 +2nπ ienhetscirkeln bådaärtillsammapunktpåcirkelnförallaheltalsvärdenför n: positiva,negativaochnoll,hadeviteoretisktsettkunnatlåta v vara hurlitetellerhurstortsomhelst.Både sin v och cos v ärdefnierade för −∞ <v< ∞
Vibetecknadeglidarenmed v förattbetonakopplingentillvinklar ienhetscirkeln.Väljervi x iställetför v,blirdettydligtattvikan se y =sin x och y =cos x somfunktioneravenoberoendevariabel x: trigonometriskafunktioner.Både y =sin x och y =cos x ärdefnierade förallavärdenpå x.Defnitionsmängdenäralltså ] −∞, ∞[.Däremot kanfunktionsvärdena(”y-värdena”)intevaravilkasomhelst.Minns attminstavärdeförbåde sin x och cos x är 1 ochstörstavärdeär 1.Däremellankandeantaallavärden.Bådafunktionernaharalltså värdemängden [ 1, 1].
Funktionernasinusochcosinus
Funktionerna y =sin x och y =cos x harbådadefnitionsmängd ]−∞, ∞[ ochvärdemängd [ 1, 1]
Grafen förfunktionen y =sin x ärkurvan y
Grafen förfunktionen y =cos x ärkurvan 1 y x π
När vimerdirektsyftarpåfunktionernasgrafer,talaroftaom kurvan y =sin x och kurvan y =cos x
KONTROLL11
1.Angetrepunkteridefnitionsmängdendär y =sin x antar lokalamaximum.
2.Angetrenollställenför cos x.
3.Angestörstaochminstavärdeför y =sin x ochför y =cos x
4.Harnågonavfunktionerna y =sin x och y =cos x något gränsvärdedå x →−∞,eller x →∞?Ivilketellervilkaav fallenisåfall,ochvilketgränsvärde?
5.Är y =sin x och y =cos x kontinuerligafunktioner?
Sinus-ochcosinusfunktionernasgraferharformenavregelbundna vågorellersvängningar,vilketgördemmycketanvändbaraföratt beskrivavågrörelserochsvängandeförloppinomfysiken.Oftabehöver mandåanpassafunktionernapåolikasätt.Vikommerattbeskriva deenklastesättenattgöradetta,samtidigtsomviintroducerarnågra begreppförattkaraktäriserakurvortilltrigonometriskafunktioner.
AKTIVITET
AmplitudochperiodiGeogebra
•ÖppnaettnyttfönsteriGeogebra.
•Högerklickanågonstansi Ritområdet.Välj Ritområde…, xAxeln, markerarutanför Avstånd ochväljilistan π/2.Klickapåkrysset ihörnetförattstängafönstret Inställningar.
•Skapaenglidare.Sätt Min:-10 och Max:10.Accepteraförvald steglängdochnamn.Glidarenfårnamnet a.
•Skapaytterligareenglidare.Sätt Min:0 och Max:10.Acceptera förvaldsteglängdochnamn.Glidarenfårnamnet b
•Ställmarköreni Inmatningsfältet,skriv a*sin(b*x) ochtryck
Enter.Ensinuskurvaskasynasi Ritområdet.I Algebrafönstret har motsvarandefunktionnamnet f.
•Draiglidarna a och b ochundersökhurdepåverkarkurvan.
Uppgifter
1 Förvilkavärdenpå a iintervallet [ 10, 10] och b iintervallet [0, 10] är max(f (x)= a sin bx)=5?
2 Hurlångtäravståndetmellantvå(lokala)maximipunkterför f (x)= a sin bx då b =1?Vilkeninverkanharvärdetför a pådetta avstånd?
3 Hurlångtärmotsvarandeavstånddå b =6?
•Ställmarköreni Inmatningsfältet,skriv (0.17,f(0.17)) ochtryck Enter.Enpunkt A skasynaspåkurvan.Detgälleratt 0,17 ≈ π 18.
•Justera glidarna a och b tillspunkten A liggerpåenlägstapunkt påkurvanoch y-koordinatenför A är 3.
4 Förvilkavärdenpå a iintervallet [ 10, 10] och b iintervallet [0, 10] gälleratt min(a sin bπ 18 ) = 3?
5 Vilketärförhållandetmellan max f (x) och a?
6 Vilketärsambandetmellan b ochavståndetmellantvåmaximipunkterför f (x)= a sin bx?
7 Vilketärsambandetmellanavståndetmellantvåminimipunkter och b?
KONTROLL12
Amplitudochperiodför sinusochcosinus
Amplitud
Varjesinus-ellercosinusfunktionharenviss amplitud.Amplituden defnierassomhälftenavdiferensenmellanmellanensådanfunktions störstaochminstavärde.Detstörstavärdetför sin x är 1 ochdet minstaär 1.Amplitudenför y =sin x är 1 ( 1) 2 = 1.Detsamma gällerför cos x.
Amplitud.
Genom attmultiplicera sin x eller cos x mednågottal a,kanvifåen trigonometriskfunktionmedannanamplitudän 1.Talet a kanvara positivt,negativtellernoll.Amplitudenkandäremotaldrigvara negativ,vilketföljeravdessdefnition.
Amplitud
Förensinus-ellercosinusfunktion f äramplituden max(f ) min(f )
2
Amplituden för f (x)= a sin x är |a|.
Motsvarandesambandgällerför cos x:amplitudenför g(x)= a cos x är |a|.
1.Bestämamplitudenför
a) f (x)= 3 5 sin x b) g(x) = cos x.
2.Skissaförhandgrafentill
a) f1(x)=3sin x b) f2 =0,5cos x.
a) y = 1,5sin x b) y =0,6sin x c) y =2cos x
Period
Enannankaraktäristiskegenskaphosentrigonometriskfunktionär dess period.Funktionskurvorna y =sin x och y =cos x harformersom uppreparsigregelbundet–funktionernaär periodiska.Förbådaär perioden 2π,vilketför sin x innebäratt sin(x 2π)=sin x =sin(x +2π)=sin(x +4π) .... Periodenförensinus-ellercosinuskurvakanocksåsessomexempelvisavståndetmellantvåavdess maximipunkter,ellertvåavdessminimipunkter.
Grafsk bestämningavperiod,tre olikasätt.
Omvimultiplicerarargumentet x i sin x medetttal b,kanvifåen sinusfunktionmedannanperiodän 2π.Viväljerhärattlåta b> 0. Funktionen f (x)=sin bx fårperioden 2π/b.Motsvarandesamband gällerför cos x:periodenför g(x)=cos bx är 2π/b.
Period
Företttal b> 0 har y =sin bx och y =cos bx bådaperioden 2π b
Vi kanlättbestämmatrigonometriskafunktionskurvorsperiodgrafisktikoordinatsystemet.Ifgurennedansynskurvorna y =sin x och y =sin3x.Kurvan y =sin x utvecklasinomintervallet [0, 2π[ utan upprepning.Menviserocksåattdeniintervallet [2π, 4π[ harprecis sammaformsomdenhariintervallet [0, 2π[.Dettastämmermedatt kurvanharperioden 2π.Denkommerattselikadanutäveniexempelvisintervallet [4π, 6π[
KONTROLL13
Förkurvan y =sin3x serviattdenutvecklasutanupprepningiintervallet 0, 2π 3 , menattformenidettaintervallsedanäridentiskmed deniintervallet 2π 3 , 4π 3 . Vikanocksåsedetsomattkurvan y =sin3x uppreparsinformtregångerinomintervallet [0, 2π[.Kurvanhar perioden 2π 3 .
y = sin x y = sin 3x
1.Bestämperiodenför
a) f1(x)=sin4x b) f2(x)=cos 2x 3
c) f3(x) =sin0,2x.
2.Bestäm b> 0 såatt g(x)=cos bx fårperioden
a) π b) 4π c) 1.
3.a)Figurenvisargrafentill f (x)=sin bx,där b> 0. Bestäm b
b) Figurenvisargrafentill g(x)=cos bx,där b> 0 Bestäm b. y x 1
AKTIVITET
FasförskjutningavsinuskurvoriGeogebra
•ÖppnaettnyttfönsteriGeogebra.
•Välj Inställningar, Namnpåobjekt, Inganyaobjekt.
•Högerklickanågonstansi Ritområdet.Välj Ritområde..., xAxeln, markerarutanför Avstånd ochväljilistan π/2.Klickapåkrysset ihörnetförattstängafönstret Inställningar
•Skapaenglidare.Sättnamntill c, Min:-pi, Max:pi ochsteglängd till pi/8.
•Skapaenytterligareglidare.Sättnamntill d.Accepteraförvalt minimum,maximumochsteglängd.
•Ställmarköreni Inmatningsfältet.Skriv sin(x+c)+d
ochtryck Enter.Ensinuskurvaskasynasi Ritområdet.I Algebrafönstret harmotsvarandefunktionnamnet f
•Välj Extrempunkt underikonenför Punkt
Klickapåsinuskurvan.Ettantalextrempunkterskanuvara markeradepåkurvan.
•Draiglidarna.Undersöksambandetmellanvärdenaför c och d och koordinaternaförextrempunkterna.
Uppgifter
1 Vilkavärdenför c och d ger min f (x)= 5 och max f (x)= 3?
2 Användglidarnaförattbestämma c iintervallet [ π,π] och d i
intervallet [ 5, 5] såatt f (x)=sin(x + c)+ d harenmaximipunkt
x =0 och max f (x)=1
3 Vadskiljerkurvan sin x + π 2 från kurvan cos x?
4 Användglidarnaförattbestämma c iintervallet [ π,π] och d i
intervallet [ 5, 5] såatt f (x)=sin(x + c)+ d harenminimipunkt
x = π 4 ≈ 0,79 och min f (x)=0.
Fasförskjutning
Vikanförändraenkurvaslägeisidled,förskjutadenåthögereller vänster.Omviadderarettvärde c tillargumentet x i sin x fårvi sin(x + c).Om c> 0 kommer sin(x + c) attantasammavärdensom sin x,men c steg”tidigare”,detvillsägalängretillvänsterlängs x-axeln.Följdenblirattkurvan y =sin(x + c) serutattvarafyttad c stegåtvänster,iförhållandetillkurvan y =sin x.
För y =sin(x c) blirefektendenmotsatta: sin(x c) antarsamma värdensom sin x,men c steg”senare”,ochkurvanserutattvarafyttad, förskjuten,med c stegtillhöger.Om c< 0 blirförfyttningen |c| steg åthögerför y =sin(x + c) och |c| stegåtvänsterför y =sin(x c).
Ifgurennedansynskurvan y =sin x iröttochkurvan y =sin x + 2π 3 i blått.Omtvåsinuskurvorharsinarespektivemaximumochminimum vidsammapunkterpå x-axeln,ärde ifas.Kurvornaifgurenärintei fas.Denblåkurvanär fasförskjuten med 2π 3 i förhållandetilldenröda. y x 1 π
y = sin x + 2π 3 ) ) y = sin x
Vi jämförnu sin bx med sin(bx + c),där b> 0.Antaatt sin bx antar ettvisstvärdeienpunkt x = x1.Visökerenpunkt x = x2,sådanatt sin(bx2 + c)=sin bx1.Vikanfnnadenmedenkelekvationslösning:
bx2 + c = bx1
bx2 = bx1 c
x2 = x1 c b
Detta innebärattkurvan sin(bx + c) ärfasförskjutenmed c b jämfört med kurvan y =sin bx.Om c> 0 ärförskjutningenåtvänster;om c< 0 åthöger.Jämförmedfgurennedan,där y =sin x 3 π 4 . Här äralltså b = 1 3 och c = π 4 Kurvanärförskjutenmed π 4 / 1 3 = 3π 4 åt höger, jämförtmedenkurva y =sin x 3 . (Noteraatt x-och y-axelnhar olikaskala.)
Fasförskjutning
Förkurvan y =sin(bx + c),där b> 0,ärfasförskjutningen c b i förhållandetillkurvan y =sin bx.Om c> 0 ärkurvan förskjutenåtvänster,om c< 0 åthöger.
Fasförskjutningfungerarpåmotsvarandesättförcosinuskurvor.
KONTROLL14 1.ParaihopkurvornaI,IIochIIImedrättfunktionsuttryck A,BochC. a)
2. Bestäm c iintervallet [ π,π[,såattkurvan cos(x + c) bliri fasmedkurvan sin x.
3.Bestäm c iintervallet [ π,π],såattkurvan sin(x + c) bliri fasmedkurvan cos x + π 4 .
KONTROLL15
4. Hurärkurvan y =sin 2x + π 3 förfyttad jämförtmed kurvan y =sin2x?
5.Bestämettvärdeför c iintervallet [ π,π[,såattkurvan y =cos 2x 3 c är förskjutenprecis 0,5 stegåthöger, jämförtmedkurvan y =cos 2x 3 .
Flyttakurvorihöjdled
Genomattadderaettvärde d tillettfunktionsuttryck,kanvifytta motsvarandefunktionskurvai y-ledikoordinatsystemet.Om d =1 liggerkurvan y =sin x + d ettheltalssteghögreikoordinatsystemet änkurvan y =sin x,ochom d = 2 liggerdentvåheltalssteglägre, sefgurennedan.
x ¬ 2
1.ParaihopkurvornaI,IIochIIImedrättfunktionsuttryck A,BochC.
A. cos x + 1
sin x + 1 2 C. cos x 2
2. Bestämdefnitionsmängdochvärdemängdför f (x)=sin x 2.
I fgurensynsgrafentill f (x)= a sin(bx + c)+ d,där a> 0, b> 0 och π ≤ c<π.Bestäm a, b, c och d.
Lösning
Bestämvärdenaiordningen a, d, b, c.
Eftersom a> 0 är |a| = a och
Förattbestämma d beräknarvi
=max f (x) −|a| =1 3= 2
Periodenärdensammasomavståndeti x-ledmellantvå maximipunkterellertvåminimipunkter.Viserattperioden är 4π.Därmedgällerför b: 4
Kurvansvängerkring y = d = 2.Kurvanskärdennalinje exempelvisvid x = 2π 3 Enkurva y =3sin x 2 2 skulle i ställethaskuritlinjen y = 2 vid x =0.Kurvanifgurenär alltsåförskjuten 2π 3 åt vänster,iförhållandetill y =3sin x 2 2 Därmed är
Sammantagetharvi:
3 , d = 2 och f (x)=3sin x 2 + π 3 2
I fgurensynsgrafentill g(x)= a cos(bx + c)+ d,där b> 0 och
π 2 ≤ c < π 2 Bestäm a, b, c och d
Lösning
Antingenärdå a = 0,25 eller a =0,25 Vidareharvi
=max g(x) −|
| =1,25 0,25=1
Viser,exempelvisgenomattundersökaavståndetmellantvå minimipunkter,attperiodenför g(x) är 8π 12 = 2π 3 . För b harvi 2π 3 = 2π b ⇔ b = 3
Eftersomviännuintevetom a ärpositivtellernegativt,kan viförattfnnavärdetpå c blitvungnaattjämföra g(x):sgraf medtvåkurvor: y =0,25cos3x +1 och y = 0,25cos3x +1.
Iförhållandetill y =0,25cos3x +1 ärkurvanför g(x) förskjutenmed 3π 12 = π 4 åt höger,vilketför c ger c b = π 4 ⇔ c 3 = π 4 ⇔ c = 3π 4
Men dettavärdeför c liggerinteinomdetgivnaintervallet
[ π 2 , π 2 [. Utgårviiställetfrånkurvan y = 0,25cos3x +1,ser viattkurvanför g(x) ärförskjuten π 12 åt vänster,vilketger
c b = π 12 ⇔ c 3 = π 12 ⇔ c = π 4
Detta stämmermeddegivnaförutsättningarna.
Slutsatsenblir: a = 0,25= 1 4, b = 3, c = π 4 och d =1,vilket ger g(x)= cos 3x + π 4 4 + 1
1401 Ifgurensynskurvan
y = a cos 2x π 3 + d.
Bestäm a och d y x 1 π
1402 Ifgurensynskurvan y = a sin x 3 + d.
Bestäm a och d. y x –1 π
1403 Ifgurensynskurvan y = a cos bx + 1 2 y x 1 π
a) Bestämperioden T
b)Bestäm a och b
1404 a) Ifgurensynskurvan y =sin(bx + c), där b> 0 och π ≤ c<π.Bestäm b och c y x 1 π
b) Bestämekvationenförencosinuskurva medsammautseendesomkurvani fgurenovan.
1405 Enkurva y =cos 2x 3 + c är förskjuten precisetthalvtstegåthöger,i förhållandetillkurvan y =cos 2x 3 Bestäm c iettintervall π 2 , π 2 .
1406 Bestäm detvånollställenförfunktionen f somliggernärmast x =0,om f (x)=2cos 2x 3 + π 6
1407 Bestämdetvånollställenförfunktionen f somliggernärmast x =0,om
a) f (x)=sin3x + 1 2
b) f (x) =sin x 5 π 4 + √3 2
c) f (x) =4cos 2x 3 + π 6 2
NIVÅ2
BPPL MRK
1408 I fgurensynskurvan y = a cos(x + c), punkten P ,vars y-koordinatär √3, och punkten Q,vars x-koordinatär 2π 3 . y x P Q
a) Bestäm a.
b)Bestäm c iettintervall π 2 , π 2
1409 Figuren nedanvisarkurvan
y =sin(bx + c). y x π 4 ) , 0) 11π 4 ) , 0)
a) Bestäm b
b)Bestäm c iettintervall ( π,π[
1410 Figurennedanvisarkurvan
y = a cos(bx + c)+ d,
där a> 0, b> 0 och π ≤ c<π y x π 1 3
1411 Figurennedanvisarkurvan
y = a cos(bx + c)+ d, där a< 0, b> 0 och π ≤ c<π. y x π 1 3
Bestäm a, b, c och d
1412 Växelspänningkanbeskrivasmeden sinusformadkurvaiettdiagram,därden horisontellaaxelnvisartiden t ochden vertikalaspänningen u
Etttrefassystembeståravtre växelspänningar,allamedsamma amplitudochperioden 2π.Vardera spänningärförskjutenmed 2π 3 i förhållande tilldeövriga,sefgur.Visa attsummanavspänningarnavidvarje tidpunkt t ärnoll. u t
Bestäm a, b, c och d
NIVÅ3
BPPL MRK
AKTIVITET
GrafenförtangensiGeogebra
•ÖppnaettnyttfönsteriGeogebra.
•Högerklickanågonstansi Ritområdet.Välj Ritområde... ochlås förhållandetmellankoordinataxlarnatill 1:1.Väljsedanfiken xAxeln,markerarutanför Avstånd ochväljilistan π/2.Klickapå kryssetihörnetförattstängafönstret Inställningar.
•Skapaenglidare a.Sätt Min:-2, Max:2 ochaccepteraförvald steglängd.
•Skapaenglidare b.Sätt Min:0, Max:3 och Steglängd:0.1
•Skapaenglidare c.Sätt Min:-pi/2, Max:pi/2 och Steglängd:pi/6.
•Skapaenglidare d.Sätt Min:-2, Max:2 ochaccepteraförvald steglängd.
•Ställmarköreni Inmatningsfältet.Skriv a*tan(b*x+c)+d
ochtryck Enter.Enupprepandekurvaskanusynasi Ritområdet,en tangenskurva.I Algebrafönstret harmotsvarandefunktionnamnet f.
•Draiglidarnaochundersökhurdenupprepandekurvanförändras.
Uppgifter
1 Sätt b =1.Ilikhetmedsinus-ochcosinuskurvor,harävenen tangenskurvaenperiod.Vilkenärdenna?
2 Draiglidarenför b ochstuderahurkurvanförändras.Vilkenär periodendå b> 0?
3 Förvissa x-värdenärtangenskurvanintedefnierad.Vilkenellervilka avglidarnapåverkardessavärden,ochmedvilkenperiodupprepar sigvärdena?
Funktionermedtangens
Äventangensgårattsesomentrigonometriskfunktion.Förtangens gälleratt tan(x π)=tan x =tan(x + π).Vivisadedettaför tan v idelkapitel1.2.Dettainnebäratt funktionen y =tan x ärperiodisk, medperiod π.
Sålänge cos x =0 harvi tan x = sin x cos x . Förvärdenpå x somger cos x =0 är tan x odefnierat,eftersomenkvotmednollinämnaren ärodefnierad.Dettagällerexempelvisdå x = π 2 . Sefgur.
x 1
2 x x
2
När x närmar sig π 2 från höger,går cos x motnollfråndenpositiva sidan,samtidigtsom sin x →−1.Somvisågiavsnittetomgränsvärden iMatematik–fortsättningnivå1,gerdettaatt sin x cos x → −∞.Även cos π 2 = 0.När x → π 2 från vänster,går cos x ocksåmot 0 frånden positivasidan,medan sin x → 1,vilketgeratt tan x →∞.Detgäller att sin0=0, cos0=1 och tan0= 0 1 = 0
Alltdettasammantagetgerattkurvan y =tan x för π 2 < x< π 2 får utseendet y x 1
2 π 2
FÖRDJUPNING
Kurvanuppreparsigmedperioden π.Grafenför y =tan x blir y x 1
KONTROLL16
Grafen för y =tan x är diskontinuerlig,detvillsägaickesammanhängande.Kurvanärbrutenochgörsprångidepunkterdärfunktionen inteärdefnierad,detvillsäga x = (2n+1)π 2 , n ∈ Z.
Tangenssomfunktion
Funktionen y =tan x utgårfråndefnitionen
tan x = sin x cos x , cos x = 0
Funktionenharperioden π.
Attanpassatangensfunktionen
Genomattlaboreramedolikavärden a, b, c och d i y = a tan(bx + c)+ d, kanvimanipulerakurvanförtangenspåliknandesättsomförsinus ochcosinus.
1.Skissaförhandettkoordinatsystemochkurvorna y = tan x 2 , y = tan x och y =2tan x då π 2 < x< π 2
2. a)Ivilkenpunktpå x-axelniintervallet [0,π] ärkurvan y =tan x + π 3 bruten ochintesammanhängande?
b)Vadnärmarsig tan x + π 3 när x närmar sigpunktenia) frånvänster?
c)…ochfrånhöger?
3.Ivilkapunkter 0 ≤ x<π kurvan y =tan3x intesammanhängandeochgörsprång?
Arcusfunktioner
IMatematik–fortsättningnivå1introduceradevi omvändningar tillsinus,cosinusochtangens–desåkallade arcusfunktionerna.Vi beskriverhärdessafunktionerlitenoggrannare:hurdeanvänds,och ävenvilkabegränsningardehar.
Vibörjarmedettenkeltexempel,därviförtydlighetsskullutgårfrån standardvinklar:antaattvivilllösaut x urekvationen sin x = 1 2. Från tidigareavsnittvetviattdetfnnsoändligtmångavärdenpå x för vilkalikhetengäller,exempelvis x = π 6 , x = 5π 6 och x = 7π 6 .
Avalladessavärdenför x ärdetdockendastettsomliggerinom intervallet π 2 , π 2 , nämligen π 6 Sätterviinekvationenshögerledi denomvändafunktionentillsinus, arcussinus,fårvijust arcsin 1 2 = π 6 . Arcus sinusgeralltidettfunktionsvärdeiintervallet π 2 , π 2 , somär funktionensvärdemängd.
Devärdenvikansättainifunktionenarcussinusärsådanasomvi kanfåutsomfunktionsvärdentillsinusfunktionen:defnitionsmängdenförarcussinusärdensammasomvärdemängdenförsinus,alltså [ 1, 1].
Denomvändafunktionentillcosinus, arcuscosinus (arccos),harvärdemängden [0,π] ochgeralltsåalltidettfunktionsvärdeinomdettaintervall.Defnitionsmängdenförarcuscosinusärdensammasomförarcus sinus: [ 1, 1].
Denomvändafunktionentilltangensär arcustangens (arctan).Värdemängdenär ] π 2 , π 2 [ Läggmärketillattdettaärettöppetintervall, därändpunkternainteingår.Tangensärjuodefnieratförbåde π 2 och π 2 Funktionsvärdenförtangenskanvarahursmåellerhurstora somhelst;därförärdefnitionsmängdenförarcustangens ]−∞, ∞[.
Arcusfunktionerna
Namn Beteckning Defnitionsmängd Värdemängd
arcus sinus arcsin [ 1, 1] π 2 , π 2
arcus cosinus arccos [ 1, 1] [0,π]
arcus tangens arctan ] ∞, ∞[ π 2 , π 2
ArcusmedGeogebra
IGeogebragesarcusfunktionernamedkommandona arcsin(), arccos() och arctan()
I CAS ger Geogebrasvaretiradianer.Om = (Beräkna)ärmarkeratges ettexaktsvar,omdetärmöjligt.Serad1ifguren.Iannatfallblir svaretsompårad2.Klickarmandå ≈ (Numeriskberäkning)gesett närmevärde,serad3.
Användsarcuskommandonai Inmatningsfältet gessvarigraderi Algebrafönstret α =30◦ ifgurengavsefterkommandot arcsin(0.5)
Enter.
NIVÅ1
1413 Bestämiradianer.
a) arcsin 1 2 b) arccos 1 2
c) arctan1 d) arcsin √3 2
e) arccos 1 2 f) arctan √3
1414 Bestämiradianer.
a) arcsin sin π 6 b) arcsin sin π 6
c) arcsin sin 5π 6 d) arcsin sin 7π 6
e) arccos
g) arccos cos 5π 7
1415 Bestämigrader.
a) arcsin √3 2 b) arccos √3 2
c) arctan( 1)
1416 Bestämexakt.
a) sin(arcsin0,38) b) cos(arcsin1)
NIVÅ2
1417 Bestämigrader.
PLMRK
a) arctan 1 √3 b) arcsin cos 5π 3
c) arccos
e) arctan tan 5π 4 f) sin arccos0 3
1418 Bestämigrader.
a) arctan 1 √3 arctan √3
b) arccos sin2 45◦
c) arccos(cos( 47◦))
d) arcsin( sin103◦)
MEDDIGITALAVERKTYG
NIVÅ1
1419 Bestämiradianer,medtrevärdesifrors noggrannhet.
a) arccos 2 7 b) arcsin0,7
c) arctan( 5)
1420 Bestämigrader,medendecimals noggrannhet.
a) arcsin0,17 b) arctan 5 7
c) arccos( 0,95)
Liber Matematik fortsättning nivå 2 finns som tryckt bok och onlinebok och är anpassad till läroplanen Gy25. Innehållet är detsamma som för kursen Matematik 4, så som detta gäller från 2021.
Liber Matematik är en läromedelsserie för gymnasiet som karaktäriseras av
• stringens och tydliga resonemang
• täta kontrollfrågor som exit tickets
• genomarbetade och förståelsebyggande helklassaktiviteter i Geogebra och Python
• separerade uppgiftsavsnitt för med respektive utan digitala verktyg.