SAMBAND OCH FÖRÄNDRING Proportionalitet
Förkortning av bråk
Om till exempel en kostnad är proportionell mot antalet kilogram så innebär det att man får betala lika mycket för varje kilogram man köper. kr kostnad En proportionalitet graf 30 kan ritas som en graf i ett koordinatsystem. Grafen är en rät linje 20 som går genom origo. 10
Att förkorta ett bråk innebär att täljare och nämnare divideras med samma tal.
vikt 1
2
3
kg
Enheter för tid
4 4/4 1 = = 12 12 / 4 3
Här har vi förkortat med 4.
Förlängning av bråk Att förlänga ett bråk innebär att täljare och nämnare multipliceras med samma tal.
17 17 ·5 85 = = 20 20 ·5 100
Här har vi förlängt med 5.
Andel
1 år = 12 mån = 365 dygn
1 timme (h) = = 60 minuter (min) = = 3 600 sekunder (s)
1 år ≈ 52 veckor 1 skottår = 366 dygn
1 kvart = 15 min
1 kvartal = 3 månader
delen det hela En andel kan skrivas i bråkform, procentform eller decimalform. Andelen =
1 min = 60 s
1 dygn = 24 timmar
Procent
Mellan sträcka (s), hastighet (v) och tid (t) finns sambandet: s=v∙t
Ordet procent betyder ”hundradel”. 1 = 0,01 1%= 100 2 2 kr av 5 kr = = 0,4 = 40 % 5 delen
det hela
bråkform
decimalform
procentform
Matematik X är väl anpassad till kursplan och betygskriterier i matematik genom: • kapitel i enlighet med det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka långsiktiga mål varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna i matematik • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7-9. I varje årskurs finns en grundbok, en A- och en B-bok som är grundboken med skrivutrymme, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, t ex läxor både med och utan skrivutrymme, filmer, SMART Board-filer och powerpoint-filer.
SAnnolikhet och statistik Sannolikhet
Lägesmått
Sannolikheten (P) för en händelse = antalet ggynnsamma utfall = antalett möjliga utfall
Medelvärde
matematik
Medelvärde räknar man ut genom att addera alla värden och sedan dividera med antalet värden. Median är det värde som finns i mitten om alla värden skrivs i storleksordning. Om det finns två värden i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två värdena. Typvärde
4 2 6 7 3 n = 22
10 8
f
Linjediagram
10
milj. inv. folkmängd 4
8
6
6
4
4 2
2 1
Omslag Matematik X A.indd 1
Stapeldiagram
2
3
4
5
rätt
To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W
1 2 3 4 5
Stolpdiagram
matematik
matematik
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1
1
Matematik X A och B
www.matematikxyz.com
Bas X
Utmaning X
Lärarrguid de Med d be edö ömniingsstö öd
och h extram materia al
matematik
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1
Lärarguide X
Matematik XYZ hemsida
Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.
Tabeller och diagram Frekvens f
Utmaning
Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.
Typvärde är det värde som förekommer flest gånger. Det kan finnas flera typvärden.
Antal rätt x
Matematik X
Bas
Undvall Johnson Welén Ramsfeldt
Om vi kallar en händelse för A så gäller att: P(A) + P(inte A) = 1
Frekvenstabell
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1
Median
matematIK X A
Sträcka, tid och hastighet
matematIK X A
Cirkeldiagram
Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 90 00.
12 %
3
60 %
2 1 årtal 1700
1800
1900
28 %
Best.nr 47-14581-2 Tryck.nr 47-14581-2
matematik
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt
2022-03-02 10:14
ISBN 978-91-47-14581-2 © 2022 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén, Sara Ramsfeldt och Liber AB förläggare Jeanette Mårtensson projektledare Birgitta Fröberg, Theres Lagerlöf redaktör Birgitta Fröberg bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB produktionsledare Eva Runeberg Påhlman sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB illustratör Björn Magnusson omslag Cecilia Frank Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People Printing, Kina 2022
KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen och får ej helt eller delvis kopieras. Kopiering för undervisningsändamål enligt BONUS-avtal är inte tillåten. Intrång i upphovshavarens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.
Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se
s 229-246 Matematik X A Bakvagn.indd 246
2022-02-24 09:33
Bildförteckning 9 11
George Rose/Getty Images European Southern Observatory/ M. Kornmesser/Science Photo Library/ IBL Bildbyrå 12 Lennart Undvall 17 Kim Taylor/Nature Picture Library/IBL Bildbyrå 20 Jenny E. Ross/Getty Images 21 Malcolm Hanes/Johnér Bildbyrå 25 plainpicture/Johnér Bildbyrå 28 Cultura Creative/Johnér Bildbyrå 34 Jessica Gow/TT 35 Kai Pfaffenbach/Reuters/TT 43 Maria Rosenlöf/Johnér Bildbyrå 44 Sven Gösta Johansson/Barnmorskeförbundet 46 Susanne Walström/Johnér Bildbyrå 52 Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå 54 Stephen J. Krasemann/Photo Researchers/ IBL Bildbyrå 64 Matton Collection/Johnér Bildbyrå 71 Ellen van Bodegom/Getty Images 76 Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå 90 AFP PHOTO/TT 100:1 Cultura Creative/Alamy/IBL Bildbyrå 100:2 Sepp Friedhuber/Getty Images 103 Erik G Svensson 104:1 Lennart Undvall 109 PG/Bauer-Griffin/Getty Images 120 Conny Welén 124 Robin Skjoldborg/Getty Images 131 Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå 134 Caiaimage/Johnér Bildbyrå 138 Laurence Mouton/PhotoAlto/Getty Images
140 142:1 143 148:2 149 150 155 163 165 170 173 189 192 194:2 199 202 203 209:5 212:1 213:1 213:2 214 218 220 221 224 227 228
Susanne Kronholm/Johnér Bildbyrå Cultura Creative/Johnér Bildbyrå Hans Bjurling/Johnér Bildbyrå Yvonne Åsell/SvD/TT Ulf Rennéus/Mary Square Images Ole Graf/Getty Images Lieselotte Van Der Meijs/Johnér Bildbyrå Jörgen Wiklund/Johnér Bildbyrå Ewa Ahlin/Johnér Bildbyrå Lars Trangius/Johnér Bildbyrå Massimo Pizzotti/age fotostock/IBL Bildbyrå Cultura Creative/Johnér Bildbyrå Mike Harrington/Getty Images Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Stefan Wettainen/Johnér Bildbyrå Per Magnus Persson/Johnér Bildbyrå plainpicture/Johnér Bildbyrå Peter Macdiarmid/Getty Images Johan Wingborg /Bildhuset/TT Dick Gillberg/TT Neil Jacobs/Photoshot Raffles museum/PA/TT Philippe Tran/EyeEm/Getty Images Design Pics Inc/Getty Images Marc Romanelli/Getty Images Kristofer Samuelsson/Johnér Bildbyrå Matton Collection/Johnér Bildbyrå Sean Gallup/Getty Images
Övriga bilder: Shutterstock Kartor: Liber kartor Sedlar och mynt: Riksbanken
BILDFÖRTECKNING
s 229-246 Matematik X A Bakvagn.indd 245
2022-02-24 09:33
SÅ HÄR ANVÄNDER DU matematIK X matematik X innehåller fem kapitel som är uppdelade i avsnitt. I avsnitten finns det uppgifter på tre nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå tre ger rejäla utmaningar. Du kan välja att arbeta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bas X med enklare uppgifter. Om nivå tre inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaning X . Uppgifterna är markerade med bokstäver, som visar vilka matematiska förmågor du tränar. Vi förkortar förmågorna så här: Vid uppgifter där det passar att använda miniräknare finns en miniräknarmarkering.
P
Problemlösning
B
Begrepp
M
Metod
R
Resonemang
K
Kommunikation
Kapitlen innehåller: Ingress – En kort diagnos visar vad du redan kan och kan hjälpa dig att välja nivå. Här finns
även Centralt innehåll från kursplanen och en lista med matematiska begrepp ur kapitlet. Inledningar – Vid exemplen på lösningar hittar du kommentarrutor. De blåa rutorna
hjälper dig med metoder och resonemang. De röda rutorna hjälper dig att kommunicera matematiskt och redovisa dina lösningar på ett bra sätt. Miniteman – När några uppgifter handlar om samma ämne är de inramade tillsammans med bild och bildtext. I bildtexten finns det information som behövs för att lösa uppgifterna. Ledtrådar – Till en del uppgifter finns det ledtrådar som du kan ta hjälp av. Dessa uppgifter
är markerade med ett
L
.
Aktiviteter – Praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp. Aktiviteterna belyser centrala matematiska begrepp.
När du har gjort Blandade uppgifter från hela kapitlet och en Diagnos går du vidare till Träna eller Utveckla. Förmågorna i fokus hjälper dig att utveckla en eller ett par förmågor i taget. Uppgifterna finns i slutet av varje kapitel.
Kapitlen avslutas med en Sammanfattning av centrala begrepp och metoder. Det finns fyra Läxor till varje kapitel. Läxorna finns, både med och utan skrivutrymme, att ladda ned på vår hemsida www.matematikxyz.se. Lennart, Kristina, Conny och Sara
2
s 1-3 Matematik X A Framvagn.indd 2
2022-02-23 15:31
1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING
4
1.1
Naturliga tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.2
Numeriska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Träna Taluppfattning och tals användning . . . 83
1.3
Hela tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Utveckla Taluppfattning och tals användning 91
1.4
Rationella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.5
Räkna med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.6
Multiplikation och division . . . . . . . . . . 47
1.7
Division med stora och små tal . . . . . . 55
1.8
Avrundning och överslagsräkning . . . 65
2 ALGEBRA
100
2.1
Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . 102
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.2
Mönster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Träna Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.3
Förenkling av uttryck . . . . . . . . . . . . . . 118
Utveckla Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.4
Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.5
Problemlösning med ekvation . . . . . . 139
Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2.6
Ekvationer med obekanta i båda leden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3 GEOMETRI
194
3.1
Prefix och enheter. . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.3
Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.2
Längd och skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.4
Vinkelsumma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Problemlösningsstrategier. . . . . . . . . . . . . . . . 239 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
3
s 1-3 Matematik X A Framvagn.indd 3
2022-02-23 15:31
KAN DU DET HÄR? 1 Vilken siffra är tiondelssiffra i talet 13,725? A: 7 B: 1
C: 2
ETT D: 5
2 Hur mycket är 100 · 1,25? A: 0,125
B: 12,5
C: 125
D: 1 250
3 4
3 Vilket tal är lika med 1 ? A:
113 4
B:
4 7
C:
4 13
4
B: 0,95
7 4
TVÅ
4 Hur mycket är 0,7 + 1 ? A: 0,9
D:
C: 0,714
D: 0,84
5 Vilket svar får du om du avrundar 1,7853 till hundradelar? A: 1,77 B: 1,78
C: 1,79
D: 1,80
6 Hur mycket är 150 · 300? A: 4 500 000 C: 45 000
B: 450 000 D: 450
7 Vilket tal är lika med ”trettiotre hundradelar”? A: 3,33 B: 0,33 C: 0,033
TRE D: 30,30
8 Hur mycket är 0,03 · 0,7? A: 0,21
B: 0,0021 C: 2,1
D: 0,021
9 Hur mycket är 32 – 8 / 4 + 6? A: 12
B: 2,4
C: 36
D: 31,2
4
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 4
2022-02-24 08:14
1 tal
1 Taluppfattning och tals användning
naturliga tal jämna tal udda tal
Ur centrala innehållet
primtal delbarhet
Rationella tal och deras användning i matematiska situationer.
negativa tal olikhetstecken rationella tal
Beräkningar med tal i bråk- och decimalform.
bråkform
Avrundning och överslagsräkning.
blandad form decimalform positionssystemet addition subtraktion multiplikation division
Begrepp
utvecklad form
Vilka begrepp känner du till sedan tidigare? Kan du beskriva dem?
avrundning närmevärde
överslagsräkning
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 5
2022-02-24 08:15
Naturliga tal
1.1
Det är skillnad på siffror och tal Det finns tio siffror:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9 Ett tal består av en eller flera siffror. Med de tio siffrorna kan vi bilda hur många tal som helst. Med siffran 3 kan vi till exempel skriva talen 3, 33 och 333. Den plats en siffra har i ett tal kallas position. I vårt positionssystem är det en siffras position i ett tal som avgör siffrans platsvärde. I till exempel talet 4 327 har siffran 3 platsvärdet 3 · 100 = 300. Om vi använder oss av siffrornas platsvärden så kan talet 4 327 skrivas så här:
4 327 = 4 000 + 300 + 20 + 7 Talet sägs då vara skrivet i utvecklad form.
tusentalssiffra hundratalssiffra tiotalssiffra
4327
entalssiffra
40 00 300 20 + 7 4 3 27
4 tusental 3 hundratal 2 tiotal 7 ental
Att vi har 10 siffror är troligtvis för att vi har 10 fingrar.
6
1.1
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 6
N AT U R L I G A TA L
2022-02-24 08:15
Olika slags tal 1 tal
Talen 0, 1, 2, 3, 4 … kallas med ett gemensamt namn för naturliga tal. Dessa tal kan sedan delas in i grupper, till exempel jämna tal och udda tal. Primtal är naturliga tal som är större än 1 och som endast är delbara med 1 och sig självt. I tabellen finns de sju första primtalen. Sammansatta tal är tal som kan delas upp som en multiplikation av primfaktorer. Till exempel kan talet 30 skrivas 2 · 3 · 5. I tabellen finns de nio första sammansatta talen. Naturliga tal
0
Jämna tal
0
Udda tal
1
2 2
1
Primtal
2
Sammansatta tal
3
4
5
4
6
7
6 5
7
3
5
7 6
9
8
3
4
8
10 10
9
8
11
9
10
12
13
12
14
15
14
11
13
11
13 12
16
Uppdelning i primfaktorer
…
16 15
14
17
15
… 17
…
17
…
16
…
60
När stora sammansatta tal ska delas upp i primfaktorer, kan man använda så kallade faktorträd. Med ett sådant kan uppdelningen ske i flera steg. I det här faktorträdet ser du hur talet 60 kan delas upp i primfaktorer. Vi ser att 60 = 2 · 5 · 2 · 3 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5.
2
30 6
5 2
3
Delbarhet Talet 20 är delbart med till exempel 4 och 5. Med det menas att det inte blir någon rest när 20 divideras med något av dessa tal. För att lätt kunna avgöra om ett tal är delbart med ett annat tal så finns det några delbarhetsregler som är bra att känna till. Delbart med…
Regel
Till exempel…
2
Den sista siffran i talet ska vara jämn, det vill säga 0, 2, 4, 6 eller 8.
talet 576, eftersom sista siffran är 6 – ett jämnt tal.
3
Talets siffersumma ska vara delbar med 3.
talet 516, eftersom 5 + 1 + 6 = 12, vilket är delbart med 3.
4
Talets två sista siffror ska bilda ett tal som är delbart med 4.
talet 712, eftersom 12 är delbart med 4.
5
Den sista siffran ska vara 0 eller 5.
talet 265, eftersom sista siffran är 5.
1.1
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 7
N AT U R L I G A TA L
7
2022-02-24 08:15
ETT 1
Skriv talen med siffror.
B
a) sjutusen tvåhundratolv _________________ b) tolvtusen femton _______________ c) femtiotvåtusen trehundra ______________ d) en miljon _____________________
2
Bilda med siffrorna 2, 3, 1, 9 och 5 ett tal som är så nära 20 000 som möjligt. ____________________________________
3
Vilka av talen i rutan är delbara med
P B
B M
18
21
35
40
60
a) 2 _____________________________ b) 3 _____________________________
4
Dela upp talen i primfaktorer.
5
B M K
a) 9 = ___________________________
b) 10 = ____________________________
c) 21 = ___________________________
d) 18 = ____________________________
Vilket värde har siffran 8 i talen? a)
6
c) 5 _______________________________
B
849 ________________________
b) 8 309 __________________________
c) 12 586 ________________________
d) 84 167 __________________________
Skriv talen i utvecklad form.
B M
a) 742 = _________________________________________________________________ b) 6 837 = ________________________________________________________________ c) 20 805 = _______________________________________________________________ d) 120 580 = ______________________________________________________________
7
Förklara varför 17 är ett primtal, men inte 15. ____________________________________ ________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
8
1.1
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 8
B R
N AT U R L I G A TA L
2022-02-24 08:15
8
Vilket tal är jag?
P B K
– Jag är större än 10 men mindre än 30.
1 tal
– Jag är ett primtal. – Summan av mina siffror är 10.
9
10
Antalet månar i solsystemet är delbart med 2 och 3. Hur många månar finns det i solsystemet? P B K
Skriv avståndet till månen med siffror.
B
_______________________________________________________________________
Det finns mellan 170–180 månar i vårt solsystem. Avståndet till vår måne är trehundraåttiofyratusen fyrahundra kilometer.
1.1
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 9
N AT U R L I G A TA L
9
2022-02-24 08:15
TVÅ 11
Skriv talen med siffror.
B
a) tjugofemtusen sextiofem ____________________________ b) tvåhundrafemtiotusen etthundrafem ___________________ c) etthundrasextusen tjugofem _________________________ d) en halv miljon ____________________________________
12
I vilket av talen i rutan har siffran 4 värdet a) 400 ___________________________
b) 40 ________________________
c) 40 000 ________________________
d) 4 _________________________
4 315
13
746
9 314
5 419
Vilka av talen i rutan är delbara med a) 3 __________________
42
14
B
50
112
123
45 136
B M
b) 4 __________________ c) 5 ___________________
200
Det finns bara ett primtal som är ett jämnt tal. Varför är det så? ______________________ _________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
15
B R
Skriv två femsiffriga tal som har två treor. Den ena trean ska ha 100 gånger så stort värde som den andra. P B _________________________________________________________________________
16
Vilken eller vilka av siffrorna i rutan kan ersätta frågetecknet så att det fyrsiffriga talet 3 83 ? är delbart med P B a) 2 ________________________
b) 3 ________________________
c) 4 ________________________
d) 5 ________________________
0
10
1.1
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 10
2
4
5
7
N AT U R L I G A TA L
2022-03-02 10:29
18
Dela upp talen i primfaktorer.
B M K
a) 42 = ___________________________
b) 60 = ___________________________
c) 72 = ___________________________
d) 300 = ___________________________
a) Vilka är de tre följande talen i den här talföljden? 1
4
6
8
9
b) Förklara varför.
10
12
14
15
16
L
________________________
1 tal
17
P
…
B R
________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
19
Hur många gånger starkare än solen lyser stjärnan R136a1 om talet är delbart med 3 och 4? P B K
20
Skriv avståndet till solen med siffror.
B
______________________________________________________________________
Solen är vår närmaste stjärna. Den är etthundrafyrtionio miljoner sexhundratusen kilometer bort. På grund av sin enorma storlek är R136a1 en av de starkast lysande stjärnorna vi känner till. Den lyser 260–270 gånger starkare än solen.
R136a1
blå superjätte
solen
liten röd dvärg
1.1
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 11
N AT U R L I G A TA L
11
2022-02-24 08:15
TRE 21
Skriv talen med siffror.
B
25
a) en kvarts miljon b) en och en halv miljard
22
Vilka tal saknas i faktorträden? a)
b)
2
y
2
2
3
23
24
Talen 153, 9 693 och 15 318 är alla delbara med 9. Men det är inte till exempel talen 6 762 och 12 345. Försök formulera en regel som gäller för tal som är P B R delbara med 9. L
27
Sidorna i en tidning är numrerade med sammanlagt 198 siffror. Hur många P B K sidor har tidningen? L
28
Talen 108, 252 och 594 är alla delbara med 6. Men det är till exempel inte talen 524 och 314. Försök att formulera en regel som gäller för tal som är delbara P B R med 6. L
29
Kalle samlar på bilder av ishockeyspelare. Han vet att han har färre än 50 bilder. När Kalle lägger bilderna i tre högar med lika många i varje, får han två bilder över. När han lägger bilderna i fyra högar, blir det tre bilder över. Men om han lägger bilderna i fem högar, blir det ingen bild över. Hur P K många bilder har Kalle? L
30
De hundra första primtalen multipliceras med varandra.
x
y
5
z
z
B
26
225
5
x
B M
Två udda tal, som följer efter varandra och som båda är primtal, kallas för primtalstvillingar. Vilka är de fyra P första primtalstvillingarna?
z
3
Dela upp talen i primfaktorer. a) 54
b) 90
c) 120
d) 252
B M K
Ett personnummer består av tio siffror. Cajsas personnummer är etthundrasex miljoner tvåhundratjugofemtusen trehundratjugonio. a) Skriv Cajsas personnummer med siffror. L
B
b) När är Cajsa född?
B
c) Bilden är tagen den 22 maj 2010. Hur gammal var Cajsa då? Svara M i år och månader.
K
a) Vilken är den sista siffran i produkten? L
P B
b) Förklara varför.
R
utmaning X KAPITEL 1
12
1.1
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 12
N AT U R L I G A TA L
2022-02-24 08:15
Numeriska uttryck 1 tal
1.2
De fyra räknesätten ADDITION
SUBTRAKTION
54 + 39 = 93 term term
125 – 97 = 28
summa
term term
MULTIPLIKATION
DIVISION
12 · 35 = 420 faktor faktor produkt
differens
täljare
65 __ = 13 5
nämnare
kvot
Uttryck med flera räknesätt och parenteser När det förekommer flera räknesätt i en uppgift är det viktigt att beräkningarna görs i rätt ordning. Det finns så kallade prioriteringsregler som vi måste följa.
PRIORITERINGSREGLER 1. Först räknas det som är innanför parentes. 2. Sedan utförs multiplikation och division. 3. Till slut utförs addition och subtraktion.
I det numeriska uttrycket 15 + 9 / 3 ska alltså divisionen beräknas först. Vi får då 15 + 3 = 18. Men om vi vill att additionen ska beräknas först, sätter vi en parentes runt 15 + 9. Vi får då (15 + 9) / 3 vilket är lika med 24 / 3 = 8.
1.2
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 13
NUMERISKA UTTRYCK
13
2022-02-24 08:15
EXEMPEL
Esra köper ett nagellack och tre hårsnoddar. Teckna ett uttryck och beräkna sedan hur mycket hon ska betala.
89 kr
8 kr/st
Ska betala: (89 + 3·8) kr = (89 + 24) kr = 113 kr
K • Presentera och teckna din beräkning.
För att få rätt svar måste du räkna multiplikationen först, det vill säga vad hårsnoddarna kostar sammanlagt.
• Skriv mellanleden med enheter. • Parentesen gör att du bara behöver skriva enheten en gång per led.
Svar: Esra ska betala 113 kr.
• Svara med hel mening.
EXEMPEL
a) 25 + 3 · 7
b) 7 · 3 – 36 / 4
c) (28 + 12) / 5
a) 25 + 3·7 = 25 + 21 = 46
Multiplikationen beräknas först.
b) 7·3 – 36 / 4 = 21 – 9 = 12
Multiplikationen och divisionen beräknas först.
c) (28 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8
Parentesen beräknas först.
K • Skriv av uppgiften.
Svar: a) 46
b) 12
c) 8
• Visa mellanledet i dina beräkningar. • Skriv svar.
14
1.2
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 14
NUMERISKA UTTRYCK
2022-02-24 08:15
31
32
a) 452 + 295
b) 1 675 + 417
c) 311 – 259
d) 1 205 – 712
a) 3 · 143
b) 675 · 5
c)
33
723 3
d) 1 132 / 4
Vilket eller vilka av talen i rutan är en
B
b) summa __________________
c) kvot ___________________
d) term ____________________
7 ∙ 13 = 91
45 / 9 = 5
1.2
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 15
M K
M K
a) faktor __________________
16 + 19 = 35
1 tal
ETT
NUMERISKA UTTRYCK
15
2022-02-24 08:15
34
35
a) 22 – 3 · 5 = _____________________
b) 15 / 3 – 2 = _____________________
c) 5 · 9 – 3 · 10 = ____________________
d) 16 / 2 + 24 / 3 = ________________
M K
En apelsin kostar 5 kr och ett äpple 4 kr. Magda köper två apelsiner och tre äpplen. a) Teckna ett uttryck för hur många kronor som Magda ska betala.
B
________________________________________________________________________ b) Räkna ut hur mycket Magda ska betala.
M
________________________________________________________________________
36
a) 7 · (2 + 18) = ____________________
37
När Leo räknar 16 – 3 · 4 tänker han så här:
b) 40 / (10 – 5) = _________________
M K
3·4 är lika med 12 och 12 – 16 är lika med 4. Det stämmer med facit. Alltså har jag tänkt rätt. Förklara vilket fel Leo gör. _________________________________ ________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
38
16
M R
Fem lyktstolpar står i en rad på lika avstånd från varandra. Det är 80 m från den första stolpen till den sista. Hur långt är det mellan två stolpar? L P K
1.2
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 16
NUMERISKA UTTRYCK
2022-02-24 08:15
I ett stort skogsområde i Japan fanns det sjutusen etthundrafem flygekorrar. Hur många färre än tiotusen är det? B M K
40
För att komma undan fiender glidflyger flygekorrarna mellan träden. Hur många träd behöver en flygekorre minst för att den ska kunna glidflyga 250 m? L P K
1 tal
39
De enda EU-länder som har flygekorrar är Finland och Estland. En flygekorre kan glidflyga upp till 50 m.
1.2
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 17
NUMERISKA UTTRYCK
17
2022-02-24 08:15
TVÅ 41
a)
536 8
b) 2 317 – 745
Vilket eller vilka av talen ovan är en
M K
B
c) term __________________
d) nämnare __________________
42
a) 423 · 5
b) 673 + 84 + 9
43
Marie subtraherar ibland så här:
M K
93 – 19 = 83 – 9 = 74 a) Hur tror du att hon tänker? ____________________________________________ ______________________________________________________________________ _________________________________________________________________
M R
b) Räkna 72 – 16 på samma sätt. _________________________________________________________________
44
18
M K
a) 40 / 4 + 6 = __________________
b) 40 + 4 · 6 = __________________
c) 40 / (4 + 6) = __________________
d) (40 – 4) / 6 = __________________
1.2
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 18
M K
NUMERISKA UTTRYCK
2022-02-24 08:15
45
Ett skidspår är 4 km långt. Johan tänker åka 60 km som träning inför Vasaloppet.
_______________________________________________________________________ b) Räkna ut hur långt han har kvar att åka.
M K
46
Skriv in talen 13, 29, 45, 53, 61 och 69 i de tomma rutorna så att summan i alla rader vågrätt, lodrätt och diagonalt blir 111. P M
47
a) (30 – 5) / 5 + 9
48
I subtraktionen står bokstäverna för olika siffror. Du får veta att R = 8. Vilka siffror finns då bakom de övriga bokstäverna? L P
1 tal
a) Teckna ett uttryck för hur många kilometer Johan har kvar att åka när han har åkt 11 varv. B
21 5 37
b) 15 – 3 · (4 + 3) + 11
M K
RAR –ADA AAA
_______________________________________________________________________
1.2
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 19
NUMERISKA UTTRYCK
19
2022-02-24 08:15
49
Valrosshonor blir ofta dräktiga som fyraåringar och kan sedan föda en unge vart tredje år under hela sitt liv. a) Teckna ett uttryck för hur många ungar de kan föda under sitt liv.
B
______________________________________________________________________ b) Räkna ut hur många ungar det kan bli.
50
M K
Valrossen kan dyka efter mat flera dygn i sträck utan att vila. Hur många dykningar kan den göra som mest per dygn? Utgå från att valrossen stannar under ytan så länge den kan och att den hämtar andan en minut mellan varje dyk. L P K
Valrossen lever i de arktiska haven och på isen vid Nordpolen. Den kan bli närmare 40 år gammal. När valrossen dyker efter mat kan den stanna under ytan i hela fem minuter.
20
1.2
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 20
NUMERISKA UTTRYCK
2022-02-24 08:15
51
54
a) 0 + 1 · 2 + 3 · 4 + 5 b) 75 – 20 · (5 – 2)
52
M K
a) Hur tror du att Mustafa tänker när M han räknar så här?
25·14 = 50·7 = 350
a) 145 + 1 231 – 678 b) 5 432 / 8 – 5 · 123
M K
Räkna på samma sätt.
53
Längs en väg ligger fyra byar: A-by, B-by, C-by och D-by. Rita av tabellen och fyll i de tal som saknas. Måtten är i kilometer. L A-by
R
1 tal
TRE
B-by
C-by
b) 35 · 18
55 P
A-by
0
15
47
?
B-by
15
0
?
53
C-by
47
?
0
?
D-by
?
53
?
0
c) 55 · 16
a) Vem har räknat rätt? b) Vilket fel har den andra gjort?
D-by
M K
M M R
Agnes 16 – 10·(14 – 11) + 5·8 = = 16 – 10·3 + 5·8 = = 6·3 + 5·8 = = 18 + 40 = = 58 Matilda 16 – 10·(14 – 11) + 5·8 = = 16 – 10·3 + 5·8 = = 16 – 30 + 40 = = 56 – 30 = = 26 56
57
Summan av fem olika naturliga tal är 25. Produkten av talen är 945. Vilka är de fem talen om alla är P ental? L
Linda samlar på mynt. Hon har dubbelt så många enkronor som femkronor. Sammanlagt är mynten värda 1 260 kr. Hur många mynt har Linda av varje P K sort? L
1.2
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 21
B K
NUMERISKA UTTRYCK
21
2022-02-24 08:15
58
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Viktor skjuter fyra skott med luftgevär. Sammanlagt får han 24 poäng. Medelvärdet per skott är alltså 6 poäng. a) Lina skjuter också fyra skott och får medelvärdet 7 poäng. Ge två förslag på hur Linas skott kan ha träffat. P
1 2 3 4 5 6 7 8 9
b) Mendez skjuter tio skott. Han räknar ut att medelvärdet blev 9. Kan han ha missat något skott? Förklara P R hur du tänker.
59
Studera talföljden 16, 24, 40, 56, 88. Dela upp talen i primfaktorer. När du ser mönstret kan du sen räkna ut vilket nästa tal i talföljden är. P Vilket är det?
60
B K
10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 8 7 6 5 4 3 2 1
B
Med siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6 kan man bilda 720 sexsiffriga tal. Om alla tal skrivs i storleksordning med det minsta först, vilket tal kommer som nummer P K 241? L utmaning X KAPITEL 1
AKTIVITET: Räknar miniräknaren alltid rätt? Materiel: Antal deltagare:
Miniräknare 1–2 st
Räknar miniräknaren alltid rätt? Svaret är ja, om du använder den på rätt sätt. Det kommer du att märka när du löser uppgifterna.
A Lös alla uppgifter utan miniräknare.
1 a) 12 + 3 · 5
b) (12 + 3) · 5
c) (12 + 3) / 5
2 a) 25 + 5 / 5 c)
25 + 5 5
b)
15 · 3 5
25 + 5 15 – 5
15 3·5 15 – 5 c) 5
3 a)
b)
B Lös uppgifterna med miniräknare. C Om du får olika svar i A och B, så använder du kanske miniräknaren fel. Försök komma på hur du ska göra för att använda miniräknaren rätt. Jämför med en kompis.
22
1.2
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 22
NUMERISKA UTTRYCK
2022-02-24 08:15
Hela tal 1 tal
1.3
Negativa och positiva heltal I vissa sammanhang möter man negativa tal. Det kan till exempel vara i en hiss eller på en termometer. Den här termometern visar –10 °C. På en tallinje finns de negativa talen till vänster om 0.
°C 40 30 20 10 0 – 10
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
– 20
5
– 30
negativa tal
–11
Hela tal
De naturliga talen och de negativa hela talen bildar tillsammans de hela talen. I bilden ser du vilka tal som tillhör de båda talmängderna. Bilden visar till exempel att –11 är ett heltal men inte ett naturligt tal. Talet 6 däremot är både ett heltal och ett naturligt tal.
–23 Naturliga tal 9
2 6 5
0
–5
–2
– 40
positiva tal
–7
Jämföra tal –9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
Ju längre åt höger på en tallinje ett tal finns, desto större är det. Till exempel är 3 ett större tal än −5 och −9 är ett mindre tal än 0. Vi kan skriva så här: 3 > −5
3
–5
−9 < 0
Tecknet > betyder ”är större än”. Tecknet < betyder ”är mindre än”. Med ett gemensamt namn kallas tecknen < och > för olikhetstecken.
Tänk dig olikhetstecknet som munnen på en krokodil som alltid gapar stort mot det större talet.
1.3
s 4-99 Matematik X A kapitel 1.indd 23
H E L A TA L
23
2022-02-24 08:15
SAMBAND OCH FÖRÄNDRING Proportionalitet
Förkortning av bråk
Om till exempel en kostnad är proportionell mot antalet kilogram så innebär det att man får betala lika mycket för varje kilogram man köper. kr kostnad En proportionalitet graf 30 kan ritas som en graf i ett koordinatsystem. Grafen är en rät linje 20 som går genom origo. 10
Att förkorta ett bråk innebär att täljare och nämnare divideras med samma tal.
vikt 1
2
3
kg
Enheter för tid
4 4/4 1 = = 12 12 / 4 3
Här har vi förkortat med 4.
Förlängning av bråk Att förlänga ett bråk innebär att täljare och nämnare multipliceras med samma tal.
17 17 ·5 85 = = 20 20 ·5 100
Här har vi förlängt med 5.
Andel
1 år = 12 mån = 365 dygn
1 timme (h) = = 60 minuter (min) = = 3 600 sekunder (s)
1 år ≈ 52 veckor 1 skottår = 366 dygn
1 kvart = 15 min
1 kvartal = 3 månader
delen det hela En andel kan skrivas i bråkform, procentform eller decimalform. Andelen =
1 min = 60 s
1 dygn = 24 timmar
Procent
Mellan sträcka (s), hastighet (v) och tid (t) finns sambandet: s=v∙t
Ordet procent betyder ”hundradel”. 1 = 0,01 1%= 100 2 2 kr av 5 kr = = 0,4 = 40 % 5 delen
det hela
bråkform
decimalform
procentform
Matematik X är väl anpassad till kursplan och betygskriterier i matematik genom: • kapitel i enlighet med det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka långsiktiga mål varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna i matematik • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7-9. I varje årskurs finns en grundbok, en A- och en B-bok som är grundboken med skrivutrymme, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, t ex läxor både med och utan skrivutrymme, filmer, SMART Board-filer och powerpoint-filer.
SAnnolikhet och statistik Sannolikhet
Lägesmått
Sannolikheten (P) för en händelse = antalet ggynnsamma utfall = antalett möjliga utfall
Medelvärde
matematik
Medelvärde räknar man ut genom att addera alla värden och sedan dividera med antalet värden. Median är det värde som finns i mitten om alla värden skrivs i storleksordning. Om det finns två värden i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två värdena. Typvärde
4 2 6 7 3 n = 22
10 8
f
Linjediagram
10
milj. inv. folkmängd 4
8
6
6
4
4 2
2 1
Omslag Matematik X A.indd 1
Stapeldiagram
2
3
4
5
rätt
To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W
1 2 3 4 5
Stolpdiagram
matematik
matematik
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén
1
Matematik X A och B
www.matematikxyz.com
Bas X
1
Utmaning X
Lärarrguid de Med d be edö ömniingsstö öd
och h extram materia al
matematik
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1
Lärarguide X
Matematik XYZ hemsida
Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.
Tabeller och diagram Frekvens f
Utmaning
Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.
Typvärde är det värde som förekommer flest gånger. Det kan finnas flera typvärden.
Antal rätt x
Matematik X
Bas
Undvall Johnson Welén Ramsfeldt
Om vi kallar en händelse för A så gäller att: P(A) + P(inte A) = 1
Frekvenstabell
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1
Median
matematIK X A
Sträcka, tid och hastighet
matematIK X A
Cirkeldiagram
Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 90 00.
12 %
3
60 %
2 1 årtal 1700
1800
1900
28 %
Best.nr 47-14581-2 Tryck.nr 47-14581-2
matematik
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt
2022-03-02 10:14