utmaning
MATEMATIK ALFA BETA GAMMA är avsedda för årskurserna 4-6. Serien finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. I MATEMATIK GAMMA UTMANING hittar du: • genomgångar och faktarutor • typexempel • uppgifter som täcker kursplanens långsiktiga mål • fokus på problemlösning • ledtrådar, lösningsförslag och facit MATEMATIK GAMMA består av följande komponenter:
B
A
a a MATEMATIK
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Stina Åkerblom Kerstin Dahlin
Matematik Gamma Bas
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
utmaning
a MATEMATIK
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
Matematik Gamma A och B
bas
Matematik Gamma
MATEMATIK
lärarguide
MATEMATIK
a
a MATEMATIK
MATEMATIK Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
Matematik Gamma Utmaning
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
Matematik Gamma Lärarguide
www.matematikabg.se Matematik Alfa Beta Gamma hemsida
På seriens hemsida finns bland annat läxor till alla kapitel, diagnoser och prov, nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och Powerpointfiler. Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida www.matematikabg.se eller maila till info@matematikabg.se. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 90 00.
MATEMATIK Best.nr 47-14285-9 Tryck.nr 47-14285-9
Omslag Gamma Utmaning korr 2.indd 1
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
2021-04-27 15:33
Välkommen till Gamma Utmaning! GAMMA UTMANING vänder sig till dig som vill ha större utmaningar i matematik. Kapitelindelningen är samma som i grundboken MATEMATIK GAMMA, men här tar vi upp svårare och nya saker.
Varje kapitel är indelat i olika avsnitt. I början av avsnitten kan det finnas genomgångar, faktarutor och typexempel. Sedan kommer uppgifter som först är relativt enkla, men sedan ökar svårighetsgraden. Därför kan du lätt komma igång med ditt arbete och i slutet klara av en mer avancerad matematisk nivå. Uppgifter som är extra kluriga finns det ledtrådar till. Dessa uppgifter är markerade med L . Ledtrådarna ger dig lite hjälp på vägen om du skulle köra fast. Sist finns ett facit till alla uppgifter. Lennart, Christina, Kristina, Conny och Kerstin
FÖRORD
001-059 Gamma Utmaning kap 1-5 FINAL NY.indd 1
1
2021-05-05 15:14
ISBN 978-91-47-14285-9 © 2021 Lennart Undvall, Christina Melin, Kristina Johnson, Conny Welén, Kerstin Dahlin och Liber AB projektledare /redaktör Sara Ramsfeldt/MeningsUtbytet AB formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Johan Unenge faktateckningar Björn Magnusson sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB omslag Cecilia Frank Första upplagan 2012 Andra upplagan 2021 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People Printing, Kina 2021
BILDFÖRTECKNING Omslag: Maskot Bildbyrå AB/Johnér 9 10 12 19 20
Hybrid Images/Getty Images Matilda Lindeblad/Johnér KASTO80/Mostphotos Michael Folmer/Mostphotos Michael Erhardsson/Mostphotos
25 35 45 53 57
Lars Stenman/Johnér Ashley Cooper/Getty Images Mareike Dries/EyeEm/Getty Images Anna Kern/Johnér Arman Zhenikeyev/Getty Images
Övriga foton: Shutterstock
KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen och får ej helt eller delvis kopieras. Kopiering för undervisningsändamål enligt BONUS-avtal är inte tillåten. Intrång i upphovshavarens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.
Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se
060-072 Gamma Utmaning Ledtr+Facit FINAL NY.indd 72
2021-05-05 14:18
Innehåll 1
Taluppfattning och huvudräkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Olika sorters tal . . . . . . . . . . . . . . . 3 Räkna med tallinjen . . . . . . . . . . . 5 Europas geografi . . . . . . . . . . . . . . 7 Division efter förkortning och förlängning . . . . . . . . . . . . . . . 8
2
Bråk och procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Det hela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Räkna med bråk. . . . . . . . . . . . . . 17 Procent efter förlängning och förkortning . . . . . . . . . . . . . . 19
3
2
Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Mönster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Problemlösning med ekvation. . 37 Fokus på Problemlösning. . . . . . 38
Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Geometriska objekt . . . . . . . . . . . 40 Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ekvationer och geometri . . . . . . 44
5
Procent efter division . . . . . . . . . 20 Hur sannolikt är det? . . . . . . . . . 23 Fokus på Problemlösning. . . . . . 26
Samband, uttryck och ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Diagram och grafer . . . . . . . . . . . 27 Bilda tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Uttryck med parenteser . . . . . . . 32 Värdet av uttryck . . . . . . . . . . . . . 33
4
Dividera mera . . . . . . . . . . . . . . . 10 Räkna med miniräknare. . . . . . . 12 Fokus på Problemlösning. . . . . . 13
Arean av en cirkel . . . . . . . . . . . . 46 Prismor och cylindrar. . . . . . . . . 47 Fokus på Problemlösning. . . . . . 49
Med sikte på framtiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Beräkna delen från procentform . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Ekvationer med obekanta i båda leden . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Fokus på Problemlösning. . . . . . 58
Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
INNEHÅLL
001-059 Gamma Utmaning kap 1-5 FINAL NY.indd 2
2021-05-05 15:14
Taluppfattning och huvudräkning OLIKA SORTERS TAL Primtal och sammansatta tal Ett primtal är ett naturligt tal som är större än 1 och endast delbart med 1 och med sig självt. De första primtalen är:
2 3 5 7 11 Ett sammansatt tal kan skrivas som en produkt av primtal, så kallade primfaktorer. Till exempel kan talet 30 skrivas som 2 ∙ 3 ∙ 5.
Uppdelning i primfaktorer När stora sammansatta tal ska delas upp i primfaktorer, kan man använda sig av så kallade faktorträd. Uppdelningen sker då i flera steg. I det här faktorträdet har vi delat upp talet 100 i primfaktorer. Vi ser att 100 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5.
100
2
50
2
Delbarhet
25
5
5
Som hjälp för att avgöra om ett tal är delbart med ett annat tal eller inte så finns det delbarhetsregler. Delbart med
Regel
Exempel
2
Den sista siffran i talet ska vara jämn, det vill säga 0, 2, 4, 6 eller 8.
Talet 576, eftersom sista siffran är 6, alltså ett jämnt tal.
3
Talets siffersumma ska vara delbar med 3.
Talet 516, eftersom 5 + 1 + 6 = 12, och 12 är delbart med 3.
4
Talets sista två siffror ska bilda ett tal som är delbart med 4.
Talet 712, eftersom 12 är delbart med 4.
5
Den sista siffran ska vara 0 eller 5.
Talet 265, eftersom sista siffran är 5.
KAPITEL 1 TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
001-059 Gamma Utmaning kap 1-5 FINAL NY.indd 3
3
2021-05-05 15:14
1 De fem första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11. Vilka är de fem följande?
2 Vilka av talen i rutan är delbara med a) 2
b) 3
c) 5
4 18 20 24 30 35
3 Dela upp talen i primfaktorer. a) 14
b) 18
c) 24
4 Alla primtal är udda tal utom talet 2. Varför finns det inte fler jämna primtal?
5 Vilka tal saknas i faktorträden? a)
b)
42
7
2
6 x
c)
60
y
2
x
5
90
5
y
z
x
3
y
z
z
6 Dela upp talen i primfaktorer. a) 42
b) 72
c) 120
7 Vilken eller vilka av siffrorna i rutan kan ersätta frågetecknet så att det fyrsiffriga talet 7 56 ? är delbart med a) 2 b) 3
8 Vilket är talet? – – – –
4
0, 2, 3, 5, 6
c) 5
L
Det är större än 150 men mindre än 200. Det är delbart med 3. Om man subtraherar talet med 4 blir det delbart med 5. Siffersumman kan delas upp i primfaktorerna 2, 2 och 3.
KAPITEL 1 TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
001-059 Gamma Utmaning kap 1-5 FINAL NY.indd 4
2021-05-05 15:14
RÄKNA MED TALLINJEN En dag i november är temperaturen 4 °C. Under natten sjunker temperaturen med 7 °C. Vilken är temperaturen sedan? Vi kan teckna den nya temperaturen 4 – 7. Svaret kan vi räkna ut med hjälp av en tallinje. Vi startar på talet 4. Eftersom det är en subtraktion så förflyttar vi oss åt vänster på tallinjen.
–5 – 4
–3
–2
0
–1
1
2
3
5
4
Vi markerar förflyttningen med en pil. Pilen slutar vid talet –3. Temperaturen är alltså –3 °C. 4 – 7 = –3 EXEMPEL
Beräkna med hjälp av tallinje. a) –5 + 9
b) –3 – 2
a) –5 + 9 = 4 –5 – 4
–3
Du förflyttar dig från –5 och går 9 steg åt höger.
–2
–1
0
1
2
3
4
5
b) –3 – 2 = –5 –7 –6 –5 –4 –3 –2
Svar: a) 4
–1
0
1
Du startar på –3 och förflyttar dig två steg åt vänster.
b) –5
KAPITEL 1 TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
001-059 Gamma Utmaning kap 1-5 FINAL NY.indd 5
5
2021-05-05 15:14
9 Vilka uträkningar visas? a
–5
–4
b
–3
–2
0
–1
10 a) –7 + 2
1
2
3
4
5
b) –7 – 2
c) 2 – 7
b) –8 = x – 3
c) –8 + x = –5
11 Vilka tal är x? a) x + 4 = 2
12 Vilka tal saknas? a) –11 b) 8
7
–7
–3
?
2
? –2
5
9
–7
13 a) 1 – 2 – 3
?
b) –1 – 2 – 3
c) –1 + 2 – 3
14 Vad visar termometern om temperaturen a) stiger 5,4 °C
15 a) –2,5 + 0,7
b) sjunker 3,6 °C b) 1,8 – 5,2
16 a) Beräkna summan av A och C.
L
b) Beräkna differensen av B och D. AB
L
C
–0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1
0
c) –3,9 – 1,2
D
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
17 I en magisk kvadrat är summan lika stor i alla rader, vågrätt, lodrätt och diagonalt. Rita av kvadraterna. Fyll sedan i de tal som saknas så att kvadraterna blir magiska. b) c) a)
?
? ?
–7
? ?
?
9
?
?
–2
–1
?
2
?
?
?
7
4
? ?
?
–1
?
?
?
–2
Summa: –6
6
Summa: 6
Summa: –9
KAPITEL 1 TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
001-059 Gamma Utmaning kap 1-5 FINAL NY.indd 6
2021-05-05 15:14
EUROPAS GEOGRAFI Varje svar i uppgifterna motsvarar en bokstav enligt tabellen. Sortera om bokstäverna och du får namnet på det vi söker. 0,1
A
0,8
H
1,5
O
2,2
V
0,2
B
0,9
I
1,6
P
2,3
X
0,3
C
1,0
J
1,7
Q
2,4
Y
0,4
D
1,1
K
1,8
R
2,5
Z
0,5
E
1,2
L
1,9
S
2,6
Å
0,6
F
1,3
M
2,0
T
2,7
Ä
0,7
G
1,4
N
2,1
U
2,8
Ö
18 Bokstäverna ger dig namnet på en huvudstad. Vilken? 1 1 1 + + +0 ,8 5 2 4 5 e) 10 · 0,0001 · 100 2 f) 5
d)
a) 10 · 0,04 b) 4,7 + 0,5 – 4,3 11, 7 c) 9
19 En flod i Tyskland. Vilken? a) En tredjedel av 5,7. b) Vilket tal saknas? 9,6 4,8 2,4 ? 0,6 1 c) liter – 12 cl = ? dl L 4 d) Hälften av hälften av 2. e) Vilket tal är x om 7,2 – x = 5,7?
20 Här söker vi namnet på ett land. Vilket? a) 3 · 3,7 – 9,6
e) ? kg – 7,5 hg – 200 g = 2,5 hg
b) 1,5 mil – 13,2 km = ? km
10 0 · 0 , 0 0 5 5 g) 100 · 0,98 – 1 000 · 0,096
2 · 3, 2 4 3 d) + 1, 5 – 0 , 15 4
c)
f)
h)
2, 1 3
21 Hitta på uppgifter som leder till namnet på en stad, flod, berg eller liknande i Europa. Låt en klasskamrat lösa uppgifterna och försöka lista ut vad du söker. KAPITEL 1 TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
001-059 Gamma Utmaning kap 1-5 FINAL NY.indd 7
7
2021-05-05 15:14
utmaning
MATEMATIK ALFA BETA GAMMA är avsedda för årskurserna 4-6. Serien finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. I MATEMATIK GAMMA UTMANING hittar du: • genomgångar och faktarutor • typexempel • uppgifter som täcker kursplanens långsiktiga mål • fokus på problemlösning • ledtrådar, lösningsförslag och facit MATEMATIK GAMMA består av följande komponenter:
B
A
a a MATEMATIK
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Stina Åkerblom Kerstin Dahlin
Matematik Gamma Bas
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
utmaning
a MATEMATIK
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
Matematik Gamma A och B
bas
Matematik Gamma
MATEMATIK
lärarguide
MATEMATIK
a
a MATEMATIK
MATEMATIK Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
Matematik Gamma Utmaning
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
Matematik Gamma Lärarguide
www.matematikabg.se Matematik Alfa Beta Gamma hemsida
På seriens hemsida finns bland annat läxor till alla kapitel, diagnoser och prov, nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och Powerpointfiler. Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida www.matematikabg.se eller maila till info@matematikabg.se. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 90 00.
MATEMATIK Best.nr 47-14285-9 Tryck.nr 47-14285-9
Omslag Gamma Utmaning korr 2.indd 1
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
2021-04-27 15:33