MATEMATIK
lärarguide Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin Liber
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd I
2021-06-14 14:19
ISBN 978-91-47-14278-1 © 2021 Lennart Undvall, Christina Melin, Kristina Johnson, Conny Welén, Kerstin Dahlin och Liber AB projektledare och redaktör Sara Ramsfeldt/MeningsUtbytet AB formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Johan Unenge faktateckningar Björn Magnusson, Cecilia Frank programmeringsövningar Caroline Karls sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB omslag Cecilia Frank
Första upplagan 2013 Andra upplagan 2021 3 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People printing, Kina 2023
KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.
Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd II
2023-02-14 09:32
FÖRORD
GAMMA LÄRARGUIDE är ett komplement till MATEMATIK GAMMA, GAMMA BAS och GAMMA UTMANING. Till lärarguiden
hör också ett stort antal digitala fi ler som du kan ladda ner från vår – författarnas – egna hemsida (www.matematikabg.se). Inloggningsuppgifterna till vår hemsida är: Användarnamn: Lösenord: Här i lärarguiden hittar du bland annat metodiska och didaktiska tips, facit till alla uppgift er, vilka file r som finns att ladda ner, hjälpmedel för utvärdering och bedömning och mycket mera. Hör gärna av dig till oss på info@matematikabg.se om du har några synpunkter eller frågor. Vi önskar dig en framgångsrik matematikundervisning!
Lennart Undvall
Christina Melin
Conny Welén
Kristina Johnson
Kerstin Dahlin
SYMBOLFÖRKLARING LÄRARGUIDEN Planering
Arbetsblad m m
SMART Board
Extrablad
Powerpoint
Aktivitetsblad
Film
Bedömningsstöd
Spel
Övrigt
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd III
III
2021-06-14 14:19
INNEHÅLL
IV
Förord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
5. Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xvii
Innehåll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .iv
6. Diagnos och test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii
Seriens uppbyggnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vi
7. Träna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
Lärobokens struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
8. Utveckla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
Mer än en bok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
9. Fokus på . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx
1. Ingressuppslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi
10. Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
2. Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
11. Prov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv
3. Genomgångar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
12. Läxor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv
4. Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Övrigt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi
1
Taluppfattning och huvudräkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1
Olika sorters tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2
Addition och subtraktion med tal i decimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Träna Taluppfattning och huvudräkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3
Multiplikation och division med tal i decimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Utveckla Taluppfattning och huvudräkning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4
Mer om multiplikation . . . . . . . . . . . . . . 22
Fokus på . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.5
Mer om division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.6
Multiplikation och division med stora tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7
Binära talsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2
Bråk och procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1
Räkna med bråk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.2
Bråkform och blandad form . . . . . . . . . 74
Träna Bråk och procent . . . . . . . . . . . . 115
2.3
Bråkform och decimalform . . . . . . . . . . 81
Utveckla Bråk och procent . . . . . . . . . . 119
2.4
Beräkna delen från bråkform. . . . . . . . . 87
Fokus på . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.5
Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.6
Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.7
Beräkna delen från procentform . . . . . 105
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd IV
2021-06-14 14:19
3
Samband, uttryck och ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.1
Proportionalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.2
Kombinatorik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.3
Numeriska uttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Träna Samband, uttryck och ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.4
Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5
Mer om algebraiska uttryck . . . . . . . . . 155
3.6
Mönster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.7
Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4
Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.1
Geometriska objekt . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4.2
Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Träna Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.3
Spegling och symmetri . . . . . . . . . . . . . 206
Utveckla Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.4
Längd och skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Fokus på . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.5
Omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.6
Area och volym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5
Med sikte på framtiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
5.1
Taluppfattning och tals användning . . 254
5.2
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.3
Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.4
Samband och förändring . . . . . . . . . . . 275
5.5
Sannolikhet och statistik. . . . . . . . . . . . 280
5.6
Problemlösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Utveckla Samband, uttryck och ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Fokus på . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Fokus på . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Programmeringsövningar . . . . . . . . . . 300 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Bildförteckning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd V
V
2021-06-14 14:19
__
MATEMATIK
MATEMATIK
_
MATEMATIK
_
Matematik Alfa Bas
_
α
MATEMATIK
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Kerstin Dahlin
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén
Matematik Alfa Utmaning
Matematik Alfa Lärarguide
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Stina Åkerblom
Matematik Alfa Facit
Matematik Alfa Digital
facit
Matematik Alfa A och B
MATEMATIK
MATEMATIK
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Stina Åkerblom
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén
Matematik Alfa
_
MATEMATIK
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén
facit
utmaning
bas
B A
lärarguide
SERIENS UPPBYGGNAD
MATEMATIK
`
Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén Stina Åkerblom
Matematik Beta
Matematik Beta A och B
Matematik Beta Bas
Matematik Beta Utmaning
Matematik Beta Lärarguide
Matematik Beta Facit
Matematik Beta Digital
www.matematikabg.se Matematik Gamma
Matematik Gamma A och B
Matematik Gamma Bas
Matematik Gamma Utmaning
Matematik Alfa är avsedd för åk 4, Matematik Beta för åk 5 och Matematik Gamma för åk 6. Serien finns för hela grundskolan, och för förskoleklass. Materialet i åk 1–3 heter Matematik A–F.
För åk 7–9 heter serien Matematik XYZ.
Hemsida
Matematik Gamma Digital
Utmaning – svårare uppgifter för elever som behöver mer utmaningar.
Facit – finns som separat häfte till Alfa och Beta. I Gamma finns facit i boken i såväl grundbok, A- och B-bok som Bas och Utmaning. Lärarguide – information, metodiska tips, facit, ledtrådar, lösningsförslag och hänvisningar till omfattande digitalt material på hemsidan. Hemsida – www.matematikabg.se innehåller bland annat arbetsblad, extrablad, aktivitetsblad, planeringar, matriser, diagnoser och prov i form av Word- och PDF-filer. Till alla avsnitt finns filmer, Powerpointfiler och SMART Board-filer.
För var och en av delarna Alfa, Beta och Gamma finns följande komponenter:
Digital – ett heldigitalt läromedel med allt samlat på
Grundbok – genomgångar av centralt innehåll och
Digitalt övningsmaterial – komplement till den tryckta boken med enklare interaktiva övningar där eleverna kan nöta in grunder och begrepp.
uppgifter på tre nivåer.
A- och B-boken – med grundbokens kapitel och med skrivutrymme för nivå ETT och TVÅ. Bas – lättare uppgifter för elever som behöver mer stöd.
VI
Matematik Gamma Lärarguide
ett ställe.
En fristående bok i serien är LänkEn 6-7 där fokus är att träna det som krävs för betyget E i åk 6.
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd VI
2021-06-14 14:19
LÄROBOKENS STRUKTUR
Gamma innehåller vårt förslag till matematikkurs för åk 6, men du är såklart fri att göra vilka anpassningar du vill. Det viktiga är att eleverna uppnår kunskapskraven i åk 6.
2. Aktiviteter – i form av till exempel spel eller laborationer. 3.2
Gamma har fem kapitel:
Kombinatorik AKTIVITET
Kuber på rad
Taluppfattning och huvudräkning
kap 2
Bråk och procent
kap 3
Samband, uttryck och ekvationer
kap 4
Geometri
kap 5
Med sikte på framtiden
Antal deltagare: 2–3 st
I kapitel 5 får eleverna repetera det mesta som de arbetat med i åk 4–6. Kapitlet fungerar bra som träning inför det nationella provet i matematik och ger även en bra förberedelse inför fortsatta studier i matematik på högstadiet.
140
A
Placera tre av kuberna efter varandra. På hur många olika sätt kan det göras? Anteckna eller rita alla sätt ni hittar.
B
Jämför ert resultat med en annan grupp.
C
Placera nu alla fyra kuberna efter varandra. På hur många olika sätt kan det göras?
D
Jämför ert resultat med en annan grupp.
E
Försök komma på hur man kan räkna ut det antal sätt som kuberna kan placeras efter varandra.
F
Räkna ut på hur många olika sätt man kan placera fem kuber med olika färg efter varandra.
3.2 KOMBINATORIK
3. Genomgångar – till vilka det finns stöd i form av teori och lösta typexempel i läroboken. Till alla avsnitt i kapitel 1–4 finns dessutom filmer, Powerpoint-filer och SMART Board-filer.
ARBETSGÅNG Vi tänker oss följande arbetsgång när du arbetar med ett kapitel i Gamma.
3.1
Proportionalitet
kr
3 2
(1, 15)
–3 –2 –1 C
Punkten A ligger rakt ovanför talet 1 på x-axeln och rakt till höger om talet 2 på y-axeln. Punkten har koordinaterna (1, 2).
A origo x 1
2 3 4
–1 –2 –3
D
Punkten D ligger rakt under talet 4 på x-axeln och rakt till höger om talet –2 på y-axeln. Punkten har koordinaterna (4, –2).
VAD MENAS MED PROPORTIONALITET? Äpplena kostar 15 kr per kilogram. Köper man 2 kg kostar det 30 kr och köper man 3 kg så kostar det 45 kr. Det kostar lika mycket för varje kilogram oavsett hur många kilogram äpplen man köper. Vi säger då att priset är proportionellt mot vikten.
2
Hur mycket är 5 ∙ 3 – 2? A: 5 B: 6 C: 13
y 3 2
15 kr/kg
3
kg
vikt 1
2
3
kg
ÄR DET PROPORTIONELLT? De båda flaskorna innehåller samma sorts saft. Är kostnaden proportionell mot volymen? För att den ska vara det, ska priset per centiliter vara samma för båda flaskorna. Det priset räknar vi fram genom att dividera priset med volymen för varje flaska. Beräkningen gör vi med miniräknare.
75 cl 15 kr
stora flaskan
lilla flaskan
75 cl kostar 15 kr.
40 cl kostar 10 kr.
1 cl kostar:
Äpplen
2
15 kr = 0,20 kr = 20 öre 75
1 cl kostar:
40 cl 10 kr
10 kr = 0,25 kr = 25 öre 40
Eftersom priset per centiliter inte är detsamma så är kostnaden inte proportionell mot volymen.
1
D: 30
x 1
T VÅ
Vi kan visa det i ett koordinatsystem. Längs x-axeln skriver vi antalet kilogram. Längs y-axeln skriver vi vad äpplena kostar. Sedan för vi in våra värden som tre punkter. Om vi binder samman de tre punkterna får vi en graf som är rät och börjar i origo. Så är det för alla proportionaliteter, det vill säga grafen är rät och utgår från origo.
Samband, uttryck och ekvationer
KAPITEL
ETT
Vilka koordinater har de här punkterna? A: (0, 2) och (3, 1) B: (2, 0) och (3, 1) C: (0, 2) och (1, 3) D: (2, 0) och (1, 3)
10
10 vikt
1 Punkten C ligger rakt under talet –3 på x-axeln och rakt till vänster om talet –1 på y-axeln. Punkten har koordinaterna (–3, –1).
20
1
y B
30
(2, 30)
20
Man skriver alltid punktens x-koordinat först. Punkten B ligger rakt ovanför talet –2 på x-axeln och rakt till vänster om talet 3 på y-axeln. Punkten har koordinaterna (–2, 3).
graf 40
30
Ett koordinatsystem består av två tallinjer som skär varandra. De båda tallinjerna, koordinataxlarna, kallas x-axel och y-axel. Den punkt där x-axel och y-axel skär varandra kallas origo. Den punkten sägs ha koordinaterna ”noll, noll”, vilket skrivs (0, 0).
sammanställning av begrepp som eleverna möter i kapitlet. Kan du det här? finns även att skriva ut från hemsidan samt digitalt via tjänsten Socrative.
1
kostnad
50 (3, 45)
1. Ingressuppslag – med Kan du det här? samt en
KAN DU DET HÄR?
kr
kostnad
50 40
KOORDINATSYSTEMET
KAPITEL 3
kap 1
Materiel: 4 centikuber av olika färg
2
Vilket tal är x om x – 8 = 24? A: x = 3 B: x = 32
4
Hur mycket kostar 5 kg potatis om 3 kg kostar 27 kr och priset per kilogram är detsamma? A: 42 kr B: 45 kr C: 50 kr D: 54 kr
5
Vilket tal saknas i talföljden?
C: x = 16
132
3
3
3.1 PROPORTIONALITET
3.1 PROPORTIONALITET
133
D: x = 6
10 20 40 ? 110 160
A: 50
TRE
6
7
B: 60
Vilket tal är x om 7 ∙ x + 11 = 46? A: x = 5 B: x = 7
x – 2? 5 B: x = 9
C: 70
D: 80
C: x = 28
D: x = 64
C: x = 50
D: x = 70
Vilket tal är x om 12 = A: x = 5
8
Liam har två par jeans, fyra tröjor och en jacka. På hur många olika sätt kan han klä sig om han ska ha ett par jeans, en tröja och en jacka på sig? A: 7 sätt B: 8 sätt C: 9 sätt D: 10 sätt
9
Hur lång tid tar det att cykla 1,5 km om du i genomsnitt hinner 5 m varje sekund? A: 4 min B: 4 min 30 s C: 5 min D: 10 min
130 130
BEGREPP Vilka begrepp känner du till sedan tidigare? Kan du beskriva dem? origo
koordinatsystem
x- och y-axel
koordinater
träddiagram
numeriskt uttryck
proportionell
kombinatorik
variabel
talföljd
algebraiskt uttryck
graf
obekant tal
balansmetoden
prioriteringsregler
mönster
ekvation
differens
prövning
KAPITEL 3
131
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd VII
VII
2021-06-14 14:20
4. Uppgifter – 6–7 avsnitt med uppgifter på tre
6. Diagnos och Test – finns att ladda ner från vår
svårighetsnivåer. För de elever som tycker nivå ETT är för svår, finns en lättare nivå i Gamma Bas. För de elever som behöver tuffare utmaningar än nivå TRE finns sådana i Gamma Utmaning.
hemsida.
På vår hemsida finns även ett mycket stort antal kopieringsunderlag med uppgifter att skriva ut.
Vilka koordinater har
B
punkterna?
5 4
7
D
11
vikt
5
Två av diagrammen visar Förklara hur du tänker.
6
12
Noah jobbar extra i en affär. En helg jobbar han fem timmar och Nästa helg jobbar Noah sex timmar. tjänar 625 kr. Hur mycket tjänar proportionell mot han då, om lönen antalet timmar? är
6
kg
13
Är kostnaden för en glass proportionell mot antalet kulor? Förklara hur du tänker.
14
Liftkort 9
Är kostnaden för liftkort proportionell mot antalet dagar?
4
Vilka koordinater har punkterna?
3 dagar 1 080 kr 6 dagar 1 650 kr
Vilka diagram inte proportionaliteter.
är det?
15 y
y
y
sträcka
a) Rita ett koordina tsystem och sätt ut punkterna (–1, –4), b) De fyra punktern (0, –2), (2, 2) och (3, a liggertidpå en rät linje. 4). På samma linje ligger Vilket tal är y? punkten (1, y). 10 20 30 40 min
20
2
16
MATEMATIK
187–188
2
För tre biobiljetter betalade Alma 360 kr. Hur mycket fick Azeem betala för fyra biljetter om kostnaden var proportionell mot antalet biljetter? 189–192
3
Wilhelm äter middag på en restaurang. Han kan välja mellan 6 varmrätter och 4 efterrätter. På hur många sätt kan Wilhelm kombinera om han äter en varmrätt och en efterrätt?
193–194
4
a) 17 + 3 ∙ 4
195–197
5
Teckna ett uttryck för hur mycket man får tillbaka på 200 kr, om man köper x glassar
6
Vilket är nästa tal i talföljderna? Motivera dina svar. a) 5 11 17 23 –?– 200 100 –?– b) 800 400
7
Förenkla uttrycken. a) 6x ‒ 2x ‒ x
b) 40 / 2 – 30 / 6
1
Vilka koordinater har punkterna?
Ett flygplan håller en jämn hastighet på 800 km/h. Räkna ut hur långt y planet hinner på a) 1 h B b) 2 h 3 c) 3 h d) Rita ett koordina A tsystem 2 och rita en graf som beror av tiden. Sätt visar hur sträckan tiden påx x-axeln och 1 C sträckan på y-axeln. e) Är sträckan proporti 1 2 3 4 onell mot tiden? –3 –2 –1 Motivera ditt svar. –1 E Vad tycker du–2om D prissättn ingen på lingon? Förklara hur –3 F du tänker.
201–203
2
a) Är kostnaden proportionell mot volymen? Förklara hur du tänker. b) Hur mycket kostar 25 liter?
204–206
3
Mellan A och D kan man gå på 24 olika sätt. På hur många sätt kan man gå från C till D? Förklara hur du tänker.
4
a) Vilka beräkningar är riktiga? b) Rätta de som är fel.
5
Teckna ett uttryck för vad du får a) betala för x bullar och y glas saft. b) tillbaka på 100 kr om du köper x smörgåsar.
6
Hur många ringar är det i a) figur 4 b) figur 7
b) 4x + 8y ‒ x ‒ 3y
kostnad
Om a = 3 och b = 2, vilket värde har då följande uttryck? a) 2a ‒ b b) 3a + 5b
207–209
9
Lös ekvationerna.
210–211
a) 4x‒ 3 = 37 10
b) 11 =
y +2 3
Hur många tändstickor är det i varje ask? Teckna en ekvation och lös den.
214–215
26 kr 35 kr 43 kr
Hur mycket väger lingon! 10 cm3 koppar om 4 cm3 koppar väger x kostnaden för två sorters Diagrammet visar hur Låda 3 kg 180 kr 40 36 g? x päron berorCav vikten. Låda 5 kg 320 kr 1 cm3 är lika med 1 B kubikcentimeter. a) Vilket är priset per kilogram för den billigare 30 sorten? TRE 20 Tmot135 Är kostnaden proportionell vikten? b) IONALITE 3.1 PROPORT Motivera ditt svar. 17 Tre10av punktern c) Hur mycket kostar 6 kg av den dyrare a i en parallellogram har koordina (3, 2). Vilka koordina vikt sorten? L ter har den fjärde punkten terna (–2, –1), (–1, 2) och ? (Försök hitta två kg 1 2 3 lösningar.) 18 I en bägare som väger 50 g hälls vatten. Vatten Hur mycket väger 3.1 PROPORTIONALITET 136 bägaren med sitt innehåll väger 10 g per centiliter. om det i den finns a) 30 cl vatten b) 60 cl vatten c) Är vikten proporti onell mot volymen vatten? Motivera ditt d) Rita en graf som svar. visar hur vikten beror av volymen. Låt 1 x-axeln motsvara 10 cm på cl och 1 cm på y-axeln motsvara 100 g. kr
8
Prislista för kulglass 1 kula 2 kulor 3 kulor
Gamma
198–200
20
10
–5
När Adam hjälper till i skolans cafeteria i kostnad 20 kr minuter så får han välja varor för 10 kr. En dag60får Adam välja varor för 25 kr. Hur länge har han jobbat då, om ersättningen är proportionell mot tiden? L 40
is
Astrid 105 kr. För 7 hg räkor betalade hektogram? a) Vilket var priset per L betala för 1 kg räkor? TVÅ b) Hur mycket fick Orhan
4
km
–2 lång tid togCdet att cykla 15 km? b) Hur –3 c) Hur Elångt hinner cyklisten på en timme, –4 om sträckan är proportionell mot tiden?
8
mycket färskpotat Diagrammet visar hur kostar kostar en dag. Hur mycket b) 5 kg a) 2 kg nell Är kostnaden proportio c) ditt svar. Motivera vikten? mot
3
Diagrammet visar hur långt en cyklist har kommit
1 x F efter en viss tid. 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 a) –1Hur –1 långt har cyklisten kommit efter 30 min?
och sätt Rita ett koordinatsystem ut följande punkter. B: (–3, 1) A: (3, 1) D: (–3, –1) C: (3, –1) F: (0, –3) E: (3, 0)
2
A
3 2
Vilka koordinater har punkterna?
Test 3
KAPIT EL 3
y
1
1
KAPITE L 3
ETT
Gamma
MATEMATIK
Diagnos 3
Köp
10
x A
7. Träna – Här får eleverna träna på liknande uppgifter som de har haft svårt med på diagnosen. TRÄNA
3.1 PROPOR TIONALI
TET
Samband, uttryck och ekvationer
137
1
y
187 Vilka koordinater har punkterna?
C 2 A 1 x D –3 –2 –1 1 2 3 4 –1 –2 B E –3 F –4
188 Rita ett koordinatsystem. Sätt sedan ut följande punkter: A: (1, –4) B: (2, 1) C: (–3, 0) D: (0, –2) E: (–3, –1) F: (–2, 3)
5. Blandade uppgifter – uppgifter med blandat innehåll från alla avsnitt i kapitlet. Även här finns det uppgifter på tre svårighetsnivåer.
2
189 Sari betalade 12 kr för 4 hg plommon. Hur mycket betalade Emil för 7 hg av samma sort, om kostnaden var proportionell mot vikten?
190 Diagrammet visar hur mycket vatten väger. Är vikten proportionell mot volymen? Motivera ditt svar. b) Hur mycket väger 1 cl vatten?
a)
g
vikt
30 20 10 volym
191 Diagrammet visar kostnaden för
B L A N DA D E U P P G I F T E R
ETT y
160 Vilka koordinater har punkterna?
B
161 Hiba betalade 36 kr för 3 kg potatis.
4 A 3 2
Hur mycket betalade Anton för 5 kg av samma sort, om kostnaden var proportionell mot vikten?
F
162 På en restaurang finns två förrätter,
D
1
–3 –2 –1 –1 –2 E –3 –4
kr
rotfrukterna morot, potatis och kålrot. a) Potatis är billigast och kålrot dyrast. Vilken graf hör ihop med vilken rotfrukt? b) Hur mycket kostar en påse med 3,5 kg potatis? c) Hur mycket mer kostar 2 kg kålrot än 2 kg morötter?
x
1
2
3
kostnad
A
B
1
2
3
cl
C
40 30 20 10
1 2 3 4
vikt 4
kg
C
178
KAPITEL 3 TRÄNA
tre varmrätter och tre efterrätter att välja mellan. På hur många olika sätt kan man kombinera en middag med tre rätter?
163 a) 9 + 2 · 6
b) 20 – 12 + 5
c) 18 / 3 + 15
164 Vilket av uttrycken i rutan är ett tal som är a) 5 mindre än y b) en femtedel av y c) fem gånger så stort som y
y + 5 5 · y y – 5
5 y 5 – y y 5
165 Beräkna värdet av uttrycket 5x – 3y för x = 4 och y = 2. 166 Förenkla uttrycken. a) y + 2y
b) 4z – 2z
c) 5x + 3 – 2x – 1
8. Utveckla – För elever som snabbt blir klara med Träna eller som inte behöver räkna Träna-uppgifter alls.
167 Vilket tal saknas i dessa talföljder? Förklara hur du tänker. a)
5
7
10
14
b) 41
38
35
?
19
?
29
26
168 Lös ekvationerna. a) 5x + 2 = 17
174
b)
y –1 = 4 4
c) 13 = 7 + 2z
UTVECKLA
Samband, uttryck och ekvationer
KAPITEL 3 BLANDADE UPPGIFTER
216 På en bondgård finns x höns, y kor och z getter. a) Teckna ett uttryck för hur många ben djuren har sammanlagt. Vad betyder uttrycket z – (x + y)? b)
217 Kamal har tre gånger så mycket pengar som Yolanda. Sammanlagt har de 60 kr. a) Med vilken av ekvationerna i rutan kan du räkna ut hur mycket pengar Yolanda har? A: 3x = 60 B: 3x – x = 60 C: x + 3x = 60
b) Hur mycket pengar har Kamal?
218 Med uttrycket 331 + 0,6T kan man beräkna ljudets hastighet i luft, uttryckt i meter per sekund (m/s). I uttrycket är T = luftens temperatur i °C. Vilken hastighet har ljud om temperaturen är 15 °C?
39,80 kr/kg
219 Vad kostar en gurka som väger 3,2 hg? Avrunda till hundradelar.
L
220 Vad kostar en ostbit som väger 785 g, om priset är proportionellt mot vikten?
L
0,675 kg 59,40 kr
221 Pröva om x = 0,1 är lösning till ekvationen 11 – 5x = 10 + 5x.
222 På en parkeringsplats finns dubbelt så många bilar som motorcyklar. Sammanlagt har bilarna och motorcyklarna 180 hjul. Hur många bilar finns på parkeringsplatsen? L
223 För talen x och y gäller att y = x + 9 och x + y = 33. Vilka tal är x och y?
182
VIII
L
KAPITEL 3 UTVECKLA
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd VIII
2021-06-14 14:20
9. Fokus på – olika typer av uppgifter som tränar de fem långsiktiga målen i matematik.
5
6
7
inte bli. Eftersom alla lag
4 andra lag. Då blir Använd det väl 4 gånger 4, ekva tion alltså 16 matcher.
gånger när du räknar så. Jag tror att det är 10 matcher.
Det är väl rimligt?
Att använda ekvation er är ofta en bra metod matematiskt problem när man ska lösa ett . D C
1
och beskriv Välj några av begreppen hur de hör Ärihop. det något eller några av påståendena som stämmer?2 Diskutera med en klasskamrat och kom överens. träddiagram stem
x en I uttrycket 100 – 6x är B: term A: variabel D: lösning C: differens
koordinatsy
numeriskt uttryck
x- och y-axel
4x – 3y Vilket värde har uttrycket för x = 5 och y = 2? 15 D: 16 A: 13 B: 14 C: ? Vilket är nästa tal i talföljden 2 5 11 20 ? 32 D: 35 A: 27 B: 30 C:
3
Vems metod är korrekt? prioriteringsregler
koordinater
ekvation differens 45 – 15 ∙ 2 + 5 ∙ 3. origo Beräkna
Till grundbokens läxor finns också en version med skrivutrymme för elever som använder A- och B-böckerna.
Ett tal multipliceras med 4. Om man sedan adderar med 5 så är summan 17. Vilket är talet? Ett tal divideras med 3. Om man sedan subtraherar med 8 differensen 12. Vilket så är är talet?
MATEMATIK
Om man dividerar morfars ålder med 7 och sedan subtrahe får man Cajsas ålder. rar med 6, Hur gammal är morfar, om Cajsa är 3 år?
Gamma
EFTER AVSNITT 1.2
1
.
obekant tal
variabel
graf
FOKUS PÅ
KAPIT EL 3
gånger 4 gånger 3
matcher, alltså ska 4 andra lag så är kan bildas tal möta och med siffrorna 2, 5, 8 20 matcher. a en gång siffra bara kan förekomm i varje tal? 24 tal A: 12 tal A B: B 64 tal D: tal 27 C:
många tresiffriga det 5 gånger 4 bara, alltså 10 Hur 60 matcher. 9 om varje
på fem Hur långt hinner man 240 km timmar om man hinner är på tre timmar och sträckan proportionell mot tiden? B: 400 km A: 300 km D: 520 km C: 480 km
4
lösning till Vilket värde på x är x 5? I ennturnering deltar 5 lag. Alla lag ska möta alla andra lag en gång. 20 = +i innebandy ekvatione 5 Hur många matcher spelas sammanlagt? B: x = 10 Jag tror inte ens att det A: x = 5 är så många. Jag tror du = 125 D: xMen = 75 C: Jagxtror att det är 5 så många kan det Alla lag möter ju får med alla matcher två
9
– 25 = 15? Vilket tal är x är om 5x B: x = 8 A: x = 4 D: x = 200 C: x = 50
3
FOKUS PÅ
Vems påstående stämmer?
På En kö består av fyra personer. ordnas? hur många sätt kan kön 12 D: 24 A: 4 B: 8 C:
2
lika med Vilket av uttrycken är 4x + 3 – 2x – 1? B: 2x – 4 A: 2x + 2 D: 6x – 4 C: 6x + 2
8
på x-axeln? Vilken punkt ligger inte B: (–1, 0) A: (2, 0) D: (11, 0) C: (0, –8)
1
här i lärarguiden, finns angivet efter vilket avsnitt som en läxa tidigast kan ges. Till elever som använder Gamma Bas finns särskilda basläxor.
KAPITE L 3
FOKUS PÅ
Vad minns du?
Läxor – finns på vår hemsida. På varje läxblad, och
2
Ayden: 4 5algebraiskt – 1 5uttryck ·2 + 5·3 = 30 ·2 + 5 ·3 = 60 + 15 = 75
proportionell
balansmetoden
kombinatorik
3
Nadja:mönster 4 5 – 1 prövning 5·2 +5 ·3 = 45–30+1 5 =45 – 4 5 =0
talföljd
4
Vera: 4 5 – 1 5 · 2 + 5 · 3 = 4 5 – 3 0 + 1 5 = 1 5 + 1 5 = 3 0 PÅ KAPITEL 3 FOKUS
MATEMATIK
Gamma
EFTER AVSNITT 1.2
1
183
Vem har löst uppgiften rätt? Vilka fel har de andra gjort? 5
184
4 KAPITEL 3 FOKUS PÅ
Rektangelns omkrets är 56 cm. Hur långa är sidorna?
6 3x x
(cm)
2
7
x 3x
8
KAPITEL 3 FOKUS PÅ
185
9
3
4
10
10. Sammanfattning – en kort sammanställning av
5
a) 5,37 + 0,25
b) 6,5 – 2,05
c) 4 + 0,7 + 0,02
begrepp och metoder i kapitlet. 6
S A M M A N FAT T N I N G y
Koordinatsystem
B
Bilden visar ett koordinatsystem. De båda tallinjerna, eller koordinataxlarna, brukar kallas x-axel och y-axel. Punkten A har koordinaterna ”ett, två” vilket skrivs (1, 2).
3
A
2
origo
1
x
–3 –2 –1
Den punkt där de båda tallinjerna skär varandra kallas origo. Origo har koordinaterna (0, 0).
Proportionalitet
1
2 3 4
–1
C
–2 –3
kr
Om man köper till exempel bananer så är kostnaden proportionell mot vikten. Det innebär att man betalar lika mycket för varje kilogram man köper.
40
En proportionalitet kan avbildas i ett koordinatsystem. Grafen är rät och utgår från origo.
20
D
kostnad
graf
30
10 vikt
Kombinatorik
1
2
kg
Den matematik som handlar om att beräkna antalet möjliga kombinationer kallas kombinatorik. Antag att vi vill räkna ut hur många tresiffriga tal som kan skrivas med siffrorna 2, 4 och 6. Om alla siffror bara får förekomma en gång är antalet kombinationer 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6.
Uttryck med flera räknesätt När man gör en beräkning av ett numeriskt uttryck måste man följa prioriteringsreglerna.
190
Prioriteringsregler 1. Först räknas multiplikation och division. 2. Sedan räknas addition och subtraktion.
KAPITEL 3 SAMMANFATTNING
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd IX
IX
2021-06-14 14:20
MER ÄN EN BOK
På vår hemsida (www.matematikabg.se) finner du och dina elever en stor mängd digitala resurser. Innehållet är uppdelat på lärare och elever med bland annat följande rubriker:
Det finns även Powerpoint-filer för de uppgifter som och som passar som EPA-uppär markerade med gifter.
LÄRARE aktiviteter.
Programmering – Uppgifter för programmering. Prov – Med rättningsmall och bedömningsmatris. Repetition inför prov – Repetitionsuppgifter hämtade
Arbetsblad – Innehåller uppgifter som elever kan
från bokens exempelrutor samt övningsprov.
använda för att träna mera.
SMART Board – Notebook-filer till alla avsnitt för dig
Bedömningsstöd – Här finns självskattningsblad,
som använder SMART Board.
matriser samt kopieringsunderlag till Kan du det här? och Vad minns du?.
Digitala hjälpmedel – En sida med tips och länkar till
SOCRATIVE – Samtliga Kan du det är? och Vad minns du? finns som digitala Socrative-test, vilket innebär att de rättas automatiskt.
digitala resurser på internet.
Övrigt – Övrigt kopieringsunderlag.
Doobidoo – Powerpoint-filer med Matte-Doobidoo. Extrablad – Uppgifter som till exempel kan användas
ELEVER
Aktivivitetsblad – Till bokens aktiviteter samt extra
av elever som har gjort klart diagnosen och väntar på att alla blir klara.
Logga in – Här finns diagnoser, tester, prov samt facit
Slutligen finns även Powerpoint-filer till de delar som ingår i avsnitten Fokus på.
Filmer – Filmade genomgångar till alla avsnitt. Läxor – Här finns alla läxor till både grundbok och
till läxor.
bas.
Planeringar – Veckoplaneringar i Word-filer som du lätt kan ändra i.
Programmering – Uppgifter för programmering. Ändringar i Alfa, Beta, Gamma – här finns ändringar
Powerpoint – Till varje avsnitt finns en Powerpoint-fil
som vi gör i böckerna, till exempel facitfel.
som du kan använda när du går igenom avsnittet.
X
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd X
2021-06-14 14:20
1. INGRESSUPPSLAG
KAN DU DET HÄR?
BEGREPP
Kan du det här? är till för att både du och eleven ska få inblick i elevens förkunskaper innan ni startar arbetet med kapitlet. Uppgifterna finns i boken, som kopieringsunderlag och digitalt via webbtjänsten Socrative som du får tillgång till via vår hemsida (www.matematikabg.se). Läs mer om hur du kommer igång med Socrative i rutan på nästa sida eller titta på instruktionsfilmen på vår hemsida. Om du använder den digitala versionen sker rättningen automatiskt och du behöver bara analysera resultatet.
Ingressen innehåller en lista på centrala matematiska begrepp som eleverna möter i kapitlet. För att du ska få eleverna att börja reflektera kring begreppen och för att du ska få en snabb bild av gruppens förkunskaper föreslår vi att du använder till exempel handuppräckning, små whiteboardtavlor eller liknande för att låta eleverna tala om vilka begrepp de kan, känner till eller inte kan.
KAPITEL 1
Bråk och procent
KAPITEL
Kan du det här? är även tänkt att ge eleverna en fingervisning om vilken nivå de ska börja arbeta på. Ett riktmärke kan vara att elever som är osäkra på ETT-uppgifterna börjar i Gamma Bas eller på nivå ETT. Elever som klarar nivå ETT utan problem men har problem med övriga uppgifter, börjar sitt räknande på nivå ETT. Elever som klarar nivå TVÅ utan problem men inte TRE börjar på nivå TVÅ. De elever som klarar i princip alla uppgifter i Kan du det här? kan kanske börja sitt arbete på nivå TRE.
I avsnittet Fokus på finns samma begreppslista, men eftersom det är i slutet av kapitlet och eleverna då bör känna till begreppen ger vi där förslag på mer omfattande övningar för att arbeta med begreppen.
BEGREPP Vilka begrepp känner du till sedan tidigare? Kan du beskriva dem? KAN DU DET HÄR? enklaste form
ETT
bråkform
1
2
T VÅ
3
4
5
1 av en chokladkaka. Hur stor andel 3 av chokladkakan finns kvar? 1 2 3 C: B: A: 3 3 1
3 D: 2
Hur mycket är en femtedel av 40? A: 5 B: 6
C: 7
D: 8
C: 1,5
D:
1 10
D:
3 = 3,4 4
Vilket alternativ är rätt? 3 3 = 0,75 B: = 0,34 A: 4 4 Hur mycket är
A:
TRE
2 2 + ? 5 5 B: 0,25
Hur mycket är hälften av 1 12
B:
1 4
Hur mycket är en fjärdedel av
9
Vilket tal är x om
A:
1 24
A: x = 5
B: 1,4
B:
C:
3 4 = 4 8
C: 0,75
D: 0,8
C: 0,6
D:
1 8
C:
4 12
D:
3 6
C:
1 8
D:
1 4
1 ? 4
Vilket tal är lika stort som
8
2 8
möjliga utfall procent
minsta gemensam nämnare
1 ? 2
7
A:
det hela blandad form
täljare andel
nämnare
risk gynnsamma utfall
rationella tal
förkortning
del
chans
KAPITEL 2
Vilket av talen är störst? 1 B: 0,15 A: 5
A: 0,4
6
förlängning
Vidar äter upp
1 12
2 = 0,1? x B: x = 10
1 ? 2
C: x = 15
D: x = 20
66 66
Ta dig tid att analysera elevernas resultat och svar om de har svarat fel. Du kan få mycket värdefull information från ett felaktigt svar. Här i lärarguiden hittar du kommentarer till flertalet uppgifter. Med hjälp av dessa kan du lättare identifiera gruppens eller enskilda elevers missuppfattningar och bristande förkunskaper. Om många elever i klassen har gjort fel på någon eller några uppgifter kan du behöva repetera detta med hela klassen. Tanken är att du med resultatet som grund ska kunna planera din fortsatta undervisning så att den utgår från elevernas förförståelse.
67
SJÄLVSKATTNING I läroplanen betonas elevernas eget ansvar för sina studier och forskning har visat att formativ bedömning är en framgångsfaktor vid all inlärning. Därför finns det till varje kapitel ett självskattningsblad som underlag till en del av den formativa bedömningen. Bladen finns att ladda ner från vår hemsida (www.matematikabg.se). På dessa blad finns ett antal av de centrala begreppen i kapitlet uppräknade liksom några av de beräkningsmetoder som eleverna möter i kapitlet. Avsikten är att eleverna vid kapitlets början ska reflektera över hur väl de känner till begreppen och hur säkra de är på metoderna. I slutet av kapitlet får eleverna på nytt reflektera över detta. Förhoppningsvis har då osäkerhet bytts mot säkerhet. Elevens självskattning samt resultatet från Kan du det här? kan utgöra underlag till formativa
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XI
XI
2021-06-14 14:20
samtal mellan dig och eleven till exempel i början och i slutet av kapitlet.
MATEMATIK
Kapitlets början Begrepp
Den här formen av formativ bedömning kan vara ett bra sätt att öka elevernas motivation då de blir medvetna om sin egen utveckling, vad de kan och vad de behöver lära sig. Det är viktigt att poängtera för eleverna att formativ bedömning är något som fortgår löpande och att du som lärare kontinuerligt utvärderar elevernas förmåga att föra och följa matematiska resonemang, hur de använder matematiska uttrycksformer samt hur de argumenterar för sina uträkningar och slutsatser. Ett bra sätt för eleverna att hålla ordning på sitt självskattningsblad är att klistra fast det i räknehäftet eller sätta in det i en pärm.
SOCRATIVE Så här använder du Socrative:
1. Socrative har en lärardel och en elevdel – Socrative Teacher och Socrative Student. Du skaffar dig en gratis lärarinloggning via deras hemsida (www.socrative.com). Det finns även en lärar-app och en elev-app att tanka ner via Appstore och Google Play att använda i mobiltelefoner och i läsplattor.
2. När du har skaffat dig en lärarinloggning importerar du det quiz du vill köra. Det gör du genom att hämta koden som finns på vår hemsida (www.matematikabg.se). Till exempel är koden SOC39529997 för Kan du det här? i Matematik Alfa kapitel 1. Rumsnamnet som Socrative ger dig är lite krångligt, men du kan enkelt byta namn på rummet.
XII
Gamma
Kapitlets slut
Kan ej
Osäker
Kan
Kan ej
Osäker
Kan
Kan ej
Osäker
Kan
Kan ej
Osäker
Kan
naturliga tal negativa tal hela tal udda och jämna tal olikhetstecken platsvärde term faktor täljare nämnare summa differens produkt kvot förkortning binära tal Beräkningar
0,76 + 0,3 Skriv sju hundradelar i decimalform. 0,9 ∙ 0,5 52,2 / 4 200 ∙ 0,72 1 000 ∙ 2,3 75 / 10 24,5 70
Skriv 23 i det binära talsystemet.
3. Sedan går du till ”Quizzes”, väljer ”Add Quiz” och sedan ”Import Quiz” och klistrar in koden för quizet. Du startar quizet genom att gå till ”Launch” och sedan ”Quiz”. Nu borde du se ”Gamma Kap 1 – Kan du det här?” bland dina egna Quizzes. Välj och starta. Nu är det klart för eleverna att göra testet. Om du väljer ”Open navigation” kan eleverna själva bestämma i vilken takt de vill göra uppgifterna, men de kommer inte kunna se sitt resultat. Du kan även välja om eleverna ska få se om de svarat rätt eller inte.
4. Eleverna startar quizet via valfri enhet genom att gå in på Socrative Student (antingen i appen eller på Socratives hemsida). Som kod anger eleverna namnet på rummet (vilket står överst på sidan när du loggat in). Eleverna ser då bara det quiz som du
för tillfället har aktiverat.
5. Nu är quizet igång, men innan eleverna kan starta måste de ange ett namn. Här är det lämpligt att de använder sina riktiga namn så att du lätt kan förstå vem som svarat vad. Eleverna kan inte se vad de andra har svarat. I Socrative-versionen av Kan du det här? har vi valt att eleverna inte ska kunna se om de svarat rätt eller fel. Svaren rättas automatiskt och du stänger ner quizet när du ser att alla har svarat. Sedan kan du i lugn och ro analysera resultatet. Du kan även exportera resultatet till en Excelfil. Om det är första gången du använder Socrative eller om du tycker att den här instruktionen är för svår att följa, kan du se en film där vi visar hur det fungerar. Filmen hittar du på vår hemsida (www.matematikabg.se).
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XII
2021-06-14 14:20
2. AKTIVITETER
Det är viktigt att du som lärare delar med dig av dina kunskaper, erfarenheter och reflektioner. Det är också viktigt att eleverna får dela med sig av sina egna funderingar och resonemang samt lyssna till andras. För att uppmuntra till detta startar vi ett antal avsnitt med en aktivitet. Denna är oftast av praktisk karaktär och uppmuntrar till kommunikation och reflektion kring det matematiska innehållet. Eleverna kommer genom aktiviteterna in i ämnesområdet och det matematiska språket för avsnittet. Vid aktiviteten finns angivet vilken materiel eleverna behöver och hur många deltagare man bör vara. På hemsidan (www.matematikabg.se) finns aktivitetsblad att ladda ner och skriva ut. Det kan till exempel vara en spelplan. Där finns även förslag på extra aktiviteter som inte finns med i grundboken.
1.7
Binära talsystemet AKTIVITET
Bygga tal Materiel: Aktivitetsblad och sax Antal deltagare: 2–3 st
A
Använd tabellen på aktivitetsbladet eller rita av den här tabellen. Men lägg då till så att det sammanlagt blir sju rader. Tal:
32
16
8
4
1
B
Klipp ut delarna från aktivitetsbladet.
C
Med hjälp av delarna ska ni bygga olika naturliga tal. Ni får bara använda varje del en gång för varje tal. Skriv in i tabellen vilka delar ni använder. Exempel: Om ni ska bygga talet 3 använder ni delarna 2 och 1. Ni markerar i tabellen vilka delar ni har använt.
38
2
Tal:
32
16
2
8
4
3
1
2
1
X
X
D
Bygg talen 5, 12, 17, 23, 34 och 57. Lägg ut delarna ni använder och markera sedan i tabellen vilka delar det är.
E
Om ni skulle bygga större tal, som till exempel 70, behövs en byggbit till som passar in i mönstret med de övriga. Vilken byggbit är det?
F
För att bygga till exempel talen 140 och 400 så krävs flera byggbitar. Vilka då?
1.7 BINÄRA TALSYSTEMET
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XIII
XIII
2021-06-14 14:20
3. GENOMGÅNGAR
GENOMGÅNG
POWERPOINT
I varje kapitel finns 6–7 avsnitt. Vi föreslår att varje avsnitt inleds med en gemensam genomgång. I avsnitten finns förslag på genomgång som du kan hämta inspiration från eller som eleverna kan studera själva vid behov. I nästan alla avsnitt finns det även ett eller flera typexempel. Till dessa finns kommentarer som förklarar lösningen. Det finns även kommentarer kring hur eleven kan tänka för att ha en god skriftlig kommunikation. Detta är viktigt att arbeta med kontinuerligt så att eleverna tränar på att redovisa med god kvalité.
Till alla avsnitt finns också Powerpoint-filer som du kan använda i samband med genomgångar. På dessa finns sidor hämtade ur grundboken med teori och typexempel. &#)
!
% ,&
'$ %$$ & '$ , & &) %$$ & &) , # () %$$ & () , &
%$$ ,# '$ , - &) , - () , . %$$ ,#
SMARTBOARD Om du använder en SMART Board Tavla, SMART Interaktiv Projektor eller en SMART Board Skärm kan du ladda ner avsnittsgenomgångar från vår hemsida (www.matematikabg.se). Genomgångarna innehåller texter och bilder samt en del interaktiva moment. Du kan själv fylla på med egen text som du skriver direkt på den interaktiva tavlan. För att kunna öppna filerna behöver du programmet SMART Notebook. Programvaran finns att ladda ner från internet (www.smartboard.se) och installeras på datorn som är kopplad till din SMART-produkt. Om du har installerat programvaran men har en vanlig projektor kan du endast visa sidorna, klicka med datormusen och skriva med tangentbordet.
XIV
FILMER Till alla avsnitt i Matematik Alfa, Beta, Gamma finns filmer med inspelade genomgångar. Filmerna är gratis att titta på och ligger på vår Youtubekanal, men nås enklast via vår hemsida (www.matematikabg.se). Om du själv har ett Youtubekonto kan det vara bra att prenumerera på vår Youtubekanal så att du får en notis när vi lägger ut nya filmer. Du behöver ett eget Youtubekonto att logga in på innan du kan prenumerera på våra filmer. Filmerna är gjorda som en genomgång av innehållet i det aktuella avsnittet. Du kan använda filmerna för att ”flippa klassrummet”, det vill säga låta eleverna få titta på en film i förväg inför en kommande genomgång, visa den i klassrummet eller låta elever, som missat din genomgång, se en film i efterhand. Om du har en obehörig vikarie kan du uppmuntra vikarien att använda sig av filmerna. Dessa kan även vara uppskattade av föräldrar.
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XIV
2021-06-14 14:20
4. UPPGIFTER
FÖRMÅGORNA
Eftersom elevernas kunskaper ofta är mycket varierande är uppgifterna indelade i tre svårighetsnivåer, ETT, TVÅ och TRE. Eleverna väljer, kanske med din hjälp, vilken nivå de ska börja på. Kan du det här? som finns i ingressen till varje kapitel kan ge viss vägledning om vilken nivå eleven ska börja på. För de flesta eleverna brukar det passa att börja på någon av de två första nivåerna. Är nivå ETT för svår, kan eleven börja med motsvarande avsnitt i Gamma Bas. Om en elev snabbt klarar av uppgifterna på nivå TRE, kan eleven fortsätta med motsvarande kapitel i Gamma Utmaning.
Varje nivå i läroboken innehåller uppgifter som tränar alla de långsiktiga målen i matematik. Till varje avsnitt finns här i lärarguiden en förteckning över vilken eller vilka förmågor som tränas i de olika uppgifterna.
Varje elev bör arbeta med alla uppgifter på minst en nivå i läroboken för att säkerställa att hen tränar samtliga matematiska förmågor. Men uppmana gärna eleverna att räkna mer än så. Tiden på matematiklektionerna kanske då inte räcker till utan eleverna kan behöva lägga mer tid på hemarbete. Det är dock viktigt att tänka på att hemarbete ska förstärka inlärningen av det som eleverna arbetat med i skolan. Det är inte meningen att eleverna ska sitta hemma och lära sig nya moment på egen hand. Det är ju inte alla som har föräldrar som kan hjälpa till och även om de har det så är det ju inte säkert att det fungerar bra för eleven.
I alla avsnitt i grundboken finns uppgifter som är . Det är uppgifter som har som markerade med syfte att träna elevernas resonemangsförmåga. Uppgifterna kan med fördel användas som EPA-uppgifter (Enskilt-Par-Alla).
ETT med 2. 145 Förkorta bråken 6 2 a) 4
b)
147
4 10
c)
9 15153
8
d)
8 14
TVÅ
med 3. 146 Förkorta bråken 3 6 a)
c)
KAPITE L 2
NIVÅER
b)
9
12
att titta. Hur stor är Du tar upp en kula utan är röd? Svara i sannolikheten att kulan a) bråkform b) procentform c) decimalform
12 d) 21 med 4. Förkorta bråken 4 8 b) a) 8 20
c)
12 16
d)
16 28
154 Ge exempel på någon händelse med sannolikheten 159 c)a)200 a) 0 % b) 100 % % stor Hur
0,85
A: Sannolikheten B: Sannolikheten
är nästan noll. är ungefär 10 %.
157 I en klass finns 15 flickor och 10 pojkar.
0,65
0,75
är
0,95
1 . 6
Händelse Kulan är blå D
Antal gynnsamma utfall A 3
Sannolikhet i bråkform B E
c)
12 30
d)
32 48
c)
20 x = 48 12
d)
x 21 = 10 30
R K
Resonemang Kommunikation
EPA-UPPGIFTER
Det finns alternativa sätt att använda dessa uppgifter: • Eleverna löser dem som vanliga uppgifter och resonerar med sig själva eller med en bänkkamrat, skriver ner sina svar och jämför med facit. • Eleverna löser dem som vanliga uppgifter och resonerar med sig själva eller med en bänkkamrat, men behöver inte skriva ner svaren utan det räcker med att jämföra svaren med facit. • Du säger till eleverna att tills vidare hoppa över alla -uppgifter. När avsnittet är avslutat går ni gemensamt igenom dem. Fördelen med att göra så är att eleverna får höra andras tankar och att det blir fler -uppgifter för alla – från nivå ETT till nivå TRE.
LEDTRÅDAR
Sannolikhet i procentform C F
2.6 SANNOL IKHET
M
Problemlösning Begrepp Metod
För att underlätta de gemensamma diskussionerna finns dessa uppgifter samlade kapitelvis i Powerpointfiler på hemsidan.
0,70
De ska dra lott om vem som ska bli 0,85 0,75 klassens representant i elevrådet. Hur stor 0,90 är sannolikheten att det blir en flicka? Svara första lotten. vinst. Loreen köper den TRE 100 lotter men bara en a) rm. med ett bråk i enklaste form 151 I ett lotteri finns hon vinner? Svara i procentfo Hur stor är chansen att b) i procentform 161 Skriv bråken c)eten i decimalform att ta en grön kula är i enklaste form. Sannolikh L kulor av tre olika färger. 12 152 I en skål finns 20 kulorna är vita om det finns 5 blåa kulor i skålen? a) 15 b) 30 %. Hur många av 24 158 Vilket tal är x? 35 10 x x 4 = = HET 101162 Vilket tal är x? a) SANNOLIK 2.6 b) 15 3 10 5 14 x a) 2 18 = 6 2 14 2 b) = 35 5 c) = d) = 3 x 15 x x 5 163 Du tar upp en av kulorna utan att titta. Vad ska stå istället för A–F? 2.6 SANNOLIKHET 102 C: Sannolikheten
KAPIT EL 2
är chansen att göra mål om du skjuter mitt i målet? b) Hur stor är chansen att göra mål om du skjuter i målvaktens 155 Du kastar en vanlig tärning. Hur stor är sannolikheten att dunedre får högra hörn? L a) en etta eller en tvåa b) högst en fyra Svara med ett bråk i enklaste form. form. 12 148 Skriv bråken i enklaste 8 9 d)ett bråk i enklaste form. Svara med c) 18 5 b) 160 12 Hur stor risk är det a) 12 att du inte gör mål 10 om du skjuter i krysset? får upp en kula utan att titta. 156etenSergon att du tar Med krysset menar man uppe i tärning. Hur stor är sannolikh Hur stor är sannolikheten att kulan är högra eller vänstra 149 Du kastar en vanlig hörnet. Svara i procent. b) ett udda antal prickar a) blå a) en fyra form. b) röd Svara med ett bråk i enklaste Bilden visar sannolikhe ten att göra mål c) gul chansen att få straff beroende vid det på var man placerar bollen. två sexor i rad. Hur påverkar fått och tärning Svara med ett bråk i enklaste form du tänker. hur 150 Du har kastat av alternativen och förklara och i procentform. en tredje sexa? Välj ett 0,95
P B
103
Efter ganska många uppgifter i Gamma står det L , vilket innebär att det finns en ledtråd till uppgiften. Om en elev kör fast på en sådan uppgift så kan ledtråden ge eleven möjlighet att lösa uppgiften genom att sätta igång elevens tankar i rätt riktning. Uppmuntra eleverna att titta på ledtråden innan de ber om hjälp eller tittar i facit, om de har kört fast.
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XV
XV
2021-06-14 14:20
MINITEMA
GAMMA A- OCH B-BOK
I avsnitten finns det ofta miniteman. Dessa innehåller några uppgifter inom samma kontext och hänger därför ihop.
För elever som av olika skäl har svårt för att redovisa sina uppgifter i ett vanligt räknehäfte finns ytterligare en version, Gamma A och Gamma B, som har skrivutrymme till uppgifterna. Dock är det endast till nivåerna ETT och TVÅ som det finns skrivutrymme. Uppgifterna på nivå TRE redovisar eleverna i räknehäften.
Till ett minitema hör alltid en bild med en bildtext. Eleverna måste läsa bildtexten och därifrån hämta data som krävs för att lösa uppgifterna. Ibland finns det även data i uppgifterna eller i bildtexten som inte är nödvändiga för lösningen. Ofta behöver eleverna data från första uppgiften för att kunna lösa de andra uppgifterna i minitemat. Här i lärarguiden finns kommentarer om varje minitema. Många gånger har vi anpassat data i minitemana för att det ska bli lämpliga tal att räkna med och en lagom svårighetsnivå på uppgifterna.
GAMMA BAS OCH GAMMA UTMANING Svagpresterande elever kan behöva börja på en lägre nivå än nivå ETT. Den nivån finns i Gamma Bas. Högpresterande och snabba elever kan välja att börja på nivå TRE i grundboken för att sedan fortsätta med mer utmanande uppgifter i Gamma Utmaning. Det matematiska innehållet i Gamma Utmaning skiljer sig ibland från grundboken. I stor utsträckning kan eleverna arbeta på egen hand i Gamma Utmaning. Men det är såklart viktigt att du inte lämnar eleverna ensamma med Gamma Utmaning utan att du även möter dessa elever i matematiska samtal och resonemang. Det är tyvärr alltför vanligt att högpresterande elever lämnas ensamma och att de kan bli ostimulerade och kanske därför inte når sin fulla potential.
XVI
Uppgiftsnumreringen är densamma i A-boken och B-boken som i grundboken. Det innebär att det är samma facit till alla tre böckerna.
ALLA KAN LYCKAS PÅ SIN NIVÅ Avsikten med den struktur som finns i Alfa Beta Gamma är att gruppen hålls samlad. Alla elever får ägna lika lång tid åt uppgifterna i ett avsnitt, men de räknar olika svåra och olika många uppgifter. Eftersom gruppen hela tiden hålls samlad skapar det många tillfällen för gemensamma diskussioner, aktiviteter samt möjligheter till att träna både resonemangs- och kommunikationsförmågan i olika grupperingar. Tre nivåer i grundboken och varsin nivå i Bas och Utmaning innebär att det sammanlagt finns fem nivåer i Alfa Beta Gamma. Det förbättrar möjligheterna till individuell utveckling för eleverna eftersom de kan hitta uppgifter inom varje avsnitt på en lagom matematiskt utmanande nivå. Med Alfa Beta Gamma kan alla elever lyckas på sin nivå!
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XVI
2021-06-14 14:20
5. BLANDADE UPPGIFTER
B L A N DA D E U
PPGIFTER
ETT
y
har punkter 160 Vilka koordinater
B
TVÅ4 A 3
3 kg potatis.
kr för 161 Hiba betalade 36 Anton för 5 kg
169
162
B: (4, 0) E: (0, –2)
C: (–1, –3) F: (–4, 2)
kr
med att ta bort stubbar. a) Hur mycket kostar det om arbetet tar en och en halv timme? Är kostnaden proportionell mot tiden? b) 15 svar. 18 / 3 + ditt c)Motivera
b) 20 – 12 + 5
kostnad
1 200 1 000 800 600
165
Beräkna värdet av uttrycke
166
Förenkla uttrycken. a) y + 2y
5 y y y – 5 5 5 – y + 5 5 · y y
5
7
b) 41
38
10 35
29
?
1
b)
TER
2
h
171 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas med de tre
2
siffrorna om varje siffra bara får användas en gång? du tänker. Hur stor andel av talen är jämna tal? b) Förklara hur du tänker.
6
9
26
172 a) 9 ∙ 3 – 5 ∙ 4
168 Lös ekvationerna.
DE UPPGIF KAPITE L 3 BLANDA
200
y = 2.
c) 5x + 3 – 2x – 1
talföljder? Förklara hur ? 19 14
a) 5x + 2 = 17
400
tid
t 5x – 3y för x = 4 och
b) 4z – 2z
i dessa 167 Vilket tal saknas
174
C
170 Diagrammet visar vad det kan kosta att få hjälp
är ett tal som är
a) 5 mindre än y b) en femtedel av y som y c) fem gånger så stort
a)
D: (1, 4) –2 –3 –4
E
två förrätter, På en restaurang finns efterrätter att tre varmrätter och tre olika sätt välja mellan. På hur många en middag kan man kombinera med tre rätter?
163 a) 9 + 2 · 6
2 D 1Rita ett koordinatsystem x och sätt ut följande punkter:
F 1 2 3)3 4 –3 –2 –1 A: (–2, –1
Hur mycket betalade en var av samma sort, om kostnad proportionell mot vikten?
n i rutan 164 Vilket av uttrycke
De elever som snabbt blir klara med Blandade uppgifter kan arbeta med två arbetsblad som finns till varje kapitel och som heter Vi repeterar. På bladen finns uppgifter från samtliga tidigare kapitel, vilket gör att bladen är ett bra sätt att hålla gammal kunskap färsk i minnet. Det innebär till exempel att bladen Vi repeterar 5 och Vi repeterar 6 i kapitel 3 även har uppgifter från både kapitel 1 och 2.
na?
KAPITEL 3
I avsnittet Blandade uppgifter finns uppgifter som tränar innehållet från alla avsnitt i kapitlet. Uppgifterna ger eleverna repetition inför den diagnos som följer. I Blandade uppgifter finns tre nivåer, precis som i avsnitten. Eleverna börjar arbeta på den nivå som de oftast börjar på i de vanliga avsnitten. Om en elev ska arbeta med en eller två nivåer kan du som lärare bestämma från fall till fall.
y – 1 = 4 173 4
b) 40 – 6 ∙ 4
c) 21 / 3 + 4 ∙ 7
7 + 2z c) 13 =finns a) I dunken färdigblandad saft. Teckna ett uttryck för hur mycket saft som finns kvar när man har hällt upp x glas. b) Använd uttrycket och räkna ut hur mycket som finns kvar i dunken efter att man hällt upp 10 glas. 50 dl
2 dl
KAPITEL 3 BLANDADE UPPGIFTER
175
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XVII
XVII
2021-06-14 14:20
6. DIAGNOS OCH TEST
DIAGNOS Efter Blandade uppgifter gör eleverna en Diagnos för att ta reda på om de kan det grundläggande i kapitlet. Det är viktigt att du som lärare påpekar skillnaden mellan en diagnos och ett prov, eftersom många elever tror att även diagnosen är ett prov. Diagnoserna, som finns att ladda ner från vår hemsida (www.matematikabg.se), finns som Word-filer så att du själv kan lägga till, ta bort eller ändra i uppgifter om du vill. Facit till varje diagnos ligger sist i filen. De elever som tidigt blir klara med diagnosen kan arbeta med de extrablad som finns till varje kapitel.
kapitlen finns färdiga omvända diagnoser, men det går naturligtvis också bra att själv konstruera sådana baserat på de befintliga diagnoserna. MATEMATIK
Gamma
Diagnos 3 1
Vilka koordinater har punkterna?
2
För tre biobiljetter betalade Alma 360 kr. Hur mycket fick Azeem betala för fyra biljetter om kostnaden var proportionell mot antalet biljetter? 189–192
3
187–188
Wilhelm äter middag på en restaurang. Han kan välja mellan 6 varmrätter och 4 efterrätter. På hur många sätt kan Wilhelm kombinera om han äter en varmrätt och en efterrätt?
193–194
4
a) 17 + 3 ∙ 4
195–197
5
Teckna ett uttryck för hur mycket man får tillbaka på 200 kr, om man köper x glassar
6
Vilket är nästa tal i talföljderna? Motivera dina svar. a) 5 11 17 23 –?– b) 800 400 200 100 –?–
201–203
7
Förenkla uttrycken. a) 6x ‒ 2x ‒ x
204–206
b) 40 / 2 – 30 / 6
198–200
b) 4x + 8y ‒ x ‒ 3y
8
Om a = 3 och b = 2, vilket värde har då följande uttryck? a) 2a ‒ b b) 3a + 5b
207–209
9
Lös ekvationerna.
210–211
a) 4x‒ 3 = 37 10
b) 11 =
y +2 3
Hur många tändstickor är det i varje ask? Teckna en ekvation och lös den.
214–215
För elever som arbetar med Bas och/eller A- och B-boken, finns alla diagnoser också med skrivutrymme. Det finns flera sätt att arbeta med diagnoser i undervisningen förutom som enskild kontrollstation. Några varianter är: • Låt eleverna göra diagnosen först enskilt och sedan sitta i par och jämföra sina svar. Eleverna kan då göra ändringar, men kan göra dem i en annan färg. Detta ger eleverna chans att resonera matematiskt och öka sitt lärande genom att förklara för någon eller få något förklarat för sig. • Låt eleverna göra diagnosen enskilt eller som en läxa i form av en fördiagnos. Gå igenom enligt P-A (Par, Alla) i klassen och låt sedan inom några dagar eleverna göra om samma diagnos fast med något ändrade uppgifter. Det ger ofta en högre motivation och hjälper eleverna att se lärandet som pågående.
TEST Till varje kapitel finns också ett Test. Testet kan användas på olika sätt. Det kan till exempel användas som en andra diagnos, om man bedömer att det är nödvändigt. Men testet kan också användas just som ett test, som ett prov, på det aktuella kapitlets innehåll. Eftersom uppgifterna är grundläggande så kan testet betraktas som en del av utvärderingen på E-nivå. Även testen finns att ladda ner från vår hemsida som Word-filer. Alla tester finns dessutom som färdiga omvända tester. Dessa kan användas på samma sätt som de omvända diagnoserna som beskrivs under DIAGNOS. MATEMATIK
Gamma
Test 3
• Låt eleverna göra det som vi kallar omvänd diagnos. Det är diagnosen fast med lösta uppgifter. Några är korrekt lösta, men flertalet har insmugna fel av den sort som elever ofta själva gör. Elevens eller elevernas uppgift (det passar extra bra att arbeta i par) är att hitta felen, rätta felen och fundera på hur den som gjorde felen tänkte, det vill säga lyfta och diskutera vanliga misstag. Till
XVIII
1
Vilka koordinater har punkterna?
2
a) Är kostnaden proportionell mot volymen? Förklara hur du tänker. b) Hur mycket kostar 25 liter?
3
Mellan A och D kan man gå på 24 olika sätt. På hur många sätt kan man gå från C till D? Förklara hur du tänker.
4
a) Vilka beräkningar är riktiga? b) Rätta de som är fel.
5
Teckna ett uttryck för vad du får a) betala för x bullar och y glas saft. b) tillbaka på 100 kr om du köper x smörgåsar.
6
Hur många ringar är det i a) figur 4 b) figur 7
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XVIII
2021-06-14 14:20
För de elever som gjort fel på någon eller några av uppgifterna i kapiteldiagnosen kan det krävas en förnyad genomgång. Då kan det vara bra att använda sig av konkret material. Ta också gärna hjälp av filmerna på vår hemsida (www.matematikabg.se) när eleverna ska repetera.
TRÄNA
Bråk och procent 1
235 a) I hur många bitar är tårtan delad?
KAPITEL 2
7. TRÄNA
b) Hur stor andel av tårtan är varje bit? c) Fadime och hennes två syskon äter var sin bit. Hur stor andel av tårtan äter de upp sammanlagt? d) Hur stor andel av tårtan finns sedan kvar?
236 Hur stor andel av bilden är blå? Svara i bråkform.
I avsnittet Träna finns lämpliga träningsuppgifter. Till höger om dessa uppgifter finns hänvisning till vilken diagnosuppgift som uppgifterna hör.
a)
b)
237 Av Sofias kusiner går
c)
3 i skolan. Hur stor andel går inte i skolan? 5 2
238 Skriv talen i bråkform. 1 a) 1 2
2 b) 2 3
3 c) 3 4
1 d) 4 6
239 Skriv talen i blandad form. a)
5 3
b)
12 5
c)
15 4
d)
15 2
3 = ? 4
d)
13 = ? 3
240 Skriv talen i bråkform eller i blandad form. a) 1
1 = ? 6
b)
22 = ? 5
c) 2
3
241 Hur stor är delen? a)
1 av 21 liter 3
b)
2 av 25 elever 5
c)
5 av 18 m 6
KAPITEL 2 TRÄNA
115
När eleverna är färdiga med eventuella Träna-uppgifter fortsätter de med avsnittet Utveckla. Elever som blir klara med Utveckla innan de andra eleverna är klara med Träna, kan fortsätta i Gamma Utmaning eller med något av extrabladen som hör till kapitlet.
UTVECKLA
Bråk och procent 263 Nadja sparar 55 kr varje månad. Det är 20 % av hennes månadspeng. Hur stor månadspeng har Nadja?
L
KAPITEL 2
8. UTVECKLA
264 Skriv andelarna i storleksordning med den största först. 3 1 0,615 60 % 0,609 67 % 4 2
265 På ett prov hade Noah rätt på sex åttondelar av frågorna. Hur många frågor var det på provet, om Noah hade rätt på 18 frågor?
266 Förklara varför 35 % =
L
7 . 20
267 En buss hade 50 sittplatser. När bussen var vid Hornsgatan var 70 % av platserna upptagna. Vid Åsögatan steg tre passagerare av och åtta steg på. a) Hur många passagerare hade bussen när den lämnade Åsögatan? b) Hur stor andel av platserna var då upptagna? Svara i både bråkform och procentform.
268 I Moas klass är det 27 elever. Fem niondelar av eleverna är pojkar. En dag är 20 % av pojkarna frånvarande och alla flickor närvarande. Hur stor andel av de närvarande är flickor? L 1 2 upp 40 % av vattnet. Gustav dricker hälften av det som finns kvar. Hur mycket vatten dricker Gustav? Svara i centiliter. L
269 Ahmed köper en stor flaska vatten som innehåller 1 liter. Ahmed dricker
270 En vår sänkte en sportaffär priserna på skidor med 20 %. Hur mycket kostade då ett par skidor som tidigare hade kostat 3 950 kr?
L
271 Priset på en bok sänktes först med 40 % och sedan med ytterligare 25 %. a) Hur mycket kostade då boken om den från början hade kostat 320 kr? b) Med hur många procent hade priset sänkts sammanlagt? L
L
GAMMA UTMANING KAPITEL 2 KAPITEL 2 UTVECKLA
119
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XIX
XIX
2021-06-14 14:20
9. FOKUS PÅ
Avsnittet Fokus på innehåller uppgifter som tränar de långsiktiga målen på ett mer riktat sätt. Avsnittet består av sju olika delar. Till vart och ett av avsnitten Vilket påstående stämmer?, Vems metod är korrekt?, Problemlösning, Räkna och häpna, Resonemang och Värdera och redovisa finns Powerpoint-filer, där man klickar fram information stegvis. Det underlättar för många elever och kan ge upphov till värdefulla diskussioner.
BEGREPP OCH METOD
Vad minns du? Den första delen under rubriken Fokus på är flervalsuppgifter. Uppgifterna är till för att undersöka om eleverna har kunskaper om grundläggande begrepp och metoder som tagits upp i kapitlet. Vad minns du? finns också som kopieringsunderlag på vår hemsida (www.matematikabg.se). Facit finns här i lärarguiden, men du kan även låta eleverna Vad minns du? göra uppgifterna digitalt i Socrative (www.socrative.com). Då rättas uppgifterna automatiskt och du kan istället lägga tiden på att analysera resultatet samt justera din undervisning både på grupp- och individnivå. FOKUS PÅ
1
Vilket tal får du om entalssiffran och tiondelssiffran byter plats i talet 3,572? A: 5,372 B: 7,532 C: 2,573 D: 3,752
2
Vilket tal är störst? A: –7 B: 0 C: –5 D: 2
3
Hur mycket är siffran 8 värd i talet 1,853? A: 8 B: 0,8 C: 0,08 D: 0,008
4
Vilket tal är x om
A: x = 820 C: x = 8,2
x = 0,82? 10 B: x = 82 D: x = 0,082
5
Hur mycket är 0,06 ∙ 0,2? A: 1,2 B: 0,12 C: 0,012 D: 0,0012
6
Vad kallas det när man dividerar täljare och nämnare med samma tal, som till exempel: 2 400 2 400 / 10 240 = = = 30 80 80 / 10 8 A: förkortning B: förminskning C: förstoring D: förlängning
7
Hur mycket är
A: 0,27 C: 0,8
8
Vilket tal i tiosystemet är 101012? A: 21 B: 22 C: 37 D: 111
9
Hur stor är produkten av talen 6 och 0,3? A: 18 B: 6,3 C: 20 D: 1,8
10
0,63 = 0,09? x B: x = 0,07 D: x = 0,7
Vilket tal är x om
A: x = 7 C: x = 70
Välj några begrepp och beskriv hur de hör ihop. naturliga tal
decimaler
produkt
jämna tal
position
täljare
udda tal
platsvärde
nämnare
negativa tal
term
hela tal
kvot
summa
förkortning
olikhetstecken
tiosystemet
decimalform
binära talsystemet
differens
54
0,36 ? 9 B: 0,4 D: 0,04
faktor
talbas
KAPITEL 1 FOKUS PÅ
Begrepp I en ruta finns samma begrepp som i inledningen av ett kapitel. Till skillnad från i början av kapitlet bör eleverna nu känna till och kunna använda flertalet av begreppen samt vara bekanta med relationerna mellan begreppen. Nedan följer några tips på hur du kan arbeta med begreppslistan.
Mer om begrepp En variant av att arbeta med begrepp är att använda den Powerpoint-fil som finns på vår hemsida. Filen har en presentationssida med fyra tomma rutor i mitten. Runt omkring eller i nederkanten finns ”begreppskort” med begreppen på. Detta kan användas till: Sambandsjakt – Eleverna får i tur och ordning (gärna slumpat enligt ”No hands up”) välja två till fyra av begreppen som skrivs i mittrutorna. Eleven ska sedan ange ett eller flera samband mellan begreppen. Hitta kopplingar – Du väljer fyra av begreppen och skriver dem i mitten och ber eleverna försöka hitta kopplingar mellan två, tre eller alla fyra begreppen. Vad ska bort? – Du väljer fyra av begreppen och skriver dem i mitten och ber eleverna bestämma vilket av begreppen de tycker hör minst ihop med de övriga och därmed ska bort och varför.
Självskattning – De självskattningsblad som används i början av kapitlet kan här användas en gång till. Förhoppningsvis har den osäkerhet som eleverna kan ha känt i början av kapitlet, bytts till säkerhet.
Matte-Doobidoo Många elever tycker Matte-Doobidoo är väldigt roligt. Powerpoint-filerna du behöver för att spela spelet finns på vår hemsida (www.matematikabg.se). Det finns ett Matte-Doobidoo till varje kapitel. Det fungerar på samma sätt som ”Sista minuten” i programmet Doobidoo på TV. Eleverna tävlar i par. En elev står med ryggen mot tavlan. En annan elev ska förklara begreppet som står på tavlan UTAN att säga själva begreppet. När eleven som står med ryggen mot tavlan gissar rätt, byter de plats. Det par som klarar av flest begrepp på en minut vinner. Det som är så bra med leken är att även de som inte spelar tränar på begreppen, då de sitter och tänker på vad de ska säga om de får begreppet när det är deras tur.
• låt eleverna försöka beskriva begreppen i par eller smågrupper • låt eleverna välja tre begrepp och diskutera betydelse av och samband mellan begreppen • diskutera begreppens betydelse i helklass
XX
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XX
2021-06-14 14:20
VILKET PÅSTÅENDE STÄMMER? Uppgiften är en så kallad Concept Cartoon, vilken kan användas på olika sätt. Ett sätt är att först låta eleverna ta ställning till påståendena själva, sedan två och två och därefter låta dem diskutera påståendena i helklass.
en strategi som eleverna får träna på. I övriga kapitel blandas problem och eleverna får träna på att välja strategi. Svar och förslag till lösningar till problemen finns här i lärarguiden.
Uppgifterna tränar begrepps- eller metodförmågan.
FOKUS PÅ
Gör en tabell Vid problemlösning kan det vara en framgångsrik metod att pröva sig fram. Om du ritar en tabell får du ordning på siffrorna, och en bra översikt. EXEMPEL
FOKUS PÅ
Hedvigs mormor har en burk med femkronor och tiokronor. Det är 100 mynt som sammanlagt är värda 720 kr. Hur många mynt av varje sort finns det i burken?
Vems påstående stämmer?
5-kronor
10-kronor
50 st
I en turnering i innebandy deltar 5 lag. Alla lag ska möta alla andra lag en gång. Hur många matcher spelas sammanlagt? Jag tror att det är 5 gånger 4 gånger 3 matcher, alltså 60 matcher.
Men så många kan det inte bli. Eftersom alla lag ska möta 4 andra lag så är det 5 gånger 4 bara, alltså 20 matcher.
A
Jag tror inte ens att det är så många. Jag tror du får med alla matcher två gånger när du räknar så. Jag tror att det är 10 matcher.
Alla lag möter ju 4 andra lag. Då blir det väl 4 gånger 4, alltså 16 matcher. Det är väl rimligt?
Värde 750 kr 700 kr
Pröva olika lösningar med hjälp av en tabell.
För mycket För lite
45 st
725 kr
5 kr för mycket
56 st
44 st
720 kr
Stämmer
Börja till exempel med att det är hälften femkronor och hälften tiokronor.
Svar: Det finns 56 femkronor och 44 tiokronor i burken. 1
D
C
B
50 st 40 st
60 st 55 st
Är det något eller några av påståendena som stämmer? Diskutera med en klasskamrat och kom överens.
2
Vems metod är korrekt? Beräkna 45 – 15 ∙ 2 + 5 ∙ 3.
Maria och hennes mamma fyller år på samma dag. När Maria fyller 10 år, blir hennes mamma tre gånger så gammal. Hur gammal är Maria när hennes mamma är dubbelt så gammal? Gör en tabell och pröva dig fram. Två rep är sammanlagt 300 m långa. Det ena repet är tre gånger så långt som det andra. Hur långa är de båda repen? Pröva dig fram med hjälp av en tabell.
Maria
Mamma
10 år
30 år
Stämmer ej
12 år
32 år
Stämmer ej
14 år
‥.
‥.
‥.
‥.
Rep 1
Rep 2
Sammanlagd längd
90 m
270 m
360 m
‥.
‥.
‥.
‥.
Ayden: 4 5 – 1 5 · 2 + 5 · 3 = 3 0 · 2 + 5 · 3 = 6 0 + 1 5 = 7 5 Nadja: 4 5 – 1 5 · 2 + 5 · 3 = 4 5 – 3 0 + 1 5 = 4 5 – 4 5 = 0
122
KAPITEL 2 FOKUS PÅ
Vera: 4 5 – 1 5 · 2 + 5 · 3 = 4 5 – 3 0 + 1 5 = 1 5 + 1 5 = 3 0 Vem har löst uppgiften rätt? Vilka fel har de andra gjort?
184
KAPITEL 3 FOKUS PÅ
RÄKNA OCH HÄPNA VEMS METOD ÄR KORREKT? Uppgiften tränar metodförmågan och går ut på att eleverna ska lista ut vem av de fiktiva eleverna som löst uppgiften korrekt. De ska även förklara vilka fel de andra eleverna gjort i sina lösningar. Observera att det här inte handlar om hur eleverna kommunicerat sin lösning utan att det handlar om elevens val av metod och hur den är utförd. FOKUS PÅ
Bakom rubriken döljer sig problemlösningsuppgifter som är öppna till sin karaktär. Det innebär att en del fakta saknas och att eleverna själva får komma fram till vissa av de sifferuppgifter som krävs för att lösa uppgiften. Det innebär också att eleverna oftast kommer fram till olika svar, vilket även är en av finesserna med dessa uppgifter. När eleverna redovisar sina lösningar får ni då en bra diskussion om vilka antaganden de gjort, vilka data de använt och hur de räknat. Räkna och häpna ger med andra ord goda tillfällen till matematiska diskussioner om oväntade svar, noggrannhet och felkällor.
VÄRDERA OCH REDOVISA
På fjällvandring
Vålådalen Storulvån
Förra sommaren vandrade syskonen 15,5 km Oliver och Alva i Jämtlandsfjällen med sina föräldrar. Vandringen Sylarna började i Vålådalen och slutade fyra dagar senare i Storulvån. 18 km
13 km Stendalsstugorna 17,5 km Gåsen
A Till uppgift 1 finns fyra lösningar som alla leder till rätt svar. – Vilken lösning är bäst? – Vilka styrkor och brister ser du i de övriga lösningarna?
1
Hur långt gick de i genomsnitt per dag?
David
Emma
Genomsnitt: (1 3 + 1 7,5 +
Sammanlagt: (1 3 + 1 7,5 +
+ 1 8 + 1 5,5) / 4 km= = 6 4 / 4 km = 1 6 km
+ 1 8 + 1 5,5 ) km = 6 4 km Genomsnitt: 6 4 / 4 km = 1 6 km
Svar: I genomsnitt gick de 1 6 km per dag.
Svar: De gick 1 6 km per dag i genomsnitt.
William
Alice
(1 3 + 1 7,5 + 1 8 +
De gick sammanlagt: 6 4 km
+ 1 5,5) km = 6 4 km
De gick i genomsnitt: 6 4 / 4 = 1 6 km
Genomsnitt: 6 4 / 4 km = = 1 6 km
Svar: I genomsnitt gick de 1 6 km.
Vår förhoppning är att uppgifterna upplevs som fantasieggande och spännande och att de ger ett överraskande svar. ”Blev det så mycket” eller ”blev det inte mer” blir förhoppningsvis vanliga elevreaktioner. FOKUS PÅ
9
Tre personer, Andersson, Bengtsson och Carlsson, bor i orterna A, B och C. De tre ska träffas någonstans utefter den väg som går genom A, B och C. Var ska de träffas för att den sammanlagda sträckan ska bli så liten som möjligt? A
5 km
B
7 km
C
10 Summan av två tal är 60. Produkten av talen är 864. Vilka är talen?
188
RÄKNA OCH HÄPNA
KAPITEL 3 FOKUS PÅ
På gränsen Sveriges gräns består av gränsen mot Norge som är 1 600 km lång, gränsen mot Finland som är 600 km samt kusten från Norrbotten till och med Bohuslän som är 2 400 km. Tänk dig att alla svenskar ställer sig bredvid varandra runt hela vårt land. Hur stor andel av hela omkretsen räcker det till?
PROBLEMLÖSNING Nästa avsnitt är Problemlösning. Eleverna ska utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik och värdera valda strategier.
124
KAPITEL 2 FOKUS PÅ
För att eleverna ska kunna värdera strategier måste de förstås ha kännedom om olika sådana. I Alfa, Beta, Gamma har vi valt att i några av kapitlen presentera
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XXI
XXI
2021-06-14 14:20
Ett förslag till arbetsgång ser ut så här: – Uppgiften presenteras för eleverna. – Eleverna skriver en hypotes. – Eleverna får enskilt, parvis eller i grupp försöka lösa uppgiften. – Varje grupp redovisar sina lösningar (eller delar av lösningar). – Vilka styrkor respektive svagheter har de olika lösningarna? – Vems hypotes var bäst? Förslag till lösningar finns vid respektive uppgift här i lärarguiden. Räkna och häpna innebär mycket bra tillfällen för eleverna att träna på att argumentera för sina beräkningar och slutsatser genom att använda matematikens olika uttrycksformer. När ni går igenom de olika lösningarna tillsammans i klassen kan du som lärare även hjälpa eleverna att utveckla sitt matematiska språk samt visa på olika sätt att tänka kring en uppgift. Om du så önskar kan du använda dig av den generella bedömningsmatris som finns till uppgifterna. Om du använder den så är det bra om eleverna har bedömningsmatrisen tillgänglig under arbetet med uppgiften. Du hittar matrisen på vår hemsida (www. matematikabg.se). Dela gärna ut bedömningsmatrisen till eleverna innan de börjar arbeta med uppgiften. Du behöver förstås förklara hur det fungerar, men eleverna brukar lära sig ganska snabbt hur de kan använda bedömningsmatrisen. Medvetenheten leder ofta till att de utmanar sig själva lite mer än vad de skulle gjort annars. Dessutom är elevernas bedömning av sin egen nivå en resurs som du kan använda dig av i dina egna bedömningar.
Det är svårt att utvärdera elevernas kommunikativa förmågor och hur de följer och för matematiska resonemang framåt på en traditionell provräkning. Därför är det viktigt att du använder dig av Räkna och häpna och liknande uppgifter för att träna och bedöma eleverna på dessa områden. Matrisen kan då vara till stor hjälp, både för dig och eleverna.
RESONEMANG Resonemang är uppgifter som ger möjlighet till resonemang och reflektion. Uppgifterna inleds med enkla uppgifter som alla elever kan klara av. Sedan utvidgas omfattningen och uppgiften avslutas ofta med jämförelser och generaliseringar. Låt gärna eleverna först få arbeta individuellt med uppgiften. Efter en stund kan de resonera med en bänkkamrat eller i större grupp. Eleverna för och följer matematiska resonemang utifrån sina förutsättningar och sitt matematiska språk. Avsluta med att gemensamt gå igenom och diskutera framförallt vilka slutsatser grupperna har kommit fram till. Facit och kommentarer finns vid respektive uppgift här i lärarguiden. För varje Resonemang finns en bedömningsmatris som du kan använda dig av om du önskar. Du hittar alla matriser på vår hemsida (www.matematikabg.se). Dela gärna ut bedömningsmatrisen till eleverna innan de arbetar med avsnittet. Eleverna lär sig snabbt hur de kan använda bedömningsmatrisen. Medvetenheten leder ofta till att de utmanar sig själva lite mer än vad de skulle gjort annars. Dessutom är elevernas bedömning av sin egen nivå en resurs när du själv ska göra bedömningar. MATEMATIK
Gamma
Bedömningsmatris RESONEMANG – Mystiska tal
MATEMATIK
Gamma
Bedömningsmatris
Metod och begrepp
RÄKNA OCH HÄPNA Förståelse och genomförande
Metod och resultat
Analys och resonemang
Redovisning och matematiskt språk
Förståelse och genomförande
Lägre Högre Eleven visar en grundläggande förståelse för problemet och ställer någon form av hypotes.
Eleven visar god förståelse för problemet och ställer en relativt genomtänkt hypotes.
Eleven visar mycket god förståelse för problemet samt ställer en genomtänkt och motiverad hypotes.
Eleven genomför uppgiften med viss hjälp och med en i huvudsak fungerande metod.
Eleven genomför uppgiften relativt självständigt med en ändamålsenlig metod.
Eleven genomför uppgiften självständigt med en välfungerande och effektiv metod.
Eleven kommer fram till ett acceptabelt resultat.
Eleven kommer fram till ett relativt rimligt resultat.
Eleven kommer fram till ett rimligt resultat.
Eleven bidrar till ett resonemang kring resultatets rimlighet samt bidrar med vissa reflektioner över felkällor.
Eleven resonerar kring resultatens rimlighet samt gör vissa reflektioner över felkällor.
Eleven resonerar på ett väl underbyggt sätt kring resultatens rimlighet med lyhördhet för felkällor.
Resultaten jämförs med minst en kamrat på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt.
Resultaten jämförs med minst en kamrat på ett sätt som för resonemangen framåt.
Resultaten jämförs med flera kamrater på ett sätt som för resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem.
Redovisningen går i huvudsak att följa.
Redovisningen är lätt att följa.
Redovisningen är klar och tydlig.
Det matematiska språket är enkelt och till viss del anpassat till sammanhanget.
Det matematiska språket är godtagbart och förhållandevis väl anpassat till sammanhanget.
Det matematiska språket är korrekt och väl anpassat till sammanhanget.
Analys och resonemang
Redovisning och matematiskt språk
¡ Ú Eleven följer instruktionen och genomför uppgifterna med relativt mycket hjälp.
Eleven följer instruktionen och genomför uppgifterna relativt självständigt.
Eleven följer instruktionen och genomför uppgifterna självständigt.
Eleven använder i huvudsak fungerande metoder och löser uppgifterna 1a, 2a samt 3 med tillfredställande resultat.
Eleven använder ändamålsenliga metoder och löser uppgifterna 1 – 4 samt 5 med tillfredställande resultat.
Eleven använder ändamålsenliga och effektiva metoder och löser uppgifterna 1 – 6 med korrekt resultat.
Visar grundläggande kunskaper om begreppen procent, kvadrat, rektangel, omkrets och area genom att genomföra de olika beräkningarna i några av uppgifterna 1 – 4 med godtagbart resultat. Eleven för ett enkelt resonemang om hur begreppen kvadrat och rektangel relaterar till varandra i uppgifterna 1b och 5 på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt.
Visar goda kunskaper om begreppen procent, kvadrat, rektangel, omkrets och area genom att genomföra de olika beräkningarna i uppgifterna 1 – 4 med korrekta resultat.
Visar mycket goda kunskaper om begreppen procent, kvadrat, rektangel, omkrets och area genom att genomföra de olika beräkningarna i uppgifterna 1 – 6 med korrekta resultat.
Eleven för ett utvecklat resonemang om hur begreppen kvadrat och rektangel relaterar till varandra i uppgifterna 1b och 5 på ett sätt som för resonemangen framåt. Redovisningen är tydlig och ändamålsenlig.
Eleven för ett väl utvecklat resonemang om hur begreppen kvadrat och rektangel relaterar till varandra i uppgifterna 1b och 5 på ett sätt som för resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem. Redovisningen är ändamålsenlig och effektiv samt fokuserar på det väsentliga i lösningarna.
Det matematiska språket är godtagbart och förhållandevis väl anpassat till sammanhanget.
Det matematiska språket är korrekt och väl anpassat till sammanhanget.
Redovisningen går i huvudsak att följa.
Det matematiska språket är enkelt och till viss del anpassat till sammanhanget.
XXII
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XXII
2021-06-14 14:20
VÄRDERA OCH REDOVISA Ett av syftena med undervisningen i matematik är att eleverna ska ”utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang”. Det är därför viktigt att eleverna lär sig redovisa sina lösningar på ett så bra sätt som möjligt. Bokens typexempel visar hur redovisningar kan se ut och K-kommentarerna pekar på saker som eleverna bör tänka på i samband med sin skriftliga kommunikation när de löser uppgifter. Som komplement till detta finns ett redovisningsblad på vår hemsida under ”Övrigt”. Skriv gärna ut bladet och ge det till dina elever. Förslagsvis kan de klistra in bladet i sina räknehäften.
med projektor. Sedan låter du eleverna räkna uppgiften enskilt innan ni tittar på lösningarna. Vi har med flit gjort lösningarna med olika kvalitet, fört in felaktigheter och slarvat på sådana sätt som elever ofta gör. Det leder förhoppningsvis till bra diskussioner i klassen. Låt sedan eleverna arbeta med de övriga uppgifterna i avsnittet. Förutom att lösa uppgifterna och komma fram till rätt svar är avsikten att eleverna ska tänka på att få sina redovsiningar så bra som möjligt. Gå runt bland eleverna och ge feedback på deras lösningar. Ta också gärna upp några av uppgifterna till en allmän diskussion. Låt elever visa hur de redovisat uppgifterna. FOKUS PÅ
VÄRDERA OCH REDOVISA
Utöver exempelrutorna och redovisningsbladet har vi under rubriken Kommunikation en uppgift som vi kallar Värdera och redovisa. I denna uppgift tränar eleverna framförallt sin skriftliga kommunikativa förmåga. I den första uppgiften ska eleverna bedöma den skriftliga kommunikationen i fyra fiktiva lösningar. Antingen så läser eleverna uppgiften enskilt och därefter de olika lösningarna för att bedöma vilken lösning de tycker är bäst, eller så presenterar du uppgiften till exempel på tavlan eller
En kanotutflykt Under sommarlovet hyrde fyra ungdomar två kanoter i tre dagar. De skulle paddla på Strömsholms kanal mellan Fagersta och Hallstahammar i Västmanland.
A Till den här uppgiften finns fyra olika lösningar som alla leder fram till rätt svar. – Vilken lösning är bäst? – Vilka brister och styrkor ser du i de andra lösningarna?
1
60
När de startade paddlingen på morgonen visade termometern 9,7 °C. Till kvällen steg temperaturen med 11,5 °C. Nästa morgon var det 13,5 °C. Med hur många grader sjönk temperaturen under natten?
Hugo
Nora
9,7 + 1 1,5 – 1 3,5 = 7,7 °C Svar: Temperaturen sjönk med 7,7 °C
Temperaturen blev 9,7 + 1 1,5 – 1 3,5 °C = 7,7 °C Svar: Den sjönk 7,7 °C.
Sakine
Isak
På kvällen var det
Kväll: (9, 7 + 1 1,5) °C = 2 1,2 °C
9,7 °C + 1 1,5 °C = 2 1,2 °C
Morgon: 1 3,5 °C
Temperaturen sjönk med
Sjönk: (2 1,2 – 1 3, 5)°C = 7,7 °C
2 1,2 – 1 3,5 °C = 7,7 °C
Svar: 7,7 °C
KAPITEL 1 FOKUS PÅ
10. SAMMANFATTNING
I slutet av varje kapitel finns det en Sammanfattning. Det är en kort sammanställning av begrepp och metoder i kapitlet som kan vara bra för eleverna att titta på till exempel inför provräkningar. På vår hemsida finns alla sammanfattningar i storformat så att de även kan sättas upp på väggen.
S A M M A N FAT T N I N G y
Koordinatsystem
B
Bilden visar ett koordinatsystem. De båda tallinjerna, eller koordinataxlarna, brukar kallas x-axel och y-axel. Punkten A har koordinaterna ”ett, två” vilket skrivs (1, 2).
3
A
2
origo
1
x
–3 –2 –1
Den punkt där de båda tallinjerna skär varandra kallas origo. Origo har koordinaterna (0, 0).
Proportionalitet
1
2 3 4
–1
C
–2 –3
kr
Om man köper till exempel bananer så är kostnaden proportionell mot vikten. Det innebär att man betalar lika mycket för varje kilogram man köper.
40
En proportionalitet kan avbildas i ett koordinatsystem. Grafen är rät och utgår från origo.
20
D
kostnad
graf
30
10 vikt
Kombinatorik
1
2
kg
Den matematik som handlar om att beräkna antalet möjliga kombinationer kallas kombinatorik. Antag att vi vill räkna ut hur många tresiffriga tal som kan skrivas med siffrorna 2, 4 och 6. Om alla siffror bara får förekomma en gång är antalet kombinationer 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6.
Uttryck med flera räknesätt När man gör en beräkning av ett numeriskt uttryck måste man följa prioriteringsreglerna.
190
Prioriteringsregler 1. Först räknas multiplikation och division. 2. Sedan räknas addition och subtraktion.
KAPITEL 3 SAMMANFATTNING
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XXIII
XXIII
2021-06-14 14:20
11. PROV
PROV I MATEMATIK Efter kap 2, 4 och 5 är det tänkt att eleverna ska göra ett prov i matematik. Förslag till prov finns på vår hemsida under den lösenordskyddade delen. Du hittar inloggningsuppgifterna i förordet till lärarguiden. Provet efter kap 5 kan du antingen lägga in före eller efter NP. Du kan också använda provet som ett komplement till NP. Eftersom provet innehåller uppgifter från alla sex delarna av det centrala innehållet kan det användas som ett alternativt slutprov om NP av någon anledning ställs in.
Så här kan ett resultatblad se ut: MATEMATIK
Gamma
Resultatblad till prov i matematik kapitel 1–2 ver 1 Namn:________________________________________
Klass:_______________
Poäng: ( ____ / ____ / ____ )
Maxpoäng: (13 / 9 / 6)
E
Förmågor
C
Omdöme/ förmåga
A
3
Problemlösning (10)
10
11
12
12
1
Begrepp
6
8
9 1
Metod
10 2
3
4 8
(9)
5
7
9
11
4
Resonemang
5
Kommunikation
6
7
8 9
10
(11) (12)
11
12
Kommentar:___________________________________________________________ _____________________________________________________________________
Varje prov finns i två olika varianter, A och B. Det enda som skiljer de båda varianterna åt är att uppgifterna innehåller olika siffror. Svaren är alltså olika. Om eleverna sitter trångt i klassrummet kan det till exempel vara bra att ge varannan elev variant A och varannan variant B för att undvika att eleverna lockas till fusk. Det kan också vara bra med en B-variant i fall någon elev varit sjuk och ska skriva provet vid ett senare tillfälle. Om någon elev däremot behöver göra ett omprov är det bättre att använda en annan version av provet. Det finns flera olika versioner av proven på vår hemsida. Proven är indelade i två delar. I del I skriver eleverna bara svar medan eleverna i del II ska redovisa sina lösningar. Intill varje uppgift på provet finns angivet hur många poäng uppgiften kan ge. Proven finns som Word-filer. Det är därför lätt för dig som lärare att stryka, lägga till eller ändra på uppgifter. Du kan också ta bort eller ändra poänganvisningar om du så önskar. Elevernas resultat kan bokföras på särskilda resultatblad. För varje poäng sätts en ring runt motsvarande uppgift på bladet. Antalet ringar blir då lika med det antal poäng som eleven uppnått på provet. Ringarnas spridning visar fördelningen mellan olika förmågor. Fördelningen över förmågorna är också värdefull att analysera som en del i den formativa bedömningen.
_____________________________________________________________________ Lärarens signatur:___________________________
REPETITION Före ett prov är det bra med repetition. För den skull finns repetitionsblad och övningsprov. På repetitionsbladen är alla uppgifter hämtade från grundbokens typexempel. Det betyder att, om en elev kör fast på en uppgift, finns det en lösning att titta på i grundboken. För elever som i huvudsak arbetar i Gamma Bas finns särskilda repetitionsblad med de typexempel som finns i Gamma Bas. Till varje provtillfälle finns det även två övningsprov som innehåller uppgifter som påminner om uppgifterna på provet. Eleverna kan till exempel arbeta med det ena övningsprovet i skolan och med det andra hemma.
E-PROV I MATEMATIK Som ett alternativ till de vanliga proven finns det särskilda E-prov. Dessa är avsedda för elever som har svårigheter med att uppnå godkänt betyg i matematik. E-proven innehåller endast uppgifter på E-nivå.
HÖSTPROV Förutom de prov som är omnämnda ovan finns ytterligare ett prov på hemsidan. Detta kan förslagsvis ges någon gången under hösten. Provet handlar om taluppfattning, huvudräkning och problemlösning.
XXIV
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XXIV
2021-06-14 14:20
12. LÄXOR
LÄXOR På hemsidan finns läxor, 4 stycken per kapitel. Läxorna finns i två versioner, en version för elever som använder grundboken och en version för elever som också arbetar i Gamma Bas. Facit till läxorna finns också på hemsidan men under den lösenordsskyddade delen. Det gör att du själv kan avgöra om eleverna ska ha tillgång till facit eller ej när de gör sina läxor. För elever som använder A- och B-boken finns även en variant med skrivutrymme. Låt gärna eleverna få ett speciellt räknehäfte för sina läxor, ett häfte som de lämnar in till dig för bedömning. Uppmana gärna eleverna att ringa in uppgifter de tyckte var svåra och som de vill att du går igenom. Om tiden är begränsad kan du då snabbt välja ut de uppgifter som flest elever har önskat.
MATEMATIK
Gamma
EFTER AVSNITT 1.2
1
.
2
3
4
MATEMATIK EFTER AVSNITT 1.2
1
2
7
8
9
3
4
10
5
6
Om tiden i skolan inte räcker till för allt i ett kapitel så kan ett alternativ vara att eleverna får arbeta med avsnittsuppgifter hemma som läxa. Det är då viktigt att tänka på att hemarbete ska förstärka inlärningen av det som eleverna arbetat med i skolan. Det är inte meningen att eleverna ska sitta hemma och lära sig nya moment på egen hand. Det är ju inte alla som har föräldrar som kan hjälpa till och även om de har det så är det ju inte säkert att det fungerar bra för eleven. Du kan också låta eleverna få titta på en film i läxa inför en kommande matematiklektion. På så sätt är eleverna förberedda inför lektionen och du kan ha en lektion kring svårigheter som eleverna upplever.
5 6
Gamma
Ett sätt att använda läxan i undervisningen är att avsätta en del av en lektion till läxgenomgång. Då kan man till exempel inleda med att låta eleverna i par jämföra sina svar och lösningar. På det sättet får de tillfälle att hjälpa varandra och förklara sina tankar. Om det finns uppgifter som väcker funderingar, startar diskussioner eller som de upplever som extra svåra kan de notera dessa. Därefter kan man samla alla elever till en gemensam diskussion och då låta varje elevpar berätta vilka uppgifter de har noterat och sedan gå igenom dessa tillsammans. Till var och en av läxorna finns en Powerpoint-fil, där varje uppgift har en egen sida. Den kan användas vid genomgång av läxan, oavsett om ni går igenom hela läxan eller bara vissa uppgifter.
a) 5,37 + 0,25
b) 6,5 – 2,05
c) 4 + 0,7 + 0,02
Men hur gör man om några elever inte har tittat på filmen då? Ja, det problemet har du i klassrummet också. Troligen kommer det finnas elever som inte lyssnar eller inte hänger med i din genomgång så att du sedan får gå igenom allt igen vid elevens bänk. Men om du utgår från svårigheter som eleverna själva ger uttryck för så ökar sannolikheten att även de elever som inte tittat på filmen kommer att ha nytta av genomgången.
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XXV
XXV
2021-06-14 14:20
ÖVRIGT
BEGREPPSREGISTER
ALGORITMER
Längst bak i grundboken finns ett begreppsregister. Eleverna är ofta omedvetna om att det finns och hur man använder det. Det kan därför vara bra att du visar dem registret samt går igenom hur det fungerar.
Genom åren har det förekommit en livlig debatt om de räknemetoder som lärs ut i svensk skola. Är de bra eller dåliga? Analyser gjorda av resultaten i TIMMS visar att elever med en dålig taluppfattning oftare gör fel i sina uträkningar om de använder någon form av skriftlig horisontell algoritm än om de använder en traditionell vertikal algoritm.
MULTIPLIKATIONSTABELLERNA Det skiljer ofta mycket mellan hur väl eleverna behärskar multiplikationstabellerna när de börjar åk 6. Vårt mål är ändå att eleverna ska automatisera multiplikationstabellerna så att de allt mer kan lägga sin energi och tankeverksamhet på att tolka problem och hitta lämpliga metoder och strategier för att lösa uppgifter. Så länge tabellerna inte är automatiserade belastas arbetsminnet hårdare och även relativt enkla beräkningar blir mödosamma och tar onödigt lång tid. I synnerhet brukar division uppfattas som svårt av många elever. Men hur ska man gå tillväga med tabellträningen? Undvik att ensidigt rabbla tabeller, utan variera inlärningen. Som förväntat går det bäst om eleverna uppfattar övningarna som lustfyllda. Att ägna en stund då och då åt lekar och spel med olika tabellövningar brukar fungera bra. Även de elever som inte kan svaren själva har hjälp av att höra kamraternas svar. Tabellrutor kan också vara ett bra stöd för de elever som har svårt att memorera tabellerna. En sådan finns som kopieringsunderlag under rubriken ”Övrigt” på hemsidan. Kopiera och ge det till elever som behöver det stödet. Givetvis måste de flesta elever även öva mer intensivt för att tabellerna ska automatiseras. Med korta tester kan du lätt se vilka kombinationer som den enskilde eleven ännu inte behärskar. Eleven kan sedan öva enbart på dessa i skolan och/eller hemma tills hen blir allt säkrare. På vår hemsida finns också ett antal arbetsblad som du kan använda för att låta eleverna träna multiplikationstabellerna. Dessa finns bland arbetsbladen till Alfa.
XXVI
I Alfa, Beta, Gamma använder vi oss av vertikala algoritmer vid addition, subtraktion och multiplikation. Om du som lärare vill visa eleverna på en horisontell räknemetod så har vi några arbetsblad för sådan träning. Den metod för horisontell räkning som vi använder oss av är så kallad omgruppering. Vi kallar metoden för Räkna i flera steg. Dessa arbetsblad finns på hemsidan under Alfa och Beta. I division använder vi oss av kort division. Men om du som lärare vill lära eleverna lång division så finns det även några arbetsblad för detta på hemsidan under Beta.
FÖRDELA ORDET Det är viktigt när man har gemensamma diskussioner i klassen att alla verkligen får komma till tals, inte bara de som räcker upp handen eller de som ljudligast påkallar uppmärksamhet. I många klasser finns det också elever som är ganska nöjda med att andra tar plats. Men kommunikations- och resonemangsförmågan i matematik handlar om att både ta del av och att dela med sig av matematiska tankar och argument. Det är därför viktigt att alla i klassen får chansen att utveckla dessa långsiktiga mål. Ett sätt att försäkra sig om att alla får komma till tals är att ha en burk med glasspinnar i klassrummet. På varje glasspinne skriver du en elevs namn så att alla har var sin glasspinne i burken. Sedan drar du på måfå pinnar när du vill fördela ordet och lägger de pinnar du redan dragit åt sidan. Fördelen med detta, förutom att alla kommer till tals, är att alla alltid vet
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XXVI
2021-06-14 14:20
att det kan vara deras tur och att de därför behöver vara uppmärksamma på vad som sägs i klassen. Det går också alldeles utmärkt att använda vanliga lappar av lite tjockare papper istället för glasspinnar. Du kan även använda dig av glasspinnarna för att slumpa fram grupper vid gruppövningar. Det gör att det alltid blir olika grupper, vilket eleverna upplever som rättvist. De tränar sig då även på att samarbeta med olika elever i klassen. Det finns tjänster på nätet och appar till telefoner och läsplattor som gör samma sak (se vår hemsida).
SNABBA AVSTÄMNINGAR Ibland kanske man vill att alla elever ska göra någon uträkning och sedan berätta sitt svar. Det kan då vara smidigt att arbeta med små whiteboards för att kunna göra snabba avstämningar. Eleverna skriver då sina svar eller visar sin uträkning på whiteboarden genom att skriva på den med en whiteboardpenna och sedan hålla upp sin tavla så att du ser vad de har gjort. Om man inte har sådana tavlor kan man tillverka egna genom att plasta in vita A4-papper och låta eleverna skriva med vattenlösliga pennor på dem. En variant är en metod som kan kallas ”Action tickets”. Den metoden innebär att avstämningar görs
in action när man som lärare märker att det behövs för att till exempel: • lyfta och ”rätta till” en missuppfattning • lyfta en typ av uppgift man märker att många har problem med • repetera något som känns extra viktigt för fortsatt arbete eller för att få en allmän koll på kunskapsnivån Ge några uppgifter, en i taget, på tavlan. Eleverna skriver svar eller visar sina lösningar på ett papper och håller upp så att du som lärare ser det. Vid alternativa svar från eleverna kan du ta upp olika sätt att tänka, alternativa lösningar, missuppfattningar och större eller mindre tankefel. Ett annat sätt att snabbt få en inblick i hur eleverna resonerar och tänker är att göra en så kallad ”Exit ticket” när lektionen är slut. Du ställer då en väl avvägd fråga som eleverna måste svara på innan de lämnar klassrummet. Frågan kan till exempel läggas in i Google Classroom, Socrative eller annan liknande digital tjänst. Fördelen är att du då slipper rätta svaren och du kan se direkt hur många som svarat rätt på frågan i till exempel ett cirkeldiagram. Om det är en fråga som kräver en text som svar kan du analysera svaren inför nästa lektion. Kanske är det något ni behöver repetera eller så visar det sig att alla elever har förstått.
INLEDNING
I-XXVII Gamma LG Inledning FINAL.indd XXVII
XXVII
2021-06-14 14:20
GAMMA MATEMATIK
ETT
KAN DU DET HÄR?
Innan ni börjar arbetet i Gamma så kan det vara bra att repetera med eleverna hur boken är upplagd. Värt att peka på kan vara:
• Kan du det här? – kan ge en fingervisning om vilken nivå eleverna bör välja.
1
Hur mycket är siffran 8 värd i talet 23,85? A: åtta ental B: åtta tiondelar C: åtta hundradelar D: åtta tusendelar
2
Vilket tal är störst? A: 1,3 B: 1,29
C: 1,399
D: 1,4
Hur mycket är 1 – 0,01? A: 0,09 B: 0,9
C: 0,99
D: 0,009
4
Hur mycket är 0,2 + 0,05? A: 0,25 B: 0,205
C: 0,025
D: 2,05
5
Vilket tal får du om entalssiffran och hundradelssiffran byter plats i talet 0,572? A: 5,072 B: 7,052 C: 7,502 D: 2,507
6
Vilket tal är x om x ∙ 100 = 450? A: x = 0,045 B: x = 0,45
3
T VÅ
• Nivåerna ETT, TVÅ och TRE – eleverna väljer själva vilken nivå de ska arbeta på. • Uppgifter med -symbolen – uppgifter som är bra att diskutera tillsammans. • Uppgifter markerade med L – uppgifter till vilka det finns en ledtråd.
TRE
• Blandade uppgifter – en blandning av uppgifter från hela kapitlet. • Diagnos – testar att eleverna har de mest nödvändiga kunskaperna.
7
A: 8
8
9
• Utveckla – för elever som klarar diagnosen bra.
• Fokus på i Gamma innehåller fler delar än motsvarande avsnitt i Alfa och Beta. • Sammanfattning – i slutet av varje kapitel. • Prov – efter kapitel 2, 4 och 5.
FACIT 1 2 3
B D C
0,16 ? 2 B: 0,08
D: x = 45
C: 0,8
D: 0,008
C: 0,042
D: 42
C: x = 60
D: x = 0,6
Hur mycket är 0,06 ∙ 7? A: 0,42
• Träna – för elever som behöver träna mera. • Fokus på – en blandning av uppgifter som tränar de långsiktiga målen som uttrycks i kursplanen i matematik: 1 Problemlösning 2 Begrepp 3 Metod 4 Resonemang 5 Kommunikation
Hur mycket är
C: x = 4,5
B: 4,2
0,54 Vilket tal är x om = 0,09 ? x A: x = 6 B: x = 0,06
6
KOMMENTARER U P P G I FT 1
Om eleverna har valt något av de felaktiga alternativen är det lämpligt att repetera positionssystemet och vad en siffras platsvärde innebär. U P P G I FT 2
Kontrollera att eleverna förstår siffrornas platsvärde och att jämförelsen underlättas av att lägga till nollor så att alternativen får samma antal decimaler. U P P G I FT 3
4 5 6
A C C
7 8 9
B A A
Kontrollera att eleverna förstår siffrornas platsvärde och att beräkningen underlättas av att lägga till decimaltecken och nollor så att termerna får samma antal decimaler. U P P G I FT 4
KAN DU DET HÄR? Uppgifterna ger dig och eleverna en indikation på vilken nivå de ska starta kapitlet. Du kan också använda resultatet till att planera din fortsatta undervisning så att den grundar sig på elevernas förförståelse. Kan du det här? finns även som kopieringsunderlag och digitalt via webbtjänsten Socrative. Uppgifterna rättas då automatiskt och du kan i lugn och ro analysera resultatet.
6
Kontrollera att eleverna förstår siffrornas platsvärde och att beräkningen underlättas av att lägga till nollor så att termerna får samma antal decimaler. U P P G I FT 5
Om eleverna har valt något av de felaktiga alternativen är det lämpligt att repetera positionssystemet. U P P G I FT 6
Om eleverna har valt något av de felaktiga alternativen kan det bero på att de har svårigheter att tolka vad som eftersöks i uppgiften och därmed vilken beräkning de ska göra. Det kan också bero på att de
1. TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
6-65 Gamma LG kap 1 FINAL.indd 6
2021-06-14 15:24
UR CENTRALA INNEHÅLLET I kapitel 1 arbetar vi med dessa delar ur det centrala innehållet i kursplanen.
• Positionssystemet och hur det används för att beskriva hela tal och tal i decimalform. • Metoder för beräkningar med naturliga tal och tal i decimalform vid huvudräkning och skriftlig beräkning. • Olika talsystem. • Strategier för att lösa matematiska problem i elevnära situationer.
KAPITEL 1
KAPITEL 1
KAPITEL
Taluppfattning och huvudräkning
BEGREPPSLISTAN För att få en snabb uppfattning om vad eleverna kan om begreppen som finns på den här sidan kan du läsa upp dem och låta eleverna genom handuppräckning tala om vilka begrepp de kan, känner till eller inte kan.
BEGREPP Vilka begrepp känner du till sedan tidigare? Kan du beskriva dem? summa
negativa tal decimaler
täljare
naturliga tal position
jämna tal
nämnare binära talsystemet
faktor
olikhetstecken platsvärde
udda tal
tiosystemet
differens
hela tal
decimalform
kvot talbas
produkt term
Läs mer om begrepp på sid XI.
förkortning
KAPITEL 1
7
SJÄLVSKATTNING är osäkra på metoden att dividera med 100. UPPGIFT 7
Kontrollera att eleverna vet hur man utför en division av ett tal i decimalform. UPPGIFT 8
I självskattningen till kapitel 1 får eleverna ange hur väl de uppfattar att de kan begrepp och metoder som hör till kapitlet. Skattningen är bra att genomföra både i början och i slutet av kapitlet. På så sätt kan den användas som en del av den formativa bedömningen. Läs mer om självskattning på sid XI.
Kontrollera att eleverna vet hur man utför en multiplikation med ett tal i decimalform. UPPGIFT 9
Om eleverna har valt något av de felaktiga alternativen kan det bero på att de har svårigheter att tolka vad som eftersöks i uppgiften och därmed vilken beräkning de ska göra. Det kan också bero på att de är osäkra på hur man utför en division av ett tal i decimalform. www.matematikabg.se
VAD?
FILNAMN
BESKRIVNING
VAR?
G Planering Kap 1.docx
Ett förslag på veckoplanering.
Lärare/ Planering
KOMMENTAR
G Kan du det här Kap 1.pdf Kan du det här? som kopieringsunderlag.
Lärare/ Bedömningsstöd
Skriv ut och låt eleverna svara direkt på papperet.
G Kan du det här Kap 1
Kan du det här? i webbtjänsten Socrative.
Lärare/ Socrative
För att göra uppgifterna i Socrative behöver du en kod från vår hemsida. Läs om Socrative på sid XII.
G Självskattning Kap 1.pdf
Underlag för självskattning som eleven fyller i själv.
Lärare/ Bedömningsstöd
Kan användas som en del av den formativa bedömningen.
1. TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
6-65 Gamma LG kap 1 FINAL.indd 7
7
2023-02-14 09:34
NATURLIGA TAL
NATURLIGA TAL Det finns tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Av siffrorna kan vi bilda hur många tal som helst. Talet 0 och de positiva heltalen bildar tillsammans de naturliga talen:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 … Av de naturliga talen kallar vi 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 … för jämna tal och 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 … för udda tal. De jämna talen är delbara med 2.
NEGATIVA TAL
NEGATIVA TAL
Många elever har en förståelse för termometern och negativa tal i samband med minusgrader. Det kan därför vara klokt att inleda med termometern när du introducerar negativa tal. Om man lägger en termometer ned så liknar den en tallinje, med de negativa talen till vänster om 0 och de positiva talen till höger. Förutom i fallet med termometern kan negativa tal upplevas abstrakt av eleverna. Orden positiv och negativ har dessutom en språklig laddning som kan göra att eleverna uppfattar att det handlar om bra tal och dåliga tal. Förklara att inom matematiken beskriver orden andra motsatser, vilket ni kan visa på tallinjen.
Olika sorters tal
1.1
Det kan vara bra med en genomgång av de olika sorters tal som dyker upp i det här avsnittet. De flesta elever brukar känna till jämna och udda tal. Däremot känner de kanske inte till att de positiva talen och talet 0 bildar de naturliga talen. Försäkra dig också om att eleverna känner till skillnaden mellan siffror och tal.
°C 40
°C 40
Det finns också negativa tal. Till vardags förekommer de till exempel i samband med temperatur. Här ser du två termometrar. Den vänstra visar temperaturen –10 °C och den högra visar 20 °C.
30
30
20
20
10
10
0
0
– 10
– 10
På en tallinje finns de negativa talen till vänster om 0. Talen ökar i värde när man rör sig åt höger på tallinjen. Talen minskar i värde när man rör sig åt vänster.
– 20
– 20
– 30
– 30
– 40
– 40
–5
–4
–3
–2
–1
0
negativa tal
1
2
3
4
5
positiva tal
De naturliga talen och de negativa hela talen bildar tillsammans de hela talen.
8
1.1 OLIKA SORTERS TAL
PLATSVÄRDEN En del elever har ingen tydlig taluppfattning och därför är platsvärden något som behöver tränas ofta. Lägg regelbundet in övningar som tränar siffrors värde, hur man skriver tal och hur man läser tal. Poängtera att en siffras position och platsvärde inte är samma sak. Värdet beror på vilken siffra det är. I till exempel talet 0,37 är siffran 3 tiondelssiffra och värdet är 0,3. Vi läser ofta tal i decimalform som till exempel ”noll komma tre” eller ”noll komma sjutton”. Men det är klokt att inledningsvis säga ”tre tiondelar” och ”sjutton hundradelar”. Detta för att eleverna ska lära sig förstå vad siffrorna efter decimaltecknet står för. Dels kan du låta eleverna läsa upp tal som du skriver på tavlan och dels kan du be eleverna skriva tal i
8
1. TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
6-65 Gamma LG kap 1 FINAL.indd 8
2021-06-14 15:24
2 > –3
–5 < –1
Tecknet > betyder ”är större än”.
Tecknet < betyder ”är mindre än”.
Tecknen < och > är exempel på olikhetstecken.
TAL I DECIMALFORM
JÄMFÖRA TAL Eleverna blandar lätt ihop olikhetstecknen < och >. Man kan då tänka sig < och > som ett krokodilgap. Det vänder sig alltid mot det största talet. Om du går igenom det med den liknelsen och visar några exempel så brukar de flesta sedan komma ihåg vilket tecken som är vilket.
KAPITEL 1
Ju längre åt höger på en tallinje ett tal finns, desto större är alltså talet. Till exempel är 2 ett större tal än –3 och –5 är ett mindre tal än –1. Vi kan skriva det så här:
KAPITEL 1
JÄMFÖRA TAL
Olikhetstecken innebär en olikhet, det vill säga att det som står på vardera sida om tecknet inte har samma värde. I det sammanhanget är det bra att påminna om att likhetstecknet innebär just en likhet, det vill säga att det som står på vardera sidan har samma värde.
Vid en tävling i stavhopp hoppade Armand Duplantis 6,15 m. Talet 6,15 är ett exempel på ett tal i decimalform. Vi läser talet som ”sex hela och femton hundradelar” eller ”sex komma femton”. Siffrorna 1 och 5 efter decimaltecknet kallas decimaler.
PLATSVÄRDEN
Elever tror ofta att likhetstecknet står för ”blir”, till exempel att 2 + 3 ”blir” 5. Dessa elever kan sedan få svårt att tolka uppgifter av typen 5 = 2 + x.
En siffras platsvärde beror på vilken plats siffran har i talet, vilken position den har. Ett sådant talsystem kallas för ett positionssystem. En gammal gren i friidrott är löpning en engelsk mil. En sådan är 1 609,344 m lång. I det talet har siffran 6 värdet 600 och siffran 3 har värdet 0,3.
Det finns flera olikhetstecken än < och >. Ett sådant är ≠ som betyder ”är inte lika med”, till exempel 3 + 1 ≠ 1 + 2.
tusentalssiffra som har värdet 1 · 1 000 = 1 000 hundratalssiffra som har värdet 6 · 100 = 600 tiotalssiffra som har värdet 0 · 10 = 0 entalssiffra som har värdet 9 · 1 = 9 tiondelssiffra som har värdet 3 · 0,1 = 0,3 hundradelssiffra som har värdet 4 · 0,01 = 0,04 tusendelssiffra som har värdet 4 · 0,001 = 0,004
TAL I DECIMALFORM
1 6 0 9 , 3 4 4 1.1 OLIKA SORTERS TAL
9
decimalform som du läser upp, till exempel ”tolv hundradelar”, ”fem tiondelar”, ”två tusendelar” och så vidare. Här kan du med fördel använda små whiteboards eller A4-papper som eleverna skriver sina svar på och håller upp så att du snabbt kan se vilka som eventuellt inte har förstått. Hjälp eleverna att se det logiska i positionssystemet. Mellan varje position är det ett ”gånger-tio-hopp” om man rör sig åt vänster och ett ”delat-med-tio-hopp” om man rör sig åt höger. Eller om man så vill kan man se mönstret i TIOtal, HUNDRAtal, TUSENtal när man rör sig åt vänster från entalen och TIONdel, HUNDRAdel, TUSENdel när man rör sig åt höger från entalen.
Utgå gärna från idrottsexempel när du talar om tiondelar och hundradelar. Eleverna har ofta någon erfarenhet av tider i samband med sport. Ett exempel du kan utgå från är ”Efter första åket låg Petra Vlhova tvåa med tiden 52,67 s. Michaela Shiffrin ledde och hade en tiondel bättre tid. Vilken var ledartiden? Den som låg trea hade fem hundradelar sämre tid än Petra Vlhova. Vilken tid hade trean?”.
GENOMGÅNG Om du använder en SMART Board eller annan SMART-produkt, en projektor med Powerpoint eller vill låta eleverna se genomgången på film finns filer och länkar på vår hemsida. Läs om smart board, powerpoint och filmer på sid XIV.
www.matematikabg.se
VAD?
FILNAMN
BESKRIVNING
VAR?
KOMMENTAR
G SB 1.1 Olika sorters tal.notebook
SMART Board-fil att använda vid genomgång av avsnittet.
Lärare/ SMART Board
För att kunna öppna filen behöver du programmet SMART Notebook. Läs mer om SMART Board på sid XIV.
G PP 1.1 Olika sorters tal.pptx
Powerpoint-fil att använda vid genomgång av avsnittet.
Lärare/ Powerpoint
För att kunna öppna filen behöver du programmet Microsoft Powerpoint. Läs mer om Powerpoint på sid XIV.
G 1.1 Olika sorters tal
Film med en genomgång av avsnittets teori.
Elever/ Filmer
Läs mer om filmerna på sid XIV.
G PP EPA Kap 1.pptx
Powerpoint-fil att använda vid genomgång av -uppgifterna i kapitel 1.
Lärare/ Powerpoint
För att kunna öppna filen behöver du programmet Microsoft Powerpoint. Läs mer om Powerpoint på sid XIV.
1. TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
6-65 Gamma LG kap 1 FINAL.indd 9
9
2021-06-14 15:24
EXEMPEL
EXEMPEL
Vilket värde har siffran 3 i följande tal? a) 731 b) 8 356
I alla avsnitt finns inledande typexempel. Använd gärna dessa i samband med genomgången av avsnittet. Typexemplen visar förslag på hur eleverna kan redovisa sina lösningar på ett bra sätt.
I talet 731 står siffran 3 på tiotalssiffrans plats. Siffran har därför värdet 3 · 10 = 30.
Svar: a) 30
Alla exempel finns med bland Powerpoint-filerna och SMART Board-filerna som finns till varje avsnitt. Använd gärna dessa filer i samband med genomgången så att eleverna inte behöver titta ner i sina böcker samtidigt.
b) 300
Elever som tycker nivå ETT är för svår kan först behöva arbeta med motsvarande avsnitt i Gamma Bas.
Skriv talen med siffror. a) sjuhundraelva
2
Vilket olikhetstecken passar mellan talen, < eller >?
4
Läs om gamma bas på sid XVI.
5
6
I alla avsnitt så finns uppgifter som tränar de olika förmågorna. Vi förkortar förmågorna så här: Problemlösning Begrepp Metod
1 2 3
4 5
B B
b) niotusen etthundra
b) 0,5 ? 0,499
Vilken siffra är tiotalssiffra i talen? a) 725 b) 5 213
c) 78,9
Använd siffrorna i rutan och skriv a) ett tal som är så nära 6 000 som möjligt. b) ett udda tal som är så litet som möjligt. Skriv talen med siffror i decimalform. a) fem tiondelar b) fem hundradelar c) fem tusendelar d) femton hundradelar
c) tjugotvåtusen femtio
c) 0,031 ? 0,301
d) 268,5
5 7 2 8
°C 40 30 20 10
FÖRMÅGOR
M
c) 0,3
1
3
GAMMA BAS
B
I talet 1,36 står siffran 3 på tiondelssiffrans plats. Siffran har därför värdet 3 · 0,1 = 0,3.
ETT
a) 1 ? 0,9
P
c) 1,36
I talet 8 356 står siffran 3 på hundratalssiffrans plats. Siffran har därför värdet 3 · 100 = 300.
R K
Resonemang Kommunikation
P B B
6 7
Vilken blir temperaturen om den a) stiger med 5 °C b) sjunker med 5 °C
0 – 10 – 20 – 30
7
Vilket olikhetstecken passar mellan talen, < eller >? a) 4 ? –2
10
b) –3 ? 0
– 40
c) –19 ? –20
1.1 OLIKA SORTERS TAL
UPPGIFT 1c
M B
Var uppmärksam på de elever som svarar 2 250 istället för 22 050 på uppgiften. De kan behöva extra träning i hur positionssystemet är uppbyggt och vilken betydelse nollan har i ett tal.
B
FACIT
EXTRA TRÄNING
1 2 3 4 5 6 7
Till alla avsnitt i boken finns extra träningsuppgifter i form av arbetsblad. Dessa kan hämtas från vår hemsida www.matematikabg.se. Klicka på ”Lärare” och ”Arbetsblad”. Vilka arbetsblad som hör till avsnitt 1.1 ser du i tabellen nedan.
a) 711 b) 9 100 c) 22 050 a) > b) > c) < a) 2 b) 1 c) 7 d) 6 a) 5 872 b) 2 587 a) 0,5 b) 0,05 c) 0,005 d) 0,15 a) 0 °C b) –10 °C a) > b) < c) >
www.matematikabg.se
VAD?
10
FILNAMN
BESKRIVNING
VAR?
G AB 01 Skriv med siffror.pdf
Skriva tal med siffror.
Lärare/ Arbetsblad
G AB 02 Störst och minst.pdf
Vilket tal är störst och vilket är minst?
Lärare/ Arbetsblad
G AB 03 Vilka tal pekar pilarna på.pdf
Ange tal på tallinjer.
Lärare/ Arbetsblad
G AB 04 Negativa tal.pdf
Övningar med negativa tal.
Lärare/ Arbetsblad
KOMMENTAR
1. TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
6-65 Gamma LG kap 1 FINAL.indd 10
2021-06-14 15:24
9
Vilket tal tänker jag på? – Talet är större än 10 men mindre än 30. – Talet är ett udda naturligt tal. – Summan av talets siffror är 8.
10
Vilket är nästa tal? a) 7 4 1 –2 ? b) –9 –5 –1 3 ?
11
Låt tiondelssiffran byta plats med tiotalssiffran i talet 83,57. Vilket tal får du då?
12
a) Ge exempel på ett tal som är större än 1 men mindre än 1,1. Hur många sådana tal finns det? b) Förklara hur du tänker.
13
Vilket olikhetstecken passar mellan talen, < eller >? a) 3 ? –5
14
15
B M R P B K
11 B 12 a) P
P
b) R
13 14 15
B M B
I alla avsnitt i grundboken finns uppgifter som är markerade med . Det är uppgifter som har som syfte att träna elevernas resonemangsförmåga. Många uppgifter kan med fördel användas som EPA-uppgifter (Enskilt-Par-Alla).
b) –1 ? 0 e) 0,19 ? 0,189
Det finns alternativa sätt att använda dessa uppgifter:
• Eleverna löser dem som vanliga uppgifter och resonerar med sig själva eller med en bänkkamrat, skriver ner sina svar och jämför med facit.
c) –4 ? –7 f) 1,499 ? 1,5
Vilken blev temperaturen? Temp. var
Temp. sjönk
Temp. blev
a)
0 °C
5 °C
b)
2 °C
10 °C
c)
–15 °C
3 °C
? ? ?
• Eleverna löser dem som vanliga uppgifter och resonerar med sig själva eller med en bänkkamrat men behöver inte skriva ner sina svar utan det räcker med att jämföra sitt svar med facit.
Addera talen med en tiondel. Vilka tal får du då? a) 0,6
8 9 10
UPPGIFT 8
TVÅ
d) 0,291 ? 0,219
FÖRMÅGOR
b) 2,35
c) 0,809
KAPITEL 1
Hur mycket högre värde har 5:an än 2:an i talet 5 283? Förklara hur du tänker.
KAPITEL 1
8
d) 0,911
1.1 OLIKA SORTERS TAL
11
• Du säger till eleverna att tills vidare hoppa över alla -uppgifter. När avsnittet är avslutat går ni gemensamt igenom dem. Fördelen med att göra så är att eleverna får höra andras tankar och att det blir fler -uppgifter för alla – från nivå ETT till nivå TRE. För att underlätta de gemensamma diskussionerna finns alla dessa uppgifter samlade kapitelvis i Powerpoint-presentationer på hemsidan. Påpeka för eleverna att det är siffrornas värde och inte position i talet de ska jämföra – det vill säga skillnaden mellan 5 000 och 200. Läs om epa på sid XV.
UPPGIFT 12 FACIT 8 5:an har värdet 5 000 och 2:an har värdet 200. 9 10 11 12 13 14 15
Differensen är 5 000 – 200 = 4 800. 17 a) –5 b) 7 53,87 a) Till exempel 1,05 eller 1,005. b) Det finns oändligt många eftersom antalet decimaler kan vara hur många som helst. a) > b) < c) > d) > e) > f) < a) –5 °C b) –8 °C c) –18 °C a) 0,7 b) 2,45 c) 0,909 d) 1,011
Uppgiften är också en EPA-uppgift. Uppgiften är svår för många elever eftersom begreppet ”oändligt många” är svårt att ta till sig . I det här fallet är 1,03 och 1,05 exempel på tal som ligger mellan 1 och 1,1. Men vi kan fylla på med hur många decimaler som helst och fortfarande ha tal som ligger mellan 1 och 1,1: 1,05 1,051 1,0555 1,02345…
UPPGIFT 15 Tipsa eleverna om att skriva en tiondel i decimalform.
1. TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
6-65 Gamma LG kap 1 FINAL.indd 11
11
2021-06-14 15:24