kompetens
värdera
planering
fråg matematisk or e nd a återberätta r se
kommunikation berätta rutiner stå
veta elever elev rita
id é
säga
itio
ud
an
lära
normer ansvar
tänka
n
de
a
tallinje
varandra resonera prata tanke lärare
add
planera bj
tal
atik
delge in
lik um at ent io er n
forskning
drag
s
plu
produkt
ltip
a
ändra
modell formulera förmåga helklass tankar återge faktor
mu
för
fö r
jäm
klassrum
subtraktion
m mate
kommunicera
samtal
fördjupa skriva beskriva muntligtandel
arg
ku
fo
bevisa
uppfattning
visa
strategi
kommunikativa
felsvar parvis
utveckla
språkutvecklande
Matematiska samtal i klassrummet Vägar till elevers lärande Cecilia Kilhamn • Rimma Nyman • Lena Knutsson • Britt Holmberg Susanne Frisk • Christina Skodras • Florenda Gallos Cronberg
Matematiska samtal i klassrummet Vägar till elevers lärande
Cecilia Kilhamn Rimma Nyman Lena Knutsson Britt Holmberg Susanne Frisk Christina Skodras Florenda Gallos Cronberg
Liber
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 1
24/05/62
7:59 PM
”Det finns ett behov av att förbättra kommunikationen i matematik i svenska klassrum.”
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 3
24/05/62
7:59 PM
Innehåll Förord.................................................................................................................7 Tack till .............................................................................................................8 Författarpresentation........................................................................................9 Cecilia Kilhamn och Rimma Nyman Kapitel 0 Introduktion.................................................................................11 Matematiska samtal och lärande....................................................................12 Ett matematiskt samtal på högstadiet............................................................15 Kort om boken................................................................................................19 Cecilia Kilhamn
Kapitel 1 Utforskande samtal i matematik .........................................21 Att kommunicera med matematik..................................................................22 Att kommunicera om matematik....................................................................24 Att kommunicera i matematik........................................................................24 Utforskande samtal i matematik – vad säger forskningen?................................................................................26 Cecilia Kilhamn och Rimma Nyman
Kapitel 2 Normer för ett gott samtal i matematik ..........................33 Norm 1: Samtalet handlar om matematiska idéer.........................................34 Norm 2: Alla orienterar sig mot varandra.......................................................35 Norm 3: Allas bidrag är viktiga ......................................................................36 Norm 4: Alla vet hur de ska bidra till samtalet och följer överenskomna samtalsrutiner.................................................................................................39 När normer möjliggör matematiska samtal....................................................41 Motivera och förklara för varandra.................................................................44 Ta intellektuella risker.....................................................................................45 Bygga på varandras idéer...............................................................................45 Normer sitter i väggarna ...............................................................................46 Lena Knutsson
Kapitel 3 Samtalets matematiska syfte ...............................................49 Samtalets olika syften.....................................................................................49 Inbjudande: Att delge varandra sina matematiska tankar..............................50 Fokuserande: Fördjupa...................................................................................51 Fokuserande: Jämföra och värdera................................................................51 Fokuserande: Argumentera och bevisa..........................................................51 Fyra samtal om multiplikation.........................................................................52
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 4
24/05/62
7:59 PM
Inneh å l l
5
Inbjudande samtal om multiplikation.............................................................52 Fokuserande samtal: Jämföra och värdera multiplikationsstrategier ............57 Fokuserande samtal: Fördjupa förståelsen för multiplikation med tio...........61 Fokuserande samtal: Argumentera och bevisa .............................................65 Rimma Nyman
Kapitel 4 Kommunikativa drag – verktyg för utforskande matematiksamtal...........................................................................................71 Kommunikativa drag.......................................................................................72 Vad läraren kan be elever att göra.................................................................72 Tänka tyst .......................................................................................................73 Beskriva ..........................................................................................................75 Återberätta.....................................................................................................76 Resonera ........................................................................................................77 Lägga till.........................................................................................................78 Ändra uppfattning..........................................................................................79 Prata parvis ....................................................................................................80 Vad läraren kan göra.......................................................................................81 Återge ............................................................................................................81 Utmana ..........................................................................................................82 Ifrågasätta.......................................................................................................84 Planera kommunikativa drag .........................................................................84 Britt Holmberg
Kapitel 5 Att utveckla matematiska samtal med hjälp av kommunikativa drag ...................................................................................87 Ett samtal om addition...................................................................................87 Ett samtal om addition med kommunikativa drag.........................................91 Susanne Frisk
Kapitel 6 Visuella representationer som stöd för utforskande matematiksamtal.................................................................99 Visuella representationer och lärande..........................................................100 Modell av och för tänkande ........................................................................101 Måttband och öppen tallinje som visuella representationer........................102 Måttband som visuell representation...........................................................102 Öppen tallinje som visuell representation....................................................103 Samtal med hjälp av visuella representationer.............................................104 Den öppna tallinjen som stöd för matematiska samtal i klassrummet.........107
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 5
24/05/62
7:59 PM
6
Inneh å l l
Christina Skodras
Kapitel 7 Frågornas roll i ett matematiskt samtal..........................113 Frågornas roll i matematikundervisningen...................................................115 Faktaåtergivande frågor...............................................................................116 Konceptuella frågor......................................................................................117 Reflekterande frågor.....................................................................................118 Vilka frågor kan ställas i matematikklassrummet?........................................119 Inkludering och språkutveckling...................................................................119 Planera in konceptuella frågor......................................................................122 Florenda Gallos Cronberg
Kapitel 8 Lärarens ansvar och uppgiftens betydelse för det matematiska samtalet ...............................................................125 En matematikuppgift att använda i samtalet ..............................................125 Uppgiftens roll i det matematiska samtalet ................................................128 Introduktion av uppgiften.............................................................................128 Medan eleverna arbetar med uppgiften .....................................................129 Redovisning av lösningar..............................................................................129 Möblering och regler för samtalet................................................................132 Cecilia Kilhamn och Rimma Nyman
Kapitel 9 Att orkestrera ett matematiskt samtal............................135 Matematiska samtal på olika nivåer..............................................................136 Matematiken i samtalet – nödvändig men inte tillräcklig............................138 Planera matematiska samtal.........................................................................141 Slutord – ett ramverk för matematiska samtal .............................................144
Litteratur........................................................................................................146 Bilaga 1 Inbjudande samtal: Delge...................................................................150 Bilaga 2 Fokuserande samtal: Fördjupa............................................................151 Bilaga 3 Fokuserande samtal: Jämföra och värdera.........................................152 Bilaga 4 Fokuserande samtal: Argumentera och bevisa...................................153 Bilaga 5 Förslag på uppmaningar att sätta upp i klassrummet....................................................................................................154 Bilaga 6 Ett ramverk för matematiska samtal...................................................156
Sakregister....................................................................................................157
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 6
24/05/62
7:59 PM
Förord Boken som du håller i din hand är skriven av lärare för lärare. Den är ett resultat av ett forsknings- och utvecklingsprojekt om kommunikation i matematik (KOMMA) vid Institutionen för didaktik och pedagogisk profession vid Göteborgs universitet. Vi som har skrivit boken är erfarna matematiklärare och lärarutbildare som har arbetat tillsammans under många år. Med målet att identifiera och utveckla god matematikundervisning har vi låtit oss inspireras av våra kollegor från Mathematics in the City i New York, särskilt av Kara Imm och Janan Hamm som i många år har bedrivit framgångsrik matematikundervisning i USA. Med deras hjälp har vi fått nya insikter om det matematiska samtalet som en förutsättning för lärande. En utgångspunkt för vårt arbete har varit forskning om kommunikation i matematikklassrummet och boken Intentional talk: how to structure and lead productive mathematical discussions av Elham Kazemi och Allison Hintz. Det finns ett behov av att förbättra kommunikationen i matematik i svenska klassrum. Med den här boken vill vi bidra till en positiv förändring i den svenska matematikundervisningen. Boken innehåller goda exempel på matematiksamtal från hela grundskolan, hämtade ur eller inspirerade av samtal vi deltagit i och observerat i det kollegiala samarbetet i projektet KOMMA, där vi bland annat ägnat många timmar åt analys av videoinspelade lektioner och studier av litteratur om matematik kommunikation.
•
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 7
24/05/62
7:59 PM
8
Fö ro r d
Tack till ... Vi har många att tacka för att boken blev till. Först och främst tackar vi våra kollegor från Mathematics in the City i New York, som genom ROMB-projektet har varit våra förebilder under många år. Vi riktar också ett tack till Jonas Emanuelsson, som under sin tid som prefekt gav ekonomiskt och moraliskt stöd till våra idéer. Ett stort tack riktar vi till alla de lärare och elever som vi besökt och samarbetat med under dessa år. Särskilt tackar vi lärare och elever på de skolor som öppnat sina klassrum för oss och som finns med på bilderna i den här boken: Asperö skola, Gustaviskolan, Landamäreskolan och Svartedalsskolan. För det stora arbetet med bilderna i boken tackar vi Lena Knutsson, Mathias Nilsson och Karolin Knutsson. Slutligen vill vi också tacka alla våra lärarstudenter som har deltagit i utveckling och utprövning av ramverket.
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 8
24/05/62
7:59 PM
Fö ro r d
9
Författarpresentation Författarna till den här boken representerar fem lärargenerationer födda på 40-, 50-, 60-, 70-, och 80-talet, med erfarenheter från olika lärarutbildningar och olika läroplaner. Cecilia Kilhamn (född 1963), fil.dr, har undervisat som mellanstadielärare, som matematiklärare på gymnasiet och som lärarutbildare vid Göteborgs universitet. Hennes forskning handlar om undervisning och lärande om skolalgebra. Rimma Nyman (född 1983), fil.dr, har undervisat som matematiklärare på lågstadiet och gymnasiet och som lärarutbildare vid Göteborgs universitet. Hennes forskning handlar om intresse och engagemang i matematikklassrummet. Lena Knutsson (född 1968), fil.kand., har undervisat som matematiklärare i årskurs 1–9 och som lärarutbildare vid Göteborgs universitet. Hennes kunskapsfält är specialundervisning och kollegialt lärande. Britt Holmberg (född 1949), fil.mag., har undervisat som mellanstadielärare och lärarutbildare vid Göteborgs universitet. Hennes kunskapsfält innefattar aritmetik och taluppfattning. Susanne Frisk (född 1966), fil.mag., har undervisat som lärare i årskurs 4–9 och som lärarutbildare vid Göteborgs universitet. Hennes kunskapsfält innefattar visuella representationer och användning av modeller i aritmetikundervisningen. Christina Skodras (född 1973), fil.mag., har undervisat som lärare i årskurs 3–7 och som lärarutbildare vid Göteborgs universitet. Hennes kunskapsfält är lärares arbete med uppgiftsserier och frågor i klassrummet. Florenda Gallos Cronberg (född 1956), fil.dr, har undervisat som grundskolelärare och matematikutvecklare vid University of the Philippines och som lärarutbildare vid Edith Cowan University i Australien samt vid Göteborgs universitet. Hennes forskning handlar om läromedel och om lärarstudenters lärande.
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 9
24/05/62
7:59 PM
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 10
24/05/62
7:59 PM
Kapitel 0
Introduktion Cecilia Kilhamn och Rimma Nyman
Lärare: Hur många tiotal är det i 140? Mika:
140 är 14 tior.
Ragnar: Jag har en sak till att säga. Det finns 14 tior för att 0 inte är ett tal! Lärare: Va?! Är 0 inte ett tal? Ragnar: Nej. Pelle:
Det stämmer!
Ragnar: 0 är ingenting. Ingenting. Lärare: Är det ingenting? Ragnar: Nej. Lärare: Hm [ser överraskad och fundersam ut]. Ragnar: För att 14 tior kan man se som 14 och 0. Lärare: Så du säger att jag kan titta på talet [140] och se tiotalen? Ragnar: Ja. Lärare: Vänta lite. Man tittar på hundratal och ser tiotal? [skeptiskt] Olle:
Jag håller med. Det stämmer, för att 0 inte är ett tal och då ser man att det bara är 14. Eller 9 [pekar på 90]. 0 är inget tal.
Lärare: Hm. Men om 0 inte är ett tal, då kan jag ge dig så här mycket pengar [skriver 14 kr] eller så här mycket pengar [skriver 14 000 000 000 000 kr]. Alla:
Åh, wow!
Agnes:
Jag vill ha den med tusentals!
Samtalet ovan är ett exempel på ett matematiskt samtal i årskurs 1 där matematiken som utforskas är positionssystemet. Eleverna i den här
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 11
24/05/62
7:59 PM
12
K a pitel 0 Intro d uk ti o n
klassen är vana vid att komma med iakttagelser och bygga vidare på varandras tankar, och i det här samtalet kommer deras föreställningar om nollan upp till diskussion. Genom att läraren ifrågasätter Ragnars påstående får eleverna tillfälle att fundera på vad siffran 0 kan stå för, och skillnaden mellan tal, antal och siffra, i en situation som engagerar dem.
Matematiska samtal och lärande Matematiska samtal är viktiga för lärandet. Med samtal menar vi i den här boken mycket mer än att ge och ta emot information. Samtal är att lyssna och fundera, att ifrågasätta varandras tankar, att förklara och exemplifiera, argumentera och övertyga. Framför allt ger det matematiska samtalet eleven möjlighet att ändra uppfattning, eftersom samtalet öppnar för att se matematiska samband på nya sätt. Det matematiska samtalets mål är att de som samtalar ska förstå matematiken bättre efter samtalet än de gjorde innan. Den här boken beskriver undervisnings situationer där eleverna lär sig matematik genom att samtala, snarare än att de lär sig att samtala om matematik. När vi beskriver lärarens roll i samtalet talar vi om orkestrering. Orkestermetaforen innebär att klassen liknas vid en orkester – det är eleverna som spelar musiken och med gemensamma insatser framför musikstycket. Läraren är dirigenten som bestämmer när var och en ska höras och leder in de olika instrumenten vid olika tidpunkter. Men tänk efter – det är inte dirigenten som frambringar ljuden! I Nationalencyklopedin (1994, s. 489) beskrivs orkestrering som ”konsten att fördela stämmor eller enstaka ljud på olika musikinstrument eller andra ljudkällor i en ensemble”. Eleverna i det matematiska samtalet bidrar var och en med sina tankar, och deras gemensamma insatser leder till nytt lärande under lärarens ledning. Precis som dirigenten avgör läraren när var och en ska få komma till tals, hur olika elevers tankar ska kombineras och balanseras och hur det matematiska innehållet bäst anpassas till vars och ens möjligheter och begränsningar. Tillsammans skapar en orkester musik. På samma sätt skapar klassen matematik genom matematiska samtal. Traditionellt tänker vi kanske på matematikläraren som den som ska förklara matematiken. En god lärare är bra på att förklara. Problemet med en sådan syn på undervisning är att eleven blir en passiv motta-
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 12
24/05/62
7:59 PM
K a pitel 0 Intro d uk ti o n
13
gare istället för en aktiv tänkare. Självklart kan lärare ibland behöva förklara saker. Men eleven får större möjligheter att utveckla matematiskt tänkande om läraren istället stöttar eleven fram till att själv formulera förklaringarna. Genom att orkestrera ett matematiskt samtal på ett genomtänkt sätt kan läraren guida eleverna i det matematiska landskapet och hjälpa dem att få syn på och formulera matematiska idéer och samband. För att kunna orkestrera ett matematiskt samtal behöver läraren vara en god samtalsledare. Läraren måste veta vart samtalet är på väg, vilka matematiska idéer eleverna förväntas få syn på och vilka matematiska samband de ska förstå. I den här boken kallar vi det för samtalets matematiska syfte. Att lära sig mer och att utveckla sin matematiska kompetens kan liknas vid att röra sig i ett matematiskt lärandelandskap. I boken Unga matematiker i arbete beskriver Fosnot och Dolk (2018) lärande som en resa i ett landskap, där många olika stigar leder framåt, och nya mål i form av matematiska idéer, samband, strategier och modeller dyker upp vid horisonten när man rör sig i landskapet. Alla elever i en klass befinner sig inte på samma plats i landskapet samtidigt och alla rör sig inte på samma stigar samtidigt. Det är lärarens uppgift att hjälpa eleverna att röra sig framåt i landskapet. Läraren måste veta vad eleverna redan kan, var de befinner sig och vart de är på väg. Det är viktigt att redan under planeringsstadiet fundera ut vilken matematisering som ska äga rum under samtalets gång. Vilka matematiska idéer ska samtalet handla om? Som lärare bör vi fråga oss: Vilka matematiska förmågor vill jag att eleverna ska utveckla genom samtalet? Var befinner sig mina elever och vart vill jag leda dem? För att veta var i landskapet samtalet ska starta är det matematiska syftet till en början oftast inbjudande – elevernas tankar kring ett specifikt fenomen ska komma upp på bordet så att de kan granskas och utvecklas. Men om eleverna ska kunna röra sig framåt i landskapet får samtalet inte stanna där. Det behöver fördjupas mot ett mer specifikt matematiskt syfte. Halvfärdiga tankar, missuppfattningar och insiktsfulla idéer behöver granskas och diskuteras för att antingen förkastas eller anammas som gemensam kunskap.
• Den här boken presenterar ett antal strategier för hur lärare kan agera för att det matematiska syftet med samtalet ska uppnås. Strategierna utgörs av kommunikativa drag som fungerar som konkreta verktyg för att
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 13
24/05/62
7:59 PM
14
K a pitel 0 Intro d uk ti o n
få till ett matematiskt samtal. Boken presenterar dels kommunikativa drag som beskriver vad läraren kan uppmana sina elever att göra, dels drag som beskriver hur läraren själv kan bidra till samtalet. En avgörande aspekt av samtalet är att både lärare och elever lär sig lyssna aktivt på vad som sägs, så att vars och ens bidrag upplevs som viktigt. Ett kommunikativt drag som oftast är väl menat men som har en tendens att bromsa samtalet och sätta stopp för äkta matematisering är beröm. I en väl fungerande matematisk gemenskap får eleven positiv feedback av att hens idéer tas på allvar. Lovvärt är ett aktivt deltagande, lika mycket av den som ställer frågor och problematiserar som av den som svarar rätt; lika mycket av den som kommer med en ny idé som av den som reviderar sitt sätt att tänka efter att ha lyssnat på klasskamraterna. Målet är att hela klassen genom samtalet utvecklar sitt matematiska kunnande. Det som bör berömmas är nya matematiska insikter. ”Wow, vilken intressant tanke Kalle! Jag undrar hur den idén kan användas här” är en mycket mer fruktbar kommentar än ”Bra Kalle, vad duktig du är”. I boken beskrivs ett ramverk som kan vara användbart för att planera och genomföra ett matematiskt samtal. En aspekt av den kommunikation som beskrivs i boken är hur vi kan utnyttja visuella representationer för att modellera matematiska idéer så att de görs tillgängliga för andra. Konkret material, bilder och matematiska symboler bör utgöra en integrerad del av språket i matematiska samtal. Att samtala om matematik är också språkutvecklande, och bidrar dessutom till att skapa en inkluderande undervisning. Under visningen bör leda till att klassen utvecklas till en lärandegemenskap. I en sådan gemenskap hjälps alla deltagare åt att komma framåt i lärande landskapet genom att tänka tillsammans, bygga på varandras idéer och våga testa nya tankar som sedan revideras när de stöts och blöts mot andras tankar. Det är att tänka matematiskt. Målet med boken är att du ska lära dig att tänka efter, dels vilket det matematiska syftet med samtalet är, dels vilka frågor du ska ställa och hur du kan bemöta elevernas svar och inspel. Boken ger dig som lärare konkreta verktyg och inspiration till rika matematiska samtal.
• Vi avslutar introduktionen med en inblick i ett samtal om subtraktion på högstadiet. Eleverna håller på att utforska negativa tal, och precis som i det inledande samtalet i årskurs 1 spelar talet 0 en viktig roll i den ge-
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 14
24/05/62
7:59 PM
K a pItel 0 Intro d u K tIo n
15
mensamma reflektionen. Samtalet har ett tydligt matematiskt syfte som läraren hela tiden strävar mot, och läraren använder sig av många kommunikativa drag. Allt det som läraren gör i det här samtalet kan du läsa mer om i bokens olika kapitel.
Ett matematiskt samtal på högstadiet Läraren börjar med att presentera en rad subtraktioner på tavlan:
8–5=3 7–4=3 6–3=3 5–2=3 4–1=3 3–0=3 Lärare:
Titta på de här subtraktionerna. Fundera på vad du ser. Hur hänger de ihop? Vad finns det för likheter? Ser du något mönster? Tänk tyst en liten stund. [Tyst arbete en liten stund.] Nå, vad har du upptäckt? Någon som har en tanke att dela med sig av?
Pia:
Alla har samma svar.
Adu:
Det är typ samma subtraktion, skillnaden mellan talen är 3 hela tiden.
Lärare: Okej, få se om vi förstod det ordentligt. Love, kan du återberätta vad det är Pia och Adu har upptäckt? Se om du kan använda matematiska ord. Love:
Ja, alltså, det är två tal och differensen mellan dem är hela tiden 3.
Fredrik: Den sista är egentligen ingen subtraktion för svaret finns ju direkt, minus 0. Karin:
Jag ser en annan sak. Båda talen går hela tiden neråt.
Lärare: Vilka tal går neråt? [Karin pekar.] Aha, det var en annan sak, en ny upptäckt – talen minskar! Nu tittar du inte på differen-
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 15
24/05/62
7:59 PM
16
K a pitel 0 Intro d uk ti o n
sen mellan de två talen utan på följden av tal som jag hade skrivit dem. 8 7 6 5 4 3 och 5 4 3 2 1 0. Hur många tänkte på det, får jag se era tummar? [Nästan alla elever visar tummen upp, någon visar tummen ner.] Okej, vi har två olika iakttagelser. Då undrar jag om vi kan formulera en förmodan här, vad skulle vi kunna påstå om subtraktioner utifrån dessa två iakttagelser? Prata parvis om det. [Eleverna pratar parvis och läraren lyssnar efter olika kommentarer. Efter två minuter återtar läraren ordet.] Malin, vad föreslår du och Semir? Mia:
Vi tänkte att om båda talen minskar med samma tal så kommer inte differensen att ändras.
Peter:
Eller så kan man säga att om båda talen ökar så ändras inte differensen, om man liksom tittar uppåt.
Lärare: Skulle differensen ändras om den ena termen ökade men den andra minskade? Peter:
Ja, det måste vara samma förändring.
Lärare: Vi har två olika påståenden här, från Mia och från Peter. Är det någon som kan försöka sig på att sammanföra dem i ett påstående? Alex? Alex:
Om båda talen ändras lika mycket är differensen ändå samma.
Lärare: Jag tror att jag ska skriva upp det som en regel. Ska jag använda ordet talen här, eller kan vi kalla de här talen för något annat som visar att vi håller på med addition och subtraktion? Vad tycker ni? elever:
Termer! [Läraren skriver klart.]
Lärare: Är vi nöjda? Peter:
Kan man inte säga att differensen är konstant?
Lärare: Jo, det kan man. Är vi nöjda med regeln då? Visa tummen upp om du är med på att den här regeln gäller. [Alla visar tummen upp. Läraren skriver på tavlan.]
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 16
24/05/62
7:59 PM
K a pItel 0 Intro d u K tIo n
17
Alex regel: Om båda talen i en subtraktion ändras lika mycket är differensen samma (konstant). Lärare: Nu vill jag att ni istället tittar på den här subtraktionen.
8 – (– 3) = Min fråga är, går det att använda sig av Alex regel för att lista ut differensen på den här subtraktionen? Tänk tyst en liten stund. Rita och skriv gärna på ditt papper. [Tyst arbete en liten stund.] Lärare: Prata nu med varandra i era par om hur ni tänker. Går det att använda Alex regel här? Hur resonerar vi i så fall? [Efter en stunds par-prat samlar läraren elevernas uppmärksamhet, och ger Selma ordet.] Selma:
Jo, vi tänkte att om vi ändrar båda talen så att den andra termen är 0, då har vi svaret direkt.
Lärare: Hur ändrade ni båda talen? Selma:
Vi adderade 3 eftersom –3 + 3 = 0.
Lärare: Kan du skriva det? [Selma kommer till tavlan och skriver.]
(8 + 3) – ((– 3) + 3) = 11 – 0 Lärare: Jag kom att tänka på vad Fredrik sa tidigare, att i den första listan av subtraktioner blev den sista, där vi subtraherade 0, väldigt enkel. Svaret är redan givet. Är det samma tanke ni har? Peter:
Men det är ju smart! Gör om subtraktionen så att du får minus 0, så har du svaret direkt!
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 17
24/05/62
7:59 PM
18
K a pitel 0 Intro d uk ti o n
Lärare: Det ni har gjort kallas för att skriva om subtraktionen till en ekvivalent subtraktion. Det innebär att ni får en ny subtraktion, som kanske är enklare att lösa, men som bibehåller samma differens. Låt oss försöka formulera den strategin tillsammans. Sedan undersöker vi om den alltid fungerar. Vi lämnar klassen här, mitt i ett spännande utforskande av subtraktion med negativa tal. Resten av den här boken ägnas åt att beskriva olika aspekter av matematiska samtal i syfte att utveckla kommunikationen i klassrummet. Om vi vet vilka aspekter av samtalet vi ska vara uppmärksamma på kan vi också planera och iscensätta goda matematiska samtal.
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 18
24/05/62
7:59 PM
K a pitel 0 Intro d uk ti o n
19
Kort om boken Boken innehåller nio kapitel som tar upp olika aspekter av matematiska samtal i situationer där läraren agerar som samtalsledare genom att orkestrera samtalet. Kapitel 1 behandlar specifika klassrumsnormer som behöver etableras för att matematiska samtal ska kunna äga rum. Kapitel 2 beskriver olika sorters matematisk kommunikation och belyser vad forskningen säger om utforskande samtal i matematik. Kapitel 3 redogör för samtalets matematiska syfte. Fyra olika typer av matematiskt syfte identifieras och exemplifieras i ett samtal om multi plikation i årskurs 5. Kapitel 4 handlar om kommunikativa drag som lärare kan använda sig av för att leda ett matematiskt samtal. Till varje drag finns exempel på vad läraren kan säga. Kapitel 5 tar läsaren till en lektion om addition i årskurs 2 och illustrerar hur läraren skulle kunna använda sig av kommunikativa drag för att leda samtalet. Kapitel 6 visar hur matematiska representationer och modeller kan användas för att stärka det matematiska samtalet. Det exemplifieras i en lektion i årskurs 3 där måttband och tallinje används för att visualisera elevernas subtraktionsstrategier. Kapitel 7 innehåller detaljer om olika typer av frågor som läraren kan ha i sin repertoar, och hur de används konkret i klassrummet. Kapitel 8 belyser uppgiftens funktion i matematiska samtal, utifrån ett samtal om geometri i årskurs 7. Kapitlet lyfter fram lärarens viktiga arbete med att planera uppgiften och samtalet som ska föras kring uppgiften. Kapitel 9 sammanfattar normer, matematiska syften och kommunikativa drag i ett ramverk för matematiska samtal. Sist återfinns planeringsunderlag (bilaga 1–4) som kan användas för att planera samtal med olika matematiska syften, och förslag på uppmaningar att kopiera och sätta upp i klassrummet (bilaga 5).
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 19
24/05/62
7:59 PM
157
Sakregister A agens 28 argumentera 51, 65 B beskriva 75 bevisa 51, 65 F felsvar 67, 75 frågestrategier 115 frågor faktaåtergivande 116 konceptuella 117 reflekterande 118 fördjupa 51, 61
O orkestrering 12 P prata parvis 81 R ramverk 144 resonera 77 RME 100, 101 rutiner 41 S sociomatematisk norm 27 språkutveckling 121
I ifrågasätta 84 inbjudande 52 inkluderande klassrum 142 IRE-mönster 33
T tallinje 100 öppen 87, 103 tänka tyst 73
J jämföra 51, 57
U utforskande samtal 26, 29, 137 utmana 83
K kommunicera i matematik 24 med matematik 23 om matematik 24 kommunikativa drag 72 L lägga till 78
Kopiering tillåten.
N normer 33, 34
M matematisera 100 matematisk gemenskap 50 matematiskt syfte 49 fokuserande 50 inbjudande 50 modell 101
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 157
V visuella representationer 99 värdera 51, 57 Å återberätta 76 återge 82 Ä ändra uppfattning 79
24/05/62
8:00 PM
ISBN 978-91-47-12917-1 © 2019 Cecilia Kilhamn, Rimma Nyman, Lena Knutsson, Britt Holmberg, Susanne Frisk, Christina Skodras, Florenda Gallos Cronberg och Liber AB Förläggare: Maria Granler Projektledare: Helena Hammarqvist Redaktör: Helena Hammarqvist Omslag: Fredrik Elvander Grafisk form: Fredrik Elvander Illustrationer: Jonny Hallberg Fotografier: Johanna Gunnarsson s. 38, Britt Holmberg s. 86, Florenda Gallos Cronberg s. 124, övriga fotografier Karolin Knutsson och Mathias Nilsson Första upplagan 1 Tryck: People Printing, Kina, 2019
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver pedagogs och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUSavtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se. Undantag Kopiering är tillåten av de sidor som är markerade ”Kopiering tillåten”. Kopiorna får inte på något sätt spridas utanför den egna skolans verksamhet. Det innebär bl.a. att kopiorna endast får göras digitalt tillgängliga i skolans slutna nätverk. Upphovsrättshavarens ideella upphovsrätt enligt upphovsrättslagen och källangivelse i övrigt ska respekteras på sätt som anges i avtalet med Bonus Copyright Access. Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se
47-12917_Matematiska samtal i klassrummet_inlaga 7.indd 2
24/05/62
7:59 PM
Matematiska samtal i klassrummet Vägar till elevers lärande Matematiksamtal är viktiga för lärandet, men hur kan läraren göra alla elever delaktiga, och hur kan samtalen få eleverna att se matematiska samband på nya sätt? Den här boken erbjuder konkreta verktyg för hur du som lärare kan arbeta med utforskande samtal i klassrummet med målet att eleverna ska förstå matematiken bättre efter samtalet än de gjorde innan. I boken presenteras ett ramverk som hjälper läraren att planera, genomföra och utvärdera matematiska samtal i klassrummet. Ramverket bygger på forskning om kommunikation i matematik och har utprövats i samarbete med verksamma och blivande lärare. Baserat på mångårig erfarenhet av undervisning och forskning ger författarna klassrumsexempel på rika matematiska samtal från hela grundskolan. Boken innehåller också planeringsunderlag för matematiksamtal. Boken är ett resultat av ett forsknings- och utvecklingsprojekt om kommunikation i matematik (KOMMA) vid Institutionen för didaktik och pedagogisk profession vid Göteborgs universitet.
Alla författarna är lärarutbildare vid Göteborgs universitet och har en bakgrund som grundskollärare med matematisk inriktning. Tillsammans har de under flera års tid arbetat med forsknings- och utvecklingsprojekt inspirerade av Mathematics in the city i New York, under ledning av Cecilia Kilhamn. Författarna har med sina olika specialkompetenser inom matematikdidaktikens område bidragit till bokens innehåll, inte minst Rimma Nyman med sitt forskningsfokus på intresse och engagemang i matematikklassrummet. Lena Knutsson, Britt Holmberg, Christina Skodras och Susanne Frisk har haft ett nära samarbete med de skolor där bokens idéer utprövats och Florenda Gallos Cronberg har bidragit med internationella perspektiv.
Best.nr 47-12917-1 Tryck.nr 47-12917-1