9789147128273 by Smakprov Media AB

Bentley Milstolpar och fallgropar i gymnasieskolans matematik

Denna bok är upplagd efter matematikens milstolpar, det vill säga de moment som eleverna måste förstå för att kunna utveckla sina matematiska förmågor och nå höge kunskapsnivåer. Vägen framåt i ämnet är full av fallgropar, som kan göra det svårt att komma vidare. Misstag beror ofta på felaktig inlärning och är systematiska, det vill säga en och samma elev tenderar att upprepa dem. Många systematiska misstag är vanliga och begås av ett stort antal elever. Boken behandlar kurserna 2, 3 och 4 och ger lärare kunskap om just sådana misstag, orsakerna bakom och möjliga åtgärder för att undanröja dem. Därtill beskrivs utförligt hur man bäst introducerar och går igenom nya moment i kurserna på ett sätt som gör att eleverna lär sig rätt från början.

Om författarna Per-Olof Bentley är lärarutbildare samt ﬁl. dr i matematikdidaktik och docent vid Göteborgs universitet. Han har varit Skolverkets expert när det gäller djupanalyser av TIMSS-resultaten i Sverige. Christine Bentley är ﬁl. dr i språkdidaktik, forskare och lärare med lång erfarenhet av matematikundervisning. Tillsammans har de två genomfört ett stort forskningsprojekt om matematikutvecklingen i Lilla Edets kommun. De har dessutom analyserat orsakerna till elevers misstag i matematik i ett antal kommuner i västra Sverige.

Milstolpar och fallgropar i gymnasieskolans matematik Matematikdidaktisk teori om misstag, orsaker och åtgärder Per-Olof Bentley och Christine Bentley

Best.nr 47-12827-3 Tryck.nr 47-12827-3

4712827_Milstolp_Omslag.indd Alla sidor

2021-06-18 07:44

ISBN 978-91-47-12827-3 © 2021 Per-Olof Bentley, Christine Bentley och Liber AB Redaktör: Jonas Klingberg Projektledare: Magnus Winkler Produktion: Eva Jerkeman och Eva Runeberg Påhlman Omslagsfoto: Shutterstock Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People Printing, Kina 2021

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se. Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 2

2021-06-14 10:03

Innehåll Inledning 5 Matematikdidaktik 5 Procedurell och konceptuell undervisning 5 Beräkningar med positiva och negativa hela tal 7 Beteckningar 10

Begreppsinlärning 11 Två begreppskategorier 11 Begreppsmodeller 12 Inlärning av misstag 12

1.Gränsvärden 15 1.1 Olikheter och absolutbelopp 16 1.1.1 Olikhet 16 1.1.2 Absolutbelopp 19

1.2 Begreppet gränsvärde 24 1.3 Asymptoter 38

2. Funktioner 43 2.1 Begreppet variabler 44 2.2 Begreppet funktion 47 2.3 Kontinuerlig funktion 50 2.4 Linjära funktioner 53 2.5 Andragradsfunktioner 59 2.5.1 Faktorsatsen 59

2.6 Inversa funktioner 70 2.7 Några elementära funktioner 72 2.7.1 Potensfunktioner 72 2.7.2 Exponentialfunktioner 73 2.7.3 Logaritmfunktioner 75 2.7.4 Att räkna med logaritmer 79

2.8 Polynomfunktioner 82

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 3

2021-06-14 10:03

3. Ekvationer 85 3.1 Linjära ekvationssystem 86 3.2 Rotekvationer 91 3.3 Exponentialekvationer 93 3.4 Komplexa tal 95 3.5 Eulers formel 98 3.6 Komplexa tal som lösningar 99 3.7 Förenklingar av uttryck i komplex form 104

4. Derivata 107 4.1 Deﬁnition av begreppet derivata 108 4.2 Derivata och kontinuitet 114 4.3 Derivatans medelvärdessats 121 4.4 Derivatan av inversen till en funktion 124 4.5 Deriveringsregler 126 4.6 Derivatan av logaritmfunktioner och exponentialfunktionen 135 4.7 Andraderivatan 137 4.8 En funktions största och minsta värde 140

5. Integraler 143 5.1 Deﬁnition av integralbegreppet 144 5.2 Integralkalkylens medelvärdessats 147 5.3 Primitiv funktion 148

6. Geometri 159 6.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 160 6.2 Enhetscirkeln och de trigonometriska funktionerna 163 6.3 Några trigonometriska satser 166 6.4 Avståndsformeln 174 6.5 Trigonometriska additions- och subtraktionsformler 175 6.6 Derivatan av de trigonometriska funktionerna 177

7. Kommentarer 179 1. Gränsvärden 180 2. Funktioner 184 3. Ekvationer 192 4. Derivata 201 5. Integraler 211 6. Geometri 215

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 4

2021-06-14 10:03

Inledning Historien bakom denna bok Den tidigare boken för grundskolan, Milstolpar och fallgropar i matematikinlärningen, visade sig fylla ett stort behov och blev både populär och efterfrågad. Under våra föreläsningar i olika sammanhang har vi förstått att det finns behov och önskemål om ett liknade material för gymnasieskolan, något vi här tar oss an. Materialet i denna bok bygger främst på internationell forskning inom området, men också på en omfattande specialutformad testning av ca 1100 svenska gymnasieelever i Mellansverige. Vi har följt upp med att analysera elevernas lösningar, systematiserat olika feltyper och härlett orsakerna.

Matematikdidaktik Matematikdidaktik är ett ämnesområde som utgående från matematiken behandlar specifika didaktiska frågeställningar. Inlärning av olika matematiska ämnesområden står i fokus. Internationellt är forskningen inom området omfattande och även i Sverige har den på senare tid utvecklats allt mer. I vår bok fokuserar vi elevers misstag och hur dessa kan undvikas och rättas till. För att detta ska ske behöver eleverna förstå orsaken bakom varje misstag. Boken är därför strukturerad så att centrala begrepp i gymnasiets matematikkurser, milstolpar, presenteras tillsammans med en beskrivning av hur de kan introduceras. Därvid diskuteras för- och nackdelar med olika angreppssätt. Frekventa elevmisstag, fallgropar, deras innehållsliga orsaker och utprövade motåtgärder beskrivs. Därutöver finns ett stort antal autentiska analysövningar lämpliga för grupper av lärare att resonera kring. I slutet av boken finns dessutom kommentarer till dessa analysövningar, ett slags facit. Boken utgör alltså ett fortbildningsmaterial för verksamma lärare men också möjlig kurslitteratur i speciallärarutbildningen och i ämneslärarutbildningen.

Procedurell och konceptuell undervisning Om elever förstår matematiken så är den lättare att komma ihåg, vilket en internationell forskningsöversikt visar1. Undervisning och läromedel i väst, inklusive Sverige, fokuserar alltför ofta på hur procedurer hanteras och alltför lite på begreppslig förståelse, något som medför att procedurers begreppsliga förankring inte förklaras. Förklaring av matematiken får för litet utrymme i undervisningen, vilket i sin tur leder till minskad matematisk förståelse hos eleverna. En sådan undervisning sägs vara procedurellt inriktad, medan undervisning med 1

Cooper, H., Nye, B., Charlton, K., Lindsay, J. & Greathouse, S., (1996). The Effects of Summer Vacation on Achievement Test Scores: A Narrative and Meta-Analytic Review. Review of Educational Research, Vo. 66, No, 3. pp. 227-268.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 5

2021-06-14 10:03

Inledning

fokus på att begreppsligt förankra matematiska principer, så att det framgår hur de hänger ihop, benämns konceptuellt inriktad. För att eleverna ska kunna avgöra vilken matematisk princip som hör till en viss situation, krävs att det är tydligt för eleverna hur principerna begreppsligt hänger ihop. Utan ett begreppsligt sammanhang är varje princip kopplad som lösning till sitt eget speciella problem och inget annat. Detta betyder att eleverna får lära sig isolerade öar av principer, var och en avsedd att tillämpas i någon enskild typ av problemsituation. De olika potenslagarna är exempel på principer kopplade till specifika problemsituationer. x

a ∙a =a

x+y

x y

x∙y

(aa ) = a

ୟೣ ௔

x–y ೤ =a

a-x =

ଵ ୟೣ

a0 = 1 förr a ≠ 0

De situationer som berörs är i tur och ordning en multiplikation av två potenser med samma bas, en potens av en potens, en division av två potenser med samma bas, en potens med negativ exponentt och vad en potens med exponenten nolll är lika med. För att förankra de tre första principerna begreppsligt räcker det med att känna till den grundläggande principen för potensbegreppet, som kan exemplifieras med

a5 = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a Forskningen visar att misstagen som rör potenser ofta beror på att eleverna helt enkelt inte kommer ihåg i vilken situation de olika lagarna ska tillämpas, utan tillämpar fel lag i en given situation. Problemet förvärras dessutom av att det finns ett antal situationer i vilka lagarna inte kan tillämpas, vilket ytterligare försvårar för eleverna. Nedan beskrivs några misstag där fel lagar tillämpas i givna situationer, eller där lagar inte kan tillämpas. Additivt exponentfel:

32 ∙ 23 = 65

Eleven behandlar uppgiften som vid multiplikation av två potenser med samma bas. Här är baserna olika, så en addition av exponenterna är inkorrekt. I stället måste eleven gå tillbaka till definitionen av potensbegreppet. Multiplikativt exponentfel:

53 ∙ 54 = 512

Här har eleven använt fel lag, nämligen den som rör en potens av en potens. Situationen i exemplet är en multiplikation av två potenser med samma bas. Då ska exponenterna istället adderas. Går man tillbaka till begreppsdefinitionen och tillämpar den, så blir det uppenbart vad eleven ska göra. Regelfel:

53 + 52 = 55

Detta är en addition av potenser, där ingen av principerna ovan kan användas. Här har inkorrekt lagen som rör multiplikation av två potenser med samma bas använts.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 6

2021-06-14 10:03

Inledning

Potensfel:

(103)4 = 107

Situationen rör en potens av en potens och då skulle exponenterna multiplicerats. I stället har felaktigt lagen för multiplikation av två potenser med samma bas använts, och exponenterna har adderats. Går man i stället tillbaka till begreppsdefinitionen, blir det tydligt vad som egentligen gäller. Multiplikativt potensfel:

54 = 4 ∙ 5

Här uppvisar eleven ett additivt tänkande då 4 ∙ 5 = 5 + 5 + 5 + 5. Med en korrekt uppfattning av definitionen av en potens, hade misstaget inte skett. Nämnarexponentfel:

ଵ଴భ ଵ଴మ

= 101 + 2 = 103

Eleven flyttar 102 från nämnaren till täljaren utan att byta tecken på exponenten. ଵ Bättre att lita till definitionen మ = 10-2. ଵ଴ Definitionsfel:

30 = 0

Bakom detta misstag ligger troligen ett multiplikativt potensfel, vilket innebär att exponenten multipliceras med basen 3 ∙ 0 = 0. Här krävs att definitionen är inlärd, 30 = 1. Behärskar elever de tre definitionerna av potensbegreppet, ger detta en ledning om hur de ska hantera även problem som inte är typproblem och sådana de inte tidigare stött på.

Beräkningar med positiva och negativa hela tal De i särklass vanligaste misstagen inom algebra och aritmetik är beräkningsfel och teckenfel, som uppstår vid beräkningar med positiva och negativa hela tal. Beräkningsfel avser rena tabellfel, medan teckenfel avser att resultatet är negativt istället för positivt, eller tvärtom. Ofta används en mekanisk regel för att ange vilket tecken resultatet av en operation ska ha. Regeln lyder: lika tecken ger ett positivt resultat och olika tecken ger ett negativt. Regeln skiljer alltså inte på minustecknet som operator eller som del av en talsymbol för ett negativt tal, utan uttrycker hur beräkningen ska manipuleras för att resultatet ska blir korrekt ett procedurrecept utan begreppslig anknytning. Exempel 3 – (-4) Regeln fungerar om eleven fokuserar – (-4), eftersom två minustecken ger ett positivt resultat, alltså en addition av 4. Om eleven inte fokuserar på detta sätt utan på de två talen 3 och -4, kan den få resultatet till -7. Regeln har svag begreppslig förankring. Tecknet framför fyran är en talsymbol medan tecknet mellan tre och negativ fyra är en symbol för operationen subtraktion. Regeln leder frekvent till misstag vid addition eller subtraktion av två termer.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 7

2021-06-14 10:03

Inledning

Exempel 14 + (-3) = (-17) alternativt (-11), i stället för det korrekta 11. Då de båda talen 14 och (-3) har olika tecken, menar eleven att resultatet måste vara ett negativt tal, (-17) alternativt (-11). Detta är ett regelgeneraliseringsfel. Att regeln inte gör någon åtskillnad på operationstecken och tecken som hör till talsymbolen, skapar problem för eleverna. Förstår egentligen eleverna att det finns negativa tal? För att betona förståelse av operationer med negativa tal, har vi i denna text valt att ha ett tecken för operation och ett annat tecken för negativa tal. Vi skriver oftast inte minus fyra (-4) utan negativ fyra -4. Exemplet ovan blir med denna notation 3 – -4. För extra tydlighet använder vi i vissa fall också ett plustecken på motsvarande sätt, exempelvis +3 för det positiva talet 3. För att undvika regelgeneraliseringsfel inför vi en begreppsligt förankrad regel för hur addition och subtraktion bör hanteras. Regeln syftar till att förvandla alla subtraktioner till additioner med negativa tal. Vi exemplifierar först med en addition av ett positivt och ett negativt tal. Med hjälp av tallinjen och talpilarna har additionen av positiv tre och negativ två, +3 + -2 illustrerats. Resultatet är en +1-pil. -2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Jämför vi additionen +3 + -2 = +1 med subtraktionen +3 – +2 = +1 ser vi att resultaten är lika, + 3 – +2 = +3 + -2. Vi formulerar nu den generella regel som gäller addition och subtraktion av positiva och negativa hela tal: Subtraktion av ett heltal är lika med addition av dess motsatta tal. Subtraktionen +3 – +2 är alltså lika med +3 + -2, eftersom -2 är det motsatta talet till +2. Ett annat exempel är +3 – -4, som enligt regeln är lika med addition av det motsatta talet till -4. Vi får då + 3 + +4 = +7. Tillämpningen av regeln innebär att subtraktion beskrivs eller tolkas som addition och regeln benämns därför additionsregeln. Då man skiljer på operationssymbol och talsymbol kan den begreppsliga förankringen bli bättre. Operationssymbolen ˮ ˮ representerar subtraktion, en operation som eleverna känner till och oftast behärskar med positiva heltal. Däremot har de flesta elever vag kunskap om negativa heltal. Med denna åtskillnad av symbolerna faller fokus mer på de negativa talen. Addition av två negativa tal behöver uppmärksammas i undervisningen, annars kan eleverna felaktigt få ett positivt tal som resultat. Den problematiska regeln som lyder att lika tecken ger ett positivt resultat fungerar inte vid addition av två negativa tal. När den ändå tillämpas av eleverna får de, att addition av de två negativa talen i exemplet nedan ger ett positivt tal. Exempel

5 + -6 = +11 istället för det korrekta -11

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 8

2021-06-14 10:03

Inledning

Med talpilar kan dock det korrekta resultatet av additionen illustreras. -11 -6

-12 -

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Till 5-pilen läggs 6-pilen och vi får en 11-pil som resultat. Då addition av negativa och positiva hela tal introduceras, är det lämpligt att använda talpilar. Dessa ger en begreppslig bild som stöd för förståelsen. Lägg särskilt märke till att endast addition med talpilar behövs. Detta är viktigt då elever lätt blandar ihop hur procedurerna addition och subtraktion med talpilar sker. Bakgrunden till additionsregeln, är att mängden av hela tal under addition utgör en så kallad gruppstruktur, vilket bland annat innebär att det till varje element finns ett inverst element. Dessutom beaktas alltså i detta sammanhang endast operationen addition. Det inversa elementet är vad vi i skolmatematiken kallar motsatt tal. Med inversa element och addition blir subtraktion onödig. Additionsregeln som vi formulerat har alltså en djupare matematisk bakgrund. En ordentlig träning i att utföra addition och subtraktion av positiva och negativa hela tal är en bra förberedelse inför studier i algebra. Det förtjänar att påpekas att multiplikation och division av negativa och positiva hela tal fungerar med regeln ˮlika tecken ger ett positivt resultat och olika tecken ger ett negativt resultatˮ. Risken att blanda ihop operationssymboler med talsymboler finns inte vid multiplikation och division. Negativa parenteser har också visat sig vara ett frekvent problem. Eleverna har egentligen bara fått lära sig att byta tecken. Detta har lett till ett antal frekventa misstag. Enligt den tidigare beskrivna principen med så få regler som möjligt användbara i flera olika sammanhang, tillämpar vi nu den tidigare inlärda additionsregeln, som även kan förklara hanteringen av negativa parenteser: Subtraktion av ett heltal är lika med addition av dess motsatta tal. Då parentesen innehåller en subtraktion, så tillämpas additionsregeln först inne i parentesen och därefter på parentesen: +

7 – (+3 – +2) = 7 – (+3 + -2) = + 7 + -3 + +2 = +6 +

additionsregeln inom parentesen additionsregeln på parentesen

Tillämpningen av additionsregeln går ut på att byta ut alla operativa minustecken, så vi enbart får additioner. Som framgår av beräkningen ovan har vi i sista ledet utfört detta och fått +7 + -3 + +2. Med enbart additioner blir parenteserna onödiga, då det inte spelar någon roll i vilken ordning additioner utförs.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 9

2021-06-14 10:03

Inledning

Nu till ett uttryck med en variabel: +

8 – (+2x – +3) = 8 – (+2x + -3) = + 8 + -2x + +3 = +11 + -2x +

additionsregeln inom parentesen additionsregeln på parentesen

Vi ser att additionsregeln, som kan användas för både addition och subtraktion av positiva och negativa hela tal, också kan användas för negativa parenteser inom algebra. Även uttryck med en koefficient framför parentesen kan förenklas med additionsregeln: +

6 – 3(+2x – +1) = 6 – (+6x – +3) = + 6 – (+6x + -3) = + 6 + -6x + +3 = +9 + -6x +

3 multipliceras in additionsregeln inom parentesen additionsregeln på parentesen

I näst sista ledet har vi tillämpat regeln inom parentesen och fått subtraktionen av +3 till addition av -3. I det sista ledet har vi tillämpat regeln på parentesen och termerna inom den har ersatts av sina motsatta tal. Subtraktionen av parentesen har då kunnat ersättas med en addition.

Beteckningar Bokstavsbeteckningar skriver vi i denna bok normalt på två sätt. En bokstav som skrivs kursivt betecknar en variabel medan en bokstav som inte skrivs kursivt betecknar ett godtyckligt konstant tal. När det gäller feltyperna har strävan varit att använda vedertagna benämningar. I de fall sådana har saknats har vi försökt att använda så beskrivande benämningar som möjligt.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 10

2021-06-14 10:03

Begreppsinlärning Två begreppskategorier Begrepp karaktäriseras av det betecknades egenskaper och relationen mellan dessa. Inlärning av begrepp sker i minst två faser, en som rör det unga barnet och en som rör det äldre barnet eller ungdomen. Det unga barnet erfar först frekventa begrepp på ett oprecist sätt, exempelvis kan alla blommor kallas tulpaner. Efter hand förfinas uppfattningen av begreppet och fler karaktäristiska egenskaper lärs in, så att tulpan skiljer ut sig från andra blommor. I den andra fasen utnyttjas de tidigare inlärda begreppen då nya lärs in. Exempelvis kan utgångspunkten för att lära sig begreppet sträcka vara begreppet linje. Sträckan skiljer sig från linjen genom att den har två ändpunkter som gör den begränsad. Den särskiljande egenskapen är begränsningen med de två punkterna. Relationen mellan punkterna och begränsningen är alltså att punkterna konstituerar begränsningen genom att vara placerade som ändpunkter. Sträckan finns mellan punkterna, vilka också inkluderas i sträckan. I och med begränsningen har sträckan också egenskapen längd. Ett begrepp kan också utgöras av en specificering. En rektangel är ju en specificering av en parallellogram. Den specificerande egenskapen hos en rektangel är att alla vinklar är räta. Det finns även andra parallellogrammer än rektanglar, till exempel romber, vars vinklar inte är räta. Begreppsbilder är förknippade med alla begrepp. En begreppsbild består av en individs föreställning om begreppet och erfarna företeelser associerade med begreppet. En begreppsbild kan därför bestå av många delbilder, som kan vara kopplade till sina respektive kontexter. En sådan del av begreppsbilden kan vara skapad utifrån den formella matematiska definitionen av ett begrepp. Andra delar kan vara givna av erfarenheter från andra kontexter och förenliga eller inte med övriga delar av begreppsbilden. En konflikt uppstår då två oförenliga delar framstår i individens medvetande samtidigt. Individen har inget problem med dessa delar så länge de används i olika kontexter. Många ogenomtänkta exempel som elever stöter på kan skapa dessa potentiellt sinsemellan motsägande delar av en begreppsbild. Exempelvis tror många elever att vid multiplikation av två tal är produkten alltid större än någon av faktorerna. Denna del av en begreppsbild försvårar inlärningen av multiplikation av två tal i bråkform som båda är mindre än ett, eftersom resultatet inte harmonierar med tidigare erfarenheter. Det är viktigt att granska de begreppsmodeller vi använder i undervisningen och de indirekta erfarenheter olika exempel svarar för, så att framtida konflikter undviks. Många gamla delar av en begreppsbild kan vara mycket starka och hindra en framtida utveckling av ett begrepp. Flera exempel finns från inlärningen av operationer med negativa tal. En subtraktion av ett naturligt tal från ett annat naturligt tal reducerar alltid det första talet till ett mindre tal, en erfarenhet som finns i begreppsbilden av subtraktion. Då subtraktion av negativa tal kommer in i bilden, exempelvis 3 – -4 = +7, råkar den tidigare delbilden i konflikt med den nya erfarenheten och inlärningen försvåras.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 11

2021-06-14 10:03

Begreppsinlärning

Begreppsmodeller Inom matematikdidaktiken utgör begreppsmodeller ett centralt innehåll. Syftet med modellernas förenklingar är att underlätta elevers inlärning. Ofta är metaforer en utgångspunkt för utformningen av modellerna. Visuella metaforer kan ofta förbättra elevernas föreställning om ett begrepp. Förenklingarna får dock inte vara så grova att olika delar av begreppsbilden riskerar att råka i konflikt med varandra och inlärningen av det nya begreppet därigenom försvåras. Inom forskningen bestäms kvaliteten på modellerna, eller deras validitet, utifrån fyra olika kriterier. x

Ekologisk validitet är ett mått på hur pass bekanta eleverna kan vara med en modell sedan tidigare. Pizzamodellen är exempel på en sådan modell som eleverna oftast väl känner till.

Strukturell validitet mäter hur väl en modell ansluter till den matematiska verkligheten. Ett exempel på en olycklig förvrängning är areamodellen för integraler. Värdet av integraler som representeras av en area under x-axeln ska ju räknas negativt, även om en area i sig aldrig är negativ. Detta kan leda till en konflikt mellan begreppsbilden av det nya integralbegreppet och det traditionella areabegreppet. Dessutom kan en integral representera en rad andra storheter än area, vilket också kan leda till konflikter mellan delar av begreppsbilden.

Operationell validitet fångar hur pass väl en modell kan underlätta beräkningar. En del modeller kan försvåra beräkningar, även om de tydligt karaktäriserar begreppets egenskaper. Pizzamodellen, som används för att introducera tal i bråkform, har bra strukturell validitet, men är inte så användbar vid exempelvis addition av bråk med olika nämnare och har således låg operationell validitet.

Enkelhetsvaliditet står för en modells enkelhet. Vissa modeller kan vara så komplexa att de istället döljer det som de ska visa. Ett klassiskt exempel på låg enkelhetsvaliditet är mängdläran, som när den användes inom den ˮnya matematikenˮ uppfattades som så komplex att det den skulle förklara istället doldes.

Vi kommer i boken att referera till dessa kriterier då vi granskar olika begreppsmodeller. Det förtjänar dock att påpekas att förenklingar på de avancerade nivåerna inom gymnasiematematiken inte alltid låter sig göras. En avancerad nivå är avancerad.

Inlärning av misstag Om en begreppsegenskap missuppfattas när den lärs in, kommer eleven att få en förvrängd begreppsbild av motsvarande begrepp. Ofta används exempelvis förenklingen att en funktion är kontinuerlig då dess graf saknar avbrott. Funktionen nedan är inte kontinuerlig för x = 0 men inte heller diskontinuerlig, den är inte definierad i punkten. Det finns alltså funktioner som är kontinuerliga i hela sin definitionsmängd, men ändå uppvisar ett avbrott i sin graf.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 12

2021-06-14 10:03

Begreppsinlärning

Exempel f(x ( )=

ଵ ௫

med definitionsmängden reella tal, x ≠ 0.

y 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -10 10 -99 -88 -77 -66 -55 -44 -33 -2 2 --1 1 --1 1 0 --2 2 --3 3 --4 4 --5 5 --6 6 --7 7 --8 8 --9 9 -10 1 10

x 1

9 110

För att hamna rätt i en uppgift är det inte alltid tillräckligt att identifiera vilket begrepp det är fråga om. En identifikation av kontexten kan också vara avgörande. Ett mycket vanligt misstag vid derivering av funktioner är att eleven inte identifierar att funktionen i fråga är sammansatt. Denna egenskap, att vara sammansatt av två funktioner, kan ibland vara svår att urskilja. Detta kan bero på att begreppsbilden inte innehåller exempel på sammansatta funktioner. Följden blir att den inre derivatan inte kommer med. Exempel

Funktionen f(x ( ) = ୡ୭ୱ ௫ är sammansatt av funktionerna f(y ( ) = ey och y = cos x. ୡ୭ୱ ୶ f’(x ( ) = -sin x ∙ där െ ‫ ݔ‬utgör den inre derivatan. Det vanligaste inkorrekta svaret är ୡ୭ୱ ௫ f’(x ( )= . Exempel Funktionen f(x ( ) = ξ‫ݔ‬ ( ) = ඥ‫ ݕ‬och ξ ଶ ൅ ͵‫ ݔ‬är sammansatt av funktionerna f(y ଶ y = ‫ ݔ‬൅ ͵‫ݔ‬. Derivatan är då ଵ

భ

f’(x ( ) = ଶ∙ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͵‫ݔ‬ሻି మ ∙ (2x + 3) =

ଶ௫ ା ଷ ଶ

భ

∙ ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͵‫ݔ‬ሻି మ =

ଶ௫ ା ଷ ξ మ ାଷ௫ ଶξ௫

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 13

2021-06-14 10:03

Begreppsinlärning

där 2x + 3 utgör den inre derivatan. Då eleven inte urskiljer att funktionen är ଵ

భ

sammansatt, kommer inte den inre derivatan med: f’(x ( ) = ଶ ∙ ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͵‫ݔ‬ሻି మ . Detta är ett derivatafel. Missuppfattningar har en tendens att inte försvinna utan kan dröja kvar mycket länge. Vi har funnit att flera missuppfattningar som etableras tidigt under de första skolåren, har varit kvar även upp i gymnasieskolans andra eller tredje år. För att ett misstag ska ”försvinna” måste eleven förstå orsaken bakom ett misstag. Man kan nästan säga att eleven måste lära sig varför ett misstag är ett misstag.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 14

2021-06-14 10:03

1. Gränsvärlden

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 15

2021-06-14 10:03

1. Gränsvärlden

ochabsolutbelopp absolutbelopp 1.1 Olikheter Olikheter och Gränsvärden brukar vålla många elever bekymmer. I de nya kursplanerna för kurs 3b och 3c 2021 står det: ”Begreppet gränsvärde” (vår kursivering), utan det försvagande orientering om, som fanns i tidigare versioner. Om undervisningen om gränsvärden blir ytlig kommer problem att uppstå, då en rad andra centrala begrepp bygger på att just gränsvärdesbegreppet förstås. För denna förståelse behövs förståelse av olikheter och absolutbelopp, eftersom den formella definitionen av gränsvärde görs med hjälp av dessa.

1.1.1 Olikhet MILSTOLPE MILSTOLPE För att förstå vad en olikhet är utgår vi från en enkel ekvation som består av ett vänsterled (VL), ett likhetstecken och ett högerled (HL). Exempel 3x + 4 = 24 – 2x En sådan ekvation har endast en lösning, i detta fall x = 4. I en olikhet har likhetstecknet utbytts mot ett olikhetstecken. Flera olikhetstecken förekommer <, >, ≥ och ≤. Exempel 3x + 4 > 24 – 2x

Olikheten har inte endast en lösning utan oändligt många lösningar, nämligen alla x som är större än 4, x > 4. Att lära elever vilken riktning olikhetstecknet ska ha, är avgörande för att de ska kunna hantera olikheter korrekt. MISSTAG 1

Olikhetstecknets riktning förväxlas. Exempelvis skrivs felaktigt 2 > 3. Orsak Tidigare felinlärning. Konsekvens Grafisk representation blir mer eller mindre omöjlig att genomföra. Även tolkning av den grafiska representationen till en korrekt olikhet blir svår. Åtgärd Lär eleverna att tecknet gapar över det större talet. Exempelvis 3 > 2 eller x < 1. Den senare olikheten uppfylls av alla tal som är mindre än 1.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 16

2021-06-14 10:03

1.1 Olikheter och absolutbelopp

MILSTOLPE MILSTOLPE Vid grafisk representation av olikheter i koordinatsystem förekommer två variabler, antingen direkt eller indirekt. Exempel y≥x Frågeställningen blir då vilka talpar som är lösningen till olikheten.

y=x

4 3 2 1

0 -4 4

-33

-2

-1 -

-1

-2 -3 -4

Som framgår av figuren utgör linjen y = x gräns för det område vars talpar är lösningar till olikheten. Genom att pröva med några talpar, ett inom området (-1; 2) och ett utanför (1; -3), finner vi att det första är en lösning medan det andra inte är det. Ibland syns endast en variabel trots att representationen ska ske i ett koordinatsystem. Den andra variabeln x finns ändå med fast indirekt. Exempel y<2 Variabeln x, som inte finns med i olikheten, underförstås i representationen ändå, eftersom x kan anta vilka värden som helst utan att det påverkar olikheten. Lösningarna till olikheten utgörs fortfarande av talpar och följaktligen representeras olikhetens lösningar av ett område, området nedanför linjen parallell med x-axeln, y = 2.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 17

2021-06-14 10:03

1. Gränsvärlden

2 1 0 -33

-2

-1

-11 -22

Vilket talpar som helst i området ingår i en lösning till olikheten y < 2. Observera att x-koordinaten kan ha vilket värde som helst. MISSTAG 2

Dimensionsfelet är vanligt förekommande. Det innebär att eleven inte representerar olikheten med ett område i ett koordinatsystem utan med en linje eller kurva. Orsak I olikheten förekommer endast en variabel, vilket lätt gör att olikheten representeras endimensionellt. Begreppsbilden från lösningar till ekvationer med en variabel kan vara i konflikt med begreppsbilden av lösningar till olikheter. Åtgärd Utgå från olikheter med två variabler som 2y > x. Övergå sedan till olikheter med en variabel som x < 1. Jämför sedan med ekvationer för räta linjer, där exempelvis ekvationen x = 1 inte representeras av en punkt, utan av en linje parallell med y-axeln.

MILSTOLPE MILSTOLPE Tolkning av grafisk representation av olikheter är centralt för att förstå gränsvärden. Exempel Vilken olikhet har representerats i koordinatsystemet?

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 18

2021-06-14 10:03

1.1 Olikheter och absolutbelopp

y 3 2 1

0 2 -2

-1

-1 1 -2 2 -3 3

Detta är ett område, som begränsas av linjen x = 3, parallell med y-axeln. Alla talpar i området har x-koordinater som alltså ska vara mindre än eller lika med 3. Olikheten är x ≤ 3. MISSTAG 3

Tolkningen av en grafisk representation av en olikhet är inkorrekt. Orsak Forskningen visar att eleverna ofta har tränats mer i att representera en olikhet grafiskt, än att tolka en grafisk representation för att bestämma en olikhet. Åtgärd Träna eleverna att bestämma olikheter från grafiska representationer.

1.1.2 Absolutbelopp MILSTOLPE MILSTOLPE Absolutbeloppet av ett tal är lika med talets avstånd till origo. Exempel

Absolutbeloppet av negativ tre, | -3 |, är lika med +3, eftersom -3:s avstånd till origo är +3. På samma sätt är absolutbeloppet av positiv tre lika med positiv tre, | +3 | = +3. ȁ‫ݕ‬ȁ< +3

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 19

2021-06-14 10:03

1. Gränsvärlden

y 3

y = +3

2 1 0 3 -3

-2 2

-1

-11 -22 y = -3

-33 -4

Olikheten, ȁ‫ݕ‬ȁ < 3, representeras av parallellstrimman i koordinatsystemet. Genom att ersätta 3 med exempelvis 1 minskas bredden på strimman. Exempel

ȁ‫ݕ‬ȁ< +1

y 2 y =+1

0 y = -1

-3

-2

-1

-1 -2

Med tal godtyckligt nära noll, kan vi få parallellstrimman att bli så smal vi önskar. Det går också att flytta parallellstrimman och lägga den högre eller lägre i förhållande till xaxeln. Exempel |y – +3| < +1

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 20

2021-06-14 10:03

1.1 Olikheter och absolutbelopp

y 5 y = +4

4 3

y = +2

2 1 0 -3

-2

-1

Det så kallade mittalet i strimman ovan är ju +3, men i strimman nedan är det -2. Exempel |y – -2| < +1

y 1

0 y = -1

-3

-2

-1

-22 y = -3

-33 -4

I det senaste exemplet bestäms strimmans position i koordinatsystemet av mittalet -2 och vidden bestäms av talet efter olikhetstecknet, +1. Observera att vidden är det dubbla värdet av talet efter olikhetstecknet. Populärt betyder olikheten |y – -2| < +1 med absolutbeloppet i vänsterledet, att den positiva skillnaden mellan konstanten -2 på y-axeln och variabeln y ska vara mindre än +1. y och -2 får alltså inte ligga längre ifrån varandra än +1. Parallellstrimman kan också ligga parallell med y-axeln istället för med x-axeln. Exempel

|x – +4| < +1

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 21

2021-06-14 10:03

1. Gränsvärlden

y 3 2 1 0 0

-1 -2

x = +5

x = +3

-3

Parallellstrimmor spelar en avgörande roll vid förståelse av gränsvärden. MISSTAG 1

Många elever tror att |x| < +1 betyder 0 < x < +1 istället för det korrekta -1 < x < +1. Konsekvens Då en grafisk representation av olikheten |x| < +1 återges i ett koordinatsystem sker blir konsekvensen ett gränsfel. Orsak Det är inte x som ska vara positivt utan |x|. Detta kan vara en hopblandning av begreppsbilderna. Åtgärd Träna eleverna att skilja mellan värdet på x och |x|. Absolutbeloppet är talets avstånd till origo och aldrig negativt, men x kan anta både positiva och negativa värden. MISSTAG 2

Eleven beskriver lösningen till en olikhet med ett specifikt tal eller med en kurva, i stället för med ett område. Misstaget utgör ett dimensionsfel. Orsak En vanlig missuppfattning av en variabel är att den representerar ett specifikt okänt tal och inte en generell talbeteckning. Åtgärd Skillnaden mellan en ekvation och en olikhet behöver förklaras. Enkla ekvationer av första graden har en lösning. Då representerar variabeln ett specifikt okänt tal. I en olikhet däremot finns oändligt många lösningar. I dessa fall är variabeln en generell talbeteckning. De båda begreppsbilderna står i motsättning till varandra.

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 22

2021-06-14 10:03

1.1 Olikheter och absolutbelopp

Analysövningar för dig som lärare 111. Peter representerar olikheten, y < +4 i koordinatsystemet på följande sätt. Vilket är misstaget och hur ska det åtgärdas? (Autentisk) y 5 4 3 2 1

0 -3

-2

-1

112. Kate har representerat olikheten |x - -2| < +1 i koordinatsystemet nedan. Vilket misstag har hon gjort och hur förklarar du för henne vad som är fel? (Autentisk) 3

2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1 -2 -3

4712827_Milstolp_Inlaga_FIX.indd 23

2021-06-14 10:03

Bentley Milstolpar och fallgropar i gymnasieskolans matematik

Milstolpar och fallgropar i gymnasieskolans matematik Matematikdidaktisk teori om misstag, orsaker och åtgärder Per-Olof Bentley och Christine Bentley

Best.nr 47-12827-3 Tryck.nr 47-12827-3

4712827_Milstolp_Omslag.indd Alla sidor

2021-06-18 07:44