9789147126569

Lärarguide

matematik

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny WelĂŠn

Innehåll

Förord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

5. Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

Innehåll. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

6. Diagnos och test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

Seriens uppbyggnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

7. Träna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix

Lärobokens struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

8. Utveckla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix

Mer än bara en bok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

9. Förmågorna i fokus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx

1. Ingressuppslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

10. Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv

2. Aktiviteter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

11. Repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv

3. Genomgångar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

12. Prov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi

4. Uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

Allmänt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxviii

1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING

6

1.1

Tal och beräkningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.2

Räkna med bråk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Träna Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.3

Räkna med negativa tal. . . . . . . . . . . . . . 20

Utveckla Tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.4

Räkna med potenser . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Förmågorna i Fokus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.5

Små tal och tiopotenser. . . . . . . . . . . . . . 32

Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.6

Räkna med tal i grundpotensform. . . . . 38

1.7

Kvadrater och kvadratrötter. . . . . . . . . . 43

2 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

58

2.1 Procent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.2 Förändringsfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Träna Samband och förändring. . . . . . . . . . . . 110

2.3 Funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Utveckla Samband och förändring . . . . . . . . . 113

2.4

Linjära funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Förmågorna i Fokus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.5

Tillämpning av linjära funktioner . . . . . 94

Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

IV

Inle dning

3 Algebra

104

3.1

Uttryck och mönster . . . . . . . . . . . . . . . 124

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.2

Förenkling av uttryck. . . . . . . . . . . . . . . 130

Träna Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.3 Ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Utveckla Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.4

Procent och ekvationer . . . . . . . . . . . . . 142

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.5 Proportion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.6 Ekvationssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4 geometri

158

Spegling och symmetri. . . . . . . . . . . . 176

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.2 Skala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Träna Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.3

Ekvationer med flera nämnare. . . . . 188

Utveckla Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.4 Likformighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

4.5

Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

4.1

Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5 XYZ — med sikte på framtiden 5.1

Taluppfattning och tals användning. . . 222

220 Förmågorna och NP i fokus. . . . . . . . . . . . . . . 257

5.2 Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 5.3 Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 5.4

Samband och förändring. . . . . . . . . . . . 240

5.5

Sannolikhet och statistik. . . . . . . . . . . . 246

5.6 Problemlösning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Läxor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Problemlösningsstrategier. . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Begreppsregister. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Bildförteckning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Inle dning

V

Seriens uppbyggnad Matematik XYZ är ett läromedel i matematik för högstadiet. Matematik X är avsedd för åk 7, Matematik Y för åk 8 och Matematik Z för åk 9. Serien finns för hela grundskolan från förskoleklass till årskurs 9.

Materialet för åk 4-6 heter Alfa, Beta, Gamma.

För var och en av delarna X, Y och Z finns följande komponenter:

Grundbok – genomgångar av centralt innehåll och uppgifter på tre nivåer.

Basbok – lättare uppgifter för elever som behöver mer stöd.

Utmaningsbok – svårare uppgifter för elever som behöver mer utmaningar.

Lärarguide – information, metodiska tips, facit, ledtrådar, lösningsförslag och hänvisningar till omfattande digitalt material på hemsidan.

Matematik Digital – en ny generation digitala läromedel med teori, övningar, filmer och intelligent återkoppling.

Matematik X

Bas X

Utmaning X

Lärarguide X

Hemsida – innehåller bland annat arbetsblad, extrablad, aktivitetsblad, planeringar, matriser, diagnoser och prov i form av Word- och PDF-filer.

Där finns även filmer till alla avsnitt, webbappar, interaktiva övningar, kalkylblad med data, Powerpointpresentationer och SMART Board-filer.

Adressen är www.matematikxyz.com.

Utöver detta finns följande årskursövergripande material till serien:

Lathunden – ett häfte med korta sammanfattningar av begrepp och formler.

LänkEn 6-7 – en bok där fokus är att träna det som krävs för betyget E i åk 6.

LänkEn 9-Gy1 – en bok där fokus är att träna det som krävs för betyget E i åk 9.

Problemboken – ett häfte med problemlösningsstrategier och matematiska problem.

Matematik Digital

www.matematikxyz.com

Bas Y

Utmaning Y

Lärarguide Y

Hemsida

Lathunden

Problemboken X Y Z Att kunna lösa problem är ett centralt mål i matematiken. Det är viktigt att alla elever får möjlighet att träna upp sin problemlösningsförmåga. Därför finns både enkla och mer avancerade problem i Problemboken. Här finns utmaningar för alla elever i skolår 6-9!

I Problemboken beskrivs åtta problemlösningsmetoder.

Till var och en dessa metoder finns många problem för eleverna att träna på. Ett problem för varje metod är hämtat från de nationella proven i matematik.

Problemboken är en komponent i serien Matematikboken XYZ, men kan användas oberoende av vilket grundläromedel som används i klassrummet.

Om du har frågor om innehåll och metodik är du välkommen att kontakta Lennart Undvall.

Lennart Undvall Telefon: 021-144910 e-post: lennart.undvall@gmail.com

Best.nr 47-08495-1

Tryck.nr 47-08495-1-02

Matematikboken

Matematik Y

Problemboken METODER VID PROBLEMLÖSNING

X Y Z

Undvall

Johnson

Problemboken omslag.indd 1

Matematik Z

VI

Bas Z

Inle dning

Utmaning Z

Lärarguide Z

LänkEn 6–7

LänkEn 9–Gy1

2016-10-12 15:22

Problemboken

Lärobokens struktur 2. Aktiviteter – i form av till exempel spel eller enklare laborationer.

Matematik Z innehåller vårt förslag till matematikkurs för åk 9, men du är så klart fri att göra vilka anpassningar du vill. Det viktiga är att eleverna uppnår kunskapskraven i åk 9.

Division av bråk

1.4

1 tal

Matematik Z har fem kapitel.

aktivitet: Bråktavlan 2–3 st

Antal deltagare:

kap 1 Taluppfattning och tals användning

1 1 2

kap 2 Samband och förändring

1 2

1 3

1 3

1 4

kap 3 Algebra

1 6

1 12

kap 4 Geometri

1 4

1 6

1 8

1 8 1 12

1 3

1 4 1 6 1 8

1 12

1 12

1 12

1 12

1 6

1 8 1 12

1 12

1 Vilket eller vilka bråk på bråktavlan

är lika med de här talen?

1 1 3 a) b) c) 2 3 4

Beräkna med hjälp av bråktavlan.

1 1 1 2 a) 1 b) 1 c) 1 2 4 8

I kapitel 5 får eleverna träna och utveckla det mesta de arbetat med i Matematik XYZ. Kapitlet fungerar bra som träning inför de nationella proven i matematik och ger även eleven en bra förberedelse inför sina fortsatta studier i matematik på gymnasiet.

Kortfattad teorihjälp hittar eleverna på ”fliken” som finns längst bak i boken.

3 a)

1 1 2 4

b)

1 1 3 12

c)

1 6

1 8

A Använd bråktavlan, diskutera med varandra och lös följande uppgifter.

kap 5 XYZ – Med sikte på framtiden

1 4

1 6 1 8

1 8

1 8 1 12

1 12

1 12

1 12

4 a)

1 2 2

b)

1 3 2

c)

1 4 2

5 a)

4 4 8

b)

3 3 12

c)

2 4 3

B Hitta på egna uppgifter till bråktavlan. Låt en kompis lösa dina uppgifter.

1 1 3 6

1.4

division av bRåk

3. genomgångar – till vilka det finns stöd i form av teori och lösta typexempel i läroboken. Det finns även SMART Board-filer, Powerpoint-filer, filmer med mera på vår hemsida att använda vid genomgångarna.

Vi tänker oss följande arbetsgång när du arbetar med ett kapitel i Matematik Z.

1. Ingressuppslag – med Kan du det här? samt centralt innehåll för kapitlet och en sammanställning av begrepp som eleverna möter i kapitlet. Kan du det här? finns även att skriva ut från hemsidan samt digitalt via tjänsten Socrative.

2.1

Procent

Procent och procentenheter Andelar anges ofta i procent. En procent är lika med en hundradel.

1 = 0,01 1 % = 1 hundradel = 100 Ibland talar man om procentenheter istället för procent. Med procentenheter menar man skillnaden mellan två procentsatser. Ett exempel på en procentsats är räntesats, som används för att till exempel beräkna hur stor räntan är på ett lån.

Antag att en räntesats ökar från 4 % till 5 %. Hur stor är då ökningen i procentenheter och i procent? Ökningen i procentenheter är (5 – 4) procentenhet = 1 procentenhet.

Om vi vill räkna ut hur många procent som räntesatsen ökar med, så använder vi sambandet:

andelen =

Ökningen i procent, andelen, är då

2 Vilket tal skrivs i grundpotensform som 4,2 ∙ 103?

A: 42

B: 420

C: 4 200

2 3 Hur mycket är 3 ⋅ ?

3 6 B: 2 A: 9

C: 3

2 3

D: 42 000

D:

2 5

D:

1 12

andelen =

förändringen värdet från början

1 = 0,25 = 25 % .

4

68 = 1,387 ≈ 140 %. Ökningen i procent är då 49 Felicias längd har alltså ökat med 140 %.

EXEMPEL

Antalet arbetslösa i en kommun ökade från 5 195 personer till 5 347 personer.

Med hur många procent ökade antalet arbetslösa? Avrunda till hela procent.

Antalet arbetslösa från början: 5195 personer Ökning (antal): (5347 – 5195) personer = 152 personer Först räknar du ut ökningen (förändringen) av antalet personer.

Ökning (%):

1 Taluppfattning

1 tal

ETT D: 1,92

Vi använder oss av sambandet:

Ökningen i centimeter är (117 – 49) cm = 68 cm.

Förändringen motsvaras av ökningen i procentenheter.

Värdet från början motsvaras av räntesatsen innan ökningen.

När andelarna är små, använder man sig ofta av promille istället för procent.

En promille är lika med en tusendel och skrivs med tecknet ‰.

1 = 0,001 1 ‰ = 1 tusendel = 1 000

1 + 0,9 ?

2 B: 1,29 C: 1,4

A: 2,1

När Felicia föddes var hon 49 cm lång. Nu är Felicia 117 cm lång. Felicia är mer än dubbelt så lång som när hon föddes. Det innebär att längden har ökat med mer än 100 %. Men med hur många procent har längden ökat?

Vi börjar med att beräkna ökningen (förändringen) i centimeter.

Därefter kan vi beräkna ökningen i procent (andelen).

förändringen värdet från början

Promille

KAN DU DET HÄR?

Mer än 100 %

152 = 0,029... ≈ 0,03 = 3 % 5195 Sedan beräknar du hur stor andel ökningen motsvarar i procent.

Använd dig av sambandet: andelen =

68

och tals användning

2 samband

Arbetsgång

1 Hur mycket är

27

2.1

Proce nt

förändringen värdet från början

Eftersom du ska avrunda svaret till hela procent avrundar du till hundradelar.

K • Presentera fakta.

Svar: Antalet arbetslösa ökade med 3 %.

• Presentera och teckna dina beräkningar.

• Svara med hel mening.

2.1

4 Hur mycket är A:

6 10

B:

Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer.

5 Hur mycket är 5 ∙ 0,12?

A: 0,05

B: 0,25

C: 0,5

Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal. Metoder för beräkningar som använts i olika historiska och kulturella sammanhang.

D: 1 1 4

6 Vilket tal är x i uträkningen 5 ⋅ x = ?

A: x = 5

B: x =

5 4

C: x =

4 5

D: x =

A:

11 15

B:

3 4

C:

8 15

2 3

A:

3 5

1 20

TRE

7 Vilket tal pekar pilen på?

D:

1 15

4 5

8 Hur mycket är 0,3 B: 1,5

1 ?

5

C: 0,15

D: 0,315

9 Du får veta att 210 = 1 024. Hur mycket är då 212?

A: 1 026 6

B: 2 048

Proce nt

69

TVÅ

7 1 – ?

12 2 7 13 C: 24 12

C: 1 0242

D: 4 096

naturliga tal hela tal rationella tal stambråk periodisk decimalutveckling irrationella tal

Tal i potensform. Grundpotensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av prefix.

Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik.

Metodernas användning i olika situationer.

Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer och inom andra ämnesområden.

reella tal förlängning förkortning minsta gemensam nämnare enklaste form motsatta tal potens bas

Begrepp

exponent

tiopotens Vilka begrepp känner du till grundpotensform sedan tidigare?

Kan du beskriva dem? kvadratrot kvadrera

Inle dnIng

VII

4. Uppgifter – 5-7 avsnitt med uppgifter på tre svårighetsnivåer bland annat i form av miniteman. För de elever som tycker nivå ETT är för svår, finns en lättare nivå i Bas Z. För de elever som behöver tuffare utmaningar än nivå TRE så finns sådana i Utmaning Z.

7. Träna – Här får eleverna träna på liknande uppgifter som de haft svårt med på diagnosen.

Träna samband och förändring uPPGiFt

uPPGiFt

1

154 Hur många procent är

157 En bok som har kostat 240 kr kostar

B M K

c) 25 kr av 310 kr

158 Helen fick sin månadslön höjd från

Avrunda till tiondels procent.

31 725 kr till 32 975 kr. Med hur många procent höjdes lönen?

Avrunda till tiondels procent. B

155 Det mesta av vikten hos en

a) 30 % b) 70 % c) 100 %

9

minskade med 300 %, från 300 besökare till 0 besökare.

B M

du tänker.

minskningen Räkna ut ökningen eller B i procent. i procentenheter och

4

Nu

Då

a) b) c)

?

20 %

10 %

?

11

10 %

18 %

?

?

5%

3%

?

?

6

Då

17

var % de11 % a) för10att händerna

stressade? ?

B M K

14

18

?

Vem har rätt? Förklara hur du tänker.

B R

19

En promille är en tiondels procent.

nelly

En promille är 2.1 Proce nt 10 procent.

59

Nytt pris

b) d) 40 kr

60

M K

Proce nt

vid en

25

a) minskning med 5 %

20

b) ökning med 12 %

B

161 a) Vilken är förändringsfaktorn?

10 5

b) Hur mycket kostar symaskinen nu?

ämne

156 För en grillad korv med bröd och

en läsk betalade Carolina 35 kr.

Hur många procent av kostnaden var läsken om den kostade 15 kr?

B M Avrunda till hela procent.

B

M K

3 450 kr nu!

30% rabatt

K

L

P K

110

2.

TR Ä N A SA M BA N D O C H FÖ R Ä N D RI N G

8. Utveckla – För elever som snabbt blir klara med Träna eller som inte behöver räkna Träna-uppgifter alls.

K

58

3

160 Vilken är förändringsfaktorn

30

15

P R

Vid ett tillfälle bodde 60 % av Sveriges befolkning i tätorter medan resten bodde på landsbyg den. Efter några år hade antalet som bodde i tätorter ökat med 1/3 medan antalet som bodde på landsbyg den hade minskat med 1/8. Hur många hela procent av Sveriges befolknin g bodde då i tätorter?

ökade väljarstöd ökat uttryckt i antalet invå­ nare i en kommun med 3 %, 2,5 %B och a) 1,5 procentenheter M %. Med hur många procent ökade invånare sammanl b) antalet hela procent B M K agt under de tre åren? Avrunda till tiondels L Enprocent. kattunge vägde 360 g efter en må­ B M K nad. Vikten hade då ökat med 250 g Antag attföddes. sedan den hur många du sätterMed in 10 000 kr i en aktiefond procent hade vikten ökat? till där värdet ökarAvrunda med 10 % per år.

L Hur många P B K tiotal procent. år dröjer det innan värdet har fördubbla ts? L P

20

uPPGiFt

40 35

Längden av en rektangel ökar med 10 % och bredden minskar med 10 %. Visa att den nya rektangel ns area är 1 % mindre än den ursprung liga rektangelns area, oavsett hur långa sidor den första rektangeln har. L

mycket Centerpartiets 56HurUnder trehar år i rad

71 Valter

57

2.1

45

P B

minskade ett år B M värdet?

Avrunda till tiotal. med 25 % till 66 miljoner kronor.

Hur c) Efter några företaget i konkurs stor år vargick vinsten året innan?

L och aktien blev utan värde. Med hur P K 55 många Hastighe procent sjönk ivärdet då? M tsmätaren Mattias bil visar fel.

När hastighetsmätaren visar 95 km/h så är hastigheten egentlige n 92,5 km/h.

Vilken är I senaste opinionsundersökningen hastigheten när hastighet s­ mätaren visarCenterpartiets 85 km/h, om det procent­ från SCB ökade uella felet är konstant? väljarstöd från 6,1 % till 8,6 %. till Avrunda tiondels kilometer per timme. L P B K

corhan 72

50

TRE

54 b) Med hur många procent steg Vinsten i ett företag

En promille är en hundradels procent.

av koppar och Mässing är en blandning zink om 150 g zink. Hur stor andel är 80 g zink? koppar blandas med B M K L Avrunda till hela procent.

Avrunda till hela procent. kg

koppar innehöll malmen? Avrunda 53 För tre år sedan hade SevimB ungefär M K till hela promille.

400 läsare per dag på sin blogg. Under de tre senaste åren har antalet Värdet på en aktie steg på några år läsare ökat 20 % per år. Med hur från 65 kr tillmed 150ungefär kr. många procent har a) MedAvrunda hur många kronorantalet steg läsare ökat? till hela procent. L M B värdet?

Nu

b) 10 % ? % –2 procent? % av männen 30enheter visade att endast En undersökning efter att de händerna +1,5 procentc) ? tvättade ? % 6,5 % och 60 % av kvinnorna tvättade händerna 7 % sa att de inte enheter besökt toaletten. sa att de inte kissat. 100 % fler för att de bara hade för att de var stressade. tvättade händerna

P

52 månadslön Vad saknas Jacobs höjdes från 28 670 kr i tabellen? till 29 920Pris kr. Med hur många procent från Föränd­ Föränd­ höjdes lönen?

Avrunda till tiondels början ring ringsfaktor B M K procent. 500 kr –20 % a) 2 000 kr c) 1,05 Av 15 ton malm kunde man utvinna 400 kr e) promille 73 kg koppar. Hur många f)

P B

P R

Förändring Förändring i procent­ i procent tvättade de inte enheter Hur stor andel sa att

M

Förändring Förändring i procent­ i procent enheter

en Hur många procent är kr till 90 kr a) minskning från 100 till 100 st b) ökning från 50 st % till 40 % c) minskning från 50 till 150 barn barn 100 d) ökning från

5

fler kvinnor än Lovisa säger att 30 % efter ett toalett­ män tvättar händerna Förklara det?istället ??

13 Stämmer Vad ska stå för hur besök.

10

C

c) kol

År 1996 hittade en expedition i Brasilien en okänd stam som heter Korubo. Den hade 173 medlemmar. Efter mötet med omvärlden lämnade 23 personer stam­ men. Hur många procent motsvarade B M K det? Avrunda till hela procent.

16

liter? a) 2,5 cl avC:12Antalet golfare ökade med ton? Avrunda till b) 1,7 kg av 1,2 200 %, från 100 st till 300 st. tiondelar.

D: Antalet besökare i djurparken

B

D

m.

Skriv andelarna i decimalfor b) 3,5 ‰ c) 11 ‰ a) 6 ‰

3

B: Leon ökade sin lön med 25 %, B M K L timme till från 200är kr per 250 kr Hur många promille per timme.

Avrunda till heltal.

P

E

d) 180 %

b) syre

15 P

Förr 5 595 kr

A: Antalet grodor i dammen ökade kr 100 st till 200 st.

Nu 4 med 50995 %, från

re

har priset på Med hur många procent Avrunda till läsplattan 12 sänkts?

Vilket eller vilka av dessa påståenden B M K L hela procent. kan vara sanna?

8

runt i pilens Du startar i A och går har du av riktning. Vid vilken bokstav A omkretsen gått

2

K

Nu 4 455 kr (Tidigare 7 995 kr)

Hur många procent av vikten består av

TVÅ

ko l vä te

B M

sy

7

hundarna

M K

på videokameran sänkts? Avrunda B M till hela procent.

kvä ka ve lc iu m

det 67 rådjur.

I ett skogsområde fanns ökat till 89 rådjur. Året efter hade antalet ökade antalet?

Med hur många procent B M K Avrunda till hela procent.

159 Med hur många procent har priset

B M K

a) Hur mycket väger den människa som stapeldiagrammet handlar om? Avrunda till tiotal kilogram.

2 samband

Hur många procent av är mörka?

1

människa utgörs av några få grundämnen.

2 samband

ETT

2

nu 144 kr. Med hur många procent M K är priset sänkt?

a) 47 mm av 825 mm b) 17 kg av 132 kg

Ett tal b är 50 % större än c. Ett annat tal a är 50 % större än b. ”Då är a dubbelt så stort som c”, tänker Alex. Tänker han rätt? Motivera ditt svar.

P R

utmaning Z KAPITEL 2 FörändrinG

s Fa K t o r

81

Utveckla samband och förändring

175 Vilket tal saknas?

M

178 En affär sänkte priset på chokladaskar

till jul med 30 %. Till nyår sänktes priserna med ytterligare 20 %. Med hur många procent hade då priset sänkts P K sammanlagt?

a) ? % av 300 träd = 90 träd

5. Blandade uppgifter – uppgifter från alla avsnitt i kapitlet.

b) 20 % av ? liter = 120 liter c) 2 % av 400 kvinnor = ? kvinnor d) 7 % av ? kr = 3 500 kr

179 Resistansen i en metalltråd är propor­

176 Linjen y = kx + 3 går genom punkten

tionell mot trådens längd. Funktionen kan skrivas:

(2, 7).

a) ”Linjen går också igenom punkten (0, 3)”, säger Efraim. Förklara varför M R han har rätt. b) Vilket värde har k?

L

R=k·l R = resistansen i ohm (Ω) l = längden i meter

P

k är en konstant

177 Ulrika köpte ett par skidor. Tack vare

en prissänkning på 40 % sparade hon 1 188 kr. Hur mycket betalade Ulrika P för skidorna? L

a) 75 %

b) 3,5 %

c) 15 ‰

d) 4 ‰

180 Svängningstiden hos en pendel är

10 %. Året därpå höjdes priset igen med 10 %. Vem har rätt? Förklara hur du tänker. L

125 Ordinarie pris på stolarna är 1 300 kr/st. a) Vilken är förändringsfaktorn?

TT == kk ·⋅ l T = svängningstiden i sekunder l = pendelns längd i meter

P R

k är en konstant

Priset har höjts med 20 % sammanlagt.

B

B M

c) Efter en vecka sänks priset ytterligare. Kim räknar då ut att förändringsfaktorn är 1,05.

Förklara varför Kim har fel.

proportionell mot kvadratroten ur pendelns längd. Funktionen kan skrivas:

126 Priset på liftkort höjdes ett år med

B

b) Vad kostar en stol efter prissänkningen?

En tråd som är 2,5 m lång har resistan­ sen 19,5 Ω. Hur lång är en tråd som har P K resistansen 27,3 Ω? L

K

ETT

BLANDADE UPPGIFTER

124 Skriv andelarna i decimalform.

2 samband

2.2

När pendelns längd är 2,0 m så är svängningstiden 2,84 s. Vilken svängningstid har en pendel som är 2,5 m lång? Avrunda till tiondels P sekunder. L

jens

Nej, priset har sammanlagt höjts med mer än 20 %.

B R

Talet C är 25 % större än talet B. Hur många procent är talet A av talet C? L

Bea Utförsäljning av stolar, 20 % rabatt.

B K

181 Talet A är 20 % mindre än talet B.

Jag tror att priset sammanlagt har höjts med mindre än 20 %.

P K

utmaning Z KAPITEL 2

moa 2.

127 Vilka koordinater har punkterna? y 5 4 B 3 2 1

D C H –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 F E A –2 –3

förändras räntesatsen om den minskar från 5 % till 3 %?

b) Med hur många procent sänks räntesatsen? L

2.

113

x

9. Förmågorna i fokus – 8 olika typer av uppgifter som tränar de fem förmågorna. Till två av uppgifterna finns det bedömningsmatriser att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com).

128 a) Med hur många procentenheter

104

UT VE C KL A SA M BA N D O C H FÖ R Ä N D RI N G

B

B M

M K

B L A N DA D E U PPG I FTE R

6. diagnos och Test – finns att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com).

förmågorna i fokus

förmågorna i fokus

VÄRDERA OCH REDOVISA – VATTEN Ungefär 70 % av jordens yta är täckt av vatten. Allt liv på jorden är beroende av vatten. I de stora världshaven är salthalten 3,5 %, medan det i Östersjön bara är ungefär 0,5 % salt i vattnet.

A Till uppgift 1 finns fyra olika lösningar som alla leder till rätt svar.

– Vems lösning är bäst?

2 samband

G

B Nu ska du arbeta med en kompis. Lös uppgift 2 var och en för sig.

Byt sedan lösningar med varandra.

– Är det enkelt att förstå hur din kompis löst uppgiften?

– Är lösningen korrekt redovisad?

2 Vatten har densiteten 1,0 g/cm3 och is har densiteten 0,9 g/cm3. Hur många procent högre densitet har vatten än is? Avrunda till hela procent.

– Vilka brister och styrkor ser du i de övriga lösningarna?

C Lös uppgift 3–6 själv. Försök att redovisa så bra och så korrekt som möjligt.

1 Hur många procent lägre salthalt har Östersjön än de stora haven? Avrunda till hela procent.

Diagnos 1

Ludvig 3,5 % − 0,5 % = 3 % 3 % / 3,5 % = 0,857... % ≈ 86 %

Träna

1

Yatzin har löst en uppgift så här:

247–248

24 – 4 ∙ 5 = 20 ∙ 5 = 100 a) Förklara vilket fel som Yatzin har gjort. b) Vilket är det rätta svaret? M K

Test 1

M R

2

a) 0,7 ∙ 20

3

a)

42 60

b)

3 0, 2

4

a)

4 2 + 9 3

b)

3 1 – 4 6

b) 0,02 ∙ 0,3

5 8

M K

7 3 ∙ 9 4

a) 3 ∙

6

4 a) 2 / 5

5 2 b) / 6 3

7

a) 8 + (–1)

b) 7 – (–2)

8

a) Vilka av beräkningarna är riktigt utförda? b) Rätta de som är fel. M A: 7 ∙ (–3) = –21 D:

9

16 =8 2

Vilket tal är x?

M K

M K

M K

E: (–5) ∙ (–2) ∙ (–1) = –10

1

a) 12 + 3 ∙ 6

b)

14  21 7

M K

251–253

2

a) 0,03 ∙ 400

b) 0,6 ∙ 0,02

M K

3

a)

256–257

4

2 1 a) + 5 3

258–260

5

a)

7 ∙3 9

261–263

6

a)

6 /3 11

7

a) 7 + (–2)

8

a) Vilka av beräkningarna är riktiga? b) Rätta de som är fel.

264–265

M

B: (–5) ∙ (–2) = –10

249–250

254–255

M K

5

b)

M K

12 = –4 3 20 F: =5 4

C:

a) 103 ∙ 102 = 10x

b)

85 = 83 8x

c) 10-2 = 10-6 ∙ 10x

10

Skriv talen i grundpotensform. B M a) 640 000 b) 0,087

c) 25 ∙ 103

11

Skriv talen utan tiopotens. a) 3 ∙ 10-3

c) 8,9 ∙ 10‒1

M

b) 6 ∙ 104

b)

A: (–2) · 3 = –6

9

M K

b)

4 3 ∙ 5 8

M K

b)

5 2 / 9 3

M K

b) (–9) – (–4)

B:

16 = ‒8 2

E: (–4) · 2 · (–1) = 8

c) 5-1 = 5-6 ∙ 5x

c) 0,000 17

Skriv talen utan tiopotens. a) 1,5 ∙ 104

c) 1,5 ∙ 10‒3

12

Beräkna och svara i grundpotensform.

a)



17



2

118

12 =4 3

Skriv talen i grundpotensform. a) sex och en halv miljon b) femton tusendelar b) 3 ∙ 10‒2

b)

b)

Av det går ungefär 35 % till vår personliga hygien, som dusch och bad.

Hur mycket vatten använder var och en av oss till personlig hygien per år?

Avrunda till hela kubikmeter (m3).

4 En genomsnittlig regndroppe faller med medelhastigheten 9 m/s. a) Hur lång tid tar det för en regndroppe att falla till marken från ett moln på 1,5 km höjd? Svara i minuter och tiotal sekunder. b) Hur stor är regndroppens medelhastighet uttryckt i kilometer per timme?

Avrunda till heltal.

5 Endast 2,5 % av allt vatten på jorden är sötvatten. Av det vattnet är det bara ungefär 32 % som är tillgängligt. Resten är bundet i bland annat glaciärer.

Hur många procent av vattnet på jorden är tillgängligt som sötvatten?

6 Hela 96 % av en gurkas vikt är vatten.

Tänk dig att en gurka som väger 200 g får ligga en tid i solen. En del av vattnet avdunstar och vikten minskar till 100 g. Hur många procent av gurkan består nu av vatten? L

M M

F:

P K 103 b) x = 1 10

Alonzo Stora haven: 3,5 % Östersjön: 0,5 % Skillnad: 3 % 3 Skillnad (%): = 0,857... ≈ 86 % 3,5 Svar: Östersjön har 86 % lägre salthalt än de stora världshaven.

M K

C: 3 · (–4) · 2 = 24

11

13

Inle dnIng

M K

5 1 b) – 6 3

10

a) 2 ∙ 106 ∙ 7 ∙ 102

VIII

6 0,03

Vilket tal är x? a) 2x ∙ 25 = 27

270–274 275–276

20 =5 4

D:

266–269

P K

24 300

Lovisa Differens: 3,5 % − 0,5 % = 3 % Lägre (%): 3 / 3,5 = 0,857... = = 86 % Svar: Det är 86 % lägre salthalt.

3 Vi svenskar använder i genomsnitt 210 liter vatten per person och dag.

Helena Östersjön: 0,5 % Världshaven: 3,5 % Lägre: 3 % 3 %= Procent lägre: 3,5 = 0,857... % = = 85,7 % ≈ 86 % Svar: 86 %

B M M B M K

2, 4 102 3 102

c) 6 ∙ 10‒1 ∙ 3 ∙ 104

32 2

c)

5  2  10

M K

2.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

2.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

119

10. Sammanfattning – en kort sammanställning av begrepp och metoder i kapitlet.

Mönster

Talföljden 5 9 13 17 21… är ett exempel på ett mönster.

Varje tal är 4 större än det föregående talet. Differensen är 4.

Differensen ger variabeltermen 4n.

Om vi i 4n sätter n = 1 får vi 4 · 1 = 4. För att få det första talet, det vill säga 5, adderar vi med 1. Vår sifferterm är +1.

Genom att kombinera variabeltermen och siffertermen kan vi teckna uttrycket för det n:e talet: 4n + 1

Förenkling av uttryck

Ett uttryck kan ofta förenklas. Det innebär att termer av samma sort slås samman till en term.

Till exempel kan uttrycket 3a + b – 2a + 4b förenklas till a + 5b.

Uttryck med parenteser

Att arbeta med när det passar: läxor – finns i slutet av Matematik Z samt på vår hemsida (www.matematikxyz.com). Läxorna till Bas Z och facit finns bara på hemsidan. Det står angivet i varje läxa efter vilket avsnitt det är lämpligt att ge respektive läxa.

Om ett uttryck innehåller en eller flera parenteser gäller följande regler: Om det står ett plustecken framför en parentes, kan den utan vidare tas bort. a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

Om det står ett minustecken framför en parentes, måste tecknen inuti parentesen ändras när den tas bort. a – (b + c) = a – b – c Multiplikation med en parentes

Läxor

a – (b – c) = a – b + c

Om man ska multiplicera en faktor med en parentes ska faktorn multipliceras med alla termer i parentesen.

Till vart och ett av bokens fem kapitel hör fyra läxor. Varje läxa innehåller 10 uppgifter.

a(b + c) = a(b + c) = ab + ac Multiplikation av parenteser

När man ska multiplicera två parenteser med varandra gör man så här:

Läxa 1

(a + b)(c + d) = (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

1 Skriv talen utan tiopotens.

(a + b)(c – d) = (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd

Efter avsnitt 1.1

a) 10–2

b) 2,5 · 103

c) 10

d) 4,75 ∙ 10

4

a) Beräkna lockets omkrets och area.

Avrunda till tiondelar. L B M

2 a) 46 – 6 · 3 b) 22,5 + 7,5(8,7 + 1,3) (a – b)(c + d) = (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd

c)

7,5 0,05

b) I vilken skala är locket avbildat?

Mät i hela centimeter.

M K

K

P B K

62 000 200

3 a) 0,6 · 700 b)

(a – b)(c – d) = (a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd

8 Brunnslocket har diametern 0,5 m.

M

5

d) 0,05 ∙ 0,4

M

4 Vilket eller vilka av talen i rutan är

B

a) rationella tal 3.

b) naturliga tal

S A M M A N FAT T N I N G

c) reella tal –7

7 9

13

π

6

9 En enkrona väger 3,6 g och har en

diameter på 19,5 mm. Tänk dig att du har en miljon enkronor.

5 Vilket tal är störst ”noll komma nio” eller

11. Repetition – med uppgifter hämtade från bokens exempelrutor. Filerna finns att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com). Där finns även övningsprov som eleverna kan använda för att träna inför provet.

Repetition kap 1 Alla uppgifter i det här repetitionsavsnittet finns som lösta exempel i Matematik Z. Intill varje uppgift står det på vilken sida du hittar exemplet. Om det är någon uppgift som du inte vet hur du ska lösa, så kan du slå upp den sidan i boken och titta på hur en lösning kan se ut.

2,8 0, 04

1

a) 15 – 5 · 0,6

2

a) Skriv talet 345 000 i grundpotensform.

b)

sid

c) (2 + 5) ∙ 32

11 11

4

b) Skriv talet 8,2 · 10 utan tiopotens.

3

a)

1 2 b) 1 −   2 3

2 7 + 3 9

4

a) 6 – (–2)

5

a) 102 · 10 · 104

6

Skriv talen i grundpotensform.

b) (–6) + (–2)

7 8 9

3 8

d)

6 d) 2

c) 6 · (–2) c)

5 2 6 3

e) (‒6)

33

a) 103 · 10–8

b)

23 25

c) 4–5 · 4–1

34

c)

107 4 104

39

c)

1,5 102 5 105

Beräkna och svara I grundpotensform. a) 4,5 ∙ 105 ∙ 2 ∙ 104

11

a) 6 · 10–7 · 4 · 103

b)

2 105 5 102

b)

7,5 101 3 103

12

a)

13

Beräkna och avrunda till hundradelar.

9 ∙

9

a) 7 11 −

b) ( 11)

20

b)

c) (3 3)

3 ∙ 12

b)

da till hela kvadratcentimeter.

264

1,0 1,8

D

L

P B K

(cm) C

2,5 A

6,3

B

Läxor Kapite L 1

Problemlösningsstrategier – finns presenterade i slutet av boken. Passar bra att använda när ni arbetar med problemlösning, till exempel i Förmågorna i fokus.

EXEMPEL

Fyra orter A, B, C och D ligger längs en väg. Avståndet mellan A och C är 12 km. Mellan B och D är det 15 km. Avståndet mellan A och B är en tredjedel av avståndet mellan B och D. Hur långt är det mellan C och D?

39

2

44 Rita en bild och för in, bit för bit, informationen från texten.

12 km

45

2 3 5 2

A

Beräkna med huvudräkning. a)

10 Beräkna arean av figuren ABCD. Avrun-

1. Rita en bild

38

2

P B K

är idag och att det skulle gå 100 sekunder på en minut och 100 minuter på en timme. Hur lång skulle en sådan timme vara? Svara i vanliga timmar, minuter och P B K sekunder. L

Problemlösningsstrategier

b) 5 ∙ 104 ∙ 3 ∙ 102

9 107 3 102

a)

A · B = 22 B · C = 26 C · D = 39

7 Antag att en sekund är lika lång som den

28

34

b) 1,45 · 10–4

b) Tänk dig att alla enkronor läggs sida vid sida i en lång rad. Hur många kilometer skulle raden bli?

gäller att:

23

54  52 53  53

Skriv talen utan tiopotens. a) 3,5 · 10–2

6 A, B, C och D är naturliga tal. För talen Beräkna summan av de fyra talen.

B M K

a) Hur många ton väger alla enkronorna?

R

16

2

b) 0,000 065

10

14

c) 4 · 1

27 23

b)

a) 0,07

2

”noll komma nitton”? Förklara hur du B tänker.

problemlösning

172

B

C

D

45 32 8

c)

5 km

3 3

15 km

Avståndet mellan C och D är (15 + 5 – 12) km = 8 km.

Svar: Det är 8 km mellan C och D.

2. Gissa och pröva EXEMPEL

12. Prov – med bedömningsanvisningar och resultatblad. Varje prov finns i två varianter (A och B) och det finns flera olika versioner av proven.

Resultatblad till provrä

3 6

8

12

9

10

(6)

(7)

7

6

5

9

2

Skriv talet 37 000 Beräkna 1 + 3 .

8 4

317

10

(11) (12)

11

12

_____________________

________________________ Kommentar:______________ _____________________ ________________________ ________________________ _____________________ ________________________ ________________________ __________________ Lärarens signatur:_________

6 7

skriva svar.

(2/0/0)

i grundpotensform.

(1/0/0) (1/0/0)

Vilket eller vilka av påståendena är sanna?

A: Talet –4 är ett naturligt tal.

B: Talet 0,7 är ett rationellt tal.

C: Talet 2 är ett reellt tal.

3 Vilket eller vilka av A: 6 2

8

Kommunikation

I behöver du bara

Vilket tal saknas i talföljden? Motivera ditt svar.

–9 –4 1 –?– 11

3 4

3

(3)

1

Resonemang

Problemlösningsstrategier

TID: 60 MIN

Till uppgifterna i del

1

11

(6) (9)

Stämmer

1A

DEL I

3 7

1

5 kr för mycket

Svar: Hedvig har 56 st femkronor och 44 st tiokronor.

Prov i matematik KAPITEL 1 VERSION

12

(12)

11 4

Begrepp

Metod

För mycket För lite

725 kr 720 kr

__

5 (11)

10

Kommentar

750 kr 700 kr

45 st 44 st

Omdöme/ förmåga

A

2

2 (5)

2

50 st 40 st

Värde

55 st 56 st

Maxpoäng: (13 / 9 / 6)

C

E

1

10-kronor

50 st 60 st

Klass:_____________

/ ____ ) Poäng: ( ____ / ____

Problemlösning

5-kronor

n1

kning kapitel 1 versio

_________ __________________

Namn:_____________

Förmågor

Hedvig samlar på fem- och tiokronor.

Hon har totalt 100 mynt som sammanlagt är värda 720 kr.

Hur många mynt av varje sort har Hedvig?

talen nedan är lika

B: 2 600

7 Hur mycket är 10 ?

103

Beräkna 4 – (–1).

C: 64

(0/1/0)

med 2 6? Förklara hur

D: 2,6

du tänker.

(1/1/0)

E: 4 3

(1/0/0) (1/0/0)

Inle dnIng

IX

Mer än bara en bok På vår hemsida (www.matematikxyz.com) finner du och dina elever en stor mängd digitala resurser.

Innehållet är uppdelat på lärare och elever med bland annat följande rubriker:

Lärare Aktivitetsblad – Aktivitetsbladen som hör till bokens aktiviteter samt några extra aktiviteter som inte finns i boken.

Arbetsblad– Arbetsbladen innehåller uppgifter som eleverna kan använda för att träna mera, till exempel om nivå ETT är för svår eller om eleverna behöver träna mer efter diagnosen.

Bedömningsstöd – Här ligger självskattningsblad, matriser samt kopieringsunderlag för E C A P Kan du det här? och Vad minns du?.

B De uppgifter som har en matris är märkta M R med den här symbolen i boken.

K Digitala hjälpmedel – En sida med tips och länkar till digitala resurser på internet.

Doobidoo – Powerpointfiler med Matte-Doobidoo, en fil för varje kapitel.

Extrablad – Uppgifter som till exempel kan användas till elever som gjort klart en diagnos medan de väntar på att alla blir klara.

Powerpoint – Till varje avsnitt finns det en Powerpoint-fil som du kan använda när du går igenom avsnittet.

Programmering och digital kompetens – Uppgifter för programmering och digital kompetens.

Repetition – Repetitionsuppgifter hämtade från exempelrutorna i boken. Eleverna kan räkna repetitionsuppgifterna innan provet.

Räkna och häpna – Powerpointfiler med de Räkna och häpna-uppgifter som finns i boken, inklusive ett förslag på lösning. Här finns även några fler uppgifter som inte finns i boken.

SMART Board – Notebook-filer till alla avsnitt för dig som använder SMART Board.

Socrative – Samtliga Kan du det här? och Vad minns du? som digitala Socrative-tester, vilket innebär att de rättas automatiskt. Övrigt – Övrigt kopieringsunderlag som till exempel en multiplikationsmatris, en tallinje, en prefixtabell och formelbladet till nationella proven.

Elever Fel i facit – Här publiceras löpande de fel i facit vi känner till.

Fortbildning – Vi kommer gärna ut till er skola och håller i fortbildning eller informerar om Matematik XYZ.

Filmer – Länksamling med alla våra matematikfilmer publicerade på vår Youtube-kanal.

Fyrfältsproblem – Kopieringsunderlag med uppgifterna från boken samt en sida med fyra fält – ett fält till varje strategi. Bladen klistras in i elevernas problemlösningshäften.

Läxor – Här ligger alla läxor inklusive facit till både grundboken och basboken, så att eleverna slipper bära hem böckerna.

Kalkylark – Färdiga uppgifter som tränar hur man skapar olika diagram och hur man gör beräkningar i Microsoft Excel och Google Kalkylark.

Kalkylark – Filer med data att arbeta med.

Nationella prov – Här finns bland annat några filmer om muntliga delen och betygssättning.

Programmering – Material till uppgifter.

Sammanfattning – En sammanfattning av alla sammanfattningar som finns i Matematik XYZ.

Logga in – Här hittar du diagnoser, tester och prov som Word-filer och pdf-filer. Till varje prov finns facit, bedömningsanvisningar, förslag på lösningar och resultatblad.

Webbappar – Länkar till våra webbappar som till exempel tränar begrepp.

Planeringar – Veckoplaneringar i Word-filer som du själv kan ändra i om du vill.

Övningar – Interaktiva övningar, till exempel för att träna bråkräkning.

X

Inle dning

1. Ingressuppslag Kan du det här?

Kan du det här? är till för att både du och eleven ska få inblick i elevens förkunskaper innan ni startar arbetet med kapitlet. Uppgifterna finns i boken, som kopieringsunderlag och digitalt via webbtjänsten Socrative som du får tillgång till via vår hemsida (www.matematikxyz.com). Läs mer om hur du kommer igång med Socrative på nästa sida eller titta på instruktionsfilmen på vår hemsida. Om du använder den digitala versionen av Kan du det här? sker rättningen automatiskt och du behöver bara analysera resultatet.

KAN DU DU DETDET HÄR? KAN HÄR? 1 Hur många procent är A: 1,4 %

B: 14 %

ETT

1 ?

4 C: 25 %

D: 40 %

2 Hur mycket är 5 % av 400 kr?

A: 20 kr

B: 40 kr

C: 45 kr

D: 54 kr

3 30 % av ett tal är 60. Vilket är talet?

A: 18

B: 180

C: 200

D: 1 800

TVÅ

4 Hur mycket är 150 % av 200 kg?

A: 30 kg C: 300 kg

B: 200 kg D: 350 kg

5 I en burk ligger 5 gula, 10 röda och 35 vita

kulor. Hur stor andel av kulorna är vita?

A: 35 % B: 50 % C: 0,7 % D: 70 %

6 Vilka koordinater har punkterna?

A: (−3, 2) och (2, 1) B: (3, −2) och (−2, –1) C: (2, –3) och (1, 2) D: (–3, −2) och (2, 1)

y 2 1

–3 –2 –1 –1

x 1

2

3

–2

7 Priset ökar från 200 kr till 250 kr.

Hur många procent ökar priset?

A: 20 % B: 25 % C: 5 %

TRE

Vad du gör efter Kan du det här? beror så klart på resultatet för varje enskild elev. Är det många elever i klassen som gjort fel på någon eller några uppgifter kan du behöva repetera med hela klassen. Tanken är att du med resultatet som grund även ska kunna planera din fortsatta undervisning så att den grundar sig på elevernas förförståelse.

Begrepp Ingressen innehåller en lista på de begrepp som eleverna möter i kapitlet. För att få eleverna att börja reflektera kring begreppen och för att du ska få en snabb bild av gruppens förkunskaper föreslår vi att du använder till exempel handuppräckning, små whiteboardtavlor eller liknande för att låta eleverna tala om vilka begrepp de kan, känner till eller inte kan. I avsnittet Förmågorna i fokus finns samma begreppslista, men eftersom det är i slutet av kapitlet och eleverna då bör känna till begreppen ger vi där förslag på mer omfattande övningar för att arbeta med begreppen.

D: 50 %

8 Du lånar 40 000 kr. Vilken är räntan på ett

A: 13 av 20 B: 34 av 50

C:

2 3

D: 0,645

66

Kan du det här? är även tänkt att ge eleverna en fingervisning om vilken nivå de ska börja arbeta på.

Ett riktmärke kan vara att elever som är osäkra på ETT-uppgifterna börjar i Bas Z eller på nivå ETT. Elever som klarar nivå ETT utan problem, men har problem med övriga uppgifter, börjar sitt räknande på nivå ETT. Elever som klarar nivå TVÅ utan problem, men inte TRE, börjar på nivå TVÅ. De elever som klarar i princip alla uppgifter i Kan du det här? börjar sitt arbete på nivå TRE. Ta dig tid att analysera elevernas resultat och svar om de har svarat fel. Du kan få mycket värdefull information från ett felaktigt svar. Här i lärarguiden hittar du kommentarer till nästan alla uppgifter. Med hjälp av dessa kan du lättare identifiera gruppens eller enskilda elevers missuppfattningar och bristande förkunskaper. Du får på så sätt information om vad du behöver arbeta extra med under kapitlets gång.

2 samband och förändring

2 samband

kvartal om räntesatsen är 5 %?

A: 4 000 kr B: 2 000 kr C: 1 000 kr D: 500 kr

9 Vilken andel är störst?

procent procentenhet promille förändringsfaktor

Procent för att uttrycka förändring och förändringsfaktor samt beräkningar med procent i vardagliga situationer och i situationer inom olika ämnesområden.

funktion koordinatsystem koordinataxlar

Funktioner och räta linjens ekvation. Hur funktioner kan användas för att, såväl med som utan digitala verktyg, undersöka förändring, förändringstakt och andra samband.

x-axel och y-axel origo koordinat linjär funktion k-värde m-värde skärningspunkt konstant värdetabell graf

Begrepp Vilka begrepp känner du till sedan tidigare?

Kan du beskriva dem?

oberoende variabel beroende variabel riktningskoefficient proportionalitet

Centralt innehåll Texten under den här rubriken är hämtad ur Lgr11.

Vi har valt att ta med det centrala innehåll som motsvarar det innehåll som vi tar upp i åk 9. Texten kan kännas svårläst för en del elever. Det är bra om ni läser den högt tillsammans och att du förklarar det som eleverna har svårt att förstå.

Inle dnIng

XI

Socrative Så här använder du Socrative:

1. Socrative har en lärardel och en elevdel – Socrative Teacher och Socrative Student. Du skaffar dig en gratis lärarinloggning via deras hemsida (www. socrative.com). Det finns även en lärar-app och en elev-app att tanka ner via Appstore och Google Play att använda i mobiltelefoner, Chromebooks och läsplattor.

2. När du har skaffat dig en lärarinloggning importerar du det quiz du vill köra. Det gör du genom att hämta koden som finns på vår hemsida (www.matematikxyz.com) eller klickar på länken. Klassrumsnamnet som Socrative ger dig är lite krångligt, men du kan enkelt byta namn på rummet.

3. Sedan går du till ”Quizzes”,

väljer ”Add Quiz” och sedan ”Import Quiz” och klistrar in koden för quizet eller klickar på länken. Du startar quizet genom att gå till ”Launch” och sedan ”Quiz”. Nu borde du se det quiz du valt bland dina egna Quizzes. Välj och starta. Nu är det klart för eleverna att göra testet.

Om du väljer ”Open navigation” kan eleverna själva bestämma i vilken takt de vill göra uppgifterna, men de kommer inte kunna se sitt resultat. Du kan även välja om eleverna ska få se om de svarat rätt eller inte.

4. Eleverna startar quizet via valfri enhet genom att gå in på Socrative Student (antingen i appen eller på Socratives hemsida).

Som kod anger eleverna namnet på rummet (vilket står överst på sidan när du loggat in). Eleverna ser då bara det quiz som du för tillfället har aktiverat.

Självskattning I läroplanen betonas elevernas eget ansvar för sina studier och forskning har visat att formativ bedömning är en framgångsfaktor vid all inlärning. Därför finns det till varje kapitel ett självskattningsblad som underlag till en del av den formativa bedömningen.

Bladen finns att ladda ner från vår hemsida (www. matematikxyz.com). På dessa blad finns ett antal av de centrala begreppen i kapitlet uppräknade liksom några av de beräkningsmetoder som eleverna möter i kapitlet. Avsikten är att eleverna vid kapitlets början ska reflektera över hur väl de känner till begreppen och hur säkra de är på beräkningarna. I slutet av kapitlet får eleverna på nytt reflektera över detta.

Förhoppningsvis har då osäkerhet bytts mot säkerhet.

Elevens självskattning samt resultatet från Kan du det här? och Vad minns du? kan utgöra underlag till formativa samtal mellan dig och eleven i början och i slutet av kapitlet.

Den här formen av formativ bedömning kan vara ett bra sätt att öka elevernas motivation då de blir medvetna om sin egen utveckling och vad de behöver lära sig. Det är viktigt att poängtera för eleverna att formativ bedömning är något som fortgår löpande och att du som lärare kontinuerligt utvärderar och ger feedback på elevernas förmåga att föra och följa matematiska resonemang, hur de använder matematiska uttrycksformer samt hur de argumenterar för

XII

Inle dning

5. Nu är quizet igång, men innan

eleverna kan starta måste de ange ett namn. Här är det lämpligt att de använder sina riktiga namn så att du lätt kan förstå vem som svarat vad. Eleverna kan inte se vad de andra har svarat.

Du kan välja om eleverna ska kunna se om de svarar rätt eller inte. Svaren rättas automatiskt och du stänger ner quizet när du ser att alla har svarat. Sedan kan du i lugn och ro analysera resultatet. Du kan även exportera resultatet till en Excelfil.

Om det är första gången du använder Socrative eller om du tycker att den här instruktionen är för svår att följa, kan du se en film där vi visar hur det fungerar. Filmen hittar du på vår hemsida (www.matematikxyz.com).

sina uträkningar och slutsatser. Ett bra sätt för eleverna att hålla ordning på sitt självskattningsblad är att klistra fast det i räknehäftet eller sätta in det i en pärm.

Kapitlets början Begrepp

Kapitlets slut

Kan ej

Osäker

Kan

Kan ej

Osäker

Kan

Kan ej

Osäker

Kan

Kan ej

Osäker

Kan

naturliga tal hela tal rationella tal reella tal förlängning förkortning potens bas exponent tiopotens grundpotensform kvadratrot Beräkningar

24 0,03

2 1 / 3 6 8 – (‒3) Skriv talet 6,8 ∙ 10‒2 utan potens.

2 105 5 102 49 ‒ 5 ∙

9 20

2. Aktiviteter Det är så klart viktigt att du som lärare delar med dig av dina kunskaper, erfarenheter och reflektioner.

Men det är också viktigt att eleverna får göra egna upptäckter, att de får dela med sig av sina egna funderingar och resonemang samt lyssna till andras.

För att uppmuntra till detta har vi i flera avsnitt lagt en aktivitet.

Denna är oftast av praktisk karaktär och uppmuntrar till kommunikation och reflektion kring det matematiska innehållet i avsnittet. Aktiviteterna är oftast

lämpliga att använda som upptakt till de avsnitt de inleder. Eleverna kommer på så sätt in i ämnesområdet och det matematiska språket för avsnittet. Vid aktiviteten finns angivet vilken materiel eleverna behöver och hur många deltagare man bör vara. På hemsidan (www.matematikxyz.com) finns aktivitetsblad att ladda ner och skriva ut. Det kan till exempel vara en spelplan eller en tabell att fylla i. På hemsidan finns även ett antal extra aktiviteter som inte finns med i grundboken.

AKTIVITeT: Spel med negativa tal Materiel: Antal deltagare:

Två sexsidiga tärningar 2–3 st

A Alla ska kasta två tärningar sex gånger.

Efter varje kast väljer man ett av följande alternativ: 1 Den ena tärningen visar ett positivt

tal och den andra ett negativt.

2 Båda tärningarna visar negativa tal.

B När spelare 1 har valt alternativ 1 eller 2 multiplicerar spelaren de båda talen och skriver upp produkten. Sedan gör spelare 2 samma sak. Av de sex kasten ska varje alternativ väljas tre gånger var.

C Efter sex kast kan produkterna se ut så här för en spelare: 10

–15

16

–6

–9

20

D Till slut adderar spelarna sina produkter. Den som har störst summa vinner.

E Spela igen, eller hitta på en ny variant.

Det kan till exempel vara att lägst summa vinner, eller att använda tre tärningar.

Inle dnIng

XIII

3. Genomgångar SMART Board

Filmer

Om du använder en SMART Board Tavla, SMART Interaktiv Projektor, SMART TV eller en SMART Board Skärm kan du ladda ner avsnittsgenomgångar från vår hemsida (www.matematikxyz.com).

SMART Board-filerna innehåller texter och bilder samt en del interaktiva moment till varje avsnitt. Du kan själv fylla på med egen text som du skriver direkt på den interaktiva tavlan. För att kunna öppna filerna behöver du programmet SMART Notebook.

Programvaran finns att ladda ner från internet (www.smartboard.se) och installeras på datorn som är kopplad till din SMART-produkt. Om du har installerat programvaran men bara har en vanlig projektor kan du endast visa sidorna, klicka med datormusen och skriva med tangentbordet.

Till alla avsnitt i Matematik XYZ finns filmer med inspelade genomgångar. Filmerna ligger på vår Youtubekanal, men nås enklast via vår hemsida (www.matematikxyz.com). Om du själv har ett Youtubekonto kan det vara bra att prenumerera på vår Youtubekanal så att du får en notis när vi lägger ut nya filmer. Men du behöver ett eget konto att logga in på innan du kan prenumerera på våra filmer.

Powerpoint

Till avsnitten finns också Powerpoint-filer att ladda ner. På dessa finns bilder och diagram som kan användas vid genomgången samt uppgifter som kan lösas gemensamt.

XIV

Inle dning

Även filmerna till den förra upplagan av Matematikboken XYZ finns att se på vår Youtubekanal. Dessa filmer hittar eleverna enklast via vår andra hemsida (www.matematikbokenxyz.se). På Youtube ligger filmerna från de olika upplagorna i olika spellistor, en för varje upplaga. Var noggrann med att förklara för eleverna hur de når filmerna till den här upplagan så att de inte söker på Youtube och ser en film som hör till förra upplagan.

De flesta filmer är gjorda som en genomgång av stoffet i det aktuella avsnittet. Du kan använda filmerna för att flippa klassrummet, visa dem i klassrummet eller låta elever som missat din genomgång se en film i efterhand. Om du har vikarie kan du uppmuntra vikarien att använda sig av filmerna. Det finns även filmer med annat innehåll, till exempel filmer med olika matematiska problem eller instruktioner om hur man använder mer avancerade miniräknare. Filmerna är tänkta som ett stöd till dig i din undervisning och du använder dem som du finner bäst.

4. Uppgifter ETT

81

82

med 40 %.

Priset på en bok sänktes Antag att priset Sänkningen var 60 kr. kr. före sänkningen var x nedan visar a) Vilket av uttrycken var? hur stor sänkningen B Förklara hur du tänker.

83

kostar x kr.

Antag att en halsduk B Priset sänks med 20 %. sfaktorn? a) Vilken är förändring för det nya priset. b) Teckna ett uttryck på en parkerings­ Antag att antalet bilar ökar med plats är x st och att antalet B 5 %. sfaktorn? a) Vilken är förändring för det nya b) Teckna ett uttryck antalet.

Lös ekvationerna. b) 0,84y = 210 a) 0,15x = 12

a) 33 % av x

B: 0,4x 120 % av y C: xc)– 0,4x D: 0,4x – 60

3.4

e k v at i o n e r Proce nt och

B

94

Idag är 1 920 av soldaterna i Främlings­ legionen fransmän. Teckna en ekvation och räkna ut hur många soldater M K legionen består av.

95

Ett år minskade antalet svenskar i 97 Johannas Främlingslegionen med 10 % till månadslö n höjdes med 4 % 45 soldater. till Teckna en kr. ekvation 27 560 Vilkenoch var lönen innan räkna ut hurhöjninge många svenskar som var n?

M K M K med i legionen året innan.

98 Skriv text till en uppgift som kan lösas med ekvatione Totalt har ungefär 500 svenskar n 0,7x tjänst­ = 595. Lös din egenFrämlingslegionen. gjort i franska Det uppgift.

P K motsvarar en andel på 1 ‰ av alla soldater som tjänstgjort i legionen.

Hur många soldater har sammanlagt M K tjänstgjort i legionen?

d) 7 ‰ av x

Lös ekvationerna. räkna M K en ekvation och b) Teckna a) 1,25x = 15 b) 440 = 0,8y ut vilket priset var innan M K n.

90sänkninge Till ett program i gymnasieskolan antogs 126 elever.

Det motsvarade i åk 9. eleverna av % 35 gick skola en I 90 % av antaletelever. sökande elever.

Det motsvarade 140 a) Antag att antalet sökande elever var det var x elever i skolan. a) Antagxatt st. Teckna ett uttryck för antalet ett uttryck för antalet Teckna B B antagna elever. elever i åk 9. b) Teckna en ekvation och räkna ut en ekvation och räkna b) Teckna hur många ielever som sökte.M K M K skolan. elever ut antalet

84

96

91

% Priset på en konsertbiljett höjdes med 30 Priset på en tröja sänktes med 20 % till 900 kr. till 336 kr.

B a) Vilken är förändringsfaktorn?

B sfaktorn? a) Vilken är förändring b) Teckna en ekvation och var räkna början b) Antag att priset från det ut vilket priset var innan för x kr. Teckna ett uttryck BM K höjningen. nya priset. en ekvation och räkna 92c) Teckna Priset på en dator sänktes först med M K från början. ut priset 45 % och sedan med ytterligare 50 kr till 5 395 kr. Vad kostade datorn innan P K sänkningen? ekvationen: 86 Ebba tecknar den här med ord vad = 9 000. Beskriv 93 0,3x Vem har löst ekvationen rätt? svaret. P R hon räknar ut och beräkna M R Vilka fel har de andra gjort?

Midnattsloppet 87 Antalet deltagare i med till 2018 minskade mellan 2016 David Gustav i Midnatts­ 40 %. Hur många deltog K 5(2x – sammanla 3) = 40 gt 2016?

5(2x L– 3) =P B40 loppet

85

144

TVÅ

b) 5 % av y

89

M K

pet i springer Midnattslop Antalet kvinnor som av löparna år. 2018 var 30 % Stockholm ökar varje 9 000 kvinnor. kvinnor, vilket motsvarade

R

88A: 0,6x Teckna ett uttryck för

10x – 3 = 40 10x – 15 = 40 10x = 43 10x = 25 x = 4,3 x = 2,5

Dessa bokstavsmarkeringar finns också i Bas Z och Utmaning Z.

TRE 102 Elfrides månadslö n höjdes

först med 5 % och efter en tid med ytterligare 4 %.

Den nya lönen blev 32 214 kr. Vilken var lönen innan höjninga rna?

P K

103 I en flaska finns 1 liter

blandad parfym.

Andelen parfymol ja är 5 %. Blandnin g­ en ska spädas med ren alkohol så att halten parfymolja sjunker till 4 %.

Hur mycket ren alkohol ska hällas i flaskan? L

104 Lufttrycket minskar med

P K

ungefär 12 % för varje kilometer uppåt man kommer.

En dag var lufttrycke t 790 hPa (hekto­ pascal) 2 000 m ovanför havsytan.

Vilket var lufttrycke t vid havsytan?

Avrunda till heltal.

Den franska Främlingslegionen bildades 1831 och består av frivilliga soldater som leds av franska officerare. Idag är endast 24 % av soldaterna fransmän.

I Sverige finns det ungefär tusenfotingar. Bandkejsa 95 olika arter av rfotingen är den längst av dem som blir och kan bli upp till 47 mm lång.

99 Bandkejsarfotinge n är

105 Adam väger a kg, Bodil

52 % längre än en brun stenkrypare.

Hur lång kan en brun stenkryp

B M K

101 Hastighetsmätaren på

Wilmas moped visar 5 % för hög hastighet . Vilken är 145 en egentligen när hastighet s­ mätaren visar 42 km/h?

P rhastighet o c e n t o c h e k v at i o n e r

M K

146

3.4

Proce nt oc h e k v at i o n er

Problemlösning

R

Resonemang

B

Begrepp

K

Kommunikation

M

Metod

P B K

väger b kg och Cissi väger c kg. Förklara vad som menas med likheten b = 0,5(a + c)? B R

are bli? Avrunda till Alex tiondels centimete r. L P B K 5(2x100 – 3) = 40 I Sverige finns endast 6,3 ‰ av alla 10x – 15 = 40 kända arter tusenfotingar i hela världen.

Hur många arter av tusenfotingar finns 10x = 55 det i hela världen?

Avrunda till tusental. x = 5,5

3.4

P

utmaning Z KAPITEL 3

Nivåer Eftersom elevernas kunskaper ofta är mycket varierande, är uppgifterna i läroboken indelade i tre svårighetsnivåer: ETT, TVÅ och TRE. Eleverna väljer, kanske med din hjälp, vilken nivå de ska börja på. Kan du det här?, som finns i ingressen till varje kapitel, kan ge viss vägledning. För flertalet elever passar det att börja på någon av de två första nivåerna. Är nivå ETT för svår, kan eleven börja med motsvarande avsnitt i Bas Z. Om en elev snabbt klarar av uppgifterna på nivå TRE, kan eleven fortsätta med motsvarande kapitel i Utmaning Z. Varje elev bör arbeta med alla uppgifter på minst en nivå för att säkerställa att hen tränar samtliga matematiska förmågor. Men uppmana gärna eleverna att räkna mer än så. Tiden på matematiklektionerna kanske då inte räcker till utan eleverna kan behöva lägga mer tid på hemarbete. Det är då viktigt att tänka på att hemarbete ska förstärka inlärningen av det som eleverna arbetat med i skolan. Det är inte meningen att eleverna ska sitta hemma och lära sig nya moment på egen hand. Det är ju inte alla som har föräldrar som kan hjälpa till och även om de har det så är det ju inte säkert att det fungerar bra för eleven.

Förmågorna Varje nivå i läroboken innehåller uppgifter som tränar alla matematiska förmågor. Det finns små bokstavsmarkeringar vid uppgifterna som visar vilka förmågor uppgifterna, enligt vår bedömning, i huvudsak tränar.

EPA Uppgifter som är angivna som EPA-uppgifter här i lärarguiden är tänkt att eleverna först arbetar med Enskilt, sedan i Par och till sist Alla tillsammans.

Använd uppgifterna för att bryta av det enskilda räknandet med matematiska diskussioner så att eleverna tränar upp att följa och föra matematiska resonemang samt den muntliga kommunikationsförmågan. Det gör inget om den som sitter bredvid inte räknar på samma nivå. Ibland kan det till och med vara mer givande för det matematiska samtalet om eleverna inte befinner sig på samma nivå. Det är viktigt att du ger eleverna tillräckligt med tid när de ska diskutera.

Miniteman TVÅ

I avsnitten finns det ofta ett par miniteman. Dessa har två, ibland tre, uppgifter med samma kontext och hänger därför ihop. Till ett minitema hör alltid en bild med en bildtext.

Eleverna måste läsa bildtexten och därifrån hämta data som krävs för att lösa uppgifterna.

Ibland finns det även data i uppgifterna eller i bildtexten som inte är nödvändig för att lösa uppgiften och ofta behöver man data från första uppgiften för att kunna lösa de andra uppgifterna i minitemat.

43

Vad saknas i tabellen?

Gamla värdet

För­ ändring

1 000

10 000

44

P

Föränd­ ringsfaktor

Nya värdet

+30 %

1,3

a)

–5 %

b)

c)

5 000

d)

1,1

5 500

200

–20 %

e)

f)

En aktie var värd 150 kr. Hur har värdet förändrats om det nya värdet kan beräknas med uttrycket

P R

a) 0,8 ∙ 150 kr

b) 1,04 ∙ 150 kr c) 1,5 ∙ 150 kr

d) 0,05 ∙ 150 kr

45

a) Vilken är förändringsfaktorn om man vill räkna ut hur mycket en blåvalsunge ökar i vikt varje dygn?

B

b) Hur mycket väger en blåvalsunge efter två dygn? Avrunda till B M hundratal kilogram.

K

46

Elvira säger helt korrekt att blåvals­ ungen som mest kommer att öka sin längd med 300 % efter att ha gjort den 30 här beräkningen: = 4 . Förklara 7,5 hur Elvira tänker.

P

47

Priset på fåtöljen sänks i två omgångar, först med 30 % och sedan med ytterligare 20 %.

R

Blåvalen är troligtvis världens genom tiderna största djur. När den föds är blåvalsungen 7,5 m lång och väger 3 ton. Tack vare den feta mjölken den får från sin mamma ökar ungen i vikt med 3 % varje dygn de första dygnen av sitt liv. En fullvuxen blåval blir 20–30 m lång och väger 150–300 ton.

a) Vad kostar fåtöljen efter sänkningen?

Avrunda till hundratal kronor. B M K b) Med hur många procent har priset sänkts sammanlagt? Avrunda till P hela procent. c) Förklara varför sänkningen inte är 30 % + 20 % = 50 %.

9 900 kr

B

M R

2.2

F ö r ä n d r i n G s Fa K t o r

79

Här i lärarguiden finns det kommentarer till bokens avsnitt och där hittar du även mer specifika kommentarer till varje minitema. Många gånger har vi anpassat data i minitemana för att det ska bli lämpliga siffror att räkna med för en lagom svårighetsnivå på uppgifterna.

Inle dnIng

XV

2 samband

80

B

3 algebra

Teckna ett uttryck för % av y a) 30 % av x b) 8 % av x c) 2,5 % av z d) 150

79

Miniräknare Miniräknaren är ett naturligt hjälpmedel i matematik. Men eftersom det i Matematik XYZ också finns uppgifter där avsikten är att eleverna ska använda huvudräkning eller skriftliga metoder, har vi en miniräknarsymbol vid de uppgifter där vi anser att det är nödvändigt eller lämpligt att använda miniräknare.

Många elever missar att skriva upp sina uträkningar när de använder miniräknare. Du behöver därför påminna dem om hur de ska redovisa sina lösningar för att kommunikationen ska vara god. Uppmana dem att först skriva upp sina uträkningar och därefter slå dessa på miniräknaren. Annars finns det en risk att de inte kommer ihåg vad de slagit på räknaren när de sedan ska skriva ner vilka uträkningar de har gjort. Det blir även svårt att felsöka i uträkningarna om eleven inte har skrivit upp vad som slagits in på miniräknaren. Som lärare är det mycket lättare att hjälpa till när du kan se hur eleven har tänkt. Det är även bra om de inte skriver ut onödigt många decimaler. Det räcker oftast att skriva ut några stycken och sen tre punkter efteråt. Därefter gör eleverna en avrundning.

Ledtrådar Efter en del uppgifter i Matematik Z står det l , vilket innebär att det finns en ledtråd till uppgiften.

Det finns ledtrådar i såväl avsnitten som i läxorna.

Om en elev kör fast på en sådan uppgift så kan ledtråden ge eleven möjlighet att lösa färdigt uppgiften genom att elevens tankar sätts igång i rätt riktning. Uppmuntra eleverna att titta på ledtråden innan de tittar i facit om de har kört fast.

Bas Z Bas Z är ett komplement till grundboken. Svagpresterande elever kan behöva börja i Bas Z innan de räknar nivå ETT i grundboken. Men för en del elever är det kanske så att Bas Z helt ersätter grundboken. För att fungera som en fristående bok finns det genomgångar, förklaringar, typexempel, ledtrådar och facit även i Bas Z. Läxor med facit finns på vår hemsida. Uppgifterna i Bas Z är konstruerade så

XVI

Inle dnIng

att alla förmågor tränas i varje avsnitt. Men det bästa är om en elev, efter att ha räknat ett avsnitt i Bas Z, fortsätter med nivå ETT i grundboken.

Bas Z är också anpassad för elever som kan behöva språkligt stöd. Inslag som ger språklig stöttning är bland annat bilder och bildtexter, begreppsförklaringar och exempel, ledtrådar samt begreppsregister.

Utmaning Z Högpresterande och snabba elever kan välja att börja på nivå TRE i grundboken för att sedan fortsätta med mer utmanande uppgifter i Utmaning Z. Precis som i grundboken är kapitlen ordnade i enlighet med det centrala innehållet i kursplanen.

Det matematiska innehållet i Utmaning Z skiljer sig ofta från grundboken. Därför finns det genomgångar av ny teori och nya typexempel, vilket gör att det inte ska behövas en genomgång av dig som lärare. Men det är såklart viktigt att du inte lämnar eleverna ensamma med Utmaning Z utan att du även möter dessa elever i matematiska samtal och resonemang.

Det är tyvärr alltför vanligt att riktigt starka elever lämnas ensamma och att de kan bli ostimulerade och kanske därför inte når sin fulla potential.

Alla kan lyckas på sin nivå Avsikten med den struktur som finns i Matematik XYZ är att gruppen hålls samlad. Alla elever får ägna lika lång tid åt uppgifterna i ett avsnitt, men de räknar olika svåra och olika många uppgifter.

Eftersom gruppen hela tiden hålls samlad skapar det många tillfällen för gemensamma diskussioner, aktiviteter samt möjligheter till att träna både resonemangs- och kommunikationsförmågan i olika grupperingar.

Med tre nivåer i grundboken och var sin nivå i Bas och Utmaning gör det att det sammanlagt finns fem nivåer i Matematik XYZ. Det förbättrar möjligheterna till individuell utveckling för eleverna när de kan hitta uppgifter inom varje avsnitt på en lagom matematiskt utmanande nivå.

Med Matematik XYZ kan alla elever lyckas på sin nivå!

5. Blandade uppgifter I avsnittet Blandade uppgifter finns uppgifter som tränar innehållet från alla avsnitt i kapitlet. Uppgifterna ger eleverna repetition inför den diagnos som följer. I Blandade uppgifter finns tre nivåer, precis som i avsnitten. Eleverna börjar arbeta på den nivå som de oftast börjar på i de vanliga avsnitten. Om en elev ska arbeta med en eller två nivåer kan du som lärare behöva bestämma från fall till fall.

154 Cajsa har y hårsnoddar. Hennes kompis

Bianca har 6 fler. Teckna ett uttryck för B hur många snoddar Bianca har.

155 Förenkla uttrycken. b) 3y + y(y + 3)

c) (z + 2)(z + 3)

d) (4x – 2)(x + 3)

ett tal som är

B

a) 5 gånger så stort som y

d) 5 mindre än y

5y

11

B

+

A: 3n + 4 B: 4n + 3

=

C: 5n + 2

Vilket av uttrycken nedan visar hur man räknar ut hur många påsar det blir? _____________

Det mindre talet är 15. Vilket är det större?

159 Lös ekvationerna.

C:

5 0,65

D: 0,65 + 5

5 b) = ______ 0,2

c) 0,8 ∙ 0,5 = ________

2,5 2 500 32 250 000 64

B M K

4 Skriv talen i grundpotensform.

a) 45 000 = __________

K

b) 0,078 = __________

c) 870 000 = ____

5 Skriv talen i decimalform.

B M K

⎧ y = 2x − 4 b) ⎨ ⎩y = 2 − x

a) 1

164 Lös ekvationssystemen med

B ersättningsmetoden. ⎧y = x + 3 ⎧ y − 1 = 3x a) ⎨ b) ⎨ ⎩2x + y = 12 ⎩ x + y = 17

1 = ________ 2

b)

4 = _________ 5

c)

17 = _________ 50

6 Hur mycket är hälften av

a)

M K

1 _________ 2

7 a) 103 ∙ 10‒5 = ______

b) 103 __________ b)

5 ⋅10−1 = _______ 2 ⋅102

c) 10‒2 ___________ c)

104 = __________ 5 ⋅10−1

8 Vilken är medelhastigheten uttryckt i kilometer per timme om man kör

a) 40 km på en halvtimme _________

x poäng och bortalaget y poäng.

b) Vilket lag vann matchen om x – y < 0?

0,65 5

3 Vilket av talen nedan är lika med 25? ______________

158 I en basketmatch gjorde hemmalaget a) Förklara med ord vad som menas med uttrycket x + y.

B:

2 a) 1,6 ∙ 1 000 = _________

x

163 Lös ekvationssystemen med

P R

1 Fem kilogram vita bönor ska förpackas i påsar som rymmer 0,65 kg.

A: 0,65 ∙ 5

161 Två tal förhåller sig som 3 : 4.

grafisk metod. ⎧y = x + 2 a) ⎨ ⎩ y = 3x − 2

Vi repeterar 1

+

vilket motsvarar 96 elever. Hur många M elever går sammanlagt i skolan?

15 19 23 …

Med vilket av uttrycken nedan kan du räkna ut det n:e talet i talföljden?

Förklara hur du tänker.

P K

162 I en skola går 30 % av eleverna i åk 9,

y 5–y 5 y–5 y+5

157 Studera talföljden.

7

A

2x

156 Vilket av uttrycken i cirkeln anger

c) en femtedel av y

många tändstickor det är i askarna.

M K

a) 4x + (x – 2)

b) 5 större än y

160 Teckna en ekvation och räkna ut hur

Z

ARBETSBLAD ARBETSBLAD 18 3 algebra

ETT

BLANDADE UPPGIFTER

De elever som snabbt blir klara med Blandade uppgifter kan arbeta med två arbetsblad som finns till varje kapitel och som heter Vi repeterar. På bladen finns uppgifter från samtliga tidigare kapitel, vilket gör att bladen är ett bra sätt att hålla gammal kunskap färsk i minnet. Det innebär till exempel att bladen Vi repeterar 5 och Vi repeterar 6 har uppgifter från kapitel 1–3.

9

B R

a) 52 + 42 = ________

10 a) (–4)2 + 23 = _______

P

b) 2 km på en minut ________

b) 103 · 16 = __________ c) b)

53 − 52 = _____ 100

20 ∙

5 = _____

c) 6 – (‒42) = ________

M K

z + 59 = 62 4 b) 3x + 1 = 5x – 3

a)

c) 6y – 11 = 2y + 17 d) 22 – x = 4(x – 2)

3.

B L A N DA D E U PPG I FTE R

159

K O P I E R I N G T I L L ÅT E N © L I B E R A B

INLE DNING

XVII

6. Diagnos och Test Diagnos Efter Blandade uppgifter gör eleverna en Diagnos för att ta reda på om de kan det grundläggande i kapitlet. Det är viktigt att du som lärare påpekar skillnaden mellan en diagnos och ett prov, eftersom många elever tror att även diagnosen är ett prov.

Diagnoserna finns att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com) både som pdf- och Word-filer. I Word-filerna kan du själv lägga till, ta bort eller ändra i uppgifter om du vill. Facit till varje diagnos ligger sist i filen. De elever som tidigt blir klara med diagnosen kan arbeta med de extrablad som finns till varje kapitel.

Diagnos 1 Träna

1

Yatzin har löst en uppgift så här:

247–248

24 – 4 ∙ 5 = 20 ∙ 5 = 100 a) Förklara vilket fel som Yatzin har gjort. b) Vilket är det rätta svaret? M K

M R

2

a) 0,7 ∙ 20

3

a)

42 60

4

a)

4 2 + 9 3

b)

3 1 – 4 6

5

a) 3 ∙

5 8

b)

7 3 ∙ 9 4

M K

6

a) 2 /

4 5

b)

5 2 / 6 3

M K

7

a) 8 + (–1)

8

b) 0,02 ∙ 0,3 b)

a) Vilka av beräkningarna är riktigt utförda? b) Rätta de som är fel. M

D:

3

2

251–253

254–255

M K

256–257 258–260 261–263

M K

264–265

M

12 = –4 3 20 F: =5 4

B: (–5) ∙ (–2) = –10

16 =8 2

Vilket tal är x?

249–250

M K

M K

b) 7 – (–2)

A: 7 ∙ (–3) = –21

9

3 0, 2

C:

E: (–5) ∙ (–2) ∙ (–1) = –10

266–269

P K

a) 10 ∙ 10 = 10

x

85 = 83 8x

b)

10

Skriv talen i grundpotensform. B M a) 640 000 b) 0,087

11

Skriv talen utan tiopotens. a) 3 ∙ 10-3

M

b) 6 ∙ 10

c) 10-2 = 10-6 ∙ 10x

c) 25 ∙ 103 4

c) 8,9 ∙ 10

‒1

270–274 275–276

Test Till varje kapitel finns också ett Test. Testet kan användas på olika sätt. Det kan till exempel användas som en andra diagnos, om man bedömer att det är nödvändigt. Men testet kan också användas just som ett test, som ett prov, på det aktuella kapitlets innehåll. Eftersom uppgifterna är tämligen grundläggande så kan testet i så fall betraktas som en del i utvärderingen på E-nivå. Även testen finns att ladda ner från vår hemsida både som pdf- och Word-filer.

Test 1 a) 12 + 3 ∙ 6

b)

2

a) 0,03 ∙ 400

b) 0,6 ∙ 0,02

3

a)

4 5

M K

b)

6 0,03

a)

2 1 + 5 3

b)

5 1 – 6 3

M K

a)

7 ∙3 9

b)

4 3 ∙ 5 8

M K

6

a)

6 /3 11

b)

5 2 / 9 3

M K

7

a) 7 + (–2)

8

a) Vilka av beräkningarna är riktiga? b) Rätta de som är fel.

A: (–2) · 3 = –6

20 =5 4

D:

M K

b) (–9) – (–4)

B:

16 = ‒8 2

E: (–4) · 2 · (–1) = 8

M K M M C: 3 · (–4) · 2 = 24 F:

12 =4 3

Vilket tal är x? a) 2x ∙ 25 = 27

P K b)

3

10 =1 10 x

c) 5-1 = 5-6 ∙ 5x

10

Skriv talen i grundpotensform. a) sex och en halv miljon b) femton tusendelar

c) 0,000 17

11

Skriv talen utan tiopotens. a) 1,5 ∙ 104

c) 1,5 ∙ 10‒3

12

Beräkna och svara i grundpotensform.

13

a)

a) 2 ∙ 106 ∙ 7 ∙ 102

Inle dning

M K

24 300

9

XVIII

14  21 7

1



17



2

b) 3 ∙ 10‒2

b)

b)

B M M B M K

2, 4 102 3 102

c) 6 ∙ 10‒1 ∙ 3 ∙ 104

32 2

c)

5  2  10

M K

7. Träna För de elever som gör fel på någon eller några av uppgifterna i kapiteldiagnosen kan det krävas en förnyad genomgång. Då kan det vara bra att använda sig av konkret material. Ta också gärna hjälp av filmerna på vår hemsida (www.matematikxyz.com) när eleverna ska repetera.

Träna algebra UPPgiFt

Teckna ett uttryck för

B

UPPgiFt

190

2

6

11 16

21

26 …

a) Vilka är de två följande talen i talföljden? Förklara hur du tänker.

a) en 5 cm längre sträcka b) en dubbelt så lång sträcka c) en 3 cm kortare sträcka

188 a) Teckna ett uttryck för vad det

I avsnittet Träna finns lämpliga träningsuppgifter. På diagnosen finns hänvisningar till uppgifterna i Träna. I boken syns det även till höger om träningsuppgifterna vilken uppgift de hör ihop med på diagnosen.

Om uppgifterna i Träna inte räcker till kan du även använda dig av arbetsbladen som finns till kapitlet.

Arbetsbladens namn och beskrivningar av bladens innehåll hittar du i tabellerna här i lärarguiden.

1

187 En sträcka är a cm lång.

kostar att köpa tre smörgåsar och två smoothies.

B

b) Förklara vad som menas med uttrycket 200 – 2x.

B R

P R

b) Vilken är differensen?

B

c) Vilken är variabeltermen i uttrycket?

B

d) Med vilket av uttrycken nedan kan du räkna ut det n:e talet?

P

A: 4n + 2 B: 3n + 3 C: 5n + 1

x kr

191

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a) Hur många punkter är det i den 4:e figuren?

y kr

P

b) Vilken är differensen?

UPPgiFt

189 Talen i en talföljd kan beräknas med

2

uttrycket 4n – 1 där n = 1, n = 2, n = 3 och så vidare.

192

a) Vilka är de tre första talen i talföljden?

B

c) Vilken är variabeltermen i uttrycket?

B

d) Vilken är siffertermen? e) Vilket är det 50:e talet i talföljden?

162

3.

B M

d) Hur många punkter är det i figur nr 50?

M K

7

10 13

16 19 …

a) Vilken är differensen i talföljden?

M

b) Vilken är differensen?

B

c) Teckna ett uttryck för antalet punkter i den n:e figuren.

B

b) Teckna ett uttryck för det n:e talet.

B M

c) Vilket är det 20:e talet?

M K

B

M K

TRÄNA ALGE BRA

Om diagnosen går bra eller om eleven snabbt är färdig med de uppgifter hen skulle träna på fortsätter eleven med avsnittet Utveckla. Eftersom en del av dessa uppgifter kan vara lite svåra finns det en hel del ledtrådar och lösningsförslag i detta avsnitt. Elever som blir klara med Utveckla innan de andra eleverna är klara med Träna, kan fortsätta i Utmaning Z eller med något av de extrablad som hör till kapitlet.

Extrabladens namn och beskrivningar av bladens innehåll hittar du i tabellerna här i lärarguiden.

Utveckla algebra

215 Två tal förhåller sig som 5 : 4. Vilket är förhållandet mellan de tal man får om det större talet görs 20 % större och det mindre talet görs 25 % mindre? L

221 Talföljden 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… kallas Fibonaccis talföljd.

a) Beskriv hur talföljden är uppbyggd M och ange vilket nästa tal är.

P B K

216 Vilket värde har 3a – 2b om a + b = 27 och a – b = 5?

L

M K

217 För två år sedan var Janas mamma fyra

gånger så gammal som Jana. Om tre år kommer mamma att vara tre gånger så gammal som Jana. Hur gammal var Janas mamma när Jana föddes? L P K

b) Talen a, b och c är tre tal i talföljden sådana att a + b + c = 1 974 och b + c + d = 3 194.

P B K Vilket tal är a? L

222 Beräkna värdet av uttrycket 2m − n om m−n 1 = . m+n 3

2m + n

L

P B K

223 Om b : c = 5 och a : b = 2 vilket värde har då (a – b) : (b – c)?

218 Kalid fick betala 162 kr för en bok.

Priset hade då sänkts i två omgångar, först med 25 % och sedan med ytterligare 10 %. Vad kostade M boken från början? L

R

3 algebra

8. Utveckla

L

P K

K

219 En bilhandlare sålde två begagnade bilar för 36 000 kr styck. På den ena bilen gjorde han en vinst på 50 % medan han på den andra gjorde en förlust på 10 %.

Hur många procents vinst gjorde bil­ handlaren på hela affären? Avrunda P B K till hela procent. L

220 Förenkla uttrycket.

M K

5a(3a – b) – (2a – b)(3a – b) + + 4b(a – 2b) + 3b(3b – a)

utmaning Z KAPITEL 3

3.

UT VECKLA ALGE BRA

165

Inle dnIng

XIX

9. Förmågorna i fokus Avsnittet Förmågorna i fokus innehåller uppgifter som tränar förmågorna på ett mer riktat sätt än uppgifterna i avsnitten. Till varje Förmågorna i fokus finns det både SMART Board-filer och Powerpoint-filer att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com).

Nedan följer några tips på hur du kan arbeta med begreppslistan:

Vad minns du?

• diskutera begreppens betydelse i helklass • låt eleverna avgöra vilka begrepp de kan, känner

Den första delen under rubriken Förmågorna i fokus heter Vad minns du? och är flervalsuppgifter.

Uppgifterna är till för att undersöka om eleverna har kunskaper om grundläggande begrepp och metoder som tagits upp i kapitlet. Vad minns du? finns även som kopieringsunderlag på vår hemsida (www. matematikxyz.com). Facit och kommentarer finns här i lärarguiden, men du kan även låta eleverna göra uppgifterna digitalt i Socrative (se sid XII). Då rättas uppgifterna automatiskt och du kan istället lägga tiden på att analysera resultatet samt anpassa din undervisning både på grupp- och individnivå. förmågorna i fokus

VAD MINNS DU?

1 Vilket tal saknas i talföljden?

1

2 4 7

A: 10

B: 11

?

16

7 Bensin kostar x kr per liter. Hur kan

man teckna det nya priset om det blir en höjning med 2,5 %?

22

C: 12

D: 13

2 Produkten av två tal är 40. Det ena talet är x. Teckna ett uttryck för det andra talet. x 40 B: 40 – x C: 40x D: A: 40 x

3 Vilken lösning har ekvationen B: x = 4

C: x = 6

D: x = 8

A: 49

B: 36

C: 12

D: 232

förenkling

som kan beskrivas med uttrycket 17 – 5n?

ekvation

A: –33

B: 33

C: 120

vänster led och höger led balansmetoden

Välj tre av begreppen och beskriv hur de hör ihop.

proportion enklaste form

B: 2x2 – 6x + 3 D: 2x2 – 5x + 3

D: –120

a – 1 om a = 2b + 1?

A: 2b

B: b

C: b – 1

D: b – 2

11 Med vilket av uttrycken kan talen i den här talföljden beräknas?

–3 2

7

12 17 …

A: 3n – 6

B: 4n – 7

C: 5n – 8

D: 6n – 9

12 Vilket av ekvationssystemen har ⎧x = 1 lösningen ⎨ ? ⎩y = 4

obekant tal

prövning

B: 2 : 7 C: 1 : 3 D: 3 : 8

C: 2x – 6x – 3

6 Vilket är tal nummer 10 i den talföljd

mönster

A: 2 : 5

10 Vilket av uttrycken är lika med D: 0,01x

x = 2 och y = 3?

variabel

14 och 42?

9 Vilket uttryck är lika med 2

5 Vilket värde har uttrycket x2y2 om algebraiskt uttryck

8 Vilken är proportionen mellan talen

A: 2x2 – 5x – 3

4 Hur kan man teckna 1 % av x?

A: 1,01x B: 0,99x C: 0,9x

B: (x + 0,25) kr D: 0,975x kr

(2x – 3)(x – 1)?

25 – 3x = 19?

A: x = 2

A: 1,25x kr C: 1,025x kr

⎧ y = 4x A: ⎨ ⎩2y + 9x = 30

⎧ y = 3x + 1 B: ⎨ ⎩ y − 2x = 2

⎧y = 4 C: ⎨ ⎩3y + 5x = 20

⎧ y = 5x − 1 D: ⎨ ⎩ y + 5x = 11

ekvationssystem grafisk metod algebraisk metod ersättningsmetoden

3.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

Välj tre begrepp Listan i kanten innehåller flertalet av de begrepp som eleverna mött i kapitlet. Uppgiften är tänkt att främst träna begreppsförmågan och till skillnad mot i början av kapitlet bör eleverna nu känna till och vara bekanta med flertalet av begreppen i listan samt relationerna mellan begreppen.

XX

Inle dnIng

• låt eleverna försöka beskriva begreppen i par eller i smågrupper

• låt eleverna välja tre begrepp och diskutera

betydelse av och samband mellan begreppen

till eller inte kan genom handuppräckning

• låt elevern rita begreppskartor (se nästa sida) över hur begrepp hänger ihop, till exempel på datorn

Du kan även till exempel spela Matte-Doobidoo för att stärka elevernas begreppsförståelse.

Matte-Doobidoo Många elever tycker Matte-Doobidoo är väldigt roligt. Powerpoint-filerna du behöver för att spela spelet finns på vår hemsida (www.matematikxyz. com). Det finns ett Matte-Doobidoo till varje kapitel.

Låt en elev stå med ryggen mot tavlan. En annan elev ska förklara begreppet som står på tavlan UTAN att säga själva begreppet. När eleven som står med ryggen mot tavlan gissar rätt, byter de plats. Det par som klarar av flest begrepp på en minut vinner. Det som är så bra med leken är att även de som inte spelar tränar på begreppen, då de sitter och tänker på vad de ska säga om de får begreppet när det är deras tur.

Begreppskartor Det finns en del olika appar, program och tjänster på nätet som kan användas för att visualisera hur olika begrepp hänger ihop i så kallade begreppskartor.

Dela in klassen i mindre grupper och låt dem göra egna kartor med papper och penna eller med något

Det är också bra att eleverna tränar på att formulera relationer mellan begrepp skriftligt. Begreppskartan nedan är ett exempel på hur en färdig begreppskarta

digitalt hjälpmedel. Första bilden nedan är skapad med tjänsten www.bubbl.us. Den kartan innehåller många begrepp, men inga sambandsord. Om eleverna gör en sådan karta är det viktigt att de muntligt förklarar hur begreppen hänger ihop med varandra.

kan se ut. Då skrivs sambandsord eller fraser mellan de olika begreppen för att visa hur begreppen hänger ihop.

… kan kontrolleras genom …

Multiplikation

… som upprepas kan tecknas som en …

Division

… som upprepas kan tecknas som en …

Addition

… och … används ofta vid jämförelser

Subtraktion

… kan kontrolleras genom …

Inle dnIng

XXI

Vems påstående stämmer?

Uppgiften är en så kallad Concept Cartoon och kan användas på olika sätt. Ett sätt är att först låta eleverna ta ställning till påståendena själva, sedan två och två och därefter låta dem diskutera påståendena i helklass. Denna arbetsgång kallas EPA (enskiltpar-alla) och kan med fördel användas även vid andra delar, till exempel Resonera och utveckla. Läs mer om EPA på sid XV.

VEMS PÅSTÅENDE STÄMMER? Priset på en tröja är x kr. När det är rea sänks priset med 20 %.

Efter en vecka är tröjan fortfarande inte såld. Affären sänker då priset med ytterligare 20 %.

Det nya priset är då 0,6·x kr. a

B

Det stämmer inte.

Priset har väl sänkts med mer än 40 %. Men jag vet inte hur jag ska teckna det.

3 algebra

förmågorna i fokus

Priset har väl sänkts med mindre än 40 %?

Eftersom 0,8 gånger 0,8 är 0,64 så tror jag att det nya priset är 0,64x kr. c

D

– Är det något eller några av påståendena som stämmer?

Diskutera med en kompis och kom överens.

VEMS METOD ÄR KORREKT? Förenkla uttrycket 5x – 2x(2 – x).

Anya 5x – 2x(2 – x) = = 3x(2 – x) = = 6x – 3x2

Emilia 5x – 2x(2 – x) = = 3x(2 – x) = = 5x – 3x2

Hilding 5x – 2x(2 – x) = = 5x – (4x – 2x2) = = 5x – 4x + 2x2 = = x + 2x2

Samir 5x – 2x(2 – x) = = 5x – (4x + 2x2) = = 5x – 4x – 2x2 = = x – 2x2

– Vem har löst uppgiften korrekt?

– Vilka fel har de andra gjort?

3.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

167

Vems metod är korrekt?

Uppgiften tränar metodförmågan och går ut på att eleverna ska lista ut vem av de fiktiva eleverna som löst uppgiften korrekt. De ska även förklara vilka fel de andra eleverna har gjort i sina lösningar. Observera att det här inte handlar om hur eleverna kommunicerat sin lösning utan att det handlar om elevens val av metod och hur väl den är utförd.

Fyrfältsproblem Bokens Fyrfältsproblem är tänkta att visa att matematiska problem kan lösas på olika sätt – med olika strategier. Låt eleverna försöka lösa uppgifter i olika grupper. Varje grupp ska försöka lösa uppgiften med minst en strategi, men gärna flera. I tre av de fyra rutorna har vi gett förslag på tre olika strategier som eleverna kan använda sig av för att lösa det aktuella problemet. Men kanske eleverna kan komma på en egen strategi. Därför är den fjärde rutan rubricerad ”egen strategi”. I avsnittet Problemlösningsstrategier i slutet av grundboken går vi igenom exempel på problemlösningsstrategier.

Låt till sist eleverna redovisa sina lösningar. Du kan fota av dem och visa med projektor eller med hjälp av dokumentkamera på SMART Board. Du kan även låta eleverna redovisa på stora A3-papper och sedan låta dem sätta upp sina planscher runt om i klassrummet och sedan göra en så kallad ”gallery walk”.

Du delar då in klassen så att en representant från XXII

Inle dnIng

varje grupp finns med vid varje plansch. Sedan får den elev som gjort planschen de står vid redovisa hur deras grupp har tänkt. Efter en stund roterar ni och den elev som varit med och gjort den plansch gruppen nu står vid får redovisa hur deras grupp har tänkt. På det här sättet blir alla involverade och alla i gruppen måste kunna förklara hur gruppen har tänkt. En annan positiv sak är att den enskilda eleven inte behöver prata inför hela klassen, vilket en del elever tycker är jobbigt. När eleverna redovisar kan du vandra runt och följa några för dig bestämda elever eller välja att följa en viss grupp runt ett helt varv. Du kan även låta eleverna redovisa sina lösningar på liknande sätt när ni arbetar med Räkna och häpna.

Fyrfältsproblemen finns även som kopieringsunderlag. Den första sidan innehåller själva problemet och en bild, den andra sidan ett tomt blad med fyra fält (ett fält för varje strategi). Om du låter eleverna ha speciella problemlösningshäften kan de klistra in uppgiften på vänstra sidan på ett uppslag och det tomma bladet med de fyra fälten på den högra sidan.

Använd gärna samma häfte när ni arbetar med Räkna och häpna och Resonera och utveckla.

På så sätt har eleverna sina problemlösningsuppgifter på ett och samma ställe, vilket underlättar vid formativa samtal och vid bedömning.

Skaka hand förmågorna i fokus

Skaka hand

– PLANTORNA FYRFÄLTSPROBLEM är 12 cm lång och den växer varandra. Den ena plantan Två plantor växer bredvid växer 2,5 cm varje dygn. plantan är 20 cm lång och är 3,5 cm varje dygn. Den andra är lika långa? Hur långa det innan de båda plantorna Hur många dygn dröjer då? plantorna

GISSA OCH PRÖVA

ANVÄND EKVATION

RITA ETT DIAGRAM

EGEN STRATEGI

plats

Tänka logiskt

lösas på Matematiska problem kan olika sätt – med olika strategier. i boken På sidorna 317–321 här strategier. finns exempel på sådana på strate­ I rutorna ser du tre förslag för att lösa gier som du kan använda du problemet, men kanske kommer även på en egen fjärde strategi.

– JORDENS VIKT RÄKNA OCH HÄPNA cirka 6,6 miljarder. antalet människor ökat med De senaste 200 åren har eftersom vi miljarder kg människa. Men Det motsvarar ungefär 400 inte atomer från jordklotet ökar människor är byggda av a vikt när vi ökar i antal. sammanlagd jordklotets en från människor att a Låt oss nu anta till jorden. annan planet kommer hit det Hur många människor skulle skulle behövas för att jordens vikt att öka med 1 %? Räkna med 24 jordens vikt är 6 · 10 kg. få B Skulle alla dessa människor

Rita en bild

e c a P B m r k

Hitta mönster

Egen strategi

På ett kalas träffas 10 personer.

Alla skakar hand med alla.

Hur många handskakningar blir det sammanlagt?

på jorden?

168

3.

FOKUS FÖRMÅGORNA I

Räkna och häpna Bakom rubriken döljer sig problemlösningsuppgifter som är öppna till sin karaktär. Det innebär att en del fakta saknas och att eleverna själva får komma fram till vissa av de sifferuppgifter som krävs för att lösa uppgiften. Det innebär också att eleverna oftast kommer fram till olika svar, vilket är en av finesserna med dessa uppgifter. När eleverna redovisar sina lösningar får ni tillfälle till en bra diskussion om vilka antaganden de gjort, vilka data de använt och

hur de räknat. Räkna och häpna ger med andra ord goda tillfällen till matematiska diskussioner om oväntade svar, noggrannhet och felkällor.

VĂĽr fĂśrhoppning är att uppgifterna upplevs som fantasieggande och spännande och att de ger ett Ăśverraskande svar. â&#x20AC;?Blev det sĂĽ mycketâ&#x20AC;? eller â&#x20AC;?blev det inte merâ&#x20AC;? blir fĂśrhoppningsvis vanliga elevreaktioner.

Ett fĂśrslag till arbetsgĂĽng ser ut sĂĽ här: â&#x20AC;˘ Uppgiften presenteras fĂśr eleverna. â&#x20AC;˘ Eleverna skriver en hypotes. â&#x20AC;˘ Eleverna fĂĽr enskilt, parvis eller i grupp fĂśrsĂśka lĂśsa uppgiften. â&#x20AC;˘ Varje grupp redovisar sina lĂśsningar (eller delar av lĂśsningar). â&#x20AC;˘ Vilka styrkor respektive svagheter har de olika lĂśsningarna? â&#x20AC;˘ Var det nĂĽgon som hade en hypotes som stämde?

FÜrslag till lÜsningar finns vid respektive uppgift här i lärarguiden. Till varje Räkna och häpna finns det ocksü en Powerpoint-fil som du kan ladda ner frün vür hemsida (www.matematikxyz.com). Sista sidan innehüller ett fÜrslag pü lÜsning, men du müste vara beredd pü att eleverna har andra lÜsningar och für andra svar beroende pü vilka antaganden de gÜr.

Räkna och häpna skapar goda mĂśjligheter fĂśr eleverna att träna pĂĽ att argumentera fĂśr sina beräkningar och slutsatser genom att använda matematikens olika uttrycksformer. När ni gĂĽr igenom de olika lĂśsningarna tillsammans i klassen kan du som lärare även hjälpa eleverna att utveckla sitt matematiska sprĂĽk samt visa pĂĽ olika sätt att tänka kring en uppgift. Fota av elevernas lĂśsningar och visa med projektor, använd dokumentkamera och SMART Board eller gĂśr en â&#x20AC;?gallery walkâ&#x20AC;? i klassrummet (se beskrivningen under Fyrfältsproblem).

Det finns en generell bedÜmningsmatris kopplad till uppgifterna. Det är bra om eleverna har den tillgänglig under arbetet. Du hittar matrisen pü vür hemsida (www.matematikxyz.com). Dela gärna ut bedÜmningsmatrisen till eleverna innan de bÜrjar arbeta. Du behÜver fÜrstüs fÜrklara hur det fungerar, men eleverna brukar lära sig ganska snabbt hur de kan använda bedÜmningsmatrisen. Medvetenheten leder ofta till att de utmanar sig själva lite mer än vad de skulle ha gjort annars. Dessutom är elevernas bedÜmning av sin egen nivü en resurs som du kan använda dig av i dina egna bedÜmningar.

Det är svürt att utvärdera elevernas muntliga kommunikativa fÜrmüga pü en vanlig provräkning.

DärfÜr är det viktigt att du använder dig av Räkna och häpna och liknande uppgifter fÜr att träna och bedÜma eleverna pü dessa omrüden. Matrisen är dü till stor hjälp, büde fÜr dig och eleverna.

BedĂśmningsmatris RĂ&#x201E;KNA OCH HĂ&#x201E;PNA

FĂśrstĂĽelse och genomfĂśrande

Metod och resultat

Analys och resonemang

Lägre HÜgre Eleven visar en grundläggande fÜrstüelse fÜr problemet och ställer nügon form av hypotes.

Eleven visar god fÜrstüelse fÜr problemet och ställer en relativt genomtänkt hypotes.

Eleven visar mycket god fÜrstüelse fÜr problemet samt ställer en genomtänkt och motiverad hypotes.

Eleven genomfÜr uppgiften med viss hjälp och med en i huvudsak fungerande metod.

Eleven genomfÜr uppgiften relativt självständigt med en ändamülsenlig metod.

Eleven genomfÜr uppgiften självständigt med en välfungerande och effektiv metod.

Eleven kommer fram till ett acceptabelt resultat.

Eleven kommer fram till ett relativt rimligt resultat.

Eleven kommer fram till ett rimligt resultat.

Eleven bidrar till ett resonemang kring resultatets rimlighet samt bidrar med vissa reflektioner Üver felkällor.

Eleven resonerar kring resultatens rimlighet samt gÜr vissa reflektioner Üver felkällor.

Eleven resonerar pü ett väl underbyggt sätt kring resultatens rimlighet med lyhÜrdhet fÜr felkällor.

Resultaten jämfÜrs med minst en kamrat pü ett sätt som till viss del fÜr resonemangen framüt.

Resultaten jämfÜrs med minst en kamrat pü ett sätt som fÜr resonemangen framüt.

Resultaten jämfÜrs med flera kamrater pü ett sätt som fÜr resonemangen framüt och fÜrdjupar eller breddar dem.

Redovisningen är lätt att fÜlja.

Redovisningen är klar och tydlig.

Det matematiska sprüket är godtagbart och fÜrhüllandevis väl anpassat till sammanhanget.

Det matematiska sprüket är korrekt och väl anpassat till sammanhanget.

Redovisningen gĂĽr i huvudsak att fĂślja.

Redovisning och matematiskt Det matematiska sprüket sprük är enkelt och till viss del anpassat till sammanhanget.

Resonera och utveckla Resonera och utveckla är uppgifter som ger mÜjlighet till resonemang och kommunikation. Uppgifterna inleds med enkla uppgifter som alla elever kan klara av. Sedan utvidgas omfattningen och uppgifterna avslutas ofta med jämfÜrelser och generaliseringar.

Lüt gärna eleverna fÜrst fü arbeta individuellt med uppgiften. Efter en stund kan de resonera med en bänkkamrat eller i stÜrre grupp. Eleverna fÜr och fÜljer matematiska resonemang utifrün sina fÜrutsättningar och sitt matematiska sprük. Avsluta med att gemensamt gü igenom och diskutera framfÜrallt vilka slutsatser grupperna har kommit fram till.

Facit och kommentarer finns vid respektive uppgift här i lärarguiden. FÜr varje Resonera och utveckla finns dessutom en uppgiftsspecifik bedÜmningsmatris som du kan skriva ut och använda själv eller tillsammans med eleverna. Du hittar alla matriser pü vür hemsida (www.matematikxyz.com). Dela gärna ut bedÜmningsmatrisen till eleverna innan de arbetar med avsnittet.

Eleverna lär sig snabbt hur de kan använda bedÜmningsmatrisen.

Medvetenheten leder ofta till att de utmanar sig själva lite mer än vad de skulle gjort annars.

Dessutom är elevernas bedÜmning av sin egen nivü en resurs när du själv ska gÜra bedÜmningar.

BedĂśmningsmatris

Kap 1

RESONERA OCH UTVECKLA â&#x20AC;&#x201C; MĂśnster

FĂśrstĂĽelse och genomfĂśrande Metod och begrepp

ÂĄÂ&#x2030;Â&#x201D;Â&#x2021; Ă&#x161;Â&#x2030;Â&#x201D;Â&#x2021; Eleven fĂśljer instruktionen och genomfĂśr uppgifterna med relativt mycket hjälp.

Eleven fÜljer instruktionen och genomfÜr uppgifterna relativt självständigt.

Eleven fÜljer instruktionen och genomfÜr uppgifterna självständigt.

LÜser uppgift 1, 2 och 5 pü ett i huvudsak fungerande sätt genom att välja och använda strategier med viss anpassning till problemen.

LÜser uppgift 1, 2 och 5 pü ett relativt väl fungerande sätt genom att välja och använda strategier med fÜrhüllandevis god anpassning till problemen.

LÜser uppgift 1, 2, 5och 6 pü ett väl fungerande sätt genom att välja och använda strategier med god anpassning till problemen.

Visar grundläggande kunskaper om begreppet uttryck genom att teckna korrekta uttryck fÜr antalet blüa eller gula cirklar i uppgift 3.

Visar goda kunskaper om begreppet uttryck genom att teckna korrekta uttryck fĂśr antalet blĂĽa och gula cirklar i uppgift 3.

Eleven kan motivera sina val av tillvägagüngssätt i uppgift 4 eller 5 samt argumentera fÜr sina resultat pü ett sätt som till viss del fÜr resonemangen framüt.

Redovisningen gĂĽr i Redovisning och huvudsak att fĂślja. matematiskt sprĂĽk

Eleven kan motivera sina val av tillvägagüngssätt i uppgift 4 och 5 samt argumentera fÜr sina resultat pü ett sätt som fÜr resonemangen framüt.

Redovisningen är tydlig och ändamülsenlig.

Det matematiska sprüket är enkelt och till viss del anpassat till sammanhanget.

Det matematiska sprüket är godtagbart och fÜrhüllandevis väl anpassat till sammanhanget.

Analys och resonemang

Inle dning

Visar mycket goda kunskaper om begreppet uttryck genom att teckna korrekta uttryck fĂśr antalet blĂĽa och gula cirklar i uppgift 3 samt totala antalet cirklar i uppgift 4 a).

Eleven kan motivera sina val av tillvägagüngssätt i uppgift 4, 5 och 6 samt argumentera fÜr sina resultat pü ett sätt som fÜr resonemangen framüt och fÜrdjupar eller breddar dem.

Redovisningen är ändamülsenlig och effektiv samt fokuserar det väsentliga i lÜsningarna.

Det matematiska sprüket är korrekt och väl anpassat till sammanhanget.

XXIII

Värdera och redovisa Ett av syftena med undervisningen i matematik är att eleverna ska ”utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang”. Det är därför viktigt att eleverna lär sig redovisa sina lösningar på ett så bra sätt som möjligt. Bokens typexempel visar hur redovisningar kan se ut och K-kommentarerna pekar på saker som eleverna bör tänka på för att den matematiska kommunikationen ska vara bra.

Som komplement till detta finns ett blad som heter Redovisning att hämta på på vår hemsida (www. matematikxyz.com). Skriv gärna ut bladet och ge det till dina elever. Förslagsvis kan de klistra in bladet i sina räknehäften.

Utöver exempelrutorna och redovisningsbladet har vi under rubriken Förmågorna i fokus en uppgift som vi kallar Värdera och redovisa. I denna uppgift tränar eleverna framförallt sin skriftliga kommunikativa förmåga. I den första uppgiften ska eleverna bedöma den skriftliga kommunikationen i fyra fiktiva lösningar. Antingen så läser eleverna uppgiften enskilt och därefter de olika lösningarna för att

bedöma vilken lösning de tycker är bäst, eller så presenterar du uppgiften till exempel på tavlan eller med projektor. Sedan låter du eleverna lösa uppgiften enskilt innan ni tittar på de givna lösningarna.

Vi har med flit gjort lösningarna med olika kvalitet, fört in felaktigheter och slarvat på sådana sätt som elever ofta gör, för att det ska bli bra diskussioner i klassen.

Låt sedan eleverna arbeta med de övriga uppgifterna som finns i avsnittet Värdera och redovisa. Förutom att lösa uppgifterna och komma fram till rätt svar är avsikten att de ska tänka på att redovisningen blir så bra som möjligt. På så sätt utvecklar eleverna sina förmågor samt befäster nya kunskaper och insikter. förmågorna i fokus

VÄRDERA OCH REDOVISA – RESA TILL PARIS A Till uppgift 1 finns fyra olika lösningar som alla leder till rätt svar.

– Vems lösning är bäst?

– Vilka brister ser du i de andra lösningarna?

1 Sara och Fredrik flög från Stockholm till Paris. Flygresan tog 2 h 30 min.

På en karta mätte de att avståndet fågelvägen till Paris är 10 cm. Kartans skala var 1 : 15 miljoner. Vilken var medelhastigheten om planet flög den kortaste vägen?

Lovisa Sträcka: 15000000·10 cm = = 150000000 cm = = 1500000 m = 1500 km Tid: 2,5 h Medelhastighet: 1500/2,5 = = 600 km/h Svar: Medelhastigheten var 600 km/h.

Arturu 5 1 2 h 30 min = 2 h = h 2 2 10 cm = 0,1 m = 0,0001 km Sträcka: 15 miljoner·0,0001 km = = 1500 km 3000 5 Hastighet: = = 2 2 = 600 km/h Svar: I genomsnitt var det 600 km/h.

170

Lovisa Sträcka: 15000000·10 cm = = 150000000 cm = = 1500000 m = 1500 km Tid: 2,5 h Medelhastighet: 1500/2,5 = = 600 km/h Svar: Medelhastigheten var 600 km/h.

Arturu 5 1 2 h 30 min = 2 h = h 2 2 10 cm = 0,1 m = 0,0001 km Sträcka: 15 miljoner·0,0001 km = = 1500 km 3000 5 Hastighet: = = 2 2 = 600 km/h Svar: I genomsnitt var det 600 km/h.

XXIV

Inle dnIng

3.

Malte 15 miljoner = 1,5·107 1,5·107·0,1 m = = 1,5·106 m = 1,5·103 km Hastighet: 1,5·103/2,5 = = 600 km/h Svar: Det var 600 km/h i hastighet.

Mapule 10 cm = 0,1 m = 10-1 m = 10–4 km 15 miljoner = 1,5·107 Sträcka: 1,5·107·10–4 km = = 1,5·103 km = 1500 km Tid: 2 h 30 min = 2,5 h 1500 km Medelhastighet: = 2,5 h = 600 km/h Svar: Medelhastigheten var 600 km/h.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

Malte 15 miljoner = 1,5·107 1,5·107·0,1 m = = 1,5·106 m = 1,5·103 km Hastighet: 1,5·103/2,5 = = 600 km/h Svar: Det var 600 km/h i hastighet.

Mapule 10 cm = 0,1 m = 10-1 m = 10–4 km 15 miljoner = 1,5·107 Sträcka: 1,5·107·10–4 km = = 1,5·103 km = 1500 km Tid: 2 h 30 min = 2,5 h 1500 km Medelhastighet: = 2,5 h = 600 km/h Svar: Medelhastigheten var 600 km/h.

I slutet av varje kapitel finns det en Sammanfattning.

Det är en kort sammanställning av begrepp och en del metoder i kapitlet som kan vara bra för eleverna att titta på inför provräkningar. Boken har även en flik längst bak där de viktigaste begreppen och sambanden finns presenterade.

Det kan också vara bra att tidigt introducera det formelblad som eleverna får ha med sig på nationella provet i matematik i åk 9, så att de vänjer sig vid hur det ser ut och hur formler och samband är presenterade. Bladet finns att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com).

På hemsidan finns det även en sammanfattning över begrepp och metoder ur det centrala innehållet i hela Matematik XYZ. Den kan vara bra att dela ut och gå igenom på våren i åk 9 när det är dags för de nationella proven i matematik.

4 geometri

10. Sammanfattning

Spegelsymmetri

Om en figur har en eller flera symmetrilinjer har den spegelsymmetri. I figurerna är symmetrilinjerna streckade.

Rotationssymmetri

Om en figur behöver rotera ett halvt varv eller mindre, för att samma bild ska återkomma, säger man att figuren har rotationssymmetri.

x x + = 4,5 4 5

Ekvationer med nämnare 20 ⋅ x 4

+

MGN: 20

20 ⋅ x

= 20 ⋅ 4,5 5 5x + 4x = 90 9x = 90 x = 10

Skala

längdskalan =

areaskalan =

sträckan på bilden sträckan i verkligheten arean på bilden

areaskalan = (längdskalan)2

arean i verkligheten

volymskalan =

volymen på bilden

volymskalan = (längdskalan)3

volymen i verkligheten

x 3 = .

Figurerna är likformiga. Det ger att 6 4 Ekvationen löses med korsmultiplikation. x 3 = 6 4 4·x=6·3 x = 4,5

Likformighet

Pythagoras sats

6 4 x

3

I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på kateternas längder lika med kvadraten på hypotenusans längd. a2 + b2 = c2

c2

a2

Omvänt gäller att en triangel är rätvinklig om summan av kvadraterna på två sidors längder är lika med kvadraten på den tredje sidans längd.

4.

b2

219

S A M M A N FAT T N I N G

11. Repetition Innan varje prov kan eleverna arbeta med ett repetitionsblad som finns att ladda ner på vår hemsida (www.matematikxyz.com). Bladet är en bra repetition för eleverna inför provet och passar bra att arbeta med hemma. Samtliga uppgifter är nämligen hämtade från typexemplen i boken, så om en elev kör fast på en uppgift finns det en lösning att titta på i grundboken. För elever som i huvudsak arbetar i Bas Z finns särskilda repetitionsblad med de typexempel som finns i Bas Z. Till varje kapitel finns det även två övningsprov som innehåller uppgifter som påminner om uppgifterna på provet. Genom att arbeta med övningsproven lär sig eleverna tolka uppgiftstexter. Eleverna kan till exempel arbeta med det ena övningsprovet i skolan och med det andra hemma.

Repetition kap 1 Alla uppgifter i det här repetitionsavsnittet finns som lösta exempel i Matematik Z. Intill varje uppgift står det på vilken sida du hittar exemplet. Om det är någon uppgift som du inte vet hur du ska lösa, så kan du slå upp den sidan i boken och titta på hur en lösning kan se ut.

2,8 0, 04

1

a) 15 – 5 · 0,6

2

a) Skriv talet 345 000 i grundpotensform.

b)

c) (2 + 5) ∙ 32

sid 11 11

b) Skriv talet 8,2 · 104 utan tiopotens.

1 2 b) 1 −   2 3

7 2 + 9 3

3

a)

4

a) 6 – (–2)

5

a) 102 · 10 · 104

6

b) (–6) + (–2)

c) 6 · (–2)

27 23

d) c)

3 8

6 2

54  52 53  53

e) (‒6)2

16 23 28 33

8

a) 103 · 10–8

b)

9

Beräkna och svara I grundpotensform. a) 4,5 ∙ 105 ∙ 2 ∙ 104

9 107 3 102

23 25

38

c)

107 4 104

b)

7,5 101 3 103

c)

1,5 102 5 105

a) 6 · 10–7 · 4 · 103

12

a)

13

Beräkna och avrunda till hundradelar.

b) ( 11)2

20

39

2 105 5 102

11

a) 7 11 −

34

b)

a)

9

c) 4–5 · 4–1

b) 5 ∙ 104 ∙ 3 ∙ 102

10

b)

c) (3 3) 2

3 ∙ 12

b)

39 44 45

2 3 5 2

Beräkna med huvudräkning. a)

5 2 6 3

34

b) 1,45 · 10–4

9 ∙

d)

b) 0,000 065

Skriv talen utan tiopotens. a) 3,5 · 10–2

14

c) 4 · 1

Skriv talen i grundpotensform. a) 0,07

7

b)

2

45 32 8

c)

3 3

Inle dnIng

XXV

12. Prov Kapitelprov På hemsidan (www.matematikxyz.com) har vi lagt ut förslag till prov efter varje kapitel. Proven ligger under den lösenordskyddade delen av hemsidan. Du hittar inloggningsuppgifterna i förordet till lärarguiden. Proven syftar till att hjälpa dig med en del av din summativa bedömning av eleverna, men du kan förstås också använda proven som ett underlag för formativ bedömning.

Varje prov finns i två olika varianter, A och B. Det enda som skiljer de båda varianterna åt är att uppgifterna innehåller olika siffror. Svaren är alltså olika. Om eleverna sitter trångt i klassrummet kan det till exempel vara bra att ge varannan elev variant A och varannan variant B för att undvika att eleverna lockas till fusk. Om någon elev missat provet eller om någon elev behöver göra omprov är det däremot bättre att använda en annan version av provet istället.

Det finns flera olika versioner av proven på vår hemsida.

Proven är indelade i två delar. I del I skriver eleverna bara svar medan eleverna i del II ska redovisa sina lösningar. Intill varje uppgift på provet finns angivet hur många poäng uppgiften kan ge. Vi har använt oss av den modell som används på de nationella proven i matematik. Om det till exempel står (2/1/0) så innebär det att uppgiften kan ge 2 E-poäng, 1 C-poäng och inget A-poäng.

Proven finns som pdf-filer men också som Wordfiler. Det är därför lätt för dig som lärare att stryka, lägga till eller ändra på uppgifter. Du kan också ta bort eller ändra poänganvisningar om du så önskar.

Elevernas resultat kan bokföras på särskilda resultatblad. För varje poäng sätts en ring runt motsvarande uppgift på bladet. Antalet ringar blir då lika med det antal poäng som eleven uppnått på provet. Ringarnas spridning visar fördelningen mellan olika förmågor.

Det är viktigt att eleverna visar kunskaper inom alla matematiska förmågor för att du ska kunna sätta betyg på provet. Fördelningen över förmågorna är också värdefull att analysera som en del i den formativa bedömningen.

XXVI

Inle dning

Så här kan ett resultatblad se ut:

Resultatblad till provräkning kapitel 1 version 1 Namn:________________________________________

Klass:_______________

Poäng: ( ____ / ____ / ____ )

Maxpoäng: (13 / 9 / 6)

E

Förmågor

C

2

Problemlösning

(5)

5 (11)

1

Omdöme/ förmåga

A

2

2

11 4

(12)

12

3

Begrepp

7 10 1

Metod

11 3

(6) (9) 1

Resonemang

8

10

12

(3)

3

(7)

Kommunikation

6 9

(6)

7

6

8 9

10

(11) (12)

11

12

Kommentar:___________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Lärarens signatur:___________________________

Frågan om eleverna ska få betyg på enskilda prov är föremål för diskussion på många skolor. En del lärare tycker att det är bra eftersom det ger en direkt feedback till eleverna, något som både elever och föräldrar efterfrågar. Andra tycker inte att man kan sätta betyg på prov eftersom de inte testar av alla kunskapskrav. Dessa lärare anser att man endast kan sätta betyg vid terminens slut när man gör en sammanvägning av resultaten på terminens prov samt andra tester/övningar man gjort. I instruktionerna till våra prov på hemsidan har vi tagit fram förslag på poäng- och betygsgränser. Men vi vill betona att det endast är förslag från vår sida.

Eftersom ett enskilt prov inte räcker för att helt och hållet testa alla kunskapskrav som finns angivna i Lgr11 är det nödvändigt att du som lärare även gör andra typer av utvärderingar och tester för att få en komplett bild av dina elevers kunskaper. Du kan då

ha nytta av uppgifterna som finns i avsnittet Förmågorna i fokus. Till några av dessa uppgifter finns det matriser för att eleverna lättare ska kunna bedöma kvaliteten på sina egna matematiska förmågor men också för att du som lärare lättare ska kunna bedöma dem.

Om du som lärare rättar proven utan att göra kommentarer i elevernas lösningar kan du, vid genomgång av provet, ge eleverna ett tomt resultatblad tillsammans med sina prov samt var sin färgpenna. Du kan sedan gå igenom provet och bedömningsanvisningarna och låta eleverna rätta sina egna prov innan de får ta del av din rättning som du gjort i provets resultatblad. Genomgången blir då ett utmärkt redskap för formativ bedömning och eleverna får lära sig hur bedömningsanvisningar används. En fördel med en provgenomgång på det här sättet är att eleverna tar till sig genomgången på ett bättre sätt än om du bara delar ut proven med den summativa bedömningen.

Höstprov Förutom de prov som eleverna får efter varje kapitel (fem stycken) finns det även ett höstprov på hemsidan (www.matematikxyz.com). I åk 7 och 8 finns det även ett vårprov, men eftersom det nationella provet i matematik ligger på vårterminen i åk 9 har vi valt att inte ha något vårprov i åk 9.

Provet på höstterminen behandlar tre viktiga delar i matematik: taluppfattning, huvudräkning och problemlösning. Provet består av 20 uppgifter som ska lösas inom 60 minuter. Till uppgifterna i del I krävs endast svar medan det till del II krävs redovisning. Poängsättningen är enligt vårt förslag densamma som till vanliga prov, det vill säga med E-poäng, C-poäng och A-poäng. Även till höstprovet finns det ett resultatblad.

Inle dning

XXVII

facit Begreppsregister A algebraisk metod 153 algebraiskt uttryck 124 andel 68 areaskala 183 B balansmetoden 137 bas 10 beroende variabel 88 bråkform 9 D differens 124 E ekvation 137 ekvationssystem 153 enklaste form 15, 147

G graf 83 grafisk metod 153 grundpotensform 10, 32 H hela tal 8 hypotenusa 202 irrationella tal 10, 44 K katet 202 konstant 88 koordinataxlar 82 koordinatsystem 82 korsmultiplikation 188 kvadrant 82 kvadratrot 43 kvadrera 43 k-värde 89

ersättningsmetoden 153 exponent 10 F fallande linje 89 fast kostnad 95 formel 86 funktion 82 förenkla uttryck 130 förhåller sig 147 förkortning 15 förlängning 15 förminskning 183 förstoring 183 förändringsfaktor 76

290

L likformighet 195 linjär funktion 88 längdskala 183 M minsta gemensam nämnare 15, 188 motsatta tal 20 m-värde 89 mönster 124 N naturliga tal 8 negativa tal 8, 20

Begre ppsregiste r

numeriskt uttryck 11 nämnare 15 närmevärde 44 O obekant tal 137 oberoende variabel 88 origo 82 oändlig periodisk decimalutveckling 9 P parallell 89 period 9 periodisk decimalutveckling 9 potens 10 prefix 35, 41 prioriteringsregler 11 procent 68 procentenhet 68 procentsats 68 promille 68 proportion 147 proportionalitet 96 proportionell 96 prövning 137 Pythagoras sats 202 R rationella tal 9, 44 reella tal 10 riktningskoefficient 89 rotationssymmetri 178 räta linjens ekvation 88 rätvinklig triangel 202 rörlig kostnad 95

S sifferterm 124 skala 183 skärningspunkt 89, 153 spegelbild 176 spegelsymmetri 177 spegling 176 speglingslinje 176 stambråk 9 stegmetoden 90 stigande linje 89 symmetrilinje 177 symmetrisk 177 T teckna uttryck 124 tiopotens 10, 32 topptriangel 196 topptriangelsatsen 196 täljare 15 U uttryck 124 V variabel 124 variabelterm 124 volymskala 184 värdetabell 88 X x- och y-axel 82 Ä ändlig decimalutveckling 9

ISBN 978-91-47-12656-9 © 2019 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB projektledare och redaktör Sara Ramsfeldt/MeningsUtbytet AB formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Björn Magnusson sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB omslag Cecilia Frank produktionsledare Adam Dahl Femte upplagan 1 Repro: Integra Software Services, Indien Tryck: Livonia, Lettland 2019

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material.

Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet.

Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post kundservice.liber@liber.se

Lärarguide Z Lärarguide Z ingår i serien Matematik XYZ och erbjuder stöd för planering, genomförande och utvärdering av din matematikundervisning och elevernas lärande i matematik. Lärarguiden består dels av den tryckta boken, men också av ett omfattande digitalt material.

I Lärarguide Z finns bland annat: • Didaktiska och metodiska tips • Uppgiftsspecifika kommentarer • Ledtrådar och facit • Förslag på lösningar till de svåraste uppgifterna • Hänvisningar till det digitala materialet på hemsidan På hemsidan (www.matematikxyz.com) finns bland annat: • Planeringsförslag • SMART Board- och Powerpointfiler för genomgångar • Filmade genomgångar • Kopieringsunderlag för färdighetsträning • Webbappar för färdighetsträning • Interaktiva övningar • Förslag på digital visualisering och programmering • Bedömningsmatriser och självskattningsblad • Diagnoser, tester och prov Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7–9.

I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok och en lärarguide.

Matematik Z

Bas Z

Utmaning Z

Lärarguide Z

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

www.matematikxyz.com Matematik XYZ hemsida

Best.nr 47-12656-9 Tryck.nr 47-12656-9