Bas
Bas
BAS Z
matematIK Z
Bas Z vänder sig till elever med behov av matematisk stöttning genom: • begreppsrutor med förklaringar • exempel på lösningar och redovisningar • utrymme att svara vid varje uppgift • variation i uppgifterna • markeringar av vilka förmågor varje uppgift tränar • ledtrådar som hjälp att komma vidare • facit för bekräftad förståelse • register med matematiska begrepp Bas Z är anpassad till elever med behov av språklig stöttning genom: • att undvika sammansatta ord och komplexa formuleringar • bilder som förstärker sammanhang • bilder med text som förtydligar ord • ledtrådar som hjälp att tolka uppgiftstexter Avsnitten i Bas Z är helt parallella med Matematik Z för att det ska vara naturligt att gå vidare till grundboken. Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7–9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material.
Bas Z
www.matematikxyz.com
Utmaning Z
Undvall Johnson Welén Ramsfeldt
Matematik Z
Lärarguide Z
Matematik XYZ hemsida
Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30. Best.nr 47-12654-5 Tryck.nr 47-12654-5
Omslag Z Bas FINAL.indd 1
matematik Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt
2019-06-13 12:04
SÅ HÄR ANVÄNDER DU bas Z Bas Z innehåller fem kapitel som är uppdelade i avsnitt. Avsnitten handlar om samma matematik som motsvarande avsnitt i grundboken, matematik Z . Uppgifterna är markerade med bokstäver, som visar vilka matematiska förmågor du tränar. Så här förkortar vi förmågorna:
P Problemlösning B Begrepp M Metod R Resonemang K Kommunikation
Vid uppgifter där det passar att använda miniräknare finns en miniräknarmarkering. I Bas Z finns det: Begreppsrutor – De matematiska begreppen förklaras med beskrivningar och exempel. Exempel – Visar hur du kan lösa uppgifter som hör till avsnittet.
De blåa rutorna med kommentarer hjälper dig med metoder och resonemang. De röda rutorna med kommentarer hjälper dig att kommunicera matematiskt och redovisa dina lösningar på ett bra sätt. Ledtrådar – Till en del uppgifter finns det ledtrådar som du kan ta hjälp av. Dessa uppgifter är markerade med L . Facit – Använd facit för att kontrollera dina svar.
När du har klarat av uppgifterna i Bas Z kan du fortsätta med uppgifterna på nivå ett i Matematik Z. Lennart, Kristina, Conny och Sara
s 1-3 Z Bashäfte Framvagn FINAL.indd 1
2019-06-13 12:15
1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING 1.1 Tal och beräkningar. . . . . . . . . . . . 4
4
1.2 Räkna med bråk . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Räkna med tal i grundpotensform. . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Räkna med negativa tal. . . . . . . . 15
1.7 Kvadrater och kvadratrötter . . . . 29
1.4 Räkna med potenser . . . . . . . . . . 18
Blandade Uppgifter . . . . . . . . . . . 33
1.5 Små tal och tiopotenser. . . . . . . . 20
2 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING 2.1 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
36
2.2 Förändringsfaktor . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Tillämpning av linjära funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Blandade Uppgifter . . . . . . . . . . . 56
2.4 Linjära funktioner . . . . . . . . . . . . 46
3 algebra
61
3.1 Uttryck och mönster . . . . . . . . . . 61
3.5 Proportion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 Förenkling av uttryck . . . . . . . . . 65
3.6 Ekvationssystem. . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Blandade Uppgifter . . . . . . . . . . . 87
3.4 Procent och ekvationer . . . . . . . . 75
4 geometri
92
4.1 Spegling och symmetri . . . . . . . . 92
4.4 Likformighet. . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Skala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5 Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 Ekvationer med flera nämnare. 100
Blandade Uppgifter . . . . . . . . . . 115
5 XYZ – med sikte på framtiden
118
5.1 Taluppfattning och tals användning . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Samband och förändring . . . . . 129
5.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.6 Problemlösning . . . . . . . . . . . . . 137
5.5 Sannolikhet och statistik. . . . . . 133
5.3 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 INNE HÅLL
s 1-3 Z Bashäfte Framvagn FINAL.indd 3
3
2019-06-13 12:15
1 taluppfattning och tals användning
1.1
Tal och beräkningar
OLIKA SORTERS TAL
EXEMPEL
Naturliga tal är 0 och positiva heltal.
Naturliga tal (N): 0, 1, 2, 3, 4 … Hela tal (Z): … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 … ⎛ 1⎞ 1 Rationella tal (Q): , 0,5 ⎜⎜ ⎟⎟ och –3 3 ⎝2⎠
Hela tal är naturliga tal och negativa heltal. Rationella tal är tal som kan skrivas i bråkform.
Irrationella tal: π och
⎛ 3⎞ ⎜⎜− ⎟⎟ ⎝ 1⎠
7
Reellla tal (R): Alla rationella och irrationella tal
Irrationella tal är tal som inte kan skrivas i bråkform. π
Alla rationella och irrationella tal är reella tal. R
2 3
Q
–11 –2
Z
2
N 6
3
POTENS
–
5 9
9
–5
EXEMPEL en exponent
Uttrycket 2 · 2 · 2 · 2 kan skrivas 24. Det är då skrivet som potens och uttalas ”två upphöjt till fyra”.
TIOPOTENS
en potens
en bas
EXEMPEL
En tiopotens är en potens med basen 10.
4
Z bas kap 1 FINAL.indd 4
24 = 2 · 2 · 2 · 2
P
103 = 10 · 10 · 10 = 1 000 en tiopotens
1 . 1 TA L O C H B E R Ä K N I N G A R
2019-06-17 08:47
EXEMPEL
Skriv talen utan potens och beräkna värdet. b) 72
c) 104
1 tal
a) 43
a) 43 = 4·4·4 = 64 b) 72 = 7·7 = 49 c) 104 = 10·10·10·10 = 10000 Svar: a) 64 1
b) 49
c) 10000
Är påståendena rätt eller fel? Rätta de som är fel.
B
a) 7 är ett naturligt tal. _________________________________________ b) –8 är ett naturligt tal. ________________________________________ c) –5 är ett heltal. ____________________________________________ d)
2
3 är ett rationellt tal. _______________________________________ 8
På bilderna nedan ligger bär som kvadrater. Skriv antalet bär som potenser. B M a) ____________
b) ____________
c) ____________
Skriv talen utan potens och beräkna värdet.
M
3
a) 52 = _________________
b) 23 = __________________
4
a) 102 = ________________
b) 14 = __________________
1 . 1 TA L O C H B E R Ä K N I N G A R
Z bas kap 1 FINAL.indd 5
5
2019-06-17 08:47
5
Vilket tal är x?
P K
a) 4x = 16
6
b) 3x = 27
Skriv talen som tiopotenser.
M
a) 100 = ________________
b) 100 000 = _____________
GRUNDPOTENSFORM
EXEMPEL
Tal i grundpotensform innehåller en faktor och en tiopotens. Faktorn före tiopotensen ska vara ett tal mellan 1 och 10.
1 500 = 1,5 · 1 000 = 1,5 · 103
grundpotensform
EXEMPEL
a) Skriv 27 000 i grundpotensform. b) Skriv 6,5 · 103 utan tiopotens.
a) 27000 = 2,7·10000 = 2,7·104 Du kan tänka så här: ”För att komma till talet 2,7 så flyttas alla siffror fyra positioner. Det gör att det ser ut som att decimaltecknet flyttas 4 steg, från talet 27 000,0 till 2,7. Exponenten är då 4."
b) 6,5·103 = 6,5·1000 = 6500 Du kan tänka så här: "Eftersom exponenten är 3 blir alla siffror 1 000 gånger mer värda. Det ser då ut som att decimaltecknet flyttas 3 steg, från 6,5 till 6 500,0,"
K
Svar: a) 2,7·10
4
b) 6500
• Skriv av uppgiften. • Skriv ut mellanled. • Skriv svar.
6
Z bas kap 1 FINAL.indd 6
1 . 1 TA L O C H B E R Ä K N I N G A R
2019-06-17 08:47
7
Skriv talen i grundpotensform.
B M
8
9
Ljus färdas med hastigheten 300 000 km/s. Skriv hastigheten i grundpotensform. ________________________
B M
1 tal
a) 7 000 = ____________________ b) 7 500 = ___________________
På en landskamp i fotboll slogs nytt publikrekord. Antalet åskådare var 26 000. Skriv antalet i grundpotensform. B M ___________________________________________________________
Skriv talen utan tiopotens.
M
10
a) 5 · 102 = ____________________ b) 5,2 · 102 = __________________
11
a) 3 · 104 = ____________________ b) 3,5 · 103 = __________________
12
Ludvig säger att 4,5 · 103 = 45 · 102. Stämmer det? Förklara hur du tänker. M R ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ 1 . 1 TA L O C H B E R Ä K N I N G A R
Z bas kap 1 FINAL.indd 7
7
2019-06-17 08:47
PRIORITERINGSREGLER När det finns flera räknesätt i ett numeriskt uttryck gör man beräkningarna i en viss ordning. Den ordningen kallas för prioriteringsregler.
1. Parenteser 2. Potenser 3. Multiplikation och division 4. Addition och subtraktion
EXEMPEL
a) 17 – 3 · 4
b) 82 + 32
c) (6 – 2)2
a) 17 – 3·4 = 17 – 12 = 5
Räkna multiplikation före subtraktion.
b) 82 + 32 = 64 + 9 = 73
Beräkna potenserna först.
c) (6 – 2)2 = 42 = 16
Räkna ut parentesen först. K
Svar: a) 5
b) 73
c) 16
• Skriv av uppgiften. • Skriv ut mellanled. • Skriv svar.
13
a) 5 · 3 + 2 = ___________________ b) (5 + 3) · 2 = ______________
M
14
a) (10 – 5)2 = __________________ b) 5 · 32 = __________________
M
15
a)
16
Vilket tal är x?
36 + 4 ⋅ 3 = _________________ b) 3 · 102 – 50 = _____________ 4
M
P K
a) x · 32 = 27
b) x + 62 = 102
Matematik Z nivå ETT s. 12
8
Z bas kap 1 FINAL.indd 8
1 . 1 TA L O C H B E R Ä K N I N G A R
2019-06-17 08:47
1 tal
Räkna med bråk
1.2
BRÅK – FÖRLÄNGNING OCH FÖRKORTNING
en täljare
5 ett bråkstreck
8
en nämnare
2
=
3
10 15
=
2⋅4 3⋅4
=
10 / 5 15 / 5
8 12
=
2 3
Det här är en förlängning med 4.
Det här är en förkortning med 5.
När ett bråk är skrivet med en så liten nämnare som möjligt är det skrivet i enklaste form.
ADDITION AV BRÅK När man adderar två bråk gör man om bråken till minsta gemensam nämnare.
EXEMPEL
2 3
+
1 9
=
6 9
+
1 9
=
7 9
MGN: 9
SUBTRAKTION AV BRÅK När man subtraherar två bråk gör man om bråken till minsta gemensam nämnare.
Minsta gemensam nämnare förkortas MGN.
EXEMPEL
3 4
−
1 3
=
9 12
−
4 12
=
5 12
MGN: 12
1.2 RÄKNA MED BRÅK
Z bas kap 1 FINAL.indd 9
9
2019-06-17 09:16
EXEMPEL
a)
a)
5 2 + 9 3
b)
7 1 − 10 2
5 2 5 2·3 5 6 11 2 + = + = + = =1 9 3 9 3·3 9 9 9 9 MGN: 9 Det minsta tal som är delbart med 9 och 3 är 9. Du förlänger därför det andra bråket med 3. Svara i blandad form.
b)
7 1 7 1·5 7 5 2 2 / 2 1 = – = = = – = – 10 2 10 2·5 10 10 10 10 / 2 5 Det minsta tal som är delbart med 10 och 2 är 10. Du förlänger därför det andra bråket med 5. Förkorta med 2 och svara i enklaste form.
K
2 Svar: a) 1 9
b)
1 5
• Skriv av uppgiften. • Skriv ut mellanled. • Skriv svar, om möjligt i blandad form och enklaste form.
17
a)
1 3 + 4 8
b)
7 2 − 9 3
18
a)
1 2 + 2 3
b)
4 6 − 5 10
10
Z bas kap 1 FINAL.indd 10
M K
M K
1.2 RÄKNA MED BRÅK
2019-06-17 08:47
Vilka av summorna är större än 1? Förklara hur du vet det utan att räkna. A:
2 1 + 5 3
B:
5 3 + 8 4
C:
P B R
5 3 + 9 5
D:
3 4 + 7 9
1 tal
19
___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ MULTIPLIKATION AV BRÅK
EXEMPEL
När man multiplicerar två bråk multiplicerar man täljare med täljare och nämnare med nämnare.
3 1 3⋅1 3 ⋅ = = 5 2 5 ⋅ 2 10
EXEMPEL
a)
a)
2 3 ⋅ 5 4
b) 6 ⋅
2 3
3 2 3 2·3 6 6/2 = = = · = 5 4 5·4 20 20 / 2 10 När du multiplicerar två bråk så multiplicerar du täljarna för sig och nämnarna för sig. Förkorta med 2 och svara i enklaste form.
2 6 2 6·2 12 12 / 3 4 = = = =4 b) 6· = · = 3 1 3 1·3 3 3 / 3 1 Skriv 6 i bråkform som
6 1
.
Förkorta med 3. K
Svar: a)
3 10
• Skriv av uppgiften.
b) 4
• Skriv ut mellanled. • Skriv svar, om möjligt i blandad form och enklaste form.
1.2 RÄKNA MED BRÅK
Z bas kap 1 FINAL.indd 11
11
2019-06-17 08:47
20
a)
3 1 ⋅ = —————— = ——— 4 2
b)
2 1 ⋅ = —————— = ——— 5 3
21
a)
4 ⋅2 9
b)
5 4 ⋅ 8 7
22
⎛ 1 ⎞2 a) ⎜ ⎟ ⎝3⎠
23
Förklara hur du direkt kan se att uträkningen
M
L M K
⎛ 1 ⎞2 b) 1 − ⎜ ⎟ ⎝2⎠
L P K
1 1 ⋅ 3 = är fel. M R 2 6 ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________
24
Hur mycket läsk finns det sammanlagt i de tre flaskorna?
3//4 liteer
12
Z bas kap 1 FINAL.indd 12
M K
3/4 litter
3/4 liter
1.2 RÄKNA MED BRÅK
2019-06-17 08:47
EXEMPEL
När man dividerar två bråk gör man om bråken till minsta gemensam nämnare (MGN).
5 6
2 5 = 3 6
4 5 1 = =1 6 4 4
1 tal
DIVISION AV BRÅK
MGN: 6
EXEMPEL
1 3
a) 2
a) 2
b)
3 2 5
c)
1 6 1 6 = = =6 3 3 3 1
1 3 2 4
Skriv 2 som tredjedelar. Du får då 6 tredjedelar dividerat med 1 tredjedel = =
6 tredjedelar
. Det kan jämföras med 1 tredjedel 6m till exempel . 1m
b)
3 3 10 3 2= = 5 5 5 10
Skriv 2 som femtedelar. Du får då 3 femtedelar dividerat med 3 ffemtedelar 10 femtedelar = . Det kan 10 femtedelar 3 kg . jämföras med till exempel 10 kg
c)
1 3 2 3 2 = = 2 4 4 4 3
Skriv de båda bråken med samma nämnare. Du får då 2 fjärdedelar dividerat med 3 fjärdedelar = 2 ffjärdedelar = . 3 ffjärdedelar
Svar: a) 6
b)
3 10
c)
2 3
K • Skriv av uppgiften. • Skriv ut mellanled. • Skriv svar.
25
a) 3 b)
1 6 = 2 2
= ___________
1 3 = -------- / -------- = --------2
M
1.2 RÄKNA MED BRÅK
Z bas kap 1 FINAL.indd 13
13
2019-06-17 08:47
26
1 4 1 b) 8
27
Hur kan du förklara att
a)
1 = _________________________________________________ 8 1 M = 4 _______________________________________________
1 1 är större än 1 utan att räkna? M R 2 5 ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________
28
Rasmus dricker upp hälften av vattnet i flaskan. a) Med vilken uträkning kan du räkna ut hur mycket som finns kvar i flaskan? Ringa in rätt alternativ. M
A:
1 2
3 4
B:
3 1 − 4 2
C:
3 4
3/4 liter
1 2
b) Räkna ut hur mycket vatten som finns kvar.
29
a)
4 1 5 2
b) 1
3 4
D:
3 4
2
M K
M K
Matematik Z nivå ETT s. 17
14
Z bas kap 1 FINAL.indd 14
1.2 RÄKNA MED BRÅK
2019-06-17 08:47
ISBN 978-91-47-12654-5 © 2019 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén, Sara Ramsfeldt och Liber AB projektledare och redaktör Sara Ramsfeldt/MeningsUtbytet AB formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Björn Magnusson sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB omslag Cecilia Frank produktionsledare Adam Dahl Femte upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: Livonia, Lettland 2019
bildförteckning 7 19 21:1 22:3 30 34 43 50 51 52:2 67 73
Pontus Lundahl/TT Roland Magnusson/Mostphotos Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Arla Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Michael Jönsson/Johnér Bildbyrå Håkan Hjort/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Yuri_Arcurs/Getty Images Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Lieselotte Van Der Meijs/Johnér Bildbyrå Anders Andersson/Johnér Bildbyrå
81 92
Lennart Undvall Patarawadeekul Janchat/EyeEm/ Getty Images 94 gulkiwi/Mostphotos 98 Benny Karlsson/Johnér Bildbyrå 102 Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå 118:1 Derin Thorpe/Getty Images 118:2 Ed Norton/Getty Images 118:2 Rolf Christensen/TT 132 Kristofer Samuelsson/Johnér Bildbyrå 135 Zcenerio/Getty Images Övriga bilder: Shutterstock
KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen och får ej helt eller delvis kopieras. Kopiering för undervisningsändamål enligt BONUS-avtal är inte tillåten. Intrång i upphovshavarens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.
Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se
s 1-3 Z Bashäfte Framvagn FINAL.indd 2
2019-06-25 13:40
Bas
Bas
BAS Z
matematIK Z
Bas Z vänder sig till elever med behov av matematisk stöttning genom: • begreppsrutor med förklaringar • exempel på lösningar och redovisningar • utrymme att svara vid varje uppgift • variation i uppgifterna • markeringar av vilka förmågor varje uppgift tränar • ledtrådar som hjälp att komma vidare • facit för bekräftad förståelse • register med matematiska begrepp Bas Z är anpassad till elever med behov av språklig stöttning genom: • att undvika sammansatta ord och komplexa formuleringar • bilder som förstärker sammanhang • bilder med text som förtydligar ord • ledtrådar som hjälp att tolka uppgiftstexter Avsnitten i Bas Z är helt parallella med Matematik Z för att det ska vara naturligt att gå vidare till grundboken. Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7–9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material.
Bas Z
www.matematikxyz.com
Utmaning Z
Undvall Johnson Welén Ramsfeldt
Matematik Z
Lärarguide Z
Matematik XYZ hemsida
Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30. Best.nr 47-12654-5 Tryck.nr 47-12654-5
Omslag Z Bas FINAL.indd 1
matematik Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt
2019-06-13 12:04