9789147126538 by Smakprov Media AB

algebra Mönster

Uttryck med potenser 2a ∙ 3a = 2 ∙ 3 ∙ a ∙ a = 6a2 a(a + c) = a2 + ac

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Antalet tändstickor bildar ett mönster som kan skrivas som en talföljd. Antalet stickor: 3, 5, 7, 9 … Antalet ökar med 2 för varje triangel. Differensen är 2. Antalet stickor i den n:e figuren kan beräknas med uttrycket 2n + 1. Differens

Balansmetoden:

3x + 7 = 22 3x + 7 – 7 = 22 – 7 3x = 15 3x 15 = 3 3

x =5

Ekvationssystem Ett ekvationssystem består av minst två ekvationer och kan lösas med grafisk metod eller algebraisk metod. En algebraisk metod är ersättningsmetoden.

Figurens/talets nummer

2n + 1 Variabelterm

matematIK Z

Ekvationer

Sifferterm

Exempel:

y = x 3

a + (b + c) = a + b + c a – (b – c) = a – b + c a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd (a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd

2x y = 9 (2)

Svar:

(1)

=9 =9 =9 =6 =2

x = 2 sätts in i ekvation (1) y=2+3 y=5

x =2 y =5

matematIK Z

Förenkling av uttryck

2x + (x + 3) 2x + x + 3 3x + 3 3x x

Matematik Z är väl anpassad till kursplan och kunskapskrav i matematik genom: • kapitel i enlighet med det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka förmågor varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7-9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och webbappar.

SAnnolikhet och statistik Sannolikhet

Kombinatorik

Sannolikheten (P) för en händelse A = antalet gynnsamma utfall = antalet möjliga utfall

Med tre siffror 1, 4 och 7 kan vi bilda tresiffriga tal. Om varje siffra bara kan användas en gång så är antalet kombinationer 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6. Om varje siffra kan förekomma flera gånger så är antalet kombinationer 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

P(A) + P(inte A) = 1

Sannolikhet i ﬂera steg

Lägesmått Medelvärde räknar man ut genom att addera Medianen är det mellersta talet efter att talen

gånger. Det kan finnas flera typvärden.

Tabeller och diagram

1 2 3 4 5

4 2 6 7 3 n = 22

Stolpdiagram 10 8

10 8 6

6 4

2 1

Omslag Z GB FINAL 2.indd 1

Stapeldiagram

rätt

To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W

Frekvens f

Lärarguide Z

Matematik XYZ hemsida

alla tal och sedan dividera med antalet tal.

Typvärde är det värde som förekommer flest

Antal rätt x

Utmaning Z

www.matematikxyz.com

skrivits i storleksordning. Om det finns två tal i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två talen.

Frekvenstabell

Bas Z

Linjediagram

Cirkeldiagram

Undvall Johnson Welén

Sannolikheten för flera händelser i följd räknar man ut genom att multiplicera sannolikheterna med varandra. 1 1 1 P(slå 2 fyror med tärning): · = 6 6 36

Matematik Z

matematik

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

milj. inv. folkmängd 4

12 %

60 %

2 1 årtal 1700

1800

1900

28 %

Best.nr 47-12653-8 Tryck.nr 47-12653-8

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

2019-04-12 11:49

ISBN 978-91-47-12653-8 © 2019 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB projektledare och redaktör Sara Ramsfeldt/MeningsUtbytet AB formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Björn Magnusson sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB omslag Cecilia Frank produktionsledare Adam Dahl Femte upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People printing, Kina 2019

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se

s 1-5 LIBER Z-boken Framvagn FINAL.indd 2

2019-04-12 12:13

Facit

Bildförteckning 6:2 12 24 26 27 31 35 35 36 42 46 47 48 51 52 54 66:2 69 73 74 77 78:2 79.1 81 82 83:3 85 86 87 92 94 102 104 106 108 117 122:1 127 128 136 139:3

Jannicke Wiik-Nielsen/Science Photo Library/TT Lennart Undvall NASA Johnathan Ampersand Esper/Getty Images Ulf Rennéus/Mary Square Images Angelica Tånneryd/Johnér Bildbyrå Science Photo Library/TT Steve Gschmeissner/Science Photo Library/TT Susanne Walström/Johnér Bildbyrå NASA/ESA/STSCI/Hubble Heritage Team/ Science Photo Library/TT Simon Bajada/Johnér Bildbyrå Tetra Images/Getty Images Håkan Hjort/Johnér Bildbyrå National Cancer Institute/Science Photo Libarary/TT National Human Genome Research Institute Hans Berggren/Johnér Bildbyrå Pete Atkinson/Getty Images Conny Welén Steven Ruiter/NiS/Minden Pictures/ Getty Images Peter Unger/Getty Images Henry Groskinsky/Getty Images Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Franco Banfi/Getty Images Mikael Svensson/Johnér Bildbyrå Håkan Hjort/Johnér Bildbyrå © PostNord Frimärken Daniel Lillman/Mostphotos Jan Töve/Johnér Bildbyrå Ulf Rennéus/Mary Square Images Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Peter Hoelstad/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Nigel Cattlin/Getty Images Hans Geijer/Johnér Bildbyrå Susanne Walström/Johnér Bildbyrå Paul Cunningham/Corbis via Getty Images Cultura Creative/Johnér Bildbyrå plainpicture/Johnér Bildbyrå Ulf Rennéus/Mary Square Images Hero Images/Getty Images

140 141 142 143 144 145 146:2 147 150:1 151 152 157 158 159 160 163 165 174:1 174:2 176 180 181:2 185:2 185:4 186:1 191 192 193 194 204 206 208 209 218 220:1 220:2 223 224 232 238:2 241:4 248:2 249

Scandinav/Johnér Bildbyrå Cultura Creative/Johnér Bildbyrå Fanni Olin Dahl/TT Bert Eriksson/Mostphotos Stefan Holm/Mostphotos Print Collector/Getty Images Christina Strehlow/Johnér Bildbyrå Sam Edwards/Caiaimage/Getty Images Håkan Hjort/Johnér Bildbyrå Fredrik Funck/TT mrs/Getty Images Kenneth Bengtsson/Johnér Bildbyrå Marcus Ericsson/TT Anders Wiklund/TT Lennart Undvall Susanne Walström/Johnér Bildbyrå Trevor Adeline/Caiaimage/Getty Images Patarawadeekul Janchat/EyeEm/Getty Images Michael H/Getty Images plainpicture/Johnér Bildbyrå Bridgeman Images/TT Cezary Zarebski Photography/Getty Images Rodolfo Buhrer/Reuters/TT Eric Roxfelt/TT De Agostini Picture Library/Bridgeman Images/TT Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Anders Åberg/Johnér Bildbyrå Lieselotte Van Der Meijs/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Dan Norrå/TT Johan Nilsson/TT Steve Gschmeissner/Science Photo Library/TT Anna Kern/Johnér Bildbyrå NASA/JPL-CALTECH/UCLA/MPS/DLR/IDA/ Science Photo Library/ TT Derin Thorpe/Getty Images Coneyl Jay/Getty Images Arnd Wiegmann/Reuters/TT Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå plainpicture/Johnér Bildbyrå Formul Everett Collection/TT Fabian Fogelberg/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå

BILDFÖRTECKNING

s 322-324 GB Z register FINAL 2.indd 323

2019-04-15 09:32

250 253:1 254 259 260 261 263 267 268 269 270 273

Caiaimage/Johnér Bildbyrå Scandinav/Johnér Bildbyrå Sara Danielsson/Johnér Bildbyrå Stefan Wettainen/Johnér Bildbyrå Ulf Rennéus/Mary Square Images Göran Assner/Johnér Bildbyrå Matton Collection/Johnér Bildbyrå Ingmar Reslegård/ÖP Lars-Gunnar Gustafsson/IBL/TT AB Göta kanalbolag/Foto: Niclas Albinsson Susanne Kronholm/Johnér Bildbyrå Johan Bjurer/Mostphotos

275 278 279 280 281 284:2 285:1

Johan Bjurer/TT Tim McGuire/Workbook/Getty Images Jupiterimages/Getty Images David Parker/Science Photo Library/TT Ardea/TT Matton Collection/Johnér Bildbyrå Tom Tschida/Nasa Photo via Getty Images

Övriga bilder: Shutterstock Karta: Liber kartor Sedlar och mynt: Riksbanken

BILDFÖRTECKNING

s 322-324 GB Z register FINAL 2.indd 324

2019-04-15 09:32

SÅ HÄR ANVÄNDER DU matematIK Z matematik Z innehåller fem kapitel som är uppdelade i avsnitt. I avsnitten finns det uppgifter på tre nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå tre ger rejäla utmaningar. Du kan välja att arbeta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bas Z med enklare uppgifter. Om nivå tre inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaning Z . Uppgifterna är markerade med bokstäver, som visar vilka matematiska förmågor du tränar. Vi förkortar förmågorna så här: Vid uppgifter där det passar att använda miniräknare finns en miniräknarmarkering.

Problemlösning

Begrepp

Metod

Resonemang

Kommunikation

Kapitlen innehåller: Ingress – En kort diagnos visar vad du redan kan och kan hjälpa dig att välja nivå. Här finns

även Centralt innehåll från kursplanen och en lista med matematiska begrepp ur kapitlet. Inledningar – Vid exemplen på lösningar hittar du kommentarrutor. De blåa rutorna

hjälper dig med metoder och resonemang. De röda rutorna hjälper dig att kommunicera matematiskt och redovisa dina lösningar på ett bra sätt. Miniteman – När några uppgifter handlar om samma ämne är de inramade tillsammans med bild och bildtext. I bildtexten finns det information som behövs för att lösa uppgifterna. Ledtrådar – Till en del uppgifter finns det ledtrådar som du kan ta hjälp av. Dessa uppgifter

är markerade med ett

Aktiviteter – Praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp. Aktiviteterna belyser centrala matematiska begrepp.

När du har gjort Blandade uppgifter från hela kapitlet och en Diagnos går du vidare till Träna eller Utveckla. Förmågorna i fokus hjälper dig att utveckla en eller ett par förmågor i taget. Uppgifterna finns i slutet av varje kapitel.

Kapitlen avslutas med en Sammanfattning av centrala begrepp och metoder. Det finns fyra Läxor till varje kapitel. Läxorna innehåller först uppgifter från de avsnitt som du senast har arbetat med och sedan uppgifter som repeterar sådant du jobbat med tidigare. Lennart, Kristina och Conny

s 1-5 LIBER Z-boken Framvagn FINAL.indd 3

2019-04-12 12:13

1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING

1.1

Tal och beräkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.2

Räkna med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Träna Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.3

Räkna med negativa tal . . . . . . . . . . . . . 20

Utveckla Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.4

Räkna med potenser . . . . . . . . . . . . . . . 27

Förmågorna i Fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.5

Små tal och tiopotenser . . . . . . . . . . . . . 32

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.6

Räkna med tal i grundpotensform . . . . 38

1.7

Kvadrater och kvadratrötter . . . . . . . . . 43

2 samband och förändring

2.1

Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.2

Förändringsfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Träna Samband och förändring . . . . . . . . . . . 110

2.3

Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Utveckla Samband och förändring . . . . . . . . 113

2.4

Linjära funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Förmågorna i Fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.5

Tillämpning av linjära funktioner . . . . 94

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3 Algebra

122

3.1

Uttryck och mönster . . . . . . . . . . . . . . 124

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.2

Förenkling av uttryck . . . . . . . . . . . . . . 130

Träna Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.3

Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Utveckla Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.4

Procent och ekvationer . . . . . . . . . . . . 142

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.5

Proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.6

Ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

s 1-5 LIBER Z-boken Framvagn FINAL.indd 4

2019-04-12 12:13

4 GEometri

174

4.1

Spegling och symmetri . . . . . . . . . . . 176

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.2

Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Träna Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.3

Ekvationer med flera nämnare . . . . 188

Utveckla Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.4

Likformighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

4.5

Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5 XYZ — med sikte på framtiden 5.1

Taluppfattning och tals användning . . 222

5.2

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.3

Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5.4

Samband och förändring . . . . . . . . . . . 240

5.5

Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . . . 246

5.6

Problemlösning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

220 Förmågorna och NP i fokus . . . . . . . . . . . . . . 257

Läxor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Problemlösningsstrategier. . . . . . . . . . . . . . . . 317 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

s 1-5 LIBER Z-boken Framvagn FINAL.indd 5

2019-04-12 12:13

KAN DU DET HÄR? 1 + 0,9 ? 2 B: 1,29 C: 1,4

ETT

1 Hur mycket är A: 2,1

D: 1,92

2 Vilket tal skrivs i grundpotensform som 4,2 ∙ 103? A: 42

B: 420

C: 4 200

2 3

D: 42 000

3 Hur mycket är 3 ⋅ ? A:

6 9

C: 3

B: 2

2 3

2 5

TVÅ

7 1 – ? 12 2 7 13 B: C: 2 24 12

4 Hur mycket är A:

6 1 10

1 12

5 Hur mycket är 5 ∙ 0,12? A: 0,05

B: 0,25

C: 0,5

D: 1 1 4

6 Vilket tal är x i uträkningen 5 ⋅ x = ? A: x = 5

B: x =

5 4

C: x =

4 5

D: x =

7 Vilket tal pekar pilen på? A:

11 15

3 4

8 155

2 3

3 5

1 1 15

TRE

4 5

8 Hur mycket är 0,, 3 A:

1 200

B: 1,5

1 ? 5 C: 0,15

D: 0,315

9 Du får veta att 210 = 1 024. Hur mycket är då 212? A: 1 026

B: 2 048

C: 1 0242

D: 4 096

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 6

2019-04-12 13:16

1 tal

1 Taluppfattning och tals användning

Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer. Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal. Metoder för beräkningar som använts i olika historiska och kulturella sammanhang.

naturliga tal hela tal rationella tal stambråk periodisk decimalutveckling irrationella tal

Tal i potensform. Grundpotensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av preﬁx. Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer. Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer och inom andra ämnesområden.

reella tal förlängning förkortning minsta gemensam nämnare enklaste form motsatta tal potens bas

Begrepp

exponent

tiopotens Vilka begrepp känner du till grundpotensform sedan tidigare? Kan du beskriva dem? kvadratrot kvadrera

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 7

2019-04-12 13:17

1.1

Tal och beräkningar

Äldre talsystem Det äldsta fyndet av mänsklig matematik har hittats i Mähren i östra Tjeckien. Fyndet är ett vargben med ristade skåror i grupper av fem och är cirka 30 000 år gammalt. Att vårt talsystem utgår från tio siffror är självklart för oss och infördes av indierna under 500-talet e Kr. Men talsystemen har sett olika ut i olika civilisationer. Ett exempel är det romerska talsystemet som består av sju bokstäver som kombineras till tal. Det romerska talsystemet används än idag i vissa sammanhang, till exempel i kunganamn. Vår kung är Carl XVI Gustaf, där XVI betyder 16. Ett äldre talsystem är det babyloniska talsystemet som användes för mer än 2 000 år sedan. Det hade 60 som bas och 59 olika siffror. Även det babyloniska talsystemet ser vi fortfarande spår av. Två exempel är att vi delar in en timme i 60 minuter och ett varv i 360°.

Naturliga tal De naturliga talen (N) består av talet 0 och de positiva heltalen. N = [0, 1, 2, 3, …]

2 0

De naturliga talen har sedan urminnes tider använts för att ange antal, till exempel vid boskapsskötsel och handel. Babylonierna använde sig för 4 000 år sedan av ett mellanrum när de ville ange att det saknades en siffra, vilket behövdes för att skilja på till exempel talet 601 och 61. 2 000 år senare använde Mayafolket en bild på en snäcka för att visa att en position saknade värde. Men det var troligtvis först cirka 600 e Kr som indiska matematiker använde siffran noll på ett liknande sätt som vi gör idag.

Hela tal –11

I de hela talen (Z) ingår de naturliga talen och de negativa hela talen. Z = […–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…] Första skriftliga beviset på negativa tal är från en kinesisk lärobok från cirka 100-talet f Kr. Negativa tal använder vi oss av till exempel i samband med temperatur för att kunna ange temperaturer lägre än 0 °C.

1.1

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 8

–2 Z

2 0 6

–5

TA L O C H B E R Ä K N I N G A R

2019-04-12 13:17

Rationella tal 2 3 Z 5 – 9

–11 –2 N

1 tal

Ett rationellt tal (Q) är ett tal som kan skrivas som bråk med heltal i täljare och nämnare – ett tal i bråkform. 5 2 Två exempel på rationella tal är och – . Q 9 3 Tal som 0,7 och 13 % är också rationella tal eftersom de kan skrivas 7 13 respektive . Vi vet att bråk användes av egyptierna för 10 100 nästan 3 000 år sedan för att kunna mäta sträckor på ett noggrant sätt. Men de använde bara stambråk, det vill säga bråk med 1 i täljaren.

2 0 6

–5

Även de hela talen är rationella tal eftersom de kan skrivas som bråk. 4 3 4 Till exempel är 4 = , 1 = och –2 = – . 1 3 2 Det innebär att de hela talen är en del av de rationella talen.

Ändlig decimalutveckling Alla rationella tal kan skrivas i decimalform genom att täljaren divideras med nämnaren. Vissa rationella tal har en ändlig decimalutveckling. Om man skriver dem i decimalform så blir det ett begränsat antal decimaler. Exempel på det är: 3 = 0,75 4

och

47 = 1,468 75 32

Det decimala positionssystemet användes först i Indien cirka 600 e Kr. Därefter vidareutvecklades systemet i olika muslimska lärosäten och spreds 200 år senare till Europa.

Oändlig periodisk decimalutveckling När man dividerar täljaren med nämnaren hos vissa rationella tal, tar decimalerna aldrig slut. Decimalutvecklingen är oändlig. Däremot ser man att samma decimaler kommer tillbaka med regelbundenhet i perioder. Man säger då att talet har periodisk decimalutveckling. Rationellt tal

Period

1 = 0,333 333… 3

41 = 0,123123123… 333

123

1.1

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 9

TA L O C H B E R Ä K N I N G A R

2019-04-12 13:17

Irrationella tal Det finns tal som inte kan skrivas som kvoten av två heltal. Med ett gemensamt namn kallas sådana tal för irrationella tal. Det som kännetecknar dessa tal är att decimalutvecklingen inte är periodisk. Talet π (uttalas ”pi”) är ett exempel på ett irrationellt tal. π = 3,141 592 653 589 793 234 626 433 832 795…

Irrationella tal 2 3 –11 –2

Det första irrationella talet upptäcktes av en elev till Pythagoras redan för 2 500 år sedan. Men det var först 1 000 år senare som matematiker från Mellanöstern började använda irrationella tal i beräkningar, speciellt i algebra. På 1200-talet översattes deras arbete till latin och spreds i Europa.

2 0

6 3

–

5 9

–5 Rationella tal

Reella tal De rationella talen och de irrationella talen bildar tillsammans de reella talen (R). Sammanfattningsvis kan vi säga att de naturliga talen (N) är en del av de hela talen (Z) som i sin tur är en del av de rationella talen (Q). De rationella talen är en del av de reella talen (R). De reella tal som inte är rationella är irrationella tal.

2 3

–11 –2

0 6

–

5 9

–5

Potenser Ett schackbräde har 8 rutor på längden och 8 rutor på bredden. Antalet rutor är alltså 8 · 8 = 64. Ett annat sätt att skriva 8 · 8 är 82. Uttrycket 82 kallas för en potens. Talet 8 är potensens bas och talet 2 är potensens exponent. En tiopotens är en potens med basen 10. Till exempel är 1 000 = 10 · 10 · 10 = 103 och 100 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105.

potens

exponent

bas

När ett tal är skrivet i grundpotensform är det skrivet som ett tal mellan 1 och 10 multiplicerat med en tiopotens. Utan tiopotens I grundpotensform

75 000

7,5 · 104

9 100 000

9,1 · 106

1.1

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 10

TA L O C H B E R Ä K N I N G A R

2019-04-12 13:17

Prioriteringsregler 1 tal

När ett numeriskt uttryck innehåller både potenser och olika räknesätt så är det viktigt att beräkningarna görs i rätt ordning: 1. Parenteser 2. Potenser 3. Multiplikation och division 4. Addition och subtraktion EXEMPEL

a) 15 – 5 · 0,6

2,8 0,04

c) (2 + 5) ∙ 32

a) 15 – 5·0,6 = 15 – 3 = 12

2,8·100 280 2,8 = 70 = = 0,04 0,04·100 4 c) (2 + 5)·32 = 7·32 = 7·9 = 63 b)

Svar: a) 12

b) 70

Först räknar du multiplikationen och därefter subtraktionen.

Förläng med 100 för att få en ensiffrig nämnare.

Först beräknar du parentesen, sedan potensen och till sist multiplikationen.

c) 63

K • Skriv av uppgiften. • Visa alla steg i lösningen. • Skriv svar.

EXEMPEL

a) Skriv talet 345 000 i grundpotensform. b) Skriv talet 8,2 · 104 utan tiopotens.

a) 345000 = 3,45·105

b) 8,2·104 = 82000 Svar: a) 3,45·105

Siffrorna flyttar 5 positioner. Alltså är exponenten 5. När siffrorna flyttar på sig ser det ut som att decimaltecknet flyttat sig. Här kan du tänka dig att decimaltecknet flyttar sig 5 steg, från 345 000,0 till 3,45. Siffrorna flyttar lika många steg som exponenten anger. Du kan alltid kontrollera åt andra hållet för att försäkra dig om att du gjort rätt.

b) 82000

1.1

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 11

TA L O C H B E R Ä K N I N G A R

2019-04-24 14:39

ETT 1

a) 100 · 4,37 c) 0,8 · 20

2 3 4

67,5 10 1 d) 0,5

a) 4 + 7 · 3

b) (4 + 7) · 3

c) 4 · (7 + 3)

d) 4 ∙ 7 + 3

a) 72

b) 0,52

c) 13

d) 23

Vem har rätt? Förklara hur du tänker.

3 Talet är ett 4 rationellt tal.

M K

3 är ett 4 irrationellt tal. Talet

A M

Vilket tal saknas?

B R

a) ? + 0,09 = 1 ?

= 20 4 c) 1 – ? = 0,9 b)

resultatet 0,666 666 666…

d) ? + 0,8 = 2

5 6

Om man utför divisionen

En potens har värdet 49. Exponenten P är 2. Vilken är basen? L

a) Vilken är perioden?

b) Avrunda kvoten till hundradelar.

B M

11 Skriv talen utan tiopotens.

2 så får man 3

a) 103 b) 3 · 103 c) 1,5 ∙ 104

Cajsa har en stor hink som rymmer 12 liter och en liten vattenkanna som rymmer 0,6 liter. Hur många gånger måste Cajsa hälla med vattenkannan M för att hinken ska bli full?

d) 9,4 ∙ 105

Skriv talen i grundpotensform.

B M

a) 700 b) 30 000 c) 160 000 d) två miljoner

42 20 6 c) 0,03 a)

b) 5 ∙ 32 d) 60 ∙ 70

M K

Vilket tal är x? 2

a) x ∙ 3 = 45 15 = 150 c) x 12

1.1

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 12

P K

b) 10 = x ∙ 0,1 d) 10(x – 0,3) = 70

TA L O C H B E R Ä K N I N G A R

2019-04-12 13:17

24 0,6

b) 4 000 · 0,09

15 500

d) 0,9 – 0,15

20 M K

Vilken eller vilka av beräkningarna i rutan har följande svar? a) 2

b) 20

A: 40 · 50 C:

Ett lotteri har presentkort som priser. Hur mycket är presentkorten värda M sammanlagt?

VINSTER

10 st presentkort på 500 kr/st 50 st presentkort på 250 kr/st 100 st presentkort på 100 kr/st

c) 2 000 B: 0,02 · 100

1,6 0,08

1 0,5

E: 40 · 0,5

F: 2 · 103

G: 0,4 · 5

2 H: 0,1

21 22

a) 102 / (2 + 3)

b) 10 / 2 + 33

c) (10 + 23) / 3

d) 10 – 32 / 2

Vilket tal är x? 3

a) 5 ∙ x = 100 Skriv talen utan tiopotens. a) 6 · 10

b) 4,2 · 10

c) 1,55 ∙ 104

d) 3,72 ∙ 106

Skriv talen i grundpotensform. a) en halv miljon

b) 67 500

c) 5,4 miljarder

d) 670 · 103

23 B M

a) 8 – 2(11 – 8,5) 13 + 17 b) 60 − 2 c) 56 / 10 – 0,037 · 100

Vilket eller vilka av talen i rutan är ett

a) naturligt tal b) heltal

b) 7,95 = 2 – x x d) = 0,015 102

c) x – 42 = 160

M K

P K

1 tal

TVÅ

10 + 0,7 ⋅ 20 0,8

M K

Vem har rätt? Förklara hur du tänker.

B R

c) rationellt tal −4

2 3

0,15

Alla rationella tal är reella tal.

Mildred

18 19

En potens har värdet 32. Basen är 2. Vilken är exponenten?

P B

Du får veta att 28 = 256. Hur kan du då snabbt räkna ut värdet av 29?

M R

Alla reella tal är rationella tal. Yusuf

1.1

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 13

TA L O C H B E R Ä K N I N G A R

2019-04-12 13:17

TRE 25

Vilka av följande påståenden stämmer?

Hur många djurarter finns det på jorden, om man inte räknar med insekterna? B M Svara i grundpotensform.

Hur många procent av jordens djurarter är insekter? Avrunda till hela procent. B M

A: Talet –2 är ett naturligt tal. B: Talet 0,17 är ett rationellt tal. C: Talet π är ett reellt tal. D: Talet 57 är ett heltal. 3 E: Talet är ett irrationellt tal. 5

Vilket tal är x?

a) 6,6 · 10 = 66 000 b) x · 108 = 775 000 000 c) x · 10x = 500 000

Sätt ut parenteser så att uttrycken stämmer.

a) 55 – 5 · 2 · 3 + 1 = 20 b) 45 – 5 / 5 – 12 + 5 = 1

a) 5(15 + 3 · 22) – 42 · 23 2 4 + 3 ⋅ 23 b) 102 + 102

Det finns ungefär en miljon fyrahundratusen olika djurarter på jorden, varav niohundratusen är insekter. M K

I produkterna kan både decimaltecken och nollor saknas. Använd överslagsräkning och räkna ut produkterna. B M a) 0,785 · 640 = 5 0 2 4

33 34

c) 49 = 72y – 1

d) 0,072 ∙ 0,5 ∙ 6 600 = 2 3 7 6

d) 5y – 4y – 3y – 2y – 1y = 52

5 ⋅ 5 + 11 62 − 7 ⋅ 8 10 + 4 ⋅ 1,5 b) 20 − 20 + 3 ⋅ 4

(0,5 + 0,4) ⋅ 20 0,8 + 0,1

P K

b) (y – 7) ∙ 6 + 11 = 59

c) 65,2 ∙ 0,045 ∙ 0,8 = 2 3 4 7 2

Vilket tal är y?

a) 4(y + 5) – 14 = 34

b) 72 000 · 0,34 = 2 4 4 8

Är talet 0,777 777 777… ett rationellt B tal? Hur tänker du?

36 M K

Hur många tresiffriga naturliga tal har minst två siffror som är lika? L P B Med siffrorna 1, 2, 3 och 4 kan det bildas 24 olika fyrsiffriga naturliga tal. Vilken är summan av P dessa tal? L

B K

utmaning Z KAPITEL 1

1.1

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 14

TA L O C H B E R Ä K N I N G A R

2019-04-12 13:17

1 tal

Räkna med bråk

1.2

Viktiga begrepp och samband täljare

bråkstreck

8 nämnare

2 3

2⋅4 3⋅4

1 = 1 1

2 ≈ 0,67 3

1 = 0,5 2

1 ≈ 0,33 3

1 = 0,25 4

1 = 0,2 5

förlängning med 4

1 = 0,1 10

1 1 = 0,01 = 0,001 1 000 100

≈ betyder ”är ungefär lika med”

10 15

10 / 5 15 / 5

2 3

förkortning med 5

När ett bråk är skrivet med så liten nämnare som möjligt är det skrivet i enklaste form.

De fyra räknesätten ADDITION

SUBTRAKTION

Gör om till MGN.

2 3

1 9

6 9

1 9

−

1 3

9 12

−

4 12

MGN: 9

MGN: 12

MULTIPLIKATION

DIVISION

Multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare.

Gör om till MGN.

3 1 3 1 3 ⋅ = = 5 2 5 2 10

3 8

1 3 = 4 8

5 12

2 3 1 = =1 8 2 2

MGN: 8

MGN betyder ”minsta gemensam nämnare”

1.2

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 15

RÄKNA MED BRÅK

2019-04-15 13:06

EXEMPEL

2 7 + 3 9

1 2 b) 1 − ⎛ ⎞ ⎝ 2 3⎠

c) 4 ⋅ 1

3 8

2 7 2·3 7 6 7 13 4 + = + = =1 a) + = 9 3 9 3·3 9 9 9 9 MGN: 9

5 2 6 3

Innan du adderar skriver du bråken med samma nämnare. Den minsta gemensamma nämnaren förkortas MGN och är i detta fall 9. Därför förlänger du första bråket med 3. Skriv 1 1 i bråkform och 2

1 ⎛ 2⎞ 2 3 2 2 3 4 = – · = – = b) 1 – ⎝ ⎠ 2 3 3 2 9 2 3

beräkna potensen. Eftersom det är parentes runt bråket så visar det att hela bråket utgör potensens bas.

3·9 4·2 27 8 19 1 = – = – = =1 2·9 9·2 18 18 18 18 MGN: 18 1

Innan du adderar skriver du bråken med samma nämnare. Eftersom MGN är 18 förlänger du det första bråket med 9 och det andra med 2.

Skriv talen 4 och 1

3 4 11 4·11 11 1 = =5 c) 4·1 = · = 2 2 8 1 8 1·82

3 8

i bråkform.

Sedan multiplicerar du täljare med täljare och nämnare med nämnare.

5 2 5 2·2 5 4 5 1 = = = =1 d) 6 3 6 3·2 6 6 4 4 Den minsta gemensamma nämnaren är 6. Skriv därför båda bråken som sjättedelar genom att förlänga 5 sjätte s delar 2 med 2. Du får då divisionen vilket 4 sjätte s delar 3 5 . Svara i blandad form. är lika med 4

4 Svar: a) 1 9

1 b) 1 18

c) 5

1 2

1 d) 1 4 K • Skriv av uppgiften. • Visa alla steg i lösningen. • Räkna fram svaret i enklaste form och gör om det till blandad form om det går. • Skriv svar.

1.2

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 16

RÄKNA MED BRÅK

2019-04-12 13:17

Skriv bråken i enklaste form. 8 15 a) b) 12 18 c)

12 14

1 1 b) ⋅ 2 3 2 d) 2 5

4 7 + 5 10 3 5 c) ⋅ 4 6

5 1 − 8 4 3 d) 2 5

M K

7 8

1 2

M R

7 1 − 8 2

b) 1

3 b) ⎛ ⎞ ⎝ 5⎠ 2

Det finns regler för hur stor halt bekämpningsmedel frukt och grönsaker får innehålla. Vid EU-undersökningen var halten bekämpningsmedel för hög 1 av proverna. 1 % av dessa prover i 20 hade så hög halt att det omedelbart får effekter på hälsan. Hur många sådana prov upptäcktes i underP K sökningen? L

M K

Vid en EU-undersökning analyserades 70 000 prover. Man hittade då rester av bekämpningsmedel i hälften av proverna. I några fall var halten bekämpningsmedel 10 gånger det tillåtna värdet för barn.

2 M K

1 1 d) ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

1.2

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 17

b) rationellt tal

En mataffär frågade sina kunder varför 1 de handlar ekologisk mat. svarade 5 2 ”för djurens skull” och svarade ”för 9 miljöns skull”. Resten svarade ”för hälsans skull”. Hur stor andel handlade M K ekologiskt för hälsans skull? L

M K

1 4 3 1 d) 4 8

1 4 ⋅ 3 5 3 c) 3 ⋅ 5 a)

1 c) 1 − ⎛ ⎞ ⎝ 3⎠

7 1 ⋅ 8 2

Ge exempel på en beräkning med två P B bråk med ett svar som är ett a) naturligt tal

Vilken av uträkningarna ger det största svaret? Förklara hur du vet det utan att räkna ut svaren.

1 a) ⎛ ⎞ ⎝ 4⎠

10 25

2 a) 1 − 5 3 6 c) + 8 8

B M

1 tal

ETT

RÄKNA MED BRÅK

2019-04-25 10:20

TVÅ 48

2 1 3 6 5 c) 2 8

Du går runt kvadraten i pilens riktning. Till vilken punkt har du kommit när P B du av ett varv har gått 1 9 a) b) 0,75 c) 3 10 A

4 2 eller 5 3

1.2

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 18

Vilket tal är störst? L 5 2 3 a) eller b) 0,7 eller 9 3 4 c)

B C

3 5 eller 5 8

M K

2 9 7 1 c) 12 4 2 a) ⎛ ⎞ ⎝ 3⎠

M K

3 1 + 5 3 3 5 d) 1 ⋅ 10 6

a) 2

1 c) ⎛ ⎞ ⎝ 3⎠

2 1 − 3 6 5 d) ⋅ 2 8

2 b) 1 − ⎛ ⎞ ⎝ 5⎠

M K

3 3 d) ⎛ ⎞ + ⎝ 4⎠ 8

3 2 − 0,9 5 3 7 2 1 b) + ⋅ 12 3 6 1 c) 1 − 3 2

M K

Avgör, utan att räkna, om svaret är större eller mindre än 1. Förklara hur du tänker. A:

1 2

1 3

1 1 + 2 3

1 3

1 2

1 1 ⋅ 2 3

B R

1 21 och kvoten är . 7 32 P B Vilken är täljaren? L Nämnaren är 1

Vilket tal ligger mitt emellan 3 5 talen och ? L 8 6

P K

RÄKNA MED BRÅK

2019-04-12 13:17

TRE

2 5 1 ⋅ − 3 8 4 1 5 b) 0,4 + 2 4 8

1 tal

M K

Skriv talet 0,775 som ett bråk i enklaste form. 2 a) 1 ⎛ ⎞ ⎝ 3⎠

B M K

3 1 b) ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠

4 1 c) ⎛ + ⎞ 3 ⎝ 7 2⎠ 1 1 + d) 2 3 2 2 + 3 9

b) Vilket fel gör Lovisa?

I en låda ligger 6 lila och 4 rosa strumpor. Du tar slumpmässigt upp två strumpor ur lådan. Hur stor är sannolikheten att strumporna har samma färg? Svara med ett bråk i enklaste P B K form. L

På ett möte var det mellan 20 och 30 deltagare. 2/3 av deltagarna satt på 3/4 av antalet stolar i lokalen. Hur många deltog i mötet och hur många P stolar fanns i lokalen? L

Siffrorna i ett tvåsiffrigt tal får byta plats, så att det bildas ett nytt tal. Det nya talet är 3/8 av det första talet. P Vilket är det nya talet? L

3 1 När Lovisa räknar får hon 4 2 svaret 3. a) Förklara varför Lovisa direkt borde se att svaret är fel.

M K

R M R

2 Ett tal n multipliceras med och 3 5 divideras sen med . Man får samma 6 resultat genom att utföra multiplikatioP B K nen n ∙ x. Vilket tal är x? L En tredjedel av en fjärdedel av 1 ett tal är lika med . 2 Vilket är talet? L

P B K

utmaning Z KAPITEL 1

1.2

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 19

RÄKNA MED BRÅK

2019-04-12 13:17

1.3

Räkna med negativa tal

Motsatta tal Talen 5 och –5 är motsatta tal. Ett annat exempel på motsatta tal är 13 och –13. Om man adderar ett tal med det motsatta talet så är summan 0. a + (–a) = 0

Addition med negativa tal Hur mycket är 15 + (–5)? Vi ersätter 15 med 10 + 5 och utnyttjar sen att summan av de motsatta talen 5 och (–5) är 0. Vi får då: 15 + (–5) = 10 + 5 + (–5) = 10 + 0 = 10

Vi ser att 15 + (–5) = 15 – 5 = 10. En addition med ett negativt tal ger alltså samma resultat som en subtraktion av det motsatta talet. a + (–b) = a – b

Subtraktion med negativa tal Den röda sträckan har längden 5 cm. Längden kan beräknas genom subtraktionen (53 – 48) cm.

Eftersom även den gröna sträckan är 5 cm ger det att 3 – (–2) = 3 + 2 = 5.

–4

–3

–2

–1

En subtraktion av ett negativt tal ger samma resultat som en addition av det motsatta talet. a – (–b) = a + b

1.3

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 20

R Ä K N A M E D N E G AT I V A TA L

2019-04-12 13:17

Multiplikation med negativa tal 1 tal

En multiplikation med positiva hela tal kan skrivas som en addition: 3·2=2+2+2=6 Om ena faktorn är negativ kan vi göra på samma sätt: 3 · (–2) = (–2) + (–2) + (–2) = –2 – 2 – 2 = –6 Men vad händer om båda faktorerna är negativa tal? Vi kan visa det så här: (–3) · 0 = 0 Eftersom (–2) + 2 = 0 kan vi ersätta 0 med (–2) + 2 och får då: (–3) · [(–2) + 2] = 0 (–3) · [(–2) + 2] = 0

Multiplicera in (–3) i klammerparentesen.

(–3) · (–2) + (–3) · 2 = 0

–6

För att V.L. (vänster led) ska vara lika med 0 gäller att (–3) · (–2) = 6.

a · (–b) = –ab

Produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ.

(–a) · b = –ab

Produkten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.

(–a) · (–b) = ab

Produkten av två negativa tal är positiv.

Flera faktorer 2·2·2·2

=4∙4

= 16

0 negativa faktorer

= 4 ∙ (−4)

= −16

1 negativ faktor

=4∙4

= 16

2 negativa faktorer

= (–4) ∙ 4

= −16

3 negativa faktorer

=4∙4

= 16

4 negativa faktorer

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ (−2)

–4

2 ∙ 2 ∙ (−2) ∙ (−2)

2 ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2)

–4

(−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2)

Produkten växlar mellan 16 och –16. Antalet negativa faktorer avgör om produkten blir negativ.

Om det är ett udda antal negativa faktorer så är produkten negativ. Om det är ett jämnt antal negativa faktorer så är produkten positiv.

1.3

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 21

R Ä K N A M E D N E G AT I V A TA L

2019-04-12 13:17

Potenser med negativ bas Om basen i en potens är ett negativt tal så är det exponenten som avgör om potensen är positiv eller negativ. Till exempel är: (–1)2 = (–1) · (–1) = 1 (–1)3 = (–1) · (–1) · (–1) = –1 (–1)4 = (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = 1 och så vidare.

Om basen i en potens är ett negativt tal så är potensens värde: –

positivt om exponenten är ett jämnt tal

–

negativt om exponenten är ett udda tal

Division med negativa tal Vi använder oss av att division är omvänd multiplikation. 10 =5 2

eftersom

5 · 2 = 10

−10 = −5 2

eftersom

(–5) · 2 = –10

10 = −5 −2

eftersom

(–5) · (–2) = 10

−10 =5 −2

eftersom

5 · (–2) = –10

−a

b a −b −a −b

=−

a b

Kvoten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.

a b

Kvoten av ett positivt och ett negativt tal är negativ.

=−

a b

1.3

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 22

Kvoten av två negativa tal är positiv.

R Ä K N A M E D N E G AT I V A TA L

2019-04-12 13:17

Materiel: Antal deltagare:

Två sexsidiga tärningar 2–3 st

A Alla ska kasta två tärningar sex gånger. Efter varje kast väljer man ett av följande alternativ:

C Efter sex kast kan produkterna se ut så här för en spelare:

1 tal

AKTIVITET: Spel med negativa tal

10 –15 16 –6 –9 20

1 Den ena tärningen visar ett positivt

tal och den andra ett negativt. D Till slut adderar spelarna sina produkter. Den som har störst summa vinner.

2 Båda tärningarna visar negativa tal.

B När spelare 1 har valt alternativ 1 eller 2 multiplicerar spelaren de båda talen och skriver upp produkten. Sedan gör spelare 2 samma sak. Av de sex kasten ska varje alternativ väljas tre gånger var.

E Spela igen, eller hitta på en ny variant. Det kan till exempel vara att lägst summa vinner, eller att använda tre tärningar.

EXEMPEL

a) 6 – (–2)

b) (–6) + (–2)

c) 6 · (–2)

6 −2

e) (–6)2

a) 6 – (–2) = 6 + 2 = 8 b) (–6) + (–2) = –6 – 2 = –8 c) 6·(–2) = –12 6 = –3 –2 e) (–6)2 = (–6)·(–6) = 36 d)

Svar: a) 8

b) –8

Om du multiplicerar ett jämnt antal negativa faktorer med varandra, är produkten positiv.

c) –12

1.3

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 23

d) –3

e) 36

R Ä K N A M E D N E G AT I V A TA L

2019-04-12 13:17

ETT 64

Vilket tal är störst?

Vilket tal ligger mitt emellan

a) 2 eller –3

b) –7 eller –1

a) –5 och 1

b) –3 och 7

c) 0 eller –9

d) –0,1 eller –1

c) –9 och –1

d) –5 och 11

Teckna uttryck och räkna ut vad termometern visar B om temperaturen

P K

°C 40

30 20

a) stiger 5 °C

b) sjunker 5 °C

– 10

a) Teckna ett uttryck för hur kallt det kan vara på månen på natten. b) Hur kallt kan det vara på natten?

M K

– 20

66 67

a) 3 – 6

b) –3 – 6

c) –3 + 6 – 3

d) –3 + 6

b) –15

68 69

71 72

– 40

Vilket är nästa tal? a) 8

2 –11

–1 –7

P K

–3

a) 9 + (–3)

b) 9 – (–3)

c) 9 ∙ (–3)

d) (–9) ∙ (–3)

8 −2 −8 c) −2

a) Teckna ett uttryck för skillnaden mellan den högsta och den lägsta uppmätta temperaturen på jorden. b) Hur stor är temperaturskillnaden?

M K

Förklara varför –0,5 är ett mindre tal än –0,05.

– 30

B R

−8 2

d) (–8) ∙ (–2) ∙ (–2)

a) (–1)2

b) (–1)3

c) (–3)2

d) (–2)3

Vilket är det andra talet?

P B

a) Summan av två tal är –4. Det ena talet är 3. b) Produkten av två tal är 10. Det ena talet är –5. På månen kan det vara 180 °C på dagen. På natten kan temperaturen sjunka med 390 °C. Den högsta temperatur som har uppmätts på jorden är 58 °C och den lägsta –89 °C.

1.3

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 24

R Ä K N A M E D N E G AT I V A TA L

2019-04-12 13:17

76 77

a) 2 – 7

b) –7 + 3

c) –3 – 5

d) –4 + 7 – 1

Teckna uttryck och räkna ut vad termometern visar om temperaturen

Använd tallinjen och räkna ut vilken bokstav som visar svaret till a) B + E

°C 40

d) A / G

b) E – G

c) C · E

e) E – B

f) B · C

–2

–1

1 tal

TVÅ P

B M 10

a) stiger 7 °C

b) sjunker 3 °C

– 10

–4

–3

– 20

79 80

– 30 En dag är temperaturen –4 °C – 40 och det är is på vägarna. När vägarna saltas kan temperaturen sjunka ytterligare 8 °C innan vattnet fryser. Teckna ett uttryck och räkna ut hur kallt det kan bli innan det bildas ny is på de saltade B M vägarna.

I en magisk kvadrat är summan av alla tal, vågrätt, lodrätt och diagonalt densamma. Rita av kvadraten och fyll i rutorna så att kvadraten blir magisk P med summan –15. 7

–3

a) (–6)2

b) (–4)3

c) (0,4 – 0,9)2

d) (–0,4)2 – 0,32

86 Vilket tal saknas?

a) ? + 2 = –7

b) ? – 3 = –12

c) 2 = 1 – ?

d) –11 = 7 – ?

a) (–2) + (–2) c) (–5) · (–2)

−12 3 −18 d) −2

M K

Teckna ett uttryck och räkna ut den lägsta temperaturen vid ekvatorn. B

M K

B M

”Om man multiplicerar ett positivt tal med ett negativt tal så blir produkten ett negativt tal”, säger Emelie till sin kompis. Stämmer det? B Förklara hur du tänker. a) 8 + (–3)

b) 8 – (–3)

c) (–8) + (–3)

d) (–8) – (–3)

Rymdsonden Curiosity har mätt temperaturen på Mars under flera år. Som varmast har det varit 35 °C. Den lägsta temperaturen som sonden uppmätt är 178 °C lägre. Men vid ekvatorn är den lägsta temperaturen 30 °C högre än den lägsta som uppmätts.

1.3

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 25

Teckna ett uttryck och räkna ut den B lägsta temperaturen på Mars.

R Ä K N A M E D N E G AT I V A TA L

2019-04-12 13:17

TRE 88

Vilket tal saknas? a) –8

–2

b) 11

a) (–8) + (–8)

c) (–5)2 – (–5)3

–14

d) (–5) · (–3) – 8

Använd tallinjen och räkna ut vilken bokstav som visar svaret till a) D · E

b) A / G

c) G – C

d) B + D

e) B / C

f) E – B

–4

–3

–2

–1

E F G

c) (–6) · x · (–1) = –18 d) –10 = x + (–7) – (–5)

(−5) − (−9) 2

M K

Under en vintervecka var medeltemperaturen –3 °C. Tabellen visar vilken temperaturen var måndag till lördag. Vilken temperatur var det på P B söndag? L måndag

4 ⋅ (−5) (−2) ⋅ (−2)

3 ⋅ (−4) (−6) − (−12)

B R

En vinterdag i Alaska visade termometern –13 °F. Vad visar en celsiustermoM K meter vid samma temperatur?

I Kiruna visade termometern en dag –35 °C. Hur många grader Fahrenheit P motsvarar det? L

b) (–2)4 c) 4 + (–3)2 – (–2)

(–1)m = 1 och (–1)n = –1. Förklara vad det är för skillnad på exponenterna m och n.

P K

b) x3 + (–3)4 = 17

Vilket tal är x? a) (–4) · x · (–1) – (–2) = 4

a) 4 + (–2) – 1

M K

Hur vet du utan att räkna, om produkten (–12) ∙ (–13) ∙ (–14) ∙ (–15) ∙ (–16) är ett positivt eller ett negativt tal? M R

b) 7 ∙ (–6)

8 ⋅ (−3) −2

a) (–1)4 · (–2)3 b) (–1)4 – (–2)3

–9

d) (–2)3 – (–3)3 + (–4)2 c)

P K

M K

3°C

tisdag

–4°C

onsdag

–5°C

torsdag

0°C

fredag

1°C

lördag

–7°C

I USA mäter man temperatur i grader Fahrenheit (°F). 5 ⋅ (F − 32) kan man omvandla från Med formeln C 9 °F till °C.

utmaning Z KAPITEL 1

1.3

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 26

R Ä K N A M E D N E G AT I V A TA L

2019-04-12 13:17

Räkna med potenser 1 tal

1.4

AKTIVITET: Potensracet Materiel: Antal deltagare:

Aktivitetsblad, 10-sidig tärning, 6-sidig tärning, miniräknare och spelpjäser 2–3 st

A Spelare 1 börjar med att kasta de båda tärningarna. Den 10-sidiga tärningen visar potensens bas och den vanliga tärningen potensens exponent. Om den 10-sidiga tärningen visar 8 och den vanliga tärningen 4, så ger det potensen 84.

B Beräkna potensens värde. Om värdet hamnar innanför intervallet i den första ringen hoppar du dit, annars står du kvar. Sen går turen över till nästa spelare. C Den som kommer först i mål vinner.

Multiplikation med potenser Om man till exempel vill räkna ut 102 · 103 kan man skriva så här: 2

10 · 10 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10

102

103

Om potenserna har samma bas kan man alltså addera exponenterna.

När potenser med samma bas multipliceras med varandra adderas exponenterna. am · an = am + n

102 · 103 = 102+3 = 105

1.4

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 27

RÄKNA ME D POTE NSE R

2019-04-24 14:58

Division med potenser När man räknar en division kan man göra så här: 1

När potenser med samma bas divideras med varandra subtraheras exponenterna.

105 10 u 10 u 10 u 10 u 10 = = 10 u 10 u 10 = 103 2 10 10 u 10 1

Om potenserna har samma bas kan man alltså subtrahera exponenterna.

= am

105 = 105 − 2 = 103 102

Vad händer när exponenten är noll? Vad är

104 ? 104

När en potens har exponenten 0, är potensens värde lika med 1.

104 = 104 − 4 = 100 104

a0 = 1

eller 1

104 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = =1 104 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 Alltså är 100 = 1.

EXEMPEL

a) 102 · 10 · 104

27 23

54 ⋅ 52 53 ⋅ 53

a) 102·10·104 = 102+1+4 = 107

Observera att 10 = 101.

27 7–3 4 b) 23 = 2 = 2 =16 54 ·52 54+2 56 c) 3 3 = 3+3 = 6 = 56–6 = 50 =1 5 5 5 ·5 Svar: a) 107

b) 16

c) 1

Räkna först ut täljare och nämnare.

Observera att potensens värde är 1 när exponenten är 0.

K • Skriv av uppgiften. • Visa mellanleden. • Skriv svar.

1.4

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 28

RÄKNA ME D POTE NSE R

2019-04-12 13:17

1 tal

ETT

10 102 54 d) 5

100 a) 102 · 103

c) 23 · 24

101

104 Skriv den bortblåsta sandens vikt

75 a) 4 7 102 ⋅ 10 c) 103

b) 10 ∙ 10 ∙ 10

i grundpotensform.

d) 43 ∙ 44

102 Vidar tror att 104 är dubbelt så mycket som 102. Har han rätt? Förklara hur du tänker.

103 Vilket tal är x? x

Saharaöknen är 9 · 106 km2. Trots det extrema klimatet bor det 2,5 miljoner människor i öknens utkanter. Att det blåser bort 200 000 000 ton sand från Saharaöknen varje år märker man inte mycket av. Öknen är fortfarande gigantisk.

105 Skriv Saharaöknens area utan tiopotens.

106 Skriv antalet människor som bor

M R

i Saharaöknens utkanter i grundpotensform. 5 2 ⋅ 53 54 5 3 ⋅ 35 c) 4 3 3 ⋅3

a) 5 ∙ 5 = 5 10 x b) = 105 104

107 a)

B M

107 105 ⋅ 102 102 ⋅ 107 d) 103 ⋅ 102

108 Vilket tal är x? L

M K

P K

109 = 102 10 ⋅ 10 x

5x =1 5 ⋅ 52

89 ⋅ 8 85 ⋅ 8 x

1010 = 102 10 x ⋅ 103

c) 8 =

1.4

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 29

8 = 82 8x d) 10x ∙ 102 = 100

B M

RÄKNA ME D POTE NSE R

2019-04-12 13:17

TVÅ 109 a)

109 103

110 a)

7 ⋅7 7 ⋅ 74

4 ⋅4 4 2 ⋅ 45 3

6 64

10 ⋅ 10 103 ⋅ 102

10 ⋅ 10 ⋅ 10 10 ⋅ 107

P K

a) 5 och 2

c) 34 ∙ 32 ∙ 3 5

114 Vilket tal ligger mitt emellan

b) 74 ∙ 72

c) 2 · 103 och 105

b) 103 och 104

115 Vilket tal är x? 4 M K

111 Hur kan du visa att 25 · 103 är lika

38 = 33 34 ⋅ 3 x

210 =2 23 ⋅ 2 x

109 ⋅ 10 105 ⋅ 10 x

9 x ⋅ 92 = 94 9 4 ⋅ 93

c) 1 =

med 2,5 · 104?

M R

P K

112 Hur mycket är en tredjedel av 39? Välj ett av alternativen och förklara varför det är det rätta. 38

116 Skriv temperaturen i solens inre P R

a) med siffror b) i grundpotensform

M B M

117 Skriv jordens hastighet kring solen 113 Jonas har lärt sig att exponenten alltid är lika med antalet nollor när man skriver ett tal i grundpotensform. Stämmer det? M R Motivera ditt svar.

1.4

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 30

i grundpotensform.

B M

Jordklotet färdas kring solen med hastigheten 110 000 km/h. Solen är 4,5 miljarder år gammal och temperaturen inuti solen är ofattbara 15 miljoner °C.

RÄKNA ME D POTE NSE R

2019-04-12 13:24

TRE 124 a)

103 ⋅ 105 10 ⋅ 107

9 ⋅9 9 2 ⋅ 93

P K

a) 74 · 72 · 7x = 710 109 b) = 106 10 x

215 (23 )3 ⋅ 2

(7 3 )2 ⋅ 7 8 (7 2 )3 ⋅ 75

(54 )2 ⋅ (53 )3 (52 )2 ⋅ (52 )3

Börja med det största talet. A: 2500 B: 3400

107 ⋅ 103 =1 10 x ⋅ 10 x

126

delbart med 9.

P B R

121 Vilket tal är x?

P K

a) 5

P K

C: 4300 D: 5200

P B K

Vilken är resten om 333 divideras med 5?

120 Förklara varför talet 106 – 1 är

x+2

M K

125 Skriv talen nedan i storleksordning.

c) 5x ∙ 5x ∙ 5x = 59 d)

M K

119 Vilket tal är x?

(102 )3 10 ⋅ 105

1 tal

49 4 2 ⋅ 43 b) 10 ∙ 102 ∙ 103

118 a)

= 25

b) 16 = 44x c) 3x + 3x + 3x = 81 d) 225 + 225 = 2x

122 Vi har två tal x och y. Vi vet att x < y. Innebär det också att x2 < y2? Förklara P hur du tänker. L

123

M K

(102)3 = 102 · 102 · 102 = 106 Alltså är (102)3 = 102 · 3 = 106. Allmänt gäller att (am)n = am · n.

a) (103)4 b) (53)2 ∙ 5 c) (34)2 · (32)4 d) (23)4 · (22)5

utmaning Z KAPITEL 1

1.4

s 6-65 GB Z kapitel 1 FINAL 4.indd 31

RÄKNA ME D POTE NSE R

2019-04-24 14:59

algebra Mönster

Uttryck med potenser 2a ∙ 3a = 2 ∙ 3 ∙ a ∙ a = 6a2 a(a + c) = a2 + ac

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Balansmetoden:

3x + 7 = 22 3x + 7 – 7 = 22 – 7 3x = 15 3x 15 = 3 3

x =5

Ekvationssystem Ett ekvationssystem består av minst två ekvationer och kan lösas med grafisk metod eller algebraisk metod. En algebraisk metod är ersättningsmetoden.

Figurens/talets nummer

2n + 1 Variabelterm

matematIK Z

Ekvationer

Sifferterm

Exempel:

y = x 3

a + (b + c) = a + b + c a – (b – c) = a – b + c a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd (a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd

2x y = 9 (2)

Svar:

(1)

=9 =9 =9 =6 =2

x = 2 sätts in i ekvation (1) y=2+3 y=5

x =2 y =5

matematIK Z

Förenkling av uttryck

2x + (x + 3) 2x + x + 3 3x + 3 3x x

SAnnolikhet och statistik Sannolikhet

Kombinatorik

Sannolikheten (P) för en händelse A = antalet gynnsamma utfall = antalet möjliga utfall

P(A) + P(inte A) = 1

Sannolikhet i ﬂera steg

Lägesmått Medelvärde räknar man ut genom att addera Medianen är det mellersta talet efter att talen

gånger. Det kan finnas flera typvärden.

Tabeller och diagram

1 2 3 4 5

4 2 6 7 3 n = 22

Stolpdiagram 10 8

10 8 6

6 4

2 1

Omslag Z GB FINAL 2.indd 1

Stapeldiagram

rätt

To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W

Frekvens f

Lärarguide Z

Matematik XYZ hemsida

alla tal och sedan dividera med antalet tal.

Typvärde är det värde som förekommer flest

Antal rätt x

Utmaning Z

www.matematikxyz.com

skrivits i storleksordning. Om det finns två tal i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två talen.

Frekvenstabell

Bas Z

Linjediagram

Cirkeldiagram

Undvall Johnson Welén

Sannolikheten för flera händelser i följd räknar man ut genom att multiplicera sannolikheterna med varandra. 1 1 1 P(slå 2 fyror med tärning): · = 6 6 36

Matematik Z

matematik

milj. inv. folkmängd 4

12 %

60 %

2 1 årtal 1700

1800

1900

28 %

Best.nr 47-12653-8 Tryck.nr 47-12653-8

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

2019-04-12 11:49