9789147125517

Matematik Grundvux delkurs 3

Matematik Grundvux, delkurs 3 är väl anpassad till kursplan och kunskapskrav i matematik genom: • kapitel som innehåller det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka förmågor varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp

matematik

www.matematikxyz.com Matematik Grundvux, delkurs 1 och 2

Matematik Grundvux, delkurs 3

Matematik Grundvux, delkurs 4

Matematik XYZ hemsida

DELKURS

På seriens hemsida finns uppgifter för extra träning i form av arbetsblad, repetitionsuppgifter m m.

Undvall Melin Johnson Welén

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 90 00.

Best.nr 47-12551-7 Tryck.nr 47-12551-7

4712551 Grundvux 3 Omslag tryck.indd 1

3

Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén

2019-03-19 12:59

matematik

grund vux

DELKURS 3

Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny WelĂŠn LIBER

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 1

2019-03-19 13:44

ISBN 978-91-47-12551-7 © 2019 Lennart Undvall, Christina Melin, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB projektledare Mats Juhlin redaktör Mattias Ljung/Rent-a-brain formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB, Eva Jerkeman bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Johan Unenge, Björn Magnusson omslag Cecilia Frank produktionsledare Adam Dahl Programmeringsövningar av Helena Kvarnsell Första upplagan 1 repro: Repro 8 AB, Stockholm tryck: People printing i Kina 2019

kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden.

BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 2

2019-03-26 09:58

bildförteckning 12 15 27 36 42 53 55:2 55:3 61 62 65:1 67 76:3 78:3 80 81:2 81:4 83:2 86:1 88 89:2 90:3 107:1 108:2 109:1 109:2 111:1 114 119 121 131:1 138

Johan Willner/Johnér Bildbyrå plainpicture/Johnér Bildbyrå Johan Alp/Johnér Bildbyrå Anders Wiking/TT Lars Pehrson/SvD/TT Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå DEA/A. DAGLI ORTI/Getty Images DeAgostini/Getty Images Roland Magnusson/Mostphotos Jenny E. Ross/Getty Images Lennart Undvall PG/Bauer-Griffin/Getty Images Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå PhotoAlto/Laurence Mouton/Getty Images Susanne Kronholm/Johnér Bildbyrå Cultura Creative/Johnér Bildbyrå Hans Bjurling/Johnér Bildbyrå Yvonne Åsell/SvD/TT Lieselotte Van Der Meijs/Johnér Bildbyrå Ewa Ahlin/Johnér Bildbyrå Lars Trangius/Johnér Bildbyrå Massimo Pizzotti/age fotostock/IBL Bildbyrå Peter Macdiarmid/Getty Images Johan Wingborg /Bildhuset/TT Neil Jacobs/Photoshot Dick Gillberg/TT Raffles museum/PA/TT Philippe Tran/EyeEm/Getty Images Kristofer Samuelsson/Johnér Bildbyrå Sean Gallup/Getty Images Wirsol Sara Lynch/EyeEm/Getty Images

265-280 Grundvux_Facit.indd 280

141 143:1 146 149:2 151 156 171 172 175 176 177 181 187 193:2 194 195:1 199 201 204:2 205:1 206 212 227 228 233 234:2 234:3

Arla Dansukker Arla GK Hart/Vikki Hart/Getty Images Lena Öritsland/Johnér Bildbyrå Anna Roström/Johnér Bildbyrå Mikael Svensson/Johnér Bildbyrå Bob Thomas/Popperfoto/Getty Images ParagonSpaceDevelopmentCorp/Splash/ IBL Bildbyrå Jean Michel Labat/Ardea/IBL Bildbyrå Interfoto /IBL Bildbyrå Matton Collection/Johnér Bildbyrå plainpicture/Johnér Bildbyrå Kari Kohvakka/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Plattform/Johnér Bildbyrå plainpicture/Johnér Bildbyrå Plattform/Johnér Bildbyrå Pär-Henrik Sjöström/Sjöfartstidningen Eric Baccega/Nature Picture Library/ IBL Bildbyrå Peter Carlsson/Johnér Bildbyrå Jeppe Gustafsson/TT Jeppe Gustafsson/TT Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå TRONS/TT Claudio Bresciani/TT Kone

Övriga bilder: Shutterstock Kartor: Liber kartor Sedlar och mynt: Riksbanken

2019-03-20 09:58

förord Den här boken innehåller stoff som täcker det centrala innehållet för delkurs 3 i kursplanen för kommunal vuxenutbildning på grundläggande nivå.

Delkursen består av fem kapitel som är indelade i avsnitt. I avsnitten finns uppgifter på tre nivåer.

Uppgifterna är markerade med bokstäver, som visar vilka förmågor du tränar.

Vi förkortar förmågorna så här: P B M R K

Problemlösning Begrepp Metod Resonemang Kommunikation

Vid uppgifterna där det passar att använda miniräknare finns en miniräknarmarkering.

Kapitlen innehåller: Ingress – En kort fördiagnos (Kan du det här?) som visar vad du redan kan och hjälper dig att välja nivå, ETT, TVÅ eller TRE. Här finns även Centralt innehåll från kursplanen och en lista med matematiska begrepp ur kapitlet.

Inledning – Varje avsnitt inleds med teori som följs av typexempel.

Uppgifter – Uppgifterna finns på tre nivåer. På nivå ETT finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå TRE kan erbjuda rejäla utmaningar. Du väljer själv på vilken nivå du ska börja ditt arbete.

Ledtrådar – Till en del uppgifter finns ledtrådar som du kan ta hjälp av.

Dessa uppgifter är markerade med L. Blandade uppgifter – Här blandas uppgifter från hela kapitlet.

Test – Visar om du behärskar det grundläggande i kapitlet.

Träna – Innehåller uppgifter av samma slag som testet och används som repetition.

Utveckla – Innehåller utmanande uppgifter för dig som klarar testet bra.

Förmågorna i fokus – Hjälper dig att utveckla de matematiska förmågor som anges i kursplanen.

Sammanfattning – Kapitlen avslutas med en sammanfattning av centrala begrepp och metoder.

Lycka till med dina studier i matematik!

Författarna

3

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 3

2019-03-19 13:44

Delkurs 3 1

Taluppfattning och tals användning

6

1.1 Olika slags tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.2 Hela tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.3 Bråkform och blandad form . . . . . . . . . 18

Träna Taluppfattning och tals användning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4 Bråkform och decimalform . . . . . . . . . . 24 1.5 Hur stor är delen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6 De fyra räknesätten. . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7 Räkna med miniräknare . . . . . . . . . . . . 39

2 Algebra

Utveckla Taluppfattning och tals användning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

58

2.1 Numeriska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.2 Algebraiska uttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.3 Mönster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Träna Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.4 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Utveckla Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5 Problemlösning med ekvation . . . . . . . 79

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.6 Ekvationer med obekanta i båda leden 84

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3 Geometri

100

3.1 Längd och skala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.2 Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.3 Vinkelsumma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Träna Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.4 Spegling och symmetri. . . . . . . . . . . . . 122

Utveckla Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.5 Omkrets och area . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.6 Cirkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.7 Geometri i tre dimensioner . . . . . . . . . 139

4

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 4

2019-03-19 13:44

4 Samband och förändring

162

4.1 Proportionalitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.2 Tid och rörelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.3 Sträcka, tid och hastighet . . . . . . . . . . . 173

Träna Samband och förändring. . . . . . . . . . 209

4.4 Andel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Utveckla Samband och förändring . . . . . . . 212

4.5 Jämförelser och förändringar . . . . . . . 185

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

4.6 Delen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.7 Ränta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5 Sannolikhet och statistik

218

5.1 Hur stor är sannolikheten? . . . . . . . . . 220

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.2 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

5.3 Lägesmått . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Träna Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . . 246

5.4 Lägesmått från tabeller och diagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Utveckla Sannolikhet och statistik . . . . . . . 248 Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Programmeringsövningar . . . . . . . . . . . . . . 255 Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

5

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 5

2019-03-19 13:44

KAN DU DET HÄR? 1 Vilken siffra är tiondelssiffra i talet 13,72?

A: 1 B: 3

ETT

C: 7

D: 2

C: 0,27

D: 12

2 Hur mycket är 0,9 ∙ 3?

A: 2,7

B: 1,2

3 Vilket tal är lika med A: 3,4

4

3 ?

4

B: 0,34

C: 0,75

1 Hur mycket är 0,4 − ?

4

A: 0,15

B: 0,21

C: 0,26

D:

2 3

TVÅ D: 0,35

5 Vilket svar får du om du avrundar 1,785 till hundradelar?

A: 1,78 B: 1,8

C: 1,79

D: 1,80

6 Hur mycket är 150 ∙ 30?

A: 4 500 000 B: 450 000 C: 45 000 D: 4 500

7 Vilket tal är lika med ”trettiotre hundradelar”?

A: 3,33 B: 0,33

8 Hur mycket är A: 0,9

TRE

C: 0,033

D: 30,30

C: 0,009

D: 0,15

0, 45 ?

5

B: 0,09

1 1 1 + + ?

2 4 5 3 B: C: 0,95 11

9 Hur mycket är A:

1 11

D:

3 40

6

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 6

2019-03-20 13:12

DELkurs 3 1 Taluppfattning och tals användning UR CENTRALA INNEHÅLLET Tal i bråk- och decimalform samt deras egenskaper och användning i vardagliga situationer.

Positionssystemet för tal i decimalform. Det binära talsystemet och hur det kan tillämpas i digital teknik, samt talsystem som används och har använts i olika historiska och kulturella sammanhang.

Begrepp naturliga tal jämna tal udda tal utvecklad form negativa tal olikhetstecken decimalform bråkform täljare nämnare blandad form

De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer.

närmevärde andel avrundning

Centrala metoder för beräkningar med tal i decimalform samt i enkla fall vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg.

Metodernas användning i olika situationer.

7

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 7

2019-03-19 13:44

1.1

Olika slags tal

Naturliga tal Det finns tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Av siffrorna kan vi bilda hur många tal som helst.

Talet 0 och de positiva heltalen bildar tillsammans de naturliga talen.

Dessa är alltså: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 …

Av de naturliga talen kallar vi 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 ... för jämna tal och 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 ... för udda tal.

Tal i decimalform Vid en tävling i längdhopp hoppade segraren 8,22 m. Talet 8,22 är ett exempel på ett tal i decimalform. Vi läser talet som ”åtta komma tjugotvå” eller ”åtta hela och tjugotvå hundradelar”.

Platsvärden Det värde en siffra har beror på vilken plats siffran har i talet.

I till exempel talet 5 895 har siffran 8 värdet 800. tusental hundratal tiotal ental

5 är tusentalssiffra som har värdet 5 · 1 000 = 5 000 8 är hundratalssiffra som har värdet 8 · 100 = 800 9 är tiotalssiffra som har värdet 9 · 10 = 90

5895

5 är entalssiffra som har värdet 5 · 1 = 5 En ostbit väger 0,457 kg. Talet 0,457 är ett tal med tre decimaler. Även här beror siffrornas värde på var i talet de står. ental tiondel hundradel tusendel

entalssiffra som har värdet 0 · 1 = 0 tiondelssiffra som har värdet 4 · 0,1 = 0,4 hundradelssiffra som har värdet 5 · 0,01 = 0,05

0,4 5 7

tusendelssiffra som har värdet 7 · 0,001 = 0,007

8

1.1

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 8

O L I K A S L A G S TA L

2019-03-19 13:44

Del 3

1 Taluppfattning och tals användning

Utvecklad form Talet 3 657 kan skrivas ut som en summa:

3 657 = 3 000 + 600 + 50 + 7 Vi säger att talet är skrivet i utvecklad form.

När ett tal i decimalform skrivs i utvecklad form ser det ut så här:

27,83 = 20 + 7 + 0,8 + 0,03 EXEMPEL

Vilket tal är störst och vilket är minst?

0,65

0,649

0,6

0,650

0,649

0,600 0,690

Svar: 0,69 är störst och 0,6 är minst.

0,69

0,675

0,675

Alla talen innehåller 6 tiondelar. Vilket tal innehåller flest hundradelar? Jo det är 0,69.

Alltså vet du att det talet är störst.

En bra metod är att skriva talen så att de får lika många decimaler. En eller flera nollor efter den sista decimalen förändrar inte talets värde.

Då ser du lättare att 0,69 (690 tusendelar) är störst och 0,6 (600 tusendelar) är minst.

EXEMPEL

Vilket värde har siffran 3 i följande tal? a) 731

b) 8 356

Svar: a) 30

c) 1,36 I talet 731 står 3:an på tiotalssiffrans plats.

Värdet är därför 3 · 10 = 30.

b) 300

I talet 8 356 står 3:an på hundratalssiffrans plats.

Värdet är 3 · 100 = 300.

c) 0,3

I talet 1,36 står 3:an på tiondelssiffrans plats.

Värdet är 3 · 0,1 = 0,3.

1.1

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 9

O L I K A S L A G S TA L

9

2019-03-19 13:44

ETT 1

2

Skriv talen med siffror.

6

a) sjuhundraelva

Skriv talen med siffror i decimalform. a) fem tiondelar

b) niotusen etthundra

b) fem hundradelar

c) tjugotvåtusen femtio

c) en hel och fyra tiondelar

d) en miljon

d) två hela och tre hundradelar

B

Vilket tal är störst?

7

B

Skriv talen i utvecklad form. a) 753

a) 2 020 eller 2 200 b) 1 eller 0,9

8

c) 0,5 eller 0,3

3

Vilken siffra är tiotalssiffra i talen? a) 725

4

b) 5 213

B M

c) 2 643

a) Ge exempel på ett tal som är större än 1 men mindre än 1,1. b) Hur många sådana tal finns det?

B

c) 78,9

Använd siffrorna i rutan och skriv

b) 2,95

B

9

P B

Skriv ett femsiffrigt tal som har två treor. Den ena trean ska ha 100 gånger P så stort värde som den andra.

B M

B

B

a) ett tal som är så nära 6 000 som möjligt b) ett udda tal som är så litet som möjligt

5

5

7

2

Vilka tal pekar pilarna på?

a

0

10

8

1

1.1

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 10

B

b

2

3

c

4

5

d

6

7

e

8

f

9

10

11

O L I K A S L A G S TA L

2019-03-19 13:44

TVÅ 10

Skriv talen med siffror.

B

18

a) femtiotusen sjuttiofem b) en miljon trettiotusen

Sidorna i en tidning är numrerade med sammanlagt 198 siffror. Hur många L P K sidor har tidningen?

c) sju tusendelar d) en hel och femton hundradelar

11

12

Vilket tal är störst och vilket är minst? a) 1

0,99

0,9

0,909

b) 8,1

7,99

8,0

8,9

Låt tiondelssiffran byta plats med tiotalssiffran i talet 83,57. Vilket tal får du då?

B

B

13

Förklara varför ”noll komma nio” är ett större tal än ”noll komma nitton”. M R

14

Skriv talen i utvecklad form. a) 6 513

b) 235,7

c) 87,64

d) 1,034

1 Taluppfattning och tals användning

Del 3

B M

15

Hur mycket större värde har 5:an än 2:an i talet 5 283? Förklara hur du tänker. M R

16

Vilka tal skrivs så här i utvecklad form?

B M

a) 50 + 6 + 0,8 b) 200 + 70 + 5 + 0,8 c) 5 + 0,03

17

Vilka tal pekar pilarna på?

a

0,0

0,1

0,2

b

0,3

B

c

0,4

0,5

d

0,6

0,7

e

0,8

f

0,9

1.1

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 11

1,0

1,1

O L I K A S L A G S TA L

11

2019-03-19 13:44

TRE 19

20

Vilka tal ska stå istället för m och n?

B M

24

Så här subtraherar Sofia:

a) 7 127 = 7 000 + m + 20 + 7

187 – 39 = 188 – 40 = 148

b) 12,89 = 10 + 2 + n + 0,09

a) Förklara hur hon tänker.

Räkna på samma sätt

Ludvig hade feber en dag. På morgonen visade termometern 38,7 °C. På kvällen hade temperaturen stigit med fem tiondelar. Vilken temperatur hade B M Ludvig då?

b) 93 – 29

25

c) 285 – 68

R M K

I sifferfönstret på en miniräknare står talet 0,99. Vad står det om man adderar a) en tiondel b) en hundradel c) en tusendel

26

B M

Skriv följande tal i storleksordning med B M det största talet först.

0,3 0,209 0,29 0,219 0,309

27 21

22

23

Subtrahera talen med en tiondel.

Vilka tal får du då? a) 0,6

b) 2,35

c) 0,915

d) 0,809

Vilket tal ligger mitt emellan talen? a) 5 och 10

b) 1,5 och 1,8

c) 0,12 och 0,2

d) 0,1 och 0,15

Vilka tal pekar pilarna på? a

0

12

1.1

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 12

b

1

c

2

B M

Med siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6 kan man bilda 720 sexsiffriga heltal. Om alla tal skrivs i storleksordning med det minsta först, vilket tal kommer då som numL P K mer 241?

M K

B

d e f

3

4

O L I K A S L A G S TA L

2019-03-19 13:44

Del 3

Hela tal

Negativa och positiva heltal

1 Taluppfattning och tals användning

1.2

°C 40 30

I vissa sammanhang möter man negativa tal. Det kan till exempel vara i en hiss eller på en termometer. Den här termometern visar –10 °C.

20 10 0 – 10 – 20

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

negativa tal

3

4

5

– 30 – 40

positiva tal

Jämföra tal –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Ju längre åt höger på tallinjen ett tal finns, desto större är det.

Till exempel är 3 ett större tal än −5 medan −9 är ett mindre tal än 0.

Vi kan skriva så här:

3 > −5

−9 < 0

3

–5

Tecknet > betyder ”är större än”.

Tecknet < betyder ”är mindre än”.

Med ett gemensamt namn kallas tecknen < och > för olikhetstecken.

1.2

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 13

H E L A TA L

13

2019-03-19 13:44

Addition och subtraktion EXEMPEL

a) –8 + 5

b) –2 – 3

c) –5 + 8

a) –8 + 5 = –3 –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

Du kan visa beräkningen på en tallinje.

Du startar på talet –8. Därifrån ritar du en pil som går fem steg åt höger. Pilen slutar vid talet –3, vilket alltså är svaret.

–2

b) –2 – 3 = –5 –6

–5

–4

Du börjar på talet –2 och ritar en pil som går tre steg åt vänster.

–3

–2

–1

c) –5 + 8 = 3 –5

–4

–3

–2

Svar: a) –3

–1

0

1

2

b) –5

3

4

c) 3

EXEMPEL

En höstdag visar termometern 3 °C. Temperaturen sjunker 9 °C. Teckna ett uttryck och räkna ut vilken temperaturen blir då.

(3 – 9) °C = –6 °C

Så här tecknar vi uttrycket. Du kan förstås också skriva 3 °C – 9 °C. Men genom att sätta ut parentesen behöver du bara skriva ut enheten en gång.

Svar: Temperaturen blir –6 °C.

K • Teckna din beräkning.

• Skriv ut enheter.

• Svara med hel mening.

14

1.2

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 14

H E L A TA L

2019-03-19 13:44

Del 3

28

Vilka uträkningar visas?

1 Taluppfattning och tals användning

ETT M

a) –2 –1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

–4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

6

7

b)

29

30 31 32

8

Vilket tecken saknas, > eller <? a) 4 ☐ 9

b) 2 ☐ –3

c) –2 ☐ 0

d) –5 ☐ –3

a) 1 – 6

b) –3 – 1

c) –5 + 9

d) –9 + 3

a) 2 – 8

b) –14 + 14

c) –4 + 7

d) –5 – 9

Teckna ett uttryck och räkna ut vilken B temperaturen är om den

B

M

M

33 M

a) stiger med 10 °C b) sjunker med 10 °C °C 40 30 20 10

34

En vinterdag i Kiruna var det –18 °C på eftermiddagen. Då var det 6 °C varmare än på morgonen. Teckna ett uttryck för morgontemperaturen och räkna ut den.

P B

När du har kommit på sambandet mellan talen kan du räkna ut vilket tal som ska stå istället för X. Vilket är talet? L

P

0 – 10 – 20

1

3 7 6

– 30 – 40

11 X 24 25

1.2

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 15

H E L A TA L

15

2019-03-19 13:44

TVÅ 35

Vilka uträkningar visas?

M

40

a) –5 – 4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

I hissar ser man ibland negativa tal.

Om du till exempel åker till den våning som heter –2 så innebär det att du åker till andra våningen under markplanet.

Antag att du startar på våning –1.

b)

a) Vilken våning hamnar du på om du åker sex våningar uppåt?

–5 – 4 –3 –2 –1

36 37

0

1

2

3

a) –8 + 4

b) 3 – 9

c) –5 + 8

d) –7 + 2 + 3

4

b) Vilken våning hamnar du på om du åker två våningar nedåt och sedan M fem våningar uppåt?

5

Antag att du kliver ur hissen på våning –2. På vilken våning steg du in i hissen om du åkt

M

Vilket tecken saknas, >, = eller <?

B

c) en våning uppåt

a) –2 ? – 9 b) 2 – 3 ? –1

38

Vilket tal saknas?

B

a) ? – 1 – 9 = –5 b) ? – 4 – 3 = –9

39

M

41

M

d) fem våningar nedåt och sedan tre våningar uppåt

P

Vilket tal saknas?

P

a) 10

3

–4

b) –20

–19

–17

–11 ?

?

–10

När Elise ska räkna ut −4 + 10 räknar hon så här:

−44 + 4 = 0 0+6=6 a) Hur tror du att hon tänker?

R

b) Räkna –3 + 14 med samma metod.

M K

16

1.2

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 16

H E L A TA L

2019-03-19 13:44

TRE 42

Vilket tecken saknas, =, > eller <?

B

a) –8 + 3 ? 10 – 2 b) 5 – 11 ? 1 – 15

43

Vilka värden saknas?

Temp var

Temp steg

Temp sjönk

0 °C

3 °C

8 °C

?

–5 °C

4 °C

?

–12 °C

–8 °C

?

7 °C

2 °C

a) b) c)

44

C

–35

Vilket tal saknas?

Rita av kvadraterna nedan. Fyll sedan i de tomma rutorna med tal så att summan är lika i alla rader, både vågrätt, P B lodrätt och diagonalt. a)

Temp blev

0 –3

Vilket tal är C om avståndet mellan A och C är en tredjedel av avståndet melP K lan A och B? A

45

M

48

B

5

Summa: 0

b)

–4 12 3

70

P K

1 Taluppfattning och tals användning

Del 3

Summa: 9

a) ? + 3 – 9 = –5 b) 12 – ? – 4 = –9

46

Gaserna i luften blir till vätska om man kyler dem. Tänk dig att vi sakta kyler luft till –200 °C. Vilken av gaserna blir först R flytande? Förklara hur du tänker.

47

Hur många graders skillnad är det mellan de temperaturer då kväve och M syre blir flytande?

K

Luften består av 78 % kväve, 21 % syre och 0,9 % argon. Kväve blir vätska vid –196 °C, syre vid –183 °C och argon vid –189 °C.

1.2

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 17

H E L A TA L

17

2019-03-19 13:44

1.3

Bråkform och blandad form

Hur stor är andelen?

Cajsa har delat en pizza i fyra lika stora bitar. Varje bit är en fjärdedel av hela pizzan.

1 En fjärdedel skrivs .

4 4 Eftersom hela pizzan består av fyra fjärdedelar kan vi skriva 1 = .

4 Cajsa äter en bit. Kvar av pizzan finns då tre fjärdedelar. Vi kan räkna ut det så här: 1 4 1 3 1− = − = 4 4 4 4 En pizza kan naturligtvis delas även i andra delar som till exempel halvor eller tredjedelar.

1

=

2 2

=

3 3

=

5 5

Tal i bråkform 2 3 och är exempel på tal i bråkform.

5 5

2 femtedelar av rektangeln är röd.

3 femtedelar av rektangeln är blå.

De båda talen i ett bråk kallas täljare och nämnare. Strecket mellan talen kallas bråkstreck. täljare

3 5

bråkstreck nämnare

18

1.3

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 18

BRÅKF O RM O C H B L A N DA D F O RM

2019-03-19 13:44

Del 3

1 Taluppfattning och tals användning

Från hela till delar Två pizzor kan delas i åtta fjärdedelar.

2=

8 4

12 16 Tre pizzor kan delas i 12 fjärdedelar , fyra pizzor i 16 fjärdedelar 4 4 och så vidare.

Tal i blandad form Efter ett biobesök gick Saida och Aiden till en pizzeria.

De beställde två pizzor och bad att få dem delade i fjärdedelar.

Efter en stund så fanns det fem fjärdedelar kvar. Man kan också säga att det fanns en hel och en fjärdedels pizza kvar.

5 Talet 5 fjärdedelar skrivs i bråkform så här: .

4 1 Om talet skrivs som hela och delar, 1 , så är det skrivet i blandad form.

4 5 1 =1 4 4 Blandad form Bråkform

Här finns det en hel och tre åttondels pizza kvar. Räknar man pizzabitarna så finns det 11 bitar. Man kan därför säga att det finns 11 åttondelar kvar.

1

3 11 = 8 8

1.3

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 19

BRÅKF O RM O C H B L A N DA D F O RM

19

2019-03-26 10:04

EXEMPEL

Skriv talen i bråkform.

2 1 b) 2 a) 1 5 3

1 5 1 6 a) 1 = + = 5 5 5 5 2 6 2 8 = + = 3 3 3 3 6 8 Svar: a) b) 5 3 b) 2

En hel kan växlas till 5 femtedelar.

Sedan adderar du med

1 6 och får då .

5 5

2 hela kan växlas till 6 tredjedelar. 6 tredjedelar plus 2 tredjedelar är lika med 8 tredjedelar.

EXEMPEL

Skriv talen i blandad form.

7 5 b) a) 4 2

20

7 4 3 3 a) = + = 1 4 4 4 4

4 fjärdedelar kan du växla till 1 hel. Du har 3 fjärdedelar över.

1 5 4 1 b) = + = 2 2 2 2 2 1 3 Svar: a) 1 b) 2 2 4

4 halvor kan du växla till 2 hela. Du har 1 halva kvar.

1.3

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 20

BRÅKF O RM O C H B L A N DA D F O RM

2019-03-26 10:55

ETT 49

Hur stor andel av cirkeln är a) röd

B

54

b) blå

55

1 2 1 c) 1 − 4

a) 1 −

1 3 1 d) 1 − 10

b) 1 −

M

Bilden föreställer ett tal.

B

a) Skriv talet i blandad form. b) Skriv talet i bråkform.

50

Pizzan är delad i åtta bitar. Hur stor andel av pizzan är a) uppäten

b) kvar

B

56 57

Hur vet man om värdet av ett bråk är större eller mindre än 1?

R

Hur stor andel av chokladkakan är

B

a) kvar

51

Vilket tal saknas? a) 1 = c)

52

5

3

=2

b) 1 =

B

6 ?

d) 2 = 6

?

Vilket tal är störst? a)

53

?

?

1 1 eller 2 3

B

58

1 1 b) eller 4 6

Peter har två meloner. Han delar varje melon i femtedelar. Hur många B bitar får han?

1 av en 5 spännande bok. Hur stor andel hade

a) En lördag läste Behrad han kvar att läsa?

B M

b) Till söndag kväll hade Behrad läst 5 av boken. Hur stor andel hade 8 han då kvar att läsa?

B

M

1.3

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 21

b) uppäten

1 Taluppfattning och tals användning

Del 3

BRÅKF O RM O C H B L A N DA D F O RM

M

21

2019-03-20 13:17

TVÅ 59

Bilden föreställer ett tal.

B

65

a) Skriv talet i blandad form. b) Skriv talet i bråkform.

Skriv talen i blandad form.

7 10 a) b) 5 3 c)

66 60

Skriv talen i bråkform.

1 1 b) 2 a) 1 2 2 2 c) 1 3

61

62

8 5

d)

1 3

d)

R

Du startar i punkten A och går runt cirkeln i pilens riktning. Var är du när P du har gått

B

b) en tredjedel av omkretsen c) tre fjärdedelar av omkretsen B

A

B C

E M

D

68

Vilket eller vilka av bråken är

B

a) lika med 1

3 =1− ?

5

b) större än 1

Lasse klipper en stor gräsmatta. Före 3 lunch klipper han av gräsmattan. Det 4 tar 45 minuter.

c) mindre än 1

a) Hur stor andel har han kvar att klippa?

d) Förklara hur du tänker när du löser uppgifterna a–c.

R

Skriv talen i bråkform.

1 1 b) 2 a) 1 3 5 c) 1

22

Hälften av en halv är lika med en fjärdedel. Visa att det är så.

F

b) Hur lång tid tar det att klippa den sista delen om han klipper med B samma hastighet hela tiden?

64

13 2

d)

a) halva omkretsen

7 3

Vilket tal saknas?

1 5 a) + ? = 1 b) ? + = 1 4 7 c) 1 − ? =

63

67

1 d) 2 4

Skriv talen i blandad form.

4 7 b) a) 3 2 c)

B

9 4

B

3 4

1.3

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 22

d) 3

B

7 5

4 4

5 6

11 9

4 3

3 8

M

B

2 5

BRÅKF O RM O C H B L A N DA D F O RM

2019-03-19 13:44

TRE 69

Hur stor andel av hela figuren är de olika delarna?

74 B M

D

C

70

71

G

1 4

d)

9 26

23 45

11 50

7 29

85 168

12 35

a) Hur många fjärdedelar är en halv? b) Hur många sjättedelar är en halv?

Vilket tal saknas? a)

??

=2

3 5

5 1 21 = ? c) 4 4

B C

D

B M

75

Tänk dig att du målar hälften av det vita området rött. Hur stor andel är då röd P B av hela kvadraten?

76

Zelda tror att

B M

P B

77

1 1 2 + = .

2 4 6 Hur kan du förklara för henne att det inte stämmer?

a) störst

b) 4

B R

Tänk dig att X, Y och Z är naturliga tal och att X > Y > Z. Vilket eller vilka av P bråken nedan är då b) minst

B

c) lika med 1

X X X Y Y Y Z Z Z X Y Z X Y Z X Y Z

78

Skriv det bråk som är hälften så stort som a)

1.3

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 23

A

E

M

1 ?? = 3 3 7 34 d) =?

9 9

H

F P

1 5

c) Hur många åttondelar är en halv plus en fjärdedel?

73

c) Hur stor andel har du gått när du kommer till H?

b) kvinnor

Vilket eller vilka av bråken i rutan är ungefär lika med 1 1 a) b) 2 3 c)

72

b) Var är du när du har gått tre fjärdedelar av omkretsen?

E

I en buss sitter 11 män och 14 kvinnor.

B M Hur stor andel är a) män

P B

a) Var är du när du har gått en femtedel av omkretsen?

B A

Du startar i punkten A och går runt kvadraten ett varv i pilens riktning.

1 Taluppfattning och tals användning

Del 3

3 4

b) 1

1 2

c) 1

2 5

L

BRÅKF O RM O C H B L A N DA D F O RM

P B K

23

2019-03-19 13:44

1.4

Bråkform och decimalform

Bråk kan skrivas i decimalform och tal i decimalform kan skrivas som bråk.

I rutan ser du några samband som är bra att kunna utantill.

1 = 0,1 10 1 = 0,01 100

1 = 0,5 2 1 = 0,25 4

1 = 0,001 1 000

1 = 0,2 5

Vissa bråk har oändligt många decimaler när de skrivs i decimalform.

Vi får då avrunda. Då får vi ett ungefärligt värde som kallas närmevärde.

Några exempel på sådana tal är: 1 2 3 ≈ 0,33 ≈ 0,67 ≈ 0,43 3 3 7

EXEMPEL

Skriv talen i decimalform.

9 7 b) a) 10 100

c) 1

a)

9 = 0,9 10

Eftersom

1 9 = 0,1 så är = 9 · 0,1 = 0,9.

10 10

b)

7 = 0,07 100

Eftersom

1 7 = 0,01 så är = 7 · 0,01 = 0,07.

100 100

Eftersom

1 3 = 0,25 så är = 3 · 0,25 = 0,75. Om 4 4

3 c) 1 = 1,75 4

Svar: a) 0,9

24

3 4

1.4

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 24

du sedan lägger till en hel så får du 1,75.

b) 0,07

c) 1,75

BRÅKFORM OCH DECIMALFORM

2019-03-19 13:44

Del 3

1 Taluppfattning och tals användning

EXEMPEL

Skriv talen i bråkform. a) 0,7

b) 0,17

a) 0,7 =

7 10

b) 0,17 =

Eftersom 0,1 =

17 100

7 10

1 7 så är 0,7 = .

10 10

Eftersom 0,01 =

3 c) 0,003 = 1000 Svar: a)

c) 0,003

Eftersom 0,001 =

b)

17 100

c)

1 17 så är 0,17 = .

100 100

1 3 så är 0,003 = .

1 000 1 000

3 1000

EXEMPEL

Skriv talen i decimalform och beräkna.

1 4 3 a) 0,4 + b) − 4 5 10

a) 0,4 +

b)

1 = 0,4 + 0,25 = 0,40 + 0,25 = 0,65 4

4 3 − = 0,8 – 0,3 = 0,5 5 10

Svar: a) 0,65

Eftersom

Tänk på att 0,4 = 0,40.

1 4 = 0,2 så är = 4 · 0,2 = 0,8.

5 5

b) 0,5

K • Skriv av uppgiften.

• Skriv ut mellanledet..

• Avsluta med svar.

1.4

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 25

BRÅKFORM OCH DECIMALFORM

25

2019-03-19 13:45

ETT 79

80

81

Skriv talen i decimalform.

8 8 b) a) 10 100 3 3 d) c) 1 000 10

B

Skriv talen i bråkform.

B

a) 0,3

b) 0,03

c) 0,007

d) 0,7

Hur stor andel av cirkeln är a) röd

85

b) blå

a) decimalform

B

b) bråkform

B

c) Vilken tid hade Jenny om Susannas M tid var 13,67 s?

86 B

Jenny sprang fem hundradels sekunder snabbare än Susanna på 100 m. Skriv fem hundradelar i

Rita av figuren. Placera sedan in talen 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 och 0,6 i cirklarna så att summan längs alla sidor blir 1.

P B

Svara både i decimalform och bråkform.

82

a) 0,1 + 0,3

b) 0,35 – 0,1

c) 0,01 + 0,42 d) 0,6 – 0,05

83

84

26

1 – 0,2 2 1 c) 0,3 – 4

7 + 0,15 10 3 d) + 0,2 5 1 Leo tror att 1,5 är lika med .

5 Hur kan du förklara för honom att han har fel? a)

1.4

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 26

M

b)

B M K

B R

BRÅKFORM OCH DECIMALFORM

2019-03-19 13:45

TVÅ 87

88

Vilket tal är störst?

1 3 a) eller 0,2 b) eller 0,8 4 4

a) 0,9 + 0,1 c)

90

3 1 + 4 5

Skriv talen i blandad form och i decimalform.

B

b) två hela och fyra femtedelar B

b) decimalform

7 − 0,2 10 9 1 d) − 10 4

91

a) en hel och en halv

Hur stor andel av rektangeln är blå?

Svara i a) bråkform

89

M

92

93

b)

B M K

Navarana sprang 60 m på tiden 8,65 s.

94 B M

Skriv talen i blandad form och i bråkform. a) 1,7

b) 2,09

c) 5,11

d) 3,3

1 + 0,3 4 7 3 c) + 10 5 a) 1

Vi skriver att

b) 2 – 1 d) 3

1 2

1 − 0,9 4

B M K

1 = 0,25 men att 4

1 ≈ 0,33. Varför använder vi olika 3 tecken?

a) Elton hade sju hundradelar bättre tid. Vilken tid hade Elton?

B M

1 Taluppfattning och tals användning

Del 3

B R

b) Tove var en tiondel snabbare än Navarana. Vilken tid hade Tove?

1.4

001-057 Grundvux_I_kap_1.indd 27

BRÅKFORM OCH DECIMALFORM

27

2019-03-19 13:45

Matematik Grundvux delkurs 3

Matematik Grundvux, delkurs 3 är väl anpassad till kursplan och kunskapskrav i matematik genom: • kapitel som innehåller det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka förmågor varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp

matematik

www.matematikxyz.com Matematik Grundvux, delkurs 1 och 2

Matematik Grundvux, delkurs 3

Matematik Grundvux, delkurs 4

Matematik XYZ hemsida

DELKURS

På seriens hemsida finns uppgifter för extra träning i form av arbetsblad, repetitionsuppgifter m m.

Undvall Melin Johnson Welén

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 90 00.

Best.nr 47-12551-7 Tryck.nr 47-12551-7

4712551 Grundvux 3 Omslag tryck.indd 1

3

Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén

2019-03-19 12:59