M3c SJUNNESSON
M
3c
Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 3c. Den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen. Boken passar också för vuxenutbildning och basår.
HOLMSTRÖM
• Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken. • Nivåindelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera.
SMEDHAMRE
• Laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, Digitala rutan samt Kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor.
SON JUNNES JONAS S RÖM HOLMST MARTIN DHAMRE EVA SME
• Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Test och Blandade övningar. M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.
Best.nr 47-10736-0
Tryck.nr 47-10736-0-02
47107360_Matematik_Cover.indd 1
2020-11-23 09:59
ISBN 978-91-47-10736-0 © 2012 Jonas Sjunnesson, Martin Holmström, Eva Smedhamre och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 3 Repro: Exakta Print AB, Malmö Tryck: People Printing, Kina 2021
KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUSavtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/ förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
47107360_Matematik_FM.indd 2
2020-11-23 10:02
Till elever och lärare Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 3c och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. exemPel
Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna!
!
definition: r
!
sats: vertikalv
Tydliga rutor med rubrikerna Definition och Sats, samt regelrutor återkommer genom hela boken.
! antalet värdesiffro
aKtivitet
Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på uppgiftsnumren. grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu svårare. Aktiviteter är avsnitt med laborativ karaktär. Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband.
digitala rutan
I digitala rutan får du använda olika digitala verktyg för att lösa problem.
TEsT
Varje kapitel avslutas med ett test i två delar, varav en utan räknare.
tanKenöt
Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! Lycka till med kursen! Författarna
3
M3c.indb 1
12-06-29 12.00.41
Innehåll 1
TRIGONOMETRI
7
1.1 Repetition av viktig algebra
8
1.2 Trigonometri i rätvinklig triangel
Exakta värden
14
1.3 Enhetscirkeln
16
1.4 Triangelsatserna
1.5 Cirkelns ekvation
37
Digitala rutan: Rita en cirkel på parameterform 40 Sammanfattning
42
test 44 Blandade uppgifter
46
ALGEBRA
51
2.1 Repetition 52 10
22
Areasatsen 22 Sinussatsen 25 Aktivitet: Sinussatsen 30 Cosinussatsen 31 Problemlösning 34 Upptäck & visa: Vilken är kurvan?
2
Potenser 52 Algebra och ekvationer 54 Faktorisera 56 Aktivitet: Geometriska bevis 2.2 Polynom och faktorer
57
58
Polynom 58 Faktorer, rötter och nollställen 61 2.3 Rationella uttryck 66
36
Förkorta rationella uttryck 66 Mer om förenkling 69 Digitala rutan: Rationella funktioner 72 Multiplikation och division av rationella uttryck 73 Addition och subtraktion av rationella uttryck 75 Upptäck & visa: Lek med tal 78 2.4 Ekvationer och olikheter 79
Lösa olikheter från grafer 79 Mer om grafer 83 Olikheter med teckenstudium Ekvationer med nämnare 90 Absolutbelopp 93
86
Sammanfattning 96 test 97 Blandade uppgifter 99
4
47107360_Matematik_FM.indd Avs1:2
13/05/14 12:51 PM
3
derivator 102
3.1 Förändringar 104
Repetition av räta linjen 104 Ändringskvot 108 En kurvas lutning 114 Beräkning av gränsvärden 120 Digitala rutan: Gränsvärde med räknare 125
4
4.1 Fler derivator 184
Derivatan av y = ex 184 Naturliga logaritmer 189 Derivatan av y = 2x 193 Problemlösning 195 Aktivitet: Matematisk modell 199 4.2 Integraler 200
3.2 Derivator 126
Använda derivatans definition 126 Deriveringsregler för polynom 130 Upptäck & visa: Symmetrisk differenskvot 136 Digitala rutan: Derivata med räknare 137 Tillämpningar på derivata 138
Primitiva funktioner 200 Aktivitet: Bestämma arean under en kurva 206 Beräkna integraler 207 4.3 Integral och area 214
Arean av ett område mellan två kurvor 214 Mer om integraler 221 Digitala rutan: Integraler med räknare 227 Upptäck & visa: Förhållandet mellan areor 228 Tillämpningar av integraler 229 Digitala rutan: Ett hundrameterslopp 233
3.3 Derivator och grafer 140
Rita kurvor med hjälp av derivatan 140 Största och minsta värde 148 Derivatans graf 151 Andraderivatan 156 Maximi- och minimiproblem 159 Aktivitet: Areaproblem 163
Sammanfattning 234 test 4 236 Blandade uppgifter 239
3.4 Mer om derivator 164
Lite algebra 164 Derivatan av potensfunktioner 165 Diskontinuerliga funktioner 168 Diskret funktion 169 Inflexionspunkt och derivata 170 Sammanfattning 172 test 3 174 Blandade uppgifter 177
talet e och integraler 182
5
repetition
244
Facit 256 Facit till tankenötter 280 Sakregister 281
5
M3c.indb 3
12-06-29 12.00.42
Mål I det här kapitlet får du lära dig • Exakta trigonometriska värden • använda enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp • hur man bevisar sinus-, cosinus- och areasatsen för en godtycklig triangel • Bestämma arean av en godtycklig triangel • Bestämma sidor och vinklar i en godtycklig triangel • Egenskaper hos cirkelns ekvation • skriva funktioner på parameterform • strategier för matematisk problemlösning • använda digitala hjälpmedel för att lösa problem och öka din begreppsförståelse
M3c.indb 6
12-06-29 12.00.52
1 Ordet geometri betyder jordmätning och numera kan vi använda GPS-teknik för olika avståndsmätningar. GPS är en förkortning för Global Positioning System. Med en GPS-mottagare får du veta var du befinner dig. Du får alltså både geografiska koordinater och höjd över havet. Hur fungerar detta? GPS utnyttjar att det finns satelliter på noggrant bestämda lägen. Dessa satelliter befinner sig på ca 20 000 km höjd och sänder hela tiden ut signaler. När din GPS tar emot en signal från en satellit A, beräknas den tid som det tar för signalen att färdas från satelliten till GPSmottagaren. Då kan avståndet mellan GPS-mottagaren och A bestämmas. Observera att det finns flera platser på jorden med samma avstånd till A. Alla platser som befinner sig på en viss cirkel på jordytan har samma avstånd till A. Med hjälp av ytterligare en satellit (B), kan avståndet mellan din GPS-mottagare och satelliten B bestämmas. Också här ligger alla platser som har samma avstånd till B på en cirkel. Cirklarna skär varandra i två punkter, och du befinner dig i någon av dessa punkter.
BeGrePP
För att också få höjden över havet, behövs en fjärde satellit.
hypotenusa motstående katet närliggande katet
a
enhetscirkel sinus cosinus tangens cirkelns ekvation
b
parameterform areasatsen sinussatsen GPS, som ägs av USA:s försvarsmakt, utvecklades under 1970-talet och sattes i drift på 1990-talet. Idag finns även ryska, kinesiska och europeiska satelliter för positionsbestämning.
cosinussatsen
Till sist bestämmer signalen från en tredje satellit vilken punkt det är.
TRIGONOMETRI
M3c.indb 7
7
12-06-29 12.00.55
Kapitel 1
1.1 repetition av viKtig algebra i det här korta avsnittet repeterar vi lite algebra som är bra att kunna längre fram i kapitlet.
! Kvadreringsregler:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
några ekvationer:
x a
a
=b ⇒ x=b·a
Fullständig andragradsekvation: x2 + 6x + 8 = 0
x
=b ⇒ a=b·x ⇒ x=
a b
2 p p x2 + px + q = 0 ⇒ x = − ± − q 2 2
x = −3 ± 32 − 8 x = –3 ± 1 x1 = –3 + 1 = –2 x2 = –3 – 1 = –4 Pythagoras sats: a2 + b2 = c2
c
a b
exemPel
Bilden visar en rätvinklig triangel. Bestäm triangelns sidor. Pythagoras sats ger ekvationen (x – 7)2 + x2 = (x + 1)2 Vi utvecklar kvadraterna och får x2 – 14x + 49 + x2 = x2 + 2x + 1 x2 – 16x + 48 = 0 x–7 Nu är ekvationen skriven på normalform. x = 8 ± 82 − 48 x = 8 ± 16
x=8±4
x1 = 12
(m) x+1
x
x2 = 4
Roten x = 12 ger sidorna 12 + 1 = 13 och 12 – 7 = 5 Roten x = 4 ger sidorna 4 + 1 = 5 och 4 – 7 = –3 Lägg märke till att roten x = 4 är en falsk rot eftersom en sida blir negativ. Den falska roten förkastas. svar: Sidorna är 12 m, 13 m och 5 m.
8
M3c.indb 8
1.1 REpETITION av vIkTIG alGEBRa
12-06-29 12.00.57
Kapitel 1
Förenkla 1101
a) (3 + x)2 – 9
1102
a) (5 + x)2 + (x – 5)2 2
b) (y – 8)2 + 16y – y2
1110
a) x2 + 75 = (2x)2
1111
a) Bestäm triangelns sidor. b) Är det sant att omkretsen < 24 cm? (cm)
2
b) (4 + x) – (4 – x) 1103
b) x2 + 82 = (x + 4)2
x
a) (3 – x)2 + 3(3 – 2x) b) (c – x)2 + 2cx
x+4
x+2
Lös ekvationerna
I de följande trigonometriska ekvationerna ska du lösa ut x. Observera att ditt svar inte blir ett tal, utan ett uttryck som t ex x = 5 sin v.
1104
a)
x = 0,3 7
b)
6 = 0,5 x
1105
a)
2x = 0,8 5
b)
15 = 0,3 2x
1112
a)
x = sin v 3
b) 0,2 =
1106
a) 20 =
b)
x 8 = 24 3x
1113
a)
0,5 = sin v x
b) tan v =
1107
a) x2 + 52 = 132
b) 32 + x2 = 52
1114
a)
7 x = cos v 0,2
b)
8 ⋅ x ⋅ sin v = 20 2
1108
a) x2 + 2x – 8 = 0
b) x2 – 12x + 11 =0
1115
a)
b)
1109
a) (x – 7)2 = 25
b) (x + 2)2 = 100
x 15 = sin a sin v
sin a sin v = 7 x
1 5x
cos v x 8 x
tanKenöt 1
Figuren visar hur man kan bygga en stor triangel med hjälp av mindre triang lar. För att bygga tre rader enlig t figuren behövs det 9 små tria nglar. Hur många sm å trianglar be hövs det för att bygg a a) 4 rader? b) 44 rader?
TRIGONOMETRI
M3c.indb 9
9
12-06-29 12.01.00
Kapitel 1
1.2 trigonometri i rÄtvinKlig triangel sedan tidigare vet du att rätvinkliga trianglar har två kateter. det är viktigt att du vet vilken som är vilken av dessa. därför kallar man kateterna för närliggande repektive motstående katet, och utgår då från en av de spetsiga vinklarna.
Den katet som är närmast vinkeln v kallas närliggande katet. Kateten som är mitt emot vinkeln v kallas motstående katet. närliggande katet
hyp oten usa
v
usa oten hyp v närliggande katet
motstående katet
motstående katet
Titta på de blå trianglarna till vänster. 24
12
v 8 v
4
Den stora triangeln är en förstoring av den lilla triangeln i skala 3:1. Eftersom trianglarna har samma form (är likformiga) så är vinkeln v lika stor i båda trianglarna. motstående katet = 0,5 För båda trianglarna gäller att kvoten hypotenusa 4 12 = 0,5 = 0,5 Stora triangeln: 8 24 motstående katet Kvoten hypotenusa kallas sinus för vinkeln v
Lilla triangeln:
Här gäller för båda trianglarna att sin v = 0,5 De trigonometriska begreppen sin x, cos x och tan x definieras på följande sätt:
!
definition: trigonometriska funktioner
sin v = cos v = tan v =
10
M3c.indb 10
motstående katet hypotenusa
=
närliggande katet hypotenusa motstående katet närliggande katet
a c
= =
b c
c
a
v b
a b
1.2 TRIGONOMETRI I RäTvINklIG TRIaNGEl
12-06-29 12.01.02
Kapitel 1
exemPel 1
Bestäm den sida som är markerad med x. (cm)
Definitionen av cosinus ger x cos34° = 7,1 x = 7,1 · cos 34°
7,1 34° x
x ≈ 5,9 svar: Sidan är 5,9 cm. exemPel 2
Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader.
(cm) 27
20
v
Eftersom vi vet motstående katet och hypotenusan, använder vi definitionen av sin v. sin v =
20 27
Beräkningen av vinkeln v görs nu med räknare. Hur räknarens sinusfunktion ska användas, beror på vilken räknare som används. Det är viktigt att du vet hur just din räknare fungerar, titta gärna i bruksanvisningen. Lägg märke till att räknaren ska vara inställd på grader, dvs Degree.
SIN–1(20/27) 47,7945536
Symbolen sin–1 ska tolkas så att sin–1(20/27) beräknar den vinkel v där sin v = 20/27. sin–1 utläses ”sin-invers” och kan även skrivas arcsin (utläses ”arcus-sinus”).
Räknaren ger alltså v ≈ 48° svar: 48°
TRIGONOMETRI
M3c.indb 11
11
12-06-29 12.01.04
Kapitel 1
exemPel 3
Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader.
(cm) 15
v 31
Eftersom vi vet båda kateterna använder vi definitionen av tan v. tan v =
31 15
v ≈ 64° (64, 17…)
svar: 64°
exemPel 4
I en likbent triangel är toppvinkeln 76,0° och motstående sida 21,6 cm enligt figuren.
76°
Beräkna triangelns omkrets och area. 21,6 cm
Vi drar en höjd från toppvinkeln mot basen. Höjden delar basen mitt itu och är dessutom bisektris till toppvinkeln. I den halva likbenta triangeln kallas sidorna a och b enligt nästa figur. 10,8 a 10,8 a= sin38° sin38° =
b
a ≈ 17,54...
38°
a
10,8 cm
Vi använder räknarens värde på a när omkretsen beräknas. Omkretsen = (2 · 17,54… + 21,6) cm ≈ 56,7 cm. Nu beräknar vi sidan b, som är den ursprungliga triangelns höjd. 10,8 b 10,8 b= tan38° tan38° =
b ≈ 13,82 Triangelns area är
13,82 ⋅ 21,6 ≈ 149 2
svar: Omkretsen är 56,7 cm och arean 149 cm2.
12
M3c.indb 12
1.2 TRIGONOMETRI I RäTvINklIG TRIaNGEl
12-06-29 12.01.07
KAPITEL 1
1201 Beräkna de markerade vinklarna.
1206 I en rätvinklig triangel gäller för vinkel x
Svara i hela grader. a)
b)
11
5
5
v
v
3 2
5
9
c)
4 . 3 a) Bestäm ett exakt värde för cosx.
att tan x =
1207 Triangeln ABC är likbent. Beräkna med
två värdesiffror triangelns a) omkrets
7
d)
v
b) Är det sant att sin x < cos x?
B
v
(cm) A
37°
37° 10,2
1202 Beräkna den sida som är markerad med x.
Avrunda till två värdesiffror. a) 27°
c)
x
31 dm x
x
35°
d) x
varför sin x och cos x inte kan bli större än 1, medan däremot tan x kan bli hur stort som helst.
1209 Beräkna triangelns area med två
17 cm
42°
19° 23 m
värdesiffror.
36 mm och 85 mm långa. Bestäm triangelns minsta vinkel.
1204 En kraft F kan delas upp i två
komposanter, Fx och Fy enligt figuren. Hur stora blir Fx och Fy om F = 14 kN? F
32°
41° 11,4
1210 Beräkna utan räknare sin–1(sin 45°). 1211 Beräkna vinkeln v i triangeln. Svara i hela
grader. 1
Fx 2
1205 Titta på rektangeln.
a) Beräkna vinkeln v i hela grader. b) Beräkna rektangelns area i hela m2. (m) 15,1
(cm)
8,2
1203 I en rätvinklig triangel är kateterna
Fy
C
1208 Utgå från en vinkel x. Förklara
b)
15 cm
b) area.
23,5
v 5
1212 Rita, utan att använda gradskiva,
en rätvinklig triangel som har en vinkel 58°. Förklara hur du tänker.
v
TRIGONOMETRI
M3c.indb 13
13
12-06-29 12.01.08
Kapitel 1
1213
Vilka koordinater har punkterna P och Q i koordinatsystemen nedan? Svara med en decimal. y
y Q P 5 le
4 le 37°
80°
x
1216
Visa att det för alla rätvinkliga trianglar sin v gäller att tan v = cos v
1217
Beräkna arean av en regelbunden femhörning med sidan 7,0 cm.
x
1214
I en triangel ABC gäller för vinklarna att B + C = 90°. Visa att sin B = cos C.
1215
I en rätvinklig triangel är den kortaste sidan 8,0 cm. För den minsta vinkeln v 1 gäller att 2,4 = . Bestäm triangelns tan v största sida.
Bilden visar USA:s försvarshögkvarter Pentagon. Namnet kommer från den geometriska formen, en femhörning (pentagon).
exakta värden För vinklarna 30°, 45° och 60° kan vi bestämma exakta värden för cosinus, sinus och tangens. vinklarna 30° och 60°
Triangeln nedan är liksidig och har sidan 2a. Höjden h delar triangeln i två rätvinkliga trianglar med de spetsiga vinklarna 30° och 60°. Var och en av dessa två trianglar brukar kallas en halv liksidig triangel. Höjden h i triangeln beräknas med Pythagoras sats: h2 + a2 = (2a)2 h2 = 4a2 – a2 2
2a
2
h = 3a +
h = ( – ) 3a 2
30°
2a
h
60°
h>0
a
a
h = a⋅ 3
slutsats: Triangelns höjd = halva sidan ·
14
M3c.indb 14
3
1.2 TRIGONOMETRI I RäTvINklIG TRIaNGEl
12-06-29 12.01.11
Kapitel 1
vinkeln 45°
En rätvinklig triangel med vinkeln 45° fås enkelt genom att dela en kvadrat i två delar. Kvadraten nedan till höger har sidan 1. Med hjälp av Pythagoras sats får vi att kvadratens diagonal blir 2 . Prova gärna själv!
! diagonalen i en kvadrat = sidan ·
2
Höjden i en liksidig triangel = halva sidan ·
3
45° 2
30°
2
1
3 45°
60°
1
1
Med hjälp av de två blå trianglarna ovan kan vi nu bestämma exakta trigonometriska värden för vinklarna 30°, 60° och 45°. Vi ser t ex att sin 60° =
3 2
cos45° =
1 2
sin30° =
1 = 0,5 2
1 tan45° = = 1 1
exemPel
Bestäm exakt värde för triangelns omkrets och area. Triangelns höjd = 4 ⋅ 3 (halv liksidig triangel) Hypotenusan = 2 · 4 = 8
(cm)
60° 4
Omkretsen = 4 + 8 + 4 3 = 12 + 4 3 Triangelns area = 4 ⋅ 4 3 = 8 3 2 svar: Omkrets = 12 + 4 3 cm och area = 8 3 cm2
TRIGONOMETRI
M3c.indb 15
15
12-06-29 12.01.14
Kapitel 1
Använd ”de speciella trianglarna” på förra sidan. Bestäm exakta värden till följande. 1218
a) sin 30° a) cos 30°
b) sin 60 · tan 60 + cos 45 · sin 45 1226
I en ”halv kvadrat” är den längsta sidan 3 cm. Bestäm ett exakt värde på längden av de övriga sidorna.
1227
I en ”halv liksidig triangel” är den längsta kateten 7 cm. Ange ett exakt värde på
b) cos 60°
c) cos 45° 1220
a) tan 30°
b) tan 60°
c) tan 45° 1221
(cm)
a) längden av de övriga sidorna
Beräkna ett exakt värde på triangelns area.
b) triangelarean. 60°
1228
8
1222
En liksidig triangel har sidan 18 cm. Beräkna ett exakt värde på triangelns area.
1223
I en liksidig triangel är höjden 6 cm. Beräkna ett exakt värde på triangelns area.
1224
Beräkna exakt. a) (sin 30)2 + (cos 30)2
b) sin 60°
c) sin 45° 1219
1225
I en ”halv liksidig triangel” är den kortaste sidan 5 cm. Ange ett exakt värde på a) längden av de övriga sidorna
I en tabell kan man läsa att sin45° =
1 . 2
2 . 2 Är båda rätt eller står det fel i någon av tabellerna? Motivera.
I en ennan tabell står det att sin45° =
1229
Omkretsen av en ” halv liksidig triangel” är exakt 6 cm. Visa att längden av triangelns kortaste sida är exakt (3 − 3) cm.
b) triangelns area.
1.3 enhetsCirKeln bilden på nästa sida visar en cirkel som är placerad i ett koordinatsystem med medelpunkten i origo. Cirkeln har radien 1 längdenhet och kallas enhetscirkel.
Titta på den blå triangeln i cirkeln. Triangeln är rätvinklig och dess hypotenusa = cirkelns radie. Triangeln har en vinkel som är 30°. Låt oss bestämma sin 30° och cos 30° med hjälp av enhetscirkeln.
16
M3c.indb 16
1.2 TRIGONOMETRI I RäTvINklIG TRIaNGEl
12-06-29 12.01.15
Kapitel 1
y
120
110
100
90
80
1,0
0
13
70
60
50
14
40
0
0,8
15
30
0
0,6
160
20
0,4
(0,87;0,5)
170
10
0,2
0
30°
180 –0,8
–0,6
–0,4
–0,2
0,2
0,6
1,0 360
0,8
x
0,87
340
200
–0,2
0,4
350
190
–1,0
–0,4 2
0
10
33
–0,6 2
0
20
32
–0,8
31
0
30
0
290
0
40
–1,0
280
270
260
250
23
2
Hypotenusa = 1 (cirkelns radie). Motstående katet = 0,5 (vi avläser y-värdet där radien skär cirkelbågen) Närliggande katet ≈ 0,87 (x-värdet där radien skär cirkelbågen) Detta innebär att sin30° =
0,5 = 0,5 1
cos30° ≈
0,87 = 0,87 1
tan30° ≈
0,5 0,87
Vi får sin 30° genom att avläsa y-koordinaten i enhetscirkeln. cos 30° får vi genom att avläsa x-koordinaten. tan30° =
sin30° . Se triangeln i enhetscirkeln. cos30°
TRIGONOMETRI
M3c.indb 17
17
12-06-29 12.01.17
Kapitel 1
De trigonometriska begreppen kan definieras med hjälp av enhetscirkeln, där vinkeln v vrids i positiv riktning, dvs som pilen vid v visar. Koordinaterna för radiens skärningspunkt med cirkelbågen avläses.
!
definition 1
sin v = y-koordinaten
(x, y)
tan v =
sin v cos v
då cos v ≠ 0
sin v
cos v = x-koordinaten –1
1 v cos v
1
–1
Med hjälp av definitionerna, kan vi nu bestämma sinus och cosinus även för vinklar som är större än 90°. exemPel 1
a) Bestäm sin 140° och cos 140° med hjälp av enhetscirkeln på föregående sida. I enhetscirkeln finns en radie ritad för 140°. Eftersom sinus-värdet = y-koordinaten, ska vi avläsa y-värdet där radien skär cirkelbågen. sin 140° ≈ 0,64. På motsvarande sätt bestämmer vi cos 140° genom att avläsa x-koordinaten. cos 140° ≈ –0,77. b) Använd radien vid 250° och bestäm sinus och cosinus för 250°. sin 250° ≈ –0,94 cos 250° ≈ –0,34
18
M3c.indb 18
1.3 ENhETscIRkElN
12-06-29 12.01.18
Kapitel 1
Vi ska nu titta på två viktiga samband som fås ur enhetscirkeln. 1
y 180° – v
1 x
v –1
y
1
v –v
–1
–1
x 1
–1
Titta på enhetscirkeln ovan till vänster. Vinklarna v och (180°– v) har markerats. Vad gäller för y-koordinaterna för dessa? Jo, de är lika. sin (180°– v) = sin v Titta på enhetscirkeln ovan till höger. Vinklarna v och – v har markerats. Vad gäller för x-koordinaterna för dessa? Jo, de är lika. cos (– v) = cos v
! sin (180°– v) = sin v
cos (–v) = cos v
Detta innebär t ex att sin 10° = sin 170° och att cos 30° = cos (–30°) De här två sambanden kommer du att använda när du löser trigonometriska ekvationer. exemPel 2
Lös ekvationen sin v = 0,5
där 0° ≤ v ≤ 360°
Vi använder räknaren och får v = 30° Ekvationen har även lösningen v = 180° – 30° = 150°
y 150°
30° x
Se enhetscirkeln. För vinklar v i intervallet 0°< v < 360° får en ekvation av typen sin v = 0,5 två lösningar. Miniräknaren ger endast den ena lösningen. Använd därför alltid enhetscirkeln som hjälpmedel då du löser dessa ekvationer. svar: v1 = 30°
v2 = 150°
TRIGONOMETRI
M3c.indb 19
19
12-06-29 12.01.19
Kapitel 1
exemPel 3
Lös ekvationen cos v = 0,5
y
60°
Vi använder räknaren och får
x
v = 60° Ekvationen har även lösningen v = –60° Se enhetscirkeln.
–60°
svar: v = ±60°
1301
1302
1303
1304
1305
Bestäm cos 230° med räknaren. Skissa en enhetscirkel och förklara vad det är du har räknat ut! Använd enhetscirkeln och bestäm sinus för följande vinklar. a) 40° b) 150° c) 210° Använd enhetscirkeln och bestäm cosinus för följande vinklar. a) 60° b) 110° c) 310° Använd enhetscirkeln och bestäm sinus för följande vinklar. a) 90° b) 180° c) 270° d) 360° e) 0° f) –30° Använd enhetscirkeln och bestäm cosinus för följande vinklar. a) 90° b) 180° c) 270° d) 360° e) 0° f) –60°
Använd räknare och lös ekvationerna då 0° < v < 360°. Svara i hela grader. 1306
a) sin v = 0,766 a) sin v = 0,8
M3c.indb 20
a) cos v = 0,766
b) sin v =
b) cos v = 0,866
c) cos v = 0,342 1309
Använd enhetscirkeln (inte räknaren) för att bestämma. a) tan 45°
b) tan 180°
c) tan 90° 1310
Ge exempel på två vinklar som har sinusvärdet 0,5.
1311
Bestäm följande med hjälp av en enhetscirkel, dvs utan att använda räknaren. a) sin–1(–0,5)
1312
b) cos–1(–0,5)
Den markerade punkten i enhetscirkeln har koordinaterna (a, b). Uttryck följande med hjälp av a och b. a) sin v
b) cos v
c) tan v
d) cos(180° – v) y (a, b) v
c) sin v = 0,08
20
Lös ekvationerna.
b) sin v = 0,866
c) sin v = 0,342 1307
1308
x
2 3
1.3 ENhETscIRkElN
12-06-29 12.01.20
KAPITEL 1
1313 Slå sin–1(2) på din räknare och
förklara resultatet.
3 . Använd detta 2 och enhetscirkeln för att förklara varför 3 sin240° = − ? 2
1314 Vi vet att sin60° =
1315 Utgå från talen talen a = sin 20°,
b = cos 95° och c = sin 170°. Ordna talen i storleksordning utan att använda räknare. Motivera.
1316 Bestäm, utan att använda räknare, ett
exakt värde på a) sin 210° b) cos 210° d) tan 210°
1318 Pariserhjulet i Göteborg har en radie på
30 m. Antag att du sätter dig i en korg som befinner sig längst ner. När hjulet har roterat 150° stannar det för att nya passagerare ska kliva ombord.
a) Hur högt över marken befinner du dig då hjulet stannar? Svara i hela meter. b) Nu startar hjulet igen och om ett tag är du igen på samma höjd som i a-uppgiften. Hur många hela meter har du åkt sedan uppehållet i a)? 1319 I enhetscirkeln är en punkt med
koordinaterna (a, b) markerad. Skriv ett förenklat uttryck i a och b . a) cos v · tan(v + 180°) b) sin(–v) · tan v y
1317 a) Beräkna värdet av uttrycket
(sin v)2 + (cos v)2 för v = 30°, 45° och 60°. Observera att du inte ska använda räknare!
(a, b) v
x
b) Formulera en slutsats om uttryckets värde. c) Bevisa din slutsats.
trigonometri
M3c.indb 21
21
12-06-29 12.01.23
Kapitel 1
1.4 triangelsatserna i det förra avsnittet bestämde vi sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar. här ska vi bevisa några satser som kan användas då trianglarna inte är rätvinkliga.
areasatsen Bilden visar en triangel där två sidor och mellanliggande vinkel är kända. Lägg speciellt märke till att:
4,1
• Triangeln inte är rätvinklig • Höjden inte är känd
46° 3,8
a
Kan vi bestämma triangelns area?
h
v
Låt oss först undersöka en allmän triangel med sidorna a och b samt mellanliggande vinkeln v. Vi har dragit höjden h, så att vi får två rätvinkliga deltrianglar. Se bilden till vänster. Titta på den vänstra deltriangeln.
b
Här gäller att sin v =
h a
Triangelns area A =
b ⋅ h b ⋅ a ⋅ sin v = 2 2
⇒
h = a · sin v
slutsats: Om vi känner två sidor samt den mellanliggande vinkeln kan vi bestämma triangels area. Vi kan alltså beräkna arean utan att veta höjden! Gäller formeln även för en trubbvinklig triangel? Se bilden. h
a 180° – v
v b
Vi ritar höjden h och bestämmer sin(180° – v). h sin(180° − v ) = ⇒ h = a · sin (180° – v) a Eftersom sin(180° – v) = sin v kan vi skriva att h = a · sin v Vi får alltså samma uttryck som vi fick i den första triangeln. Areasatsen gäller alltså för alla trianglar.
!
sats: areasatsen
arean A =
22
M3c.indb 22
a ⋅ b ⋅sinv 2
a v b
1.4 TRIaNGElsaTsERNa
12-06-29 12.01.24
Kapitel 1
exemPel 1 (cm)
Bestäm triangelns area. 4,1
Areasatsen ger A =
3,8 ⋅ 4,1 ⋅ sin46° 2
46° 3,8
A ≈ 5,6 svar: Arean är 5,6 cm2. exemPel 2
I en triangel är två sidor 5 cm och 6 cm. Hur stor är den mellanliggande vinkeln om triangelns area är 7,5 cm2?
(cm)
5 v 6
Vi använder areasatsen och får ekvationen 5 ⋅ 6 ⋅ sin v = 7,5 2 15 · sin v = 7,5 sin v =
7,5 15
sin v = 0,5 v = 30° Ekvationen sin v = 0,5 har också lösningen v = 180° – 30° = 150°. Det finns alltså två trianglar som uppfyller villkoren. Den andra triangeln ser ut som figuren nedan:
5
150° 6
svar: Den mellanliggande vinkeln är 30° eller 150°.
TRIGONOMETRI
M3c.indb 23
23
12-06-29 12.01.26
KAPITEL 1
1401 Beräkna arean av trianglarna. Sidorna
1409 I en triangel ABC är AB = 5 cm
är givna i meter. Avrunda svaren till två värdesiffror.
a)
b)
2,5 35°
3,2
45°
c) 12,3
120° 11,5
och AC = 10 cm. Hur ska vinkeln A väljas för att triangeln ska få så stor area som möjligt. Förklara hur du tänker.
4,0 57° 3,0
1410 Titta på triangeln. Här gäller att BC är
en parallelltransversal och AE = 7,0 cm. Beräkna arean av triangeln ABC.
1402 Beräkna arean av en triangel där två
sidor är 6,8 cm och 9,5 cm och den mellanliggande vinkeln är 74°.
A 3,0
1403 I en triangel är två sidor 18,5 cm och
area. Se bilden.
85°
E
1411
I en likbent triangel är de lika långa sidorna a enheter långa och den mellanliggande vinkeln är v. Bestäm ett samband för arean.
1412
Visa att arean A av en liksidig triangel s2 3 . med sidan s är A = 4
(m)
12
53° C
D
1404 I en likbent triangel är de lika sidorna 12 cm
vardera. Beräkna triangelns toppvinkel i hela grader om triangelarean är 56 cm2.
B
2,0
5,6 cm. Bestäm den mellanliggande vinkeln i hela grader om triangelns area är a) 24 cm2 b) 17 cm2 c) 51 cm2.
1405 Bestäm fyrhörningens
(cm)
14
85°
123°
17
13
1406 I en triangel är sidorna 12 m, 14 m och
18 m. Triangelns minsta vinkel är 41,8°. Bestäm triangelns area.
1413 a) Bilden visar en regelbunden 6-hörning
som är inskriven i en cirkel med radie r. Visa att arean av en n-hörning kan beräknas med sambandet n 360° 2 A = ⋅ sin ⋅r 2 n
1407 I en parallellogram är sidorna 7,1 cm och
3,2 cm. En vinkel i parallellogrammen är 115°. Bestäm parallellogrammens area.
1408 En parallellogram har sidorna a och
b och en vinkel v. Visa att man kan beräkna arean av en parallellogram med sambandet A = a · b · sin v.
24
M3c.indb 24
n 360° ⋅ sin 2 n med 4 decimaler, då n = 50, n = 200 och n = 400.
b) Beräkna faktorn
c) Vad händer med faktorns värde, då n blir större och större?
1.4 triangelsatserna
12-06-29 12.01.28
Kapitel 1
sinussatsen Titta på triangeln ABC . C
b
A
a
B
c
Lägg märke till att den motstående sidan till vinkeln A kallas a. Till vinkel B kallas den motstående sidan b. Nu ska vi använda areasatsen och skriva arean på tre sätt. b ⋅ c ⋅ sin A a ⋅ c ⋅ sin B a ⋅ b ⋅ sin C = = 2 2 2
Vi multiplicerar varje led med 2 och får b · c · sin A = a · c · sin B = a · b · sin C Till sist divideras varje led med a · b · c. sin A sin B sin C = = a b c Dessa samband kallas sinussatsen.
!
sats: sinus-satsen
sin A a
=
sin B
b
b
Kan även skrivas
a sin A
=
b sin B
A
a B
vilken av formlerna i rutan ska vi använda?
När vi ska bestämma en vinkel använder vi helst formeln med ”vinkeln i täljaren”, dvs
sin A sin B = a b
När vi ska bestämma en sida använder vi formeln med ”sidan i täljaren” a b = dvs sin A sin B
TRIGONOMETRI
M3c.indb 25
25
12-06-29 12.01.29
Kapitel 1
exemPel 1
I triangeln ABC är vinkeln A = 52° och vinkeln B = 39°. Sidan BC är 15 cm. Se figuren. C Bestäm längden av sidan AC i hela cm. 15
b
Sinussatsen ger b 15 15 ⋅ sin39° = ⇒ b= sin39° sin52° sin52°
(cm)
A
52°
39°
B
b ≈ 12 svar: Sidan AC är 12 cm. Om vi vet två vinklar och en sida i en triangel kan vi med sinussatsen bestämma de övriga sidorna. Den tredje vinkeln kan vi bestämma med triangelns vinkelsumma. I nästa exempel vet vi två sidor och en vinkel i en triangel. Exemplet visar hur de övriga vinklarna kan bestämmas. exemPel 2
B
I triangeln ABC är BC = 18 cm och AC = 15 cm. Vinkeln A = 52°. Beräkna vinklarna B och C i hela grader.
18
sin B sin52° 15 ⋅ sin52° = ⇒ sin B = 15 18 18
B ≈ 41 Nu använder vi triangelns vinkelsumma och beräknar vinkeln C.
A
52° 15
C
C = 180° – 52° – 41° = 87° 15 ⋅ sin52° 18 också har lösningen B = 180° – 41° = 139°
Observera att ekvationen sin B =
Om B = 139° blir C = 180° – 139° – 52° < 0 Vinkeln B kan alltså inte vara 139°. Det är en falsk lösning! svar: B ≈ 41° och C ≈ 87°.
26
M3c.indb 26
1.4 TRIaNGElsaTsERNa
12-06-29 12.01.32
Kapitel 1
! när sinussatsen används för att bestämma en vinkel, får vi alltid två lösningar. Båda dessa lösningar måste kontrolleras, så att vi vet om lösningen är korrekt eller falsk.
Att en lösning är falsk kan ibland avslöjas genom att triangelns vinkelsumma inte stämmer. exemPel 3
I en triangel ABC är sidan AC 17 cm och sidan BC 13 cm. Vinkeln A är 43°. Bestäm vinklarna B och C. Svara i hela grader. B
Vi börjar med att rita triangeln. Sinussatsen ger: sin B sin43° = 17 13 sin B =
(cm) 13
A
43°
C
17
17 ⋅ sin43° 13
B ≈ 63° C = 180° – 43°– 63° = 74° eller B
B = 180° – 63° = 117° C = 180° – 43°– 117° = 20° Här får vi två lösningar! Se bilden.
B A
(cm) 13
13
43° 17
C
svar: B = 63°och C = 74° eller B = 117° och C = 20°
TRIGONOMETRI
M3c.indb 27
27
12-06-29 12.01.33
Kapitel 1
! om följande två villkor gäller, blir det 2 fall med sinussatsen: 1) du vet två sidor och en motstående vinkel som är spetsig. 2) sidan som står mot vinkeln (här 13) är kortare än den andra sidan, men längre än höjden h. Här gäller alltså h < BC < AC B
h
B
1414
13
43°
A
C
17
1416
Bestäm triangelsidornas längder. Mått i meter. a)
Här är sidan AB okänd. Vi placerar ett ”gångjärn” i C och vrider sedan sidan BC tills vi får nästa fall.
13
a)
b) 59,0°
Bestäm triangelns area. Mått i meter. b) 70°
32,0°
8 50°
35° 62 30°
23,0 65,0° 56,0° 15,0
1415
105°
Bestäm triangelns övriga vinklar. Mått i meter. a)
61°
27 14 115° 24
M3c.indb 28
I en triangel ABC är sidan AB = 21 cm och sidan BC = 28 cm. Vinkeln A = 71°. Bestäm triangelns övriga vinklar.
1418
En parallellogram har sidorna 88 m och 54 m. En av vinklarna är 44°. Beräkna parallellogrammens area.
1419
I en triangel är två sidor 132 m och 185 m. Den vinkel som står mot den mindre av sidorna är 36,5°. Beräkna triangelns övriga vinklar med en decimal.
b)
19
28
1417
1.4 TRIaNGElsaTsERNa
12-06-29 12.01.34
KAPITEL 1
1420 Beräkna sidan BC i fyrhörningen ABCD. (m)
A
1425 I triangeln ABC är A = 26°, B = 43° och
AB = 16 cm. Hur lång är höjden mot sidan AB?
26° B
3,0 115° D
4,0
C
1421 En triangel har arean 75,5 cm2. Två av
sidorna är 18 cm och 15 cm. Bestäm den mellanliggande vinkeln i hela grader.
1426 Titta på triangeln ABC. Här gäller
att vinkeln A och sidan AB är givna, men sidan BC kan variera. Ange ett villkor för sidan BC, så att sinussatsen kommer att ge a) två svar C b
1422 En trubbvinklig triangel har sidorna
30 cm, 19 cm och 13 cm. Den minsta vinkeln är 17°. Bestäm triangelns största vinkel. Svara i hela grader.
1423 I triangeln ABC är AC = 21 cm och
BC = 16 cm. Vinkeln A = 35°. Beräkna triangelns area.
A
a B
c
1427 Triangeln ABC är inskriven i en cirkel som
har radien R. sin A 1 = Visa att a 2R
1424 I en triangel ABC är BC = 4 cm och
AC = 5 cm. Vinkeln A = 50°. Rita en figur och beräkna sedan vinklarna B och C. Svara i hela grader.
b) ett svar.
C a A B
TRIGONOMETRI
M3c.indb 29
29
12-06-29 12.01.36
Kapitel 1
aKtivitet
sinussatsen Här behöver du en passare, linjal och gradskiva. 1 Rita början av en triangel genom att rita en streckad vågrät linje samt sidan AB = 8 cm där vinkeln v = 30° enligt figuren nedan. 2 Ställ in din passare på 6 cm (BC = 6 cm). Placera passarens spets i punkten B och markera sedan punkterna C1 och C2 med passaren. På detta sätt konstruerar du de två fall som är möjliga. B BC = 6 cm
AB = 8 cm A
v = 30° C2
C1
3 Mät triangelns vinklar C1 och C2 samt sträckorna AC1 och AC2.
Använd sinussatsen för att beräkna vinklarna C1 och C2 samt sträckorna AC1 och AC2. Jämför med dina uppmätta värden. 4 Rita nu en ny triangel med AB = 8 cm, A = 30° men med BC = 4 cm. Använd passaren för att konstruera triangeln. Blir det två fall även denna gång? 5 Mät vinkeln C och sträckan AC. Beräkna sedan vinkeln C samt sträckan AC med sinussatsen. Jämför med dina uppmätta värden. 6 Rita en ny triangel där AB = 8 cm och A = 30°, men nu med BC = 10 cm. Använd passaren och undersök om det blir ett eller två fall? 7 Hur lång blir AC? 8 För de trianglar som du har konstruerat, gäller att sidan AB = 8 cm och vinkeln v = 30°. Hur ska triangeln se ut för att du ska få 2 lösningar? Formulera villkor för längden på sidan BC så att det blir två fall.
30
M3c.indb 30
1.4 TRIaNGElsaTsERNa
12-06-29 12.01.42
Kapitel 1
Cosinussatsen
A
v b
v
m
C
42°
67 m
Vi utgår alltså från en triangel där vi känner två sidor a och b samt den mellanliggande vinkeln v. Lägg speciellt märke till att triangeln inte är rätvinklig.
a
a
B
35
En lantmätare har mätt upp sträckorna AB och AC samt vinkeln A enligt bilden. I det här avsnittet ska vi visa hur lantmätaren utifrån dessa mätningar kan beräkna sträckan BC.
h
c b–x
x b
I nästa bild har vi dragit höjden h mot sidan b. Sidan b delas nu av höjden i delarna x och (b – x). Se bilden. På detta sätt har vi nu fått två små rätvinkliga trianglar. Vi ska nu använda Pythagoras sats i de två rätvinkliga trianglarna. Den blå triangeln ger: h2 + x2 = a2 Den vita triangeln ger: h2 + (b – x)2 = c2 h2 + b2 – 2bx + x2 = c2 h2 + x2 = c2 – b2 + 2bx Nu sammanför vi de båda uttrycken för h2 + x2 och får att a2 = c2 – b2 + 2bx Om vi löser ut c2 får vi c2 = a2 + b2 – 2bx Titta på den blå triangeln igen! Här gäller att cos v = Vi sätter in uttrycket för x i formeln och får då c2 = a2 + b2 – 2b · a cos v c2 = a2 + b2 – 2ab · cos v
!
x ⇒ x = a · cos v a
Detta kallas cosinussatsen!
sats: Cosinus-satsen B a
c2 = a2 + b2 – 2ab · cos C C
c b
A
Cosinussatsen kan formuleras på ytterligare två sätt nämligen: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos A b2 = a2 + c2 – 2ac · cos B
TRIGONOMETRI
M3c.indb 31
31
12-06-29 12.01.43
Kapitel 1
exemPel 1
Beräkna längden av sidan BC.
B
a
m
Cosinussatsen ger a2 = 672 + 352 – 2 · 67 · 35 · cos 42° a2 ≈ 2228,65… a ≈ 47
35
C
A
42°
67 m
svar: BC är 47 m exemPel 2
C
Sidorna i en triangel är 42 cm, 53 cm och 78 cm. Bestäm triangelns vinklar.
53
42 A
Cosinussatsen ger
78
B
532 = 422 + 782 – 2 · 42 · 78 · cos A 2 · 42 · 78 cos A = 422 + 782 – 532 cos A =
422 + 782 − 532 2 ⋅ 42 ⋅ 78
A ≈ 40° (39,7) Nu kan vi antingen använda sinussatsen eller cosinussatsen för att bestämma vinkeln B. För att få lite extra träning på cosinussatsen, väljer vi den! 422 = 782 + 532 – 2 · 78 · 53 cos B B ≈ 30° (30,4) Nu återstår endast vinkeln C. Prova gärna att använda cosinussatsen ännu en gång! Här väljer vi det enklare alternativet med vinkelsumman! C = 180° – 40° – 30° = 110° C = 110°
svar: Vinklarna är 40°, 30° och 110°.
! Cosinussatsen används då: 1) vi vet två sidor och mellanliggande vinkel, och ska bestämma den tredje sidan. 2) vi vet alla tre sidorna, och ska bestämma en vinkel.
32
M3c.indb 32
1.4 TRIaNGElsaTsERNa
12-06-29 12.01.44
KAPITEL 1
1428 Beräkna sidan x.
a)
1433 En triangel har sidorna 5 cm, 6 cm och
7 cm. Beräkna triangelns area. Svara i hela cm2.
(m) 12
x
1434 I triangeln ABC är AC = 25 m och
40°
BC = 19 m vinkeln A = 37o. Beräkna längden av sidan AB i hela meter med hjälp av a) cosinus-satsen
15
b)
(m) 95°
17
8,0
b) sinus-satsen.
x
1435 Beräkna fyrhörningens vinkel v.
1429 Beräkna triangelns vinklar med en
ledning: Dra diagonalen AC.
decimals noggrannhet. a)
B 35,0
12
B
C
(m)
5,0
(m)
A
17
30,0 16
A
40,0
v
C
D
b)
B
(m)
120,0 50,0 A
80,0
C
1430 Två krafter F1 och F2 kan sättas samman
till en resulterande kraft R enligt figuren nedan. Bestäm R. F2 = 41 N F1 = 55 N 125° R
1436 I en parallellogram är två sidor och
mellanliggande vinkel 12 mm, 19 mm och 52°. a) Beräkna vardera diagonalens längd. b) Bestäm den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna.
1437 Två krafter F1 = 25 N och F2 = 15 N har
samma angreppspunkt.
Vilken är vinkeln mellan F1 och F2 då den resulterande kraften blir 35 N? 1438 Bilden visar ett likbent parallelltrapets.
Beräkna diagonalens längd.
1431 Tänk dig en stork vars näbb är 26 cm lång.
Hur bred matbit kan storken plocka upp, om gapet öppnas med vinkeln 41°?
1432 Beräkna den största vinkeln i en triangel
11 15
(m) 15
27
vars sidor är 4 cm, 5 cm och 6 cm. Svara i hela grader.
TRIGONOMETRI
M3c.indb 33
33
12-06-29 12.01.45
Kapitel 1
1439 Titta på triangeln. Med cosinus-
1440
I en triangel förhåller sig sidorna som 5:12:13. Beräkna triangelns vinklar. Svara i hela grader.
1441
En fyrhörning ABCD har sidorna AB = 6 cm, BC = 5 cm, CD = 5 cm och DA = 4 cm. 1 + 25cos C a) Visa att cos A = 24 b) Bestäm ett exakt värde på cos A då fyrhörningen är inskriven i en cirkel.
satsen kan du bestämma sidan c om du vet a, b och v. a
c
v b
Skriv cosinussatsen för triangeln och diskutera följande: a) Då vinkel v = 90° blir cosinussatsen en annan känd sats. Vilken? b) Vilket värde närmar sig sidan c då vinkeln v närmar sig noll. c) Vilket värde närmar sig sidan c då vinkeln v närmar sig 180°.
problemlösning Här följer problem som du kan lösa med hjälp av kapitlets geometrilagar. Följ dessa punkter då du löser problemen. • Rita tydlig figur och inför variabler. • Välj metod, t ex sinus-satsen eller cosinus-satsen. • Reflektera över ditt svar! Kan det finnas flera lösningar?
1442
Ett område ABCD har mått enligt figuren. B
C
85°
54 m
50 m 1340 m2
A
62 m
D
1443
I en triangel ABC dras från B en linje BP så att P ligger på sidan AC. I triangeln gäller följande: AP = 27 mm, BP = 30 mm, BC = 82 mm och vinkel APB = 76°. Beräkna med tre värdesiffror
a) Beräkna den spetsiga vinkeln A.
a) sträckan AB
b) Beräkna längden av diagonalen BD. Svara med tre värdesiffror.
c) sträckan PC
b) vinkeln C
d) arean av triangeln ABC .
c) Hur stor area har triangeln BCD? Svara med en värdesiffra.
34
M3c.indb 34
1.4 TRIaNGElsaTsERNa
12-06-29 12.01.46
KAPITEL 1
1444 Över dörren till en butik sitter en flaggstång.
Den hålls upp av ett stag med längden 1,0 m. Butiksägaren ska flytta stagets väggfäste så att flaggstången bildar vinkeln v = 30° med väggen. Väggfästet placeras rakt ovanför punkten P. Bestäm avståndet mellan P och väggfästets nya läge. (Np Ma D Vt 2002) (m)
1,0
väggfäste
1446
I en triangel med arean 56 cm2 är summan av två sidor 36 cm och den mellanliggande vinkeln är 30°. Hur stor är triangelns största vinkel? Svara i hela grader.
1447 I härledningen av cosinussatsen utgår vi
från en triangel där höjden befinner sig inuti triangeln. I en trubbvinklig triangel finns ibland höjden utanför triangeln. Visa att cosinussatsen gäller även då höjden ligger utanför triangeln.
v
1,2
P
1445 Daniel och Linda tittar på en lägenhet.
Enligt uppgift är vardagsrummet 31,2 m2. De vill kontrollera om detta stämmer och mäter väggarna och ritar en skiss över rummet. De vet att ett hörn i rummet är rätvinkligt. Så här ser deras skiss ut. Vilken area har vardagsrummet enligt Daniels och Lindas skiss? (Np Ma D 2005) 6,08 4,50
5,25 6,02
TRIGONOMETRI
M3c.indb 35
35
12-06-29 12.01.49
KAPITEL 1
VILKEN ÄR KURVAN?
Här ska du undersöka ekvationer av typen x2 + y2 = a2 där a är en konstant. Vilka lösningar har ekvationen x2 + y2 = 52? Eftersom 32 + 42 = 25 = 52, vet vi att x = 3 och y = 4 är en lösning till ekvationen. En annan lösning är x = 0 och y = 5. Båda dessa lösningar har markerats i koordinatsystemet. y 6 5 (0, 5) 4
(3, 4)
3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6
x 1 2 3 4 5 6
1 Bestäm ytterligare punkter som är lösningar till ekvationen x2 + y2 = 52.
För varje punkt väljer du ett x-värde och beräknar y-värdet. Du bör hitta minst 5 punkter i varje kvadrant. 2 Rita punkterna i ett koordinatsystem. Formulera en slutsats. 3 Beskriv kurvan för det allmänna fallet x2 + y2 = a2
Du ska nu göra samma undersökning för en ekvation på formen (x –x0)2 + (y – y0)2 = a2 där a, x0 och y0 är konstanter. 4 Hitta punkter som är lösningar till ekvationen (x – 2)2 + (y – 1)2 = 52.
Minst 5 punkter i varje kvadrant! 5 Rita alla punktena i ett koordinatsystem och formulera en slutsats. 6 Beskriv grafen för det allmänna fallet (x –x0)2 + (y – y0)2 = a2.
36
1.4 TRIANGELSATSERNA
47107360_Matematik_CH01.indd 36
13/05/14 12:52 PM
Kapitel 1
1.5 CirKelns eKvation i avsnittet upptäck & visa, har du redan upptäckt att de punkter som tillhör en ekvation av typen (x –x0)2 + (y – y0)2 = a2 ger en cirkel. vi ska strax bevisa detta.
Vet du hur man definierar begreppet cirkel?
!
definition: Cirkel
en cirkel är mängden av de punkter i planet vilkas avstånd till en given punkt A är konstant och lika med r. Punkten A är cirkelns medelpunkt och avståndet r är cirkelns radie.
!
sats: Cirkelns ekvation
en cirkel med radien r och medelpunkten (x0, y0)
har ekvationen (x –x0)2 + (y – y0)2 = r 2
ett specialfall är cirkeln med mittpunkten i origo vars ekvation är x2 + y2 = r 2
Nu härleder vi cirkelns ekvation:
y (x, y) r
y x
Vi börjar med specialfallet där cirkelns centrum ligger i origo. x
Här ger Pythagoras sats att x2 + y2 = r2 I figuren nedan ser vi det allmänna fallet med en cirkel som har radien r och medelpunkten i (x0, y0). Punkten (x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand . y
Pythagoras sats ger oss att (x –x0)2 + (y – y0)2 = r2
(x, y) y – y0
(x0, y0) x – x0
1
x 1
TRIGONOMETRI
M3c.indb 37
37
12-06-29 12.01.50
KAPITEL 1
EXEMPEL 1
Vi utgår från en cirkel som har ekvationen 36 = (x – 2)2 + (y + 3)2. a) Ange koordinaterna för cirkelns medelpunkt samt cirkelns radie. Medelpunkten ligger i (2, –3) eftersom 36 = (x – 2)2 + (y – (–3))2 Radien = 36 = 6 svar: Medelpunkten är (2, –3). Radien är 6 le. b) Undersök om (2, 3) ligger på cirkelns rand. Vi kontrollerar genom att ersätta x och y med koordinaterna (2, 3). HL = (2 – 2)2 + (3 + 3)2 = 02 + 62 = 36 HL= VL svar: Ja, (2, 3) ligger på cirkelns rand. c) Var skär cirkeln y-axeln? Cirkeln skär y-axeln då x = 0 vilket ger 36 = (0 – 2)2 + (y + 3)2 36 = 4 + y2 + 6y + 9 y2 + 6y – 23 = 0 y = −3 ± 32 + 23
⎧ y1 ≈ 2,7 y = −3 ± 32 ⇒ ⎨ ⎩ y 2 ≈ −8,7
svar: Cirkeln skär y-axeln då y ≈ 2,7 eller y ≈ –8,7
EXEMPEL 2
En cirkel har ekvationen 68 = x2 – 4x + y2 – 6y. Bestäm cirkelns radie och medelpunkt. För att kunna skriva på formen r2 = (x – x0)2 + (y – y0)2 måste vi kvadratkomplettera både för x och y. x2 – 4x Här saknas 22 eftersom x2 – 4x + 22 = (x – 2)2 Vi kompletterar med kvadraten på halva koefficienten för x. y2 – 6y
Här adderar vi 32 eftersom y2 – 6y + 32 = (y – 3)2.
Vi får alltså följande: 68 + 22 + 32 = x2 – 4x + 22 + y2 – 6y + 32 81 = 9 81 = (x –2)2 + (y – 3)2 svar: Cirkelns medelpunkt är (2, 3) och radien är 9.
38
1.5 CIRKELNS EKVATION
47107360_Matematik_CH01.indd 38
13/05/14 12:52 PM
Kapitel 1
1501
Skriv ekvationen för en cirkel med
1506
a) radien 5 och medelpunkten i origo b) radien 6 och medelpunkten i (2, 3) c) radien 3 och medelpunkten i (–2, 3) d) diametern 14 och medelpunkten i (–5, –2) 1502
Ange medelpunkt och radie för en cirkel vars ekvation är 81 = (x – 4)2 + (y + 5)2
1503
Ligger punkten (2, 1) på en cirkel med radie 3 och medelpunkt i (–2, 0)?
1504
Ange tre punkter som ligger på den cirkel vars ekvation är 16 = (x – 2)2 + (y – 3)2
1505
En cirkel beskrivs av ekvationen 25 = (x – 1)2 + (y + 2)2 a) Bestäm y-koordinaten för cirkelns skärning med y-axeln. b) Bestäm x-koordinaten för cirkelns skärning med x-axeln.
Cirkeln som har ekvationen 64 = x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 skär y-axeln i två punkter. Bestäm avståndet mellan dessa punkter. Svara med tre värdesiffror.
1507 Utgå från cirkeln
81 = (x – 3)2 + (y – 4)2. Bestäm konstanten a så att linjen y = a skär cirkeln i två punkter. Förklara hur du tänker.
1508
På en cirkels rand finns punkten (1, 0). Cirkelns medelpunkt är (3, 5). Bestäm cirkelns ekvation.
1509
För en viss cirkel kan ekvationen skrivas 32 = x2 + 2x + y2 – 8y. Vilken är cirkelns radie och medelpunkt?
1510
Bestäm de punkter där linjen y = 2x – 1 skär cirkeln 49 = (x – 2)2 + (y – 3)2.
tanKenöt 2
i en matemat isk exempelsam ling från 500talet omnämns de n grekiske m atematikern diofantos i et t av exemplen : ”diofantos tillbragte en sjättedel av si tt liv i barndom, en tolftedel i ungdom och yt te rl igare en sjundedel som ungkarl. Fem år ef ter hans giftermål född es en son, so m do g fyra år före sin far, hälften så ga m m al som fadern sl utligen blev.” H ur gammal blev diofantos?
TRIGONOMETRI
M3c.indb 39
39
12-06-29 12.01.53
Kapitel 1
digitala rutan
rita en cirkel på parameterform Titta på bilden. Cirkelns medelpunkt har koordinaterna (a, b). Den markerade vinkeln i triangeln är t. y (x, y) r b
(a, b)
t r cos t
r sin t
x a
Vi ska skriva punkten (x, y) som en funktion av vinkeln t. Här gäller att x = a + r · cos t och y = b + r · sin t Variabeln t, där 0 < t < 360, kallas en parameter. Antag att en cirkel som har ekvationen (x – 2)2 + (y + 3)2 = 36 ska skrivas på parameterform. Från ekvationen ser vi att medelpunkten är (2, –3) ⇒ a = 2 och b = –3. Vi ser också att radien r = 36 = 6 Detta ger: x = 2 + 6 cos t och y = –3 + 6 sin t Dessa koordinater x och y ger oss alla punkter på cirkeln. Man säger att vi har skrivit cirkelns ekvation på parameterform. Parameterform betyder att vi har 2 ekvationer där den ena beskriver x-koordinaten och den andra beskriver y-koordinaten för alla punkter på kurvan. I båda ekvationerna finns en gemensam variabel, som kallas parameter. För cirkeln i bilden ovan, är alltså parametern = vinkeln t.
!
sats: Cirkelns ekvation på parameterform
en punkt (x, y) som ligger på en cirkel med radien r och medelpunkten (a, b) kan beskrivas med ekvationerna x = a + r · cos t och y = b + r · sin t där t är en parameter, i detta fall en vinkel mellan 0° och 360°.
40
M3c.indb 40
1.5 cIRkElNs EkvaTION
12-06-29 12.01.58
Kapitel 1
1 Börja med att ställa in räknaren på parameterform, så att du växlar från Func till Par. Sci Eng Float 0123456789 Radian Degree Func Par Pol Seq Connected Dot Sequential Simul Real a+bi, re^θi Full Horiz G-T
2 Sätt Tmax = 360 och ställ in fönstret så att –15 < x < 15 och –10 < y <10. 3 Skriv x och y på parameterform där x = 2 + 6 cos t och y = –3 + 6 sin t. På räknaren finns troligen variabeln T på samma tangent som variabeln x. WINDOW ↑ Tmax=360 Tstep=1 Xmin=-10 Xmax=10 Xscl=1 Ymin=-10 Ymax=
Plot1 Plot2 Plot3 X1T=2+6cos(T) Y1T=-3+6sin(T) X2T= Y2T= X3T= Y3T= X4T=
1
T=51 X=5,7759223
Y=1.6628758
↑
4 En cirkel har medelpunkten i (3, 4) och radien 5. a) Skriv cirkelns ekvation på parameterform. b) Rita cirkeln på din räknare och avläs cirkelns skärningspunkter med x-axeln. 5 Rita cirkeln som beskrivs av ekvationen 25 = (x – 1)2 + (y + 2)2 a) Bestäm cirkelns skärning med y-axeln. b) Bestäm cirkelns skärning med x-axeln. 6 Ställ in fönstret så att –2 < x < 2 och –1,5 < y < 1,5 och rita en enhetscirkel. Nu gäller alltså x = sin(T) och y = cos(T) Här ska du använda trace – funktionen. a) ”Gå” ett varv runt enhetscirkeln. Formulera en slutsats angående tecknet på sinus- respektive cosinus-värdet i de fyra olika kvadranterna. b) Undersök och förklara regeln sin v = sin(180° – v).
TRIGONOMETRI
M3c.indb 41
41
12-06-29 12.02.03
Kapitel 1
saMMaNfaTTNING trigonometri i rätvinklig triangel
exakta värden för 30°, 45° och 60°
sin v =
motstående katet a = hypotenusa c
cos v =
närliggande katet b = hypotenusa c
tan v =
motstående katet a = närliggande katet b
vinkel v
sin v
1
30° 45°
enhetscirkeln
v
cos v
tan v
3
1
2
2
1
1
2
2 2
2
a b
3
1
3
60°
c
1 3
Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 och medelpunkten i origo. sin v = y-koordinaten för radiens skärning med cirkelbågen cos v = x-koordinaten för radiens skärning med cirkelbågen 1
sin v
(x, y)
–1
1 v cos v
1
–1
sin(180° – v) = sin v
Ekvationen sin v = 0,5 har två lösningar. v = 30° och v = 180° – 30° = 150°
cos v = cos(–v)
42
M3c.indb 42
Ekvationen cos v = 0,5 har lösningarna v = 60° och v = –60°
TRIGONOMETRI TRIGONOMETRI
12-06-29 12.02.11
Kapitel 1
saMMaNfaTTNING areasatsen
Om man vet två sidor och mellanliggande vinkel kan man bestämma en triangels area. a ⋅ b ⋅ sin v Arean = 2 a v
sinussatsen
b
sin A sin B sin C = = a b c A b C
a
c B
Cosinussatsen
c2 = a2 + b2 – 2ab · cos C
Cirkelns ekvation
En cirkel med radien r och medelpunkten (x0, y0) har ekvationen (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2
TRIGONOMETRI
M3c.indb 43
43
12-06-29 12.02.17
Kapitel 1
TEsT 1 vinkel v vinkel v
30° 30° 45° 45° 60° 60°
sin v cos v 1 3 2 2 1 1 2 2 3 1 2 2
cos v sin v 3 1 2 2 1 1 2 2 1 3 2 2
tan v tan v 1 1 3 3
1 1
5
Ange två lösningar till ekvationerna. 3 1 b) cos v = a) sin v = 2 2
6
Triangeln nedan har arean 2 cm2. Bestäm vinkeln v. (cm)
3 3
4 v
1
2
Nedan ser du en rätvinklig triangel. 7
16 cm
8 cm
a)
v
a) Bestäm sin v 2
3
Ange ekvationen för cirklarna nedan. b) y
y
b) Bestäm v
Bestäm arean av en triangel där två sidor är 5 cm och 4 cm och där den mellanliggande vinkeln är 60°. Svara exakt.
x
x
c)
Ställ upp en ekvation för en cirkel med
y
a) radien 4 och medelpunkten i origo b) radien 5 och medelpunkten i (1, 3)
x
c) diametern 16 och medelpunkten i (–6, –2) 4
Titta på bildens enhetscirkel och bestäm följande. a) sin v
b) cos v
c) sin(180° – v)
d) cos(–v)
e) tan v
f) cos(180° – v)
8
En vinkel v är markerad i figuren. Bestäm ett exakt värde på sin v.
3
y v v
44
M3c.indb 44
x
2
TRIGONOMETRI
12-06-29 12.02.25
Kapitel 1
TEsT 1 13 9
a) Bestäm längden av sidan AC. b) Beräkna triangelns area.
Skriv cirkelns ekvation på formen (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2.
B (cm)
8,2 35°
A
10
11
12
48°
14
C
Bestäm sin 157° och cos 157° med din räknare. Förklara med hjälp av enhetscirkeln vad dina värden betyder. I en triangel är två sidor 13 cm och 16 cm. Mellanliggande vinkel är 28°. Bestäm längden av den tredje sidan. I triangeln ABC nedan gäller att CD delar sträckan AB i två lika stora delar. CD kallas median.
A
72°
54°
b) Hur många m2 är lekplatsen? Avrunda till två värdesiffror. 15
I triangel ABC är sidan AC = 5,5 cm, sidan BC = 3,4 cm och vinkeln A = 35°. Beräkna vinklarna B och C i hela grader samt längden av den tredje sidan.
16
En cirkel beskrivs av ekvationen 8 = x2 – 8x + y2 + 10y. Bestäm cirkelns radie och medelpunkt.
12 m C
a) Visa att AB = BC. b) Beräkna längden av medianen CD.
En lekplats är formad som en triangel ABC där sidan AB = 29 m, AC = 15 m och BC = 21 m. a) Hur stora är triangelns vinklar? Avrunda till en decimal.
B D
En cirkel har medelpunkt i (–1, 4) och går genom punkten (1, 0).
17
I triangeln ABC är vinkel A = 42°. Summan av sidorna AC och AB är 25 cm. Bestäm sidan BC om triangelns area är 45,8 cm2.
TRIGONOMETRI
M3c.indb 45
45
12-06-29 12.02.31
KAPITEL 1
Blandade uppgifter 1
I en rätvinklig triangel är kateterna 36 cm och 15 cm. a) Beräkna triangelns längsta sida. b) Beräkna triangelns minsta vinkel med en decimal.
2
3
I en likbent triangel är basen 82 cm och den motstående vinkeln är 104°. Bestäm de lika långa sidorna. I en triangel är sidorna 14 m, 14 m och 18 m. Vilka av följande påståenden är korrekta?
9
I en triangel ABC är sidan AC = 43 m. Vinkeln A är 56° och vinkeln C är 75°. Bestäm längden av sidorna AB och BC.
10 Beräkna de spetsiga vinklarna i en rätvinklig
triangel med kateterna 45 cm och 75 cm.
11 Bilden visar en rätvinklig triangel. Bestäm
triangelns spetsiga vinklar med en decimal. 15 m
x–1
a) Triangeln är likbent.
x+2
b) Triangelns största vinkel är 80°. c) Triangelns area är 193 m2. 4
Beräkna arean av en triangel där två sidor är 11 cm och 18 cm, och den mellanliggande vinkeln är 54°.
5
Beräkna längden av den sida som har markerats med x. Avrunda till heltal.
a) (m)
x 61
b) x
(m) 23°
M3c.indb 46
141
6
Ange två vinklar som har sinusvärdet 0,7.
7
Ligger punkten (1, 2) på cirkeln 13 = (x – 4)2 + y2? I en rätvinklig triangel är två sidor 24 m och 45 m. Beräkna triangelns minsta vinkel i de två fall som är möjliga.
46
mellanliggande vinkeln är 47°. Beräkna triangelns a) area
b) tredje sida.
13 Bestäm ekvationen för en cirkel där du vet att
medelpunkten är (3, 4) och att punkten (1, 0) ligger på cirkelns rand.
14 En triangel har sidorna 17 cm, 21 cm och 52 15°
8
12 I en triangel är två sidor 56 m och 23 m. Den
13 cm. Beräkna triangelns största vinkel med en decimal.
15 a) Beräkna bildens vinkel v med en decimal.
b) Beräkna punkten B:s y-koordinat. Avrunda till en decimal. y B (2, y)
60°
v
A (8,1) x
16 Beräkna arean av en regelbunden femhörning
med sidan 15 cm.
Blandade uppgifter
12-06-29 12.02.32
KAPITEL 1
17 I en triangel är två sidor 6,5 cm och 8,9 cm.
21 En solig och vindstilla vinterdag är Helen
Beräkna
a) triangelns area då den mellanliggande vinkeln är 73°. b) mellanliggande vinkel då triangelns area är 14,5 cm2. 18 I en triangel som har arean 135 cm2 är två av
sidorna 18 cm och 15 cm. Vilka av följande påståenden är korrekta? a) triangeln är rätvinklig b) triangelns minsta vinkel är 39,8° c) triangelns omkrets är 65 cm
d) höjden mot den tredje sidan är ca 4,8 cm. 19 I en parallellogram är diagonalerna 15 m och
24 m långa. Diagonalerna bildar vinkeln 42° med varandra. Beräkna parallellogrammens a) omkrets
b) area.
20 Bilden visar hur en orienterare
kan springa från kontroll A till kontroll B. Hur mycket kortare är genvägen AB än vägen APB?
B 280 m
P
och Lotta ute och åker långfärdsskridskor. Klockan 12.00 kommer de fram till Kappelskär. De vet att det tar 35 minuter att åka från Kappelskär till Sundskär och att det tar 60 minuter att åka direkt till Furusund. Bussen från Furusund går kl. 14.30. Vinkeln mellan siktlinjerna mot Sundskär och Furusund uppskattas till 105°. De bestämmer sig för att åka till Sundskär och fika och sedan åka raka vägen från Sundskär till Furusund. Hur lång fikapaus kan de ta och ändå hinna med bussen som går kl. 14.30? Vi förutsätter att Helen och Lotta färdas med konstant fart. (Np Ma D VT 1999)
Sundskär
Furusund
105° Kapellskär
120°
340 m A
TRIGONOMETRI
M3c.indb 47
47
12-06-29 12.02.35
KAPITEL 1 (m)
14
22 Titta på bilden och
v
beräkna
a) vinkeln v i hela grader
21
25 En cirkel beskrivs av ekvationen
27 = x2 + 2x + y2 – 12y.
Bestäm cirkelns radie och medelpunkt. 35
b) fyrhörningens area.
28 51° 51°
26 Bestäm vinkeln v med tre värdesiffror. x
3x + 3
23 I en triangel är två sidor 16 cm och 12 cm.
Den mellanliggande vinkeln är 25°. Hur mycket ska vinkeln mellan sidorna förändras för att triangelarean ska a) fördubblas
v
27 En båt seglar rakt mot en fyr enligt skissen
nedan. Vid två punkter A och B mäter man vinkeln till fyrens topp. Avståndet mellan A och B är 530 m.
b) halveras?
24 Hur stor är vinkeln v?
(m)
25
y y = 2x – 5 x
a) Beräkna avståndet från B till fyren, dvs BC. b) Beräkna hur högt över vattenytan som fyrens top ligger, dvs CT.
v
T 3,5° 5,6° B
C
48
M3c.indb 48
530 m
A
blandade uppgifter
12-06-29 12.02.37
Kapitel 1
28 För en vinkel v gäller att 90° < v < 180° och
32 I en triangel ABC är vinkeln A = 30°. Sidorna
sin v = 0,6. Bestäm cos v.
29 I triangel ABC är BC dubbelt så lång som AB.
Sidan AC = 3,0 cm och vinkel A = 38°. Hur stor är triangelns area?
(3, 1), (–2, 6) och (–1, –2). Beräkna triangelns största vinkel.
31 I triangeln ABC är AB = BC = 25 cm.
A
34 Om du adderar kraften F1 = 225 N med
F2 = 175 N så blir vinkeln 40,8° mellan den resulterande kraften och F1. Beräkna den resulterande kraften.
35 Hur stor är den spetsiga vinkel som bildas
B
x
33 Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel
vars ekvation är x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0.
30 En triangel har sina hörn i punkterna
Se bilden. Vinkeln B = 30°. I triangeln är två höjder dragna. Beräkna den med x markerade sträckan.
AB och AC är tillsammans 19 cm. Bestäm sidan AB om triangelarean är 19,5 cm2.
mellan linjerna y = 2 – 3x och y = 2x – 1?
C
tanKenöt 3
Min ålder är in te en jämn kvadrat, men om 30 år blir den det och för 30 år sedan va r den det. Hur gammal är jag?
TRIGONOMETRI
M3c.indb 49
49
12-06-29 12.02.38
FACIT
Sakregister absolutbelopp 93 allmän form 105 andraderivatan 156 areafunktion 208 areasatsen 20 asymptot 72 avtagande 141 bas 52 cirkelns ekvation 37 cos v 10, 17 cosinussatsen 31 definitionsmängd 83 derivata 115 derivata, y = ex 186 derivata, y = 2x 193 derivata, potensfunktioner 166 derivatans definition 128 derivatans graf 151 deriveringsregler 130 differenskvot 108 diskontinuerlig funktion 168 diskret funktion 169 e 185 e-logaritm 189 enhetscirkel 16 enpunktsform 105 Euler 183 exponent 52 exponentialfunktion 184 extrempunkt 141 faktorisera 56 Fermats sats 51 fullständigt polynom 58
globalt maximum 150 globat minimum 150 gps 7 grad (för polynom) 58 graf polynomfunktion 142 gränsvärde 115, 121 hypotenusa 10 inflexionspunkt 171 integral 209 integrand 209 integrationsgränser 209 integrationsvariabel 209 intervall 79 inverterat tal 73 k-form 105 koefficient 58 konjugatregeln 54 kontinuerlig funktion 168 kurvans lutning 115, 120 kvadreringsregler 8, 54 Leibniz 103 limes 115 logaritmlagar 190 lokalt extremvärde 150 maximipunkt 141 mgn 75, 90 minimipunkt 141 minsta värde 148 motsatta tal 93 motstående katet 10 naturlig logaritm 189 Newton 103 nollställe 61 normalform 8 närliggande katet 10
olikhet 79 parallella linjer 104 parameterform 40 polynom 58 potens 52 primitiv funktion 200, 202 Pythagoras sats 8 rationellt uttryck 66 riktningskoefficient 104 rötter 61 sekant 110 sin v 10, 17 sinussatsen 25 strängt avtagande 141 strängt växande 141 största värde 148 symmetrisk differenskvot 136 tan v 10, 17 tangent 115 teckenstudium 86 term 58 terrasspunkt 141 underfunktion 214 Wiles 51 vinkelräta linjer 104 värdemängd 83 växande 141 y-biss 156 ändringskvot 110 överfunktion 214
281
M3c.indb 281
12-06-29 12.15.03
FACIT
103 (3) Science Photo Library/IBL 108, 111, 118 Shutterstock Omslagsfoto: Les Cuncliffe/ 135 Danny Twang/Scanpix Age fotostock/IBL 147, 154 Shutterstock 161 Michael Steinberg/Scanpix 6 (1), 7 (1) Photodisc 163, 179, 181, 182 (1, 2) Shutterstock 6 Magnus Hallgren/DN/Scanpix 182 (3) Bridgeman Art Library/IBL 7 (2) Shutterstck 192 Hans Runesson/Scanpix 14 Photo Researchers/IBL 195 Lars Hallstrom/Age/Scanpix 21 David Andrén/IBL 197 Berit Roald/Scanpix 29 Mark D Callanan/Getty Images 227 Claudio Bresciani/Scanpix 35 Hussein El Alawi/Sydsv/Scanpix 231 Jann Lipka/Scanpix 47 Anders Nicander/Scanpix 232, 233 Shutterstock 48 Conny Hedengren/IBL 240 Gorm Kallestad/Scanpix 50 Peter Goddard/Science Photo Library/IBL 243 Volvo Personvagnar Sverige AB 51 Science Photo Library/IBL 244 Nils-Johan Norenlind/Tiofoto/NordicPhotos 55 Shutterstock 249 Shutterstock 65 Riksbanken 250 Tom Schandy/Rex Features 69 Photo Researchers/IBL 255 Elin Berge/DN/Scanpix 74, 95, 101, 102 Shutterstock 103 (2) Jeremy Burgess/Science Photo Library/IBL 256 Matton Images BILDFÖRTECKNING
282
M3c.indb 282
12-06-29 12.15.03
M3c SJUNNESSON
M
3c
Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 3c. Den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen. Boken passar också för vuxenutbildning och basår.
HOLMSTRÖM
• Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken. • Nivåindelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera.
SMEDHAMRE
• Laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, Digitala rutan samt Kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor.
SON JUNNES JONAS S RÖM HOLMST MARTIN DHAMRE EVA SME
• Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Test och Blandade övningar. M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.
Best.nr 47-10736-0
Tryck.nr 47-10736-0-02
47107360_Matematik_Cover.indd 1
2020-11-23 09:59