Matematik Tal & Rum (S)

Matematik är mer än bara räkning! Det är även begrepp, resonemang, problemlösning och modellering – och inte minst ett utlopp för kreativitet i allmänhet.

Tal & R u m är en serie läroböcker i matematik som tar fasta på ämnets olika aspekter i syfte att ge eleverna en rikare upplevelse av matematiken och förbereda dem bättre inför vidare studier.

Författargruppen består av gymnasielärare, lärar­ utbildare och en matematikprofessor.

www.liber.se

tal & rum Mate mati k

tal & r u m

tal & rum

Ki m mo E r i ksson • lasse B e rg lu n d • M i kae l Jonsson • H i llevi Gave l

Best nr 47-01924-3 Tryck nr 47-01924-3

OMSLAG SpB.indd 1

S B

li b e r

S ABC 08-02-20 14.43.19

ISBN 978-91-47-01924-3 © 2008 Kimmo Eriksson, Lasse Berglund, Mikael Jonsson, Hillevi Gavel och Liber AB Redaktion Anders Sörensen Formgivare Eva Jerkeman Bildredaktion Marie Olsson Illustrationer Staffan Schulz (frihandsillustrationer), Piroska von Gegerfelt, Björn Magnusson Första upplagan 1 Sättning och ombrytning Monica Schmidt/Printing Malmö AB Repro Printing Malmö AB Tryck Nørhaven Book AS, Viborg, Danmark 2008

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinne­havare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

Tal&Rum S b - s 1-4 - inledn.ind2 2

08-02-20 13.35.25

Till lärare och elever Tal & Rum är en lärobokserie i matematik för gymnasium och komvux. Serien har ett spår för Natur/Teknik och ett spår för Samhällsprogrammet och övriga studieförberedande program. Till serien hör också extra material för lärare och elever som publiceras på Libers webb.

Matematikämnet utmärks av att det är uppbyggt i nivåer som hänger samman på ett enastående sätt.

I den här serien försöker vi betona sammanhanget – det är lättare att studera matematik på nästa nivå om man ser hur det hänger ihop med det man redan lärt sig.

Matematiken hänger ihop även ”på bredden” – det finns ett sammanhang mellan aritmetik, algebra och geometri. Om man förstår detta sammanhang blir alla delar av matematiken enklare. För att visa matematikens struktur och hur allt hänger ihop använder vi oss i Tal & Rum av en hel del resonerande text samt ordentliga definitioner, satser och ibland bevis.

Kunskaper i matematik krävs särskilt på naturvetenskapliga, tekniska och ekonomiska högskoleutbildningar. Men matematik ger ett språk och ett sätt att tänka som man har nytta av inom alla ämnen. Över huvud taget är det centralt med tänkande i matematik. Visst kan man lära sig ett antal exempel på hur man använder matematiska verktyg – men genom att också förstå själva verktygen blir de användbara i många fler situationer än vad exemplen täcker.

Bokens övningar Som ni kommer att märka så innehåller boken uppgifter av många olika slag, sorterade under rubrikerna Övningar, Begrepp, Resonemang och Problemlösning. Uppgifterna är genomtänkta och utvalda för att i stigande svårighetsgrad belysa och träna både metodfärdighet, begreppsbildning och tankeförmåga. Uppgifter som kräver lite extra tankearbete är märkta med .

Sist i varje kapitel finns repetitionsövningar och ett avsnitt med blandade problem. Utöver rent matematiska uppgifter rymmer boken gott om til�-

Tal&Rum S b - s 1-4 - inledn.ind3 3

lämpningar, både allmänbildande och programspecifika. På Libers Webb för Tal & Rum finns flera extra fördjupningsavsnitt.

Svar med kommentarer Längst bak i boken finns svar till alla övningar. När det krävs ett resonemang presenterar vi ofta hela resonemanget, inte bara svaret. Då och då kan det också finnas ledtrådar om man kör fast.

Matematik i den verkliga verkligheten För att visa på matematikens användbarhet har vi sist i boken ett speciellt kapitel om Tillämpad matematik. I avsnitt om t.ex. spel och risk tillämpas och fördjupas stoff som behandlats i tidigare kapitel.

Användning av digitalt stöd För att ge ökade möjligheter till variation och individualisering av studierna har Liber också ett datorstöd, matteboxen. I rätt sammanhang är datorer och moderna räknare fantastiska hjälpmedel. Man kan arbeta snabbare och utföra mer omfattande och realistiska beräkningar än vad som annars vore möjligt. Matteboxen är ett i Europa väl utprövat programpaket med ett antal moduler inom områdena grafer/funktioner, statistik och sannolikhetslära. Här finns bl.a. ett antal träningsmoduler och ett antal simuleringar/experiment. I läroböckerna ger vi en del exempel på hur matteboxen kan användas. Datafiler, arbetsövningar, laborationer mm kommer på Libers Webb för Tal&Rum.

Tack för synpunkter Författarna vill tacka alla de hjälpsamma personer – bl.a. Henrik Eriksson, Andreas Ryve, Olle Häggström och Jonas Sjöstrand – som har läst och gett synpunkter på olika delar av manuset. Har även du synpunkter på hur boken kan förbättras? Då är du varmt välkommen att lämna dem på Liber. Adress hittar du på föregående sida.

08-02-20 13.35.26

Innehåll 1 Algebra

4 sannolikhet

5

Vad är algebra? 6 Två viktiga algebraiska omskrivningar 11 Faktorisering 16 Polynom 21 Andragradsuttryck 24 Andragradsekvationer 27 Olikheter 35 Repetition av kapitlets begrepp 40 Repetitionsövningar 41 Blandade problem 43

2 Funktioner

Vad är sannolikhet? 112 Likformig och icke likformig sannolikhet 115 Sannolikhet för händelser i flera steg 120 Odds, förväntad vinst och säker vinst 126 Fördjupning: Grundläggande kombinatorik 130 Repetition av kapitlets begrepp 136 Repetitionsövningar 137 Blandade problem 139

5 att granska statistisk 45

Mer om funktionsbegreppet 46 Linjära funktioner 50 Linjära ekvationssystem 60 Andragradsfunktioner 64 Tillämpningar 76 Använda Grafhuset 81 Repetition av kapitlets begrepp 83 Repetitionsövningar 84 Blandade problem 87

3 klassisk geometri

89

Från Euklides till GPS 90 Vinklar och vinkelsatser 91 Mera om trianglarer 96 Koordinatgeometri 104 Repetition av kapitlets begrepp 107 Repetitionsövningar 108 Blandade problem 110

Tal&Rum S b - s 1-4 - inledn.ind4 4

111

141

Lägesmått 142 Spridning 144 Analys av lägesmått och spridning på lite större datamängder 150 Den statistiska undersökningen 154 Repetition av kapitlets begrepp 160 Repetitionsövningar 161 Blandade problem 162

6 tillämpad matematik

163

Investeringar 164 spel och risk 167 Demokratins matematik 175

Svar med kommentarer 185

08-02-20 13.35.26

Algebra Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind5 5

1

Kapitel 2 i A-boken handlade om räknesätt och räkneregler för tal och bokstäver. Detta är grunden för algebra som kan beskrivas som hantering av matematiska uttryck, ofta för att lösa ekvationer och olikheter.

I det här kapitlet får du lära dig mer om algebra, t.ex. kvadreringsregeln (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 och konjugatregeln (x + y)(x – y) = x2 – y2. Dessa regler är två exempel på faktorisering av polynom.

Genom att faktorisera polynom kan man lösa många ekvationer. Och ekvations­lösning är i sin tur en fantastisk metod för att ta reda på något okänt – vilket är vad nästan all problem­ lösning egentligen går ut på. Algebra är helt enkelt väldigt användbart!

08-02-20 14.37.41

Kapitel 1 algebra

Vad är algebra?

Med algebra menas, lite förenklat, att räkna med bokstäver och inte bara siffror. Detta är något som vi började med redan i kapitel 2 och vi fortsatte i kapitel 5. Nu vi ska nu vidare på det spåret.

Varför ska man då använda bokstäver när man räknar, kan man kanske undra. Detta är något vi började med redan i kapitel 2 och kapitel 5 i Aboken. Nu ska vi vidare på det spåret.

• Med algebra får man inte bara ett svar. Man får också syn på de dolda mönstren, och det är oftast det som är det intressanta.

• Man kan lösa alla problem av samma sort, en gång för alla.

• Med algebra är det enklare att vända på en fråga, och inte bara räkna allting ”rakt fram”.

Algebran kom till Europa från fjärran östern på 800talet e.Kr. genom spridning av Al-Khwarizmis böcker som handlade om generella lösningsmetoder.

Själva ordet algebra kommer från al-jabr, som betyder ungefär ”elimination av negativa termer”.

• Man kan gå bortom det speciella och finna det allmänna. Man kan komma fram till generella samband.

• Utan algebra hade aldrig det moderna teknologiska samhället kunnat växa fram.

Vi inleder kapitlet med en repeterande genomgång av de viktigaste begreppen och räknereglerna inom algebran. Detta behandlades i kapitel 2.

Algebraiska uttryck Algebra innehåller mycket arbete med uttryck. Ett algebraiskt uttryck kan innehålla siffror, bokstäver och symboler för räkneoperationer. Exempel: 12a + 150.

Detta uttryck innehåller en variabel, a. Det består av två termer, 12a och 150, där första termen i sig består av två faktorer, 12 och a. Som vanligt skriver man inte ut något gångertecken mellan faktorer om detta inte behövs. Samband och mönster framgår då tydligare, och överblicken ökar.

Kom ihåg att ett uttryck inte är en ekvation. Det finns inget likhetstecken.

När man förenklar ett uttryck kan man inte få ett värde på en variabel.

Vad kan ett uttryck innebära?

Vårt exempel, 12a + 150, skulle kunna vara ett uttryck för den totala årskostnaden för att hyra videofilm i en affär om man är medlem. 150 kr är medlemsavgiften, och därefter kostar varje film 12 kr att hyra. Variabeln a står för antalet filmer man hyr det året.

Hyr man ett år 17 filmer, så blir a = 17 och värdet av uttrycket blir 12 · 17 + 150 = 354 kr.

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind6 6

08-02-20 14.37.42

vad är algebra?

Förenkling av uttryck Man vill vanligen ha ett uttryck på så enkel form som möjligt, eftersom detta gör det lättare att överblicka och också ger enklare beräkningar. Vårt exempel skulle kunna skrivas som a + a + a + a + a + a + a + a + a + a + + a + a + 100 + 50, men det verkar inte finnas några fördelar hos det skrivsättet!

Något som alltid gör uttryck enklare är att baka ihop termer av samma sort, så att man skriver 5a istället för 2a + 3a. Man måste dock vara noga med att termerna verkligen är av samma sort.

• I uttrycket a3 + a2 har termerna olika exponent. De är därför av olika sort, och går inte att baka ihop.

• I uttrycket a3 + b3 har termerna olika bas, och är därför av olika sort. De går inte heller att baka ihop.

Addition

• I uttrycket a3 + 2a3 är termerna av samma slag. En grej plus två till av samma sort blir tre sådana grejer; a3 + 2a3 = 3a3.

Exempel

1.1

Addition förutsätter att de ihoplagda objekten är av samma sort. ”Två kronor plus tre euro är lika med fem pengar” är inte en meningsfull beräkning.

Problemet är just att man har lagt ihop saker av olika sort.

Förenkling av summor

Förenkla följande uttryck så långt det går. b) 8ab2 + 2ab – 3ab2 + ab

a) 7x + 3 – x + 4 + 2x

Det är inte alltid helt givet vad som är den enklaste formen. Ett och samma uttryck kan kanske både skrivas som en produkt av summor och som en summa av produkter. Vilket som är bäst beror på sammanhanget.

Lösning: a) 7x + 3 – x + 4 + 2x = 7x – x + 2x + 3 + 4 = 8x + 7 b) 8ab2 + 2ab – 3ab2 + ab = 8ab2 – 3ab2 + 2ab + ab = 5ab2 + 3ab Uttrycken är därmed förenklade så långt det går, för de kvarvarande termerna är av olika sort.

Vidare bör man använda alla de förenklingsmöjligheter som potensräkningslagar och bråkräkningslagar ger.

Exempel

1.2

Förenkling av produkter och kvoter

Förenkla följande uttryck så långt det går. a) 4y · 3y · 2

b)

24 x3

c)

3 ⋅ (2a2 )3 b 4

16x4 8a 5 Lösning: Vi utnyttjar räknereglerna från kapitel 2. a) 4y · 3y · 2 = 4 · 3 · 2 · y · y = 24y2

c)

3 ⋅ (2a2 )3 b 4 8a

5

− ab 4 =

3 ⋅ 8a 6 b 4 8a

5

b)

24 x3 16x

4

=

− ab 4

3 ⋅ 8 ⋅ x3 2⋅ 8 ⋅x⋅ x

3

=

3 2x

− ab4 = 3ab4 − ab4 = 2ab 4

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind7 7

08-02-20 14.37.44

Kapitel 1 algebra

Övningar på förenkling av uttryck Förenkla följande uttryck så långt det går.

1.3

a) x + 2x + 5x c) 8 – 3x – 5

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

Vilka av följande uttryck går inte att förenkla? a) 8xy + 8x b) a3 + 2a2 + a 1 c) a2b + ab2 + ab d) a −2 + 2 a

1.9

Längden på en rektangel är a, och bredden är b. Skriv ett förenklat uttryck för rektangelns omkrets

b) 5y – 2y + 9 x5 d) 2 5x b) 3x2 + 2x + 6x2 – 5x

a) 20a – a 8x 2 c)

2 x3

d) 3x · x2 · 4

a) 8k2 – 5k + 3k2 c) (3y)2 + 3y

b) 3xy + x + y d) b2 + 2b + 22

1.10 Skriv ett förenklat uttryck A för figurernas

sammanlagda area.

Förenkla följande uttryck så långt det går. a) 2 · 2x – 5x2 + y b) 5a2 – 7a + ab – 5a2 x + 5y −2z c) −2 d) x − −y −5 z Av rep har man skapat fem likadana rektanglar.

Skriv ett förenklat uttryck för repets längd.

a 2a

2a

a

2a

a

1.11 Förenkla

x y

a4 + 5 b) n · (3m)2 – 8m2n a a n ⋅ a5 x3 y n + 1 c) n + 3 + n − 0, 5x2 d) 2 x a y a) a2 ⋅ 3a −

Uttryck med parenteser I uttryck förekommer ofta parenteser, t.ex. 8 + (6 – 2). Parenteserna anger i vilken ordning operationerna ska utföras. Här ska subtraktionen göras innan additionen. Uttrycket ska beräknas som 8 + (6 – 2) = 8 + 4 = 12.

Kapitel 2 i A-boken presenterar ett antal räknelagar. Bland annat visas att det inte spelar någon roll i vilken ordning man tar termerna då man adderar; det blir samma slutresultat hur man än gör. Därför kan man strunta i att skriva ut parenteser i additioner. Men i det här uttrycket har vi en subtraktion inne i parentesen. Påverkar detta?

Faktiskt inte; subtraktion av ett enstaka tal kan lika gärna skrivas som addition med ett negativt tal: 8 + (6 – 2) = 8 + (6 + (–2)) = 8 + 6 + (–2) = 8 + 6 – 2

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind8 8

08-02-20 14.37.47

vad är algebra?

Vad händer om en parentes föregås av ett minustecken? Vi kan titta på ett exempel:

Parenteser

Parenteser talar om i vilken ordning operationerna i en beräkning ska utföras. Det som står inuti parentesen ska göras innan det som står utanför.

I övrigt gäller att multi­ plikation och division ska göras innan addition och subtraktion, och att addition och subtraktion ska göras från vänster till höger.

Lisa handlar varor för vardera 50 kr, 250 kr och 400 kr. Hon betalar med en tusenlapp. Hon får tillbaka: 1000 – 50 – 250 – 400 = 300 (kr) Man kan lika gärna börja med att addera de tre beloppen och sedan dra summan från 1000: 50 + 250 + 400 = 700 (kr) 1000 – 700 = 300 (kr) Alltså: 1000 – (50 + 250 + 400) = 1000 – 50 – 250 – 400 Räkneregel

När en parentes föregås av ett plustecken, kan man helt enkelt ta bort parentesen, för den påverkar inte resultatet: a + (b + c – d) = a + b + c – d När en parentes föregås av ett minustecken, ska termerna i parentesen ändra tecken då parentesen tas bort. a – (b + c – d) = a – b – c + d

Detta gäller dock bara under förutsättning att man inte har något mer ”utanpå” parentesen. I fallet 2 + (3 – 4)5 ska parentesuttrycket upphöjas i 5 innan additionen. Då går det inte att ta bort parentesen, för 2 + 3 – 45 är verkligen inte samma sak! (Kontrollräkna gärna.)

Om vi istället vill multiplicera parenteser så kan vi se vad som händer med hjälp av en enkel geometrisk tolkning: Hela rektangelns area är (a + b)(c + d). Detta är samma area som man får om man adderar de fyra delrektanglarna. Detta ger oss följande räkneregel: Räkneregel

c

d

a

ac

ad

b

bc

bd

Distributiva lagen

a(c + d) = ac + ad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Observera att regeln gäller multiplikation, och inte några andra räknesätt!

Att skriva om ett uttryck så att det inte finns några parenteser kvar brukar kallas att utveckla uttrycket. Man säger att man öppnar upp parenteserna.

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind9 9

08-02-20 14.37.48

Kapitel 1 algebra

Exempel

Hantering av parenteser

1.12 Förenkla följande uttryck

a) (7x – 3) – (5x + 2)

b) 4 – 5(3x – 2)

c) (x – 2)(2x + 5)

Lösning: a) Den första parentesen föregås av ett (osynligt) plustecken och kan helt enkelt tas bort. När vi tar bort den andra parentesen byter vi tecken på innehållet.

(7x – 3) – (5x + 2) = 7x – 3 – 5x – 2 = 2x – 5 b) 4 – 5(3x – 2) = 4 – (15x – 10) = 4 – 15x + 10 = 14 – 15x c) (x – 2)(2x + 5) = 2x2 + 5x – 4x – 10 = 2x2 + x – 10 Man kan, som i exempel b ovan, multiplicera in 5 och behålla parentesen, för att i nästa steg ta bort parentesen och byta tecknen. När man är mer van gör man oftast detta i samma operation.

Övningar på uttryck med parenteser Förenkla följande uttryck

Resonemang

1.13 a) 3(5 – x)

b) x(x – 7) c) (4x + 2) – (x + 4) d) 4 – 3(x – 5)

1.14 a) (m – 12) – 12

b) (a – 2b) – (3a – 5b) c) 3x2 – x(5 + x) d) 2(x + 4y) – (–x – y) + x

1.15 a) (x + 3)(x – 5)

c) (x2 – 3)(7x + 4)

b) (3 – 2x)(5 – x) d) (n + 2m)(m – 2n)

1.16 Förenkla följande uttryck

a) 4 x −2 + 3(x2 + 1)x−4 −

7 2

3

Begrepp

Problem

1.20 Bestäm ett numeriskt värde på konstanten A

så att uttrycket 5x2 – 3x(4 + x) + x(A – 2x) får värdet noll. alla värden på y: (6y)2 ⋅ (3y)−2 5

1.22 Förenkla uttrycket

a 2n +1(a n )−3 a2 − n

.

2

1.17 Beskriv med ord hur talet 56 har skrivits

nedan.

56 = 2 · 4 · 7 56 = 2 · 3 · 7 + 2 · 7

parentes föregås av ett minustecken på något annat sätt än det vi använde.

1.21 Visa att följande uttryck är mindre än 1 för

x b) (ab + a)(a – b) + ab + ab c) x(3x + 1) – 2(x – 1)(3x + 2) d) (u + v)(u – v – w) 2

1.19 Motivera regeln om vad som händer då en

56 = 14 + 42 56 = 7(6 + 2)

1.23 Vi har följande uttryck (x + y + z) .

a) Utveckla uttrycket och förenkla sedan. b) Fundera på hur uttrycket skulle bli om man bytte tecken på z. c) Utveckla (x + y – z)2.

1.18 Ange vad följande uttryck kallas. Ange också

namnet på de ingående talen. a) a + b + c + d b) abcd

10

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind10 10

08-02-20 14.37.50

Två viktiga algebraiska omskrivningar

Två viktiga algebraiska omskrivningar Det finns ett antal omskrivningar av uttryck som är så vanliga att de är värda att specialstudera. Vi ska här titta på två av dem. Båda är specialfall av distributiva lagen.

Kvadreringsreglerna Genom att multiplicera ihop parenteser med hjälp av distributiva lagen ändrar man ett uttryck från att bestå av faktorer till att bestå av termer.

Exempel: (a + 5)(a + 3) = a2 + 3a + 5a + 15 = a2 + 8a + 15 Om uttrycken i parenteserna är identiskt lika, exempelvis (a + b)(a + b), så får man: (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Med minustecken i parentesen får vi: (a – b)2 = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2 Dessa två samband, som båda förenklar det matematiska räknearbetet, kallas för kvadreringsreglerna.

Sats

b2

a2

ab

a

b

a+b

ab

b

Kvadratens area kan skrivas antingen som basen gånger höjden, dvs. (a + b)2 eller som en summa av fyra smårektanglar. Från figuren framgår också varför det blir två termer av typen ab. Det finns två sådana rutor helt enkelt. Termen 2ab kallas för dubbla produkten.

a

Sambandet har (precis som distributiva lagen) en enkel geometrisk tolkning:

a+b Geometrisk tolkning av första kvadreringsregeln.

Kvadreringsreglerna

1:a kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2:a kvadreringsregeln (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Reglerna kan även läsas åt andra hållet, och ger då anvisningar för hur en summa med ett visst utseende kan skrivas som en produkt.

Exempel

Användning av kvadreringsreglerna

1.24 Utveckla följande kvadrater med hjälp av kvadreringsreglerna.

a) (x + 4)2

b) (3 – b)2

c) (3a + 5)2

Lösning: a) (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 där vi i termen 8x känner igen den dubbla produkten, 2 · x · 4 = 8x. b) (3 – b)2 = 9 – 6b + b2 c) (3a + 5)2 = (3a)2 + 2 · 3a · 5 + 52 = 9a2 + 30a + 25

11

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind11 11

08-02-20 14.37.51

Kapitel 1 algebra

Exempel

Kontroll av kvadreringsreglerna

1.25 Kontrollera kvadreringsregeln på uttrycket (x – n)

2

genom att jämföra

regeln med multiplikation.

Lösning: Regler inom matematiken är bland annat till för att minska ner det så kallade råräknandet.

Reglerna används med fördel.

Kvadreringsregeln ger: (x – n)2 = x2 – 2xn + n2 Multiplikation ger:

(x – n)2 = (x – n)(x – n) = = x2 – xn – nx + n2 = x2 – 2xn + n2

Vi ser att det blir samma resultat, men olika långa uträkningar.

Med kvadreringsreglerna får man alternativa metoder vid numerisk räkning, vilket kan förenkla om man inte har miniräknaren till hands. Exempelvis: 232 = (20 + 3)2 = 400 + 120 + 9 = 529 292 = (30 – 1)2 = 900 – 60 + 1 = 841 Kvadreringsreglerna kommer ofta till användning i delmoment i större beräkningar: Exempel

Förenkling av större uttryck

1.26 Utveckla och förenkla uttrycket

3(x + 5) – 5(2x – 1)2 – 2(6 + 4x) + (3 – x)2 Lösning: 1. Vi börjar med att öppna upp kvadraterna med hjälp av kvadreringsreglerna.

2. Sedan multiplicerar vi in talen före men behåller parenteserna.

3. Vi tar nu bort parenteserna och ändrar tecken när så behövs.

4. Vi förenklar, dvs. samlar termer av samma sort.

1. 3(x + 5) – 5(4x2 – 4x + 1) – 2(6 + 4x) + (9 – 6x + x2) 2. (3x + 15) – (20x2 – 20x + 5) – (12 + 8x) + (9 – 6x + x2)

3. 3x + 15 – 20x2 + 20x – 5 – 12 – 8x + 9 – 6x + x2 4. –19x2 + 9x + 7 Svar: –19x2 + 9x + 7 Kommentar: Observera att man med fördel kan ta flera av dessa steg på en gång när man är van.

12

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind12 12

08-02-20 14.37.51

Två viktiga algebraiska omskrivningar

Övningar på kvadreringsreglerna Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna

Resonemang

2

b) (x + 3)2

c) (4 + y)2

1.36 Visa att man kan använda kvadreringsreg-

2

b) (6 – x)2

c) (x – 3y)2

lerna i följande situationer. a) (2x + 1)(1 + 2x) b) (x + y)(y + x)

1.27 a) (a + 5) 1.28 a) (a – 1) 2

1.29 a) (x + 3y)

c) (1 – 5y)2 e) (x + 0,5)2

b) (x + 4)(x + 4) d) (3a + 4b)2 f) (10x – 2y)2

1.37 Gör en geometrisk tolkning av 2:a kvadre-

ringsregeln, liknande den för 1:a kvadreringsregeln på sid 227.

2

1.30 En kontroll av reglerna för (a – 7) och

1.38 a) Är det någon skillnad på uttrycken

(3x + y)2 : Utveckla var och en av de två kvadraterna ovan genom a) vanlig multiplikation b) användning av kvadreringsreglerna

(7 – 3)2 och (3 – 7)2? b) Är det någon skillnad på uttrycken (a – b)2 och (b – a)2?

2

1.31 Utnyttja kvadreringsreglerna och beräkna

utan räknare: a) 222

b) 312

a) (5 + 3)

1.40 Skriv följande uttryck utan parentes

c) 992

a) (0,6x + 0,4y)2 2

 1 c)  x +  x 

2

b) (2 – 6)

Utveckla och förenkla följande uttryck.

2

2

c) 2(x – 2) – (5 + 2x) d) (a + b)2 – (a – b)2 2

2

1.34 a) x(x – 1) – 2(3 + x) + (2 – 2x) – (x – 5)

b) 3x2 – (x + y)2 – (2y – 3x) + (x – y)2 Begrepp

1.35 Vad är den principiella skillnaden mellan

b) (x 7 + y 7 )2  a b d)  −   b a

2

e) ( x + y )2

b) 3(3x – 1)2 + 18x

1.33 a) 6(x + 3)

2

Problem

1.32 Beräkna följande utryck på två olika sätt 2

2

1.39 Förklara varför (x + y) ≠ x + y (x, y ≠ 0).

1.41 En kvadrat har sidlängden x meter. Varje

sida förlängs därefter med 3 meter. a) Gör en enkel skiss av de två kvadraterna med sidorna angivna. b) Visa att uttrycket 6x + 9 anger skillnaden av de två kvadraternas areor. c) Tolka resultatet från b-uppgiften geometriskt.

följande två samband? (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 (x + 3)2 = 6x + 34

13

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind13 13

08-02-20 14.37.54

Kapitel 1 algebra

Konjugatregeln Ytterligare ett vanligt förekommande fall med multiplikation är då den ena faktorn är summan av två tal och det andra är differensen av samma två tal: (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 Vi ser att de två mellantermerna blir exakt likadana fast med olika tecken.

De tar ut varandra och försvinner. Detta samband kallas för konjugat­ regeln.

Sats

Konjugatregeln

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Precis som kvadreringsreglerna är detta ett samband som man ofta använder ”baklänges”.

Exempel

Konjugatregeln

1.42 Skriv följande produkter som summor

a) (x + 3)(x – 3)

b) (2x – 5)(2x + 5)

c) (a + 3b)(3b – a)

Lösning: I samtliga fall kan konjugatregeln användas. a) (x + 3)(x – 3) = x2 – 32 = x2 – 9 b) (2x – 5)(2x + 5) = (2x)2 – 52 = 4x2 – 25 c) (a + 3b)(3b – a) = (3b + a)(3b – a) = (3b)2 – a2 = 9b2 – a2

Geometrisk tolkning av konjugatregeln: Hela kvadratens area är a2. Om vi tar bort den lilla kvadraten upp till höger så är den återstående aren a2 – b2. Se vänstra figuren.

Denna area är lika stor som som arean av en rektangel med längden a + b och höjden a – b. Se den högra figuren där vi vridit och flyttat ned en av delrektanglarna. Arean av denna rektangel är (a + b)(a – b). a–b

b

b

b

a–b

a–b

a–b

b

a–b

b

a–b

b

a+b

14

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind14 14

08-02-20 14.37.54

Två viktiga algebraiska omskrivningar

Övningar på konjugatregeln Utveckla med hjälp av konjugatregeln 1.43 a) (x + 3)(x – 3)

b) (x – 2)(x + 2)

c) (m + n)(m – n) 1.44 a) (5 – x)(5 + x)

b) (2a + 5)(2a – 5) c) (ab – 2)(ab + 2) d) (x2 + 3)(x2 – 3)

1.45 Utveckla med hjälp av konjugatregeln.

a) (y – 3)(3 + y)

b) ( 2 + x)( 2 − x)

c) ( a − b )( a + b ) 2

1.46 Utveckla uttrycket (x + 4)(x + 2)(x – 2)

med hjälp av lämplig regel och skriv det som en summa.

1.47 Utveckla och förenkla följande uttryck

a) 10y4 + y(1 – 3y)y(1 + 3y)

b) (x4 + y4)(x4 – y4) – (x8 + y8) c)

(k2 − 10)(k2 + 10) + 100 0,1k3

Begrepp

1.48 Vad menas med konjugatet till ett uttryck?

1.51 Beräkna uttrycket

(

98 + 13

utan att använda räknaren.

)(

98 − 13

)

1.52 För två tal a och b gäller att a – b = 5

och a2 – b2 = 185. Bestäm summan av a och b. − b n 2 )(a n 2 + b n 2 ) är ett heltal för alla positiva heltal a, b och n.

1.53 Visa att produkten (a

n 2

1.54 a) En vara kostar 100 kr. Priset ökar först

med 5 %, och sjunker sedan med 5 %.

Kommer det nya priset att vara större eller mindre än det ursprungliga på 100 kr? b) Visa med algebra att priset alltid kommer att bli lägre, vilket priset än är, och vilken procentsatsen än är, under förutsättning att man ökar/sänker med samma procentsats. Visa också att det kvittar vilken ordning man tar det; sänker/höjer eller höjer/ sänker.

Resonemang

1.49 a) Förklara med ord den väsentliga skillna-

den mellan vänsterled och högerled i konjugatsambandet (a + b)(a – b) = a2 – b2 b) Spelar det någon roll i vilken ordning man skriver faktorerna (a + b) och (a – b)?

Problem

1.50 Beräkna med hjälp av konjugatregeln utan

räknare: a) 99 · 101

b) 53 · 47

c) 4 · 6

15

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind15 15

08-02-20 14.38.02

Kapitel 1 algebra

Faktorisering Att utveckla uttryck genom att multiplicera ihop parenteser innebär, väsentligen, att man ändrar uttrycket från att bestå av faktorer till att bestå av termer. Att istället omvandla från termer till faktorer kallas att faktorisera, och är en minst lika viktig operation.

Med distributiva lagen kan man multiplicera in en faktor i en parentes.

5(a + 2) = 5a + 10. Då kan man också gå på andra hållet.

Anta att vi börjar i 5a + 10. Ska vi kunna faktorisera detta uttryck måste de två termerna 5a och 10 ha någon gemensam faktor. Och det har de. Faktor 5 finns i båda termerna. Då bryter vi ut denna faktor.

Att faktorisera kallas också för att bryta ut.

5a + 10 = 5a + 5 · 2 = 5(a + 2) där mellanledet med fördel hoppas över när man är van. Uttrycket 5(a + 2) består av två faktorer; 5 och (a + 2).

Exempel

Bryta ut konstanter

1.55 Faktorisera följande uttryck.

b) 5x2 + 10y – 15

a) 2a – 8 Lösning: Vill man kontrollera att faktoriseringen är ­korrekt, så multiplicerar man ihop uttrycken igen. Man ska då få tillbaka det man hade från början.

I det första uttrycket finns en faktor 2 gemensam, och i det andra uttrycket en faktor 5. a) 2a – 8 = 2(a – 4) b) 5x2 + 10y – 15 = 5(x2 + 2y – 3) Exempel

Bryta ut variabler 3

2

1.56 Faktorisera x – 5x .

Lösning: Här kan man visserligen bryta ut ett x, men då man faktoriserar vill man, oftast, bryta ut en så stor faktor som möjligt. Den största gemensamma faktorn i detta uttryck är x2.

x3 – 5x2 = x2(x – 5)

Ett uttryck givet med termer har blivit ett uttryck med faktorer.

Har man svårt för att uppfatta de faktorer som termerna är uppbyggda av, kan man alltid skriva ett mellanled:

x3 – 5x2 = x · x · x – 5 · x · x = x2 (x – 5)

Faktorisering kan kräva ett visst förutseende, så att man inte bara räknar på utan att tänka efter först.

16

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind16 16

08-02-20 14.38.03

Faktorisering

Exempel

Bryta ut uttryck

1.57 Faktorisera uttrycket

(x – 4)(x + 3) + 4(x – 4)(x + 2)

Lösning: Det verkar frestande att börja med att utveckla och förenkla uttrycket.

Då får vi

x2 + 3x – 4x – 12 + 4x2 + 8x – 16x – 32 = 5x2 – 9x – 44

Detta klarar vi tyvärr inte att faktorisera.

Bättre är att utnyttja den faktorisering som redan finns. Båda termerna innehåller faktorn x – 4. Om vi bryter ut den så går det kanske bättre.

(x – 4)(x + 3) + 4(x – 4)(x + 2) = (x – 4)[(x + 3) + 4(x + 2)] = = (x – 4)(x + 3 + 4x + 8) = (x – 4)(5x + 11)

Kommentar: Man bör aldrig multiplicera ihop uttryck utan att först fundera på om det för en närmare målet. Det är mycket svårare att faktorisera än att multiplicera, och man ger sig själv en massa onödigt extraarbete om man gör en multiplikation som i ett senare steg måste göras ogjord igen.

Man ska aldrig göra något bara för att det går att göra. Det ska dessutom vara bra för något.

Övningar på faktorisering 1.58 Faktorisera följande uttryck

a) 8 + 4a c) 9m + 6n 1.59 Faktoruppdela

a) 120 + 12k c) 5a2b – 10ab2

b) 2y – 4 d) x5 + x3 b) 6x4 + 12x3 – 3x2 d) 4pq – 16p + 8q

1.60 Lös ut x ur följande ekvationer:

a) 2x + xy = z

b) x = a(x + b)

1.61 Vilket tal ska stå i rutan?

a) 5x + 10 = (x + 2) b) x2 – 3x = (x – 3) c) 8 + = 4(2 + x) d) 2 – x2 = x2(2x – 1) 1.62 Att primtalsfaktorisera är att dela upp ett tal

i faktorer som är primtal. T.ex. så är 12 = 2 · 2 · 3 en primtalsfaktorisering, men inte 18 = 2 · 9.

Primtalsfaktorisera a) 30 b) 27 c) 31 d) 32

Faktorisering med hjälp av kvadrerings- och konjugatreglerna Kvadreringsreglerna och konjugatregeln är som sagt många gånger mer användbara baklänges, dvs. som hjälp för att faktorisera ett uttryck.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2 a2 – b2 = (a – b)(a + b)

17

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind17 17

08-02-20 14.38.04

Kapitel 1 algebra

Det är många saker som egentligen är mest användbara baklänges.

Multiplikationstabellen, t.ex. Multiplicera ihop tal kan man göra med hjälp av en enkel räknare.

Men hur faktoriserar man med en sådan?

Exempel

Kvadreringsreglerna baklänges

1.63 Faktoruppdela följande uttryck.

a) x2 + 2x + 1

b) x2 – 8x + 16

Lösning: a) Den här känner vi igen direkt som (x + 1)2. b) Denna ser vid första anblicken knepig ut, men om vi gör några enkla omskrivningar så känner vi igen andra kvadreringsregeln, baklänges. x2 – 8x + 16 = x2 – 2 · 4x + 42 = (x – 4)2

Kontroll: (x – 4)2 = x2 – 8x + 16

Exempel

Konjugatregeln baklänges

1.64 Skriv följande summor som produkter

a) x2 – 16

b) t2 – 3

c) y2 + 4

Lösning: a) x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4)(x – 4) 2

b) t 2 − 3 = t 2 − 3 = (t + 3)(t − 3) c) Eftersom vi har ett plustecken istället för ett minustecken så går det inte att använda konjugatregeln, och vi får ge upp!

Övningar på faktorisering med hjälp av kvadrerings- och konjugatreglerna 1.65 Använd kvadreringsreglerna och faktorisera

följande uttryck a) x2 + 6x + 9 c) x2 – 8x + 16

b) x2 + 10x + 25

faktorer. Vad får uttrycket för värde om a) x = 3 b) x = 5 c) x = 2 1.69 Skriv talet 30 som en

1.66 Använd kvadreringsreglerna och faktorisera

följande uttryck 49 a) 2x2 + 12x + 18 b) x2 − 7 x + 4 c) 45 + 5x2 – 30x 1.67 Använd konjugatregeln och faktorisera

följande uttryck a) x2 – 4 c) a2 – 100

1.68 Uttrycket (x – 3)(5 – x)(2x – 4) består av tre

b) x2 – 1 d) k2 – 49

a) summa av tre termer. b) produkt av tre faktorer.

1.70 a) Skriv 1000000 – 1 som en produkt av två

tal med hjälp av konjugatregeln.

Faktorisera b) 400k10 – 1 c) k2n – 1 d) a2n – b2n 1.71 Faktorisera

a) x(x – 2) – 2(x – 2)(x – 3) b) (y + 3)2 – 8y(y + 3) + 4(y + 3)

18

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind18 18

08-02-20 14.38.07

Faktorisering

1.75 Lös ut x ur följande samband. Kontrollera

Problem

1.72 Ett rätblock har sidlängderna a, b och c.

a) Ange ett uttryck för rätblockets begränsningsarea A. b) Faktorisera uttrycket från a-uppgiften. c) Ange konstanten k i följande samband och ange vad den betyder i fråga om rätblockets begränsningsarea.

A k= ab + ac + bc

4

3

1.73 Skriv summan 5a + 10a – 10a – 20 som

en produkt av tre faktorer.

1.74 Följande produkter är givna: ac = 36,

efteråt genom att multiplicera in x igen.

A a) 7x + ax = b b) = B + C x c) kx + B = xP2 – x 1.76 Visa att

a)

a2 a  b a  x − y2 x = − y b) 1 + 2 =  +  b  a b y y b 2

 y c) x + y = x 1 +   , förutsatt att x  x 2

2

är positivt. d) Vad händer om x är negativt i c-uppgiften?

cb = 12, cd = 14. Bestäm produkten abcd, om vi antar att alla variablerna är heltal.

Nollfaktorlagen Låt oss betrakta en summa av tre termer, a + b + c och en produkt av tre faktorer, a · b · c, och låt oss sätta båda uttrycken lika med noll. a + b + c = 0

a · b · c = 0

Kan vi säga något väsentligt om talen a, b och c i summan? Nej. Detta kan bli noll på många olika sätt. Exempelvis: 5,6 + 3,1 – 8,7 = 0

10 – 5 – 5 = 0

I produkten däremot måste minst ett av talen a, b eller c vara noll för att produkten ska bli noll. Detta gäller oberoende av antalet faktorer. Exempelvis:

”Divide and conquer” (söndra och härska) är i problemlösarkretsar namnet på tekniken att dela upp ett stort problem i flera små.

Ursprungligen kommer uttrycket från romarnas sätt att hålla ordning på de underkuvade folken: om dessa bråkade sins­emellan hade de ingen ork över att göra uppror mot romarna.

3 · 7 · 2 · 0 · 125 · 6 = 0 Det spelar ingen roll att vissa av faktorerna är stora; produkten blir noll.

Sats

Nollfaktorlagen

Om en produkt ska bli lika med noll, så måste minst en av faktorerna vara noll.

I produkten a · b = 0 måste minst en av faktorerna a eller b vara noll.

Detta gör att en faktorisering kan vara till stor hjälp vid ekvationslösning.

Om vänsterledet är en produkt och högerledet noll så kan ekvationen delas upp i ett antal mindre ekvationer, som förhoppningsvis är så enkla att man klarar av att lösa dem.

19

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind19 19

08-02-20 14.38.11

Kapitel 1 algebra

Exempel

Ekvationslösning med hjälp av nollfaktorlagen

1.77 Lös ekvationen

(x + 2)(x – 3)(2x + 4) = 0 Lösning: Vi skulle kunna multiplicera ihop uttrycken, men det skulle bara ge en ekvation som vi inte klarar av att lösa. Vi utnyttjar istället nollfaktorlagen: Eftersom produkten är noll så är någon faktor noll, vilket ger oss tre lätta ekvationer. x + 2 = 0 eller x – 3 = 0 eller

x = –2 x = 3

2x – 4 = 0 2x = 4 x = 2

Ekvationen har tre möjliga lösningar: x = –2, x = 3 och x = 2.

Kommentar: Det här var ett exempel på en ekvation med mer än en lösning. Alla värden på den obekanta som gör likheten sann är lösningar. Då man löser en ekvation vill man som regel ha tag i alla lösningar till den. Det kallas att man har löst ekvationen fullständigt. Om man bara har hittat en del av lösningarna är ekvationen ofullständigt löst.

Övningar på nollfaktorlagen Lös ekvationerna med hjälp av nollfaktor­ lagen

Begrepp

1.81 Vad innebär det att lösa en ekvation fullstän-

digt?

1.78 a) (x + 2)(x – 3) = 0

b) y(y – 4)(y + 1) = 0 2

1.79 a) x – 9 = 0

b) x2 – 5x = 0

1.80 a) Uttrycket 2(x – 8) + y(x – 8) består av två

termer. Termerna har en gemensam faktor.

Faktorisera uttrycket genom att bryta ut denna faktor. b) Lös ekvationen x2(x – 7) – 25(x – 7) = 0. c) Lös ekvationen (2x – 10) – (x3 – 5x2) = 0

Resonemang

1.82 Anta att vi vet att abcd = 1. Går det att dra

några slutsatser liknande de i nollfaktorlagen ur den informationen?

20

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind20 20

08-02-20 14.38.11

Polynom

Polynom Polynom är en viktig typ av algebraiska uttryck. Ordet poly betyder många, och ett polynom är en summa av ett antal termer i en eller flera variabler.

Varje variabel har en exponent som är ett positivt heltal. Varje term består av en eller flera variabler med exponenter och ett tal som det hela multipliceras med: en koefficient. Man kan också ha en term som inte innehåller några variabler. Den kallar konstantterm.

Exempel på polynom: A: 2x5 – 3x2 + x – 7 B: 8x2y + xy + 6 För var term i ett polynom kan man ange termens grad, som ges av exponenten (eller exponenterna). Graden på polynomet ges av den term som har den största sammanlagda exponenten. För polynomen ovan gäller: A: Ett polynom av 5:e graden i en variabel, x.

B: Ett polynom av 3:e graden i två variabler, x och y. Graden är 3, ty exponentsumman i första termen är 3. Första termen har koefficienten 8 och termen xy har koefficienten 1. Konstanttermen är 6. Konstanter har grad 0. tredjegradskoefficient

3

2x

tredjegradsterm

• Många samband, bland annat inom fysiken, är polynomiella.

• Polynomräkning påminner mycket om heltalsräkning. Detta är spännande för den som är intresserad av strukturer.

• Polynoms egenskaper är så pass lätta att analysera att man ofta ersätter ett krångligt uttryck med ett polynom. Kan ge lättare räkningar och tillräckligt bra resultat.

förstagradskoefficient

678

–5x

förstagradsterm

–4 konstantterm

Inget av uttrycken x3 – 6x1/2 + 5 och x2 – 9x–2 + 4 är något polynom, eftersom samtliga termer måste ha positiva heltalsexponenter.

Definition

INTRESSANT OM POLYNOM

Polynom

En summa av ett antal termer, där samtliga variabler har en exponent som är ett positivt heltal.

Det är konvention, dvs. brukligt, att man skriver termerna i ett polynom ordnade efter fallande gradtal, dvs. högstagradstermen först.

Denna konvention kan man dock bryta när så passar.

Termen med den största sammanlagda exponenten anger polynomets grad.

Dessutom brukar man räkna talet noll som ett polynom. Det kallas nollpolynomet och anses till skillnad från andra konstanter inte ha någon grad.

Två exempel på andragradspolynom är följande: x2 – 3x + 7 och 3x2 + 5x.

Det första är fullständigt eftersom det innehåller termer av alla gradtal från och med grad 2 ner till och med grad 0. Det andra exemplet är inte fullständigt, eftersom det saknar konstantterm. (Man kan också säga att det har konstanttermen 0.)

21

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind21 21

08-02-20 14.38.12

Kapitel 1 algebra

För att beskriva ett allmänt polynom i en variabel x inför man bokstäver som koefficienter.

Allmänt andragradspolynom:

ax2 + bx + c

Allmänt tredjegradspolynom:

ax3 + bx2 + cx + d

osv.

Om vi i det allmänna andragradspolynomet sätter a = 4, b = 0 och c = –6 får vi 4x2 – 6.

Om polynomet består av endast två termer kallas det för ett binom. Ordet bi betyder två.

Exempel

Polynom

1.83 Två polynom är givna. Ange koefficienter, variabler och konstanter, och

ange också polynomets grad. a) x4 + y3 – 5xy2

b) –mn2 + 2m – 7

Lösning: a) Koefficienterna är 1 och 1 och –5. Variablerna är x och y. Polynomet är av grad 4. b) Koefficienterna är –1 och 2. Konstanten är –7. Variabeln är m och n.

Polynomet är av grad 3.

Övningar på polynom 1.84 Ange graden av följande polynom.

a) y2 – 7y + 3 b) x3 – 5x2 + 2 2 4 9 3 7 c) x y + x y – 5y + 4

1.85 Ange vilka av följande uttryck som är poly-

nom.

A: x2 + 2 x − 3 C: x2y – 4y + 0,7

B: x2 +

1 x3

1.86 Ange vilka av följande polynom som är full-

ständiga. Ange också graden av dessa polynom.

A: 4x3 – x2 + 5 B: x4 + 2x3 – 6x2 + x C: x4 – 5x3 – x2 + 3x – 2 D: x2 – x + 13

2

5

3

1.87 Skriv polynomet 3x – 6x + 7 – x + 2x

med termerna ordnade efter fallande gradtal.

1.88 Polynomet nedan är skrivet i fallande grad-

tal: anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 a) Ange graden av polynomet. b) Skriv polynomet på den form det är skrivet, men ersätt n med 5. c) Hur många termer består polynomet från b-uppgiften av? d) Hur många termer består det ursprungliga polynomet av?

1.89 Ett polynom av 6:e graden i variabeln x

består endast av termer med jämna exponenter. Alla koefficienter har värdet –1.

Konstant­term saknas. Ange polynomet.

22

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind22 22

08-02-20 14.38.13

Polynom

1.90 Ett polynom av 3:e graden i variabeln x är

givet. Ange polynomets nya grad om polynomet a) multipliceras med x b) multipliceras med x2 c) multipliceras med en konstant ≠ 0 d) adderas med x e) adderas med x2 f) adderas med en konstant ≠ 0 1.91 Skriv följande uttryck som polynom.

a) x(2x – 1) + 5 b) (x – 3)(x + 2) c) (2x – xy)(x2 – 4y) 1.92 Beräkna värdet av följande polynom för de

aktuella värdena på variablerna. a) x3 – 3x2y + 4y; x = 2 och y = 3 b) –xy2 + 3x + 2y2 – 10; x = –2 och y = 5 1.93 Uttrycken nedan är allihop produkter. Om

Begrepp

1.94 Vad innebär det att ett polynom är fullstän-

digt?

1.95 Ett specialfall av polynomen är det polynom

som bara har två termer. Vad kallas ett sådant polynom?

Problem

1.96 Multiplicera uttrycket

anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 med en lämp-

lig faktor så att resultatet blir ett polynom av grad 2.

1.97 a) Om man multiplicerar ihop två tredje-

gradspolynom, vilken grad kommer produkten att få? b) Om man adderar två tredjegradspolynom, vilken grad kommer summan att få?

man multiplicerar ihop faktorerna får man uttrycken som termer; polynom. Avgör, utan några beräkningar, vilken grad dessa polynom har. a) x(x + 5) b) (x + 3)(x + 5) c) (x + 2)(x + 7)(x + 6) d) (x + 1)4 e) (x + 3)n

23

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind23 23

08-02-20 14.38.14

Kapitel 1 algebra

Andragradsuttryck Alla polynom kan delas upp i faktorer av högst andra graden; en del ända ner i förstagradsfaktorer. Detta gör andragradsuttrycken extra viktiga att analysera.

Många polynomiella samband är av andra graden. Om en viss bil tvärbromsar så ser sambandet mellan hastigheten v m/s och bromststräckan B meter ut ungefär så här :

B = 1,08v + v2 /12

Spyformeln beskriver sannolikheten p för att spy på t.ex. en båt. Om någon utsatts för vågorna i T timmar då vågorna är A meter höga och svänger f gånger per sekund så gäller sambandet:

p=

A ⋅ (2π f )2 ⋅ T 3

Eftersom andragradsuttryck också är en av de enklaste och mest grundläggande sorternas polynom är det bra att börja polynomstudierna här.

Kvadratkomplettering Andragradsuttryck kan ofta vinna på att man skriver om dem med hjälp av ett förfarande som kallas för att kvadratkompettera. För att illustrera detta viktiga begrepp inleder vi med en skröna:

En bonde har tre hagar, se figur. Han vet att de tre hagarna tillsammans har arean 153 m2, det står i ett gammalt ägobrev, och han vet att det kortare staketet är 4 m, för han har nyligen bytt det. Men han vet inte längden på den hage som är markerad med sidlängden x. Han behöver veta det för att kunna köpa staket, men har inte lust att gå ut i ösregnet och mäta. Lite matematik behärskar han, så han betraktar figuren och ställer upp följande korrekta ekvation:

4

x

x

4

x2 + 4x + 4x = 153

som han renskriver till

x2 + 8x = 153

men kommer sedan inte längre.

24

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind24 24

08-02-20 14.38.16

Andragradsuttryck

Bondhustrun, som har lite mer känsla för matematik än bonden själv, betraktar figuren över hagarna och säger: vi får kvadratkomplettera helt enkelt, och ritar därefter in en liten hage till, uppe i ena hörnet. Eftersom denna nya hage är 42 = 16 m2 stor, lägger hon helt korrekt till 16 i båda leden i bondens ekvation,

x2 + 8x + 16 = 153 + 16

4

x

och renskriver.

x2 + 8x + 16 = 169

x

4

– Vad hjälper detta? undrar bonden.

– Men titta på den nya figuren. Det har ju nu blivit en kvadrat med sidan x + 4, inte sant? Bonden kan inte annat än hålla med. Alltså, fortsätter bondhustrun, kan vi skriva om ekvationen;

(x + 4)2 = 169

– Och något som i kvadrat blir 169 måste vara 13! utropar bonden glatt.

– Skulle kunna vara –13 också, säger hustrun, och fortsätter beräkningen.

x + 4 = 13

eller

x = –4 + 13

x = –4 – 13

x = 9

x = –17

x + 4 = –13

– Längden på din stora hage är 9 meter, för –17 verkar inte så troligt, sammanfattar bondhustrun, och bonden säger inte emot.

Att kvadratkomplettera innebär, väsentligen, att se till att en spretig figur blir en snygg och prydlig kvadrat. Man kompletterar med det som fattas.

Det man ska lägga till är halva koefficienten för förstagradstermen i kvadrat. Arbetar man med en ekvation så ska man göra detta i båda led. Arbetar man med ett uttryck så får man kompensera genom att dessutom dra bort det tillagda.

Exempel

Kvadratkomplettering av uttryck

1.98 Kvadratkomplettera nedanstående uttryck, dvs. skriv dem som en summa

av en kvadrat och en konstant. a) x2 – 6x + 2 b) 2t2 + 10t + 4 Lösning: a) Det vi utnyttjar är att ett uttrycks värde inte förändras om vi lägger till talet noll. Om vi både lägger till och drar ifrån ett tal så har vi i praktiken bara lagt till noll, och därmed inte förändrat något.

25

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind25 25

08-02-20 14.38.16

Kapitel 1 algebra

x2 – 6x + 2 = x2 – 2 · 3x + 2 = x2 – 2 · 3x + 32 – 32 + 2

= (x – 3)2 – 9 + 2 = (x – 3)2 – 7 Tillägget som vi gör i det rödmarkerade steget gör det möjligt för oss att samla ihop de första termerna i en kvadrat.

Man kan kontrollera svaren genom att utveckla kvadraterna och förenkla. Har man gjort rätt ska man få tillbaka ursprungs­ uttrycket.

14243 Lagt till 0

b) 2t2 + 10t + 4 = 2(t2 + 5t + 2)   5 = 2  t 2 + 2 ⋅ t + 2 2  

2 2    5  5 5 = 2  t 2 + 2 ⋅ t +   −   + 2 2    2  2

2  5 25 8  +  = 2  t +  − 2 4 4   

2  5 17  = 2  t +  −  2 4   

2  5 17 = 2 t +  − 2 2  

Här hade vi en 2:a som komplicerade saken. Genom att ställa den utanför huvudberäkningen slapp vi fundera på vad vi skulle göra med den.

Svar: a) (x – 3)2 – 7 b) 2(t + 5/2)2 – 17/2

Kvadratkomplettering har många användningsområden. Vi kommer i det här kapitlet använda det till ekvationslösning och i nästa då vi studerar funktioner. Ytterligare tillämpningar finns inom mer avancerade områden.

Övningar på kvadratkomplettering 1.99 Skriv följande uttryck som en summa av en

kvadrat och en konstant. a) x2 + 4x + 7 b) z2 + 10z + 19 2 c) w – 8w + 1 d) 12x + x2 + 32 Kontrollera gärna svaren genom att utveckla kvadraterna och förenkla.

1.100 Kvadratkomplettera följande uttryck.

a) 3x2 + 24x + 43 b) y2 – 3y + 5 c) 1 + 6x – x2 d) v2 + 2v

26

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind26 26

08-02-20 14.38.19

Andragradsekvationer

Andragradsekvationer Graden av ett polynom ges alltså av värdet på den största exponenten.

Likadant är det med ekvationer. Exempelvis är ekvationen 7x – 3 = 0 en ekvation av första graden.

Följande tre ekvationer är alla exempel på ekvationer av andra graden.

Samtliga innehåller en andragradsterm men ingen term med högre grad än så.

x2 = 25 3x2 – x = 0 x2 – 4x + 3 = 0

Den tredje ekvationen ovan kallas för en fullständig andragradsekvation, då den innehåller alla termerna, dvs. andragradsterm, förstagradsterm och konstantterm.

Fullständiga andragradsekvationer En fullständig andragradsekvation kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering, på samma sätt som bondhustrun gjorde då hon skulle ta fram måt�ten på hagen.

Exempel

Ekvationslösning med hjälp av kvadratkomplettering 2

1.101 Lös ekvationen x + 12x = 64

Lösning: Vi använder kvadratkomplettering. Eftersom vi arbetar med en ekvation och inte med ett uttryck kan vi lägga till samma sak i båda led istället för att lägga till och dra ifrån samma sak: x2 + 12x = 64

x2 + 2 · 6x + 62 = 64 + 62

2

(x + 6) = 100

Vänsterledet kan skrivas som en jämn kvadrat där vi också renskrivit högerledet

Någonting i kvadrat ska bli 100. Vi vet att 102 = 100, så en möjlighet är att x + 6 är 10. Men även (–10)2 = 100, så där har vi ett förslag till. Det finns dock inga andra tal än 10 och –10 som har 100 som kvadrat, och vi skriver

x + 6 = ±10 −6 + 10 = 4 x = −6 ± 10 =  −6 − 10 = −16

Svar: x1 = 4, x2 = –16 Kommentar: Vi kan redan nu konstatera att en andragradsekvation har – oftast – två lösningar.

Som vid all ekvationslösning kan man kontrollera svaren genom att sätta in dem i ursprungsekvationen.

Passar de så är de korrekta. (Däremot talar det testet inte om ifall man missat någon möjlig lösning.)

27

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind27 27

08-02-20 14.38.20

Kapitel 1 algebra

Exempel

En lite krångligare ekvation 2

1.102 Lös ekvationen 2x – 28x + 10 = 0

Lösning:

2x2 – 28x + 10 = 0

Dividera ekvationen med 2, så att koefficienten för x2 blir 1.

x2 – 14x + 5 = 0

x2 – 14x = –5

Subtrahera båda leden med 5.

2

Kvadratkomplettera

2

2

x – 2 · 7x + 7 = –5 + 7 2

(x – 7) = 44

Skriv om vänsterledet och renskriv högerledet Dra roten ur båda leden, lägg till ±.

x − 7 = ± 44

x = 7 ± 44 Man kan skriva 44 = 4 · 11 = 22 · 11 vilket ger

44 = 22 ⋅ 11 = 22 11 = 2 11

44 = 22 ⋅ 11 = 22 11 = 2 11 . (Det brukar underlätta förenklingar om talen som man drar roten ur är så små som möjligt.)

Svar: x1 = −7 + 2 11 ≈ – 0, 367 , x2 = −7 − 2 11 ≈ –13, 6

Övningar på fullständiga andragradsekvationer 1.103 Vänsterledet i följande ekvationer är utveck-

lade kvadrater. Lös ekvationerna. a) x2 + 12x + 62 = 81 b) x2 – 8x + 16 = 36 c) t2 – 4t + 4 = 5

2

1.105 a) 3x – 30x – 33 = 0

b) 40 + 2s2 = 20s c) x2 + x = 143,75 d) x + 16 =

− 48 x

Lös följande ekvationer med hjälp av kvadrat­ komplettering 2

1.104 a) x + 6x = 16

b) y2 – 10y = 24 c) z2 + 14z – 51 = 0 d) x2 – 4x = 3

28

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind28 28

08-02-20 14.38.24

Andragradsekvationer

Lösning med formel Efter att ha kvadratkompletterat ett antal gånger för att lösa ekvationer finner man att i problemet finns ett mönster, en inre struktur.

För att tydligare se denna struktur och för att framöver få enklare räkningar, studerar vi nu en allmän andragradsekvation med en godtycklig koefficient p och en godtycklig konstant q.

Härledning av en formel för lösning av den allmänna andragradsekvationen Exempel x2 + 6x + 5 = 0

Allmänt x2 + px + q = 0

Subtrahera båda leden med q.

Kvadratkomplettera, dvs lägg till hälften av p i kvadrat i båda leden.

x2 + 6x = –5

x2 + px = –q

x2 + 6x + 32 = 32 – 5

 p  p x2 + px +   =   − q  2  2

(x + 3)2 = 32 – 5

 p  p  x + 2  =  2  − q

2

2

2

2

Skriv om vänsterledet med kvadreringsreglen baklänges.

Dra roten ur båda leden.

2

x + 3 = ± 32 − 5

x+

 p p = ±   −q 2  2

Subtrahera båda leden med p/2.

2

2

x = −3 ± 3 − 5

 p p x=− ±   −q 2  2

I det sista sambandet ser vi att x är fritt i ena ledet. Det andra ledet består av de givna koefficienterna p och q. Man kan alltså alltid ange lösningen till en andragradsekvation med hjälp av de givna koefficienterna.

Det här var ett exempel på algebrans användbarhet. Genom att genomföra beräkningen med symboler istället för siffror har vi löst alla andragrads­ ekvationer en gång för alla. Vi sammanfattar det hela i en sats.

Sats

Formel för lösning av andragradsekvationen (pq-formeln)

Ekvationen x2 + px + q = 0 har lösningen

x =−

2

p  p ±   −q  2 2

Halva förstagrads­ koefficienten med ombytt tecken

Halva förstagrads­ Konstanttermen koefficienten med ombytt tecken i kvadrat

Observera att satsen fordrar att andragradskoefficienten är 1. I annat fall måste man börja med att dividera ekvationen med koefficienten.

29

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind29 29

08-02-20 14.38.28

Kapitel 1 algebra

Exempel

Lösning med hjälp av formeln 2

1.106 Lös ekvationen x + 6x – 40 = 0

Lösning: x2 + 6x – 40 = 0 Koefficienten för förstagradstermen är 6. Enligt formeln ska vi ta halva denna koefficient med ombytt tecken. Det blir –3. Vi får: x = −3 ± 32 + 40 där konstanten –40 byter tecken till +40 x = −3 ± 49 −3 + 7 = 4 x = −3 ± 7 =  −3 − 7 = −10 Svar: x1 = 4, x2 = –10 Ekvationen hade två lösningar, dvs. två rötter. Fler än två lösningar kan en andragradsekvation aldrig ha. Däremot kan den ha enbart en lösning, kal­ lad dubbelrot, och den kan också sakna lösningar helt.

Tolkningen av dessa olika fall, dvs. den grafiska bilden av en ekvation, återkommer vi till i kapitel 2 om funktioner.

Exempel

En ekvation med dubbelrot 2

1.107 Lös ekvationen –3x + 30x – 75 = 0

Lösning: Här är koefficienten för andragradstermen –3 och formeln gäller bara då denna koefficient är 1. Vi inleder därför med att dividera ekvationens båda led med –3 och får: x2 – 10x + 25 = 0 Formeln ger nu: x = 5 ± 52 − 25 x = 5 ± 25 − 25 x = 5 ± 0 x = 5 Det blev noll under rottecknet. Ekvationen har då bara en lösning. Man brukar utmärka att det är fråga om en dubbelrot genom att skriva svaret enligt följande: Svar: x1 = x2 = 5

30

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind30 30

08-02-20 14.38.30

Andragradsekvationer

Exempel

En ekvation utan lösning 2

1.108 Lös ekvationen x – 4x + 7 = 0

Lösning: x2 – 4x + 7 = 0 x = 2 ± 4 − 7 = 2 ± −3 Denna ekvation saknar lösning, då man inte kan dra roten ur negativa tal.

Svar: Ekvationen saknar reella rötter.

Även med formeln så har man vissa variationsmöjligheter i hur man lägger upp sina beräkningar. Att räkna med bråk anses av många som krångligare än att räkna med decimaluttryck, men i en del samband kan det faktiskt vara lättare! Då man arbetar med andragradsekvationer så kan man med hjälp av bråk i princip klara sig helt utan miniräknare. Detta följer från några av de grundläggande potens- och rotlagarna, se marginalen.

Exempel

 a   b

2

a = b

=

a2 b2 a b

Att arbeta med bråk 2

1.109 Lös ekvationen x – 7x – 8 = 0

Lösning: Om vi inledningsvis arbetar decimalt så får vi, då hälften av 7 är 3,5: x = 3, 5 ± 3, 52 + 8

Redan här kan man eventuellt tvingas att använda räknare för att räkna ut att uttrycket under roten är 20,25.

x = 3, 5 ± 20, 25

Att

20, 25 = 4, 5 är kanske inte heller helt självklart.

Efter lite knapptryckande får man: Svar: x1 = –1, x2 = 8 Alternativlösning: Bättre då att arbeta med bråk. Eftersom hälften av 7 är 7/2 och potenslagen ger att vi kan kvadrera täljare och nämnare för sig, så ger enkel huvudräkning att (7/2)2 = 49/4, och vi får: x=

7 ± 2

49 +8 4

Vi gör liknämnigt,

x=

7 ± 2

49 32 +

4 4

och adderar.

x=

7 81 ±

2 4

x=

7 81 7 9 7 ± 9  16 / 2 = 8 ± = ± = = 2 2 2 2 4 −2 / 2 = −1

Svar: x1 = –1, x2 = 8

Nu ger rotlagen och huvudräkning:

Att lösa dessa andragradare utan räknare är nyttigt på många olika sätt. Man lär känna talen, man känner igen vanliga kvadrater, man lär sig på ett naturligt sätt att förlänga, förkorta m m.

31

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind31 31

08-02-20 14.38.34

Kapitel 1 algebra

Övningar på lösning med formel Lös följande ekvationer och svara exakt.

Resonemang

2

b) x2 – 6x + 7 = 0 c) x + 12x + 32 = 0 d) y2 – 10y + 16 = 0

1.110 a) x – 2x – 15 = 0

1.115 a) Hurdant ska förhållandet mellan p och q

i ekvationen x2 + px + q = 0 vara för att ekvationen ska ha en dubbelrot? b) Hurdant ska förhållande vara för att ekvationen ska sakna lösning? c) Finns det någon situation där man med en blick (utan några beräkningar) kan säga ”den här ekvationen är lösbar”?

2 2

b) x2 + 8x – 48 = 0 c) 2x – 12x + 16 = 0 d) x2 + 2x – 5,25 = 0

1.111 a) x + 5x + 6 = 0 2

2

1.112 a) t – 14t + 49 = 0

b) 4n2 – 28n + 24 = 0 c) s2 – 3s – 2 = 0 d) x2 + 20 = 12x

Problem

1.113 a) y(2,5 – 0,5y) = 1,5

1.116 Bromssträckan B meter för en viss bil med

2

b) 3(2T – T ) = –24 30 c) 23 − 2u =

u

d) y2 + 3y + 3 = 0

1.114 Lös följande ekvationer utan hjälp av räk-

nare a) x2 – x – 6 = 0 c) x + 3x – 4 = 0

hastigheten v m/s kan beskrivas med formeln B = 1,08v + v2 /12 Bestäm hastigheten hos en bil med bromssträckan 81 meter.

b) x2 – 7x + 10 = 0 d) x2 – 7x + 6 = 0

Ofullständiga andragradsekvationer Ofullständiga andragradsekvationer kan lösas med hjälp av ”pq-formeln”, men det är ett onödigt krångligt sätt. Det finns effektivare metoder, där man utnyttjar ekvationernas struktur.

Vi tittar först på en andragradsekvation utan förstagradsterm. pq-formeln baseras på kvadratkomplettering, där man skriver om vänsterledet till en kvadrat. Om det inte finns någon förstagradsterm så är det jobbet redan gjort, och man kan gå direkt på svaret: Exempel

Andragradsekvation utan förstagradsterm 2

1.117 Lös ekvationen x = 16.

Lösning: x2 = 16 x = ± 16 = ±4 Svar: x1 = –4, x2 = 4 Kommentar: Man kan svara x = ±4, eller som här, införa ett indexnummer för var och en av de två lösningarna.

32

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind32 32

08-02-20 14.38.36

Andragradsekvationer

Vi betraktar nu en andragradsekvation som har en förstagradsterm men ingen konstantterm. Där har vi en helt annan väg som vi kan gå, via nollfaktorlagen: Exempel

Andragradsekvation utan konstantterm 2

1.118 Lös ekvationen x – 3x = 0.

Lösning: Båda termerna innehåller en faktor x som vi kan bryta ut:

x(x – 3) = 0

Detta är en produkt av två faktorer; x och (x – 3). Om denna produkt ska vara lika med noll så måste (enligt nollfaktorlagen) minst en av de två faktorerna vara noll, dvs. antingen

x = 0 eller x – 3 = 0

Andragradsekvationen är nedbruten i två förstagradsekvationer, där den första redan är löst, och den andra är enkel. Vi adderar 3 till båda leden och får att x = 3 är en lösning.

TRIVIALT

Svar: x1 = 0, x2 = 3 Kommentar: I en andragradsekvation utan konstantterm finns alltid den triviala lösningen x = 0. Detta kan man se utan några egentliga beräkningar, ty båda termerna försvinner i ekvationen nedan om x är noll, oberoende av värdena på a och b:

Det här är ett universalredskap. Man kan göra väldigt mycket med det, men om man bara behöver en kniv är det lättare att använda något som bara är en kniv. pq-formeln är ett universalredskap; fungerar på alla andragradare men kan vara onödigt klumpig.

ax2 + bx = 0

I matematiken brukar man med trivialt mena något som går att se utan att man gör några speciella uträkningar.

Övningar på ofullständiga andragradsekvationer Lös följande ekvationer 2

1.119 a) x = 100 2

c) 5x – 320 = 0 2

b) x2 + 6x = 0 d) 5y2 – 20y = 0

1.120 a) x – 5x = 0 2

c) y – 7y = 0 2

1.121 a) 4x = 1 2

c) 3x – 24 = 0 2

1.122 a) 28x = 7x

c) z2 = z

b) 3x2 = 75 d) 100 – x2 = 36

b) x2 = 7 d) x2 = –4 b) y2 = –2,5y d) 102 t 2 – 102 t = 0

Begrepp

1.123 Ange vilken typ av ekvationer det här är

frågan om, dvs. ange dess grad och om ekvationen är fullständig. Ekvationerna ska inte lösas. a) 5x2 – 7x = 0 b) x3 – 2x2 + 5x – 8 = 0 c) 2x5 – 4x3 = 16 d) 3x4 + x3 – 5x2 + x – 6 = 0

33

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind33 33

08-02-20 14.38.44

Kapitel 1 algebra

Resonemang

1.124 a) Studera vad som händer om man löser en

andragradsekvation utan förstagradsterm med pq-formeln. Förklara med hjälp av denna varför lösningarna ser ut som de gör. b) Studera vad som händer om man löser en andragradsekvation utan konstantterm med pq-formeln. Förklara med hjälp av denna varför lösningarna ser ut som de gör.

1.125 Man skulle kunna inleda lösningen till ekva-

tion x = (x + 3)x genom att dividera båda leden med x, och därmed få den enklare ekvationen 1 = x + 3 med den korrekta lösningen x = –2.

Man tappar emellertid då något väsentligt. a) Vad är det man tappar, dvs. vilket fel gör man? b) Hur ska man göra istället? c) Lös ekvationen.

1.126 Finns det någon form av andragradsekvation

som inte har tagits upp i den här texten? Hur ser den i så fall ut, och hur löser man den?

Problem 2

1.127 Formeln y = 30t – 5t beskriver läget

y meter över marken hos en boll som kastas rakt upp i luften. Variabeln t är tiden i sekunder. Ange de värden på t då y = 0.

1.128 En rektangels sidor förhåller sig som 3 till 5

och dess area är 1215 cm2. Bestäm rektangelns mått.

1.129 Beräkna diametern i en cirkel som har arean

85,0 cm2.

1.130 Ett negativt tal multipliceras med sig självt

och därefter med 4. Drar man sedan ifrån 21 återstår 100. Vilket är talet?

1.131 Ange en

a) förstagradsekvation som har lösningen x = 5.

b) andragradsekvation som har lösningarna x1 = 0 och x2 = 3. c) andragradsekvation som har lösningarna x1 = 3 och x2 = − 3 .

2

1.132 En triangel har arean 100 cm , och en av

sidorna förhåller sig till sin höjd som 9 till 2.

Beräkna denna höjd.

1.133 I en förenklad fysikalisk modell så gäller

för en fritt fallande kropp att fallsträckan s (meter) efter tiden t (sekunder) ges av formeln gt 2 där g är tyngdacceleration; 2

g ≈ 10 m/s2 a) Ett äpple faller till marken från en gren, 6,0 meter upp. Hur lång tid är äpplet i luften? b) Samma formel gäller på månen, med den enda skillnaden är där är tyngdaccelerationen bara 1,6 m/s2. Astronauten Cernan lät en hammare falla fritt på månen, från 1 meters höjd. Hur lång tid tog fallet? c) Hur lång tid skulle det ta för äpplet från a-uppgiften, om äpplet istället föll 6 meter på månen? s=

1.134 Figuren nedan visar två bordsskivor.

a) Använd figurens beteckningar och skriv ett uttryck för bordsskivornas sammanlagda area. b) Beräkna längden av x om man vet att den sammanlagda arean är 189 dm2.

1,5x

x 3x

1,5x

1.135 a) Utnyttja formeln för konens volym och

härled en formel för radien i en kon, där konens höjd är h och dess volym är V. b) Förändra formeln så att den istället ger konens diameter d. c) Beräkna diametern av en kon som är 15 cm hög och har volymen 4,0 liter.

34

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind34 34

08-02-20 14.38.46

Olikheter

Olikheter De formler och samband som vi hittills har tittat på har alla varit likheter.

Likhet skrivs med det välbekanta likhetstecknet, =. Men det är inte alla samband som handlar om likhet. Många bygger istället på begreppen större än och mindre än. Summan av priserna på de saker man ska köpa bör vara mindre än det belopp som man har i plånboken. Flampunkten hos frityroljan bör vara större än den temperatur som man upphettar den till. Och så vidare. Att hantera olikheter är lite knepigare än att hantera likheter, så vi kommer här bara att ta upp de enklare problemtyperna.

Grundläggande olikhetsbegrepp

Likhetstecknet infördes av fransmannen François Viète på 1500-talet. Han tänkte att det mest lika som finns är två parallella linjer, och valde därför detta som symbol.

Olikhetstecknen är i sin tur en variation på den symbolen. En minnes­ regel är att de ”gapar mot det större”.

I en likhet är båda sidor lika, som i 2 + 2 = 4. I en olikhet däremot är ena sidan större än den andra. Exempel: 5 > 3 som utläses: 5 är större än 3. Om man skriver 3:an först så blir det: 3 < 5 som utläses: 3 är mindre än 5. Båda sambanden säger samma sak.

Vad som menas med större än och mindre än är ganska självklart så länge man arbetar med positiva tal. Om man markerar dem på en tallinje så ser man att det största alltid ligger till höger. Det har visat sig fungera bäst att resonera på samma sätt för negativa tal, så vi har Definition

Större än

Att ett tal a är större än ett annat tal b innebär att a ligger till höger om b på tallinjen.

Exempel: 2 > –6 ty 2 ligger till höger om –6 på tallinjen.

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

Med olikhetstecknen kan man markera intervall på tallinjen.

Om x är ett tal som är större än 3 och mindre än 7 skrivs detta 3 < x < 7 och illustreras enligt följande figur:

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

Eftersom intervallet har gränser både uppåt och nedåt säger man att intervallet är begränsat.

Ringarna i ändpunkterna är inte fyllda. Detta markerar att ändpunkterna inte tillhör intervallet.

Om ett tal x är lika med 4 eller större, skrivs detta: x ≥ 4 och uttalas: ”x är större än eller lika med 4” eller ibland ”x är större-lika med 4”. Se figur nästa sida.

35

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind35 35

08-02-20 14.38.46

Kapitel 1 algebra

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Intervallet har en gräns bara åt ena hållet. Man säger att intervallet är obegränsat. Ringen i ändpunkten är fylld. Detta markerar att ändpunkten tillhör intervallet.

Enligt samma principer definieras ”mindre än eller lika med”, som betecknas ≤.

Övningar på grundläggande olikhetsbegrepp 1.136 Sätt ut rätt tecken mellan talen.

a) 2,9 b) –6 c) 0 d) –0,95

1.139 Avgör vilka av följande utsagor som är

3,1 5 –0,2 –1

sanna: a) –4 < 3 c) –5 ≥ –2 e) 7 ≤ –7 g) 0,5 > 0,25

1.137 Skriv följande utsagor med olikhetstecken.

a) x är mindre än eller lika med y b) x är större än a och mindre än eller lika med b.

Resonemang

1.140 Resonemang med negativa tal blir oftast

enklast om man tänker på dem som pengar.

Negativa tal som skulder, positiva som tillgångar. a) Förklara varför det är rimligt att anse att ett negativt tal är mindre än ett positivt tal. b) Förklara varför det är rimligt att anse att det negativa talet –1000 är mindre än det negativa talet –10.

1.138 Använd olikhetstecknen och ange följande

intervall. a) –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

–3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

b) 9

b) 10 ≤ 10 d) 15 ≥ 7 f) 8 > 8 h) –6 ≥ 3

10

Räkning med olikheter Av två tal är alltså det tal störst som ligger till höger på tallinjen. Vad händer med förhållandet mellan talen om man adderar eller multiplicerar dem med något?

Exempel

Addition och multiplikation av olikheter

1.141 Vi utgår från 2 > –5. Om vi adderar med 6 får vi 2 + 6 > –5 + 6, som kan

renskrivas till: 8 > 1. Om vi istället adderar med –4 får vi 2 – 4 > –5 – 4, som kan renskrivas till: –2 > –9.

–5 – 4

–15– 14–13 –12–11–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

2+6

–5 + 6

2–4 –5

2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

36

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind36 36

08-02-20 14.38.47

Olikheter

I båda fallen får vi två nya punkter som förhåller sig på precis samma sätt till varandra som de gamla. Olikheten förblir sann oavsett om vi adderar med något negativt eller något positivt.

Vad händer om vi istället multiplicerar? Vi utgår igen från 2 > –5. Vi multiplicera med 3: 2 · 3 > –5 · 3 som kan renskrivas till: 6 > –15. Avståndet mellan punkterna blev 3 gånger så stort, men det blev ingen förändring i vilken som ligger längst åt höger.

2.3

2 . (– 2)

–5 . 3 –5

–15– 14–13 –12–11–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–5 . (– 2)

2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Om vi däremot multiplicerar med det negativa talet –2 händer följande: 2 · (–2) < –5 · (–2) som kan renskrivas till: –4 < 10. Punkterna har bytt sida, vilket innebär att olikheten måste vändas!

Räkneregler

vid arbete med olikheter

Då man arbetar med en olikhet så kan man addera, subtrahera, multipli­ cera och dividera med tal exakt som då man löser en vanlig ekvation, med följande undantag: Om man multiplicerar eller dividerar olikheten med ett negativt tal, vänds olikheten.

Exempel

Lösande av olikhet

1.142 Lös olikheten: 5x – 7 > 3x + 19

Lösning: Precis som vid ekvationslösning handlar det om att ta reda på vilket eller vilka värden x ska ha för att utsagan ska bli sann.

5x – 7 > 3x + 19

5x > 3x + 26

Subtrahera båda leden med 3x.

2x > 26

Dividera båda leden med 2.

x > 13

Addera 7 till båda leden och renskriv.

Svar: x > 13 Kommentar 1: Ingenstans i lösningen har vi behövt multiplicera eller dividera med ett negativt tal. Olikhetstecknet förblir då det ursprungliga.

Kommentar 2: Lösningen säger att alla tal som är större än 13 gör den givna olikheten sann. Om t.ex. x = 20 så får vi: VänsterLedet = 5 · 20 – 7 = 93 HögerLedet = 3 · 20 + 19 = 79 och vi ser att VL > HL

37

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind37 37

08-02-20 14.38.47

Kapitel 1 algebra

Exempel

Lösande av olikhet

1.143 Lös olikheten: 2 – 3x ≤ 14

Lösning:

2 – 3x ≤ 14

–3x ≤ 12 −3x 12 ≥

−3 −3 x ≥ –4

Subtrahera båda leden med 2.

Dividera båda leden med –3 och vänd olikheten.

Renskriv

Alternativlösning: Man kan alltid lösa olikheter utan att komma i situationen då olikheten ska vändas.

2 – 3x ≤ 14

Addera 3x och subtrahera 14 i båda leden.

2 – 14 ≤ 3x

Renskriv

–12 ≤ 3x

Dividera med det positiva talet 3

–4 ≤ x

Båda metoderna ger samma svar

Svar: x ≥ –4 Olikheter uppkommer ofta då man analyserar problem.

Exempel

Olikheter i praktiken

1.144 På biografen Rio kostar biljetterna 90 kr. Om man köper ett årskort för

350 kr blir biljettpriset 60 kr. Hur många biobesök måste man göra på ett år för att det ska löna sig att köpa årskort?

Lösning: Låt x = antal biobesök Kostnad för x stycken biobesök utan årskort: 90x Kostnad för x stycken biobesök med årskort: 60x + 350 Om det ska löna sig att köpa årskort ska den kostnaden vara lägre, dvs. följande olikhet måste vara uppfylld: 60x + 350 < 90x

350 < 90x – 60x

350 < 30x 350 <x 30 11,7 < x

x > 11,7

Då x står för ett antal, måste x vara ett heltal.

Svar: Man måste göra minst 12 biobesök för att årskort ska löna sig.

38

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind38 38

08-02-20 14.38.48

Olikheter

Övningar på räkning med olikheter Lös följande olikheter 1.145 a) x + 6 < 15

c) y – 7 ≤ –10 1.146 a) 7 – 2a < 0

x < 100 c) 0, 5

b) 3x > 60 d) 4t – 2 > –7 x ≥1 6 2v > 10 d) 5

Begrepp

1.151 Hur ska talen a och b ligga i förhållande till

varandra på tallinjen för att utsagan a ≤ b ska vara sann?

b)

Resonemang

1.152 Det händer ju olika saker om man multipli-

cera en olikhet med ett positivt tal och om man gör det med ett negativt. Vad händer om man multiplicerar med noll?

1.147 Att hyra en bil kostar 20 kr/mil och

450 kr/dag. Denna kostnad kan skrivas K = 20x + 450 där x är antal körda mil.

Hur långt kan man köra en dag om hyrkostnaden inte får överstiga 2000 kr?

1.148 I videoaffär A kostade filmerna 40 kr att

hyra.

I videoaffär B kostade filmerna 25 kr plus en medlemsavgift på 120 kr/år.

Hur många filmer måste man hyra för att de ska löna sig att gå till videoaffär B? 1.149 Lös olikheterna

a) 3(4 – 2x) > 3x – 15 3q b) − 3 > 4 − 5q 2  x 1 c) 7 x + 1 ≤ 2  +   2 3

1.153 Vad kan vi säga om lösningen till olikheten

ax < 1 om det enda vi vet om a är att det är ett reellt tal?

1.154 Anta att vi vet att a < b. Vad kan vi säga om

förhållandet mellan 1/a och 1/b?

1.155 För variabeln x gäller att x är större än 1.

Vilka av följande uttryck är större än 1?

x + 1

1 x

1 x +1

x2

1 x2

x

Problem 2

1.156 Lös olikheten x – 1 > 0.

1.150 Löser man olikheten 2(7 – 2x) < 2 – x får

man lösningen x > 4.

Välj några värden större än 4, och visa att VL < HL för dessa värden.

39

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind39 39

08-02-20 14.38.51

Kapitel 1 algebra

Repetition av kapitlets begrepp Varje ord eller fras i vänstra spalten ska paras ihop med något som passar i högra spalten. a. Ett antal faktorer

A. polynom

b. Ett antal termer

B. koefficient

c. Många termer med positiv heltalsexponent

C. faktorisera

d. 2ab

D. kvadratkomplettera

e. Konjugatregeln

E. a > b

f.

(a – b)2

F. produkt

g. Talet a är större än talet b.

G. … måste olikheten vändas

h. Faktor som multipliceras med variabel

H. –3 < x ≤ 8

i. Bryta ut

I. a2 – 2ab + b2

j. Om en produkt ska vara noll, måste minst…

J. a2 – b2 = (a + b)(a – b)

k. Skapa en kvadrat och en konstant.

K. x = − p 2 ±

l. Lösning till en fullständig andragradare

L. … en av faktorerna vara noll.

m. Talet a är mindre än eller lika med b.

M. summa

n. Multipliceras en olikhet med ett negativt tal…

N. dubbla produkten

o. Ett begränsat intervall på tallinjen

O. a ≤ b

( p 2)2 − q

bra ord att kunna på engelska uttryck andragradsekvation utveckla olikhet förenkla faktorisering

= = = = = =

expression quadratic equation expand inequality simplify factorisation

40

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind40 40

08-02-20 14.38.52

Repetitionsövningar

Repetitionsövningar Algebraiska uttryck

Konjugatregeln

1.165 Utveckla med hjälp av konjugatregeln

Förenkla följande uttryck så långt det går.

a) (k + 3)(k – 3) c) (a + 1)(a – 1)

1.157 a) 3x – x + 4x

b) 2x + 2(x + 5) c) 2yx + 3x + y – 8xy – 6y

1.158 a)

1.166 a) (3x – 1)(3x + 1) b) (ab – 2c)(ab + 2c)

10a2

b) (7x – 3) – (x – 4) 2 a6 c) 5x – x2 + 3 – 6x + x2 – 2

b) a4 · (3a)2 · a–3 p 4 p n −1 + n +1 − 0, 5p3 c) 2p p

Skriv ett förenklat uttryck för deras sammanlagda a) area b) omkrets a 5

2a

a) 3x2 – 2x(4 – x) + x(x + 8) b) 2(x – x2)(3 + x) – x(x + 6) 1 1  c) k3 p2 + kp  + − k2 p p k 

a) xy + y + xz + z b) ab + 5a – b – 5 c) x5 – x3 – x2 + 1 d) 12a9 – 3a5 – 4a4 + 1 1.172 Figuren visar två rektanglar.

2

2

b) (5x – y) – 25x d) (x + 1)2 – (x – 1)2

1.163 En kvadrat har sidan 8 m. Den delas in i fyra

delar, som sedan dras isär en del; se figurer nedan. Skriv med hjälp av figurerna talet 64 på tre sätt.

5 8

5

3

b) a2 – ax

1.171 Faktorisera följande uttryck

Kvadreringsreglerna

3

1.169 Uppdela i faktorer

a) 36 – x2 b) 49 – x6 2 2 c) 16x – 9y d) 7 · 104a2 – 63 · 106b2

1.161 Förenkla utrycken

c) (x – 0,2)2

Faktorisering

1.170 Faktorisera följande uttryck.

0,5a

1.162 a) (3x + 5)

a) 14x + 7x2 = (2 + x) c) 12c + c = 4c(3 + c2)

a) 15 – 10x a) Pa + Pb + Pc

a

2

1.167 Utnyttja konjugatregeln och

1.168 Vilket tal ska stå i rutan?

1.160 Figuren visar en triangel och en rektangel.

a

c) (9 + n2)(3 + n)(3 – n)

a) visa att följande beräkning är korrekt: 29 · 31 = 899 b) beräkna 21 · 19 c) beräkna 27 · 33

2

1.159 a) –5p + 3 · 2p · p + p

8

b) (p – V)(p + V)

a

a b

c

a) Ange ett uttryck för den sammanlagda arean i form av två termer. b) För ihop rektanglarna och skriv den totala arean som en produkt. c) Faktorisera uttrycket från a-uppgiften och visa att det blir samma resultat som b-uppgiften.

3

1.164 Utveckla (a + b) .

41

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind41 41

08-02-20 14.38.54

Kapitel 1 algebra

1.173 Använd kvadreringsreglerna och skriv

följande summor som produkter. a) y2 + 6y + 9 b) a2 – 14a + 49 c) 2n2 – 40n + 200 1.174 a) (x + 2)(x – 3)(x + 4) = 0 2

b) y = 6y c) 5x + x2 = 0 d) x(4x – 8)(2x + 3) = 0

2

b) 4y2 – 12y = 0 3t 2 t 5t x 2 − 5x − = =0 c) d) 5 10 4 78000

1.183 a) 6x – x = 0

1.184 a) Bör man multiplicera ihop parenteserna

när man tänker lösa ekvationen (x – 0,5)(3x + 8) = 0? b) Lös ekvationen (x – 0,5)(3x + 8) = 0 1.185 Ange en andragradsekvation som har

Polynom

1.175 Avgör vilka av följande uttryck som är poly-

nom x2 + x + 1 x2 + 2x + 3 9x3 + x–2 + 6 1.176 Vad händer med tredjegradspolynomet

ax3 + bx2 + cx + d om a = 0?

l­ösningarna a) x1 = 0, x2 = 7

b) x = ±7 2

1.186 Lös ekvationen (x – 3) = 4(2x + 1) och

svara både exakt och med tre värdesiffror.

1.187 I en triangel är höjden 4 cm längre än basen.

Triangelns area är 160 cm2. Bestäm höjden.

Kvadratkomplettering

Skriv följande uttryck som en summa av en kvadrat och en konstant.

2

1.177 a) x + 10x + 28

c) x2 – 4x + 5 2

1.178 a) x + 4x – 5

c) 6 – 6t – 3t2

2x + 1

x

b) u2 + 6u + 1 x+3

b) 2x2 – 12x – 14

Olikheter

1.189 Använd olikhetstecknen och ange följande

Andragradsekvationer

1.179 Lös följande ekvationer med hjälp av kva-

dratkomplettering a) x2 – 4x = 12 c) v2 + 6v = –9

1.188 Ange längden av den korta kateten exakt.

b) x2 + 5x – 2,75 = 0

intervall. a) –30 –20 –10

0

10 20 30 40 50 60

b)

Lös följande ekvationer på valfritt sätt 2

2

1.180 a) x + 2x – 8 = 0 b) x + 3x – 10 = 0

c) x2 – 6x – 1 = 0 2

1.190 Åskådliggör följande intervall på tallinjen.

2

1.181 a) 3x = 12x + 15 b) 4y – 4y – 27 = 0

c)

21 = 4+R R 2

1.182 a) z = 81 2

c) 4 + 3x = 19

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a) 3 < x ≤ 8

b) –4 ≤ x ≤ 0

c) x ≥ –5

Lös följande olikheter b) 3x2 = 48 50 w d) = w 2

1.191 a) x – 7 > 4

b) x + 3 ≥ –5

c) 2x – 6 ≤ 9 3x 6 3x − 2 2x + 3 < ≤

b) 7 14 5 4 7x c) − 4 ≤ 5x + 2 3

1.192 a)

42

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind42 42

08-02-20 14.38.58

blandade problem

Blandade problem 4

4

1.193 Visa att a – b kan skrivas som en produkt

av tre faktorer.

1.194 Uttrycket ac + ad + bc + bd består av fyra

termer och är en beskrivning av arean i figuren nedan. Faktorisera uttrycket, så att de består av två stycken faktorer istället. Tolka resultatet. a b

1.201 a) Beräkna arean i var och en av figurerna

om x = 6,0 cm. b) Beräkna arean i var och av figurerna om x x = 6,0 m. x x

2x 3 5x 2

c d

x x

1.195 Katten på råttan, råttan på repet…

Bestäm ett numeriskt värde på a. a = 7b b= c c = de d = 4b e = f 2 f = 1/g2 g=

1 b4

2

2

1.196 Visa att 9(a + b) = (3a + 3b) utan att

öppna upp någon av parenteserna.

1.197 Faktorisera följande uttryck med hjälp av

konjugatregeln. a) m2 – n2

b) (x + y)2 – (x – y)2

1.198 De två talen a och b är positiva heltal. Rang-

ordna följande uttryck från det minsta till det största. a a −1 a +1 a −1 b b b −1 b +1 1.199 Lös följande ekvationer med huvudräkning

a) 3x2 = 75 c) x2 = 102

x

b) x3 = 8 d) 2x2 – 1 = 31

1.200 En kvadrat är inskriven i en halvcirkel, vars

diameter är 60 cm. Beräkna kvadratens sida.

x

x

x

x

x x x

1.202 Visa att

x+h − x = h

1 x+h + x

.

1.203 På en arbetsplats var 7 % av kvinnorna

rökare. Även bland männen var 7 % rökare.

Ett vanligt misstag är att det då fanns 14 % rökare på arbetsplatsen. a) Välj lämpliga siffror på antalet kvinnor och män, och visa med ett exempel att på denna arbetsplats finns totalt 7 % rökare. b) Visa med algebra att det gäller generellt, hur många som än arbetar där, och vilken den gemensamma procentsatsen än är.

2

1.204 Ekvationen x + ax – 20 = 0 har en lösning

x = 2. Bestäm den andra lösningen.

1.205 Summan av två positiva reella tal x och y är

1 1 + = 25 . Ange de x y två talen med två decimaler.

50. Vidare gäller att

1.206 Skriv följande uttryck som en summa av en

jämn kvadrat och en konstant.

1 a) x2 + 3x + b) 60y – 3y2 – 120 4

43

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind43 43

08-02-20 14.39.02

Kapitel 1 algebra

1.207 Lös följande ekvationer utan pq-formeln.

2

a) 4(5x + 3) = 9

2

2

b) (3x + 7) = (8x – 5)

1.208 En rektangulär bassäng ska byggas på ett

rektangulärt område som har arean 1500 m2. Runt bassängen ska det lämnas 5 meter breda gångar. Bassängen ska vara 2,5 m djup, och dubbelt så lång som bred.

Ange bassängen volym.

1.209 Ett halsband kostar 800 kr. Priset höjs

medan samma procentsats, två år i följd.

Därefter kostar halsbandet 882 kr. Ange procentsatsen.

1.210 Om man multiplicerar ett negativt tal med

sig självt och sedan fördubblar det man har, så blir det lika mycket som fem gånger talet plus tjugofem. Ange talet.

1.211 Skriv in rätt tecken mellan talen; likhet,

större än eller mindre än. a) 8 13 b) 0 –0,032 c) 1,7 17/10 d) –3,4 –3,45 1.212 Lös ekvationerna

a) (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) = 0 b) a(x – b)(x – c) = 0 1.213 Bestäm konstanten a så att ekvationen

x2 – 10x + a = 0 saknar reella lösningar.

1.214 I en likbent triangel är de lika sidorna fyra

gånger så långa som den tredje sidan. ­Höjden mot den tredje sidan är 7,0 cm.

Bestäm längden av den tredje sidan.

1.215 En cirkel har en radie som är 8,0 cm längre

än radien i en annan cirkel och dess area är tre gånger så stor. Ange radien i den stora cirkeln.

1.216 a) Visa att om en andragradsekvation har

rötterna x1 = a, x2 = b så är ekvationen på

formen x2 – (a + b)x + ab = 0 b) Lös ekvationen ovan och visa att den har lösningarna x1 = a, x2 = b.

1.217 Lös följande ekvationer med avseende på x.

a) (ax + b)2 = c

1.218 Talföljden av heltal 7, 8, 10, 13, 17, … gene-

reras av formeln n2 n an = − + 7 där n är ordningsnumret, 2 2 1, 2, 3, … osv., och a är talets värde.

52 5 T.ex.: a5 = − + 7 = 17 som vi känner 2 2 igen som det 5:e talet i följden ovan. a) Beräkna det 100:e talet i följden. b) Vilket tal i talföljden har värdet 260? c) Talföljden innehåller bara heltal. Två av termerna i formeln har dock en faktor 2 i nämnaren som verkar motsäga att det skulle behöva bli heltal var gång. Visa att formeln alltid genererar heltal.

2

1.219 I ekvationen n – 10n + A = 0 ska den obe-

kanta, n, vara ett heltal. Bestäm alla heltal A > 0 som ger alla dessa heltalslösningar.

1.220 Välj ett tal, vilket som helst. Lägg till 4 och

dubbla sedan det du har. Dra nu ifrån 6 och dividera därefter det du har med 2. Skriv ner det värde du har. Upprepa proceduren ett antal gånger med några andra fritt valda tal.

Finns det något mönster i detta?

1.221 Linjen nedan är 1 längdenhet lång. Ett litet

snitt är markerat på linjen så att två delar uppstår. Om snittet befinner sig så, att den kortare sträckan förhåller sig till den längre sträckan som den längre sträckan förhåller sig till hela sträckan, så kallas snittet för det Gyllene Snittet. Genom historien har man ansett att denna delning av linjen är harmonisk och vacker. a) Kalla den längre av delsträckorna för x.

Beräkna exakt och med tre decimaler ett värde på x, dvs. beräkna var snittet hamnar. b) Kalla 1/x för Φ. Beräkna Φ exakt och med tre decimaler. (Uttalas Fi.) c) Jämför talen x och Φ. Har de några lik­ heter?

b) ax2 + bx + c = 0

44

Tal&Rum S b - s 5-44 - Kap 1.ind44 44

08-02-20 14.39.03

Funktioner Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in45 45

2

I det här kapitlet ska vi titta mer på begreppet funktion, en av de viktigaste sorterna av samband. Funktioner dyker upp i alla vetenskaper som arbetar med siffror, och stora delar av efterföljande böcker kommer att bygga på det vi går igenom nu.

Vi kommer bland annat att fördjupa oss i de linjära funktionerna, som är den mest grundläggande sortens funktion.

Vi ska också titta på andragradsfunktioner, en funktionstyp som är mycket vanlig bland annat i fysiken och geometrin. Andragradskurvans form, parabelformen, har intressanta egenskaper som utnyttjas i parabolantenner och liknande konstruktioner.

08-02-20 14.27.16

Kapitel 2 Funktioner

Mer om funktionsbegreppet En funktion är, som vi sa i kapitel 5 i A-boken, en form av samband mellan variabler. På denna kurs innehåller sambanden två variabler, en oberoende och en beroende, där den oberoende oftast får heta x och den beroende y.

Värdena som variablerna antar låter vi vara reella tal.

För att sambandet ska vara en funktion gäller att till varje värde på x får det bara finnas ett värde på y. En konsekvens av detta är att om man i ett koordinatsystem ritar en lodrät linje så kan den skära grafen till en funktion i endast en punkt. y

y

y = f(x)

x

y

y

y = f(x)

En funktion

x

x

En funktion

Ingen funktion

x Ingen funktion

Däremot är det tillåtet att olika x-värden ger samma y-värde. Detta innebär att en vågrät linje får skära grafen på flera ställen. Så är det med figuren längst till vänster ovan. För en funktion kan t.ex. följande inträffa: f(5) = 9 och f(14) = 9, dvs. både x = 5 och x = 14 har y-värdet 9.

Finns det inga begränsningar på funktionen, så kallade restriktioner, så kan den oberoende variabeln anta vilket värde som helst, från minus oändlighet till plus oändligheten. Så är dock inte alltid fallet.

Matematiken själv kan sätta restriktioner. Man kan exempelvis inte dra roten ur ett negativt tal, så funktionen f (x) = x går bara att beräkna för x-värden från noll och uppåt.

Och i sammanhang där funktionen utgör en matematisk modell av ett samband inom t.ex. fysik eller ekonomi så måste man begränsa sig till vissa rimliga värden på variablerna. Detta innebär att man ”klipper av grafen”.

De värden man tillåter för x påverkar sedan vilka värden man kan få för y.

Exempelvis så kan kvadraten på ett reellt tal aldrig bli negativ, så funktionen f(x) = x2 kommer bara att anta värden från noll och uppåt.

Den mängd av värden som den oberoende variabeln x kan anta kallas för funktionen f:s definitionsmängd och skrivs Df .

Den mängd av värden som den beroende variabeln y kan anta kallas för värdemängd och skrivs Vf . y

y

20

1

x 8

13

6

Figur 1

x

–2

7 Figur 2

y

2

x 2

9 Figur 3

46

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in46 46

08-02-20 14.27.18

Mer om funktionsbegreppet

För figurerna på förra sidan gäller följande: Figur 1

Figur 2

Figur 3

Df : 0 ≤ x ≤ 8

Df : –2 ≤ x ≤ 7

Df : 2 ≤ x ≤ 9

Vf : 0 ≤ y ≤ 20

Vf : 1 ≤ y ≤ 6

Vf : 1,5 ≤ y ≤ 13

Notera i figur 3 att värdemängdens ena gräns 1,5 där inte sammanfaller med någon av funktionens ändpunkter.

Exempel

2.1

Restriktioner från verkligheten

Av ett staket som är 100 meter långt ska man bygga en rektangulär hage.

Ange arean som en funktion av ena sidlängden. Ange också funktionens definitionsmängd.

Lösning: Vi kallar sidlängden för x. Halva omkretsen är 50 m. Då blir den andra sidan 50 – x.

Arean A ges av basen gånger höjden.

x

A(x) = x(50 – x)

En sträcka kan inte vara negativ. Alltså måste x vara större än noll, x > 0.

Från den andra faktorn i uttrycket, (50 – x), framgår att x måste vara ­mindre än 50, x < 50, för annars blir istället denna sträcka negativ.

50 – x

Vad händer om x = 0 eller x = 50?

Om x = 0 får rektangeln ingen höjd, och det bildas ingen yta.

Om x = 50 får rektangeln ingen bas, och då bildas det inte heller någon yta. Detta framgår också från funktionsuttrycket.

A(0) = 0 · 50 = 0 A(50) = 50 · 0 = 0

Svar: A(x) = x(50 – x), DA : 0 < x < 50

Övningar på funktionsbegreppet 2.2

Ange definitionsmängd och värdemängd till följande funktioner.

9

2.3

Rita följande linjära funktioner. a) y = 0,5x – 3, –2 ≤ x ≤ 12 b) y = x, 0 ≤ x < 5 c) y = 2x – 4, –6 ≤ y ≤ 2

2.4

Att hyra film hos Filmklubben kostar 20 kr per film om man har betalt en medlemsavgift på 50 kr. Man får dock hyra högst 30 filmer med detta generösa erbjudande. a) Ange hyrkostnaden K som en funktion av antal hyrda filmer x för en medlem. b) Ange funktionens definitionsmängd. c) Ange funktionens värdemängd.

y

8 7 6 5 4

b)

c)

a)

3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

47

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in47 47

08-02-20 14.27.19

Kapitel 2 Funktioner

Proportionella samband kan skrivas y = ax.

Ange värdemängden för en proportionell funktion y = f(x) som är a) växande och som har definitionsmängden x ≥ 0. b) avtagande och som har definitionsmängden x ≥ 0. c) växande och som har definitionsmängden x ≤ 0. d) avtagande och som har definitionsmängden x ≤ 0.

2.5

Avgör vilka av följande grafer som beskriver funktioner.

2.6 y

I

y x

II

y x

III

x

2.8

Stina går till skolan. Sträckan s meter hon går skulle kunna beskrivas som en funktion av tiden t sekunder. Är grafen en rimlig beskrivning av hur sträckan beror av tiden? s 12 3

t 5

2.9

Vilka av följande samband är möjliga för en funktion?

A: f(2) = f(3) = 5 B: f(6) = 7 och f(6) = 10 C: f(a) = f(b) = c Problem

2.10 En rektangel har omkretsen 30 cm.

Resonemang

2.7

Figuren visar grafen till en funktion där hastigheten v är en funktion av tiden t. Dess definitionsmängd är, 0 ≤ t ≤ 12. Är det rimligt att definitionsmängden är v begränsad nedåt såväl som t uppåt?

a) Ange arean som en funktion av bredden. b) Ange funktionens definitionsmängd.

Funktionsbeteckningen f(x) Man behöver inte använda just beteckningen f. Det är dock standardnamnet (förkortning av funktion) som man tar till om ingenting talar för att något annat skulle vara bättre.

Har man flera funktioner brukar man använda bokstäverna närmast efter f i alfabetet.

Vi har redan använt beteckningen f(x) för en funktion av en variabel x.

Vi ska nu titta lite mer på innebörden i det hela.

Vi betraktar funktionen f(x) = x2 – 3x. Att beräkna t.ex. f(6,1) innebär att överallt där x är ska värdet 6,1 in. Att beräkna f(a + 1) innebär att överallt där x är ska värdet a + 1 in.

f(6,1) = 6,12 – 3 · 6,1 = 18,91

f(a + 1) = (a + 1)2 – 3(a + 1) = a2 + 2a + 1 – 3a – 3 = a2 – a – 2

Observera att man kan bli tvungen att använda parenteser. Det är ju hela uttrycket a + 1 som ska ersätta x. Utan parentes skulle bara 1:an bli kvadrerad, och bara a:et multipliceras med –3.

48

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in48 48

08-02-20 14.27.21

Mer om funktionsbegreppet

Exempel

Insättning i funktion

2.11 En funktion f(x) = 5x + 2 är given. Bestäm

a) f(a)

b) f(6a)

c) f(x + 3)

Lösning: Vad som än står i parentesen så ska det in överallt där x finns i funktionsuttrycket. Sedan tillämpar vi förenklingsmetoderna från förra kapitlet. a) f(a) = 5a + 2

b) f(6a) = 5 · 6a + 2 = 30a + 2

c) f(x + 3) = 5(x + 3) + 2 = 5x + 15 + 2 = 5x + 17 Svar: a) 5a + 2 Exempel

b) 30a + 2

c) 5x + 17

Funktion av funktion

2.12 Två funktioner är givna: f(x) = 2x – 3 och g(x) = 6x + 1.

a) Bestäm g(f(5))

b) Bestäm f(g(8))

Lösning: Som vanligt gäller: Vad som än står i parentesen så ska det in överallt där x är. a) Man kan ta det i olika steg. Först bestämmer vi f(5).

f(5) = 2 · 5 – 3 = 7

Nu bestämmer vi g(7).

g(7) = 6 · 7 + 1 = 43

b) f(g(8)) = f(6 · 8 + 1) = f(49) = 2 · 49 – 3 = 95 Svar: g(f(5)) = 43 och f(g(8)) = 95

Det är mycket vanligt att man beräknar funktion av funktion.

Inom handeln så kan vinsten vara en funktion av försäljningen som är en funktion av tiden. Om man då vill veta hur vinsten och tiden hänger ihop så får man stoppa in uttrycket för försäljningen i uttrycket för vinsten.

Övningar på funktionsbeteckningen f(x) 2.13 Bestäm följande värden till funktionen

f(x) = 4x – 3. a) f(5) c) f(a + 2)

b) f(a) d) f(5 – a)

2.14 Bestäm följande värden till funktionen

g(x) = 5 – 2x. a) g(a + 1) c) g(x + h)

b) g(x – 3) d) 4g(7)

2.15 Bestäm följande värden till funktionen

f(x) = x2. a) f(3b) c) f(x + h)

2.16 Två funktioner är givna: f(x) = 5x + 1 och

g(x) = 2x – 3 a) Bestäm g(f(4)) b) Bestäm f(g(4)) c) Blir uttrycken lika?

Problem

f (x + h) − f (x) då h a) f(x) = kx + m b) f(x) = 3x2

2.17 Bestäm

( ( )) om f(x) = 2x + 3.

2.18 Bestäm f f f (a)

b) f(a + 2) d) af(a2 )

49

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in49 49

08-02-20 14.27.22

Kapitel 2 Funktioner

Linjära funktioner Linjära samband, funktioner som kan skrivas y = ax + b, tittade vi på redan i A-boken. Vi ska nu arbeta mera med begreppet, för det är en av de viktigaste funktionstyperna (delvis därför att det är en av de enklaste).

Den räta linjens ekvation Ett sätt att rita en linje är att utgå från en värdetabell. Men det finns andra sätt. Man kan då behöva ett mått på linjens lutning.

y A

I figuren till höger lutar linje A brantare än linje B. Men hur mycket brantare?

Vad vi behöver är ett numeriskt värde som beskriver denna lutning.

Detta kan göras på många olika sätt. Man har valt följande sätt, och vi inleder med en allmän betraktelse.

B

x

• Vi startar vid en punkt P på den röda grafen och går en sträcka åt höger, parallellt med x-axeln; se figur.

• Sedan går vi parallellt med y-axeln tills vi träffar grafen igen.

y

• De två sträckor som vi har gått brukar betecknas ∆x respektive ∆y. ∆y

P

• Vi gör en liknande vandring vid den blåa grafen.

∆x ∆y ∆x

x

Redan genom en enkel betraktelse framgår, att om man mäter sträckornas längder och bildar kvoten ∆y/∆x så kommer den röda grafen att få en större kvot än den blåa grafen, eftersom en stor täljare och en liten nämnare ger en stor kvot.

Denna kvot låter man vara måttet på grafens lutning. Kvoten kallas för linjens riktningskoefficient, och brukar betecknas k.

y

Hur man mäter längden av sträckorna ∆x och ∆y spelar ingen roll, man får samma slutresultat hur man än gör. Här, med en rutad bakgrund, är det enklast att räkna rutor.

∆y

Röda grafen ∆x

Från figuren ser vi: ∆y = 6 rutor, ∆x = 2 rutor ∆y ∆x

En förändring i x-led betecknas ∆x, och utläses ”delta x”.

En förändring i y-led betecknas ∆y, och utläses ”delta y”.

x

Ett mått på lutningen blir:

k=

förändringen i y-led ∆ y 6 = = =3 förändringen i x-led ∆ x 2

50

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in50 50

08-02-20 14.27.24

Linjära funktioner

Blåa grafen ∆y = 2 rutor, ∆x = 4 rutor k=

förändringen i y-led ∆ y 2 = = = 0, 5 förändringen i x-led ∆ x 4

Vi har funnit att den röda grafen har riktningskoefficienten k = 3 och att den blåa grafen har k = 0,5.

Med detta sätt att ange lutningen hos en graf motsvarar ett stort värde på k en stor lutning, vilket framstår som naturligt.

Vi har redan studerat ett antal linjära funktioner. Tre exempel är:

y = 25x + 400 y = 3x + 8 y = 2x – 4

Låt oss rita grafen till y = 2x – 4 med hjälp av värdetabell och försöka finna ut vad som är riktningskoefficienten. x

y = 2x – 4

0 3 6

y = 2 · 0 – 4 = –4 y = 2 · 3 – 4 = 2 y = 2 · 6 – 4 = 8

Med hjälp av de tre punkterna från tabellen ritar vi grafen; se röda linjen i figuren.

Vi ser också från figuren att grafen skär y-axeln nere vid y = –4. Även detta värde känner vi igen i funktionsuttrycket. Det är konstanttermen, som brukar betecknas m. Detta är också rimligt, för om x = 0 i funktionsuttrycket, så försvinner första termen och bara konstanten blir kvar. Att x = 0 innebär dessutom att vi befinner oss på y-axeln.

Detta gäller generellt. Två exempel:

8 7 6 5 4

–4

I funktionsuttrycket y = 2x – 4 känner vi igen detta värde 2. Det är alltså koefficienten för förstagradstermen x som är riktnings­ koefficienten.

9

3

2x

∆y 8 k= = =2 ∆x 4

y

∆y

y=

Om vi nu utgår från någon lämplig punkt P och räknar rutor finner vi att ∆x = 4 rutor ger ∆y = 8 rutor, vilket ger riktningskoefficienten

2 1 –1 –1 –2 –3

x 1

2

3

4

5

6

P ∆x

–4 –5

Funktionen y = 25x + 400 skär y-axeln vid y = 400, för om x = 0 så försvinner första termen.

Funktionen y = 3x + 8 skär y-axeln vid y = 8 för då vi befinner oss på y-axeln är x = 0.

51

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in51 51

08-02-20 14.27.26

Kapitel 2 Funktioner

Räta linjens ekvation

Allmänt:

En rät linje kan beskrivas av ekvationen

Att kalla riktnings­ koefficienten för k och konstanta termen för m är svensk standard. I andra länder kan man an­vända andra bokstäver.

y = kx + m där k är riktningskoefficienten som anger linjens lutning, och m anger var grafen skär y-axeln.

Exempel

Formel ur bild

2.19 Ange på formen y = kx + m ekvationen för linjen i bilden.

Lösning: Vi väljer någon lämplig startpunkt och börjar räkna rutor.

y

∆x = 2 4

När vi nu ska ta oss till grafen, så noterar vi att vi går mot y-axelns riktning, dvs. nedåt, dvs. i negativ riktning.

∆y = –4

2 x 2

∆x = 2

∆y = –4

k=

−4 = −2 2

Grafen skär y-axeln där y = 5. Detta ger att m = 5.

Svar: y = –2x + 5 Exempel

Trappstegsmetoden

2.20 Rita grafen till funktionen y = 3x – 2.

Lösning: I. Vi utnyttjar att vi känner m = –2, och startar i punkten (0, –2).

II: Att k = 3 innebär att 1 steg i x-led ska följas av 3 steg i y-led.

III. Vi har två punkter och kan därmed rita linjen. Vi bör dock för säkerhets skull markera minst en punkt till. Insättning av x = 2 ger y = 4. y

y

1

x

y

1

1

x

1

x 1

1

(0, –2)

(0, –2)

(0, –2)

I Utgå från punkten given av värdet på m.

II k = 3. Alltså: 1 steg i x-led; 3 steg i y-led.

III Två punkter är kända. Rita kontrollpunkten (2, 4). Dra linjen.

52

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in52 52

08-02-20 14.27.28

Linjära funktioner

Övningar på räta linjens ekvation Ange k och m för följande linjära funktioner.

2.21 a) y = 4x + 3

b) y = 5x – 2 d) y = –x – 2,7

c) y = –3x + 1

2.25 Var figur nedan visar tre grafer. Ange vad

graferna har gemensamt, med formeln y = kx + m i tankarna. a) b) y

x − 6, 5 9 c) y = 7 + x

2.22 a) y =

y

b) y = 5x d) y = 3

x

x

2.23 Ange ekvationen för följande räta linjer på

formen y = kx + m.

2.26 Rita en linje som går genom punkten (–2, 0)

y

y1

4

och har riktningskoefficienten 3/2.

y2

3

Resonemang

2 1 –4 –3 –2 –1 –1 –2

x 1

2

3

4

y3

–3 –4

2.24 Gör ingen värdetabell, utan använd istället

2.27 Man skulle kunna ha valt kvoten ∆x/∆y som

riktningskoefficient istället för den kvot som är ∆y/∆x. a) Vad skulle, med denna definition, ett stort värde på kvoten innebära? b) Vad skulle ett litet värde på kvoten innebära?

trappstegsmetoden (som i Exempel 2.20) och rita följande funktioner a) y = 2x + 1 b) y = 4 – x c) y = x d) y = 0,5x – 3

Riktningskoefficientens betydelse En rät linje ges alltså av ekvationen y = kx + m. Om k = 0 försvinner första termen och kvar blir y = m.

y

5

Ett exempel: Funktionen y = 5 beror inte av x, dvs. den har samma värde 5 var på x-axeln vi än betraktar den. y = 5 är en konstant funktion. Dess konstanta värde är 5. Dess graf blir en vågrät linje, dvs. en linje parallell med x-axeln.

En lodrät linje är ingen funktion. Detta följer av att en lodrät linje har fler än ett y-värde för sitt x-värde, i själva verket oändligt många. Figuren till höger visar en lodrät graf som skär x-axeln vid x = 7. Linjen har detta x-värde 7 vid alla y-värden. Allmänt skrivs den lodräta linjens ekvation: x = a.

x

y

x 7

53

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in53 53

08-02-20 14.27.31

Kapitel 2 FunKtioner

y y = 2x + 3 y=x+3 5

Figuren visar graferna till ett antal funktioner. En av graferna är horisontell. Det är funktionen y = 3.

y = 0,5x + 3

Vissa av graferna har ett värde på k som är positivt. Dessa grafer lutar uppåt.

4 3

y=3

Vissa av graferna har ett värde på k som är negativt. Dessa grafer lutar nedåt.

2 y = –0,5x + 3 x

1 –1 –1

1

2

3

4

–2

5

Följande gäller för en funktion y = kx + m: Om k = 0 så är funktionen konstant.

Om k > 0 så är funktionen växande. (Ökar man x så ökar också y.)

Om k < 0 så är funktionen avtagande. (Ökar man x så minskar y.)

y = –x + 3 y = –4x + 3

”Växande eller avtagande?” är en av de viktigaste frågorna man Ju mer värdet på k avviker från 0, ju brantare blir linjen. kan ställa sig om en funktion.

Ett vanligt exempel är räntorna exeMpel Parallella linjer på bostadslån. Är de växande kanske man bör ta lån till fast 2.28 Ange en linje som går genom punkten (0, 7) och som är parallell med linjen ränta; är de avtagande kan y = 1,5x – 12. rörlig ränta vara bättre.

Lösning: Att linjen ska gå genom punkten (0, 7) innebär att m = 7.

Att linjen ska vara parallell med linjen f(x) = 1,5x – 12 innebär att k = 1,5, för parallella linjer har samma riktning, och riktningskoefficienten anger riktningen.

Svar: y = 1,5x + 7 exeMpel

Vinkelräta linjer

2.29 En linje har lutningen 2. En annan linje korsar denna linje vinkelrätt i

punkten (5, 3). Skriv upp en formel för den andra linjen.

Lösning: Vi börjar med den första linjen. Den ska passera punkten, och lutningen 2 säger att 1 steg i x-led ska motsvara 2 steg i y-led. Vi markerar denna linje med rött. y 9 8 7

När man ritar vinkelräta linjer på grafritande räknare, och vill att linjerna ska vara vinkelräta i räknarens fönster, måste man se till att en längdenhet är lika lång på båda axlarna. De flesta räknare har en särskild inställning för detta.

6

∆y1

∆x2

5

∆y2

4

∆x1

3 2 1 –1 –1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

54

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in54 54

08-02-20 14.27.32

Linjära funktioner

Sedan ritar vi med blått in en linje som går i rät vinkel mot den röda. Vi ser att denna linje går neråt, vilket innebär att riktningskoefficienten är negativ. Vidare är förhållandet mellan ∆x och ∆y det omvända mot den rödas: på den blåa linjen motsvarar 2 steg i x-led 1 steg i y-led. Riktningskoefficienten är därför ∆ y −1 1 k= = = − = − 0, 5 . ∆x 2 2

Dessutom skär linjen y-axeln i y = 5,5 = 11/2, vilket ger oss m.

Om bråk eller decimaler är att föredra beror på vad man tänkte ha uttrycket till.

Svar: Den vinkelräta linjen kan skrivas 1 11 − x + 11 y = − 0, 5x + 5, 5 = − x + = 2 2 2

De här två exemplen kan sammanfattas till en allmän regel: Om linjerna y = k1x + m1 och y = k2x + m2 är parallella så gäller k1 = k2.

Om linjerna är vinkelräta så gäller 1 k1 = − ⇔ k1k2 = −1 k2

Övningar på riktningskoefficientens betydelse 2.30 I bilden finns linjerna y = 2x + 2, y = 0,5x,

2.32

y

y = –x + 1 och y = –3x – 1 Avgör vilken av linjerna som är vilken. c

b

y

4 2

a

1

4 3

d

2

–4 –3 –2 –1 –1

y2 1

2

3

x

4

–2

1 –4 –3 –2 –1 –1

y1

3

x 1

2

3

–3

4

–2 –3 –4

–4

a) Bestäm linjernas ekvationer b) Är linjerna vinkelräta? problem

2.31 Vi har linjen y = 5x + 3. Vilka av nedanstå-

ende linjer är parallella med den linjen, vilka är vinkelräta mot den och vilka är ingendera? a) y = 4 + 5x b) y = –0,2x + 0,4 1− x c) y =

d) y = 6 – 5x 5 1 e) y = 5(x – 1) f) y = − x + 3 5

2.33 Vi har linjen y = –4x + 3 och punkten P med

koordinaterna (–2, 1). a) Ta fram ekvationen för den linje genom P som är parallell med den givna linjen. b) Ta fram ekvationen för den linje genom P som är vinkelrät mot den givna linjen. c) Rita in alltsammans i ett koordinatsystem och kontrollera att de framräknade linjerna stämmer.

55

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in55 55

08-02-20 14.27.35

Kapitel 2 Funktioner

Att bestämma en linjes ekvation Att ta fram riktningskoefficienten

Exempel

2.34 Bestäm riktningskoefficienten till den linjära funktionen i bilden.

Lösning: Här kan vi inte räkna rutor. Men det är samma princip, för att bestämma k ska man på något sätt bestämma sträckorna ∆x och ∆y. Har man ingenting alls att utgå från, får man helt enkelt ta fram linjalen och mäta. Här har vi dock information så det räcker; vi känner två punkter.

y (8, 7)

8 6

∆y

(2, 4)

4

∆x

2

x 2

4

6

8

Vi ser att ∆y ges av det ena y-värdet minus det andra. Likadant för ∆x.

k=

∆y 7 − 4 3 = = = 0, 5 ∆x 8 − 2 6

Svar: k = 0,5

Exemplet ovan går att generalisera.

Tvåpunktsformeln

Riktningskoefficienten för en linje genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2) ges av: k =

y − y1 ∆y = 2 ∆x x2 − x1

Det spelar ingen roll vilken punkt man tar först; bara man är konsekvent.

I förra exemplet får vi det korrekta k-värdet även om vi vänder på ordningen:

k=

Exempel

4 − 7 −3 = = 0, 5 2 − 8 −6 Att bestämma ekvationen för en linje genom två punkter

2.35 Ange ekvationen för den linje som går genom punkterna (3, 7) och (8, 27).

Lösning: Vi behöver bestämma k och m. k kan vi ta fram med hjälp av tvåpunktsformeln:

k=

∆ y 27 − 7 20 = = =4 ∆x 8−3 5

Linjen kan alltså skrivas y = 4x + m. För att bestämma m väljer vi en av de givna punkterna. Det kvittar vilken, båda ligger på linjen. Vi väljer punkten (3, 7) och vilket innebär att då x = 3 är y = 7. Vi får en ekvation i m då vi sätter in dessa värden i y = 4x + m.

7 = 4 · 3 + m ⇒ m = –5

Svar: y = 4x – 5

56

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in56 56

08-02-20 14.27.38

Linjära funktioner

Alternativlösning: Ett alternativt sätt att hitta m är att utgå från någon av de kända punkterna, som vi kan kalla (x0, y0), och en okänd punkt (x, y). Om båda punkterna ligger på linjen ska vi kunna beräkna k-värdet enligt

k=

y − y0

x − x0

⇔ y − y0 = k(x − x0 )

vilket med siffror insatt blir y – 7 = 4(x – 3) ⇔ y – 7 = 4x – 12 ⇔ y = 4x – 5 Detta är i princip samma uträkning, men uppställd på ett annat sätt.

Enpunktsformeln

En linje med riktningskoefficient k genom punkten (x0, y0) kan skrivas y – y0 = k (x – x0)

Övningar på att ta fram en linjes ekvation 2.36 Bestäm k och m för den linje som går genom

a) (3, 11) och (5, 15) b) (1, 6) och (5, 2) c) (3, –12) och (0, 0) Rita gärna linjerna i ett koordinatsystem och kontrollera att beräkningen stämmer.

2.37 Ange ekvationen för den linje som

a) går genom punkterna (2, 1) och (5, – 8). b) går genom punkten (14, 3) och har riktningskoefficienten k = 0,5. c) skär y-axeln vid y = 6 och passerar punkten (2, 16). d) skär x-axeln vid x = 2 och har k = 1/3.

2.38 Ange ekvationen för den räta linje som pas-

serar punkten P i figuren och är parallell med den linje som syns i figuren. y

3 2

–3 –4

2.40 Bestäm skärningspunkterna mellan linjen

y = 13x – 26 och de båda koordinataxlarna.

2.41 Var skär linjen ax + by = 0 axlarna?

2.42 Ange riktningskoefficienten för den linje som

går genom punkterna (a, b) och (c, d).

Resonemang

2.43 Vad kan sägas om räta linjer som är

parallella?

Problem

2.44 För en linjär funktion f(x) gäller att

f(2) = 3 och f(5) = 15. Ange f(x).

2.45 Då ett föremål har en likformigt accelererad

2.46 En linje L går genom punkterna (2, 9) och

1

–2

y = 5x – 8.

rörelse är hastigheten v en linjär funktion av tiden t. Ange denna funktion om hastigheten är 23 m/s vid tiden 3 s och 15 m/s vid tiden 8 s.

4

–4 –3 –2 –1 –1

2.39 Ange två punkter som ligger på linjen

x 1

2

3 P

4

(7, a). Bestäm a så att L blir parallell med linjen y = 3x – 5,6.

2.47 Ett tunna som innehåller 17 liter vatten

väger 35 kg. Då man häller i 10 liter till, väger tunnan med vatten 45 kg. Hur mycket väger själva tunnan?

57

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in57 57

08-02-20 14.27.39

Kapitel 2 Funktioner

Räta linjens ekvation på allmän form Att representera en linjär funktion på formen y = kx + m är inte det enda sättet, och inte heller alltid det bästa.

Vi betraktar funktionen y = –0,6x + 1,4. Många gånger är det praktiskt att alla koefficienter är heltal. Med en ekvation får man göra vad som helst (nästan…), bara man gör likadant i båda leden.

Vi multiplicerar ekvationen med 5:

5 · y = 5(–0,6x + 1,4)

5y = –3x + 7

Vi samlar alla termer i vänsterledet.

3x + 5y – 7 = 0

Detta är samma funktion som den ursprungliga.

Detta sätt att skriva kallas att skriva funktionen på allmän form. Formen y = kx + m kallas ofta k-form eller funktionsform. Att det heter funktionsform beror på att det framgår mycket tydligt hur y är en funktion av x.

En rät linje kan skrivas på flera olika sätt: Räta linjen på k-form:

y = kx + m

Räta linjen på allmän form: ax + by + c = 0

Fördelarna med den allmänna formen visar sig framför allt när man har många ekvationer samtidigt och med många obekanta, så kallade ekvationssystem. Vi ska senare i kapitlet lösa sådana ekvationssystem med två obekanta.

Exempel

Från allmän form till k-form

2.48 Skriv den räta linjen 5x – 2y + 3 = 0 på formen y = kx + m.

Lösning:

5x – 2y + 3 = 0

5x + 3 = 2y

y = 2,5x + 1,5

Svar: y = 2,5x + 1,5

58

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in58 58

08-02-28 15.28.22

Linjära funktioner

Exempel

2.49 Bestäm konstanten B, så att den räta linjen 6x + By – 4 = 0 går genom

punkten (3, 7).

Lösning: Att linjen går genom punkten innebär att då x = 3 är y = 7. Rak insättning i ekvationen ger:

6 · 3 + B · 7 – 4 = 0

18 + 7B – 4 = 0

7B = –14

B = –2

Svar: B = –2

Övningar på räta linjen på allmän form 2.50 Skriv följande räta linjer på formen

y = kx + m. a) 3x + y – 7 = 0 c) 5x – y + 1 = 0

b) 4y – 4x + 12 = 0 d) 2x – 4y + 6 = 0

2.51 Skriv följande linjära ekvationer på allmän

form (med heltalskoefficienter). x 2 a) y = 7x – 4 b) y = − + 5 3 c) y = 5,2x – 1,4 2.52 Ange k och m för följande räta linjer.

a) 4x + 2y – 2 = 0 b) 2x – 3y + 9 = 0 c) Ax + By + C = 0 2.53 Ligger punkten (3, 7) på den räta linjen

2.55 Går det alltid att skriva om en linjär funk-

tion till allmän form så att alla koefficienterna blir heltal? begrepp

2.56 Vilka av följande ekvationer är ett exempel

på en linje i allmän form?

A: y + 2x = 3 1 B: 5x − 0,1y + = 0 2 C: y = 3x + 6 Problem

2.57 Bestäm konstanten A så att linjerna

Ax + 5y + C = 0 och 2x + 4y + D = 0 blir parallella.

4x + 3y – 33 = 0?

Resonemang

2.54 Kan du fundera ut något som man faktiskt

inte får göra med en ekvation, även om man gör samma sak i båda led?

59

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in59 59

08-02-20 14.27.41

Kapitel 2 Funktioner

Linjära ekvationssystem

En bonde har grisar och höns. Tillsammans är djuren 50 stycken. Bonden har roat sig med att räkna djurens totala antal ben. De uppgår till 134 ben.

Hur många grisar och hur många hönor har bonden?

Låt antalet grisar kallas G och antalet hönor H. Det första villkoret ger direkt:

G + H = 50

Då en gris har 4 ben och hönorna har 2 ben, så ger andra villkoret:

4G + 2H = 134

Detta sammantaget ger oss ett linjärt ekvationssystem.

 G + H = 50  4G + 2H = 134

Att lösa en ekvation innebär att hitta det värde på den obekanta som gör ekvationen sann. När vi som här har flera ekvationer måste vi hitta de värden på de obekanta som gör alla ekvationerna sanna samtidigt.

Linjära ekvationssystem kan lösas antingen med hjälp av algebra eller med grafisk metod.

Man kan givetvis ha ekvationssystem med andra funktionstyper än de linjära. Sådan system brukar dock vara mycket svårare att lösa.

Algebraisk lösning av ekvationssystem Med algebrans hjälp kan man alltid få ett exakt svar. Vi inleder med två olika algebraiska metoder.

60

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in60 60

08-02-20 14.27.43

Linjära ekvationssystem

Substitutionsmetoden Att substituera betyder att ersätta. Vi tar problemet med bondens djur och löser ut H ur första ekvationen och ersätter därefter H i andra ekvationen

 H = 50 − G  4G + 2H = 134

Insättning av första ekvationen i andra ekvationen ger en ekvation i enbart den obekanta G.

4G + 2(50 – G) = 134

4G + 100 – 2G = 134

2G = 34

G = 17

Antal höns ges av sambandet

H = 50 – G

H = 50 – 17 = 33

Svar: Bonden har 17 grisar och 33 hönor.

Additionsmetoden

 5x − 2y = 7 Lös ekvationssystemet  7 x + 6y = 45 Vi inleder med att multiplicera den första ekvationen med en faktor 3 i båda leden. Detta förändrar ingenting, dvs. det är fortfarande samma ekvationssystem.

I II

 5x − 2y = 7  7 x + 6y = 45

(⋅3)

I 15x − 6y = 21 II  7 x + 6y = 45 

Till en ekvation får man lägga till vad man vill, bara man gör likadant i båda leden. Om man till ekvation I vill lägga till 7x + 6y så går det bra, bara man lägger till det i båda leden. Men eftersom 7x + 6y är lika med 45, så kan man lägga till 7x + 6y på ena sidan och 45 på den andra sidan.

Detta är orsaken till att man kan addera ledvis.

15x − 6y = 21 + 7 x + 6y = 45 22x = 66

Vi har adderat ledvis och vänsterledet har förenklats till 22x. Detta var anledningen till att vi inledde med att multiplicera med 3. Vid additionen försvann därmed den ena av de obekanta, då –6y och 6y tar ut varandra och blir noll. Vi avslutar beräkningen.

x=

66 =3 22

61

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in61 61

08-02-20 15.26.43

Kapitel 2 Funktioner

Vi går nu in i en av ursprungsekvationerna, det kvittar vilken. Vi tar 5x – 2y = 7, där vi sätter in det aktuella värdet på x.

Vilken metod ska jag välja?

Substitutionsmetoden är enklast när ekvationssystemet består av enbart två ekvationer och två obekanta.

Additionsmetoden är klart bäst då ekvationssystemet består av fler än två ekvationer och obekanta.

5 · 3 – 2y = 7

15 – 7 = 2y

y = 4

Svar: x = 3, y = 4 Tre kommentarer: • Ibland får man multiplicera med en negativ faktor för att den ena av de obekanta ska försvinna vid den ledvisa additionen.

• Ibland får man multiplicera båda ekvationerna med varsin lämplig faktor för att man ska bli av med den ena av de obekanta. (Alternativet är att övergå till bråkräkning) • Man kan fritt välja vilken obekant man vill eliminera. Det finns inga absoluta regler hur man använder denna metod. Vissa strategier går dock snabbare än andra.

Övningar på algebraisk lösning av linjära ekvationssystem 2.58 Lös följande ekvationssystem med substitu-

tionsmetoden. 4 x + y = 11 a) 

 x + 2y = 8

 4 x + 2y = 14 b)  20x − 3y = 5

2x − 5y = 1 c)  4 x + 3y = 41 2.59 Lös följande ekvationssystem med additions-

metoden.  2 x − 5y = 9  3x + 7 y = 6 a)  b)  3x + 10y = 10 8x + 14 y = 2  3x − 7 y = − 90 c)  2x + 12y = 40

2.60 Lös följande ekvationssystem med valfri

metod. 7 x + 3y = 23  a + b = 22 a)  b)  5x − 9y = 61 3a + 20b = 100  4, 5x + y − 13 = 0 c)   x + 4, 5y − 20 = 0 1, 4 x − 0, 9y = 0, 22 d)   2x + 0, 5y = 7,1 2.61 Hitta på ett linjärt ekvationssystem som har

lösningen x = 7 och y = 3.

Problem

2.62 Freja sitter efter biljettförsäljningen stängt

och ser att hon inte vet hur många parbiljetter hon sålt. Hon sålde 235 biljetter för totalt 4325 kr, och priset var 25 kr för par och 15 kr för singlar. Hjälp henne!

62

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in62 62

08-02-20 14.27.49

linjära eKvationssysteM

grafisk lösning av ekvationssystem Om vi betraktar det linjära ekvationssystemet 3x − 2y − 2 = 0   x + 2y − 10 = 0 så ser vi att båda ekvationerna är linjära funktioner, skrivna på allmän form. Vi löser ut y.  y = 3x − 2   y = − 0, 5x + 5 Dessa grafer kan man rita i ett koordinatsystem, gärna med hjälp av miniräknare. I räknaren lägger man den ena funktionen som Y1 och den andra som Y2. Skärningspunktens koordinater uppfyller båda ekvationerna, vilket innebär att den är lösningen på ekvationssystemet. Man finner med hjälp av t.ex. inzoomning, trace och/eller intersect att x = 2, y = 4. exeMpel

Ett olösbart system

 x − 2y = 2

2.63 Lös ekvationssystemet 

5x − 10y = − 30 Lösning: Om vi använder oss av additionsmetoden, och multiplicerar första ekvationen med (–5) får vi: ⋅(−5)  x − 2y = 2   5x − 10y = − 30

− 5x + 10y = −10 ledvis addition ger:   5x − 10y = − 30

0 − 0 = − 40 Vi har till resultat fått att 0 = –40 vilket är en orimlighet. Ekvationssystemet saknar tydligen lösning.

Vi löser ut y ur båda ursprungsekvationerna; y = 0,5x – 1 y = 0,5x + 3 Vi ser att k-värdena är lika, dvs. att linjerna är parallella. När vi lägger in funktionerna på räknaren som Y1 och Y2 får vi detta bekräftat; linjerna skär aldrig varandra, och då finns heller ingen lösning.

Svar: Ekvationssystemet saknar lösning.

Övningar på grafisk lösning av ekvationssystem 2.64 Använd räknaren och lös följande ekvations-

system grafiskt.  y = 3x − 5 a)  y=7−x 7 x − 5y = 1 c)   x − 8y = 22

2.65 Lös ekvationssystemet grafiskt utan hjälp av

grafräknare. Rita egen figur. y = − x − 3 b)   y = 2x + 4 5x − 3y − 21 = 0 d)  8x + 6y − 39 = 0

 x + 2y = 7   x − y = 1 resonera

2.66 Kan ett linjärt ekvationssystem ha mer än en

lösning?

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in63 63

63

08-02-20 14.27.54

Kapitel 2 Funktioner

Andragradsfunktioner Hittills har vi studerat linjära funktioner, y = kx + m. Linjära funktioner kan ses som polynom av första graden, för de kan skrivas som y = kx1 + m.

Andragradsfunktioner måste på samma sätt innehålla en andragradsterm (och eventuellt en förstagradsterm och en konstantterm). Termer av högre grad får inte förekomma.

Tre exempel på andragradsfunktioner är Parabelformen har flera intressanta egenskaper.

En som har mycket stor praktisk betydelse är hur den reflekterar strålning.

y = x2 y = 3x2 – 5x y = 5x2 + 2x – 8

Vi inleder med att studera den mest elementära av alla andragradsfunktioner, y = x2, och med hjälp av en värdetabell skissar vi dess graf. Grafen till en andragradsfunktion kallas en parabel. y 10 9

Strålkastare brukar ha denna form och ljuskällan placerad i brännpunkten, där strålarna korsas. Detta gör att ljuset reflekteras framåt.

I parabolantenner koncentrerar reflektionen den inkommande satelitstrålingen till brännpunkten, där mottagaren sitter.

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y = x2 (–3)2 = 9 (–2)2 = 4 (–1)2 = 1 02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9

8 7 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

Redan i denna funktion, y = x2, framgår ur grafen det typiska utseendet för alla andragradsfunktioner. De är symmetriska kring en vertikal linje, i detta fall y-axeln. Detta är naturligt, för vilket x-värde vi än tar, så blir det kvadrerade värdet detsamma för motsvarande negativa x-värde. Exempelvis: x = 7

⇒

72 = 49

x = –7

⇒

(–7)2 = 49

Detta följer av den välbekanta teckenregeln: (–7)2 = (–7) · (–7) = 49 för lika tecken ger en positiv produkt.

64

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in64 64

08-02-20 14.27.55

anDragraDsFunKtioner

Hur ser grafen till y = x2 + 3 ut? Räknaren ger:

Eftersom varje y-värde ökar med 3 jämfört med y = x2 förskjuts y = x2 + 3 tre steg uppåt i y-led i jämförelse med y = x2. För övrigt ser graferna exakt likadana ut.

Precis som i fallet med den räta linjen, y = kx + m, så gäller även för en andragradsfunktion att konstanttermen anger skärningen med y-axeln.

Detta följer också naturligt, för om x = 0 sätts in i funktionen y = x2 + 3 så försvinner första termen och kvar blir y = 3.

Till skillnad från den linjära funktionen har andragradsfunktionen alltid ett extremvärde, dvs. ett största eller minsta värde. Se exempelvis funktionen y = x2 + 3. Den har ett minsta y-värde, i detta fall y = 3, som antas då x = 0. Man säger då att (0, 3) är en minpunkt. Om vi istället tittar på y = –x2 så har den negativa värden där y = x2 har positiva, vilket innebär att grafen vänds upp och ner och istället får ett största värde. Här blir (0, 0) en maxpunkt.

anDragraDsFunKtionen

EXtREmVäRDE

Det största och det minsta värde en funktion kan anta kallas extremvärden.

Det är inte alla funktioner som har sådana. Värdena kan betecknas ymax och ymin.

En andragradsfunktion kan allmänt skrivas: y = ax2 + bx + c där a, b och c är konstanter; a ≠ 0.

• tecknet på koefficienten a avgör om grafen har en max- eller minpunkt.

y a>0

Maxpunkt minnEsREgEl

x a<0 Minpunkt

Positiv – glad mun Negativ – ledsen mun.

• konstanten c anger grafens skärning med y-axeln

Vi kommer att titta mer på koefficienternas inflytande senare i kapitlet.

65

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in65 65

08-02-20 14.27.56

Kapitel 2 Funktioner

Exempel

Studium av en andragradsfunktion 2

2.67 En funktion är given: f(x) = x – 5

a) Ange om funktionen har en max- eller en minpunkt. b) Ange koordinaterna för denna extrempunkt. c) Gör en enkel principskiss av funktionens graf. d) Ange funktionens symmetrilinje.

e) Beräkna f(4) och f(–4).

Lösning:

y

a) Eftersom koefficienten för andragradstermen är 1, (en osynlig 1:a), dvs. positiv, har funktionen en minpunkt.

f(x) = x2 – 5

b) Funktionen är den elementära funktionen y = x2 sänkt 5 steg nedåt.

Minpunkt är punkten (0, –5).

x

c) När vi nu skissar grafen till funktionen, utgår vi från minpunkten (0, –5) och tänker på att en parabel alltid är symmetrisk med avseende på en lodrät linje; se figur.

(0, –5)

d) Symmetrilinjen är y-axeln. e) f(4) = 42 – 5 = 16 – 5 = 11, dvs. f(4) = 11 f(–4) = (–4)2 – 5 = 16 – 5 = 11 dvs. f(–4) = 11 Samma värde; det följer ur symmetrin.

Inledande övningar på andragradsfunktioner 2.68 a) Ange koordinaterna för eventuella max-

eller minpunkter till följande funktioner. f(x) = x2 – 7 g(x) = x2 + 4 h(x) = 3x – 1 p(x) = –x2 – 3 q(x) = x2 + a b) Gör en enkel principskiss av graferna till de fem funktionerna.

2.69 Figuren visar graferna till funktionerna

f(x) = 6 – x2 och g(x) = x2 + 1.

Identifiera funktionerna och redovisa hur du tänkte. y 7

A

4 3 2

–3 –2 –1 –1

1

2

3

resonemang

2.71 Även i en fullständig andragradsfunktion,

som exempelvis y = 2x2 – 13x + 8, anger konstanttermen var grafen skär y-axeln. a) Förklara med ord varför det är så. b) Ange var denna funktion skär y-axeln.

2.72 Om man har ritat grafen till funktionen

y = 0,03x2 – 5,3x + 2, och sedan ska rita grafen till y = 0,03x2 – 5,3x + 5, hur går man då lämpligen tillväga?

2

5

B

tionernas grafer i 2.69.

2.73 Att en funktion som y = x har en minpunkt

6

1

2.70 Nämn två egenskaper som är lika hos funk-

x

inser man ganska lätt. Variabeln y kan ju aldrig bli negativ, dvs. grafen befinner sig hela tiden över x-axeln. Men är det lika självklart att en funktion som t.ex. y = x2 – 6x + 9 har en minpunkt? Kan inte termen –6x förändra grafens utseende?

Diskutera.

66

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in66 66

08-02-20 14.27.58

andragradsfunktioner

Vi ska här studera några av andragradsfunktionernas viktigaste egenskaper. Den här typen av studier brukar man genomföra för de flesta funktionstyper, så det kan vara bra att notera både vad det är vi undersöker och vad det är vi kommer fram till.

Andragradsfunktionens nollställen En andragradsfunktion kan skära x-axeln på noll, ett eller två ställen.

Ovanför x-axeln är y-värdena positiva, under x-axeln är y-värdena negativa. På x-axeln är y-värdet noll; se figurer nedan. y

y

y

3

3

3

2

2

2

1

1

x

0 –1 –2

y = 4x2 – 20x + 24

–3

Funktionen skär x-axeln i två punkter. Dessa punkter kallas för funktionens nollställen.

0

1

x

0

–1

–1

–2

–2

–3

–3

Funktionen skär x-axeln i en punkt. Denna punkt kallas för funktionens nollställe.

x

Funktionen skär inte x-axeln i någon punkt.

Funktionen saknar noll­ ställen.

Grafens skärningar med x-axeln kallas därför för funktionens nollställen.

Detta gäller alla funktionstyper.

Att finna en funktions nollställen är att fråga: vilka värden har x då y är noll? Om vi nu vill bestämma nollställena till den andragradsfunktion, f(x) = 4x2 – 20x + 24 som visas i vänstra figuren ovan, så blir samma fråga detsamma som att lösa ekvationen 4x2 – 20x + 24 = 0.

4x2 – 20x + 24 = 0

x2 – 5x + 6 = 0 x=

Dividera båda leden med 4.

Kvadratkomplettera eller använd pq-formeln.

tillämpning

Nollställen är intressanta i många sammanhang. I ekonomiska tillämpningar kan de t.ex. tala om var vinst övergår i förlust.

5 25 ± −6 2 4

Ekvationen är därmed löst. Resten är renskrivning. x1 = 2, x2 = 3.

Vi har funnit att funktionen f(x) = 4x2 – 20x + 24 har nollställena x1 = 2 och x2 = 3.

Denna metod att finna nollställen fungerar generellt.

Nollställen

Nollställena för en funktion y = f(x) är de punkter där y-värdet är noll.

För att finna nollställena löser man ekvationen f(x) = 0.

67

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in67 67

08-02-20 14.28.00

Kapitel 2 FunKtioner

exeMpel

Bestämma nollställen 2

2.74 Bestäm nollställena till funktionen f(x) = 3x – 12x.

Lösning: Nollställena finner man genom att lösa ekvationen f(x) = 0. Vi får: 3x2 – 12x = 0 Detta är en andragradsekvation utan konstantterm.

Sådana löses enklast genom faktorisering.

3x(x – 4) = 0 Nollfaktorlagen: Om en produkt är noll, måste en av faktorerna vara noll. Vi får 3x = 0 ⇒ x = 0 x–4=0 ⇒ x=4 Svar: Funktionens nollställen är x = 0 och x = 4 exeMpel

Användning av räknare 2

2.75 Bestäm eventuella nollställen till funktionen f(x) = x – 8x + 10.

Ett alternativ till den algebraiska metoden är att bestämma nollställena grafiskt.

• Lägg in funktionen f(x) = x2 – 8x + 10 i räknarens funktionsmeny.

• Använd någon av räknarens funktioner t.ex. trace, graph eller zero för att grafiskt/numeriskt bestämma nollställena. Man ser direkt att funktionen har två nollställen, och man finner snart dessa: x1 ≈ 1,55, x2 ≈ 6,45 där x2 är den som anges i figuren.

Grafiska metoder ger i de flesta fall bara approximativa värden. Med den algebraiska metoden, dvs. att lösa ekvationen f(x) = 0, finner man de exakta värdena: x1 = 4 − 6 och x2 = 4 + 6 . Den grafiska metoden kan dock vara till bra hjälp vid krångligare funktioner, som man inte klarar att analysera algebraiskt. exeMpel

Rotlös 2

2.76 Lös ekvationen x = –3 och tolka resultatet.

Lösning: En andragradsekvation utan förstagradsterm löses direkt med rotutdragning. x = ± −3 Man kan inte dra roten ur negativa tal. Ekvationen saknar reella rötter.

y f(x) = x2 + 3

Den givna ekvationen, x2 = –3 kan lika gärna skrivas: x2 + 3 = 0

3

Det är alltså inte alla funktioner som har nollställen.

68

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in68 68

x

Tolkning: att bestämma rötterna till den givna ekvationen är detsamma som att finna nollställena till funktionen f(x) = x2 + 3.

Hur denna funktion ser ut det vet vi. Den har en minpunkt i punkten (0, 3), se figur till höger. Från grafen ser vi att funktionen inte har några nollställen; den skär inte x-axeln någonstans.

Att den givna ekvationen saknar reella lösningar är detsamma som att den givna funktionen inte skär x-axeln i någon punkt.

08-02-20 14.28.03

andragradsfunktioner

Övningar på andragradsfunktionens nollställen 2.77 Bestäm nollställena till följande funktioner.

2

2

a) f(x) = x – 9 c) y = 7x – 8

b) y = 5 – x d) f(x) = 2x2 + 10x

2.78 Uppskatta funktionens nollställen genom

avläsning i figuren. y 5

2.83 Skissa grafen till en andragradsfunktion som

har a) en maxpunkt och två nollställen b) en maxpunkt och ett nollställe c) en maxpunkt och saknar nollställen d) en minpunkt och två nollställen e) en minpunkt och ett nollställe f) en minpunkt och saknar nollställen

4 Begrepp

3

2.84 Att lösa en ekvation kallas att finna ekvatio-

2 1 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

–2

2.85 Kan tre olika andragradsfunktioner ha

–3

samma nollställen? Och kan hur många som helst andragradsfunktioner ha samma nollställen?

2.79 Funktionen

nens rötter. Att finna rötterna till ekvationen f(x) = 0 är detsamma som att bestämma funktionens, ja vadå?

f(x) = 6x4 – 25x3 – 150x2 + 205x + 84 har nollställena x1 = –4, x2 = –1/3, x3 = 3/2 och x4 = 7.

Ange utan räknare och utan några beräkningar, rötterna till ekvationen 6x4 – 25x3 – 150x2 + 205x + 84 = 0 2

2.80 Hur många nollställen har y = ax + bx + c

om a) ymin = 3

b) ymax = 1

c) b = c = 0

d) a < 0 och y(7) = 0,5

2.81 Bestäm grafiskt, dvs. med grafräknaren,

eventuella nollställen till följande funktioner. a) y = x2 – x – 6 b) y = x2 + 10x + 25 c) y = x2 – 4x + 5 d) y = x2 – 20x + 97 2.82 Kontrollera resultaten i uppgiften ovan,

genom att bestämma nollställena algebraiskt, dvs. genom att lösa ekvationen f(x) = 0.

Problem

2.86 Ange, enbart med hjälp av huvudräkning,

nollställena till följande funktioner. a) y = 102 – x2 b) y = a2 – x2 2.87 Bestäm konstanten A i funktionerna nedan,

så att var och en av funktionerna får endast ett nollställe. a) y = x2 – 6x + A b) y = x2 – 2Ax + A c) y = Ax2 – 6x + A 2.88 Ange nollställena till följande funktioner.

a) f(x) = Ax2 + Bx b) f(x) = Ax2 + Bx + C

2.89 Ange villkoren på konstanterna p och q för

att funktionen f(x) = x2 + px + q ska sakna nollställen.

Resonenemang

2.90 Rent allmänt: Hur ser egentligen grafen för

en funktion som saknar nollställen ut?

69

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in69 69

08-02-20 14.28.04

Kapitel 2 Funktioner

Andragradsfunktionens symmetrilinje Från tidigare resonemang vet vi att alla parabler, dvs. alla andragradsfunktioner, är symmetriska med avseende på en vertikal linje. Vi frågar oss nu: vilken symmetrilinje har funktionen f(x) = x2 – 10x + 21?

Om vi inleder med att bestämma funktionens nollställen, så kan vi utifrån dem enkelt finna symmetrilinjen.

Symmetri

Symmetri är en intressant egenskap.

Genom att utnyttja symmetri kan man många gånger minska räknearbetet avsevärt. Man kan exempelvis nöja sig med att studera ena halvan av kurvan om man vet att andra halvan ser likadan ut.

x2 – 10x + 21 = 0

x = 5 ± 52 − 21

x = 5± 4

x = 5 ± 2

x1 = 3

x2 = 7

Med hjälp av nollställena kan vi skissa funktionens graf. Kurvan ska passera igenom dem, och eftersom andragradskoefficienten är positiv vet vi också att det ska finnas en minpunkt.

Från skissen kan vi ana att symmetrilinjen passerar x-axeln där x = 5.

Detta blir också helt klart om vi betraktar lösningen till ekvationen innan vi renskrev, dvs.

y

f(x) = x2 –10x + 21

x 3

7

x=5 är symmetrilinje

x = 5 ± 2.

Från lösningen framgår just symmetrin; om vi startar vid x = 5, så ska vi ta 2 steg åt vänster för att få ena nollstället, och två steg åt höger för att få det andra nollstället. Alltså är symmetrilinjen vid x = 5. Vi ser dessutom att extrempunkten ligger på symmetrilinjen Symmetrilinjen

Symmetrilinjen till en andragradskurva passerar genom extrempunkten, och om det finns nollställen så går den mitt emellan dessa.

70

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in70 70

08-02-20 14.28.05

andragradsfunktioner

Exempel

Symmetrin ger extrempunkt 2

2.91 a) Ange symmetrilinjen till funktionen f(x) = 0,5x + 3x.

b) Gör en enkel skiss av funktionens graf. c) Ange extrempunktens koordinater.

Lösning: Vi inleder med att se om funktionen har nollställen, dvs. vi sätter f(x) = 0.

0,5x2 + 3x = 0

Ekvationen löses med faktorisering.

x(0,5x + 3) = 0

Minst en av faktorerna måste vara noll.

f(x) = 0,5x2 + 3x

x = 0

y

0,5x + 3 = 0 ⇒ x = –6

Nollställena är x1 = –6 och x2 = 0.

Symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena. Det blir vid x = –3.

x

Från andragradskoefficienten framgår att funktionen har en minpunkt, och den måste ligga på symmetrilinjen. Minpunktens y-koordinat ges därför av f(–3).

0

–6

x = –3 är symmetrilinje

f(–3) = 0,5 · (–3)2 + 3 · (–3) = –4,5 Svar: a) Symmetrilinjen är x = –3.

b) Funktionens graf; se figur.

c) Minpunkten har koordinaterna (–3, –4,5).

Exempel

Dubbelrot 2

2.92 Bestäm nollställena till funktionen f(x) = –x + 12x – 36 och gör en skiss

y

av grafen.

Lösning:

(6, 0)

–x2 + 12x – 36 = 0

x2 – 12x + 36 = 0

x

Multiplicera ekvationen med –1.

Lösningsformeln ger: 2

x = 6 ± 6 − 36 Redan här ser vi från den första termen att symmetrilinjen är x = 6.

x=6± 0

f(x) = –x2 + 12x – 36

x = 6 Noll under rottecknet. Detta är en dubbelrot. Det innebär att grafen tangerar x-axeln vid x = 6. Negativ koefficient för andragradstermen anger att grafen har en maxpunkt. Vi kan skissa grafen.

Svar: Funktionen har ett nollställe; x = 6.

71

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in71 71

08-02-20 14.28.08

Kapitel 2 Funktioner

Övningar på andragradsfunktionens symmetrilinje 2

2.93 En funktion f(x) = x – 24x + 108 är given.

a) Bestäm funktionens nollställen. b) Ange symmetrilinjen. c) Ange extrempunktens koordinater. d) Gör en enkel skiss av grafen.

Resonemang

2.100 En andragradsfunktion är given.

2.94 Samma instruktioner som i föregående upp-

gift, men för funktionen f(x) = 4x2 – 8x + 12.

2

2.95 Funktionen f(x) = 10x – x – 25 har ett

nollställe och en extrempunkt med heltals­ koordinater. Ange dessa värden exakt.

2

2.96 Funktionen f(x) = ax + bx + c har sin sym-

metrilinje vid x = 7. Till nollställena är det från symmetrilinjen 4 steg. a) Ange funktionens nollställen. b) Kan man avgöra om funktionen har en max- eller minpunkt? c) Välj ett värde på koefficienten a, så att funktionen får en maxpunkt.

2.97 Grafen i figuren är en parabel. y

f(x) = (x – m)2 – n, m, n > 0 a) Kan första termen, dvs. parentesen, någonsin bli negativ? b) Vilket är parentesens minsta värde? c) Vilket värde ska x ha, om parentesen ska få sitt minsta värde. d) Ange funktionens minsta värde. e) Ange symmetrilinjen.

Problem

2.101 I exempel 2.1 tittade vi på ett uttryck för

arean av en hage. Uttrycket blev A(x) = x(50 – x). Bestäm största möjliga area på hagen på enklast möjliga sätt.

2.102 En andragradsfunktion är given.

y = (x – 3)2 – 7 a) Ange funktionens symmetrilinje utan att öppna upp parentesen. b) Ange extrempunktens koordinater.

2.103 För en andragradsfunktion gäller: A

• Funktionen går genom origo • Ett nollställe är x = 12 • ymax = 54 Ange funktionen på formen y = ax2 + bx + c.

x

(–2, 0)

(2, –8)

Ange koordinaterna för punkten A. 2.98 För en andragradsfunktion gäller att y

max

antas i punkten (5, 17). Ett av nollställena är x = 2. Ange det andra nollstället.

2.99 Nedan visas lösningarna till ett antal andra-

gradsekvationer f(x) = 0. Ange symmetri­ linjen för funktionen f(x) i vart och ett av fallen. a) x = 4,5 ± 13 b) x1 = 0 x2 = –8 c) x1 = x2 = 0 d) x1 = x2 = 7

72

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in72 72

08-02-20 14.28.09

anDragraDsFunKtioner

Fördjupning: andragradsfunktionens värdemängd Definitionsmängden Df för en andragradsfunktion är (om den inte är en modell av ett förlopp med restriktioner) hela tallinjen, för den går att beräkna för alla värden. Men man kan inte få ut alla värden ur den. Värdemängden Vf för y = x2 är exempelvis y ≥ 0. Kvadratkomplettering, som vi gick igenom i förra kapitlet, kan användas för att avgöra vilka värden som man kan få. exeMpel

Bestämma värdemängden 2

2.104 a) Kvadratkomplettera polynomet x – 6x + 11.

b) Finns det något x-värde som gör att polynomet blir negativt? c) Vilket är det minsta värde som funktionen f(x) = x2 – 6x + 11 kan anta, och när antas detta? d) Vad är värdemängden för funktionen f(x) = x2 – 6x + 11?

Lösning: a) Vi betraktar de två första termerna och kompletterar dessa till en kvadrat: x2 – 6x + 32 – 32 + 11 = (x – 3)2 – 9 + 11 = (x – 3)2 + 2 b) Termen (x – 3)2 kan aldrig bli negativ. Om t.ex. x = –4 så blir parentesen (–4 – 3)2 = (–7)2 = 49 > 0. Att man adderar det positiva talet 2 förändrar ingenting. Polynomet blir aldrig negativt. c) Efter kvadratkompletteringen har vi två termer.

2

f (x) (x 3) 2 123 0 då x 3

Konstanten 2 kan vi inte ändra på. Parentesen däremot innehåller en variabel, och bidrar som minst med värdet noll. Detta värde får den om x = 3. Alltså är funktionens minsta värde 2 enligt 02 + 2 = 2. Minpunkten är därmed (3, 2). d) Det minsta värdet är 2. Däremot finns det inget största värde; man kan alltid få större värden ut genom att stoppa in större värden på x. Därför är värdemängden alla tal från 2 och uppåt.

Svar: a) x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 + 2 b) Nej. Det givna polynomet är större än noll för alla värden på x. c) Minpunkten är (3, 2).

d) Vf : y ≥ 2.

Med denna teknik kan man avgöra max- eller minvärdet och därmed värdemängden för alla andragradsfunktioner.

73

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in73 73

08-02-20 14.28.10

Kapitel 2 Funktioner

Övningar på andragradsfunktionens värdemängd 2.105 Ange det

2.107 Avgör vilka av följande polynom som kan

a) minsta värde som funktionen f(x) = x2 + 2 kan anta. b) största värde som funktionen g(x) = 3 – x2 kan anta. c) minsta värde som funktionen h(x) = x2 – 10x + 32 kan anta.

2.106 Bestäm koordinaterna för extrempunkten till

följande funktioner. Ange också vilken sort av extrempunkt det är frågan om. a) f(x) = x2 – 3x – 4 b) f(x) = –2x2 + 8x + 10

anta både positiva och negativa värden. a) x2 – 4x + 5 b) x2 – 6x + 5 c) 6x – x2 – 10 2.108 Bestäm värdemängderna till följande funk-

tioner: a) f(x) = x2 + 3x + 4 b) g(x) = 2x2 – 4x + 2 c) h(x) = –3x2 – 12x – 16

Fördjupning: koefficienternas betydelse En fullständig andragradfunktion kan ju skrivas ax2 + bx + c. Vi har redan sett att konstanta termen c avgör var grafen skär y-axeln, och att tecknet på a avgör om grafen har en maxpunkt eller en minpunkt. Men vilken inverkan har koefficienterna i övrigt?

Exempelvis: Hur påverkas grafens utseende om vi har en annan koefficient än 1 på andragradstermen?

I grafräknaren lägger vi in funktionerna

y 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

y = x2, y = 3x2 och y = 0,1x2

Från figuren i marginalen framgår att ju större värde på koefficienten, desto smalare graf. Detta är naturligt, ty för ett visst värde på x, säg att x = 4, kommer vi högre upp på y-axeln om vi betraktar funktionen y = 3x2 än om vi betraktar y = x2, eftersom 3 · 42 = 48 medan 42 = 16. Att den gröna grafen, y = 0,1x2, blir så pass flack följer av att 0,1 · 42 = 1,6, dvs. det blir ett litet värde på y för det aktuella x = 4.

Om vi dessutom skulle byta tecken på andragradskoefficienten, och välja ett negativt värde, vad händer då? De värden som förut var positiva blir nu negativa, och kurvan vänds ”uppochner”. Det är detta som gör att positiv koefficient innebär att det finns ett minvärde medan negativ ger ett maxvärde.

74

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in74 74

08-02-20 14.28.11

andragradsfunktioner

Och hur påverkas grafen av förstagradstermens koefficient? Vi tittar på funktionerna

y 5

y = x2, y = x2 + x, y = x2 + 2x

4

där vi varierar förstagradstermen men inget annat. Det som händer är att grafen förflyttar sig både i höjdled och i sidled. Formen (som ges av andragradskoefficienten) förändras däremot inte. Vi ska inte gå in mer i detalj på detta i den här boken, men ville ändå omnämna saken. Det kan dock vara värt att notera att alla andragradsfunktioner som saknar förstagradsterm har y-axeln som symmetrilinje.

3 2 1 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

Övningar på koefficienternas betydelse 2.109 Para ihop funktioner f, g, h och p med gra-

ferna i figuren. f(x) = –0,1x2 – 1 h(x) = 2x2 + 1

2

g(x) = 0,5x + 1 p(x) = –3x2 + 2 y A

5

B

3 2

–3 –2 –1 –1

x 1

2

3

–2 C

–3

trisk med avseende på y-axeln?

2.112 Vilken av funktionerna f(x) = 1000x och

g(x) = 0,001x2 dominerar för stora värden på x?

2.113 Vilka värden bör man tilldela koefficienten

4

1

2

2.111 Varför är funktionen y = Ax + B symme-

D

framför andragradstermen om man vill att en andragradsfunktion utan förstagradsterm a) ska ha en graf som ligger ”tätt” intill y-axeln? b) ska bli ”bred”, och komma långt från y-axeln?

Problem 2

2.114 För funktionen f(x) = Ax + B gäller att

f(6,3) = 7,5. Bestäm f(–6,3).

Resonemang

2.110 Vi låter först definitionsmängden vara hela

x-axeln. a) Har en linjär funktion ett största värde? b) Har en andragradsfunktion ett största värde?

Vi låter nu definitionsmängden vara intervallet a ≤ x ≤ b. c) Har en linjär funktion ett största värde? d) Har en andragradsfunktion ett största värde?

2

2.115 För funktionen f(x) = ax + c gäller att

f(0) = –7. Dessutom ligger punkten (3, 38) på grafen. Ange f(x).

2

2.116 Kommer parablerna till y = kx och 2

y = k(x – 2) att ha samma form?

Motivera ditt svar.

75

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in75 75

08-02-20 14.28.13

Kapitel 2 Funktioner

Tillämpningar Tillämpning av linjära samband Linjära samband är mycket lätta att räkna med, så de används ofta. Ibland även i sammanhang som egentligen inte är linjära. Fördelarna med att man får ett så pass enkelt problem att man klarar av att lösa det uppväger då (förhoppningsvis) nackdelarna med att svaret inte blir riktigt rätt.

2.117 Mellan de två temperaturskalorna Celsius

och Fahrenheit råder ett linjärt samband.

Man kan räkna om grader Celsius till grader Fahrenheit genom att multiplicera med 9/5 och lägga till 32. a) Ange Fahrenheit F som en funktion av Celsius C. b) Vad motsvarar 15°C i Fahrenheit? c) Ange Celsius C som en funktion av Fahrenheit F. d) En dag var det 86°F i Kalifornien.

Hur varmt var det, uttryckt i Celsius?

2.118 När Simon började ge ut en egen tidskrift,

hade han en fast kostnad och en rörlig kostnad. Det kostade honom 325 kr att framställa 15 tidningar och 400 kr att framställa 30 tidningar.

Bestäm den fasta kostnaden och den rörliga kostnaden.

2.119 Diagrammet visar hur värdet hos en inköpt

dator minskar för varje år under de första sex åren.

Värde (kkr) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

d) Ange datorns värde efter sex år. e) Är detta en fungerande matematisk modell av värdeminskningen även för en längre tidsperiod?

2.120 När lovet börjar har Per 1500 kr. Han får ett

sommarjobb med lönen 90 kr i timmen.

Han jobbar 8 timmar om dagen. Bortse från skatt. a) Hur mycket pengar har Per efter 3 timmar? b) Hur mycket pengar har Per efter x timmar? c) Hur många dagar måste Per jobba för att hans tillgångar ska bli 12300 kr?

2.121 År 2007 är invånarantalet i en kommun

35 000 personer. Det förväntas öka med 800 personer per år. a) Ange den funktion som beskriver invånarantalet y personer efter x år. b) Hur många invånare kan man räkna med att kommunen har år 2012? c) Vilket år är antalet invånare 47 000 enligt denna modell? d) Verkar modellen tillförlitlig?

2.122 Kostnaden K för att trycka x exemplar av en

1 2 3 4 5 6 Tid (år)

a) Bestäm en funktion som anger datorns värde som en funktion av tiden. b) Ange inköpspriset. c) Ange den årliga värdeminskningen.

tidskrift ges av K(x) = Ax + B. a) Om det kostar 11 000 kr att trycka 200 exemplar och 13 500 kr att trycka 300 exemplar, vad kostar det då att trycka 1000 exemplar?

K(x) b) Förklara vad innebär. x c) Ange styckekostnaden vid en upplaga av 200 ex, 300 ex, 1000 ex.

76

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in76 76

08-02-20 14.28.14

Tillämpningar

Tillämpning av ekvationssystem Ekvationssystem uppkommer ofta då man analyserar lite mer komplicerade problem. Man får då arbeta i två steg: Först ställer man upp ekvationssystemet, sedan löser man det.

Exempel

2.123 Bill och Jack har tillsammans 20 dollar. Då Bill spelat bort 3 av dessa på

roulett och Jack samtidigt fördubblat sin andel på poker, har deras totala summa ökat till 30 dollar. Hur många dollar hade var och en av dem, innan dessa hasardspel?

Lösning: Anta att Bill hade B dollar och Jack hade J dollar.

Första villkoret ger: B + J = 20 Andra villkoret ger: (B – 3) + 2J = 30 Detta är ett linjärt ekvationssystem.

Substitutionsmetoden ger:

 B + J = 20 

B − 3 + 2 J = 30

 B + J = 20  B = 20 − J  

B + 2 J = 33 B + 2 J = 33

Ekvation I insätts i Ekvation II. 20 − J + 2 J = 33

20 + J = 33 J = 13

Detta värde på J insätts i B = 20 – J som ger att B = 7 Svar: Bill hade 7 dollar och Jack hade 13 dollar.

77

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in77 77

08-02-20 14.28.16

Kapitel 2 Funktioner

2.124 Dagskassan efter en dag i affären var

2.130 Mikael tittar på sitt kontoutdrag och ser att

13 600 kr. Antalet sedlar var totalt 80 stycken, enbart 500-kronors och 20-kronors. Hur många 20-kronors-sedlar ingick i dagskassan?

2.125 När Malin ska pynta till julbasaren tar hon

fram adventljusstakarna och de sjuarmade ljusstakarna. Totalt har hon 11 ljusstakar.

Alla henne 50 ljus går precis åt. Hur många sjuarmade ljusstakar har hon?

2.126 Två tal har summan 100 och differensen 42.

Ange talen.

2.127 Bestäm konstanterna p och q så att andra-

gradsekvationen x2 + px + q = 0 får lösningarna x = 2 och x = 5. Skriv upp den aktuella ekvationen.

2.128 År 2005 var tre femtedelar av medlemmarna

i en klubb flickor. År 2006 har antalet pojkar fördubblats och sex nya flickor tillkommit.

Detta har medfört att det blivit lika många flickor som pojkar i klubben. Hur många medlemmar hade klubben år 2005?

2.129 I en järnaffär kostar spik 13 kr/paket, skruv

14 kr/paket och bult 89 kr/paket. Samira handlade 100 paket för totalt 3000 kr. Paketen med skruv och bult var tillsammans lika många som paketen med spik. Hur många paket av var sort köpte hon?

han åkt taxi två gånger nyligen med olika taxibolag.

Taxi 1: 20 kr/mil, 10 kr/min, 30 kr grundavgift Taxi 2: 15 kr/mil, 12 kr/min, 20 kr grundavgift

Samma sträcka och samma åktid kostade 270 kr med Taxi 1 och 290 kr med Taxi 2.

Vad var sträckan respektive åktiden?

2.131 En arbetsplats med 80 % män vill uppnå en

jämn könsfördelning. De anställer under en period bara kvinnor och uppnår målet när antalet anställda uppgår till 240. Hur många kvinnor anställdes?

2.132 Ragge går stadigt upp för en rulltrappa.

Det tar ungefär 10 s att komma upp de 20 metrarna. På ren inspiration prövar han att gå tillbaka ner för rulltrappan med samma gånghastighet. Det tar 25 sekunder.

Vilken hastighet har rulltrappan?

2.133 Om Elias och Elina springer ett 400 m-varv

så har Elina 160 meter kvar när Elias går i mål efter 80 sekunder. Om de istället springer åt motsatt håll från starten så möts de efter 50 sekunder. Vilken medelhastighet håller Elias resp. Elina?

78

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in78 78

08-02-20 14.28.17

Tillämpningar

Tillämpning av andragradsfunktioner Andragradsuttryck förekommer ofta inom t.ex. geometri och som ett sätt att förenklat beskriva vardagliga skeenden. När man bygger, när ekonomisk utveckling ska beskrivas, och i många sammanhang där utvecklingen inte är linjär men man samtidigt vill ha en förenklad modell.

I och med att de är så pass vanliga är det bra att behärska dem väl.

2.134 En sten släpps från taket av det nybyggda

huset Turning Torso i Malmö. Den höjd y meter som stenen befinner sig på efter t sekunder ges (om man utgår från att stenen enbart påverkas av tyngdkraften) av sambandet y = 190 – 4,9t2 a) Hur hög är Turning Torso? b) Hur högt upp befinner sig stenen efter att ha fallit i två sekunder? c) Hur lång tid tar fallet? d) Finns det några problem med modellen?

2.137 Antag att det kostar ett företag

K(x) = 5x2 + 800x kr att tillverka x st enheter. Samtidigt är intäkten I(x) = 1000x + 200. Hitta företagets maximala vinst.

2.138 Av ett A4-papper ska man vika en låda

genom att riva bort en kvadratisk bit av ­hörnen; se figur.

30

(cm)

2.135 En biljettfirma säljer biljetter. De vet sedan

tidigare att den förväntade vinsten V på x sålda biljetter följer funktionen V(x) = 120x – 0,1x2. Hur stor är den maximala vinsten enligt denna modell, och hur många biljetter har de sålt då?

2.136 En rektangulär hage ska bildas av ett rep,

där man betecknar ena sidan för x. Vilken av följande grafer är en matematisk beskrivning av rektangelns area A. x

A

A

x

A

21 x x

a) Ange med ord, hur man beräknar volymen av ett rätblock. b) Ange längden av lådans kortsida som ett uttryck i x. c) Ange volymen V(x) av lådan, som en produkt av tre faktorer. d) Öppna upp uttrycket för volymen från c-uppgifen och förenkla. e) Lägg in volymfunktionen i grafräknaren och bestäm grafiskt lådans största tänkbara volym avrundat till heltal.

x

A

x

x

79

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in79 79

08-02-20 14.28.18

Kapitel 2 Funktioner

2.139 Enligt en ekonomisk teori är den nationella

efterfrågan på pengar M miljarder kronor beroende av riksbankens utlåningsränta r % enligt sambandet

och efterfrågan E(p) bland kunderna i samma stad berodde ett tag på priset p kr/låda enligt sambanden

kulans höjd över marken som en funktion av tiden. h (meter)

h(t) = –5t2 + 30t

M=300,42–35r+1,5r2. a) Kan efterfrågan bli noll enligt modellen? b) Inom vilka intervall kan modellen tänkas gälla?

2.140 Mängden jordgubbar att köpa K(p) i en stad

2.142 En kula skjuts rakt upp i luften. Grafen visar

K(p) = 0,02p2   E(p) = 500 / p  där K(p) och E(p) mäts i tusentals lådor/vecka. Bestäm på valfritt sätt när tillgång och efterfrågan väger jämnt.

Svara i hela kr/låda.

2.141 Ett rektangulärt stålrör ska ha omkretsen

500 mm och godstjockleken (dvs. tjockleken på plåten i röret) 5 mm. a) Ställ upp ett uttryck för tvärsnittsarean för hålet i röret som funktion av rörets yttre bredd. b) Vad har funktionen för definitionsmängd? c) Vad har den för värdemängd? d) Gör samma sak för metallens tvärsnitts­ area. Kommentarer?

t (sekunder)

a) Hur högt har kulan kommit efter 1,4 sekunder? b) Hur lång tid är kulan i luften? c) Ekvationen h(t) = 40 har två lösningar.

Bestäm dessa och tolka resultatet. d) Vid vilken tidpunkt når kulan högsta punkten? e) Hur högt når kulan som högst? f) Är grafen en bild av hur kulan rör sig?

2.143 En hängbro ska byggas. Den ska vara

40 meter lång, och kabeln som den bär upp den hänger ner 8 meter på mitten. Häng­ brokablar går i en parabelformad kurva.

Inför ett koordinatsystem, lägg ena kabel­ fästet i origo och ange en funktion som beskriver sambandet mellan läget x och höjden y för kabeln.

80

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in80 80

08-02-20 14.28.21

Tillämpningar

Använda Grafhuset Från linje till ekvation I Grafhuset, som du stiftat bekantskap med tidigare, finns en träningsmodul för linjära funktioner. Här kan du flytta två punkter runt i koordinatsystemet (för heltalskoordinater) och se linjens ekvation i fältet till höger. Du ser också skärningar med y-axeln (m-värde) och riktningskoefficient (k-värde). Genom att stänga av visningen i fältet till höger kan du träna på att gissa linjens ekvation.

Håller du ned SHIFTtangenten så kan du parallellförflytta linjen.

Arbeta med glidande parameter Ett annat sätt att undersöka och träna på räta linjer är att skriva ekvationerna med parametrar. Här har vi skrivit in y = ax + b och vi kan sedan låta parametrarna ändra värde (en i taget). Vi tittade på detta redan i kapitel 5 i A-boken.

81

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in81 81

08-02-20 14.28.25

Kapitel 2 Funktioner

Från kurva till formel Det finns också en träningsmodul för andragradsfunktioner. Den heter Parabel. Här flyttar du också två punkter runt i koordinatsystemet.

Den ena punkten är parabelns vertex, dvs. max- eller minpunkten. Då räcker det med två punkter för att beräkna vilken andragradsfunktion det handlar om. En andragradsfunktion har ju en symmetrilinje genom vertex.

Funktionen nedan kan skrivas y = (x – 2)2 – 1 eller y = x2 – 4x + 3.

Utveckla det första uttrycket så ser du att det stämmer. Varje andragradsfunktion kan faktiskt skrivas på formen y = k(x – a)2 + b där (a, b) är max- eller minpunkt. Vi ser att det stämmer för funktionen ovan där k = 1 och (2, –1) är minpunkten.

På webben för Tal & Rum kommer vi att ha en del övningar på andragradsfunktioner där man använder denna modul i Graf­ huset.

Glidande parameter – igen Om vi nu går till Rita Graf och matar in funktionen med tre parametrar enligt nedan och ställer in a = 2 och b = –1, får vi följande graf för k = 1. Det är då samma funktion som ovan. Ändra nu parametern k genom att dra i slitsen eller sätta på ”filmvisning. På vilket sätt ändras nu kurvan?

82

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in82 82

08-02-20 14.28.30

Repetition av kapitlets begrepp

Repetition av kapitlets begrepp Varje ord eller fras i vänstra spalten ska paras ihop med något som passar i högra spalten. a. Variabeln y är en funktion av variabeln x.

A. Definitionsmängd

b. Variabeln y beror linjärt av variabeln x

B. Symmetrilinje

c. En andragradsfunktions graf

C. y = f(x)

d. En rät linjes lutning

D. Ax + By + C = 0

e. De värden x kan anta

E. En andragradsfunktion

f. Den räta linjen på allmän form

F. f(x) = ax2 + bx + c

g. Medför att en rät linje är växande

G. Att lösa ekvationen f(x) = 0

h. Anger var den räta linje skär y-axeln. H. Riktningskoefficienten k i. De värden y kan anta

I. k > 0

j. En allmän andragradsfunktion

J. y = 8

k. Har alltid en max- eller minpunkt

K. Parabel

l. Exempel på en konstant funktion

L. Konstanttermen m

m. Att hitta en funktions nollställen

M. y = kx + m

n. Har andragrads- men ej förstagradsfunktioner

N. Värdemängd

bra ord att kunna på engelska zero slope linear function quadratic function parabola domain codomain linear system (of equations)

= = = = = = = =

nollställe lutning linjär funktion andragradsfunktion parabel definitionsmängd värdemängd ekvationssystem

83

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in83 83

08-02-20 14.28.31

Kapitel 2 Funktioner

Repetitionsövningar 2.149 En funktion y = f(x) är given i ett koordinat-

Mer om funktionsbegreppet

2.144 Ange definitionsmängd och värdemängd till

följande funktioner. a) y 4 2

2.150 Bestäm utan räknare följande värden till

x –4 –2

2

–2

system. a) Vad får man reda på om man beräknar f(0)? b) Vad får man reda på om man löser ekvationen f(x) = 0? funktionen f(x) = x100. a) f(0) b) f(–1)

4

c) f(100) 2

2.151 Vi har funktionen f(x) = x + 3x.

b)

a) Bestäm hur mycket funktionsvärdet ökar när x ökar från 2 till 3. b) Hur många procent ökar funktionsvärdet?

y 4 2 x –4 –2

2

2

2.152 Två funktioner är givna; f(x) = x och

4

–2

2.145 En funktion är given: f(x) = 5x – 7.

a) Bestäm f(4) b) Lös ekvationen f(x) = 28 c) Lös ekvationen f(x) = 0 4

3

g(x) = 5x – 1. a) Bestäm f(g(2)) genom att först bestämma g(2). b) Bestäm g(f(2)) genom att först bestämma f(2).

Linjära funktioner

2

2.146 Ange f(2) om f(x) = x + x + x + x.

2.147 Kostnaden K kronor för att hyra en bil hos

Biluthyrning AB ges av sambandet K(x) = 15x + 400, där x är antalet körda mil. a) Beräkna vad det kostar om man kör 30 mil. b) Beräkna K(7) och förklara vad det beräknade värdet står för. c) Beräkna hur långt man kan köra om man har råd att betala 1750 kr. d) Lös ekvationen K(x) = 2500 och förklarar vad det beräknade värdet står för.

2.153 Rita graferna till följande funktioner.

a) y = 2x – 5 c) y = 0,5x + 4

b) y = –x + 3

2.154 Ange de tre räta linjerna i figuren nedan på

formen y = kx + m. y

C

4 3

B

A

2 1

–4 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

4

–2 –3 –4

2.148 En funktion f(x) = 5x + 2 är given. Beräkna

a) f(3)

b) f(3 + 0,1)

c) f(x + h)

84

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in84 84

08-02-20 14.28.33

Repetitionsövningar

2.155 Ange rikningskoefficienten k och konstant-

termen m för följande funktioner.

2x a) y = –3x + 7 b) y = c) y = 8 5 2.156 Rita en linje som går genom punkten (2, 4)

och som har riktningskoefficient 1/2.

2.157 Bestäm skärningspunkterna mellan linjen

y = 4x + 6 och de båda koordinataxlarna.

2.158 Rita följande linjära funktioner.

a) y = 2x + 1 –2 ≤ x < 7 b) y = x + 1 –3 ≤ y ≤ 2 2.159 En provrör som innehåller 20 ml av en

vätska väger 64 g. Då man häller i 15 ml ytterligare, väger provröret med vätska 82 g.

Hur mycket väger själva provröret?

2.160 Kostnaden för att hyra film hos Frittes Film

under ett år, ges av funktionsuttrycket K(x) = 200 + 15x för den som betalt medlemsavgift. a) Förklara med ord vad uttrycket K(13) innebär. b) Förklara med ord vad ekvationen K(x) = 470 uttrycker.

2.161 Skriv följande räta linjer på formen

Ax + By + C = 0 där A, B, C är heltal. a) y = 0,6x – 2,2 b) y = –x – 2,3 2.162 Skriv följande räta linjer på formen

y = kx + m. a) 12x – 5y + 4 = 0 b) 7x – 10y = 0 2.163 Bestäm konstanten A, så att den räta linjen

Ax + 6y – 14 = 0 går genom punkten (2, –8).

Linjära ekvationssystem

2.164 Lös följande ekvationssystem med valfri

algebraisk metod 3x − 4 y = 0  4 x + 6y = 32 a)  b)   2x + 3y = 17 7 x − 10y = 15

2.165 Använd räknaren och lös följande ekvations-

system grafiskt.  y = −0, 5x + 3, 5 a)   y = 2, 5x − 5.5  y = 1, 73x − 4, 9 b)   y = −0, 68x + 5, 28 2x + 15y = 7 c)   x + 4 y = 14 2.166 Hitta på ett linjärt ekvationssystem som har

lösningen x = 2 och y = 5.

2.167 På en full restaurang finns bord för två, och

bord för fyra. Restaurangen som tar totalt 78 gäster, har allt som allt 28 bord. Hur många bord av var sort har restaurangen?

2.168 På ett tivoli kostar inträdet 40 kr för barn

och 120 kr för vuxna. Ett sällskap av vuxna och barn, totalt 37 stycken personer, betalade sammanlagt 2760 kr. Hur många barn och hur många vuxna var det i sällskapet?

Andragradsfunktioner

2.169 Bestäm utan några beräkningar, värdet av

f(19,5) om 3x2 f (x) = − 5,1875 och f(–19,5) = 280.

4 2.170 En rektangel har omkretsen 60 m. Beteckna

rektangelns ena sida med x meter och dess area med A m2. a) Ange en funktion för hur A beror av x. b) Bestäm rektangelns största area. c) Ange de mått rektangeln har, då dess area är som störst.

2.171 Ange om följande funktioner har en max-

eller minpunkt. a) y = 14x2 – 6x + 8 b) y = –0,3x2 + x c) y = –x + 5

6x + 2y = 18 c)  8x − 4 y = −6

85

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in85 85

08-02-20 14.28.37

Kapitel 2 Funktioner

2.172 Bestäm nollställena till följande funktioner,

och ta även fram funktionens max/minpunkt. a) f(x) = x2 – 7x b) y = –x2 + 10 c) y = 6x – 30 d) f(x) = 2x2 + 10x + 52

2.176 Identifiera graferna i figuren med följande

funktionsuttryck. f(x) = x2 – 9x + 14 g(x) = –x2 + 9x – 14 h(x) = 0,2x2 – 1,8x + 2,8

2.173 Bestäm grafiskt, dvs. med grafräknaren,

eventuella nollställen till följande funktioner.

34 x 16 a) y = x2 − + 15 15 b) y = x2 – 15x – 1000 c) y = 4x2 – 12x + 9

B

y A

x

2.174 Ange vilka av följande påståenden som är

sanna.

1. Man kan bestämma symmetrilinjen till en andragradsfunktion om man känner funktionens nollställen.

2. En andragradsfunktion har alltid en vertikal symmetrilinje.

3. Det räcker att känna till de två nollställena för att entydigt bestämma en andragradsfunktion.

4. Extrempunkten ligger alltid på symmetrilinjen.

5. Om en funktion saknar konstantterm, går den alltid igenom origo.

6. Om ena nollstället är negativt, kan man dra slutsatser om extrempunktens karaktär; max- eller minpunkt.

C

2.177 Två funktioner är givna;

f(x) = x(x – 2) och g(x) = –0,5x2 + 6x – 13,5 Gör en enkel skiss av funktionerna genom att först • bestämma respektive funktions nollställen • och därefter bestämma respektive funktions extrempunkt

2.178 Grafen i figuren är en parabel. Ange koordi-

naterna för punkten A. y (7,5, 6)

2.175 Ange symmetrilinjen till följande funktioner

a) y = 2x(x – 8) c) y = (x – 3)2

A x

b) y = x2 – 8x – 20

(3, 0)

86

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in86 86

08-02-20 14.28.38

blandade problem

Blandade problem 2.179 Ett äpple faller från ett träd. Äpplet höjd h

i meter över marken efter t sekunder ges (ungefär) av sambandet h(t) = 4 – 5t 2. a) Hur högt över marken befinner sig äpplet efter att ha fallit i en halv sekund? b) Hur högt över marken befann det sig vid tiden t = –1? c) Hur lång tid tar fallet?

2.180 Bestäm för vilka värden på konstanten B

som funktionen y = Ax2 – B, A > 0 a) har exakt ett nollställe b) har två nollställen c) saknar nollställen

2.184 Avgör utan att använda räknare, vilken av

de tre funktionerna nedan, som har den graf som visas i figuren. y = 2x3 – 0,5x2 + 1 y = x3 – 4x2 + 2 y = 0,5x3 – 2x2 y

x

2.181 Ange det fyrsiffriga tal som beskrivs nedan.

2.185 a) Beräkna vilken punkt på linjen

• Tusentalssiffran är tre mindre än tiotalssiffan • Tiotalssiffran är dubbelt så stor som hundratalssiffran • Siffersumman 24 • Entalssiffran är 7 2

x

2.182 Ekvationen 14 · 0,6 = 10x – x – 19 sak-

nar algebraisk lösning. Lös ekvationen med grafritande räknare.

2.183 Figuren beskrivs av funktionen

y = 0,05x2 – 245.

A

B

C

y = –2x + 10 som ligger närmast origo, och också hur långt bort från origo den ligger. b) Ta fram samma resultat på något annat sätt.

2.186 Hillevi har en spis där vredet till ugnen är

graderat 1–10. För att få reda på vad dessa inställningar motsvarar för temperaturer har hon kontrollmätt med ugnstermometer, och fått följande resultat: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 130° 155° 175° 190° 200° 215° 235° 250° 265° 280°

a) Vilket skulle du vilja säga är oberoende variabel respektive beroende variabel? b) Är sambandet mellan inställning och temperatur linjärt? c) Vad ska man ställa in ugnen på om man vill ha temperaturen 225º? d) Ta fram ett linjärt uttryck som du tycker att hyfsat beskriver ugnens uppförande.

Låt den streckade linje utgöra en x-axel.

Ange koordinaterna för punkterna A, B och C.

87

Tal&Rum S B - s 45-88 - Kap 2.in87 87

08-02-20 14.28.40

Matematik är mer än bara räkning! Det är även begrepp, resonemang, problemlösning och modellering – och inte minst ett utlopp för kreativitet i allmänhet.

Tal & R u m är en serie läroböcker i matematik som tar fasta på ämnets olika aspekter i syfte att ge eleverna en rikare upplevelse av matematiken och förbereda dem bättre inför vidare studier.

Författargruppen består av gymnasielärare, lärar­ utbildare och en matematikprofessor.

www.liber.se

tal & rum Mate mati k

tal & r u m

tal & rum

Ki m mo E r i ksson • lasse B e rg lu n d • M i kae l Jonsson • H i llevi Gave l

Best nr 47-01924-3 Tryck nr 47-01924-3

OMSLAG SpB.indd 1

S B

li b e r

S ABC 08-02-20 14.43.19