Kartläggning av matematikkunskaper för grundskolan
Madeleine Löwing
INNEHÅLL
INLEDNING
I denna handledning får du en orientering om vilka kunskaper som anses vara mest grundläggande inom matematik. Här finns även en kort beskrivning av skolmatematiken internationellt. Kartläggningsmaterialets syfte är att det med några få nyckeluppgifter ska vara möjligt att få reda på var en nyanländ elev, eller en för dig ny elev, befinner sig i sin matematiska utveckling.
Förkunskaperna är särskilt viktiga i ämnet matematik eftersom matematik är ett kumulativt, hierarkiskt, men inte linjärt, strukturerat ämne. För att en nyanländ elev ska få en bra start i matematikundervisningen i Sverige behöver den mottagande läraren veta vad eleven redan kan och vet inom matematik. Att undervisningen utgår från dessa kunskaper är av avgörande betydelse för elevens möjligheter att förstå och lära sig ett nytt innehåll. Bransford, Brown & Cocking (2000) menar att aktuell forskning är överens om att ny kunskap utvecklas genom att utgå från vad individen redan kan.
Se vad jag kan! testar främst kunskaper om begrepp och räknefärdigheter, alltså den verktygslåda som utgör grunden för elevens förmågor. Kraven på elevers kunskaper i matematik ser olika ut i olika länder och dessa kunskaper är dessutom kultur- och språkberoende. Det kan till exempel gälla hur talraden är uppbyggd språkligt, hur uppställningar ser ut, hur uträkningar görs och hur bråk uttrycks.
Det är viktigt att vara medveten om detta för att på bästa sätt kunna ta reda på vilka kunskaper eleven redan har och hur du som lärare kan stödja det fortsatta lärandet.
Tanken med det urval av uppgifter som finns i detta material är att du, genom att använda dem, relativt snabbt ska få en bild av elevens kunskaper. Om eleven ska kunna känna trygghet vid det kartläggande samtalet måste hen få möta matematikinnehållet på sina villkor, alltså på sitt modersmål eller tidigare skolspråk.
En tolk eller en matematikkunnig modersmålslärare bör därför närvara vid samtalet. Detta ger dig de bästa förutsättningarna att få en rättvis bild av elevens matematikkunskaper.
KOM IGÅNG MED KARTLÄGGNINGEN
Skapa de bästa förutsättningarna
Vid ett kartläggande samtal med en nyanländ elev gäller det att skapa möjligheter som gör att eleven kan och vågar visa sitt matematiska kunnande. Med utgångspunkt i den information om elevens kunskaper som samtalet ger kan sedan den fortsatta undervisningen planeras.
Den nyanlända eleven har genom den inledande muntliga kartläggningen getts möjlighet att visa sina aktuella kunskaper om och uppfattningar av viktiga begrepp. De begrepp eleven redan behärskar, alltså har utvecklat på modersmålet, brukar kunna överföras till ett andraspråk när detta är tillräckligt väl utvecklat.
När det gäller begrepp som ännu inte är färdigutvecklade på modersmålet är det däremot enligt Hyltenstam och Toumela (1996) mindre lämpligt att ge en undervisning på svenska: eleven bör i stället ges möjligheter att fortsätta sin kunskapsutveckling på modersmålet. Hyltenstam och Toumela menar vidare att det tar många år innan en person kan bygga upp begrepp på ett andraspråk. För att inte hindra elevens matematiska utveckling krävs det därför, till en början, en matematikundervisning med starkt stöd i form av studiehandledning på elevens modersmål. Att tillhandahålla en studiehandledning på modersmålet är en tvingande bestämmelse, vilket framgår av skolförordningens 5 kap. 4§ första stycket: ”en elev ska få studiehandledning på sitt modersmål, om eleven behöver det.” Läs mer i Skolverkets material Studiehandledning på modersmålet. De matematikkunskaper som eleven vid kartläggningen visat kan hen arbeta med tillsammans med sin klasslärare eller en lärare i svenska som andraspråk och då lära sig de matematiska begreppen på svenska genom en språkutvecklande undervisning.
Skapa en god inlärningssituation
Med utgångspunkt i den information som framkommer vid det inledande kartläggningssamtalet blir det möjligt att skapa en god inlärningssituation för den nyanlända eleven. Vid planeringen av denna undervisning är det centralt att känna till kulturen i det land eleven kommer ifrån och synen på skola och utbildning i det landet. Det är också viktigt att ha kunskap om hur matematik kommuniceras på elevens modersmål. För att underlätta lärandet på det nya språket är det lämpligt att synliggöra skillnader i språkliga uttryck, sätt att göra uträkningar etc. för eleven (Hammarberg, 2013). Vår erfarenhet visar att undervisningen och sättet att se på matematik beror mer på kulturen i landet än på det språk som används i undervisningen. Engelska, spanska och arabiska talas i många länder, men skolkulturen ser olika ut i de olika länderna, även i de fall där de använder samma skolspråk. I många länder förekommer flera olika
språk och flera kulturer parallellt. I en del länder har eleven ett modersmål, men när hen kommer till skolan sker undervisningen på ett annat språk. I dessa fall behöver eleven vid skolstarten alltså lära sig ett nytt språk som samtidigt också är undervisningsspråket.
De språkliga inkonsekvenser och de skiljaktigheter som gäller för talens namn blir naturliga för en elev som lärt dem på sitt modersmål och som fortsätter att bygga upp begrepp på detta modersmål. Det kan emellertid uppstå bekymmer när eleven tvingas byta undervisningsspråk och det förväntas att hen ska övergå till att kommunicera och bygga upp begrepp på ett andraspråk. Det är därför bra om du som lärare är medveten om, och synliggör, denna typ av kulturmöten för nyanlända elever och därmed underlättar övergången till de svenska räkneorden. Blir eleven medveten om dessa skillnader är det lättare att finna trygghet i sina matematikkunskaper.
Grundläggande räkning bygger på hur talen uttrycks i språket, vilket kan orsaka en del bekymmer vid byte av undervisningsspråk. För den elev som tidigare fått undervisning på sitt modersmål och därefter byter skolkultur tillkommer andra komplikationer. De förkunskaper eleven har med sig passar inte alltid ihop med de nya krav som ställs. En elev som i sitt hemland tillägnat sig förkunskaper i form av en subtraktionsuppställning som där används, kanske får bekymmer när hen möter en annan uppställning i det nya landet eller ska utöka sina kunskaper till ett nytt talområde.
Det finns således en hel del som bör beaktas vid den inledande matematikundervisningen av en nyanländ elev för att på sikt överbrygga konsekvenserna av ett byte av språk och kultur.
Urval av uppgifter
För att en nyanländ elev ska få en bra start i matematikundervisningen här i Sverige behöver den mottagande läraren veta vad eleven redan kan och vet inom matematik. Att konstruera ett diagnosverktyg som passar detta syfte är komplext och det är svårt att förutsäga vad som verkligen behövs. Under utvecklingsprocessens gång har vi därför fått göra olika ställningstaganden och vägval. Dessa vilar på vad som framkommit vid genomgång av internationell forskning och olika länders kursplaner. Tanken är att du med få uppgifter under ett matematiksamtal snabbt ska kunna bilda dig en första uppfattning om vad en nyanländ elev kan i matematik. Det handlar alltså om den verktygslåda som eleven behöver för att kunna utveckla sin problemlösningsförmåga och för att både kunna resonera om matematik och med hjälp av matematik. Uppgifterna i materialet hjälper dig att synliggöra innehållet i just den aktuella elevens verktygslåda. Kraven på elevers kunskaper i matematik ser olika ut i olika länder, men de olika kursplanerna har en gemensam kärna. Hur dessa grundläggande matematikkunskaper utformas och uttrycks är kulturoch språkberoende, något vi sett i våra studier. Grunderna avseende talsystem,
räknelagar och olika beräkningar är desamma, även om uppställningar och sättet att uttrycka sig varierar.
Det urval av uppgifter som finns i detta material är gjort så att du relativt snabbt ska få en bild av vilka kunskaper eleven har. För att eleven ska känna trygghet vid kartläggningssamtalet måste hen få möta ett relevant matematikinnehåll på sina villkor. På samma gång ska du få en rättvis bild av elevens matematikkunskaper. Det innebär också att de uppgifter som testas och diskuteras måste vara oberoende av den undervisningsmetodik som eleven tidigare mött. En konsekvens är då att elevuppgifterna i möjligaste mån formuleras utan kontext.
Vid urvalet av uppgifter är det också nödvändigt att ta hänsyn till matematikens speciella fackspråk. Det språk som används för att kommunicera matematik är speciellt, med ord och uttryck som har en helt annan precision och betydelse än liknande ord i vardagsspråket. Det blir en utmaning för den lärare som genomför diagnosen och för den tolk som eventuellt bistår, att möta eleven genom uppgifter uttryckta på elevens modersmål eller på det språk eleven fått undervisning på i skolan. Samtidigt krävs förmåga att förstå och uttrycka sig på ett adekvat matematikspråk.
Part of learning mathematics is learning to speak like a mathematician, that is, acquiring control over the mathematics register (Pimm, 1987).
För att undvika att språket hindrar möjligheten att se elevens grundläggande matematikkunskaper har vi valt att plocka ut centrala uppgifter, vilka är oberoende av kontext och där eleven förhoppningsvis kan beskriva en lösning så att du kan bedöma kunskapsnivån.
Språk- och kunskapsutveckling hör ihop och utveckling av individens tänkande sker utifrån social interaktion och språkanvändning. Har eleven inte tidigare getts möjlighet att uttrycka sig med matematiska termer, vilket i internationell jämförelse av undervisning inte är så vanligt, blir det svårt för eleven att uttrycka sig på ett korrekt sätt om matematiken. Att eleven har sådana språkliga brister innebär dock inte med nödvändighet att hen inte behärskar delar av matematiken eller inte har förstått matematiska samband.
Vi har därför valt ut uppgifter som belyser elevens faktakunskaper om ett innehåll som betraktas som centralt världen över. Denna typ av kunskaper är, om man utgår från relevanta uppgifter, relativt lätta att bedöma och de kan ge en god bild av den grund på vilken elevens matematikkunskaper vilar. Om du tar dessa kunskaper som eleven visar om begrepp och räknefärdigheter som utgångspunkt för att ställa följdfrågor, så får du en fördjupad bild av elevens matematikkunnande.
SÅ ANVÄNDER DU MATERIALET
Se vad jag kan! är ett material som kan användas vid ett inledande samtal för att snabbt kunna kartlägga hur långt en nyanländ elev kommit i sin kunskapsutveckling i matematik. Materialet kan med fördel även användas av speciallärare och klasslärare som vill ta reda på kunskapsnivån i matematik hos för dem nya elever.
Arabiska siffror och skrivriktning. Siffror och skrivriktning på Farsi.
Kartläggningsmaterialet består av 85 kort med uppgifter anpassade till grundskolans samtliga årskurser. Korten har en elevsida och en lärarsida. På elevsidan av kortet finns en matematikuppgift som eleven och du ska samtala om. På lärarsidan av samma kort finns frågor att ställa och tips om vad du ska uppmärksamma vid din bedömning av elevens kunskaper.
De flesta elever som har gått i skola har arbetat med matematik och då oftast med grundläggande färdigheter. Får eleven under ett lugnt samtal på sitt modersmål eller skolspråk visa sina kunskaper inom matematik, brukar detta kunna bidra till en god start. För att få bästa möjliga information om elevens matematikkunskaper är det lämpligt att kartläggningssamtalet genomförs av en matematikkunnig klasslärare eller speciallärare, med hjälp av en tolk eller av en matematikkunnig modersmålslärare.
De elever som inte har gått i skola har med stor sannolikhet en del informella matematikkunskaper. Små barn är av naturen nyfikna och försöker göra omvärlden begriplig. De upplever situationer som har med kvantitet att göra och ser tidigt relationer mellan dessa kvantiteter. Utifrån sina erfarenheter utvecklar de strategier för att lägga ihop, separera, jämföra och fördela. Sådana räkne- och modelleringsstrategier är universella och utvecklas intuitivt hos alla barn, oavsett bakgrund, i syfte att förstå och hantera sin omgivning. I dessa fall får du formulera egna frågor vid samtalet. Utgå till exempel från familjen och fråga om hur många syskon eleven har. Hur uttrycker eleven detta? Fråga vidare om saker i den omedelbara närheten som brukar kvantifieras, till exempel hur långt eleven hade till skolan och hur många kamrater hen hade.
Materialet testar de mest grundläggande matematikkunskaperna, med andra ord elevens verktygslåda. Som tidigare nämnts är en hel del av dessa kunskaper kultur- och språkberoende. Syftet med kartläggningssamtalet är i huvudsak formativt och ska ge underlag för planering av den inledande matematikundervisningen för eleven. Materialet fokuserar på begrepp och räknefärdigheter, vilka utgör de verktyg eleven behöver för att utveckla problemlösningsförmåga. Uppgifterna på korten hjälper dig att synliggöra innehållet i den aktuella elevens verktygslåda.
Se vad jag kan! är indelat i fyra områden, vilka är relaterade till det centrala innehållet i kursplanen för grundskolan.
• Aritmetik
• Rationella tal
• Geometri
• Algebra
Korten finns även med siffror på arabiska och farsi på elevsidan. Att få räkna med de siffror som eleven är van vid är avgörande för att hen ska kunna visa sina kunskaper.
Kartläggningsmaterialet är uppbyggt efter en matematisk struktur som är oberoende av undervisningsmetodik. Vid konstruktionsarbetet har vi tolkat det centrala innehållet i kursplanen för grundskolan. Genom didaktisk ämnesanalys av innehållet har vi kunnat skapa strukturscheman som beskriver den inbördes relationen mellan olika innehåll. De olika strukturschemana, ett för varje område, visar en förkunskapsstruktur. Denna synliggörs med hjälp av centrala uppgifter som testar de mest grundläggande kunskaperna.
Under rubriken Taluppfattning och tals användning i kursplanen för grundskolan finns innehåll som behandlar såväl de naturliga talen som de rationella talen. I detta kartläggningsmaterial har vi valt att lägga dessa uppgifter under två olika rubriker. Uppgifter som testar kunskap om och operationer med de naturliga talen, finns under rubriken Aritmetik. Uppgifter som testar kunskaper av tal i bråkform och tal i decimalform, finns under rubriken Rationella tal.
Under utvecklingsarbetet har lärare svarat på frågor om när de anser att eleven bör behärska de uppgifter som testas med hjälp av de olika korten. Svaren varierar en del, men det råder en relativt stor samsyn. Ett område inom vilket det råder stor konsensus är att eleverna ska behärska addition och subtraktion i talområdet 1–9 i slutet av årskurs 1. Du finner en ungefärlig årskurs kopplad till de olika korten. Läraren har viss frihet att arbeta med det centrala innehållet över årskurserna och läromedlen är olika uppbyggda, vilket påverkar när olika innehåll behandlas. Det vi emellertid med säkerhet kan uttala oss om är hur olika innehåll är relaterade till varandra.
Gör så här
Vid kartläggningen håller du kortet emellan dig och eleven under samtalet. Eleven ser uppgiften och du kan läsa instruktioner som stödjer samtalet och underlättar bedömningen av elevens kunskaper. Syftet med detta är att du lätt ska kunna komma ihåg vad som ska efterfrågas och uppmärksammas när det gäller just den uppgift som finns på kortet.
Nedan ser du exempel på en lärarsida. På elevsidan finns endast uppgiften, ingen text.
Löpnummer Stadium/nivå
Område
Uppgifterna med svar/lösning
Säg till eleven
Uppmärksamma
Språk
SE VAD JAG KAN!
Kartläggning av matematikkunskaper för grundskolan
KARTLÄGGNING I MATEMATIK
Se vad jag kan är ett kartläggningsmaterial för att snabbt ta reda på vilken matematisk nivå en nyanländ (eller för dig ny) elev befinner sig på. Materialet är utarbetat av Madeleine Löwing som har forskat såväl inom utvärdering av matematikkunskaper som inom språk och kultur i matematikundervisningen.
KORT OCH LÄRARHANDLEDNING
Materialet består av uppgiftskort samt en lärarhandledning med tillhörande digital del. Korten utgör utgångspunkt för ett matematiskt samtal med eleven. På ena sidan av kortet finns en matematikuppgift som eleven ska lösa. På baksidan av samma kort har du som lärare frågor och tips om vad du ska iaktta vid din bedömning.
Lärarhandledningen ger dig konkreta råd för att komma igång med materialet. I den digitala delen finns protokoll där du kan markera var eleven befinner sig i sin matematikutveckling. Där finns även utdrag ur Madeleine Löwings bok Kulturmöten i matematikundervisningen.
FOKUS PÅ GRUNDSKOLANS
CENTRALA INNEHÅLL
Materialet omfattar den grundläggande matematik som beskrivs i grundskolans centrala innehåll.
Se vad jag kan är avsett för kunskapskartläggning av nyanlända elever men kan med fördel användas av speciallärare och klasslärare som vill ta reda på nya elevers kunskaper.
