9789144161587

Flervariabelanalys för teknisk högskola

Håkan Blomqvist

Kopieringsförbud

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 45655

ISBN 978-91-44-16158-7

Upplaga 1:1

© Författaren och Studentlitteratur 2023 studentlitteratur.se

Studentlitteratur AB, Lund

Formgivning omslag: Jens Martin

Printed by Latgales Druka, Latvia 2023

Bokens målgrupp

Denna lärobok är den tredje delen av tre i en serie böcker som behandlar matematisk analys. Böckerna är avsedda att användas vid högskole- och civilingenjörsutbildningar och täcker det stoff som brukar ingå i grundkurserna vid teknisk högskola. Den tredje boken Flervariabelanalys för teknisk högskola är främst avsedd att användas som kurslitteratur för en flervariabelkurs i civilingenjörsutbildningen. De två första böckerna Envariabelanalys för teknisk högskola del 1 och 2, är lämplig kurslitteratur för två grundläggande kuser i envariabelanalys vid såväl civilingenjörs- som högskoleingenjörsutbildningarna. Stoffet är anpassat så att vissa (mer teoretiska) delar kan uteslutas för högskoleingenjörsutbildningar utan att sammanhanget går förlorat. Envariabelanalys del 1 behandlar logik, matematikens uppbyggnad, bevismetoder, elementär mängdlära, grundläggande analytisk geometri, funktionsbegreppet, exponentialfunktioner, hyperboliska funktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner, arcusfunktioner, gränsvärden, derivata med tillämpningar, högre derivator och konvexitet. Envariabelanalys del 2 behandlar primitiva funktioner, integralkalkyl med tillämpningar, komplexa tal, differentialekvationer med tillämpningar, talföljder, funktionsföljder, numeriska serier och funktionsserier. Av samme författare finns även läroboken Linjär algebra för teknisk högskola avsedd att användas för en grundkurs i linjär algebra.

Bokens innehåll

Kapitel 1 behandlar funktionsbegreppet i flera variabler, funktionsgrafer och nivåkurvor, rummet Rn , gränsvärden och kontinuitet. Kapitel 2 startar med att definiera partiella derivator, därefter behandlas kedjeregeln med tillämpningar på partiella differentialekvationer, riktningsderivata, gradient, tangentplan, funktionalmatris, funktionaldeterminant, differentialer och Taylors formel. Kapitel 3 ägnas åt extremvärdesproblem: lokala maxima och minima, största och minsta värde samt extremvärdesproblem med bivillkor.

Kapitel 4 behandlar dubbelintegraler, trippelintegraler och ytintegraler. Kapitel 5 ägnas åt båglängds- och kurvintegraler, Greens formel, exakta differentialformer och exakta differentialekvationer i R2. I kapitel 6 behandlas vektorfält, divergens och rotation, normalytintegraler, Stokes sats och Gauss divergenssats. Kapitel 7 handlar om krökning och torsion. Kapitel 8, som är bokens sista, innehåller en kort repetition av de viktigaste integrationsmetoderna i envariabelanalysen. Dessa behövs för att kunna tillgodogöra sig innehållet i kapitlen 3 6. Kapitlen 3 6 innehåller också ett stort antal tillämpningar.

Bokens utformning

Boken kan användas på olika sätt, beroende på kursens ambitionsnivå. Framställningen är matematiskt grundlig, definitioner ges för införda begrepp, satser formuleras med förutsättningar och fullständiga bevis genomförs. Boken är dock utformad så att man, för t.ex. högskoleingenjörsutbildningar, kan hoppa över svårare teoretiska moment. Varje kapitel i boken är uppdelat i ett antal avsnitt. De satser som behandlas har numrerats och ofta getts ett namn. Som exempel skall beteckningen ”Sats 6.2.1” utläsas som att satsen är den första sats som behandlas i kapitel 6, avsnitt 2. Särskilt viktiga definitioner är numrerade enligt samma princip. Ett nytt begrepp kan också definieras i löpande text och markeras då med fet stil. Efter de flesta avsnitt finns testuppgifter (markerade med T), som studenten bör försöka lösa direkt efter genomgånget avsnitt. Studenten får på så vis en uppfattning om hur väl det nyss genomgångna avsnittet har förståtts. Boken innehåller även ett stort antal övningsuppgifter (markerade med Ö) och utförligt lösta exempel, som ökar förståelsen av begrepp och teori. Facit till testuppgifter och övningsuppgifter finns i slutet av boken och innehåller inom klammer ledtrådar till lösningen av svårare uppgifter. Viktiga påpekanden och förtydliganden har införts under rubriken ”OBS!”. De kommentarer som inte är nödvändiga för huvudinnehållet, och kan förbigås om så önskas, har rubriken ”Anm.”.

Hur boken är tänkt att användas

Idealstudenten använder böckerna på följande sätt:

1. Förbered dig inför nästa föreläsning genom att läsa igenom motsvarande avsnitt i boken. Även om du inte förstår allt, underlättar det att ha sett stoffet en gång förut.

2. Efter föreläsningen repeterar du det som läraren gått igenom och studerar noggrant de lösta exemplen (markerade med Ex., följt av kapitelnummer och ordningsnumret för uppgiften inom kapitlet). Tecknet  markerar att redovisningen av exemplets lösning är avslutad.

3. Försök att lösa de testuppgifter (oftast placerade i slutet av ett avsnitt) som hör till det genomgångna avsnittet i boken, för att se om du har förstått texten och exemplen. Facit till testuppgifterna finns i slutet av boken (sid. 295 306) omedelbart före övningsuppgifterna. Kör du fast, finns vissa ledtrådar i facit.

4. Repetera stoffet i boken på motsvarande avsnitt och räkna de övningsuppgifter (sid. 307 344), som tillhör det avsnitt du nyss repeterat. Facit till övningsuppgifterna med vissa ledtrådar finns på sid. 345 374.

Förkunskapskrav

Lämpliga förkunskaper för flervariabelanalysen är de inledande kurserna i envariabelanalys och linjär algebra i civilingenjörsutbildningen. I bokens text refereras till följande böcker av Håkan Blomqvist, utgivna på Studentlitteratur:

[LA] Linjär algebra för teknisk högskola

[HB1] Envariabelanalys för teknisk högskola, del 1

[HB2] Envariabelanalys för teknisk högskola, del 2

OBS! För kunna att lösa test- och övningsuppgifterna i kapitlen 4 6 krävs att man behäskar de viktigaste integrationsmetoderna för enkelintegraler. För den student som inte har dessa aktuella finns en kortfattad genomgång i kapitel 8. Det rekommenderas alltså att studenten efter att ha gått igenom kapitel 3 går igenom kapitel 8. En fylligare framställning finns i HB2.

Att tänka på vid lösning av övningsuppgifter

Då man löser ett matematikproblem som inte är direkt knutet till någon tillämpning, skall alltid den exakta lösningen anges. Vid lösning av ett problem som är knutet till en tillämpning skall även närmevärden anges. Avrunda inte för tidigt eftersom avrundning i mellanräkningarna ger onödiga avrundningsfel, som förstoras då man successivt använder dessa värden i följande kalkyler. Det avrundade svaret ges lämpligen med lika många värdesiffror som mätvärdena har. Gör också till en vana att kontrollera dina svar eller att åtminstone göra en rimlighetsbedömning. I verkliga livet finns sällan något facit att konsultera. Det är också viktigt att du tränar på att räkna utan miniräknare. Vid, åtminstone inledande, högskoletentamina i matematik får man sällan använda vare sig miniräknare eller formelsamling. Det är också bra att ha en beredskap för att vissa problem kan ta relativt lång tid att lösa. Många nya studenter, som är ovana vid högskolestudier, lever i tron att matematikproblem skall kunna lösas på kort tid.

Tillkännagivanden

Delar av stoffet utges med tillstånd av Matematiklitteratur i Göteborg.

Göteborg i februari 2023

Håkan Blomqvist

Författaren och Studentlitteratur v

Eftersom grekiska bokstäver ofta används som symboler i matematiken följer nedan en förteckning över de grekiska bokstäverna.

GREKISKA ALFABETET

KAPITEL 1. FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER

1.1. Definition av begreppet funktion

I de flesta tekniska och naturvetenskapliga problemställningar finner man samband mellan de variabler som förekommer. Inledande högskolekurser i differential- och integralkalkyl behandlar i huvudsak den ”enklaste” typen av samband, dvs. när man har en variabel, vanligen kallad y, som på något sätt beror av en annan variabel, vanligen kallad x. Under vissa betingelser säger man att y är en funktion av x. Detta skrivs ofta y = f (x), där f (x) är en regel som anger hur funktionsvärdet y skall beräknas då man känner värdet av x. I tillämpningar inom fysik och teknik träffar högskolestudenten emellertid snart på problem där storheter beror av flera variabler. Det finns alltså behov av en differential- och integralkalkyl för funktioner av flera variabler. För att kunna utveckla dessa kalkyler behövs till att börja med en definition och utvidgning av funktionsbegreppet. Vi börjar med att repetera och generalisera den definition som gavs i envariabelkursen.

Definition 1.1.1. BEGREPPET FUNKTION

Låt X och Y vara mängder vars element kallas punkter. Med en funktion f: X  Y menas en relation som till varje punkt P i en delmängd A   till X ordnar precis en punkt Q i Y

Punkten Q kallas värdet av f i punkten P och betecknas f (P).

Mängden A består av alla punkter P för vilka f (P) existerar och kallas definitionsmängden för f, vilket skrivs A = Df.

Mängden av alla funktionsvärden till f kallas värdemängden för f och betecknas Vf. Vi skriver Vf = {Q: Q = f (P)}.

och

Figur 1.1.1 Illustration till definitionen av begreppet ”funktion”.

OBS! Ändras någon av mängderna A och Y får man en annan funktion g, även om funktionsvärdena för f respektive g beräknas med samma regel. Om Dg  Df sägs g i detta fall vara en restriktion av f, medan f sägs vara en utvidgning av g.

Det generella funktionsbegreppet kan inte utan vidare användas i kalkyler. För att utveckla en differential- och integralkalkyl måste punkterna i X och Y beskrivas med tal, som kan vara reella (som i denna bok) eller komplexa.

Vi säger att R1 = R är mängden av alla reella tal. Denna mängd kan identifieras med punkterna på en rät linje.

R2 } , : ) , {( R ∈ = y x y x är mängden av alla reella talpar (x,y). Denna mängd kan genom ett koordinatsystem identifieras med punkterna i ett plan.

R3 } , , : ) , , {( R ∈ = z y x z y x är mängden av alla reella taltripplar (x,y,z). Denna mängd kan genom ett koordinatsystem identifieras med punkterna i rummet.

Rn },,,:),,,{( 21 21 R ∈ = n n xxxxxx   är mängden av alla reella n-tiplar ).,,,(21 n xxx  För n > 3 har man ingen geometrisk tolkning.

Vi kommer här att behandla fallen X = Rn och Y = Rm, och då i huvudsak

X = R2 eller X = R3 och Y = R där man kan konkretisera framställningen genom en geometrisk tolkning. Ibland är det dock praktiskt att använda Rn för att ge en gemensam framställning av fallen X = R2 och X = R3.

[Den läsare som tycker att Rn känns för abstrakt, kan i stället tänka sig att

X = R2 eller X = R3.] I några fall,och speciellt i kapitlen 6 och 7, används

Y = R2 eller Y = R3 (vektorvärda funktioner).

Ex. 1.1. Temperaturen T på ytan av en plan metallplatta varierar med läget, som man behöver två rumsvariabler för att beskriva (ofta kallade x och y), och tidpunkten för mätningen, som ofta beskrivs med variabeln t. Detta skrivs T = f (x,y,t), som är en reellvärd funktion av tre variabler, f : R3 R .

Temperaturen U i ett rum varierar med läget i rummet, som man behöver tre rumsvariabler för att beskriva (ofta kallade x,y och z), och tidpunkten t för mätningen. Detta skrivs U = g(x,y,z,t), som är en reellvärd funktion av fyra variabler, g: R4 R. 

Ex. 1.2. Hastighetsvektorn i en vätskeströmning varierar oftast från punkt till punkt i vätskan och varierar även med tiden. Hastighetsvektorn är en vektorvärd funktion v(x,y,z,t) = (vx (x,y,z,t), vy (x,y,z,t), vz (x,y,z,t)) av 4 reella variabler. Detta kan skrivas v: R4 R3. 

Ex. 1.3. En kurva i rymden beskrivs av ekvationen r(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) (i enkla fall) där t är en reell variabel som kallas parameter. Det enklaste exemplet (se LA, sid. 133), är den räta linjen i rummet, som har ekvationen (x1(t), x2(t), x3(t)) = (xo + tvx, yo + tvy, zo + tvz). Vi skriver r: R R3. 

Ex. 1.4. Det finns även behov av att kunna behandla fler än fyra variabler. Ofta får man vid vetenskapliga experiment ett antal mätvärden x1,..., xn som skall bearbetas statistiskt. Man är bland annat intresserad av mätvärdenas medelvärde och standardavvikelse, som då båda är reellvärda funktioner av n variabler ( f : Rn R). 

Ovanstående exempel visar att det finns ett behov av en differential- och integralkalkyl för funktioner av flera variabler.

1.2. Funktionsgrafer och nivåkurvor

För en funktion f : R R kan mängden av alla punkter (x, f (x)) plottas i ett tvådimensionellt koordinatsystem och bildar då (i enkla fall), en kurva som kallas grafen till funktionen f. Detta har behandlats i gymnasiets senare matematikkurser och i envariabelkursen på högskolan. Grafen till f är alltså en punktmängd Gf i R2 som definieras: Gf = {(x,y): x  Df, y = f (x)}.

För en funktion f : R2 R kan mängden av alla punkter (x, y, f (x,y)) plottas i ett tredimensionellt koordinatsystem och bildar då (i enkla fall), en yta som kallas grafen till funktionen f. Grafen till f är alltså i detta fall en punktmängd Gf = {(x,y,z): (x,y)  Df, z =f (x,y)} i R3.

Figur 1.2.1 Grafen till funktionen z = f

x, y).

Ex. 1.5. Ekvationen Ax + By z + D = 0, där A, B och D är godtyckliga konstanter, betyder geometriskt ett plan med normalvektorn n = (A, B, 1). (Se LA, sid. 139 140!) Grafen till funktionen z = f(x,y) = Ax + By + D är alltså planet {(x,y,z): (x,y)  R2, z = Ax + By + D}. 

Grafen till en funktion f : R2 R illustreras vanligen genom att man ritar dess skärningar med lämpliga plan.

9 1 2 49 1 yx yxfz −−==

Ex. 1.6. Rita grafen till funktionen . 14),(

Lösning: Vi får en god bild av hur funktionens graf ser ut genom att skära grafen med planen x = 0, y = 0 och z = 0.

En sammanslagning av ovanstående grafer ger

Ett annat sätt att grafiskt åskådliggöra en funktion f: R2 R är genom nivåkurvor. Denna metod har fördelen att den inte kräver en tredimensionell avbildning. Nivåkurvorna till funktionen z = f (x,y) får man genom att låta z anta olika konstanta värden. En nivåkurva till funktionen z = f (x,y) är alltså en kurva med ekvationen f (x,y) = C där C är en konstant. Observera att en nivåkurva nödvändigtvis inte är sammanhängande, utan den kan bestå av två eller flera ”delkurvor”. En samanhängande nivåkurva är en kurva i xy-planet som binder samman punkter med funktionsvärdet C. Man kan säga att nivåkurvorna bildar en karta i planet, som ger en god uppfattning om hur funktionsvärdena varierar. Ett praktiskt exempel på nivåkurvor är höjdlinjer på topografiska kartor, medan ett annat är isobarer och isotermer på väderkartor som beskriver lufttrycket respektive temperaturen.

Ex. 1.7. Bestäm nivåkurvorna till funktionerna

a) 22 ),(yxyxf += och b) xy y x g = ) , ( .

Lösning: a) Eftersom 0 22≥+yx för alla x och y följer att Df = R2.

Nivåkurvorna har ekvationen . 22Cyx=+ För C < 0 existerar inga nivåkurvor, eftersom22≥+yx C = 0 ger origo (0;0). Kvadrering ger ekvationen222 Cyx=+ som för C > 0 geometriskt betyder cirklar med centrum i origo och radien C. 22 ),(yxyxf +=

. 22Cyx=+

b) Eftersom inga inskränkande villkor finns i g(x,y) = xy gäller att Dg = R2 Nivåkurvorna har ekvationen xy = C. C = 0 ger (x = 0)(y = 0). För C  0 är nivåkurvorna en skara hyperbler med ekvationerna . / x C y = xyyxg = ),(

Nivåkurvorna

Nivåkurvorna ./ xCy = 

För en funktion f : R3  R kan mängden av alla punkter (x, y, z, f (x,y,z)) inte plottas i ett fyrdimensionellt koordinatsystem, eftersom vi som tredimensionella varelser saknar geometrisk uppfattning i fyra dimensioner.

Vi kan däremot studera funktionens nivåytor f (x,y,z) = C i R3 , som ger en viss uppfattning om funktionens utseende.

1.3. Rummet Rn

Låt ),,,(21 n xxx  = x , där R ∈ n xxx,,, 21  beteckna ett element i Rn

n-tipeln (x1, x2,  , xn) kallas ibland punkt och ibland vektor (ortsvektorn till punkten), beroende på hur man vill att läsaren skall föreställa sig elementet geometriskt. För att undvika missförstånd använder man ibland semikolon mellan elementen i stället för komma, då n-tipeln skall tolkas som en punkt.

I kursen i linjär algebra visades att R3 kan åskådliggöras geometriskt som punkter (alternativt vektorer) i rummet enligt nedanstående figur.

Låt n Ryx ∈ , och R ∈ t . Med ledning av terminologin i R3, införs följande beteckningar och operationer i Rn

nn yxyx + + = +  yx (addition)

n txtxt  = x (multiplikation med skalär)

)

(normen, beloppet) av vektorn x)

Figur 1.3.1 Ortsvektorn x  R3 avsatt från origo till punkten P i ett ON-system.

Avståndet mellan punkterna x och y definieras genom 2 2 )()(11 ),( nnyx yx d −++−=−=  yxyx [ För n = 2 erhålls den från gymnasiet välkända avståndsformeln

i planet: 2 22 2 )()(11yxyxd−+−= och för n = 3 den från linjära algebran förhoppningsvis lika välkända avståndsformeln i rummet: .)()()( 3 33 2 22 2 11 yxyxyxd −+−+−= ] yx yx • = arccos θ definierar vinkeln mellan x och y om 0 y x ≠ , . x och y sägs vara ortogonala 0

Ex. 1.8. )2 5,1, 2, ( = u och

3, ( = v är två vektorer i R4.

Visa att vektorerna u och v är ortogonala.

Lösning:

(normen av u) har följande egenskaper:

Sats 1.3.1. EGENSKAPER FÖR NORMEN I R3.

N2. uu tt = , R ∈ t

N3. vuvu ≤ • (Cauchy-Schwarz olikhet)

N4. vuvu + ≤ + (Triangelolikheten)

Bevis:

N1 är klar direkt och N2 lämnas som övning.

N3. Om v = 0, är båda leden 0 så N3 gäller. Antag att v  0.

KAPITEL 1. FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER

så att Cauchy-Schwarz olikhet är klar direkt för geometriska vektorer. I Rn rättfärdigar Cauchy-Schwarz olikhet vår definition:

För 0 x ≠ kan vi normera vektorn x (ge x längden 1), genom att multiplicera x med skalären x /1, eftersom x e t = är en enhetsvektor xN2xe

t )( 1 varav, för t > 0, x x /11 = 

⋅ t t .

Ex. 1.9. Normera vektorn 2). 5,1, 2, ( = u

Lösning:

344125421)5(2 2222

Svar: Normering av u ger enhetsvektorn)2,1,5,2( 34 1 .

1.4. Topologi i Rn

Vi kommer att behöva några grundläggande topologiska begrepp; till att börja med begreppet omgivnin g. [Topologi är den gren inom den moderna matematiken, som handlar om beständiga egenskaper hos föremål som kan böjas, vridas och deformeras: ”Geometri utan mått”.]

I envariabelkursen formulerades följande definition: Det öppna intervallet (a δ , a + δ) kallas en omgivning till talet a. Oftast räknar man inte in själva talet a i omgivningen av a. Man får då en så kallad punkterad omgivning av a. Att talet x tillhör en punkterad omgivning av a kan preciseras genom att man skriver

Definition 1.4.1. OMGIVNING I Rn

Figur 1.4.1 Punkterad omgivning av a

.

KAPITEL 1. FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER

En punkterad omgivning skrivs } 0:{ δ < < axx

Vi studerar några viktiga specialfall av definition 1.4.1. n = 1 (dvs. a  R):

111 δ <− = axx U (ett intervall)

med definitionen i envariabelkursen.

= 2 (dvs. a  R2):

)()()(11 axaxax ax

Med hjälp av begreppet omgivning kan vi formulera föjande definition.

Definition 1.4.2. INRE, YTTRE OCH RANDPUNKT

Låt mängden M  Rn. En punkt a  Rn kallas

1. inre punkt i M, om det finns en omgivning till a som helt ligger i M.

2. yttre punkt till M, om det finns en omgivning till a som inte har några punkter gemensamma med M.

3. randpunkt till M, om varje omgivning till a innehåller minst en punkt som ligger i M, och minst en punkt som inte ligger i M

OBS! Varje punkt i Rn tillhör, med avseende på mängden M, precis en av kategorierna 1, 2 eller 3 i definition 1.4.2.

Ex. 1.10. Karakterisera punkterna51 P,,P  i figuren nedan.

P1 är en inre punkt. P2 och P3 är yttre punkter. P4 och P5 är randpunkter. 

Definition 1.4.3. KARAKTERISERING AV MÄNGDER

1. Mängden av alla randpunkter till en mängd M kallas randen av M och betecknas M.

2. M kallas sluten om M innehåller alla sina randpunkter.

3. M kallas öppen om M inte innehåller någon av sina randpunkter.

Ex. 1.12. Låt 2}. 0 : { < ≤ = x x M

Alla x sådana att 2 0 < < x är inre punkter. M = {0,2}.

Eftersom randpunkten 0  M är M inte öppen , och eftersom randpunkten

2  M är M inte sluten. M är alltså varken öppen eller sluten.

Alla x sådana att 2) ( 0) ( > ∨ < x x är yttre punkter. 

Ex. 1.13. Visa att cirkelskivan}:{ δ < = xxM är en öppen mängd.

Bevis:

Vi skall visa att varje punkt i M är en inre punkt till M.

Varje M a ∈ har en omgivning } :{ aaxxU < = δ , ty δ < a

För aax < δ ger triangelolikheten att δ δ = + < + ≤ + = aaaxaaxax )(

varför x  M. Varje M a ∈ har alltså en omgivning M U ∈ som helt ligger i M. a är därmed en inre punkt till M. VSB

Komplementet CM till mängden M  Rn definieras genom

CM = {x  Rn: x  M}.

a  Rn är alltså en yttre punkt till M om det finns en omgivning till a som helt ligger i CM.

I följande exempel ställs en fråga vars svar du kanske inte intuitivt kan inse.

Ex. 1.14. Vad är M då }? , : ) , {( Q Q M ∈ ∈ = y x y x [Q är mängden av alla rationella tal.]

Lösning:

Låt a vara en godtycklig punkt i R2.

Varje omgivning till a innehåller såväl punkter ur M som punkter ur CM, dvs. alla punkter i R2 som har irrationella koordinater.

a måste alltså vara en randpunkt till M, varför M = R2. 

Definition 1.4.4. BEGRÄNSAD MÄNGD

En mängd M  Rn är begränsad om det finns något tal R, sådant att R ≤ x för alla x  M.

Definition 1.4.5. KOMPAKT MÄNGD

En mängd M  Rn är kompakt om M är sluten och begränsad.

Definition 1.4.6. BEGRÄNSAD FUNKTION

En funktion f är begränsad om dess värdemängd Vf är begränsad.

En funktion f är begränsad på en mängd A  Df om mängden f(A) = {f(x): x  A} (bilden av A i R m) är begränsad.

C är sluten eftersom C  C. (Se figur i ex. 1.11.)

C är även begränsad eftersom

Ex. 1.16. Klotet n RaxxK⊂≤−=}r:{ är kompakt.

K är sluten eftersom K .}r:{ Kaxx

= =

K är även begränsad eftersom, för varje x  K,

Ex. 1.17. Funktionen x x f sin ) ( = är begränsad.

1.5. Begreppet ”gränsvärde då x går mot a”

Gränsvärdesdefinitionen för funktioner f: Rn Rm är nästan identisk med den definition som gjordes för funktioner f: R R i envariabelkursen. Det enda nya som behövs är att ersätta vårt gamla avståndsbegreppax i R med det nya generaliserade avståndsbegreppetax i Rn.

Definition 1.5.1. GRÄNSVÄRDE DÅ x  a

Antag att funktionen f: Rn Rm har definitionsmängden Df och att a är en inre punkt eller randpunkt till Df.

f sägs då ha gränsvärdet G då x går mot a, om det till varje givet tal 0 > ε finns ett tal 0 > δ sådant att

0()( ε δ <− 

Gxf ax Dx f

Vi skriver kortare G x f → ) ( då a x → ellerGxf ax = → )(lim

Anm. 1. Löst uttryckt betyder definitionen av

”f(x) har gränsvärdet G då x går mot a” att

f(x) ligger ”godtyckligt nära” G för alla x som är ”tillräckligt nära” a.

Anm. 2. Tillägget x  Df i definitionen behövs för att klara av de fall där Df inte innehåller någon punkterad omgivning av a, men där i varje punkterad omgivning av a finns x  Df . Ett exempel är

xyyxf = ),( med Df = {(x, y): xy  0},

dvs. Df är första och tredje kvadranten i R2 inklusive koordinataxlarna. Varje cirkelskiva med centrum i origo innehåller punkter från andra och fjärde kvadranterna i R2. Dessa punkter tillhör inte Df

Anm. 3. Gränsvärdesdefinitionen tillhör de (få) matematiska definitioner, som inte är standardiserade. I vissa framställningar används inte punkterade omgivningar, dvs. villkoret δ < <ax 0 är ersatt av .δ < ax

Den läsare som tycker att abstraktionsnivån höjs för mycket genom att vi, för att få en så generell definition som möjligt, även betraktar vektorvärda funktioner f(x) = (f1(x), , fm(x)), kan trösta sig med att det egentligen räcker att undersöka gränsvärdet för varje komponent fi : Rn R var för sig.

Sats 1.5.1. GRÄNSVÄRDE FÖR KOMPONENTFORMEN

Gränsvärdesreglerna för funktioner av en variabel (HB1, sid. 143) kan enkelt visas

KAPITEL 1. FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER

När man skall undersöka om funktionen f har ett gränsvärde då (x,y)  (a ,b), kan man börja med att närma sig (a ,b ) längs ett par olika enkla kurvor, t.ex. räta linjer. Restriktionen av f till en sådan kurva är en funktion av en variabel. Om två sådana envariabelfunktioner ger olika gränsvärden är det direkt klart att f inte har något gränsvärde då (x

alla värden på k. Detta betyder att gränsvärdet är 0 om det existerar, men garanterar inte att gränsvärdet verkligen existerar. Vi måste alltså genomföra en noggrannare undersökning.

+ motiverar ett byte till polära koordinater

OBS! Exempel 1.19. c visar att det vid gränsvärdesproblem inte räcker att studera funktioners variation på räta linjer.

1.6. Begreppet ”gränsvärde då x går mot oändligheten”

Definition 1.6.1. GRÄNSVÄRDE DÅ x 

Vi säger att ) ( x f har gränsvärdet G då x går mot oändligheten om det till varje givet tal 0 > ε finns ett tal ω sådant att

Gränsvärdesdefinitionen ovan för funktioner f: Rn Rm är identisk med den definition som gjordes för funktioner f: R R, så när som på ett generellare avståndsbegrepp. Räknereglerna för gränsvärden till funktionen f: R R från envariabelkursen gäller

1.7. Kontinuitet

Definition 1.7.1. KONTINUITET

Antag att funktionen f: Rn Rm har definitionsmängden Df och att a  Df. Om

säger vi att funktionen f är kontinuerlig i punkten a Om funktionen f är kontinuerlig i alla punkter i Df, säger vi att f är en kontinuerlig funktion.

OBS! Villkoret ) ( ) ( a f x f → då a x → i definition 1.7.1 formuleras ofta: 0 a f h a f → + ) ( ) ( då 0 h → .

Om a  Df och funktionen f inte är kontinuerlig i punkten a säger man att f är diskontinuerlig i punkten a. [Om a  Df är det meningslöst att över huvudtaget diskutera vilka egenskaper f har i a .]

En vektorvärd funktion ))(,),(()( 1 xxxf m ff  = är kontinuerlig om, och endast om, varje komponent ,,,1),(mif i  = x är kontinuerlig.

Ränereglerna för gränsvärden ger att summan, skillnaden, produkten, kvoten och sammansättningen av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig.

Ex. 1.21. a) Visa att funktionen )ln(),(222 yxyyxf+= är kontinuerlig.

b) Kan funktionen utvidgas till att bli kontinuerlig på hela R2?

Lösning:

a) Eftersom 0 22≥+yx och )0()0(0 22 =∧=⇔=+yxyx gäller att )}.0,0(),(:),{( ≠ = yxyx f D

Från envariabelkursen vet vi att22 , yx och t ln är kontinuerliga funktioner, varför summan22 yx + är kontinuerlig. Därmed är även sammansättningen )ln( 22 yx + kontinuerlig. Eftersom en produkt av kontinuerliga funktioner

är kontinuerlig, följer att )ln(),(222 yxyyxf+⋅= är kontinuerlig. VSB

b) Övergång till polära koordinater ger 0ln coslncos)ln(),(222222222 →⋅=⋅=+=rrvrvryxyyxf då . 0 + → r

8.4.2 HB1, sid. 253).]

f kan alltså utvidgas till

+ = )0,0(),(då 0 )0,0(),(då)ln( ),( 222 yx yx yxy yxg

som är kontinuerlig på hela R2. 

Följande viktiga sats är en generalisering av en sats från envariabelkursen.

Sats 1.7.1.

Om en funktion f : Rn R är kontinuerlig på en kompakt

punktmängd E  Df, så är f begränsad på E

(dvs. bilden f (E) = {f (x ): x  E} är begränsad).

f (E) är också sluten och därmed kompakt.

Ett bevis i fallet f : R R finns i appendix i HB1 (sats 10.4.1, sid. 294).

Vi behöver också repetera några definitioner från del 1.

Ett tal K kallas en majorant till mängden M om x  K för alla x  M.

Ett tal k kallas en minorant till M om x  k för alla x  M.

Om M har en minsta majorant G, kallas G supremum för M.

Om M har en största minorant g , kallas g infimum för M.

Beteckningar: G = sup M respektive g = inf M.

Vi har nu verktygen för att definiera begreppen största och minsta värde.

Definition 1.7.2. STÖRSTA OCH MINSTA VÄRDE

Låt E  Df där f är en funktion f : Rn R.

Om talmängden f (E) = {f (x ): x  E} är begränsad uppåt definieras supremum för f (x) på E, genom

}:)(sup{)(sup)(sup Exx E x Ex ∈ = = ∈ f ff .

Analogt definieras infimum för f (x) på E, genom

}:)(inf{)(inf)(inf Exx Ex Ex ∈ = = ∈ fff .

Om )()(sup ax Ex ff = ∈ för någon punkt a  E

kallas ) (a f för f:s största värde på E.

Om )()(inf bx Ex ff = ∈ för någon punkt b  E

kallas ) (b f för f:s minsta värde på E.

I det ofta förekommande specialfallet E = Df brukar man kortare skriva:

”sup f (x)”, ”inf f (x)” eller f:s ”största värde”, ”minsta värde”.

Följande generalisering av en viktig sats i envariabelkursen behövs när vi skall studera optimeringsproblem i kapitel 3.

Sats 1.7.2. SATSEN OM STÖRSTA OCH MINSTA VÄRDE

Om en funktion f : Rn R är kontinuerlig på en kompakt punktmängd E  Rn så finns det i E punkter a och b sådana att

)(sup)( x a Ex ff ∈ = och )(inf)( xb Ex ff ∈ = .

Ett bevis i fallet f : R R finns i appendix i HB1 (sats 10.4.2, sid. 295).

En öppen punktmängd   R2 kallas (bågvis) sammanhängande om två godtyckliga punkter p och q i  kan sammanbindas med en kontinuerlig kurva helt belägen i . Ett exempel på en mängd som inte är sammanhängande är {(x,y): , x < 1, x > 2}.

Definition 1.7.3. OMRÅDE

Ett öppet område  är en sammanhängande öppen punktmängd i R2.

Ett slutet område  består av ett öppet område  och dess rand .

Ett område är en punktmängd i R2, som är antingen ett öppet område, ett slutet område eller ett öppet område och delar av dess rand.

Ex. 1.22. Exempel på på öppna områden i R2 är punktmängderna

}0:),{( > = xyx1  (ett halvplan),

},:),{(dycbxayx < < < < = 2  (en rektangelyta) och

})()( :),{( 22 2 rbyaxyx<−+− = 3  (en cirkelskiva).

Exempel på slutna områden i R2 är punktmängderna

}0:),{( ≥ = xyx1  , },:),{(dycbxayx≤≤≤≤ = 2  och

})()(:),{( 22 2 rbyaxyx≤−+− = 3  .

Exempel på områden i R2 som varken är öppna eller slutna är

)}0()0(:),{( > ∧ ≥ = yxyx 1 D och },: ),{( dycbxayx < ≤ < ≤ = 2 D . 

Testuppgifter till kapitel 1

T1.1. Rita graferna till funktionerna

a) 22 1),(yxyxf −−= b) yyxg −= 1),( c) y x y x h = 1 ) , (

T1.2. Rita nivåkurvorna till funktionerna i testuppgift T1.1

T1.3. Beräkna i rummet R4

a) avståndet mellan punkterna 3) 1; 4; (1; P = och 3) 2; 2; (0; Q = ,

b) vinkeln mellan vektorerna u = (1,1,1,1) och v = (1,0,2,2).

T1.4. Vilka av nedanstående punktmängder71 MM i xy-planet är

a) öppna b) slutna c) begränsade d) öppna områden

e) slutna områden f) områden?

22

T1.5. Figuren på nästa sida (sid. 22) visar en del av grafen till funktionen 24

2 ),( yx yx yxf + = .

a) Avgör med hjälp av grafen till f (se figuren på nästa sida), om f har ett gränsvärde då 0,0). ( ) , ( → y x

b) Visa att 0 ) , ( → y x f om ) 0,0 ( ) , ( → y x längs en godtycklig rät linje genom origo (y = kx). Medför detta att 0 ) , ( → y x f då ) 0,0 ( ) , ( → y x ?

c) Visa att 2 1 ),( → yxf om ) 0,0 ( ) , ( → y x längs parabeln , 2 xy = och övertyga dig om att detta stämmer med grafen till ) , ( y x f .

Håkan Blomqvist är civilingenjör och teknologie doktor i matematik. Han har som universitetslektor i matematik vid Chalmers tekniska högskola fått en omfattande erfarenhet av undervisning på såväl högskole- som civilingenjörsutbildningar. Dessa erfarenheter ligger till grund för denna bok. Författaren är en mycket omtyckt föreläsare och har genom åren erhållit flera pedagogiska priser.

Flervariabelanalys för teknisk högskola

Boken är den tredje i en serie om tre (tillsammans med Envariabelanalys för teknisk högskola, Del 1 och 2) och omfattar de områden som brukar tas upp i flervariabelkurser vid tekniska högskolor: funktionsbegreppet i flera variabler, funktionsgrafer och nivåkurvor, rummet R n , gränsvärden och kontinuitet, partiella derivator, kedjeregeln med tillämpningar på partiella differentialekvationer, riktningsderivata, gradient, tangentplan, funktionalmatris, funktionaldeterminant, differentialer, Taylors formel, lokala maxima och minima, största och minsta värde, extremvärdesproblem med bivillkor, dubbelintegraler, trippelintegraler, ytintegraler, båglängds­ och kurvintegraler, Greens formel, exakta differentialformer, exakta differentialekvationer i R 2 , vektorfält, divergens och rotation, normalytintegraler, Stokes sats, Gauss divergenssats, krökning och torsion. Boken innehåller ett stort antal utförligt lösta exempel, tillämpningar och övningar, vilket bidrar till ökad förståelse av såväl begrepp som teori.

Böckerna i serien är avsedda för både högskoleingenjörs­ och civilingenjörsutbildningar och är upplagda så att man kan välja att hoppa över mer krävande teori utan att sammanhanget går förlorat.