9789144159218

VARIABEL A1

Elevpaket – Digitalt + Tryckt

Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.

ELEVBOK

I Variabel behandlas olika matematiska områden. Efter en kortare introduktion följer en serie problemlösningsuppgifter som alla ger en variation av samma princip för att lösa problemet samtidigt som eleverna successivt leds fram till nya begrepp eller nya metoder.

DIGITALT LÄROMEDEL

Materialet innehåller bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna. Till varje avsnitt i finns också en kort filmad introduktion.

FilmerDigital version av boken, inläst med autentiskt tal och textföljning

Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon

klicka på bilden och prova

Studentlitteratur AB

Box 141

221 00 LUND

Besöksadress: Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

Bilder: Sid. 14: Bert Bastias/Shutterstock.com

Sid. 23: Paul2015/Shutterstock.com

Sid. 51: aimpol buranet/Shutterstock.com

Sid. 58: Stefano Chiacchiarini '74/Shutterswtock.com

Sid. 8, 23u, 27, 34u, 49: Vectorstock.com

Övriga bilder: Shutterstock.com

Kopieringsförbud

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Det är ett engångsmaterial och får därför, vid tillämpning av Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, överhuvudtaget inte kopieras för undervisningsändamål. Inte ens enstaka sida får kopieras, dock får enstaka fråga/övning kopieras för prov/skrivning. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 45075

ISBN 978-91-44-15921-8

Upplaga 1:1

© 2022 Författarna och Studentlitteratur AB

Grafisk formgivning, omslag och figurer: Karin Österlund

Printed by Interak, Polen 2022

RÄKNELAGAR

TAL I OLIKA

TALSYS T E M

När vi räknar använder vi oss av tal och när vi skriver tal använder vi oss av siffror. För att skriva talet etthundrafyrtioåtta använder vi siffrorna 1, 4 och 8. Det finns 10 siffror, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Genom att placera dessa siffror på ett smart sätt kan vi skriva hur stora tal som helst. I det här kapitlet ska du få undersöka olika egenskaper hos tal i vårt talsystem. För att du ska kunna se fördelarna med vårt talsystem, kommer vi att jämföra det med egenskaper hos det romerska talsystemet.

Film: Det romerska talsystemet

DET R O MERSKA TALSYSTEMET

Du har kanske sett att det på gamla klockor inte står 1, 2, 3 och så vidare utan att det ser ut så här:

De här siffrorna började användas i Italien omkring 300 år före vår tideräkning och spreds sedan i Europa där de användes i ungefär 2 000 år. Vi ska nu se vad de romerska sifforna betyder.

För att skriva tal kombinerade man från början siffrorna så att en siffra med ett större värde skrevs före en siffra med ett mindre värde och sedan adderade man.

Talet 132 skevs till exempel som CXXXII vilket betyder 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1.

1.1 Skriv talen med romerska siffror.

a)

Svar:

Svar:

Svar:

236 Svar:

2 022 Svar:

Från början skrev man 4 som IIII och 14 som XIIII. Sedan kom man på ett smartare sätt och skrev i stället IV respektive XIV. Idén är, att om siffran för ett mindre tal, skrivs före siffran för ett större tal, så ska det mindre talet subtraheras från det större talet.

IV betyder alltså V – I och XC betyder C – X.

1.2 Skriv talen med romerska siffror.

a)

Svar:

Svar:

90 Svar:

Svar:

990 Svar:

Det var ganska besvärligt att räkna i det romerska talsystemet.

Du kan pröva med följande subtraktion.

Kom ihåg:

Svar:

Du upplevde säkert att det här var krångligt. Ännu krångligare blev det att multiplicera och dividera större tal. För att detta skulle fungera använde sig romarna av speciella räknebord, som fungerar ungefär som när man i skolan förklarar addition och subtraktion med pengar som laborativt material.

Samtidigt som vi i Europa skrev tal med romerska siffor använde sig indier och araber av ett betydligt smartare talsystem. Ett sådant talsystem, som bygger på hinduarabiska siffror, kom till Europa år 1202 och presenterades i en bok skriven av Leonardi från Pisa (även kallad Fibonacci). Det skulle emellertid dröja flera hundra år innan de flesta i Europa hade lärt sig använda de nya siffrorna för att skriva tal och att räkna med dem.

1.3 Utför subtraktionen XCIV – LXXIII med romerska siffror.

ETT

BASEN 10

STEM

Det talsystem vi använder idag är ett positionssystem. Det innebär att en siffras värde beror på dess plats i talet. I det romerska talsystemet betyder I alltid 1 och X alltid 10, var siffran än står. Men när vi skriver 12 så betyder den första siffran inte 1 utan 10 gånger 1. När vi skriver

238 så betyder det alltså

2 3 8

000 + 2

+ 3

Film: Ett positionssystem med basen 10

10 + 8.

Eftersom en siffra är 10 gånger mer värd om man flyttar den ett steg åt vänster i talet, säger man att positionssystemet har basen 10. Man kan också se en praktisk användning av tiobassystemet i våra mynt och sedlar.

Talet 456 betyder 4 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 6 och vi läser faktiskt talet på det sättet, alltså 4 hundra, 5 tio, 6. Vi läser med bokstäver fyrahundra femtio sex. Skriv följande tal med bokstäver.

963 Svar:

3 518 Svar:

208 Svar:

3 009 Svar:

Lägg märke till hur viktig nollan är eftersom den, som i uppgift d), talar om att det inte finns något hundratal eller något tiotal. I det romerska talsystemet fanns inget behov för en sådan nolla.

fördel med vårt talsystem är att det blir lätt att addera och subtrahera. Vid addition och subtraktion kan man skriva talen i speciella kolumner, en kolumn för ental, en för tiotal och en för hundratal. Sedan kan man addera talen i varje kolumn var för sig (varje position för sig).

Hundratal Tiotal Ental

summan i en kolumn mer än 9, måste man dela upp talet i tiotal och ental.

Hundratal Tiotal Ental

På samma sätt som 12 enkronor kan växlas till 1 tia och 2 enkronor kan man i det här fallet växla 12 ental till 1 tiotal och 2 ental. Man flyttar då tiotalet till tiotalets kolumn och fortsätter sedan att addera så här:

Hundratal Tiotal Ental

1.8 Multiplicera följande tal med II i det romerska talsystemet.

a) IV Svar:

b) VII Svar:

c) XVI Svar:

d) XXVI Svar:

f) LXIV Svar:

I vårt positionssystem med basen 10 är det lätt att multiplicera med 10, 100 och 1 000. Detta är också lätt i det romerska talsystemet. Du byter bara I mot X, V mot L, X mot C, L mot D och C mot M. Det är också lätt att multiplicera med 5. Du byter bara I mot V, X mot L och C mot D.

1.9 Multiplicera följande tal med X i det romerska talsystemet.

a) CLXI Svar:

b) CLXXVI Svar: 1.10 Multiplicera följande tal med V i det romerska talsystemet.

a) CXI Svar:

b) CXXI Svar:

”Med Variabel vill vi ge intresserade elever fördjupade kunskaper i matematik och en inblick i ämnets estetiska kvaliteter.” (Karlsson, Kilborn)

Elever som visar en hög nivå i matematik och behöver stimulans och utmaning i matematikundervisningen, har nu tillgång till ett unikt läromedel i problemlösning och matematik.

I Variabel behandlas olika matematiska områden. Varje område består av en serie problemlösningsuppgifter som alla erbjuder en variation av metoder och lösningar. Eleverna leds successivt fram till nya begrepp eller nya metoder. I det digitala läromedlet har eleven tillgång till filmer och inläst text. Utförligt facit finns till alla uppgifter.

Elevboken innehåller fler än 100 problem och annan intressant, matematisk information. Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.

Natalia Karlsson är docent och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Hon arbetar för närvarande som lärarutbildare vid Södertörns högskola och hennes forskning behandlar elevers och studenters uppfattning om matematik. Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.

Art.nr