9789144157849

VARIABEL C3

Elevpaket – Tryckt + Digitalt

VARIABEL C3

Elevpaket – Tryckt + Digitalt

Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.

ELEVBOK

I Variabel behandlas olika matematiska områden. Efter en kortare introduktion följer en serie problemlösningsuppgifter som alla ger en variation av samma princip för att lösa problemet, samtidigt som eleverna succesivt leds fram till nya begrepp eller nya metoder.

DIGITALT LÄROMEDEL

Materialet innehåller bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna. Till varje avsnitt finns också en kort filmad introduktion.

Digital version av boken, inläst med autentiskt tal och textföljning

Filmade introduktioner

Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon

Studentlitteratur AB

Box 141

221 00 LUND

Besöksadress: Åkergränden 1

Telefon 046-31 20 00

studentlitteratur.se

Bilder:

Sid. 9: alri/Shutterstock.com

Övriga bilder: Shutterstock.com

Kopieringsförbud

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Det är ett engångsmaterial och får därför, vid tillämpning av Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, överhuvudtaget inte kopieras för undervisningsändamål. Inte ens enstaka sida får kopieras, dock får enstaka fråga/övning kopieras för prov/skrivning. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Användning av detta verk för text- och datautvinningsändamål medges ej.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 45080

ISBN 978-91-44-15784-9

Upplaga 1:1

© Författarna och Studentlitteratur 2024

Formgivning, omslag och illustrationer: Karin Österlund

Illustrationer: Jonny Hallberg

Printed by Eurographic Group, 2024

LL

1 KOMB I N ATORIK

Kombinatoriken handlar hur man på olika sätt kan välja ut och ordna elementen (föremålen) i en mängd. Detta kan ske på olika sätt. Det kan ske som permutationer vilket handlar om att ordna alla elementen, eller vissa av elementen i en mängd. Det kan också ske som kombinationer vilket handlar om att välja ut ett visst antal element ur en mängd utan att ordna dem. Man är i båda fallen intresserad av hur många sådana urval man kan göra. Kombinatoriken är en viktig förkunskap vid arbete med sannolikhetsläran.

Film: Permutationer, ordnade urval

PERM U TATIONER, ORDNADE U RVAL

De tre bokstäverna A, B och C kan permuteras (ordnas) på 6 sätt, som AB, BA, AC, CA, BC och CB. Observera att bokstävernas ordning spelar roll. AB och BA är olika permutationer.

1.1 Du har 4 kulor, en röd, en orange, en grön och en blå. På hur många sätt kan du ordna kulorna? Vi undersöker detta systematiskt.

a) På hur många olika sätt kan du välja den första kulan i ordningen?

Svar:

b) När den första kulan är vald, på hur många olika sätt kan du då välja den andra kulan?

Svar:

c) På hur många sätt kan du välja de två första kulorna?

Svar:

d) På hur många sätt kan du välja den tredje kulan i ordningen när du redan har valt 2 kulor?

Svar:

e) På hur många sätt kan du välja de 3 första kulorna?

Svar:

f) På hur många sätt kan du välja den fjärde kulan i ordningen när du redan har valt 3 kulor?

Svar:

g) På hur många sätt kan du välja de 4 kulorna?

Svar:

1.2 På hur många sätt kan du på ett led ordna

a) 5 personer?

Svar:

b) 6 personer?

Svar:

1.3 Nu ska du i stället välja ut och ordna 2 av 4 kulor.

a) På hur många sätt kan du välja den första kulan?

Svar:

b) På hur många sätt kan du välja den andra kulan när den första är vald?

Svar:

c) På hur många sätt kan du välja ut och ordna 2 av de 4 kulorna?

Svar:

1.4 På hur många sätt kan du välja ut och ordna

a) 2 kulor av 6?

Svar:

b) 3 kulor av 5?

Svar:

c) 2 kulor av 8?

Svar:

1.5 Hur många 2-siffriga tal kan du skriva med siffrorna 1, 2, 3, 4, 5

a) om samma siffra får användas flera gånger?

Svar:

b) om siffrorna i talet måste vara olika?

Svar:

1.6 Hur många 3-siffriga tal kan du skriva med siffrorna 1, 2, 3, 4, 5

a) om samma siffra får användas flera gånger?

Svar:

b) om siffrorna i talet måste vara olika?

Svar:

1.7 Hur många 3-siffriga tal med olika siffror kan du skriva om du får använda siffrorna

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Svar:

b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Svar:

1.8 I en förening finns det 10 personer som är villiga att sitta i styrelsen. Bland dem väljer man först en ordförande, därefter en sekreterare och sedan en kassör. Hur många olika valmöjligheter finns det?

Svar:

1.9 Ett tal som 1 · 2 · 3

4

5 · 6 · 7 · 8 kan skrivas som 8 ! (utläses åttafakultet) På motsvarande sätt kan antalet permutationer av 5 element skrivas som 5 ! . Antalet permutationer av 3 element valda bland 8 kan därför skrivas som 8!

(8 – 3)! = 8! 5! . Teckna på motsvarande sätt antalet möjliga permutationer av

a) 5 element valda bland 11.

b) 4 element valda bland 12.

c) 6 element valda bland 15.

KOMBINATI O NER OCH PASCALS TRIANGEL

De tre bokstäverna A, B och C kan som tidigare nämnts permuteras på 6 sätt, som AB, BA, AC, CA, BC och CB. Urvalet kan också ske som kombinationer där man inte tar hänsyn till bokstävernas ordning. Det finns då bara 3 kombinationer AB, AC och BC eftersom paren AB och BA, AC och CA samt BC och CB, räknas som samma urval. I det här avsnittet studerar vi kombinationer.

1.10 På bordet ligger 5 sifferkort med siffrorna 1, 2, 3, 4, 5.

a) Hur många tvåsiffriga tal med olika siffror kan du sätta ihop med hjälp av dessa sifferkort?

Svar:

b) På hur många olika sätt kan du välja ut två av siffrorna om du inte tar hänsyn till siffrornas ordning?

Svar:

1.11 På bordet ligger 5 sifferkort med siffrorna 1, 2, 3, 4, 5.

a) Hur många tresiffriga tal med olika siffror kan du sätta ihop med hjälp av dessa sifferkort?

Svar:

b) På hur många olika sätt kan du ordna tre siffror?

Svar:

c) På hur många olika sätt kan du välja tre av siffrorna om du inte tar hänsyn till ordningen.

Svar:

Film: Kombinationer och Pascals triangel

Ett urval av element i en mängd utan hänsyn tagen till ordningen kallas för en kombination av elementen.

1.12 Antalet kombinationer av 2 föremål valda bland 5 brukar tecknas

( 5 2 ) = 5! 2! · 3! ( ( 5 2 ) läses fem över två.) Hur kan du teckna antalet kombinationer (ett urval utan hänsyn tagen till inbördes ordning) av

a) 3 föremål valda bland 5?

b) 2 föremål valda bland 6?

c) 4 föremål valda bland 6?

Urvalsproblem av den typ som finns i de föregående uppgifterna kan du lösa direkt med hjälp av Pascals triangel.

Blaise Pascal (1623–1662) var en fransk filosof och matematiker. Tillsammans med Pierre Fermat lade han grunden till sannolikhetsläran. Så här ser de första raderna ut i Pascals triangel.

För att se hur detta fungerar, ska vi nu studera den femte raden i Pascals triangel, alltså den med talen 1, 5, 10, 10, 5, 1. Poängen med Pascals triangel är att dessa tal i själva verket är

( 5 0 ) = 1, ( 5 1 ) = 5, ( 5 3 ) = 10, ( 5 4 ) = 5 och ( 5 5 ) = 1.

1.13 Bestäm med hjälp av Pascals triangel

a) ( 6 0 ) d) ( 8 0 )

b) ( 6 3 ) e) ( 8 3 )

c) ( 6 5 ) f) ( 9 5 )

1.14 Bestäm antalet kombinationer av

a) 2 element valda bland 7?

b) 3 element valda bland 6?

c) 4 element valda bland 9?

1.15 Du ska välja ut 3 glasskulor med olika smak till din dessert (utan hänsyn till inbördes ordning).

På hur många sätt kan du göra ditt val om det finns

a) 7 smaker att välja bland?

b) 8 smaker att välja bland?

c) 10 smaker att välja bland?

FACIT VARI A BEL C3

1 KOMBINATORIK

PERMUTATIONER, ORDNADE URVAL

1.1 a) På 4 olika sätt.

b) På 3 olika sätt.

c) På 4 ∙ 3 = 12 olika sätt: RO, RG, RB, OR, OG, OB, GR, GO, GB, BR, BO, BG.

d) På 2 olika sätt.

e) På 4 ∙ 3 ∙ 2 = 24 olika sätt.

f) På 1 sätt.

g) På 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 olika sätt.

1.2 a) På 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 olika sätt.

b) På 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 olika sätt.

1.3 a) På 4 sätt.

b) På 3 sätt.

c) På 4 ∙ 3 = 12 sätt.

1.4 a) På 6 ∙ 5 = 30 sätt.

b) På 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 sätt.

c) På 8 ∙ 7 = 56 sätt.

1.5 a) 5 ∙ 5 = 25 st. b) 5 ∙ 4 = 20 st.

1.6 a) 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125 st. b) 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 st.

1.7 a) 9 ∙ 8 ∙ 7 = 504 st.

b) 9 ∙ 9 ∙ 8 = 648 st. Observera att ett tresiffrigt tal med tre siffror inte kan börja med 0.

1.8 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 st.

1.9 a) 11! (11 – 5)! = 11! 6! .

b) 12! (12 – 4)! = 12! 8!

c) 15! (15 – 6)! = 15! 9!

KOMBINATIONER OCH PASCALS TRIANGEL

1.10 a) 5 ∙ 4 = 20 st. Det handlar om permutationer, där ordningen spelar roll.

b) På 20 / 2 = 10 st. Det handlar här om kombinationer där 12 och 21, 13 och 31, 14 och 41 osv. är samma val av två sifferkort.

1.11 a) På 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 st. (permutationer).

Detta kan skrivas 5! 2! .

b) På 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 sätt. Detta kan skrivas 3!.

c) På 60 / 6 = 10 sätt (kombinationer).

Detta kan skrivas 5! 2! · 3!

1.12 a) ( 5 3 ) = 5! 3! · 2! . (= 10).

b) ( 6 2 ) = 6! 2! · 4! . (= 15).

c) ( 6 4 ) = 6! 4! · 2! . (= 15).

1.13 a) 1. d) 1.

b) 20. e) 56.

c) 6. f) 126.

1.14 a) ( 7 2 ) = 21.

b) ( 6 3 ) = 20.

c) ( 9 4 ) = 126.

1.15 a) ( 7 3 ) = 35 sätt.

b) ( 8 3 ) = 56 sätt.

c) ( 10 3 ) = 120 sätt.

”Med Variabel vill vi ge intresserade elever fördjupade kunskaper i matematik och en inblick i ämnets estetiska kvaliteter.”

(Karlsson, Kilborn)

Elever som visar en hög nivå i matematik och behöver stimulans och utmaning i matematikundervisningen, har här tillgång till ett unikt läromedel i problemlösning och matematik.

I Variabel behandlas olika matematiska områden. Varje område består av en serie problemlösningsuppgifter som alla erbjuder en variation av metoder och lösningar. Eleverna leds successivt fram till nya begrepp eller nya metoder.

I det digitala läromedlet har eleven tillgång till filmer och inläst text. Utförligt facit finns till alla uppgifter.

Elevboken innehåller ca 100 problem och annan intressant, matematisk information. Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.

Natalia Karlsson är docent och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Hon arbetar för närvarande som lärarutbildare vid Södertörns högskola och hennes forskning behandlar elevers och studenters uppfattning om matematik.

Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.