9789144157832

VARIABEL C2

Elevpaket – Tryckt + Digitalt

VARIABEL C2

Elevpaket – Tryckt + Digitalt

Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.

ELEVBOK

I Variabel behandlas olika matematiska områden. Efter en kortare introduktion följer en serie problemlösningsuppgifter som alla ger en variation av samma princip för att lösa problemet, samtidigt som eleverna succesivt leds fram till nya begrepp eller nya metoder.

DIGITALT LÄROMEDEL

Materialet innehåller bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna. Till varje avsnitt finns också en kort filmad introduktion.

Digital version av boken, inläst med autentiskt tal och textföljning

Filmade introduktioner

Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon

Studentlitteratur AB

Box 141

221 00 LUND

Besöksadress: Åkergränden 1

Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

Bilder: Shutterstock.com

Kopieringsförbud

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Det är ett engångsmaterial och får därför, vid tillämpning av Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, överhuvudtaget inte kopieras för undervisningsändamål. Inte ens enstaka sida får kopieras, dock får enstaka fråga/övning kopieras för prov/skrivning. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Användning av detta verk för text- och datautvinningsändamål medges ej.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 45079

ISBN 978-91-44-15783-2

Upplaga 1:1

© 2024 Författarna och Studentlitteratur AB

Grafisk formgivning och omslag: Karin Österlund

Figurer: Jonny Hallberg

Printed by Latgales Druka, Latvia 2024

INNEH Å LL

1 GEOMETRISKA SATSER OCH DERAS

TI L L ÄMPNINGAR

Redan omkring år 300 före vår tideräkning skrev den grekiske matematikern Euklides en serie på 13 böcker som kallas för Euklides Elementa. I dessa böcker beskriver han den matematik som då var känd i vår del av världen. Speciellt geometrin i Elementa har haft stor påverkan på skolans matematikundervisning och handlar om hur man kan bygga upp geometrin på ett logiskt sätt och därigenom analysera och lösa geometriska problem.

Eftersom geometrin förr i tiden undervisades på ett mycket formellt sätt var den inte alltid så omtyckt av eleverna. Ett exempel på detta beskrivs av den svenske skalden och trubaduren Carl Michael Bellman (1740–1795) som i en kort dikt skriver så här:

Hjärnan ännu i mig vrides när jag tänker på Euclides och på de trianglarna ABC och CDA.

Svetten ur min panna gnides värre än på Golgata.

Vi ska i det här kapitlet arbeta med geometri på ett betydligt enklare sätt.

Film: Likformighet

LIKF O RMIGHET

Två viktiga egenskaper hos geometriska figurer är symmetri och kongruens. En annan viktig egenskap inom geometrin är likformighet som det här avsnittet handlar om. Vad som gör likformighet särskilt intressant är dess nära koppling till begreppen förhållande och proportionalitet.

Eftersom alla månghörningar kan delas upp i trianglar, utgår vi från villkoren för att två trianglar är likformiga (har samma form). Ett sådant villkor är att deras vinklar parvis är lika stora. Den ena triangeln är då en förstoring (eller förminskning) av den andra i en viss skala. Innebörden av det framgår av följande konstruktion.

Observera att om två av vinklarna är parvis lika stora så gäller detta också för den tredje vinkeln eftersom vinkelsumman i en triangel är 180°.

När är två trianglar likformiga?

Två trianglar ABC och DEF är likformiga om

– vinkel A = vinkel D, vinkel B = vinkel E och vinkel C = vinkel F – det för längden av sidorna gäller att AB DE = BC EF = AC DF .

1.1 Trianglarna ABC och DEF är likformiga. I triangeln ABC är AB = 16 cm, BC = 12 cm och AC = 15 cm. I triangeln DEF är DE = 12 cm.

a) Bestäm längden av sidan EF.

Svar:

b) Bestäm längden av sidan DF.

Svar:

För att komma vidare behöver vi bekanta oss med tre speciella typer av vinklar. Vinklarna u och v i följande figur kallas för alternatvinklar, vinklarna v och w kallas för vertikalvinklar och vinklarna u och w kallas för likbelägna vinklar. w v u

1.2 I figuren skärs två parallella linjer av en tredje linje. Vilken relation gäller då mellan vinklarna u, v och w?

Svar:

1.3 I figuren är sträckorna AD och CB parallella.

a) Hur vet du att trianglarna AOD och BOC är likformiga?

Svar:

b) BC = 7 cm, CO = 6 cm och DO = 9 cm. Bestäm längden av AD.

Svar:

c) Hur många gånger så stort är triangelområdet AOD jämfört med COB?

Svar:

1.4 I triangeln ABC drar du en transversal (en sträcka) som skär AC i D och BC i E. Sträckan DE är parallell med AB och kallas då för parallelltranversal.

a) Hur vet du att trianglarna ABC och DEC är likformiga?

Svar:

b) AB = 12 cm, AC = 15 cm och DE = 5 cm. Bestäm längden av CD.

Svar:

1.5 I den rätvinkliga triangeln ABC drar du höjden CD. I triangeln ADC är AD = 8 cm, AC = 10 cm och höjden CD = 6 cm. Bestäm, utan att använda Pythagoras sats, sträckorna BD och BC.

Svar:

1.6 En flaggstång kastar en skugga som är 12 meter lång. Pia som är 150 cm meter lång kastar samtidigt en skugga som är 3 meter lång. Hur hög är flaggstången?

Svar:

BÅGVINKELSATSEN

u

I figuren finns också en vinkel m, med spetsen i cirkelns medelpunkt. En sådan vinkel kallas för medelpunktsvinkel.

m

En periferivinkel kan se ut på tre olika sätt. Detta kräver tre olika bevis. Vi börjar med det enklaste fallet.

1.7 Du ska i det här speciella fallet bevisa att medelpunktsvinkeln m är dubbelt så stor som bågvinkeln b om de står på samma båge.

a) Visa först att triangeln BOC är likbent.

Svar:

b) Hur vet du att vinkel b är lika stor som vinkel c?

O A

b c m C

FACIT VARI A BEL C2

1 GEOMETRISKA SATSER OCH DERAS TILLÄMPNINGAR

LIKFORMIGHET

1.1 a) EF = 9 cm eftersom EF 12 = 12 16 eller enklare EF 12 = 3 4 . Genom att förlänga bråket med 3 får vi EF 12 = 9 12 och EF = 9.

b) DF = 11,25 cm. DF 15 = 3 4 . Genom att multiplicera båda leden med 15 får vi DF = 45 4 .

1.2 Alla vinklarna är lika stora.

1.3 a) Vinklarna AOD och COB är lika stora (vertikalvinklar) och vinklarna ADO och BCO är lika stora (alternatvinklar vid parallella linjer). Vinklarna i de båda trianglarna är därför parvis lika stora och därmed är trianglarna likformiga.

b) AD = 10,5cm. Likformigheten ger AD 7 = 9 6 ⇔ AD = 63 6 .

c) 2,25 ggr så stor. Skalan är 3 2 . Både bas och höjd är därför 3 2 gånger så stor i triangel AOD.

1.4 a) Vinkel C är gemensam i de två trianglarna. Vinkeln DAB är lika stor som vinkeln CDE (likbelägna vinklar vid parallella linjer). Eftersom vinklarna är parvis lika stora är trianglarna likformiga.

b) CD = 6,25 cm. Likformigheten ger CD 15 = 5 12 .

1.5 DB = 4,5 cm och BC = 7,5 cm. Trianglarna CDB och ADC är båda likformiga med triangeln ABC.

Det innebär att BD CD = CD AD vilket ger BD 6 = 6 8 .

Vidare är BC AC = CD AD vilket ger BC 10 = 6 8 .

1.6 6 meter. Flaggstången och Pia bildar höjden i två likformiga trianglar.

Likformigheten ger x 12 = 1,5 3

BÅGVINKELSATSEN

1.7 a) OB och OC är radier till cirkeln.

b) Eftersom triangeln BOC är likbent är vinklarna b och c lika stora.

c) Vinkeln m är yttervinkel till triangeln BOC och är därför lika med summan av vinklarna b och c . Om du inte känner till satsen om yttervinklar så kan du kalla vinkel BOC för a Du vet då att a + b + c = 180° och att a + m = 180°. Alltså är (180° – a) = b + c = m.

1.8 Upprepa resonemanget i föregående uppgift, först för AOBD och därefter för AOBC. Du finner då att m = 2 b och n = 2 c vilket ger m + n = 2(b + c)

1.9 Du delar upp beviset i två delar. Av den övre figuren framgår att p = 2 u . Av den nedre figuren framgår att q = 2v. Samtidigt är b = u – v

Du finner att m = p – q = 2 u – 2v och att

2 b = 2 u – 2v, vilket ger m = 2 b

”Med Variabel vill vi ge intresserade elever fördjupade kunskaper i matematik och en inblick i ämnets estetiska kvaliteter.”

(Karlsson, Kilborn)

Elever som visar en hög nivå i matematik och behöver stimulans och utmaning i matematikundervisningen, har här tillgång till ett unikt läromedel i problemlösning och matematik.

I Variabel behandlas olika matematiska områden. Varje område består av en serie problemlösningsuppgifter som alla erbjuder en variation av metoder och lösningar. Eleverna leds successivt fram till nya begrepp eller nya metoder.

I det digitala läromedlet har eleven tillgång till filmer och inläst text. Utförligt facit finns till alla uppgifter.

Elevboken innehåller ca 100 problem och annan intressant, matematisk information. Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.

Natalia Karlsson är docent och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Hon arbetar för närvarande som lärarutbildare vid Södertörns högskola och hennes forskning behandlar elevers och studenters uppfattning om matematik.

Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.