9789144151199 by Smakprov Media AB

Envariabelanalys för teknisk högskola Del 2 Del 2

Håkan Blomqvist

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 44076 ISBN 978-91-44-15119-9 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2022 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Faktagranskning: Olow Sander Formgivning omslag: Jens Martin Printed by GraphyCems, Spain 2022

FÖRORD Bokens målgrupp Denna lärobok är den andra delen av tre i en serie böcker, som behandlar matematisk analys. Böckerna är avsedda att användas vid högskole- och civilingenjörsutbildningar. Första delen i bokserien behandlar logik, matematikens uppbyggnad, bevismetoder, elementär mängdlära, grundläggande analytisk geometri, funktionsbegreppen, exponentialfunktioner, hyperboliska funktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner, arcusfunktioner, gränsvärden, derivata med tillämpningar, högre derivator och konvexitet. Tredje delen behandlar flervariabelanalys. Bokens innehåll Huvudområdena är primitiva funktioner, integralkalkyl med tillämpningar, komplexa tal, differentialekvationer med tillämpningar, talföljder, funktionsföljder, numeriska serier och funktionsserier. Kapitel 1 ger tekniker för att bestämma primitiva funktioner. Kapitel 2 behandlar talföljder, numeriska summor och induktion. Kapitel 3 definierar begreppet bestämd integral och går igenom räkneregler för denna. Kapitel 4 behandlar numerisk beräkning av integraler och kapitel 5 generaliserade integraler. Kapitel 6 innehåller tillämpningar av bestämd integral. Kapitel 7 ger en fördjupad framställning av de komplexa talen. I kapitel 8 behandlas differentialekvationer med en mängd tillämpningar. Kapitlen 912 behandlar slutligen taylorutveckling, numeriska serier, funktionsföljder och funktionsserier. För att göra boken mer lättläst, men ändå ge ambitiösa studenter möjlighet att ta del av en fullständig framställning, har några av de svåraste bevisen samlats i appendix. Bokens utformning Boken kan användas på olika sätt, beroende på kursens ambitionsnivå. Framställningen är matematiskt grundlig, definitioner ges för införda begrepp, satser formuleras med förutsättningar och fullständiga bevis genomförs i de flesta fall. Boken är dock utformad så att man, för t.ex. högskoleingenjörsutbildningar, kan hoppa över svårare teoretiska moment. Varje kapitel i boken är uppdelat i ett antal avsnitt. De satser som behandlas har numrerats och ofta getts ett namn. Som exempel skall beteckningen ”Sats 6.2.1” utläsas som att satsen är den första sats som behandlas i kapitel 6, avsnitt 2. Definitionerna är numrerade enligt samma princip. Efter de flesta avsnitt finns testuppgifter (markerade med T), som studenten bör försöka lösa direkt efter genomgånget avsnitt. Studenten får på så vis en uppfattning om hur väl det nyss genomgångna avsnittet har förståtts. Boken innehåller även ett stort antal övningsuppgifter (markerade med Ö) och © F Ö R F A T T A R E N O Coch H S T UStudentlitteratur DENTLITTERATUR Författaren

iii iii

FÖRORD

utförligt lösta exempel, som ökar förståelsen av begrepp och teori. Facit till testuppgifter och övningsuppgifter finns i slutet av boken och innehåller inom klammer ledtrådar till lösningen av svårare uppgifter. Viktiga påpekanden och förtydliganden har införts under rubriken ”OBS!” De kommentarer som inte är nödvändiga för huvudinnehållet och kan förbigås om så önskas har rubriken ”Anm.”. Hur boken skall användas Idealstudenten använder böckerna på följande sätt: 1. Förbered dig inför nästa föreläsning genom att läsa motsvarande avsnitt i boken. Även om du inte förstår allt, underlättar det att ha sett stoffet en gång förut. 2. Efter föreläsningen repeterar du det som läraren gått igenom och studerar noggrant de lösta exemplen (markerade med Ex., följt av kapitelnummer och ordningsnumret för uppgiften inom kapitlet). Tecknet  markerar att redovisningen av exemplets lösning är avslutad. 3. Försök att lösa de testuppgifter (oftast placerade i slutet av ett avsnitt) som hör till det genomgångna avsnittet i boken, för att se om du har förstått texten och exemplen. Facit till testuppgifterna finns i slutet av boken (sid. 407422) omedelbart före övningsuppgifterna. Kör du fast, finns vissa ledtrådar i facit. 4. Repetera stoffet i boken på motsvarande avsnitt. 5. Räkna de övningsuppgifter (sid. 423464), som tillhör det avsnitt du nyss repeterat. Facit med vissa ledtrådar finns på sid. 465492. Att tänka på vid lösning av övningsuppgifter Då man löser ett matematikproblem som inte är direkt knutet till någon tillämpning, skall alltid den exakta lösningen anges. Vid lösning av ett problem som är knutet till en tillämpning skall även närmevärden anges. Avrunda inte för tidigt eftersom avrundning i mellanräkningarna ger onödiga avrundningsfel, som förstoras då man successivt använder dessa värden i följande kalkyler. Det avrundade svaret ges lämpligen med lika många värdesiffror som mätvärdena har. Det är också bra att ha en beredskap för att vissa problem kan ta relativt lång tid att lösa. Många nya studenter, som är ovana vid högskolestudier, lever i tron att varje problem skall kunna lösas på 510 minuter. Gör också till en vana att kontrollera dina svar eller att åtminstone göra en rimlighetsbedömning. I verkliga livet finns sällan något facit att konsultera. iv iv

Författaren © F Ö R F A Toch T A R E Studentlitteratur N OCH STUDENTLITTERATUR

FÖRORD

Det är också viktigt att du tränar på att räkna utan miniräknare. Åtminstone vid inledande högskoletentamina i matematik får man sällan använda vare sig miniräknare eller formelsamling. Tillkännagivanden Delar av stoffet utges med tillstånd av Matematiklitteratur i Göteborg. Jag vill också tacka universitetslektor Olow Sande, som granskat en preliminär version av manuskriptet och bidragit med en del konstruktiva förslag rörande textens utformning. 2022 Göteborg ii januari mars 2022 Håkan Blomqvist

©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

Innehåll 1. Obestämd integral 1.1 Begreppet ”primitiv funktion” . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Användningsområden för primitiva funktioner . . . . . . . . 1.3 Samband mellan primitiv funktion och area . . . . . . . . . . 1.4 Obestämd integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Integreringsregler för obestämda integraler . . . . . . . . . . 1.6 Partiell integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Integration genom substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Rotsubstitutioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Trigonometriska substitutioner . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Substitution i uttryck som innehåller exponentialfunktioner. 1.8 Integration av rationella funktioner . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 3 6 7 15 18 23 23 25 26

2. 2.1 2.2 2.3

Talföljder. Summasymbolen 39 Talföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Summabeteckning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Matematisk induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. 3.1 3.2 3.3 3.4

Bestämd integral Integral av en trappfunktion . . . . . Begreppet ”bestämd integral” . . . . Riemannsummor . . . . . . . . . . . Räkneregler för bestämda integraler .

4. 4.1 4.2 4.3

Numerisk beräkning av integraler 73 Mittpunktsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Trapetsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Simpsons formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

. . . .

51 51 53 56 59

5. Generaliserad integral 83 5.1 Definition av generaliserad integral . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2 Jämförelsekriterier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 vii

Tillämpningar av bestämd integral Plana ytors area. . . . . . . . . . . . Rotationskroppars volym . . . . . . . Båglängd och rotationsarea . . . . . . Relativitetsteori . . . . . . . . . . . . Masscentrum . . . . . . . . . . . . . Tröghetsmoment . . . . . . . . . . . Sannolikhetslära . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

101 101 115 123 133 135 149 155

Författaren och Studentlitteratur vii

INNEHÅLL

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . garitm . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . n. . . ar . . . n med . . . . ndra . . . . andra . . . . . . . . n med . . . . . . . . g2. . . . . g . . .

. . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

203 203 204 215 222

. . . . . . . . . .

9. 269 Taylorutveckling .9.1269 Taylors formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lagranges restterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2274 Maclaurins formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3275 Maclaurinutveckling av ex, cosx och sinx . . . . . . . . . .9.4276 .9.5286 Gränsvärdesberäkning med hjälp av maclaurinutveckling . Entydighetssatsen för maclaurinutvecklingar . . . . . . . .9.6289 Maclaurinutveckling av 1/(1  t) och arctanx . . . . . . . .9.7294 Maclaurinutveckling av ln(1  x) . . . . . . . . . . . . . .9.8297 .9.9303 Binomialutvecklingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.10 311L´Hospitals regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

163 163 164 169 174 180 182 184 191 192 195 197

. . . . .

. . .

. . . . .

7. 163 Komplexa tal .7.1163 Motivering till införandet av komplexa tal . . . . . . . Definition av komplext tal . . . . . . . . . . . . . . . .7.2164 Räkning med komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . .7.3169 Algebraiska ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4174 .7.5180 Det komplexa talplanet. Belopp . . . . . . . . . . . . Polära koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.6182 .7.7184 Polär form för komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . Eulers formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.8191 Binomiska ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.9192 .7.10 195Komplex exponentialfunktion och komplex logaritm .7.11 197Komplexa funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. 203 Differentialekvationer .8.1203 Grundläggande begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . Separabla differentialekvationer . . . . . . . . . . . . .8.2204 Linjära differentialekvationer av första ordningen . . . .8.3215 Riktningsfält, skarvning och numeriska lösningar . . . .8.4222 8.5 Linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.5.1 Linjära homogena differentialekvationer av andra . 231 ordningen med konstanta koefficienter. . . . . . . . 8.5.2 Linjära inhomogena differentialekvationer av andra . 239 ordningen med konstanta koefficienter. . . . . . . . Komplexa visare. j-metoden . . . . . . . . . . . . . .8.6. 251 8.7 Linjära differentialekvationer av andra ordningen med variabla koefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Faktorisering av operatorn . . . . . . . . . . . . . . . .8.8258 Några speciella differentialekvationer av ordning 2 . . .8.9260 . 8.10 262Integralekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11 265Linjära differentialekvationer av högre ordning . . .

. . .

. . . . .

INNEHÅLL

viii attaren och Studentlitteratur viii

. . . . 229 . . . . 231 . . . . 239 . . . . 251 . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

256 258 260 262 265

. . . . . . . . . .

269 269 274 275 276 286 289 294 297 303 311

Författaren © F Ö R F A T T Aoch R E N OStudentlitteratur CH STUDENTLITTERATUR

INNEHÅLL

10. 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

Numeriska serier Definition och allmänna egenskaper . . . . . . . . . . Geometriska serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvergenskriterier för positiva serier . . . . . . . . . Konvergenskriterier för serier med godtyckliga termer

. . . .

315 315 319 324 334

11. 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5.

Potensserier Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maclaurinserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvergensvillkor för potensserier. . . . . . . . . . . . . . Derivering och integrering av potensserier . . . . . . . . . . Lösning av differentialekvationer med hjälp av potensserier.

341 341 342 344 350 358

12. 12.1. 12.2. 12.3.

Funktionsföljder och funktionsserier Funktionsföljders konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionsserier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . Termvis derivering och integrering av funktionsserier. . . .

365 365 378 381

13. 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6.

Appendix Komplettering till integration av rationella funktioner . Feluppskattning för trapetsformeln . . . . . . . . . . . Hjälpsats till beviset av Simpsons formel . . . . . . . Definition av division för de komplexa talen . . . . . En lösningsformel för tredjegradsekvationen . . . . . En lösningsformel för fjärdegradsekvationen . . . . .

389 389 392 394 396 397 404

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

Svar till testuppgifter

407

Övningsuppgifter

423

Svar till övningsuppgifter

465

Index (Sakregister)

493

©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

ix ix

GREKISKA ALFABETET

s som symboler Eftersom i matematiken grekiska följer bokstäver ofta används som symboler i matematiken följer okstäverna. nedan en förteckning över de grekiska bokstäverna.

LFABETET

Gemener         ϑ                

GREKISKA ALFABETET alfa beta gamma delta epsilon zeta eta theta iota kappa lambda my ny xi omikron pi rho sigma tau ypsilon fi chi psi omega

xx Författaren och Studentlitteratur

Versaler                        

Gemener         ϑ                

Författaren © F Ö R F A T Toch A R E N Studentlitteratur OCH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL 1.1. Begreppet ”primitiv funktion” Definition 1.1.1. PRIMITIV FUNKTION Antag att funktionen f är definierad i ett intervall I. Funktionen F sägs då vara en primitiv funktion till f på I om F ′( x) = f ( x) för alla x i I.

Anm. Primitiv = ursprunglig. F kallas även antiderivata till f. Ex. 1.1. Funktionen F ( x) = x är en primitiv funktion till f ( x) = 1 på I = R (för alla reella x), eftersom F ′( x) = D x = 1 = f ( x) för alla x  R. Även funktionen G ( x) = x − 3 är en primitiv funktion till f(x) =1 på I = R, ty G ′( x) = D( x − 3) = Dx − D3 = 1 − 0 = 1 = f ( x) för alla x  R. 

En funktion kan alltså ha flera primitiva funktioner. Exempel 1.1 antyder att dessa endast skiljer sig åt med en konstant. Vi bevisar detta. Sats 1.1.1. Antag att såväl F som G är primitiva funktioner till f på intervallet I, dvs. att F ′( x) = G ′( x) = f ( x) för alla x i I. Då gäller att G ( x) = F ( x) + C för alla x i I, där C är en konstant.

Bevis: Påståendet kan skrivas G ( x) − F ( x) = C. Sätt: H ( x) = G ( x) − F ( x) . Derivering av funktionen H (x) ger H ′( x) = D[G ( x) − F ( x)] = G ′( x) − F ′( x) = f ( x) − f ( x) = 0 för alla x i I. Följdsatsen till medelvärdessatsen, (se sid. 233 i del 1!), ger nu att H ( x) = C ⇔ G ( x) − F ( x) = C ⇔ G ( x) = F ( x) + C för alla x i I. VSB

Författaren © F Ö R F A T T A R E N O Coch H S T UStudentlitteratur DENTLITTERATUR

1 1

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

1.2. Användningsområden för primitiva funktioner Varför skall man då studera primitiva funktioner? En tillämpning är att primitiva funktioner kan användas inom integrationsteorin för att beräkna areor och volymer. Detta behandlas i kapitlen 1,3 och 6. Primitiva funktioner har dock många andra tillämpningar, speciellt inom mekanik och ellära. Här följer några exempel:

Ex. 1.2. Antag att en partikel rör sig med variabel hastighet i en rätlinjig bana och att s(t) är längden av den sträcka som partikeln förflyttat sig från tiden 0 till tiden t. 1. Partikelns hastighet vid tidpunkten t definieras då som v(t) = s´(t). Definition 1.1.1 innebär att sträckfunktionen s(t) är en primitiv funktion till hastighetsfunktionen v(t). Om partikelns hastighet v(t) är känd, och man kan bestämma en primitiv funktion till v(t), kan den sträcka som partikeln tillryggalagt vid en viss tidpunkt bestämmas.

2. Partikelns acceleration vid tidpunkten t definieras som a(t) = v´(t). Definition 1.1.1 innebär att hastighetsfunktionen v(t) är en primitiv funktion till accelerationsfunktionen a(t). Om partikelns acceleration a(t) är känd, och man kan bestämma en primitiv funktion till a(t), kan partikelns hastighet vid en viss tidpunkt bestämmas. 

Ex. 1.3. Om u(t) är spänningen över en spole med induktansen L, gäller att u(t) = Li´(t) där i(t) är styrkan av den ström som flyter genom spolen. Vi har alltså att u(t)/L = i´(t), varför i(t) är en primitiv funktion till u(t)/L.  Ex. 1.4. Om u(t) är spänningen över en kondensator med kapacitansen C, gäller att i(t) = Cu´(t) där i(t) är styrkan av den ström som flyter genom kondensatorn. Det gäller alltså att i(t)/C = u´(t), varför u(t) är en primitiv funktion till i(t)/C.  Ex. 1.5. Om en energikälla från tiden 0 till tiden t producerar energin W(t) definieras effekten p(t) som energikällan lämnar genom W´(t) = p(t). W(t) är därmed en primitiv funktion till p(t).  Kapitel 6 innehåller fler exempel på tillämpningar. Hur man bestämmer primitiva funktioner gås igenom i avsnitten 1.4−1.8. 22

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

1.3. Samband mellan primitiv funktion och area Följande viktiga sats kopplar ihop begreppen primitiv funktion och area.

Sats 1.3.1. AREASATS 1 Antag att

1. f är kontinuerlig och att f  0 i ett öppet intervall I, 2. x o , x ligger i I och att x ≥ x o , 3. A( x) är arean av det område som begränsas av kurvan y = f ( x) , x-axeln och de två vertikala linjerna som går genom x o resp. x. ( Se figur nedan!) Då gäller att A′( x) = f ( x) .

Bevis: y

y = f (x )

ymax

A( x + h) − A( x)

ymin A( x) xo

x h

Figur 1.3.1 Referensfigur för beviset av areasats 1.

Antag att talet h > 0 är så litet att x + h ligger i I. Eftersom f är kontinuerlig i I har f ett största värde (ymax) och ett minsta värde (ymin) på [x, x + h] enligt satsen om största och minsta värde. Arean (av det streckade området ovan) A(x + h)  A(x) är större än arean av en rektangel med basen h och höjden ymin, men mindre än arean av en rektangel med basen h och höjden ymax.

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Eftersom rektangelns area är basen gånger höjden gäller att h ⋅ y min ≤ A( x + h) − A( x) ≤ h ⋅ y max ⇔ y min ≤ h >0

A( x + h) − A( x) ≤ y max . h

[ Eftersom h > 0 kan vi dividera med h utan att kasta om olikhetstecknen!] Här är ymin = f (z) för något z sådant att x  z  x + h. Om nu h  0+ följer att z  x och eftersom f är kontinuerlig i x följer att ymin = f (z)  f (x). [ Kom ihåg att f är kontinuerlig i x ⇔ lim f ( z ) = f ( x) .] z→x

På samma sätt inses att ymax  f (x) då h  0+. Instängningsregeln ger lim y min ≤ lim

h →0

A( x + h) − A( x) ≤ lim y max ⇔ f ( x) ≤ A+′ ( x) ≤ f ( x) h h →0 +

så att A+′ (x) existerar och A+′ ( x) = f ( x). P.s.s. visas att A−′ ( x) = f ( x). VSB

Följdsats 1.3.2. Antag att

1. I är ett öppet intervall samt att talen a och b ( a) ligger i I, 2. f är kontinuerlig, har en primitiv funktion F(x) och att f  0 i I, 3. D är området som begränsas av kurvan y = f (x), x-axeln och de två vertikala linjerna x = a och x = b. Då gäller att m(D) = F(b)  F(a) där m(D) är arean (måttet) av D.

Bevis: Låt A(x) vara funktionen i sats 1.3.1 med x o = a. Sats 1.1.1 ger A′( x) = f ( x)  A( x) = F ( x) + C. Insättning av x = a i A( x) = F ( x) + C ger A(a ) = F (a ) + C  C = − F (a )  A( x) = F ( x) − F (a ) .  =0

Insättning av x = b i A(x) ger nu att: m( D ) = [ A(b) =] F (b) − F (a ) . VSB 44

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

OBS! Om villkoret x ≥ xo i areasats 1 ersätts av x ≤ xo blir den streckade arean A( x) − A( x + h). Beviset av satsen ger då att A′( x) = − f ( x). Följande existenssats för primitiva funktioner (beviset bygger på areasats 1), är grundläggande för integrationsteorin i kapitel 3.

Sats 1.3.3. EXISTENSSATS FÖR PRIMITIVA FUNKTIONER f är kontinuerlig i I  f har primitiva funktioner i I.

Bevis: Vi bevisar att f har en primitiv funktion. Övriga primitiva funktioner får man sedan (enligt sats 1.1.1) genom att addera konstanter. 1. Antag att f (x)  0 i I. Tag ett godtyckligt xo ∈ I och sätt, för x ∈ I ,  A( x) då F ( x) =  − A( x) då

x ≥ xo x ≤ xo

där A(x) är areafunktionen från areasats 1 och och OBS ovan. F(x) är en primitiv funktion på I till f(x) eftersom, för x ∈ I ,  A′( x) = f ( x) då F ′( x) =  − A′( x) = f ( x) då

x ≥ xo x ≤ xo

 F ′( x) = f ( x) .

2. Då f (x)  0 inte gäller i I gör vi omskrivningen f ( x ) = f ( x ) − f ( x ) + f ( x ) = f ( x ) − ( f ( x ) − f ( x )) .     g ( x)

h( x)

Poängen är att såväl g som h är kontinuerliga i I, g ( x) = f ( x) ≥ 0 och att

då  f ( x) − f ( x) = 0 h( x ) = f ( x ) − f ( x ) =  − f ( x) − f ( x) = −2 f ( x) ≥ 0 då

f ( x ) ≥ 0  ≥ 0. f ( x ) ≤ 0

Enligt 1 ovan har g(x) och h(x) primitiva funktioner G(x) respektive H(x). Det följer att d [G ( x) − H ( x)] = G ′( x) − H ′( x) = g ( x) − h( x) = f ( x) dx så att G ( x) − H ( x) är en primitiv funktion till f. VSB

5 5

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

1.4. Obestämd integral Definition 1.4.1. OBESTÄMD INTEGRAL Den obestämda integralen av funktionen f (x) betecknas (utläses ”integral fxdx”) och definieras genom

 f ( x) dx

 f ( x) dx = F ( x) + C där F (x) är en primitiv till f (x) och C är en godtycklig konstant. Beteckningen ”  f ( x) dx ” används alltså för att beteckna alla primitiva funktioner till f (x) . (Se sats 1.1.1 sid. 1!) Integraluttrycket

 f ( x) dx är

alltså inte entydigt bestämt och kallas därför obestämd integral. Konstanten C kallas integrationskonstant. Med uttrycken ”beräkna

 f ( x) dx ” eller ”evaluera  f ( x) dx ” menas

att man skall bestämma alla primitiva funktioner till f (x) .

OBS! Om man använder att f(x) = F´(x) = D [F(x)] följer direkt att F ( x) + C =  f ( x) dx =  F ′( x) dx =  D [ F ( x)] dx .

Ex. 1.6. a) Beräkna  cos x dx . b) Bestäm den primitiva funktion till cos x vars graf går genom ( 2 ; 0). Lösning: a)  cos x dx =  D sin x dx = sin x + C b) Antag att den sökta primitiva funktionen är G(x). Enligt a gäller då att G ( x) =  cos x dx = sin x + C för något värde på C. Insättning av koordinaterna för punkten ( 2 ; 0) i y = G (x) ger att G ( 2 ) = 0 ⇔ sin 2 + C = 0 ⇔ 1 + C = 0 ⇔ C = −1 varav G ( x) = sin x − 1 = −1 + sin x .  66

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

1.5. Integreringsregler för obestämda integraler Beräkning av integraler sker ofta på så sätt att man med hjälp av räknelagar, kallade integreringsregler, överför integralerna till vissa enklare integraler, kallade standardintegraler, som man skall kunna. Varje deriveringsregel motsvaras av en integreringsregel. Reglerna för derivering av en summa, (och därmed också skillnad), respektive derivering av en konstant gånger en funktion motsvaras t.ex. av följande två integreringsregler.

Sats 1.5.1. 1.

 ( f ( x) + g ( x) )dx =  f ( x) dx +  g ( x) dx

2.  kf ( x)dx = k  f ( x) dx Bevis: 1. Om F(x) och G(x) är primitiva funktioner till f (x) respektive g(x) ger deriveringsregeln för summa att D [ F ( x) + G ( x)] = DF ( x) + DG ( x) = F ′( x) + G ′( x) = f ( x) + g ( x) . Utgående från höger led i påstående 1 ger definition 1.4.1 och OBS sid. 6 att

 f ( x) dx +  g ( x) dx = F ( x) + C1 + G ( x) + C 2 = F ( x) + G ( x) + C1 + C 2 = = [C1 + C 2 = C ] = F ( x) + G ( x) + C =  D[ F ( x) + G ( x)] dx =  [ f ( x) + g ( x)] dx .

2. Deriveringsregeln för en konstant gånger en funktion ger att D[kF ( x)] = kDF ( x) = kF ′( x) = kf ( x) . Utgående från höger led i påstående 2 ger definition 1.4.1 och OBS sid. 6 att k  f ( x) dx = k ( F ( x) + C1 ) = kF ( x) + kC1 = [kC1 = C ] = kF ( x) + C = =  D[kF ( x)] dx =  kf ( x) dx . VSB

Ex. 1.7. Beräkna  (2 − 3 cos x ) dx . Lösning:

 (2 − 3 cos x ) dx = (1) =  2 ⋅ 1 dx −  3 ⋅ cos x dx = (2) = 2 1 dx − 3 cos x dx = = 2 x + C1 − 3(sin x + C 2 ) = 2 x − 3 sin x + C1 − 3C 2 = 2 x − 3 sin x + C  © F Ö R F A T T A R E N O Coch H S T UStudentlitteratur DENTLITTERATUR Författaren

7 7

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Deriveringsregeln Dx a = ax a −1 för potensfunktioner ger standardintegralen

Sats 1.5.2.  x p dx =

Bevis: D (

x p +1 + C då konstanten p ≠ −1 . p +1

x p +1 1 1 + C) = D x p +1 + 0 = ⋅ ( p + 1) x p +1−1 = x p VSB p +1 p +1 p +1

Anm. 1. Satsen gäller inte för p = 1 eftersom HL inte är definierat. Vi måste alltså bestämma  x −1 dx med en annan metod. [Se exempel 1.13!] Anm. 2. F ( x) = x är en primitiv funktion till f ( x) = 1 stämmer formellt med 0

0 +1

 1 dx =  x dx = x /(0 + 1) + C = x + C för de x för vilka  1 dx skrivs ofta  dx .

x 0 är definierad.

Ex. 1.8. Beräkna  (4 x 3 + 6 x 2 − 2 x)dx . Lösning:

 (4 x

+ 6 x 2 − 2 x)dx = (1) =  4 x 3 dx +  6 x 2 dx −  2 x 1 dx = (2) =

= 4  x 3 dx + 6  x 2 dx − 2  x 1 dx = [sats 1.5.2] = 4 ⋅

x4 x3 x2 + 6⋅ − 2⋅ +C = 4 3 2

= x 4 + 2x3 − x 2 + C  Ex. 1.9. Bestäm en primitiv funktion till funktionen

1 2

+ 3 x + 43 x .

x Lösning: Då man skall bestämma en primitiv funktion är det oftast (men inte alltid), enklast att välja C = 0.

 =

1 1  1   2 + 3 x + 43 x  dx = ( x − 2 + 3 x 2 + 4 x 3 ) dx = x 



x

−2

dx + 3 1



1 x2

dx + 4



1 x 3 dx

1 +1

x − 2+1 x2 x3 = +31 +41 = − 2 +1 1 1 + + 2 3

1 x −1 x 2 ⋅ x1 x 3 ⋅ x1 = +3 3 + 4 4 = − + 2 x x + 3x 3 x  −1 x 2 3 8

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Ex. 1.10. Betrakta en partikel som rör sig med variabel hastighet i en rätlinjig bana. Antag att s(t) är längden av den sträcka som partikeln förflyttat sig från tiden 0 till tiden t. Partikelns hastighet v(t) vid tiden t definieras som v(t) = s´(t). Partikelns acceleration vid tiden t definieras som a(t) = v´(t). a) Antag att partikeln vid tiden t = 0 har läget so och hastigheten vo. Bestäm partikelns läges- och hastighetsfunktioner, s(t) och v(t) då accelerationen är konstant, dvs. a(t) = a (a konstant). b) Hur långt har partikeln förflyttat sig efter 10 s om so = 0 m, vo = 2 m/s och a = 1 m/s2? Lösning: a) Eftersom v´(t) = a(t) är funktionen v(t) en primitiv funktion till a(t).

v(t ) =  v ′(t ) dt =  a(t ) dt =  a dt = at + C Att hastigheten är vo vid tiden t = 0, ger begynnelsevillkoret v(0) = vo, som kan utnyttjas till att bestämma konstanten C enligt vo = v(0) = a ⋅ 0 + C = C  C = vo och insättning av C = vo i v(t) = at + C ger att v(t) = at + vo . Eftersom s´(t) = v(t) följer att s(t) är en primitiv funktion till v(t).

s (t ) =  s ′(t ) dt =  v(t ) dt =  (at + v o ) dt = a  t dt + v o  1 dt = a

t2 + vo t + K 2

För att bestämma konstanten K använder man att läget är so vid tiden t = 0, dvs. begynnelsevillkoret s(0) = so utnyttjas. Vi får då att s o = s ( 0) = a ⋅ 0 + v o ⋅ 0 + K = K  K = s o och insättning av K = so i s (t ) = 12 at 2 + v o t + K ger slutligen att s (t ) = 12 at 2 + v o t + s o . b) Värdena på a, v o och so ger s (t ) = 12 at 2 + v o t + s o = 12 t 2 + 2t varav

s (10) = 12 ⋅ 10 2 + 2 ⋅ 10 = 70 (m).  ©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Ex. 1.11. Låt F (x) vara den primitiva funktion till f ( x) = x − 1 vars graf går genom punkten (2;1). Beräkna F (−2) . Lösning:

x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ger att 1 är brytpunkt. Enligt definitionen av absolutbelopp gäller då att

 x − 1 då x −1 =  − ( x − 1) då

F ( x) = 

x ≥1 varav x <1

  ( x − 1)dx =  x dx −  1 dx = 1 x 2 − x + C1 2  x − 1 dx =   [−( x − 1)] dx = (1 − x)dx = x − 1 x 2 + C 2   2

då

x ≥1

då

x < 1.

Villkoret att grafen till F (x) går genom punkten (2;1), dvs. F (2) = 1 , ger 1 = F (2) = 12 ⋅ 2 2 − 2 + C1 = 2 − 2 + C1 = C1  C1 = 1 . Vi utnyttjar nu att F(x) deriverbar  F(x) kontinuerlig. lim F ( x) = lim

x →1+

(

2 x →1+

)

x 2 − x + C1 = 12 ⋅ 12 − 1 + 1 =

(

1 2

)

lim F ( x) = lim x − 12 x 2 + C 2 = 1 − 12 ⋅ 12 + C 2 = C 2 +

x →1−

1 2

och kontinuiteten i x = 1 ger att 1 2

= C 2 + 12 ⇔ C 2 = 12 − 12 = 0 .

Insättning av konstantvärdena i uttrycket för F(x) ger att

 g ( x) = 1 x 2 − x + 1 då 2  F ( x) =  h( x) = x − 12 x 2 då

x ≥1 x <1

varav F (−2) = h(−2) = −2 − 12 (−2) 2 = −2 − 2 = − 4 .  Anm. F−′ (1) = h−′ (1) = h ′(1) = 1 − 1 = 0, F+′ (1) = g +′ (1) = g ′(1) = 1 − 1 = 0 10 10

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Vi fortsätter nu vår översättning av deriveringsreglerna. Deriveringsregeln D ln f ( x) =

primitiv funktion till g ( x) =

Sats 1.5.3. 3.



f ′( x) ger att G ( x) = ln f ( x) är en f ( x)

f ′( x) vilket ger integreringsregeln f ( x)

f ′( x) dx = ln f ( x) + C f ( x)

Följande specialfall av regeln är särskilt viktiga.

Ex. 1.12. Beräkna a)  cot x dx och b)  tan x dx . Lösning: a)  cot x dx =



cos x dx = sin x



b)  tan x dx =



sin x − sin x dx = − dx = − ln cos x + C  cos x cos x

f ′( x) dx = ln f ( x) + C = ln sin x + C f ( x)



Ex. 1.13. Beräkna a)

x

−1

dx och b)

 x + 1 dx . x

Lösning: a)



x −1 dx =



1 dx = [ f ( x) = x  f ′( x) = 1] = ln x + C x

Observera att detta täcker upp fallet p = −1 i sats 1.5.2!

 x +1 x

dx = 12

 x + 1 dx = 2x

©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

1 2

ln x 2 + 1 + C = 12 ln( x 2 + 1) + C 

11 11

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Vi sammanfattar de viktigaste standardintegralerna i tabellform. För enkelhets skull har integrationskonstanten C satts till 0.

STANDARDINTEGRALER f ( x)

F ( x)

f ( x)

F ( x)

x p +1 , p ≠ −1 p +1

x −1

ln x

ax ln a

cos x

sin x

cot x

ln sin x

sin x

− cos x

tan x

− ln cos x

1 + cot 2 x

− cot x

1 + tan 2 x 1 2

cos x

tan x tan x

− cot x

sin 2 x

cosh x

sinh x

coth x

ln sinh x

sinh x

cosh x

tanh x

ln(cosh x)

1 cosh 2 x 1 1 + x2 1 2

tanh x arctan x

− coth x

sinh 2 x 1

arcsin x

1− x2 1

arsinhx

arcosh x

x +1

x −1

INTEGRERINGSREGLER

12 12

 ( f ( x) ± g ( x) ) dx =  f ( x) dx ±  g ( x) dx

 kf ( x) dx = k  f ( x) dx



f ′( x) dx = ln f ( x) f ( x) © F Ö R F A T T Aoch R E N OStudentlitteratur CH STUDENTLITTERATUR Författaren

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Ex. 1.14. Beräkna a)



cos 3 x + 1

dx och b)

cos 2 x

x2 −1

 x + 1 dx . 2

Lösning: a)



cos 3 x + 1 cos 2 x

x2 −1

dx =



 cos 3 x 1   + dx =  cos 2 x cos 2 x   



cos x dx +

 x +1  2

dx =

x2 +1 − 2 x2 + 1



   cos x + 1  dx =  cos 2 x  

 cos x dx = sin x + tan x + C 1

dx =



1   1 − 2 dx = x − 2 arctan x + C  1 + x2  

Deriveringsregeln DF (ax + b) = F´ (ax + b) ⋅ a = af (ax + b) ger att

Sats 1.5.4.

Ex. 1.15.

 f (ax + b) dx =

2x 2⋅ x + 0  e dx =  e dx =

F (ax + b) + C (a  0, b är konstanter) a e 2x +C  2

Vi dividerade alltså med en konstant som är lika med inre derivatan för att kompensera för att det är en sammansatt funktion som integreras. OBS! Denna metod fungerar endast då inre derivatan är konstant, vilket framgår av följande exempel. 2

2 ex Ex. 1.16. Visa att inte är en primitiv funktion till e x . 2x Bevis: Produktregeln ger

 1  1 D ⋅ ex  = De x  2x  2x 2

≠ 0    2 2 x2 2 ex ex  1  x 2 2 xe x2 + D e = − 2 = e − 2 ≠ ex . 2x  2x  2x 2x

=0  e 2e 2 x 1  1 1 Jämför: D = D  ⋅ e 2 x  = De 2 x + D   e 2 x = − 0 ⋅ e 2x = e 2x  2 2 2 2 2     2x

©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

1313

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Testuppgifter till avsnitt 1.5 T1.1. Bestäm en primitiv funktion till följande potensfunktioner: b) x 6

a) x

e) t ⋅ 3 t .

T1.2. Beräkna a)  (7 − 2 x + 3x 2 ) dx



 4 1   8 z − 2  dz  z 



6x 2 − 2 x2

dx .

T1.3. Bestäm med hjälp av standardintegraler en primitiv funktion till b) g ( x) = 2e x − 4

a) f ( x) = x + cos x

c) h(v) =

1 cos 2 v

+ sin v .

T1.4. Bestäm den primitiva funktion till f ( x) = 3 − 4 x vars graf går genom punkten (1;1). T1.5. Beräkna, med hjälp av integreringsregeln



f ′( x) dx = ln f ( x) + C , f ( x)

följande integraler:

 x +1



1 dv tan v

 4− x x

 x + 2x + 3 2x + 2

 x +3 x4

 2e + 1 dr

 x + 2x + 3 dx x +1

er r

T1.6. Bestäm en primitiv funktion till a) cos(3v)

b) sin(2t + 5)

e) Varför är inte

14 14

c) e −2 x

d) tan(3v + π4 ) .

sin(v 2 ) en primitiv funktion till cos(v 2 ) ? 2v

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

1.6. Partiell integration Låt F(x) vara en godtycklig primitiv funktion till f (x) och låt g(x) vara en deriverbar funktion. Antag också att f (x) och g´(x) är kontinuerliga. Produktregeln för derivering ger då

D [ F ( x) g ( x)] = F ′( x) g ( x) + F ( x) g ′( x) = f ( x) g ( x) + F ( x) g ′( x) . Om man löser ut f (x)g(x) erhålls

f ( x) g ( x) = D [ F ( x) g ( x)] − F ( x) g ′( x) . Eftersom såväl f (x)g(x) som F(x)g´(x) är kontinuerliga har båda dessa uttryck primitiva funktioner. Integration av båda leden ger

 f ( x) g ( x)dx =  D [ F ( x) g ( x)] dx −  F ( x) g ′( x) dx . Eftersom  D [ F ( x) g ( x)] dx = F ( x) g ( x) + C följer att

 f ( x) g ( x) dx = F ( x) g ( x) −  F ( x) g ′( x) dx . [ Integrationskonstanten från  D [ F ( x) g ( x)] dx ingår i  F ( x) g ′( x) dx .] Denna integreringsregel kallas partiell integration (PI) och motsvarar deriveringsregeln för en produkt av två funktioner.

Sats 1.6.1. PARTIELL INTEGRATION

 f ( x) g ( x) dx = F ( x) g ( x) −  F ( x) g ′( x) dx Minnesregel: Om man betecknar integration med  (gradtalet för en potensfunktion stiger vid integration), och derivering med  (gradtalet för en potensfunktion sjunker vid derivering), kan regeln för partiell integration skrivas:



↑

f ( x) g ( x) dx = F ( x) g ( x) −  F ( x) g ′( x) dx . ↓

↓

Observera att integrationen sker direkt, medan deriveringen sker med ”ett stegs fördröjning”. ©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

1515

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Partiell integration används huvudsakligen på följande två sätt.

I Då man har en funktion g(x) i integranden vars derivata är lättare att integrera än funktionen själv, t.ex. ln x , arctan x . II Då man vill sänka gradtalet för ett polynom g(x) genom derivering. En förutsättning för båda metoderna är att f (x) är ”lätt” att integrera direkt. Vi studerar först ett exempel på metod I där vi vill derivera ln x .

Ex. 1.17. Beräkna  ln x dx . Lösning: ↑

 ln x dx =  1⋅ ln↓ x dx = ( PI ) = x ⋅ ln↓ x−  x ⋅ 1x dx = x ln x −  1 dx = = x ln x − ( x + K ) = x ln x − x − K = x ln x − x + C 

Vi fortsätter med ett exempel på metod II där vi vill derivera polynomet x. Ex. 1.18. Beräkna  x cos x dx . Lösning: ↑

 x cos x dx =  cos x⋅ x dx = ( PI ) = sin x ⋅ x −  sin x ⋅1 dx = ↓

↓

= x sin x +  (− sin x) dx = x sin x + cos x + C  Om man har ett polynom av högre gradtal kan man ”derivera ner” detta till en konstant genom flera partiella integrationer. Ex. 1.19. Bestäm en primitiv funktion till x 2 e x . Lösning: ↑

↑

2 x 2 x x 2 x x  x e dx = ( PI ) = x e −  2 x ⋅ e dx = x e − 2 x⋅ e dx = ( PI ) = ↓

↓

= x 2 e x − 2( x⋅ e x −  1 ⋅ e x dx) = x 2 e x − 2 xe x + 2e x = ( x 2 − 2 x + 2)e x  ↓

16 16

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Ibland kan man genom flera partiella integrationer komma tillbaka till ”nästan samma integral”. Ex. 1.20. Bestäm en primitiv funktion till sin x cos( 4 x). Lösning: ↑

I =  sin x cos( 4 x) dx =  sin x⋅ cos( 4 x) dx = ( PI ) = ↓

= − cos x ⋅ cos( 4 x) −  ( − cos x ⋅ (− sin(4 x) ⋅ 4) dx = ↓

↑

= − cos x cos(4 x) − 4 cos x⋅ sin(4 x) dx = ( PI ) = ↓

= − cos x cos(4 x) − 4[sin x ⋅ sin(4 x) −  sin x ⋅ cos(4 x) ⋅ 4 dx] = ↓

= − cos x cos(4 x) − 4 sin x sin(4 x) + 16  sin x cos( 4 x) dx = h + 16 I   h( x)

Det följer att 1 ( − h) = 1 [cos x cos(4 x) + 4 sin x sin(4 x)] .  I = h + 16 I ⇔ − h = 15I ⇔ I = 15 15

Ex. 1.21. Med hjälp av partiell integration kan man fylla en del tomrum i tabellen över de elementära funktionernas primitiva funktioner. Härled en primitiv funktion till a) ln x

b) arctan x

c) arcsin x .

Lösning: a)  ln x dx = x ln x − x (Se exempel 1.17, sid. 16!) ↑

b)  arctan x dx =  1⋅ arctan x dx = ( PI ) = x ⋅ arctan x − ↓

= x arctan x −

↓

1 2

 x +1 2x



x⋅

dx = x arctan x −

1 2

x +1

dx =

1 ln( x 2 + 1) 2 17 17

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Partiell integration↑används huvudsakligen på följande två sätt.1 c)  arcsin x dx =  1⋅ arcsin x dx = ( PI ) = x ⋅ arcsin x − x ⋅ dx = ↓ g(x) i integranden vars ↓ derivata är lättare I Då man har en funktion 1 − x 2 att integrera än funktionen själv, t.ex. ln x , arctan x .  1 −x −x  II man xvill dx = för D ett 1 −polynom x 2 = g(x) genom )= = Då x arcsin + sänka gradtalet ⋅ (−2 xderivering. = 2 2 2   1− x 2 1− x 1− x   En förutsättning för båda metoderna är att f (x) är ”lätt” att integrera direkt. Vi studerar först ett exempel på metod I där vi vill derivera ln x . = x arcsin x + D 1 − x 2 dx = x arcsin x + 1 − x 2 



Ex. 1.17. Beräkna  ln x dx . Testuppgift till avsnitt 1.6 Lösning: T1.7. Beräkna med hjälp av partiell integration ↑

3 x dx ln ln x −x sin x ⋅x1xdx dx = xd)ln xx−2 sin = a) ln ln =x dx  1⋅ ln↓b)  xx dx  = ( PIx )dx= x ⋅ c)   1 dxx dx ↓

e)  ( x 3 + 1=)exxlndxx − (f) x sinh . x − K = x ln x − x + C  x + K ) = xxlndxx − 1.7. Integration genom substitution Vi fortsätter med ett exempel på metod II där vi vill derivera polynomet x. Antag att funktionen F är en primitiv funktion till f och att funktionen g är deriverbar. Deriveringsregeln för sammansatt funktion ger då att Ex. ′(t )x=dxf .( g (t )) g ′(t ) DF 1.18. ( g (t ))Beräkna = F ′( g (t))xgcos och under vissa förutsättningar följer då att Lösning: g (t )) g ′(t ) dt =↑  F ′( g (t )) g ′(t ) dt =  DF ( g (t )) dt = F ( g (t )) + C =  xf (cos x dx =  cos x⋅ x dx = ( PI ) = sin x ⋅ x −  sin x ⋅1 dx =  ↓ ↓ = [x = g (t )] = F ( x) + C =  f ( x) dx . = x sin x +  (− sin x) dx = x sin x + cos x + C 

Vi ser att g ′(t ) dt har ersatts av dx . Om man har ett polynom av man ”derivera Minnesregel: Derivering av högre avseende på t ger ner” detta x = g (tgradtal ) med kan till en konstant genom flera partiella integrationer. dx d = g (t ) = g ′(t ) och “uppflyttning” av dt till HL ger: dx = g ′(t )dt. dt dt Ex. 1.19. Bestäm en primitiv funktion till x 2 e x . Nedanstående resultat är alltså den integreringsregel som motsvarar deriveringsregeln för sammansatt funktion. Lösning: ↑

↑

2 x x x e dx = ( PIINTEGRATION ) = x 2 e x −  2 x ⋅ eGENOM dx = x 2 e SUBSTITUTION − 2  x⋅ e x dx = ( PI ) =  x Sats 1.7.1. ↓

↓

f ( x) dx = f ( g (t )) g ′(t ) dt där x = g (t ) = x 2e x − 2( x⋅ e x−  1 ⋅ e x dx) = x 2 e x − 2 xe x + 2e x = ( x 2 − 2 x + 2)e x  ↓

18 16 18

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

OBS! Förutsättningarna i sats 1.7.1 är att funktionen f är kontinuerlig, att funktionen g är deriverbar med kontinuerlig derivata och att Vg  Df . Vi antar även att g(x) är strängt växande, (eller strängt avtagande), så att man entydigt kan lösa ut x ur uttrycket t = g(x). I praktiskt räknearbete används ofta varianter av satsen för vilka förutsättningarna inte är lika restriktiva. Man bör då genom derivering av slutresultatet kontrollera att detta är korrekt.

Ex. 1.22. Beräkna



4x − 2 dx . (2 x + 1) 2

Lösning: Vi förenklar nämnaren genom att sätta: t = g ( x) = 2 x + 1. g ( x) = 2 x + 1 är strängt växande, så vi kan entydigt kan lösa ut x enligt t = 2 x + 1 ⇔ t − 1 = 2 x ⇔ x = 12 t − 12 varav dx d 1 = ( t − 12 ) = 12 → dx = 12 dt . dt dt 2 Räkningarna ställs lämpligen upp enligt följande:



dx = 1  x = 12 t − 12  dt 2 = dx ;  = 2 1 (2 x + 1)  t = 2 x + 1 dx = 2 dt 



4x − 2

2t − 4 1 2 dt = t2

= ln t − 2

t

t−2 2

dt =

t

t 2

dt − 2



4( 12 t − 12 ) − 2 1

1 dt = t2



dt =



1 dt − 2 t − 2 dt = t

t −2 +1 2 2 + C = ln t + + C = ln 2 x + 1 + +C .  t 2x + 1 − 2 +1

OBS! Svaret skall ges i den ursprungliga variabeln x. Man måste alltså ”byta tillbaka” t mot 2 x + 1 , när integrationen är fullständigt genomförd. 2   Kontroll: D ln 2 x + 1 + + C  = D ln 2 x + 1 + 2 D(2 x + 1) −1 + DC = 2x + 1   =

2(2 x + 1) 4 4x − 2 2 + 2( −1)(2 x + 1) − 2 ⋅ 2 + 0 = − = OK! 2 2 2x + 1 (2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + 1) 2

©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

1919

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Ex. 1.23. Visa att



1 2

x +a

dx =

1 x arctan + C , där a (≠ 0) är en konstant. a a

Lösning: Eftersom integralen liknar standardintegralen



1 x2 +1

dx = arctan x + C

skriver vi om x 2 + a 2 genom att bryta ut a 2 så att vi, i stället för a 2 , ”får en etta” efter kvadrattermen. 2

x +a =

a2 ⋅ x2 a2

Substitutionen t =

2    2  x  + a = a  2 + 1 = a   + 1  a   a  2 

x ⇔ x = at ger oss nu en standardintegral. a a ≠0



dx = a   x = at dt ; dx =  = / t x a = dx = adt  x2 + a2 



a 2

dt =

a (t + 1)

1 a



1 2

t +1

dt =



1 2 2

a t + a2

a dt =

1 1 x arctan t + C = arctan + C VSV a a a

Resultatet i exempel 1.23 bör läggas på minnet, eftersom det är centralt vid integration av rationella funktioner, som behandlas i slutet av kapitlet.

Ex. 1.24. Beräkna



4 2

2x + 3

dx .

Lösning: Vi skriver om integralen, så att resultatet i exempel 1.23. kan användas.



2x 2 + 3

20 20

6 4

dx =

arctan



x 6 4

4 2( x 2 + 32 )

+C=

2 6 2

dx = 2

arctan

 x 6 2

1 x2 + ( +C=

3 2 ) 2

4 6

dx =

arctan

2 3 2

2x 6

arctan

x 3 2

+C=

+C 

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Ex. 1.25. Beräkna

x 2 + 1 dx.



Lösning: Vi vill uttrycka x 2 + 1 som en kvadrat för att få bort rottecknet. Hyperboliska ettan cosh 2 t − sinh 2 t = 1 ⇔ cosh 2 t = sinh 2 t + 1 ger oss idén till substitutionen x = sinh t ⇔ t = arsinh x. dx = cosh t   x = sinh t 2 ; dt x 2 + 1 dt =   =  sinh t + 1 cosh t dt =  t = arsinh x dx = cosh tdt 



=  cosh 2 t dt = =

 [1 + 12 (e

1 2

1 4

 (e

+ e −t ) 2 dt = 12 ⋅ 12  (e 2t + 2 + e −2t ) dt =

+ e −2t )] dt =

1 2

 (1 + cosh(2t )) dt =

= 12 (t + 12 sinh(2t )) + C = 12 (t + 12 ⋅ 2 sinh t cosh t ) + C = = 12 (arsinh x + x x 2 + 1) + C = 12 [ln( x + x 2 + 1) + x x 2 + 1] + C 

Ex. 1.26. Beräkna



1 − x 2 dx .

Lösning: Trigonometriska ettan cos 2 t + sin 2 t = 1 ⇔ cos 2 t = 1 − sin 2 t ger oss idén till substitutionen x = sin t. Då t inte går att lösa ut entydigt ur detta samband, gör vi inskränkningen x = sin t , − 2 ≤ t ≤ 2 ⇔ t = arcsin x. Inskränkningen innebär att resultatet av integrationen måste kontrolleras.  x = sin t , − 2 ≤ t ≤ 1 − x 2 dx =   t = arcsin x

 =



cos 2 t cos t dt =

 2

dx = cos t  ; dt = dx = cos tdt 

 cos t cos t dt = [−

 ≤ 2



1 − sin 2 t cos t dt =



t ≤ 2 ] = cos 2 t dt =

= [cos(2t ) = 2 cos 2 t − 1 ⇔ cos 2 t = 12 (1 + cos(2t ))] = =

1 2

 (1 + cos(2t ) )dt =

1 (t 2

+ 12 sin(2t )) + C = 12 (t + sin t cos t ) + C =

= 12 (t + sin t 1 − sin 2 t ) + C = 12 (arcsin x + x 1 − x 2 ) + C  ©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

2121

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Kontroll: D [ 12 (arcsin x + x 1 − x 2 ) + C ] = 12 D arcsin x + 12 D ( x ⋅ 1 − x 2 ) + DC = =

− 2x 1  1 + 1⋅ 1 − x2 + x ⋅  2  1 − x2 2 1 − x2

1  1 − x 2 =  2  1− x2 

)

(

 1 + 1 − x  =  2  2

( 1− x

2    + 0 = 1  1 − x + 1− x2  2  1 − x 2 

)

+ 1− x2 =

 =  

1 ⋅ 2 1 − x2 = 1− x2 2

Då man vill förenkla genom att sätta t = g (x), men inte kan lösa ut x entydigt, dt = g ′(x ) varav dt = g ′( x) dx. klarar man sig ibland genom att derivera direkt: dx

Ex. 1.27. Bestäm en primitiv funktion till x 3 x 4 + 1 . Lösning:



= 14

x + 1 dx =

1 1 +1 2

1 +1



3 dt  t = x 4 + 1 dx = 4 x  x + 1 x dx = ;  1 dt = x 3 dx  4 4

= 16 ( x 4 + 1)

1+ 1

 1  = t2  



1 4

dt =

= 16 ( x 4 + 1)1 ( x 4 + 1) 2 = 16 ( x 4 + 1) x 4 + 1

t = g ( x) = x 4 + 1 är varken är strängt växande eller strängt avtagande. Det går inte här att lösa ut x entydigt. [ x = ± 4 t − 1] Vi deriverar därför slutresultatet som en kontroll. 3

D[ 16 ( x 4 + 1) 2 ] = 16 ⋅ 32 ( x 4 + 1) 2 D ( x 4 + 1) =

1 ( x 4 + 1) 2 4

4x 3 = x 3 x 4 + 1 

Anm. Av kontrollen framgår det också att substitutionen fungerar eftersom

x 3 är inre derivatan av x 4 + 1 så när som på konstanten 4. Den rutinerade integreraren skulle därför ha kunnat lösa uppgiften på följande sätt:



x 3 x 4 + 1 dx =

= 14 2222



x 4 + 1 x 3 dx = 14 ( x 4 + 1) 2 (4 x 3 ) dx =



f ( g ( x)) g ′( x) dx = 14 DF ( g ( x)) dx = 14 F ( g ( x)) = 14 ⋅ 23 ( x 4 + 1) 2 . © F Ö R F A och T T A R E Studentlitteratur N OCH STUDENTLITTERATUR Författaren

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

1.7.1. Rotsubstitutioner

Om integranden innehåller ett rotuttryck g ( x) = n substitutionen t = g ( x) = n

ax + b lönar sig ofta cx + d

ax + b . cx + d

Ex. 1.28. Bestäm en primitiv funktion till

x+2 . x +1

Lösning:



 t = 3 x + 1 dx = 3t 2  dx =  ; dt = 3 x +1 dx = 3t 2 dt   x = t − 1

x+2 3



t3−1+ 2 2 3t dt = t



3 2 = 3 (t 3 + 1) t dt = 3 (t 4 + t ) dt = 3( 15 t 5 + 12 t 2 ) = 10 t (2t 3 + 5) =

= 103

(

)

3 3 x + 1 (2( x + 1) + 5) = 10 ( x + 1) 2 (2 x + 7) 

1.7.2. Trigonometriska substitutioner 1. Integraler av typerna

 f (cos x) sin x dx ,  f (sin x) cos x

dx och

 f (tan x) dx

kan förenklas med substitutionerna t = cos x , t = sin x respektive t = tan x . Ex. 1.29. Beräkna  cos 5 x sin x dx . Lösning: Integralen är av typen

 f (cos x) sin x dx .

dt = − sin x t = cos x dx  ;  cos x sin x dx =  − dt = sin xdx  5

  =  t 5 (− dt ) = −  t 5 dt = 

= − 16 t 6 + C = − 16 cos 6 x + C  Anm. Substitutionen fungerar eftersom sin x är inre derivatan av (cos x) 5 sånär som på konstanten −1.

©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

2323

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Ex. 1.30. Beräkna  cos 5 x dx . Lösning:

 cos

x dx =  cos 4 x cos x dx = [cos 2 x + sin 2 x = 1 ⇔ cos 2 x = 1 − sin 2 x] =

dt = cos x t = sin x dx ; =  (1 − sin x) cos x dx =   dt = cos x dx 2

  =  (1 − t 2 ) 2 dt = 

=  (1 − 2t 2 + t 4 ) dt = t − 23 t 3 + 15 t 5 + C = sin x − 23 sin 3 x + 15 sin 5 x + C 

Ex. 1.31. Bestäm en primitiv funktion till tan x +

1 . tan x

Lösning:



dt = 1 + tan 2 x = t 2 + 1   dx tan t = x 1     ; 1  tan x +  dx =  = dx = dt tan x     t2+1



 1 1  t +  2 dt =  t  t +1



t2+1 1 ⋅ 2 dt = t t +1



1 dt = ln t = ln tan x  t

2. En allmän, men arbetskrävande, substitutionsmetod för trigonometriska integrander illustreras i följande exempel. Idén är att använda formlerna för dubbla vinkeln till att uttrycka sinus och cosinus i tangens. Ex. 1.32. Bestäm en primitiv funktion till

1 . 1 + cos x + sin x

Lösning:

Vi startar med att skaffa oss dubbla vinkeln genom substitutionen x = 2v. I=



dx = 2  x = 2v 1 dv dx =  ; 1 1 + cos x + sin x  v = 2 x dx = 2 dv

 = 



2 dv 1 + cos(2v) + sin(2v)

Vi uttrycker cos(2v) och sin(2v) i tan v med hjälp av formlerna för dubbla vinkeln och trigonometriska ettan. 24 24

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

cos(2v) = cos 2 v − sin 2 v =

sin(2v) = 2 sin v cos v =

cos 2 v − sin 2 v cos 2 v − sin 2 v 1 − tan 2 v = = 1 cos 2 v + sin 2 v 1 + tan 2 v

2 sin v cos v 2 sin v cos v 2 tan v = = 2 2 1 cos v + sin v 1 + tan 2 v

Efter att ha gjort dessa omskrivningar gör vi substitutionen t = tan v . I=



2 dv = 1 + cos(2v) + sin(2v)



2 2

2 1 + tan 2 v + 1 − tan 2 v + 2 tan v

1 − tan v 1 + tan 2 v

dv =



dv =

2 tan v 1 + tan 2 v

2(1 + tan 2 v) dv = 2(1 + tan v)

1 + tan v dt = 1 + tan 2 v = t 2 + 1   dv tan t v =   ; = 1 = dv = 2 dt   t +1



1+ t2 1 ⋅ 2 dt = 1+ t t +1

1 dt = ln 1 + t = ln 1 + tan v = ln 1 + tan 2x  1+ t

1.7.3. Substitution i uttryck som innehåller exponentialfunktioner Integraler av typen

Ex. 1.33. Beräkna

 f (e



) dx kan ofta förenklas med substitutionen t = e x .

e2x + 1 ex

dx .

Lösning:

 =

e2x + 1 ex



dx =

t2+1 t2

dt =

dt = e x = t   t = ex dx =  ; dx = x t dx t dt ln ( 1 / ) = =  



(e x ) 2 + 1



t2   + 1  dt =  (1 + t − 2 ) dt =  1 dt +  t − 2 dt = t2 t2   



t2+1 1 ⋅ dt = t t

= t − t −1 + C = e x − e − x + C  © F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR Författaren

2525

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Testuppgifter till avsnitt 1.7 T1.8. Bestäm, med hjälp av en lämplig substitution, en primitiv funktion till a) (2 x + 1) 49

9x + 6

(3 x + 1) 3

z3+ 1

T1.9. Bestäm, med hjälp av en rotsubstitution, en primitiv funktion till a)

1 x+ x

b) (7 x + 10)3 x + 2 .

T1.10. Beräkna a) t = 1 − x 2



x 1− x 2

dx med substitutionen

b) z = 1 − x 2

c) x = sin v .

T1.11. Beräkna med hjälp av lämplig trigonometrisk substitution a)  sinx cos x dx d)  tan v dv

b)  sin 4 x cos x dx

 1 + cos v 1

c)  sin 3 x dx



1 dv . 5 − 4 cos v

[ För f: se ex. 1.32.]

1.8. Integration av rationella funktioner En rationell funktion i x är ett uttryck av formen T(x)/N(x) där täljaren T(x) och nämnaren N(x) är polynom. Om gradT(x)  gradN(x) kan vi utföra en polynomdivision enligt (se del 1, sid. 33): T ( x) R( x) = K ( x) + där K(x) och R(x) är polynom sådana att N ( x) N ( x) grad K ( x) = gradT ( x) − gradN ( x) och gradR( x) < gradN ( x) .

Vid integration av en rationell funktion, dvs. vid beräkning av kan man alltså, om gradT(x)  gradN(x), utnyttja att 26 26



T ( x) dx , N ( x)

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL



T ( x) dx = N ( x)



 R( x)   K ( x) +  dx = N ( x)  



K ( x) dx +



R( x) dx . N ( x)

Då vi tidigare gått igenom hur man integrerar ett polynom K(x) räcker det alltså att i fortsättningen av detta kapitel studera integration av rationella uttryck av typen T(x)/N(x) där täljaren har lägre gradtal än nämnaren, dvs. då gradT(x) < gradN(x). gradN(x) = 1 ger standardintegraler. Hur gör man då när gradN(x) > 1? Vi börjar med att studera följande exempel på bråkräkning.

Ex. 1.34. Skriv

2 3 som ett bråk. + x −1 x − 4

Lösning: 2 3 2( x − 4) 3( x − 1) 2 x − 8 + 3x − 3 + = + = = x − 1 x − 4 ( x − 1)( x − 4) ( x − 1)( x − 4) ( x − 1)( x − 4) =

5 x − 11 5 x − 11 5 x − 11 = 2 = 2  ( x − 1)( x − 4) x − 4 x − x + 4 x − 5 x + 4

2 3 skall användas i ytterligare beräkningar är det + x −1 x − 4 oftast enklare att använda (5 x − 11) /( x 2 − 5 x + 4).

Om uttrycket

Vid integration av rationella uttryck är det i stället oftast enklare att gå den 5 x − 11 2 3 omvända vägen, dvs. att använda + i stället för 2 . x −1 x − 4 x − 5x + 4

Ex. 1.35.



5 x − 11 2

x − 5x + 4



1 dx + 3 x −1

dx =



3   2 +   dx =  x −1 x − 4

1 dx = 2 ln x − 1 + 3 ln x − 4 + C  x−4

5 x − 11 2 3 kallas en partialbråksuppdelning av uttrycket 2 . + x −1 x − 4 x − 5x + 4 Hur går det då till att partialbråksuppdela ett rationellt uttryck T ( x) / N ( x) där gradT(x) < gradN(x)? Vi börjar med fallet gradN(x) = 2. ©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

2727

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Fall 1. N ( x) = x 2 + ax + b och x 2 + ax + b = 0 har enkelrötterna x1 och x 2 . Faktoruppdela först nämnaren och ansätt sedan

 T ( x)   N ( x)

 T ( x) A B =  . = +  ( x − x1 )( x − x 2 ) x − x1 x − x 2

Ex. 1.36. Partialbråksuppdela

3x + 1 2

x − 4x + 3

Lösning: Vi börjar med att faktoruppdela nämnaren. N ( x) = x 2 − 4 x + 3 = x 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ x + 2 2 − 2 2 + 3 = ( x − 2) 2 − 12 = = [konjugatregeln] = ( x − 2 + 1)( x − 2 − 1) = ( x − 1)( x − 3) Ansätt sedan partialbråksuppdelningen

 3x + 1  A B 3x + 1   = = + .  x 2 − 4 x + 3  ( x − 1)( x − 3) x − 1 x − 3   Multiplikation av de båda sista leden ovan med ( x − 1)( x − 3) ger 3x + 1 =

A( x − 1)( x − 3) B ( x − 1)( x − 3) + = A( x − 3) + B ( x − 1) = x −1 x−3

= Ax − 3 A + Bx − B = ( A + B ) x − 3 A − B Konstanterna och koefficienterna för x i det första och det sista ledet måste vara identiska, vilket ger ekvationssystemet

  B = 3 − A = 3 − (−2) = 5   0 x : −3 A − B = 1  −3 A − (3 − A) = 1  A = −2

x1 : A + B = 3  B = 3 − A

Svar:

−2 3x + 1 5 + =  ( x − 1)( x − 3) x − 1 x − 3

Fall 2. N ( x) = x 2 + ax + b och x 2 + ax + b = 0 saknar reella rötter eller har en dubbelrot. I detta fall behövs ingen partialbråksuppdelning! Integralen  T ( x) / N ( x) dx löses i dessa fall genom kvadratkompletteringen x 2 + ax + b = x 2 + 2 ⋅ a2 ⋅ x + ( a2 ) 2 − ( a2 ) 2 + b = ( x + a2 ) 2 + b − ( a2 ) 2 följd av substitutionen t = x + a2 . 28 28

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Om ekvationen x 2 + ax + b = 0 saknar reella rötter sägs uttrycket x 2 + ax + b vara irreducibelt. Kvadratkompletteringen på föregående sida ger villkoret: x 2 + ax + b är irreducibelt ⇔ b − ( a2 ) 2 > 0. Vi har nu fullständigt utrett hur partialbråksuppdelning går till då nämnaren N ( x) = x 2 + ax + b, dvs. då nämnaren är ett andragradsuttryck. Hur gör man då när gradN ( x) ≥ 3 ? I dessa fall kommer nämnaren efter faktoruppdelning att innehålla faktorer av typerna ( x − a ) n och ( x 2 + ax + b) m där m och n är positiva heltal och där x 2 + ax + b ej går att faktoruppdela i reella faktorer. För varje sådan faktor måste man lägga till nya termer i partialbråksuppdelningen enligt följande, där Ak , B k och C k är konstanter oberoende av x. N (x) innehåller

Lägg till följande termer i partialbråksuppdelningen A1

( x − a) n

( x − a )1

( x 2 + ax + b) m

B1 x + C1 2

( x + ax + b)

( x − a) 2

++

B2 x + C 2

( x + ax + b)

An ( x − a) n

++

Bm x + C m ( x 2 + ax + b) m

Ex. 1.37. Ange vilka ansättningar som måste göras för att partialbråksuppdela följande rationella uttryck. a)

3x + 7

x 2 − 2x + 5 3x + 7

x 5 − 4 x 4 + 3x 3

3x + 7 x 3 − 2x 2 + 5x

3x + 7

x 4 − 2x 3 + 5x 2

x7 + 2 ( x − 4) 4 ( x 2 − 2 x + 5) 2

Lösning: a) N ( x) = x 2 − 2 x + 5 = x 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ x + 12 − 12 + 5 = ( x − 1) 2 + 4 dvs. N ( x) = x 2 − 2 x + 5 är irreducibel. Partialbråksuppdelningen klar!

b) N ( x) = x 3 − 2 x 2 + 5 x = x( x 2 − 2 x + 5) Ansats:

3x + 7 3

x − 2 x + 5x

3x + 7

x( x − 2 x + 5)

A Bx + C + 2 x x − 2x + 5 2929

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

c) N ( x) = x 4 − 2 x 3 + 5 x 2 = x 2 ( x 2 − 2 x + 5) Ansats:

3x + 7 4

x − 2 x + 5x

3x + 7

x ( x − 2 x + 5)

A B Cx + D + 2 + 2 x x x − 2x + 5

d) N ( x) = x 5 − 4 x 4 − 3 x 3 = x 3 ( x 2 − 4 x + 3) x 2 − 4 x + 3 = x 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ x + 2 2 − 2 2 + 3 = ( x − 2) 2 − 12 = ( x − 3)( x − 1)

Ansats:

3x + 7 5

x − 4 x + 3x

e) Ansats:

3x + 7

x ( x − 3)( x − 1)

x7 + 2 ( x − 4) 4 ( x 2 − 2 x + 5) 2

A B C D E + 2 + 3 + + x x x − 3 x −1 x

A B C D Ex + F Gx + H + + + + 2 + 2  2 3 4 x − 4 ( x − 4) ( x − 4) ( x − 4) x − 2 x + 5 ( x − 2 x + 5) 2

Anm. I stället för att ansätta t.ex.

A B C + 2 + 3 kan man utnyttja att x x x

A B C A ⋅ x2 B⋅x C Ax 2 + Bx + C + 2 + 3 = + + = x x x x ⋅ x2 x2 ⋅ x x3 x3 och ansätta

Ax 2 + Bx + C x3

Minnesregel: I ansättningen skall täljarens gradtal skall vara en enhet lägre än nämnarens. I detta fall gradT ( x) = gradN ( x) − 1 = 3 − 1 = 2. A Bx + C och 2 Denna minnesregel stämmer även för ansatserna . x−4 x − 2x + 5 Ex. 1.38. Evaluera integralen



4 x 2 + 25 x 4 − 2 x 3 + 5x 2

dx .

Lösning: Partialbråksuppdela!

 4 x 2 + 25  4 x 2 + 25 A B Cx + D  Ansats:  4 = = + +  x − 2 x 3 + 5 x 2  x 2 ( x 2 − 2 x + 5) x x 2 x 2 − 2 x + 5   30 30

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Multiplikation av de båda sista leden med x 2 ( x 2 − 2 x + 5) ger: 4 x 2 + 25 = Ax( x 2 − 2 x + 5) + B ( x 2 − 2 x + 5) + (Cx + D) x 2 . Utveckling av HL ger 4 x 2 + 25 = ( A + C ) x 3 + (−2 A + B + D) x 2 + (5 A − 2 B ) x + 5 B . Koefficienterna i VL och HL ovan måste vara lika varav

  A = 52 B = 2 C = − A  D = 2 A − B + 4 B = 5 x 2 : −2 A + B + D = 4     ⇔   2 1 x : 5 A − 2B = 0  C = − A = −2 A = 5 B 0   D = 2 A − B + 4 = 3  B = 5 x : 5 B = 25

x3 : A + C = 0

Med hjälp av partialbråksuppdelningen 4 x 2 + 25 2

x ( x − 2 x + 5)



4 x 2 + 25 x 2 ( x 2 − 2 x + 5)



A B Cx + D 2 5 − 2x + 3 får vi + 2 + 2 = + 2 + 2 x x x − 2x + 5 x x x − 2x + 5 dx =



1 dx + 5 x − 2 dx + x

2 5 − 2 x + 3   + dx = +  x x 2 x 2 − 2x + 5   



− 2x + 3 x 2 − 2x + 5

dx = I 1 + I 2 + I 3

x −2 +1 x −1 5 där I 1 = 2 ln x , I 2 = 5 =5 = − och − 2 +1 −1 x I3 =



− 2x + 3 2

x − 2x + 5

dx =



 t = x − 1 dx = 1  = ; dt = x t = + 1 dx = dt   =−



2t 2

t +4

dt +



1 2

t +2

= − ln( x 2 − 2 x + 5) +

− 2x + 3 2

( x − 1) − 1 + 5



dx =

− 2(t + 1) + 3 2

t +4

dt =

dt = − ln(t 2 + 4) +

 

− 2x + 3 ( x − 1) 2 + 4 − 2t + 1 t2+ 4

dx =

dt =

1 t arctan + C = 2 2

x −1 1 +C. arctan 2 2

3131

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

En sammanfattning ger



4 x 2 + 25 x 4 − 2x 3 + 5x 2

=−

dx = I 1 + I 2 + I 3 =

x −1 5 1 + 2 ln x − ln( x 2 − 2 x + 5) + arctan +C.  x 2 2

Vissa koefficienter i partialbråksuppdelningar kan bestämmas på ett snabbare sätt med den s.k. handpåläggningsmetoden. Följande exempel demonstrerar hur metoden fungerar.

Ex. 1.39. Partialbråksuppdela uttrycket Ansats:

3x + 4 . ( x − 1)( x − 2)

3x + 4 A B = + (som förut) ( x − 1)( x − 2) x − 1 x − 2

Multipliceras nu båda leden i denna likhet med x − 1 får vi ( x − 1)(3 x + 4) ( x − 1) A ( x − 1) B 3x + 4 B ( x − 1) = +  = A+ . ( x − 1)( x − 2) x −1 x−2 x−2 x−2 Insättning av x = 1 i den sista likheten ger att 3 ⋅1 + 4 7 B (1 − 1) B⋅0 = A+  = A+  A = −7 . 1− 2 1− 2 −1 −1 Vi får alltså A genom att stryka (”lägga handen på”) samma faktor i 3x + 4 som står under A, nämligen x − 1 , och sedan uttrycket ( x − 1)( x − 2) sätta in nollstället till denna faktor, dvs. x = 1. Detta kan skrivas som

 3x + 4  3 ⋅1 + 4 7  3x + 4  = = = −7 . A= =   1− 2 −1  ( x − 1)( x − 2)  x =1  x − 2  x =1 För konstanten B ger handpåläggningsmetoden att

 3x + 4  3 ⋅ 2 + 4 10  3x + 4  = = = 10 .  B= =   2 −1 1  ( x − 1)( x − 2)  x = 2  x − 1  x = 2 32 32

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Ex. 1.40. Partialbråksuppdela

x+8 . ( x − 2)( x + 3)( x − 4)

Lösning: Ansats:

x+8 A B C = + + där ( x − 2)( x + 3)( x − 4) x − 2 x + 3 x − 4

    2+8 x+8 x+8 = A= = = −1    ( x − 2)( x + 3)( x − 4)  x =2  ( x + 3)( x − 4)  x=2 (2 + 3)(2 − 4)     −3+8 x+8 x+8 1 = B= = =    ( x − 2)( x + 3)( x − 4)  x =−3  ( x − 2)( x − 4)  x =−3 (−3 − 2)(−3 − 4) 7     x+8 x+8 4+8 6 = C= = =     ( x − 2)( x + 3)( x − 4)  x=4  ( x − 2)( x + 3)  x=4 (4 − 2) ⋅ (4 + 3) 7 Handpåläggningsmetoden har dock vissa begränsningar, vilket framgår om vi tillämpar den på exempel 1.38. Vi skulle då partialbråksuppdela 4 x 2 + 25 2

x ( x − 2 x + 5)

och gjorde därför ansatsen

A B Cx + D + 2 + 2 . x x x − 2x + 5

Här kan endast B erhållas direkt med handpåläggningsmetoden.

 4 x 2 + 25   4 x 2 + 25  25 B= 2 2 = = =5    2  x ( x − 2 x + 5)  x = 0  x − 2 x + 5  x = 0 5 Försök att bestämma A med handpåläggningsmetoden misslyckas däremot eftersom detta ger

   4 x 2 + 25  4 x 2 + 25 A= =     x ⋅ x( x 2 − 2 x + 5)  x =0  x( x 2 − 2 x + 5)  x = 0 och vi kan inte sätta in x = 0 i uttrycket

4 x 2 + 25 x( x 2 − 2 x + 5)

, ty nämnaren blir 0.

Det är ändå lämpligt att, åtminstone som kontroll, bestämma de konstanter som är möjliga att bestämma med handpåläggningsmetoden. © F Ö R F A T T A R E N O och C H S T Studentlitteratur UDENTLITTERATUR Författaren

33 33

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Anm. Man kan lösa problemet med att bestämma A på följande sätt: Multiplikation av 4 x 2 + 25 2

x − 2x + 5

4 x 2 + 25 2

x ( x − 2 x + 5)

= Ax + B + x 2

A B Cx + D + 2 + 2 med x 2 ger x x x − 2x + 5

Cx + D 2

x − 2x + 5

. [Här följer att x = 0 ger B = 5. ]

Derivering av den sista likheten ovan ger (med hjälp av produktregeln i HL) Cx + D d 4 x 2 + 25 d Cx + D = A + 2x 2 + x2 . 2 dx x − 2 x + 5 dx x 2 − 2 x + 5 x − 2x + 5 Insättning av x = 0 ger att HL = A så att

 d 4 x 2 + 25   d 4 x 2 + 25  = A= varav     dx x 2 − 2 x + 5  x = 0  dx x 2 ( x 2 − 2 x + 5)  x = 0  ( x 2 − 2 x + 5) ⋅ 8 x − (4 x 2 + 25)(2 x − 2)  5 ⋅ 0 − 25 ⋅ (−2) A= = = 2.  2 2  x =0  ( x − 2 x + 5) 52 C och D får man sedan ur

4 x 2 + 25 x 2 ( x 2 − 2 x + 5)

Ax + B x2

Cx + D x 2 − 2x + 5

som ger

Cx 3 + Dx 2 = 4 x 2 + 25 − ( Ax + B)( x 2 − 2 x + 5) = = 4 x 2 + 25 − (2 x + 5)( x 2 − 2 x + 5) = −2 x 3 + 3 x 2 varav C = −2, D = 3 .

Sammanfattning av tillvägagångsättet för partialbråksuppdelning av rationella funktioner T(x)/N(x): 1. Utför polynomdivision om gradT ( x) ≥ gradN ( x) . 2. Faktoruppdela N (x) i ”förstagradsfaktorer” och ”andragradsfaktorer som inte går att dela upp ytterligare i reella förstagradsfaktorer”. 3. Ansätt en partialbråksuppdelning med okända koefficienter. 4. Bestäm de okända koefficienterna genom att sätta på gemensamt bråkstreck och identifiera täljarna. 5. Kontrollera de värden som bestämts på de okända koefficienterna genom att även bestämma så många koefficienter som möjligt med handpåläggningsmetoden. 34 34

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

PRIMITIVA FUNKTIONER TILL PARTIALBRÅK f (x)

F (x)

( x − a ) −1

ln x − a

( x − a) − n , n ≥ 2

( x − a )1− n 1− n

Ax + B

B − a2 A x + a2 A 2 ln( x + ax + b) + arctan 2 b − ( a2 ) 2 b − ( a2 ) 2

x 2 + ax + b  irreducibel

Bevis: De två första primitiverna ges av standardintegraler. För den tredje ger kvadratkomplettering och substitutionsmetoden



Ax + B x 2 + ax + b

dx =



 t = x + a2 dx = 1 ; dt dx =  a dx = dt ( x + a2 ) 2 + b − ( a2 ) 2  x = t − 2    Ax + B

 = 

= c2 > 0



A(t − a2 ) + B 2

t +c

dt =

A 2



2t 2

t +c

dt + ( B −

a 2



1 2

t + c2

dt =

B − aA A t 2 ln(t 2 + c 2 ) + arctan = [t 2 + c 2 = x 2 + ax + b] = 2 c c

B − a2 A x + a2 A 2 arctan = ln( x + ax + b) + . VSB 2 b − ( a2 ) 2 b − ( a2 ) 2

Uppgifter som leder till att man behöver bestämma primitiva funktioner till rationella funktioner av typen ( Ax + B ) /( x 2 + ax + b) m , m ≥ 2 , kräver ett omfattande räknearbete och vi avstår från att här ge en uttömmande framställning. (Se appendix för en fullständig framställning.) Räkningarna kan dock förenklas med hjälp av Hermites metod, som presenteras på nästa sida. ©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

3535

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Hermites metod. (Charles Hermite, fransk matematiker, 1822–1901) Antag att R( x) = T ( x) / N ( x) där gradT ( x) < gradN ( x) och N ( x) = C ( x − x1 ) m1 ( x − x 2 ) m2 ⋅ ⋅ ⋅ ( x 2 + a1 x + b1 ) n1 ( x 2 + a 2 x + b2 ) n2 ⋅ ⋅ ⋅

Då är



T ( x) T ( x) dx = 1 + N ( x) N 1 ( x)



T2 ( x ) dx där N 2 ( x)

N 2 ( x) = ( x − x1 )( x − x 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x 2 + a1 x + b1 )( x 2 + a 2 x + b2 ) ⋅ ⋅ ⋅

[ N 2 ( x) har alltså samma faktorer som N ( x) , men enkla.] N 1 ( x ) = N ( x) / N 2 ( x ) T1 ( x) och T2 ( x) har lägre gradtal än N 1 ( x) respektive N 2 ( x).

Ex. 1.41. Beräkna



( x 2 + 2 x + 2) 2

dx .

Lösning: N ( x) = ( x 2 + 2 x + 2) 2 , N 2 ( x) = x 2 + 2 x + 2 N ( x) ( x 2 + 2 x + 2) 2 = = x 2 + 2x + 2 2 N 2 ( x) x + 2x + 2

N 1 ( x) =

Ansats:



x3 2

( x + 2 x + 2)

dx =

Ax + B

x + 2x + 2



Cx + D 2

x + 2x + 2

Derivering av båda leden ger x3 2

( x + 2 x + 2)

( x 2 + 2 x + 2) A − ( Ax + B )(2 x + 2) 2

( x + 2 x + 2)

Cx + D 2

x + 2x + 2

och multiplikation av båda leden med ( x 2 + 2 x + 2) 2 ger oss x 3 = ( x 2 + 2 x + 2) A − ( Ax + B )(2 x + 2) + (Cx + D )( x 2 + 2 x + 2) = = Cx 3 + (− A + 2C + D) x 2 + (−2 B + 2C + 2 D ) x + 2 A − 2 B + 2 D 36 36

KAPITEL 1. OBESTÄMD INTEGRAL

Koefficienterna i det sista och första ledet måste vara lika varav

 C = 1 A = D + 2 = 1   B = D + 1 = 0 x 2 : − A + 2C + D = 0   A = D + 2C = D + 2  ⇔ ⇔ 1 x : −2 B + 2C + 2 D = 0 B = D + C = D + 1 C = 1 0  D + 2 − ( D + 1) + D = 0  D = −1 x : 2 A − 2 B + 2 D = 0 

x3 : C = 1

Hermites metod ger alltså att



( x 2 + 2 x + 2) 2

dx =

1x + 0 x 2 + 2x + 2



1x − 1 x 2 + 2x + 2

där



x −1 2

x + 2x + 2

dx =



x −1 2

x + 2 ⋅1 ⋅ x + 1 − 1 + 2

 t = x + 1 dx = 1  ; dt = = dx = dt  x = t − 1 =



t −1−1 2

t +1

dt =

1 2



dx =



2t 2

t +1

x −1

( x + 1) 2 + 1

dt − 2



dx =

1 2

t +1

dt =

1 1 ln(t 2 + 1) − 2 arctan t + C = ln( x 2 + 2 x + 2) − 2 arctan( x + 1) + C . 2 2

En sammanfattning ger svaret

 =

x3 2

( x + 2 x + 2) x 2

x + 2x + 2

dx =

x 2

x + 2x + 2



x −1 2

x + 2x + 2

dx =

1 ln( x 2 + 2 x + 2) − 2 arctan( x + 1) + C .  2

3737

Håkan Blomqvist är civilingenjör och teknologie doktor i matematik. Han har som universitetslektor i matematik vid Chalmers tekniska högskola fått en omfattande erfarenhet av undervisning på såväl högskole- som civilingenjörsutbildningar. Dessa erfarenheter ligger till grund för denna bok. Författaren är en mycket omtyckt föreläsare och har genom åren erhållit flera pedagogiska priser.

Envariabelanalys för teknisk högskola Del 2 Boken är den andra i en serie om tre och omfattar de områden som brukar tas upp i en andra matematikkurs på tekniska högskolor: primitiva funktioner, parametriserade kurvor, integraler med tillämpningar, generaliserade integraler, komplexa tal, differentialekvationer med tillämpningar, taylor- och maclaurinutvecklingar, talföljder, numeriska serier, potensserier, funktionsföljder och funktionsserier. Boken innehåller ett stort antal övningsuppgifter och utförligt lösta exempel, vilket bidrar till en ökad förståelse av såväl begrepp som teori. De två första böckerna i bokserien är avsedda för både högskoleingenjörs- och civilingenjörsutbildningar och är upplagda så att de förstnämnda kan välja att hoppa över mer krävande teori. Del ett i bokserien behandlar matematikens byggstenar och struktur, funktionsbegrepp, exponential- och logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner och arcusfunktioner, gränsvärden, derivata, kurvkonstruktion samt högre derivator med tillämpningar. Del tre i bokserien behandlar flervariabelanalys och är främst avsedd för civilingenjörsutbildningar.

Art.nr 44076

studentlitteratur.se