VARIABEL B2 Elevpaket – Digitalt + Tryckt
LÄS OCH PROVA ELEVPAKETETS SAMTLIGA DELAR
VARIABEL B2 Elevpaket – Digitalt + Tryckt Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.
ELEVBOK I Variabel behandlas olika matematiska områden. Efter en kortare introduktion följer en serie problemlösningsuppgifter som alla ger en variation av samma princip för att lösa problemet samtidigt som eleverna successivt leds fram till nya begrepp eller nya metoder.
DIGITALT LÄROMEDEL Materialet innehåller bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna. Till varje avsnitt i finns också en kort filmad introduktion.
Digital version av b oken, inläst med autentiskt tal och textföljning
Filmer
Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon
klicka på bilden och prova
B2
VARIABEL MATEMATISK PR O BLEMLÖSNING Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn
Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress: Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se
Bilder: Vectorstock.com sid. 8, 11, 17, 23, 27, 35, 43, 47, 53, 56, 63 Övriga bilder: Shutterstock.com
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
Art.nr 43797 ISBN 978-91-44-14496-2 Upplaga 1:1 © 2021 Författarna och Studentlitteratur AB Grafisk formgivning och omslag: Karin Österlund Printed by Dimograf, Polen 2021
INNEH Å LL 1 TAL I BRÅKFORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Talens plats på tallinjen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Förlängning och förkortning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Euklides algoritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 ADDITION OCH SUBTRAKTION
AV TAL I BRÅKFORM .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Addition av tal i bråkform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Subtraktion av tal i bråkform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 MULTIPLIKATION
AV TAL I BRÅKFORM .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Multiplikation med ett naturligt tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Multiplikation av två tal i bråkform .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 DIVISION MED TAL I BRÅKFORM . . . . . . . .
29
Division med ett naturligt tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Division med ett tal i bråkform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Inverser och formler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 TAL I DECIMALFORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Tal i decimalform och bråkform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Operationer med tal i decimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Räknelagar och inverser .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Parametrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
FACIT VARIABEL B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1
TAL I BRÅKFORM Tal i bråkform har använts av mänskligheten i flera tusen år. Användningen av tal i decimalform är däremot något relativt nytt och hänger samman med metersystemet. I Sverige infördes metersystemet först år 1879. Dagens flitiga användning av tal i decimalform är således något relativt nytt.
De rationella talen, alltså tal som kan skrivas i bråkform, används på en rad olika sätt inom skolans matematik: • som tal • för att beskriva en del av ett antal • för att beskriva en andel • för att beskriva ett förhållande • och inte minst som förkunskap till algebran. För den som förstår bråkets roll som ett rationellt tal, blir de andra aspekterna av bråk betydligt enklare att arbeta med. Vi inleder därför med att beskriva bråket som tal.
5
1 TAL I BRÅKFORM
TALENS PL A TS PÅ TALLINJEN
Film: Talens plats på tallinjen En lämplig inledning är följande fråga.
I skolan börjar man oftast med att beskriva de rationella talen som delar av en pizza eller av en geometrisk figur. Detta handlar emeller tid inte om tal i bråkform utan om dess användning för att beskriva en andel av något. Vi ska här börja i rätt ända genom att studera de rationella talen som tal och dess relation till de naturliga talen.
1.1 På tallinjen är talen 0, 1, 2, 3 och 4 avbildade. Men vad ligger mellan dessa tal?
0 1 2 3 4 Svar: _______________________________________________________________
1.2 Om du delar sträckan mellan 0 och 1 i två lika stora delar så får du en punkt A som ligger mitt emellan punkten 0 och punkten 1. Vad kallas den punkten?
0 A 1 Svar: _______________________________________________________________
1.3 Du delar nu sträckan mellan 0 och 1 i fyra lika stora delar. Vad kallas de två nya delningspunkterna B och C i figuren?
0
B
1 C 1 2
Svar: _______________________________________________________________ 6
TALENS PLATS PÅ TALLINJEN
För de naturliga talen gäller att ju längre till höger på tallinjen ett tal ligger desto större är talet. Detsamma gäller för de rationella talen. 1.4 Vilket tal är störst? a) 1 eller 2 2 4
Svar: ___________
b) 1 eller 3 2 4
Svar: ___________
c) 4 eller 1 4
Svar: ___________
När du förstått hur de rationella talen mellan 0 och 1 placeras på tallinjen är det dags att gå vidare. 1.5 När du adderar talen 1 och 1 får du talet 1 1 som alltså betyder 1 + 1 . 2 2 2 Vilka tal har markerats med ett kryss på följande tallinje? X
X
X
0 1 2 3 4 Svar: _______________________________________________________________
1.6 Vilka tal har markerats med ett kryss på följande tallinje? X
X
X
0 1 2 3 4 Svar: _______________________________________________________________ 1.7 Mitt emellan talet 0 och talet 1 på tallinjen ligger talet 1 . 2 4 Vilket tal ligger mitt emellan a) 0 och 1 på tallinjen? Svar: ___________ 4 b) 0 och 1 på tallinjen? 8
Svar: ___________
c) 0 och 1 på tallinjen? 16
Svar: ___________ 7
1 TAL I BRÅKFORM
1.8 Hur många rationella tal finns det mellan 0 och 1 på tallinjen? Svar: _______________________________________________________________
1.9 Hur mycket är hälften av a) 2 2 Svar: ___________ 5 b) 4 2 Svar: ___________ 3 c) 2 1 Svar: ___________ 3 d) 4 1 Svar: ___________ 8
1 1 1 1 –2 –1 –1 – 0 1 1 2 2 2 2 2 De rationella talen kan också vara negativa. Om man speglar punkten 1 1 i punkten 0 så kommer man till punkten (-1 1 ). 2 2 Till vänster på tallinjen finns det på motsvarande sätt en spegelbild till varje positivt rationellt tal. Det innebär också att 1 1 + (-1 1 ) = 0. 2 2 Två sådana tal kallas för motsatta tal. Vi återkommer till detta senare.
8
FÖRLÄNGNING OCH FÖRKORTNING
FÖRLÄN G NING OCH FÖRKORTNING Ett tal som 3 består av en nämnare 5 och en täljare 3. 5 Nämnaren beskriver andelen som är 1 och täljaren 3 beskriver hur 5 många sådana delar som avses.
Film: Förlängning och förkortning
3 delar av storleken 1 kan skrivas som 1 + 1 + 1 = 3 ∙ 1 eller 5 5 5 5 5 enklare 3 . 5
1.10 Skriv på motsvarande sätt a) 3 4
Svar: ________________________________________________
b) 2 7
Svar: ________________________________________________
c) 4 9
Svar: ________________________________________________
Varje tal i bråkform kan skrivas på oändligt många olika sätt. Det är viktigt att du förstår hur detta går till om du ska kunna jämföra, addera eller subtrahera tal i bråkform. Vi förklarar idén med att jämföra följande två figurer.
9
1 TAL I BRÅKFORM
I båda figurerna är 2 av ytan skuggad. I den högra figuren har 3 däremot ytan delats upp i 4 ∙ 3 = 12 lika stora delar. Samtidigt är antalet skuggade delar 4 ∙ 2 = 8. Det betyder att 8 av området är skuggat. 12 Men den skuggade andelen är lika stor i båda fallen. Det innebär att andelen 2 är lika stor som andelen 8 . Detta kan beskrivas som att 3 12 2 = 4 · 2 = 8 . Man säger att bråket 2 har förlängts med 4. 3 4 · 3 12 3 På motsvarande sätt kan bråket 1 förlängas med 2, 3, 4 och 5. 2 1 2 · 1 3 · 1 4 · 1 Vi får då = = = = 5 · 1 eller 1 = 2 = 3 = 4 = 5 . 2 2·2 3·2 4·2 5·2 2 4 6 8 10
1.11 Förläng följande bråk med 2, 3, 4 och 5. a) 1 3
Svar: ________________________________________________
b) 2 3
Svar: ________________________________________________
c) 3 4
Svar: ________________________________________________
1.12 Skriv om bråket 3 så att nämnaren blir 4 a) 8
Svar: ________________________________________________
b) 12
Svar: ________________________________________________
c) 20 Svar: ________________________________________________ 10
FÖRLÄNGNING OCH FÖRKORTNING
1.13 Skriv bråken 1 och 1 så att de får samma nämnare. 3 4 Svar: ______________________________________________________________
______________________________________________________________
1.14 Skriv bråken 5 och 3 så att de får samma nämnare. 6 7 Svar: ______________________________________________________________
______________________________________________________________
1.15 Bestäm vilket tal som är störst genom att skriva dem med samma nämnare. a) 4 eller 3 7 5
Svar: _______________________________________
_______________________________________
b) 3 eller 5 4 8
Svar: _______________________________________
_______________________________________
c) 5 eller 8 7 11
Svar: _______________________________________
_______________________________________
11
FACIT
1 TAL I BRÅKFORM
FACIT VARI A BEL B2 1 TAL I BRÅKFORM TALENS PLATS PÅ TALLINJEN
1.8 Oändligt många, bland andra 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … 2 4 8 16 32 64 128
1.1 Mellan dessa tal ligger oändligt många andra tal. Det finns rationella tal, alltså tal som kan skrivas i bråkform och irrationella tal som inte kan skrivas i bråkform.
1.9 a) 1 1 . Observera att 2 2 = 2 + 2 och att 5 5 5 både 2 och 2 ska divideras med 2. 5
1.2 Punkten kallas för 1 eftersom den ligger halvvägs 2 från 0 till 1 på tallinjen. 1.3 Eftersom sträckan mellan 0 och 1 har delats i fyra delar kallas punkten B för 1 . För att komma från 4 0 till punkten C måste man passera 3 sådana sträckor av storleken 1 . Punkten kan således 4 beskrivas som 3 ∙ 1 eller enklare som 3 . 4 4 1.4 a) 1 = 2 . 2 4
b) 1 < 3 . 2 4
c) 4 =1. 4
1.5 Talen är i tur och ordning 11 , 2 3 och 3 1 . 4 4 2 1.6 Talen är i tur och ordning 1 , 2 1 och 3 2 . 3 3 3 1.7 Talen är a) 1 . 8
b) 2 1 . Observera att 4 2 = 4 + 2 och att 3 3 3 både 4 och 2 ska divideras med 2. 3
c) 1 1 . Observera att 2 1 = 2 + 2 och att 6 3 6 både 2 och 2 ska divideras med 2. 6
d) 2 1 . Observera att 4 1 = 4 + 2 och att 16 8 16 både 4 och 2 ska divideras med 2. 16
FÖRLÄNGNING OCH FÖRKORTNING 1.10 a) 3 = 1 + 1 + 1 = 3 ∙ 1 . 4 4 4 4 4
b) 2 = 1 + 1 = 2 ∙ 1 . 7 7 7 7
c) 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ∙ 1 . 9 9 9 9 9 9
1.11 a) 1 = 2 · 1 = 3 · 1 = 4 · 1 = 5 · 1 3 2·3 3·3 4·3 5·3
b) 2 = 2 · 2 = 3 · 2 = 4 · 2 = 5 · 2 3 2·3 3·3 4·3 5·3
b) 1 . 16
c) 1 . 32
eller 2 = 4 = 6 = 8 = 10 . 3 6 9 12 15
c) 3 = 2 · 3 = 3 · 3 = 4 · 3 = 5 · 3 4 2·4 3·4 4·4 5·4
64
eller 1 = 2 = 3 = 4 = 5 . 3 6 9 12 15
eller 3 = 6 = 9 = 12 = 15 . 4 8 12 16 20
”Med Variabel vill vi ge intresserade elever fördjupade kunskaper i matematik och en inblick i ämnets estetiska kvaliteter.” (Karlsson, Kilborn)
Elever som visar en hög nivå i matematik och behöver stimulans och utmaning i matematikundervisningen, har nu tillgång till ett unikt läromedel i problemlösning och matematik. I Variabel behandlas olika matematiska områden. Varje område består av en serie problemlösningsuppgifter som alla erbjuder en variation av metoder och lösningar. Eleverna leds successivt fram till nya begrepp eller nya metoder. I det digitala läromedlet har eleven tillgång till filmer och inläst text. Utförligt facit finns till alla uppgifter. Elevboken innehåller fler än 100 problem och annan intressant, matematisk information. Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.
Natalia Karlsson är docent och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Hon arbetar för närvarande som lärarutbildare vid Södertörns högskola och hennes forskning behandlar elevers och studenters uppfattning om matematik. Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mång årig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.
Art.nr 43797
studentlitteratur.se