9789144144917

VARIABEL B1

Elevpaket – Digitalt + Tryckt

Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.

ELEVBOK

I Variabel behandlas olika matematiska områden. Efter en kortare introduktion följer en serie problemlösningsuppgifter som alla ger en variation av samma princip för att lösa problemet samtidigt som eleverna successivt leds fram till nya begrepp eller nya metoder.

DIGITALT LÄROMEDEL

Materialet innehåller bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna. Till varje avsnitt i finns också en kort filmad introduktion.

Digital version av boken, inläst med autentiskt tal och textföljning klicka på bilden och prova

Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon

Filmer

LUND

Besöksadress: Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

Bilder: alri/Shutterstock.com 12 Vectorstock.com 8n, 17, 24, 39, 57

Övriga bilder: Shutterstock.com

Kopieringsförbud

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 43796 ISBN 978-91-44-14491-7

Upplaga 1:1

© 2021 Författarna och Studentlitteratur AB

Grafisk formgivning och omslag: Karin Österlund

Printed by Dimograf, Polen 2021

INNEH Å LL

1 TALMÖNSTER 5

Triangeltal 6 Pascals triangel 12 Addition av talföljder 15

De udda talen och kvadrattalen 18 Konjugatregeln och huvudräkning 22

Kvadrattal och kubiktal 25

2 DELBARHET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Delbarhet med 2, 3 och 5 30

Delbarhet med 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Delbarhet med 7, 11 och 13 36

Primtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 KVADRATER OCH KVADRATRÖTTER

Kvadratrötter 46 En kvadreringsregel 51 Pythagoras sats 54

Facit Variabel B1 58

TALMÖN S T ER

Den tyske matematikern Leopold Kronecker som levde 1823–1891 sa att ”Gud har skapat de naturliga talen, resten är människans verk”. Du kanske kan förstå vad han menade när du ser alla de spännande mönster som går att hitta i talraden. Med hjälp av sådana mönster kan man ofta finna intressanta samband som leder till smarta metoder vid problemlösning.

Människan har studerat talmönster i många tusen år och du ska i de följande kapitlen få se exempel på detta. Samtidigt ska du få upptäcka att matematiken i sig är intressant och hur den består av intressanta mönster.

Film: Triangeltal

TRIAN G ELTAL

De första naturliga talen är 1, 2, 3, 4, 5, 6 och så vidare. Om du adderar de här talen i tur och ordning, får du en ny typ av tal som kallas för triangeltal. De fem första triangeltalen är

1 1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Anledningen till att de här talen kallas för triangeltal kan du se i följande figurer:

Vi ska nu arbeta med triangeltalen och deras egenskaper och inleder med några uppgifter.

1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + 4 + 5

1.1 Vilket är det

a) sjätte triangeltalet? Svar: b) sjunde triangeltalet? Svar: c) åttonde triangeltalet? Svar:

Vill du ta reda på vilket som är det tionde eller tjugonde triangeltalet blir det jobbigt att addera alla talen. Det finns betydligt smartare metoder. Du ska se hur en sådan teknik ser ut genom att studera det sjätte triangeltalet och vi börjar med att avbilda det.

Vi gör därefter en kopia av det sjätte triangeltalet, vrider kopian och placerar den ovanför originalet. Vi får då en rektangel som ser ut så här:

1.2 a) Hur många rutor finns det i hela rektangeln? Svar:

b) Hur många rutor finns det i den ljusa delen av rektangeln? Svar:

c) Hur kan du bestämma det sjunde triangeltalet?

Svar:

1.3 Bestäm med samma teknik

a) det tionde triangeltalet. Svar: b) det tjugonde triangeltalet. Svar:

Det här innebär att vi har funnit ett mönster och en formel för hur man bestämmer triangeltal nummer n.

Det n:te triangeltalet är n · (n + 1) 2

1.4 När den kände matematikern Carl Friedrich Gauss (1777–1855) gick i skolan fick han till uppgift att addera de naturliga talen från 1 till 100. Han listade snabbt ut hur formeln fungerade. Vilken summa fick han?

Svar:

Att studera matematiska mönster är intressant i sig och en stor del av matematiken har utforskats av ren nyfikenhet. Ofta har mönstren visat sig vara praktisk användbara för att lösa problem.

Vi ska visa några exempel på hur du kan använda dig av triangeltalen vid problemlösning och börjar med att studera handskakningar.

När ett antal personer träffas brukar de hälsa på varandra genom att skaka hand. Vi ska nu undersöka hur många handskakningar det blir när fyra personer träffas.

Vi börjar med att två personer träffas och det blir då en handskakning.

Om det kommer en tredje person, ska denna skaka hand med de två andra som redan har hälsat. Det blir då två nya handskakningar. Sammanlagt blir det alltså 1 + 2 = 3 handskakningar.

Om det kommer en fjärde person, ska denna skaka hand med de tre andra som redan har hälsat. Det blir då tre nya handskakningar och sammanlagt 1 + 2 + 3 = 6 handskakningar.

Antalet handskakningar beskrivs av triangeltalen och vi kommer nu att utveckla detta.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

1.5 Vi utgår från att fyra personer redan har skakat hand och att det sedan kommer en femte person som ska hälsa på de fyra andra personerna.

a) Hur många nya handskakningar blir det om det kommer en femte person? Svar:

b) Hur många handskakningar blir det sammanlagt om fem personer träffas? Svar:

c) Vilket mönster kan du se när det gäller att beräkna antalet handskakningar? Svar:

1.6 Använd mönstret för att ta reda på antalet handskakningar om

a) 10 personer träffas. Svar: b) 15 personer träffas. Svar:

Vi tar ett nytt exempel som handlar om räta linjer som skär varandra.

När tre räta linjer skär varandra kan det bli 1, 2 eller 3 skärningspunkter.

Tre linjer som ligger i samma plan kan skära varandra i högst 3 punkter.

Vi ska nu ge fler exempel på hur man kan lösa problem med den här modellen.

1.7 Fem räta linjer som ligger i samma plan skär varandra. Du ska ta reda på hur många skärningspunkter det (som mest) kan bli.

a) Finns det någon känd matematisk modell (formel) som hör ihop med det här problemet?

Svar:

b) I hur många punkter kan fem räta linjer (som mest) skära varandra?

c) I hur många punkter kan tio räta linjer (som mest) skära varandra?

Svar:

Svar:

Uppgift 1.7 c är speciellt intressant. Att lösa problem genom att rita tre eller fyra skärande linjer är ganska lätt. Att lösa uppgift 1.7 c genom att rita tio räta linjer är däremot svårt och kräver att man känner till en matematisk modell, i det här fallet triangeltalen och handskakningsmodellen.

Det är genom att leta mönster och använda lämpliga matematiska modeller, som du blir en bra problemlösare.

1.8 På ett fat finns det nio kakor och alla kakorna är av olika sort. Du får välja två kakor. På hur många olika sätt kan du välja två kakor om det inte spelar någon roll i vilken ordning du väljer de två kakorna? Svar:

1.9 Det finns 12 lag i damallsvenskan i fotboll. Under en säsong möter varje lag alla de andra lagen två gånger.

a) Hur många matcher blir det sammanlagt om alla lagen möter alla de andra lagen en gång? Svar:

b) Hur många matcher blir det sammanlagt om alla lagen möter alla de andra lagen två gånger? Svar:

Vi varierar problemen och väljer ett geometriskt problem.

Vi ska nu undersöka hur många diagonaler man kan dra i en femhörning. Från var och ett av de 5 hörnen kan man dra 2 diagonaler. Det verkar alltså bli 5 ∙ 2 = 10 diagonaler sammanlagt. Men diagonalen från A till C är densamma som diagonalen från C till A och diagonalen från A till D är densamma som diagonalen från D till A osv.

Det blir därför bara 5 · 2 2 = 5 diagonaler.

1.10 Hur många diagonaler kan du dra i

Aa) en sjuhörning? Svar: b) en tiohörning? Svar:

1.11 a) Hur många diagonaler kan du dra i olika månghörningar? Fyll i tabellen.

Antalet hörn 3 4 5 6 7 8 9 10

Antalet diagonaler

b) Ser du något samband mellan antalet diagonaler och triangeltalen? Svar:

FACIT VARI A BEL B1

1 TALMÖNSTER

TRIANGELTAL

1.1 a) 15 + 6 = 21.

b) 21 + 7 = 28.

c) 28 + 8 = 36.

1.2 a) Det finns 7 ∙ 6 = 42 rutor i rektangeln.

b) Det finns (7 ∙ 6) / 2 = 21 rutor i den vita delen av rektangeln.

c) Vi kan skriva detta som en formel: 7 · (7 + 1) 2 = 28.

1.3 a) Det tionde triangeltalet är 10 · (10 + 1) 2 = 55.

b) Det tjugonde triangeltalet är 20 · (20 + 1) 2 = 210.

1.4 Genom att byta ut n mot talet 100 får man 100 · (100 + 1) 2 = 50 ∙ 101 = 5 050.

1.5 a) Det blir 4 nya handskakningar.

b) Det blir sammanlagt 1 + 2 + 3 + 4 = 10 handskakningar alltså det fjärde triangeltalet.

c) Om 5 personer skakar hand med varandra blir antalet handskakningar det fjärde triangeltalet. Om n personer skakar hand med varandra blir antalet handskakningar triangeltal nummer n – 1.

1.6 a) Antalet handskakningar blir det nionde triangeltalet, alltså 9 · (9 + 1) 2 = 45.

b) Antalet handskakningar blir det fjortonde triangeltalet, alltså 14 · (14 + 1) 2 = 105.

1.7 a) Tänk dig att linjerna skakar hand med varandra, två och två. Du kan då använda dig av handskakningsmodellen.

b) 5 linjer kan skära varandra (skaka hand med varandra) på 4 · (4 + 1) 2 = 10 olika sätt. (Det fjärde triangeltalet.)

c) 10 linjer kan skära varandra (skaka hand med varandra) på 9 · (9 + 1) 2 = 45 olika sätt. (Det nionde triangeltalet.)

1.8 Tänk dig att kakorna skakar hand med varandra och att du väljer ett sådant par. Svaret blir då det åttonde triangeltalet, alltså 8 · (8 + 1) 2 = 36.

1.9 a) Innan en match börjar skakar lagkaptenerna hand. Det blir därför lika många matcher som lagkaptenernas handskakningar. Om alla lag skulle möta de övriga lagen en gång skulle antalet handskakningar bli det elfte triangeltalet, alltså 11 · (11 + 1) 2 = 66 matcher.

b) Eftersom lagen ska mötas två gånger blir det sammanlagt 132 matcher.

1.10 a) Från vart och ett av de 7 hörnen kan man dra diagonaler till (7 – 3) = 4 hörn

Det blir således 7 · (7 – 3) 2 = 14 diagonaler.

b) Från vart och ett av de 10 hörnen kan man dra diagonaler till (10 – 3) = 7 hörn

Det blir således 10 · (10 – 3) 2 = 35 diagonaler.

1.11 a)

Antalet hörn 3 4 5 6 7 8 9 10 Antalet diagonaler 0 2 5 9 14 20 27 35

b) Motsvarande triangeltal är i tur och ordning 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, alltså 1 mer än antalet diagonaler.

Elever som visar en hög nivå i matematik och behöver stimulans och utmaning i matematikundervisningen, har nu tillgång till ett unikt läromedel i problemlösning och matematik.

I Variabel behandlas olika matematiska områden. Varje område består av en serie problemlösningsuppgifter som alla erbjuder en variation av metoder och lösningar. Eleverna leds successivt fram till nya begrepp eller nya metoder.

I det digitala läromedlet har eleven tillgång till filmer och inläst text. Utförligt facit finns till alla uppgifter. Elevboken innehåller ca 100 problem och annan intressant, matematisk information. Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast. Natalia Karlsson är docent och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Hon arbetar för närvarande som lärarutbildare vid Södertörns högskola och hennes forskning behandlar elevers och studenters uppfattning om matematik. Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.

Art.nr 43796

”Med Variabel vill vi ge intresserade elever fördjupade kunskaper i matematik och en inblick i ämnets estetiska kvaliteter.” (Karlsson, Kilborn)