9789144128573 by Smakprov Media AB

UNGA

MATEMATIKER I ARBETE ALGEBRA

CATHERINE TWOMEY FOSNOT & BILL JACOB

Originalets titel: Young Mathematicians at Work. Constructing Algebra by Catherine Twomey Fosnot and Bill Jacob. Copyright English version © 2010 by Catherine Twomey Fosnot and Bill Jacob. Translation © 2019 by Catherine Twomey Fosnot and Bill Jacob. All rights reserved. First published by Heinemann, a division of Greenwood Publishing Group, Inc., 361 Hanover Street, Portsmouth, NH 03801, United States of America.

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 40146 ISBN 978-91-44-12857-3 Upplaga 1:1 © För den svenska utgåvan Studentlitteratur 2019 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Översättning: Katarina Sjöwall Trodden Sakgranskning: Cecilia Kilhamn Omslagslayout: Jesper Sjöstrand/Metamorf Design Printed by Interak, Poland 2019

INNEHÅLL

Tack 7 Förord 9 Förord till den svenska utgåvan 11 Om boken 13 1 Algebra: Färdiga strukturer eller strukturering? 15

Undervisa och lära algebra i skolan 16 Vad blir synligt? 24 Åter till kursen 26 Ett klassrumsbesök 30 Vad blir synligt? 33 Sammanfattning 34 2 Lärandets landskap 37

Kursplaner 38 Det algebraiska landskapet: resan 41 Täta och glesa strukturer 41 Utveckla täta strukturer 42 Landmärken i landskapet 44 Balansera på gränsen 49 Sammanfattning 50 3 Tidig strukturering av talsystemet 53

Klassrumsexempel 55 Vad blir synligt? 59 Tillbaka till klassrummet 59 Början till en multiplikativ struktur 61 Vad blir synligt? 65 Tillbaka till klassrummet 65 Vad blir synligt? 68 Jämna tal, tal delbara med 3 och platsvärde 69 Sammanfattning 70

I n ne h å l l

4 Resan går vidare: kontext och modeller 73

Klassrumsexempel 74 Vad blir synligt? 80 Tillbaka till klassrummet 81 Kontextens betydelse 83 Tillbaka till klassrummet 84 Vad blir synligt? 86 Kontextens betydelse 86 Vikten av modeller 87 Tillbaka till klassrummet 89 Vad blir synligt? 91 Modeller som främjar multiplikativt tänkande 92 Sammanfattning 94 5 Ekvivalens vid horisonten 97

Klassrumsexempel 102 Vad blir synligt? 105 Tillbaka till klassrummet 105 Sammanfattning 107 6 Variation eller variabler 109

Algebra: en kort bakgrund 111 I klassrummet 112 Vad blir synligt? 116 Tillbaka till klassrummet 117 Vad blir synligt? 121 Tillbaka till klassrummet 123 Vad blir synligt? 124 Sammanfattning 126 7 Ytterligare horisonter: heltal och ekvivalens 127

Klassrumssituationen 129 Vad blir synligt? 134 Tillbaka till klassrummet 134 Vad blir synligt? 136 Klassrumsexempel: fortbildningskurs 137 Vad blir synligt? 141 Tillbaka till fortbildningskursen 142 Vad blir synligt? 143 Sammanfattning 144

I nnehåll

8 Jämföra kvantitet och samband 147

Klassrumsexempel: mittpunkt 150 Vad blir synligt? 152 Tillbaka till klassrummet: bänkar och staket 153 Vad blir synligt? 154 Tillbaka till klassrummet 156 Vad blir synligt? 158 Tillbaka till klassrummet: kombinationstabeller 159 Vad blir synligt? 165 Tillbaka till klassrummet: jämförelse av kvantiteter och ekvationssystem 166 Om symboler 168 Kombinationstabeller och ekvationssystem 168 Sammanfattning 170 9 Minilektioner 171

Klassrumsexempel 172 Vad blir synligt? 174 Tillbaka till klassrummet 175 Vad blir synligt? 176 Resan genom landskapet 177 Sammanfattning 184 10 Bevis 185

En historielektion 186 Barn och bevis: matematisk notering kontra bevisföring 190 Undersökning och lärande i klassrummet 191 Vad blir synligt? 193 Gemensamma grundbegrepp och slutledning 193 Visningar: ställa frågor och tänka om 196 Tillbaka till klassrummet 197 Vad blir synligt? 202 Generalisering från specifika fall till samtliga fall 202 Tillbaka till klassrummet 203 Vad blir synligt? 206 Sammanfattning 206 Bilaga A: Lärandets landskap: algebra 209 Referenser 211 Register 215

Tidig strukturering av talsystemet Så snart en stor grupp kaotiska element ordnas i storleksordning så visar det sig att en oväntad och underbart vacker regelbundenhet hela tiden har funnits där. Sir Francis Galton (1822–1911)

Klassifikation har ingenting att göra med barnets erfarenheter eftersom saker och ting inte uppenbaras för individen med tydliga etiketter. Det är de nödvändiga känslomässiga banden och de sammanlänkade aktiviteterna som håller samman hela spektrumet av dennes erfarenheter. Den vuxnes hjärna är så van vid tanken på logiskt ordnade fakta att den inte känner igen – den kan inte känna igen – all den åtskillnad och omformulering som den information som är kopplad till direkta erfarenheter måste genomgå innan de kan publiceras i form av ett ämne eller forskningsdisciplin. John Dewey (1902)

3 T i d i g st r uk t ur e r i ng av tal s ys teme t

DEN FÖ R STA STRUK TUR ER ING EN av talsystemet (som vanligtvis uppträder hos barn omkring fem–sex-årsåldern) är räkneordens ordning i form av en sekvens av värden som vart och ett ligger inbäddat i det som följer. När barn kommer fram till att deras räknande resulterar i ett värde (till skillnad från att namnge det sista föremålet eller ordet i en räkneramsa) så inser de att räkneorden ökar i steg om +1, och att de ligger inbäddade i varandra som ryska dockor. Forskarna har kallat det här hierarkisk inkludering (Kamii 1985; Fosnot & Dolk 2001a). En annan viktig central idé om hur tal uppkommer tidigt i livet är ett-till-ett, det vill säga om vart och ett av sex barn behöver en kompis så krävs det ytterligare sex barn. Små barn bringar reda i en additionskontext genom att räkna tre gånger (en gång för varje del och sedan allihop). Det bildar grunden till tidiga del/helhetssamband med hjälp av addition, det vill säga två delar (de båda addenderna) och hela mängden (summan). Vid sex eller sju års ålder så övergår de till att räkna ”ett-till-ett”. För att till exempel räkna ut 5 + 3 börjar de med 5 och säger ”6, 7, 8”. Så snart de har förstått att helheten består av disjunkta underkategorier 1 kan de även ta med subtraktion (att ta bort) i huvudräkningen, och då framträder hela vidden av sambandet mellan del och helhet: 5 + 3 = 8 och 8 – 5 = 3 är två uttryck som beskriver samma mentala bild. De är ekvivalenta uttryck eftersom de uttrycker samma samband mellan del och helhet. Det här är bara början till den additiva struktureringen av tal, och det finns de som anser att det här snarare hör hemma i talteorin. Men det här tidiga sättet att komma fram till en struktur låter eleven strukturera de naturliga talen med hjälp av algebra genom att använda addition i stället för att bara notera resultatet av addition och subtraktion; till exempel genom att bilda en tudelad underkategori av de naturliga talen, det vill säga jämna och udda tal. Det är en struktur som elever tidigt förstår medan de arbetar med att automatisera additionens grunder. Dubblering är en viktig aktivitet inom aritmetiken eftersom det hjälper eleverna att använda sina kunskaper till att konstruera ny information (om 3 + 3 = 6 så är 3 + 4 = 7), men det hjälper dem också att skapa en mental bild av uppdelningen i jämna och udda tal.

1 Disjunkt betyder att grupperna inte har några gemensamma element. Om grupperna inte är disjunkta modellerar de inte addition. För att komma fram till summan kan man behöva räkna alla tillsammans i stället för att räkna en i taget.

3 Tidig struk turering av talsysteme t

Klassrumsexempel Madeline Chang använder materialet Beads and Shoes, Making Twos (Chang & Fosnot 2007) när hon ska introducera talsystemets struktur för sina nybörjarmatematiker. De utforskar dubblering genom kon texten att gå hand i hand på två led, vilket barnen är vana vid att göra när de lämnar klassrummet för att bege sig till andra delar av byggnaden eller när de åker på utflykt. Hon skapar en kontext genom att läsa den klassiska barnboken Madeline av Ludwig Bemelmans för dem, och sedan ber hon barnen att rita grupper av olika storlekar (streck) för att skapa dubblor – klasstorlekar som gör att alla får en partner. En av femåringarna, Sofia, säger glatt ett tal högt innan de ens har lämnat samlingsplatsen. ”Jag kan ett!” utropar hon. ”När 5 barn har en kompis är det 10, för 5 plus 5 är lika med 10!” Madeline ler och skriver 5 + 5 = 10. ”Så 10 är ett speciellt tal som fungerar. Ska vi försöka hitta några till?” De entusiastiska barnen sätter i gång med att jobba i par. Flera börjar med att först rita en första rad med barn och sedan gör de färdigt den andra. Det är ibland svårt för mindre barn att rita två likadana uppsättningar av samma antal objekt, och det händer att de ritar den andra raden med barn längre eller kortare än den första. Så har Josie gjort. Hon föreslår för sin kompis att man ska använda materialet plastbjörnar. ”Vi gör ett led med björnar först och sedan kan vi rita barnen.” Josie ritar två streck med objekt, det ena längre än det andra. Madeline noterar det. ”Jag ser att du har ritat jättefina led Josie. Men jag undrar … ett av dina led ser längre ut än det andra. Hur kan du vara säker på att alla i det här ledet har en kompis i det andra?” Att gå igenom kontexten flera gånger hjälper barnen att förstå vad de gör och kan förbereda dem inför att utveckla egna lösningar. Det kan hjälpa dem att förstå ett-till-ett och dubblor, landmärken de når innan de lärt sig att dela upp de naturliga talen i jämna och udda. Josie ser lite förvirrad ut, men så kommer hon på en lösning. ”Jag vet! Vi måste hålla våra kompisar i handen. Jag kan rita att de håller varandra i handen!” Hon ritar två rader med teddybjörnar och visar att de håller varandra i handen genom att dra ett streck från varje björn i den ena raden till motsvarande björn i den andra (se figur 3.1). ”Vi behöver en till björn här.” Nu frågar Madeline: ”Hur många finns det i varje rad nu?” Josie räknar: ”1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Jag har 7!” © Studentlitteratur

3 T i d i g st r uk t ur e r i ng av tal s ys teme t

Figur 3.1 Hålla handen: Josies och Chloes teckning.

”Och hur många finns det i den här raden?” Madeline ställer viktiga frågor; hon förutsätter inte att Josie förstår ett-till-ett. Josies svar ger henne viktig information som visar att Josie faktiskt har konstruerat denna idé. ”Det blir också 7! Titta, nu håller alla varandra i handen.” Madeline är nöjd med detta tidiga landmärke och går vidare med flickorna genom att introducera addition. ”Ja titta! Vilken bra idé! Ska vi skriva upp det här som 7 + 7? Hur många barn är det?” I stället för att fortsätta räkna från 7 så börjar Josie från början med 1 och räknar upp till 14. Hon har ännu inte skapat sig en uppfattning om sambandet del/hel. ”Hur skriver man det?” frågar hon när hon är klar. ”Så här: 14.” Madeline visar Josie hur man skriver ordningstal (det sätt man skriver tal på är en social kunskap – en etikett eller ett namn © Studentlitteratur

3 Tidig struk turering av talsysteme t

– man behöver inte konstruera det på samma sätt som en matematisk idé) och sedan kan hon vara nöjd med att Josie har kommit på ännu ett jämnt tal. ”Wow! Du har hittat ett till speciellt dubbelt tal.” När barnen har arbetat en lämplig tidsperiod så ber Madeline dem att förbereda sig för mattekongressen genom att gå igenom vad de har gjort och göra en lista över alla dubblor de har hittat. Hon vet att hon kommer att hitta många olika jämna tal, och hon tänker placera ut dem på en lång pappersremsa (ungefär som en öppen tallinje) för att kunna prata om eventuella mönster som barnen upptäcker. Hon hoppas att de kommer att börja upptäcka mönster och föreslår nya dubblor till listan. Raden med jämna tal utgör inte bara en representation av deras arbete, det är även ett verktyg för tänkande. Hon placerar också en vanlig tallinje med ordningstalen 1–100 i närheten och hoppas att barnen kommer att upptäcka att siffrorna på standardtallinjen ökar med ett i taget och att den lista man gör i klassen hoppar över vartannat tal. De kanske även lägger märke till att alla tal på deras linje slutar med 0, 2, 4, 6 eller 8, medan talen däremellan – de som inte finns med på listan – slutar på 1, 3, 5, 7 och 9. ”Så det verkar som om vi har hittat en massa tal. Nu tar vi och skriver upp dem på den här remsan, som en tallinje.” Madeline pekar på pappersremsan hon kommer att använda och på standardremsan bredvid. ”Jag undrar vilket av dessa som är minst. Var ska vi börja? Mathew?” ”Jag gjorde 3 + 3. Det blir 6.” Madeline drar tre röda kulor längs den övre raden på kulramen2 och tre på den undre raden. ”Är vi överens om att 3 plus 3 är lika med 6?” Några av barnen räknar och nickar sedan; andra nickar direkt. ”Okej. Då tar vi och skriver upp vad ni har kommit fram till.” ”Jag tror inte att det är minst”, säger Leah. ”Jag tycker vi ska göra 2 och 2. Det blir 4.” ”Ska vi ta och lägga till det?” Madeline säger inget om att svaret är rätt, i stället vänder hon sig till gruppen för att se om de håller med. Eftersom talen är låga så är de lätta för barnen att föreställa sig. Flera av barnen nickar igen. Det är vanligt att elever inte tänker på 1 + 1, eller 0 + 0 i den här kontexten eftersom de inte tänker på ett barn (eller 0) som ett ”led”. Madeline tar inte upp dem på listan i det här läget. ”Daniel, du har provat med ett annat tal. Vad har du hittat?” ”Jag hittade att 4 plus 4 är lika med 8.” 2 Hon använder en Rekenrek, se Fosnot & Dolk, Unga matematiker i arbete. Taluppfattning och de fyra räknesätten (2001a), s.143, eller besök www.mathrack.com.

3 T i d i g st r uk t ur e r i ng av tal s ys teme t

”Hur ska jag visa det på kulramen?” Madeline försöker se till att barnen får syn på hur talen struktureras. ”En till däruppe och en till därnere”, säger Daniel övertygat. Madeline upprepar vad de har kommit fram till: ”Så 2 plus 2 blev 4, 3 plus 3 blev 6 och nu har vi 4 plus 4 som blir 8.” ”Två till! Det är två till varje gång!” utropar Sofia, och man hör hur andra mumlar förvånat och förtjust. Madeline ler och uppmuntrar barnen att fortsätta utforska det här sambandet. ”Visst är det intressant? Två till.” En annan femåring, Sadie, visar sin teckning av två rader med 14 barn (se figur 3.2). ”Jag har räknat 2 i taget. Titta … 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. Det är 7 och 7 på rad. Om det var 8 barn skulle det bara vara 2 till.”

Figur 3.2 Sadies teckning: räkna två i taget.

3 Tidig struk turering av talsysteme t

”Men titta!” Mathew har ställt sig upp och pekar på standardlinjen. ”Den där går upp så här: 1, 2, 3, 4, 5, och våran är 2, 4, 6, 8. Den hoppar över tal!” Madeline känner sig nöjd. ”Vilken intressant sak du har upptäckt Mathew. Tror du att vi skulle kunna lägga till fler dubblor till vår lista?” ”Ja, för det är som Sadie sa – man räknar två i taget.”

Vad blir synligt? Madeline har lyckats med att uppmuntra sina fem- och sexåringar att dela upp talsystemet i jämna och udda tal, men de är bara i början av sin resa. Först konstruerade barnen ett-till-ett, vilket är naturligt i dubbleringskontexten (här representerad genom ”hålla handen”), men sedan började de tänka additivt. De funderar på ett ”dubbelt tal” som ett tal som adderas med sig självt. Sedan upptäcker några av barnen att sekvensen växer med två i taget när två barn som håller varandra i handen läggs till. Ett av Madelines mål är att se till att deras strukturer blir tätare, så hon måste nu röra sig både horisontellt och vertikalt (se kapitel 2). Hon vill förse dem med många fler ”horisontella” erfarenheter där de utforskar sambanden mellan udda och jämna tal, dessutom vill hon uppmuntra en vertikal förflyttning. En central idé som relaterar till jämna tal är strukturens multiplikativa aspekt där 2n betyder 2 gånger ett naturligt tal (inklusive 0). Udda tal representeras då i relation till jämna som 2n + 1, och uppfattas därmed i termer av sambandet del/helhet. Den kommutativa lagen förklarar därmed varför Sadies poäng stämmer: grupper om två, n gånger, är lika med 2 gånger vilket naturligt tal som helst (2n). Men är den här multi plikativa strukturen lämplig ur utvecklingssynpunkt? Vad kan man förvänta sig av dessa förskolebarn? Hur långt kan de ta sig i landskapet när de får hjälp med strukturen?

Tillbaka till klassrummet Till att börja med korsar Madeline landskapet horisontellt. Under de kommande dagarna kommer hon att ha för vana att inleda varje matteverkstad med korta minilektioner där hon presenterar serier med länkade problem bestående av dubblor och nästan-dubblor. Hon tar till exempel upp ett problem i taget, visar på kulramen och ber barnen att göra tummen upp när de har kommit fram till ett svar. Hon utforskar alternativa strategier, men uppmuntrar barnen att använda sambanden de ser i de länkade uppgifterna. © Studentlitteratur

3 T i d i g st r uk t ur e r i ng av tal s ys teme t

Så här ser en serie med sammanlänkade uppgifter ut: 3 över, 3 under 5 över, 5 under 5 över, 6 under 8 över, 8 under 7 över, 8 under 6 över, 6 under 7 över, 6 under

De två första problemen i serien har valts med förhoppningen att de ska vara lätta för barnen att lösa. Problem nummer två kan användas för att lösa det tredje. Det fjärde problemet är lite svårare, och många barn återgår till att räkna ett i taget, men Madeline uppmuntrar dem till att fundera över om något av de tidigare problemen kan hjälpa dem på traven (till exempel de första två (5 + 5) + (3 + 3); färgen på kulramens kulor – 20 kulor på två rader, båda med 5 röda och 5 vita – får dubblorna att framstå tydligt). Serien fortsätter med fler dubblor och nästan-dubblor, och barnen uppmuntras att använda en känd dubbla för att lösa en obekant nästan-dubbla. Madeline sätter samtidigt i gång en ny undersökning som är kopplad till ägg som klassen har under ruvning som en del av naturkunskapen. Barnen har lagt märke till att äggkartonger kan vara olika stora med plats för 6, 12 eller 24 ägg, och alla är ”dubblor”. Madeline ber eleverna att fundera över varför det kan vara så och att hitta på kartonger för fler ägg. Hur många ägg skulle få plats i en kartong med två rader om 10 ägg? Och hur många skulle få plats på två rader om 13 ägg? Varför finns det inte kartonger för 7 ägg? Barnen ritar upp sina förslag på stora papper och sätter upp dem på väggarna i klassrummet. Sedan har man en ”utställning” så att alla kan ta del av de olika förslagen. (Några exempel visas i figur 3.3a och 3.3b.) Efter att alla har tittat på förslagen samlar Madeline alla till en matte kongress. På en hundraruta färglägger de talen som visar storlekarna på deras kartonger. Även om inte alla de jämna talen är markerade så är det tillräckligt många för att barnen ska börja lägga märke till några mönster och förutse fler tal som kan vara dubblor. ”Men titta, alla talen har 0, 2, 4, 6 och 8 i sig”, säger Sadie. Mathew har gjort en iakttagelse och säger stolt: ”Jag tror att talen alltid blir mindre (han menar kolumnerna i tabellen). Titta, 2, 12, 22 – de går neråt. Det hoppar över 3, 13, 23. Och där borta är det 4, 14 och 24. Jag slår vad om att 34 är en dubbla. Vi kollar.” ”Ja, det kommer att hoppa så där”, säger Sadie och nickar. © Studentlitteratur

3 Tidig struk turering av talsysteme t

Början till en multiplikativ struktur Medan barnen utforskar jämna och udda tal, olika representationer och kontexter (tallinjer, barn som går två och två på led, äggkartonger, hundraruta) börjar de lägga märke till olika samband. Tallinjen gör att de uppfattar att talen ökar med två, och hundrarutan initierar en diskussion om 0, 2, 4, 6 och 8. Strukturen tätnar i och med att Madeline öppnar upp för en horisontell struktur. När Madeline inser att det börjar dyka upp många exempel på dubblor i hennes liv undrar hon om barnen också har lagt märke till det, och hon får dem att börja matematisera sin omvärld medan hon introducerar en ny matematisk undersökning. Hon berättar att hon i

14 ägg

12 ägg

18 ägg

8 ägg 22 ägg 26 ägg

20 ägg

6 ägg

16 ägg

10 ägg 4 ägg

24 ägg

40 ägg

28 ägg

Det skulle va konstit om en äggkatong såg ut så här Figur 3.3a Äggkartonger.

3 T i d i g st r uk t ur e r i ng av tal s ys teme t

äggkatonger med

jämt antal ägg

äggkatonger med ojämt antal ägg

Figur 3.3b Äggkartonger (forts.).

går kväll tittade in i sin garderob och hittade – skor! Skor är utmärkta exempel på dubblor! Skor förekommer i par, och ett par är en dubbla till ett. Hur många skor är 5 par, 12 par eller 15 par? Hon föreslår att de tänker på en grupp människor och hur många skor det motsvarar. (Några av barnens teckningar visas i figur 3.4a och 3.4b.) När barnen har arbetat självständigt ett tag samlar Madeline ihop dem till en mattekongress och skriver in all information de har samlat in i en t-tabell (se figur 3.5). ”Nu har vi en tabell med allt vi har kommit fram till. När matemati© Studentlitteratur

3 Tidig struk turering av talsysteme t

ker har samlat in allt de har kommit på så skriver de ofta in det i en sådan här tabell. Sedan sätter de sig ner och tänker: ’Finns det något intressant här?’ Så nu ska alla ni matematiker prata med kompisen bredvid om ni har lagt märke till något intressant.” Madeline låter dem jobba en stund och samlar sedan hela gruppen. ”Ethan, vad pratade du och Josie om?” ”Alla skorna finns här”, säger Ethan och pekar på den öppna tallinjen

MINA SKOR Figur 3.4a Skor.

MAMMA

MIN SYSTER

PAPPA

JAG

6 skor på höger +6 skor på vänster 12 skor tillsammans

JOHN

PETER

Figur 3.4b Skor (forts.).

3 T i d i g st r uk t ur e r i ng av tal s ys teme t

Antal par skor

Figur 3.5 Tabell med antal skor för antal människor.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Antal skor 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

de gjorde när de utforskade barn som gick två och två på led. Han har upptäckt att alla svaren är jämna tal. Det här är en viktig insikt för en ung matematiker. ”Har någon annan lagt märke till samma sak?” Flera händer åker upp. ”Varför blir det så?” Sofia nämner sin tidigare upptäckt – att det hela tiden ökar med 2. ”Därför att det är 2, 4, 6 och så. Man skutträknar.” ”Två skor till varje par”, säger CJ. Han har börjat bilda grupper av två till en enhet, eftersom de är par. ”Det måste alltid bli så – annars skulle det fattas en sko”, säger Josie. ”Om man räknar 2, 4, 5 så skulle 5 bara vara en sko. En sko fattas.” ”Jag ser att det finns 6 par skor, och det betyder 2, 4, 6, 8, 10, 12. Men hur hamnade vi med två sexor, som våra dubblor?” Madeline vill att hennes elever ska fundera över ekvivalensen mellan 6 tvåor och 2 sexor som ett exempel på den kommutativa lagen. ”Fungerar det här alltid? Hur blir det om vi har 5 par skor, blir det 2 femmor?” Madeline pratar avsiktligt om grupper. Flera av barnen svarar nej, inte alltid, bara ibland. Men Daniel håller nästan på att spricka av upphetsning. ”Det gör det, det gör det! Alltid! Och jag vet varför!” Daniel har insett skönheten i den multiplikativa struktur som börjar växa fram. Han ritar den här bilden (se figur 3.4b). ”Jag ritade 6 par skor. Men jag tänkte på det som 6 högerskor och 6 vänsterskor.” Det här tycker de flesta andra barnen är lite svårt att greppa, men Daniel förklarar att om skorna ställs upp parvis på en rad så kan man uppfatta det som två rader, en rad med högerskor och en rad med vänsterskor. Till slut har de flesta andra förstått det multiplikativa sambandet. ”Så tal som är par är också dubblor? Hur är det med de andra talen, © Studentlitteratur

3 Tidig struk turering av talsysteme t

de som inte fungerar, är de inte dubblor? Finns det ett över?” Madeline försöker få sina elever att utforska jämna tal i relation till udda, sambandet mellan del och helhet i en uppsättning räkneord. ”Matematiker har faktiskt ett ord för de här talen. De dubbla talen kallar de för jämna. De som inte går att para ihop, de som har en över, kallar de udda.” Hon introducerar dem nu till orden udda och jämnt, men inte förrän barnen har byggt upp den här idén på egen hand. Michael har tittat på hundrarutan de använde till äggkartongerna. ”Titta. Jag har just upptäckt något. Siffrorna är udda, jämn, udda, jämn. Det är ett mönster.”

Vad blir synligt? Dessa fem- och sexåringar har bildat flera olika representationer för udda och jämna tal. De utforskar naturliga tal i relation till varandra och noterar det växlande mönstret. De har förstått att man kan tänka på jämna tal på två sätt, antingen som dubblor (2n) eller som n grupper av två, och att udda tal har en över (2n + 1). Även om de flesta av barnen fortfarande troligen använder sig av addition så börjar de ändå närma sig en multiplikativ struktur. Komponenten två i ett (två skor i ett par) uppfattas i relation till det dubbla antalet par (se figur 3.6). Uppställningen i rader och kolumner med barn som håller varandra i handen, äggkartonger och par med skor hjälper barnen att visualisera dessa samband. Att dela upp de naturliga talen i jämna och udda betyder inte att resan är över; det är bara ett landmärke på vägen. Det egentliga målet är utvecklingen av en struktur – och det är en resa som aldrig tar slut. Dessa unga matematiker har hittills färdats horisontellt. Jämna och udda tal har utforskats i olika situationer (rader, kartonger, skor) och med olika former av representation (tallinjer, hundrarutor, öppna areor, frekvenstabeller). Den horisontella strukturen har visat på flera mönster och samband. Man har tagit ett litet vertikalt steg när man bildar en enhet av grupper om två och sambandet mellan fem par och två femmor (5 ∙ 2 = 2 ∙ 5).

Tillbaka till klassrummet Madeline fortsätter den vertikala rörelsen med att läsa ur bilderboken Grandma’s Necklaces (Fosnot 2007b). Sagan handlar om hur farmor har upptäckt några väldigt speciella tal som hon kan använda när hon ska göra tre olika mönster till halsband med hjälp av blå och gröna pärlor. © Studentlitteratur

Figur 3.6 Multiplikativ struktur: 5 ∙ 2 = 2 ∙ 5.

3 T i d i g st r uk t ur e r i ng av tal s ys teme t

Hennes barnbarn undrar hur deras farmor kan veta hur många pärlor hon behöver till varje halsband. Det finns inget svar på det i boken, så det är en utmärkt upptakt till en matematisk undersökning. Det första halsbandet är tillverkat av omväxlande blå och gröna pärlor, så man kan använda olika storlekar av n par med en pärla av vardera färgen. Upprepningen består av en blå och en grön pärla, och så länge antalet blå och gröna pärlor är lika stort, så fungerar det med vilket rimligt antal pärlor som helst (10, 12, 14 och så vidare). Men om antalet pärlor är udda så kommer 2 pärlor av samma färg att hamna bredvid varandra när man knyter ihop tråden. Nästa halsband är lite svårare eftersom repetitionen består av 5 blå pärlor och 5 gröna pärlor, tillsammans 10 pärlor. Även om alla tänkbara antal pärlor för den här typen av halsband måste vara jämnt måste de även vara jämnt delbara med 10. Tjugo pärlor går till exempel bra (två uppsättningar om 5 blå och 5 gröna) men 25 pärlor fungerar inte (eftersom 10 pärlor av samma färg skulle hamna tillsammans när man knyter ihop halsbandet). Det tredje halsbandet består av ett upprepat mönster av 3 blå och 3 gröna pärlor, därför går det bara att trä med ett jämnt antal grupper om 3, vilket är detsamma som att säga att det bara fungerar med multiplar till 6. Madeline läser ur boken och ber sedan sina unga matematiker att räkna ut farmors speciella tal. Hon förväntar sig inte att alla barnen ska kunna lösa alla problemen, så hon använder sig av ett öppet format som gör att varje barn stöds så långt de kommer. Tanken är att ge varje barn rika möjligheter att fortsätta sin strukturering av talsystemet. Nate studerar talen på den lista han och Sofia har gjort till det första halsbandet, det med omväxlande blå och gröna pärlor. ”Jag tror det finns ett mönster. Det är varannan igen. Som förut.” Sofia håller med. ”Ja. Som när vi gick på led.” ”Fortsätt. Hur menar du? Har du upptäckt något om hur halsbanden liknar att hålla varandra i handen och gå på led?” Madeline ber om mer information för att förtydliga sambandet. ”Ja. Det är som att de blå och de gröna pärlorna håller varandra i handen. De går ihop, blå och grön, blå och grön”, förklarar Sofia. Nate nickar. ”Det är likadant med skorna. De blå och gröna är som par med skor. De hör ihop, precis som Sofia sa.” Madeline ser till att de generaliserar. ”Så ni menar att det inte spelar någon roll hur många gröna pärlor man använder så länge det finns lika många blå? Och när jag lägger ihop antalet gröna och antalet blå så kommer jag alltid fram till ett jämnt tal?” © Studentlitteratur

3 Tidig struk turering av talsysteme t

Sofia är övertygad. ”Ja. Man kan göra halsbandet i olika storlekar och alla kommer att vara jämna tal. Udda tal fungerar inte, som med skorna. Man måste ha par. Om man har en över så får man problem. Det måste finnas lika många gröna som blå.” Det andra och tredje halsbandet, med omväxlande grupper om 5 (halsband nummer två) och 3 (halsband nummer tre) pärlor är svårare. Barnen måste inte bara hantera jämna tal, utan också antal grupper. Det här är svårt för mindre barn eftersom en grupp här behandlas som en enhet. Men det är precis den här uppgiften som kan vara avgörande för utvecklingen av multiplikativ strukturering – det är en vertikal utveckling. Många barn arbetar till en början med att pröva sig fram. De testar slumpvist utvalda tal, och när ett inte fungerar lägger de till eller tar bort pärlor för att få mönstret att stämma. Några barn skutträknar fem eller tre steg i taget och gör en lista på de talen. Sedan blir de förvånade när inte alla tal (multiplar till 5 eller 3) fungerar. Madeline uppmanar dem att rita en ring runt de tal som fungerar, och till slut inser de att det handlar om vartannat tal på deras lista (jämna grupper). En del barn tycker det är intressant att vissa kombinationer resulterar i halsband med en lång rad pärlor i samma färg, andra reflekterar inte över det. När det till exempel gäller mönstret till halsband nummer två (5 gröna och 5 blå) bildar 10 gröna pärlor och 14 blå ett parti med 9 blå pärlor i rad när man knyter ihop det. Men å andra sidan, om man använder 6 gröna pärlor och 10 blå så kommer det bara att finnas 1 grön pärla mellan två partier med 5 blå pärlor. I takt med att barnen identifierar tal som fungerar så placerar de lappar över de talen på hundrarutan. Några av barnen har upptäckt att alla tal som fungerar för mönstret på halsband nummer två befinner sig i tiokolumnen (10, 20, 30 etc.). Sofia har hittat ytterligare ett samband. ”Det är ju som att gå på led igen! Varje gång de gröna får 5 till får de blå det också.” Daniel utvecklar hennes tanke vidare. ”Ja, det är som om de blå och de gröna pärlorna håller varandra i handen. De går tillsammans, blå och grön, blå och grön, men nu är det 5 på varje rad. Fyra grupper med 5 fungerade, sedan med 6, sedan med 8. De med 5 måste vara jämna. Det fungerar inte med udda.” ”Menar du att antalet grupper måste vara jämnt?” ”Ja … för de hör ihop – två färger, 5 gröna och 5 blå – det blir ett jämnt tal. Det blir 10!”

3 T i d i g st r uk t ur e r i ng av tal s ys teme t

Vad blir synligt? Under det att Madeline ledde barnen i arbetet med avsnittet utvecklades de i två riktningar: horisontellt och vertikalt. Till en början var aktiviteterna utformade för att stödja horisontell strukturering. I den horisontella dimensionen lär man sig tänka matematiskt om omvärlden. Madeline använde kontexter som att gå på led, äggkartonger, skor och pärlhalsband för att utforska udda och jämnt. Hon representerade informationen med hjälp av tallinjer, hundrarutor, öppna areor och tabeller så att eleverna kunde upptäcka olika mönster. Den vertikala dimensionen ”matematiserar” matematiken, det vill säga eleverna börjar använda mer sofistikerade matematiska processer. Madeline hjälpte dem att gå från att räkna ett steg i taget till att räkna par. Först etablerade de ett-till-ett-samband genom att räkna, och med hjälp av kontexterna började de snabbt att använda additiva strukturer genom att bilda dubblor (n + n) och nästan-dubblor (n + n + 1). Multiplikativa strukturer började skönjas när barnen insåg att man kan tänka sig par av skor som i ett rutnät med kolumner av vänster- och högerskor (2n) och rader med par (n uppsättningar av 2). Med hjälp av pärlhalsbanden gick barnen vidare med jämna och udda tal genom att arbeta med grupper av tal. Elevernas strukturer tätnade i takt med att de rörde sig framåt i båda riktningarna. De utforskade och utvecklade flera olika samband. Denna täthet leder till generalisering, vilket är själva kärnan i algebra. Här följer några av de generaliseringar eleverna nämnde medan de utforskade tre olika halsbandsmönster: • Alla tal som fungerar för det andra och tredje mönstret fungerar

även för det första. • Det fungerar bara med jämna tal eftersom det finns två färger och pärlorna måste ”hålla varandra i handen”. • Ett udda antal pärlor fungerar inte för farmors mönster. • Det fungerar med fler tal i det första mönstret jämfört med de andra. • För att ett tal ska fungera för det första mönstret måste man hamna där när man skutträknar två steg i taget. • För att ett tal ska fungera i det andra mönstret måste man hamna där när man skutträknar tio steg i taget. Halsbandsproblemet kan även fungera för att få äldre elever att börja generalisera. Om ett par år kommer eleverna att jobba mer med det tredje mönstret och lägga märke till att jämna tal är nödvändiga, men det kommer även att upptäcka betydelsen av talet 6 för just dessa tal: © Studentlitteratur

3 Tidig struk turering av talsysteme t

• För att ett tal ska passa in i det tredje mönstret måste man hamna

på det när man skutträknar sex steg i taget. • För att ett tal ska passa in i alla tre mönstren (farmors väldigt speciella tal) måste man hamna på det när man skutträknar två, tio och sex steg i taget. • Om man skutträknar med 30 får man fram de riktigt, riktigt speciella talen.

Jämna tal, tal delbara med 3 och platsvärde Eleverna i Madelines klass har nu ägnat sig åt att addera udda och jämna tal för att skapa jämna tal. De har inte utforskat den formella aspekten av additiva operationer med udda och jämna tal, det vill säga om man adderar två jämna tal så får man fram ännu ett jämnt tal; om man adderar två udda tal får man fram ett jämnt tal; summan av jämna och udda tal är udda. Men lärare ber ofta eleverna att motivera varför det är så. (Se Carpenter, Franke & Levi 2003, s. 116–118 för en diskussion om hur eleverna kan närma sig denna multiplikativa struktur.) För att fördjupa elevernas förståelse av del/helhetssambandet och dess roll i strukturen för jämna och udda tal kan det vara bra att utforska flera olika sätt att strukturera tal och jämföra det man kommer fram till. En utvidgning av udda-jämnt-strukturen för äldre barn kan till exempel handla om att dela upp tal man får fram när man dividerar andra tal än 2. Man kan till exempel tänka sig de tal man får fram när man skutträknar i tre steg. Barn noterar att talen 1, 2, 4, 5, 7 och 8 inte hör till dem, medan 3, 6, 9 och 12 och så vidare gör det. När de strukturerar en sådan uppsättning tal uppkommer egenskaper som skiljer sig en hel del från de som uppkommer för udda och jämna tal. I följande lilla vinjett undersöker femteklassarna Sandra och Marcia tal delbara med 3. ”Det här ser inte bra ut”, säger Sandra. ”Om man lägger ihop två tal som är delbara med 3 så blir svaret ett tal som är delbart med 3, men om man lägger ihop två tal som inte är delbara med 3 så är inte svaret heller delbart med 3.” ”Ja”, säger Marcia. ”Det är som att udda plus udda blir jämnt inte fungerar längre. Två plus 2 är inte jämnt delbart med 3.” ”Det är inte så bra.” ”Men 1 plus 2 är det … och 4 plus 5.” Sandra testar en annan teori. ”Kanske tal bredvid varandra som är delbara med 3, nej, jag menar de som inte är det och står bredvid varandra …” © Studentlitteratur

3 T i d i g st r uk t ur e r i ng av tal s ys teme t

”Skriv ner det. Summan av tal som kommer efter varandra och inte är delbara med 3 är delbar med 3.” Deras lärare Bill ser till att de funderar över sambandet mellan del och helhet. ”Det här är intressant. När tror ni att tal som inte är delbara med 3 går att lägga till 3, och när är det inte så? Kan ni generalisera det?” Det som framkommer i den här undersökningen till skillnad från tidigare undersökningar i Madelines klass är en viktig idé om delbarhet. Dessa femteklassare har nu förstått att när man delar ett tal med 3 så måste resten bli 0, 1 eller 2, och att när man dividerar tal som är delbara med 3 så blir resten 0. Om man till en början undviker räknesättet division så öppnar man upp för en horisontell strukturering för addition med dessa tal. Marcia och Sandra kommer så småningom att förstå att när man adderar ett tal som är delbart med 3, och som har resten 1, till ett annat med resten 2 så är svaret delbart med 3. De kommer senare att dela upp talen i tre underkategorier (inte två, som med udda och jämnt) och därmed lägga grunden till modulär aritmetik. Barnen i Madelines klass kommer att göra liknande observationer när de kopplar samman platsvärde med multiplar. De kommer att upptäcka att alla jämna tal återfinns i samma kolumn på hundrarutan. De lägger till ett tiotal för varje lodrät ruta, och om n är jämnt så är n + 10 också jämnt. Allt det här ger tillsammans en tidig form av den distributiva lagen: Om två tal är delbara med 2 (eller 3, eller 5) så är även summan delbar med samma tal. Det här kan uttryckas som 2n + 2m = 2(n + m), eller 3n + 3m = 3(n + m), eller 5n + 5m = 5(n + m). Ett liknande resonemang beskriver de tre underkategorierna av tal som är delbara med 3. Om ett tal har resten 1 när det delats med 3 kan det skrivas som 3n + 1. Om ett tal har resten 2 när det delats med 3 kan det skrivas som 3m + 2. När vi lägger ihop dessa får vi 3n + 1 + 3m + 2 = 3(n + m + 1), vilket är ett tal delbart med 3. Att samla tal i grupper och sedan operera med dessa grupper är bara det första steget i att strukturera talsystemet multiplikativt. De verkligt stora idéerna ligger vid horisonten under kommande år. När elever ska diskutera de strukturer som uppkommer kommer de att behöva ett språk och symboler för att uttrycka sina idéer. Symbolerna representerar de nya mentala konstruktioner de bildar – allt detta ingår i algebrans landskap.

Sammanfattning Barnen som har beskrivits i det här kapitlet delade upp och omformulerade de naturliga talen medan de färdades genom det matematiska landskapet horisontellt och vertikalt. De bildade (enligt Dewey) genom © Studentlitteratur

3 Tidig struk turering av talsysteme t

sina aktiviteter ett nätverk av samband – täta strukturer – och dessa blev till effektiva algebraiska verktyg de kan använda sig av i framtiden. Dewey noterade även att vi som vuxna har blivit så vana vid dessa strukturer att vi har svårt att föreställa oss komplexiteten i den här processen. Vi såg att den vertikala rörelsen från att ha förstått först addition av jämna tal (som n + n, eller stegvis som n + 2) och sedan multiplikation av jämna tal (som både 2 ∙ n och n ∙ 2) är ett viktigt steg framåt i första klass. Delbarhet med 3 bygger vidare på dessa idéer på ett sätt som kräver mer även av vuxna! När elever får möjlighet att organisera och klassificera – strukturera – sin vardag är de former som skapas vackra och överraskande. Konstruktionen av Galtons ”vackra regelbundna form[er]” är en av matematikernas drivkrafter. Till och med små barn kan förundras över matematikens skönhet om de får möjlighet att vara ”unga matematiker i arbete”.

Catherine Twomey Fosnot är professor emeritus i pedagogik vid City College of New York och grundare av Mathematics in the City. Bill Jacob är professor i matematik vid University of California och har i tio års tid arbetat med Mathematics in the City.

UNGA MATEMATIKER I ARBETE ALGEBRA

I serien Unga matematiker i arbete beskrivs elevers lärande i matematik som en spännande resa i ett landskap bestående av centrala matematiska idéer, strategier och modeller. I den här sista boken, i en serie om tre böcker, presenteras insiktsfulla och praktiska metoder för undervisning i algebra. Vi får möta lärare och se hur de använder olika verktyg – till exempel kontexter, dubbla tallinjer, rutnät och tabeller – för att underlätta elevers algebraiska lärande och skärpa deras algebraiska tänkande. Vi får även möta elever och se hur de upptäcker och konstruerar centrala algebraiska idéer, effektiva strategier och modeller att tänka med. Den här boken behandlar algebraundervisning i årskurs 3–6 och vänder sig till lärarstuderande och yrkesverksamma lärare. Den första boken i serien behandlar taluppfattning och de fyra räknesätten. Den andra boken behandlar bråk, decimaltal och procent. Tillsammans täcker de tre böckerna grundskolans kursplaner i matematik och syftar till att utveckla elevens förmåga att resonera och tänka som en matematiker.

Art.nr 40146

studentlitteratur.se