9789144124070 by Smakprov Media AB

Tal och tanke 2 Tal och tanke 2

– matematikundervisning från årskurs 4 till 6

– matematikundervisning från årskurs 4 till 6 I da H e i be rg S ol e m Bjør na r A l set h E l isa beta E r i k se n Bjør n Sm e sta d

Översättning: Nils-Martin Lundsgård

I da H e i be rg Sol e m B j ørna r A lset h E l i sabeta E ri k se n Bj ørn Sm e sta d

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 39836 ISBN 978-91-44-12407-0 Upplaga 1:1 Studentlitteratur 2019 för den svenska utgåvan © studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Översättning: Nils-Martin Lundsgård Sakgranskning: Kristina Wallin och Linda Marie Ahl Omslagslayout: Francisco Ortega Omslagsbild: Eivind Vetlesen Illustrationer: Eivind Vetlesen, Victor Paiam & Erik ødegaard Printed by Dimograf, Poland 2019

INNEHÅLL

F örord

till den svenska utgåvan

F örord 9

2.2

1 K lassrumskultur ,

uppgiftstyper och matematiskt tänkande 11 Inledning 11 1.1 Klassrumskultur, sociala och sociomatematiska normer 13 Diskussionsregler 13 Sammanfattning av aktiviteter 18 1.2 Lärarens frågor 27 Uppgifter som gör att eleverna måste motivera sina svar 33 1.3 Matematiska problemställningar 35 Utmanande uppgifter 35 Modifierade uppgifter 42 Uppgiftsdesign 43 Vad är kriteriet för en lösning? 48 Hur många olika hus? 49 Hur många räta vinklar kan vi ha i en månghörning? 51

2 A rgumentation , bevis 55

motivering och

Inledning 55 2.1 Logiska slutsatser – bevisens byggstenar 57 © S T U D E N T L I T T E R AT U R

2.3 2.4

2.5

Nödvändiga och tillräckliga betingelser 67 Kontrapositiva uttalanden 69 Bevis på låg- och mellanstadiet 71 Myntproblemet 72 Hur många olika torn? 78 Empirisk argumentation och bevis 83 Naiv empirism och avgörande experiment 85 Generiska exempel och representationsbaserade bevis 90 Visuell representation – använda sig av teckningar 92 Verbal representation 93 Om att utgå ifrån det som redan har bevisats 95 Om att hitta mönster och samband 98

3 M ultiplikation 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

3.6 3.7

och division 101 ”15 delat med 3 blir 14 på varje” 101 Multiplikativt tänkande och multiplikativa strukturer 102 Delnings- och innehållsdivision 104 Räknelagarna 107 Faktorisering och delbarhet 111 Sammansatta tal och primtal 113 Faktorer och multipler 117 Delbarhet 118 Multiplikationstabellernas hemligheter 122 Multiplikation med flersiffriga tal – elever använder och utvecklar metoder 127 Så fel kan det gå 130

Infallsvinkel med förståelse – med utgångspunkt i elevernas strategier 132 3.8 Elever använder och utvecklar metoder i division 137 Standardalgoritmen – så fel kan det gå 138 Infallsvinkel med förståelse – med utgångspunkt i elevernas strategier 139 3.9 Olika standardalgoritmer 144

4 G eometri 147 4.1 Begrepp inom tvådimensionell geometri 147 Tänk om allt vore annorlunda 148 Själva orden 151 Prototypfenomenet – och stärkt begreppsförståelse 153 Kategorier 157 Att lära sig att se 157 Att se dolda linjer 158 Att lägga märke till geometriska egenskaper 162 Att se delar och helheter i en figur 164 van Hieles nivåer 167 Sammanhang mellan begrepp 172 Argumentation och bevis 174 4.2 Två och tre dimensioner 178 Perspektivteckningar 179 Tredimensionella modeller och projektionsteckning 183 Isometrisk ritning 187 Vikning 188 4.3 Placering och rörelse 189 4.4 Avbildningar och symmetrier 193 Rotation 195 Att få erfarenhet 196 Obegränsade mönster 200 Att ta andra hållet 201

5 M ätning 203 Inledning 203 5.1 Vinkeln 204 Olika vinkelförståelser 205 Förståelse av mätning 206 Förståelse av överslag 208 Att bli bekant med vinkelbegreppet och mätning av vinklar 210 Stora vinklar 218 Vinkelsummor 219 Att räkna ut vinklar 221 Vinklar i forntiden 222 5.2 Att bli bättre bekant med måttenheterna 226 Standardmåttenheterna 228 5.3 Area och omkrets 231 Area 231 Förhållandet mellan area och omkrets 232 5.4 Volym och area 234 5.5 Formler 236 Rektangel 236 Parallellogram 237 Triangel 237 Parallelltrapets 238 Cirkel 239 Uträkningar 241 Volymen av prismor 242 Volymen av andra tredimensionella kroppar 244 5.6 Sammansatta måttenheter 244 5.7 Mätosäkerhet 245

6 R ationella

tal 249 6.1 Om bråkbegreppet 251 Areamodell 252 Mängdmodell 253 Längd-/tallinjemodell 253 Olika aspekter av bråkbegreppet 255

6.2 Centrala idéer i arbete med bråkbegreppet 265 Lika uppdelning 265 Unitizing/reunitizing – vad är helheten (1)? 270 6.3 Likvärdiga bråk 272 Areamodell 273 Mängdmodell 274 Tallinjemodell 275 Strategier för att jämföra bråk 276 Bråk som delning 276 6.4 Rationella tal i decimalform 278 6.5 Addition och subtraktion med bråk 282 Additiva strukturer 284 Representationsformer för addition och subtraktion 285 Räknestrategier 288 6.6 Multiplikation och division med bråk 294 Multiplicera bråk med ett helt tal 296 Multiplicera bråk med bråk 301 Göra division med bråk förståeligt 304

7 F örhållanden 311 7.1 7.2

7.3 7.4

och proportionalitet

Inledning 311 Multiplikativt eller additivt samband 316 Multiplikativt eller inte? 322 Förhållanden mellan två tal 324 Förhållandebegreppet 324 Ekvivalenta förhållanden 327 Bråk och förhållanden 330 Proportionalitet 332 Kontinuerliga förhållanden 334 Att räkna med förhållanden 338 Mellanförhållande och internt förhållande 343

8 A lgebra 349 Inledning 349 8.1 Algebraiskt tänkande 351 © S T U D E N T L I T T E R AT U R

8.2 8.3

8.4

8.5

8.6 8.7

Definition av algebraiskt tänkande 352 Algebraiskt tänkande integrerat i aritmetik 353 Algebra som språk 355 Generalisera struktur 357 Räknelagar 358 Struktur i talsystemet – negativa tal 364 Multiplikativ struktur i talsystemet 367 Likhetstecknets egenskaper 370 Operationell och relationell förståelse av likhetstecknet 371 Ekvivalens 373 Utsagor 376 Öppna utsagor 378 Relationellt tänkande 379 Relationellt tänkande observerat i uträkningar 380 Relationellt tänkande i utsagor och öppna utsagor 382 Variabelbegreppet 388 Funktionstänkande 392 Att identifiera storheter som varierar, och att generera talpar 397 Att söka efter mönster och motivera utifrån kontexten 401 Att generalisera mönstret – rekursiva och explicita formler 404 Funktionssamband i praktiska situationer 405 Funktionssamband i talmönster 408 Funktionssamband i geometriska mönster 411 Trapetsbordsproblemet – ett exempel 413

9 S tatistik 421 9.1 Introduktion: statistik versus matematik 421 9.2 Statistisk process 425 Att ställa frågor 426 Datainsamling 429 Dataanalys genom representation 432 9.3 Urval 434

Effekten av variation i urval 440 9.4 Distribution 442 Lägesmått 443 Typvärde 443 Median 445 Medelvärde 446 9.5 Representera data med diagram 456 Stapel- och stolpdiagram 459 Linjediagram 464 Cirkeldiagram 466 9.6 Variation och variabilitet 470 Variabilitet i data 471

L it teraturlista 475

Statistik

9.1 Introduktion: statistik versus matematik Det som skiljer statistik från matematik är att statistik ”springer ur ett behov som är skapat av en allestädes närvarande variation” (Cobb & Moore 1997). Variation är ett nyckelbegrepp i statistik. Några elever i årskurs 3 mätte längden på en gångbro med en måttstock. En grupp mätte att bron var 34,18 m. En sådan mätning är en matematisk process. En annan grupp mätte att bron var 35,7 m. En tredje och en fjärde grupp fick två andra resultat. Här var det stor variation. Det är typiskt för all mätning att resultaten varierar, även om det ofta är med mindre osäkerhet än i det här exemplet. Om tio personer mäter längden av en bok med en linjal mäter de säkert samma längd med centimeters exakthet, men det kan finnas oenighet kring antalet millimeter, till exempel att längden är 21,6 eller 21,7 cm. Mätningarna varierar, upprepade mätningar ger varierande resultat. Detta är alltså inte mätfel där den som mäter är slarvig eller där något är fel med mätredskapen. Det är en egenskap hos praktisk mätning att resultatet inte är 100 procent säkert. Om vi mäter bokens längd med lasermätare då? Sådana ger också varierande resultat, men det kan hända att variationen nu flyttats till tiondels millimeter, alltså att boken exempelvis är 21,65 eller 21,64 cm. Så vad är då egentligen brons längd, eller bokens? Vi är ute efter ett bakomliggande mönster, ett konkret svar på det praktiska problemet. Det är det statistik handlar om. Matematiken får gärna ha sin utgångspunkt i ett praktiskt problem, medan själva det matematiska arbetet är avkontextualiserat och exakt. En uppgift kan vara: ”Ett bord är 93 cm brett och 138 cm långt. Vad är bordets omkrets?” Den matematiska lösningen är: 93 + 93 + 138 + 138 = 462, alltså © S T U D E N T L I T T E R AT U R

421

9 Statistik att bordets omkrets är 462 cm. Betraktat som ett verkligt problem blir svaret däremot inte exakt, utan varierar. Det beror precis som ovan på att vi kan mäta olika noggrant, och då inträffar variation som en följd av mätmetoder och mätosäkerhet. Tio personer mäter bordets fyra sidlängder, lägger samman och hittar omkretsen. Här är deras resultat. 471,7 cm

461,1 cm

461,5 cm

461,4 cm

461,5 cm

461,1 cm

461,5 cm

461,8 cm

461,1 cm

461,3 cm

Att lägga ihop fyra tal är matematik och en operation som ger ett exakt svar. Att bearbeta variation knuten till en praktisk situation, exempelvis på grund av mätosäkerhet, är statistik. Vad är bordets omkrets om de tio personerna kom fram till de här resultaten? • 461,1: Det är resultatet hos tre personer. • 461,3: Hon som mätte det använde väldigt lång tid och var mycket

noggrann. • 462,4: Det är genomsnittet av alla mätningar. • 461,35: Det är mitt mellan de två mittersta mätningarna. Bordet har ju uppenbarligen en helt konkret omkrets, så det är nästan en provocerande tanke att vi inte klarar av att säga exakt vad den är. Därför är en viktig del av den statistiska kompetensen att acceptera och beskriva variation. Vi kan be ytterligare tio personer att mäta omkretsen, eller hundra eller tusen. Det kommer att ge ett bättre dataunderlag, men det ger likväl inte ett entydigt svar. Vi kan använda exaktare mätmetoder, som en lasermätare. Det ger inte heller ett entydigt svar, utan flyttar bara osäkerheten från tiondels centimeter till hundradels eller tusendels centimeter. Vi får variation även om vi mäter något så handfast som längden av ett bord. Variationen kan bli mer framträdande om vi samlar in data om fenomen som inte har en sådan bestämd, objektiv storlek. Om vi exempelvis undersöker vad personer kan eller tycker kan det finnas många faktorer som bidrar till variation. En form av variation är kopplad till sättet vi stäl422

9 Stat i st i k ler frågorna på. Genom att ta med positiva (eller negativa) ord kommer frågeformuleringen att kunna påverka resultatet. Exempelvis kan en neutral fråga som ”Vad tycker du om artisten Johnny Cashs musik?” ändras till ”Vad tycker du om den legendariske artisten Johnny Cashs musik?”. Genom att använda ordet legendarisk kan resultatet komma att bli att de som tillfrågas säger att de värdesätter hans musik högre. En annan form av variation är kopplad till vem vi frågar och även när vi frågar. En skola ska ha aktivitetsdag, och elevrådet ska komma med förslag på aktiviteter. Deras uppgift är att hitta svar på frågan: ”Vilka aktiviteter tycker eleverna på skolan bäst om att hålla på med?” Det är inte säkert att det är ändamålsenligt att fråga alla, och då kommer resultatet att variera med vem det är som blir tillfrågad. Om elevrådet frågar eleverna som spelar fotboll på rasten får de ett annat resultat än om de frågar inne på biblioteket. Om elevrådet frågar alla elever som är på fritids får de ett annat resultat än om de frågar alla elever i årskurs 6. Även omständigheterna kan komma att påverka resultatet: om de frågar på en regnig dag kommer de att få fler förslag på inomhusaktiviteter än om de frågar på en dag med strålande väder. Därför kräver statistik en annan typ av tänkande än matematik, eftersom statistik (data) alltid är kopplat till praktiska situationer, det som kallas kontext. I matematik är kontext ofta motivation och utgångspunkt för arbetet, medan det i statistik är det avgörande: kontext är det som ger statistiken mening. Detta får konsekvenser för statistikundervisningen, eftersom den alltid måste vara nära kopplad till praktiska exempel. Att designa, utforska och tolka statistiska undersökningar är själva essensen. Statistik innehåller därmed element som skiljer temat från matematik. Samtidigt är matematik integrerat i arbetet med statistik. När eleverna arbetar med statistiska problem kommer de att behöva kompetens i både matematik och statistik. Den matematiska sidan har traditionellt utgjort huvudtyngden i undervisningen, och den dyker ofta upp på prov, som att beräkna medelvärde (typvärde, median och genomsnitt) av en rad tal eller att skapa och läsa av diagram utan att dessa beskriver en praktisk, verklig situation där det är något som varierar. Följande uppgift kommer från det norska nationella provet i årskurs 5 (motsvarande årskurs 4 i Sverige, ö.a.) år 2014. Cirka 80 procent av eleverna © S T U D E N T L I T T E R AT U R

423

9 Statistik svarade rätt. I handledningen till provet ligger den här uppgiften under ämnet statistik. Andreas tittar på bilder av skyltar. Han ser att skyltarna har olika former och räknar hur många det är av varje form. Form på skylten

Antal skyltar

Form som en cirkel Form som en triangel Form som en fyrhörning Hur många skyltar är det av varje form? Fyll i tabellen.

Den här uppgiften handlar inte så mycket om statistik. Den har visserligen utgångspunkt i en praktisk situation, men det eleverna ska göra här är att känna igen tre olika geometriska former och räkna ihop antalet av varje form. Det är ett matematiskt arbete som gärna kan ingå i en statistisk process. För att detta skulle ha varit statistik skulle uppgiften ha behövt innehålla variation och varit tätare kopplad till en kontext. Ett sätt att göra detta på är till exempel att ändra uppgiften till att handla om trafiksäkerhet. Eleverna kan undersöka om skolvägen för eleverna i låg- och mellanstadiet är tydligare markerad än skolvägen för eleverna på högstadiet. Detta kan de undersöka genom att titta på antalet skyltade övergångsställen eller varningsskyltar. Här kan valet av metod skänka variation: antalet varierar beroende på vilket område runt de två skolorna de väljer, eller beroende på vilka elever som tillfrågas. Eleverna kommer inte att komma fram till ett entydigt svar, men däremot kunna diskutera utifrån de data som samlas in. Undervisningen i statistik kommer att innehålla element av matematik, som uppräkning, ordnande av tal för att hitta medianen samt addition och division för att hitta genomsnitt. Det är dock viktigt att arbetet också handlar om genuint statistiska teman som är nära knutna till en kontext och som innehåller variation. Det rör sig om att • ställa frågor lämpliga för statistik, det vill säga frågor där man kan

samla in, organisera, analysera och visa upp data för att besvara dem 424

9 Stat i st i k • välja och använda lämpliga statistiska metoder för dataanalys • dra och bedöma slutsatser baserade på data.

Den här förmågan till att kunna använda statistik i det dagliga livet, med element av kritiskt tänkande, kallas för statistisk literacy. Literacy är ett begrepp som har många definitioner. När det knyts till statistik rör det sig genomgående om att kunna läsa kritiskt och värdera information i tabeller, grafer och rapporter, att vara uppmärksam och att ställa frågor om saker som förmedlas från säljare, media, forskare, politiker med flera. Det handlar också om att själv kunna planera och genomföra statistiska undersökningar. I literacy ingår både statistisk och matematisk kunskap, kunskap om betydelsen av kontext samt en kritisk hållning (Gal 2002). När man argumenterar för att statistik bör spela en central roll i skolmatematiken framhävs oftast en bruksaspekt av den här sorten. Att kunna statistik är då en nyttig kompetens som alla elever bör inneha: Eftersom statistisk förståelse ligger till grund för många av de beslut som fattas i dagens samhälle kommer aspekter av statistisk literacy – förmågan att kunna applicera statistisk förståelse i en kontext – att placeras i skärningslinjen mellan räkneförmåga och läs- och skrivkunnighet. Denna förmåga kommer att vara central för att kunna nå upp till målen i de nya kursplanerna, inte minst inom samhällskunskapen. Watson & Callingham 2003 s. 5

9.2 Statistisk process Statistik kan beskrivas som en process med tre steg: 1. Definiera en fråga. 2. Planera en undersökning och samla in data. 3. Analysera data och dra slutsats. Mycket av det traditionella arbetet med statistik i skolan har rört sig kring den sista punkten, analys av en uppsättning data genom att skapa ett diagram och/eller beräkna genomsnitt med mera. Ibland måste eleverna © S T U D E N T L I T T E R AT U R

425

9 Statistik först samla in data, men då på ett bestämt sätt och efter en angiven plan. I undervisningen är det dock också viktigt att eleverna ibland får arbeta med de två första stegen. Det här delkapitlet beskriver de tre stegen: att formulera frågor som är lämpade för statistik, att samla in data och till sist en begynnande analys kopplad till att representera data. Det tredje steget belyses ytterligare i de följande delkapitlen.

AT T STÄLLA FRÅGOR

Statistik handlar om att ställa och besvara frågor från verkligheten. Så vilka frågor är lämpade att besvara med statistik? En första punkt är att frågan måste komma ur någon form av verklighet. Utgångspunkten måste vara någon aspekt i omvärlden som eleverna vill ta reda på, kopplad till någon kontext som eleverna kan förhålla sig till. När eleverna ska lära sig statistik kan det finnas tillfällen då undervisningen inte är kopplad till en reell kontext, till exempel om de ska arbeta med en viss teknik eller färdighet. Men när undervisningen ska omfatta hela den statistiska processen som är beskriven i de tre punkterna ovan är det nödvändigt att frågorna är kontextuella. En annan punkt är att frågan måste kunna besvaras med insamling av en mängd data. Frågan ”Hur många syskon har Anna?” kan besvaras med ett tal, till exempel ”3”. Detta kräver inte att man samlar in en datamängd och är därmed inte en statistisk fråga. Om frågan i stället är ”Hur många syskon har eleverna på skolan?” måste man samla in data för att kunna svara. Detta är därmed en fråga som kan besvaras med statistik. En tredje punkt är som tidigare nämnts variation. Detta kommer ofta av sig själv om de två första punkterna är avklarade, alltså att frågan är kopplad till elevernas omvärld och kan besvaras med datainsamling. Om elevernas fråga är: ”Hur många syskon har eleverna i klassen?” kan de svara på det med en enkel uppräkning. Här blir det inte mycket variation, men lite kan man hitta: Ska halvsyskon räknas in? Hur gör man om en mamma är gravid i åttonde månaden? Därför kan vi säga att detta är en statistisk fråga. För att göra detta till ett bättre statistiskt projekt kan man försöka utvidga frågeställningen genom att diskutera med eleverna om vad de är intresserade av att veta något om. Kanske det snarare är hur många syskon 426

9 Stat i st i k det är vanligt att ha – och inte begränsat till eleverna i klassen? Då ökar variationen, särskilt om frågan omfattar så många att vi inte kan fråga alla. Vem ska vi då fråga? Alla eleverna i årskursen, alla elever i mellanstadiet, eller ska vi välja ut några? Hur ska vi i så fall göra det? Sättet som vi samlar in data på kommer att påverka resultatet, och då varierar resultatet med datainsamlingen. Det är typiskt för statistiska frågor att de leder till variation genom att data kan samlas in på olika sätt. Vilka av frågorna är lämpade för statistik? 1. Vad har Emma, Jan och Even för matsäck i dag? 2. Vad brukar man ha i matsäcken? 3. Varför har elever den matsäck de har (t.ex. det är det de tycker bäst om, det är enkelt att flytta/förvara, föräldrarna bestämmer …)? 4. Vilken mobiltelefon har bäst kamera? 5. Vem i klassen har tyngst skolväska i dag? För att hjälpa eleverna med att förstå vad som är bra statistiska frågor kan de utmanas till att skilja mellan frågor som kan besvaras med statistik och de som inte kan besvaras med statistik. De som inte är lämpade bland dessa fem är fråga 1, 4 och 5. Anledningen till att den första inte passar är att den har en entydig fokus på tre elever. Här blir det lite datainsamling och ingen variation. Då är fråga 2 ett mycket bättre alternativ för statistik. Fråga 4 kan inte besvaras med statistik eftersom det inte finns något entydigt sätt att samla in data. Om man preciserar vad som menas med ”den bästa kameran” kan det bli en bra fråga för statistik, som: ”Hur många pixlar har den? Hur mycket kan den zooma? Hur snabbt kan den ta bilder? Hur är bildkvaliteten i dagsljus, i mörk belysning?” För att besvara fråga 5 måste eleverna väga alla väskor och identifiera den tyngsta. Här är det en del datainsamling, men ingen variation. Som nämns i inledningen kan mätning i sig själv användas som grund för statistik. Det sker om mätningen involverar mätosäkerhet. Detta sker knappast i fråga 5, eftersom eleverna mest troligen kommer att använda en vikt som ger ett entydigt resultat. Om frågan i stället skulle vara: ”Hur mycket väger en skolväska?” vore den lämplig för statistik. Här varierar resultatet bland annat med vilka elever och väskor som vägs, och vilken dag som datainsamlingen sker.

427

9 Statistik Vad kan vara bra frågor för statistiska projekt? Här kommer några tips. I skolsammanhang ligger det nära till hands att använda eleverna i en klass, i en årskurs eller på en skola som utgångspunkt. Eleverna kan vilja lära sig om sig själva som grupp, till exempel: • Intressen: Hur brukar de gå klädda? Vad tycker de om att göra på

fritiden, vad tycker de om att äta, vad tycker de om att läsa? Vad tycker de inte om? • Antal: Hur många syskon har de? Hur många husdjur? När brukar de gå och lägga sig? • Mätningar: kroppsmått som längd, armlängd, handbredd, fotarea eller mått till tävlingar, såsom tiden det tar att räkna till 50 eller springa runt skolan, hur långt man hoppar i längdhopp, att man knäpper i väg en kula eller ett hopknycklat papper så nära en prick som möjligt. Andra källor för statistiska frågor är tidningar och internet. Eleverna får gärna också använda andra ämnen som naturämnen, hemkunskap och idrott. • Hur stor del av en tidningssida utgör bilderna? Hur mycket reklam • • • • •

428

är det på en nyhetssida på internet? Hur tätt bor vi i Sverige? Se på antal människor som bor per kvadratkilometer i olika kommuner. Hur långt från ett lutande plan rullar en flaska när den är tom, halvfull respektive full? Hur påverkar ljuset när krasse växer? Hur mycket av olika ingredienser är det i olika sorters flingor: salt, socker, fett, fiber, …? Hur fort springer eleverna 40 m?

9 Stat i st i k DATAINSAMLING

När frågan för hela undersökningen har formulerats kommer processen med att planera och genomföra datainsamlingen. Statistik är ingenting utan data, så naturligtvis är datainsamlingen en väldigt viktig del av en statistisk undersökning. Om insamlingen har dålig kvalitet kommer resultaten av undersökningen inte att vara särskilt pålitliga. Data kan samlas in på olika sätt. Det kan röra sig om data från mätningar av fysiska objekt, som mätning av längd, vikt, volym, tid, temperatur och så vidare. För att eleverna ska mäta så precist som möjligt kan det vara bra att på förhand prata om hur mätningen kan genomföras: Vilka mätredskap ska användas? Vilken måttenhet mäter vi med? Hur ska själva mätningen genomföras? Ett annat sätt att samla in data på är att räkna ihop inom kategorier. Då är det viktigt att kriterierna för kategorisering är precisa och tydliga. Kanske vill eleverna undersöka vilka färger skolbarn har på sina kläder och hur detta har utvecklats över tid. Eleverna kan då till exempel titta på ett klassfoto från varje årtionde sedan 70-talet och räkna ihop antalet tröjor/jackor inom olika färgkategorier. Då varierar resultatet beroende på vilka kategorier som används. Ska det till exempel vara en kategori för ”rött” eller ska det vara många (rosa, karmosin, gammalrosa, violett, magenta osv.), hur gör man om färgen hamnar mitt emellan två kategorier, eller om tröjan har flera färger? I den här undersökningen kan eleverna lätt tycka att det är svårt att både hitta bra kategorier och att placera alla tröjorna rätt. De kommer då att få erfarenhet av att resultatet varierar med kategorierna, och även med vem det är som bestämmer var varje tröja ska placeras. Vi bör eftersträva att definiera kategorierna så precist som möjligt, men det kommer alltid att dyka upp tveksamma fall. Detta är väsentligt för förståelsen av statistik, så det är viktigt att eleverna då och då får uppgifter som illustrerar den komplexitet som är kopplad till att kategorisera data. En tredje form av datainsamling är enkäten. Här kan variation i frågeställandet ge stora ändringar i resultaten. Därför är det viktigt att eleverna tar del i den här processen och får diskutera hur samma problemställning kan formuleras på olika sätt. Genom att uppleva hur olika frågeformule-

429

9 Statistik ringar kan leda till olika resultat kan eleverna utveckla en bättre förståelse av resultaten från andra frågeundersökningar. Det är en förutsättning för att kunna tolka resultat som presenteras i media. Exempelvis är det vid folkomröstningar vanligt att bara ställa en Ja/Nej-fråga för att undvika oklarheter och missförstånd. Den här principen följdes inte under de norska folkomröstningarna om kommunsammanslagning 2016, och på flera håll uttrycktes missnöje med valalternativen. Den 12 april skrev Verdens Gang: ”Men i realiteten får folk runtom i landet välja mellan alltför många och otydliga alternativ. Det ger lågt valdeltagande och föga användbara resultat.” För att en fråga ska besvaras på ett pålitligt sätt finns det flera saker att ta hänsyn till i utformningen av frågan: 1. Undvik ledande ord och frågor Att använda positiva ord i en fråga kan leda till mer positiva svar. På motsatt sätt leder negativa ord till mer negativa svar. Till exempel kan frågan ”I hur stor grad håller du med om att lärarna ska tvinga eleverna att vara utomhus under rasterna?” präglas av de negativa orden ”ska” och ”tvinga”. Ingen tycker om att bli tvingad. En omformulering kan vara att skriva ”bör stimulera” i stället för ”ska tvinga”. Antagligen skulle fler elever vara positiva till det. Ett annat sätt att försöka påverka svaret är att ställa direkt ledande frågor, till exempel genom att lägga till en värdering i inledningen: ”Väldigt många tycker om Jo Nesbøs böcker. Vad tycker du om hans böcker?” Ett annat exempel: ”Dieselbilar släpper ut sotpartiklar som förorenar närmiljön. Hur sannolikt är det att nästa bil du köper använder diesel?” Här lyfter man fram en negativ aspekt med diesel, något som kan komma att påverka svaren. Om den första meningen ersätts med en positiv aspekt skulle svaren kunna bli något annorlunda: ”Dieselbilar släpper ut mindre skadlig CO2 än bensinbilar. Hur sannolikt är det att nästa bil du köper använder diesel?”

430

9 Stat i st i k 2. Ställ direkta frågor I intervjuer är det ofta bra att ställa öppna frågor eftersom det ger den som blir tillfrågad stort handlingsutrymme. Då används ofta frågeord som vem, vad och varför. När vi samlar in data till en statistisk undersökning är det i regel bättre med mer direkta frågor. I en intervju kan man ställa frågan: ”Vad tycker du om att göra på fritiden?” Då kan respondenterna ge många olika svar: vara med vänner, träna, göra läxor, spela dataspel, lyssna på musik och så vidare. Om undersökningen handlar om tv-vanor är det bättre med en direkt fråga: ”Hur mycket ser du på tv under en vanlig dag?” Ibland är det svårt att hitta bra direkta frågor. Då kan man använda en öppen fråga, men begränsa handlingsutrymmet hos de som ska svara genom att de får välja mellan angivna svarsalternativ. I stället för att fråga ”Vad tycker du om att göra på fritiden?” kan man fråga ”Hur ofta gör du detta på fritiden?” Sedan räknar man upp de aktuella alternativen: träna, spela dataspel, göra läxor, se på tv och så vidare. Till varje alternativ kan eleverna välja mellan ”Mindre än 1 gång i veckan”, ”1–2 gånger i veckan”, ”3–4 gånger i veckan” och ”Fler än 4 gånger i veckan”. 3. Ställ endast en fråga i taget Ställ inte frågor som ber dem som svarar att ta ställning till två (eller fler) ståndpunkter på en och samma gång, som: ”Vilken telefon är snabbast och har bäst batteritid?” Detta är två aspekter som inte hör ihop, så det är bättre att dela upp dem på två separata frågor. Ett annat exempel är: ”Hur ofta åker du till sjön och badar?” Att åka till sjön och bada är två saker som visserligen hänger ihop. Men det går att åka till sjön utan att bada, och det går att bada på andra ställen än i sjön. Därför är det bättre att klargöra vad det är undersökningen ska belysa, och sedan fråga därefter: Handlar det om att åka till sjön eller om att bada?

431

9 Statistik DATAANALYS GENOM REPRESENTATION

När någon talar om att analysera data avses oftast att göra matematiska beräkningar med dessa data. På lågstadiet kan det röra sig om att hitta variationsbredden (skillnaden mellan det lägsta och det högsta talet i en datamängd) och räkna ut genomsnittet. Beräkningarna har till ändamål att ge en beskrivande sammanfattning av ens data eller att framhäva ett samband. Ett annat sätt att förmedla ett intryck av sina data är att representera dessa data på ett översiktligt sätt, till exempel i en tabell eller med ett diagram. Detta gäller särskilt när datamaterialet är skevt (detta beskrivs senare i kapitlet). Då kan det ge en mer korrekt bild av var ”mitten” av datamaterialet befinner sig om man ritar en graf än anger genomsnittet. Att ställa upp, illustrera och representera data på nya sätt kan visa sig vara väldigt värdefullt – det kan ge en ny och betydligt bättre förståelse av de data som presenteras. Detta tas upp senare i kapitlet. När elever genomför statistiska undersökningar samlar de gärna in stora mängder data. Efter datainsamlingen kan eleverna representera dessa data på ett översiktligt sätt. 20 elever undersöker påståendet om att en persons längd är densamma som längden från fingerspets till fingerspets när armarna sträcks ut åt sidan. De mäter sig själva, hittar skillnaden mellan längd och armspann och skriver detta på en post-it-lapp. Resultaten blir: 6

–2

–1

–3

–4

–1

–4

–1

–2

Talet 6 innebär att elevens längd är 6 cm större än armspannet, medan negativa tal innebär att armspannet är större än elevens längd. Eleverna går ihop i grupper, och varje grupp får i uppgift att visa dessa data på ett översiktligt sätt. Eleverna har inte på förhand fått någon utbildning i vanliga sätt att göra detta. Det skapar stora skillnader mellan gruppernas arbeten, något som är bra för att lyfta fram vad de olika representationsformerna framhäver och döljer. I) Lägga lappar med samma tal ovanpå varandra:

432

9 Stat i st i k

II) Lägga lapparna i tre grupper, om differensen är positiv, negativ eller lika med 0: Positiva tal

Negativa tal

Noll

III) Klistra sina lappar längs en tallinje:

IV) Lägga lapparna i sorterad ordningsföljd, från det minsta till det största talet:

Grupperna visar varandra hur de har ordnat datamaterialet, och eleverna diskuterar fördelar och nackdelar med de olika representationsformerna. En bra sak med att lägga lappar med likadana tal ovanpå varandra (I) är

433

9 Statistik att det ger en fin översikt över de olika svarskategorierna, medan antalet i varje kategori blir mindre synligt. Detta är därmed ett bra sätt att visa data på om man är mer intresserad av vilka kategorier data har än antalet i varje kategori. En bra sak med att lägga lapparna i tre kategorier (II) är att man lätt får en överblick över antalet i de här tre kategorierna. Det man förlorar är att variationen av kategorier blir mindre. I kategorin positiva tal ingår till exempel både små och stora positiva tal. Detta är ett bra arbetssätt om data naturligt placeras i bestämda kategorier och om dessa kategorier är särskilt intressanta. Läraren ger undervisningen en riktning genom att framhäva elever som väljer metoder och uttryckssätt som skulle vara effektiva också för andra datamaterial. För att stimulera ytterligare till detta kan läraren komma med tips och förslag till grupperna medan de arbetar: • (För III:) Se på talen under strecket, det är alla tal från –4 till 6

bortsett från 2. Hur blir ert diagram om ni även tar med 2? • Kan ni använda räknestreck i stället för lapparna? Finns det några

fördelar med det?

9.3 Urval Statistiska frågor har ofta för avsikt att säga något om en stor grupp människor, saker eller fenomen: 1. Hur många skulle ha röstat på vart och ett av partierna om det var val i Sverige i dag? 2. Vad är diametern hos ett typiskt träd i den här skogen? 3. Hur stor del av bilarna som använder den här vägen är elbilar? Frågorna kan omfatta så många att det inte är praktiskt möjligt att fråga (eller undersöka) alla. I stället tillfrågas några, och så är förhoppningen att de övriga skulle ha svarat på ungefär samma sätt. De som tillfrågas kallas ett urval, medan alla som frågan handlar om kallas för populationen. Vi 434

9 Stat i st i k frågar ett urval och samlar då in data om/från varje enskild person, sak eller varje enskilt fenomen. Sedan analyserar vi våra data och använder resultaten från urvalet till att säga något om hela populationen. Vi kan få ett exakt svar på fråga 1 om vi frågar alla, något vi gör vid val, vilket i Sverige är vart fjärde år. Då är detta inte en statistisk fråga. Men om vi vill besvara frågan exempelvis ett halvår före ett val görs det genom att fråga ett urval på kanske 2 000 personer. Vi får variation för att data kommer att variera utifrån vem som ingår i urvalet och därmed är det nu en statistisk fråga. För att besvara fråga 2 går det kanske att mäta alla träd i skogen, men om det är en stor skog är detta praktiskt taget omöjligt. Då kan vi i stället använda ett urval, till exempel genom att mäta träd på några olika platser i skogen. För att besvara fråga 3 kan vi ställa oss vid vägen och räkna antalet elbilar och antalet som inte är elbilar. Då är det oändamålsenligt att stå ute dygnet runt i månader, så vi gör ett urval. Här kommer våra data att kunna variera mycket med urvalet, alltså när vi väljer att räkna bilar: rusningstid/utanför rusningstid, regn/vackert väder, vinter/sommar, vardag/helg och så vidare. Det är alltså viktigt att skilja mellan data, urval och population. Vissa elever kan tro att urval och population är samma sak, att urvalet är identiskt med populationen. Då kommer de att tro att resultaten från en undersökning stämmer 100 procent med populationen, något som i praktiken aldrig skulle vara fallet. Eleverna skulle i så fall fästa för mycket tillit till undersökningen. Andra elever kan anse att ett urval är helt slumpmässigt, att vi bara har plockat ut några och att undersökningen därmed inte kan säga något alls – vad som helst kan hända. De här eleverna fäster för lite tillit till undersökningen. Sanningen hamnar någonstans mellan de här två ytterpunkterna. I TIMSS 2015 valdes drygt 4 000 elever i årskurs 4 ut för att svara på matematikuppgifter. Genomsnittet av resultaten hos dessa elever, 519 poäng, används för att beskriva kompetensen hos alla elever i svenska årskurs 4. Här undersöktes inte alla eleverna. Därför är det mycket möjligt att det egentliga genomsnittet är något annat än 519. Eftersom man använde ett stort och slumpmässigt urval ligger det egentliga genomsnittet dock nära 519. Vid slumpmässiga urval kan man dessutom räkna ut hur

435

9 Statistik stor felmarginalen är. I den här undersökningen är det 95 procent säkert att det egentliga genomsnittet ligger mellan 509 och 529 poäng. Både 2015 och 2016 var det folkomröstning i en kommun om huruvida den borde slås ihop med grannkommunerna. År 2015 var det 22 procent som ville att kommunen skulle fortsätta på egen hand (62 procent var för sammanslagning medan 16 procent inte hade någon bestämd åsikt). År 2016 röstade hela 57 procent för att kommunen skulle fortsätta på egen hand och inte slås ihop med de andra.

Fortsätta själv

2015

2016

22 %

57 %

Varför var det så stor skillnad? Och vad bör politikerna bestämma – sammanslagning eller att fortsätta själva? Undersökningen 2015 genomfördes per telefon med ett slumpmässigt urval av invånarna i kommunen, 500 personer (13 procent av de röstberättigade). Undersökningen 2016 skedde genom fysisk röstning, och då deltog knappt 1 600 personer (40 procent av de röstberättigade). Det faktum att endast 40 procent går och röstar är väldigt lågt. Då finns det en stor chans att det är ett skevt urval, alltså att urvalet inte representerar populationen på ett bra sätt. Det kan till exempel vara så att det är de ivrigaste som röstar, eller de som har egen bil, medan de som är sjuka (dåliga ben, deprimerade, som har smärta, …) håller sig hemma. Det är väldokumenterat att andelen som röstar vid val är högre för personer med hög utbildning och hög inkomst. Därför kan 500 slumpmässigt utvalda personer vara ett bättre urval än 1 600 som inte är slumpmässigt valda. Den väsentliga aspekten här är urvalets representativitet: att de som tillfrågas totalt sett är så lika hela populationen som möjligt, alltså alla som frågan handlar om. En kommunsammanslagning omfattar alla invånare. Därför är det inte rättvist om de med hög utbildning får bestämma mer än deras procentandel berättigar dem till. Om några elever i årskurs 6 skulle undersöka vilka aktiviteter eleverna på skolan vill ha på en aktivitetsdag måste de, om de inte kan fråga alla, se till att fråga ett representativt urval. 436

Lit te raturlista (red.) Proceedings of the 29th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol 4. Melbourne: PME, s. 305–312. Ida Heiberg Solem undervisar i matematik vid universitetet OsloMet. Warren, E. &Bjørnar Cooper, T.Alseth (2008).är Generalising the pattern rule läromedelsutvecklare. Elisabeta Eriksen är universitetsfor visual growth patterns: Actions that support 8 year lektor i matematik vid universitetet OsloMet. Bjørn Smestad är docent i olds’ thinking. Educational Studies in Mathematics 67 (2), matematikdidaktik vid universitetet OsloMet. s. 171–185. Wason, P. C. (1968). Reasoning about a rule. Quarterly Journal of Experimental Psychology 20 (3), s. 273–281. Watson, J. M. (2006). Statistical literacy at school: Growth and goals. Mahwah: Lawrence Erlbaum. Watson, J. & Callingham, R. (2003). Statistical literacy: A complex hierarchical construct. Statistics Education Research Journal 2, s. 3–46. Watson, A. & Mason, J. (1998). Questions and prompts for mathematical thinking. Association Teachers of Tal och tankeDerby: 2 visar hur manofkan genomföra god matematikundervisning Mathematics. i årskurs 4–6, baserat på internationell forskning och praktiska erfarenheter Wenger, E. (1998). of practice. Learning, meaning, från Communities klassrum. Författarna har en bred infallsvinkel på ämnet, där elevernas and identity. Cambridge: Cambridge University Press. tänkande och argumentation står i centrum. Stor vikt läggs vid klass Yackel, E. & Hanna, G. (2003). Reasoning och and proof. rumssamtal i matematik författarna ger många förslag på hur goda I: Kilpatrick, J., Martin, W. G. & Schifter, D.läraren (red.) A research samtal kan initieras samt hur kan stimulera elevernas matematiska companion to principles and standards for school mathematics. tänkande. Boken innehåller många uppgifter som engagerar eleverna och Reston: National Council of Teachers of Mathematics, hjälper dem att utveckla väsentliga kompetenser, med exempel på elev s. 227–236.

TAL OCH TANKE 2

– matematikundervisning från årskurs 4 till 6

arbeten som visar elevernas lösningsmetoder och strategier.

Här finns separata kapitel om de områden som eleverna kommer att arbeta med: • • • • • • • •

Multiplikation och division Geometri Mätning Rationella tal Förhållanden och proportionalitet Algebra Statistik Normer och resonemang

Boken bygger vidare på Tal och tanke – matematikundervisning från förskoleklass till årskurs 3 och vänder sig till matematiklärare och studenter som går lärarutbildningen. Art.nr 39836

482

studentlitteratur.se