Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare
Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.
Mankanocksågegränsvärdet(2)engeometrisktolkning. Differenskvoten f (x0 + h) f (x0 ) h
betyderjuriktningskoefficientenfördensekant somgårgenompunkterna (x0 ,f (x0 )) och (x0+h,f (x0+h)) påfunktionskurvan y = f (x).Om gränsvärdet(2)existerarkommersekantenattfåettgränsläge t när h gårmotnoll.Dennagränslinjekallarman tangent tillkurvan y = f (x) ipunkten (x0 ,f (x0 )).Detäralltsårimligtattsäga: gränsvärdet(2)av differenskvotenärlikamedriktningskoefficientenförtangententillfunktionskurvan y = f (x) ipunkten (x0 ,f (x0 )). x
Definition1.Antagattfunktionen f ärdefinieradienomgivningav punkten x0 .Omgränsvärdet lim h→0 f (x0 + h) f (x0 ) h
existerarsåsäges f vara deriverbaripunkten x0 .Gränsvärdetkallas derivatanav f i x0 ochbetecknas
f (x0 ), df dx (x0 ) eller Df (x0 ).
Omenfunktion f ärderiverbarivarjepunktisindefinitionsmängd sägervikortfattatatt f är deriverbar Funktionen
x −→ f (x),x ∈ Df , kallas derivatanav f .Fördennafinnsblandannatbeteckningarna f , df dx,Df.
Isambandmeddiskussionavenfunktionskurva y = f (x) användsockså skrivsätten y och dy dx.
Exempel2.Polynomavgradhögstlikamed1,
f (x)= ax + b,x ∈ R, ärderiverbaramed
f (x)= a.
Ty
f (x0 + h) f (x0 ) h = (a(x0 + h)+ b) (ax0 + b) h = ah h = a → a då h → 0
förvarjepunkt x0 ∈ R
Förenkonstantfunktionär a =0.Viharalltsåspecielltvisatatt derivatanavvarjekonstantfunktionäridentisktnoll.
Exempel3.Funktionen
f (x)= c√x,x> 0, där c ärenkonstant,ärderiverbarmed f (x)= c 2√x .
Tyenupprepningavräkningeniexempel1förenallmänpunkt x0 ger f (x0 + h) f (x0 ) h = c√x0 + h c√x0 h = c (x0 + h) x0 h(√x0 + h + √x0 ) = = c √x0 + h + √x0 → c 2√ x0 då h → 0
Exempel4.Förettmonom xn gäller
D (xn )= nxn 1 .
Binomialsatsengernämligenatt (x0 + h)n x
Härharallatermerutomdenförstagränsvärdet0då h → 0.Vifåralltså att
Geometrisktolkningavderivata
Islutetavavsnitt3.1sågviattdetärrimligtattuppfattadenräta linjesomgårgenompunkten (x0 ,f (x0 )) ochharriktningskoefficienten f (x0 ) somentangenttillfunktionskurvan y = f (x).Vi definierar därför tangenten ipunkten (x0 ,f (x0 )) somdenlinjevarsekvationär y f (x0 )= f (x0 )(x x0 ). (3)
lutning f (x0 )
Vitalarocksåom f (x0 ) somfunktionskurvans lutning eller branthet i punkten (x0 ,f (x0 ))
Exempel5.Beräknatangententillfunktionskurvan y = √x,x> 0, ipunkten (9, 3) (somärenpunktpåkurvan!).
Exempel6.Omenrätlinjeharriktningskoefficienten a =0,såharen normal tilldensammasombekantriktningskoefficienten 1 a .Uppgift: beräknanormalenipunkten (9, 3) tillkurvaniföregåendeexempel.
Eftersomnormalenskagågenompunkten (9, 3) blirdärfördessekvation y 3=( 6)(x 9), somviskriver y +6x 57=0
9
Derivatoritillämpningarna
Deflestafysikaliskaochtekniskatillämpningaravbegreppetderivata byggerpådentolkningsomvikomframtilliinledningen: denhastighet varmedettvisstförlopp y = f (x) tillväxerienvisspunkt x0 angesav derivatan f (x0 ) idennapunkt.
Enheten förförloppetstillväxthastighetberorpåenheternaför x och y isambandet y = f (x).Omtillexempel s(t) angertillryggalagdvägsträcka(meter)förnågotobjektvidtiden t (sekunder)blir s (t) den vanliga(momentana)hastighetenvidtiden t mättimeterpersekund. Om y (t) ärmängdenradioaktivmateriaikilogramvidtiden t (sekunder) betyder y (t) ämnetssönderfallshastighetvidtiden t ikg/s.Observeraminustecknet:sönderfallinnebärnegativtillväxt.Om f (x) stårför temperaturen(◦ C)ipunkten x påentalaxelgraderadimetersåanger f (x) temperaturstegringeni ◦ C/mvidpunkten x,etc.Exemplenkan lättmångfaldigas.
Exempel7.Ettkärlharformenavenhorisontelltriangulärrännamed måttimeterenligtfiguren.Idenvidtiden t =0 tommarännantappas vattenmedenkonstanthastighetav3m3 pertimme.Hursnabbtstiger vattennivån y (t) videnvisstidpunkt t (timmar)?
Lösning: Förstberäknarvinivån y (t) somfunktionav t.Avlikformiga trianglarserviattvattenytansbreddärlikamednivån y (t).Vibestämmer y (t) genomatttecknavattenvolymenirännanefter t timmarpåtvå sätt:
Dettageross
Derivatanavdennafunktionberäknasenligtexempel3med c = 3 2 .
Resultatetblirattvattnetstigermedhastigheten
meterpertimmevidtiden t
Andraderivata
Detkannaturligtvisivissafallfinnasanledningattstuderatillväxthastighetenhosderivatan f avenfunktion f .Manskadåbilda (f ) .Denna funktionkallas andraderivatan av f ochbetecknaspåenderaavsätten f ,f (2) ,D 2 f och d2 f dx2 .
Enligtsindefinitionmäter f (x) hursnabbttillväxthastighetenökari punkten x.Dettabrukarmankalla accelerationen hosförloppet f (x). Omtillexempel s(t) betydertillryggalagdvägsträckaimetervidtiden t sekundersåär s (t) denvanligaaccelerationeni(m/s)/s,dvs.im/s 2 . Beroendepåtolkningenav f (x) kanemellertidaccelerationen f (x) ha heltolikaenheter.Iexempletdär f (x) ärtemperaturen(◦ C)ipunkten x (m)bliraccelerationensenhet(◦ C/m)/m,dvs. ◦ C/m2
Exempel8.Etträtlinjigtförlopp
f (x)= ax + b
harenligtexempel2konstanttillväxthastighet f (x)= a ochaccelerationen f (x)=0.
Sats1.Omenfunktion f ärderiverbarsåärdenkontinuerlig.
Bevis. Antagatt f ärderiverbarienpunkt x0 ∈ Df .Enligtdefinitionen avkontinuitetskavivisaatt f (x0 + h) → f (x0 ) då h → 0.Men f (x0 + h) f (x0 )= f (x0 + h) f (x0 ) h · h → f (x0 ) · 0=0 då h → 0.
Dettavisarsatsen.
Omvändningentillsats1ärintesann.Tillexempelärfunktionen f (x)= |x| kontinuerligmenintederiverbari x =0.Detsistaserman avderivatansdefinition,tyför h> 0 harvi f (0+ h) f (0) h = |h| h = h h =1 → 1 då h → 0+ ,
medanför h< 0 f (0+ h) f (0) h = |h| h = h h = 1 →−1 då h → 0 .
Gränsvärdetdå h → 0 avdifferenskvotenipunkten0existerartydligen inte. x y y = |x|
Närsomidettafallvänster-respektivehögergränsvärdetavdifferenskvotenexisterarvarförsigtalarmanom vänsterderivatan respektive högerderivatan av f .Tydligenär f deriverbarienpunktprecisnär såvälvänster-somhögerderivatanexisterarochdeärlika.
Dåkrävermanatt f ärderiverbari a<x<b samtatthögerderivatan existerari a ochvänsterderivatani b.
Algebraiskaräkneregler
Sats2.Låt f och g varaderiverbarafunktioneroch α enkonstant. Dåärfunktionerna αf , f + g , fg och f/g deriverbaraisinarespektive definitionsmängder,ochviharföljandeformlerförderasderivator: (αf ) (x)= αf (x), (4)
(f + g ) (x)= f (x)+ g (x), (5) (fg ) (x)= f (x)g (x)+ f (x)g (x), (6) f g (x)= f (x)g (x) f (x)g (x) g (x)2 . (7)
Bevis. Vigeringetseparatbevisavregel(4),eftersomdenutgörett specialfallav(6),nämligendå g (x)= α.
(5):Fördifferenskvotenav f + g ienpunkt x harvidirektatt
[f (x + h)+ g (x + h)] [f (x)+ g (x)] h = = f (x + h) f (x) h + g (x + h) g (x) h → f (x)+ g (x) då h → 0.
Alltsåär f + g deriverbarochdessderivatagesav(5).
(6):Ianalogimedbevisetavproduktregeln(2.7)förgränsvärden, sidan140,skriverviomdifferenskvotenför fg som f (x + h)g (x + h) f (x)g (x) h = = [f (x + h) f (x)] g (x + h)+ f (x)g (x + h) f (x)g (x) h = = f (x + h) f (x) h · g (x + h)+ f (x) · g (x + h) g (x) h .
Arne Persson och Lars-Christer Böiers är universitetslektorer i matematik och har mångårig erfarenhet av undervisning vid Lunds Tekniska Högskola.
ANALYS I EN VARIABEL
Denna bok behandlar grunderna i differential- och integralkalkyl för funktioner av en variabel. Den innehåller också en introduktion till de komplexa talen.
Framställningen är rik på exempel som visar hur man använder de teoretiska resultaten vid konkret problemlösning. Många tillämpningar inom teknik och naturvetenskap diskuteras. Författarna har lagt ner stor möda på att successivt vänja läsaren vid matematikens och naturvetenskapens krav på stringenta och koncisa resonemang.
I den tredje upplagan har författarna lagt sig vinn om att förnya texten och anpassa den till dagens studenter. Fler exempel har tillkommit för att ytterligare belysa teorin.
