7000 Matematik
LENA ALFREDSSON SANNA BODEMYR HANS HEIKNE
Varje kapitel har följande innehåll och struktur
KAPITELSTART
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER
Lösning av ekvationssystem
Linn och Alice har var sin ryggsäck som handbagage när de flyger. Vid incheckningen vägs handbagaget. Deras ryggsäckar väger tillsammans 13 kg. Skillnaden i vikt är 3 kg. Hur mycket väger deras ryggsäckar?
2221 Avgör om funktionen y = x – 3 x 2 + 5 har en maximieller minimipunkt. Motivera.
Grafen har en maximipunkt. Motivering: x 2-termens koefficient är negativ.
REPETITIONSUPPGIFTER
2221
Avgör om funktionen y = x – 3 x 2 + 5 har en maximi- eller minimipunkt. Motivera.
ÖVNINGSUPPGIFTER
2439 Utgå från ekvationen 10 = 2 x
a) Mellan vilka heltal ligger lösningen? Förklara hur du tänker.
b) Lös ekvationen och svara exakt.
c) Lös ekvationen grafiskt. Svara med två decimaler.
d) Lös ekvationen algebraiskt. Svara med två decimaler.
1155 4 a – 4 b
Ledtråd: Förenkla 3(2 a – b) – (2 a + b)
I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.
Övningsuppgifterna i boken är indelade efter tre svårighetsgrader som är markerade med 1 2 3 . Dessa är inte kopplade till betygsstegen.
Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan räknare, alltså i huvudet eller med papper och penna.
Uppgifter med streckad ram får du lösa med funktionsräknare, alltså med en "vanlig" räknare.
Uppgifter med heldragen ram får du lösa med avancerad räknare, t.ex. grafräknare eller ekvationslösande verktyg.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
VARIATION I UNDERVISNINGEN
Aktivitet
Historik
Pythagoras sats
KAPITELSLUT
Sammanfattning 4
Kan du det här?
BEGREPP
Testa dig själv 4
Blandade övningar 4
Blandade övningar 1–4
För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till ekonomi, samhälle och estetiska ämnen.
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
Testa dig själv innehåller uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Innehåll
1. Algebra 8
Inledande aktivitet: Negativa tal och prioriteringsregler 9
1.1 Repetition 10
Negativa tal och prioriteringsregler 10
Beräkningar med tal i bråkform 13
Algebraiska uttryck 16
Ekvationer 20
Ekvationer med digitala verktyg 24
1.2 Linjära modeller 26
Repetition av formel, tabell och graf 26
Repetition av räta linjens ekvation 28
Mer om räta linjer 32
Linjär regression 35
Aktivitet: Regression och kast med tärning 39
Korrelation och korrelationskoefficient 40
1.3 Linjära ekvationssystem 43
Lösning av ekvationssystem 43
Substitutionsmetoden 47
Additionsmetoden 50
Tillämpningar och problemlösning 53
Några speciella ekvationssystem 57
Tema: Nu är det NOG 59
Tema: Nollpunktsanalys 62
Tema: Utbud och efterfrågan 65
1.4 Uttryck med parenteser 68
Repetition – multiplikation av uttryck 68
Aktivitet: Konjugat- och kvadreringsrelgerna 71
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 72
Mer om konjugat- och kvaderingsreglerna 74
Faktorisera 76
Aktivitet: Sant eller falskt? 78
Sammanfattning 1 79
Kan du det här? 80
Testa dig själv 1 81
Blandade övningar 1 82
2. Algebra och icke-linjära modeller 86
Inledande aktivitet: Ekvationer med två rötter 87
2.1 Andragradsekvationer 88
Enkla andragradsekvationer 88
En lösningsformel 92
Mer om andragradsekvationer 95
Historik: Ekvationer och lösningsformler 98
Tillämpningar och problemlösning 100
Aktivitet: Samband mellan rötter och koefficienter 102
2.2 Andragradsfunktioner 103
Repetition av skrivsättet f(x) 103
Aktivitet: Andragradsfunktioner 107
Andragradsfunktionens graf 108
Andragradsfunktionens största eller minsta värde 113
Aktivitet: Rektanglar med en given omkrets 118
Problemlösning 119
2.3 Repetition av potensekvationer och
exponentialfunktioner 123
Potenser och potensekvationer 123
Exponentialfunktioner 126
Aktivitet: Grafen till y = 10 x 130
2.4 Logaritmer 131
Exponentialekvationer och logaritmer 131
Mer om logaritmer 133
Exponential- och potensekvationer 136
Aktivitet: Termosen 140
Aktivitet: Radioaktiva pärlor 140
Tillämpningar och problemlösning 141
Tema: Åldersbestämning med kol-14 146
2.5 Regressionsanalys 148
Regressionsanalys med olika modeller 148
Aktivitet: Från graf till formel 152
Aktivitet: Sant eller falskt? 153
Sammanfattning 2 154
Kan du det här? 156
Testa dig själv 2 157
Blandade övningar 2 158
Blandade övningar 1–2 161
3. Statistik 164
Inledande aktivitet: Presentera data 165
3.1 Lägesmått och spridningsmått 166
Medelvärde, median och typvärde 166
Kvartiler och percentiler 170
Aktivitet: Vindhastigheter och snödjup 175
Lådagram 176
Standardavvikelse 182
Aktivitet: Hur lång är en vit böna? 185
3.2 Normalfördelning 186
Normalfördelat material 186
Normalfördelat material och digitala verktyg 190
Tema: Tillväxtkurvor 193
Aktivitet: Sant eller falskt? 194
Sammanfattning 3 195
Kan du det här? 196
Testa dig själv 3 197
Blandade övningar 3 198
Blandade övningar 1–3 200
4. Geometri 204
Inledande aktivitet: Vinkelsumman i en månghörning 205
4.1 Logik och bevis 206
Geometriska begrepp och definitioner 206
Sats och bevis 210
Implikation och ekvivalens 214
4.2 Några klassiska satser i geometri I 216
Yttervinkelsatsen 216
Aktivitet: Randvinklar 219
Randvinklar och medelpunktsvinklar 220
Pythagoras sats 224
Historik: Pythagoras sats 227
4.3 Några klassiska satser i geometri II 228
Likformighet 228
Topptriangelsatsen och transversalsatsen 232
Bevis med likformighet 236
Kordasatsen och bisektrissatsen 238
Aktivitet: Dynamisk geometri 240
4.4 Koordinatgeometri 242
Avståndsformeln och mittpunktsformeln 242
Problemlösning 246
Aktivitet: Sant eller falskt? 249
Sammanfattning 4 250
Kan du det här? 252
Testa dig själv 4 253
Blandade övningar 4 254
Blandade övningar 1–4 256
5. För nivå 2a 262
5.1 Räta linjens ekvation 264
Linjära samband 264
Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 268
Avläsa k-värde och m-värde 269
Beräkna k-värdet och rita linjer 274
Bestäm räta linjens ekvation 278
Parallella linjer 281
Olika former för räta linjens ekvation 283
Sammanfattning 1 (2a) 286
Kan du det här? (2a) 286
Testa dig själv 1 (2a) 286
Blandade övningar 1 (2a) 287
5.2 Enkla andragradsekvationer 288
Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 288
5.3 Linjära funktioner 292
Linjära funktioner 292
5.4 Potenser 296
Potenslagar 296
Exponenten noll och negativa exponenter 300
Mer om potenser och potenslagar 304
Potensekvationen x n = a 306
5.5 Potensfunktioner 310
Potensfunktioner 310
5.6 Exponentialekvationer 315
Exponential- och potensekvationer 315
Sammanfattning 2 (2a) 318
Kan du det här? (2a) 319
Testa dig själv 2 (2a) 319
Blandade övningar 2 (2a) 320
6. För nivå 2c 322
6.1 Rotekvationer 324
Rotekvationer 324
6.2 Logaritmer 327
Logaritmlagarna 327
Sammanfattning 2 (2c) 330
Kan du det här? (2c) 330
Testa dig själv 2 (2c) 330
Blandade övningar 2 (2c) 331
Programmering: Maximal ersättning 332
Programmering: Lösningsformel för andragradsekvationer 334
Programmering: Avståndsformeln och mittpunktsformeln 336
Programmering: Öka medelvärdet 338
Repetitionsuppgifter 340
Svar, ledtrådar och lösningar 348
Register 414
ALGEBRA
Algebra är ett fantastiskt redskap som används inom de flesta grenar i matematiken men även i många andra ämnen. Med hjälp av algebra kan vi bland annat lösa ekvationer och beskriva matematiska regler, lagar och samband.
Centralt innehåll
• Begreppet linjärt ekvationssystem.
• Begreppet korrelationskoefficient. (Ej i nivå 2a)
• Metoder för att lösa linjära ekvationssystem.
• Motivering och hantering av konjugatoch kvadreringsreglerna.
• Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär och samhällsliv.
Med andra ord
Kapitlet börjar med en repetition av räkneregler, bråkräkning, algebraiska uttryck och ekvationer samt räta linjens ekvation.
Vi arbetar med linjära ekvationssystem, dvs. flera ekvationer som hör ihop. Här får du lära dig att lösa ekvationssystem både grafiskt och algebraiskt.
Kapitlet avslutas med multiplikation av parentesuttryck och du får lära dig att använda några algebraiska regler för detta.
Inledande aktivitet
NEGATIVA TAL OCH PRIORITERINGSREGLER
Arbeta tillsammans två och två.
Använd fyra papperslappar och skriv talen
2, –3, –5 och 4 på lapparna.
1 Välj två av lapparna och lägg dem så att
a) summan blir så stor som möjligt
b) differensen blir så stor som möjligt
c) produkten blir så stor som möjligt
d) kvoten blir så stor som möjligt.
2 Välj två av lapparna och lägg dem så att summan respektive produkten blir så liten som möjligt.
3 Placera ut alla fyra talen så att resultatet av beräkningen
∙ + ∙
blir så
a) stort som möjligt
b) litet som möjligt.
2
4 –5 –3
4 Beräkna värdet på uttrycken
A x + 6y B x 2 – y
a) då x = 2 och y = 4
b) då x = –3 och y = –5.
1.1 Repetition
Negativa tal och prioriteringsregler
Vi börjar med att repetera regler för beräkningar med negativa tal.
Addition och subtraktion med negativa tal
–5 + 7 = 2
Räkneregler för negativa tal
–1 – 3 = –4
0 –1 –5 –3 –4 –6 1 2
Vi startar vid talet –5 och går 7 steg åt höger. Vi startar vid talet –1 och går 3 steg åt vänster. –2
4 – (–3) = 4 + 3 = 7
4 + (–3) = 4 – 3 = 1
Multiplikation med negativa tal
7 · (–3) = (–7) · 3 = –21
(–7) · (–3) = 21
Division med negativa tal
45 9 = 45 9 = –5
45 9 = 5
Vi sammanfattar reglerna:
Tecknen – (–) intill varandra ersätts med +
Tecknen + (–) intill varandra ersätts med –
Olika tecken på två faktorer ger negativ produkt.
lika tecken på två faktorer ger positiv produkt.
Olika tecken på täljare och nämnare ger negativ kvot.
lika tecken på täljare och nämnare ger positiv kvot.
Addition och subtraktion Multiplikation Division
+ (–b) = a – b
(–
Prioriteringsreglerna
Vid beräkningar med flera räknesätt använder vi prioriteringsreglerna, som anger i vilken ordning vi ska räkna.
1 Först beräknas uttryck inuti parenteser.
2 Därefter potenser (upphöjt till).
3 Sedan multiplikationer och divisioner.
4 Till sist additioner och subtraktioner.
1101 Beräkna
a) 5 – 9
b) 9 – 4 + 2
a) 5 – 9 = –4
b) 9 – 4 + 2 = 7
1102 Beräkna
c) –25 – (–50)
d) 16 + (–9)
c) –25 – (–50) = = –25 + 50 = 25
d) 16 + (–9) = = 16 – 9 = 7
Tecknen – (–) ersätts med +
Tecknen + (–) ersätts med –
a) –3 + 5 ∙ 2 – 1 b) 6 + 2(1 – 5) c) 4 – (–5) + 2 ∙ 32 d) ()45 13
a) –3 + 5 ∙ 2 – 1 = = –3 + 10 – 1 = = 7 – 1 = 6
b) 6 + 2(1 – 5) = = 6 + 2 ∙ (–4) = = 6 – 8 = –2
c) 4 – (–5) + 2 ∙ 32 = = 4 – (– 5) + 2 ∙ 9 = = 4 – (–5) + 18 = = 4 + 5 + 18 = 27
d) ()45 13 = 20 2 = 10
Först multiplikation
Därefter addition och subtraktion
Först parentesen
Därefter multiplikation
Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9
Sedan multiplikationen
Därefter subtraktion: – (–) ersätts med +
Uttrycken i täljaren och nämnaren beräknas först.
Beräkna 1103–1107
1103 a) 5 – 8 c) –3 – 12
b) –7 + 2 d) –5 + 9
1104 a) 7 + (–3) c) –8 + (–2)
b) 5 – (–4) d) –3 – (–9)
1105 a) 4 ∙ (–3) c) (–4) ∙ (–5)
b) 15 3 d) 24 6
1106 a) 8 – 6 ∙ 2 d) 3 ∙ (4 – 5)
b) 16 – 6 + 4 e) (–3) ∙ (–2) ∙ (–4)
c) 5 – 2 ∙ (–4) f) 8 – 2(3 – 7)
1107 a) 72 96() c) 84 71 () ()
b) 57 11 () () d) 10 6 53()
1108 Beräkna
a) 2,97 – (–1,68) c) 3,5 ∙ (–26)
b) 117 265 4 d) 57 12 22 38 ,, ,,
1110 Beräkna
a) 32 + 2 ∙ 3 + 1
b) 2 ∙ 4 2 – 5 ∙ 4 + 2
c) (–2)2 + 4 ∙ (–2) + 5
d) (–1)2 + 3 ∙ (–1) – 2
1111 Nicole ska beräkna 15 – 2 ∙ (–3)2 och skriver
(–3) ∙ (–3) = 9 ∙ 2 = 18 15 – 18 = –3
a) Är svaret –3 korrekt?
b) Nicoles beräkning är inte korrekt. Vad i beräkningen är felaktigt?
c) Visa en korrekt beräkning.
1112 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
a) 18 – = 30
b) 16 – · 5 = – 4
c) – 8 – 35 = –3
1113 Beräkna
a) –() 24 2 + 12 – (–4) ∙ 3
1109 I Målilla i Småland är det ofta varmt på sommaren. Värmerekordet i Målilla är
Hur stor är temperaturdifferensen? *
+38,0 °C och köldrekordet är –33,8 °C.
b) 18 3 ()2 + 5 ∙ () 6 2
1114 Hur ändras värdet av uttrycket 5 – 2 ∙ (1 – 4) – 32 om parentesen tas bort?
1115 Beräkna
a) 14 – 32 – 4 ∙ 2
b) 14 + (–3)2 – 4 ∙ (–2)
c) 14 – (–3)2 – 4 ∙ (–2)3
d) 14 + (–3)2 + (–2)3 Kontrollera dina svar med räknare.
* En streckad ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1108 betyder att du får använda funktionsräknare, dvs. en enklare räknare, när du ska lösa uppgiften. Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan hjälp av räknare.
Linjär regression
Exempel Astrid har gjort några mätningar av längden y cm av en stockros x dagar efter plantering.
linjär regression
Astrid markerar sina uppmätta värden i ett koordinatsystem och vill beskriva hur stockrosen växer med en linjär modell:
y = k x + m
Hon anpassar med ”ögonmått” en rät linje till sina uppmätta värden och använder sedan den inritade linjen som modell för hur längden varierar med tiden.
Linjens ekvation kan bestämmas med hjälp av avläsningar i koordinatsystemet.
Punkterna (0, 8) och (12, 32) ligger på linjen.
k = y x = 32 8 12 0 = 2
y = 2 x + 8
Metoden att anpassa en rät linje till uppmätta värden med ögonmått ger olika resultat beroende på hur linjen ritas.
I figuren är de vertikala avvikelserna mellan linjen och mätpunkterna markerade. Med hjälp av dessa avvikelser, d1, d 2 , d 3 och d4, kan man bestämma den linje som är bäst anpassad till punkterna. Ett digitalt verktyg kan hjälpa oss med detta.
Metoden att på det här sättet skapa den räta linje som är bäst anpassad till kända data kallas linjär regression.
Många AI-modeller använder idéer från linjär regression för att hitta samband mellan data och för att göra smartare gissningar. Ett exempel är ”närmaste granne-klassificering”, där modellen letar efter tidigare liknande exempel för att avgöra vad som passar bäst. Även om AI i dag är mycket mer avancerat, bygger många grundtankar på enkla modeller med linjär regression.
1248 I tabellen är y stockrosens höjd i cm och x antalet dagar efter planteringen.
x (dagar) 4 6 10 12
y (cm) 14 22 26 32
a) Anpassa en rät linje till mätvärdena i tabellen, dvs. gör en linjär regression.
b) Tolka linjens k- och m-värde.
c) Det linjära sambandet kan ses som en modell för hur höjden beror av tiden. Använd modellen och beräkna stockrosens höjd efter 7 dagar.
d) Har modellen några begränsningar?
a) Vi använder ett digitalt verktyg med kalkylblad eller listor och skriver in x- och y-värdena i var sin kolumn eller lista.
Med hjälp av verktygets inbyggda funktion gör vi en linjär anpassning, vilket ger y = 2 x + 7,5.
Det kan till exempel se ut så här:
Y:B1:B4
Linjärmodell
b) k = 2
Tolkning: Höjden ökar i genomsnitt med 2 cm per dag. m = 7,5
Tolkning: Höjden var 7,5 cm vid tiden för planteringen.
c) y = 2 x + 7,5 och x = 7 ger y = 2 ∙ 7 + 7,5 = 21,5
Svar: Höjden var 21,5 cm.
d) Ja, till exempel gäller modellen endast för positiva värden på höjden, dvs. y > 0.
Stockrosen kan inte bli hur hög som helst. Om tillväxthastigheten ändras, upphör modellen att gälla.
1249 Thea har med ögonmått anpassat en rät linje till fyra mätpunkter.
1252 Tabellen visar blodtrycket hos fem personer.
Undre tryck, x (mmHg) 65 75 75 80 90 Övre tryck, y (mmHg) 100 110 120 130 150
a) Gör en linjär regression.
b) En person har undre trycket 85 mmHg. Beräkna personens övre tryck enligt modellen.
a) Bestäm ekvationen för den linje som Thea har ritat.
b) Avläs de fyra punkterna och skriv in värdena i ditt digitala verktyg. Anpassa en rät linje till punkterna.
1250 Ronja har gjort en linjär regression och fått följande resultat.
1253 En villaägare i Sydsverige med en gammal oljepanna har studerat sin oljeförbrukning under ett år.
Månad Medeltemp (°C) Antal liter olja Jan 2,0 550
6,4 435
14,0
9,6
Ställ upp en linjär modell och bestäm med hjälp av den oljeförbrukningen då medeltemperaturen är 4,0 °C. 2
234567891011 y=3x+12
Hon avläser m = 17,5 vid linjens skärning med y-axeln och undrar varför det inte stämmer med regressionslinjens ekvation y = 3 x + 12.
Kan du förklara varför?
1251 a) Anpassa en rät linje till punkterna (–2, –5), (0, 0), (2, 4) och (3, 5).
b) Punkten A = (–10, y) ligger på den anpassade linjen.
Bestäm y. Avrunda till heltal. y x 1 1
1254 Tabellen visar snödjupet på en ort. Tiden anger antal dygn efter nyår.
a) Anpassa en rät linje till värdena i tabellen.
b) Ange och tolka vad riktningskoefficienten betyder i detta sammanhang.
c) Efter hur många dygn är snödjupet 61 cm om det fortsätter att öka enligt modellen?
Tema
Nollpunktsanalys
Räta linjens ekvation y = kx + m kan användas för att beskriva och analysera ekonomin i ett företag.
Ett företag som producerar en produkt har dels fasta kostnader, dels rörliga kostnader. De fasta kostnaderna motsvaras av m-värdet och är desamma oavsett hur många produkter som produceras. De rörliga kostnaderna motsvaras av k-värdet och ökar med en ökad produktion.
Nollpunktsdiagram
intäkter totala kostnader vinst förlust
Nollpunkten
I figuren visas ett så kallat nollpunktsdiagram med två grafer som är räta linjer.
Intäktsgrafen börjar i origo. Om inga produkter säljs är intäkterna noll.
Grafen för de totala kostnaderna är summan av de fasta och de rörliga kostnaderna.
Nollpunkten (engelskans break-even) är punkten där intäktsgrafen skär grafen för de totala kostnaderna. Där är resultatet av tillverkning och försäljning noll.
Till vänster om nollpunkten är resultatet negativt (förlust) och till höger om nollpunkten är resultatet positivt (vinst).
Tema
Exempel Kostnaden, y kr, för att tillverka en viss medicinteknisk produkt kan beskrivas med ekvationen y = 2 500 x + 300 000 där x är antalet produkter.
Tillverkaren säljer sedan produkterna för 4 000 kr styck.
Intäkterna, y kr, för x sålda produkter kan därför beskrivas med ekvationen y = 4 000 x
Figuren på föregående sida visar de två linjerna. För att ta reda på nollpunkten, det vill säga ett resultat som varken ger vinst eller förlust, löser vi ekvationssystemet:
yx yx 2 500 300 000 4 000
Vi kan lösa ekvationssystemet grafiskt genom att läsa av skärningspunktens koordinater eller lösa ekvationssystemet algebraiskt. Lösningen till ekvationssystemet är: x y 200 800 000
Det vill säga att om tillverkaren producerar 200 produkter är både de totala kostnaderna och intäkterna från försäljningen 800 000 kr. Tillverkaren går varken med vinst eller förlust.
1
tkr
Intäkter
y 24 68 10 12 Tillverkade/sålda enheter (100-tal)
Avläs i figuren
a) den fasta kostnaden
Totala kostnader
b) antalet sålda enheter som varken ger vinst eller förlust
c) vinsten vid 1 200 sålda enheter
d) förlusten vid 200 sålda enheter.
2 En silversmed har följande kostnader och intäkter för att tillverka x smycken av en viss modell:
Kostnaden i kr:
K = 2 500 + 100 x Intäkter i kr:
I = 350 x
a) Beräkna och tolka I då x = 5.
b) Beräkna och tolka K då x = 5.
c) Vad betyder talen 2 500, 100 och 350 i detta sammanhang?
d) Hur många smycken måste smeden tillverka av denna modell för att gå med vinst?
3 Adrian har ett bageri. Han bakar och säljer surdegsbröd för 45 kr styck. Företagets fasta kostnader är 820 000 kr och de rörliga kostnaderna 20 kr per bröd. Adrians kostnader och intäkter kan beskrivas med följande ekvationssystem:
yx yx 20 820 000 45
a) Lös ekvationssystemet.
b) Vad innebär lösningen i detta fall?
4 Elvira har ett företag som säljer blommor. Hon köper in rosbuketter för 80 kr styck och hennes fasta kostnader är 54 000 kr.
a) Skriv den totala kostnaden, y kr, för att köpa in x buketter på formen y = kx + m.
b) Elvira säljer rosbuketterna för 170 kr styck. Beskriv hur intäkterna, y kr, beror av antalet sålda buketter, x st.
c) Hur många buketter måste Elvira sälja för att inte gå med förlust?
d) Beskriv på formen y = kx + m hur resultatet y kr beror av antalet sålda buketter, x st.
e) Beräkna resultatet då Elvira säljer 1 000 buketter.
f) Hur många buketter måste Elvira sälja för att vinsten ska vara 18 000 kr?
5 Aslak har ett måleriföretag. Graferna i figuren visar hans totala kostnader och hans intäkter.
1 200 000
1 000 000
800 000
600 000
400 000
Intäkter
200 000 kr y x
Totala kostnader
1200 Timmar 800 400
a) Företagets fasta kostnader är 490 000 kr.
Beskriv på formen y = kx + m hur de totala kostnaderna, y kr, beror av x arbetade timmar.
b) Vilket ekvationssystem visas i figuren?
c) Hur många timmar måste Aslak arbeta för att företaget ska gå med vinst?
6 Daniyal har ett företag som tillverkar belysningsarmaturer. Hans intäkter, fasta och rörliga kostnader beskrivs i ekvationssystemet.
yx yx 100 45 000 200
a) Lös ekvationssystemet och förklara vad lösningen innebär i detta sammanhang.
b) Daniyal vill sänka försäljningspriset med 5 %.
Med hur många procent måste försäljningsvolymen öka för att företaget inte ska gå med förlust?
Andragradsfunktioner
I den här aktiviteten ska du undersöka andragradsfunktioner. Det är funktioner som kan skrivas på formen y = a x 2 + b x + c, där a, b och c är konstanter och a ≠ 0.
Syftet är att du ska upptäcka sambanden mellan grafens utseende och formeln för olika värden på a, b och c.
1 Vilket värde har konstanterna a, b och c i
följande funktioner?
a) y = 2 x 2 + 4 x + 8 c) y = – x 2 + 0,5x
b) y = x 2 – 4 x – 12 d) y = 0,5 x 2 – 25
2 a) Rita i samma koordinatsystem
y = x 2 , y = x 2 + 1 och y = x 2 – 3
b) Funktionerna är alla av typen y = x 2 + c men de har olika värden på c. Hur påverkar värdet på c grafens utseende?
c) Var i koordinatsystemet kan du avläsa värdet på c?
3 a) Rita i samma koordinatsystem
y = x 2 , y = 2 x 2 och y = 0,5 x 2
b) Funktionerna är alla av typen y = a x 2
Materiel: Grafritande verktyg y
Hur ändras grafen när a blir större respektive mindre?
c) Undersök hur grafen ser ut när a är negativt?
4 Rita graferna till
y = 2 x 2 + 3 x y = 0,5 x 2 + 3 x + 2
y = –2 x 2 + 3 x y = – 0,5 x 2 + 3 x + 2
Två av graferna har en maximipunkt
Två av graferna har en minimipunkt
Hur kan du se det i funktionernas formel?
5 a) Rita grafen till y = x 2 – 4 x + 3.
Avläs nollställena, dvs. för vilka
x som y = 0.
b) Lös ekvationen x 2 – 4 x + 3 = 0 algebraiskt. Jämför med svaret i a). Förklara!
6 a) Rita grafen till y = x 2 – 4 x + 5.
Skär grafen x-axeln?
b) Lös ekvationen x 2 – 4 x + 5 = 0 algebraiskt.
Finns det några reella värden på x som löser ekvationen?
c) Hur kan du på grafen till y = a x 2 + b x + c se om ekvationen
a x 2 + b x + c = 0 har några reella rötter?
Jämför resultatet i 5 a), b) och 6 a), b) och formulera en slutsats.
Grafen till y = 10x
I den här aktiviteten ska du få bekanta dig med exponentialfunktionen y = 10 x . Syftet är att du ska få en grundläggande förståelse för hur den kan användas för att lösa exponentialekvationer.
1 Figuren visar grafen till funktionen y = 10 x. Avläs i grafen värdet av
a) 10 2 d) 10 0,5
b) 101,5 e) 10 0
c) 101 f) 10 –0,5
2 a) Rita grafen till y = 10 x med din grafräknare.
b) Bestäm funktionens definitionsmängd och värdemängd.
3 a) Avläs i grafen x-värdet då y = 50.
b) Vilken ekvation har du löst genom avläsningen i a).
4 Lös ekvationerna grafiskt.
a) 10 x = 200
b) 10 x = 100
c) Skriv in lg 200 och lg 100 i din räknare och jämför med svaren i a) och b).
Vad finner du?
I digitala verktyg används ibland andra beteckningar än lg, t.ex. LOG eller log10.
5 Försök att bestämma värdet utan räknare.
Kontrollera sedan med din räknare.
a) lg 1 000 c) lg 1
b) lg 10 000 d) lg 0,1
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 Grafen till en andragradsfunktion skär alltid y-axeln.
2 En andragradsekvation kan ha två negativa rötter.
3 Grafen till y = 12 x – x 2 har en minimipunkt i origo.
4 lg 5 0 kan förenklas till 1.
5 Ekvationen 5x = 92 är ett exempel på en potensekvation.
6 Ekvationen (2 x – 6)(x + 4) = 0 har lösningarna x 1 = –4 och x 2 = –3.
7 Värdet av lg 0,5 ligger i intervallet –1 < lg 0,5 < 0.
8 En andragradsekvation kan ha 0, 1 eller 2 reella lösningar.
9 Grafen till andragradsfunktionen y = 2 x 2 + 2 x + 6 har symmetrilinjen x = –1.
10 Om grafen till andragradsfunktionen y = a x 2 + b x + c inte skär x-axeln, så saknar ekvationen a x 2 + b x + c = 0 reella lösningar.
11 Grafen till en andragradsfunktion skär alltid x-axeln.
12 Ekvationen x 2 – 5 x = 2 har en rot x = 5+33 2
13 Om 10 a + 2 = b så är lg b = a + 2.
14 lg (–10) kan förenklas till –1.
15 Exponentialfunktionen y = C ∙ a x saknar nollställen.
16 För en funktion som avtar exponentiellt sker en halvering av värdet på samma tid oavsett startvärdet.
Andragradsekvationer
Kvadratsrotsmetoden
x 2 = 5 har rötterna x = ± 5
Nollproduktmetoden
x 2 + 10 x = 0
Vi börjar med att bryta ut x. x(x + 10) = 0
Den första faktorn är noll då x = 0.
Den andra faktorn är noll då x = –10.
Ekvationen x 2 + 10 x = 0 har rötterna
x 1 = 0 x 2 = –10
Utökat kapitelslut för nivå 2a på sidorna 318–319. Utökat kapitelslut för nivå 2c på sidan 330.
Sammanfattning
Sammanfattning 2
Andragradsfunktioner
En andragradsfunktion kan skrivas y = a x 2 + b x + c, där a ≠ 0.
Grafen till en andragradsfunktion
• har en extrempunkt som är en maximi- eller minimipunkt
• har en maximipunkt om a < 0
• har en minimipunkt om a > 0
• skär y-axeln i (0, c)
• är symmetrisk kring symmetrilinjen
Omvänt kan vi bestämma en andragradsekvation utifrån två kända rötter.
Exempel:
x 1 = 2 och x 2 = –8 är rötter till ekvationen
( x – 2)( x + 8) = 0 dvs. x 2 + 6 x – 16 = 0.
Lösningsformeln
x 2 + p x + q = 0
x =
Exempel: Vi löser ekvationen x 2 + 4x – 5 = 0.
x = –4 2 ± 4 2 5
()
x = –2 ± 9
x = –2 ± 3
Ekvationen x 2 + 4x – 5 = 0 har rötterna
x 1 = 1 x 2 = –5
Uttrycket under rottecknet, p
– q, kallas för ekvationens diskriminant.
Om diskriminanten är negativ saknar ekvationen reella rötter.
• har nollställen om ekvationen y = 0 har reella lösningar
• kallas en parabel.
Exempel:
y = 2 x 2 – 8 x + 6
a > 0 Funktionen har en minimipunkt.
c = 6 Grafen skär y-axeln i (0, 6).
Ekvationen 2 x 2 – 8 x + 6 = 0
har rötterna x 1 = 1 x 2 = 3.
Funktionen har nollställena x = 1 och x = 3.
Symmetrilinjen är x = 2 (mitt emellan nollställena).
Symmetrilinje x = 2
x = 1 och x = 3 är nollställen.
Minimipunkt (2, – 2) Minsta värde –2
Exponentialekvationer
= g (x )
= f (x )
Figuren ovan visar tre funktionsgrafer.
Andragradsfunktionen
f(x) = x 2 – 4x + 3
har två nollställen x = 1 och x = 3.
Andragradsekvationen
x 2 – 4x + 3 = 0 har två rötter x = 1 och x = 3.
Funktionen y = g(x) har ett nollställe x = 2 och ekvationen g(x) = 0 har en rot x = 2.
Funktionen y = h(x) har inget nollställe och ekvationen h(x) = 0 har ingen reell lösning.
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y ( y > 0)
x är tiologaritmen för y.
Exempel:
10 2 = 100 ger lg 100 = 2
10 –2 = 0,01 ger lg 0,01 = –2
Logaritmlag
lg x p = p lg x
Exponentialfunktion
y = C ∙ a x (C och a är konstanter, a > 0, a ≠ 1)
Potensfunktion
y = C ∙ x a (C och a är konstanter) x 1 2 3 4 1 23 4 5 –1 y = h (x )
Ekvationen a x = b har lösningen x = lg b lg a
Exempel utan räknare:
Ekvationen 10 x = 1 000 har lösningen x = lg 1 000 = 3.
Exempel med räknare:
Ekvationen 10 x = 40 har lösningen x = lg 40 ≈ 1,602.
Exempel algebraisk lösning: 8 · 3 x = 15
3 x = 15/8 lg 3 x = lg (15/8)
x · lg 3 = lg (15/8)
x = lg(/ ) lg 15 8 3 ≈ 0,572
Exempel grafisk lösning: 100 ∙ 1,02 x = 160
Rita graferna till y = 100 ∙ 1,02 x och y = 160. Avläs x-värdet i skärningspunkten.
Potensekvationer
Ekvationen x a = b har lösningen x = b1/a
Exempel: Ekvationen x 5 = 9 har lösningen x = 91/5 ≈ 1,55
Matematisk modellering och regression
När vi använder matematik för att lösa ett problem utifrån en verklig situation gör vi en matematisk modell.
Att anpassa funktioner till observerade data
kallas regressionsanalys
B C
A Linjär regression: y = ax + b
B Kvadratisk regression: y = ax 2 + bx + c
C Exponentiell regression: y = C ∙ a x
Utökat kapitelslut för nivå 2a på sidorna 318–319.
Utökat kapitelslut för nivå 2c på sidan 330.
Kan du det här?
Delkapitel BEGREPP
2.1 Andragradsekvationer
Andragradsekvation
Kvadratrotsmetoden
Nollproduktmetoden
Lösningsformeln
2.2 Andragradsfunktioner
2.3 Repetition av potensekvationer och exponentialfunktioner
Andragradsfunktion
Parabel, nollställen och symmetrilinje
Extrempunkt, maximi- och minimipunkt
Extremvärde, största/minsta värde
Algebraisk lösning och grafisk lösning
Exponentialfunktion
Potenslagar
Potensekvation
2.4 Logaritmer Tiologaritm (Ej i 2a)
Logaritmlag (Ej i 2a)
Exponentialekvation
2.5 Regressionsanalys Regressionsanalys (Ej i 2a)
PROCEDUR
• lösa andragradsekvationer med olika metoder
• pröva rötter (lösningar)
• ställa upp och lösa problem med hjälp av andragradsekvationer.
• avgöra om grafen har maximi- eller minimipunkt och om nollställen finns
• bestämma skärningspunkter med koordinataxlarna
• bestämma symmetrilinje, extrempunkt och största/minsta värde
• använda och tolka andragradsfunktioner i olika tillämpningar.
• använda potenslagarna för förenkling och ekvationslösning
• ställa upp och lösa potensekvationer.
• förenkla uttryck och lösa ekvationer med hjälp av definitionen av tiologaritmer och logaritmlagarna (Ej i 2a)
• beskriva likheter och skillnader mellan exponential- och potensekvationer
• ställa upp och lösa exponentialekvationer algebraiskt samt med grafritande och ekvationslösande verktyg. (Algebraiskt ej i 2a)
• anpassa funktioner till mätvärden med hjälp av digitala verktyg (Ej i 2a)
• bestämma formeln för enkla funktioner utifrån några givna punkter på grafen, både algebraiskt och med hjälp av regression. (Regression ej i 2a)
Testa dig själv 2
2.1 Andragradsekvationer
1 Lös ekvationerna.
a) 4x 2 = 64
b) (2 x – 8)(x + 3) = 0
c) x 2 – 10 x + 16 = 0
d) 3 x 2 + 24x = 27
2 Lös ekvationen (x + 4)2 = –4(x + 2)(x – 2).
3 Ge exempel på en andragradsekvation som
a) saknar reell lösning
b) har två positiva rötter.
4 Produkten av två positiva tal är 206,25.
Det ena talet är 4 mindre än det andra.
Vilka är talen?
2.2 Andragradsfunktioner
5 Utgå från grafen till y = 3 x – x 2 – 5
a) Har grafen en maximi- eller minimipunkt?
b) I vilken punkt skär grafen y-axeln?
Motivera dina svar.
6 Beräkna funktionens nollställen.
Kontrollera med grafräknare.
a) y = x 2 – 4 x b) y = –2 x 2 + 4 x – 4
7 Bestäm symmetrilinjens ekvation samt största/minsta värde för funktionen y = x 2 – 6 x + 10.
8 Grafen visar en andragradsfunktion y = f ( x).
a) Bestäm funktionens nollställen.
b) Bestäm symmetrilinjens ekvation.
c) Bestäm a så att f(a) = 3
d) Vilket värde är minst, f (10) eller f (–10)?
Motivera ditt svar. x y 1 1
9 Höjden, y m, för en boll som rört sig x m framåt från utgångspunkten kan beskrivas av funktionen y = x – 0,04 x 2
a) Vad är höjden då bollen rört sig 10 m framåt?
b) Hur långt från utgångspunkten slår bollen ner?
2.3 Repetition av potensekvationer och exponentialfunktioner
10 Lös ekvationerna.
a) x 5 = 140 b) (x 3)5 · x 2 = 76
11 Ge exempel på en exponentialfunktion som går genom punkten (1, 4).
2.4 Logaritmer
12 Lös ekvationerna.
a) 10 x = 10 000 c) 10 x = 500
b) 10 x = 0,01 d) 10 2 x = 50
13 Bestäm
a) lg 100 b) lg 0,1 c) lg 1
14 Lös ekvationerna. Svara exakt.
a) 6 x = 140 b) lg 2 x = 3
15 a) I en stad ökade invånarantalet med 5 % varje år.
Hur många år krävdes det för att invånarantalet skulle öka från 50 000 till 80 000?
b) I en annan stad minskade antalet invånare från 80 000 till 50 000 på 15 år.
Vilken årlig procentuell minskning motsvarar det?
2.5 Regressionsanalys
16 Anpassa en andragradsfunktion y = f ( x) till värdena i tabellen.
x 5 10 15 20
y 6 18 20 12
Fler blandade övningar för nivå 2a på sidorna 320–321. Fler blandade övningar för nivå 2c på sidan 331.
Blandade övningar 1
Utan digitala verktyg 1
1 Lös ekvationerna.
a) x 2 + 2 x – 8 = 0
b) 40 x + 10 x 2 = 0
c) ( x + 1)( x – 1) = –2
2 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion f så att y = f ( x).
6 Vilket av följande är det bästa närmevärdet till lg 80? Motivera ditt svar.
A 0,8 D 2,9
B 0,9 E 8,0
C 1,9 F 800
a) Ange ekvationen för grafens symmetrilinje.
b) Ange funktionens nollställen.
c) Ange funktionens minsta värde.
d) Bestäm f (1).
e) Vilket av värdena f (8) och f (–5) är störst? Motivera ditt svar.
f) För funktionen f gäller att f ( x) = x 2 + b x. Bestäm konstanten b.
3 Lös ekvationerna. Svara exakt.
a) 2 x 2 – 10 = 0 c) 4 ∙ lg x = 20
b) 3 ∙ 10 x = 6 d) 5 x = 8
4 Grafen till en andragradsfunktion har maximipunkten (2, 7). Grafen går genom punkten (1, 6).
Ange en tredje punkt på grafen.
5 Ge exempel på en andragradsfunktion vars graf skär x-axeln där x = 10 och x = 20. y x 1 1
7 Har funktionen y = ( x – 2)2 + 5 några nollställen? Motivera ditt svar.
8 För vilket värde på a har ekvationen
x 2 – 10 x + a = 0 rötterna x = 3 och x = 7? Motivera.
9 Lös ekvationerna.
a) x 2 – x –3 4 = 0 b) 10 lg 4 ∙ 4 x = 4 3 x
10 I vilket intervall ligger talet a = lg 0,25?
A –1 < a < 0
B 0 < a < 1
C 1 < a < 2
11 Bestäm uttryckets minsta möjliga värde.
2(a – 3)2 – (3 – a)(3 + a)
12 Lös olikheterna och ge exempel på ett värde som ingår i lösningen
a) lg x < –1 b) 10 2 x > 0,01
13 Bestäm det värde på x där graferna till exponentialfunktionerna
f ( x) = 2,5 ∙ 10 2 x och f ( x) = 7,5 ∙ 10 x skär varandra. Svara exakt.
14 Vilka y-värden är möjliga för funktionen
a) y = 1 – x 2 b) y = x 2 – 2 x – 3?
Lös uppgiften utan att rita grafen. Motivera ditt svar.
15 Lös ekvationen.
(x – lg 10)(lg 0,1 – x) = 0
16 Figuren visar grafen till andragradsfunktionen f ( x) = a x 2 + b x + c.
Med digitala verktyg 1
3
a) Förklara var i figuren man kan avläsa värdet på konstanten c.
b) Bestäm konstanterna a, b och c.
c) Ligger punkten (10, 152) på grafen?
Motivera ditt svar.
d) Lös ekvationen f ( x + 1) = 0.
e) Lös olikheten f ( x) < x + 1 grafiskt.
17 I en tabell står det att lg 4 ≈ 0,60.
Bestäm med hjälp av detta ett värde på lg 16.
18 Ekvationen x 2 + a = 4 ax har en dubbelrot för a > 0.
Bestäm a
19 Låt f ( x) = 3 x + 2 och g(x) = 5 x.
Förenkla
a) f ( x) ∙ g(x) d) g ( f (x))
b) f(2 x + 6) e) g(2 x)/g(–2)
c) f ( g (x)) f) g(x 2) ∙ ( g(x))2
20 Lös ekvationen.
( 1 x – 2)( 1 x + 2) = 3 x x y 1 1
21 Temperaturen y ˚C i en kopp kaffe avtar enligt y = 62 · 0,97 x + 18 där x är tiden i minuter efter att man hällt upp kaffet i koppen. Beräkna och tolka y-värdet då
a) x = 0 b) x = 10
22 Om isens tjocklek på en sjö är d cm, så bär den en bil på L ton, där L = 0,006 d 2
a) Hur tung bil bär en is på 20 cm?
b) Klarar en is på 60 cm en lastbil på 20 ton? Motivera.
c) Vilken tjocklek bör isen minst ha för en lastbil på 8 ton?
23 Nina säger till Josef: ”Om man multiplicerar våra åldrar får man 696.”
Josef är fem år äldre än Nina. Hur gamla är Josef och Nina?
24 Med 300 m stängsel inhägnas två rektangulära områden som figuren visar.
300 – 3x xx x (m)
Hela områdets area är y m 2 .
a) Skriv en funktion för hela områdets area.
b) Bestäm arean då x = 70 m.
c) För vilka x-värden är y = 0?
d) Bestäm hela områdets maximala area.
Blandade övningar 2, Nivå 2a, tillägg
Utan digitala verktyg 1
1 Beräkna och svara utan tiopotens.
a) 10 3 ∙ 10 –1 b) 10 10 2 4 c) (10 3)2
2 Vilket värde har x?
a) 480 000 = 4,8 ∙ 10 x
b) 0,007 = 7 ∙ 10 x
c) 5 ∙ 10 6 + 5 ∙ 10 6 = 10 x
3 Vilket värde har x om likheten ska gälla?
a) 10 = 10 10 3 x b) 10 105 x = 10 –2
4 Vilket ungefärligt värde har 947 ?
19 31 47 86 470 Motivera ditt svar.
5 Visa att (34)2 kan skrivas 38 utan att använda potenslagarna.
6 Lös ekvationerna.
a) (x 0,5)4 = 1 b) x 2 = –9
7 Vilket av alternativen är en lösning till ekvationen 5 000 = 2 500 ∙ x 5 ? x = 2 0,5 x = 21/5 x = 0,5 0,5 x = 0,51/5
8 a) Uttrycken 4 ∙ 4 och 44 ⋅ har samma värde. Vilket?
b) Undersök om a ∙ a har samma värde som aa ⋅ , oavsett värde på a. 2
9 Skriv som en potens.
a) 88 8 262 5 b) 11 11 11 3
10 Visa att rätblockets volym kan skrivas 2 a 3 – 2 a 2 .
11 Skriv talen i storleksordning med det minsta först. Motivera.
16 327 25 0,5 8 1 312 1 2
12 När Moa löst en matematisk uppgift fick hon det felaktiga svaret 3. I sista steget drog hon kvadratroten ur talet i stället för att kvadrera det.
Vilket var det rätta svaret?
13 Förenkla a) xx xxxx + +++ b) xx xx 22 22
14 Förenkla a) 16 16 1 2 a b) 44 44 16 16 16 16 aa aa
15 Visa att 4 5 = 210
16 Lös ekvationen a aa 23 51 = 10 000
17 Lös ekvationen 5x ∙ 5 = 58
18 Vilket tal är störst? ((82)3)2 eller 2 38
Motivera. 2a a a − 1
19 Vilket värde får uttrycket
8 72 6 x om x = 6?
20 Visa att a a = a 4
21
Beskriv var på tallinjen som x y ligger.
25 Lös ekvationerna med ett digitalt verktyg med ekvationslösare. Visa sedan hur du får samma svar utan digitalt verktyg.
a) 5(x 2 – 2) = x 2 b) 4(x 3 + 1) = 20
26 Formeln y = 2 000 ∙ x 10 ger behållningen i kr efter 10 år på ett konto med fast ränta. Räntans storlek kan avläsas i förändringsfaktorn x
a) Beräkna behållningen efter 10 år om räntan är 0,5 %.
22 Skriv =, > eller < i rutan. Motivera ditt svar.
Med digitala verktyg 1
23 Beräkna 15 37 15 37
Avrunda svaret till två decimaler.
24 Synsträckan till horisonten ute till havs, y km, kan enligt en förenklad matematisk modell beräknas med hjälp av funktionen
y = C ∙ x , där C är en konstant.
I formeln är x personens ögonhöjd, i meter över havsytan. Från ögonhöjden 25 m kan man se 18 km.
a) Bestäm konstanten C.
b) Hur långt kan man se från ögonhöjden 1,7 m? x y 1 2 0
b) Beräkna räntan om behållningen efter 10 år är 2 600 kr.
27 Vilgot och Elin placerar 12 000 kr i var sin aktiefond. Under en femårsperiod minskar Vilgots fond till 8 000 kr medan Elins ökar till 18 000 kr.
Beräkna den årliga procentuella förändringen om den antas vara lika stor varje år för
a) Vilgots fond b) Elins fond.
28 I en glesbygdskommun i Sverige minskade antalet invånare med en fjärdedel under en 25-årsperiod.
Skriv en funktion som kan användas för att beskriva antalet invånare i kommunen vid olika tidpunkter under 25-årsperioden.
29 Bestäm a så att f(2 a) = 1 – f(a) då
f(x) = x 2 10
Rotekvationer
Sammanfattning 2, Nivå 2c, tillägg
45 x + = x l öses så här:
1 Kvadrera båda leden (ger 4 x + 5 = x 2).
2 Lös andragradsekvationen (ger x1 = 5 x2 = –1).
3 Pröva rötterna i den givna ekvationen. (x 2 = –1 är en falsk rot.)
Logaritmlagarna
lg x + lg y = lg xy
lg x – lg y = lg x y
lg x p = p ∙ lg x
Kan du det här? Nivå 2c, tillägg
Testa dig själv 2, Nivå 2c, tillägg
Rotekvationer
Rotekvationer och falsk rot
Logaritmlagar
BEGREPP procedur
• lösa rotekvationer och avgöra om rötterna är falska
• förenkla uttryck och lösa ekvationer med hjälp av definitionen av tiologaritmer och logaritmlagarna.
1 Lös ekvationen x + 2 = x – 4 a) algebraiskt b) grafiskt.
Logaritmlagarna
2 Förenkla så långt som möjligt a) lg 10 2 + lg 2 b) lg x 2 – lg x
Blandade övningar 2, Nivå 2c, tillägg
Utan digitala verktyg 1
1 Beräkna
a) lg 4 + lg 25 b) lg 30 – lg 3
2 Lös ekvationen 3 x = 2
3 Lös ekvationerna.
a) x + 1 = x + 1
b) 44 x = 4
2
4 Lös ekvationerna.
a) x 2 – x –3 4 = 0
b) lg x – lg 2 = lg 36
c) 2 25 x = 2 x – 8
d) 10 lg 4 ∙ 4 x = 4 3 x
5 Bestäm talet x.
a) lg 12 = lg x + lg 6
b) lg 6 = lg x – lg 2
c) lg 25 = x ∙ lg 5
d) x + lg 12 = lg 1 200
6 Lös ekvationen
lg 53 + lg 5x = lg 25
7 I en tabell står det att lg 4 ≈ 0,60. Bestäm med hjälp av detta ett värde på
a) lg 40 b) lg 16 c) lg 1 4
8 Förenkla lg lg lg xx x 4 4 4 ⋅ så långt som möjligt.
9 Lös ekvationerna. Svara exakt.
a) lg x 2 9 = lg 10 3
b) x + x = x + 8 9
10 Lös ekvationerna.
a) (x + 2 )2 – 2 (2 x + 2 ) = 4
b) x 1 2 + x 1 2 = 1 2
c) xx = 1 2
11 Undersök för vilka värden på b som ekvationen
21 x + = x + b saknar reella lösningar.
Programmering
Lösningsformel för andragradsekvationer
Skriv ett program som löser andragradsekvationer på formen
x 2 + p x + q = 0
där p och q är konstanter.
1 FÖRSTÅ
x 2 + 6 x – 16 = 0 är ett exempel på en ekvation på formen
x 2 + px + q = 0. I det fallet är p = 6 och q = –16.
2 PLANERA
A Resultat
Om programmet ska lösa ekvationen
x 2 + 6 x – 16 = 0 vill vi att det skriver ut följande resultat:
Ekvationen har lösningarna
x1 = 2 och x2 = -8
B Lösning
Ekvationer på formen x 2 + px + q = 0 har lösningarna
x 1 = – p 2 + p q 2 2
x 2 = – p 2 –p q 2 2
C Variabler
Programmet ska använda följande variabler:
• p för värdet på p
• q för värdet på q
• x1 för ekvationens första lösning
• x2 för ekvationens andra lösning.
D Algoritm
Programmet ska skrivas i följande ordning:
• Spara värdet 6 i variabeln p.
• Spara värdet –16 i variabeln q
• Spara uttrycket –p 2 + p q 2 2 i variabeln x1.
• Spara uttrycket –p 2 –p q 2 2 i variabeln x2.
• Skriv ut ekvationens lösningar.
3 GENOMFÖRA – KODA
I programspråket Python3 skriver vi programmet så här:
p = 6
q = -16
x1 = -p/2 + ((p/2)**2 - q)**0.5
x2 = -p/2 - ((p/2)**2 - q)**0.5
print(”Ekvationen har lösningarna x1 =”, x1, ”och x2 =”, x2)
4 TESTA OCH VÄRDERA
Programmet kan lösa andragradsekvationer som har reella lösningar. Men om ekvationen saknar reella lösningar skrivs inget resultat ut.
Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.
1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar.
2 Ändra i programmet i uppgift 1 så att följande resultat skrivs ut om p = –4 och q = 5:
Ekvationen saknar reella lösningar.
3 Ändra i programmet så att följande resultat skrivs ut om p = 2 och q = 1:
Ekvationen har en dubbelrot: x1 = x2 = -1
4 Använd programmet för att lösa ekvationerna.
a) x 2 – 8 x – 9 = 0
b) x 2 – 0,88 x + 0,19 = 0
c) x 2 –x 3 –2 3 = 0
5 a) Skriv ett program som löser andragradsekvationer på formen a x 2 + b x + c = 0.
b) Använd programmet för att lösa ekvationen
8 x 2 – 56 x – 480 = 0.
6 a) Skriv ett program som finner en lösning till tredjegradsekvationer på formen
x 3 + px = q
genom att använda Cardanos formel:
x = q k 2 3 + + q k 2 3
där k > 0 och k = p3 27 + q2 4
b) Använd programmet för att lösa ekvationen
x 3 + x = 12.
Kapitel 1
1103 a) –3 c) –15
b) –5 d) 4
1104 a) 4
b) 9
c) –10
Lösning: –8 + (–2) = = –8 – 2 = –10
d) 6
1105 a) –12 c) 20 b) –5 d) 4
1106 a) –4 b) 14
c) 13
Lösning: 5 – 2 ∙ (–4) = = 5 + 8 = 13
d) –3
e) –24
f) 16
1107 a) 3
b) 1
Lösning: 57 11 () () = 57 11 = 2 2 = 1
c) –2
d) 8
1108 a) 4,65 c) –91 b) –37 d) –0,75
1109 Differensen är 71,8 °C.
1110 a) 16 c) 1
b) 14 d) –4
1111 a) Ja.
b) På den första raden används inte likhetstecknen på ett korrekt sätt.
(–3) · (–3) ≠ 18
c) 15 – 2 ∙ (–3)2 = = 15 – 2 · 9 = = 15 – 18 = –3
1112 a) –12 b) 4 c) –7
1113 a) 36 b) –13
1114 Värdet ändras från 2 till –10.
1115 a) –3
Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = =14 – 9 – 8 = –3
b) 31
Lösning:
14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31
c) 37
Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)3 = = 14 – 9 – 4 · (–8) = = 14 – 9 + 32 = 37
d) 15
Lösning: 14 + (–3)2 + (–2)3 = = 14 + 9 + (–8) = = 14 + 9 – 8 = 15
1118 a) 6 7
b) 3 8
c) 1 3
Ledtråd: Förkorta så långt som möjligt.
d) 4 5
1119 a) 1 2
Ledtråd: Förläng 1 3 med 2.
b) 3 5
Ledtråd: Förläng 2 3 till nämnaren 15. Kom ihåg att förkorta svaret.
c) 11 12
Ledtråd: Förläng båda bråken till nämnaren 12.
d) 5 12
1120 a) 8 25 c) 5 6 b) 3 7 d) 8 9
1121 14 48 = 7 24 1 3 = 8 24 3 8 = 9 24 5 12 = 10 24
1122 a) 11 7 Lösning: 4 7 + 1 = 4 7 + 7 7 = 11 7 b) 3 5
1123 a) 3 5 c) 39 10 b) 17 10 d) 27 10
1124 a) 10 27 b) 8 c) 2 13
Ledtråd: Nämnaren kan skrivas 6 1 d) 5 2
1125 a) 25 36 b) 1 16 1126 6 7 2 = 6 7 2 1 = 6 7 ∙ 1 2 = 6 14 = 3 7
Metod A: Vi utgår från 6 7 och dividerar täljaren 6 med 2 och får 3 7 Metod A fungerar.
Metod B: Vi utgår från 6 7 och multiplicerar nämnaren 7 med 2 och får 6 14 = 3 7
Metod B fungerar.
1127 a) 23 24 c) –9 10
b) 3 5 d) –10
1128 a) Värdet blir dubbelt så stort.
b) Värdet blir hälften så stort.
c) Värdet blir dubbelt så stort.
1129 a) 1 3 c) 2 9
b) 3 1 30 = 91 30 d) 5 12
1130 a) 32 c) 14 15
b) 9 4 d) 8
1131 1 50
1137 a) 7x + 4 c) 2 – 8 x
b) 4 a + 7 d) –6y
1138 a) 5y + 2 c) 12 x – 5
b) y + 4 d) 3 x – 5
1139 a) Uttryckets värde är 4.
b) Uttryckets värde är 40.
1140 Uttrycket kan skrivas 4 x – 6.
Ledtråd: Omkretsen är summan av de fyra sidornas längder.
x + (x – 3) + x + (x – 3)
1141 a) 8 a + 2 c) b – 2
b) 15a + 12 d) –11b + 2
1142 6 x + 560
Ledtråd: Uttrycket kan skrivas 4(x + 140) + 2 x
1143 a) 2 x – 3y
b) 11y – 9
c) 3y – 9 x
d) 3 x – 3y + 7
1144 B C E F
1145 a) Uttryckets värde är 0.
b) Uttryckets värde är 16.
Ledtråd: Sätt in –3 i en parentes, (–3).
1146 a) Omkrets i m: 4 x + 260
b) Area i m 2 :
x(x + 130) eller
x 2 + 130 x
Kommentar: Båda uttrycken är korrekta.
1147 a) 4 a – 8 c) 6 b – 3b2 b) 4 y 2 d) 2 y 2 – 3y
1148 a) x 2 + x
b) 3 x 2 + 2 x – 5
c) 3 x 2 + 4 x
Ledtråd: (2 x)2 = 2 x · 2 x = 4 x 2
d) x 2 – 4 x + 7
1149 a) 1. Han ändrar inte tecken när han tar bort första parentesen med minustecken framför.
2. Han multiplicerar inte –3 med både termerna i andra parenteserna.
b) 30 – (x – 6) – 3(6 – x) = = 30 – x + 6 – 18 + 3 x = = 2 x + 18
1150 Deras sammanlagda ålder är
a) (6 x + 10) år
Ledtråd: Fredrik är (x + 2) år. Pappa är 4(x + 2) år.
b) (6y – 2) år.
1151 a) Höjden i cm: 2 x + 8
b) Arean i cm 2 : x 2 + 4 x
Ledtråd: Triangelns area
A = bh ⋅ 2
c) Arean är 96 cm 2
Ledtråd: Lös ekvationen
2 x + 8 = 24
1152 a) –2 x 2 – 5 x + 4
b) 2 x 2 + 15
c) 2 a – 2
d) 3b – 2
1153 a) Arean A: a(a + 2)
Arean A1 + A 2: a 2 + 2 a
b) a(a + 2) = a 2 + 2 a
Kommentar: Rektanglarna har samma area, vilket innebär att uttrycket a(a + 2) kan skrivas som a 2 + 2 a och tvärtom.
1154 a) 2 3 x + 1 2 b) x 2 6
1155 4 a – 4 b
Ledtråd: Förenkla 3(2 a – b) – (2 a + b)
1156 Uttryck B och D.
Motivering: x( x – 1) kan skrivas x 2 – x
3 · ( x 2 – x) = 3 x 2 – 3 x och –1 · ( x 2 – x) = –x 2 + x = x – x 2
Stämmer med B och D
1157 a) Uttryckets värde är 14. b) Uttryckets värde är 20. c) Uttryckets värde är 1.
1158 7 12 x + y 3
Ledtråd: –xy 12 = –x 12 + y 12
1159 Uttryckets värde är 60.
1164 a) x = 4
b) x = 7
c) x = 4,5
d) x = 7,5
Lösning:
40 = 10 + 4 x
40 – 10 = 10 + 4 x – 10
30 = 4 x
1165 a) y = 8 c) y = –2
b) y = 3 d) y = 4
Vux Nivå
7000 Matematik 2abc
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2025. Matematik 7000 nivå 2abc Vux riktar sig till dig som ska läsa Matematik nivå 2a, 2b eller 2c inom vuxenutbildningen.
Matematik 7000 är ett modernt och heltäckande läromedel anpassat till den nya gymnasieskolan Gy25. Med bokens tydliga progression får eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.
I Matematik 7000 hittar du:
digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter utvecklande och utmanande uppgifter på alla svårighetsgrader aktiviteter, teman och historik som bidrar till en varierad undervisning
kapitelavslutning med testa dig själv och blandade övningar
utförligt facit med många lösningar och ledtrådar elevwebb och digital lärarhandledning.
LENA ALFREDSSON SANNA BODEMYR HANS HEIKNE