9789127471832

7000 Matematik

Nivå

LENA ALFREDSSON SANNA BODEMYR HANS HEIKNE

Varje kapitel har följande innehåll och struktur

KAPITELSTART

Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER

Lösning av ekvationssystem

Linn och Alice har var sin ryggsäck som handbagage när de flyger. Vid incheckningen vägs handbagaget. Deras ryggsäckar väger tillsammans 13 kg. Skillnaden i vikt är 3 kg. Hur mycket väger deras ryggsäckar?

2221 Avgör om funktionen y = x – 3 x 2 + 5 har en maximieller minimipunkt. Motivera.

Grafen har en maximipunkt. Motivering: x 2-termens koefficient är negativ.

REPETITIONSUPPGIFTER

2221

Avgör om funktionen y = x – 3 x 2 + 5 har en maximi- eller minimipunkt. Motivera.

ÖVNINGSUPPGIFTER

2439 Utgå från ekvationen 10 = 2 x

a) Mellan vilka heltal ligger lösningen? Förklara hur du tänker.

b) Lös ekvationen och svara exakt.

c) Lös ekvationen grafiskt. Svara med två decimaler.

d) Lös ekvationen algebraiskt. Svara med två decimaler.

1155 4 a – 4 b

Ledtråd: Förenkla 3(2 a – b) – (2 a + b)

I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.

Övningsuppgifterna i boken är indelade efter tre svårighetsgrader som är markerade med 1 2 3 . Dessa är inte kopplade till betygsstegen.

Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan räknare, alltså i huvudet eller med papper och penna.

Uppgifter med streckad ram får du lösa med funktionsräknare, alltså med en "vanlig" räknare.

Uppgifter med heldragen ram får du lösa med avancerad räknare, t.ex. grafräknare eller ekvationslösande verktyg.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.

VARIATION I UNDERVISNINGEN

Aktivitet

Historik

Pythagoras sats

KAPITELSLUT

Sammanfattning 4

Kan du det här?

BEGREPP

Testa dig själv 4

Blandade övningar 4

Blandade övningar 1–4

För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till ekonomi, samhälle och estetiska ämnen.

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

Testa dig själv innehåller uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

Innehåll

1. Algebra 8

Inledande aktivitet: Negativa tal och prioriteringsregler 9

1.1 Repetition 10

Negativa tal och prioriteringsregler 10

Beräkningar med tal i bråkform 13

Algebraiska uttryck 16

Ekvationer 20

Ekvationer med digitala verktyg 24

1.2 Linjära modeller 26

Repetition av formel, tabell och graf 26

Repetition av räta linjens ekvation 28

Mer om räta linjer 32

Linjär regression 35

Aktivitet: Regression och kast med tärning 39

Korrelation och korrelationskoefficient 40

1.3 Linjära ekvationssystem 43

Lösning av ekvationssystem 43

Substitutionsmetoden 47

Additionsmetoden 50

Tillämpningar och problemlösning 53

Några speciella ekvationssystem 57

Tema: Nu är det NOG 59

Tema: Nollpunktsanalys 62

Tema: Utbud och efterfrågan 65

1.4 Uttryck med parenteser 68

Repetition – multiplikation av uttryck 68

Aktivitet: Konjugat- och kvadreringsrelgerna 71

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 72

Mer om konjugat- och kvaderingsreglerna 74

Faktorisera 76

Aktivitet: Sant eller falskt? 78

Sammanfattning 1 79

Kan du det här? 80

Testa dig själv 1 81

Blandade övningar 1 82

2. Algebra och icke-linjära

modeller 86

Inledande aktivitet: Ekvationer med två rötter 87

2.1 Andragradsekvationer 88

Enkla andragradsekvationer 88

En lösningsformel 92

Mer om andragradsekvationer 95

Historik: Ekvationer och lösningsformler 98

Tillämpningar och problemlösning 100

Aktivitet: Samband mellan rötter och koefficienter 102

2.2 Andragradsfunktioner 103

Repetition av skrivsättet f(x) 103

Aktivitet: Andragradsfunktioner 107

Andragradsfunktionens graf 108

Andragradsfunktionens största eller minsta värde 113

Aktivitet: Rektanglar med en given omkrets 118

Problemlösning 119

2.3 Repetition av potensekvationer och

exponentialfunktioner 123

Potenser och potensekvationer 123

Exponentialfunktioner 126

Aktivitet: Grafen till y = 10 x 130

2.4 Logaritmer 131

Exponentialekvationer och logaritmer 131

Mer om logaritmer 133

Exponential- och potensekvationer 136

Aktivitet: Termosen 140

Aktivitet: Radioaktiva pärlor 140

Tillämpningar och problemlösning 141

Tema: Åldersbestämning med kol-14 146

2.5 Regressionsanalys 148

Regressionsanalys med olika modeller 148

Aktivitet: Från graf till formel 152

Aktivitet: Sant eller falskt? 153

Sammanfattning 2 154

Kan du det här? 156

Testa dig själv 2 157

Blandade övningar 2 158

Blandade övningar 1–2 161

3. Statistik 164

Inledande aktivitet: Presentera data 165

3.1 Lägesmått och spridningsmått 166

Medelvärde, median och typvärde 166

Kvartiler och percentiler 170

Aktivitet: Vindhastigheter och snödjup 175

Lådagram 176

Standardavvikelse 182

Aktivitet: Hur lång är en vit böna? 185

3.2 Normalfördelning 186

Normalfördelat material 186

Normalfördelat material och digitala verktyg 190

Tema: Tillväxtkurvor 193

Aktivitet: Sant eller falskt? 194

Sammanfattning 3 195

Kan du det här? 196

Testa dig själv 3 197

Blandade övningar 3 198

Blandade övningar 1–3 200

4. Geometri 204

Inledande aktivitet: Vinkelsumman i en månghörning 205

4.1 Logik och bevis 206

Geometriska begrepp och definitioner 206

Sats och bevis 210

Implikation och ekvivalens 214

4.2 Några klassiska satser i geometri I 216

Yttervinkelsatsen 216

Aktivitet: Randvinklar 219

Randvinklar och medelpunktsvinklar 220

Pythagoras sats 224

Historik: Pythagoras sats 227

4.3 Några klassiska satser i geometri II 228

Likformighet 228

Topptriangelsatsen och transversalsatsen 232

Bevis med likformighet 236

Kordasatsen och bisektrissatsen 238

Aktivitet: Dynamisk geometri 240

4.4 Koordinatgeometri 242

Avståndsformeln och mittpunktsformeln 242

Problemlösning 246

Aktivitet: Sant eller falskt? 249

Sammanfattning 4 250

Kan du det här? 252

Testa dig själv 4 253

Blandade övningar 4 254

Blandade övningar 1–4 256

Repetitionsuppgifter

262

Svar, ledtrådar och lösningar 268

Register 318

ALGEBRA

Algebra är ett fantastiskt redskap som används inom de flesta grenar i matematiken men även i många andra ämnen. Med hjälp av algebra kan vi bland annat lösa ekvationer och beskriva matematiska regler, lagar och samband.

Centralt innehåll

• Begreppet linjärt ekvationssystem.

• Begreppet korrelationskoefficient.

• Metoder för att lösa linjära ekvationssystem.

• Motivering och hantering av konjugatoch kvadreringsreglerna.

• Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär och samhällsliv.

Med andra ord

Kapitlet börjar med en repetition av räkneregler, bråkräkning, algebraiska uttryck och ekvationer samt räta linjens ekvation.

Vi arbetar med linjära ekvationssystem, dvs. flera ekvationer som hör ihop. Här får du lära dig att lösa ekvationssystem både grafiskt och algebraiskt.

Kapitlet avslutas med multiplikation av parentesuttryck och du får lära dig att använda några algebraiska regler för detta.

Inledande aktivitet

NEGATIVA TAL OCH PRIORITERINGSREGLER

Arbeta tillsammans två och två.

Använd fyra papperslappar och skriv talen

2, –3, –5 och 4 på lapparna.

1 Välj två av lapparna och lägg dem så att

a) summan blir så stor som möjligt

b) differensen blir så stor som möjligt

c) produkten blir så stor som möjligt

d) kvoten blir så stor som möjligt.

2 Välj två av lapparna och lägg dem så att summan respektive produkten blir så liten som möjligt.

3 Placera ut alla fyra talen så att resultatet av beräkningen

∙ + ∙

blir så

a) stort som möjligt

b) litet som möjligt.

2

4 –5 –3

4 Beräkna värdet på uttrycken

A x + 6y B x 2 – y

a) då x = 2 och y = 4

b) då x = –3 och y = –5.

1.1 Repetition

Negativa tal och prioriteringsregler

Vi börjar med att repetera regler för beräkningar med negativa tal.

Addition och subtraktion med negativa tal

–5 + 7 = 2

Räkneregler för negativa tal

–1 – 3 = –4

0 –1 –5 –3 –4 –6 1 2

Vi startar vid talet –5 och går 7 steg åt höger. Vi startar vid talet –1 och går 3 steg åt vänster. –2

4 – (–3) = 4 + 3 = 7

4 + (–3) = 4 – 3 = 1

Multiplikation med negativa tal

7 · (–3) = (–7) · 3 = –21

(–7) · (–3) = 21

Division med negativa tal

45 9 = 45 9 = –5

45 9 = 5

Vi sammanfattar reglerna:

Tecknen – (–) intill varandra ersätts med +

Tecknen + (–) intill varandra ersätts med –

Olika tecken på två faktorer ger negativ produkt.

lika tecken på två faktorer ger positiv produkt.

Olika tecken på täljare och nämnare ger negativ kvot.

lika tecken på täljare och nämnare ger positiv kvot.

Addition och subtraktion Multiplikation Division

+ (–b) = a – b

(–

Prioriteringsreglerna

Vid beräkningar med flera räknesätt använder vi prioriteringsreglerna, som anger i vilken ordning vi ska räkna.

1 Först beräknas uttryck inuti parenteser.

2 Därefter potenser (upphöjt till).

3 Sedan multiplikationer och divisioner.

4 Till sist additioner och subtraktioner.

1101 Beräkna

a) 5 – 9

b) 9 – 4 + 2

a) 5 – 9 = –4

b) 9 – 4 + 2 = 7

1102 Beräkna

c) –25 – (–50)

d) 16 + (–9)

c) –25 – (–50) = = –25 + 50 = 25

d) 16 + (–9) = = 16 – 9 = 7

Tecknen – (–) ersätts med +

Tecknen + (–) ersätts med –

a) –3 + 5 ∙ 2 – 1 b) 6 + 2(1 – 5) c) 4 – (–5) + 2 ∙ 32 d) 45() 13

a) –3 + 5 ∙ 2 – 1 = = –3 + 10 – 1 = = 7 – 1 = 6

b) 6 + 2(1 – 5) = = 6 + 2 ∙ (–4) = = 6 – 8 = –2

c) 4 – (–5) + 2 ∙ 32 = = 4 – (– 5) + 2 ∙ 9 = = 4 – (–5) + 18 = = 4 + 5 + 18 = 27

d) 45() 13 = 20 2 = 10

Först multiplikation

Därefter addition och subtraktion

Först parentesen

Därefter multiplikation

Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9

Sedan multiplikationen

Därefter subtraktion: – (–) ersätts med +

Uttrycken i täljaren och nämnaren beräknas först.

Beräkna 1103–1107

1103 a) 5 – 8 c) –3 – 12

b) –7 + 2 d) –5 + 9

1104 a) 7 + (–3) c) –8 + (–2)

b) 5 – (–4) d) –3 – (–9)

1105 a) 4 ∙ (–3) c) (–4) ∙ (–5)

b) 15 3 d) 24 6

1106 a) 8 – 6 ∙ 2 d) 3 ∙ (4 – 5)

b) 16 – 6 + 4 e) (–3) ∙ (–2) ∙ (–4)

c) 5 – 2 ∙ (–4) f) 8 – 2(3 – 7)

1107 a) 72 96() c) 84 71 () ()

b) 57 11 () () d) 10 6 53()

1108 Beräkna

a) 2,97 – (–1,68) c) 3,5 ∙ (–26)

b) 117 265 4 d) 57 12 22 38 ,, ,,

1110 Beräkna

a) 32 + 2 ∙ 3 + 1

b) 2 ∙ 4 2 – 5 ∙ 4 + 2

c) (–2)2 + 4 ∙ (–2) + 5

d) (–1)2 + 3 ∙ (–1) – 2

1111 Nicole ska beräkna 15 – 2 ∙ (–3)2 och skriver

(–3) ∙ (–3) = 9 ∙ 2 = 18 15 – 18 = –3

a) Är svaret –3 korrekt?

b) Nicoles beräkning är inte korrekt. Vad i beräkningen är felaktigt?

c) Visa en korrekt beräkning.

1112 Vilket tal ska stå i den tomma rutan?

a) 18 – = 30

b) 16 – · 5 = – 4

c) – 8 – 35 = –3

1113 Beräkna

a) –() 24 2 + 12 – (–4) ∙ 3

1109 I Målilla i Småland är det ofta varmt på sommaren. Värmerekordet i Målilla är

Hur stor är temperaturdifferensen? *

+38,0 °C och köldrekordet är –33,8 °C.

b) 18 3 ()2 + 5 ∙ () 6 2

1114 Hur ändras värdet av uttrycket 5 – 2 ∙ (1 – 4) – 32 om parentesen tas bort?

1115 Beräkna

a) 14 – 32 – 4 ∙ 2

b) 14 + (–3)2 – 4 ∙ (–2)

c) 14 – (–3)2 – 4 ∙ (–2)3

d) 14 + (–3)2 + (–2)3 Kontrollera dina svar med räknare.

* En streckad ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1108 betyder att du får använda funktionsräknare, dvs. en enklare räknare, när du ska lösa uppgiften. Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan hjälp av räknare.

Aktivitet

Regression och kast med tärning

I den här aktiviteten ska du kasta tärning. Syftet är att du ska anpassa en rät linje till mätvärden som du själv har skapat.

Materiel: En sexsidig tärning

Arbeta två och två.

1 Öppna ett kalkylblad och skriv följande:

AB C D

1 Antal kast Total poäng Antal kast Total poäng

2 0 10 0 80

3 1 1

4 2 2

5 3 3 . . . . . .

Ni ska turas om att kasta en tärning.

En av er startar med 10 poäng och en startar med 80 poäng.

Den med 10 poäng adderar tärningens poäng vid varje kast till sin totala poäng.

Den med 80 poäng subtraherar vid sina kast tärningens poäng från sin totala poäng.

2 Börja med att gissa:

Hur många kast krävs för att ni ska få samma totalpoäng?

3 Kasta tärningen 15 gånger var och fyll i tabellen i kalkylbladet.

Anpassa, med linjär regression, två linjer till värdena i tabellen.

Den ena linjen beskriver poängökningen och den andra poängminskningen.

4 Rita linjerna i samma koordinatsystem på datorn eller räknaren.

Avläs skärningspunkten.

Efter hur många kast hade ni samma totalpoäng?

5 Teoretiskt kan linjerna skrivas y = 10 + 3,5 x och y = 80 – 3,5 x

a) Bestäm algebraiskt skärningspunkten mellan dessa två linjer.

b) Efter hur många kast borde man få samma totalpoäng, rent teoretiskt?

c) Linjerna har k = 3,5 och k = –3,5. Hur kan du förklara detta?

Korrelation och korrelationskoefficient

Exempel Blodtryck i förhållande till ålder och maxpuls i förhållande till ålder har registrerats i två olika grupper. Resultaten visas nedan.

Spridningsdiagrammen och ekvationerna för regressionslinjerna, som presenteras under respektive diagram, är framtagna med digitalt verktyg.

Blodtryck

Grupp A

Grupp B

korrelationskoefficient

y = 0.99x + 101 (r = 0.79)

Maxpuls

Grupp A

y = –0.76x + 202 (r = –0.83)

y = 0.93x + 104 (r = 0.95)

Grupp B

Obs! a xlarna skär inte varandra i origo.

y = –0.94x + 219 (r = –0.96)

För båda grupperna gäller att blodtrycket ökar med ökad ålder och maxpulsen minskar med ökad ålder.

Verktyget ger också ett värde på korrelationskoefficienten r

Den beskriver hur stark korrelationen är. I detta fall i vilken utsträckning blodtrycket och maxpulsen ändras med åldern enligt undersökningen.

För blodtrycket i förhållande till ålder gäller att korrelationen för grupp B (r = 0,95) är starkare än för grupp A (r = 0,79).

I diagrammen motsvaras detta av att punkterna ligger närmare regressionslinjen för grupp B än för grupp A.

För maxpulsen i förhållande till ålder gäller detsamma, korrelationen för grupp B (r = –0,96) är starkare än korrelationen för grupp A (r = –0,83).

positiv korrelation negativ korrelation

Allmänt gäller:

Om regressionslinjen har positiv lutning säger vi att korrelationen är positiv.

Korrelationskoefficienten r har då ett värde i intervallet 0 < r ≤ 1.

Om regressionslinjen har negativ lutning säger vi att korrelationen är negativ.

Korrelationskoefficienten r har då ett negativt värde i intervallet –1 ≤ r < 0.

Korrelationskoefficienten antar värden i intervallet –1 ≤ r ≤ 1.

Om r = 1 eller r = –1 betyder det att variablerna är perfekt korrelerade; då ligger alla punkter på regressionslinjen.

Om r = 0 finns det ingen koppling mellan variablerna; de är okorrelerade.

1258 Tabellen visar mätvärden för reaktionstid och ålder i en undersökning.

a) Bestäm ekvationen för en regressionslinje.

b) Ange om korrelationen är positiv eller negativ. Motivera ditt svar.

c) Bestäm korrelationskoefficienten r.

Ålder (år) Reaktionstid (s)

a) Vi skriver in värdena i ett kalkylblad och bestämmer regressionslinjen.

Svar: y = 0,032 x – 0,98

b) Korrelationen är positiv.

Motivering: Eftersom reaktionstiden ökar med ökad ålder har linjen positiv lutning. Det betyder att korrelationen också är positiv.

c)

Svar: Korrelationskoefficienten r = 0,95.

1259 Sonja sålde påsar med bullar på en marknad fem dagar i rad.

Hon ändrade priset för att se om försäljningen påverkades av priset och fick följande resultat:

Dag 1: 55 kr 18 påsar

Dag 2: 65 kr 14 påsar

Dag 3: 80 kr 10 påsar

Dag 4: 45 kr 16 påsar

Dag 5: 25 kr 25 påsar

a) Rita och bestäm ekvationen för en regressionslinje, där x är priset i kr och y är antalet sålda påsar.

b) Ange om korrelationen mellan pris och försäljning är positiv eller negativ. Motivera ditt svar.

c) Bestäm korrelationskoefficienten r.

1260 Para ihop rätt korrelationskoefficient med rätt graf. Motivera dina svar.

r = –0,68 r = 0,73 r = –0,95 r = 0,89

1262 Är det positiv eller negativ korrelation mellan

a) regnmängd och försäljning av paraplyer

b) avstånd från ekvatorn och medeltemperatur

c) utomhustemperatur och energiförbrukning i en villa

d) träningsmängd för längdhoppsträning och hopplängd

e) träningsmängd för löpträning och tid på 3 km löpning?

1263 Finns det någon koppling mellan lutningen på en regressionslinje och korrelationskoefficienten, r? Förklara.

1264 Undersök vilket av mätvärden K eller

T som har starkast korrelation till x. Motivera.

x K

10 0,12

21 0,21

25 0,75

45 0,81

50 1,39 65 1,54 x T 10 310 21 265 25 249 45 200 50 183 65 172

D

1261 Tabellen visar sambandet mellan två variabler x och y.

Är korrelationen positiv eller negativ mellan variablerna?

Motivera ditt svar.

1265 Yasim har undersökt sambandet mellan två variabler och med hjälp av linjär regression fått fram ekvationen

y = –0,9548 x + 54

Han säger: ”Eftersom lutningen är nära –1

är korrelationen mycket bra.”

Har han rätt? Motivera ditt svar.

Utbud och efterfrågan

Utbud och efterfrågan är två begrepp som används inom ekonomi. Konsumenterna (köparna) påverkar efterfrågan och producenterna (tillverkare/säljare) påverkar utbudet.

Utbud och efterfrågan kan illustreras grafisk i ett diagram. På den ena axeln visas varans pris P (price) och på den andra visas mängd eller kvantitet Q (quantity).

I en förenklad ekonomisk modell gäller att ju dyrare en vara är desto mer vill producenterna producera och desto mindre efterfrågas varan av konsumenterna. Det pris där utbudet är lika stort som efterfrågan kallas jämviktspris.

Exempel Rania säljer kaffemuggar i sin butik. Figuren visar graferna för utbud ( blå linje) och efterfrågan (röd linje) vid olika priser P kr.

Vid priset P = 140 kr är

◗ efterfrågan Q = 20 muggar (punkt A)

◗ utbudet Q = 105 muggar (punkt B).

Vid priset P = 20 kr är

◗ utbudet Q = 15 muggar (punkt C )

◗ efterfrågan Q = 100 muggar (punkt D).

Vi kan avläsa jämviktspriset i punkt E

Jämviktspriset är 80 kr.

Jämviktspriset kan även bestämmas algebraiskt genom att lösa ekvationssystemet som beskriver utbud och efterfrågan.

P Q

PQ 4 3

170 15 ,

Efterfrågan

Graferna för utbud och efterfrågan av en viss vara visas i figuren.

a) Vid vilket pris är utbudet och efterfrågan lika?

b) Vid vilket antal är utbudet och efterfrågan lika?

c) Hur stort är utbudet om priset är 40 kr?

d) Hur stor är efterfrågan om priset är 40 kr?

2 Alex säljer äpplen. För ett pris, P kr/kg, kan utbud och efterfrågan beskrivas med ekvationssystemet:

PQ

PQ 54 0851 0652 ,( ) ,( )

där Q är antal kg.

a) Vilken ekvation beskriver utbudet och vilken ekvation beskriver efterfrågan? Motivera ditt svar.

b) Bestäm efterfrågan då priset är 20 kr/kg.

c) Lös ekvationssystemet algebraiskt.

d) Vad betyder lösningen i detta sammanhang?

3 Figuren visar utbud och efterfrågan av en industrikomponent.

kr P

18 000

12 000 15 000

3 000 6 000 9 000

Efterfrågan Utbud

200 400 600 800 1 000 1 200 Antal

a) Vilket är jämviktspriset?

b) Hur många komponenter vill konsumenterna köpa och hur många vill producenterna sälja om priset är 4 500 kr?

c) Hur många komponenter vill konsumenterna köpa och hur många vill producenterna sälja om priset är 13 500 kr?

d) Anta att utbudskurvan ändras så att dess ekvation är P = 17,5Q Vilket är det nya jämviktspriset?

4 Utbud och efterfrågan för godisbiten Vipp kan beskrivas med räta linjer i ett koordinatsystem med priset P kr på x-axeln och antalet Q i tusental på y-axeln.

a) Bestäm ekvationen för linjen som beskriver utbudet om den går genom origo och punkten (30, 15).

b) Bestäm ekvationen för linjen som beskriver efterfrågan om den går genom punkterna (4, 30) och (20, 6).

c) Bestäm jämviktspriset genom att lösa det ekvationssystem som bildas av ekvationerna i a) och b) grafiskt och algebraiskt.

5

Efterfrågan av en produkt beror oftast på många olika faktorer. En viktig faktor är produktens försäljningspris, en annan är köparnas inkomst.

Efterfrågan av en viss bilmodell beskrivs med ekvationen

P = –0,71Q + 2 z + 280 000

där P är priset i kr, Q är antal bilar och z är köparnas genomsnittliga månadsinkomst i kr.

Utbudet beskrivs med ekvationen

P = 3,41Q

a) Anta att z = 35 000 kr.

Rita linjerna till de båda ekvationerna med ett digitalt verktyg och bestäm jämviktspriset.

b) Beräkna det nya jämviktspriset om köparnas genomsnittliga inkomst ökar till 45 000 kr.

c) Anta att efterfrågan på bilmodellen är 80 000 då priset är 300 000 kr.

Hur stor är då köparnas genomsnittliga månadsinkomst?

Figuren visar utbud och efterfrågan av en liten hamburgare hos en snabbmatskedja.

Efterfrågan gäller för en grupp konsumenter med en viss genomsnittlig inkomstnivå.

Om inkomstnivån hos konsumenterna ökar kommer inga hamburgare att efterfrågas om priset är 50 kr.

a) Bestäm ekvationen för den linje som beskriver den nya efterfrågan och som har samma lutning som den röda linjen i figuren.

b) Bestäm det nya jämviktspriset.

7 Ett år var jämviktspriset 100 kr för en viss produkt och efterfrågan vid det priset var 3 000 per månad. Några år senare hade jämviktspriset sjunkit till 70 kr och efterfrågan stigit till 4 500 per månad.

Ekvationen som beskriver efterfrågan var oförändrad under tidsperioden.

a) Linjerna som beskriver utbudet vid de två tidpunkterna är parallella och har lutningen 0,01.

Ange de båda linjernas ekvation.

b) Rita linjen för efterfrågan samt de båda utbudslinjerna i samma koordinatsystem med ett digitalt verktyg.

Har utbudet på en viss prisnivå minskat eller ökat över tid? Motivera ditt svar.

Historik

Ekvationer och lösningsformler

Matematiker har genom århundraden lyckats

utveckla algebraiska lösningsformler och metoder för många olika typer av ekvationer. Men till vissa typer av ekvationer har man även kunnat visa att generella algebraiska lösningsmetoder inte finns.

Andragradsekvationen

Babyloniska lertavlor har visat att andragradsekvationens lösning var känd för 4 000 år sedan.

Papyrusrullar från Egypten som är ungefär lika gamla visar att man där använde geometriska metoder för att lösa andragradsekvationer.

Olika sätt att lösa andragradsekvationer har därefter tagits fram i bland annat grekisk, kinesisk, indisk och arabisk matematik.

Tredjegradsekvationen

Många har försökt, och misslyckats, med att hitta en generell metod för att lösa tredjegradsekvationer. Misslyckanden som till stor del har berott på vilka talmängder man hade att tillgå.

I antikens Grekland vållade problemet med kubens fördubbling stora bekymmer för dåtidens tänkare. Man ville veta hur kanterna på två kuber förhåller sig, om den ena kubens volym är dubbelt så stor som den andra kubens volym.

I dag vet vi att förhållandet mellan kanterna måste vara 1: 2 3 . Tyvärr erkände man bara tal som gick att skriva som bråk (rationella tal, Q), och eftersom 2 3 är ett irrationellt tal lyckades man inte lösa problemet. 2 3 1

På 600-talet presenterade den kinesiske matematikern Wang Xiaotong lösningar till flera olika tredjegradsekvationer. Under de följande århundradena utvecklades algebran framför allt i Mellanöstern. Den persiske matematikern och astronomen Omar Khayyam la på 1100-talet fram lösningar till flera tredjegradsekvationer genom att kombinera algebraiska och geometriska lösningar. Han försökte hitta algebraiska lösningar till samtliga typer av tredjegradsekvationer, men misslyckades.

Mot slutet av medeltiden började allt fler arbeta med matematik även i Europa. Matematikerna var till stor del inspirerade av de arabiska texter som översattes. I början av 1500-talet tog sig flera norditalienska matematiker an tredje- och fjärdegradsekvationerna.

Niccolò Fontana Tartaglia (1499–1557)

Det sägs att matematikern Niccolò Fontana Tartaglia närmade sig en generell lösning. Mot tysthetslöfte avslöjade han sin idé för matematikern, läkaren och astrologen Girolamo Cardano, som helt fräckt tog idén och presenterade den som sin.

Så här angav Cardano en lösning till ekvationen x 3 + p x = q

Beräkna först k = p3 27 + q2 4

Om k > 0 så är en rot x = q k 2 3 + + q k 2 3

Fjärde- och femtegradsekvationen

I samband med lösningen för tredjegradsekvationen presenterade en av Cardanos elever, Ferrari, den allmänna lösningen till fjärdegradsekvationer.

Många gav sig nu i kast med femtegradsekvationen. Efter nästan 300 år skulle det visa sig att försöken varit lönlösa. I början av 1800-talet kunde man nämligen visa att det inte går att hitta allmänna lösningsformler för ekvationer av högre grad än fyra.

1 Från babylonisk tid kan vi hitta denna ekvation, omskriven med moderna symboler:

120 x – 120( x – 2) = 10 x( x – 2)

Ekvationen ger inköpspriset x (shekel/säckar) för att vid vissa villkor få vinsten 10 shekel.

Lös ekvationen och bestäm inköpspriset.

2 Flera av personerna i texten var astronomer och kalenderskapare.

Varför har matematik spelat en så stor roll inom t.ex. astronomin, tror du?

3 Vissa ekvationer av högre grad kan vi lösa utan komplicerade metoder.

Lös tredjegradsekvationen 5 x 3 = 40.

Bedriften brukar ofta tillskrivas norrmannen

Niels Henrik Abel och fransmannen

Évariste Galois, som båda för övrigt fick korta och tragiska liv.

Abel dog i lungsot endast 26 år gammal, två dagar innan meddelandet om att han antagits som professor i matematik. Galois, som kommit på kant med både skolan och samhället, dog blott 20 år gammal i en duell som ska ha handlat om politik och en kärlekstvist.

4 Vilket är det högsta gradtalet på de ekvationer där vi kan hitta allmänna lösningsformler?

5 Vi har tredjegradsekvationen x 3 + 5x = 8.

a) Beräkna talet k med Cardanos metod (dels som ett närmevärde, dels som ett exakt tal i bråkform).

b) Lös ekvationen med Cardanos metod.

6 Från en av Tartaglias tävlingar i ekvationslösning:

Ett träd, 12 m högt, bryts av så att den avbrutna delen är kuben på den del som står kvar. Hur hög är den del som står kvar?

Lös ekvationen med Cardanos metod och kontrollera med räknarens ekvationslösare.

Girolamo Cardano (1501–1576)

Niels Henrik Abel (1802–1829)

Grafen till y = 10x

I den här aktiviteten ska du få bekanta dig med exponentialfunktionen y = 10 x . Syftet är att du ska få en grundläggande förståelse för hur den kan användas för att lösa exponentialekvationer.

1 Figuren visar grafen till funktionen y = 10 x. Avläs i grafen värdet av

a) 10 2 d) 10 0,5

b) 101,5 e) 10 0

c) 101 f) 10 –0,5

2 a) Rita grafen till y = 10 x med din grafräknare.

b) Bestäm funktionens definitionsmängd och värdemängd.

3 a) Avläs i grafen x-värdet då y = 50.

b) Vilken ekvation har du löst genom avläsningen i a).

4 Lös ekvationerna grafiskt.

a) 10 x = 200

b) 10 x = 100

c) Skriv in lg 200 och lg 100 i din räknare och jämför med svaren i a) och b).

Vad finner du?

I digitala verktyg används ibland andra beteckningar än lg, t.ex. LOG eller log10.

5 Försök att bestämma värdet utan räknare.

Kontrollera sedan med din räknare.

a) lg 1 000 c) lg 1

b) lg 10 000 d) lg 0,1

2.4 Logaritmer

Exponentialekvationer och logaritmer

exponentialekvation

Hur löser man en exponentialekvation av typen 10 x = b, där den obekanta x är i exponenten?

Exempel 1 I enkla fall som t.ex. 10 x = 1 000 kan ekvationen lösas med huvudräkning genom att tänka ” Vad ska 10 upphöjas till för att ge resultatet 1 000?”

Lösningen är x = 3 eftersom 10 3 = 1 000.

I tabellen till höger visas fler exempel.

Exempel 2 För att lösa ekvationen 10 x = 7 behöver vi andra metoder.

Vi kan få ett ungefärligt värde på x genom en grafisk lösning.

Vi ritar grafen till y = 10 x och avläser x-värdet då y = 7.

Lösningen är x ≈ 0,85.

tiologaritm

Det tal x som 10 ska upphöjas till för att resultatet ska bli 7 kallas tiologaritmen för 7 och skrivs kortare lg 7.

Ekvationen 10 x = 7 har med andra ord lösningen x = lg 7 ≈ 0,85.

På samma sätt har ekvationen 10 x = 15 lösningen x = lg 15 ≈ 1,18.

Om y > 0 gäller allmänt att:

Ekvationen 10 x = y har lösningen x = lg y.

Sambandet mellan x och y kan i detta fall skrivas på två likvärdiga (ekvivalenta) sätt.

ekvivalens Vi tar hjälp av symbolen ⇔ som beskriver en ekvivalens.

Definition av tiologaritm

För varje positivt tal y gäller att y = 10x ⇔ x = lg y

Talet lg y utläses tiologaritmen för y.

Ekvation Lösning

10 x = 1 000 000 x = 6

10 x = 10 000 x = 4

10 x = 10 x = 1

10 x = 1 x = 0 10 x = 0,1 x = –1

I digitala verktyg används t.ex. beteckningarna LOG, log10 eller lg för tiologaritmen.

Eftersom exponentialfunktionen y = 10 x ger y > 0 för alla x, är logaritmfunktionen x = lg y endast definierad för y > 0.

2401 Lös ekvationen 10 x = 18.

a) Svara exakt.

a) 10 x = 18

y = 10 x ⇔ x = lg y

b) Svara med ett närmevärde med tre decimaler.

b) 10 x = 18 x = lg 18 x = lg 18 ≈ 1,255

2402 Lös ekvationen 25 ∙ 10 2 x = 125.

25 ∙ 10 2 x = 125 10 2 x = 5 2 x = lg 5 x = lg 5 2 ≈ 0,35

2403 Lös ekvationerna.

Definitionen ger 10 2 x = 5 ⇔ 2 x = lg 5

a) 10 x = 100 000 c) 10 x = 0,000 01

b) 10 x = 100 d) 10 x = 0,01

2404 Lös ekvationerna. Svara exakt och med ett närmevärde med tre decimaler.

a) 10 x = 5 c) 10 x = 5 000

b) 10 x = 13 d) 10 x = 0,045

2405

2406 Lös ekvationerna. Svara exakt.

a) 2 ∙ 10 x = 48 c) 10 2 x = 50 b) 5 ∙ 10 x = 15 d) 10 3 x = 10 000

2407 Lös ekvationen 10 2 x = 5 000 a) grafiskt b) algebraiskt.

2408 Vilket tecken, >, < eller =, ska stå i rutan? Motivera ditt val.

a) 10 2,5 100 c) 10 –1,5 0,15 b) 10 3,8 10 000 d) 10 –3,5 0,001

2409 Mellan vilka heltal ligger lösningen till a) 10 x = 4 100 c) 10 x = 0,04 b) 10 x = 62 390 d) 10 x = 0,000 23

2410 Lös ekvationerna. Svara exakt och med ett närmevärde med två decimaler.

A 10 x = 2 B 10 x = 8 C 10 x = 0,5

a) Lös ekvationerna A, B och C grafiskt.

b) Lös ekvationerna A, B och C med ett ekvationslösande verktyg. Svara med två decimaler. x 0,5 y y = 10x 5 10 1

a) 0,3 ∙ 10 3 x = 18 c) 10 3 x ∙ 10 x = 350

b) 10 50 2 x = 100 d) (10 x)3 = 0,052

Hur lång är en vit böna?

I den här aktiviteten ska du mäta längden på en stor mängd vita bönor. Syftet är att du ska undersöka hur längderna fördelar sig och därmed upptäcka några egenskaper hos ett normalfördelat material.

Materiel: Ett stickprov med 100 stora torkade vita bönor (eller mätvärden från nok.se/matematik7000), linjal och ett statistikprogram

1 Mät längden på bönorna i mm och visa resultatet i en frekvenstabell.

14 innebär längden x mm, där 13,5 ≤ x < 14,5

Frekvens

4 Skissa utseendet på en kurva som går genom mittpunkterna på staplarnas övre kant.

5 Skriv in medelvärde och standardavvikelse i ett program med en sannolikhetskalkylator. Hur många procent av bönorna har en längd i intervallet medelvärdet ± en standardavvikelse?

2 Beräkna medelvärde och standardavvikelse.

3 Rita ett histogram i ett datorprogram eller för hand.

Låt klasserna vara 13,5 mm → 14,5 mm osv.

Histogram Start 13,5 Bredd 1

Normalfördelning μ σ

Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.

1 I ett statistiskt material kan median, medelvärde och typvärde vara samma tal.

2 Median och kvartilavstånd är exempel på spridningsmått.

3 Om tre heltal har variationsbredden 14, medianen 30 och medelvärdet 30 så är det minsta talet 24.

4 Variationsbredden anger hur största värdet avviker från medianen.

5 Både medelvärde och kvartiler kan avläsas i ett lådagram.

6 Den 25:e percentilen och den nedre kvartilen har samma värde.

7 Ungefär 25 % av värdena i ett statistiskt material ligger mellan medianen och den övre kvartilen.

8 I ett normalfördelat material ligger ungefär 34 % av värdena över medelvärdet.

9 Figuren visar lådagram för mätvärden i två grupper.

Den 70:e percentilen för grupp B är större än den 70:e percentilen för grupp A.

Grupp A

Grupp B

10 Standardavvikelse är ett mått på hur mycket de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medianen.

11 Hos ett normalfördelat material ligger ca 50 % av observationerna i intervallet medelvärdet ± 1 standardavvikelse ( μ ± σ).

12 I ett normalfördelat material med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 10 har cirka 16 % av observationerna ett värde som är mindre än 90.

Lägesmått

För ett statistiskt material gäller:

Sammanfattning 3

• Typvärdet är det vanligast förekommande värdet.

• Medianen är värdet i mitten då talen är ordnade i storleksordning. Om två tal står i mitten är medianen medelvärdet av dessa.

• Medelvärdet betecknas x för en hel population och μ för ett stickprov.

Medelvärdet = Summan av värdena Antalet värden

Standardavvikelse

Spridningsmåttet standardavvikelse är ett mått på hur de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medelvärdet.

En stor standardavvikelse betyder stor spridning och tvärtom. Standardavvikelsen becknas σ för en hel population och s för ett stickprov.

Normalfördelning

En normalfördelad population med medelvärdet μ och standardavvikelse σ fördelar sig enligt följande kurva:

Spridningsmått

Exempel på spridningsmått:

Variationsbredd = Största värdet – Minsta värdet

Kvartilavstånd = Övre kvartil – Nedre kvartil Övre och nedre kvartil får vi genom att först dela värdena i två halvor med hjälp av medianen.

Nedre kvartilen är sedan medianen av den nedre halvan och övre kvartilen är medianen av den övre halvan.

Nedre kvartilen Q1, medianen Q2 och övre kvartilen Q3 delar det statistiska materialet i fjärdedelar.

Variationsbredd kvartilavstånd

På motsvarande sätt kan man dela in ett storleksordnat material i hundradelar. De 99 gränserna kallas percentiler och betecknas P1, P2 , P3 osv.

Om P3 = 125 betyder det att 3 % av värdena är mindre än 125 och 97 % är större än 125.

Normalfördelningskurvan (den gröna ovan) är symmetrisk kring medelvärdet. 2 2

Max Övre kvartil Median Nedre kvartil Min

Kan du det här?

Delkapitel BEGREPP

3.1 Lägesmått och spridningsmått

Medelvärde, median och typvärde

Variationsbredd

Kvartil och kvartilavstånd

Percentil

Standardavvikelse

PROCEDUR

• bestämma medelvärde, median och typvärde

• bestämma variationsbredd, kvartiler och kvartilavstånd

• konstruera och tolka lådagram

• bestämma och tolka percentiler

• beräkna standardavvikelse med hjälp av ett digitalt verktyg.

3.2 Normalfördelning Normalfördelning

• avläsa och tolka data med hjälp av en normalfördelningskurva

• bestämma sannolikheter hos ett normalfördelat material med hjälp av ett digitalt verktyg.

3.1 Lägesmått och spridningsmått

Testa dig själv 3

1 Under två veckor avlästes kl. 12.00 följande temperaturer (°C):

–3 3 –2 1 0 –3 4 –2 0 –1 –2 1 –1 –2

a) Bestäm variationsbredden.

b) Bestäm medianen och typvärdet.

c) Bestäm övre kvartilen.

d) Bestäm kvartilavståndet.

e) Hur påverkas medianen om det största värdet tas bort?

2 Almin undersökte batteritiden på ett stort antal datorer. Han visade resultatet i ett lådagram.

0 01 2 34567 89 10 11

Är påståendet sant eller falskt? Motivera.

a) Det var fler datorer med batteritid mellan 2 h och 5 h än mellan 5 h och 6,5 h.

b) Medelvärdet var 5 h.

c) Variationsbredden var 11 h.

d) 75 % av datorerna hade en batteritid på mer än 2 timmar.

3 Ludvig tränar längdhopp. Tabellerna visar två stickprov av hans träningsresultat.

Vilket av stickproven visar störst spridning?

Motivera ditt svar.

Stickprov 1 Stickprov 2

6

n 8

4 En undersökning av mobilanvändandet på en skola med 894 elever visade följande resultat:

Värdet på den 15:e percentilen var 2 timmar per dag.

Hur många elever använde mobilen mer än 2 timmar per dag?

5 Lönestatistik från ett företag:

Median = 38 000 kr per månad

85:e percentilen = 51 000 kr per månad

På företaget arbetar 77 personer med en lön mellan 38 000 kr och 51 000 kr per månad.

Hur många personer arbetar på företaget?

3.2 Normalfördelning

6 Ett normalfördelat material har medelvärdet 440. 10 % av värdena ligger mellan 440 och 480.

Rosa påstår att man utan räknare kan bestämma andel värden som ligger mellan 400 och 440, men inte andelen mellan 480 och 520.

Stämmer det? Motivera.

7 Livslängden, dvs.antal körda mil, för bildäcket GoldYear25 antas vara normal-fördelad med medelvärdet 3 600 och standardavvikelsen 600.

Hur stor andel av däcken

a) kan köras mellan 3 000 och 4 200 mil

b) behöver bytas före 3 000 mil

c) kan köras mer än 4 000 mil?

Utan digitala verktyg 1

Blandade övningar 3

1 Ett normalfördelat material har medelvärdet 8,0 och standardavvikelsen 2,0.

Hur många procent av observationerna ligger inom det färgade området?

4 Tre olika, positiva heltal har medelvärdet 6, medianen 8 och variationsbredden 8.

a) Vilka är de tre talen?

b) Yasmine påstår att man kan bestämma de tre talen även om man bara känner till medelvärdet och medianen.

Är detta sant? Motivera ditt svar.

5 En veckas mätningar av kvävedioxid på en trafikerad gata har visat följande:

Den 98:e percentilen för medelvärdet under en timme är 90 μg/m 3 (mikrogram per kubikmeter).

2 Under en säsong spelar Kevin golf 13 gånger. Hans resultat under säsongen blev:

81 82 100 86 89 91 85 91 99 87 101 83 95

a) Bestäm medianen.

b) Bestäm nedre och övre kvartil.

c) Är det sant att kvartilavståndet är mindre

än halva variationsbredden?

Motivera ditt svar.

d) Presentera Kevins resultat i ett lådagram.

3 Figuren visar två normalfördelningskurvor.

Är det sant att

a) B har ett större medelvärde än A

b) B har mindre standardavvikelse än A?

Motivera ditt svar. 812 10 46

Förklara vad det betyder.

6 Vid ett språktest deltog 200 elever från

Skola A och 200 elever från Skola B.

Maximipoängen var 80.

Resultatet framgår av lådagrammen.

Kan lådagrammet för samtliga 400 elever ha följande utseende? Motivera ditt svar.

7 Ett normalfördelat material har medelvärdet µ.

47,7 % av värdena återfinns i intervallet

a ≤ x ≤ µ.

a) Teckna ett uttryck för standardavvikelsen.

b) I vilket intervall finns ca 95 % av värdena symmetriskt fördelade runt medelvärdet?

Med digitala verktyg 1

8 Priset på en dator av samma modell i fem slumpvist utvalda butiker var (kr):

5 395 5 495 5 995 6 495 6 595

a) Bestäm medianen, variationsbredden, medelvärdet och standardavvikelsen.

b) Priset 5 495 kr ändras till 5 795 kr och priset 6 495 ändras till 6 195 kr.

Bestäm samma statistiska mått som i a).

c) Ange vilka av de statiska måtten i a) som förändras då priserna ändras. Förklara varför.

9 Roger har konstaterat att vikten på de räkor han fångar är normalfördelade med medelvärdet 12 g och standardavvikelsen 2 g.

a) Hur stor andel av räkorna väger mellan 10 g och 16 g?

b) De räkor som väger mindre än 8 g går inte att sälja. Hur många räkor kan han sälja om han fångar 3 000 räkor?

c) Hur många räkor behöver han fånga för att få 500 räkor som väger 15 g eller mer?

10 Diagrammet visar längden hos de barn som föddes på ett sjukhus under en vecka.

Bestäm med hjälp av diagrammet

a) medianen

b) den 25:e percentilen

c) den övre kvartilen

d) kvartilavståndet. 3

11 Fem olika positiva heltal har medelvärdet 60, medianen 70 och variationsbredden 90. Ett av talen är 55.

Undersök vilka de andra talen kan vara.

12 En forskare väljer slumpmässigt ut några päron från ett genmodifierat päronträd och väger dem.

De väger (i gram):

145 176 123 132 196

171 169 117 154 146 165 151 156 129 160

a) Beräkna medelvärde och standardavvikelse för detta stickprov.

b) För ett annat stickprov på 10 päron är medelvärdet 160 g och standardavvikelsen 23,5 g.

Vad händer med medelvärdet och standardavvikelsen i detta stickprov om ytterligare två päron med vikterna

140 g och 180 g räknas med?

Utan digitala verktyg 1

1 Lös ekvationerna.

a) (x + 5)(3 x – 12) =0

b) 2 x 2 – 18 x = 0

c) x 2 + 6 x – 16 = 0

Blandade övningar 1− 3

Blandade övningar 1

2 Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

a) ( x – 3)2 + 6 x

b) x (2 x + 3) – 2 x(1 + 3 x)

3 Lös ekvationssystemet.

9 Lös ekvationerna och svara exakt.

a) x 2 = 3 x c) 3 x = 2

b) 10 x = 3 d) 5 ∙ lg x = 10

10 En figur har formen av en kvadrat med sidan a cm, a > 3.

210

210 xy xy

4 Förenkla uttrycket.

(x – 8)(x + 8) – (8 + x 2)

5 En andragradsfunktionen f ges av f ( x) = 10 x – 2 x 2

a) Ge exempel på en punkt som ligger på grafen till f.

b) Ange funktionens nollställen.

c) Ange symmetrilinjen till funktionens graf.

6 Ge ett förslag på vad som kan stå i rutan för att likheten ska gälla.

2 = 25 x 2 − 20 x + 4

7 Längden hos 200 män i en grupp var normalfördelad med medelvärdet 175 cm.

I gruppen hade 30 män en längd över 185 cm.

Hur många av männen i gruppen hade en längd

a) mellan 175 cm och 185 cm b) under 165 cm?

8 För en funktion f gäller att f ( x) = ( x – 1)2

Bestäm a så att f (a) = 1.

11

Två av kvadratens motstående sidor förlängs med 3 cm och de båda andra sidorna förkortas med 3 cm.

• Alice påstår att figurens area har minskat.

• Brian menar att figurens area har ökat.

• Cia säger att figurens area är oförändrad.

Vem har rätt? Motivera ditt svar. 2

x y 1 1

Ekvationen till linjen i figuren bildar tillsammans med ekvationen 2 y − 3 x = 42 ett ekvationssystem.

Bestäm ekvationssystemets lösning.

12 Lös ekvationssystemet.

5 3 05

62 15 0 x y xy ,

13 En ekvation har lösningen x = 2. Ge ett exempel på ekvationen om den är en

a) potensekvation b) exponentialekvation. a

14 Är påståendet om andragradsfunktionen

y = f ( x) sant eller falskt?

Motivera ditt svar.

A Ekvationen f ( x) = 0 har bara en lösning.

B f (2) > 1

C Funktionen saknar x-term.

D Koefficienten framför x 2 -termen i funktionens formel är mindre än noll.

E Ekvationen f ( x) = 4 – x saknar reell lösning.

15 Lös ekvationen.

2( x – 3)2 + ( x + 5)( x – 3) = 0

16 Figuren visar grafen till en exponentialfunktion som går genom de markerade punkterna.

Bestäm ekvationen för exponentialfunktionen.

(0, 4) x y

(2, 9)

17 Summan av två tal är 40 och summan av talens kvadrater är 1 000.

Vilka är talen?

18 Förenkla uttrycken.

a) ab 2 2 –ab 2 2

b) 31010 2 lg lg aa a

c) ( 10 ab – 5ab )( 10 ab + 5ab ) y x 1 y = f (x ) 1

19 På en filmfestival tillfrågades 12 personer om hur många filmer de hade sett under festivalen. De 12 svaren redovisas i lådagrammet.

Det var endast två personer av de tolv som hade sett 3 filmer. Hur många av de tolv personerna kan ha sett 2 filmer?

20 Ett närmevärde till lg 50 är 1,7. Bestäm med hjälp av detta lösningen till ekvationen 10 x = 2 500.

21 Lös ekvationen.

f (a + 1) + f (a – 1) = 14 där f ( x) = x 2 + x

22 För vilket värde på c har kurvan

y = x 2 – 8 x + c sin minimipunkt på x-axeln?

23 Lös ekvationen 8 4 x + 8 4 x = 213 0 2 4 6 Antal

32 a) och b)

c : y = x2 + 2x +1

d : y = (x 3)2 + 2(x 3) + 1

e : y = (x + 2)2 + 2(x + 2) + 1 e c d 12 3 456 7 ‒1 ‒3 ‒2 0 1 2 3 4 5 6 y x

Blandade övningar 1–2

1 x y 3 7

2 A Graf f

11 Ja, k = –2/3

Motivering: Linje 1: y = kx + 2

Linje 2: 2 x + 3 y + 2 = 0

kan skrivas y = –2 3 x –2 3

d = –3 förskjuter grafen 3 steg åt höger.

d = 2 förskjuter grafen 2 steg åt vänster.

c)

c : y = 5 0.75x

d : y = 5 0.75x 3

e : y = 5 0.75x + 2 e c d

B Graf g

C Graf h

Ledtråd:

Bestäm någon punkt på grafen eller ta fram symmetrilinjen.

3 7 + 2 y

4 (–4, 5)

Ledtråd: För grafen till en andragradsekvation gäller att symmetrilinjen ligger mitt emellan punkter med samma y-värde.

5 a) x = 41/5

b) Saknar reella rötter.

c) y1 = 0 y2 = –3

d) x = lg 2

e) a1 = 0 a 2 = 8 f) b1 = –1 b2 = –13

6 Uttrycken B och F

Lösning:

d = –3 förskjuter grafen 3 steg åt höger.

d = 2 förskjuter grafen 2 steg åt vänster.

d) Motsvarande gäller för linjära funktioner.

d = –3 förskjuter grafen 3 steg åt höger.

d = 2 förskjuter grafen 2 steg åt vänster.

e) Grafen förskjuts d steg åt höger om d < 0 och d steg åt vänster om d > 0.

Förklaring: f ( x + d ) antar samma värde som f ( x), för x-värden som är x + d. T.ex. f (10 + 1) = f (11) 12 34 ‒1 ‒3 ‒4 ‒5 ‒2 0 1 2 3 4 5 y x

7 a = –2/5 = –0,4 b = 10

8 Ekvation 1 och lösning B Ekvation 2 och lösning C Ekvation 3 och lösning A

9 a) 18 – 6 x b) –6 x 2 + 21 x – 18

10 5(2 a + b)(2 a – b)

Om linjerna har samma k-värde (och olika m-värde) är de parallella och skär aldrig varandra.

12 Uteplatsen har måtten 3 m × 8 m eller 7 m × 12 m.

13 Den andra skärningspunkten är (–3, –6)

Ledtråd: Använd bråkräkning vid ekvationslösning.

14 2 x 2 + 2

15 a) B 0 < a < 1

Motivering: Grafen beskriver en exponentiell minskning.

Förändringsfaktorn a är mindre än 1 och alltid större än 0.

b) C = 540 a = 1 3

Lösning: y = C · a x

Vi sätter in värdena i de två punkterna:

C · a 1 = 180

C · a 3 = 20

Vi löser ut C ur den första ekvationen

C = 180 a och sätter in i den andra ekvationen

180 a · a 3=20

a 2 = 20 180

a 2 = 1 9

a = 1 3 (a > 0)

C = 180 13 / = 180 · 3 = 540

c) y = 1 620 då x = –1

16 Talen är 1,5 och 3,5.

Ledtråd:

Lös ekvationssystemet

xy

xy 5 14 5 22 ,

17 f(x) = –2 x – 4

18 19 19 a) f(10) ≈ 58 Efter 10 år är landets befolkning 58 miljoner.

x f (x ) g (x ) f ( g (x )) g (f (x ))

2 3 9 80 16

–3 8 4 15 81

b) Efter ca 21 år.

20 a) • 73 · 74 = 5 402

• 73 + 732 = 5 402

• 2,5 · 3,5 = 8,75

• 2,5 + 2,52 = 8,75

b) • x(x + 1) = x 2 + x

• x + x 2

Svaret är alltid x + x 2

21 a) 16,6 meter över marken.

Ledtråd: Rita grafen i ett grafritande verktyg eller bestäm symmetrilinje och största värde.

b) Ja, bollen passerar över.

Motivering: h(50) = 11 betyder att bollen är på 11 meters höjd 50 m från utslagspunkten.

22 7 000 kr respektive 3 000 kr.

Lösning: Insatt belopp på de två kontona: x kr och y kr

En ökning med 3,5 % ger nya beloppet 1,035 x kr.

En minskning med 1,8 % ger nya beloppet 0,982 y kr.

Vi får ett ekvationssystem som vi kan lösa med ett digitalt verktyg.

Ekv1 : x + y = 10000

A = Skärning(Ekv1, Ekv2)

Ekv 2 : 1.035x + 0.982y = 10191 (7000, 3000)

23 a) Minskningen var 11 %. b) År 2010.

Ledtråd: Lös ekvationen

12 000 ∙ 1,065 x = 20 000

24 b = 480

25 a = –2

Ledtråd: Börja med att bestämma extrempunktens koordinater.

26 Det återstod 71 %.

27 a) Falskt.

Förklaring: Graferna till en rät linje och en andragradsfunktion kan ha två, en eller sakna skärningspunkter.

28 23 cm över marken.

Ledtråd: Andragradsfunktionen kan skrivas

y = 0,04 x 2 + 10

om origo placeras på marken under mitten på fågelbadet.

Kapitel 3

3103 a) Typvärdet = 24 °C

Medianen = 25 °C

Medelvärdet = 26 °C

b) Medelvärdet = 27 °C

Typvärdet och medianen är oförändrade.

3104 a) Nej.

Motivering: Ett värde är mycket högre än övriga.

Medelvärdet kommer därför att vara högre än medianen.

b) Medelvärde ≈ 39 000 kr

Median = 32 000 kr

Lösning: Vi skriver in lönerna i ett kalkyl-program och låter programmetberäkna värdena.

Sta s k

Medel

b) Sant.

Förklaring: Graferna till två andragradsfunktioner kan ha två, en eller sakna skärningspunkter.

3105 Medelpriset är 218 kr.

3106 a) 30 st

b)

c) Medelvärde ≈ 10,5 poäng

Median = 10 poäng

7000 Matematik

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2025.

Matematik 7000 är ett modernt och heltäckande läromedel anpassat till den nya gymnasieskolan Gy25. Med bokens tydliga progression får eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

I Matematik 7000 hittar du:

Nivå 2b digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter utvecklande och utmanande uppgifter på alla svårighetsgrader aktiviteter, teman och historik som bidrar till en varierad undervisning kapitelavslutning med testa dig själv och blandade övningar

utförligt facit med många lösningar och ledtrådar elevwebb och digital lärarhandledning.

LENA ALFREDSSON SANNA BODEMYR HANS HEIKNE