9789127463813

Matematik 5000

Varje kapitel har följande innehåll och struktur

KAPITELSTART

Centralt innehåll

Med andra ord Inledande aktivitet

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER

Integral och area

En bil kör med konstant hastighet, v = 25 m/s.

Hur långt hinner bilen från t = 0 s till t = 6 s?

Sträckan ges av formeln s = v · t s = 25 m/s · 6 s = 150 m

2315 Derivera med deriveringsreglerna.

b) f ( x) = 5e 3 x

b)

ÖVNINGSUPPGIFTER

Exponenten ändras inte.

REPETITIONSUPPGIFTER

2315

Derivera med deriveringsreglerna.

b) f ( x) = 5e 3 x

1225 Lös ekvationerna.

a) x(x + 3)(x – 4)(2 x + 4) = 0

b) 2 x(x – 5)2 = 0

c) x ( x 2 – 16) = 0

d) (x – 2)(x 2 – 6 x – 7) = 0

1226 Den totala kostnaden K kronor för att producera x detaljer i en mekanisk verkstad kan beskrivas med

K( x) = 16 000 + 50 x + 0,2 x 2

a) Beräkna kostnaden för att producera 450 detaljer.

b) Hur många detaljer kan produceras för 100 000 kr?

I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator). Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg. Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller ekvationslösande.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.

VARIATION I UNDERVISNINGEN

Aktivitet

Derivatans värde på flera sätt

Programmering

Derivering med programmering

Tema

Nuvärde och annuitet

Historik

Matematik till och från Sverige

KAPITELSLUT

Sant eller falskt?

För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.

Sammanfattning 4

En aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till ekonomi, samhälle och estetiska ämnen.

Kan du det här?

BEGREPP PROCEDUR

Testa dig själv 4

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

Blandade övningar 4

Blandade övningar 1–4

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

Innehåll

1. Algebra och funktioner 8

Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 9

1.1 Polynom och algebra 10

Repetition – Räkneregler 10

Repetition – Potenser och potensekvationer 12

Polynom 15

Tema: Pascals triangel 18

1.2 Polynomekvationer 19

Enkla polynomekvationer 19

Programmering: Ekvationslösning med intervallhalveringsmetoden 22

Mer om polynomekvationer 24

1.3 Rationella uttryck 27

Vad menas med ett rationellt uttryck? 27

Förkorta rationella uttryck 29

Ekvationer och rationella uttryck 33

Multiplicera och dividera rationella uttryck 37

1.4 Funktioner 40

Repetition – Funktionsbegreppet 40

Aktivitet: Funktioner och nollställen 44

Polynomfunktioner av grad 2 45

Polynomfunktioner av högre grad 50

Tangent 54

Sekant 57

Gränsvärde 60

Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats 64

Aktivitet: Sant eller falskt? 65

Sammanfattning 1 66

Kan du det här? 68

Testa dig själv 1 69

Blandade övningar 1 70

2. Derivata 74

Inledande aktivitet: Hastighet och lutning 75

2.1 Ändringskvoter och derivata 76

Ändringskvoter 76

Begreppet derivata 81

Aktivitet: Rita tangent och bestäm derivatan 86

Numerisk derivering och derivering med

digitalt verktyg 87

Programmering: Derivering med programmering 90

Derivatans definition 92

2.2 Deriveringsregler 95

Derivatan av polynomfunktioner 95

Mer om derivatan av polynomfunktioner 99

Aktivitet: Derivatans värde på flera olika sätt 101

Derivatan av potensfunktioner 102

Tangenter och derivata 105

Deriverbarhet 108

Historik: Tangenter och derivata 110

2.3 Derivatan av exponentialfunktioner 111

Exponentialfunktioner 111

Aktivitet: Talet e 114

Talet e och derivatan av f ( x ) = e k x 115

Naturliga logaritmer 119

Derivatan av f ( x ) = a x 123

Tillämpningar och problemlösning 125

Aktivitet: Sant eller falskt? 129

Sammanfattning 2 130

Kan du det här? 132

Testa dig själv 2 133

Blandade övningar 2 134

Blandade övningar 1–2 137

3. Kurvor, derivator och integraler 140

Inledande aktivitet: Max och min 141

3.1 Vad säger derivatan om funktionens graf? 142

Växande och avtagande 142

Extrempunkter och terrasspunkter 145

Andraderivatan 150

Andraderivatan och funktionens graf 151

Aktivitet: Funktioner och derivator 156

Funktionens graf och derivatornas grafer 158

Största och minsta värde 161

Historik: Matematik till och från Sverige 164

3.2 Problemlösning med derivata 165

Extremvärdesproblem 165

Aktivitet: Vem tillverkar största lådan? 168

Fler extremvärdesproblem 169

Tillämpningar och problemlösning 173

3.3 Från derivata till funktion 177

Primitiva funktioner 177

Primitiva funktioner med villkor 180

Integral och area 182

Aktivitet: Finn arean 187

Integralberäkning med primitiv funktion 188

Programmering: Integraler med programmering 192

Mer om integraler 194

Tillämpningar och problemlösning 198

Aktivitet: Sant eller falskt? 201

Sammanfattning 3 202

Kan du det här? 204

Testa dig själv 3 205

Blandade övningar 3 206

Blandade övningar 1–3 209

4. Geometrisk summa och linjär optimering 3b 214

Inledande aktivitet: Talföljder 215

4.1 Geometrisk summa 216

Geometrisk talföljd och geometrisk summa 216

Aktivitet: Hur högt studsar bollen? 220

Tillämpningar 221

Tema: Nuvärde och annuitet 224

4.2 Linjär optimering 226 System av olikheter 226

Rita system av olikheter 232

Största och minsta värde i ett område 235

Tillämpningar 240

Programmering: Maximal ersättning 246

Aktivitet: Sant eller falskt? 248

Sammanfattning 4 249

Kan du det här? 250

Testa dig själv 4 251

Blandade övningar 4 252

Blandade övningar 1–4 254

5. Trigonometri 3c 260

Inledande aktivitet: Trigonometri i rätvinkliga trianglar 261

5.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 262

Repetition 262

Några exakta trigonometriska värden 265

5.2 Trigonometri och enhetscirkeln 266

Enhetscirkeln 266

Aktivitet: Enhetscirkeln 270

Trigonometriska ekvationer 272

5.3 Trigonometri för godtyckliga trianglar 275

Areasatsen 275

Sinussatsen 278

När ger sinussatsen två fall? 280

Cosinussatsen 284

Tillämpningar och problemlösning 288

Programmering: Heronska trianglar 292

Aktivitet: Sant eller falskt? 294

Sammanfattning 5 295

Kan du det här? 296

Testa dig själv 5 297

Blandade övningar 5 298

Blandade övningar 1–5 300

Repetitionsuppgifter 306

Svar, ledtrådar och lösningar 314

Register 373

ALGEBRA OCH FUNKTIONER

Ordet polynom kommer från de grekiska orden poly ”många” och noma ”namn”.

Med hjälp av polynom skapar vi funktioner som vi kan använda som modeller i många olika situationer. Verktygen för detta finner vi inom algebran.

• Begreppet rationellt uttryck samt hantering av rationella uttryck.

• Begreppet polynom och egenskaper hos polynomfunktioner.

• Metoder för att lösa enklare polynomekvationer.

• Begreppen sekant, tangent och gränsvärde.

• Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i karaktärsämnen och samhällsliv.

• Användning av digitala verktyg, inklusive symbolhanterande verktyg och programmering.

Vi börjar med begreppet polynom och en repetition av några algebraiska regler och lagar.

Du får repetera och fördjupa dina kunskaper om förenkling av uttryck och lösning av ekvationer.

Med hjälp av nya matematiska begrepp får du vidga och fördjupa dina kunskaper om olika typer av funktioner.

Centralt innehåll

Med andra ord

Inledande aktivitet

VILKA UTTRYCK ÄR LIKA?

Arbeta tillsammans två och två.

Dela ett A4-papper så att ni får 16 papperslappar.

På lapparna skriver ni följande matematiska uttryck (ett uttryck per lapp).

Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp.

1.1 Polynom och algebra

Repetition – Räkneregler

Vi börjar med en kort repetition av några regler och lagar.

Parentesreglerna

a + (b + c) = a + b + c

a – (b + c) = a – b – c

a – (b – c) = a – b + c

Kvadreringsreglerna (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b2 (a – b)2 = a 2 – 2 ab + b2

1101 Förenkla så långt som möjligt.

Distributiva lagen

a(b + c) = ab + ac

(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd

Konjugatregeln

(a + b)(a – b) = a 2 – b2

a) (x + 3)(x – 3) c) 3 x (x + 2) – 7x

b) (2 x – 1)(x – 4) d) 32 – 2(x – 4)2

a) (x + 3)(x –

konjugatregeln

d) 32 – 2(x – 4)2 = = 32 – 2(x 2 – 8 x + 16) = = 32 – 2 x 2 + 16 x – 32 = –2 x 2 + 16 x

kvadreringsregeln

1102 Utveckla och förenkla (3a + 5)2 – (2 a – 3)(2 a + 3)

a) för hand b) med symbolhanterande verktyg.

a) (3a + 5)2 – (2 a – 3)(2 a + 3) = = 9a 2 + 30 a + 25 – (4 a 2 – 9) = = 9a 2 + 30 a + 25 – 4 a 2 + 9 = = 5a 2 + 30 a + 34

kvadreringsregeln och

konjugatregeln

b) Symbolhanterande verktyg kan bl.a. förenkla och lösa ekvationer.

( ( Förenkla (3a + 5)2 (2a 3)(2a + 3) 5a2 + 30a + 34

Svar: 5a 2 + 30 a + 34

i vissa digitala verktyg behöver man ändra variabeln a till x

1103 Förenkla så långt som möjligt.

a) 8 x + 7 – 2 x + 1

b) 3 x + 6 – 5 x + 2

c) 15y – 6 x – 14y + 3 x

d) t 2 – t + 4t 2 – 7t – 9

1104 Multiplicera in

a) 2(3 x – 4) c) x(x 2 – 3 x)

b) x(5 x + 2) d) 5 x(2 x 2 – x + 4)

1105 Förenkla så långt som möjligt.

a) 3 x – (x + 5) c) 3 x 2 + x(2 x – 1)

b) 2(3 x – 4) + 1 d) 5 – 2(4x – 3)

1106 Utveckla och förenkla.

a) (x + 2)(x + 3) c) (x + 3)(2 x – 4)

b) (x – 5)(x + 4) d) (a + b)(2 a + b)

1107 Utveckla med konjugatregeln.

a) (x + 4)(x – 4) b) (2 x – 5)(2 x + 5)

1108 Utveckla med kvadreringsreglerna.

a) (a + 5)2 c) (3 x + 4)2

b) (3 – y)2 d) (2 x – y)2

1111 Förenkla så långt som möjligt.

a) (x + 6)(x – 6) – 36

b) 25 x – (5 – x)(5 + x)

c) x 2 – (x – 6)2

d) 5 x + (2 x – 1)(x – 3)

1112 Förenkla så långt som möjligt.

a) 3 x(x + 2) – (x – 5)2

b) 2(a + 4)2 – (a + 3)(a – 3)

c) (x + y)2 – (6 x + y2)

d) Förenkla alla uttrycken med symbolhanterande verktyg. 2

1113 Förenkla så långt som möjligt.

a) (–5 x)2 – 5 x 2 + (5 x)2

b) (2 x + 3)2 – (2 x – 1)(2 x + 1)

c) x( x + 1)2 – x 3

1114 Utveckla och förenkla.

a) 5 x 2 – 4(2 x – 3)( x – 5)

b) 3(a – b)2 – 2(a – b)2

c) ( x – 2)3

d) ( x – 1)x + ( x 2 – 2 x – 4)( x + 1)

1109

a) Förenkla summan av uttrycken i kolumnen i mitten.

b) Diagonalerna i figuren har samma summa som kolumnen i mitten.

Vad ska stå i stället för A respektive B?

1110 Beräkna värdet av uttrycket

2(a – 2)2 – 2 a(a – 3) om a = 4

a) före förenkling

b) efter förenkling.

1115 Utveckla och förenkla.

a) 2 x( x + y) – 2 y( x – y)

b) 2 (x + 1 2 )2 – 2 (x –1 2 )2

c) 2 x( x + y)2 – 2 y( x – y)2

1116 Utveckla och förenkla.

a) (2 a + 5)3

b) (a + b + 5)(a – b – 5)

c) (a 3 – b2 )2 3

1117 Förenkla uttrycket xx xx x

22 2 1

så långt som möjligt.

Programmering

Ekvationslösning med intervallhalveringsmetoden

Lös ekvationen x 3 – 7x 2 + 29 = 0.

1 FÖRSTÅ

När vi saknar algebraisk metod för att lösa en ekvation kan vi använda oss av intervallhalveringsmetoden. Den bygger på följande resonemang:

Anta att funktionen y = f ( x) har en sammanhängande graf och att f (a) och f (b) har olika tecken. Då har funktionen ett nollställe någonstans i intervallet a ≤ x ≤ b, dvs. ekvationen f ( x) = 0 har en rot i intervallet.

Genom att dela intervallet på mitten och jämföra funktionsvärdet för mittpunkten, f (m), med f (a) och f (b) kan vi ta reda på i vilken halva funktionens nollställe finns. Om denna intervallhalvering upprepas många gånger blir intervallet allt mindre och roten till ekvationen f ( x) = 0 kan bestämmas tillräckligt noggrant.

2 PLANERA

A Resultat

När vi kör programmet vill vi att det skriver ut följande resultat:

Ekvationen har en rot x = där en rot till ekvationen ska stå istället för strecket.

B Lösning

Med hjälp av ett grafritande verktyg kan vi se att funktionen f ( x) = x 3 – 7x 2 + 29 har tre nollställen, varav ett i intervallet 2 ≤ x ≤ 3.

Vi börjar med att söka roten i detta intervall och bestämmer därför intervallets mittpunkt m:

m = (a + b)/2 = (2 + 3)/2 = 2,5

Eftersom f (2) ∙ f (2,5) > 0 finns roten i intervallet 2,5 ≤ x ≤ 3.

Den nya mittpunkten blir då:

m = (2,5 + 3)/2 = 2,75

Eftersom f (2,5) ∙ f (2,75) < 0 finns roten i intervallet 2,5 ≤ x ≤ 2,75.

Intervallhalveringen upprepas tills intervallets längd är 0,001, vilket innebär att vi har hittat roten med tre decimalers noggrannhet.

C Variabler

Programmet ska använda följande variabler:

• a för den nedre gränsen i intervallet

• b för den övre gränsen i intervallet

• m för mittpunkten mellan a och b.

D Algoritm

Programmet ska skrivas i följande ordning:

• Definiera funktionen f( x) = x 3 – 7x 2 + 29.

• Spara värdet 2 i a och värdet 3 i b.

• Så länge b – a > 0,001 ska (a + b)/2 sparas i m och

om f (a) ∙ f (m) < 0 ska m sparas i b, annars ska m sparas i a

• Skriv ut ekvationens rot, dvs. värdet på m, avrundat till tre decimaler.

3 GENOMFÖRA KODA

I programspråket Python3 skriver vi programmet så här:

def f(x):

return x**3 - 7*x**2 + 29

a = 2

b = 3

while b - a > 0.001:

m = (a + b)/2

if f(a)*f(m) < 0:

b = m

else:

a = m

print("Ekvationen har en rot x =", round(m,3))

4 TESTA OCH VÄRDERA

Programmet hittar ett närmevärde till en av ekvationens rötter. Det kräver dock att man känner till i vilket intervall roten finns.

Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.

1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar.

2 Ändra i programmet så att det hittar roten till ekvationen x 3 – 7x 2 + 29 = 0 i intervallet

a) –2 ≤ x ≤ –1

b) 6 ≤ x ≤ 7

3 Använd programmet för att hitta en rot till

a) ekvationen 25 x4 – 149x 2 + 196 = 0, där roten ligger i intervallet 0 ≤ x ≤ 2

b) ekvationen x 5 – 2 x + 1 = 0, där roten ligger i intervallet –5 ≤ x ≤ 0.

4 Använd programmet för att hitta samtliga nollställen till funktionen

f (x) = x 5 – 3 x 4 – 4 x 3 + 12 x 2 – 2

Mer om polynomekvationer

Vi börjar med att repetera hur man löser andragradsekvationer av typen x 2 + px + q = 0. Vi använder den lösningsformel som ofta kallas pq-formeln.

ekvationen x 2 + px + q = 0 har rötterna

x = – p 2 ± p q 2

Lösningsformeln börja med att faktorisera.

2 Om uttrycket under rottecknet, som kallas diskriminanten, är mindre än noll saknar ekvationen reella rötter.

Polynomekvationer av högre grad Tredjegrads- och fjärdegradsekvationer kan vi i vissa fall lösa med hjälp av metoderna för att lösa andragradsekvationer.

När vi inte kan lösa en polynomekvation algebraiskt kan vi i stället använda grafritande eller symbolhanterande verktyg.

1218 Lös ekvationen x 3 + 6 x 2 – 16 x = 0.

x 3 + 6 x 2 – 16 x = 0

x(x 2 + 6 x – 16) = 0

x = 0 eller x 2 + 6 x – 16 = 0

x = –6 2 ± 6 2 16 2

x = –3 ± 25

x = –3 ± 5

Svar: x 1 = 0 x 2 = 2 och x 3 = –8

1219 Lös ekvationen x 3 – 20 x = 0.

x 3 – 20 x = 0

x( x 2 – 20) = 0

x = 0 eller x 2 – 20 = 0

x 2 = 20

x = ± 20

nollproduktmetoden och lösningsformeln ger lösningen.

börja med att faktorisera.

nollproduktmetoden och kvadratrotsmetoden ger lösningen.

Svar: x 1 = 0 x 2 = – 20 x 3 = 20

1220 Lös ekvationen x 3 – 2 x 2 – x + 2 = 0 med digitalt verktyg.

Vi kan inte lösa ekvationen algebraiskt, därför löser vi den med grafritande eller symbolhanterande verktyg.

Med grafritande verktyg: Med symbolhanterande verktyg:

Vi ritar grafen till y = x 3 – 2 x 2 – x + 2

och avläser x-värdena där y = 0.

f : y = x3 2x2 x + 2

A = ( 1, 0)

B = (1, 0)

C = (2, 0)

Svar: x 1 = –1 x 2 = 1 och x 3 = 2

Lös (x3 2x2 x + 2 = 0)

x = 1, x = 1, x = 2

1221 Lös ekvationerna.

a) x 2 – 4x + 3 = 0

b) x 2 + 8 x – 9 = 0

c) y 2 – 3y + 4 = 0

d) y 2 – 3y = 0

1222 Lös ekvationerna.

a) 2 x 2 + 24x + 70 = 0

b) 5 x 2 – 50 x + 90 = 10

c) 8 z 2 – 8z + 2 = 0

d) 10 y – y 2 = 9

1223 Lös ekvationerna. Börja med att bryta ut x.

a) x 3 – 9x = 0

b) x 3 – 4 x = 0

c) x 3 + 2 x 2 – 8 x = 0

d) 2 x 3 – 40 x 2 + 198 x = 0

1224 Lös ekvationen x 3 – 2,6 x 2 – x + 1,6 = 0. Svara med två decimaler. Använd

a) grafritande verktyg

b) symbolhanterande verktyg.

1225 Lös ekvationerna.

a) x(x + 3)(x – 4)(2 x + 4) = 0

b) 2 x(x – 5)2 = 0

c) x ( x 2 – 16) = 0

d) (x – 2)(x 2 – 6 x – 7) = 0

1226 Den totala kostnaden K kronor för att producera x detaljer i en mekanisk verkstad kan beskrivas med

K( x) = 16 000 + 50 x + 0,2 x 2

a) Beräkna kostnaden för att producera 450 detaljer.

b) Hur många detaljer kan produceras för 100 000 kr?

1227 Elly löser tredjegradsekvationen

2 x 3 – 2 x = 0 i tre steg:

1. Hon dividerar båda leden med 2 och får x 3 – x = 0

2. Hon dividerar båda leden med x och får x 2 – 1 = 0

3. Hon löser ekvationen med kvadratrotsmetoden. Hon skriver x 2 = 1 och får lösningen x1 = 1, x2 = –1.

a) Hon gör fel i ett av stegen. Förklara vad som är fel.

b) Visa en korrekt lösning.

1228 Bestäm x så att cylindern och kuben får samma volym.

1233 En bakteriekulturs tillväxt kan beskrivas enligt formeln

N( x) = 2 500 + 350 x + 25 x 2

där N( x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början.

Hur lång tid tar det innan antalet bakterier har fördubblats?

1234 Ekvationen x4 – 5 x 2 + 4 = 0

kan lösas genom att sätta t = x 2 .

Vi får då andragradsekvationen

t 2 – 5t + 4 = 0, som vi löser:

t = 5 2 ± 5 2 4 2

t = 5 2 ± 25 4 16 4

t = 5 2 ± 3 2

t1 = 4 och t2 = 1

Detta ger

x 2 = 4 med rötterna

1229 En tredjegradsekvation har lösningen x 1 = 0, x 2 = –2 och x 3 = 4.

Ekvationen kan skrivas x 3 + bx 2 + c x = 0.

Bestäm konstanterna b och c

1230 Lös ekvationerna.

a) 4(3 – 3 x)(8 – 2 x 2) = 0

b) 3( y2 + 5) = 12 y

c) 10 x 2 + 3 x – 1 = 0

d) 4 x 4 + 4 x 3 + x 2 = 0

e) x 2 + 5 3 x –2 3 = 0

f) 4 x 3 – 7x 2 – 2 x = 0

1231 Summan av kvadraterna av tre på varandra följande heltal är 869. Vilka är talen?

1232 Ekvationen x 2(4 x + 5a) = 0 har rötterna x = 0 och x = 2.

Vilket värde har a?

x = 2 och x = –2

x 2 = 1 med rötterna

x = 1 och x = –1

Ekvationens lösning är

x 1 = 2 x 2 = –2 x 3 = 1 x4 = –1

Lös på motsvarande sätt ekvationerna.

a) x4 – 10 x 2 + 9 = 0

b) 2 x4 – 4x 2 – 16 = 0

c) x 6 – 2 x 3 – 3 = 0

1235 Lös ekvationerna.

a) x 2 (x + 1) – 64(x + 1) = 0

b) (x 3 – 3 x 2) – (2 x – 6) = 0

1236 I ekvationen 4 x 2 – (2 – k)2 = 0

är k en konstant.

Lös ekvationen och förenkla så långt som möjligt.

Aktivitet

Derivatans värde på flera olika sätt

I den här aktiviteten ska du bestämma derivatans värde. Syftet är att du ska repetera och jämföra alla metoder du lärt dig för att bestämma derivatans värde i en punkt.

Materiel: Digitala verktyg

Filip släpper en liten sten från en klippa som är 100 m hög. Stenens höjd över vattnet, h(t) meter, efter t sekunder ges av funktionen

h(t) = 100 – 5t 2

I figuren visas grafen till funktionen.

1 Bestäm stenens hastighet efter 2 sekunder med så många olika metoder som möjligt.

2 Ange om metoderna ger ett exakt eller approximativt (ungefärligt) värde.

3 I vilka fall är respektive metod lämplig?

Historik

Tangenter och derivata

Innan derivatans intåg var metoderna för att bestämma tangenter krångliga eller gällde bara specialfall.

De gamla grekiska matematikerna hade olika metoder för att konstruera räta linjer som tangenter till bl.a. cirklar, ellipser och parabler. Genom århundraden utvecklade matematiker i bland annat Indien, Kina och dagens

Mellanöstern grekernas metoder samtidigt som de tog fram egna, men likt grekerna var de begränsade av att algebra och geometri hölls isär.

Det stora genombrottet kom när fransmannen

René Descartes (1596–1650) införde koordinatsystemet samt visade hur man kunde knyta ihop geometri och algebra. Descartes metod för att bestämma tangenter byggde på att anpassa en cirkel så att den bara hade en punkt gemensam med kurvan, vilket krävde en hel del beräkningar.

En landsman till Descartes, Pierre de Fermat (1601–1665), utvecklade en metod för att bestämma tangenter som byggde på likformighet och en typ av gränsvärde som kan ses som ett steg mot derivatan, se uppgift 3.

Det avgörande steget i utvecklingen av begreppet derivata togs av två nytänkare: engelsmannen Isaac Newton (1642–1727) och tysken Gottfried Willhelm Leibniz (1646–1716).

1 Grekerna definierade en tangent till att vara en linje som bara skär en cirkel eller en parabel i en enda punkt.

a) Undersök definitionen. Skissa en cirkel och en parabel med olika tangenter.

b) Undersök om definitionen gäller alla kurvor.

2 En metod att bestämma tangenten till y = x 2 i ( x, y), där x ≠ 0, är att anta att tangenten är den räta linje som skär y -axeln symmetriskt i (0, – y).

Skissa en figur och undersök om denna metod ger tangentens exakta lutning. (Pröva t.ex. med x = 1, x = 2 och x = a.)

Oberoende av varandra införde de derivatabegreppet samt de beteckningar och räknelagar som krävdes för olika tillämpningar.

De nya begreppen vann snabbt gehör bland 1700-talets vetenskapsmän, då de var kraftfulla verktyg för att beskriva föränderliga fenomen inom naturvetenskap och teknik.

(2+h, (2+h) )

(2, 4)

0)

(2 + h, 0)

h

a) Anta att O Q R är en triangel. Visa att detta ger att c ∙ ( 2 + h ) 2 = 4 ∙ ( c + h ).

b) Bestäm c genom att utveckla, förenkla, dividera med h samt till sist sätta h = 0.

c) Använd derivata, beräkna c och jämför.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Isaac Newton

Aktivitet

Finn arean

I den här aktiviteten ska du bestämma arean mellan en kurva och x-axeln i ett givet intervall. Syftet är att du ska upptäcka ett samband mellan funktionen f ( x) och areafunktionen A( x) för några enkla polynomfunktioner.

Ett intervall kan skrivas på olika sätt, t.ex. med hakparenteser. Intervallet a ≤ x ≤ b skrivs då [a, b].

3 Rita av tabellen och fyll i resultatet från uppgift 1 och 2 på de två första raderna. Vad tror du det ska stå på tredje och fjärde raden?

Vad finns det för samband mellan areafunk tionen A( x) och funktionen f ( x)?

a) Hur stor är arean under kurvan f ( x) = 3 i intervallet [0, 2]?

b) Hur stor är arean under kurvan f( x) = 3 i intervallet [0, 4]?

c) Ta fram en formel för arean A( x) under kurvan i intervallet [0, x].

a) Hur stor är arean under kurvan f( x) = x i intervallet [0, 2]?

b) Hur stor är arean under kurvan f( x) = x i intervallet [0, 4]?

c) Ta fram en formel för arean A( x) under kurvan i intervallet [0, x].

a) Använd sambandet mellan f ( x) och A( x) och bestäm arean under kurvan f ( x) = x 2 i intervallet [0, 3].

b) Kontrollera om ditt svar är rimligt genom att räkna rutorna i figuren.

3.3 FrÅn derivata till Funktion 187

OCH LINJÄR OPTIMERING 3b

Ibland kan vi se ett visst mönster i en följd av tal, som gör att vi kan beräkna talens summa med en formel. Detta kan vi bland annat använda vid ekonomiska beräkningar. Med hjälp av linjär optimering kan vi hitta bästa lösningen till matematiska problem där vi söker maximum eller minimum till funktioner som använder flera variabler.

Centralt innehåll

• Begreppet geometrisk summa.

• Metoder för att bestämma geometriska summor.

• Metoder för linjär optimering.

• Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i karaktärsämnen och samhällsliv.

Med andra ord

Du får lära dig grunderna om geometriska talföljder och summor. Med hjälp av en formel för geometrisk summa får du göra beräkningar inom bland annat ekonomi och medicin.

Du får lära dig att beskriva olika områden i ett koordinatsystem med hjälp av olikheter. Med detta och så kallad optimering får du t.ex. lära dig att beräkna maximal vinst vid en ekonomisk investering.

Inledande aktivitet

TALFÖLJDER

En talföjld är en följd av tal uppställda i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel. Varje tal har alltså ett bestämt ordningsnummer.

1 I talföljden 2, 6, 18, 54, … är varje tal tre gånger så stort som föregående tal.

a1 = 2

a 2 = 2 ∙ 3 = 6

a 3 = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 18

a4 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 54

a n = . . .

a) Bestäm det femte och det sjätte talet.

b) Det sjunde talet kan skrivas a7 = 2 ∙ 3 x Vilket är det sjunde talet och vilket värde har x?

2 Utgå från talföljden 1, 2, 4, 8, …

a) Vilket är det 5:e talet?

b) Vilket ordningsnummer har talet 64?

c) Vilket är det 10:e talet?

d) Skriv en formel för det n:te talet, a n

e) Bestäm med hjälp av formeln det 20:e talet i talföljden.

Nuvärde och annuitet

Nuvärde och annuitet är begrepp som används inom ekonomi. Det belopp som på ett konto med fast räntesats växer till, t.ex. 25 000 kr på 3 år, kallas för nuvärdet av 25 000 kr.

annuitet I samband med återbetalning av lån anges ibland annuiteten. Den är det fasta belopp som varje år ska betalas för lånet och består av ränta och amortering.

Exempel 1 David ska få 25 000 kr i gåva när han fyller 18 år. Hur stort belopp bör han få om han i stället får pengarna insatta på ett sparkonto med räntan 4,00 % på sin 15-årsdag?

Vi beräknar det belopp x kr som på 3 år växer till 25 000 kr.

x ∙ 1,04 3 = 25 000

x = 25 000 104 3 , = 22 224,90… ≈ 22 225

David bör få 22 225 kr. Detta är nuvärdet av 25 000 kr.

Exempel 2 Molly ska återbetala ett lån på 100 000 kr med lika stora annuiteter i slutet av varje år under en tioårsperiod. Vi ritar en tidslinje och anger vad varje annuitet x kr vuxit till vid slutet av det 10:e året om räntan är 6,00 %.

Värdet av de 10 annuiteterna (inbetalningarna) x med ränta ska vara detsamma som lånebeloppet med tio års ränta.

1 Medina ska enligt ett avtal få 80 000 kr om 2 år. Hur mycket ska Medina få idag om beloppet efter 2 år med 5 % ränta ska motsvara 80 000 kr?

2 Beräkna nuvärdet av 125 000 kr som ska betalas om sex år. Räkna med årsräntesatsen 4,25 %.

3 I en affärsuppgörelse ingår att Anton ska betala en skuld med 750 000 kr idag och 250 000 kr om 5 år. Räntesatsen är 3,50 %. Vad borde Anton betala om han i stället betalar hela skulden

a) idag b) om 5 år?

4 Vid slutet av ett år tog en husköpare ett lån på 2,5 miljoner kr. Lånet ska betalas tillbaka genom lika stora belopp (annuiteter) vid slutet av de följande 20 åren.

Hur stor ska annuiteten vara om årsräntan är 6,5 %?

5 I en amerikansk matematikbok står:

"If the amount borrowed is A, the interest rate is r % per repayment interval, and there are n repayments, we can find each repayment R by using the formula

6 En investering på 200 000 kr beräknas ge en årlig avkastning på 50 000 kr per år under en femårsperiod.

Den första avkastningen kommer ett år efter tidpunkten för investeringen. Räkna med räntesatsen 6,00 %.

a) Beräkna värdet av de fem avkastningarna vid det femte årets slut.

b) Beräkna nuvärdet av beloppet som du beräknade i a) och avgör om investeringen var lönsam.

7 Triss är ett av Sveriges populäraste spel. En vinnare kan få 100 000 kr i månaden varje månad i 25 år.

R = Ar r r

n n (, ), (, ) 10 01 001 10 01 1 +⋅ +−

Jämför ditt svar i uppgift 4 med det som formeln ger.

a) Vilken månadsränta motsvarar en årsränta på 4,00 %?

b) Vad är nuvärdet för hela trissvinsten om årsräntan är 4,00 %?

4.1 GEOMETRISK SUMMA

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.

1 I en geometrisk talföljd är differensen mellan ett tal och det närmast föregående konstant.

2 2, 4, 6, 8, 10, 12 är exempel på en geometrisk talföljd.

3 För en geometrisk talföljd, där summan av de 10 första talen kan beräknas med uttrycket

53 1 31

10 () , är det andra talet 45.

4 Talet 1 16 ingår i den geometriska talföljden

32, 8, 2, …

5 Summan 5 + 5 ∙ 1,1 + 5 ∙ 1,12 + … + 5 ∙ 1,110 har elva termer.

6 Den sjunde termen i den geometriska

summan i uppgift 5 är 5 ∙ 1,17

7 Summan 100 + 100 ∙ 1,04 + 100 ∙ 1,042 + … ... + 100 ∙ 1,04 20 är större än 5 600.

8 100 + 100 ∙ 0,96 + 100 ∙ 0,96 2 + …

... + 100 ∙ 0,96 n < 2 500 för alla värden på n.

9 Punkten (2, 5) ligger i det område som beskrivs av olikheten 2 y – 6 x > 0.

10 Det färgade området beskrivs av följande system av olikheter

10 15

x

11 Det största värdet m = 3 x + 4y kan anta i ett slutet område ges aldrig av en punkt på x- eller y-axeln.

Sammanfattning 4

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd är en följd av tal, uppställda i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel sådan att kvoten k av ett tal och det närmast föregående talet är konstant.

Det n:te talet i följden kan då skrivas

a n = a ∙ k n – 1

I den geometriska talföljden 5, 10, 20, 40, … är kvoten 2.

Formel för en geometrisk summa

Summan s av de n första talen i en geometrisk talföljd beräknas med formeln

s = k

n 1 1 a k

Exempel:

I den geometriska summan

64 + 64 · 0,5 + 64 · 0,52 + … + 64 · 0,57

är a = 64, k = 0,5 och n = 8

s = 64 05 1 05 1

8 , , () = 127,5

Modell med geometrisk talföljd

Exempel:

Lilly sätter vid slutet av 10 på varandra följande år in 5 000 kr på ett konto med en fast ränta på 3,00 %.

Efter den 10:e insättningen är behållningen i kronor den geometriska summan

s = 5 000 + 5 000 ∙ 1,03 + … + 5 000 ∙ 1,039

a = 5 000, k = 1,03 och n = 10

s = 5 000 1031 1031

10 , , () ≈ 57 300

Områden i ett koordinatsystem

Olikheten y ≥ x – 2 beskriver det område som ligger ovanför eller på linjen y = x – 2.

Olikheten y < x – 2 beskriver det område som ligger under linjen y = x – 2.

Figuren visar ett område som kan beskrivas med ett system av olikheter

Punkter som ligger i det färgade området eller på linjerna som omringar området har koordinater som uppfyller alla tre villkoren. T.ex. punkterna (2, 3), (3, 2) och (6, 4).

Linjär optimering

Vid linjär optimering söker man det största eller det minsta värdet som en målfunktion m = ax + by kan anta.

Funktionens variabler x och y begränsas av ett antal villkor.

Arbetsgång:

1 Markera området i ett koordinatsystem.

2 Bestäm koordinaterna för områdets hörnpunkter.

3 Beräkna målfunktionens värde för hörnpunkternas koordinater.

Det största respektive minsta värdet är något av dessa värden.

Delkapitel BEGREPP PROCEDUR

4.1 Geometrisk summa Geometrisk talföljd n:te talet i en talföljd

Geometrisk summa

4.2 Linjär optimering Slutet och öppet område System av olikheter

Linjär optimering

Målfunktion

• avgöra om en talföljd är geometrisk

• bestämma det n:te talet i en geometrisk talföljd

• använda formeln för geometrisk summa

• använda begreppet geometrisk summa i t.ex. ekonomiska tillämpningar.

• beskriva ett område, begränsat av räta linjer, med ett system av olikheter

• rita, både för hand och med digitalt verktyg, det område som beskrivs av ett system av olikheter

• bestämma skärningspunkten mellan två linjer, både för hand och med ett digitalt verktyg

• bestämma det största eller minsta värde som en målfunktion, med två variabler, antar i ett slutet område

• använda linjär optimering i t.ex. ekonomiska tillämpningar.

4.1 Geometrisk summa

1 Är någon av talföljderna geometrisk? Ange i så fall kvoten.

A 12, –24, 48, –96, …

B 81, 27, 9, 3, …

2 I en geometrisk talföljd är det första talet 5 och kvoten är 3.

a) Bestäm det tionde talet.

b) Beräkna summan av de tio första talen.

3 Beräkna den geometriska summan och avrunda resultatet till heltal.

a) 5 + 5 · 1,08 + 5 · 1,082 + … + 5 · 1,0820

b) 20 + 20 · 0,8 + 20 · 0,82 + … + 20 · 0,819

4 a) Skriv om ekvationen

x + x · 0,6 + x · 0,62 + … + x · 0,611 = 25 000 med hjälp av formeln för en geometrisk summa.

b) Lös ekvationen i a). Avrunda till heltal.

5 Martins mormor har satt in 1 000 kr på ett bankkonto varje gång som Martin fyller år. Första insättningen gjordes när Martin fyllde 10 år och den sista när han fyllde 18 år. Vilket belopp fanns på kontot efter sista insättningen om räntesatsen var 2,5 % under hela perioden.

6 Hur mycket ska Jenny sätta in på ett konto vid slutet av varje år om hon efter den 15:e insättningen vill ha 50 000 kr på kontot. Räntesatsen är 3,25 %?

4.2 Linjär optimering

7 Markera i ett koordinatsystem det område som beskrivs av systemet av olikheter.

a) Ställ upp ett system av olikheter som beskriver det färgade slutna området.

b) Bestäm koordinaterna för områdets hörn.

c) Bestäm det största och det minsta värdet för målfunktionen m = 5 x + 4y i det färgade slutna området.

9 Louise är snickare och har 60 m 2 spånskiva i lager. Av detta ska hon tillverka hyllor av två storlekar.

Till den mindre hyllan behövs 2 m 2 och till den större 3 m 2 spånskiva.

Louise har en beställning på minst 9 st av de mindre hyllorna.

Hennes vinst är 300 kr för den mindre hyllan och 480 kr för den större.

Anta att Louise tillverkar x små hyllor och y stora hyllor.

a) Ställ upp det system av olikheter som x och y måste uppfylla och markera systemets lösning i ett koordinatsystem.

b) Hur många små respektive stora hyllor ska Louise tillverka för att vinsten ska bli så stor som möjligt?

Blandade övningar 4

Utan digitala verktyg 1

1 Summan S av talen i en geometrisk talföljd

kan skriva s 5101 9

6 ()

Bestäm för denna talföljd

a) kvoten

b) antalet tal

c) det första talet

d) det tredje talet.

2 För fyra punkter A – D i ett koordinatsystem gäller

A = (3, 2) C = (1, 2)

B = (2, 3) D = (–2, 4)

En av punkterna A – D i ligger i det område som kan beskrivas med olikheterna

2

5 Ge ett exempel på en punkt som ligger i det område som beskrivs av olikheten

2 y – 4x ≥ 8 Motivera ditt svar.

3

2 x + y = 80 och x + 2 y = 115.

7 Talet 4 096 kan skrivas 212 . Beräkna summan

2 + 4 + 8 + 16 + … + 4 096

Vilken?

3 I en geometrisk talföljd är det första talet

a = 2 och kvoten k = 3.

a) Beräkna det andra talet.

b) Beräkna det femte talet.

c) Beräkna summan av de fem första talen.

4 Linjerna i figuren delar koordinatsystemet i fyra delar.

y 2 –1–1

a 2 = 6 och det femte talet a 5 = 162.

a) Beräkna kvoten k.

b) Skriv och förenkla ett uttryck för summan av de tio första talen i talföljden.

Med digitala verktyg 1

9 Skriv termerna i den geometriska summa som kan beräknas med uttrycket

5 000 11 1 11 1

4 , , () 10

1

3 6

x 4 5 1 1 3 45 2

y (2, 2) (3, 0)

x 1

a) Bestäm det största värdet för funktionen m = 18 x + 14 y i det färgade slutna området.

b) Ställ upp ett system av olikheter som beskriver det färgade slutna området.

11 Beräkna den geometriska summan

400 ∙ 0,92 + 400 ∙ 0,93 + … + 400 ∙ 0,97

12 Ester sätter varje nyår in samma belopp på ett konto med räntan 1,5 %.

Det totala beloppet precis efter 10:e insättningen är 214 054 kr.

Vilket belopp har hon satt in vid nyår?

14 Mängden avfall som kommer att lämnas vid en återvinningsstation under en tioårsperiod beräknas enligt några olika modeller.

Modell A: Mängden ökar med 5 % per år.

Modell B: Mängden minskar med 5 % per år.

a) Visa att mängden avfall det tionde året är ca 2,5 gånger större enligt modell A än enligt modell B.

b) Visa att den totala mängden avfall under hela tioårsperioden är ca 1,6 gånger större enligt modell A än enligt modell B.

13 En fabrik tillverkar två mycket populära radiostyrda leksaksbilar: TX15 och TX25. Efterfrågan är större än vad fabriken kan leverera. Följande gäller:

◗ Båda modellerna tar 1 h att montera.

◗ TX15 kan testas på 7,5 min och TX25 kräver 30 min i testtid.

◗ Med nuvarande arbetskraft kan man per månad utföra montering på 45 000 h och testning på 15 000 h.

◗ Vinsten per bil är 150 kr för TX15 och 240 kr för TX25.

Vilken är den största vinst per månad man kan uppnå utan att utöka arbetskraften?

Varje kloss har en höjd och bredd som är 80 % av den intill. Den första är 20 cm hög.

a) Hur många klossar har vi om den första är 20 cm och den minsta är 4,2 cm hög?

b) Hur hög blir stapeln om vi ställer dem på varandra?

c) Undersök hur hög stapeln blir, beroende på hur många klossar vi har samt hur hög den första är.

16 Ett område beskrivs av följande system av olikheter

Bestäm a så att det största värdet funktionen m = 2 x + y antar är 88.

Blandade övningar 1−4

Utan digitala verktyg 1

1 Derivera

a) f ( x) = 5 x – 2 c) f ( x) = 5e –4 x

b) f ( x) = x 3 + x 3 d) f( x) = xx42 2 +

2 För vilket värde på x är uttrycket 212 26 x x + inte definierat?

3 Lös ekvationerna. Svara exakt.

a) x 3 = 3 x c) ln x = 3

b) e x = 3 d) 3 x = e

4 Förenkla uttrycket ()() xx x +− + 52 210 så långt som möjligt.

5 Petter har bestämt sig för att köpa två olika sorter lösviktsgodis, minst 1 hg av varje men högst 4 hg tillsammans.

Anta att han köper x hg av den ena sorten och y hg av den andra.

a) Ställ upp ett system av olikheter som bestämmer de möjliga värdena på x och y.

b) Åskådliggör systemet grafiskt.

6 När Liv skriver nDeriv(x 2 , x, 7) i sitt digitala verktyg får hon resultatet 14. Förklara med ord vad hon har bestämt.

7 För funktionen f gäller att f ( x) = e2 x + 2 x

a) Bestäm alla primitiva funktioner till f

b) Bestäm f ¢(0).

8 Förklara med egna ord

a) vad förstaderivatan till en funktion säger om funktionskurvan

b) vad andraderivatan kan ge för information om en kurvas extrempunkter.

9 I en geometrisk talföljd med kvoten k = 2 är summan av de fyra första talen 60. Vilket är det första talet i talföljden?

10 a) Beräkna integralen (4 x + 3) dx

b) Bestäm en primitiv funktion F till f ( x) = 4 x + 3 sådan att F(–2) = 10.

11 Emilie undersöker tredjegradsfunktionen f och gör då följande värdetabell.

x –1 0 1 2 3

f (x ) 5 1 3 5 1

f ' (x ) –9 0 3 0 –9

a) Bestäm f ¢(1).

b) Vilken lösning har ekvationen f ¢( x) = 0?

c) Bestäm minimipunktens koordinater.

d) För vilka x är funktionen växande?

e) Är f ¢¢(2) större än, mindre än eller lika med noll? Motivera ditt svar.

12 I figuren visas grafen till en tredjegradsfunktion y = f ( x).

Ange för vart och ett av följande påståenden om det är sant eller falskt. Motivera dina svar.

a) Ekvationen f ¢( x) = 0 har två lösningar.

b) f ¢(1) > 0

c) f ¢¢(3) > 0

d) f ( x) dx > 0

13 Undersök med hjälp av derivata om grafen till f ( x) = x 3 – 6 x 2 + 12 x har någon maximi-, minimi- eller terrasspunkt. Bestäm i så fall punktens/punkternas koordinater.

14 För funktionen f gäller att f ( x) = 4x + 4 x

a) Lös ekvationen f ¢( x) = 0.

b) Bestäm f ¢¢( x).

15 Hastigheten v m/s för ett föremål beskrivs av v (t) = 3 t 2 där t är tiden i sekunder och 0 ≤ t ≤ 5.

Hur långt rör sig föremålet mellan t = 2 s och t = 4 s?

16 Den röda kurvan i figuren visar hur folkmängden y miljoner i ett område avtar med tiden x år. Den blå linjen är kurvans tangent i punkten (20, 55).

19 En funktion f har egenskaperna f (0) = 2 f ¢(0) = 1 f ¢(2) = 0 Skissa grafen till en funktion som har dessa egenskaper. (NP)

20 Förenkla ln e2 x + ln e x så långt som möjligt.

21 Funktionen f ( x) = 2 x 3 – 3 x 2 – 12 x + a har ett maximivärde och ett minimivärde. Hur stort är minimivärdet om maximivärdet är 30?

22 Lös ekvationen 2 x + 1 2 x = 1

23 Förenkla uttrycket 15 6 15 075 3 , ,, aa a + så långt som möjligt.

24 Bestäm f ¢( x) om f( x + h) = x 2 + 2 h x + h 2 , där h är en konstant.

25

a) Bestäm ett närmevärde till y ¢(20) med hjälp av figuren.

b) Ge en tolkning av vad värdet på y ¢(20) betyder för folkmängden i detta sammanhang.

17 Grafen till funktionen y = 1 + 12 x – ax 2 har lutningen –12 i punkten där x = 3. Bestäm konstanten a.

18 a) Förenkla ändringskvoten fa hf ah h () () +− 2 om f( x) = x 2

b) Bestäm lim h → 0 fh f h ()33() +− om f ( x) = x 2 + 5 x

I figuren visas tre linjer.

L1: y = 600

L2: 6 x + 5 y = 4 500

L3: 4 x – 5 y = 1 200

a) Ställ upp det system av olikheter som beskriver det slutna gröna området.

b) Bestäm koordinaterna för det gröna områdets hörn.

TRIGONOMETRI 3c

För mer än 2000 år sedan grundlade antikens astronomer trigonometrin, som då handlade om samband mellan vinklar och sidor i en triangel. Idag är trigonometrin mycket mer än bara triangelmätning och den är ett mycket kraftfullt verktyg för matematiker, naturvetare och tekniker.

• Egenskaper hos enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp.

• Bevis och användning av cosinus-, sinus- och areasatsen för en godtycklig triangel.

• Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.

Vi börjar med att repetera sinus, cosinus och tangens i rätvinkliga trianglar.

Du får lära dig en del om den speciella cirkel som kallas enhetscirkeln. Med hjälp av enhetscirkeln kan man till exempel definiera sinus och cosinus för vinklar som är större än 180°.

Du får också lära dig att använda ett antal användbara trigonometriska satser, vilka gör det möjligt att beräkna sidor och vinklar i trianglar som inte är rätvinkliga.

Centralt innehåll

Med andra ord

Inledande aktivitet

TRIGONOMETRI I RÄTVINKLIGA TRIANGLAR 2 Ändra hypotenusans längd till 10 l.e.

Materiel: Applikation som du hittar på nok.se/matematik5000plus

Öppna applikationen.

Figur till uppgift 1 och 2.

c a

32 ° b

I den rätvinkliga triangeln är en vinkel 32°. Triangelns storlek går att variera.

1 a) Välj tre olika trianglar. Avläs längden på kateten a och hypotenusan c samt beräkna kvoten a c

Skriv av och fyll i tabellen.

Triangel a c a /c 1

b) Vad upptäcker du?

a) Avläs längderna a och b samt beräkna kvoterna a c , a b och b c

b) Bestäm med ett digitalt verktyg värdet av tan 32°, sin 32° och cos 32°.

c) Vilken av kvoterna kallas sin v respektive cos v och vilken kallas tan v?

Figur till uppgift 3.

c = 1 a v

b

I den rätvinkliga triangeln är hypotenusan 1 l.e. Vinkeln v går att variera.

3 a) Välj tre olika trianglar. Avläs vinkeln v samt längden på a respektive b.

Bestäm med hjälp av räknare värdet av sin v och cos v

Skriv av och fyll i tabellen

Triangel v a b sin v cos v

b) Studera dina resultat. Vilka samband hittar du? Kan du bevisa dem?

Kapitel 1

1103 a) 6 x + 8

b) –2 x + 8

c) y – 3 x

Lösning: 15y – 6 x – 14y + 3 x = = 15y – 14y – 6 x + 3 x = = y – 3 x

d) 5t 2 – 8 t – 9

1104 a) 6 x – 8

b) 5 x 2 + 2 x

c) x 3 – 3 x 2

Lösning: x(x 2 – 3 x) = x · x 2 – x · 3 x = = x 3 – 3 x 2

d) 10 x 3 – 5 x 2 + 20 x

1105 a) 2 x – 5

b) 6 x – 7

c) 5 x 2 – x

d) 11 – 8 x Lösning: 5 – 2(4 x – 3) = = 5 – 2 · 4 x – 2 · (–3) = = 5 – 8 x + 6 = 11 – 8 x

1106 a) x 2 + 5 x + 6

b) x 2 – x – 20

c) 2 x 2 + 2 x – 12

d) 2 a 2 + 3 ab + b2

1107 a) x 2 – 16

b) 4 x 2 – 25

1108 a) a 2 + 10 a + 25

b) 9 – 6y + y2

c) 9 x 2 + 24 x + 16

d) 4 x 2 – 4 xy + y2

1109 a) 5a – 3b + 2

b) A = 9a – 7b + 2

B = 7a – 5b + 2

Ledtråd:

Lös ut A ur

A + 3(b – a) + b – a = = 5a – 3b + 2

1110 a) Uttryckets värde är 0.

b) Uttryckets värde är 0. Kommentar: Uttrycket kan förenklas till 8 – 2 a.

För alla variabelvärden är värdet av ett uttryck före och efter förenkling detsamma.

1111 a) x 2 – 72

b) x 2 + 25 x – 25

Lösning: 25 x – (5 – x)(5 + x) = = 25 x – (25 – x 2) = = 25 x – 25 + x 2

c) 12 x – 36

Lösning: x 2 – (x – 6)2 = = x 2 – ( x 2 – 12 x + 36) = = x 2 – x 2 + 12 x – 36 = = 12 x – 36

d) 2 x 2 – 2 x + 3

1112 a) 2 x 2 + 16 x – 25

Ledtråd: 3 x(x + 2) – (x – 5)2 = = 3 x 2 + 6 x – (x 2 – 10 x + 25) Fortsätt förenkla.

b) a 2 + 16 a + 41

Ledtråd: Förenkla (a + 4)2 respektive (a + 3)(a – 3) först.

c) x 2 + 2 x y – 6 x

Lösning: (x + y)2 – (6 x + y 2 ) = = x 2 + 2 x y + y 2 – 6 x – y 2 = = x 2 + 2 x y – 6 x

d)

Förenkla (3x(x + 2) − (x − 5)2)

2x2 + 16x − 25

Förenkla (2(a + 4)2 − (a + 3)(a − 3))

a2 + 16a + 41

Förenkla ((x + y)2 − (6x + y2))

x(2y + x − 6)

Kommentar: Det sista uttrycket kan också förenklas till 2 xy + x 2 – 6 x.

1113 a) 45 x 2

b) 12 x + 10

c) 2 x 2 + x

1114 a) –3 x 2 + 52 x – 60

b) a 2 – 2 ab + b2

c) x 3 – 6 x 2 + 12 x – 8

Ledtråd: (x – 2)3 = (x – 2)(x – 2)2 = = (x – 2)(x 2 – 4 x + 4)

d) x 3 – 7x – 4

1115

a) 2 x 2 + 2 y 2

b) 4 x

c) 2 x 3 + 2 x 2 y + 6 x y 2 – 2 y 3

1116 a) 8 a 3 + 60 a 2 + 150 a + 125

b) a 2 – b2 – 10 b – 25

c) a 6 –2 a 3 b2 + b4

1117 x 2

Ledtråd: x 2 + x kan skrivas x( x + 1).

Faktorisera nämnaren.

1120 a) x 1 ≈ 7,75 x 2 ≈ –7,75

b) x ≈ 5,73

c) x 1 ≈ 8,40 x 2 ≈ –8,40

1121 a) x 5 d) a 8

b) x –2 e) b –7

c) 4 3 x f) b 0 (= 1)

1122 a) x4

Ledtråd: Börja med att multiplicera in i parentesen.

b) a + 2 a4

c) b4 + 6 b2

Ledtråd: Använd kvadreringsregeln.

d) x 2 – y4

Ledtråd: Använd konjugatregeln.

1123 a) a = 81 3 = 811/3 ≈ 4,33

b) a = ± 154 ≈ ±12,4

Ledtråd: a 2/5 a 8/5 = a10/5 = a 2

1124 a) Lösning:

1128 a) 4 a 2 b 6

Ledtråd: Använd potenslagarna. Uttrycket kan skrivas

8 2 33 3 ab ab

b) Lösning: (2 x) –3 = 1 2 3 x = 1 233 x = 1 8 3 x

c) Lösning: 18 49 1 7 + = 18 49 7 49 + =

= 25 49 = 25 49 = 5 7

d) Lösning: 8 25 1 5 = 8 25 5 25 = = 3 25 = 3 25 = 3 5

1125 a) 6 x6 + 8 x 3

Lösning: (2 x)3 + (2 x 3)2 + 2(x 3)2 = = 23 x 3 + 22(x 3)2 + 2 x6 = = 8 x 3 + 4 x6 + 2 x6 = = 6 x6 + 8 x 3

b) 6 x 1,5

Kontroll:

Förenkla ((2x)3 + (2x)3 + 2(x3)2) 6x6 + 8x3

Förenkla (5x1.5 + x x ) 6 x x

Kommentar: Vi ser att b) inte förenklas i svaret. Båda svaren är korrekta.

1126 a) 10 x 12 c) –7a 6

b) 4 2 4 a b – 8 b 6 d) 4 a9

1127 a) x 7 – 5 x 3

b) 3 y 5 – 2 y4

c) –8 x 6 + 6 x 3 + 9

d) –25

e) 4 y 6 – 16

b) 12 a9 b –3

Ledtråd: Uttrycket kan skrivas

49 3 32 2 4 ab a ab

1129 a) 3 x c) 4 4 a = 4 a –4

b) x 3 + 2 d) 1 2 a = a –2

1130 a) 6 x 2 c) –12 x 2

b) –27x 4 d) 36 x 4

1131 a) 3 a c) 3 n + 1

b) x4m – 2n d) 4

1136 a) Fyra termer

b) Grad 3

c) Koefficienten är 1.

1137 a) p(2) = 1 b) x = 8

1138 a) T.ex. x 2 + 5

b) T.ex. x 4 + 2 x 3 – x

1139 Exponenten i 4 x –2 är inte ett positivt heltal eller noll (inget naturligt tal).

1140 a) Polynomets värde är 4.

b) Polynomets värde är 7.

c) Polynomets värde är 36.

1141 A , B, E och F är polynom.

1142 a) Fyra termer

b) Grad 5

c) Koefficienten är –2.

d) Koefficienten är 5.

1143 a) Det förenklade uttrycket x 4 + 5 har grad 4.

b) Det förenklade uttrycket 5 x 4 – 5 har grad 4.

c) Det förenklade uttrycket 15 x 4 – 6 x 8 har grad 8.

1144 x = 0 ger y = 2,15

x = 2,56 ger y ≈ 4,84

x = 4,65 ger y ≈ 3,05

1145 a) a = 23

Ledtråd: Sätt in x = 1 i

2 x 4 – 5 x 2 + a = 20

b) a = 8

1146 a) Grad 3

Motivering: Termen där exponenten är 3 ändras inte.

b) Grad 5

Motivering: Exponenten i termen med högst exponent ökar från 3 till 5.

1147 a) T.ex. p( x) = x 2 – 17

b) T.ex. p( x) = x 2 – 9

1148 Första termen 2 x kan skrivas 2 x 1 .

Andra termen –1 kan skrivas –1 x 0 .

1149 Alla utom D.

Motivering: Uttrycken kan skrivas

A: x 2 + 1 2 x + 1 4

B: x 2 –1 4

C: x 2 – 3

D: x 2 –1 2 x = x 2 – x–2

E: x 2 – xy + 1 4 y2

F: x 2 + x 3

Uttrycket D har en term med negativ exponent.

Uttrycket E är ett polynom med två variabler.

1150 p ( x) = 5 + 2 x – 3 x 2

Ledtråd:

p( x) = ax 2 + b x + c

Ställ upp och lös ett ekvationssystem.

1151 p( x) = x 2 + x + 2

Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne

Matematik 5000 3bc

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 3bc riktar sig till dig som ska läsa någon av kurserna Matematik 3b eller 3c inom vuxenutbildningen.

Matematik 5000+ finns till alla gymnasiets matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna goda förutsättningar att utveckla sina kunskaper i matematik.

Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter

Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer

Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning

Kapitelavslutning som grundligt befäster begrepp och procedurer

Problemlösning med programmering i alla kapitel

Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar

Lena