Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne
Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 1abc riktar sig till dig som ska läsa någon av kurserna Matematik 1a, 1b eller 1c inom vuxenutbildningen.
Matematik 5000+ finns till alla gymnasiets matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna goda förutsättningar att utveckla sina kunskaper i matematik.
Matematik
1abc
5000
5000
1abc
Matematik
5000
För reviderad ämnesplan!
Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning
Vux
Kapitelavslutning befäster begrepp och procedurer Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar
ISBN 978-91-27-46177-2
9 789127 461772
M5000Plus_1abc_VUX_Omslag_211214.indd 4-6
1abc
2021-12-21 15:54
Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000+ Vux 1abc riktar sig till dig som studerar inom vuxenutbildningen. Med den här boken kan du välja vilken av kurserna 1a, 1b eller 1c som du ska läsa. • Kapitel 1, 2, 3 och 4 motsvarar kurs 1b. • Kapitel 1, 2, 3, 4 och 5 motsvarar kurs 1c. • I kurs 1a ingår det mesta i kapitel 1, 2, 3 och 4. De sidor som inte ingår i kurs 1a är markerade med gul färg. De uppgifter som inte ingår är gulmarkerade.
Ingår inte i kurs 1a.
I Skolverkets kommentar till ämnesplanen står att inom vuxenutbildning finns inte karaktärsämnen som innehållet i kurserna kan kopplas till. I stället rekommenderar Skolverket att undervisningen kan ta utgångspunkt i elevernas mål med studierna eller inriktas mot sådant som är särskilt användbart i vardagslivet. De delar i boken som för kurs 1a svarar mot detta är markerade med gulvita ränder. Exempel på detta är Moms, Index, Krediter och avgifter, Pythagoras sats och Trigonometri.
Valbart i kurs 1a.
Vår förhoppning är att Matematik 5000+ ska inspirera och stötta dig på bästa sätt genom din matematikutbildning. Lycka till! Författarna
Matematik 5000 1abc VUX Fullt utbyggd kommer serien att omfatta följande komplement till läroboken: • Webbaserad lärarhandledning. • Digitalt extramaterial med ledtrådar och lösningar till bokens uppgifter. • Digitalbok.
Kap 0 Vux 1abc_220103.indd 3
2022-01-03 16:19
Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER Koordinatsystem
y
2:a kvadranten
2327
1:a kvadranten x
För att beskriva läget eller positionen av en punkt i ett plan behövs två koordinataxlar, en x-axel och en y-axel.
3:e kvadranten
4:e kvadranten
Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor. a) 2x + 6
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
a) 2x + 6 = 2 · x + 2 · 3 = 2(x + 3) 2 är en gemensam faktor.
REPETITIONSUPPGIFTER 2327
Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor.
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.
a) 2x + 6
ÖVNINGSUPPGIFTER 3452 Vilka av följande tal ingår i värdemängden om y = 8 – x och –2 < x ≤ 4? –3
1
4
5,5
10
3535 Helen köpte aktier för 2 500 kr och tänkte sälja dem efter tre månader. Värdet på aktierna var då 1 600 kr. Hur stor var den genomsnittliga minskningen per månad?
SVAR 3535
Minskningen var 14 % per år. Ledtråd: Lös ekvationen 2 500 · x3 = 1 600 x är en förändringsfaktor.
4
Kap 0 Vux 1abc_211229.indd 4
Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad.
Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator). Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg. Algebraisk lösning betyder att du får använda en räknare, men inte ett grafritande eller ekvationslösande verktyg.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
2021-12-29 12:13
VARIATION I UNDERVISNINGEN För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.
Aktivitet Vilka uttryck är lika?
Tema
högskoleprov
Algebra
Historik
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till ekonomi, samhälle och estetiska ämnen. Det finns även några teman med uppgifter från högskoleprov.
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Algebra genom tiderna
KAPITELSLUT
Sant eller falskt? Sammanfattning 4 Kan du det här? BEGREPP
PROCEDUR
Testa dig själv 4
Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4
Kap 0 Vux 1abc_211229.indd 5
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Den ger dig möjlighet att träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som behandlar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
5
2021-12-29 12:13
Innehåll 1. Aritmetik och algebra 8 Inledande aktivitet: Lägga tal 9
1.1 Repetition av räkneregler 10 Prioriteringsregler 10 Negativa tal 13
1.2 Repetition av bråk och decimaltal 17 Tal i bråkform 17 Aktivitet: Minsta gemensamma nämnare (MGN) och primtal 21 Addition och subtraktion av tal i bråkform 22 Historik: Historiska bråk 24 Multiplikation och division av tal i bråkform 25 Tema: Aritmetik 28 Tal i decimalform och avrundning 29 Aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 33
1.3 Uttryck och ekvationer 34 Algebraiska uttryck 34 Aktivitet: Vilka uttryck är lika? 38 Linjära ekvationer 39 Aktivitet: Ekvationsbilder 43 Ekvationer med flera variabeltermer 44 Historik: Algebra genom tiderna 48
1.4 Mer om uttryck och ekvationer 49 Multiplicera in i parenteser 49 Uttryck och ekvationer med parenteser 52 Uttryck, ekvationer och bråk 55 Tillämpningar och problemlösning 59
1.5 Procent och förändringsfaktor 64 Repetition av procentberäkningar 64 Tema: Gyllene snittet 68 Förändringsfaktor 70 Tema: Moms 74 Procentuella förändringar och jämförelser 76 Procentuella förändringar i flera steg 79 Aktivitet: Sant eller falskt? 83 Sammanfattning 1 84 Kan du det här? 86 Testa dig själv 1 87 Blandade övningar 1 88
2. Potenser och formler 92 Inledande aktivitet: Vika papper 93
2.1 Potenser 94 Potenslagar 94 Exponenten noll och negativa exponenter 98 Aktivitet: Vilka är lika? 102 Mer om potenser och potenslagar 103
2.2 Potensekvationer 105 Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 105 Tema: Potenser 109 Potensekvationen x n = a 110 Ekvationslösning med digitalt verktyg 114
2.3 Uttryck och formler 116 Multiplikation av uttryck 116 Faktorisera 120 Aktivitet: Förenkla med digitalt verktyg 123 Använda och tolka formler 124 Lösa ut ur formler 128 Tema: Algebra 130
2.4 Algebra och geometriska formler 131 Repetition av prefix och enhetsbyten 131 Formler för area och omkrets 134 Formler för volym 137
2.5 Mönster och generella samband 140 Upptäcka och beskriva mönster 140 Upptäcka och uttrycka generella samband 143 Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas! 148 Aktivitet: Sant eller falskt? 149 Sammanfattning 2 150 Kan du det här? 152 Testa dig själv 2 153 Blandade övningar 2 154 Blandade övningar 1–2 157
3. Funktioner 160 Inledande aktivitet: Hitta regeln 161
3.1 Grafer och funktioner 162 Koordinatsystem 162 Historik: René Descartes 162 Funktion – formel, värdetabell och graf 166 Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 170 Rita grafer med digitala verktyg 172 Räta linjer i vardagliga sammanhang 174 Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 178
3.2 Räta linjens ekvation 179 Avläsa k-värde och m-värde 179 Beräkna k-värdet och rita linjer 184 Bestäm räta linjens ekvation 188 Parallella linjer 191 Olika former för räta linjens ekvation 193
6
Kap 0 Vux 1abc_211229.indd 6
INNEHÅLL
2021-12-29 12:13
3.3 Olikheter 196 Intervall 196 Linjära olikheter 199 Tema: Olikheter 202
3.4 Funktioner och skrivsättet f (x) 203 Skrivsättet f (x) 203 Tema: Funktioner 207 Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 208 Aktivitet: Tårtljus 212 Definitionsmängd och värdemängd 213
3.5 Olika typer av funktioner 216 Linjära funktioner 216 Aktivitet: Exponentialfunktioner y = C · a x 220 Exponentialfunktioner 221 Potensfunktioner 225 Aktivitet: Para ihop formel och graf 230 Matematiska modeller – egenskaper och begränsningar 231 Aktivitet: Sant eller falskt? 237 Sammanfattning 3 238 Kan du det här? 240 Testa dig själv 3 241 Blandade övningar 3 242 Blandade övningar 1–3 246
4. Sannolikhet och statistik 250 Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 251
4.1 Repetition av sannolikhet 252 Sannolikheten för en händelse 252 Sannolikhet och relativ frekvens 256
4.2 Slumpförsök i flera steg 258 Försök med två föremål 258 Träddiagram 261 Aktivitet: Lika eller olika färg? 265 Beroende händelser 266 Aktivitet: Byta eller inte byta? 268 Komplementhändelse 269 Historik: Tärningsspel och sannolikhetens födelse 271 Tema: Sannolikhet 272
4.3 Matematik och ekonomi 273 Repetition av procent och procentenheter 273 Index 275 Lån, ränta och amortering 280 Tema: Vinst, förlust och vinstmarginal 283 En introduktion till kalkylprogram 284 Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 286 Tema: Krediter och avgifter 290
INNEHÅLL
Kap 0 Vux 1abc_211229.indd 7
4.4 Statistik 294 Stickprov och urvalsmetoder 294 Signifikans och felkällor 298 Aktivitet: Ett modellförsök av en väljarundersökning 303 Aktivitet: Finns det några samband i clementiner? 304 Korrelation och kausalitet 305 Tema: Statistik med Gapminder 310 Aktivitet: Sant eller falskt? 311 Sammanfattning 4 312 Kan du det här? 314 Testa dig själv 4 315 Blandade övningar 4 316 Blandade övningar 1–4 318
5. Trigonometri och vektorer 322 Inledande aktivitet: Tangens för en vinkel 323
5.1 Trigonometri
(Valbart i kurs 1a)
324
Beräkna sträckor med tangens 324 Beräkna vinklar med tangens 327 Sinus och cosinus 329 Sträckor och vinklar i koordinatsystem 333
5.2 Vektorer
(Valbart i kurs 1a)
336
Vad är en vektor? 336 Aktivitet: Vektorer med digitala verktyg 340 Beräkningar med vektorer 341 Vektorer i koordinatform 344 Sammanfattning 5 347 Kan du det här? 348 Testa dig själv 3 349 Blandade övningar 5 350 Programmering: En problemlösningsstrategi med programmering 352 Reaktionssträcka 353 Procentuella förändringar 355 Ekvationslösning 357 Funktion, graf och area 359 Kasta fyra tärningar 361 Pythagoreiska tripplar 363 Blandade övningar 1–2, kurs 1a 365 Blandade övningar 3, kurs 1a 369 Blandade övningar 1–3, kurs 1a 372
Repetitionsuppgifter 375 Svar, ledtrådar och lösningar 384 Register 453
7
2021-12-29 12:13
1
ARITMETIK OCH ALGEBRA Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal. Algebra, som lite förenklat kan beskrivas som bokstavsräkning, är en mycket viktig del av matematiken. Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-jabr som finns i titeln på en lärobok av en persisk matematiker, al-Khwarizmi, som levde för ca 1 200 år sedan.
Centralt innehåll
Med andra ord
• Hantering av algebraiska uttryck.
I början av kapitlet får du repetera viktiga räkneregler. Det gäller t.ex. i vilken ordning du ska räkna vid beräkningar med flera olika räknesätt och hur du räknar med negativa tal, bråktal och tal i decimalform.
• Begreppen förändringsfaktor och beräkningar av förändringar i flera steg. • Metoder för att lösa linjära ekvationer. • Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen.
I fortsättningen av kapitlet får du repetera och lära dig mer om hur du kan ställa upp och hantera uttryck och ekvationer. För att beräkna förändringar i procent får du lär dig att använda förändringsfaktor, ett begrepp som kommer att återkomma många gånger under kursens gång.
8
Kap 1 Vux 1abc_211229.indd 8
2021-12-29 12:36
Inledande aktivitet LÄGGA TAL Arbeta tillsammans två och två. Använd fyra papperslappar och skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på dem.
2 5
1 7
1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får a) ett så stort tal som möjligt b) ett så litet tal som möjligt c) ett tal så nära 5 000 som möjligt
3 Välj bland lapparna och lägg dem så att ∙ blir så produkten a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 100 som möjligt. 4 Multiplikation beräknas före addition. Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 20 som möjligt. 5 Använd en räknare för att få ett svar.
d) ett tal så nära 6 000 som möjligt
Utgå från svaret och förklara i vilken ordning beräkningarna är gjorda?
e) ett tal så nära 1 400 som möjligt.
a) 5 + 3 · 2
2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så a) liten som möjligt b) stor som möjligt
b) 12 – 6 / 3 c) (5 + 3) · 2 d) 2 · 52 e) (2 · 5)2
c) nära 60 som möjligt.
9
Kap 1 Vux 1abc_211229.indd 9
2021-12-29 12:36
1.1 Repetition av räkneregler Prioriteringsregler Exempel
Hilda har börjat träna judo och har betalat 300 kr i medlemsavgift och 70 kr per träningstillfälle. När hon tränat 10 gånger beräknar hon den genomsnittliga kostnaden i kr per träning: 300 10 70 300 700 1 000 = = = 100 10 10 10 Det har kostat 100 kr/träning. Hon kontrollerar svaret på räknaren: 300+10*70/10
370
Räknaren visar 370. Varför blir det så? Räknaren gör en annan beräkning än den Hilda tänkte sig: 300 + 10 · 70 /10 = 300 + 700 /10 = 300 + 70 = 370
Multiplikation och division beräknas före addition.
För att få ett korrekt svar på räknaren finns två alternativ: ◗ Beräkna uttrycket i täljaren innan divisionen utförs: 300 10 70 1 000 = = 100 10 10 ◗ Använda en parentes: (300 + 10 · 70) /10 = 100 Prioriteringsreglerna anger i vilken ordning vi ska räkna:
Prioriteringsreglerna
potens bas exponent
10
Kap 1 Vux 1abc.indd 10
1
Först beräknas uttryck inuti parenteser.
2
Därefter potenser (upphöjt till).
3
Sedan multiplikationer och divisioner.
4
Till sist additioner och subtraktioner.
Ett uttryck med en upprepad multiplikation med samma faktor kan skrivas som en potens, t.ex. 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23. 23 utläses ”två upphöjt till tre” och är en potens med basen 2 och exponenten 3.
Exponent
23
Bas
aritmetik och algebra
2021-12-20 16:49
Vi repeterar några begrepp kopplade till de fyra räknesätten:
De fyra räknesätten
Addition: 4 + 3 = 7
Multiplikation: 3 · 12 = 36
Term adderad med term ger en summa.
Faktor multiplicerad med faktor ger en produkt.
Subtraktion: 9 – 1 = 8
Division: 15 = 5 3 Täljare dividerad med nämnare ger en kvot.
Term subtraherad från term ger en differens.
1101
Beräkna utan digitalt verktyg. a) 5 · 4 + 32 – 2
b) 10 + 4 · (5 – 2)
Vi använder prioriteringsreglerna. a)
5 · 4 + 32 – 2 = =5·4+9–2=
Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9 Sedan multiplikation
= 20 + 9 – 2 = 27 b)
10 + 4 · (5 – 2) = = 10 + 4 · 3 =
Först parentesen Sedan multiplikation
= 10 + 12 = 22
1102
*
Beräkna med digitalt verktyg
13 19 5 4 17 50
Metod 1 Vi skriver uttrycket med parenteser. (13 · 19 + 5)/(4 · 17 – 50) = 14 Metod 2 Vi beräknar uttrycken i täljaren och nämnaren först. 13 19 5 252 = = 14 4 17 50 18 Svar: 14
* En ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1102 , betyder att du får använda
digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften. Övriga uppgifter ska du kunna lösa utan hjälp av digitalt verktyg.
1.1 REPETITION AV RÄKNEREGLER
Kap 1 Vux 1abc.indd 11
11
2021-12-20 16:49
1 1103 Beräkna a) 3 · 5 + 8 c) 18 – 6/3 b) 3 + 5 · 8 d) 18/6 – 3 1104 Beräkna a) 4 + 52 c) 2 ∙ 42 b) (4 + 5) · 2 d) (2 ∙ 4)2
1112 Addera talen 237 och 387 och dividera därefter summan med produkten av 12 och 13.
2
Vilket svar får du?
1113 Beräkna a) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3
1105 I vilket räknesätt beräknar man en differens?
b) (8 – 2)2/3 – 1
1106 Beräkna
c)
14 8 c) 14 – 6 /2 2 4 b) 14 – 4 ∙ 2 d) (14 – 6)/2
3 23 24 32 4 22 Kontrollera dina svar med räknare.
a)
1114 Vilket tal ska stå i rutan? a) 8 ∙ 50 – 40 ∙
a) 6 ∙ 7 + 3 ∙ 8 c) 32 + 5 ∙ (3 – 1) b) (8 – 4)2 + 3 ∙ 2 d) 7 + 3 ∙ 22
b) 4 + 8 ∙ (
1115 Värdet av uttrycket 2 ∙ 32 + 3 ∙ 4 är 30. a) Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen. Bestäm det nya värdet.
Kontrollera dina svar med räknare. 1108 Elisa använder sin räknare till 42 + 18 beräkningen 2+8 Hon trycker 42 + 18/2 + 8.
b) Bestäm de värden som är möjliga att få med hjälp av en parentes. 1116 Uttrycket (30 – 12)/(2 + 4) har värdet 3. Vilket blir värdet om
a) Vilket resultat visar räknaren?
a) parentesen runt täljaren tas bort
b) Vilket fel gör Elisa?
b) parentesen runt nämnaren tas bort
c) Vilket är rätt svar? 1109 Beräkna 6 279 ⋅ 6 a) 138 + 17 b) 23 ⋅ 39 31 c) 3 ∙ (12 + 19) + 83 – 9 ∙ 3 1110 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5 b) Eric skriver på ett prov:
1117 Produkten 16 ∙ 40 = 640. Vad är då a) 17 ∙ 40 c) 40 ∙ 15
3
b) 16 ∙ 41 d) 17 ∙ 41?
1118 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 36/(a/10) a) mindre än 1 c) mindre än 9
Svaret är rätt, men läraren ger ändå Eric fel. Varför?
b) större än 9 d) större än 3?
1111 Visa hur man beräknar. a) 2 ∙ 32 b) (2 ∙ 3)2
Kap 1 Vux 1abc.indd 12
c) båda parenteserna tas bort?
2 ∙ 52 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45
c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning.
12
□ = 200
□ – 1) = 36
1107 Beräkna
1119 Ett tal multipliceras med 4. Från produkten subtraheras 7. Differensen divideras med 3. Kvoten höjs upp med 3. Potensens värde är 27. Vilket var det ursprungliga talet? aritmetik och algebra
2021-12-20 16:49
Aktivitet Minsta gemensamma nämnare (MGN) och primtal I den här aktiviteten får du träna på att faktorisera tal både med och utan digitalt verktyg. Syftet är att du ska kunna hitta minsta gemensam nämnare samt veta vad ett primtal är. Materiel: Digitalt verktyg som kan faktorisera. Vid addition och subtraktion av tal i bråkform måste vi skriva bråken med gemensam nämnare. 1 1 Den minsta gemensamma nämnaren (MGN) till + är det 6 8 minsta talet som både 6 och 8 är delbara med. MGN kan bestämmas på olika sätt: Metod 2:
Metod 1: 6:ans tabell 1 · 6 = 6 2 · 6 = 12 3 · 6 = 18 4 · 6 = 24
8:ans tabell 1·8=8 2 · 8 = 16 3 · 8 = 24 4 · 8 = 32
MGN = 24
Vi faktoriserar 6 och 8 så långt som möjligt. Det betyder att vi skriver talen med så små heltalsfaktorer som det går. 6 = 2 · 3 och 8 = 2 · 2 · 2 MGN är en produkt av det största antalet 2:or (3 st) och det största antalet 3:or (1 st) som finns i något av talen. MGN = 2 · 2 · 2 · 3 = 24
1 Faktorisera talen så långt som möjligt. a) 35 b) 30 c) 20 d) 17 2 Vilken är minsta gemensamma nämnaren, MGN, till talen 1 1 1 och d) 1 och 8 12 3 18 1 1 1 b) och e) 1 och 6 9 3 4 1 1 1 1 c) och f) och 10 15 15 6 a)
3 Tal som inte kan faktoriseras (utom som en produkt av 1 och talet självt) kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5 och 7. Vilka primtal finns det mellan 10 och 30? 4 Med ett digitalt verktyg kan vi faktorisera stora tal och avgöra om de är primtal eller ej. Faktorisera (78) 2 3 13
Talet 78 kan faktoriseras och är alltså inte ett primtal.
Faktorisera a) 115 b) 125 c) 127 d) 124 e) Är något av talen ett primtal?
1.2 REPETITION AV BRÅK OCH DECIMALTAL
Kap 1 Vux 1abc.indd 21
21
2021-12-20 16:49
Historik Algebra genom tiderna Matematiker har genom alla tider löst problem med obekanta tal. I Kina och Egypten förekom tidigt en sorts ”retorisk algebra” där man beskrev matematiken med ord i stället för symboler. Såväl frågeställningar som lösningar innehöll mycket text och blev därför svåra att förstå. I det antika Grekland infördes vissa symboler i algebran men den var ändå till största delen retorisk. Matematikern Diofantos, som levde i dagens Egypten runt år 250, kallas ofta den första algebraikern. Han arbetade bland annat med ekvationer skrivna på formen Ax + Bx = C, där A, B och C är heltal. Sådana ekvationer är uppkallade efter honom och kallas diofantiska ekvationer. Ordet ”algebra” kommer från ett verk från år 825 av matematikern al-Khwarizmi, som verkade i Bagdad i dagens Irak. Titeln innehöll ordet al-Jabr, vilket kan översättas till återförening. Verket innehöll bland annat metoder för att lösa ekvationer. Algebran var fortfarande till största delen retorisk. Den symboliska algebran infördes på allvar på 1400-talet av matematikern Al-Qalasādī, som levde i dagens Spanien. Han använde bl.a. symboler för de fyra räknesätten, upphöjt och lika med. Först drygt 100 år senare införde fransmannen François Viète standarden att använda bokstäver som x och y.
1 Utgå från ekvationen 2x + 3y = C där x, y och C är positiva heltal. a) Vad är x om y = 4 och C = 26? b) Vad är y om x = 5 och C = 25? c) Bestäm samtliga positiva heltalslösningar till 2x + 3y = 25 respektive 2x + 3y = 26.
2 I antikens Grekland var det vanligt med matematiska gåtor. Följande är hämtad från boken Matematikens kulturhistoria av John McLeish: ”Ett antal äpplen skall delas mellan sex personer. Den förste får 1/3 av det totala antalet, den andre 1/8, den tredje 1/4, den fjärde 1/5. Den femte får 10 äpplen, varefter endast 1 äpple återstår till den sjätte personen. Hur många äpplen finns det allt som allt?” a) Lös uppgiften med en ekvation. b) Lös uppgiften utan att använda algebra.
48
Kap 1 Vux 1abc.indd 48
aritmetik och algebra
2021-12-20 16:50
1.4 Mer om uttryck och ekvationer Multiplicera in i parenteser Exempel 1
En ros kostar x kr och gröna kvistar kostar 60 kr. Ett uttryck för priset på en bukett med 5 rosor och gröna kvistar är (5x + 60) kr. Vi skriver ett uttryck för priset på två buketter på olika sätt: ◗ Om vi tänker två buketter kan vi skriva 2 · (5x + 60) = 2(5x + 60) ◗ Om vi tänker 10 rosor och 2 uppsättningar gröna kvistar kan vi skriva 10 · x + 2 · 60 = 10x + 120 Vi kan se att uttrycken är lika genom att multiplicera in 2:an i parentesen. 2(5x + 60) = 2 · 5x + 2 · 60 = 10x + 120 Allmänt gäller:
Multiplicera in en faktor Exempel 2
a (b + c) = ab + ac Vi skriver ett uttryck för hur mycket pengar man har kvar av 500 kr om man köper tre buketter. 500 – 3(5x + 60) Vi förenklar uttrycket.
−3 multipliceras med båda termerna i parentesen.
500 – 3 · 5x – 3 · 60 = = 500 – 15x – 180 = 320 – 15x 1401
Lös ekvationen 3(4x + 2) = 30 Metod 1
Metod 2
Börja med att förenkla VL.
Börja med att dividera med 3. 3(4x + 2) = 30
3(4x + 2) = 30 12 x + 6 = 30 12 x + 6 – 6 = 30 – 6 12 x = 24 12 x 24 = 12 12 x=2
1.4 MER OM UTTRYCK OCH EKVATIONER
Kap 1 Vux 1abc.indd 49
3(4 x + 2) 30 = 3 3 4x + 2 = 10 4x + 2 – 2 = 10 – 2 4x = 8 4x 8 = 4 4 x=2
49
2021-12-20 16:50
1402
a) Förenkla uttrycket 17 – 2(5 – 2y)
b) Lös ekvationen 17 – 2(5 – 2y) = 6y b) 17 – 2(5 – 2y) = 6y
a) 17 – 2(5 – 2y) =
VL har vi förenklat i a).
= 17 – 10 + 4y =
7 + 4y = 6y
= 7 + 4y
7 + 4y – 4y = 6y – 4y 7 = 2y
Svar: 7 + 4y
7 2y = 2 2 y = 3,5 Svar: y = 3,5
1 1403 Förenkla uttrycken.
1408
a) 4 + 2(x + 5)
c) 4(2 x + 3) – 8
b) 4 + 2(x – 5)
d) 4(2 x – 3) + 8
x kr
1404 Visa hur man löser ekvationen 2(x + 4) = 28 genom att börja med att a) multiplicera in 2 i parentesen b) dividera båda leden med 2.
En banan kostar x kr och ett päron kostar 5 kr mindre. a) Skriv ett uttryck för kostnaden av tre päron.
1405 Lös ekvationerna. a) 2(4x + 3) = 22
b) Tre päron kostar lika mycket som två bananer. Skriv en ekvation och bestäm hur mycket en banan respektive ett päron kostar.
b) 5(6 + 2 x) = 20x c) 4(x – 3) = 2x + 8 d) 9(y – 4) = 3 y
1409 Förenkla uttrycken.
1406 Förenkla a) 3 · (–5 y)
c) –7 · (–4 y)
b) –2 · 0,5 x
d) 9 · (–10 x)
a) 10 + 7(2 x – 1) b) 10 – 7(2 x – 1) c) 9 y – 5( y + 2) d) 12 x – 4(3 – x)
1407 Vilka uttryck är lika? 2
(x – 5) kr
A x – 6x
D x(x – 6)
B 2(3 – x)
E x(1 + x) – x
C x2
F x – 3(x – 2)
1410 Edit förenklar 12 – 4(x – 3) till 8(x – 3) = 8x – 24 a) Vilket fel gör hon? b) Visa en korrekt förenkling.
50
Kap 1 Vux 1abc.indd 50
aritmetik och algebra
2021-12-20 16:50
1411
1414 Bestäm ett värde på a så att uttrycket 2(2a – 4) – 2(a – 3) får värdet 1 000. 1415 Nadia löser ekvationen 0,02(0,5 + x ) = 0,1x med sitt digitala verktyg och får resultatet
x
1 8
Visa hur du kan få samma svar utan hjälp av digitala verktyg. 1416 Undersök om det finns något värde på konstanten a så att ekvationen 3(ax + 2) = 2 a – x x kg
har lösningen
(x + 3) kg
a) x = 0 c) x = –1
I kulstötning väger en damkula x kg och en herrkula väger (x + 3) kg. Ekvationen 2x + 3(x + 3) = 29 kan användas för att beräkna vikterna. a) Tolka innebörden av ekvationen. b) Lös ekvationen.
2
c) Vad väger 5 damkulor och 2 herrkulor tillsammans?
2 3
1417 Det kostar 140 kr mer att hyra en padelbana en timme på helger jämfört med på vardagar. Tre timmar på helgen kostar 50 kr mer än fem timmar på en vardag. Bestäm kostnaden per timme på
1412 Lös ekvationerna. a) 9(z – 1) – 2(3z + 4) = 7 b) 4(10 – 3x) – 3(16 – 5x) = 1 c) 2(x + 1) – 5(x – 3) = 5 d) 3(20 + y) – 2(5 + 2y) = 40 1413 Fredrik är 2 år äldre än Oscar. Deras pappa är fyra gånger så gammal som Fredrik. Skriv och förenkla ett uttryck för deras sammanlagda ålder om a) Oscar är x år gammal b) Fredrik är y år gammal.
1.4 MER OM UTTRYCK OCH EKVATIONER
Kap 1 Vux 1abc.indd 51
b) x = 2 d) x =
3
a) vardagar b) helger.
1418 Vilket tal är k om värdet på uttrycket 67 – 3k är dubbelt så stort som värdet på uttrycket k – 9? 1419 Ett kompisgäng fikar i en cafeteria. Några beställer kaffe för 24 kr per kopp och andra beställer caffè latte för 35 kr koppen. Notan är på totalt 437 kr. Hur många drack kaffe respektive caffè latte om de var 15 personer som fikade?
51
2021-12-20 16:50
2.1 Potenser Potenslagar Vi påminner om att upprepad multiplikation av samma faktor kan skrivas som en potens. Produkten 5 · 5 · 5 kan skrivas som 53. bas, exponent faktorform
53 är ett tal i potensform med basen 5 och exponenten 3. 53 läses ”fem upphöjt till tre”. Potensen 53 skrivs i faktorform som 5 ∙ 5 ∙ 5 och 53 har värdet 125.
Exponent
53
Bas
Potens
Vi presenterar fem viktiga potenslagar: 1 Multiplikation av potenser med samma bas
3 faktorer
23 ∙ 24 = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 27 4 faktorer
7 faktorer
Vi får samma resultat om vi adderar exponenterna: 2 3 ∙ 2 4 = 2 3 + 4 = 27 Potenslag 1
axa y
ax
y
2 Division av potenser med samma bas 35 3 3 3 3 3 = = 33 3 3 32 Vi får samma resultat om vi subtraherar exponenterna: 35 =3355 2– 2 =3333 32 Potenslag 2
ax ay
ax
y
3 Potens av en potens 4
(23) = 23 ∙ 23 ∙ 23 ∙ 23 = 23 + 3 + 3 + 3 = 212 Vi får samma resultat om vi multiplicerar exponenterna: 4
(23) = 23 ∙ 4 = 212 Potenslag 3
94
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 94
(a x )y a x y
Potenser och formler
2022-01-03 16:50
4 Potens av en produkt (5 ∙ a)3 = (5 ∙ a) ∙ (5 ∙ a) ∙ (5 ∙ a) = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ a ∙ a ∙ a = 53 ∙ a3 Vi får samma resultat om vi upphöjer varje faktor till 3: (5a)3 = 53 a3 Potenslag 4
( ab)
x
a xb x
5 Potens av en kvot
()
3
2 2 2 2 2 2 2 23 = ∙ ∙ = = 5 5 5 5 5 5 5 53
Vi får samma resultat om både täljare och nämnare upphöjs till 3:
()
3
23 2 = 3 5 5 x
Potenslag 5
x a a b bx
Potenser och digitala verktyg Vanliga tangenter för ”upphöjt till” är Ù , xy eller 23 = 2
2101
Ù 3 = 8
a) Skriv 103 i faktorform. b) Skriv x · x · x · x i potensform. a) 103 = 10 · 10 · 10
2102
b) x · x · x · x = x4
Skriv som en potens. 6 4 c) 5 · 53 a) 32 b) (23) 3 a)
36 = 36 − 2 = 34 32 4
b) (23) = 23 · 4 = 212 c) 5 · 53 = 51 · 53 = 51 + 3 = 54
2.1 POTENSER
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 95
95
2022-01-03 16:50
2103
Förenkla a) 4b2 · 2b3 b) 2a · (–3a2) a) 4b2 · 2b3 = 4 · 2 · b2 · b3 = 8b2 + 3 = 8b5 2
1
2
1+2
b) 2a · (–3a ) = 2 · (–3) · a · a = –6a
2104
= –6a
Man kan byta plats på faktorerna vid multiplikation.
3
Förenkla (2 x )3 x
4
a)
48 ⋅ 42 ⋅ 4 43
a)
48 ⋅ 42 ⋅ 4 48 + 2 + 1 411 = = 3 = 411 – 3 = 48 43 4 43
2x
3
b)
=
x
b)
1 c) 2a
23 ⋅ x 3 = 23 x 3 1 = 8x2 x1
4
14 1 14 1 c) = 4 4= = 4 a 2 a4 16 ⋅ a 2 2a
(ab)x = axbx
x
( ab ) = ab
x x
1 2110 a) Uttrycket 32 · 34 kan skrivas 36.
2105 Skriv i potensform. a) 4 · 4 · 4 c) x · x b) 7 · 7 · 7 · 7 d) 5 · 5 · 5
4
46 kan skrivas 42. 44 Visa att likheten gäller genom att först skriva potenserna i faktorform. b) Uttrycket
2106 Skriv i faktorform. a) 62 b) 36 c) a5 2107 Beräkna värdet av en potens med basen 2 och exponenten 6. 2108 Förenkla, dvs. skriv som en potens. a) 52 ∙ 54
c) a5 ∙ a7 ∙ a
a9 1015 b) 12 d) a5 10
2
5
a) 2 – 4 c) 10 – 10
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 96
2112 Förenkla 2
3
b) 25 – 52 d) 3 + 2 · 23
96
3
2111 Är den sant att (103) är detsamma som en miljon? Motivera.
2 7 3 a) 6 3 · 6 b) (3 ) c) 6 ·6 35
2109 Beräkna, först utan och sedan med räknare. 4
Visa att likheten gäller genom att först skriva potenserna i faktorform.
49 2 (42)
2113 Vilken eller vilka av uttrycken kan skrivas som en potens med hjälp av potenslagen a x a y = a x + y? Motivera. A 32 · 23 B 32 + 32 C 53 · 54
Potenser och formler
2022-01-03 16:50
2114 Vilken förenkling är korrekt? Uttryck
2123 Lös ekvationerna. a) 73x · 72 = 714
Förenkling
A
32
6 eller 9
B
x2 · x3
x5 eller x6
C
x2 + x2
2x2 eller x4
D
6x5 2x2
3x3 eller 4x3
b) 3 · 34x = 32x · 35 c) 65 · 6 8 = 64 + x 5
d) 62x = (64 ) 2124 Förenkla
a) 4ab2 · (–3a3b) c) (–3a)2 · (–2a2)
( )
2115 Förenkla 2
a) (a4 ) ∙ a5
2 2 b) 5x 2 d) 2a 3 b (5x)
b) (10a)3
2125 Om b2 = 5, vad är då (3b)2 ?
2116 Förenkla a)
4 x5 x3
2
b)
(2 x )4 x
x2 c) 3
3
2117 Vilket värde har x?
2x = 210 26 b) (2 x )5 = 215 d) 2 ∙ 23 ∙ 2 x = 213
a) 2 x ∙ 23 = 27 c)
2118 Förenkla a) 3x · 5y · x · 2y b) 3x + 5y + x + 2y 2119 Förenkla
3
() () 2
2126 a) Beräkna 2 – 1 5 2 2
b) Förenkla
2x2 x2 – 7 28
2127 Vilket tal är x? a) 2 x ∙ 4 = 215 c) 2 x = 4 · 21 000 b)
82 = 4 d) 3x = 3300 + 3300 + 3300 2x
a) 5a2 · 3a3 b) –6b · 2b4 2120 Egon är en egenföretagare. Han drömmer om att antalet personer i företaget ska fördubblas varje år.
3x
3
2128 Förenkla
2
((x ) ) a b
2x ba
"Om 20 år skulle jag nog ha minst 100 000 anställda", tänker han.
2
Stämmer detta? Motivera.
2121 Skriv i potensform med basen 2 det tal som är a) dubbelt så stort som 28 b) hälften så stort som 28. 2122 Freja påstår att 42 + 42 + 42 kan skrivas 46. a) Förklara varför det är fel. b) Hur kan 42 + 42 + 42 skrivas kortare?
2.1 POTENSER
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 97
97
2022-01-03 16:51
Ekvationslösning med digitalt verktyg I det här avsnittet tar vi hjälp av ett digitalt verktyg för att lösa ekvationer. Med hjälp av en ekvationslösare kan vi snabbt kontrollera om vi löst en ekvation korrekt. Vi kan också lösa ekvationer, även för vilka lösningsmetoden inte ingår i kurs 1. Exempel
112 7 = och får svaret x = 0,3125. 5 x Sedan kontrollerar vi med ett digitalt verktyg. Olika program har olika kommandon, t.ex. Lös( ), Solve( ) eller Nlös( ).
Vi löser ekvationen
Exakt
Närmevärde
7 Lös 112 = x 5 x= 5 16
2244
Lös ekvationen x5 = 20 a) Svara exakt.
Svaret ges med ett likhetstecken trots att det är ett närmevärde. I menyn för inställningar kan ofta antalet decimaler ändras.
7 NLös 112 5 = x
x = 0.31
b) Svara med ett närmevärde med två decimaler.
a) Exakt b) Närmevärde Lös (x5 = 20) x = 5 20
NLös (x5 = 20) x = 1.8206
Svar: x = 5 20 Svar: x ≈ 1,82
2245
Lös ekvationen 2 000 · 1,06x = 2 400 med ett digitalt verktyg. Svara med en decimal. Exakt Lös(2000 1.06x = 2400) x = –ln(2) – ln(3) + ln(5) ln(2) + 2ln(5) – ln(53)
Den exakta lösningen är ibland svår att tolka. Det ingår inte i kursen.
Närmevärde NLös (2000 1.06x = 2400) x = 3.129
Svar: x ≈ 3,1
114
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 114
Potenser och formler
2022-01-03 16:51
1
2
2246 Lös ekvationerna med digitalt verktyg. Svara både exakt och med ett närmevärde med två decimaler.
2251 Ett schackbräde har 64 rutor. Vi lägger 1 riskorn på första rutan, 2 på andra, 4 på tredje, 8 på fjärde och så vidare.
a)
x2 =7 5
b) x 3 = 100
a) Hur många riskorn blir det på sista rutan?
c) 2 y 4 = 12
b) Skriv ett uttryck för antalet riskorn på ruta nummer n.
2247 Lös ekvationen x2 = x + 2 med digitalt verktyg och visa med prövning att lösningen är korrekt. 2248 Lös ekvationerna med digitalt verktyg. a) 13a – 24 = 17 + 21a
c) Vilket nummer har rutan med ungefär en halv miljon riskorn? 2252 Kvadraten på ett tal är 6 mer än talet. Vilket är talet?
b) 0,63 – 1,7a = 0,24
a) Teckna en ekvation som löser uppgiften.
c) 3a5 = 23 328
b) Lös ekvationen och visa att lösningen stämmer.
d) 12 · 4 x = 96 2249 Summan av ett tal i kvadrat och kvadratroten ur talet är 1. Vilket är talet?
2253 En akties värde fördubblas på 3,5 år. Hur stor är den genomsnittliga procentuella värdeökningen per år?
a) Teckna en ekvation som löser uppgiften. b) Lös ekvationen och kontrollera om svaret är exakt. 2250 Loi sätter in 2 000 kr på ett konto med fast ränta, 1 % per år. Hur många år tar det innan pengarna vuxit till 4 000 kr?
2.2 POTENSEKVATIONER
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 115
2254 Hur många rötter har ekvationen
3
a4 – 2a3 – 20a2 + 10a + 75 = 0?
2255 Bestäm a så att ekvationen x2 + ax + 1 = a2 har lösningarna x1 = 1 och x2 = –3.
115
2022-01-03 16:51
Tema
HÖGSKOLEPROV
Algebra Följande uppgifter är hämtade från tidigare Högskoleprov. Du får inte använda räknare. Ett av alternativen A–D är korrekt. Vilket?
1 Vilket värde har x om 5(x – 1) = 2(x + 2)? 1 1 A – B C 1 D 3 7 7 2 För de positiva talen A, b och h gäller bh sambandet A = 2 Vad är h? 2b A h = 2Ab C h = 2 2A b D h = B h= b 2A 3
9 x − 13 =1 2 Vad är x? A
14 11 B C 5 D 14 9 9 3 3
4 13 – x = –24
x x 35 + = 3 4 12 Vad är x? A 3 B 4 C 5 D 7
8 Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket 7 x 2 + 91 x ? 7x A x – 13 C x + 13 B 7x2 – 13 D 7x2 + 13 9 Vilket svarsförslag motsvarar bäst ”produkten av tre x och fem y är lika mycket som kvoten mellan trettio z och två w”? A xyz = w C xy = zw w B xyw = z D xy = z 10 Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket 3xy2 + 2x2y? A xy(3y + 2x) C x(3y2 + 2x2)
Vad är x? A –37 B –11 C 11
7
D 37
5 Vilket av svarsalternativen motsvarar uttrycket x – (y + x) – y?
B 5x3y3 D 5xy(y + x) 11 Vilket av svarsalternativen motsvarar uttrycket (2a – 3b)(3a + 2b)?
A 2x – 2y C –2y
A 5a2 – 2ab – 5b2 C 6a2 – 5ab – 6b2
B 2x D 0
B 6a2 – 18ab + 6b2 D 6a2 – 6b2
6 Vilket svarsalternativ motsvarar en förenkling av uttrycket 8 – 3 · (5x – 3) – 4x – (2 – 9x)? A –10x + 15 C 30x – 17 B –28x + 15 D 12x – 17
130
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 130
12 2px + p = (12 – p)x + 1 Vilket värde ska konstanten p ha för att 1 lösningen till ekvationen ska vara x = – ? 2 1 14 A – B 10 C D 12 21 5
Potenser och formler
2022-01-03 16:51
Sant eller falskt?
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 30 är större än 20. 2 Ekvationen x2 = 7 har två lösningar. 3 Uttrycken
15a − 20 och 5a – 4 är lika. 5
9 Lösningen till x3 = 8 kan skrivas x = 81/3. 10 11
x är negativt om x < 0.
((a ) ) kan skrivas a 4 2 3
24
.
p kan skrivas som p = 1,5k. 1, 5
4 Talet 108 är dubbelt så stort som 104.
12 Formeln k =
5 85 · 8 –5 kan förenklas till 1.
13
6 Formeln p = 0,12s visar att p är 12 % mer än s.
14 Formeln a = bx – c kan skrivas c = a – bx.
7 24 är hälften så stort som 25.
15 Uttrycket x2 – (x + 3)(x – 2) kan förenklas till 6 – x.
8 (x + 3)(x + 3) kan skrivas om till x2 + 9.
Potenser och formler
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 149
0, 25 är ett tal som är större än 0,25.
16 25 + 25 kan skrivas 26.
149
2022-01-03 16:52
Sammanfattning 2 Potenser
Kvadratrot
25 är en potens med basen 2 och exponenten 5.
Kvadratroten ur x är det positiva tal vars 1 kvadrat är x och skrivs x eller x 2 .
5
2 =2∙2∙2∙2∙2
16 = 4 eftersom 42 = 16
(–2)3 = (–2) ∙ (–2) ∙ (–2)
0,01 = 0,1 eftersom 0,12 = 0,01 Potenslagarna
11 ≈ 3,32 (med digitalt verktyg)
Om x och y är reella tal gäller
a x
y
a
x
Potensekvationen x 2 = a
ax = ax – y ay
axa y ax y xy
(ab) = a b x
x
x
x
a a b = x b
4
5
32
36
(2 )
1/3 6
320 ⋅ 32 322 = 6 = 316 = 36 3
=2
1 ⋅6 3
2
=2 =4
Potensekvationen x n = a Ekvationen x 7 = 10 har en rot x = 101/7 ≈ 1,39 1
eftersom (10 1/7 ) = 10 7
7
= 101 = 10
Roten kan också skrivas x = 7 10 ≈ 1,39
2
x2 x x2 3 = 2 = 9 3
Allmänt gäller: xn = a där a är ett positivt tal har en rot x = a1/n
Definitioner a0 = 1
Ekvationen x 2 = –4 saknar lösningar.
7
(5x)2 = 52 x2 = 25x2
a–x =
Exempel:
1 ax
40 = 1 10 –2 =
⎧ x1 = 11 ≈ 3,32 ⎨ ⎩ x2 = – 11 ≈ – 3,32 Vid problemlösning är det ofta den positiva roten som efterfrågas.
Exempel:
3
Ekvationen x 2 = 11 har lösningen:
Ett annat skrivsätt för roten är
n
a.
Om n är ett jämnt tal har ekvationen även en negativ rot. x4 = 16 har lösningen x = ±2.
1 10 2
Multiplikation av två uttryck
Grundpotensform n
Talet a ∙ 10 är skrivet i grundpotensform om a är större eller lika med 1 och mindre än 10 samt om n är ett heltal. Exempel: 3 500 = 3,5 ∙ 10
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 150
Exempel: ( x – 4)(2x – 5) = 2x2 – 5x – 8x + 20 =
3
0,0008 = 8 ∙ 10 –4
150
a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
= 2x 2 – 13x + 20
Potenser och formler
2022-01-03 16:52
Faktorisera uttryck
Använda geometriska formler
Termerna 15x och 20 har den gemensamma faktorn 5.
Två exempel:
Vi kan bryta ut faktorn 5. 15x + 20 = 5(3x + 4)
A = 30 cm2 ger s = 30 cm ≈ 5,48 cm
Area A = s2 (s > 0) s
Det omvända kallas att multiplicera in 5 i parentesen. Formel En formel beskriver ett samband mellan två eller flera variabler, t.ex. A = b · h eller y = kx + m
s
Volym V = x
V = 1 000 dm3 ger x= 3
Lösa ut ur formler Exempel: Lös ut x ur y = kx + m y – m = kx + m – m y – m = kx kx y−m = k k y x= −m k
3
3
x
1 000 dm = 10 dm
1 000 kan skrivas 1 0001/3 x
x
Mönster och generella samband För att visa att ett samband gäller generellt (alltid) räcker det inte att undersöka ett eller flera exempel. Vi använder algebra för att visa generella samband. Exempel:
Enheter mätetal
1,65 m enhet
När vi byter till en större enhet blir mätetalet mindre och tvärtom. Exempel:
nr 1
nr 2
nr 3
nr 4
Mönstret i figurerna fortsätter på samma sätt. Antal punkter i figur nr 5 är 62 + 1 = 37. Formeln för antal punkter P i figur nr n är P = ( n + 1)2 + 1
64 000 000 000 B = 64 · 109 B = = 64 GB (gigabyte)
Potenser och formler
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 151
151
2022-01-03 16:52
Kan du det här? Delkapitel
BEGREPP
2.1 Potenser
Potens, bas och exponent
• skriva tal i potensform (Ej i 1a)
Exponenten noll, negativ exponent (Ej i 1a)
• tolka och utföra beräkningar med tal skrivna i potensform (Ej i 1a)
Tiopotens, grundpotensform (Ej i 1a)
• använda potenslagarna (Ej i 1a)
Potensekvation (Ej i 1a)
• lösa potensekvationer med och utan digitala verktyg (Ej i 1a)
2.2 Potensekvationer
Kvadratrot (Ej i 1a)
2.3 Uttryck och formler
• lösa ekvationer med digitala verktyg.
• multiplicera algebraiska uttryck
Faktorisera
• faktorisera uttryck genom att bryta ut en gemensam faktor
Formel
2.4 Algebra och geometriska formler
Enhet
2.5 Mönster och generella samband
Generellt samband
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 152
• förenkla uttryck med potenser. (Ej i 1a)
Faktor Bryta ut
152
PROCEDUR
Prefix
• teckna, tolka och använda formler • lösa ut en variabel ur en formel.
• använda formler för omkrets, area och volym.
• uttrycka generella samband med ord och formel • använda algebra för att visa generella samband.
Potenser och formler
2022-01-03 16:52
Testa dig själv 2 2.1 Potenser
10 Förenkla uttrycket (x – 3)(2x + 5) + x
1 Skriv som en potens. 37 ⋅ 35 a) 32
24 ⋅ 2 c) 5 6 (2 )
b) 85 ∙ 8 –3
d) (21/3)
11 En nyfödd flickas vikt i kg efter x månader kan under första året beräknas med formeln y = 3,5 + 0,5x a) Vilken ålder motsvarar vikten 8,0 kg enligt formeln?
6
2 Beräkna
b) Tolka formeln. Vad betyder 3,5 och 0,5?
a) 103 – 102
c) (5 + 7)0 + 3 ∙ 52
b) 21 – 20 + 2 –1
d) 5 ∙ 107 ∙ 3 ∙ 10 –6
3 Förenkla a)
a2 ⋅ a ⋅ a2 a6
b) 5(x 3)
2
12 Hos en trafikskola är kostnaden för körkortsundervisningen 3 400 kr och 550 kr för varje körlektion. a) Skriv en formel för den totala kostnaden om man deltar i undervisningen och tar x antal lektioner.
2a
3
c)
2 a2
b) För Tobias blev totalkostnaden 16 600 kr. Hur många lektioner tog han?
d) 7x2 ∙ 3x4
4 Skriv med basen 2. b) 8 · 25
a) 16
2.4 Algebra och geometriska formler 13 Beräkna längden av sidan s i en
2.2 Potensekvationer
a) kvadrat med arean 125 cm 2
5 Lös ekvationerna. 2
a) 2x = 98
b) kub med volymen 8 200 dm3. 3
b) 5x + 10 = 50
6 Hanna köpte aktier för 25 000 kr och sålde dem för 34 012 kr fyra år senare. Beräkna vilken årlig procentuell ökning det motsvarar. Lös uppgiften algebraiskt. 7 Lös ekvationen 2x2 = 12 + 2x med ett digitalt verktyg. Visa med prövning att lösningen är korrekt.
8 Du har uttrycket 6xy + 3xy2 a) Bryt ut faktorn y. b) Bryt ut största möjliga faktor. 9 Lös ut den variabel som står inom parentes efter formeln.
Potenser och formler
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 153
14 nr 1
nr 2
nr 3
a) Hur många prickar är det i figur nr 8? b) Vilket nummer har figuren med 55 prickar? c) Beskriv sambandet mellan antalet prickar och figurens nummer med en formel.
2.3 Uttryck och formler
a) p = ax + s (s)
2.5 Mönster och generella samband
15 Om du fördubblar sidorna i en rektangel, blir rektangelns area fyra gånger så stor. a) Undersök om påståendet stämmer för några rektanglar. b) Visa att din slutsats alltid gäller.
b) b = 2t – a (t)
153
2022-01-03 16:52
Blandade övningar 1–2 kurs 1a finns på sidorna 365–367.
Blandade övningar 2 1 Utan digitala verktyg
8 Bryt ut faktorn x ur uttrycken. a) 2x2 – x
1 Vilket värde har x? a) 480 000 = 4,8 ∙ 10x
9 Vilket av alternativen är en lösning till ekvationen 5 000 = 2 500 ∙ x 5 ?
b) 0,007 = 7 ∙ 10x c) 5 ∙ 106 + 5 ∙ 106 = 10x
x = 2 0,5
2 Vilket värde har x om likheten ska gälla? 103 a) 10 = x 10
10 x b) 5 = 10 –2 10
3 Multiplicera först och förenkla sedan. a) 3x(x + 2) – 2x2 4 2
b) 4xy2 + 2x
x = 21/5
10 Visa att rätblockets volym kan skrivas 2a3 – 2a2.
b) (3a – 2)(a + 5)
a−1
8
5 Vilket av uttrycken x–2
2x – 1
4x − 2 2
b) 2 x − 4 2
6 Lös ekvationerna. 4
a) (x 0,5) = 1
a 2a
11 Skriv talen i storleksordning med det minsta först. Motivera.
4x
är lika med a)
x = 0,51/5
2
4 Visa att (3 ) kan skrivas 3 utan att använda potenslagarna.
x–4
x = 0,5 0,5
b) x2 = –9
7 Småbord placeras ihop till ett längre bord enligt mönstret nedan. Vid bord 1 kan det sitta tre personer och vid bord 2 kan det sitta fem.
3
16
27
250,5
1
83
1
12 2
12 När Moa löst en matematisk uppgift fick hon det felaktiga svaret 3. I sista steget drog hon kvadratroten ur talet istället för att kvadrera det. Vilket var det rätta svaret? 13 Förenkla x+x a) x+x+x+x
b)
x2 x2 x2 x2
14 Undersök talföljdens mönster. bord 1
bord 2
bord 3
a) Hur många personer kan sitta vid bord 8? b) Skriv en formel för antalet personer A vid bord n.
154
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 154
4
7
13
16
a) Vilket är talet som utelämnats? b) Vilket är det 10:e talet om talföljden fortsätter enligt samma mönster? c) Ange ett uttryck för det n:te talet.
Potenser och formler
2022-01-03 16:52
15 Visa att 45 = 210 16 Teo ska bygga ett staket enligt bilden. Mellan två stolpar finns det fyra brädor.
20 Ett klot har volymen B cm3 och mantelarean B cm2. Bestäm klotets radie och det exakta värdet på B. Formeln för mantelarean för ett klot är: A = 4π r 2 21 Vilket värde får uttrycket 8x6 om x = 6? 72
a) Gör en tabell som visar antalet brädor för 2, 3, 4 och 5 stolpar. b) Hur många brädor krävs till 10 stolpar? c) Skriv en formel som visar sambandet mellan antalet brädor b och antalet stolpar s. 17 Lös ekvationen 5x ∙ 5 =
2 2 3
3
23 Lös ut a ur formlerna. a) (a x) = b y
b)
8
5
1 = a +1 b
1 Med digitala verktyg
18 Vilket tal är störst?
((8 ) )
22 Lös ekvationen (2x – 1)4 = 81
15 3 7 15 3 7 Avrunda svaret till två decimaler.
eller 238
24 Beräkna
Motivera.
19 Hur stor andel av figuren är färgad?
25 En kub har volymen 216 cm3. a) Vilken längd har en sida?
a)
b) Vilken area har en sidoyta? 26 Formeln s = v ∙ t beskriver sambandet mellan sträcka s, hastighet v och tid t.
2a
2
3a
b)
Hur stor blir tidsvinsten om medelhastigheten ökar från 80 km/h till 100 km/h när sträckan är 12 mil?
27 Lös ekvationerna med ett digitalt verktyg med ekvationslösare. 2a
Visa sedan hur du får samma svar utan digitalt verktyg. a) 5(x2 – 2) = x2
b) 4(x3 + 1) = 20
2a
Potenser och formler
Kap 2 Vux 1abc_220103.indd 155
155
2022-01-03 16:52
SVAR Kapitel 1
1111 a) 2 · 32 = 2 · 9 = 18
1103 a) 23
b) (2 · 3)2 = 62 = 36
c) 16
b) 43
1112 4 Lösning: (237 + 387)/(12 · 13) = 4
d) 0
1104 a) 29
c) 32
b) 18
d)64
1106 a) 1
b) 11 Lösning: (8 – 2)2 /3 – 1 = 62 /3 – 1 = = 36/3 – 1 = 12 – 1 = 11
c) 11
b) 6
d) 4
c) 1
1107 a) 66 b) 22 Lösning: (8 – 4)2 + 3 · 2 = 42 + 3 · 2 = = 16 + 6 = 22 c) 19 d) 19 Ledtråd: Beräkna potensen först. 1108 a) 59 b) Hon ska beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. Det gör hon inte. c) 6 Lösning: Metod 1 Beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. 42 + 18 60 =6 = 2+8 10
42 + 18 = (42 + 18)/(2 + 8) = 6 2+8 b) 42
b) 5
1115 a) T.ex. (2 · 32 + 3) · 4 = 84 b) 42, 84 och 96
b) 13
c) 578
1110 a) 45 b) Eric använder likhetstecknen på ett felaktigt sätt. c) 2 · 52 – 5 = 2 · 25 – 5 = = 50 – 5 = 45
d) 8 – (–2) = 8 + 2 = 10 e) –9 – (–5) = –9 + 5 = –4
1127 –12 ska minskas med 5. Resultatet blir –17. Kalle tänker nog: Två minustecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken. Minustecknen står inte intill varandra. –12 – 5 innebär att vi utgår från –12 och minskar talet med 5.
1128 a) –63
c) 28
b) –32
1117 a) 680 Ledtråd: Lägg till 40.
c) 12 d) 0 e) 4 Lösning: (–2)2 = (–2) · (–2) = 4
b) 656 c) 600 d) 697 1118 a) 361, 362, 363 osv. Ledtråd: a är större än 36. 10 c) 41, 42, 43 osv. d) 119, 118, 117…. 3, 2, 1
f) –8 Lösning: (–2) · (–2) · (–2) = = 4 · (–2) = –8 1129 a) –7 b) –9
b) –6 °C
1123 –4
1130 a) –17 c) –6 Ledtråd: Skriv om uttrycket. Ersätt – ( – ) med +
1124 a) –2
d) –6
d) 7
b) –8
e) –6
e) –18
c) 2
f) –10
f) –1
1125 a) 50 kr b) –250 kr
c) –650 kr d) –100 kr
1131 a) –3 b) 8 1132 a) 2 b) –9
384
Kap 7 Facit Vux 1abc_211228.indd 384
c) 9 d) –3
b) –4
1119 Talet är 4. 1122 a) 3 °C
c) 5 + (–7) = 5 – 7 = –2
Resultatet blir ett ännu mindre tal, –17.
1116 a) 28
b) 39, 38, 37…. 3, 2, 1
Metod 2 Skriv parenteser runt täljaren respektive nämnaren.
1109 a) 5
1114 a) 5
b) –5 + (–2) = –5 – 2 = –7
f) –4 – (–6) = –4 + 6 = 2
1113 a) 13
1105 Subtraktion
1126 a) 5 + (–2) = 5 – 2 = 3
c) 6 d) –2 c) –36 d) 32
SVAR
2021-12-28 16:37
1133 a) –3 Lösning: 20 − 5 15 = = –3 −4 − 1 −5 b) 4 c) –1 Lösning: 4 ( 5) 4 5 1 = = = –1 −1 4 ( 5) 4 5 d) 3 e) –2 f) 11 1134 a) –10 b) –20 Lösning: 10 + (–5) · 6 = 10 + (–30) = = 10 – 30 = –20 c) 11 d) –20 1135 a) –16 b) –18 Lösning: 12 – (–18) = 12 + 18 = 30 c) 19 d) –40 Lösning: –15 – (–40) = −15 + 40 = 25 1136 a) T.ex: 3 000 + (–1 000) = 2 000 b) T.ex: 1 000 + (– 3 000) = –2 000 c) T.ex: –500 + (–1 500) = –2 000 1137 a) 5 Lösning: Summan av de två talen dividerat med 2 ger medelvärdet. 3 + 7 10 =5 = 2 2 b) 2 c) 1 d) –5 e) –2,5 f) –14
1138 a) Nej. Förklaring: Summan av två negativa tal är alltid negativ, t.ex. –10 + (–10) = –20 b) Ja. Förklaring: T.ex. –25 – (–5) = –20 1139 a) –3 Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = 14 – 9 – 8 = = –3 b) 31 Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31 c) –11 Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)2 = = 14 – 9 – 4 · 4 = = 14 – 9 – 16 = –11 d) 15 Lösning: 14 + (–3)2 + (–2)3 = = 14 + 9 + (–8) = = 14 + 9 – 8 = 15 1140 Värdet ändras från 2 till –10.
Kap 7 Facit Vux 1abc_211228.indd 385
b) 15 18 c) 12 18 1208 Nej. Motivering: Täljaren och nämnaren har minskat men bråkets värde är detsamma. 1209 T.ex. 2 och 3 8 12 1210 a)
5 24 33 1 är lika med och 66 2 10 48 Ledtråd: Täljaren ska vara hälften så stor som nämnaren.
b)
20 6 och 8 är lika med 2 50 15 5 20 Ledtråd: Förkorta så långt det går.
1211 a) d
1141 a) 40
c) 30
b) n
b) –7
d) –5
c) e Ledtråd: 1/5 ska placeras vid bokstaven c.
1142 a) –2 och –4 ger största produkten (8). b) 3 och –4 ger minsta produkten (–12).
1204 a) 1 8
b) 7 8
d) i 1212 a)
1143 Talet är –5.
c) 3 5
1205 a) 1 av figuren är färgad. 4 Lösning: 2 av 8 lika stora delar är färgade. 2 2/2 1 = = 8 8/2 4 b) 3 av figuren är ofärgad. 4 1206 Han har 1 av resan kvar. 5
SVAR
1207 a) 8 18 Lösning: 4⋅2 4 8 = = 9 9 ⋅ 2 18
3 är större än 2 5 5 Motivering: Båda bråken består av femtedelar. Antalet delar, 3, är mer än 2.
b) 1 är större än 1 3 4 Motivering: Tredjedelar är större än fjärdedelar. c)
2 2 är större än 5 6 Motivering: Femtedelar är större än sjättedelar. Antalet delar är 2 i båda bråken.
385
2021-12-28 16:37
Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne
Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 1abc riktar sig till dig som ska läsa någon av kurserna Matematik 1a, 1b eller 1c inom vuxenutbildningen.
Matematik 5000+ finns till alla gymnasiets matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna goda förutsättningar att utveckla sina kunskaper i matematik.
Matematik
1abc
5000
5000
1abc
Matematik
5000
För reviderad ämnesplan!
Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning
Vux
Kapitelavslutning befäster begrepp och procedurer Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar
ISBN 978-91-27-46177-2
9 789127 461772
M5000Plus_1abc_VUX_Omslag_211214.indd 4-6
1abc
2021-12-21 15:54