Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne
Matematik
2b
Matematik
5000
5000
2b
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med större fokus på digitala verktyg.
Matematik
5000
För reviderad ämnesplan!
Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik. Digitala verktyg såsom kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning Kapitelavslutning som grundligt befäster begrepp och procedurer Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar
ISBN 978-91-27-46085-0
9 789127 460850
M5000Plus_2b_omslag_220619.indd 1-3
2b
2022-07-01 10:25
Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER Lösning av ekvationssystem Linn och Alice har var sin ryggsäck som handbagage när de flyger. Vid incheckningen vägs handbagaget. Deras ryggsäckar väger tillsammans 13 kg. Skillnaden i vikt är 3 kg. Hur mycket väger deras ryggsäckar?
Avgör om funktionen y = x – 3x2 + 5 har en maximieller minimipunkt. Motivera. Grafen har en maximipunkt. Motivering: x2-termens koefficient är negativ.
2221
REPETITIONSUPPGIFTER 2321
2
Avgör om funktionen y = x – 3x + 5 har en maximi- eller minimipunkt. Motivera.
ÖVNINGSUPPGIFTER 2123 Lös ekvationen x2 – 8x + 12 = 0 med lösningsformeln och kontrollera att din lösning är korrekt. 2134 Skriv ekvationen på formen x2 + px + q = 0 och lös den sedan algebraiskt 2
a) 5x – 15 = 10x b) 3x 2 – 102x + 720 = 0 c) –y2 + 0,4y + 1,4 = 0 d) 10y – 9 = y2 2 e) z + 0,125 = 0,5z 2
SVAR
4
00_Kurs 2b_Kap 0_220630.indd 4
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.
Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.
Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator). Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg. Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller ekvationslösande.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
2022-06-30 16:01
VARIATION I UNDERVISNINGEN För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.
Aktivitet Hur lång är en vit böna?
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till ekonomi, samhälle och estetiska ämnen.
Tema Tillväxtkurvor
Historik Ekvationer och lösningsformler
KAPITELSLUT
Sant eller falskt? Sammanfattning 4 Kan du det här? BEGREPP
Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4
00_Kurs 2b_Kap 0_220630.indd 5
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
PROCEDUR
Testa dig själv 4
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
5
2022-06-30 16:01
Innehåll 1. Algebra 8 Inledande aktivitet: Negativa tal och prioriteringsregler 9
1.1 Repetition 10 Negativa tal och prioriteringsregler 10 Beräkningar med tal i bråkform 13 Algebraiska uttryck 16 Ekvationer 20 Ekvationer med digitala verktyg 24
1.2 Linjära modeller 26 Repetition av formel, tabell och graf 26 Repetition av räta linjens ekvation 28 Mer om räta linjer 32 Linjär regression 35 Aktivitet: Regression och kast med tärning 39 Korrelation och korrelationskoefficient 40
1.3 Linjära ekvationssystem 43 Lösning av ekvationssystem 43 Substitutionsmetoden 47 Additionsmetoden 50 Tillämpningar och problemlösning 53 Några speciella ekvationssystem 57 Tema: Nu är det NOG 59 Tema: Nollpunktsanalys 62 Tema: Utbud och efterfrågan 65
1.4 Uttryck med parenteser 68 Repetition – multiplikation av uttryck 68 Aktivitet: Konjugat- och kvadreringsrelgerna 71 Konjugat- och kvadreringsrelgerna 72 Mer om konjugat- och kvaderingsreglerna 74 Faktorisera 76 Aktivitet: Sant eller falskt? 78 Sammanfattning 1 79 Kan du det här? 80 Testa dig själv 1 81 Blandade övningar 1 82
6
00_Kurs 2b_Kap 0_220630.indd 6
2. Algebra och icke-linjära modeller 86 Inledande aktivitet: Ekvationer med två rötter 87
2.1 Andragradsekvationer 88 Enkla andragradsekvationer 88 En lösningsformel 92 Mer om andragradsekvationer 95 Historik: Ekvationer och lösningsformler 98 Tillämpningar och problemlösning 100 Aktivitet: Samband mellan rötter och koefficienter 102
2.2 Andragradsfunktioner 103 Repetition av skrivsättet f(x) 103 Aktivitet: Andragradsfunktioner 107 Andragradsfunktionens graf 108 Andragradsfunktionens största eller minsta värde 113 Aktivitet: Rektanglar med en given omkrets 118 Problemlösning 119
2.3 Repetition av potensekvationer och exponentialfunktioner 123 Potenser och potensekvationer 123 Exponentialfunktioner 126 Aktivitet: Grafen till y = 10x 130
2.4 Logaritmer 131 Exponentialekvationer och logaritmer 131 Mer om logaritmer 133 Exponential- och potensekvationer 136 Aktivitet: Termosen 140 Aktivitet: Radioaktiva pärlor 140 Tillämpningar och problemlösning 141 Tema: Åldersbestämning med kol-14 146
2.5 Regressionsanalys 148 Regressionsanalys med olika modeller 148 Från graf till formel 152 Aktivitet: Sant eller falskt? 155 Sammanfattning 2 156 Kan du det här? 158 Testa dig själv 2 159 Blandade övningar 2 160 Blandade övningar 1–2 163
INNEHÅLL
2022-06-30 16:01
3. Statistik 166 Inledande aktivitet: Presentera data 167
3.1 Lägesmått och spridningsmått 168 Medelvärde, median och typvärde 168 Kvartiler och percentiler 172 Aktivitet: Vindhastigheter och snödjup 177 Lådagram 178 Standardavvikelse 184 Aktivitet: Hur lång är en vit böna? 187
3.2 Normalfördelning 188 Normalfördelat material 188 Normalfördelat material och digitala verktyg 192 Tema: Tillväxtkurvor 195 Aktivitet: Sant eller falskt? 196 Sammanfattning 3 197 Kan du det här? 198 Testa dig själv 3 199 Blandade övningar 3 200 Blandade övningar 1–3 202
4. Geometri 206 Inledande aktivitet: Vinkelsumman i en månghörning 207
4.1 Logik och bevis 208 Geometriska begrepp och definitioner 208 Sats och bevis 212 Implikation och ekvivalens 216
4.2 Några klassiska satser i geometri I 218 Yttervinkelsatsen 218 Aktivitet: Randvinklar 221 Randvinklar och medelpunktsvinklar 222 Pythagoras sats 226 Historik: Pythagoras sats 229
4.3 Några klassiska satser i geometri II 230 Likformighet 230 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 232 Bevis med likformighet 236 Kordasatsen och bisektrissatsen 238 Aktivitet: Dynamisk geometri 240
4.4 Koordinatgeometri 242 Avståndsformeln och mittpunktsformeln 242 Problemlösning 246 Aktivitet: Sant eller falskt? 249 Sammanfattning 4 250 Kan du det här? 252 Testa dig själv 4 253 Blandade övningar 4 254 Blandade övningar 1–4 256
Repetitionsuppgifter 262 Svar, ledtrådar och lösningar 268 Register 318
INNEHÅLL
00_Kurs 2b_Kap 0_220630.indd 7
7
2022-06-30 16:01
1
ALGEBRA
Algebra är ett fantastiskt redskap som används inom de flesta grenar i matematiken men även i många andra ämnen. Med hjälp av algebra kan vi bland annat lösa ekvationer och beskriva matematiska regler, lagar och samband.
Centralt innehåll
Med andra ord
• Begreppet linjärt ekvationssystem.
Kapitlet börjar med en repetition av räkneregler, bråkräkning, algebraiska uttryck och ekvationer samt räta linjens ekvation.
• Begreppet korrelationskoefficient. • Metoder för att lösa linjära ekvationssystem. • Motivering och hantering av konjugatoch kvadreringsreglerna. • Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i karaktärsämnen och samhällsliv.
Vi arbetar med linjära ekvationssystem, dvs. flera ekvationer som hör ihop. Här får du lära dig att lösa ekvationssystem både grafiskt och algebraiskt. Kapitlet avslutas med multiplikation av parentesuttryck och du får lära dig att använda några algebraiska regler för detta.
8
2b kap 1_220630.indd 8
2022-06-30 16:08
Inledande aktivitet NEGATIVA TAL OCH PRIORITERINGSREGLER Arbeta tillsammans två och två. Använd fyra papperslappar och skriv talen 2, –3, –5 och 4 på lapparna. 1 Välj två av lapparna och lägg dem så att a) summan blir så stor som möjligt b) differensen blir så stor som möjligt c) produkten blir så stor som möjligt d) kvoten blir så stor som möjligt. 2 Välj två av lapparna och lägg dem så att summan respektive produkten blir så liten som möjligt.
–5
3 Placera ut alla fyra talen så att resultatet av beräkningen ∙
+
∙
–3
2
4
4 Beräkna värdet på uttrycken B x2 – y
blir så
A x + 6y
a) stort som möjligt
a) då x = 2 och y = 4
b) litet som möjligt.
b) då x = –3 och y = –5.
9
2b kap 1_220630.indd 9
2022-06-30 16:08
1.1 Repetition Negativa tal och prioriteringsregler Vi börjar med att repetera regler för beräkningar med negativa tal. 1 Addition och subtraktion –5 + 7 = 2
–6
Vi startar vid talet –5 och går 7 steg åt höger.
–5
–4
–1 – 3 = –4
–6
–3
–2
–1
0
1
2
3
Vi startar vid talet –1 och går 3 steg åt vänster.
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4 – (–3) = 4 + 3 = 7
Tecknen – (–) intill varandra ersätts med +
4 + (–3) = 4 – 3 = 1
Tecknen + (–) intill varandra ersätts med –
2 Multiplikation 7 · (–3) = (–7) · 3 = –21
Olika tecken på två faktorer ger negativ produkt.
(–7) · (–3) = 21
Lika tecken på två faktorer ger positiv produkt.
3 Division 45 45 = = –5 −9 9
Olika tecken på täljare och nämnare ger negativ kvot.
−45 =5 −9
Lika tecken på täljare och nämnare ger positiv kvot.
Vi sammanfattar reglerna:
Räkneregler för negativa tal
10
2b kap 1_220630.indd 10
Addition och subtraktion Multiplikation Division −a a a a + (–b) = a – b a · (–b) = (–a) · b = –ab = =– b b −b −a a a – (–b) = a + b (–a) · (–b) = ab = −b b
algebra
2022-06-30 16:08
Vid beräkningar med flera räknesätt använder vi prioriteringsreglerna, som anger i vilken ordning vi ska räkna.
Prioriteringsreglerna
1101
1
Först beräknas uttryck inuti parenteser.
2
Därefter potenser (upphöjt till).
3
Sedan multiplikationer och divisioner.
4
Till sist additioner och subtraktioner.
Beräkna a) 5 – 9 c) –25 – (–50) b) 9 – 4 + 2
1102
d) 16 + (–9)
a) 5 – 9 = –4 c) –25 – (–50) = = –25 + 50 = 25
Tecknen – (–) ersätts med +
b) 9 – 4 + 2 = 7 d) 16 + (–9) = = 16 – 9 = 7
Tecknen + (–) ersätts med –
Beräkna a) –3 + 5 ∙ 2 – 1
b) 6 + 2(1 – 5)
a) –3 + 5 ∙ 2 – 1 = = –3 + 10 – 1 =
c) 4 – (–5) + 2 ∙ 32 d)
4 ( 5) 1 3
Först multiplikation Därefter addition och subtraktion
=7–1=6 b) 6 + 2(1 – 5) = = 6 + 2 ∙ (–4) =
Först parentesen Därefter multiplikation
= 6 – 8 = –2 c) 4 – (–5) + 2 ∙ 32 =
Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9
= 4 – (– 5) + 2 ∙ 9 =
Sedan multiplikationen
= 4 – (–5) + 18 =
Därefter subtraktion: – (–) ersätts med +
= 4 + 5 + 18 = 27 d)
1.1 REPETITION
2b kap 1_220630.indd 11
4 ( 5) 20 = = 10 2 1 3
Uttrycken i täljaren och nämnaren beräknas först.
11
2022-06-30 16:08
1 1110 Beräkna
Beräkna 1103–1107
a) 32 + 2 ∙ 3 + 1
1103 a) 5 – 8 c) –3 – 12
b) 2 ∙ 42 – 5 ∙ 4 + 2
b) –7 + 2 d) –5 + 9
c) (–2)2 + 4 ∙ (–2) + 5 d) (–1)2 + 3 ∙ (–1) – 2
1104 a) 7 + (–3) c) –8 + (–2) b) 5 – (–4) d) –3 – (–9) 1105 a) 4 ∙ (–3) c) (–4) ∙ (–5) b)
1111 Nicole ska beräkna 15 – 2 ∙ (–3)2 och skriver (–3) ∙ (–3) = 9 ∙ 2 = 18 15 – 18 = –3
−15 −24 d) 3 −6
a) Är svaret –3 korrekt?
1106 a) 8 – 6 ∙ 2 d) 3 ∙ (4 – 5)
b) Nicoles beräkning är inte korrekt. Vad i beräkningen är felaktigt?
b) 16 – 6 + 4 e) (–3) ∙ (–2) ∙ (–4) c) 5 – 2 ∙ (–4) f) 8 – 2(3 – 7) 1107 a) 9 ( 6) 7 2 b)
8 − (−4) c) −7 − (−1)
−5 − (−7) −10 − 6 d) 1 − (−1) −5 − (−3)
1108 Beräkna a) 2,97 – (–1,68) b)
c) 3,5 ∙ (–26)
5, 7 − 1, 2 117 − 265 d) −2, 2 − 3, 8 4
1109 I Målilla i Småland är det ofta varmt på sommaren. Värmerekordet i Målilla är +38,0 °C och köldrekordet är –33,8 °C. Hur stor är temperaturdifferensen?
2
c) Visa en korrekt beräkning.
1112 Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) 18 –
= 30
b) 16 –
· 5 = –4 35 = –3 c) – 8 –
1113 Beräkna (−24) + 12 – (–4) ∙ 3 2 (−6) 18 b) +5∙ 2 (−3)2 a) –
1114 Hur ändras värdet av uttrycket 5 – 2 ∙ (1 – 4) – 32 om parentesen tas bort? 1115 Beräkna a) 14 – 32 – 4 ∙ 2 b) 14 + (–3)2 – 4 ∙ (–2) c) 14 – (–3)2 – 4 ∙ (–2)3 d) 14 + (–3)2 + (–2)3 Kontrollera dina svar med räknare.
* E n ram runt uppgiftens nummer, t.ex. 1108 , betyder att du får använda digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften.
12
2b kap 1_220630.indd 12
algebra
2022-06-30 16:08
Linjär regression Exempel
linjär anpassning
Astrid har gjort några mätningar av längden y cm av en stockros x dagar efter plantering. x (dagar)
4
6
10
12
y (cm)
14
22
26
32
Astrid markerar sina uppmätta värden i ett koordinatsystem och vill beskriva hur stockrosen växer med en linjär modell:
cm
y = kx + m
30
Hon anpassar med ”ögonmått” en rät linje till sina uppmätta värden och använder sedan den inritade linjen som modell för hur längden varierar med tiden.
20
y
Linjens ekvation kan bestämmas med hjälp av avläsningar i koordinatsystemet. Punkterna (0, 8) och (12, 32) ligger på linjen. y 32 − 8 =2 = k= x 12 − 0 y = 2x + 8 Metoden att anpassa en rät linje till uppmätta värden med ögonmått ger olika resultat beroende på hur linjen ritas.
linjär regression
I figuren är de vertikala avvikelserna mellan linjen och mätpunkterna markerade. Med hjälp av dessa avvikelser, d1, d2, d3 och d4, kan man bestämma den linje som är bäst anpassad till punkterna. Ett digitalt verktyg kan hjälpa oss med detta. Metoden att på det här sättet skapa den räta linje som är bäst anpassad till kända data kallas linjär regression.
1.2 LINJÄRA MODELLER
2b kap 1_220630.indd 35
10
x 2
10 dagar
d4 d3 d2 d1
35
2022-06-30 16:08
1248
I tabellen är y stockrosens höjd i cm och x antalet dagar efter planteringen. x (dagar)
4
6
10
12
y (cm)
14
22
26
32
a) Anpassa en rät linje till mätvärdena i tabellen, dvs. gör en linjär regression. b) Tolka linjens k- och m-värde. c) Det linjära sambandet kan ses som en modell för hur höjden beror av tiden. Använd modellen och beräkna stockrosens höjd efter 7 dagar. d) Har modellen några begränsningar? a) Vi använder ett digitalt verktyg med kalkylblad eller listor och skriver in x- och y-värdena i var sin kolumn eller lista. Med hjälp av verktygets inbyggda funktion gör vi en linjär anpassning, vilket ger y = 2 x + 7,5. Det kan till exempel se ut så här: A
1 2 3 4
4 6 10 12
B
14 22 26 32
Y: B1:B4 30 20 10
3
4
Linjär modell
5
6
7
y = 2x + 7.5
8
9
10
11 12 X: A1:A4
b) k=2 Tolkning: Höjden ökar i genomsnitt med 2 cm per dag. m = 7,5 Tolkning: Höjden var 7,5 cm vid tiden för planteringen. c) y = 2 x + 7,5 och x = 7 ger y = 2 ∙ 7 + 7,5 = 21,5 Svar: Höjden var 21,5 cm. d) Ja, till exempel gäller modellen endast för positiva värden på höjden, dvs. y > 0. Stockrosen kan inte bli hur hög som helst. Om tillväxthastigheten ändras, upphör modellen att gälla.
36
2b kap 1_220630.indd 36
algebra
2022-06-30 16:09
1 1249 Thea har med ögonmått anpassat en rät linje till fyra mätpunkter. y
1252 Tabellen visar blodtrycket hos fem personer. Undre tryck, x (mmHg) 65
75
75
80
90
Övre tryck, y (mmHg)
110
120
130
150
100
a) Gör en linjär regression. b) En person har det undre trycket 85 mmHg. Beräkna personens övre tryck enligt modellen. 1
x 1
a) Bestäm ekvationen för den linje som Thea har ritat.
1253 En villaägare i Sydsverige med en gammal oljepanna har studerat sin oljeförbrukning under ett år. Månad
b) Avläs de fyra punkterna och skriv in värdena i ditt digitala verktyg. Anpassa en rät linje till punkterna. 1250 Ronja har gjort en linjär regression och fått följande resultat. 45 40 35 30
2
25 20 15 2
3
4
Linjär modell
5
6
7
8
9
10
11
y = 3x + 12
Hon avläser m = 17,5 vid linjens skärning med y-axeln och undrar varför det inte stämmer med regressionslinjens ekvation y = 3x + 12. Kan du förklara varför? 1251 Anpassa en rät linje till punkterna (–2, –5), (0, 0), (2, 4) och (3, 5). a) för hand b) med digitalt verktyg.
1.2 LINJÄRA MODELLER
2b kap 1_220630.indd 37
Medeltemp (°C)
Antal liter olja
Jan
2,0
550
Mars
6,4
435
Maj
11,2
275
Juli
17,6
75
Sept
14,0
200
Nov
9,6
310
Ställ upp en linjär modell och bestäm med hjälp av den oljeförbrukningen då medeltemperaturen är 4,0 °C.
1254 Tabellen visar snödjupet på en ort. Tiden anger antal dygn efter nyår. Tid (dygn)
Snödjup (cm)
2
5
4
18
6
28
8
35
10
45
a) A npassa en rät linje till värdena i tabellen. b) A nge och tolka vad riktningskoefficienten betyder i detta sammanhang.
37
2022-06-30 16:09
1255 Kati hänger vikter i en spiralfjäder för att bestämma ett samband mellan viktens massa, x kg, och fjäderns förlängning, y m.
Vikt (kg)
Förlängning (m)
0
0
2
0,060
3
0,085
4
0,12
5
0,20
6
0,22
7
0,27
8
0,29
a) A npassa en rät linje till punkterna i tabellen. b) Tolka vad riktningskoefficienten betyder i detta sammanhang. c) Hur förändras linjens ekvation om vi anger förlängningen i cm i stället?
3 1256
d) Har modellen några begränsningar?
x
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
y
8,6
8,3
8,2
7,3
6,8
Ta bort det felaktiga värdet och bestäm a och b utifrån övriga värden. 1257 Pernilla brukar springa ett varv i ett motionsspår. Tabellen visar hennes tider och hennes puls vid målet vid åtta olika motionstillfällen. Tid (min och s) Puls (slag/min) 17 min
2b kap 1_220630.indd 38
Använd den för att bestämma ett linjärt samband mellan pulsen y slag per minut och tiden x minuter. Puls (slag/min) 170 160 150 140 130
Tid 16
Mätvärdena ovan bör följa sambandet y = ax + b. Ett av mätvärdena är fel.
38
a) Pernilla gör en linjär anpassning för hand. Hon omvandlar tiderna till minuter och prickar in punkterna i ett koordinatsystem. Sedan anpassar hon en rät linje till punkterna.
3s
157
17 min 24 s
136
16 min 38 s
162
18 min 11 s
129
16 min 24 s
154
18 min 59 s
148
16 min 19 s
170
17 min
146
9s
17
18
min
b) Bestäm ett linjärt samband mellan pulsen y slag per minut och tiden x minuter med hjälp av ett digitalt verktyg. Börja med att skriva alla tiderna i minuter. c) Vilken puls motsvarar tiden 17,60 min enligt det linjära sambandet i b)? d) Det linjära sambandet ger en modell för hur pulsen beror av tiden. Har modellen några begränsningar? Motivera ditt svar. e) Tolka vad k-värdet i det linjära sambandet betyder i detta sammanhang.
algebra
2022-06-30 16:09
Aktivitet Regression och kast med tärning
I den här aktiviteten ska du kasta tärning. Syftet är att du ska anpassa en rät linje till mätvärden som du själv har skapat. Materiel: En sexsidig tärning Arbeta två och två.
1 Öppna ett kalkylblad och skriv följande: A B C D 1 Antal kast Total poäng Antal kast Total poäng 2 0 10 0 80 3 1 1 4 2 2 5 3 3 ... ... ...
Ni ska turas om att kasta en tärning. En av er startar med 10 poäng och en startar med 80 poäng. Den med 10 poäng adderar tärningens poäng vid varje kast till sin totala poäng. Den med 80 poäng subtraherar vid sina kast tärningens poäng från sin totala poäng. 2 Börja med att gissa: Hur många kast krävs för att ni ska få samma totalpoäng?
3 Kasta tärningen 15 gånger var och fyll i tabellen i kalkylbladet. Anpassa, med linjär regression, två linjer till värdena i tabellen. Den ena linjen beskriver poängökningen och den andra poängminskningen. 4 Rita linjerna i samma koordinatsystem på datorn eller räknaren. Avläs skärningspunkten. Efter hur många kast hade ni samma totalpoäng? 5 Teoretiskt kan linjerna skrivas y = 10 + 3,5x och y = 80 – 3,5x a) Bestäm algebraiskt skärningspunkten mellan dessa två linjer. b) Efter hur många kast borde man få samma totalpoäng, rent teoretiskt? c) Linjerna har k = 3,5 och k = –3,5. Hur kan du förklara detta?
1.2 LINJÄRA MODELLER
2b kap 1_220630.indd 39
39
2022-06-30 16:09
Tema
Nollpunktsanalys Räta linjens ekvation y = kx + m kan användas för att beskriva och analysera ekonomin i ett företag. Ett företag som producerar en produkt har dels fasta kostnader, dels rörliga kostnader. De fasta kostnaderna motsvaras av m-värdet och är desamma oavsett hur många produkter som produceras. De rörliga kostnaderna motsvaras av k-värdet och ökar med en ökad produktion. Nollpunktsdiagram tkr
intäkter
1 600
t
vins
1 200 totala kostnader
Nollpunkten 800 400
t
lus
för
100
200
300
400
Antal
I figuren visas ett så kallat nollpunktsdiagram med två grafer som är räta linjer. Intäktsgrafen börjar i origo. Om inga produkter säljs är intäkterna noll. Grafen för de totala kostnaderna är summan av de fasta och de rörliga kostnaderna. Nollpunkten (engelskans break-even) är punkten där intäktsgrafen skär grafen för de totala kostnaderna. Där är resultatet av tillverkning och försäljning noll. Till vänster om nollpunkten är resultatet negativt (förlust) och till höger om nollpunkten är resultatet positivt (vinst).
62
2b kap 1_220630.indd 62
algebra
2022-06-30 16:09
Tema Exempel
Kostnaden, y kr, för att tillverka en viss medicinteknisk produkt kan beskrivas med ekvationen y = 2 500x + 300 000 där x är antalet produkter. Tillverkaren säljer sedan produkterna för 4 000 kr styck. Intäkterna, y kr, för x sålda produkter kan därför beskrivas med ekvationen y = 4 000x. Figuren på föregående sida visar de två linjerna. För att ta reda på nollpunkten, det vill säga ett resultat som varken ger vinst eller förlust, löser vi ekvationssystemet: y 2 500 x 300 000 y 4 000 x Vi kan lösa ekvationssystemet grafiskt genom att läsa av skärningspunktens koordinater eller lösa ekvationssystemet algebraiskt. Lösningen till ekvationssystemet är: x 200 y 800 000 Det vill säga att om tillverkaren producerar 200 produkter är både de totala kostnaderna och intäkterna från försäljningen 800 000 kr. Tillverkaren går varken med vinst eller förlust.
1
tkr 100
Intäkter
y
Totala kostnader
80
2 En silversmed har följande kostnader och intäkter för att tillverka x smycken av en viss modell: Kostnaden i kr: K = 2 500 + 100x
60 40 20
x 2
4
6
8
10 12
Tillverkade/sålda enheter (100-tal)
Avläs i figuren a) den fasta kostnaden b) antalet sålda enheter som varken ger vinst eller förlust
Intäkter i kr: I = 350x a) Beräkna och tolka I då x = 5. b) Beräkna och tolka K då x = 5. c) Vad betyder talen 2 500, 100 och 350 i detta sammanhang? d) Hur många smycken måste smeden tillverka av denna modell för att gå med vinst?
c) vinsten vid 1 200 sålda enheter d) förlusten vid 200 sålda enheter.
algebra
2b kap 1_220630.indd 63
63
2022-06-30 16:09
Tema 3 Adrian har ett bageri. Han bakar och säljer surdegsbröd för 45 kr styck. Företagets fasta kostnader är 820 000 kr och de rörliga kostnaderna 20 kr per bröd. Adrians kostnader och intäkter kan beskrivas med följande ekvationssystem: y 20 x 820 000 y 45 x a) Lös ekvationssystemet. b) Vad innebär lösningen i detta fall? 4 Elvira har ett företag som säljer blommor. Hon köper in rosbuketter för 80 kr styck och hennes fasta kostnader är 54 000 kr. a) Skriv den totala kostnaden, y kr, för att köpa in x buketter på formen y = kx + m. b) Elvira säljer rosbuketterna för 170 kr styck. Beskriv hur intäkterna, y kr, beror av antalet sålda buketter, x st. c) Hur många buketter måste Elvira sälja för att inte gå med förlust? d) Beskriv på formen y = kx + m hur resultatet y kr beror av antalet sålda buketter, x st.
5 Aslak har ett måleriföretag. Graferna i figuren visar hans totala kostnader och hans intäkter. kr 1 200 000
y Intäkter
1 000 000 800 000
Totala kostnader
600 000 400 000 200 000
x 400 800 1200 Timmar
a) Företagets fasta kostnader är 490 000 kr. Beskriv på formen y = kx + m hur de totala kostnaderna, y kr, beror av x arbetade timmar. b) Vilket ekvationssystem visas i figuren? c) Hur många timmar måste Aslak arbeta för att företaget ska gå med vinst? 6 Daniyal har ett företag som tillverkar belysningsarmaturer. Hans intäkter, fasta och rörliga kostnader beskrivs i ekvationssystemet.
e) Beräkna resultatet då Elvira säljer 1 000 buketter.
y 100 x 45 000 y 200 x
f) Hur många buketter måste Elvira sälja för att vinsten ska vara 18 000 kr?
a) Lös ekvationssystemet och förklara vad lösningen innebär i detta sammanhang. b) Daniyal vill sänka försäljningspriset med 5 %. Med hur många procent måste försäljningsvolymen öka för att företaget inte ska gå med förlust?
64
2b kap 1_220630.indd 64
algebra
2022-06-30 16:09
Mer om andragradsekvationer När vi löser andragradsekvationer av typen ax2 + bx + c = 0 måste vi först skriva ekvationen på formen x2 + px + q = 0. Exempel
Vi ska lösa ekvationen 5x 2 + 50 = 30x
Vi subtraherar 30x från båda leden.
5x 2 − 30x + 50 = 0
Vi dividerar alla termer med 5.
x 2 − 6x + 10 = 0 Nu kan vi använda lösningsformeln: x = 3 ± 32 − 10 x = 3 ± −1 Ekvationen saknar lösning eftersom vi får ett negativt tal under rottecknet. Allmänt gäller att andragradsekvationen x2 + px + q = 0 har lösningen 2
x=–
p p ± −q 2 2 2
p Om uttrycket under rottecknet – q är 2 ◗ positivt har ekvationen två rötter med olika värde dubbelrot
◗ noll har ekvationen en dubbelrot, dvs. två rötter med samma värde ◗ negativt har ekvationen inga reella rötter. Ekvationen saknar lösning. 2
diskriminant
p Uttrycket under rottecknet, – q , kallas ekvationens diskriminant. 2 Vi sammanfattar lösning av andragradsekvationer ax2 + bx + c = 0 genom att ge exempel på när respektive lösningsmetod är lämplig. Ekvationens kännetecken
Exempel
Lämplig metod
2
Saknar x-term (b = 0)
2x – 8 = 0 x2 = 9
Ena ledet är en kvadrat och andra ledet är ett tal
(x + 2)2 = 4
Saknar konstantterm (c = 0)
x 2 – 6x = 0 4x 2 = 16x
Ena ledet är faktoriserat och andra ledet är noll
(x – 3)(x + 4) = 0 x(2x – 5) = 0
Kan skrivas x 2 + px + q = 0
x 2 – 6x + 16 = 0 3x 2 + 6x – 9 = 0
2.1 ANDRAGRADSEKVATIONER
2b kap 2_220630.indd 95
Kvadratrotsmetoden
Nollproduktmetoden
Lösningsformeln
95
2022-06-30 16:12
2130
Lös ekvationen 2x2 – 12x + 18 = 0. 2x2 – 12x + 18 = 0
Dividera alla termer med 2.
2
x – 6x + 9 = 0 x = 3 ± 32 − 9 x=3±0 Svar: x1 = x2 = 3 Ekvationen har en dubbelrot.
2131
Lös ekvationerna. a) 4 x 2 – 12 x = 7 b) x 2 + 5 = 4 x a) 4 x 2 – 12 x = 7
b) x 2 + 5 = 4 x
2
Dividera med 4. 4 x – 12 x – 7 = 0 7 x 2 – 3x – = 0 4
x 2 – 4x + 5 = 0 x = 2 ± 22 − 5 x = 2 ± −1
2
x=
3 7 3 ± + 4 2 2
x=
3 ± 2
Vi får ett negativt tal under rottecknet. Ekvationen saknar därför reella rötter.
9 7 + 4 4
3 ± 16 2 4 3 x= ±2 2 x=
Svar: x1 = 3,5
Svar: Ekvationen saknar reella rötter. x2 = –0,5
1 2132 Ange om ekvationerna har två rötter, har en dubbelrot eller saknar lösning. 2
a) x + 10x + 25 = 0 b) x 2 – 2x – 3 = 0 2
c) x – 2x + 6 = 0 2133 Ge exempel på en andragradsekvation som är lämplig att lösas med a) kvadratrotsmetoden b) nollproduktmetoden
2134 Skriv ekvationen på formen x2 + px + q = 0 och lös den sedan algebraiskt a) 5x2 – 10x = 15 b) 3x 2 – 102x + 720 = 0 c) –y2 + 0,4y + 1,4 = 0 d) 10y – 9 = y2 e)
z2 + 0,125 = 0,5z 2
c) lösningsformeln.
96
2b kap 2_220630.indd 96
Algebra och icke-linjära modeller
2022-06-30 16:12
2135 a) Vilken eller vilka av metoderna
2140 Lös ekvationerna algebraiskt. a) x 2 + 1,2 x = 0,6 x 2 + 1 b) ( x – 4)2 + ( x – 1)( x + 1) = 25 c) 2( x – 2)2 = ( x – 3)2
• kvadratrotsmetoden • nollproduktmetoden • lösningsformeln är lämpliga att använda när du löser följande ekvationer? I
2141 Undersök ekvationen
x2 – 9 = 0
x 2 + 2 x + 4 a – 11 = 0
II x 2 + 9x = 0
För vilket eller vilka värden på talet a har ekvationen
2
III 2x + 16x = 18
a) inga reella rötter
IV (8 – x)( x + 7) = 0 V
b) två olika reella rötter
14x = x 2
c) en dubbelrot?
b) Lös ekvationerna. 2136 Nedan visas lösningen till y 2 + 3 y – 4 = 0. Skriv av hela lösningen och fyll i de tal som saknas.
2142 Pone och Hanna diskuterar hur man kan avgöra antalet reella rötter till ekvationer på formen x 2 + px + q = 0 • Pone påstår att ekvationen saknar reella rötter om p2 = 4 q.
y2 + 3y – 4 = 0 3 +4 y=– ± 2 4 y=–
3 + ± 2 4 4
3 y=– ± 4 2 3 5 y=– ± 2 y1 = y2 =
2 2137 För vilka värden på a saknar ekvationen reella rötter? a) x 2 = a b) x 2 – 12 x + a = 0 2138 Lös ekvationerna och svara exakt. a) 2( y – 1)2 = 6 b) (2 y)2 – 3 = –2 2139 Lös ekvationerna.
10 – 25 x =0 3 3 x2 x 1 2x 8 – = 0 d) – + =0 b) x2 – 2 2 8 5 25
a) x2 – 3x + 2 = 0 c) x2 –
2.1 ANDRAGRADSEKVATIONER
2b kap 2_220630.indd 97
• Hanna påstår att ekvationen har en dubbelrot om p2 < 4 q. Har någon av dem rätt? Förklara.
3 2143 I en del andra länder används en ”abc-formel” i stället för vår ”pq-formel”. a) Visa att ekvationen a x 2 + b x + c = 0 −b ± b2 − 4 ac 2a b) Lös ekvationen 8 x 2 – 56 x – 480 = 0 med ”abc-formeln”. har lösningen x =
c) Vilken ekvation ger med "abc-formeln" lösningen x =
12 ± 122 + 2 160 12
2144 Indra och Fanny ska lösa en ekvation av typen x 2 + b x + c = 0 Indra skriver av den andra termen (b x) fel och får lösningarna x1 = –6 och x2 = 1. Fanny skriver av den sista termen (c) fel och får lösningarna x1 = 2 och x2 = 3. Vilken ekvation försöker de lösa? Motivera ditt svar.
97
2022-06-30 16:12
Historik Ekvationer och lösningsformler Matematiker har genom århundraden lyckats utveckla algebraiska lösningsformler och metoder för många olika typer av ekvationer. Men till vissa typer av ekvationer har man även kunnat visa att generella algebraiska lösningsmetoder inte finns. Andragradsekvationen Babyloniska lertavlor har visat att andragradsekvationens lösning var känd för 4 000 år sedan. Papyrusrullar från Egypten som är ungefär lika gamla visar att man där använde geometriska metoder för att lösa andragradsekvationer. Olika sätt att lösa andragradsekvationer har därefter tagits fram i bland annat grekisk, kinesisk, indisk och arabisk matematik. Tredjegradsekvationen
På 600-talet presenterade den kinesiske matematikern Wang Xiaotong lösningar till flera olika tredjegradsekvationer. Under de följande århundradena utvecklades algebran framför allt i Mellanöstern. Den persiske matematikern och astronomen Omar Khayyam la på 1100-talet fram lösningar till flera tredjegradsekvationer genom att kombinera algebraiska och geometriska lösningar. Han försökte hitta algebraiska lösningar till samtliga typer av tredjegradsekvationer, men misslyckades. Mot slutet av medeltiden började allt fler arbeta med matematik även i Europa. Matematikerna var till stor del inspirerade av de arabiska texter som översattes. I början av 1500-talet tog sig flera norditalienska matematiker an tredje- och fjärdegradsekvationerna.
Många har försökt, och misslyckats, med att hitta en generell metod för att lösa tredjegradsekvationer. Misslyckanden som till stor del har berott på vilka talmängder man hade att tillgå. I antikens Grekland vållade problemet med kubens fördubbling stora bekymmer för dåtidens tänkare. Man ville veta hur kanterna på två kuber förhåller sig, om den ena kubens volym är dubbelt så stor som den andra kubens volym. I dag vet vi att förhållandet mellan kanterna måste vara 1: 3 2. Tyvärr erkände man bara tal som gick att skriva som bråk (rationella tal, Q), och eftersom 3 2 är ett irrationellt tal lyckades man inte lösa problemet.
3
2
Niccolò Fontana Tartaglia (1499–1557)
Det sägs att matematikern Niccolò Fontana Tartaglia närmade sig en generell lösning. Mot tysthetslöfte avslöjade han sin idé för matematikern, läkaren och astrologen Girolamo Cardano, som helt fräckt tog idén och presenterade den som sin. Så här angav Cardano en lösning till ekvationen x3 + p x = q Beräkna först k =
1
98
2b kap 2_220630.indd 98
p3 q2 + 27 4
Om k > 0 så är en rot x = 3
q + k + 2
3
q − k 2
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2022-06-30 16:12
Fjärde- och femtegradsekvationen I samband med lösningen för tredjegradsekvationen presenterade en av Cardanos elever, Ferrari, den allmänna lösningen till fjärdegradsekvationer.
Bedriften brukar ofta tillskrivas norrmannen Niels Henrik Abel och fransmannen Évariste Galois, som båda för övrigt fick korta och tragiska liv.
Många gav sig nu i kast med femtegradsekvationen. Efter nästan 300 år skulle det visa sig att försöken varit lönlösa. I början av 1800-talet kunde man nämligen visa att det inte går att hitta allmänna lösningsformler för ekvationer av högre grad än fyra.
Abel dog i lungsot endast 26 år gammal, två dagar innan meddelandet om att han antagits som professor i matematik. Galois, som kommit på kant med både skolan och samhället, dog blott 20 år gammal i en duell som ska ha handlat om politik och en kärlekstvist.
Girolamo Cardano (1501–1576)
1 Från babylonisk tid kan vi hitta denna ekvation, omskriven med moderna symboler: 120 x – 120( x – 2) = 10 x( x – 2) Ekvationen ger inköpspriset x (shekel/säckar) för att vid vissa villkor få vinsten 10 shekel. Lös ekvationen och bestäm inköpspriset. 2 Flera av personerna i texten var astronomer och kalenderskapare. Varför har matematik spelat en så stor roll inom t.ex. astronomin, tror du? 3 Vissa ekvationer av högre grad kan vi lösa utan komplicerade metoder. Lös tredjegradsekvationen 5x3 = 40.
2.1 ANDRAGRADSEKVATIONER
2b kap 2_220630.indd 99
Niels Henrik Abel (1802–1829)
4 Vilket är det högsta gradtalet på de ekvationer där vi kan hitta allmänna lösningsformler? 5 Vi har tredjegradsekvationen x 3 + 5x = 8. a) Beräkna talet k med Cardanos metod (dels som ett närmevärde, dels som ett exakt tal i bråkform). b) Lös ekvationen med Cardanos metod. 6 Från en av Tartaglias tävlingar i ekvationslösning: Ett träd, 12 m högt, bryts av så att den avbrutna delen är kuben på den del som står kvar. Hur hög är den del som står kvar? Lös ekvationen med Cardanos metod och kontrollera med räknarens ekvationslösare.
99
2022-06-30 16:12
Från graf till formel Exempel
Grafen visar en andragradsfunktion med tre punkter givna. A = (–2, –4)
B = (0, –4)
y 10
C = (4, 8)
8
Vi använder den allmänna formeln för en andragradsfunktion
C
6
y = ax2 + bx + c
4
och bestämmer de tre konstanterna a, b och c med hjälp av punkterna.
2 –6 –4
Algebraisk metod: Skärningspunkten med y-axeln (0, –4) ger att c = –4.
–2
x 2
–2
A
4
6
B
2
Vi kan skriva y = ax + bx – 4. Vi sätter in koordinaterna för punkt A = (–2, –4) och C = (4, 8) och får ett ekvationssystem: a ⋅ (−2)2 + b ⋅ (−2) − 4 = − 4 (Punkt A) 2 (Punkt C ) a ⋅ 4 + b ⋅ 4 − 4 = 8 4 a − 2b = 0 som kan skrivas 16a + 4b = 12
Ekvationssystemet kan lösas med valfri metod.
a = 0, 5 Ekvationssystemets lösning är b = 1 Andragradsfunktionen kan skrivas y = 0,5x2 + x – 4. Med digitalt verktyg: Vi utgår från de tre punkterna och gör en regression. 1 2 3 4
A
x -2 0 4
B
y -4 -4 8
Y: B2:B4 8 6 4 2 0 -2 -4 -6
-3
Polynom
-2
-1
2
0
1
2
y = 0.5x + x - 4 2
3
4 5 X: A2:A4
Andragradsfunktionen kan skrivas y = 0,5x 2 + x – 4.
152
2b kap 2_220630.indd 152
Algebra och icke-linjära modeller
2022-06-30 16:13
2511
Ge exempel på en andragradsfunktion med nollställena x = 3 och x = –2. Rita grafen som kontroll. Andragradsekvationen (x – 3)(x + 2) = 0 har rötterna x1 = 3 och x2 = –2. Andragradsfunktionen y = (x – 3)(x + 2) har nollställena x = 3 och x = –2.
Alla funktioner y = k(x – 3)(x + 2) där k är en konstant har nollställena x1 = 3 och x2 = –2.
f : y = (x - 3)(x + 2)
5
y x
2
1 5
Svar: T.ex. y = (x – 3)(x + 2)
2512
1
f
2
3
En exponentialfunktion går genom punkterna (0, 100) och (2, 225). Vilken är funktionen? Vi utgår från y = C · a x där a > 0. Punkten (0, 100) ger skärningen med y-axeln. För en exponentialfunktion betyder det att C = 100. Vi kan skriva y = 100 · a x Den andra punkten, x = 2 och y = 225, ger ekvationen 100 · a2 = 225 a2 = 2,25 a = ± 2, 25 a = ±1,5 (a > 0) Svar: y = 100 ∙ 1,5x
1 2513 Ge exempel på en andragradsfunktion med nollställena
2515 Bestäm linjens ekvation på formen y = kx + m
a) x = 4 och x = –4
y
b) x = –2 och x = 8 2514 Bestäm, med hjälp av ett digitalt verktyg, den andragradsfunktion vars graf går genom punkterna a) (–2, 4), (6, –4) och (10, 16) b) (–2, 130), (1, 97) och (10, 322)
2.5 REGRESSIONSANALYS
2b kap 2_220630.indd 153
1
x 1
153
2022-06-30 16:13
2 2516 Använd de markerade punkterna för att algebraiskt bestämma en formel för y. a)
y
2519 a) Figuren visar en andragradsfunktion, vilken? –4 b) Flytta grafen 4 steg åt höger och ange formeln för den nya funktionen.
Andragradsfunktion y = ax 2 + bx + c 1
x 1
b)
1
x
y
40 x 64
a) A nge en andragradsfunktion som beskriver hur höjden i tunneln varierar.
2521 Innerformen på ett runt fågelbad följer en andragradsfunktion. Innerdiametern vid ytan är 36 cm.
Linjär funktion
1
–8
b) Kommer en lastbil som är 2 m bred och 3,5 m hög att kunna passera genom tunneln?
1
c)
4
y
Måtten är angivna i decimeter. Exponentialfunktion y = C · ax
x
3 2520 Figuren visar öppningen till en tunnel.
y
y
x 1
Figuren visar höjden över marken i mitten och 10 cm från mitten. Badet fylls till bredden med vatten. 36
(cm)
2517 Vilken andragradsfunktion går genom punkterna (0, 6), (1, 7) och (–3, –9)? a) Lös uppgiften med ett ekvationssystem. b) Lös uppgiften med ett digitalt verktyg. 2518 Använd en algebraisk metod för att bestämma grafen till exponentialfunktionen som går genom punkterna (1, 200) och (3, 50).
154
2b kap 2_220630.indd 154
14
10
10
Hur högt över marken är vattenytan?
Algebra och icke-linjära modeller
2022-06-30 16:13
Sant eller falskt?
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 Grafen till en andragradsfunktion skär alltid y-axeln.
9 Grafen till andragradsfunktionen y = 2x2 + 2x + 6 har symmetrilinjen x = –1.
2 En andragradsekvation kan ha två negativa rötter.
10 Om grafen till andragradsfunktionen y = ax 2 + bx + c inte skär x-axeln, så saknar ekvationen ax 2 + bx + c = 0 reella lösningar.
3 Grafen till y = 12x – x 2 har en minimipunkt i origo. 4 lg 50 kan förenklas till 1. x
2
5 Ekvationen 5 = 9 är ett exempel på en potensekvation. 6 Ekvationen (2x – 6)(x + 4) = 0 har lösningarna x1 = –4 och x2 = –3. 7 Värdet av lg 0,5 ligger i intervallet –1 < lg 0,5 < 0. 8 En andragradsekvation kan ha 0, 1 eller 2 reella lösningar.
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2b kap 2_220630.indd 155
11 Grafen till en andragradsfunktion skär alltid x-axeln. 12 Ekvationen x2 – 5x = 2 har en rot x = 5 + 33 2 13 Om 10a + 2 = b så är lg b = a + 2. 14 lg (–10) kan förenklas till –1. 15 Exponentialfunktionen y = C ∙ a x saknar nollställen. 16 För en funktion som avtar exponentiellt sker en halvering av värdet på samma tid oavsett startvärdet.
155
2022-07-01 12:48
Sammanfattning2 Sammanfattning Andragradsekvationer
Andragradsfunktioner
Kvadratsrotsmetoden x = 5 har rötterna x = ± 5
En andragradsfunktion kan skrivas y = a x 2 + b x + c, där a ≠ 0.
Nollproduktmetoden
Grafen till en andragradsfunktion
2
2
x + 10x = 0 Vi börjar med att bryta ut x. x(x + 10) = 0
• har en extrempunkt som är en maximi- eller minimipunkt • har en maximipunkt om a < 0
Den första faktorn är noll då x = 0. Den andra faktorn är noll då x = –10.
• har en minimipunkt om a > 0
Ekvationen x2 + 10x = 0 har rötterna x1 = 0 x2 = –10
• är symmetrisk kring symmetrilinjen
Omvänt kan vi bestämma en andragradsekvation utifrån två kända rötter.
• skär y-axeln i (0, c) • har nollställen om ekvationen y = 0 har reella lösningar • kallas en parabel.
Exempel: x1 = 2 och x2 = –8 är rötter till ekvationen ( x – 2)( x + 8) = 0 dvs. x 2 + 6 x – 16 = 0.
Exempel: y = 2 x 2 – 8x + 6
Lösningsformeln
c = 6 Grafen skär y-axeln i (0, 6).
2
x + px + q = 0 2
x=–
p p ± −q 2 2
Exempel: Vi löser ekvationen x2 + 4x – 5 = 0.
a > 0 Funktionen har en minimipunkt. Ekvationen 2 x 2 – 8x + 6 = 0 har rötterna x1 = 1 x2 = 3. Funktionen har nollställena x = 1 och x = 3. Symmetrilinjen är x = 2 (mitt emellan nollställena). 10 Symmetrilinje x=2
2
x=–
4 ± 4 − (−5) 2 2
x = –2 ±
x = 1 och x = 3 är nollställen.
6
9
x = –2 ± 3
Minimipunkt (2, – 2)
2
Ekvationen x + 4x – 5 = 0 har rötterna x2 = –5 x1 = 1 2 p Uttrycket under rottecknet, – q, kallas för 2 ekvationens diskriminant.
10
2
Minsta värde –2 2
Om diskriminanten är negativ saknar ekvationen reella rötter.
156
2b kap 2_220630.indd 156
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2022-06-30 16:13
Exponentialekvationer
y 4
Ekvationen a x = b har lösningen x =
y = h (x )
Exempel utan räknare: Ekvationen 10x = 1 000 har lösningen x = lg 1 000 = 3.
3 2 y = g (x )
1
x 2
1 –1
3
4
5
y = f (x )
Figuren ovan visar tre funktionsgrafer. Andragradsfunktionen
Exempel med räknare: Ekvationen 10x = 40 har lösningen x = lg 40 ≈ 1,602. Exempel algebraisk lösning: 8 · 3 x = 15 3 x = 15/8 lg 3 x = lg (15/8) x · lg 3 = lg (15/8)
f(x) = x2 – 4x + 3 har två nollställen x = 1 och x = 3. Andragradsekvationen x2 – 4x + 3 = 0 har två rötter x = 1 och x = 3. Funktionen y = g(x) har ett nollställe x = 2 och ekvationen g(x) = 0 har en rot x = 2. Funktionen y = h(x) har inget nollställe och ekvationen h(x) = 0 har ingen reell lösning. Logaritmer y = 10x ⇔ x = lg y (y > 0) x är tiologaritmen för y. Exempel: 102 = 100 ger lg 100 = 2 10 –2 = 0,01 ger lg 0,01 = –2 Logaritmlag lg x p = p lg x
lg b lg a
x=
lg(15 / 8) ≈ 0,572 lg 3
Exempel grafisk lösning: 100 ∙ 1,02 x = 160 Rita graferna till y = 100 ∙ 1,02 x och y = 160. Avläs x-värdet i skärningspunkten. Potensekvationer Ekvationen xa = b har lösningen x = b1/a Ekvationen x5 = 9 har lösningen x = 91/5 ≈ 1,55. Matematisk modellering och regression När vi använder matematik för att lösa ett problem utifrån en verklig situation gör vi en matematisk modell. Att anpassa funktioner till observerade data kallas regressionsanalys. A
B
C
Exponentialfunktion y = C ∙ a x (C och a är konstanter, a > 0, a ≠ 1) Potensfunktion y = C ∙ x a (C och a är konstanter) A Linjär regression: y = ax + b B Kvadratisk regression: y = ax2 + bx + c C Exponentiell regression: y = C ∙ a x
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2b kap 2_220630.indd 157
157
2022-06-30 16:13
Kan du det här? Delkapitel
BEGREPP
2.1 Andragradsekvationer
Andragradsekvation Kvadratrotsmetoden Nollproduktmetoden Lösningsformeln
2.2 Andragradsfunktioner
Andragradsfunktion Parabel, nollställen och symmetrilinje Extrempunkt, maximi- och minimipunkt Extremvärde, största/minsta värde Algebraisk lösning och grafisk lösning
2.3 Repetition av potensekvationer och exponentialfunktioner
Exponentialfunktion
2.4 Logaritmer
Tiologaritm
Potenslagar Potensekvation
Logaritmlag Exponentialekvation
PROCEDUR • lösa andragradsekvationer med olika metoder • pröva rötter (lösningar) • ställa upp och lösa problem med hjälp av andragradsekvationer. • avgöra om grafen har maximi- eller minimipunkt och om nollställen finns • bestämma skärningspunkter med koordinataxlarna • bestämma symmetrilinje, extrempunkt och största/minsta värde • använda och tolka andragradsfunktioner i olika tillämpningar.
• använda potenslagarna för förenkling och ekvationslösning • ställa upp och lösa potensekvationer.
• förenkla uttryck och lösa ekvationer med hjälp av definitionen av tiologaritmer och logaritmlagarna • beskriva likheter och skillnader mellan exponential- och potensekvationer • ställa upp och lösa exponentialekvationer algebraiskt samt med grafritande eller ekvationslösande verktyg.
2.5 Regressionsanalys
Regressionsanalys
• anpassa funktioner till mätvärden med hjälp av digitala verktyg • bestämma formeln för enkla funktioner utifrån några givna punkter på grafen, både algebraiskt och med hjälp av regression.
158
2b kap 2_220630.indd 158
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2022-06-30 16:13
Testa dig själv 2 2.1 Andragradsekvationer
9 Höjden, y m, för en boll som rört sig x m framåt från utgångspunkten kan beskrivas av funktionen y = x – 0,04 x 2
1 Lös ekvationerna. a) 4x2 = 64
a) Vad är höjden då bollen rört sig 10 m framåt?
b) (2x – 8)(x + 3) = 0
b) Hur långt från utgångspunkten slår bollen ner?
c) x2 – 10x + 16 = 0 d) 3x2 + 24x = 27
2.3 Repetition av potensekvationer och exponentialfunktioner
2 Lös ekvationen (x + 4)2 = –4(x + 2)(x – 2)
10 Lös ekvationerna.
3 Ge exempel på en andragradsekvation som b) har två positiva rötter.
11 Ge exempel på en exponentialfunktion som går genom punkten (1, 4).
4 Produkten av två positiva tal är 206,25. Det ena talet är 4 mindre än det andra.
2.4 Logaritmer
Vilka är talen?
12 Lös ekvationerna.
2.2 Andragradsfunktioner 5 Utgå från grafen till y = 3x – x2 – 5 a) Har grafen en maximi- eller minimipunkt? b) I vilken punkt skär grafen y-axeln?
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2b kap 2_220630.indd 159
13 Bestäm
x 1
c) lg 1
b) lg 2 x = 3
b) I en annan stad minskade antalet invånare från 80 000 till 50 000 på 15 år. Vilken årlig procentuell minskning motsvarar det?
y
1
b) lg 0,1
Hur många år krävdes det för att invånarantalet skulle öka från 50 000 till 80 000?
8 Grafen visar en andragradsfunktion y = f ( x).
d) Vilket värde är minst, f (10) eller f (–10)? Motivera ditt svar.
d) 10 2x = 50
15 a) I en stad ökade invånarantalet med 5 % varje år.
7 Bestäm symmetrilinjens ekvation samt största/minsta värde för funktionen y = x 2 – 6 x + 10.
c) Bestäm a så att f(a) = 3
b) 10 x = 0,01
a) 6 x = 140
b) y = –2 x 2 + 4 x – 4
b) Bestäm symmetrilinjens ekvation.
c) 10 x = 500
14 Lös ekvationerna. Svara exakt.
6 Beräkna funktionens nollställen med algebraisk metod. Kontrollera grafiskt.
a) Bestäm funktionens nollställen.
a) 10 x = 10 000
a) lg 100
Motivera dina svar.
a) y = x 2 – 4 x
5
b) (x 3) · x2 = 76
a) x5 = 140
a) saknar reell lösning
2.5 Regressionsanalys 16 Anpassa en andragradsfunktion y = f ( x) till värdena i tabellen. x
5
10
15
20
y
6
18
20
12
159
2022-06-30 16:13
Blandade övningar 2 1 1 Utan digitala verktyg 1 Lös ekvationerna algebraiskt. a) x 2 + 2 x – 8 = 0
6 Vilket av följande är det bästa närmevärdet till lg 80? Motivera ditt svar.
b) 40 x + 10 x 2 = 0 c) ( x + 1)( x – 1) = –2 2 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion f så att y = f ( x).
2
A 0,8
D 2,9
B 0,9
E 8,0
C 1,9
F 800
7 Har funktionen y = ( x – 2)2 + 5 några nollställen? Motivera ditt svar.
y
1
x
8 För vilket värde på a har ekvationen x 2 – 10 x + a = 0 rötterna x = 3 och x = 7? Motivera.
1
a) Ange ekvationen för grafens symmetrilinje. b) Ange funktionens nollställen. c) Ange funktionens minsta värde. d) Bestäm f (1). e) Vilket av värdena f (8) och f (–5) är störst? Motivera ditt svar. f) För funktionen f gäller att f ( x) = x 2 + b x. Bestäm konstanten b. 3 Lös ekvationerna exakt. a) 2 x 2 – 10 = 0 x
b) 3 ∙ 10 = 6
c) 4 ∙ lg x = 20 d) 5 x = 8
4 Grafen till en andragradsfunktion har maximipunkten (2, 7). Grafen går genom punkten (1, 6). Ange en tredje punkt på grafen. 5 Ge exempel på en andragradsfunktion vars graf skär x-axeln där x = 10 och x = 20.
9 Lös ekvationerna. 3 a) x 2 – x – = 0 4
b) 10lg 4 ∙ 4 x = 43x
10 I vilket intervall ligger talet a = lg 0,25? A –1 < a < 0 B 0<a<1 C 1<a<2 11 Bestäm uttryckets minsta möjliga värde. 2(a – 3)2 – (3 – a)(3 + a) 12 Lös olikheterna och ge exempel på ett värde som ingår i lösningen a) lg x < –1
b) 102x > 0,01
13 Bestäm det värde på x där graferna till exponentialfunktionerna f ( x) = 2,5 ∙ 10 2 x och f ( x) = 7,5 ∙ 10 x skär varandra. Svara exakt. 14 Vilka y-värden är möjliga för funktionen a) y = 1 – x 2
b) y = x 2 – 2 x – 3?
Lös uppgiften utan att rita grafen. Motivera ditt svar.
160
2b kap 2_220630.indd 160
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2022-06-30 16:13
1
15 Figuren visar grafen till andragradsfunktionen f ( x) = ax 2 + bx + c.
Med digitala verktyg
20 Temperaturen y ˚C i en kopp kaffe avtar enligt y = 62 · 0,97 x + 18 där x är tiden i minuter efter att man hällt upp kaffet i koppen.
y
1
Beräkna och tolka y-värdet då
x
a) x = 0
1
b) x = 10
21 Om isens tjocklek på en sjö är d cm, så bär den en bil på L ton, där L = 0,006d2. a) Hur tung bil bär en is på 20 cm? b) Klarar en is på 60 cm en lastbil på 20 ton? Motivera. a) Förklara var i figuren man kan avläsa värdet på konstanten c. b) Bestäm konstanterna a, b och c. c) Ligger punkten (10, 152) på grafen? Motivera ditt svar. d) Lös ekvationen f ( x + 1) = 0
3
e) Lös olikheten f ( x) < x + 1 grafiskt.
c) Vilken tjocklek bör isen minst ha för en lastbil på 8 ton? 22 Nina säger till Josef: ”Om man multiplicerar våra åldrar får man 696.” Josef är fem år äldre än Nina. Hur gamla är Josef och Nina? 23 Med 300 m stängsel inhägnas två rektangulära områden som figuren visar.
16 I en tabell står det att lg 4 ≈ 0,60. Bestäm med hjälp av detta ett värde på lg 16. 2
17 Ekvationen x + a = 4ax har en dubbelrot för a > 0. Bestäm a.
x
x
300 – 3x
Hela områdets area är y m2.
18 Låt f(x) = 3x + 2 och g(x) = 5x
a) Skriv en funktion för hela områdets area.
Förenkla a) f(x) ∙ g(x)
d) g ( f (x))
b) f(2x + 6)
e) g(2 x)/g(–2)
c) f ( g(x))
(m) x
2
b) Bestäm arean då x = 70 m. c) För vilka x-värden är y = 0? 2
f) g(x ) ∙ (g(x))
d) Bestäm hela områdets maximala area.
19 Lös ekvationen.
( )( )
1 1 3 –2 +2 = x x x
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2b kap 2_220630.indd 161
161
2022-06-30 16:13
SVAR Kapitel 1 1103 a) –3 b) –5
1112 a) –12 1113 a) 36
d) 4
1114 Värdet ändras från 2 till –10.
b) 9 c) –10 Lösning: –8 + (–2) = = –8 – 2 = –10 d) 6
b) –5
c) 20 d) 4
1106 a) –4 b) 14
d) –3 e) –24 f) 16 1107 a) 3 b) 1 Lösning: −5 − (−7) 5 7 2 = = =1 2 1 − (−1) 1 1 c) –2 d) 8
b) –37
c) –91 d) –0,75
1109 Differensen är 71,8 °C. 1110 a) 16 b) 14
c) 1 d) –4
1111 a) Ja. b) På den första raden används inte likhetstecknen på ett korrekt sätt. (–3) · (–3) ≠ –18 c) 15 – 2 ∙ (–3)2 = = 15 – 2 · 9 = = 15 – 18 = –3
268
2b_Facit_220630.indd 268
b) –13
1115 a) –3 Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = =14 – 9 – 8 = –3 b) 31 Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31 c) 37 Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)3 = = 14 – 9 – 4 · (–8) = = 14 – 9 + 32 = 37 d) 15 Lösning: 14 + (–3)2 + (–2)3 = = 14 + 9 + (–8) = = 14 + 9 – 8 = 15
c) 13 Lösning: 5 – 2 ∙ (–4) = = 5 + 8 = 13
1108 a) 4,65
c) –7
c) –15
1104 a) 4
1105 a) –12
b) 4
1118 a) 6 7 3 b) 8 c) 1 3 Ledtråd: Förkorta så långt som möjligt. d) 4 5 1119 a) 1 2 Ledtråd:
Förläng 1 med 2. 3 b) 3 5 Ledtråd: Förläng 2 till nämnaren 15. 3 Kom ihåg att förkorta svaret. c) 11 12 Ledtråd: Förläng båda bråken till nämnaren 12.
d) 5 12
1120 a) 8 25 b) 3 7 1121
c) 5 6 d) 8 9
14 = 7 48 24 1 8 = 24 3 3= 9 8 24 5 10 = 12 24
1122 a) 11 7 Lösning: 4 + 1 = 4 + 7 = 11 7 7 7 7 b) 3 5 1123 a) 3 5 b) 17 10
c) 39 10 d) 27 10
1124 a) 10 27 b) 8 c) 2 13 Ledtråd: Nämnaren kan skrivas 6 1 d) 5 2 1125 a)
25 36
b)
1 16
6 6 6 1 6 3 1126 7 = 7 = ∙ = = 7 2 14 7 2 2 1 Metod A: 6 Vi utgår från och dividerar 7 täljaren 6 med 2 och får 3 7 Metod A fungerar. Metod B: Vi utgår från 6 och multiplicerar 7 nämnaren 7 med 2 och får 6 = 3 7 14 Metod B fungerar. SVAR
2022-06-30 16:19
23 24 3 b) 5
1127 a)
c) –
9 10
d) –10
1128 a) Värdet blir dubbelt så stort. b) Värdet blir hälften så stort. c) Värdet blir dubbelt så stort. 1129 a) 1 3 b) 3
1 91 = 30 30
1130 a) 32 9 b) 4
c) 2 9 5 d) 12 c)
14 15
d) 8
1131 1 50 1137 a) 7x + 4 b) 4a + 7 1138 a) 5y + 2 b) y + 4
c) 2 – 8x d) –6y c) 12x – 5 d) 3x – 5
1139 a) Uttryckets värde är 4. b) Uttryckets värde är 40. 1140 Uttrycket kan skrivas 4x – 6. Ledtråd: Omkretsen är summan av de fyra sidornas längder. x + (x – 3) + x + (x – 3) 1141 a) 8a + 2 b) 15a + 12
c) b – 2 d) –11b + 2
1142 6x + 560 Ledtråd: Uttrycket kan skrivas 4(x + 140) + 2x 1143 a) 2x – 3y b) 11y – 9 c) 3y – 9x d) 3x – 3y + 7 1144 B C E F 1145 a) Uttryckets värde är 0. b) Uttryckets värde är 16. Ledtråd: Sätt in –3 i en parentes, (–3).
1146 a) Omkrets i m: 4x + 260 b) Area i m 2: x(x + 130) eller x 2 + 130x Kommentar: Båda uttrycken är korrekta. 1147 a) 4a – 8 b) 4y
2
1153 a) Arean A: a(a + 2) Arean A1 + A 2: a2 + 2a b) a(a + 2) = a2 + 2a Kommentar: Rektanglarna har samma area, vilket innebär att uttrycket a(a + 2) kan skrivas som a 2 + 2a och tvärtom.
c) 6b – 3b2 d) 2y 2 – 3y
1148 a) x 2 + x
1154 a)
b) 3x 2 + 2x – 5
2 1 x+ 3 2
b)
x2 6
c) 3x 2 + 4x Ledtråd: (2x)2 = 2x · 2x = 4x 2
1155 4a – 4b Ledtråd: Förenkla 3(2a – b) – (2a + b)
d) x 2 – 4x + 7
1156 Uttryck B och D. Motivering: x(x – 1) kan skrivas x 2 – x
1149 a) 1. Han ändrar inte tecken när han tar bort första parentesen med minustecken framför. 2. Han multiplicerar inte –3 med både termerna i andra parenteserna. b) 30 – (x – 6) – 3(6 – x) = = 30 – x + 6 – 18 + 3x = = 2x + 18 1150 Deras sammanlagda ålder är a) (6x + 10) år Ledtråd: Fredrik är (x + 2) år. Pappa är 4(x + 2) år. b) (6y – 2) år. 1151 a) Höjden i cm: 2x + 8 b) Arean i cm 2: x 2 + 4x Ledtråd: Triangelns area b⋅h A= 2 c) Arean är 96 cm 2 . Ledtråd: Lös ekvationen 2x + 8 = 24 1152 a) –2x 2 – 5x + 4 b) 2x2 + 15 c) 2a – 2
3 · (x 2 – x) = 3x 2 – 3x och –1 · (x 2 – x) = –x 2 + x = x – x 2 Stämmer med B och D. 1157 a) Uttryckets värde är 14. b) Uttryckets värde är 20. c) Uttryckets värde är 1. 1158
y 7x + 12 3 Ledtråd: x− y y x – =– + 12 12 12
1159 Uttryckets värde är 60. 1164 a) x = 4 b) x = 7 c) x = 4,5 d) x = 7,5 Lösning: 40 = 10 + 4x 40 – 10 = 10 + 4x – 10 30 = 4x 30 4 x = 4 4 30 =x 4 30 15 x= = = 7,5 4 2 1165 a) y = 8 b) y = 3
c) y = –2 d) y = 4
d) 3b – 2
SVAR
2b_Facit_220630.indd 269
269
2022-06-30 16:19
Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne
Matematik
2b
Matematik
5000
5000
2b
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med större fokus på digitala verktyg.
Matematik
5000
För reviderad ämnesplan!
Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik. Digitala verktyg såsom kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning Kapitelavslutning som grundligt befäster begrepp och procedurer Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar
ISBN 978-91-27-46085-0
9 789127 460850
M5000Plus_2b_omslag_220619.indd 1-3
2b
2022-07-01 10:25