9789127460157 by Smakprov Media AB

Lena Alfredsson • Hans Heikne • Mathilda Lennermo Selin

Matematik

5000

1a 5000

Matematik

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 1a Gul är anpassad för de tekniskt inriktade yrkesprogrammen.

Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Matematik

5000

För reviderad ämnesplan!

Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Teman gör undervisningen relevant för karaktärsämnen och yrkesliv Kapitelavslutning befäster begrepp och procedurer Aktivitet och Historik bidrar till en varierad undervisning Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar

ISBN 978-91-27-46015-7

9 789127 460157

M5000Plus_1a Gul_Omslag_211020.indd 1-3

2021-10-29 16:19

Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER

Tiopotenser

106 Bas

Stora och små tal kan skrivas med hjälp av potenser.

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

      

1 miljon = 1 000 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10

Exponent

2169

6 tior

Förenkla

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

a) 9 + (2x – 8)

9 + (2x – 8) = a) = 9 + 2x – 8 = 2x + 1

Ta bort parentes utan att ändra något.

REPETITIONSUPPGIFTER

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.

2169 Förenkla a) 9 + (2x – 8)

ÖVNINGSUPPGIFTER 3307 Värdeminskningen på en ny bil som kostar 310 000 kr är 12 % under första året. Hur mycket är bilen värd efter ett år?

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.

2208 Lös ekvationerna.

y + 125 2 y − 40 = 18 b) = 18 6 5

SVAR 2208 a) y = –17 Ledtråd: Börja med att multiplicera båda leden med 6. b) y = 65

00_Kap 0_1a_211027.indd 4

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator). Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg. Algebraisk lösning betyder att du får använda en enkel räknare, men inte ett grafritande eller ekvationslösande verktyg.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.

2021-10-29 15:24

VARIATION I UNDERVISNINGEN För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.

Aktivitet Vilka uttryck är lika?

Tema

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till yrkesliv och programmens olika karaktärsämnen.

Hållfasthet

Historik

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

Från vargben till datorer

KAPITELSLUT

Sant eller falskt?

Sammanfattning 4 Kan du det här? BEGREPP

Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4

00_Kap 0_1a_211027.indd 5

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

PROCEDUR

Testa dig själv 4

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

2021-10-29 15:24

Innehåll 1. Tal och beräkningar – grundläggande begrepp och metoder 8 Inledande aktivitet: Lägga tal 9

1.1 Tal i olika former 10 I vilken ordning ska vi räkna? 10 Negativa tal 14 Aktivitet 17 Multiplikation och division med 10 och 100 17 Tal i decimalform 18

1.2 Tal och beräkningar 21 Avrundning 21 Överslagsräkning och uppskattningar 24 Enhetsbyten 27 Aktivitet 30 Det är inte bara svaret som räknas! 30 Tiopotenser 31 Prefix 34 Historik 37 Från vargben till datorer 37 Enheten tum 38 Kronhjul och pinjong 40 Mätverktyg 42 Toleranser 44

1.3 Andelar och förhållanden 48 Tal i bråkform 48 Beräkningar med tal i bråkform 51 Beräkning av andelen i procent 54 Beräkningar när vi vet procentsatsen 58 Proportionalitet 61 Utväxlingsförhållande 64 Moms 66 Vinst, förlust och vinstmarginal 68 Promille och ppm 70 Underhållsservice och reparation 72 Alkohol och promille 75 Däck 76 Aktivitet: Sant eller falskt? 77 Sammanfattning 1 78 Kan du det här? 80 Testa dig själv 1 81 Blandade övningar 1 82

2. Algebra 86 Inledande aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 87

2.1 Algebraiska uttryck och ekvationer 88 Algebraiska uttryck 88 Aktivitet 91 Vilka uttryck är lika? 91 Skriva och förenkla uttryck 92 Linjära ekvationer 94 Ekvationer med flera variabeltermer 98 Uttryck med parenteser 102 Ekvationer med parenteser 104

2.2 Mer om algebraiska uttryck och ekvationer 106 Bråk i uttryck och ekvationer 106 Problemlösning med ekvationer 110 Multiplikation av uttryck 114 Faktorisera 117

2.3 Formler 120 Beräkningar med formler 120 Skriva och tolka formler 123 Lösa ut ur formler 126 Upptäcka och beskriva mönster 129 Upptäcka och uttrycka generella samband 131 Trappan 135 Hastighet – sträcka – tid 136 Betong 138 Ohms lag och effektlagen 140 Ersättningsresistans 142 Hydraulik 144 Stoppsträcka 146 Aktivitet: Sant eller falskt? 148 Sammanfattning 2 149 Kan du det här? 150 Testa dig själv 2 151 Blandade övningar 2 152

3. Funktioner 156 Inledande aktivitet: Hitta regeln 157

3.1 Grafer och funktioner 158 Koordinatsystem 158 Funktion – formel, värdetabell och graf 161 Aktivitet 164 Graf, formel, tabell och beskrivning 164 Rita grafer med digitala verktyg 166 Koordinatsystem 168

3.2 Linjära funktioner 171 Linjära funktioner i vardagliga sammanhang 171 Egenskaper hos linjära funktioner 175 Problemlösning med linjära funktioner 178 Hållfasthet 180 Proportionell styrning 182

00_Kap 0_1a_211027.indd 6

INNEHÅLL

2021-10-29 15:24

3.3 Procentuella förändringar och exponentialfunktioner 183 Förändringsfaktor 183 Procentuella förändringar och jämförelser 187 Beräkning av förändringar i flera steg 190 Aktivitet 194 Exponentialfunktioner y = C · a x 194 Exponentialfunktioner 195

Nöjd-kund-index 275 Statistik med Gapminder 276 Aktivitet: Sant eller falskt? 277 Sammanfattning 4 278 Kan du det här? 280 Testa dig själv 4 281 Blandade övningar 4 282 Blandade övningar 1–4 284

3.4 Mer om funktionsbegreppet 198 Skrivsättet f (x) 198 Grafisk lösning av ekvationen f (x) = a 201 Ekvationslösning med digitalt verktyg 205

3.5 Matematiska modeller 207

5. Geometri – Repetition och fördjupning 288 Inledande aktivitet: Omkrets och area 289

Linjär funktion som modell 207 Exponentialfunktion som modell 210 Matematiska modeller – egenskaper och begränsningar 212 Nollpunktsanalys 216 Avskrivning och värdeminskning 218 Aktivitet: Sant eller falskt? 219 Sammanfattning 3 220 Kan du det här? 222 Testa dig själv 3 223 Blandade övningar 3 224 Blandade övningar 1–3 227

5.1 Geometri och formler 290

4. Sannolikhet och statistik 230

5.3 Trigonometri och vektorer 324

Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 231

4.1 Repetition av sannolikhet 232 Sannolikheten för en händelse 232 Sannolikhet och relativ frekvens 235

4.2 Slumpförsök i flera steg 237 Försök med två föremål 237 Träddiagram 240 Aktivitet 244 Lika eller olika färg? 244 Beroende händelser 245 Komplementhändelse 247

4.3 Matematik och ekonomi 249

Omkrets och area 290 Volym 295 Skärhastighet 300 Slagvolym 302 Begränsningsarea 304 Täcka fasad 306

5.2 Längdberäkningar 309 Likformighet, skala och ritningar 309 Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 312 Pythagoras sats 315 Arbetsboden 319 Beräkna sträckor med tangens 324 Beräkna vinklar med tangens 327 Sinus och cosinus 328 Lutningsförhållanden 332 Vektorer 333 Krafter och hastigheter 337 Fasförskjutning 340

Repetitionsuppgifter 342 Svar, ledtrådar och lösningar 350 Register 398

Beräkningar med kalkylprogram 249 Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 252 Index 256 Kostnadsberäkning med kalkylprogram 258

4.4 Statistisk 261 Stickprov och urvalsmetoder 261 Aktivitet 264 Ett modellförsök av en väljarundersökning 264 Signifikans och felkällor 265 Aktivitet 269 Finns det några samband i clementiner? 269 Korrelation och kausalitet 270

INNEHÅLL

00_Kap 0_1a_211027.indd 7

2021-10-29 15:24

TAL OCH BERÄKNINGAR – GRUNDLÄGGANDE BEGREPP OCH METODER Bokens första kapitel innehåller repetition av grundläggande matematiska begrepp och metoder inom området aritmetik. Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal. En rubrik i det centrala innehållet i kursen Matematik 1a är ”Matematik inom karaktärsämnen och yrkesliv”. Kapitlet har en direkt koppling till detta område.

Centralt innehåll

Med andra ord

• Begrepp som är relevanta för karaktärsämnen och yrkesliv, t.ex. proportionalitet, procent och andelar samt vinstmarginal.

Du börjar kapitlet med att repetera en del grunder så som beräkningar med flera räknesätt, med negativa tal och med tal i decimalform.

• Beräkningsmetoder som är relevanta för karaktärsämnen och yrkesliv, t.ex. uppskattningar, spill- och svinnberäkningar, överslagsräkning och avrundning. • Hantering av storheter och enheter som är relevanta för karaktärsämnen och yrkesliv, t.ex. enhetsbyten samt beräkning av kostnader och förbrukningsmaterial. • Problemlösning med utgångspunkt i yrkesliv, privatekonomi och samhällsliv.

Därefter behandlas stora och små tal, enhetsbyten, prefix, avrundningar och uppskattningar. Du avslutar med tal i bråk- och procentform. Kapitlet innehåller också ett antal yrkesnära teknikinriktade Teman. Vissa beräkningar gör du för hand, andra med hjälp av räknare eller andra digitala verktyg.

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 8

2021-10-29 13:15

Inledande aktivitet LÄGGA TAL Arbeta tillsammans två och två. Skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på fyra papperslappar.

2 5

1 7

3 Välj bland lapparna och lägg dem så att ∙ blir så produkten a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 100 som möjligt. 4 Multiplikation beräknas före addition. Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så a) liten som möjligt

1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får a) ett så stort tal som möjligt b) ett så litet tal som möjligt c) ett tal så nära 5 000 som möjligt d) ett tal så nära 6 000 som möjligt e) ett tal så nära 1 400 som möjligt. 2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så a) liten som möjligt

b) stor som möjligt c) nära 20 som möjligt. 5 Skriv siffrorna 1 till 9 på nio andra papperslappar. Kan du lägga lapparna så att alla tre beräkningarna stämmer? Du får bara använda varje siffra en gång. +

−

∙

b) stor som möjligt c) nära 60 som möjligt.

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 9

2021-10-29 13:15

1.1 Tal i olika former I vilken ordning ska vi räkna? De allra flesta beräkningar vi möter till vardags och i yrkesliv kan vi utföra med de fyra räknesätten: addition, subtraktion, multiplikation och division. Om vi vill göra en beräkning som innehåller flera olika räknesätt, måste vi beräkna dem i rätt ordning. Den ordningen bestäms av prioriteringsreglerna.

Exempel 1

Att anlita hantverkaren Kim kostar 600 kr per timme. Dessutom tillkommer en resekostnad på 400 kr per dag. Kostnaden K kr att anlita Kim x timmar kan beräknas med formeln K = 400 + 600 ∙ x Vi beräknar kostnaden i kronor för 2,5 timmar (x = 2,5) med hjälp av räknare 400 + 600 ∙ 2,5 = 1 900 Om vi ska göra denna beräkning för hand måste vi veta i vilken ordning vi ska utföra beräkningarna. Prioriteringsreglerna säger att vi ska multiplikation före addition. K = 400 + 600 ∙ 2,5 = 400 + 1 500 = 1 900 Många räknare hanterar prioriteringsreglerna automatiskt, kontrollera hur din räknare gör.

Prioriteringsreglerna

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 10

Först beräknas uttryck inuti parenteser.

23 är en potens som utläses ”2 upphöjt till 3”.

Därefter potenser (upphöjt till).

23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Sedan multiplikationer och divisioner.

Till sist additioner och subtraktioner.

Tal och beräkningar – grundläggande begrepp och metoder

2021-10-29 13:15

Exempel 2

Hur gör vi beräkningen

1 060 185 på räknaren? 37 88

Metod 1:

1 060 185 875 = =7 125 37 88

Metod 2:

(1 060 – 185)/(37 + 88) = 7

Vi beräknar täljaren och nämnaren först. Vi skriver först parenteser runt täljaren och nämnaren.

Glömmer vi parenteserna och skriver 1 060 – 185/37 + 88 får vi fel svar. Vi repeterar några begrepp kopplade till de fyra räknesätten:

De fyra räknesätten

Addition: 4 + 3 = 7

Multiplikation: 3 · 12 = 36

Term adderad med term ger en summa.

Faktor multiplicerad med faktor ger en produkt.

Subtraktion: 9 – 1 = 8

Division: 15 = 5 3 Täljare dividerad med nämnare ger en kvot.

Term subtraherad från term ger en differens.

1101

Beräkna utan räknare. a) 4 + 5 · 7

b) 5 · 4 + 32 – 2

c) 10 + 4 · (5 – 2)

Vi använder prioriteringsreglerna. a) 4 + 5 · 7 = = 4 + 35 = 39 b) 5 · 4 + 3 2 – 2 = =5·4+9–2=

Först multiplikation Sedan addition Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9 Sedan multiplikation

= 20 + 9 – 2 = 27 c) 10 + 4 · (5 – 2) = = 10 + 4 · 3 =

Först parentesen Sedan multiplikation

= 10 + 12 = 22

1.1 TAL I OLIKA FORMER

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 11

2021-10-29 13:15

1102

Beräkna med räknare

13 19 5 4 17 50

Metod 1: Vi beräknar uttrycken i täljaren och nämnaren först. 13 19 5 252 = = 14 4 17 50 18 Metod 2: Vi skriver uttrycket med parenteser. (13 · 19 + 5)/(4 · 17 – 50) = 14 (

13 × 19 + 5 )

(

4 × 17 – 50

)

Svar: 14

* En ram runt uppgiftens nummer, t.ex. 1102 , betyder att du får använda

räknare eller annat digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften. Övriga uppgifter ska du kunna lösa utan hjälp av räknare eller digitalt verktyg.

1 1103–1106: Gör först beräkningen för hand. Kontrollera sedan ditt svar med räknare. 1103 a) 3 · 5 + 8 c) 18 – 6/3 b) 3 + 5 · 8 d) 18/6 – 3 1104 a) 4 + 52 c) (7 + 2) ∙ 6 b) (4 + 5) · 2 d) 7 + 2 ∙ 6

1108 Kostnaden K kr att anlita en hantverkare x timmar en dag kan beräknas med formeln K = 350 + 480 ∙ x a) Vilket är priset per timme? b) Beräkna kostnaden för 2,5 timmar. c) Beräkna kostnaden för 6,5 timmar. d) Vad blir genomsnittspriset per timme om man anlitar hantverkaren 5 timmar?

14 8 c) 14 – 6/2 2 4 b) 14 – 4 ∙ 2 d) (14 – 6)/2

1109 Beräkna

1106 a) 6 ∙ 7 + 3 ∙ 8 b) (17– 32) /4

1110 Beräkna

1105 a)

1107 Elisa använder sin räknare till 42 + 18 2+8 Hon trycker 42 + 18/2 + 8.

beräkningen

a) Vilket resultat visar räknaren? b) Vilket fel gör Elisa? c) Vilket är rätt svar?

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 12

a) 138 + 17 31

b) 6 279 ⋅ 6 23 ⋅ 39

a) 2 ∙ 32 b) (2 ∙ 3)2 1111 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5 b) Eric skriver på ett prov:

2 ∙ 52 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45 Svaret är rätt, men läraren ger ändå Eric fel. Varför? c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning. Tal och beräkningar – grundläggande begrepp och metoder

2021-10-29 13:15

1112 Elektrisk effekt kan beräknas med formeln P = R ∙ I2 där effekten P watt beror på resistansen R ohm och strömmen I ampere. Beräkna effekten i en elektrisk apparat om

1117 Vilket tal ska stå i rutan? a) 8 ∙ 50 – 40 ∙ = 200 b) 4 + 8 ∙ ( – 1) = 36

□

1118 Uttrycket (30 – 12)/(2 + 4) har värdet 3. Vilket blir värdet om

a) R = 20 ohm och I = 10 ampere

a) parentesen runt täljaren tas bort

b) R = 16 ohm och I = 5 ampere c) resistansen är 2 ohm och strömmen är 15 ampere. 1113 Beräkna a)

10 (2 10) 10 (8 10) b) 10 2 10 10 8 10

1114 Vid beräkningar med de fyra räknesätten använder vi ofta bestämda matematiska begrepp.

Vid en addition, t.ex. 2 + 3 = 5, säger vi term + term = summa. Skriv på motsvarande sätt a) en subtraktion b) en multiplikation c) en division.

□

b) parentesen runt nämnaren tas bort

c) båda parenteserna tas bort?

1119 Värdet av uttrycket 2 ∙ 32 + 3 ∙ 4 är 30. a) Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen. Bestäm det nya värdet. b) Bestäm alla de värden som är möjliga att få med hjälp av en parentes. 1120 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 36/(a/10) a) mindre än 1 c) mindre än 9 b) större än 9 d) större än 3?

1115 Beräkna a) 32 + 5 ∙ (3 – 1) b) (8 – 4)2 + 3 ∙ 2 c) 7 + 3 ∙ 22 d) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3 e) (8 – 2)2/3 – 1 1116 Rörelseenergin kan beräknas med formeln m ⋅ v2 2 där rörelseenergin W joule beror på massan m kg och hastigheten v m/s.

Beräkna rörelseenergin hos en bil med massan 1 200 kg som körs med a) hastigheten 25 m/s (90 km/h) b) hastigheten 12,5 m/s (45 km/h).

1.1 TAL I OLIKA FORMER

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 13

2021-10-29 13:15

Tema

Kronhjul och pinjong

kronhjul

pinjong

I centrumväxeln i maskiners bak- och framaxel sitter två kugghjul, kronhjul och pinjong. När ett nytt par av kronhjul och pinjong ska monteras måste kugghjulens läge ställas in så att kugghjulen inte skadas. Ett justermellanlägg monteras på axeln till pinjongen så att kugghjulen monteras in rätt. Två märkningar som anger tillverkningsavvikelsen läses av. En märkning finns på pinjongen och en märkning finns på axelkåpan. Båda märkningarna anger avvikelsen i hundradels mm. Tjockleken, T, i mm för justermellanlägget beräknas med formeln: T = 1,80 + L − P där L är axelkåpans märkning och P är pinjongens märkning. Märkningen −7 på pinjongen betyder att den blev 0,07 mm kortare än det nominella värdet (basmåttet).

1,80 ± 0,07 nominellt värde

Tolerans

Märkningen 8 på pinjongen betyder att den blev 0,08 mm längre än det tänkta nominella värdet.

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 40

Tal och beräkningar – grunDlägganDe begrepp och meToDer

2021-10-29 13:15

Tema Exempel

Vi beräknar tjockleken på justermellanlägget när pinjongen har märkningen – 10 och axelkåpan märkningen 7. Märkningen ger L = 0,07 mm och P = –0,10 mm T = 1,80 + 0,07 – (–0,10) mm = 1,80 + 0,07 + 0,10 mm = = 1,97 mm

Två minustecken intill varandra ersätts med ett plustecken.

Justermellanlägget ska vara 1,97 mm.

1 Vilken tjocklek ska justermellanlägget ha om axelkåpan har märkningen 8 och pinjongen märkningen a) 6

b) 10?

2 Axelkåpan i en hjullastare har märkningen 7. Vilken tjocklek på justermellanlägget ska användas om pinjongen har märkningen a) −5

b) −15?

3 För vilken märkning på pinjongen, positiv eller negativ, är justermellanläggets tjocklek störst? 4 Centrumväxeln på en tipptruck ska renoveras och pinjong och kronhjul byts ut. När nya kugghjul ska monteras upptäcker du att pinjongen saknar märkning. Efter att du har testat dig fram kommer du fram till att justermellanlägg med tjockleken 1,88 mm passar. Vilken märkning skulle pinjongen ha haft om axelkåpan har märkningen a) 10

5 På en utgående axel monteras en distansring för att justera spelet (glappet). Distansringens tjocklek, T mm, beräknas med formeln A+B –D–S 2 där S är det tillåtna spelet och kan variera mellan (0,05–0,20) mm. T=

Inom vilket intervall ska distansringens tjocklek vara om A = 9,46 mm, B = 9,44 mm och D = 5,0 mm? 6 Justermellanläggets tjocklek, T mm, kan också beräknas med formeln T = 41,2 – E + F – G – H där E, F, G, H motsvarar olika komponenters avvikelser och anges i hundradels millimeter. Beräkna justermellanläggets tjocklek om • • • •

E har märkningen 4 000 F har märkningen –2 G har märkningen 30 H har märkningen –10.

b) 6?

axelkåpa

Tal och beräkningar – grunDlägganDe begrepp och meToDer

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 41

2021-10-29 13:15

har redan ett tema om promille.

Tema

Underhållsservice och reparation Efter gymnasieexamen kan du antingen välja att starta ett eget företag. Då behöver du kunna beräkna kostnader och intäkter för olika tjänster, t.ex. då du ska lämna en offert till en kund. Exempel

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 72

Du arbetar som fältmekaniker på ett företag som precis har tecknat ett avtal med ett transportföretag som har hjullastare, L180F, och dumprar, A35E, i sin maskinpark. Du ska ansvara för underhållsservice och reparation av fordonen. Maskinerna ska servas var 500:e drifttimme.

Tal och beräkningar – grunDlägganDe begrepp och meToDer

2021-10-29 13:16

Tema Vi beräknar vinsten för en 500 h service på en dumper A35E: I tabellerna visas materialkostnad och tidsåtgång för service av en dumper A35E. A35E

500 h

1 000 h

2 000 h

• •

• • • • •

• • • • • •

Filtersats motorolja, 42 l axelolja, 104 l Växellådsolja, 42 l bromskylolja, 210 l hydraulolja, 245 l Fördelningsväxellådsolja, 8,5 l

Material A35E Filtersats 500 h

• TIDLISTA

Arbete

969,75 kr

Filtersats 1 000 h

3 809,25 kr

Filtersats 2 000 h

7 775,00 kr

motorolja 20 l

646,40 kr

Växellådsolja 20 l

804,20 kr

bromskylolja 20 l

604,60 kr

axelolja 20 l

726,00 kr

hydraulolja 20 l

517,00 kr

Fördelningsväxellådsolja 20 l

726,00 kr

Tid (h)

A35E underhållsservice

Pris exkl. moms

500 h

2,5

underhållsservice 1 000 h

5,5

underhållsservice 2 000 h

13,0

Olja säljs i 20-liters dunkar. 42 liter olja gör att du behöver 3 dunkar.

För att göra en vinst på ett servicejobb gör du ett pålägg på 30 % på inköpspriset av material och du tar ut en arbetskostnad på 700 kr/h. Materialkostnad 969,75 + 3 ∙ 646,40 kr = 2 908,95 kr Pålägg på materialet 2 908,95 ∙ 0,30 kr = 872,69 kr Arbetskostnad 2,5 ∙ 700 kr = 1 750 kr Total vinst Pålägg på materialet + Arbetskostnad = = 872,69 +1 750 kr ≈ 2 623 kr Vinsten, innan övriga omkostnader räknas av, blir på detta jobb 2 623 kr.

Tal och beräkningar – grunDlägganDe begrepp och meToDer

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 73

2021-10-29 13:16

Tema I tabellerna visas materialkostnad och tidsåtgång för service av en hjullastare L180F. L180F Filtersats motorolja, 42 l axelolja, 104 l

500 h

1 000 h

2 000 h

• •

• • •

• • • •

Växellådsolja, 42 l

Material

Pris exkl. moms

L180F Filtersats

500 h

969,84 kr

Filtersats 1 000 h

1 782,75 kr

Filtersats 2 000 h

4 572,75 kr

motorolja 20 l

646,40 kr

axelolja 20 l

604,60 kr

Växellådsolja 20 l

804,20 kr

TIDLISTA Arbete

Tid (h)

L180F underhållsservice

1 Använd tabellerna och beräkna vinsten på följande servicejobb. a) En 500 h service på en L180F. b) En 1 000 h service på en A35E. 2 När ett arbete på en maskin utförs använder man en del förbrukningsmaterial såsom trasor, fett, papper m.m. Detta är en kostnad som inom den tunga fordonsbranschen tillförs med 5 % på arbetskostnaden. Vid underhållsservice tillkommer också en miljöavgift på 43 kr/service för hantering av gammalt filter och olja. a) Beräkna priset ut till kund, exkl. moms, för en 2 000 h service på en dumper A35E. b) Hur mycket större är vinsten på en 2 000 h service på en L180F jämfört med en 1 000 h service?

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 74

500 h

2,5

underhållsservice 1 000 h

4,0

underhållsservice 2 000 h

5,5

3 En av hjullastarna börjar ladda dåligt så kunden vill att generator, rem och skiva ska bytas. Maskinen går i en mycket dammig miljö och därmed bör generatorfiltret samtidigt bytas ut för att spara på kolet i generatorn. Tabellen visar priset på material exkl. moms. generator

2 893,60 kr

generatorrem

176,80 kr

remskiva

356,80 kr

generatorfilter

356,25 kr

a) Beräkna pris, exkl. moms, ut till kund för detta jobb om tidsåtgången är 1 h. Tänk på att lägga till en kostnad för förbrukningsmaterial. b) Vad blir din vinst på detta jobb?

Tal och beräkningar – grunDlägganDe begrepp och meToDer

2021-10-29 13:16

Aktivitet Vilka uttryck är lika? I den här aktiviteten ska du koppla samman uttryck som är skrivna på olika sätt. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att förenkla uttryck. Arbeta i par eller grupp.

Dela ett A4-papper så att ni får 16 papperslappar. På lapparna skriver ni nedanstående matematiska uttryck (ett uttryck per lapp). Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp.

X+X

2X – 2

–2

X·X

2X – X

–X + 3 – 2

–7 + 2X +5

4–6

3X – X – X

X+2–X

X–2–X

X–2+X

2.1 algebraISKa UTTrYCK OCH eKVaTIONer

Gul 1a_Kap 2_211028.indd 91

2021-10-29 13:30

Tema

Ersättningsresistans I en elektrisk krets kan det finnas flera resistorer. Orsaken kan t.ex. vara ◗ att det är svårt att hitta ett enda motstånd med rätt resistans ◗ att den elektriska effekten över en enskild resistor blir för hög ◗ att säkerhetsställa att de olika komponenterna i kretsen får rätt spänning. Den totala resistansen i en krets kallas ersättningsresistansen. Den beräknas på olika sätt beroende på hur resistorerna är kopplade. Ersättningsresistansen, Rtot, kan beräknas med följande formler:

Exempel 1

Seriekoppling

Parallellkoppling

Rtot = R1 + R 2 + … + Rn

1 1 1 1 = + +…+ R1 Rtot R R2 n

Resistorerna i figuren är seriekopplade. Vi beräknar ersättningsresistansen.

R = 200 Ω

R = 300 Ω

Rtot = R1 + R 2 = 200 Ω + 300 Ω = 500 Ω Ersättningsresistansen i kretsen är 500 Ω.

Exempel 2

Resistorerna i figuren är parallellkopplade. Vi beräknar ersättningsresistansen. 1 1 1 = + R1 R2 Rtot

R = 200 Ω

R = 300 Ω

1 1 1 = + 200 300 Rtot 3 ⋅1 2 ⋅1 1 = + Rtot 3 ⋅ 200 2 ⋅ 300

Förläng till samma nämnare.

1 3 2 = + Rtot 600 600 5 5/5 1 1 = = = 600 600 / 5 120 Rtot

Förkorta så att täljaren är 1.

Rtot = 120 Ω Ersättningsresistansen i kretsen är 120 Ω.

142

Gul 1a_Kap 2_211028.indd 142

algebra

2021-10-29 13:31

Tema 1 Beräkna ersättningsresistansen för tre seriekopplade resistorer på 1 kΩ, 0,5 kΩ respektive 0,3 kΩ. 2 Vilken är ersättningsresistansen för tre resistorer på vardera 6 Ω som parallellkopplas? 3

12 V

Lampor i fordon är oftast parallellkopplade. Tre likadana extraljus är parallellkopplade och ersättningsresistansen i kretsen är 4 Ω. Vilken resistans har ett extraljus?

0,1 kΩ 24 V

10 Ω

Två resistorer med resistansen 10 Ω parallellkopplas i ett 24 V-system. Till kretsen seriekopplas även en resistor på 0,1 kΩ enligt figuren ovan. Beräkna ersättningsresistansen i kretsen. 4 Resistorerna i en elektrisk krets till kupéfläkten i en bil är seriekopplade. Antalet resistorer som kopplas in i kretsen styrs av det läge som fläkten är inställd på. Fler resistorer ger en större resistans och därmed ett lägre varvtal på fläkten. När fläkten är i läge 2 verkar två resistorer med ersättningsresistansen 630 Ω. Den ena resistorn är på 160 Ω. Vilken resistans har den andra? 5 Ersättningsresistansen i en krets med tre parallellkopplade resistorer är 5,0 Ω. Två av resistorerna har en resistans på 12 Ω vardera.

8 Många resistorer har en maxeffekt på 0,25 W. Högre effekt över resistorn ger för hög värmeutveckling. Två resistorer på 0,5 kΩ respektive 0,6 kΩ är parallellkopplade i ett 12 V-system. Spänningen är densamma över varje resistor. Strömmen som går genom resistorerna beror av deras storlek och måste beräknas. a) Använd Ohms lag (U = R ∙ I) och effektlagen (P = U ∙ I) och beräkna effekten över resistorerna. b) I vilken resistor blir det för hög värmeutveckling? c) Resistorn med för hög värmeutveckling kan ersättas med två seriekopplade resistorer. Strömmen genom de båda seriekopplade resistorerna är samma och till storleken lika som genom resistorn som byts ut. Spänningen beror av motståndens storlek och måste beräknas. Vilken storlek kan de seriekopplade resistorerna ha? d) Vilken ersättningsresistans har kretsen?

Vilken resistans har den tredje resistorn? 6 Ökar eller minskar ersättningsresistansen om ytterligare en resistor kopplas in i en krets med resistorer som är a) seriekopplade

algebra

Gul 1a_Kap 2_211028.indd 143

b) parallellkopplade?

143

2021-10-29 13:31

Aktivitet Graf, formel, tabell och beskrivning I den här aktiviteten ska du koppla samman grafer, formler, värdetabeller och funktionsbeskrivningar. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att växla mellan de olika sätten att representera en funktion. Materiel:  Sax, papper och tejp. Arbeta i par eller grupp. Varje rad i tabellen nedan och på nästa sida innehåller fyra rutor: 1 En graf

3 En värdetabell

2 En formel

4 En funktionsbeskrivning

Tabellen är inte korrekt ordnad radvis. Gör så här: Kopiera tabellen (ev uppförstorad), klipp den i rutor och tejpa upp rutorna radvis i rätt ordning. Graf

➀

Formel

➀

y = 2x – 1

Värdetabell

➀

x 1

➁

x 1

164

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 164

y=2

➁

–1

–2

–1

–3

–1

Funktionsbeskrivning

➀

y är alltid två

➁

y är halva x

funktioner

2021-10-29 13:35

Graf

➂

Formel

➂

y = x2

Värdetabell

➂

x 1

➃

y = 3x – 3

➃

x 1

➄

y=3–x

➄

x 1

➅

y = 0,5x

➅

x 1

➆

x 1

3.1 GRAFER OCH FUNKTIONER

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 165

y = 2x

➆

–1

–6

–3

–1

–0,5

0,5

1,5

–1

Funktionsbeskrivning

➂

➃

➄

➅

➆

y är dubbla x

y är ett mindre än dubbla x

y är tre gånger så mycket som x minus tre

y är tre minskat med x

y är kvadraten på x

165

2021-10-29 13:35

Rita grafer med digitala verktyg När vi ritar grafen till en funktion med hjälp av ett digitalt verktyg behöver vi inte göra en värdetabell. Vi skriver in formeln direkt i verktyget, som sedan ger oss grafen som en sammanhängande linje eller kurva. 3124

Utgå från funktionen y = 7 – 2x och lös uppgiften med ett grafritande verktyg. a) Rita grafen till funktionen. b) Bestäm grafiskt y då x = 2,2.

Tänk på att många program använder decimalpunkt i stället för decimalkomma. Hur är det i ditt program?

c) Bestäm grafiskt x då y = 4,5. a) Vi skriver in y = 7 – 2x i ett grafritande verktyg.

f : y = 7 2x

9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 0

b) Vi skriver in x = 2,2 och y = 7 – 2x och avläser skärningspunkten mellan graferna. Skärningspunkten är (2,2; 2,6).

f : y = 7 2x Ekv1 : x = 2.2 A = Skärning (Ekv1, f) (2.2, 2.6)

Svar: När x = 2,2 är y = 2,6.

Skärningspunkten är (1,25; 4,5). Svar: När y = 4,5 är x = 1,25.

f : y = 7 2x Ekv1 : y = 4.5 B = Skärning (Ekv1, g) (1.25, 4.5)

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 166

x = 2.2

y = 7 2x 1

9 y 8 7 6 5 4 B 3 2 1 2 1 0

166

9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 0

c) På motsvarande sätt skriver vi in y = 7 – 2 x och y = 4,5

y = 7 2x

y = 4.5

y = 7 2x 1

funktioner

2021-10-29 13:35

3125 Rita grafen till y = 8,6 – 2,4x.

3130 Nedan ser du två grafer.

Bestäm grafiskt a) y-värdet där x = 2 b) y-värdet där x = 6 c) x-värdet där y = 4 d) x-värdet där y = 0

Wilma säger att det är samma funktion.

3126 Rita graferna till funktionerna y = 5 – 3x och y = x – 3 med grafritande verktyg och avläs skärningspunkten mellan graferna. 3127 Rita grafen till funktionen y = 3 + 1,5x och avläs skärningspunkten mellan grafen och a) x-axeln b) y-axeln. 3128 Om en bil håller hastigheten v km/h, kan stoppsträckan s m vid ett visst väglag beräknas med formeln s = 0,3v + 0,0063v

Kan hon ha rätt? Motivera ditt svar. 3131 Rita grafen till y = 2x –5 och punkterna A = (–2, –8) och B = (1, –3).

Ligger någon av punkterna på grafen?

3132 Mängden, y mg, av ett läkemedel varierar i blodet enligt formeln y = 25 + 2x ∙ 0,98 x där x är tiden i timmar efter en injektion. Rita grafen till funktionen och bestäm a) mängden läkemedel i blodet efter 2 h b) när mängden läkemedel i blodet är över 60 mg.

a) Rita grafen till formeln. Bestäm med hjälp grafen b) stoppsträckan när hastigheten är 50 km/h c) hastigheten som ger stoppsträckan 60 m d) hur mycket stoppsträckan ökar om hastigheten ökar från 70 km/h till 110 km/h. 3129 a) Rita grafen till funktionen y = 0,5x2 – 1. b) R ita av och fyll i värdetabellen med hjälp av grafen. x

–4

–2

3.1 GRAFER OCH FUNKTIONER

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 167

–1

167

2021-10-29 13:35

Tema

Hållfasthet Trä, metall och plast är material som är olika starka och har olika egenskaper och hållfasthet. Beroende på hur materialet belastas påverkas det på olika sätt. Vid belastning med en mekanisk spänning kan exempelvis materialet töjas och bli längre. Sambandet mellan mekanisk spänning och töjning är till en början linjärt, men detta gäller bara upp till en viss gräns. Därefter deformeras materialet eller går sönder. Det linjära sambandet mellan mekanisk spänning, S, och töjningen ε, kan skrivas S=E∙ε elasticitetsmodul

där S mäts i gigapascal (GPa) och E är materialets elasticitetsmodul som mäts i enheten GPa. Töjningen ε anges i decimalform.

Exempel 1

Figuren visar sambandet mellan mekanisk spänning S och töjning ε för virke. Vid en viss spänning slutar sambandet att följa en rät linje. Vid ytterligare spänning bryts till slut virket av.

GPa Brott

Proportionalitetsgräns

Om E = 10 GPa skrivs sambandet: S = 10 ∙ ε Exempel 2

Virket med elasticitetsmodulen 10 GPa utsätts för spänningen 0,5 GPa vid ett belastningsprov. Vi beräknar töjningen, ε: E = 10 GPa och S = 0,5 GPa 0,5 = 10 ∙ ε

ε = 0,5/10 = 0,05 = 5 % Töjningen av virket är 5 %.

180

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 180

funktioner

2021-10-29 13:35

Tema 1 Sambandet mellan mekanisk spänning, S GPa, och töjning ε för ett material är till en början linjärt och kan skrivas S = E ∙ ε. a) Ange elasticitetsmodulen E om sambandet kan skrivas S = 13 ∙ ε. b) Skriv en linjär funktion S = E ∙ ε då elasticitetsmodulen för stål är 210 GPa.

0,2

ε%

a) Använd grafen för att bestämma elasticitetsmodulen för plast. b) Innan plasten deformeras är sambandet mellan spänningen och töjningen linjärt.

Diagrammet visar resultatet från ett spänningsprov för fyra olika material. S

GPa

0,1

2 Elasticitetsmodulen anger hur elastiskt ett material är. Ju lägre värde på elasticitetsmodulen desto mer elastiskt är materialet.

GPa

4 Diagrammet visar ett dragprovstest för ett plastmaterial.

C X

Ange den linjära funktionen som beskriver detta samband. 5 Diagrammet visar sambandet mellan spänning och töjning för två olika material med samma draghållfasthet.

GPa

Brottgräns

1,0

a) Är spänningen proportionell mot töjningen för material A? Motivera ditt svar. b) Vilket material är mest elastiskt?

S Brottgräns

A 0,5

c) Vilket material är minst elastiskt? 3 Elasticitetsmodulen för träslaget gran är 12 GPa.

4 %

a) Skriv en linjär funktion för hur spänningen beror av töjningen för träslaget gran.

a) Bestäm elasticitetsmodulen för material A.

b) En 600 mm lång trästav töjs till 610,8 mm vid ett spänningsprov. Hur många procent längre har trästaven blivit?

b) Bestäm elasticitetsmodulen för material B. c) Bestäm den linjära funktionen S = E ∙ ε för de båda materialen.

c) Granvirke med ett lägre fuktinnehåll har elasticitetsmodulen 15 GPa.

d) Vid dragspänningstestet användes 400 mm långa provstavar.

Hur mycket töjs en 600 mm lång trästav av denna typ om spänningen är 0,6 GPa?

funktioner

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 181

Under testet hade en av stavarna töjts 12 mm. Vilken var dragspänningen vid det tillfället?

181

2021-10-29 13:35

Lån, ränta och amortering med kalkylprogram Ett kalkylprogram är ett bra hjälpmedel för att snabbt och smidigt beräkna lånekostnader som t.ex. räntor och amorteringar. Här tar vi hjälp av programmet Excel eller GeoGebra. De fungerar på liknande sätt, men Excel använder decimalkomma och GeoGebra decimalpunkt. Exempel

Ett lån på 10 000 kr ska amorteras på fyra år. Räntesatsen är 7,00 % och inbetalningarna sker i slutet av varje år.

En amortering är en återbetalning av en del av lånebeloppet.

Vi öppnar ett kalkylblad och börjar med att skriva in rubrikerna överst i kolumnerna och justerar bredden så att hela texten syns. Sedan skriver vi in de startvärden vi har i rätt celler. ◗ I cell A2 skriver vi 1 (första inbetalningen) ◗ I cell B2 skriver vi 10 000 (lånebeloppet) ◗ I cell C2 skriver vi 2 500 (amorteringsbeloppet 10 000/4 = 2 500)

Så här ser kalkylbladet ut:

1 2

A År 1

B Återstående lån 10000

C Amortering 2500

D Årsränta

E A betala ll banken

Nu ska vi mata in de formler som krävs för att utföra alla beräkningar. Cell

Inmatning av formel

Förklaring och beräkning

=0,07*B2 eller =7%*B2

7 % av beloppet i B2 Beräkning: 0,07 ∙ 10 000 = 700

=C2+D2

Summan av beloppen i C2 och D2 Beräkning: 2 500 + 700 = 3 200

I Excel skriver man ”=” framför formeln, det behövs inte i GeoGebra.

Så här ser kalkylbladet ut:

1 2

A År 1

B Återstående lån 10000

C Amortering 2500

D Årsränta 700

E A betala ll banken 3200

Vi fortsätter och skriver två formler till: Cell

252

1a_Kap 4_211028.indd 252

Inmatning av formel

Förklaring och beräkning

=A2+1

År 2 Värdet i A2 ökar med 1 Beräkning: 1 + 1 = 2

=B2−C2

Beloppet i B2 minskas med beloppet i C2 Beräkning: 10 000 – 2 500 = 7 500

sannolikhet och statistik

2021-10-29 13:42

Så här ser kalkylbladet ut:

A År 1 2

1 2 3

B Återstående lån 10000 7500

C Amortering 2500

D Årsränta 700

E A betala ll banken 3200

Den stora fördelen med att använda ett kalkylprogram är att vi enkelt kan utföra samma typ av beräkning många gånger. Vi klickar i cellen A3 där formeln = A2 + 1 finns inmatad och sätter muspekaren på den lilla kvadraten nere till höger och drar den nedåt till sista cellen A5 (vi får fyra celler med 4 inbetalningar). När vi förlänger kolumnen kommer programmet att skriva nya formler av samma typ i rutorna under: ◗ I A4 skriver programmet = A3 + 1 och vi ser resultatet 3. ◗ I A5 skriver programmet = A4 + 1 och vi ser resultatet 4.

Vi drar på samma sätt: • B3 till B5 (vi måste dra kolumn C innan de rätta värdena syns i kolumn B, eftersom formeln i kolumn B innehåller värden från C) • C2 till C5 (samma värde, 2 500, skrivs i hela kolumnen) • D2 till D5 och E2 till E5. Nu ser kalkylbladet ut så här:

A År 1 2 3 4

1 2 3 4 5

B Återstående lån 10000 7500 5000 2500

C Amortering 2500 2500 2500 2500

D Årsränta 700 525 350 175

E A betala ll banken 3200 3025 2850 2675

Vi vill nu beräkna summan av amorteringarna, räntekostnaderna och summan av alla inbetalningar till banken. I cell B6 skriver vi ordet Totalt. Vi markerar sedan de celler vi vill summera och använder

∑ Autosumma

i Excel och ∑ i GeoGebra.

Så här ser det färdiga resultatet ut:

1 2 3 4 5 6

A År 1 2 3 4

4.3 MATEMATIK OCH EKONOMI

1a_Kap 4_211028.indd 253

B Återstående lån 10000 7500 5000 2500 Totalt

C Amortering 2500 2500 2500 2500 10000

D Årsränta 700 525 350 175 1750

E A betala ll banken 3200 3025 2850 2675 11750 253

2021-10-29 13:42

4305

En långivare ger följande information: Lånebelopp: 85 000 kr Ränta: 4,5 % Amortering: E n gång per år i 10 år, lika stort belopp varje gång. a) Gör ett kalkylblad med de fem rubrikerna: År, Återstående lån, Amortering, Årsränta, Att betala till banken. Vilka värden och formler ska du skriva i kalkylbladet innan du kan ”förlänga kolumnerna”? b) Vilka värden kommer att visas i kalkylbladet innan du ”förlänger kolumnerna”? a) Vi skriver i kalkylprogrammet: 1 2 3

År

=A2+1

b) 1 2 3

År

B C D Återstående lån Amortering Årsränta 85000 =B2/10 =0,045*B2 =B2–C2 =C2

B C Återstående lån Amortering 1 85000 8500 2 76500 8500

Lös följande uppgifter med hjälp av ett kalkylprogram.

1 4306 Yosef köper en tv som har kontantpriset 8 700 kr. Han betalar tv:n genom att ta ett lån på 8 700 kr. Lånet ska betalas tillbaka på ett år med lika stora amorteringar varje månad. Månadsräntan är 3,00 %. a) Hur stor inbetalning ska han göra efter en månad? b) Hur mycket har han betalat för tv:n när alla inbetalningar är gjorda? c) Hur många procent mer har han betalat för tv:n jämfört med kontantpriset?

254

1a_Kap 4_211028.indd 254

D Årsränta 3825

E A betala ll banken =C2+D2

E A betala ll banken 12325

4307 Robin lånar 240 000 kr för att renovera sin lägenhet. Amorteringstiden är 8 år och räntan 5,50 %. Inbetalningarna ska göras en gång per år och amorteringarna ska vara lika stora varje gång. a) Hur stor är varje amortering? b) Hur stor är summan av de belopp som han ska betala till banken vid första inbetalningen? c) Hur stor är summan av de belopp som han ska betala till banken vid sista inbetalningen? d) Vilken är den totala kostnaden för lånet, dvs. summan av alla ränteinbetalningar?

sannolikhet och statistik

2021-10-29 13:42

4308 Ellen och Rasmus ska köpa en bubbelpool för 95 000 kr. De tänker låna till hela beloppet och hittar två olika låneerbjudanden.

4309 En långivare ger följande information:

Räntorna avser månadsränta och amorteringarna är lika stora varje månad. a) Vad blir totalkostnaden med det billigaste lånealternativet? b) Hur stor är skillnaden i kostnad mellan det dyraste lånealternativet och att betala direkt? c) Vilket är det billigaste lånealternativet, om de istället väljer att låna 50 000 kr?

Pooldirekt ERBJUDANDE Köp nu och dela upp betalningen på ett år. Ränta: 7,5 %

4.3 MATEMATIK OCH EKONOMI

1a_Kap 4_211028.indd 255

NordSwea Låna upp till 100 000 kr i två år.

Lån: 40 000 kr Ränta: 2,15 % Amortering: En gång per år a) Efter hur många år är lånet återbetalat om amorteringsbeloppet är 5 000 kr första året och därefter ökar med 5 % per år? b) Hur mycket har man sammanlagt betalat i ränta när lånet är avbetalat, om amorteringen är 2 500 kr/år och räntesatsen ökar med 0,5 procentenheter per år? c) Efter hur många år är lånet återbetalat om räntan är som i b) och summan av ränta och amortering varje år ska vara 5 000 kr?

Ränta endast 3,75 %

255

2021-10-29 13:42

Tema

Skärhastighet När man borrar, svarvar eller fräser är det viktigt att ställa in rätt skärhastighet. Är skärhastigheten för hög kan materialet skadas och skären slits ut för snabbt. Är skärhastigheten för låg tar arbetet för lång tid och ytan på materialet kan bli ojämn. Exempel 1

En borr snurrar 450 varv per minut. Rotationshastigheten eller varvtalet är då 450 varv/min = 450 rpm (revolutions per minute). En borr har diametern 10 mm. Under ett varv förflyttas en punkt på borrens periferi sträckan

en punkt på cirkelns periferi. d

π ∙ 10 mm ≈ 31 mm (cirkelns omkrets). Om borren roterar 450 varv på 1 minut förflyttas punkten sträckan 450 ∙ 31 mm = 13 950 mm ≈ 14 m. Borrens skärhastighet är 14 m/min. Skärhastigheten i m/min beräknas med formeln:

vc = n d 1 000

vc = skärhastigheten i m/min n = varvtalet i varv/min (rpm) d = diametern i mm

Sambandet mellan skärhastighet, varvtal och diameter kan också läsas av i ett nomogram (se nästa sida). Lägg märke till att avståndet mellan skalstrecken är olika på de tre axlarna. Exempel 2

Vi kan till exempel läsa av varvtalet om diametern är 90 mm och rekommenderad skärhastighet är 60 m/min. Varvtalet ska ställas in på 200 rpm enligt diagrammet på nästa sida.

1 Vid en borrning i mässing är varvtalet 2 000 rpm och borrdiametern 10 mm. a) Beräkna skärhastigheten med formeln. b) Läs av skärhastigheten i nomogrammet. 2 Vid svarvning är skärhastigheten den hastighet som metalldetaljen rör sig förbi skäreggen. Vid en speciell svarvning är varvtalet 140 rpm och detaljens diameter 90 mm. a) Beräkna skärhastigheten med formeln. b) Läs av skärhastigheten i nomogrammet.

300

1a_Kap 5_211028_NY.indd 300

3 När man fräser anger skärhastigheten skäreggens hastighet. Vad är fräsdiametern, om varvtalet är 400 rpm och skärhastigheten 150 m/min? Beräkna med formeln och kontrollera ditt resultat i nomogrammet.

geometri – repetition och fördjupning

2021-10-29 14:11

Tema Skärhastighet (m/min)

Diameter (mm) 10

1000 900 800 700 600

Varvtal (r/min)

500

10000 8000

400

6000 5000

4000

3000

300

2000

1500

200

1000 800

150

60 70 80 90 100

600 500 400

100 90 80 70

300 200 150

100

60 50 40

150 200

300 400

20 15

500

10 8

600 700 800 900 1000

6 5

4 Du ska borra hål i en metalldetalj enligt ritningen. Den rekommenderade skärhastigheten för materialet är 40 m/min. Vilket varvtal ska du ställa in på borren för de olika hålen? 2,25

om diametern är 90 mm och om rekommenderad skärhastighet är 60 m/min, ska varvtalet ställas in på 200 rpm.

5 Vid fräsning behöver även matningshastigheten beräknas, dvs. skäreggens rörelse i förhållande till metalldetaljen. Hastigheten beräknas med formeln v = f ∙ z ∙ n där

(mm) 45°

v = matningshastigheten i mm/min z = antal skär f = matningen i mm/skär n = varvtal i rpm En fräs med diametern 80 mm och 10 skär har en tillåten matning med 0,28 mm/skär.

Ø 5,5 Ø 38,1

Vilken matningshastighet ska användas om skärhastigheten är 20 m/min?

2,25

geometri – repetition och fördjupning

1a_Kap 5_211028_NY.indd 301

301

2021-10-29 14:11

Aktivitet Det är inte bara svaret som räknas! I den här aktiviteten får du jämföra olika lösningar till en och samma uppgift och sedan skriva en egen lösning. Syftet är att du ska utveckla din skriftliga kommunikationsförmåga.

1 Albin, Billy och Christoffer har löst följande uppgift på olika sätt. Mia körde bil i 3,5 timmar med jämn hastighet. Hon kom då 25 mil. Hur långt kom hon på 40 minuter? Jämför deras lösningar. Hur har de tänkt? Är lösningarna möjliga att följa och förstå? Är de fullständiga eller saknas något steg? Använder de matematikens språk och symboler på ett lämpligt sätt?

Albins lösning:

25 mil = 250 km = 250 = 71 km/h 3,5 71 ≈ 1,18 · 40 = 47 km 60

Hastigheten = Billys lösning:

sträckan 250 km = = 71,4 km/h tiden 3,5 h

40 min = 2 timme ≈ 0,7 h 3 0,7 · 71,4 = 49,98 km

Christoffers lösning:

250 KM 1,19 KM 47 KM

210 MIN 1 MIN 40 MIN

2 Skriv en egen ”perfekt” lösning till uppgiften. Ta hänsyn till de synpunkter du hade på Albins, Billys och Christoffers lösningar. Beskriv vad som gör din lösning perfekt.

Gul 1a_Kap 1_211028.indd 30

Tal och beräkningar – grundläggande begrepp och metoder

2021-10-29 13:15

Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.

1 Alla punkter på y-axeln har x-värdet noll.

8 Om g(x) = 3x – 2, så är g(4) = 6

2 Om x ökar med 1 i funktionen y = 5x + 3, så ökar y med 3.

9 Om ett pris ökar med 20 % och det nya priset sedan ökar med 20 %, så är den totala ökningen 40 %.

3 Grafen till en proportionalitet är en rät linje genom origo.

10 Om f(x) = 10 ∙ 0,8x så är f(2) = 6,4.

4 Grafen till den linjära funktionen y = 3x + 2 går genom punkterna (1, 5) och (–1, –5).

11 Om f(x) = 6 + 4x så har ekvationen f(x) = 30 lösningen x = 9.

5 En minskning med 25 % motsvaras av förändringsfaktorn 0,25.

12 I funktionen y = 20 ∙ 0,5x kan y-värdet aldrig bli mindre än noll.

6 f(x) = 3x är ett exempel på en linjär funktion.

13 Om funktionen y = 2 + x beskriver en temperatur y °C vid tidpunkten x timmar efter midnatt så är ändringstakten 2 °C per timme.

7 Om x ökar med 1 i exponentialfunktionen y = 100 ∙ 1,2 x, så ökar y med 20 %.

funktioner

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 219

219

2021-10-29 13:35

Sammanfattning Sammanfattning3 Koordinatsystem

Linjära funktioner

I punkten (5, –2) är x = 5 och y = –2. Om vi sammanbinder flera punkter i ett koordinatsystem får vi en graf.

En linjär funktion kan skrivas y = kx + m. m ger skärningen med y-axeln (”startvärdet”). k visar linjens lutning (”hur snabbt y ändras”).

Funktionsbegreppet

Om sambandet mellan två variabler x och y är sådant att varje x-värde ger ett (och bara ett) y-värde, så är y en funktion av x. En funktion kan beskrivas med en formel, en tabell eller en graf.

Värdetabell x

y = 5 – 2x

5–2·0=5

5–2·1=3

5–2·2=1

5 – 2 · 3 = –1

k = –1 y minskar med 1 för varje x.

Figuren visar grafen till y = f(x).

1 2 3 4

Grafen går genom punkten (2, 1). Med digitalt verktyg kan vi rita grafen genom att skriva in formeln y = 5 – 2x eller f(x) = 5 – 2x.

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 220

Grafisk lösning av ekvationen f (x) = a x

T.ex. f(x) = 5 – 2x och x = 2 ger f(2) = 5 – 2 ∙ 2 = 5 – 4 = 1

220

Om m = 0 går linjen genom origo. Funktionen skrivs y = kx och kallas för en proportionalitet.

Om funktionen är y = f(x), så är f(x) det y-värde som hör till talet x.

f : y = 5 2x

m=1

y = –x + 1

1 –1

Graf 5 4 3 2

k=2 y ökar med 2 för varje x.

m = –1

Rita grafen till funktionen f (x) = 5 – 2x Utan digitalt verktyg måste vi göra en värdetabell. Vi väljer först några x-värden och beräknar y-värdena. Sedan placerar vi punkterna i ett koordinatsystem och sammanbinder punkterna till en graf.

y = 2x – 1

5 4 3 2

1 –2 –1

x 1 2 3 4 5 6 7 8

Lösningen till ekvationen f(x) = 3 är x-värdet i punkten på linjen där y = 3. Vi avläser lösningen x = 2.

funktioner

2021-10-29 13:35

Jämförelser

Exponentialfunktioner

Liam är 120 cm och Joy är 150 cm. Skillnaden är 30 cm. 30 = 0,25 = 25 % 120 Joy är 25 % längre än Liam.

Funktioner av typen y = 2 x och y = 30 000 ∙ 0,95x kallas exponentialfunktioner.

30 = 0,2 = 20 % 150 Liam är 20 % kortare än Joy.

y = 100 ∙ 1,5x

Förändringsfaktor Förändringsfaktorn ◗ 1,25 anger en ökning med 25 %. ◗ 0,92 anger en minskning med 8 %. Nya värdet Förändringsfaktorn = Gamla värdet Ett pris minskar från 360 kr till 315 kr. 315 Förändringsfaktorn = = 0,875 360 Minskningen är 100 % – 87,5 % = 12,5 %

Om antalet bakterier i en näringslösning från början var 100 och de sedan ökar i antal med 50 % varje timme, så beskriver formeln antalet bakterier y st efter x timmar. y

100

150

225

338

506

100

x 1

Nya värdet = Förändringsfaktorn ∙ Gamla värdet Priset 400 kr ökar med 25 % : Nya priset = 1,25 ∙ 400 kr = 500 kr

10 C =5

a >1 exponentiell ökning y = 5 ∙ 1,5x

x 1

Upprepade förändringar Om ett värde först ökar med 40 % och sedan minskar med 20 %, blir den totala förändringsfaktorn 1,4 ∙ 0,8 = 1,12. Den totala ökningen är 12 %.

y = 100 · 1,5

Exponentialfunktioner kan skrivas y = C ∙ a x, där C och a är konstanter. 15

Priset 400 kr minskar med 8 % : Nya priset = 0,92 ∙ 400 kr = 368 kr

500

y 15 C = 10

y = 10 ∙ 0,6x

5 x 1

a <1 exponentiell minskning

Matematiska modeller Om vi ska beskriva en situation där en förändring är konstant ökande eller konstant minskande använder vi en linjär funktion som modell. Om förändringen i procent är konstant använder vi en exponentialfunktion som modell.

funktioner

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 221

221

2021-10-29 13:35

Kan du det här? Delkapitel

BEGREPP

3.1 Grafer och funktioner

Koordinater, koordinatsystem och origo

• pricka in och avläsa punkter i ett koordinatsystem

Formel, värdetabell och graf

• tolka grafer som beskriver realistiska situationer

Funktion

PROCEDUR

• från en funktionsformel göra en värdetabell och rita en graf för hand och med digitalt verktyg • bestämma funktionsvärden med hjälp av formel, tabell, graf och digitalt verktyg.

3.2 Linjära funktioner

Linjär funktion m-värde och k-värde

3.3 Procentuella förändringar och exponentialfunktioner

• bestämma en linjär funktions m-värde med hjälp av en formel eller en graf

Proportionalitet

• bestämma en linjär funktions k-värde med hjälp av en formel eller en graf.

Förändringsfaktor

• tolka en förändringsfaktor

Total förändringsfaktor

• göra procentuella jämförelser

Exponentialfunktion

• använda förändringsfaktor vid beräkningar med en eller flera procentuella förändringar • beskriva skillnader och likheter mellan olika linjära och exponentiella funktioner.

3.4 Mer om funktionsbegreppet

Skrivsättet f(x)

• göra beräkningar med formler och avläsningar i grafer där skrivsättet f(x) används • lösa ekvationer av typen f(x) = a med hjälp av en graf.

3.5 Matematiska modeller

Linjär modell Exponentiell modell Ändringstakt

222

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 222

• beräkna och tolka k- och m-värden för linjära modeller • ställa upp, använda och jämföra olika matematiska modeller.

funktioner

2021-10-29 13:35

Testa dig själv 3 3.1 Grafer och funktioner

7 En exponentialfunktion kan skrivas y = 200 ∙ 1,2 x

1 Punkterna (–3, 2) och (5, –2) ligger på en rät linje.

a) I vilken punkt skär grafen y-axeln?

a) Rita punkterna och linjen.

b) Med hur många procent ökar y då x ökar med 1?

b) Ligger punkten (1, 0) på linjen? 2 a) Gör en värdetabell för x = –2, –1, 0, 1, 2 och rita för hand grafen till y = 2x – 1.

3.4 Mer om funktionsbegreppet 8 För funktionen f gäller att f(x) = 12 – 3x

b) Rita grafen till y = 2x – 3 med ett digitalt verktyg.

a) Beräkna f(5) b) Lös ekvationen f(x) = 0

3.2 Linjära funktioner

9 Figuren visar grafen till funktionen y = f(x).

3 För en linjär funktion y = kx + m gäller att k = 2 och m = –5.

3 2

a) Vilken formel beskriver funktionen?

a) Bestäm linjens m-värde. b) Bestäm linjens k-värde.

−1

1 2 3 4 5 6 7

Bestäm med hjälp av grafen

a) f (2)

b) lösningen till ekvationen f(x) = 2.

3.5 Matematiska modeller

x 1

5 Vilken är förändringsfaktorn om a) ökningen är 8 % b) minskningen är 30 %? 6 Vinsten i ett företag ökade ett år med 35 % och året därefter med 25 %. Med hur många procent ökade vinsten under de två åren?

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 223

3.3 Procentuella förändringar och exponentialfunktioner

funktioner

y = f (x )

b) Förklara vad det betyder grafiskt att k = 2 och m = –5. 4 Figuren visar grafen till en funktion som kan skrivas y = kx + m.

10 Malin har fyllt tanken på sin bil. Den mängd bensin y liter som är kvar i tanken när hon kört x mil kan beskrivas med den linjära funktionen y = 60 – 0,75x. a) Förklara vad talen 60 och 0,75 betyder i detta sammanhang. b) Kan värdet på x vara hur stort som helst eller finns det någon begränsning? c) Funktionen V(t) = 220 000 ∙ 0,85t är en modell för värdet V kr på Malins bil då bilens ålder är t år. Beräkna och tolka V(0) och V(3).

223

2021-10-29 13:35

Blandade övningar 1 3 1 Utan digitala verktyg

6 Enligt en prognos kan funktionen y = 28 500 ∙ 1,025x

1 Grafen visar den sträcka y m som en bil kör på tiden x s.

sträcka

användas som modell för Jimmys månadslön y kr om x år.

150

a) Vad kallas denna typ av funktion?

100 50

tid 1

6 s

7 Beräkna f(3) om f(x) = 10 – 2x

a) Vad är y då x = 4? b) Vad är x då y = 150? c) Hur långt kommer bilen på 10 sekunder? 2 Utgå från punkten (3, 0) i ett koordinatsystem. Till vilken punkt kommer du om du gör en förflyttning 4 steg uppåt och 5 steg åt vänster? 3 Erik ska beräkna ett nytt pris på en vara med hjälp av en förändringsfaktor. Vilken förändringsfaktor ska han använda om priset a) ökar med 8 % 4

b) minskar med 30 %?

Figur 1 5

Figur 2

1 x

8 En rät linje har lutningen k = 2,5 och går genom punkten (0, 4). Linjen kan beskrivas med en av funktionerna A–D. Vilken? A y = 4x + 2,5

C y = 4x

B y = 2,5x + 4

D y = 2,5x

9 Figuren visar grafen till en linjär funktion f(x) = kx + m.

a) Bestäm f(0)

b) Är k-värdet ett positivt tal eller ett negativt tal? Motivera ditt svar.

x 1

c) Vilken lösning har ekvationen f(x) = 1?

b) Beskriv med ord hur Jimmys månadslön kommer att förändras.

x 1

Para ihop figur 1 och 2 med rätt funktion. A y = 2x + 2

C y = 0,5x + 2

B y = 2x – 2

D y = 0,5x – 2

5 För funktionen y = 4x + m gäller att y = 15 då x = 2.

10 Teo köper in stenmaterial till ett bygge. Graferna visar hur kostnaden y kr beror av vikten x ton. kr Kostnad 2 000 singel 1 600

sand

1 200

grus

800 400

vikt 5

ton

a) Bestäm talet m.

a) För vilket material gäller y = 200x?

b) Bestäm y då x = 1.

b) Hur mycket dyrare är 5 ton singel jämfört med 5 ton grus?

c) Bestäm x då y = 35.

224

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 224

funktioner

2021-10-29 13:35

1 Med digitala verktyg

11 Alba undersöker hur snabbt mediciner bryts ner i kroppen. I diagrammet visas mängden y mg som finns kvar i blodet x timmar efter en injektion.

15 Att hyra en tvätthall för bilen kostar y kr för x minuter enligt formeln y = 60 + 1,1x.

Mängden minskar med 10 % respektive 20 % per timme för de två medicinerna. mg

16 Slitaget på ett bildäck av en viss modell beskrivs med den linjära modellen

60 50

h(x) = 9,0 – 1,5x

där h(x) är däckets mönsterdjup i mm då däcket har använts i x tusen mil.

30 20

a) Vilket mönsterdjup har däcket som nytt?

x 1

9 tim

a) Vilken mängd finns kvar efter sex timmar om den sjunker med 20 % per timme? b) Hur mycket snabbare halveras mängden om den sjunker med 20 % i stället för 10 %? Motivera ditt svar. 12 Två modeller för temperaturen i °C i en ugn efter t minuter beskrivs av funktionerna f(t) = 20 + 8t g(t) = 20 ∙ 1,18t

a) Hur mycket kostar det att hyra hallen en timme? b) Lös ekvationen 100 = 60 + 1,1x grafiskt och ange vad svaret betyder.

Tolka och beskriv de två modellerna.

13 Efter en idrottsskada ändrade Anna sin träningsmängd vid tre tillfällen: Vecka 1: minskning med 50 % Vecka 2: ökning med 20 % Vecka 3: ökning med 50 % Vilken total förändring i procent motsvarade det?

b) Beräkna h(2) och förklara vad du har beräknat. c) Man bör byta däcket då mönsterdjupet är 3,0 mm. Hur långt har däcket rullat då? d) Däcket kostar 2 800 kr. Vad blir kostnaden per mil för däckslitaget ner till 3 mm? 17 Värdet på en ny motorcykel beräknas sjunka med 15 % per år. Beräkna motorcykelns värde om 2 år, om den i dag kostar 120 000 kr. 18 I en bakterieodling finns 300 000 bakterier. Antalet ökar med 12 % per timme. a) Beräkna antalet bakterier efter 2 timmar. b) Efter hur många timmar har antalet bakterier fördubblats? c) Nina påstår att antalet bakterier efter ett dygn är minst 4 miljoner. Är detta sant?

14 För en linjär funktion y = kx + m gäller ◗ y = 25 när x = 2 ◗ m=k+1 Vilken är funktionen?

funktioner

Gul 1a_Kap 3_211029.indd 225

225

2021-10-29 13:35

SVAR Kapitel 1 1103 a) 23

c) 16

b) 43

d) 0

1104 a) 29

c) 54

b) 18

d) 19

1105 a) 1

c) 11

b) 6

d) 4

1106 a) 66

b) 2

1107 a) 59 b) Hon ska beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. Det gör hon inte. c) 6 Lösning: Metod 1 Beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. 42 + 18 60 = =6 10 2+8 Metod 2 Skriv parenteser runt täljaren respektive nämnaren. 42 + 18 = 2+8 = (42 + 18)/(2 + 8) = 6 1108 a) 480 kr/h b) Kostnaden är 1 550 kr. c) Kostnaden är 3 470 kr. d) Genomsnittspriset är 550 kr/h.

1114 a) Vid subtraktion, t.ex. 8 – 6 = 2, gäller att term – term = differens. b) Vid multiplikation, t.ex. 3 ∙ 5 = 15, gäller att faktor ∙ faktor = produkt. c) Vid division, t.ex. 20 = 4, gäller att 5 täljare = kvot. nämnare 1115 a) 19

e) 11 Lösning: (8 – 2)2/3 – 1 = 62/3 – 1 = = 36/3 – 1 = 12 – 1 = 11 1116 a) Rörelseenergin är 375 000 joule. b) Rörelseenergin är 93 750 joule.

b) 36

1118 a) 28

c) 2 ∙ 5 – 5 = 2 ∙ 25 – 5 = = 50 – 5 = 45 1112 a) Effekten är 2 000 watt. b) Effekten är 400 watt. c) Effekten är 450 watt.

350

1a_gul_Facit.indd 350

c) 28

1119 a) T.ex. (2 · 32 + 3) · 4 = 84

b) Eric använder likhetstecknen på ett felaktigt sätt.

c) 2

1126 a) –6

b) –6

c) –10

1127 a) Saldot är 0 kr. b) Saldot är 50 kr. c) Saldot är –100 kr. d) Saldot är –650 kr. 1128 a) 5 + (–2) = 5 – 2 = 3 b) –5 + (–2) = –5 – 2 = –7 c) 5 + (–7) = 5 – 7 = –2 1129 a) 8 – (–2) = 8 + 2 = 10

Kalle tänker nog: Två minustecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken. Minustecknen står inte intill varandra. –12 – 5 innebär att vi utgår från –12 och minskar talet med 5. Resultatet blir ett ännu mindre tal, –17. 1131 a) –63 b) –3

c) 12 d) –1

1132 a) –17 b) –4

b) 5 b) 13

b) –8

1130 –12 ska minskas med 5. Resultatet blir –17.

d) 13

1110 a) 18

1125 a) –2

c) –4 – (–6) = –4 + 6 = 2

c) 19 Ledtråd: Beräkna potensen först.

1117 a) 5

c) –7 °C

b) –9 – (–5) = –9 + 5 = –4

b) 22 Lösning: (8 – 4)2 + 3 · 2 = = 42 + 3 · 2 = = 16 + 6 = 22

b) 42

b) –2 °C

1124 –4

b) 2

1109 a) 5

1111 a) 45

1123 a) –5 °C

1113 a) 4 Ledtråd: Beräkna 120/30

b) 42, 84 och 96 1120 a) 361, 362, 363 osv. Ledtråd: a är större än 36. 10

c) –6 Ledtråd: Skriv om uttrycket. Ersätt – (–) med + d) 7 e) –18 f) –1 1133 a) Det negativa talet –18.

b) 39, 38, 37…. 3, 2, 1

b) Det positiva talet 8.

c) 41, 42, 43 osv.

c) Det positiva talet 19.

d) 119, 118, 117…. 3, 2, 1

d) Det negativa talet –2.

SVAR

2021-10-29 15:52

1134 a) –10

1143 a) 7,08 m 7,1 m 7,18 m 7,2 m b) 0,099 m 0,805 m 0,87 m 0,9 m

b) –20 Lösning: 10 + (–5) · 6 = 10 + (–30) = = 10 – 30 = –20

1144 a) 2,3 kg

b) 0,7 kg

c) 11

1145 a) 1,5 mm

c) 0,5 mm

d) –20 1135 a) 5 Lösning: Summan av de två talen dividerat med 2 ger medelvärdet. 3 + 7 10 = =5 2 2

b) 0,15 mm

d) 0,35 mm

1146 a) 0,8 Ledtråd: Multiplikationen först.

b) 2 c) 1

d) –0,4

e) –2,5 f) –14 1136 a) –3 Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = 14 – 9 – 8 = = –3 b) 31 Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31 c) –11 Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)2 = = 14 – 9 – 4 · 4 = = 14 – 9 – 16 = –11 1140 a) 0,03 = 3 hundradelar b) 0,7 = 7 tiondelar c) 0,002 = 2 tusendelar d) 0,95 = 95 hundradelar eller 0,95 = 9 tiondelar och 5 hundradelar 1141 a) 4 hundradelar = 0,04 b) 24 hundradelar = 0,24

c) 56,41 s

b) 56,83 s

d) 55,94 s

1148 a) 0,60 = 60 hundradelar eller 0,60 = 0,6 = 6 tiondelar b) 0,072 = 72 tusendelar eller 0,072 = 7 hundradelar och 2 tusendelar

b) a = 0,3

d) a = 0,3

b) F 500 000 kr 1151 a) a = 4 b) a = 10 c) a = 200 1152 a) 0,9 mm Ledtråd: Beräkna medelvärdet. c) 0,11 1153 a) 0,09

c) 5 tiondelar = 0,5

b) 0,009

d) 1 tiondel = 0,1

c) 0,016

1142 a) 0,07 är 7 hundradelar

c) a = 3

1150 a) E 300 000 kr

b) 0,025

c) Bromssträckan är fyra gånger längre. Ledtråd: Bromssträckan vid 100 km/h är 80 m. Bromssträckan vid 50 km/h är 20 m.

b) 12,49 kg ≈ 12 kg c) 36,5 kg ≈ 37 kg 1204 a) 1,473 m ≈ 1,5 m 1,846 m ≈ 1,8 m

1147 a) 56,56 s

1149 a) a = 0,05

b) 60 m

1203 a) 9,81 kg ≈ 10 kg

b) 1,7 c) 0,58 Lösning: 2 ∙ 0,3 – 0,02 = 0,6 – 0,02 = = 0,60 – 0,02 = 0,58

d) –5

1154 a) Bromssträckan är 45 m.

b) 1,473 m ≈ 1,47 m 1,846 m ≈ 1,85 m 1205 a) 36 376 ≈ 36 000 b) 41 936 ≈ 42 000 c) 19 563 ≈ 20 000 d) 30 512 ≈ 31 000 1206 a) 51,5 g 51,7 g 51,9 g b) Medelvärdet är 51,7 g. Lösning: Medelvärdet = 51, 47 + 51, 73 + 51, 85 = ≈ 3 ≈ 51,7 1207 A 130 kr per liter. B 120 kr per liter. C 95 kr per liter. 1208 Man bör avrunda längderna uppåt. Annars blir de för korta. 1209 a) Arean är 38,9 m 2 . b) 4 färgburkar ska köpas. Ledtråd: Om 1 liter räcker till 4 m2 så behövs 9,7 liter till taket. 1210 a) Ca 1 300 ton/dygn. b) Ca 70 kg per anställd och timme.

b) 0,20 är 20 hundradelar c) 0,6 = 0,60 är 60 hundradelar

SVAR

1a_gul_Facit.indd 351

351

2021-10-29 15:52

Lena Alfredsson • Hans Heikne • Mathilda Lennermo Selin

Matematik

5000

1a 5000

Matematik

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 1a Gul är anpassad för de tekniskt inriktade yrkesprogrammen.

Matematik

5000

För reviderad ämnesplan!

ISBN 978-91-27-46015-7

9 789127 460157

M5000Plus_1a Gul_Omslag_211020.indd 1-3

2021-10-29 16:19