9789127451957 by Smakprov Media AB

HÖGSKOLEPROVET Matematiken

HÖGSKOLEPROVET

Matematiken

Teori och strategi för bättre resultat

Högskoleprovet Matematiken är en handbok för dig som vill uppnå din fulla potential på den kvantitativa delen av högskoleprovet. Det pedagogiska upplägget varvar teori med lösta exempel och övningar där du får chansen att träna själv. Innehållet är noggrant framtaget utifrån en kartläggning av samtliga högskoleprov i nuvarande form. Med den här boken får du möjlighet att repetera och fördjupa den matematik som verkligen testas på högskoleprovet. Författarna är coacher på utbildningsföretaget Högskoleprovskurser.se som sedan 2009 har hjälpt tusentals personer att förbättra sig på högskoleprovet. Författarna har gedigen erfarenhet av provet och har själva skrivit toppresultat. Deras framgångsrika strategier och insikter har legat till grund för innehållet i såväl denna bok som i tidigare utgivet undervisningsmaterial av Högskoleprovskurser.se. De är dessutom lärare i matematik, med mångårig erfarenhet av undervisning på gymnasial nivå.

ISBN 978-91-27-45195-7

9 789127 451957

Hogskoleprovet_Matematiken_cover_ny.indd Alla sidor

2021-03-08 14:45

Innehåll 1. DEN KVANTITATIVA DELEN

Kom igång

XYZ − matematisk problemlösning

KVA − kvantitativa jämförelser

NOG − kvantitativa resonemang

DTK − diagram, tabeller och kartor

2. TAL & RÄKNING

Räkneregler 15 Delbarhet & primtal

Bråk & decimalform

Räkna med bråk

Negativa tal & olikheter

Potenser 30 Kvadratrötter 33

3. ALGEBRA

Sätta in i uttryck

Förenkla uttryck

Multiplikation med parenteser

Ekvationer 45 Ekvationslösning 47 Potensekvationer 50 Formler 51 Problemlösning med algebra

Olikheter 56

4 Innehåll

01_HP_Matematik_kap1_210305.indd 4

2021-03-08 11:17

4. GEOMETRI & KARTOR

Vinklar 63 Trianglar 65 Fyrhörningar 67 Omkrets & area

Volym & enhetsomvandlingar

Pythagoras sats

Kartor 77

5. KOORDINATSYSTEM & FUNKTIONER

Koordinatsystem 85 Räta linjens ekvation

Funktioner 92

6. PROCENT, SANNOLIKHET & STATISTIK Andelen, delen & det hela

98 99

Procentuella jämförelser

102

Enkla slumpförsök

104

Slumpförsök med flera föremål eller steg

106

Avläsa diagram & tabeller

110

Medelvärde & median

115

FACIT 122 Termer & begrepp

134

Källor

136

Innehåll

01_HP_Matematik_kap1_210305.indd 5

2021-03-08 11:17

1. Den kvantitativa delen Högskoleprovet består av två delar. Den verbala delen testar läs- och ordförståelse på svenska och engelska, medan den kvantitativa delen testar färdigheter i matematik och logik. Det här första kapitlet inleds med ett kort matematiktest. Därefter följer en presentation av de fyra delproven i den kvantitativa delen av högskoleprovet: XYZ, KVA, NOG och DTK. Den kvantitativa delen ges under två pass på provdagen. Varje provpass är uppdelat så som tabellen nedan visar.

Kvantitativ del

Delprov

Antal Rekommenderad uppgifter provtid

Testar

XYZ Matematisk problemlösning

12 min per provpass 1 min per uppgift

Matematisk problemlösning

KVA Kvantitativa jämförelser

10 min per provpass 1 min per uppgift

Kvantitativa jämförelser av tal och storheter

NOG Kvantitativa resonemang

10 min per provpass 1 min 40 sek per uppgift

Hantering av matematiska och logiska problem

DTK Diagram, tabeller och kartor

23 min per provpass knappt 2 min per uppgift

Förmåga att avläsa information från diagram, tabeller och kartor

Matematiken som testas på högskoleprovet kan delas in i fem områden, vilka i denna bok har varsitt kapitel: Kapitel 2. Tal & räkning Kapitel 3. Algebra Kapitel 4. Geometri & kartor Kapitel 5. Koordinatsystem & funktioner Kapitel 6. Procent, sannolikhet & statistik Störst fokus ligger på de två inledande kapitlen Tal & räkning samt Algebra. En stor andel av provuppgifterna testar nämligen din taluppfattning eller innehåller beräkningar, med eller utan algebra.

På högskoleprovet får du varken ha formelblad eller räknare.

1. Den kvantitativa delen

01_HP_Matematik_kap1_210305.indd 6

2021-03-08 11:17

Kom igång Innan vi börjar genomgången av de fyra delproven kommer här ett kort test. Försök lösa de tio uppgifterna utan räknare och på maximalt tio minuter. Om du får mellan 0 och 7 rätt rekommenderar vi att du jobbar igenom boken i sin helhet. Vid fler antal rätt är du troligtvis redo att hoppa mellan bokens olika kapitel och avsnitt. Lycka till! 1. Beräkna 5 + 4 ∙ 32

A 81 B 41 C 29

7. Hur mycket är 8a + 4b om 4a + 2b = 5?

A 10 B Går ej att avgöra C 11

2. Beräkna 0,61 – 0,609

A 0,1 B 0,001 C 0,01

3. Beräkna 50 ∙ 1,7

A 57 B 67 C 85

4. Vilket tal är störst?

A 5/0,5 B 0,5/5 C 5 ∙ 0,5

5. Uttrycket 7x – x + 3y kan förenklas till A 7 + 3y B 6x + 3y C 4 + y 6. Vilket alternativ är en lösning till ekvationen 77 + 4x = 65?

8. I kvadraten finns en skuggad triangel. Beräkna den skuggade triangelns area.

A 8 cm2 B 4 cm2 C 2 cm2 4 cm

9. Sannolikheten att vinna på ett lotteri är 0,15. Hur stor är sannolikheten att inte vinna?

A 0,15 B 1,15 C 0,85

10. Vilket är mest?

A 33 % av 66 kr B 22 % av 95 kr C 51 % av 44 kr

A x = 3 B x = 5 C x = –3

Facit: 1B, 2B, 3C, 4A, 5B, 6C, 7A, 8A, 9C, 10C 1. Den kvantitativa delen

01_HP_Matematik_kap1_210305.indd 7

2021-03-08 11:17

2. Tal & räkning Rena räkneuppgifter, utan inslag av algebra eller problemlösning, är inte särskilt vanliga på högskoleprovet. Däremot är grundläggande räknefärdighet och taluppfattning en förutsättning för att snabbt och eﬀektivt kunna lösa många uppgifter. Därför är detta, tillsammans med nästa kapitel, bokens kanske viktigaste kapitel.

Viktigt i det här kapitlet Olika typer av heltal positiva tal: 1, 2, 3, 4, 5, … negativa tal: …, –5, –4, –3, –2, –1 jämna tal: 2, 4, 6, 8, 10, … udda tal: 1, 3, 5, 7, 9, … hela tal: …, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … De fyra räknesätten Addition (+), subtraktion (–), multiplikation (∙) och division (/) term + term = summa term – term = differens faktor ∙ faktor = produkt täljare/nämnare = kvot Primtal Primtal är heltal större än 1 som bara går att dela med sig själva och 1. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13 och 17. Tal i bråkform 3 ”Tre fjärdedelar” är ett bråk och kan skrivas som , 3/4 eller ”3 av 4”. 4 Ett tal på formen a/b kallas för bråk. Negativa tal Vid beräkningar med negativa tal finns särskilda räkneregler. Upphöjt till Uttrycket 5 ∙ 5 går att skriva som 52, ”fem upphöjt till två” eller ”fem i kvadrat”. 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 går att skriva som 34 ∙ 73. Roten ur Roten ur ett tal, till exempel 9, är det positiva tal vars kvadrat är 9. 9 = 3 eftersom 9 = 32.

2. Tal & räkning

02_HP_Matematik_kap2_210305.indd 14

2021-03-08 11:18

2.1 Räkneregler Teori

Begrepp för de fyra räknesätten Addition: Subtraktion: Multiplikation: Division:

term + term = summa term – term = diﬀerens faktor ∙ faktor = produkt täljare/nämnare = kvot

Prioriteringsregler För att en beräkning ska ge samma resultat oavsett vem som räknar finns en förutbestämd prioriteringsordning. Beräkna 20 – 2 ∙ (4 – 1)2 20 – 2 ∙ (4 – 1)2 = 20 – 2 ∙ 32 Börja med uttryck i parenteser. Fortsätt med potenser (upphöjt till). 20 – 2 ∙ 32 = 20 – 2 ∙ 9 20 – 2 ∙ 9 = 20 – 18 Sedan multiplikation och division. 20 – 18 = 2 Avsluta med addition och subtraktion.

ExEmpEl – prioritEringsrEglEr Beräkna a) 15 – 2 ∙ 5 + 12/3 b)

(9 − 7)2 4

Försök själv innan du kollar lösningen och svaret.

lösning a) Börja med multiplikation och division: 15 – 2 ∙ 5 + 12/3 = 15 – 10 + 4 Utför beräkningen från vänster till höger: 15 – 10 + 4 = 5 + 4 = 9 b) Börja med värdet i parentesen: (9 – 7)2/4 = 22/4 Fortsätt med potensen: 22/4 = 4/4 Avsluta med divisionen: 4/4 = 1 Svar: a) 9

b) 1

2. Tal & räkning

02_HP_Matematik_kap2_210305.indd 15

2021-03-08 11:18

4. Geometri & kartor Geometri handlar om att studera olika rumsliga figurer och deras egenskaper. I det här kapitlet kommer vi bland annat att använda formler och beräkna vinklar, sträckor, areor och volymer. Avslutningsvis kommer vi även gå igenom hur man läser av och tolkar information från kartor.

Viktigt i det här kapitlet Vinkel När två räta linjer möts i en punkt bildas en vinkel dem emellan. Vinklar mäts i grader, vilket skrivs °. Ett helt varv utgör 360°. Olika typer av vinklar En rak vinkel är lika med 180° (ett halvt varv) och en rät vinkel är lika med 90° (ett fjärdedels varv). Geometriska figurer Några vanliga figurer är triangel, kvadrat, cirkel och klot. Inom geometrin finns olika formler för att beräkna omkrets, area och volym.

Enhetsomvandlingar Längder, areor och volymer kan anges på olika sätt. Exempelvis är 1 mil = 10 km mått på längd och 1 liter = 1 dm3 mått på volym. Att omvandla från en enhet till en annan kallas enhetsomvandling. Kartor För att läsa av en karta korrekt är det viktigt att hitta kartans orientering, kartans skala samt teckenförklaring.

4. Geometri & kartor

04_HP_Matematik_kap4_210305.indd 62

2021-03-08 13:04

4.1 Vinklar Teori

Olika typer av vinklar Vinklar mäter vi oftast med enheten grader, där en grad skrivs 1°. Det går 360° på ett helt varv. En rak vinkel utgör ett halvt varv och är lika med 180°. En rät vinkel utgör en fjärdedels varv och är lika med 90°.

180°

90°

I figuren till höger är linjerna L1 och L2 parallella. Vinklarna u och v bildar tillsammans ett halvt varv. u + v = 180° Detsamma gäller för y och x respektive a och b. y + x = 180° och a + b = 180°

u y

Vinklarna a, x och u är lika stora. Alltså är a = x = u. Vinklarna b, y och v är lika stora. Alltså är b = y = v.

Exempel – VINKELSUMMA Bestäm vinkeln x.

45°

Lösning Vinklarna x och 45° bildar tillsammans ett halvt varv, x + 45° = 180°. x + 45° = 180° Lös ut x. x + 45° – 45° = 180° – 45° x = 135° Svar: Vinkeln x = 135°

4. Geometri & kartor

04_HP_Matematik_kap4_210305.indd 63

2021-03-08 13:04

EXEMPEL – BERÄKNA AVSTÅND Kartan visar en medeltida ringborg. Ungefär hur långt var det tvärs över borggården? N V

O S

Inre ringmur

Pågående utgrävning 25 meter

Avslutad utgrävning Presumtiv fyndplats

LÖSNING Borggården är området innanför ringmuren. Mät upp hur långt det är tvärs över borggården med hjälp av en linjal eller genom att markera på en bit papper. Jämför den uppmätta längden med skalan nedtill i kartan. Det är lite mer än tre gånger 25 meter tvärs över borggården, cirka 80 meter. Svar: D et var uppskattningsvis 80 meter tvärs över borggården.

Övningar Använd kartan över borggården även i följande övningar. 4701 Ungefär hur lång var den inre ringmuren? 4702 Ungefär hur stort var området innanför den inre borggården?

Nu kan du göra uppgift HP14–HP15

78 4. Geometri & kartor

04_HP_Matematik_kap4_210305.indd 78

2021-03-08 13:04

Gamla provuppgifter Här följer uppgifter från tidigare högskoleprov. Facit finns längst bak i boken. Till vissa uppgifter finns dessutom en ledtråd, lösning eller motivering. HP1 Kvantitet I: x Kvantitet II: 20° A B C D

I är större än II II är större än I I är lika med II informationen är otillräcklig

5x A

HP2 ABC är en triangel. Vinkeln ABC delas i tre lika stora vinklar x. Hur stor är vinkeln y?

4x C

A B C D E

x xx

i (1) men ej i (2) i (2) men ej i (1) i (1) tillsammans med (2) i (1) och (2) var för sig ej genom de båda påståendena

HP3 Hur stor är vinkeln y i triangeln ABC? A (30 – x)° B (60 – x)° C (x – 30)° D (x – 60)°

C y

(x + 30)°

A A

HP4 ABCD är en parallellogram där vinkeln C är 2x grader och vinkeln D är 3x grader. Vad är x? A 18 B 20 C 36 D 40

(1) Triangeln ABC är liksidig. (2) Alla sidor i triangeln ABC är 6 cm.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

C 2x

B A

4. Geometri & kartor

04_HP_Matematik_kap4_210305.indd 79

2021-03-08 13:04

5.2 Räta linjens ekvation Teori

Linjära samband Samband där förändringen hela tiden är densamma (konstant) brukar kallas linjära samband. Ett exempel är kostnaden att åka taxi. En möjlig prismodell består exempelvis av en fast avgift på 45 kr och en rörlig avgift på 20 kr per km. Kostnaden y kr att åka x km kan då beskrivas med formeln:

y = 45 + 20x Kostnad

Startavgift

Antal km Pris per km

Räta linjens ekvation Linjära samband kan beskrivas med räta linjens ekvation, y = kx + m. Figuren visar grafen till y = 2x + 1 som y 5 en rät linje i koordinatsystemet. 4 k=2 k-värdet (riktningskoefficienten) beskriver linjens lutning, det vill säga hur mycket linjen stiger eller faller i förhållande till x-axeln. Linjen stiger 2 steg i y-led för varje steg i x-led. Det innebär att k = 2.

3 2 1

–4 –3 –2 –1 y = 2x +1 –2 –3

m-värde x 1 2 3 4

m-värdet är skärningen mellan linjen och y-axeln och kan därför sägas beskriva startvärdet. Här är m = 1.

EXEMPEL – PUNKT PÅ EN LINJE Ligger punkten med koordinaterna (3, 1) på linjen y = 2x – 5?

Lösning Punkten (3, 1) ligger på linjen y = 2x – 5 om vänsterled och högerled blir lika vid insättning av x = 3 och y = 1. VL = y = 1 HL = 2x – 5 = 2 ∙ 3 – 5 = 6 – 5 = 1 Svar: Ja, punkten ligger på linjen eftersom VL = HL.

88 5. Koordinatsystem & funktioner

05_HP_Matematik_kap5_210305.indd 88

2021-03-08 13:07

EXEMPEL – STRÄCKA/TID En bil färdas y km på x timmar. Beskriv sambandet med en formel, värdetabell och graf om bilen kör 80 km/h.

Lösning För varje timme färdas bilen ytterligare 80 km. Det motsvaras av att k = 80. Sambandet kan skrivas y = 80x. Sambandet kan också beskrivas med en värdetabell och en graf. Timmar, (x) +1 +1 +1 +1

Kilometer, (y)

80 ∙ 0 = 0

80 ∙ 1 = 80

80 ∙ 2 = 160

80 ∙ 3 = 240

400

+80

300

+80

200

+80

100

+80

80 ∙ 4 = 320

EXEMPEL – k-VÄRDEN

Graferna visar fyra linjära samband med fyra olika riktningskoefficienter: k1, k2, k3 och k4

3 2

Vi vet att k1 < k2 < k3 < k4

D x

Para ihop rätt k-värde med rätt graf. –1

Lösning

–1

k-värdet beskriver en linjes lutning. Om y-värdet ökar när x ökar har linjen en positiv lutning (k > 0). Om y-värdet i stället minskar när x ökar har linjen en negativ lutning (k < 0). y

y k>0

y k<0

k=0 x

Linje A är den enda med negativ lutning. y minskar (med 2) när x ökar (med 1). Linje A har därför lägst k-värde: k1 = –2. Linje D är parallell med x-axeln: k2 = 0. Linje B och C har positiv lutning. Linje B stiger brantast, y ökar (med 2) när x ökar (med 1): k4 = 2. Linje C är mindre brant, y ökar (med 1) när x ökar (med 1): k3 = 1. Svar: k1 och linje A, k2 och linje D, k3 och linje C, k4 och linje B

5. Koordinatsystem & funktioner

05_HP_Matematik_kap5_210305.indd 89

2021-03-08 13:07

6.2 Procentuella jämförelser Teori

Procent och procentenheter Procentuella förändringar kan uttryckas i procent eller i procentenheter. Procentenheter används för att beskriva differensen mellan två tal skrivna i procentform. För att beräkna förändringen (ökningen/minskningen) eller skillnaden i procent används formeln: Förändringen i procent =

Skillnaden Värdet vi jämför med

EXEMPEL – PROCENT ELLER PROCENTENHETER Ett politiskt parti ökade sin väljarandel från 8 % till 12 %. Bestäm ökningen i a) procentenheter b) procent

LÖSNING a) Ökningen är 12 – 8 = 4 procentenheter. b) Jämför skillnaden (4 procentenheter) med det gamla värdet. 4 Skillnaden = = 50 % Ökningen i procent = Värdet vi jämför med 8 Svar: a) Ökningen är 4 procentenheter.

b) Ökningen är 50 %.

EXEMPEL – FÖRHÅLLANDE I en påse finns svarta och röda karameller. Förhållandet mellan antalet svarta och antalet röda karameller är 8 : 5. Hur många procent fler är de svarta karamellerna?

LÖSNING Att förhållandet är 8 : 5 (åtta till fem) betyder att om exempelvis antalet svarta karameller är 8 så är antalet röda karameller 5. Skillnaden 8–5 3 Skillnaden i procent = = = = 60 % Värdet vi jämför med 5 5 Svar: De svarta karamellerna är 60 % fler än de röda karamellerna.

102 6. Procent, sannolikhet & statistik

06_HP_Matematik_kap6_210305.indd 102

2021-03-08 13:08

EXEMPEL – OLIKA JÄMFÖRELSER Lea är 80 cm och Algot är 100 cm lång. a) Hur många procent längre är Algot än Lea? b) Hur många procent kortare är Lea än Algot?

LÖSNING a) Längdskillnaden mellan Algot och Lea är: 100 – 80 cm = 20 cm För att bestämma hur många procent längre Algot är än Lea jämför vi längdskillnaden med Leas längd:

1 20 cm = = 25 % 4 80 cm

b) Längdskillnaden här är densamma, det vill säga 20 cm. Vi jämför nu längdskillnaden med Algots längd:

20 cm = 0,2 = 20 % 100 cm

Svar: a) Algot är 25 % längre än Lea.

b) Lea är 20 % kortare än Algot.

Övningar 6201 Andelen barn som idrottar i en klass har ökat från 25 % till 30 %. a) Hur stor är ökningen i procentenheter? b) Hur stor är ökningen i procent? 6202 I ett val röstade 82,5 % av en miljon röstberättigade. Det var en ökning med 7,5 procentenheter från föregående val med lika många röstberättigade. a) Hur stor var ökningen i procent? b) Hur många fler röstberättigade röstade i det senaste valet? 6203 Mängden fett i en produkt minskas med 2 procentenheter, vilket motsvarar 10 %. Vilken är fetthalten efter minskningen? 6204 En idrottsförening med 100 medlemmar i början av 2018 ökade under samma år sitt medlemsantal med 50 % för att sedan under 2019 tappa 20 % av sina Nu kan du medlemmar. göra uppgift HP2–HP3 Hur många medlemmar hade föreningen i slutet av 2019?

6. Procent, sannolikhet & statistik

06_HP_Matematik_kap6_210305.indd 103

103

2021-03-08 13:08

HÖGSKOLEPROVET Matematiken

HÖGSKOLEPROVET

Matematiken

Teori och strategi för bättre resultat

ISBN 978-91-27-45195-7

9 789127 451957

Hogskoleprovet_Matematiken_cover_ny.indd Alla sidor

2021-03-08 14:45