i n t e n s i vt rän i n g i m at emati k
HANDLEDNING
Tal i bråkform Kunskapskrav åk 6
iMatte4-6_handledning_brakform.indd 1
matte
Ingrid Olsson & Görel Sterner
2019-04-05 11:51
i nt e n sivträn i ng i matematik
Materialet Intensivträning i matematik är ett hjälpmedel för att genomföra intensivundervisning, och bygger på den forskning och beprövad erfarenhet som beskrivs längre fram. Materialet består av en handledning och ett elevhäfte för vart och ett av de matematiska områdena som ingår i serien.
Elevhäfte Det här elevhäftet omfattar 10 tillfällen och varje tillfälle utgör vanligtvis två uppslag, ibland bara ett. Första uppslaget, eller vänster sida, gör eleven tillsammans med läraren i skolan. Andra uppslaget, eller höger sida, med rubriken Hemma förbereder du och eleven i skolan. Sedan gör eleven uppgifterna hemma med en förälder, eller med läxhjälp i skolan. Efter en del hemmauppgifter står det Kontrollera och läs i facit. Facit till de uppgifterna finns på sista sidan i elevhäftet, och förutom rätt svar finns förklaringar till en del av lösningarna. Under Kommentarer i elevhäftet kan föräldern skriva hur hemarbetet har fungerat, eventuella frågor och hur eleven upplevt arbetet. Längst ned på sidan finns Lärandemål som gäller för det aktuella tillfället. Det sista tillfället är en sammanfattning av det eleven har arbetat med i häftet.
Handledning Innnan ni startar arbetet med materialet bör du läsa igenom hela inledningen så att du vet hur det är tänkt att användas, och är väl insatt i problematiken kring begreppsförståelse, svårigheter och missuppfattningar vid tal i bråkform. Till varje tillfälle i elevhäftet finns utförliga förslag på hur du och din elev kan arbeta med innehållet. I handledningen finns följande rubriker: • Lärandemål: Lärandemål för just detta tillfälle. • Material: Vad ni behöver ta fram till tillfället. • Att ta hem: Material som eleven ska ha med sig hem inför hemmauppgifterna. • Uppföljning av senaste tillfället: Förslag på uppföljning. • Genomgång inför uppgift X: Förslag på hur undervisningen kan genomföras. Det är inte
läraren som berättar hur allt fungerar, utan du och eleven för en dialog kring det nya begreppet eller räkneoperationen som ni tillsammans undersöker genom att arbeta med konkret material, bilder och slutligen det formella symbolspråket. På sidan 6 finns förslag på olika frågeställningar som ger upphov till resonemang. • Eleven gör uppgift X: Förslag på vad du kan observera samt övergripande eller direkta frågor kring viktiga begrepp. Ibland finns ytterligare förslag under rubriken Följ upp. Du avgör vad som passar att ta upp med olika elever. • Förbered hemmauppgift X: Här förklaras uppgifter som avviker, eller spel där eleven först behöver genomgång i skolan. • Sammanfatta: Förslag till resonemang om samband och jämförelser kring inforutan i elevhäftet, som fokuserar på det begrepp eller de räkneoperationer som ni arbetat med.
Undervisningstillfälle Intensivundervisning innebär att läraren undervisar en elev. Ibland kan två eller tre elever fungera, om eleverna har samma kunskapsbehov. Förbered varje tillfälle genom att läsa igenom uppslaget i handledningen, kopiera eventuella arbetsblad och se till att material finns så att själva undervisningstiden kan utnyttjas effektivt. Genomför arbetet med uppgifterna i elevhäftet och anteckna sådant som bör följas upp vid ett senare tillfälle. Ett positivt avslut på lektionen är viktigt, så avrunda alltid med något som eleven klarar bra. Det är också viktigt att allt som eleven ska göra hemma har introducerats i skolan, och att eleven får med sig både häftet och det material som behövs. Tanken är att ni ska hinna ett tillfälle i elevhäftet under ett undervisningstillfälle, men det är givetvis bara du som kan avgöra i vilken takt din elev kan arbeta. Vid behov kan innehållet delas upp på två undervisningstillfällen, t ex om eleven behöver arbeta med förkunskaper. Det går även att hoppa över aktiviteter om eleven behärskar ett moment väl eller om något är för avancerat för eleven. Anteckna alltid på kopieringsunderlag K2, Elevuppföljning.
2
iMatte4-6_handledning_brakform.indd 2
2019-04-05 11:51
Färdighetsträning
Lärandemål
För att utveckla hållbara räknestrategier och kunna göra effektiva beräkningar måste eleven ha god förståelse för tal och tals egenskaper, samt förstå vad det innebär att operera med tal (McIntosh, 2008). Färdighetsträning är viktigt, men ska alltid sättas in sent i en undervisningssekvens eftersom den bygger på att eleven förstår det som hen ska öva på. Det tar tid att befästa nya kunskaper. I elevhäftet finns förslag på spel att prova.
• Kunna hantera och muntligt beskriva bråk som del av helhet, del av antal och som tal. • Kunna växla mellan bråkform och blandad form. • Kunna storleksordna bråk och jämföra med en halv och med en hel. • Kunna hantera bråk på tallinjen. • Kunna lösa textuppgifter med bråk i vardagssituationer.
Målgrupp för detta häfte Innehållet i detta häfte är tänkt för elever på mellanstadiet som behöver lärarledd intensivundervisning med fokus på tal i bråkform. Det kan vara elever som är osäkra på grundläggande bråkbegrepp för bråk vid helhet och bråk vid antal. Risken är stor att fortsatt arbete med bråk för dessa elever blir hantering av siffror ovanför och under ett bråkstreck, utan förståelse för själva bråktalet och vad det innebär. För att utveckla förståelse för bråk behöver eleverna arbeta mycket med konkret material, olika representationer samt med att utveckla språk för begreppen. Att inte behärska bråk leder till blockeringar av många moment på mellanstadiet. För att förstå och hantera tal i decimalform med tiondelar, hundradelar och tusendelar krävs bråkkunskaper. Det behövs även för att senare förstå procent, som betyder just hundradel, och slutligen för att koppla samman bråkform, decimalform och procentform. Vid procent används ofta bråk som t ex 50% = 12 , 1 och 1% = 1 . 25 % = 14 , 20% = 15 , 10% = 10 100
Diagnos För att ta reda på vilka elever som har nytta av att arbeta med detta häfte kan du använda kopieringsunderlaget K1, Diagnos 1, i klassen. Men tänk på att en skriftlig diagnos är ett osäkert instrument för att mäta begreppsförståelse. Du bör därför följa upp med muntliga frågor till en del elever.
Förkunskaper • • • • •
Kunna ange namn på ordningstal. Kunna hantera tallinjer med naturliga tal. Kunna tolka och använda tecknen =, > och <. Kunna använda alla räknesätt med naturliga tal. Kunna använda multiplikationstabellerna vid division. • Kunna lösa textuppgifter med naturliga tal.
Centrala ord och uttryck De hela talen innefattar här de positiva heltalen, det vill säga de naturliga talen. Begreppen representationer och representationsformer behandlas synonymt. En representation kan t ex vara symbolisk. Ord, siffror och matematiska symboler som +, − och = är exempel på symboliska representationer.
Material Här följer en lista över det material som behövs vid de olika tillfällena utöver blankt- och rutat papper, pennor, färgpennor, saxar och linjal. Bråkmaterialet från K3 och K4 bör finnas tillgängligt vid samtliga tillfällen. Material Tillfälle K3 Bråkmaterial A 1, 2, 3, 8 K4 Bråkmaterial B 1, 2, K5 Tallinje 6 K6 Jämföra bråk 7 K7 Fler bråkuppgifter 10 2 snören 1 Stickor 1, 3, 4, 5 Papperslappar 2 Tärningar 1–6 3 Gem 4 Centimeterrutat papper 4, 5 Räkneloppor 4, 10 Pengar: 100 kr, 10 kr och 1 kr 4, 10 A3-papper 7 Eleven kan rita eller skriva anteckningar på lösa papper, om det på vissa uppgifter inte ryms i häftet.
3
iMatte4-6_handledning_brakform.indd 3
2019-04-05 11:51
3 Bråkform och blandad form Lärandemål: ⋆⋆ Kunna jämföra storleken av bråk där täljare eller nämnare är lika. ⋆⋆ Kunna visa hur en hel kan delas i olika delar och uttrycka resultatet i bråkform. ⋆⋆ Kunna avgöra vilka bråk som kan skrivas i blandad form. ⋆⋆ Kunna växla mellan att skriva i blandad form och att skriva i bråkform. Material: 2 stickor, 2 tärningar 1–6 samt K3. Förberedelser: Om det behövs kan du kopiera upp fler exemplar av K3 på kraftigt färgat papper, och klippa ut fler delar. Att ta hem: 2 tärningar 1–6. Spara de utklippta figurerna, eftersom de ska användas vid fler tillfällen. Eleven ska uppfatta att en hel kan skrivas som bråk på oändligt många sätt genom att skriva täljaren 5 100 och nämnaren lika, t ex 1 = 5 = 20 20 = 100 . Det innebär också att när täljaren och nämnaren är lika stora i ett bråk kan man gå motsatt väg, och växla delarna mot en hel, t ex 33 = 1. Om täljaren är större än nämnaren blir det delar över, t ex 75 = 1, och bråket kan då skrivas i blandad form. Eleven ska även kunna utgå från blandad form och skriva bråkformen. Det är viktigt att eleven får använda konkret material och resonera om detta innan det formella skrivandet introduceras.
Uppföljning av senaste tillfället Låt eleven förklara några av hemmauppgifterna på sidorna 8–9. Fråga vad täljaren och nämnaren visar. Välj några av de felaktiga svarsalternativen i uppgift 10 och fråga varför de inte kan vara korrekta.
Genomgång inför uppgift 1 Repetera =, > och < med hela tal, något som eleven är van vid. Skriva två lika tal på ett papper och lägg två stickor som likhetstecken emellan: 3 = 3. Låt eleven förklara vad likhetstecknet innebär, innan du ändrar den vänstra 3:an till en 5:a. Låt eleven ändra stickornas läge till det tecken som stämmer, alltså 5 > 3, och läsa ut det som ”fem är större än tre”. Tecknet ska alltså "gapa" mot det största talet. Ändra nu 3:an till en 8:a. Låt eleven ändra tecknet till 5 < 8 och läsa ut det som ”fem är mindre än åtta”. Gör sedan på motsvarande sätt genom att lägga ut utklippta bråkdelar.
>
Påpeka att tecknen fungerar på samma sätt för bråkdelar och tal skrivna i bråkform, som för hela tal. Eleven ska lägga två bråkdelar med rätt tecken emellan, och säga t ex ”en halv är större än en tredjedel”. Pröva även att du lägger tecknen och eleven lägger bråkdelar på vardera sidan så att det stämmer.
Eleven gör uppgift 1 Uppgift 1a: Låt eleven läsa uppgiften och förklara
med egna ord. Sedan ska hen jämföra storleken av de målade ytorna i varje par och utifrån det välja tecken. Samtala om täljare och nämnare i de olika bråken. Fråga eleven om likheter och skillnader. Täljaren är 1 i alla bråken, medan nämnaren varierar. – Vad händer med bråkens storlek när täljarna är lika men nämnarna blir större?
Följ upp Jämför 12 , 13 , 14 osv. och låt eleven muntligt motivera sina val av tecken. En vanlig miss1 är större än 13 eftersom 10 är uppfattning är att 10 större än 3. Men delen blir ju mindre om en hel delas i tio delar jämfört med om den delas i tre. Se inforutan på sidan 12 i elevhäftet. Uppgift 1b: Samtala om likheter och skillnader hos
bråken i varje par. Nämnarna i varje par är lika medan täljarna är olika. Låt eleven förklara vad som händer när täljaren blir större här: När bråket består av fler antal delar, men nämnarna är lika, blir talet större. Se inforutan på sidan 12.
18
iMatte4-6_handledning_brakform.indd 18
2019-04-05 11:51
Genomgång inför uppgift 2
Eleven gör uppgift 4–7
Ge eleven ett antal bråkdelar av samma sort (från K3), t ex tredjedelar. Låt eleven föreslå vilken sorts delar det är och hur hen kan ta reda på om det stämmer. Eleven ska inse att om det behövs tre delar för att bilda en hel så är det tredjedelar, och om det t ex behövs fem delar så är det femtedelar.
Uppgift 4: Låt eleven välja vilka av cirklarna hen
Eleven gör uppgift 2 Observera om eleven verkar säker på att avgöra täljaren även på den andra raden utan figurer. I de två sista deluppgifterna får eleven själv bestämma både täljare och nämnare.
Genomgång inför uppgift 3 • Låt eleven välja en bråkdel och säga vilket namn delen har. Ta sedan lämpligt antal bråkdelar av den sorten, så att eleven kan bilda en hel och få delar över. Eleven ska först skriva talet i bråkform, t ex 32 .
3 2
1
1 2
Låt eleven föreslå ytterligare ett sätt att skriva, och ta med både en hel som bildats och bråkformen. Samtala om detta och kom fram till att 1 1 2 , som då kallas blandad form, innehåller både hela och bråkdelar.
• Låt eleven göra på motsvarande sätt med fem halvor och sedan med andra sorts delar. Hen ska även skriva uttrycket i blandad form och förklara varför det kallas så.
Eleven gör uppgift 3 Låt eleven välja om hen vill använda konkret material eller inte.
Genomgång inför uppgift 4–7 Skriv 34 , 54 , 24 och 94 . Låt eleven föreslå vilka av bråken som är mer än en hel och alltså kan skrivas i blandad form. Eleven ska även förklara hur man kan avgöra det, och inse att om täljaren och nämnaren är lika så blir det en hel. Är täljaren mindre än nämnaren blir det ingen hel. Om täljaren däremot är större än nämnaren så blir det minst en hel. Är täljaren dubbelt så stor som nämnaren så blir det två hela.
vill måla, för att bilden av 1 34 ska bli tydlig för hen själv. Hen kanske väljer att t ex måla två cirklar intill varandra.
Följ upp
Hur avgör eleven antalet delar för att skriva bråkformen? Resonera om hur man kan göra på olika sätt och vad som är effektivt när man inte har en bild att titta på. Om det är femtedelar ger varje hel fem femtedelar så att t ex 2 54 innebär 2 ∙ 5 + 4 femtedelar, alltså 14 femtedelar, 14 5. Uppgift 5: Låt gärna eleven först avgöra om det blir
någon hel, hur många hela det blir och hur många ”lösa” delar det blir.
Följ upp Skriv ytterligare några tal i bråkform som eleven får skriva i blandad form, utan stöd av konkret material eller bilder. Eleven ska förklara sina lösningar. Skriv sedan i blandad form och låt eleven skriva i bråkform samt förklara sina lösningar. Uppgift 6: Låt eleven förklara den sista deluppgiften på varje rad. Uppgift 7: Är det någon av deluppgifterna som eleven är osäker på? Låt eleven förklara de två sista deluppgifterna.
Förebered hemmauppgift 8 och 11 Uppgift 8: Låt eleven lösa a-uppgiften genom att
rita. Observera om hen delar ut en hel pizza till alla först och sedan delar den sista i halvor, eller om hen delar alla pizzor i halvor först. Här kan vardagserfarenheter påverka. Det är skillnad om alla pizzorna är lika eller om det är tre olika pizzor och barnen vill smaka av alla.
Uppgift 11: Läs en punkt i taget i reglerna och låt eleven slå tärningarna. Första tärningen visar nämnaren. På vilken rad ska delar målas? Den andra tärningen visaren täljaren. Hur många delar ska eleven måla på raden? Vilket bråk får eleven? Förklara att man inte får byta plats på tärningarna. Resonera om hur eleven skulle måla.
Sammanfatta Samtala om inforutan på sidan 12 i elevhäftet. Fråga eleven om det är något som hen är osäker på och vill resonera mer om.
19
iMatte4-6_handledning_brakform.indd 19
2019-04-05 11:51
Intensivträning i matematik bygger på forskning om intesnivundervisning, och är ett material för elever som av någon anledning har missat grundläggande begrepp. Dessa elever kan genom en intensivinsats få möjlighet att hämta upp kunskaper, knäcka en viktig matematisk kod och vara med på banan igen! Intensivträning i matematik innebär att en elev får en-till-en-undervisning utöver undervisningen i klassen. Det sker under en begränsad tid, ungefär 30 min per dag, 4 – 5 dagar/vecka. Varje undervisningstillfälle har ett eller två uppslag i elevhäftet. Där finns också uppgifter och aktiviteter som eleven ska göra hemma. Till varje elevhäfte finns en handledning med aktiviteter, uppgifter och utmanande frågor. Handledningen har en tydlig arbetsgång som ni kan följa vid varje undervisningstillfälle. Arbetsgången ger eleven möjlighet att arbeta konkret, använda språket och att utveckla inre föreställningar som stöd för abstrakt tänkande och för att generalisera.
Tal i bråkform Häftet är tänkt för elever som är osäkra på de mest grundläggande bråkbegreppen för bråk som del av helhet, bråk som del av antal och bråk som tal, samt sambanden mellan dem. Lärandemålen är: ⋆ Kunna hantera och muntligt beskriva bråk som del av helhet, del av antal och som tal. ⋆ Kunna växla mellan bråkform och blandad form. ⋆ Kunna storleksordna bråk och jämföra med en halv och med en hel. ⋆ Kunna hantera bråk på tallinjen. ⋆ Kunna lösa textuppgifter med bråk i vardagssituationer. Följande häften siktar mot kunskapskraven i åk 6 och tar upp de vanligaste områdena som brukar vara förknippade med svårigheter för elevers lärande i matematik: I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
Tal i bråkform
Tal i decimalform
Tal i procentform
Algebra
Textuppgifter
Räknemetoder
Tabellkunskaper
Namn
NATUR & KULTUR Box , Stockholm Kundservice: Tel - , kundservice@nok.se nok.se Order och distribution: Förlagssystem, Box , Stockholm Tel - , order@forlagssystem.se fsbutiken.se Projektledare Veronica Thurén Textredaktör Eva Berg Grafisk form Kari Wahlström
Ingrid Olsson & Görel Sterner
Namn
Ingrid Olsson & Görel Sterner
Namn
Ingrid Olsson & Görel Sterner
matte
Ingrid Olsson & Görel Sterner
matte
Namn
matte
Ingrid Olsson & Görel Sterner
matte
Namn
matte
Ingrid Olsson & Görel Sterner
matte
Namn
matte
Ingrid Olsson & Görel Sterner
Namn
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen och får ej helt eller delvis kopieras. Kopiering är inte tillåten för undervisningsändamål. Detta gäller ej kopieringsunderlagen. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
© Ingrid Olsson, Görel Sterner och Natur & Kultur, Stockholm Tryckt i Estland Första upplagans första tryckning ISBN --- -
Förlaget Natur & Kultur är en stiftelse som utan ägare kan agera självständigt och långsiktigt. Vårt mål är att genom stöd, inspiration, utbildning och bildning verka för tolerans, humanism och demokrati. ISBN 978-91-27-43837-8
9 789127 438378
iMatte4-6_handledning_brakform.indd 40
2019-04-05 11:51