3c
LENA ALFREDSSON KAJSA BRÅTING PATRIK ERIXON HANS HEIKNE
BAS ÅRET
3c
BASÅRET
Matematik 5000
Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper. Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper. Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med. Välj mellan RÖD SERIE
för serviceinriktade yrkesprogram
GUL SERIE
för tekniskt inriktade yrkesprogram
Matematik 5000
är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen.
Matematik
5000
GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt vuxenutbildningen BLÅ SERIE
för NA, TE samt Basåret
BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning
För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000
ISBN 978-91-27-43010-5
9 789127 430105
Matematik5000_BLA_3c Basåret NY 3 Omslag.indd Alla sidor
2014-04-23 16:13
Basarsbok.indb 1
2014-04-10 17:20
Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.
Varje kapitel avslutas med:
Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen.
• K an du det här? och Diagnos som tillsammans
Denna bok, Kurs 3c Blå Basåret lärobok, riktar sig till elever som studerar kurs 3c på tekniskt/ naturvetenskapligt basår. Bokens första kapitel består • d els av de moment som inför kurs 3c
kompletterar innehållet i kurs 1a/2a och 1b/2b.
• d els av en kort repetition av algebra-, geometri-
och funktionsinnehållet i kurs 1c och 2c.
Bokens övriga kapitel behandlar kurs 3c.
Hur är boken upplagd? • T eoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel
som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.
• E n Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-
tion: Sant eller falskt?
• E n kort Sammanfattning av kapitlet.
ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper.
• O m en elev behöver repetera delar av kapitlet
finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt.
• T vå olika varianter av Blandade övningar av-
slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.
I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank.
• A ktiviteterna ger stora möjligheter att variera
undervisningen. De finns i fyra olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.
• I Teman finns teori och uppgifter anpassade
till naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
• P å många sidor blandas uppgifter av standard-
karaktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning.
förord
Basarsbok.indb 3
Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000
Lycka till med matematiken! önskar författarna
3
2014-04-10 17:20
Innehåll
1.7 Geometri kurs 2c 86
1. Repetition och komplettering kurs 1c och 2c 6
Randvinklar och medelpunktsvinklar 86 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 90 Några bevis med likformighet 94 Kongruens 96 Avståndsformeln 98
Kapitlets innehåll 6 Inledande aktivitet: Algebratrianglar 7
Sammanfattning 1.7 100 Diagnos 1.7 101
Kurs 1c och 2c
1.1 Aritmetik kurs 1c 8
Avrundning och gällande siffror 8
Sammanfattning 1.1 10 Diagnos 1.1 12
1.2 Algebra kurs 1c 13
Olikheter 13
Sammanfattning 1.2 16 Diagnos 1.2 18
Tema: Sträcka, hastighet och acceleration 19
1.3 Geometri kurs 1c 22 Några bevis med vinklar 22 Några bevis med area och volym 24 Trigonometri 26 Räkna med tangens 28 Sinus och cosinus 32 Blandade uppgifter 35 Vektorer 37 Komposanter, koordinater och vektorlängd 40 Sammanfattning 1.3 43 Diagnos 1.3 45
Tema: Krafter och hastigheter 46
1.4 Grafer och funktioner kurs 1c 49
Skillnaden mellan begreppen algebraiskt uttryck, ekvation, olikhet och funktion 49 Grafisk lösning av linjära ekvationer och olikheter 51
Sammanfattning 1.4 13 Diagnos 1.4 54 Blandade övningar kurs 1c 55
1.5 Algebra och linjära modeller kurs 2c 59
Ekvationer och omskrivning av formler 59 Ekvationssystem med tre obekanta 62
Sammanfattning 1.5 64 Diagnos 1.5 65
Tema: Några linjära fysikaliska samband 66
1.6 Algebra och icke-linjära modeller kurs 2c 68 Faktorisera 68 Mer om ekvationer 70 Komplexa tal – en introduktion 74 Exponentialekvationer och logaritmer 77 Logaritmlagarna 80 Sammanfattning 1.6 82 Diagnos 1.6 84
4
Basarsbok.indb 4
Tema: Dynamisk geometri 102
Blandade övningar kurs 2c 104
Kurs 3c 2. Algebra och funktioner 108 Centralt innehåll 108 Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 109
2.1 Algebra och polynom 110 Polynom och räkneregler 110 Potenser 114 Kvadratrötter och absolutbelopp 116 Ekvationer 119 Polynom i faktorform 124 Aktivitet: Upptäck – Pascals triangel 126
2.2 Rationella uttryck 128
Vad menas med ett rationellt uttryck? 128 Förlängning och förkortning 130 Addition och subtraktion 135 Multiplikation och division 140
2.3 Funktioner 142 Inledning 142 Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats 144 Räta linjens ekvation 145 Andragradsfunktioner 148 Exponentialfunktioner och potensfunktioner 152 Aktivitet: Laborera – Pendeln 156 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 157 Sammanfattning 2 158 Kan du det här? 2 160 Diagnos 2 161 Blandade övningar kapitel 2 162
3. Förändringshastigheter och derivator 166 Centralt innehåll 166 Inledande aktivitet: Hastighet och lutning 167
3.1 Ändringskvoter och begreppet derivata 168 Ändringskvoter 168 Begreppet derivata 173
3.2 Gränsvärde och derivatans definition 179 Gränsvärde 179 Derivatans definition 182
Tema: Logaritmerna – ett tidigt räknehjälpmedel 85 innehåll
2014-04-10 17:20
3.3 Deriveringsregler I 185
4.4 Integraler 280
Derivatan av polynom 185 Tema: Hastighet och acceleration 192 Aktivitet: Laborera – Kvadratiska pappskivor 194 Derivatan av potensfunktioner 195 Historik – Tangenter och derivata 198 Aktivitet: Undersök – Det märkliga talet e 199
Inledning 280 Aktiviet: Undersök – Finn arean 283 Integralberäkning med primitiv funktion 284 Tillämpningar och problemlösning 288
3.4 Deriveringsregler II 200
Derivatan av exponentialfunktionen y = e kx 200 Naturliga logaritmer 204 Derivatan av exponentialfunktionen y = a x 207 Tillämpningar och problemlösning 209
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 293 Sammanfattning 4 294 Kan du det här? 4 296 Diagnos 4 297 Blandade övningar kapitel 4 298 Blandade övningar kapitel 2–4 301
3.5 Grafisk och numerisk derivering 213
5. Trigonometri 306
Centralt innehåll 306 Inledande aktivitet: Trigonometri i rätvinkliga trianglar 307
Olika differenskvoter 213 Grafritande räknare och derivators värde 216
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 219 Sammanfattning 3 220 Kan du det här? 3 222 Diagnos 3 223 Blandade övningar kapitel 3 224 Blandade övningar kapitel 2–3 227
5.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar 308 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 308 Två speciella trianglar 311 Cirkelns ekvation 312 Godtyckliga trianglar 313 Aktivitet: Undersök - Enhetscirkeln 314
4. Kurvor, derivator och integraler 230
5.2 Triangelsatserna 318
Areasatsen 318 Sinussatsen 321 När ger sinussatsen två fall? 323 Cosinussatsen 328 Tillämpningar och problemlösning 333 Aktivitet: Laborera – Avståndsmätning 336 Historik – Trigonometri och geodesi 337
Centralt innehåll 230 Inledande aktivitet: Max och min 231
4.1 Vad säger förstaderivatan om grafen? 232 Inledning 232 Extrempunkter och extremvärden 233 Växande och avtagande 235 Förstaderivatan och grafen 238 Skissa grafer 242 Historik – Matematik till och från Sverige 245 Största och minsta värde 246
4.2 Derivator och tillämpningar 249 Polynomfunktioner 249 Potensfunktioner 256 Andraderivatan 259 Andraderivatan och grafen 260 Aktivitet: Laborera – Vem tillverkar största lådan? 263 Grafritande räknare 264 Tillämpningar och problemlösning 266 Aktivitet: Undersök – Funktioner och derivator 270 Kan alla funktioner deriveras? 272 Aktivitet: Undersök – Antiderivata 274
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 338 Sammanfattning 5 339 Kan du det här? 5 340 Diagnos 5 341 Blandade övningar kapitel 5 342 Blandade övningar kapitel 2–5 344
Repetitionsuppgifter 348 Svar, ledtrådar och lösningar 357 Register 413
4.3 Från derivata till funktion 275
Primitiva funktioner 275 Primitiva funktioner med villkor 278
innehåll
Basarsbok.indb 5
5
2014-04-10 17:20
1
Repetition och komplettering kurs 1c och 2c
Kapitlets innehåll ✱ Moment som inför kurs 3c kompletterar innehållet i kurs 1a/2a och 1b/2b. ✱ En kort repetition av algebra-, geometri- och funktionsinnehållet i kurs 1c och 2c.
Basarsbok_ Kap 1.1.indd 6
2014-04-14 09:46
894789475849
89478947584
238876744
112 777
482398678567
7547 55
ng
15343274
Inledande aktivitet ALGEBRATRIANGLAR 1 I ”trianglarna” nedan beror värdet i en ruta på de två undre angränsande rutorna. Skriv av trianglarna och fyll i de tomma rutorna om de två undre rutorna ska a) adderas
d) multipliceras
b) adderas
x + (x + 2)
x 2x + 1
2x + 2 x+2
x
x–4
4
2x x
x 2x
x
x
f) subtraheras.
c) subtraheras (2 x + 1) – 2
x 2x
2x – 1 2x + 1
Basarsbok_ Kap 1.1.indd 7
e) adderas
2
x
x
2014-04-14 09:47
1.1 Aritmetik kurs 1c Avrundning och gällande siffror mätresultat Om vi mäter en sträcka och skriver dess längd som 2,451 m, så är mätresultatet angivet som ett närmevärde med 4 gällande siffror. gällande siffra
Exempel
Istället för gällande siffra används ibland även uttrycken signifikant siffra eller värdesiffra. Tal
Antal gällande siffror
2,451
4
309
3
84,700
5
0,0025
2
95 000
?
Antalet gällande siffror i ett tal beräknas så här:
1 Alla siffror skilda från noll är gällande (som i 2,451). 2 Nollor är gällande a) inuti ett tal (som i 309) b) i slutet av ett tal med decimaler (som i 84,700). 3 Nollor är inte gällande i början av ett tal med decimaler (som i 0,0025). 4 Nollorna i slutet av ett heltal (som i 95 000) kan vara gällande. Det får avgöras från fall till fall.
Hur många siffror av de vi får i en beräkning ska vi ta med i ett svar? Räknar vi med exakta tal är det ofta bäst att svara exakt. Vid beräkningar med närmevärden brukar följande tumregler användas:
Vid multiplikation och division av närmevärden:
Låt det närmevärde som har minst antal gällande siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet. Avrundning och svar Vid addition och subtraktion av närmevärden: Låt det närmevärde som har minst antal decimaler bestämma antalet decimaler i slutresultatet.
Observera att då vi byter enhet i ett mätresultat så ändras antalet decimaler men antalet gällande siffror är detsamma: 2,451 m = 24,51 dm = 245,1 cm = 2451 mm 8
Basarsbok.indb 8
1.1 aritmetik kurs 1c
2014-04-10 17:20
1101
Den tid som en bil behöver för att passera en sträcka på 525 m uppmättes till 23 s.
Beräkna bilens hastighet. Använd räknaren och avrunda därefter till ett lämpligt antal siffror.
sträckan Hastigheten = tiden
(v = ts )
Räknaren ger 525 = 22,82608696... 23
Nämnaren har minst antal gällande siffror (2 st) och styr avrundningen. Vi avrundar till två gällande siffror i svaret.
Svar: Bilens hastighet var 23 m/s.
1102
Beräkna den sammanlagda längden av tre sträckor som är 57,13 m, 60,2 m och 40,54 m.
Längden = 57,13 m + 60,2 m + 40,54 m = 157,87 m ≈ 157,9 m
Det minsta antalet decimaler i något närmevärde är 1. Vi avrundar därför resultatet till en decimal.
Svar: Längden är 157,9 m. 1103 Avrunda 80,6046 så att antalet gällande siffror blir
1107 Använd räknaren och avrunda till ett lämpligt antal siffror.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 1
1104 Hur många gällande siffror har följande närmevärden?
a) 207,3
c) 21,0
e) 0,034
b) Nina mäter att en bil passerar en sträcka av 509 m på 22 s. Beräkna bilens hastighet.
b) 0,035
d) 0,34
f) 675,0
c) Jossan håller en jämn fart av 5,9 m/s. Hur lång tid behöver hon för att springa 1 engelsk mil som är 1 609 m?
d) Silver har densiteten 10,5 g/cm3 (dvs 1 cm3 silver väger 10,5 g). Vilken volym har ett silverstycke som väger 241,5 g?
1105 700 kan vara ett närmevärde avrundat till ental, tiotal eller hundratal.
Hur många gällande siffror har 700 i de olika fallen?
1106 Avståndet till månen är ungefär 384 400 km.
1108 Beräkna volymen av en låda med måtten
a) 1,50 m × 1,25 m × 0,90 m.
b) 1,5 m × 1,25 m × 0,9 m.
Omvandla till mil och avrunda till två gällande siffror.
1.1 aritmetik kurs 1c
Basarsbok.indb 9
a) Beräkna omkretsen av en rektangel med sidorna 30,47 m och 67 m.
9
2014-04-10 17:20
1.3 Geometri kurs 1c Några bevis med vinklar 1301
Visa att varje vinkel i en regelbunden femhörning är 108°.
I en regelbunden femhörning är alla vinklarna lika stora. En femhörning kan delas i tre trianglar. Femhörningens vinkelsumma är 3 ∙ 180° = 540° Varje vinkel = 540°/5 = 108°
V.S.B. (vilket skulle bevisas)
Avslutningsfras när beviset är klart.
1302 En bisektris delar en vinkel mitt itu. Visa att bisektriserna till de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel skär varandra under vinkeln 135°. Vi ska bestämma vinkeln v. y y
2x + 2y + 90°= 180° (vinkelsumman) 2x + 2y = 90° v
2(x + y) = 90° x + y = 45°
v + x + y = 180° (vinkelsumman)
x x
v + 45° = 180° v = 135° V.S.B.
1303
De tre yttervinklarna till en triangel betecknas x, y och z. Visa att summan x + y + z är lika med 360°.
z
Sidovinklar är tillsammans 180°, vilket ger: x = 180° – a, y = 180° – c och z = 180° – b
c b
Adderar vi x, y och z får vi
x + y + z = (180°– a) + (180°– c) + (180°– b) = = 540°– a – b – c = 540˚– (a + b + c)
aa
cb
y
x
a + b + c = 180° (vinkelsumman) x + y + z = 540° – (a + b + c) = 540° – 180° = 360° V.S.B. 22
Basarsbok.indb 22
1.3 geometri kurs 1c
2014-04-10 17:20
1304 Visa att alla vinklar i en liksidig triangel är 60°.
1310 Visa att w = u + v (yttervinkelsatsen). v
1305 Visa att y = 180° – 2x. C
w
u
y
1311 Hur stor är vinkelsumman i en x
A
B
b) n-hörning?
1312 Hur stor är en vinkel i en regelbunden
1306 Visa att vinkeln x = 55°.
x
105°
a) 10-hörning
a) 10-hörning
b) n-hörning?
1313 Visa att om linjerna L1 och L2 är parallella, så är vinkeln x = 142°. 2x
132°
1307 I triangeln ABC är AB = BC. CE är en bisektris. Visa att vinkeln x = 75˚.
L1
86° L2
x
B
1314 a) Visa att summan av yttervinklarna till en fyrhörning är 360°.
40° E
z
x A
u
C
y
1308 En fyrhörning, säger Kalle, kan delas i fyra trianglar. Därför är vinkelsumman 4 ∙ 180° = 720°.
x
b) Visa att summan av yttervinklarna till en n-hörning är 360°.
1315 ABCDE är en regelbunden femhörning. BF är en bisektris till vinkeln ABE.
a) Vilket fel gör Kalle?
b) Hur kan du rätta till hans bevis?
1309 Visa att vinkeln v = 110°.
Visa att vinkeln CBF är rät. D
C
E
40°
F A
x x
1.3 geometri kurs 1c
Basarsbok.indb 23
v y
B
y
23
2014-04-10 17:20
足
Basarsbok_ Kap 1.4.indd 58
2014-04-11 11:52
1.5 Algebra och linjära modeller kurs 2c Ekvationer och omskrivning av formler
ekvation En ekvation är ett matematiskt påstående som innehåller en likhet. En
satisfierar
ekvation beskriver ett samband och innehåller ofta en eller flera obekanta (variabler). Ekvationens lösning är de variabelvärden för vilka sambandet är uppfyllt, dvs de tal som gör att det vänstra ledet (VL) är lika med det högra ledet (HL). Man säger att en lösning satisfierar ekvationen. Likheten 2 x – 5 = 9 är en ekvation med en obekant, x. Ekvationens lösning är x = 7. x + y = 10 är en ekvation som innehåller två obekanta, x och y. Ekvationen har oändligt många lösningar.
formel
1501
1502
En formel beskriver ett samband mellan variabler. Ofta skrivs formeln som en ekvation med en variabel i vänsterledet och ett uttryck med en eller flera variabler i högerledet. Med en formel gör vi ofta en beräkning genom att sätta in variabelvärden i högerledet. b·h , där b är basen och h är höjden. Formeln för triangelns area är A = 2 Då vi löser ut en variabel ur en formel använder vi samma metoder som vid ekvationslösning. Lös ekvationen a) 5 y = 2(y – 3)
b) x – 2(2 x – 3) = 18
a) 5 y = 2(y – 3)
b) x – 2(2 x – 3) = 18
5 y = 2 y – 6
5 y – 2 y = 2 y – 2 y – 6
–3 x + 6 = 18
3 y = – 6
–3 x = 12
x = 12/(–3)
x = –4
y = –2
x – 4 x + 6 = 18
Lös ut y ur sambandet 12 x – 4 y + 8 = 0 12 x − 4 y + 8 = 0
Addera 4y till båda leden.
12 x + 8 = 4 y 4 y = 12 x + 8
Dividera båda leden med 4.
y = 3 x + 2
1.5 algebra och linjära modeller kurs 2c
Basarsbok.indb 59
59
2014-04-10 17:22
1503
Summan av tre på varandra följande hela tal är 36. Vilka är talen? Metod 1 (minsta talet = x) Metod 2 (mellersta talet = x) Talen är x, x + 1 och x + 2
Talen är x – 1, x och x + 1
x + (x + 1) + (x + 2) = 36
(x – 1) + x + (x + 1) = 36
3 x + 3 = 36 3 x = 36 3 x = 33 x = 12 x = 11 x + 1 = 12 och x + 2 = 13
x – 1 = 11 och x + 1 = 13
Svar: Talen är 11, 12 och 13. En symbolhanterande räknare löser enkelt de flesta algebraiska uppgifter. Har du en sådan så använd den gärna för kontroll −men lös först uppgifterna för hand. Lös följande ekvationer 1504 a) 3 x = x + 16 c) x + 20 = 5 x b) 7 y = 15 + 2 y d) 5 y – 7 = 2 y + 11 1505 a) 3 y = 20 – 5 y b) 2 x = 32 – 2 x 1506 a) 9(y – 4) = 3 y b) 5(6 + 2 x) = 20 c) 4(x – 3) = 2 x + 8 Lös ut y 1507 a) y – x = 3 c) y+x=3 b) y – x = 0 d) y+x=0 1508 a) 2 y – 10 x = 0 c) y + x + 7 = 0 b) 4 y + 12 x = 0 d) y – x + 2 = 5
1511 Ekvationen 5x – 18 = ax har lösningen x = 6 Vilket tal är a? 1512 Formeln s = v ∙ t beskriver sambandet mellan sträcka, hastighet och tid. a) Lös ut tiden t. b) Beräkna tiden om sträckan 175 km körs med hastigheten 70 km/h. b·h beskriver sambandet 2 mellan area, bas och höjd i en triangel.
1513 Formeln A =
h
1509 a) 2 x + 2 y – 12 = 0 c) 4 x – y = 0 b) 9 x = 3 y – 6 d) 10 x – 5 y = 5 1510 Biobiljett: x kr Konsertbiljett: (x + 60) kr Fem biobiljetter kostar lika mycket som tre konsertbiljetter. Vad kostar en biobiljett? a) Ställ upp en ekvation. b) Lös ekvationen och besvara frågan. 60
Basarsbok.indb 60
b
a) Lös ut h ur formeln. b) Beräkna höjden i en triangel med basen 5 cm och arean 18 cm2. 1514 Kan formeln a – b = c skrivas om till b = c – a? Motivera ditt svar. 1.5 algebra och linjära modeller kurs 2c
2014-04-10 17:22
1515 Lös ekvationen a) 8 x – (3 x + 10) = 15 b) 10 – (2 x – 4) + 3 x = 16 c) 9(z – 1) – 2(3 z + 4) = 7 d) 2(x + 1) – 5(x – 3) = 5 1516 Multiplicera in och lös sedan ut y. a) y – 3 = 2(2 x – 4) b) y – 7 = –3(x – 2) c) y – (–5) = 7(x – 3) d) y – (–11) = –6(x – 1) x x + = 10 genom 2 3 att först multiplicera alla termer med 6.
1517 Lös ekvationen
1518 Vilka är talen? Summan av
1519 Bestäm värdet på a om ekvationen 2 a(x – 4) = ax – 8 har lösningen x = 5 1520 Lös ekvationen a)
2 y x x y – 15 = b) + 1 = 3 2 5 4
1521 a) Lös ekvationen b) Lös ut y ur
1 1 1 + = x 5 x y
1522 Konstruera en ekvationen av typen ax + by + c = 0 där a, b och c är konstanter. Ekvationen ska ha lösningen x = 2 och y = 3
a) tre på varandra följande hela tal är 72 b) fem på varandra följande jämna tal är 70.
1 1 1 + = x 5 x 3
1523 Lös ekvationen
2 5 = x+3 x
Algebraisk höghussudoku: De vanligaste bokstäverna och talen i algebra är x, y, a, b, 0 och 1. Varje tecken får bara förekomma en gång i varje rad, kolumn och blå ruta. I den lilla sudokun ska x, y, a och b placeras ut. I den stora ska även 0 och 1 finnas med.
1.5 algebra och linjära modeller kurs 2c
Basarsbok.indb 61
61
2014-04-10 17:22
Basarsbok.indb 258
2014-04-10 17:29
Andraderivatan
andraderivatan
Derivatan av en funktions derivata skrivs f ¢¢( x ) och kallas andraderivatan. f ( x) = x 3 – 5 x 2 + 3 x funktionen f ¢( x) = 3 x 2 – 10 x + 3
förstaderivatan
f¢¢( x) = 6 x – 10 andraderivatan skrivsätt
Om y = f ( x) så kan y ¢ skrivas
d y eller D f ( x) ( y ¢ utläses ”y prim”) d x
y ¢¢ skrivas
4248
d 2 y eller D 2 f ( x) d x2
( y¢¢ utläses ”y bis”)
Bestäm andraderivatan. f ( x) = x –2 + e –2 x a) y = 4 x 3 + 6 x b) a) Vi får andraderivatan y ¢¢ genom att derivera förstaderivatan y ¢ y ¢ = 12 x 2 + 6 ger y ¢¢ = 24 x b) f ¢( x ) = –2 x –3 – 2 e –2 x ger f ¢¢( x) = 6 x –4 + 4 e –2 x
4249 Bestäm första- och andraderivatan till
4254 Bestäm andraderivatans nollställen.
a) f( x) = x – 8 x + 1 5
a) y = x 3 – 15 x 2 b) y = 6 x 2 – e – x
3
b) f( x) = 8x 2 + 4 e 2 x 2 x 3 – 12 x c) f( x) = 3 4250 Bestäm y¢ och y ¢¢ om
4255 För funktionen f gäller att f( x) = x4 Undersök om det finns några x sådana att 3 x 2
b) y = e 2 x + e 4 x d) y=
1 + √ x x
4251 För funktionen f gäller att f( x) = a) Beräkna f ″(0).
4252 Bestäm y ″ + y ¢ + y om y = e
4.2 Derivator och tillämpningar
Bestäm konstanten k.
y = f( x) betecknas y ( n ). 2 x
d y d 2 y + 2 om d x d x y = 2 e –3x a) y = 2 e 3x b)
4253 Förenkla
x 3 – 6 x 2 3
4256 För funktionen f( x) = e k x gäller f ¢¢( x) – 2 f ( x) = 0 .
4257 Den n:te derivatan till funktionen
b) Lös ekvationen f ″( x) = 0.
Basarsbok.indb 259
a) f ¢( x) < 0 b) f ″( x) < 0
y= a) y = x –3 c)
Finn ett uttryck för y (n) om 1 a) y = e 2 x b) y= x
259
2014-04-10 17:29
Andraderivatan och grafen Antag att vi har en funktion y = f(x) och en punkt (a, f(a)) där derivatan är noll. Är punkten en maximi- eller minimipunkt? Detta har vi tidigare undersökt med hjälp av förstaderivatans tecken och resultatet har vi redovisat i en teckentabell. Vi ska nu visa hur man kan göra motsvarande undersökning med hjälp av andraderivatan.
Exempel 1
y
0
y = f (x )
+ x a
När vi går från vänster till höger i bilden har funktionens lutning teckenväxlingen + 0 – Detta innebär att ◗◗ funktionens lutning minskar, dvs f ¢( x) minskar ◗◗ f ¢( x) är avtagande, dvs derivatan av f¢( x) är negativ ◗◗ f ¢¢( x) < 0.
lokal maximipunkt
Exempel 2
Punkten (a, f(a)) är en lokal maximipunkt om f ¢(a) = 0 och f ¢¢(a) < 0.
y = f (x )
y
0
+ x
a
När vi går från vänster till höger i bilden har funktionens lutning teckenväxlingen – 0 + Detta innebär att ◗◗ funktionens lutning ökar, dvs f ¢( x) ökar ◗◗ f ¢( x) är växande, dvs derivatan av f ¢( x) är positiv ◗◗ f ¢¢( x) > 0.
260
Basarsbok.indb 260
lokal minimipunkt
Punkten (a, f(a)) är en lokal minimipunkt om f ¢(a) = 0 och f ¢¢( a ) > 0.
4.2 Derivator och tillämpningar
2014-04-10 17:29
Sammanfattning
Hur hittar man eventuella extrempunkter till en kurva y = f( x) med hjälp av första- och andraderivatan? 1 Bestäm f ¢( x) och lös ekvationen f ¢( x) = 0. Antag att x = a är en lösning. 2 Bestäm f ¢¢( x) och beräkna f ¢¢( a ). 3 Om f ¢¢( a ) > 0 så har f ett minimum för x = a. Om f ¢¢( a ) < 0 så har f ett maximum för x = a. 4 Om f ¢¢( a ) = 0 så måste man undersöka teckenväxlingen för f ¢( x).
4258
+
0
–
ger maximipunkt.
–
0
+
ger minimipunkt.
+
0
+
–
0
–
ger terrasspunkt.
Bestäm de lokala extrempunkterna till kurvan y = x 3 – 6x 2 – 15x + 2 med derivata. Kontrollera med grafritaren.
förstaderivatan
y = x 3 – 6x 2 – 15x + 2 y ¢ = 3x 2 – 12x – 15 y ¢ = 0 ger x 2 – 4x – 5 = 0
x = 2 ± √ 9
x = 5 eller x = –1
andraderivatan
y ¢¢ = 6x – 12 y ¢¢(5) = 18 > 0, dvs x = 5 ger y min = –98. y ¢¢( –1) = –18 < 0, dvs x = –1 ger y max = 10.
grafen
Grafritaren ger: (Använd zoomning eller verktyg för maximum/minimum.)
50 –1, 10 5
10
Svar: Maximipunkten är (–1, 10) och minimipunkten är (5, –98).
5, –98
100
4.2 Derivator och tillämpningar
Basarsbok.indb 261
261
2014-04-10 17:29
4259
Rita en enkel skiss till grafen av en funktion f som uppfyller att: 1 Punkterna (1, 2), (3, 4) och (5, 5) ligger på grafen. 2 Förstaderivatan f ¢(x) = 0 för x = 1 och för x = 5. 3 Andraderivatan f ¢¢( x) är positiv för x < 3 och negativ för x > 3. Vi prickar in de tre punkterna Kurvan har (enligt villkor 2 och 3) och drar de horisontella en minimipunkt för x = 1 och en tangenterna (villkoren 1 och 2). maximipunkt för x = 5. y
1
x 1
f ′(x ) minskar, f ′′(x ) < 0
1
x 1
4260 Funktionen y = 2x 3 + 3x 2 – 12x + 8 är given.
4263 Funktionen y = 8 + 6x 2 – x 3 är given. a) Ange funktionens lokala extremvärden.
a) Lös ekvationen y ¢ = 0.
b) Beräkna funktionens värde i ändpunkterna på intervallet –1 ≤ x ≤ 5.
b) Bestäm y¢¢ för de x-värden som ger y ¢ = 0. c) Ange funktionens lokala extremvärden. d) Skissa grafen som kontroll.
c) Vilket är funktionens största och minsta värde i intervallet –1 ≤ x ≤ 5? d) Vilket är funktionens största och minsta värde i intervallet –3 ≤ x ≤ 7?
4261 Kurvan y = –3x 5 + 5x 3 har tre punkter med horisontell tangent. a) Bestäm koordinaterna för dessa punkter.
4262
y
f ′(x ) ökar, f ′′(x ) > 0
4264 Rita en enkel skiss av grafen till funktionen f om följande villkor gäller:
b) Avgör deras karaktär med hjälp av y ¢¢.
a) f(3) = 1, f ¢(3) = 0
c) För en av punkterna misslyckas testet med andraderivatan. Varför? Hur gör du då?
b) f(4) = 3, f ¢(4) = 0
och
f ¢¢(x) < 0 för alla x och
f ¢¢(x) > 0 för alla x c) f(1) = 3, f ¢(1) = 0,
y
f ¢( x) < 0 för x < 1
och
f ¢( x) > 0 för x > 1 d) f(5) = 0, f ¢(5) = 0, x a
b
c
d
Vilket tecken ska stå i rutan? Välj mellan >, < och =. a) f( e )
f ( a ) c) f ¢¢(b) 0
b) f ¢( c ) 0 d) f ¢¢(d ) 0 262
Basarsbok.indb 262
e
f ¢(x) > 0 för x < 5
och
f ¢(x) < 0 för x > 5. 4265 Bestäm konstanterna a och b så att funktionen y = x 3 + a x 2 + b x får ett minimum för x = 3 och ett maximum för x = –1. Kontrollera resultatet grafiskt. 4.2 Derivator och tillämpningar
2014-04-10 17:29
✽ Laborera
Aktivitet
Vem tillverkar den största lådan? Materiel: Några kvadratiska papper med måtten 21 cm × 21 cm (gärna i olika färger), sax och tejp. 1 Klipp bort lika stora kvadrater i hörnen på ett papper och vik upp sidorna. Tillverka en öppen låda. Tillverka några lådor med andra mått genom att klippa bort större eller mindre kvadrater i hörnen på pappret. Vilken låda har störst volym? 2 Sidan på den bortklippta kvadraten x cm är lika med lådans höjd. Rita av och fyll i tabellen. Rita grafen till V(x). Höjd x cm
Längd i cm
Bredd i cm
3 a) Vilket blir uttrycket för lådans längd och för lådans bredd om höjden är x? b) Bestäm funktionen V(x). c) Beräkna funktionens maxvärde med hjälp av derivata. d) Vilken är funktionens definitionsmängd? 4 Vilken blir maxvolymen om du har ett kvadratiskt papper med sidan 30 cm? 5 För vilket värde på x får lådan maximal volym om sidan på det kvadratiska pappret är a?
Volym V (x) cm3
0,5 1,0 1,5 osv… 5,5
6,0
4.2 Derivator och tillämpningar
Basarsbok_ Kap 4.2.indd 263
263
2014-04-11 11:54
3c
LENA ALFREDSSON KAJSA BRÅTING PATRIK ERIXON HANS HEIKNE
BAS ÅRET
3c
BASÅRET
Matematik 5000
Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper. Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper. Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med. Välj mellan RÖD SERIE
för serviceinriktade yrkesprogram
GUL SERIE
för tekniskt inriktade yrkesprogram
Matematik 5000
är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen.
Matematik
5000
GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt vuxenutbildningen BLÅ SERIE
för NA, TE samt Basåret
BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning
För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000
ISBN 978-91-27-43010-5
9 789127 430105
Matematik5000_BLA_3c Basåret NY 3 Omslag.indd Alla sidor
2014-04-23 16:13