Matematik med alla sinnen 2.0 Lärarhandledning
4/14/17 8:18 AM
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning –
Matematik med alla sinnen 2.0 Lärarhandledning Ruth Atkinson, Louise Pennington, Romey Tacon and Dr Tony Wing
LIBER 835413 01_MainTextPages.indd 1
4/7/17 2:56 PM
ISBN 978-91-47-12338-4 © Liber AB
Översättning: s. 3–16 Anna Linzie s. 17–63 Margareta Brogren s. 64–262 Anna Linzie Granskning och bearbetning: Marie Fahlström Myrman Redaktion: Lena Andersson och Mats Juhlin Produktion: Eva Runeberg Påhlman Första upplagan 1 Tryck:
Numicon – Matematik med alla sinnen 2.0 Lärarhandledning was originally published in English in 2015 (Breaking Barriers Teaching Handbook, written and developed by Ruth Atkinson, Louise Pennington, Romey Tacon and Dr Tony Wing). This translation is published by arrangement with Oxford University Press. Produktionsstöd har erhållits av Specialpedagogiska skolmyndigheten, SPSM, www.spsm.se
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se. Liber AB, 113 98 Stockholm Tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 Epost: kundservice.liber@liber.se
835413 01_MainTextPages.indd 2
Om Numicon Numicon har ett tydligt fokus på elevers matematiska lärande, är multisensorisk och lägger tonvikt på tre grundläggande aspekter av matematik: kommunicera matematiskt, utforska samband, och generalisera. Utgångspunkten för Numicon var dagliga erfarenheter av intelligenta elevers stora svårigheter inom matematik, den vanliga underskattningen av komplexiteten hos de begrepp som unga elever förväntas hantera när de arbetar med matematik samt insikten om hur viktigt det är med matematik för dem och för samhället i stort. Numicon syftar till att underlätta för elever att förstå och finna nöje i matematik genom att använda konkreta och visuella hjälpmedel som tilltalar elevernas starka känsla för mönster. Detta sker genom lärandeaktiviteter som bygger på forskning och engagerar alla sinnen. Numicon tar fasta på komplexiteten hos abstrakta talbegrepp och främjar den självkänsla som krävs när man stöter på utmaningar eller svårigheter. Genom kombinationen att kommunicera matematiskt (vara aktiv, tala och illustrera), utforska samband och generalisera får eleverna stöd i att strukturera sina erfarenheter: en central färdighet både för deras matematiska utveckling och för deras generella utveckling. En multisensorisk metod, särskilt en som använder strukturerat, visuellt och konkret material, erbjuder alla elever en möjlighet att utnyttja sina styrkor och därmed öka sin potential att ha nöje av, förstå och uppnå goda resultat i matematik. Genom att observera och lyssna på vad eleverna gör och säger delar även lärare och föräldrar den glädje som det innebär att lyckas. Numicon strävar efter att stödja lärares ämneskunskaper och pedagogik genom att erbjuda undervisningsmaterial, professionell utveckling och fortlöpande stöd som hjälper dem att utveckla en bättre förståelse för hur man kan uppmuntra alla elever i de betydelsefulla tidiga stadierna av den egna matematiska resan.
4/7/17 2:56 PM
Innehåll Kom igång
4
En beskrivning av Numicon – Matematik med alla sinnen 2.0 – ett laborativt undervisningsmaterial.
Planera – översikt av aktivitetsgrupperna
10
En sammanfattning som presenterar varje aktivitetsgrupp med namn, nummer och de centrala matematiska begrepp som behandlas.
Planera – progression i undervisningen
13
Tabeller som visar den rekommenderade progressionen för aktivitetsgrupperna i Matematik med alla sinnen 2.0.
Introduktion till Lärarhandledningen
16
Aktivitetsgrupper: Räkna 64 Mönster och Algebra Tal och Talsystemet
71 109
Beräkning 184
835413 01_MainTextPages.indd 3
4/7/17 2:56 PM
Kom igång
Välkommen till Numicon – Matematik med alla sinnen 2.0 Lärarhandledning. I den här lärarhandledningen finns: • förslag som hjälper lärare att göra de grundläggande talbegreppen tillgängliga för elever som upplever svårigheter. Det finns också riktlinjer för hur man kan hantera de underliggande svårigheter som hindrar elevernas inlärning. Vi rekommenderar starkt att du läser igenom alla kapitel i handledningen innan du börjar lära ut aktiviteterna. Lärarhandledningen är inte linjärt uppbyggd, och därför kan de olika delarna användas närhelst det behövs som ett stöd i din undervisning. • en rekommenderad progression i undervisningen av aktivitetsgrupperna • en översikt av aktivitetsgrupperna Räkna, Mönster och Algebra, Tal och Talsystemet och Beräkning. • 50 aktivitetsgrupper ordnade enligt kategorierna ovan. Innan du börjar undervisa rekommenderar vi att du ägnar lite tid åt att bekanta dig med Matematik med alla sinnen 2.0 Bedömning och Kopieringsunderlag och det strukturerade laborativa materialet i Numiconlådan.
835413 01_MainTextPages.indd 4
4/7/17 2:56 PM
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Kom igång
5
Numicon – Matematik med alla sinnen 2.0 Bedömning och Kopieringsunderlag Numicon – Matematik med alla sinnen 2.0 Bedömning och Kopieringsunderlag – Bedömningsverktyg 1: Bedömningspunkter
5
Bedömningsverktyg 1: Bedömningspunkter Bedömningspunkterna är inte utformade för att ge en komplett bedömning av elever i behov av särskilt stöd, men de visar läraren var dessa elever bör börja i Numicons undervisningsprogram. Kartläggningsverktyg 2: Individuell utvecklingsplan hjälper lärare att identifiera små steg inom varje Bedömningspunkt för att planera och sätta upp mål. Varje Bedömningspunkt består av en fråga om vad eleven kan göra och en aktivitet som gör det möjligt för läraren att besvara den. Sedan anger Bedömningspunkten vad som bör göras härnäst inom Numicons undervisningsprogram, beroende på elevens svar. Alla aktivitetsgrupper ingår i Numicon - Matematik med alla sinnen 2.0 Lärarhandledning, tillsammans med information om Numicons kroppstecken ”+”, ”−”, ”÷”, ”×” och ”=”.
Matematik med alla sinnen 2.0 Bedömning och Kopieringsunderlag
Det är inte en detaljerad diagnostisk bedömning, men den är användbar när Numicon - Matematik med alla sinnen 2.0 används för särskilda åtgärder, eftersom lärare får hjälp att upptäcka luckor i elevernas förståelse när de arbetar igenom Bedömningspunkterna. En del elever kanske verkar kompetenta inom enskilda delar av programmet, men det är viktigt att de inte går vidare för långt förrän eventuella kunskapsluckor har åtgärdats. En elev kanske till exempel kan benämna talblocken med dess talnamn och para ihop dem med siffror, men kan inte skapa regelbundna mönster. Eftersom förmågan att sekvensera är en grundläggande matematisk färdighet, är det viktigt att eleven utvecklar denna färdighet innan eleven går Numicon – Matematik med alla sinnen 2.0 Bedömning och Kopieringsunderlag – Bedömningsverktyg 2: Individuell utvecklingsplan vidare. Bedömningspunkterna inbegriper elementära talbegrepp, mönster, likvärdighet, platsvärde, addition och subtraktion såväl som grundläggande arbete med bråk, multiplikation och division. Missuppfattningar kring dessa centrala begrepp utgör ofta Namn: grundorsaken till problem för många äldre elever, så varje Bedömningspunkt är viktig. 1.
Kan eleven para ihop talblock och använda dem för att täcka basplattan?
Gör så här • Ge eleven basplattan med mallen Täck hela Basplattan. Be eleven täcka basplattan genom att matcha talblocken med mallen.
Tal och Talsystemet Muntlig räkning Eleven kan: 1.
Gör så här
Nej? Gå till Tal och Talsystemet, Aktivitetsgrupper 3, 5 och 6. 2.
• Be eleven peka på det minsta talblocket. Be eleven peka på det största talblocket. • Byt roller. Lägg fram fyra olika talblock i storleksordning. Be eleven ställa frågor till dig för att hitta talblock. Ja? Gå vidare till nästa fråga. 3.
3. Kan eleven kopiera ett regelbundet mönster? Gör så här • Skapa ett regelbundet mönster gul, röd, gul, röd (åtminstone fyra upprepningar) med färgade pluggar på basplattan. Be eleven kopiera mönstret på basplattan.
Nej? Gå till Mönster och Algebra, Aktivitetsgrupper 1 och 2.
(anteckna det tal som eleven kan räkna högt till, samt datum) Räkna vidare från…
Räkna baklänges från vilket tal som helst inom det talområde som eleven behärskar.
Att känna igen talblock och talblocksmönster, att ordna talstavar Eleven kan:
Ja? Gå vidare till nästa fråga. 4. Kan eleven fortsätta ett regelbundet mönster? Gör så här • Skapa ett regelbundet mönster blå, grön, blå, grön (tre upprepningar) med färgade pluggar på basplattan. Be eleven fortsätta mönstret.
4712339_Inlaga_1-41.indd 5
Kommentarer:
Ramsräkna till …
(när eleven kan räkna längre än till 30, fortsätt regelbundet bedömningen för att ta reda på vilket talområde eleven behärskar, fråga hur långt eleven kan räkna och be sedan eleven räkna vidare från ett tal inom det talområdet, samtidigt som du säkerställer att räkneorden uttalas korrekt – särskilt ändelserna ”ton” och ”tio”
• Ge eleven fyra talblock (4-, 6-, 7- och 9-talblock). Be eleven lägga dem i storleksordning.
Ja? Gå vidare till nästa fråga.
Födelsedatum:
Nej? Gå till Tal och Talsystemet, Aktivitetsgrupper 1 och 2.
Ja? Gå vidare till nästa fråga. 2. Kan eleven jämföra tre talblock och göra jämförelser med orden “stor”, “större”, “störst”, “liten”, “mindre”, “minst”?
15
Nej? Gå till Mönster och Algebra, Aktivitetsgrupper 1 och 2.
Kommentarer:
4.
Täcka basplattan med talblock.
5.
Para ihop talblock efter färg.
6.
Hänvisa till talblock efter färg.
7.
Para ihop talblock med bilder av talblock (faktisk storlek).
8.
Hitta platsen för ett talblock på tallinjen genom att jämföra.
9.
Para ihop talblock med mindre bilder av talblock.
3/25/17 12:36 PM
10.
Göra jämförelser mellan talblock och använda begreppet “större”.
11.
Göra jämförelser mellan talblock och använda begreppet “mindre”.
12.
Jämföra tre eller fler talblock och använda begreppen “störst”, “minst”, “mittemellan”.
13.
Lägga en uppsättning talblock i storleksordning 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. (Ringa in ordnade talblock och skriv datum.) Kopiering tillåten • Numicon – Matematik med alla sinnen 2.0 Bedömning och Kopieringsunderlag © Författarna och Liber AB
4712339_Omslag.indd 3
4/11/17 11:51 AM
4712339_Inlaga_1-41.indd 15
3/25/17 12:36 PM
Bedömning och Kopieringsunderlaget innehåller alla kopieringsresurser som behövs till aktiviteterna i Numicon – Matematik med alla sinnen 2.0, tillsammans med ett övergripande avsnitt om bedömning.
Elevprofilen låter läraren skapa en bild av den enskilda elevens styrkor och svagheter. Elevprofilen fungerar som ett stöd i planeringen och i den löpande bedömningen av elevens behov och färdigheter.
Bedömningsverktygen används för att avgöra var eleverna ska börja i undervisningsprogrammet. Till materialet finns en individuell utvecklingsplan som är kopplad till varje aktivitetsgrupp och som följer strukturen i Lärarhandledningen. Med hjälp av denna utvecklingsplan kan läraren enkelt följa elevernas framsteg.
I Kopieringsunderlaget finns material att kopiera, klippa ut och använda i aktiviteterna.
835413 01_MainTextPages.indd 5
4/11/17 12:03 PM
6
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Kom igång
Vilket laborativt material finns i lådan?
Färgade pluggar
Det strukturerade laborativa materialet i listan nedan beskrivs i lärarhandledningen och används i aktiviteterna som beskrivs i aktivitetsgrupperna.
Innehåll i det praktiska materialet
2
De röda, blå, gula och gröna pluggarna är användbara när man sorterar och arbetar med mönster.
Basplatta
3
Den fyrkantiga basplattan har 100 upphöjda knoppar där man kan placera talblock och pluggar.
Talblock – låda med 80 st Extra 10-talblock – påse med 10 st
Stor tallinje (bordsmodell)
Extra 1-talblock – påse med 20 st
4
Den stora tallinjen går från 0 till 21 med tal, talnamn och talblock. Den passerar gränsen för tiotal två gånger, vilket ger en visuell bild av hur talsystemet är uppbyggt. Den visar en ökning av ”1 till” vilket hjälper eleverna att på riktigt visualisera talmönster som inte är självklara, t.ex. ”ton”-talen. Den kan vikas i fyra delar för att endast visa delar av talområdet, till exempel 0–4 eller 0–10.
Färgade pluggar – påse med 80 st Basplatta Talkamratsmallar till basplatta Bildmallar till basplatta Hemlig påse Tallinje-tiotal Snurra
Tärning
Talkort 0–100
En uppsättning av fyra tärningar på 22 mm med talblocksmönster bredvid siffrorna: två tärningar 0–5, en tärning 5–10 och en träning med +/–.
Tallinje 0–100 cm – uppsättning om 3 st Stor tallinje (bordsmodell) Tallinje 0–31 – uppsättning om 3 st
Hemliga påsen
Tärning – uppsättning om 4 st
Tallinjen-tiotal
7
Denna tallinje visar 10-talblock som ligger horisontellt kant i kant och är märkta med 10-tal från 0 till 100. Den hjälper eleverna utveckla en ”känsla” för kardinaltalens värde upp till 100 och koppla detta till platsvärde.
1
4
Snurra
8
Snurran kan användas i många aktiviteter som alternativ till tärningar. Olika mallar (ingår som kopieringsunderlag) kan placeras på snurran för att få fram en mängd olika instruktioner som eleverna kan följa, inklusive siffror, talblocksmönster, och symboler för aritmetisk notation. Snurran finns också med i Numicons mjukvara för den interaktiva whiteboardtavlan.
11 3
2
Talkorten 0–100
9
Talkorten 0–100 kan användas i aktiviteterna för att ta fram tal som eleverna ska arbeta med.
7 9
10 8 5
1
Dessa erbjuder en taktil och visuell illustration av talbegrepp. Talblocken utgör också en central del av Numicons mjukvara till den interaktiva whiteboardtavlan. Mjukvaran ska dock inte fungera som ett substitut för att eleverna faktiskt hanterar själva talblocken.
835413 01_MainTextPages.indd 6
6
Genom att känna på talblock i den Hemliga påsen visualiserar eleverna samtidigt talblockens egenskaper, vilket hjälper dem att utveckla sin mentala och taktila känsla för tal. 6
Talblock
5
Tallinjen 0–100 cm
10
Punkterna på denna tallinje är placerade med 1 cm mellanrum från varandra. De är märkta 0–100. Tallinjen är uppdelad i sektioner om tio, som avgränsas växelvis i rött och blått. Tallinjen kan också användas med talstavar, som ett alternativ till Linjalskena 1–100 cm för talstavar.
Bildmallar till basplatta
11
Bildmallarna är tvåsidiga, passar på basplattorna och visar bilder, till exempel ett flygplan som består av talblock. Vissa är grå för att hjälpa eleverna fokusera på talblockens mönster snarare än färgen.
4/7/17 2:57 PM
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Kom igång 7
Stora mjuka talblock Stora talblock som kan användas utomhus.
Grå talblock Talblock 1–10 i grått, finns tillgängliga i en låda med 80 st.
Numicon-brevlåda En “brevlåda” i kartong som man kan posta saker i. 12
Linjalskena 1–100 cm till talstavar Sektioner med 10-tal är utformade för talstavar och kan sättas ihop med ett klick till en meterlång linjalskena. Denna är användbar som stöd för eleverna i arbetet med mätning.
Balansvågen
13
Att använda talblock, talstavar eller andra föremål i den justerbara balansvågen (som också finns med i Numicons mjukvara till den interaktiva whiteboardtavlan) hjälper eleverna förstå likvärdighet. I synnerhet hjälper det dem att förstå att ”=” betyder ”har lika värde som”, och att undvika missuppfattningen att det är en instruktion att man ska göra något. Eleverna kan lätt se vad som ligger i de genomskinliga skålarna, vilket gör balansvågen särskilt användbar när man vill jämföra mängder när man arbetar med att mäta.
Numicons stora tallinje Numicons stora tallinje är en central del i ett klassrum rikt på matematik. Den utgör en visuell referens för eleverna när talblock, siffror och räkneord kopplas till tallinjen.
Tallinje 0–41 till talstavar 14
Talkamratsmallar till basplatta
Tallinjen 0–41 till talstavar är ännu en central del i ett klassrum rikt på matematik. Den utgör en visuell referens för eleverna när talblock, siffror och räkneord kopplas till tallinjen.
12
Talkamratsmallarna är tvåsidiga och passar på basplattor. Vissa är grå för att hjälpa eleverna fokusera på talblockens mönster snarare än färgen.
Tallinje 0–31 Denna tallinje visar talen 0–31, med ett avstånd mellan talen så eleverna, när de räknar själva, placera en marker på varje tal. Detta hjälper dem att generalisera föreställningen om att det sista talet som de räknar till, avgör ”hur många” det är.
Finns tillgängligt separat
Talstavar En låda talstavar innehåller flera uppsättningar av tio färgade fyrkantiga stavar som är 1 cm i genomskärning. Den kortaste är 1 cm lång, den längsta 10 cm. Eftersom de är utformade i centimeterskala kan de placeras längs Tallinjen 0–100 cm. Talstavarna blir då ännu en strukturerad illustration av tal och kan användas i många aktiviteter för att ytterligare kontrollera att eleverna har en god förståelse för tal och beräkning.
Talbrickor 1–10 och 20
Numicons mjukvara till den interaktiva whiteboardtavlan 13
Denna uppsättning innehåller en talbricka för varje tal upp till 10, samt en för 20. De kan användas för att bygga mönster och, tillsammans med talstavar, för arbete med talfakta.
Detta omfattande interaktiva verktyg inkluderar: tallinjer med talblock, balansvåg, former, mynt, snurror och mycket mer. Sannolikt tillgängligt vintern 2017/2018.
Övrigt material
Individuella uppsättningar av talblock 1–10 De är särskilt användbara för att introducera mynt och hjälpa eleverna koppla varje mynt till dess värde i kronor. De kan också användas tillsammans med Numicons mjukvara för den interaktiva whiteboardtavlan som stöd för lärare i bedömning av elevers individuella svar.
835413 01_MainTextPages.indd 7
I en del aktiviteter används material som finns i de flesta klassrum, till exempel material för sortering, centikuber och mätutrustning. Andra saker som till exempel modellera eller snöre är bra att ha till hands. När och hur man kan använda dessa visas under “Ha till hands” för varje enskild aktivitet, samt i avsnittet ”Utvidgade aktiviteter - Mäta” för vissa aktivitetsgrupper.
4/7/17 2:57 PM
8
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Kom igång
Att använda aktivitetsgrupperna Den första sidan för varje aktivitetsgrupp har en tydlig färg som visar vilken kategori den tillhör (Räkna – grön, Mönster och Algebra – röd, Tal och Talsystemet – gul, Beräkning – mörkblå). Aktivitetsgruppens namn och nummer ger dig en uppfattning om innehållet på ett enkelt sätt och visar hur långt du har kommit inom kategorin.
De Matematiska grundidéerna poängterar de viktiga grundtankar som eleverna kommer att möta inom varje aktivitetsgrupp.
Avsnittet Kommunicera ger information om de visuella hjälpmedel i klassrummet som gynnar lärandet, och de centrala ord och begrepp som kan användas tillsammans med eleverna.
Key Mathematical Ideas: Pattern Matematiska grundidéer: Mönster
Pattern and Mönster och Algebra
Preparing equivalence and using the ‘=’ Udda och for jämna tal symbol
71
Kommunicera Visuella hjälpmedel Numicons stora tallinje, Tallinje till talstavar 0–41 (om den finns tillgänglig), utställning med föremål i par, föremål ordnade i udda och jämna talblocksmönster Material Se “Ha till hands” för varje enskild aktivitet, samt olika tillbehör till aktiviteterna under rubriken ”Utökade aktiviteter” Instruktionsspråk lägga i ordning, bygga, gruppera, ordna, hitta, känna, kontrollera, sortera, undersöka, märka, dela, para ihop
Pedagogiskt innehåll ger en tydlig överblick över innehållet som ingår i aktivitetsgruppen, till exempel hur den bygger på elevernas tidigare lärande; hur den hänger ihop med andra aktivitetsgrupper; grunden som den lägger för elevernas framtida lärande.
Varje aktivitetsgrupp innehåller förslag på sammanhang som kan hjälpa eleverna identifiera sig med ämnet och kontextualisera sitt lärande.
Matematiska ord och begrepp par, en udda, udda talblock, jämna talblock, udda tal, jämna tal, udda, jämnt, grupp, sortera, mellan, para ihop, varannan, nästa, före, alltid, därför
Pedagogiskt innehåll
Bedömning
Eleverna kanske redan använder begreppen “udda” och “jämnt” när de beskriver talblock, eftersom de udda talblocken är iögonenfallande. Det är ändå viktigt att de arbetar med aktiviteterna i denna grupp för att få hjälp att generalisera kring udda och jämna tal. Den förståelsen lägger en viktig grund för mycket av deras senare lärande, när de letar efter mönster i multiplikationstabeller (vilket leder till arbete med faktorer och primtal och att känna igen delbarhet). De två första aktiviteterna fokuserar på begreppet ”udda” och kopplar udda och jämnt till talblock och siffror. I Aktivitet 3 riktas elevernas uppmärksamhet på det alternerande mönstret hos udda och jämna talblock och de tal som hör till, och det regelbundna alternerande mönstret av udda och jämna tal.
Individuell utvecklingsplan: Mönster och Algebra 41, 42, Tal och Talsystem 120, 121
Att sätta aktiviteterna i sammanhang Tala om saker som hör ihop i par, till exempel skor, strumpor och handskar, och förklara att om vi bara har den ena i ett par kallar vi den “en udda sko”, “en udda strumpa”, “en udda handske” och så vidare. Tala om eleverna att arbeta parvis betyder att två elever arbetar tillsammans. Prata om att när man arbetar eller går tillsammans med en kamrat betyder det att det är två elever som arbetar eller går tillsammans.
Aktiviteterna för elever som går fort fram möjliggör ytterligare generalisering kring udda och jämna tal – i första hand genom att utforska udda och jämna tal med talstavar (innan eleverna arbetar med detta behöver de vara förtrogna med att benämna talstavarna med dess talnamn, avgöra om de är udda eller jämna samt kunna placera ut talkorten på rätt plats under talstavarna) och i andra hand genom att experimentera och leta efter mönster i summor när de adderar udda och jämna talblock. I alla aktiviteter bör eleverna uppmuntras att organisera arbetet systematiskt, och få hjälp att förstå att detta gör det lättare att upptäcka mönster.
Målen fastställer aktivitetsgruppens huvudsakliga syften.
Mål • Att använda begreppen “udda” och “jämnt” om tal och summor • Att benämna udda och jämna tal upp till 10 • Att börja utforska vad som händer när udda och jämna tal adderas • Att leta efter mönster och lägga märke till att ett udda tal alltid följer på ett jämnt tal (och att ett jämnt tal alltid följer på ett udda tal) när man räknar med heltal ett steg i taget.
835413 03_AG_Patterns.indd 92
De relevanta stegen i den Individuella utvecklingsplanen anges för att underlätta kontinuerlig bedömning av elevernas utveckling.
835413 01_MainTextPages.indd 8
1/25/17 5:02 PM
4/7/17 2:57 PM
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Kom igång
9
Varje aktivitetsgrupp innehåller flera Aktiviteter, var och en med en rubrik som visar de särskilda lärandemål som aktiviteten syftar till. Många aktiviteter inkluderar också Små steg för elever som behöver mer stöd, och Öva mera som bör upprepas tills eleverna har flyt och säkerhet i sin förståelse.
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Udda och jämna tal
93
Avsnittet Ha till hands i början av varje aktivitet innehåller en förteckning över material som används för att ge stöd till elevernas lärande.
Mönster och Algebra
Aktiviteter Aktivitet 1: Utforska udda och jämnt med små dockor (eller elever) i par
Öva mera
Steg 1
• Eleverna tar några föremål från en korg med tio blandade föremål och avgör om de kan ordnas parvis eller inte genom att ordna dem i talblocksmönster. De kontrollerar genom att hitta det talblock som motsvarar mönstret.
Förklara för eleverna att människor ofta går eller dansar parvis. Diskutera sammanhang när eleverna arbetar eller går i par i skolan, till exempel på skolutflykter, i samband med vissa matematikaktiviteter och på lektioner i idrott eller dans.
Aktivitet 2: Para ihop udda och jämna talblock med udda och jämna tal
Ha till hands: talblock, tio små dockor
Aktiviteterna är uppdelade i instruktioner steg för steg.
Ha till hands: talblock, talkort 0–100 Steg 2 Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Udda och jämna tal Steg 1 Visa fem dockor (eller arbeta med fem elever, om gruppens 94 storlek tillåter). Eleverna ordnar dockorna i ett 5-mönster för Be eleverna lägga ett antal talblock i storleksordning och att kontrollera hur många de är och hittar det motsvarande Mönster fråga om de kan peka på de talblock som kan kallas ochdem Algebra 5-talblocket. Diskutera och kom överens om att inte alla ”udda”. Diskutera elevernas tankar kring varför de kan kallas dockorna har en kompis: en är udda (se Fig. 1). ”udda”: till exempel att alla hål utom de udda är ordnade parvis, eller att de udda talblocken har en udda del som Steg 3 sticker ut. Visa tio dockor (eller elever). Eleverna ordnar dockorna i ett Steg 2 10-mönster för att kontrollera hur många de är och hittar det motsvarande 10-talblocket. Diskutera och kom överens om Peka på de jämna talblocken och fråga eleverna vad de att alla har en kompis: det finns ingen som är udda. mönstret ”udda”, ”jämnt”, ”udda”, ”jämnt” och så vidare Steg 5 lägger märke till hos dem: de har en rak eller “jämn” kant, hålen i talblocken är ordnade parvis och inga udda delar medan de kliver från talblock till talblock. Steg 4 Förklara att talen som hör ihop med de udda talblocken sticker ut. Förklara att de kallas ”jämna talblock”. Fortsätt med varje antal dockor från tio ner till en. Hitta det kallas ”udda tal” och de som hör ihop med de jämna Öva mera Stegkallas 3 ”jämna tal”. motsvarande talblocket varje gång och avgör om alla dockortalblocken • Eleverna arbetar parvis. En elev lägger ett talblock i en har en kompis eller om det finns en som är udda. Be eleverna dela upp talblocken i udda och jämna talblock Hemlig påse utan att den andra eleven ser. Den andra Små steg eleven känner på talblocket och säger om det är udda Fig.elever 2). (sedel Små steg • För en kan det vara till hjälp att först utföra den eller jämnt, och tar sedan fram talblocket. Tillsammans Steg 4 med stora mjuka talblock (om de finns • Arbeta först med begreppet udda genom att använda tre här aktiviteten hittar eleverna de två talblock som det valda talblocket är tillgängliga). par olikfärgade strumpor och en sjunde strumpa i en Be eleverna lägga talkort under alla talblocken. (se Fig. 3). ”mittemellan” och avgör om de är udda eller jämna. annan färg. Arbeta tillsammans med eleverna genom att Öva mera • Ge eleverna möjlighet att öva på att bygga regelbunda para ihop strumporna och prata om att det finns en som • Eleverna arbetar parvis och turas om att ta ett talblock från mönster med udda eller jämna talblock. är udda. Detta kan upprepas med handskar, bestick med en Hemlig påse och avgöra om det är udda eller jämnt. • Ge eleverna regelbunda mönster eller sekvenser av udda par av knivar och gafflar och en udda gaffel, eller koppar Tillsammans samlar de en uppsättning udda talblock och eller jämna tal att bygga med talblock. och fat med ett udda fat. en uppsättning jämna talblock; sedan placerar de talkort
7
under varje talblock.
Utökade aktiviteter
• Eleverna arbetar parvis, blandar Talkorten 1–10 (från kopieringsunderlag 11) och placerar dem med baksidan uppåt på bordet. En elev vänder på ett kort och säger om det är udda eller jämnt. Den andra eleven letar rätt på det matchande talblocket för att kontrollera om det stämmer.
Aktivitet 3: Upptäcka det växelvisa mönstret av udda och jämna tal
Ytterligare aktiviteter
2
• Eleverna täcker basplattan med udda eller jämna talblock – bestäm om eleverna ska täcka basplattan med bara udda talblock eller med bara jämna talblock och notera vilket de tycker är lättast och varför. Uppmärksamma elever som börjar använda mönster av talfakta systematiskt som hjälp och elever som kan anpassa talblocken så de passar.
Ha till hands: talblock Steg 1 Be eleverna lägga en uppsättning talblock 1–10 i storleksordning. 2 4 6 8
• Eleverna skapar regelbundna mönster med udda eller jämna talblock och placerar ut talkort. De kanske vill dokumentera sina mönster i färg på en basplatta i papper Utökade aktiviteter (utskriven frånAvsnittet kopieringsunderlag 3) och skriva siffror eller placera ut talkort. innehåller viktiga ytterligare
10
Steg 2 Be eleverna titta noga och säga vad de lägger märke till: till exempel att ett udda tal alltid följer på ett jämnt tal och att ett jämnt tal alltid följer på ett udda tal. 1
Aktiviteterna är numrerade för att förenkla och de bör upprepas ofta med en rad olika tal för att uppmuntra till förtrogenhet.
835413 03_AG_Patterns.indd 93
Små steg 1 3 5 7 9 3 • Arbeta med stora mjuka talblock (om de finns tillgängliga) så eleverna kan ”gå mönstret” av udda och jämna. Lägg de stora mjuka talblocken i storleksordning och titta noga på den upprepade sekvensen av udda och jämna talblock. Eleverna går längs de uppradade talblocken och säger
3
Enkla illustrationer ger ytterligare stöd genom hela aktivitetsgruppen.
4
835413 03_AG_Patterns.indd 94
835413 01_MainTextPages.indd 9
5
7
8
3
4
5
7
8
aktiviteter, inklusive sådana för tillämpligt arbete med mätning, och förslag på aktiviteter för elever som gör snabba framsteg.
1/25/17 5:16 PM
6
4
8
10
1
6
3
8
5
10
5
6
3
1
4
1/25/17 5:16 PM
4/7/17 2:57 PM
Planera – översikt av aktivitetsgrupperna
50 aktivitetsgrupper är ordnade i fyra kategorier. Var och en av dessa behandlar en specifik aspekt av matematiken, som identifieras med namnet på kategorin och färgen på rubriken: Räkna (grön), Mönster och Algebra (röd), Tal och Talsystemet (gul) och Beräkning (blå). Varje kategori har utformats för att steg för steg (kumulativt) bygga upp elevernas förståelse inom just det matematiska området. Aktivitetsgrupperna är numrerade för att visa progressionen inom varje kategori.
835413 01_MainTextPages.indd 10
4/7/17 2:57 PM
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Planera – översikt av aktivitetsgrupperna 11
Counting Räkna Aktivitetsgrupp Räkna
1
Mönster och Algebra Aktivitetsgrupp
Matematiska grundidéer
Enkla regelbundna mönster
1
Mönster
Mönster, riktning och orientering
2
Mönster, riktning
Mer komplexa regelbundna mönster
3
Mönster
Likheter och skillnader – sortera
4
Matematiskt tänkande och resonerande
Att beskriva regelbundna mönster med siffror
5
Mönster
Likvärdighet – mängder och mått
6
Likvärdighet, Matematiskt tänkande och resonerande
Udda och jämna tal
7
Mönster
Resonera kring tal
8
Matematiskt tänkande och resonerande
Introducera symbolerna och tecknen ”<” och ”>” – jämföra mängder och mått
9
Matematiskt tänkande och resonerande
Introducera symbolen och tecknet “=”
10
Likvärdighet, Addition, Matematiskt tänkande och resonerande
Tal och Talsystemet Aktivitetsgrupp
Matematiska grundidéer
Utforska talblock (och basplatta)
1
Mönster, talblock
Para ihop talblock
2
Mönster, Talblock, Matematiskt tänkande och resonerande
Göra jämförelser för att förstå ”större än”
3
Sortering, Jämförelse, Matematiskt tänkande och resonerande
Göra jämförelser för att förstå ”mindre än”
4
Sortering, Jämförelse, Matematiskt tänkande och resonerande
Para ihop talblock med bilder av talblock
5
Mönster, Sortering, Former, Talblock
Att använda ett jämförande språk
6
Sortering, Jämförelse
Att lära sig att storleksordna talblock
7
Sortering, Jämförelse
Bli förtrogen med att ordna talblock
8
Sortering, Jämförelse
Att börja lära sig talblocksmönster
9
Mönster, Talblock
Att ge talblock deras talnamn
10
Räkna
Att benämna talblock med siffror
11
Sortering
Att med hjälp av talblocksmönster avgöra antal utan att räkna
12
Räkna, Platsvärde, Gruppera, Matematiskt tänkande och resonerande
Att bygga och benämna ”ton”-talen
13
Mönster, Sortering, Platsvärde, Matematiskt tänkande och resonerande
Att skriva ”ton”-tal
14
Mönster, Sortering, Platsvärde, Matematiskt tänkande och resonerande
Jämföra och ordna tal upp till 20
15
Räkna, Sortering, Platsvärde, Likvärdighet, Matematiskt tänkande och resonerande
Räkna genom att gruppera tio och tio
16
Räkna, Platsvärde, Mönster
835413 01_MainTextPages.indd 11
4/7/17 2:57 PM
12
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Planera – översikt av aktivitetsgrupperna
Tal och Talsystemet fortsättning Aktivitetsgrupp
Matematiska grundidéer
Utforska tallinjer och räkna tio i taget (10-hopp)
17
Räkna, Mönster, Sortering, Matematiskt tänkande och resonerande
Strukturen på 2-siffriga tal
18
Räkna, Mönster, Sortering, Platsvärde, Likvärdighet, Matematiskt tänkande och resonerande
Strukturen på 2-siffriga tal – hur man skriver dem
19
Räkna, Mönster, Sortering, Platsvärde, Likvärdighet, Matematiskt tänkande och resonerande
Jämföra och ordna högre tal
20
Räkna, Mönster, Sortering, Platsvärde, Likvärdighet, Matematiskt tänkande och kommunikation
Räkna i steg om 2 och 5 (2- och 5-hopp)
21
Räkna, Mönster, Sortering, Matematiskt tänkande och resonerande
Beräkning Aktivitetsgrupp
Matematiska grundidéer
Praktisk addition – att börja med summan
1
Addition, Matematiskt tänkande och resonerande
Praktisk addition – att kombinera för att ta reda på hur många det är totalt
2
Addition, Matematiskt tänkande och resonerande
Praktisk addition – addera mera
3
Addition, Matematiskt tänkande och resonerande
Praktisk subtraktion – ta bort
4
Subtraktion, Matematiskt tänkande och resonerande
Praktisk subtraktion – minskning
5
Subtraktion, Matematiskt tänkande och resonerande
Praktisk subtraktion – differens/skillnad
6
Subtraktion, Matematiskt tänkande och resonerande
Praktisk subtraktion – att jämföra tal för att tala om hur många fler som behövs för att det ska vara…
7
Subtraktion, Matematiskt tänkande och resonerande
Introducera symbolen och tecknet “+” (addition)
8
Addition, Matematiskt tänkande och resonerande
Introducera symbolen och tecknet “–“ (subtraktion)
9
Subtraktion, Matematiskt tänkande och resonerande
Addition och subtraktion med 1
10
Addition, Subtraktion, Matematiskt tänkande och resonerande
Pengar – likvärdighet med mynt
11
Likvärdighet, Addition, Subtraktion
Ytterligare idéer för att utveckla flyt – addera och subtrahera med alla tal upp till 10
12
Addition, Subtraktion, Matematiskt tänkande och resonerande
Bråk: förhållandet hela-delar
13
Likvärdighet, Bråk, Matematiskt tänkande och resonerande
Praktisk multiplikation
14
Sekvenser, Mönster, Addition, Multiplikation
Introducera symbolen och tecknet “x” (multiplikation)
15
Sekvenser, Mönster, Upprepad addition, Multiplikation, Matematiskt tänkande och resonerande
Praktisk division
16
Mönster, Sekvenser, Multiplikation, Gruppering, Matematiskt tänkande och resonerande
Introducera symbolen och tecknet “÷” (division)
17
Mönster, Sekvenser, Multiplikation, Division, Matematiskt tänkande och resonerande
Bråk – utforska hälften och fjärdedelar av en hel
18
Likvärdighet, Förhållandet delar-hela, Bråk, Division, Matematiskt tänkande och resonerande
835413 01_MainTextPages.indd 12
4/7/17 2:57 PM
Planera – progression i undervisningen
Numicon – Matematik med alla sinnen 2.0 följer en pedagogisk progression. Vi rekommenderar att man följer den i arbetet med aktivitetsgrupperna eftersom förståelsen för begreppen i ett avsnitt eller en kategori bygger på förståelsen för begreppen i en annan. Den pedagogiska progressionen har utformats för att följas i tur och ordning (sekvenser). De första aktivitetsgrupperna inom Räkna, Mönster och Algebra, och Tal och Talsystemet är dock fortlöpande och introducerar aktiviteter som bör löpa kontinuerligt och parallellt med resten av programmet. Elever tycker om att upprepa aktiviteterna självständigt och detta ger dem nyttig övning. De återstående aktivitetsgrupperna kan följas i tur och ordning, men många av dem kommer att behöva upprepas ofta tills elevernas förståelse är säkrad. Inom varje aktivitetsgrupp erbjuds ett antal aktiviteter. Även om tanken är att en majoritet av eleverna ska bemästra dessa aktiviteter till slut så kan det hända att aktiviteterna förblir ouppnåeliga för en del elever. En del kanske gör framsteg mycket snabbt (och kan arbeta på samma nivå som andra i samma ålder); aktiviteterna ”för elever som gör snabba framsteg” som ingår i de flesta aktivitetsgrupperna kan vara lämpliga för dem. Det finns också relevanta kopplingar till undervisning i helklass i de flesta aktivitetsgrupperna. Elever som tar längre tid på sig att införliva begreppen i de grundläggande aktiviteterna kan ha nytta av att följa de ”Små steg” som föreslås. Med elever som har arbetat med Numicon tidigare föreslår vi att läraren bedömer elevens startpunkt genom att använda Bedömningspunkterna (som finns i avsnittet Bedömningsverktyg i Bedömning och Kopieringsunderlaget). Elever som inte har någon erfarenhet av att arbeta med Numicon kommer att behöva börja med de första aktiviteterna och gå vidare i sin egen takt.
835413 01_MainTextPages.indd 13
4/7/17 2:57 PM
14
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Planera – progression i undervisningen
Tre kategorier av grundläggande aktiviteter att arbeta med parallellt Mönster och Algebra Räkna
Tal och Talsystemet
1. Enkla regelbundna mönster
1. Utforska talblock (och basplatta)
2. Mönster, riktning och orientering
Aktivitetsgruppen Räkna
3. Mer komplexa regelbundna mönster
2. Para ihop talblock 3. Göra jämförelser för att förstå “större än” 4. Göra jämförelser för att förstå “mindre än” 5. Para ihop talblock med bilder av talblock 6. Att använda ett jämförande språk
Kategori och aktivitetsgruppens nummer
Aktivitetsgruppens namn
Mönster och Algebra
4
Likheter och skillnader – sortera
Tal och Talsystemet
7
Att lära sig att storleksordna talblocken
Tal och Talsystemet
8
Bli förtrogen med att ordna talblock
Tal och Talsystemet
9
Att börja lära sig talblocksmönster
Tal och Talsystemet
10
Att ge talblock deras talnamn
Tal och Talsystemet
11
Att benämna talblock med siffror
Mönster och Algebra
5
Att beskriva regelbundna mönster med siffror
Tal och Talsystemet
12
Att med hjälp av talblocksmönster avgöra antal utan att räkna
Mönster och Algebra
6
Likvärdighet – mängder och mått
Mönster och Algebra
7
Udda och jämna tal
Mönster och Algebra
8
Resonera kring tal
Beräkning
1
Praktisk addition – att börja med summan
Beräkning 2
Praktisk addition – att kombinera för att ta reda på hur många det är totalt
Beräkning 3
Praktisk addition – addera mera
Beräkning 4
Praktisk subtraktion – ta bort
Beräkning 5
Praktisk subtraktion – minskning
Beräkning 6
Subtraktion – differens/skillnad
Beräkning 7
Praktisk subtraktion – att jämföra tal för att tala om hur många fler som behövs för att det ska vara…
Tal och Talsystemet
13
Att bygga och benämna ”ton”-talen
Tal och Talsystemet
14
Att skriva ”ton”-tal
Beräkning 8
Introducera symbolen och tecknet “+” (addition)
Mönster och Algebra
Introducera symbolerna och tecknen ”<” och ”>” - jämföra mängder och mått
835413 01_MainTextPages.indd 14
9
4/7/17 2:57 PM
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Planera – progression i undervisningen 15
Kategori och aktivitetsgruppens nummer
Aktivitetsgruppens namn
Mönster och Algebra
10
Introducera symbolen och tecknet “=”
Tal och Talsystemet
15
Jämföra och ordna tal upp till 20
Beräkning 9
Introducera symbolen och tecknet “–“ (subtraktion)
Beräkning 10
Addition och subtraktion med 1
Beräkning 11
Pengar – likvärdighet med mynt
Beräkning 12
Ytterligare idéer för att utveckla flyt – addera och subtrahera med alla tal upp till 10
Tal och Talsystemet
16
Räkna genom att gruppera tio och tio
Tal och Talsystemet
17
Utforska tallinjer och räkna tio i taget (10-hopp)
Tal och Talsystemet
18
Strukturen på 2-siffriga tal
Tal och Talsystemet
19
Strukturen på 2-siffriga tal – hur man skriver dem
Tal och Talsystemet
20
Jämföra och ordna högre tal
Tal och Talsystemet
21
Räkna i steg om 2 och 5 (med 2- och 5-hopp)
Beräkning 13
Bråk: förhållandet hela-delar
Beräkning 14
Praktisk multiplikation
Beräkning 15
Introducera symbolen och tecknet “x” (multiplikation)
Beräkning 16
Praktisk division
Beräkning 17
Introducera symbolen och tecknet “÷” (division)
Beräkning 18
Bråk – utforska hälften och fjärdedelar av en hel
835413 01_MainTextPages.indd 15
4/7/17 2:57 PM
Introduktion till Lärarhandledningen
Numicon – en presentation
17
Några inledande ord om barns svårigheter med matematik.
Numicon – matematiska grundidéer
19
Läs mer om de matematiska grundstenarna i Matematik med alla sinnen 2.0. Här beskrivs utförligt hur du omsätter dessa grundidéer i undervisningen med hjälp av Numicon.
Hinder för delaktighet i matematiken
30
Så övervinner du hindren med hjälp av Numicon.
Använda och tillämpa matematik i ett större sammanhang
38
Matematik i vardagen – så kan barnet relatera abstrakt till konkret.
Att lägga upp undervisningen – allmänna råd och metoder
44
Hur du säkerställer att eleverna får ut det bästa möjliga under matematiklektionerna.
Ytterligare vägledning för undervisning av barn i behov av särskilt stöd
52
Bilaga: Litteratur och näthänvisningar
61
835413 01_MainTextPages.indd 16
4/7/17 2:57 PM
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Introduktion till Lärarhandledningen 17
Numicon - en presentation
Matematik är att göra – att tänka och tala matematiskt Matematik är en aktivitet – något vi gör. Det handlar inte om en mängd begrepp och fakta som vi måste försöka komma ihåg. Visst fastnar en hel del under tiden man lär sig alltmer matematik (och det hjälper faktiskt en bra bit på vägen) men även om man kan rabbla multiplikationstabellen fram- och baklänges hjälper det föga, om man inte kan räkna ut när man ska multiplicera eller dividera. Att ”göra matematik” innebär bland annat att man lär sig att tänka matematiskt. Det är så man löser matematiska problem – man funderar och tänker. Barn lär sig att tänka matematiskt när de, i olika situationer och aktiviteter under skoldagen, tar del av det matematiska tänkande som vi introducerar. Den vuxne inviger dem i sitt eget matematiska tänkande genom att kommunicera det medan man arbetar tillsammans. Barn införlivar detta sätt att utbyta matematiska tankar, som utvecklas hos dem under arbetets gång, så att det till slut blir till ett eget matematiskt tänkande. När vi var små gjorde vi likadant. Vi lärde oss att ”göra” matematik genom att införliva de vuxnas och lärarnas sätt att förmedla och utbyta matematiska tankar. Och så håller det på livet igenom. Vi lär oss mer och mer. Allt matematiskt tänkande och utbyte av matematiska tankar, på egen hand eller tillsammans med andra, inbegriper så mycket mer än språket (ord och symboler/tecken). Det behövs
835413 01_MainTextPages.indd 17
också en god portion föreställningsförmåga och konkret handling, förutom gängse matematiska fackord och symboler. Att handla, att föreställa sig, att utbyta tankar – allt är lika viktigt.
Hitta mönster och dra allmänna slutsatser (generalisera) Sett ur en annan aspekt finns i all matematisk verksamhet ett drag som utmärker och särskiljer den från annat. Det handlar om att leta efter mönster i olika situationer och kunna dra allmänna slutsatser (generalisera), för att sedan använda dessa slutsatser i nya situationer. Det matematiska tankearbetet och diskuterandet myllrar alltså av generaliseringar. Vill man lyckas med matematik måste man kunna generalisera och sedan använda slutsatserna i många olika situationer. Kan man tillämpa rätt slutsats på en given situation, vet man till exempel om man ska multiplicera eller dividera. För att ta ett enkelt exempel på en allmän generalisering kan vi tänka på följande uppgift: 3+4=7 Generaliseringen består i att tre av vad som helst och fyra av vad som helst alltid är sju sammanlagt, vilka ting det än är. När tre av något slag läggs ihop med fyra av något vet man alltså på förhand – om man tidigare har generaliserat slutsatsen, vill säga – att det är sju sammantaget. Man behöver inte räkna om igen.
4/7/17 2:57 PM
18
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Introduktion till Lärarhandledningen
Lär ut nödvändiga kunskaper De matematiska aktiviteterna som presenteras i lärarmaterialet och det konkreta materialet (lådan) hör till det som betraktas som nödvändiga kunskaper. För det mesta presenteras övningarna så som de ingår i vardagen: vi mäter bland annat tid och pengar, och vi lär oss organisera vår tillvaro. Fokus ligger på det viktigaste: att räkna; addera, subtrahera, multiplicera, dividera samt enkel bråkräkning. Detta dyker nämligen ständigt upp i vardagen. Exemplen har valts så att barnen kan anknyta sina matteuppgifter direkt till egna erfarenheter. De ägnar sig alltså åt nödvändig matematik, sådan som de inser att de verkligen har nytta av.
Att utbyta matematiska tankar och dra allmänt gällande slutsatser (generalisera) är nödvändigt Varje barn har sina egna svårigheter, som läraren måste uppmärksamma. Däremot står alla inför samma viktiga utmaning att lära sig utbyta (och därmed tänka) matematiska tankar och att generalisera kunskaperna i så hög utsträckning som möjligt.
Så småningom drar man slutsatsen att oavsett vilket av talen man sätter först så är summan alltid densamma. Man vet alltså att 3+4=4+3=7 Så fortsätter vår matematiska utveckling; vi söker efter nya generaliseringar och möjliga tillämpningar.
Barn i behov av särskilt stöd lever i samma värld som alla andra Barn som av någon anledning finner det svårare än andra att lära sig räkna och lösa matematiska problem, det vill säga lära sig tänka matematiskt och förmedla det till andra, måste till sist ändå ta itu med den matematik alla möter i vardagen. Ingen slipper undan med ”enklare lösningar”. Att passa tider, att sköta sin ekonomi och styra upp sin dag måste alla göra. Ska barn få en chans att bli fria och självständiga vuxna, hänger det på om och hur väl de lyckas hantera den matematik som numera ingår i vår vardag. Inte heller finns det någon förenklad sorts matematik för den som tycker ämnet är svårt. Vi kan inte råda en sådan elev att ”bara hålla sig till de lätta talen”. Alla tal är svåra. Det har tagit mänskligheten många tusen år att fundera fram dem. Var och en som kämpar med matematiken står inför samma utmaning som andra, man måste kommunicera och kunna dra allmänna slutsatser.
Därför kräver alla aktiviteter att barnet är aktivt (nästan alltid med laborativt material – det går att se och ta på) och får utbyta rikligt med tankar och formulera sig så grundligt och uttömmande som möjligt. Dessutom är materialet och det bildspråk som används hela tiden strukturerat, eller kräver att eleven strukturerar det, så att mönster och regelbundenheter framträder klart och tydligt. För att kunna generalisera måste man uppmärksamma regelbundenheter. Vi uppmärksammar och betonar ständigt regelbundenheter i matematiken och barnen uppmanas att visa och berätta om vilka mönster och regelbundenheter de upptäcker.
Sammanfattning I arbetet med barn som tycker matematik är svårt ska man tänka på tre saker: 1) gör klart för dig vilka svårigheter varje enskilt barn har och försök undanröja dem så långt det går (se avsnittet ”Hinder för delaktighet i matematiken”), 2) prioritera – bestäm vilket kursinnehåll som måste finnas med och vilket som kan lämnas därhän, 3) koncentrera dig på de två viktigaste matematiska förmågorna hos barnet, nämligen att generalisera och att resonera matematiskt med kamraterna. Förhoppningsvis har du och dina elever också roligt medan ni jobbar!
Det är dock oundvikligt att barn som ständigt kämpar med matten, eller kanske bara har tillfälliga svårigheter (t.ex. med svenska som andraspråk eller med stor frånvaro), inte går lika snabbt fram som sina kamrater. Det innebär att de lär sig mindre än sina jämnåriga, och läraren får därför den svåra uppgiften att avgöra hur kursinnehållet för dem ska reduceras utan att nackdelarna blir för stora. En lärare behöver individualisera för varje enskilt barn, men det finns vissa kunskaper som är nödvändiga att behärska om man ska klara sig i livet.
835413 01_MainTextPages.indd 18
4/7/17 2:57 PM
Numicon – matematiska grundidéer
Tänka och kommunicera matematik – två sidor av samma mynt
20
Mönster 21 Ordning och riktning
22
Räkna 23 Låta bli att räkna
24
Talsystemet – platsvärde och räkneord
25
Ekvivalens 27 Addition 27 Subtraktion 27 Addition och subtraktion – sambandet mellan
28
Tänka multiplikativt – multiplikation, division och bråk
29
835413 01_MainTextPages.indd 19
4/7/17 2:57 PM
20
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Numicon – matematiska grundidéer
Tänka och kommunicera matematik – två sidor av samma mynt Att tänka och att tala är två sidor av samma mynt. Vi talar som vi tänker, och tänker som vi talar. Att tänka är i själva verket att prata med sig själv. Barn lär sig tänka matematiskt genom att delta i vuxnas matematiska tänkande. Genom att ”tänka högt” visar vi hur, det vill säga genom att vi pratar matematik med dem under arbetets gång. Barn som har svårt att utföra matematiska uppgifter har följaktligen problem med att kommunicera matematik, även om de inte har diagnosticerats med tal-, språk- och kommunikationssvårigheter. Ofta är det flera allmänna språk-, tal- och kommunikationssvårigheter som ligger bakom en stor del av behoven av särskilt stöd. Eftersom tänkandet och tankeutbytet ligger så nära varandra behöver barn med språksvårigheter oftast ytterligare stöd för att utveckla sitt matematiska tänkande, såsom: • att läraren väljer sina ord och praktiska grepp särskilt noga när hon eller han pratar matematik • att stötta barnets tänkande inför en matematisk uppgift, t.ex. genom att i bilder visa i vilken ordning uppgiften ska lösas, som ett arbetsschema • att på ett stödjande och konstruktivt sätt rätta matematiska tankar som är felaktiga eller leder in i en återvändsgränd, så att inte eleven känner att lösningsförslaget var hopplöst ”fel”. Matematiska tankar och samtal omfattar alltid mycket mer än ord och symboler. Närhelst vi tänker och samtalar om matematik gör vi samtidigt något, och bildspråk och gester
835413 01_MainTextPages.indd 20
använder vi förstås hela tiden, till och med när vi talar om rena siffror eller tal. Man säger att talen är ”stora” och att det har betydelse i vilken ”ordning” siffrorna står. Ett tal är ”större” eller ”högre” än ett annat, något kommer ”före” eller ”efter” något annat. Detta bildspråk visualiseras vanligen med en tal-”linje” eller siffer-”rad”. I Numicon betonas genomgående bilder och bildspråk. I grund och botten handlar matematik om studiet av olika samband och förhållanden, något som väl lämpar sig att beskriva visuellt. Matematiskt tänkande och samtal inbegriper alltså mer än ord och symboler. Det finns flera viktiga särdrag: Logiska resonemang bygger ytterst på att göra generaliseringar och tillämpa dem. När ett barn lär sig matematik måste det lära sig både att dra slutsatser och att tillämpa dem i sina tankegångar. Gör man detta på rätt sätt kan man också förutse det som sker i nya sammanhang. Det är precis detta vi använder matematiken till, och det är därför den har visat sig vara ett så kraftfullt instrument. Läraren bör uppmuntra sina elever att dra slutsatser och ta varje tillfälle i akt att fråga: ”Tror du det alltid är så?” eller ”Om det vore andra siffror, hur skulle det vara då?” och så vidare. En generalisering som behöver göras redan på ett tidigt stadium är exempelvis att upptäcka och förstå att varje nästföljande tal står för en mängd som är precis ”ett mer” än det föregående. Detta kallas också för sambandet mellan konsekutiva tal (på varandra följande heltal). Så småningom kan man då använda denna generalisering för att dra slutsatsen att om 3 + 3 = 6, så är 3 + 4 = 7 (det kallas ibland för att räkna ut en ”nästan dubbla”, i flertal ”nästan dubblor”).
4/7/17 2:57 PM
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Numicon – matematiska grundidéer 21
När man resonerar om nästan dubblor handlar det förstås om mer än att bara veta att varje tal (i heltalsföljden) är ett mer än det föregående. Även det matematiska grundbegreppet likvärdighet ingår. Men om inte barnen först har gjort generaliseringen om hur talen i talföljden successivt ökar, blir det svårt att härleda nya talfakta ur sådana som de redan känner till. Talen ”tre”, ”fyra”, ”sex” eller ”sju” är ju redan i sig generaliserande; när vi räknar kan de beteckna ”tre av vad som helst”, ”fyra vad som helst” och så vidare. ”Nästan dubbla”-exemplet belyser vidare hur mycket mer effektivt man kan räkna om man resonerar logiskt i stället för att bara mekaniskt räkna och nöta in. Om barnen skulle försöka minnas varje enskilt tal som ett isolerat faktum skulle uppgiften bli oöverstiglig, men om de kan resonera logiskt om sambandet mellan olika tal tänker de så mycket smidigare och mer effektivt och utforskar efter hand allt fler talsamband. Triadiska relationer mellan tal, t.ex. mellan 3, 4 och 7, är viktigt att förstå. Att arbeta med sådana triader och upptäcka att två tal, i detta fall 3 och 4, är delar av en helhet lär barnen att förstå att 3+4=7 4+3=7 7–4=3 7–3=4 Numicon-materialet är särskilt väl lämpat för sådana övningar, där man med talblock och talstavar, lär sig sambandet mellan delarna i helheten. Låt barnen leta efter mönster överallt, i alla sammanhang! Då lär de sig att dra slutsatser som gäller allmänt, att generalisera. Att ”se ett mönster” är ju i sig en viktig form av generalisering. Här hjälper det att locka till att använda så många sinnen som möjligt. Det blir lättare att förstå det konsekutiva sambandet när man får se och känna på talblocken och ”trapporna” med talstavar. Lika viktigt är det när man ”gör” matematik att få gå systematiskt till väga när man bekantar sig med nya moment. Att vara systematisk är själva nyckeln till framgång i ett logiskt resonemang. Då har man en stabil grund för sina generaliseringar. Här ger Numicon rika möjligheter. Lär barnen att stå emot impulsen till snabblösning eller vilda gissningar och i stället ha tålamodet att närmare undersöka möjliga konsekvenser fullt ut, innan de drar några slutsatser. Det innebär att barnen måste få gott om tid på sig att gå systematiskt till väga. Varning för att låta dem få uppfattningen att de som klarar uppgiften snabbt är duktigare eller har lyckats bättre, eller att det bara finns ett enda rätt svar som läraren vill ha fram! Sista viktiga pusselbiten i det matematiska tankearbetet består i att kunna koppla den abstrakta matematiska tankevärlden och dess allmänt gällande slutsatser till konkreta situationer i vardagen. Det innebär rent faktiskt att inte bara lära barnen hur man räknar, utan också när resultaten är tillämpbara. Även om man kommer ihåg alla siffror och tal man stött på, är det till ingen nytta om man inte förstår när man ska subtrahera eller addera, multiplicera eller dividera.
835413 01_MainTextPages.indd 21
Numicon sätter in den matematik du vill att barnen ska lära sig i ett vardagligt, känt sammanhang, så att de kopplar den abstrakta matematiken (generaliseringarna) till sin egen vardag. Många gånger innebär det att de får arbeta med siffror i samband med att de mäter exempelvis tid eller pengar. Att resonera logiskt och systematiskt ger också stadga åt deras tillvaro och hjälper dem att bli självständiga individer. Vi måste alltid komma ihåg att tänka och kommunicera matematik betyder mycket för allt lärande under uppväxttiden, liksom det är en väsentlig del av den matematiska upplevelsen. När man är barn resonerar man inte logiskt på samma sätt som vuxna gör. Huruvida man går framåt i sin utveckling till ett logiskt tänkande beror i hög grad på de resonemang man för i sällskap med en vuxen. Vi kan inte vänta oss att yngre barn omedelbart ska kunna tänka som en vuxen. Det gäller även lite äldre barn med kognitiva svårigheter eller med särskilda sociala, psykiska eller känslomässiga behov. Däremot är det alltid viktigt att samtala med dem om hur de tänker och hjälpa dem att reflektera över det bakomliggande resonemanget.
Mönster Att räkna handlar ju i grunden om att generalisera, att föra resonemang med hjälp av generaliseringar. Därför måste man lära sig upptäcka mönster och regelbundenheter och jämföra och samtala om dem för att ha framgång i matematik. Detta gäller alla. Det är faktiskt det vi gör när vi generaliserar: lägger märke till regelbundenheter och mönster. Människan som art är i regel mycket bra på, ja, skapad för att hitta mönster i tillvaron. Alla har vi lärt oss tala och kommunicera genom att hitta regelbundna mönster i gester, ljud och oljud runt omkring. All teknik, alla våra vetenskapliga och medicinska framsteg, hela vår kultur har utvecklats tack vare denna förmåga att urskilja mönster och använda dem för att göra världen lite mer förutsägbar och möjlig att kontrollera. En del barn är emellertid av olika orsaker generellt inte så bra på att upptäcka mönster, och därför betonas just mönster så ofta i Numicons aktiviteter och arbetsmaterial. Om man enbart får skriva siffror på papper missar man ett antal mönster som kan hjälpa en att förstå samband mellan tal. Om man får använda Numicon-talblocken redan från början får man sambanden klara för sig på ett helt annat sätt: man ser, känner på och flyttar talblocken rent fysiskt. Talstavarna med sin regelbundet ökande längd erbjuder också för ögat och känseln alla de samband som vi vill att eleven ska upptäcka mellan olika tal. Också andra sorters uppställningar och tallinjer (som visar på en regelbunden ordning) används också närhelst tillfälle ges.
4/7/17 2:57 PM
22
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Numicon – matematiska grundidéer
Mönster och regelbundenheter av ett eller annat slag utgör grunden för all matematik med alla dess generaliseringar, från den enkla början med talsystemet ända fram till dagens spjutspetsforskning vid våra universitet och forskningsinstitut. Det viktiga är att vi uppmuntrar barnen att leta efter mönster överallt och i alla sammanhang och hela tiden sporrar dem med frågor som ”Fungerar det alltid?” eller ”Tror du att det alltid blir så här?”
och ger ökande värde från vänster till höger. Likaså är det nödvändigt att kunna vårt namnsystem för grundtal och ordningstal för att längre fram göra ändamålsenliga matematiska beräkningar.
Ordning och riktning
Sedan kommer bråkräkningen. Då lär barnen sig efter hand att bråk visserligen är ordnade i storlek, men de har inte något konsekutivt samband sinsemellan. Enskilda bråk har inga ”efterföljande” bråk. Detta faktum skulle kunna vara barnets första bekantskap med idén om oändligt små storheter, och återigen är grundbegreppet ”ordning” här väsentligt.
Barn märker redan när de börjar ramsräkna att ordningen är viktig, även om de inte förstår varför. När de sedan börjar räkna saker och ting upptäcker de att själva räkneordsordningen faktiskt är viktig, men däremot inte hur de räknade föremålen ordnas inbördes. Det spelar ingen roll för slutsumman. Alltså är själva begreppet ”ordning” nödvändig för arbetet med siffror och tal ända från första början, men på olika vis. För barn som rent allmänt har svårt för att ordna något i följd blir det just därför betungande redan i början av arbetet med siffror och tal. När barnen blir skickligare på att räkna föremål behöver de uppmärksamma det konsekutiva sambandet, det vill säga att ”nästa” naturliga tal betecknar ”ett mer” än det föregående. Förhållandet att heltalen regelbundet ökar med ett steg i taget bidrar väsentligt till att utveckla taluppfattningen. Denna tidiga generalisering är avgörande för att de i fortsättningen ska kunna göra beräkningar som duger. Talbrickorna och talstavarna i Numicon har utformats just för att lyfta fram det konsekutiva sambandet, både visuellt och kinestetiskt, eftersom räkneorden och siffrorna i sig inte gör det. När barnen sedan lär sig namnge, ordna och arbeta med större tal måste de återigen generalisera. De lär sig siffrornas platsvärde – hur vi enligt överenskommelse namnger dem
835413 01_MainTextPages.indd 22
Ännu längre fram lär de sig addera och subtrahera, multiplicera och dividera. Då märker de att det inte spelar någon roll i vilken ordning man adderar tal, men däremot när man subtraherar. Likaså spelar det roll när man dividerar, men inte när man multiplicerar.
Sist men inte minst bör vi minnas att grunden för allt ordnande av olika storheter är tanken om en ”riktning” i vilken ordningen uppstår eller framskrider. Utan en given riktning blir det omöjligt att tolka vad det betyder att röra sig ”framåt” eller ”bakåt”, eller vad ”före”, ”efter” och ”nästa” betyder. Piaget framhöll klart att den ”reversibla” förmågan är en nödvändig ingrediens i ett flexibelt tänkande, att både ”göra” och ”göra ogjort igen”, att utföra något och sedan upphäva det. Denna förmåga är en förutsättning för att begripa förhållandet mellan addition och subtraktion (liksom mellan multiplikation och division) eller tidsförlopp. När barnen sysslar med att ordna en oordnad mängd av vad som helst (Numiconmaterial, längder, siffror, lådor) är det viktigt att man sedan ber dem göra tvärtom, det vill säga ”backa” förloppet. Att räkna framåt och bakåt ger barnen en flexibel känsla för vad talordning är. Det behövs för att göra ändamålsenliga och fungerande matematiska beräkningar.
4/7/17 2:57 PM
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Numicon – matematiska grundidéer 23
Räkna Att räkna är inte enkelt. Vad som gör det ännu svårare är att barn ofta får lära sig räkna innan de förstår vad det faktiskt ska vara bra för. Med andra ord lär man dem vanligen ramsräkna innan de begriper vad som uppnås med räknandets hjälp. I början är det helt enkelt en lustig eller konstig social lek utan praktisk poäng. Konkreta mängder av olika slag angår dock barn i allra högsta grad ända från födelseögonblicket. En känsla för ”nu räcker det”, ”mer”, ”inte mer” och så vidare, är från dag ett viktiga, rent fysiska erfarenheter. Oftast lär man barn räkna som en sorts social färdighet, inte för att det hjälper dem att lösa praktiska mängdproblem. Därför tar det förvånansvärt lång tid innan de börjar förknippa sin växande förståelse för fysiska kvantiteter med att räkna, och uppfattar att den procedur de lärt sig gör att de med räkneord kan precisera en viss mängd, storleken på en samling föremål eller en ”massa” bitar. Barn med tal- och språksvårigheter eller motoriska problem och andra fysiska besvär kommer sannolikt att tycka att räkning är särskilt krävande på grund av de svårigheter de upplever när de ska lära in och hålla kvar ordsekvenser, få fram talet eller koordinera fin- och grovmotorik så sammanhängande som krävs för att räkna manuellt (det vill säga att uttala räkneorden i takt med att de plockar upp, pekar på eller rör vid föremålen). För barn med motoriska koordinationssvårigheter är det särskilt viktigt att välja rätt storlek på de föremål som används under övningarna, och dessutom lämpligt avstånd dem emellan. Alla barn som lär sig räkna ställs inför tre ytterst komplexa krav, nämligen att 1) frambringa en välordnad (och potentiellt oändlig) uppsättning räkneord, 2) använda hela serien i takt med att man uppmärksammar varje föremål man räknar – ett i taget och bara en enda gång – och slutligen 3) inse att det sist nämnda räkneordet anger ”hur många” föremål samlingen innehåller (eller enheter i en angiven mängd). För det första kan man hjälpa barnen att minnas och uttala hela sekvensen heltalsräkneord genom att ständigt hänvisa till tallinjen, som de ju har för ögonen, och genom att helt enkelt ”bara” räkna högt och göra det ofta. Man kan ramsräkna i ordning, framåt och bakåt, och börja och sluta på olika ställen. Då märker de att efter ”tolv” (12) visar sig vissa mönster i räkneordens ljud och ordning, vilket väsentligt underlättar memoreringen. Att konsekvent generalisera kring vårt platsvärdesystem för siffror (se s. 25) hjälper dem att så småningom bemästra den strikt ordnade, oändliga uppsättning räkneord som vi bär med oss i vår kultur. Likaså finns regelbundna ljudmönster som märks när man högt räknar enkla bråk fram- och baklänges. Detta förstärks om man samtidigt visar en tallinje för bråk medan barnen tränar att räkna högt.
tusental, hundratal, tiotal och ental. Det måste övas om och om igen, båda sorters räkning med såväl heltal som bråk, framåt och bakåt. För det andra utgör 1–1-principen (ett till ett-principen) själva kärnan i förståelsen av hur man använder räkneorden för att ange storleken på en samling som antal räknade föremål. Barn behöver öva mycket, både på att fastställa 1–1-principen mellan räkneorden och de föremål som räknas, och att (mer informellt) jämföra två mängder föremål med varandra genom samma 1–1-princip. Barn brukar rent spontant jämföra två mängder med hjälp av 1–1-principen när de delar: ”en till mig, en till dig” och därmed jämför två högar med föremål. Sådan verksamhet kan lätt ordnas, och man bör ta alla tillfällen i akt att skapa möjligheter till sådan jämförelse mellan två eller flera samlingar föremål, dels för att uppmuntra barnen just att jämföra, dels för att rikta uppmärksamheten mot kopplingen mellan samlingens storlek och själva räknandet. (Märk väl att de flesta lär sig räkna för sällskaps skull, som en lek, inte för att det är praktiskt, och det tar tid innan de funderar ut vad räkning rent faktiskt skall tjäna till.) Jämför alltså olika mängder med saker enligt 1–1-principen och räkna dem samtidigt. Så småningom summerar barnet sina erfarenheter och inser att om man räknar två olika mängder och varje gång slutar på samma räkneord, då säger man på matematikspråket att dessa två mängder innehåller samma ”antal föremål”, det vill säga att vi kan para ihop föremålen i varje mängd i 1–1-korrespondens. Genom sådana erfarenheter lär sig barn efter hand hur räknandet leder till det som kallas ”antalet föremål” i en mängd. Denna insikt tar förvånansvärt lång tid för de allra flesta, och kan förväntas ta ännu längre tid för dem som dras med fysiska och språkliga funktionsnedsättningar eller minnessvårigheter. En god hjälp till förståelse för att räknandet hör samman med att man fastställer ”storleken” på mängder av föremål ger Numicons talblock och/eller talstavar, helst tillsammans med en tallinje. Medan barnen räknar ”ser” de rent konkret hur talen ”växer” medan de räknar högt längs en tallinje med bilder av Numicons talblock. Detta hjälper dem fram till insikten att ju längre man kommer längs raden av räkneord, desto ”större” blir mängden. Inte minst viktigt är att man både med talblock och talstavar får en tydlig bild av det bestämda och betydelsefulla konsekutiva sambandet när man ser och känner hur talen regelbundet ”växer” (se avsnittet ”Ordning och riktning”, s 22). Lika viktigt som att räkna är emellertid att låta bli att räkna, vilket är ännu svårare för många barn. Men att ”inte räkna” är betydelsefullt för att barnet längre fram ska kunna använda sig av ändamålsenliga matematiska strategier.
Det får inte förutsättas att ett barn kan räkna fram- och baklänges från 2987 till 3005, eller mellan 3 41 och 5 21 , bara för att han eller hon kan räkna högt och rätt från ett till hundra, och från noll till fem i halvsteg, och verkar förstå begreppen
835413 01_MainTextPages.indd 23
4/7/17 2:57 PM
24
Matematik med alla sinnen 2.0 – Lärarhandledning – Numicon – matematiska grundidéer
Låta bli att räkna Att göra beräkningar omfattar även den viktiga förmågan att inte räkna. Har man tid på sig kan man lösa vilket aritmetiskt problem som helst med ren rutinräkning och stor möda. Man kan lösa 13 375 ÷ 37 genom att räkna och fördela 13 375 bönor i 37 lika stora högar och sedan räkna hur många det finns i varje hög, och till sist hur många som blir över. I dag gör vi inte så. Dels finns det mycket snabbare lösningar, dels hade vi säkerligen tappat räkningen eller tappat bort bönor utan att märka när det började gå snett. Länge trodde man att räknandet är själva grunden till barns förmåga att lösa matematiska problem. Mycken forskning under det senaste halvseklet har påvisat att om barn i lugn och ro får räkna exempelvis högar med bönor på egen hand uppfinner de egna problemlösningsmetoder (Fuson 1992). Vad som däremot saknas i sådan forskning är uttalanden om varför det skulle vara så pedagogiskt att låta barnen reda sig bäst de vill med sina egna metoder och räkna ut svaren med bönor och ren flit. I själva verket innebär räkning, om den ska bli effektiv och ändamålsenlig, att man arbetar med siffror och tal, inte bönor, och av barnen krävs, om de ska kunna räkna effektivt, att de lär sig arbeta med (an)tal, inte med antal bönor eller annat plockmaterial. De tal vi arbetar med i matematiska beräkningar är abstrakta matematiska objekt som barnen måste återskapa för sig själva i tanke och tal, om de alls ska kunna göra ändamålsenliga beräkningar i fortsättningen. Tal som ”3” och ”5” är abstrakta storheter. Att hjälpa dem räkna med abstrakta storheter i stället för att spilla tid på bönor eller kulor är förmodligen den tuffaste utmaningen av alla för läraren, och i synnerhet för specialläraren.
835413 01_MainTextPages.indd 24
Det finns två skäl till att man ska arbeta med att lära barn arbeta med tal, och inte med bönor. Dels ska man vara noga med hur man talar om ”antal” och ”tal”, dels ska barnen erbjudas hela, ”odelade” fysiska föremål – ”helheter” – att räkna med, i stället för att ägna sig åt långrandiga räkneövningar ett föremål i taget. För det första måste vi inse att det ligger en grammatisk skillnad mellan att tala om ”antal (föremål)” och enbart ”tal”. Vi växlar ordklass från adjektiv till substantiv, vi går från att tala om ”tre (adjektiv) pennor” till att tala om ”tre” (substantiv). På någon nivå upptäcker nästan alla barn denna grammatiska fälla, men frågar sällan om det. För många förblir det en outsäglig och obehaglig gåta. Var lyhörd! Inse att det är ett svårt, men ändå nödvändigt steg, för barnen att ta. Berätta för dem att vi använder räkneord som substantiv för att det är bekvämt, en sorts genväg. Lär barnen att när vi säger bara ”tre” eller skriver bara ”3”, så menar vi ”tre stycken vad som helst” (alltså en generalisering). För det andra: gör hopsamlade fysiska föremål till helheter. Hjälp barnen att se en mängd, en helhet, i stället för ”ett antal föremål” som ska räknas. Med Numicon talblock och talstavar kan man tydligt visa en ”helhet” och samtidigt talet som ett ordnat mönster; man kan visa heltalsstavarna, som viktigt nog är utan markeringar, för att tydliggöra ”helheten”. Då får barnen hjälp att tänka på ”antal” som helheter, och, ännu viktigare, de kan själva ta på och hantera talblock och stavar.
4/7/17 2:57 PM
Matematik med alla sinnen 2.0 Lärarhandledning
Numicon är en beprövad metod för att undervisa och lära matematik och som skapar djup förståelse och engagemang. Genom ett aktivt och undersökande arbetssätt med problemlösning i centrum och med stöd av strukturerat laborativt material, kan elever med självförtroende resonera och kommunicera matematik. Numicon – Matematik med alla sinnen 2.0 är utformat för undervisning av elever som upplever särskilda svårigheter med att lära sig matematik samt elever i behov av särskilt stöd, men har visat sig mycket framgångsrikt i helklassundervisning och för alla elever. Lärarhandledningen innehåller: • Expertråd för lärare om hur man gör de grundläggande föreställningarna om tal gripbara för eleverna och hur man hanterar de underliggande svårigheter som påverkar elevernas inlärning. • En sammanhängande progression i lärandet av grundläggande matematiska begrepp, med stöd för planering och utvärdering. • Aktiviteter som är åskådliga och lätta att följa, med vägledning gällande de ”små steg” som en del elever behöver ta, såväl som med förslag för utökade aktiviteter. • Tydliga illustrationer som visar hur Numicons laborativa material kan användas för att understödja elevers tankegångar. • Uppslag om hur man kan sätta aktiviteterna i ett sammanhang för att hjälpa eleverna att tillämpa sin förståelse och att tänka och tala matematik.
Best.nr 47-12338-4 Tryck.nr 47-12338-4