9789152309728 by Smakprov Media AB

matematik Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Duf책ker

Bl채dd erpro v!

L채rarguide

Procent Procentbegreppet har kanske en mer framträdande roll i samhället än vad det har inom matematiken. Ämnesplanens centrala innehåll betonar vikten av att kunna tillämpa procent i samband med beräkningar av ränta och amortering för olika typer av lån. Men procentbegreppet har en något vidare användning: det används även i sammanhang kring förändringar, som t.ex. befolkningstillväxt eller pris- och löneutveckling. Av det centrala innehållet framgår att det förväntas att eleverna redan känner till begreppet procent och att de även bör kunna utföra enkla procentberäkningar. I kursen Matematik 1c är avsikten i stället att fördjupa procentbegreppet och att lyfta fram begreppen promille, ppm och procentenheter. De förkunskaper kapitlet förutsätter är framförallt beräkningar med decimaltal och rationella tal. Vid vissa procentberäkningar och vid en hel del problemlösning är det en fördel om eleven kan använda sig av ekvationer. Det är också anledningen till att detta kapitel är placerat efter bokens inledande två kapitel om tal och ekvationer. När eleverna senare i kursen kommer att arbeta med statistik och sannolikhetslära kommer de att ha stor användning av procentbegreppet.

Introduktionsproblem

3 Procent delkapitel 3.1 Procentberäkningar 3.2 Ränta och lån

förkunskaper Tal i bråk- och decimalform Ekvationslösning Potenser med heltalsexponenter Avrundning

centralt innehåll Fördjupning av procentbegreppet: promille, ppm och procentenheter Begreppen förändringsfaktor och index samt metoder för beräkning av räntor och amorteringar för olika typer av lån

rocenträkning förekommer överallt i samhället. I tidningar, reklamblad, tv- och radiokanaler presenteras jämförelser och undersökningar där man visar resultaten med hjälp av procent. Till exempel uttrycker man valresultat, löneökningar, rabatter, moms och inte minst räntekostnader i procent. Förr i världen kallade man en person som lånade ut pengar mot orimligt hög ränta för procentare. Även om det ordet inte längre används, så möter vi i dag ständigt erbjudanden om snabba lån eller avbetalningsköp där räntan blir orimligt hög. När du är klar med det här kapitlet ska du kunna skriva bråk och decimaltal i procentform använda promille och ppm utföra procentberäkningar med förändringsfaktor beräkna upprepade procentuella förändringar ange skillnaden mellan procent och procentenheter tolka och använda begreppet index beräkna ränta beskriva olika sätt att amortera lån

Procentfunderingar Priset på en spikmatta höjs från 400 kr till 500 kr. Därefter sänks priset från 500 kr tillbaka till 400 kr. Hur stor är prishöjningen i procent? Är den procentuella prishöjningen större än, mindre än eller lika stor som prissänkningen? Motivera ditt val. Undersök andra tal på liknande sätt. Vad kan du dra för slutsats?

Ungdomar och procent I Umeå är ca 50 % av invånarna under 30 år, i Stockholms län är det bara 35 %. Trots påståendet ovanför bor det fler ungdomar i Stockholms län. Hur kan det komma sig? Det bodde 2 025 750 personer i Stockholms län i slutet av år 2009. Hur många av dessa var under 30 år. Befolkningen i Stockholms län ökade med ca 2 % under år 2010 och man antar att den kommer att öka med 3 % under år 2011. Med hur många procent har då befolkningen ökat från slutet av år 2009 till slutet av år 2011? Behöver man veta hur stor befolkningen var i slutet av år 2009 för att kunna svara på föregående fråga? Motivera ditt svar.

106

107

Svar till Ungdomar och procent Det beror på att det totala antalet invånare är större i Stockholms län än i Umeå. 2 025 750 · 0,35 ≈ 710 000 personer

Kommentarer till kapitlets innehåll Det första delavsnittet 3.1 Procentberäkningar tar avstamp i elevernas förkunskaper om procent och fördjupar förståelsen av procentbegreppet med fokus på promille och ppm, förändringsfaktor, procentenheter och index. Kapitelintroduktion I Lärarguiden får 3.2 du en bakgrund I delkapitlet Räntor ochtill lån introducerar vi varje kapitel och kommentarer kring begreppen ränta, lån och amorteringar. I det här hur författarna tänkt kring kapitlets avsnittet har vi även behandla geometrisk innehåll och struktur. Här valt finnsatt även talföljd och formeln för beräkning av en geome geomekommentarer och lösningar till kapitlets introduktionsuppgifter.

106

lärarguide matematik origo c procent

trisk summa. Denna formel kommer till användning i samband med upprepade insättningar på konton och avbetalningar på lån. Begreppen geometrisk talföljd och geometrisk summa är inte explicit en del av det centrala innehållet i kursen Matematik 1c och inte heller i någon av de övriga kurserna i c-spåret. Här ges därför ett bra tillfälle att bredda elevernas kunskaper med detta. Vi har även valt att ta upp geometrisk talföljd och geometrisk summa i samband med talföljder i Matematik Origo 5.

De inledande problemen lämpar sig väl för att arbeta med i grupp och sedan diskutera i helklass. Här får eleverna använda sina tidigare kunskaper om procent och visa prov på bl.a. begrepps- och resonemangsförmåga.

Svar till Procentfunderingar 100 Höjning: ____ = 0,25 = 25 % 400 100 Sänkning: ____ = 0,20 = 20 % 500 Prishöjningen är större än prissänkningen. Om ett pris på 600 kr höjs med 50 kr mot50 svarar det en prishöjning på ____ ≈ 0,083 = 600 = 8,3 %. Om det nya priset sedan sänks med 50 kr tillbaka till 600 kronor motsvarar det 50 en prissänkning på ____ ≈ 0,077 = 7,7 %. 650 Att först höja ett pris med x kr och sedan sänka priset med lika många kronor motsvarar inte en lika stor procentuell höjning som minskning eftersom samma prisförändring i kronor då jämförs med olika stora helheter. Uppgiften syftar till att göra eleverna uppmärksamma på att en procentuell förändring är beroende av vilket värde man jämför med. I uppgiften får eleverna själva undersöka och dra slutsatser utifrån sina beräkningar.

2 025 750 · 1,02 · 1,03 ≈ 2 128 250 2 128 250 ________ ≈ 1,05 vilket motsvarar 5 % ökning.

2 025 750 Nej, ökningen är 5 % oavsett folkmängden år 2009 eftersom x · 1,02 · 1,03 ≈ 1,05x motsvarar en ökning med 5 %. Uppgiften tydliggör skillnaden mellan andel och antal. Eleverna får göra beräkningar av upprepad förändring och fundera kring hur man kan beräkna en sammantagen procentuell förändring om man vet delförändringarna, men inte känner

till startvärdet. Här finns det möjlighet att fånga upp elevernas tidigare kunskaper om procentuella förändringar och förändringsfaktor. Det är viktigt att följa upp hur eleverna gjort sina beräkningar, eftersom det i detta exempel blir nästan samma resultat om man i stället skulle addera procentsatserna (1,03 · 1,02 ≈ 1,05 ger en ökning med 5 % och 2 % + 3 % = 5 %). Det kan vara en idé att visa ytterligare något exempel där det tydligt framgår att man får olika resultat.

lärarguide matematik origo c procent

107

Introduktionsproblem

3 Procent delkapitel 3.1 Procentberäkningar 3.2 Ränta och lån

förkunskaper Tal i bråk- och decimalform Ekvationslösning Potenser med heltalsexponenter Avrundning

106

107

Svar till Ungdomar och procent Det beror på att det totala antalet invånare är större i Stockholms län än i Umeå. 2 025 750 · 0,35 ≈ 710 000 personer

106

lärarguide matematik origo c procent

2 025 750 · 1,02 · 1,03 ≈ 2 128 250 2 128 250 ________ ≈ 1,05 vilket motsvarar 5 % ökning.

lärarguide matematik origo c procent

107

Grafer och ekvationer

I de tidigare avsnitten har eleverna framförallt mött linjära samband som modeller för verkliga förlopp. I det här avsnittet lämnar vi den praktiska kontexten och studerar matematiska egenskaper hos räta linjer inskrivna i koordinatsystem.

L1: y = 3x + 2

I förra avsnittet fick ekvationen y = 6,90x beskriva priset på lösviktsgodis. Ekvationen har formen y = kx, där k är en konstant. Grafen till en sådan ekvation är en rät linje som går genom origo. Om man adderar en konstant m till ekvationen y = kx, så får man ekvationen y = kx + m. Det känner vi igen som ett linjärt samband. Här ska vi undersöka hur värdet på konstanten m påverkar grafens utseende. Till höger har vi ritat graferna till ekvationerna y = 2x, y = 2x + 2 och y = 2x – 2

Skärning med y-axeln I den punkt som linjerna skär y-axeln är x = 0. Sätter vi in x = 0 i y = kx + m, så får vi y = 0 · x + m = m.

Tidigare i kapitlet har eleverna genom exempel fått se att m-värdet i räta linjens ekvation y = kx + m motsvarar y-koordinaten för skärningspunkten med y-axeln. Eleverna har också fått se exempel på att ekvationer med olika riktningskoefficienter representeras av linjer med olika lutning. Vi ger här en mer precis beskrivning av riktningskoefficienten som mått på linjens lutning och illustrerar begreppet med hjälp av lutningen på en trappa.

Vi ser att om man lägger till en konstant m, så flyttar man linjen uppåt eller nedåt i koordinatsystemet. Linjerna i figuren skär y-axeln för y = 0, y = 2 respektive y = –2. Alltså för värdet av konstanten m.

y = 2x + 2

L3: y = –3x + 2

1 y = __ x + 2 2

På samma sätt kan man ange ett värde på en linjes lutning i förhållande till x-axeln. Värdet på lutningen kallas linjens riktningskoefficient.

152

I koordinatsystemet till höger har vi ritat linjerna till ekvationerna y = 2 och x = 3. Ekvationen y = 2 betyder att y är 2 oavsett värdet av x. Ekvationen motsvarar alltså en rät linje parallell med x-axeln. På samma sätt motsvarar ekvationen x = 3 en rät linje parallell med y-axeln.

y x=3 y=2 x

1 1

Allmänt kan linjer parallella med x-axeln skrivs som y = a, där a är en konstant. Linjer parallella med y-axeln kan på samma sätt skrivas som x = b där b är en konstant.

Räta linjens ekvation Ekvationen y = kx + m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens ekvation och beskriver en rät linje i ett koordinatsystem.

funktioner . räta linjens ekvation

153

Gruppaktivitet

Lärarguiden lyfter fram de centrala begreppen. Här finner du definitioner och kommentarer till de viktigaste matematiska termerna i varje avsnitt.

funktioner . räta linjens ekvation

∆ I Lärarguiden hittar du mängder∆ med tips till din undervisning. Det kan vara förslag på inledande problem, komVi utgår från någon punkt på linje L . Om vi går ett steg åt höger, så måste gå tre steg punkter i läranmentarer till vikritiska nedåt för att nå linjen. det, en historisk utvikning eller ∆en ∆y ∆ –3 Linjens riktningskoefficient = ___ = ___ = –3 ∆ ∆x 1 matematisk fördjupning.

funktioner . räta linjens ekvation

De centrala begreppen

152

L2 1 y = __ x + 2 2

Om man vill kan man låta eleverna själva försöka komma på en metod för att bestämma en linjes lutning. Ett sätt att inleda en sådan aktivitet kan vara att rita två linjer, båda växande men olika branta, och be eleverna att beskriva linjernas lutning. Eleverna anger sannolikt att linjerna lutar uppåt och att den ena linjen är brantare än den andra. Eleverna får då i uppgift att försöka hitta ett sätt att beskriva hur mycket linjerna lutar. De ska alltså hitta på ett sätt att mäta linjernas lutning, ge lutningen ett värde. Ett möjligt arbetssätt är att låta eleverna arbeta med detta i par och sedan redovisa sina slutsatser i helklass. Elevernas förslag kan sedan jämföras med den gängse metoden för att beräkna en linjes riktningskoefficient.

Riktningskoefficienten k anger linjens lutning i förhållande till x-axeln. Värdet av m anger y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln.

riktningskoefficient, tal som anger hur en rät

Idén bakom bestämningen av lutningen för en linje kan introduceras genom att jämföra med lutningen för en trappa. Branta trappor har höga men smala trappsteg, medan mindre branta trappor har lägre, bredare trappsteg. Förhållandet mellan höjd och längd på trappsteget ger ett mått på trappans lutning. Detta kan konkretiseras genom att man anger värdet 1 dm på trappstegets

I alla tre fallen ser vi att linjernas riktningskoefficienter sammanfaller med motsvarande ekvationers värde på konstanten k. En linjes lutning i förhållande till x-axeln anges alltså av ekvationens riktningskoefficient k.

Linjer parallella med axlarna höjd

Symbolen ∆ utläses ”delta”

Tips till din undervisning

Om trappstegets längd är 3,0 dm och om trappstegets höjd är 2,4 dm, så är 2,4 trappans lutning ___ = 0,8 3,0

Viktiga begrepp

Vi gör på samma sätt med linje L2 och utgår från någon punkt på linje L2. Går vi två steg åt höger i figuren, så måste vi gå ett steg uppåt för att nå linjen.

längd

trappstegets höjd Värdet på lutningen = _______________ trappstegets längd

Lutningen på en trappa bestäms av både höjden och längden på trappsteget. Trappans lutning kan anges med ett värde som bestäms av trappstegets höjd och längd:

Tips

  ∆y  1 ∆x

y = –3 –3x + 2

y = –3x + 2

Linjens lutning

y=3 3xx + 2

∆y ∆ 1 Linjens riktningskoefficient = ___ = __ ∆x 2

förändring i y-led ∆y Linjens riktningskoefficient = _______________ = ___ förändring i x-led ∆x

Lutningen på en trappa

L2: y = __21 x + 2

y = 3x + 2

3 ∆y ∆ Linjens riktningskoefficient = ___ = __ = 3 ∆x 1

y = 2x – 2

Linjerna vi ritat här intill skär y-axeln vid y = 2. Vi kan alltså direkt läsa av att m = 2 i de ekvationer y = kx + m som beskriver linjerna. Men vilket värde har konstanten k?

Riktningskoefficient

linje i planet lutar i förhållande till x-axeln. skärningspunkt, den punkt där två (icke sammanfallande) linjer skär varandra. parallella linjer, två linjer (i ett plan) som inte skär varandra. Även sammanfallande linjer sägs vara parallella.

y = 2x

Vi utgår från någon punkt på linje L1. Här väljer vi linjens skärningspunkt med y-axeln. Om vi går ett steg åt höger i x-led, så måste vi gå tre steg uppåt i y-led för att nå linjen igen.

Med en grafritande räknare kan eleverna själva undersöka hur värdena av k och m i räta linjens ekvation påverkar grafens utseende. Här följer en enkel instruktion till en sådan undersökning.

längd och jämför lutningen på trappor med olika värden på trappstegets höjd, t.ex. 1 dm, 3 dm och trap0,5 dm. Om man ritar en rät linje i linje med trap pans steg, blir det förhoppningsvis tydligt att en linjes lutning kan bestämmas enligt samma princip. y

• Rita linjen y = 2x + m för minst tre olika värden på m. Beskriv likheter och skillnader i grafernas utseende. Vilken slutsats kan du dra om m-värdets betydelse för en linjes utseende? • Rita linjen y = kx + 1 för minst tre olika värden på konstanten k. Beskriv likheter och skillnader i grafernas utseende. Vilken slutsats kan du dra om k-värdets betydelse för en linjes utseende?

Att tänka på I avsnittet lyfter vi fram att linjer parallella med x-axeln kan skrivas i formen y = a. Det kan vara svårt för elever att se att riktningskoefficienten är noll i dessa fall. Låt dem gärna upptäcka detta själva genom att beräkna riktningskoefficienten för en sådan linje utifrån en graf. En annan svårighet är att utifrån ekvationen y = a göra sig en bild av hur linjen ser ut. Eftersom det inte finns något synligt x är det svårt för eleverna att rita grafen med hjälp av en värdetabell, där de stoppar in värden på x och får tillhörande värden på y. En möjlig förklaringsmodell är att tillfälligtvis skriva ekvationen i formen y = 0 · x + a och visa genom insättning att man oavsett värde på x hela tiden får samma värde på y. Det motiverar både att linjen uppfyller räta linjens ekvation för k = 0 och att linjen är parallell med x-axeln.

funktioner . räta linjens ekvation

153

Grafer och ekvationer

L1: y = 3x + 2

Skärning med y-axeln I den punkt som linjerna skär y-axeln är x = 0. Sätter vi in x = 0 i y = kx + m, så får vi y = 0 · x + m = m.

y = 2x + 2

L3: y = –3x + 2

1 y = __ x + 2 2

På samma sätt kan man ange ett värde på en linjes lutning i förhållande till x-axeln. Värdet på lutningen kallas linjens riktningskoefficient.

152

y x=3 y=2 x

1 1

Allmänt kan linjer parallella med x-axeln skrivs som y = a, där a är en konstant. Linjer parallella med y-axeln kan på samma sätt skrivas som x = b där b är en konstant.

Räta linjens ekvation Ekvationen y = kx + m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens ekvation och beskriver en rät linje i ett koordinatsystem.

funktioner . räta linjens ekvation

153

Gruppaktivitet

Lärarguiden lyfter fram de centrala begreppen. Här finner du definitioner och kommentarer till de viktigaste matematiska termerna i varje avsnitt.

funktioner . räta linjens ekvation

De centrala begreppen

152

L2 1 y = __ x + 2 2

Riktningskoefficienten k anger linjens lutning i förhållande till x-axeln. Värdet av m anger y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln.

riktningskoefficient, tal som anger hur en rät

Linjer parallella med axlarna höjd

Symbolen ∆ utläses ”delta”

Tips till din undervisning

Om trappstegets längd är 3,0 dm och om trappstegets höjd är 2,4 dm, så är 2,4 trappans lutning ___ = 0,8 3,0

Viktiga begrepp

Vi gör på samma sätt med linje L2 och utgår från någon punkt på linje L2. Går vi två steg åt höger i figuren, så måste vi gå ett steg uppåt för att nå linjen.

längd

trappstegets höjd Värdet på lutningen = _______________ trappstegets längd

Lutningen på en trappa bestäms av både höjden och längden på trappsteget. Trappans lutning kan anges med ett värde som bestäms av trappstegets höjd och längd:

Tips

  ∆y  1 ∆x

y = –3 –3x + 2

y = –3x + 2

Linjens lutning

y=3 3xx + 2

∆y ∆ 1 Linjens riktningskoefficient = ___ = __ ∆x 2

förändring i y-led ∆y Linjens riktningskoefficient = _______________ = ___ förändring i x-led ∆x

Lutningen på en trappa

L2: y = __21 x + 2

y = 3x + 2

3 ∆y ∆ Linjens riktningskoefficient = ___ = __ = 3 ∆x 1

y = 2x – 2

Linjerna vi ritat här intill skär y-axeln vid y = 2. Vi kan alltså direkt läsa av att m = 2 i de ekvationer y = kx + m som beskriver linjerna. Men vilket värde har konstanten k?

Riktningskoefficient

y = 2x

funktioner . räta linjens ekvation

153

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Metoderna för beräkning av likformigt fördelade sannolikheter är något de flesta elever känner igen från grundskolan. Däremot är det inte säkert att de kommer ihåg begrepp som utfall, händelse och utfallsrum. Det kan vara tacksamt att repetera dessa begrepp i välkända situationer med hjälp av mynt, tärning eller kortlek. Genom att diskutera sannolikheten att ett häftstift landar på huvudet eller sannolikheten att bussen är försenad, kan man dessutom poängtera att formeln antalet gynnsamma utfall P(A) = _____________________ antalet möjliga utfall bara gäller när alla utfallen är lika sannolika.

6.1 Enkla slumpförsök

När kast med tärning nämns så avses kast med en symmetrisk, sexsidig tärning.

Utfall Utfallsrummet

Händelse

antalet möjliga utfall

Sannolikheten för en händelse kan anges i bråkform, decimalform eller procentform.

När alla utfall av ett slumpförsök har samma sannolikhet, säger man att man har en likformig sannolikhetsfördelning. Sannolikheten P(A) för en händelse A beskrivs då av den så kallade klassiska sannolikhetsdefinitionen.

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen

Ett sätt att inleda kapitlet om sannolikhetslära är att låta eleverna ge förslag på var de tror att den kommer till användning i vardagsliv, vetenskap och samhälle. Vi har tidigare nämnt att sannolikhetsläran är användbar i försäkringsmatematik, vid prognoser för väder och smittspridning, samt för att beräkna chansen att vinna på Lotto eller andra spel. Men sannolikhetslära kan också användas för att bestämma risken för att en gen ska föras vidare till nästa generation eller för att bestämma sannolikheten att en idrottsman faktiskt är dopad om dopningsprovet är positivt. Företag kan använda sannolikhetslära för att göra riskbedömningar; då vägs kostnaderna för att åtgärda ett fel mot riskerna och kostnaderna som följer på en olycka. Sannolikhetsteori kan också användas för att reda ut om en förändring i väljarsympatierna i en opinionsundersökning beror på slumpen i urvalet eller om den visar en verklig svängning i väljarnas åsikter.

Sannolikheten för en händelse är ett tal mellan 0 och 1. Om sannolikheten för en händelse är 0, så är det omöjligt att händelsen ska inträffa. Är däremot sannolikheten för en händelse 1, så är det säkert att händelsen ska inträffa.

216

sannolikhetslära . enkla slumpförsök

216

Utfallsrum

Mängden av alla möjliga utfall vid ett slumpförsök bildar utfallsrummet. Händelse

Ett utfall eller en samling utfall utgör en händelse.

7 Exempel: Lösning:

En påse innehåller 6 svarta och 10 vita kulor. Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt plockad kula från påsen är vit.

Exempel

Händelsen ”den plockade kulan är vit” kallar vi för V. Antalet gynnsamma utfall är 10, nämligen antalet vita kulor. Det finns totalt 16 möjliga utfall. 10 5 P(V) = ___ = __ Enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen 16 8 5 Svar: Sannolikheten att ta upp en vit kula är __ 8 Malin spelar poker med en vanlig kortlek med 52 kort. Hon har fyra spader och en klöver. Hur stor är sannolikheten för att Malin ska få färg, alltså fem spader, om hon byter sin klöver? Svara i hela procent. Vi ska beräkna sannolikheten för att Malin får en spader från de kort som finns kvar i kortleken. Eftersom vi inte har någon aning om vilka kort som de andra spelarna har, så räknar vi dem som en del av de kort som finns kvar.

Sannolikheten P för en händelse A: antalet gynnsamma utfall P(A) = _____________________ antalet möjliga utfall Gäller endast för likformig sannolikhetsfördelning.

Tips

Resultatet av ett slumpförsök kallas utfall.

Det finns sex möjliga utfall vid kast med tärning: etta, tvåa, trea, fyra, femma och sexa. Dessa utfall är de enda möjliga och tillsammans bildar de utfallsrummet.

antalet gynnsamma utfall __ 3 _____________________ = = 0,5 = 50 %

Händelser brukar betecknas med stora bokstäver t.ex. A, B och C. Sannolikheten för att händelse A ska inträffa betecknas P(A).

Utfall

Varje gång som vi kastar en tärning så får vi ett resultat, till exempel en trea. Vi kallar detta för ett utfall.

Antag att vi vill beräkna sannolikheten för händelsen ”udda antal prickar” vid kast med tärning. De gynnsamma utfallen är etta, trea och femma. Antalet gynnsamma utfall är alltså 3. De möjliga utfallen är etta, tvåa, trea, fyra, femma och sexa. Antalet möjliga utfall är 6. Eftersom alla de möjliga utfallen är lika sannolika blir sannolikheten för händelsen:

Likformig sannolikhetsfördelning

Ett slumpförsök är ett försök som kan upprepas flera gånger och där man inte kan förutse resultatet av varje enskilt försök.

Sannolikheten för att man ska få en tvåa vid ett kast med en tärning är en på sex eller en sjättedel. Detta innebär inte att vi på förhand kan förutse vad resultatet av ett tärningskast blir, utan det säger oss hur sannolikt det är att ett visst resultat ska inträffa. Kast med tärning är ett exempel på ett slumpförsök.

De utfall som ger ”udda antal prickar” vid kast med tärning, det vill säga utfallen etta, trea eller femma, bildar en händelse. En händelse kan alltså bestå av ett eller flera utfall.

En del elever kan felaktigt tro att sannolikheten att få en fyra vid ett tärningskast är större om man tidigare kastat flera kast och inte fått någon fyra. Det kan därför vara bra att förklara att utfallet av försök som tärningskast eller slantslingningar inte påverkas av tidigare försök.

Slumpförsök

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Slumpförsök

Att tänka på

Några viktiga begrepp

De spaderkort som finns kvar är antal gynnsamma utfall

Alla kort som finns kvar är antal möjliga utfall

Svar: Sannolikheten för att Malin ska få färg är 19 %.

sannolikhetslära . enkla slumpförsök

217

Övningsblad Enkla sannolikheter Tärningsdiagram

Övningsblad och Aktiviteter En del elever behöver mer färdighetsträng Viktiga begrepp

än vad som erbjuds i läroboken, medan slumpförsök, ett försök som kan upprepas flera andra elever i stället behöver mer utmagånger och där man kan förutse Till resultanandeinte arbetsuppgifter. många avsnitt i tet av varje enskilt försök.finns därför extra färdighetsträläroboken ning i form av Övningsblad och mer omfatutfall, resultat av ett slumpförsök. tande uppgifter, sällan med en laborautfallsrum, alla möjliga utfall vid inte ett slumpförtiv vinkel, som vi kallar Aktiviteter. sök. Övningsbladen och aktiviteterna säljs händelse, ett utfall eller en samling av utfall. separat som nedladdningsbara dokument. likformig sannolikhetsfördelning, fördelning

där samtliga utfall har samma sannolikhet. gynnsamt utfall, det eller de utfall som ingår i den händelse man är intresserad av.

b) Hur många kulor kan det finnas i urnan?

Lösning/Kommentar

9 P(Malin får en spader) = ___ ≈ 0,19 = 19 % 47

sannolikhetslära . enkla slumpförsök

I en urna finns kulor i tre olika färger: blått, vitt och rött. Sannolikheten att få en röd kula när 1 man tar en kula från urnan är __ och sanno5 2 likheten att man får en blå kula är __. 3 a) Hur stor är sannolikheten att man får en vit kula?

Exempel Tove drar ett kort ur en vanlig kortlek.

a) Låt sannolikheten för att få en vit kula vara x. Eftersom summan av sannolikheterna för de möjliga utfallen alltid är 1, får vi ekvatioekvatio nen 1 __ 2 Kommentarer __ + +och x =exempel 1 5 3 3 ___ 10I Lärarguiden finns författarnas ___ + +x=1 15 15kommentarer till teoritexter och 2 exempel. Det finns också kompletx = ___ 15 terande exempel till varje avsnitt. 2 Svar: Sannolikheten för en vit kula är ___. 15 b) Antalet kulor i urnan måste vara delbart med 15. Det lägsta antalet kulor som kan finnas är 15 stycken.

a) Vad är sannolikheten att Tove får en hjärter? Anta att Tove fick hjärter dam då hon drog det första kortet och att hon drar ett andra kort utan att lägga tillbaka det första. b) Vad är sannolikheten att det andra kortet är en hjärter? c) Vad är sannolikheten att det andra kortet är en hjärter eller ett ess?

Lösning/Kommentar 13 1 a) P(hjärter) = ___ = __ 52 4

12 4 b) P(hjärter i andra dragningen) = ___ = ___ 51 17 12 + 3 15 5 c) P(hjärter eller ess) = ______ = ___ = ___ 51 51 17

sannolikhetslära . enkla slumpförsök

217

6.1 Enkla slumpförsök

När kast med tärning nämns så avses kast med en symmetrisk, sexsidig tärning.

Utfall Utfallsrummet

Händelse

antalet möjliga utfall

Sannolikheten för en händelse kan anges i bråkform, decimalform eller procentform.

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen

216

sannolikhetslära . enkla slumpförsök

216

Utfallsrum

Mängden av alla möjliga utfall vid ett slumpförsök bildar utfallsrummet. Händelse

Ett utfall eller en samling utfall utgör en händelse.

7 Exempel: Lösning:

En påse innehåller 6 svarta och 10 vita kulor. Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt plockad kula från påsen är vit.

Exempel

Sannolikheten P för en händelse A: antalet gynnsamma utfall P(A) = _____________________ antalet möjliga utfall Gäller endast för likformig sannolikhetsfördelning.

Tips

Resultatet av ett slumpförsök kallas utfall.

Det finns sex möjliga utfall vid kast med tärning: etta, tvåa, trea, fyra, femma och sexa. Dessa utfall är de enda möjliga och tillsammans bildar de utfallsrummet.

antalet gynnsamma utfall __ 3 _____________________ = = 0,5 = 50 %

Händelser brukar betecknas med stora bokstäver t.ex. A, B och C. Sannolikheten för att händelse A ska inträffa betecknas P(A).

Utfall

Varje gång som vi kastar en tärning så får vi ett resultat, till exempel en trea. Vi kallar detta för ett utfall.

Likformig sannolikhetsfördelning

Ett slumpförsök är ett försök som kan upprepas flera gånger och där man inte kan förutse resultatet av varje enskilt försök.

De utfall som ger ”udda antal prickar” vid kast med tärning, det vill säga utfallen etta, trea eller femma, bildar en händelse. En händelse kan alltså bestå av ett eller flera utfall.

Slumpförsök

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Slumpförsök

Att tänka på

Några viktiga begrepp

De spaderkort som finns kvar är antal gynnsamma utfall

Alla kort som finns kvar är antal möjliga utfall

Svar: Sannolikheten för att Malin ska få färg är 19 %.

sannolikhetslära . enkla slumpförsök

217

Övningsblad Enkla sannolikheter Tärningsdiagram

Övningsblad och Aktiviteter En del elever behöver mer färdighetsträng Viktiga begrepp

där samtliga utfall har samma sannolikhet. gynnsamt utfall, det eller de utfall som ingår i den händelse man är intresserad av.

b) Hur många kulor kan det finnas i urnan?

Lösning/Kommentar

9 P(Malin får en spader) = ___ ≈ 0,19 = 19 % 47

sannolikhetslära . enkla slumpförsök

Exempel Tove drar ett kort ur en vanlig kortlek.

Lösning/Kommentar 13 1 a) P(hjärter) = ___ = __ 52 4

12 4 b) P(hjärter i andra dragningen) = ___ = ___ 51 17 12 + 3 15 5 c) P(hjärter eller ess) = ______ = ___ = ___ 51 51 17

sannolikhetslära . enkla slumpförsök

217

Exempel 7 Exempel:

Vinkel C är dubbelt så stor som vinkel B. Bestäm fyrhörningens största vinkel.

102°

Dela femhörningen i trianglar och addera trianglarnas vinkelsummor.

7 Exempel:

Beräkna den okända vinkeln i figuren.

B 112°

63°

7116 Bestäm vinkeln x.

Vi ersätter vinklarna i uttrycket

Fyrhörningens vinkelsumma är 360°:

7117 I Klaras mattebok finns följande uppgift:

Triangeln på bilden är likbent och u = 116°. Hur stor är vinkeln v?

Basvinklarna är lika stora i en likbent triangel, vi betecknar dem med α. u + α = 180°

u och α är sidovinklar

∧C är då 2 · 64,5° = 129°

v = 180° – 128°

I avsnittet fastställs att triangelns vinkelsumma är 180° och att fyrhörningens vinkelsumma är 360°. I det inledande exemplet på sidan 248 demonstreras också hur vinkelsumman i en femhörning kan bestämmas genom att dela in figuren i trianglar. Låt eleverna undersöka vinkelsumman hos andra polygoner genom att på samma sätt dela in figuren i trianglar. Instruera eleverna att redovisa sina resultat i en tabell och uppmuntra dem att sammanfatta sina resultat i en generell formel. Här får

7118 Bestäm x. b)

76°

Basvinklarna α = 64° är lika stora

x + 20°

geometri och bevis . matematiska bevis

Antal hörn Vinkelsumma 3

180°

360°

Generellt kan en n-hörning på detta vis delas in i n stycken trianglar och n-hörningens vinkelsumma blir

128°

eleverna möjlighet att öva på att upptäcka generella samband och presentera dessa med ett algebraiskt uttryck, ett av kunskapskraven för betyget A.

…

geometri och bevis . matematiska bevis

Till varje avsnitt finns kommentarer Sträckorna AD, BD och CD äruppgifter. bisektriser i till avsnittets Där diskutriangeln ABC. Hur stor är ∧BAC? teras bland annat svårigheter och uppgifternas koppling till olika förmågor. Ibland ges även förslag på ledtrådar och möjliga utvidgningar. D

Svar: Vinkeln v är 52°.

Kommentarer till uppgifterna 7123

118°

v = 52°

248

5 · 180° – 360° = 540°

NIVÅ 3

55°

x = 64,5°

Månghörningars vinkelsumma

α = 64°

Vinkelsumman i triangeln: v + α + α = v + 64° + 64° = 180°

Svar: Fyrhörningens största vinkel är vinkel C som är 129°.

α = 180° – u = 180° – 116°

4x = 258°

7122 I fyrhörningen ABCD är diagonalen BD och sidan AD lika långa. Vinkeln BDC är 40°. Bestäm vinklarna ∧BAD och ∧ABC. ∧ ∧ABC .

Klara vill inte lösa uppgiften och menar att det måste stå fel i boken. Har hon rätt eller fel? Motivera ditt svar.

”… och i den liksidiga triangeln ABC är vinkeln A = 70°. Bestäm triangelns övriga vinklar.”

I det första exemplet på sidan 248 visar vi hur man kan bestämma en femhörnings vinkelsumma genom att först dela in femhörningen i tre trianglar och sedan addera trianglarnas vinkelsummor. Det kan vara intressant att även ta upp ett alternativt tillvägagångssätt. Om man delar in femhörningen i fem trianglar enligt figuren här nedanför så kan man bestämma femhörningens vinkelsumma genom att addera de fem trianglarnas vinkelsummor och sedan subtrahera vinklarna i mitten

14°

102° + x + x + 2x = 360° 102° + 4x = 360°

72°

Lösning:

40° D

Svar: Vinkeln v är 57°.

7 Exempel:

60°

7121 De markerade sträckorna är lika långa. Bestäm vinkeln u.

v = 57°

42°

v = 360° – 112° – 72° – 119°

109°

Vinkelsumman i en fyrhörning är 360°.

112° + 72° + v + 119° = 360°

7120 I triangeln ABC är sträckan AD bisektris. Bestäm alla vinklar i triangeln ADC.

7115 Beräkna vinkeln u.

∧A + ∧B + ∧C + ∧D = 360°

102°

5x x

119°

Lösning:

b) 117°

Lösning/Kommentar ∧B och ∧D är enligt B figuren lika stora. Vi betecknar dem med x. Då är ∧C = 2x.

29°

72°

48°

7114 Bestäm x.

Femhörningen kan delas in i tre trianglar, vinkelsumman blir 3 · 180° = 540°

61°

Svar: Femhörningens vinkelsumma är 540°.

7119 Liam och Johanna ska göra en ritning till ett dansgolv. Hur stora ska vinklarna vara för att dansgolvet ska få formen av en regelbunden sexhörning?

b) u

Lösning:

Kommentarer till bokens exempel

NIVÅ 2

7113 Beräkna vinkeln u.

Månghörningar har lika många sidor som hörn. De namnges efter antalet hörn, alltså fyrhörning, femhörning, sexhörning osv.

NIVÅ 1

Bestäm vinkelsumman i en femhörning.

n · 180° – 360° = 180°(n 180°( – 2)

249

Att tänka på

Kommentarer till uppgifterna

Det kan vara bra att uppmärksamma eleverna på hur man betecknar lika stora vinklar och lika långa sidor i geometriska figurer.

Uppgift 7117 är en annorlunda uppgiftsformulering som kontrollerar om eleverna verkligen förstått de grundläggande begreppen och skillnaden mellan likbent och liksidig triangel. Uppgiften tränar elevernas resonemangsförmåga.

För att undvika missförstånd, så kan det även vara bra att klargöra för eleverna att beteckningarna respektive inte betyder att den ena vinkeln är dubbelt så stor som den andra vinkeln, utan att det bara är ett sätt att beteckna olika vinklar.

Uppgift 7121 kan göras svårare genom att eleverna uppmuntras att hitta ett generellt samband mellan den markerade vänstra vinkeln och vinkeln u. Här utmanas elevens kommunikationsförmåga och problemlösningsförmåga I uppgift 7123 kan eleverna ledas in i uppgiften genom att uppmanas att införa egna beteckningar för de okända vinklarna. Vilka samband kan de då ställa upp med sina beteckningar?

248

lärarguide matematik origo c geometri och bevis

249

Exempel 7 Exempel:

Vinkel C är dubbelt så stor som vinkel B. Bestäm fyrhörningens största vinkel.

102°

Dela femhörningen i trianglar och addera trianglarnas vinkelsummor.

7 Exempel:

Beräkna den okända vinkeln i figuren.

B 112°

63°

7116 Bestäm vinkeln x.

Vi ersätter vinklarna i uttrycket

Fyrhörningens vinkelsumma är 360°:

7117 I Klaras mattebok finns följande uppgift:

Triangeln på bilden är likbent och u = 116°. Hur stor är vinkeln v?

Basvinklarna är lika stora i en likbent triangel, vi betecknar dem med α. u + α = 180°

u och α är sidovinklar

∧C är då 2 · 64,5° = 129°

v = 180° – 128°

7118 Bestäm x. b)

76°

Basvinklarna α = 64° är lika stora

x + 20°

geometri och bevis . matematiska bevis

Antal hörn Vinkelsumma 3

180°

360°

Generellt kan en n-hörning på detta vis delas in i n stycken trianglar och n-hörningens vinkelsumma blir

128°

eleverna möjlighet att öva på att upptäcka generella samband och presentera dessa med ett algebraiskt uttryck, ett av kunskapskraven för betyget A.

…

geometri och bevis . matematiska bevis

Svar: Vinkeln v är 52°.

Kommentarer till uppgifterna 7123

118°

v = 52°

248

5 · 180° – 360° = 540°

NIVÅ 3

55°

x = 64,5°

Månghörningars vinkelsumma

α = 64°

Vinkelsumman i triangeln: v + α + α = v + 64° + 64° = 180°

Svar: Fyrhörningens största vinkel är vinkel C som är 129°.

α = 180° – u = 180° – 116°

4x = 258°

7122 I fyrhörningen ABCD är diagonalen BD och sidan AD lika långa. Vinkeln BDC är 40°. Bestäm vinklarna ∧BAD och ∧ABC. ∧ ∧ABC .

Klara vill inte lösa uppgiften och menar att det måste stå fel i boken. Har hon rätt eller fel? Motivera ditt svar.

”… och i den liksidiga triangeln ABC är vinkeln A = 70°. Bestäm triangelns övriga vinklar.”

14°

102° + x + x + 2x = 360° 102° + 4x = 360°

72°

Lösning:

40° D

Svar: Vinkeln v är 57°.

7 Exempel:

60°

7121 De markerade sträckorna är lika långa. Bestäm vinkeln u.

v = 57°

42°

v = 360° – 112° – 72° – 119°

109°

Vinkelsumman i en fyrhörning är 360°.

112° + 72° + v + 119° = 360°

7120 I triangeln ABC är sträckan AD bisektris. Bestäm alla vinklar i triangeln ADC.

7115 Beräkna vinkeln u.

∧A + ∧B + ∧C + ∧D = 360°

102°

5x x

119°

Lösning:

b) 117°

Lösning/Kommentar ∧B och ∧D är enligt B figuren lika stora. Vi betecknar dem med x. Då är ∧C = 2x.

29°

72°

48°

7114 Bestäm x.

Femhörningen kan delas in i tre trianglar, vinkelsumman blir 3 · 180° = 540°

61°

Svar: Femhörningens vinkelsumma är 540°.

7119 Liam och Johanna ska göra en ritning till ett dansgolv. Hur stora ska vinklarna vara för att dansgolvet ska få formen av en regelbunden sexhörning?

b) u

Lösning:

Kommentarer till bokens exempel

NIVÅ 2

7113 Beräkna vinkeln u.

Månghörningar har lika många sidor som hörn. De namnges efter antalet hörn, alltså fyrhörning, femhörning, sexhörning osv.

NIVÅ 1

Bestäm vinkelsumman i en femhörning.

n · 180° – 360° = 180°(n 180°( – 2)

249

Att tänka på

Kommentarer till uppgifterna

Det kan vara bra att uppmärksamma eleverna på hur man betecknar lika stora vinklar och lika långa sidor i geometriska figurer.

248

lärarguide matematik origo c geometri och bevis

249

¤-uppgift

Vår ¤-uppgift är en större uppgift av problemlösande karaktär som liknar de breddningsuppgifter som tidigare fanns i nationella prov. Den består av flera olika deluppgifter med ökande svårighetsgrad i en förhoppningsvis intresseväckande kontext. Det matematiska innehållet i uppgiften är tydligt kopplat till det kapitel som den finns i, men för att kunna lösa den kan man även behöva använda sig av moment från tidigare kapitel och kurser. Tanken är att det ska vara möjligt för alla elever att lösa någon del av uppgiften, men de avslutande deluppgifterna kan vara riktigt utmanande även för den som har god matematisk förståelse. Här prövas även kvalitéer som behövs för högre betyg.

Det finns ingen kungsväg …

Rubiks kub

Euklides Elementa Rubiks kub är ett mekaniskt pussel i form av en kub. Det finns flera olika storlekar och modeller, men originalet består av 3 × 3 × 3 små kuber. Kuben är indelad i tre skikt där varje skikt kan vridas i förhållande till resten av kuben. Pusslet går ut på att vrida de olika skikten och försöka få sidorna enfärgade. Utmaningen ligger i att göra det med så få vridningar och så snabbt som möjligt. Det var den ungerske arkitekten Ernö Rubik (född 1944) som uppfann kuben i mitten av 1970-talet och kuben var som mest populär under 1980-talet. • Anta att hela Rubiks kub är uppbyggd av små kuber, även inuti. Hur många små kuber består den av?

• Hur många små kuber kommer att ha 1 färgad sida?

Omkring år 300 f.Kr. hade kung Ptolemaios bestämt sig för att grunda ett universitet i Alexandria, som var en av antikens blomstrande städer, belägen i nuvarande Egypten. Han kallade tidens främsta vetenskapsmän och lärare till universitetet. En av dessa lärare var Euklides och det skulle visa sig att hans arbete skulle användas i matematikundervisningen mer än två tusen år framöver. Euklides hade samlat dåtidens matematiska kunskaper i sitt stora verk, Elementa, som näst efter Bibeln betraktas som den mest spridda boken i världen. Verket är indelat i 13 böcker, de första sex handlar om planfigurer och deras egenskaper, de följande tre om talteori och övriga om irrationella tal och rymdgeometri. I Elementa presenterades matematiken på ett helt nytt sätt. Matematiska påståenden bevisades logiskt med hjälp av definitioner och axiom. Axiom står för enkla, självklara grundsatser som inte behöver bevisas. Euklides Elementa.

• Hur många små kuber kommer inte att ha någon färgad sida? • Kuben finns i fler versioner: Rubiks Mini 2 × 2 × 2 kuber, Rubiks Revenge 4 × 4 × 4 kuber och Rubiks Professor 5 × 5 × 5 kuber. Hur många små kuber kommer inte att ha någon färgad sida i en Rubiks Professor? • Visa att en kub som består av k × k × k små kuber kommer att ha (k – 2)3 kuber som inte har någon färgad sida. • Visa att en kub som består av k × k × k små kuber kommer att ha 6(k – 2)2 kuber med färg på endast en sida. Euklides från Megara (ca 325–265 f.Kr.)

• Hur många små kuber kommer att ha 3 färgade sidor?

Några exempel på Euklides axiom: • Det hela är lika med summan av dess delar. • Genom två punkter kan dras en och endast en linje. • Givet en linje l och en punkt P utanför linjen, så går det att dra precis en linje som går genom P och är parallell med l. Detta kallas för parallellaxiomet.

• Hur många små kuber kommer att ha 2 färgade sidor?

c2 = 25 c a b

a =9

b2 = 16

Pythagoras sats som det visas i Elementa.

? Vad är det för skillnad på en definition och ett axiom? Vad är det för skillnad på ett påstående och en sats?

Svar till Rubiks kub • 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 st • 8 st. Det är endast kuberna på hörnen som har 3 färgade sidor. 4·6 ____ = 12 st. Det är kuberna som är längs sidkanter• 2 na men inte i hörnen som har två färgade sidor. Dessa små kuber får bara räknas en gång på varje sida. • 6 ∙ 1 = 6 st. Det är kuber i centrum av varje sidoyta. Det finns en sådan kub på varje sida. • 1 kub. Det är kuben i centrum av den stora kuben. • (5 – 2)3 = 27 st. Småkuberna som helt saknar färg är de som inte är synliga på någon av den stora kubens sidor. De bildar en inre kub med sidlängden (5 – 2) kuber. • (k – 2)3 st. Småkuberna som helt saknar färg är de som inte är synliga på någon av den stora kubens sidor. De bildar en inre kub med sidlängden (k – 2) kuber. 2. Småkuberna

med en färgad sida är de • 6 ∙ (k – 2) som inte är längs sidkanterna på en sidoyta. På varje sida (6 st) bildar dessa småkuber en inre kvadrat med sidlängden (k – 2) kuber. Den kvadraten bildas alltså av (k – 2)2 kuber.

286

lärarguide matematik origo c geometri och bevis

historia

¤-uppgift

286

geometri och bevis ¤-uppgift

Svar till uppgifter I lärarguiden finns svar och lösning till Resonemang och begrepp, ¤-uppgifter, Problem och undersökningar och Historikuppgifter.

När ett påstående har bevisats, så omvandlas det till en sats. Varje bevisad sats i Elementa avslutas med det latinska uttrycket quad erat demonstrandum som betyder vilket skulle bevisas. Än i dag avslutas bevis med förkortningen q.e.d. eller v.s.b. Euklides har även utvecklat språket genom att tillföra ord som triangel, kvadrat, cirkel, problem, bas, definition, axiom och parallell.

Ord av Euklides Kung Ptolemaios var fascinerad av geometri. Han ville förstå allt, men var alldeles för otålig och frågade Euklides om hur man på ett enkelt sätt kunde lära sig geometri. Euklides svarade: Det finns ingen kungsväg till geometrin. En annan gång lär en av studenterna ha frågat Euklides om det fanns någon mening med att lära sig geometri. Varpå Euklides vände sig med följande ord till en av sina betjänter: Belöna omedelbart den här studenten med tre mynt, för att han söker efter meningen med att lära sig geometri.

geometri och bevis historia

287

Svar till historiefrågorna • En definition är en beskrivning av ett matematiskt begrepp. Ett axiom är ett påstående som man håller för sant utan bevis. • Ett påstående är ett uttalande som kan vara antingen sant eller falskt, medan en sats är ett påstående som är bevisat.

Historia Matematikämnet i skolan handlar inte bara om att räkna och lösa problem, utan även om att se hur ämnet utvecklats med tiden och att se dess betydelse för individ och samhälle. I historikavsnitten ser vi matematiken ur ett historiskt perspektiv och tar del av levnadsbeskrivningar av personer som betytt mycket för matematikens utveckling. Vi belyser även att matematiken har utvecklats ur såväl praktiska behov som ur människors nyfikenhet och lust att utforska den. Det ger eleven möjlighet att utveckla förmågan att relatera matematiken till dess betydelse och användning i ett samhälleligt och historiskt sammanhang. Varje historikavsnitt avslutas med någon eller några uppgifter som anknyter till det centrala innehållet: ”Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria”.

Det finns ingen kungsväg Det här historikavsnittet anknyter främst till det centrala innehåll som behandlar satser och bevis. Ett sätt att arbeta med avsnittet är att låta eleverna läsa texten och förklara eller illustrera vad Euklides menar med de axiom som nämns. Uppgiften kan utvidgas till följande axiom, också de hämtade från Euklides Elementa: • Storheter som är lika med en och samma storhet är sinsemellan lika. • När man adderar lika storheter till lika storheter, så blir även summorna lika storheter. • När lika storheter subtraheras från lika storheter, så blir även resterna lika storheter. • Det hela är större än sin del. I slutet av texten återges en anekdot om hur Euklides ska ha reagerat på en fråga om nyttan med geometrin. Låt eleverna diskutera hur man ska tolka Euklides svar och låt eleverna själva komma med svar på frågan.

lärarguide matematik origo c geometri och bevis

287

¤-uppgift

Det finns ingen kungsväg …

Rubiks kub

• Hur många små kuber kommer att ha 1 färgad sida?

• Hur många små kuber kommer att ha 3 färgade sidor?

• Hur många små kuber kommer att ha 2 färgade sidor?

c2 = 25 c a b

a =9

b2 = 16

Pythagoras sats som det visas i Elementa.

? Vad är det för skillnad på en definition och ett axiom? Vad är det för skillnad på ett påstående och en sats?

286

lärarguide matematik origo c geometri och bevis

historia

¤-uppgift

286

geometri och bevis ¤-uppgift

Svar till uppgifter I lärarguiden finns svar och lösning till Resonemang och begrepp, ¤-uppgifter, Problem och undersökningar och Historikuppgifter.

geometri och bevis historia

287

lärarguide matematik origo c geometri och bevis

287

problem och undersökningar

I Problem och undersökningar får eleverna tillfälle att träna problemlösning och ett undersökande arbetssätt. Den annorlunda frågeställningen och laborativa vinklingen hos dessa uppgifter ger eleverna möjlighet att utveckla och fördjupa de kunskaper de har skaffat sig tidigare i kapitlet. Uppgifterna kan med fördel lösas i grupp.

HITTA SAMBANDEN MELLAN PRICKAR Till den här uppgiften behöver du ett rutat papper. Markera hörnen på lika stora rutor (rutorna kan bestå av flera mindre rutor) med en penna. Rektangeln bredvid har 12 prickar längs omkretsen (O = 12) och tre prickar innanför (I = 3). Arean av rektangeln består av 8 små kvadrater (A = 8).

Matematiska bevis

Bevis av en sats

• logiska resonemang utan luckor

• definition

Fortsätt med att rita flera rektanglar på pappret och notera antalet kvadrater för area, samt antalet prickar för omkrets och innanför figuren.

• allmängiltiga

• axiom

• ej mätningar eller gissningar

• tidigare bevisade satser • v.s.b.

RANDVINKELSATSEN En vinkel som bildas mellan två linjer som utgår från samma punkt på cirkelbågen kallas randvinkel. En vinkel som bildas mellan två radier till en cirkel kallas medelpunktsvinkel. Den så kallade randvinkelsatsen säger att medelpunktsvinkeln till en cirkelbåge är dubbelt så stor som randvinkeln till samma cirkelbåge.

Bestäm vinkeln u och v i figurerna

Randvinkel

• ekvivalens

Bevisa nu följande påståenden

Hitta sambanden mellan prickar

Kvadrater innanför

…

• Följande mönster finns mellan talen i de tre kolumnerna. O I + __ – A = 1 2 8 På första raden gäller exempelvis: 1 + __ – 4 = 1 2 10 och på den andra raden: 2 + ___ – 6 = 1 2 Vidare undersökningar visar att sambandet mellan talen I, O och A gäller för alla rektanglar. Sambandet sammanfattas i en formel som även kallas Picks sats. O A = I + __ – 1 2 Undersökningen kan utvidgas till trianglar eller femhörningar. Sambandet mellan antalet prickar på omkretsen av figuren samt antalet prickar och kvadrater innanför omkretsen är detsamma.

Randvinkelsatsen 114° • v = ____ = 67° och u = 2 · 48° = 96° 2

lärarguide matematik origo c geometri och bevis

• vertikalvinkel

• längd och riktning

• rät vinkel

• likbelägna vinklar

• skillnad jämfört med skalär

• trubbig vinkel

• alternativvinklar

• punkt i koordinatsystemet

• rak vinkel

• bisektris

• addition och subtraktion av vektorer

• sidovinkel

Randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar.

Prickar på omkrets

Vektorer

• spetsig vinkel

Tankekartan ger en samlad och strukturerad bild av hur kapitlets olika delar hänger ihop. Den är inte uppbyggd efter samma ordning som kapitlet utan sätter de matematiska begreppen i centrum. Läraren kan med hjälp av tankekartan på ett enkelt sätt sammanfatta kapitlets innehåll i klassrummet.

• produkt av vektor och skalär

Randvinklar till samma cirkelbåge är lika stora.

• Vi skapar systematiskt en tabell för antalet prickar, där vi börjar med det minsta möjliga antalet prickar innanför rektangeln:

288

Vinklar

114°

Tankekarta

Tankekartan kan användas på olika sätt och vid olika tillfällen. Den kan användas inför ett nytt kapitel för att få en överblick över vad eleverna kan sedan tidigare, som sammanfattning av ett kapitel eller som checklista under arbetets gång.

• implikation

48° v

Matematisk argumentation • påstående

Medelpunktsvinkel

Prickar innanför

• motivera varje steg

Försök att hitta ett samband mellan A, O och I.

Svar till Problem och undersökningar

Geometri och bevis

Rita en rektangel med hörnen i markeringarna.

2v = w

tankekarta

Problem och undersökningar

I en fyrhörning inskriven i en cirkel är summan av motstående vinklar 180°.

Trianglar

Trigonometri

• vinklar

• likformighet

• vinkelsumman är 180°

• sinus

• trubbvinklig

• cosinus

• likbent

• tangens

• liksidig

• beräkna sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar

Arbetsförslag

• rätvinklig • Pythagoras sats

u + v = 180°

288

geometri och bevis problem och undersökningar

geometri och bevis tankekarta

• Om medelpunktsvinkeln till en viss cirkelbåge är w så är enligt randvinkelsatsen varje randvinkel på denna w cirkelbåge __ och därmed sinsemellan lika stora. 2 • Medelpunktsvinkeln till en halvcirkelbåge är 180°. Enligt randvinkelsatsen är varje randvinkel till denna 180° båge ____ = 90°, dvs. en rät vinkel. 2 Från cirkelns medelpunkt drar vi två radier till de hörn som inte bilv dar vinklarna u och v. Medelpunktsvinklarna som bildas är tillsammans 360°. Vinklarna u och v är randvinklar som spänner upp varsin cirkelbåge som hör till dessa medelpunktsvinklar. Av detta följer att 360° Randvinkelsatsen u + v = ____ 2 u + v = 180° v.s.v.

289

Ett sätt att arbeta med tankekartan och elevernas begreppsförmåga är att först dela in eleverna i grupper och sedan låta varje grupp få ansvar för en samling av begrepp i tankekartan. Gruppens uppgift är att förklara och exemplifiera begreppen. Arbetet kan sedan redovisas muntligt i helklass och läraren kan ställa för fördjupande frågor som t.ex. • Är Är varje kvadrat en rektangel?

Arbetsförslag I varje kapitel ges ett nytt förslag på hur man kan arbeta med tankekartan.

• Kan Kan en implikation också vara en ekvivalens? • Är Är det möjligt att sin v = 2? Läraren kan också låta eleverna ta ställning till sant- eller falskt-påståenden som t.ex. • Likbelägna Likbelägna vinklar är alltid lika stora • Två Två vektorer är lika om de har samma längd. • Om Om sidlängderna i en triangel uppfyller villkoren i Pythagoras sats, så är triangeln rätvinklig. Det är ofta ett bra sätt att få syn på och resonera kring elevernas missuppfattningar.

lärarguide matematik origo c geometri och bevis

289

problem och undersökningar

Matematiska bevis

Bevis av en sats

• logiska resonemang utan luckor

• definition

Fortsätt med att rita flera rektanglar på pappret och notera antalet kvadrater för area, samt antalet prickar för omkrets och innanför figuren.

• allmängiltiga

• axiom

• ej mätningar eller gissningar

• tidigare bevisade satser • v.s.b.

Bestäm vinkeln u och v i figurerna

Randvinkel

• ekvivalens

Bevisa nu följande påståenden

Hitta sambanden mellan prickar

Kvadrater innanför

…

Randvinkelsatsen 114° • v = ____ = 67° och u = 2 · 48° = 96° 2

lärarguide matematik origo c geometri och bevis

• vertikalvinkel

• längd och riktning

• rät vinkel

• likbelägna vinklar

• skillnad jämfört med skalär

• trubbig vinkel

• alternativvinklar

• punkt i koordinatsystemet

• rak vinkel

• bisektris

• addition och subtraktion av vektorer

• sidovinkel

Randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar.

Prickar på omkrets

Vektorer

• spetsig vinkel

• produkt av vektor och skalär

Randvinklar till samma cirkelbåge är lika stora.

• Vi skapar systematiskt en tabell för antalet prickar, där vi börjar med det minsta möjliga antalet prickar innanför rektangeln:

288

Vinklar

114°

Tankekarta

• implikation

48° v

Matematisk argumentation • påstående

Medelpunktsvinkel

Prickar innanför

• motivera varje steg

Försök att hitta ett samband mellan A, O och I.

Svar till Problem och undersökningar

Geometri och bevis

Rita en rektangel med hörnen i markeringarna.

2v = w

tankekarta

Problem och undersökningar

I en fyrhörning inskriven i en cirkel är summan av motstående vinklar 180°.

Trianglar

Trigonometri

• vinklar

• likformighet

• vinkelsumman är 180°

• sinus

• trubbvinklig

• cosinus

• likbent

• tangens

• liksidig

• beräkna sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar

Arbetsförslag

• rätvinklig • Pythagoras sats

u + v = 180°

288

geometri och bevis problem och undersökningar

geometri och bevis tankekarta

289

Arbetsförslag I varje kapitel ges ett nytt förslag på hur man kan arbeta med tankekartan.

lärarguide matematik origo c geometri och bevis

289

lösningar

4101 Rita ett koordinatsystem, gradera x-axeln från –5 till 5 och y-axeln från –5 till 5. a) Dra linjer parallella med y-axeln genom x = 3 och parallella med x-axeln genom y = 5. Skärningspunkten ger punkten med koordinaterna (3, 5). b) och c) görs på samma sätt. y

4106 Ritaa rektangeln i ett koordinatsystem där x-axeln är graderad från 0 till 10 och y-axeln är graderad från 0 Fullständiga lösningar till 10. Rektangelns sidor är parallella med axlarna. I lärarguiden finns fullständiga Basens längd b är skillnaden mellan y-koordinaterna: lösningar till lärobokens samtliga b = y2 – y1 = (9 – 5) l.e. = 4 l.e. Höjden h uppgifter. är skillnaden mellan x-koordinaterna: h = x2 – x1 = (3 – 1) l.e. = 2 l.e. Rektangelns area A blir: A = b · h = 4 · 2 a.e. = 8 a.e. Svar: Arean är 8 a.e. nkterna ligger på en rät linje som går genom origo. 4107 Punkterna – kx och om P1 ( i 2:a kvadranten) = (–2, 5), Om y = –kx så kan P2 (i 4:e kvadranten) vara (2, –5). Men alla P2 = (2a, –5a) där a > 0 duger.

4102 Punkternas koordinater avläses ur koordinatsystemet på resp. koordinataxel. Svar: A = (–3, 3), B = (2, 1), C = (–2, –2) och D = (3, –1) °C

Temperatur

4108 Punkterna (1, 1) och (1, 5) ligger rakt ovanför varandra. Om x = 1, så ligger punkten (x, 20) på samma linje. Svar: x = 1 4109 (a, 3) och (85, 3) ligger vid sidan om varandra. För att avståndet ska bli 42 l.e. måste 85 – a = 42 eller a – 85 = 42. Svar: a = 43 eller a = 127

4103 Gradera x-axeln från 0 till 6, y-axeln från –5 till 20 och markera punkterna (0; –2,3), (1; 12,3), (2; 14,6), (3; 18,1), (4; 19,9), (5; 20,0) och (6; 20,0)

4114 Sidorna i rektangeln är 4 l.e. resp. 7 l.e. Omkretsen är alltså 22 l.e. De två punkterna måste väljas så att linjen genom dem är parallell med x-axeln. (Parallellitet med y-axeln ger ingen lösning.) Summan av omkretsarna blir då (22 + 2 · 4) l.e. = 30 l.e. Vi kallar de två rektanglarna för O1 och O2. O1 = 20 l.e., O2 = 10 l.e. ger i samma rektangel höjden h2 = 1 l.e. Punkterna är alltså (–3, 8 +1) och (1, 8 + 1) eller (–3, 15 – 1) och (1, 15 – 1). Svar: Punkterna är (–3, 9) och (1, 9) eller (–3, 14) och (1, 14)

4111 Både i 2:a och 3:e kvadranterna är y-koordinaterna negativa. P2 (i 2:a kvadranten) väljs (–5, 10). Låt P3 (i 3:e kvadranten) ligga rakt nedanför P2. Då blir P3 = (–5, 10 – 23) = (–5, –13) Tid h

4104 I a) och c) ligger punkterna rakt ovanför varandra och i b) vid sidan om varandra. a) Avståndet d är skillnaden mellan y-koordinaterna: d = y2 – y1 = 8 – (–1) = 8 + 1 = 9 Svar: Sträckan är 9 l.e. b) Avståndet d är skillnaden mellan x-koordinaterna: d = x1 – x2 = 2 – (–3) = 2 + 3 = 5 Svar: Sträckan är 5 l.e.

4112 (1, 1) och (5, 5) ligger på en linje genom origo, där y = x. Svar: y = 20 4113 Välj ett hörn t.ex. A = (1, 1). Gå t.ex. 1 steg åt höger och 3 steg uppåt från A: B = (2, 4) Gå nu 3 steg åt höger och 1 steg nedåt från B: C = (5, 3) Gå nu 1 steg åt vänster och 3 steg nedåt från C: D = (4, 0) Svar: T.ex. (1, 1), (2, 4), (5, 3) och (4, 0)

c) Avståndet d är skillnaden mellan y-koordinaterna: d = y1 – y2 = 114 – (–57) = 171 Svar: Sträckan är 171 l.e.

62 4 354 kapitel lärarguide matematik origo c lösningar kapitel : funktioner

4121 a) 60 min kostar ca 133 baht och 10 min ca 63 baht. 50 min kostar alltså ca 70 baht. 1 min kostar 70 = 1, 4 baht. 50 Svar: Minutkostnaden är 1,4 baht b) t = 0 ger K = 50. Svar: Öppningsavgiften är 50 baht

4115 1. Sträckan genom punkterna är diagonal i kvadraten. Övriga hörn är (1, –3) och (–4, 2). 2. Sträckan genom punkterna är en sida i kvadraten. Övriga hörn A och B kan vara A1 = (1 + 5, 2 – 5) och B1 = (–4 + 5, –3 – 5) eller A 2 = (1 – 5, 2 + 5) och B2 = (–4 – 5, –3 + 5) Svar: Möjliga koordinater: (1, –3) och (–4, 2), (6, –3) och (1, –8) eller (–4, 7) och (–9, 2) 4116 a) Linjen genom t = 3 skär grafen där K ≈ 12 000. Svar: Det kostar nästan 12 000 kr b) Linjen genom K = 20 000 skär grafen där t ≈ 5,5. Svar: Jag kan anlita snickaren ca 5,5 dagar. 4117 Vi har y = 125 000 + 3 000x

c) Kostnaden K baht utgörs av öppningsavgiften 50 baht och 1,4 baht per minut, t. Svar: K = 50 + 1,4t 4122 y = 400x – 1 200 400x = y + 1 200 y +1 200 x= 400 4123 Vi har ekvationen y = 1,6x – 18 a) När boxen stängs av är temperaturen –18 °C och ökar sedan med 1,6 °C/timme. b) x = 2 ger y = 1,6 · 2 – 18 = –14,8 Svar: Temperaturen är –14,8 °C

a) Antalet invånare var 125 000 år 1970. b) Antalet invånare ökar med 3 000 varje år.

4110 Sidorna kan vara 2 l.e. resp. 8 l.e. Välj ett hörn t.ex. (1, 1). Övriga hörn kan vara (1, 1 + 2), (1 + 8, 1) och (1 + 8, 1 + 2). Svar: T.ex. (1, 1), (1, 3), (9, 1) och (9, 3)

b) På 50 minuter hinner man cirka 95 km med farten 110 km/h. Med farten 70 km/h tar det cirka 80 minuter att åka 95 km. 80 – 50 = 30 Svar: Det tar ungefär 30 minuter längre

c) y = 0 ger 1,6x = 18 18 x= = 11, 25 1, 6 Svar: Den har varit avstängd ca 11 h.

c) y = 188 000 ger ekvationen 188 000 = 125 000 + 3 000x 3x = 63 x = 21 1970 + 21 = 1991 Svar: Staden hade 188 000 invånare år 1991

4124 Att åka taxi. Priset består av en fast kostnad (framkörningsavgiften) och en viss kostnad per kilometer.

4118 Kostnaden K kr utgörs av en fast kostnad på 40 000 kr och en rörlig kostnad på 1 500 kr per deltagare, x. Svar: K = 40 000 + 1 500x 4119 a) Startavgiften lika. Skillnad: (0,23 – 0,11) · 10 kr = 1,20 kr Svar: Det kostar 1,20 kr mer b) Kostnaden y kr utgörs av en fast kostnad (startavgift) på 0,79 kr och en rörlig kostnad på 0,23 kr per minut, x. Svar: y = 0,79 + 0,23x

4125 a) Kostnaden K kr utgörs av en fast kostnad på 1 500 kr, en rörlig kostnad på 2,50 kr/kg för x kg hö och en rörlig kostnad på 1,50 kr/kg för y kg havre. Svar: K = 1 500 + 2,50x + 1,50y b) K = 2 560 och y = 300 ger ekvationen 2 560 = 1 500 + 2,50x + 1,50 · 300 2,50x = 610 610 x= = 244 2, 50 Svar: Elin hade köpt 244 kg hö. 4126 Priset y kr utgörs av framkörningsavgiften m kr och den rörliga kostnaden k kr per kilometer x. Svar: y = kx + m

c) Som b) men 0,11 kr per minut. Svar: y = 0,79 + 0,11x 4120 Den brantaste grafen är den röda och gäller för farten 110 km/h. a) Dra en linje parallell med tidsaxeln, där sträckan är 30 km. Skärning med blå graf ger t ≈ 25 min. Svar: Det tar ungefär 25 minuter

4127 Månadsbiljett kostar 700 kr

700 − 3 ⋅ 180 20 enkelbiljetter. Det motsvarar 33 + 8 = 41 resor. Svar: Han måste göra minst 42 resor

För 700 kr får han 3 klipphäften och

kapitel 4 355 63 lärarguide matematik origo c lösningar kapitel : funktioner

lösningar

4 Funktioner