¤-uppgift
Vår ¤-uppgift är en större uppgift av problemlösande karaktär som liknar de breddningsuppgifter som tidigare fanns i nationella prov. Den består av flera olika deluppgifter med ökande svårighetsgrad i en förhoppningsvis intresseväckande kontext. Det matematiska innehållet i uppgiften är tydligt kopplat till det kapitel som den finns i, men för att kunna lösa den kan man även behöva använda sig av moment från tidigare kapitel och kurser. Tanken är att det ska vara möjligt för alla elever att lösa någon del av uppgiften, men de avslutande deluppgifterna kan vara riktigt utmanande även för den som har god matematisk förståelse. Här prövas även kvalitéer som behövs för högre betyg.
Det finns ingen kungsväg …
Rubiks kub
Euklides Elementa Rubiks kub är ett mekaniskt pussel i form av en kub. Det finns flera olika storlekar och modeller, men originalet består av 3 × 3 × 3 små kuber. Kuben är indelad i tre skikt där varje skikt kan vridas i förhållande till resten av kuben. Pusslet går ut på att vrida de olika skikten och försöka få sidorna enfärgade. Utmaningen ligger i att göra det med så få vridningar och så snabbt som möjligt. Det var den ungerske arkitekten Ernö Rubik (född 1944) som uppfann kuben i mitten av 1970-talet och kuben var som mest populär under 1980-talet. • Anta att hela Rubiks kub är uppbyggd av små kuber, även inuti. Hur många små kuber består den av?
• Hur många små kuber kommer att ha 1 färgad sida?
Omkring år 300 f.Kr. hade kung Ptolemaios bestämt sig för att grunda ett universitet i Alexandria, som var en av antikens blomstrande städer, belägen i nuvarande Egypten. Han kallade tidens främsta vetenskapsmän och lärare till universitetet. En av dessa lärare var Euklides och det skulle visa sig att hans arbete skulle användas i matematikundervisningen mer än två tusen år framöver. Euklides hade samlat dåtidens matematiska kunskaper i sitt stora verk, Elementa, som näst efter Bibeln betraktas som den mest spridda boken i världen. Verket är indelat i 13 böcker, de första sex handlar om planfigurer och deras egenskaper, de följande tre om talteori och övriga om irrationella tal och rymdgeometri. I Elementa presenterades matematiken på ett helt nytt sätt. Matematiska påståenden bevisades logiskt med hjälp av definitioner och axiom. Axiom står för enkla, självklara grundsatser som inte behöver bevisas. Euklides Elementa.
• Hur många små kuber kommer inte att ha någon färgad sida? • Kuben finns i fler versioner: Rubiks Mini 2 × 2 × 2 kuber, Rubiks Revenge 4 × 4 × 4 kuber och Rubiks Professor 5 × 5 × 5 kuber. Hur många små kuber kommer inte att ha någon färgad sida i en Rubiks Professor? • Visa att en kub som består av k × k × k små kuber kommer att ha (k – 2)3 kuber som inte har någon färgad sida. • Visa att en kub som består av k × k × k små kuber kommer att ha 6(k – 2)2 kuber med färg på endast en sida. Euklides från Megara (ca 325–265 f.Kr.)
• Hur många små kuber kommer att ha 3 färgade sidor?
Några exempel på Euklides axiom: • Det hela är lika med summan av dess delar. • Genom två punkter kan dras en och endast en linje. • Givet en linje l och en punkt P utanför linjen, så går det att dra precis en linje som går genom P och är parallell med l. Detta kallas för parallellaxiomet.
• Hur många små kuber kommer att ha 2 färgade sidor?
c2 = 25 c a b
2
a =9
b2 = 16
Pythagoras sats som det visas i Elementa.
? Vad är det för skillnad på en definition och ett axiom? Vad är det för skillnad på ett påstående och en sats?
Svar till Rubiks kub • 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 st • 8 st. Det är endast kuberna på hörnen som har 3 färgade sidor. 4·6 ____ = 12 st. Det är kuberna som är längs sidkanter• 2 na men inte i hörnen som har två färgade sidor. Dessa små kuber får bara räknas en gång på varje sida. • 6 ∙ 1 = 6 st. Det är kuber i centrum av varje sidoyta. Det finns en sådan kub på varje sida. • 1 kub. Det är kuben i centrum av den stora kuben. • (5 – 2)3 = 27 st. Småkuberna som helt saknar färg är de som inte är synliga på någon av den stora kubens sidor. De bildar en inre kub med sidlängden (5 – 2) kuber. • (k – 2)3 st. Småkuberna som helt saknar färg är de som inte är synliga på någon av den stora kubens sidor. De bildar en inre kub med sidlängden (k – 2) kuber. 2. Småkuberna
med en färgad sida är de • 6 ∙ (k – 2) som inte är längs sidkanterna på en sidoyta. På varje sida (6 st) bildar dessa småkuber en inre kvadrat med sidlängden (k – 2) kuber. Den kvadraten bildas alltså av (k – 2)2 kuber.
286
lärarguide matematik origo c geometri och bevis
historia
¤-uppgift
286
geometri och bevis ¤-uppgift
Svar till uppgifter I lärarguiden finns svar och lösning till Resonemang och begrepp, ¤-uppgifter, Problem och undersökningar och Historikuppgifter.
När ett påstående har bevisats, så omvandlas det till en sats. Varje bevisad sats i Elementa avslutas med det latinska uttrycket quad erat demonstrandum som betyder vilket skulle bevisas. Än i dag avslutas bevis med förkortningen q.e.d. eller v.s.b. Euklides har även utvecklat språket genom att tillföra ord som triangel, kvadrat, cirkel, problem, bas, definition, axiom och parallell.
Ord av Euklides Kung Ptolemaios var fascinerad av geometri. Han ville förstå allt, men var alldeles för otålig och frågade Euklides om hur man på ett enkelt sätt kunde lära sig geometri. Euklides svarade: Det finns ingen kungsväg till geometrin. En annan gång lär en av studenterna ha frågat Euklides om det fanns någon mening med att lära sig geometri. Varpå Euklides vände sig med följande ord till en av sina betjänter: Belöna omedelbart den här studenten med tre mynt, för att han söker efter meningen med att lära sig geometri.
geometri och bevis historia
287
Svar till historiefrågorna • En definition är en beskrivning av ett matematiskt begrepp. Ett axiom är ett påstående som man håller för sant utan bevis. • Ett påstående är ett uttalande som kan vara antingen sant eller falskt, medan en sats är ett påstående som är bevisat.
Historia Matematikämnet i skolan handlar inte bara om att räkna och lösa problem, utan även om att se hur ämnet utvecklats med tiden och att se dess betydelse för individ och samhälle. I historikavsnitten ser vi matematiken ur ett historiskt perspektiv och tar del av levnadsbeskrivningar av personer som betytt mycket för matematikens utveckling. Vi belyser även att matematiken har utvecklats ur såväl praktiska behov som ur människors nyfikenhet och lust att utforska den. Det ger eleven möjlighet att utveckla förmågan att relatera matematiken till dess betydelse och användning i ett samhälleligt och historiskt sammanhang. Varje historikavsnitt avslutas med någon eller några uppgifter som anknyter till det centrala innehållet: ”Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria”.
Det finns ingen kungsväg Det här historikavsnittet anknyter främst till det centrala innehåll som behandlar satser och bevis. Ett sätt att arbeta med avsnittet är att låta eleverna läsa texten och förklara eller illustrera vad Euklides menar med de axiom som nämns. Uppgiften kan utvidgas till följande axiom, också de hämtade från Euklides Elementa: • Storheter som är lika med en och samma storhet är sinsemellan lika. • När man adderar lika storheter till lika storheter, så blir även summorna lika storheter. • När lika storheter subtraheras från lika storheter, så blir även resterna lika storheter. • Det hela är större än sin del. I slutet av texten återges en anekdot om hur Euklides ska ha reagerat på en fråga om nyttan med geometrin. Låt eleverna diskutera hur man ska tolka Euklides svar och låt eleverna själva komma med svar på frågan.
lärarguide matematik origo c geometri och bevis
287