9789144108704

Statistisk DATAANALYS

Svante Kรถrner och Lars Wahlgren

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access .

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av ­a llmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till ­upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 2052 ISBN 978-91-44-10870-4 Upplaga 5:1 © Författarna och Studentlitteratur 1983, 2015 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Jens Martin, Signalera Omslagsillustration: VIGE.CO/Shutterstock

Printed by Mediapool Print Syd AB, Estonia 2015

Kap00r

15-10-26 07.51

Innehåll

Före tal

7

Del I: Sannolikhetslära 1 Introduktion 11 1.1 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen 1.2 Sannolikhet och relativ frekvens 14 1.3 Subjektiv sannolikhet 16 1.4 Odds 17 1.5 Mängdlära 18 1.6 Kombinatorik 24

11

2 Sannolikhetsbegreppet 33 2.1 Slumpförsök, utfallsrum, händelse 33 2.2 Sannolikheten för en händelse 36 2.3 Slumpförsök med två händelser 42 2.4 Betingade sannolikheter. Bayes sats 49 2.5 Oberoende händelser 59 2.6 Urval med och utan återläggning 63 3 Diskret slumpvariabel 75 3.1 Sannolikhetsfördelning 75 3.2 Väntevärde och varians 78 3.3 Linjär variabeltransformation 83 3.4 Tvåpunktsfördelad variabel 85 3.5 Binomialfördelning 86 3.6 Poissonfördelning 91 3.7 ffg-fördelning 93 3.8 Hypergeometrisk fördelning 94

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

3

Kap00r

15-10-26 07.51

4 Tvådimensionell slumpvariabel 100 4.1 Simultan sannolikhetsfördelning 100 4.2 Betingad sannolikhetsfördelning 102 4.3 Oberoende slumpvariabler 103 4.4 Kovarians och korrelation 104 4.5 Linjära kombinationer 106 4.6 Trinomial fördelning 108 5 Normalfördelning 116 5.1 Kontinuerlig slumpvariabel 116 5.2 Normalfördelning – förekomst, egenskaper, beräkningsteknik 118 5.3 Sannolikhetsfördelningen för stickprovsmedelvärden och summor – centrala gränsvärdessatsen 128 5.4 Normalapproximation av binomialfördelningen 137

Del II: Statistisk slutledning 6 Slumpmässigt urval och punktskattning 145 6.1 Varför urval? 145 6.2 Enkelt slumpmässigt urval 146 6.3 Väntevärdesriktiga punktskattningar och bias 6.4 Effektiva skattningar 151 6.5 Medelfel och statistisk felmarginal 155 6.6 Svarsbortfall 156

148

7 Intervallskattning 162 7.1 Konfidensintervall för populationens medelvärde  162 7.2 Konfidensintervall för populationens andel  169 7.3 Den statistiska felmarginalen 171 7.4 Stickprovets storlek 172 7.5 Konfidensintervall vid jämförelser 174 7.6 Ensidiga konfidensintervall 184 8 Hypotesprövning 188 8.1 Klassisk hypotesprövning steg för steg 197 8.2 Mer om klassisk hypotesprövning 202 8.3 Hypotesprövning med p-värde 213 8.4 Mer om hypotesprövning av medelvärden 216 8.5 Hypotesprövning av proportionstal 221 8.6 Hypotesprövning vid jämförelser 226 8.7 Hypotesprövning är svårt! 237 4

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

Kap00r

15-10-26 07.51

9 Analys av frekvenstabeller 243 9.1 Analys av enkla frekvenstabeller 243 9.2 Jämförelse mellan en observerad och en anpassad fördelning 251 9.3 Analys av korstabeller 254 9.4 Analys av fyrfältstabeller 258 9.5 Relativ risk och oddskvot 267

Del III: Med mera . . .

10 Beslutsteori 279 10.1 B-tabell, strategier, framtiden 280 10.2 Beslut under säkerhet 281 10.3 Beslut under osäkerhet 282 10.4 Beslut under risk 288 10.5 Nollsummespel för två personer 298 10.6 Beslutsträd 300 10.7 Nyttoteori 306 10.8 Bestämning av marknadsandelar 309 11 Urval från ändliga populationer 315 11.1 Enkelt slumpmässigt urval 315 11.2 Stratifierat urval 324 12 Icke-parametriska metoder 338 12.1 Teckentest 339 12.2 Mann-Whitneys test 347 12.3 Wilcoxons teckenrangtest 357 12.4 Kruskal-Wallis test 362 12.5 Spearmans rangkorrelation 365 13 Enkel linjär regression 369 13.1 Stickprovets regressionslinje 370 13.2 ANOVA-tablån 372 13.3 Den linjära regressionsmodellen 376 13.4 Skattning och test av  och  378 13.5 Skattning med regressionslinjen 385 13.6 Residualanalys 391

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

5

Kap00r

15-10-26 07.51

14 Mer om regression 396 14.1 Linjär regression med två förklarande variabler 396 14.2 Något om linjär regression med flera förklarande variabler 14.3 Dummy-variabel – dikotom förklarande variabel 410 14.4 Icke-linjära samband 412 14.5 Logistisk regression 420

408

15 Analys av varianser. Ensidig variansanalys 433 15.1 Analys av varianser 433 15.2 Ensidig variansanalys 441 Svar till övningsuppgifter Sakregister

6

456

473

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

Kap08r

15-10-25 09.54

8 Hypotesprövning

Statistisk hypotesprövning innebär att man med hjälp av slumpmässiga urval bedömer trovärdigheten i hypoteser – antaganden – angående populationen. I detta kapitel möter vi samma försökssituationer som i föregående kapitel. Detta är inte en slump! Vi ska snart se att det finns ett nära samband mellan begreppen intervallskattning och hypotesprövning.

Exempel 1 – Skillnaden ligger inom felmarginalen Som du nog kommer ihåg hade Åsiktspartiet en avsevärd framgång vid senaste valet. Partiet fick faktiskt 20 procent av de avgivna rösterna, vilket inte är dåligt för ett nytt parti helt utan program. Men hur såg det ut åtta månader senare. Hade det skett en förändring av andelen sympatisörer i väljarkåren?

För att få de här frågorna besvarade genomfördes en partisympatiundersökning. Den omfattade 900 slumpmässigt valda personer, som fick besvara frågan: Vilket parti skulle du rösta på om det vore val idag? Det visade sig att 22 procent svarade Åsiktspartiet.

Vilka slutsatser kan vi dra från denna undersökning?

Låt oss först granska den information vi har tillgång till. Då konstaterar vi att valresultatet i praktiken kan uppfattas som en totalundersökning av populationen, dvs. hela väljarkåren. Det finns alltså inget slumpmässigt fel i värdet 20 procent.

Med den partisympatiundersökning som görs åtta månader senare förhåller det sig på ett annat sätt. Då är det fråga om en urvalsundersökning och resultatet beror på vilka individer som råkat komma med i urvalet, dvs. på slumpen. I denna undersökning har vi fått värdet 22 procent. I en annan undersökning hade vi kanske fått värdet 21 procent eller 18 procent.

Frågan kan nu formuleras så här: Ger undersökningsresultatet stöd för hypotesen att andelen sympatisörer har ändrats sedan valet? Vi kan också uttrycka det så här: Är skillnaden så stor mellan stickprovsresultatet och 188

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

Kap08r

15-10-25 09.54

valresultatet att den tyder på opinionsförändringar i väljarkåren? Eller är skillnaden så liten att den helt enkelt kan bero på slumpen?

Vad som menas med en stor eller liten skillnad är naturligtvis en definitionsfråga. Så här kan man resonera: När vi åtta månader efter valet punktskattar den okända andelen sympatisörer med p = 0,22 är den statistiska felmarginalen 1,96 

p  1  p  0,22  0,78  1,96   0,027 n 900

dvs. 2,7 procentenheter. Så stor kan alltså slumpvariationen vara med ett stickprov av denna storlek.

Skillnaden mellan det nu uppskattade värdet 22 procent och valresultatet 20 procent är 2 procentenheter, vilket är mindre än den statistiska felmarginalen. Det betyder att den skillnad vi fått mycket väl kan bero på slumpen. Skillnaden behöver alltså inte bero på någon förändring av Åsiktspartiets popularitet i väljarkåren. Någon statistiskt säkerställd förändring i populationen kan därför inte konstateras.

Men, dra nu inga förhastade slutsatser! En skillnad, som inte är statistiskt säkerställd, kan bero på slumpen! Men vi har för den skull inte påstått att skillnaden helt och hållet måste bero på slumpen! En förändring kan ha ägt rum, men om det är så har den inte varit möjlig att statistiskt säkerställa med hjälp av detta stickprov.

Vilka slutsatser kan vi dra från denna undersökning? Så löd den inledande frågan. Vårt svar är inte alltför imponerande: Strängt taget inga alls! Vi kan varken påstå att andelen sympatisörer har ändrats eller är oförändrad!

Men det svaret är nog vår arbetsgivare, som dyrt fått betala undersökningen, inte särskilt nöjd med. Därför säger vi istället att skillnaden ligger inom den statistiska felmarginalen. Den är alltså inte signifikant eller statistiskt säkerställd.

Det svaret gör genast ett mer seriöst intryck, eller hur?

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

189

Kap08r

15-10-25 09.54

Exempel 2 – Statistiskt säkerställd eller signifikant skillnad Låt oss fortsätta med vår tidigare partisympatiundersökning. Nu tänker vi oss istället att 216 av de 900 tillfrågade svarade att skulle ha röstat på Åsiktspartiet. Vilka slutsatser kan vi då dra?

Detta är faktiskt en helt annan situation! Den statistiska felmarginalen i punktskattningen (som är 24 procent) blir med dessa nya värden ungefär 2,8 procentenheter (räkna själv ut detta!). Skillnaden mellan det uppskattade värdet 24 procent och valresultatet 20 procent är 4 procentenheter, dvs. betydligt större än den statistiska felmarginalen. Precis som tidigare kan så klart en del (och till och med en stor del) av denna skillnad bero på slumpen – men det är inte troligt att hela skillnaden gör det! Därför säger vi att det finns en statistiskt säkerställd eller signifikant skillnad. Vårt svar till beställaren av undersökningen blir alltså att det har skett en förändring av Åsiktspartiets popularitet i väljarkåren.

Man ska vara varsam med orden, inte minst när man sysslar med statistisk hypotesprövning. Då är nyanserna ofta betydelsefulla. När man i massmedia kommenterar resultat från väljarundersökningar uttrycker man sig nästan genomgående slarvigt och tyvärr direkt vilseledande. För vår undersökning skulle nog de flesta skribenter nämna att skillnaden är 4 procent och därefter påpeka att skillnaden (bestämd form) är statistiskt säkerställd. Men det är inte statistiskt säkerställt att skillnaden är 4 procentenheter! Det som är statistiskt säkerställt är att det finns en skillnad – en förändring i väljarkåren – men inte hur stor denna förändring är.

Exempel 3 – Statistisk kvalitetskontroll Ett postorderföretag importerar och säljer strumpor till en fast kundkrets.

Nu har man kommit i kontakt med en ny tillverkare som erbjuder strumpor i stora partier till mycket förmånliga priser. Men man misstänker att en del av strumporna är av dålig kvalitet och därför inte går att sälja vidare och dessutom att det kan vara stora skillnader mellan olika partier. Tillverkaren garanterar att inget parti innehåller mer än 5 procent osäljbara strumpor – men vågar man lita på denna garanti?

Strumporna är alltså billiga att köpa in så istället för att kontrollera varje strumpa, vilket tar tid och blir relativt dyrbart, bestämmer man sig för att göra en stickprovsmässig kontroll av produktionen under en dag. Slumpmässigt väljer man 50 strumpor. Det visar sig att 7 av dessa inte motsvarar de krav man har. Kan man lita på tillverkarens garanti?

190

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

Kap08r

15-10-25 09.54

De flesta är nog beredda att direkt svara nej. 7 dåliga stumpor av 50 testade är hela 14 procent. Det inger inte förtroende! Men låt oss trots detta visa god vilja (strumporna är ju så billiga!) och för ett ögonblick anta att garantin faktiskt är uppfylld, dvs. att högst 5 procent är dåliga strumpor i det stora parti som vi gjort urvalet från. Vad är då sannolikheten att ha en sån otur som vi faktiskt har haft?

Det är lätt att räkna ut! Vi antar alltså att andelen dåliga strumpor i hela partiet är 5 procent och att X är antalet dåliga strumpor i urvalet. Då är X binomialfördelad med n  50 och   0,05 och approximativt Poissonfördelad variabel med   50  0,05  2,5. Sannolikheten att få minst 7 dåliga strumpor blir alltså

Pr  X  7   1  Pr  X  6   1  0,9858  1,42 % Som vi ser är det en ganska liten sannolikhet att få så många dåliga strumpor som vi faktiskt fått i vårt stickprov, om andelen dåliga strumpor i det undersökta partiet är 5 procent (vilket är vår hypotes).

Vilka slutsatser kan vi nu dra? Här är två förslag: 1) Garantin är uppfylld men vi har haft otur – något rätt osannolikt har inträffat. 1,4 procent är ju en ganska liten sannolikhet.

2) Andelen dåliga strumpor i hela partiet är inte 5 procent utan troligen större än 5 procent. Detta förklarar varför vi fått så många dåliga strumpor i vårt urval. Garantin är inte uppfylld.

Nog är den andra slutsatsen mer rimlig än den första? Visst inträffar också osannolika händelser då och då – någon vinner ju högsta vinsten! Men här verkar det nog klokast att dra slutsatsen att andelen dåliga strumpor i hela partiet är för hög.

I våra beräkningar har vi arbetat med hypotesen att andelen dåliga strumpor i hela partiet är 5 procent. Utfallet i stickprovet och vår sannolikhetsberäkning tyder på att detta antagande är felaktig. Vi förkastar därför hypotesen att andelen dåliga strumpor är 5 procent. Det innebär att vi drar slutsatsen att andelen dåliga strumpor är större än 5 procent.

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

191

Kap08r

15-10-25 09.54

Exempel 4 – Mer om statistisk kvalitetskontroll Vi fortsätter berättelsen om postorderföretaget. Som tur är har man hittat en annan tillverkare, vars produktion tycks hålla betydligt högre kvalitet.

Trots detta vill man göra stickprovsmässiga kontroller av de partier man köper in. Eftersom detta är en process som ofta upprepas har man kommit överens om följande enkla rutiner: Från varje parti som eventuellt ska inköpas väljer man slumpmässigt 10 strumpor som kontrolleras. Om alla stumpor i urvalet visar sig vara felfria accepterar man hela partiet, dvs. köper in det. Om minst en strumpa är defekt förkastar man hela partiet.

Vad är sannolikheten att man förkastar ett parti där 1 procent av strumporna är defekta?

Svar: 1  0,9910  0,096  9,6 % Detta är risken att producenten inte får sälja sin produkt trots att den håller skaplig kvalitet. Sannolikheten kallas följaktligen producentrisken.

Men vad är sannolikheten att köparen accepterar ett parti där 10 procent av strumporna är defekta?

Jo: 0,9010  0,349  34,9 % Mycket riktigt kallas denna sannolikhet konsumentrisken. Man köper ju partiet trots att 10 procent av strumporna är defekta.

Exempel 5 – Är myntet symmetriskt?

Vi vill undersöka om ett mynt är symmetriskt. Vad som menas med symmetri i detta sammanhang kan naturligtvis diskuteras. Men vi gör det enkelt för oss! Vi låter symmetri betyda att utfallen krona och klave förekommer lika ofta om vi kastar många gånger. Myntet är alltså symmetriskt om Pr(krona) = Pr(klave) = 0,5.

Vår undersökning innebär att vi kastar myntet 400 gånger och noterar antalet krona (X). De 400 kasten kan vi uppfatta som ett slumpmässigt urval bland de oändligt många kast som det är möjligt att göra. Om myntet är symmetriskt väntar vi oss cirka 200 krona i 400 kast. En viss avvikelse från detta väntevärde kan slumpen åstadkomma, även om myntet är symmetriskt. En stor avvikelse däremot tyder på att myntet är skevt (inte symmetriskt).

192

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

Kap08r

15-10-25 09.54

Vilken slutsats drar vi om slumpvariabeln X antar värdet a) 398

b) 75

c) 248

d) 205

Utan att göra några beräkningar kan vi nog inse att utfallen 398 och 75 inte är förenliga med hypotesen att myntet är symmetriskt. Men var går gränsen? Man kan resonera så här: Om myntet är symmetriskt gäller att X är Bi(n = 400;  = 0,5).

Det innebär att

E  X   400  0,5  200

Var( X )  400  0,5  0,5  100

 X  100  10 Med mycket god approximation gäller också att X är Nf( = 200;  = 10) För en godtycklig normalfördelning gäller att 95 procent av fördelningen ligger i intervallet

  1,96   För variabeln X gäller speciellt Pr 200  1,96  10  X  200  1,96  10    Pr 180  X  220   95 %

En möjlig beslutsregel kan därför formuleras så här: 1) Förkasta hypotesen att myntet är symmetriskt om antalet krona antar ett värde utanför intervallet (181, 219) 2) Förkasta inte hypotesen för värden inom intervallet (181, 219) Med denna beslutsregel blir risken att förkasta hypotesen när den är korrekt cirka 5 procent, vilket – om myntet är symmetriskt – är sannolikheten att få ett värde utanför det givna intervallet.

Vi löper naturligtvis också en risk att inte förkasta hypotesen när den är felaktig. Även när myntet är skevt kan slumpen åstadkomma att vi får krona mellan 181 och 219 gånger i 400 kast. Hur stor är risken för detta?

Svaret beror på vad den korrekta sannolikheten för krona är. Risken att inte förkasta – den då felaktiga – hypotesen är så stor som 48 procent om sannolikheten för krona är 0,45. Så här räknar man ut detta: © FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

193

Kap08r

15-10-25 09.54

Om sannolikheten för krona är 0,45 gäller att X är Bi(n = 400;  = 0,45).

Det innebär att

E  X   400  0,45  180

Var ( X )  400  0,45  0,55  99

 X  99  9,95 Med mycket god approximation gäller också att X är Nf( = 180;  = 9,95) Vi söker 219,5  180   180,5  180 Pr 181  X  219   Pr  Z  9,95 9,95    Pr 0,05  Z  3,97   1  0,5199  48 %

Risken att inte förkasta hypotesen att myntet är symmetriskt sjunker till 1,8 procent om sannolikheten för krona är 0,4. Ju mer skevt myntet är desto mindre är alltså risken att inte förkasta hypotesen att det är symmetriskt.

Detta förefaller helt logiskt. Ju större skevhet det är i myntet desto troligare bör det vara att vi upptäcker detta.

För att illustrera vårt resonemang gjorde vi tre simuleringsförsök. Först fick datorn kasta 400 gånger med ett mynt för vilket sannolikheten för krona var 0,45. Detta försök upprepades 2 000 gånger och för varje kastserie beräknades antalet krona. Därefter upprepades försöket 2 000 gånger med ett mynt med sannolikheten 0,40 och slutligen ytterligare 2 000 gånger med ett symmetriskt mynt.

Då sannolikheten för krona var 0,45 hamnade vi i intervallet (181, 219) i 935 av 2 000 kastserier, vilket motsvarar 46,75 procent. Då sannolikheten för krona var 0,40 fick vi i stället resultatet 37 av 2 000, dvs. 1,85 procent.

Som vi ser stämmer dessa resultat väl med motsvarande teoretiskt bestämda sannolikheter. För det symmetriska myntet hamnade vi utanför intervallet (181, 219) i 69 av 2 000 serier. Det motsvarar 3,45 procent, vilket ska jämföras med det teoretiska värdet 5 procent. Resultatet av de tre simuleringarna ser du på nästa sida.

Figuren illustrerar risken att fatta ett felaktigt beslut vid prövning av hypotesen att ett mynt är symmetriskt. Tre olika mynt används; sannolikheten för krona är 0,50, 0,45 respektive 0,40. I figuren återges resultatet av 2 000 upprepningar av försöket att kasta varje mynt 400 gånger.

194

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

140

160

170

Här förkastas hypotesen

150

MYNTET ÄR SKEVT: sannolikheten för krona är 0,40

MYNTET ÄR SKEVT: sannolikheten för krona är 0,45

För dessa utfall förkastas den korrekta hypotesen

180

200

210 Här accepteras hypotesen

190

För dessa utfall accepteras den felaktiga hypotesen

För dessa utfall accepteras den felaktiga hypotesen

MYNTET ÄR SYMMETRISKT: hypotesen är korrekt

220

Antal krona Här förkastas hypotesen

230

För dessa utfall förkastas den korrekta hypotesen

Kap08r 15-10-25 09.54

195

Kap08r

15-10-25 09.54

Vår diskussion och resultaten från simuleringsförsöken kan sammanfattas så här: När vi förkastar hypotesen att myntet är symmetriskt bedömer vi att myntet är skevt. Men vår bedömning kan vara felaktig – risken för detta är 5 procent med de beslutsregler vi har i vårt exempel.

När vi inte förkastar hypotesen innebär detta aldrig ett bevis av att den korrekt. Vi kan möjligen säga att det innebär att hypotesen inte är orimlig – men för den skull behöver den ju inte vara sann!

Men hur var det nu med rubrikens fråga: Är myntet symmetriskt?

Jo, den frågan finns det två svar på efter vår lilla undersökning: antingen nej eller vet ej. Men ja kan vi aldrig svara för med statistisk hypotesprövning är det omöjligt att visa att ett mynt är symmetriskt. Detta framgår av vår diskussion.

Tycker du att allt detta verkar invecklat? Ja, då kan du trösta dig med att du är i gott sällskap. Men – ge inte upp! Läs vidare så klarnar bilden successivt.

Övningsuppgifter 801 I ett val fick Pensionärspartiet 19 procent av rösterna. Ett år senare ville man ta reda på om andelen sympatisörer i väljarkåren hade ändrats. Därför genomfördes en partisympatiundersökning. 1847 slumpmässigt valda personer fick besvara frågan: Vilket parti skulle du rösta på om det vore val idag? Vilka slutsatser drar du från denna undersökning om antalet som svarade Pensionärspartiet var a) 323 b) 393 802 Under sex månader steg 40 procent av aktierna i värde på Stockholmsbörsen medan övriga aktier sjönk i värde. Av tio aktier som hade rekommenderats av rådgivningsföretaget Ekonomisk planering AB steg åtta i värde under perioden. a) Vad är sannolikheten att minst åtta av tio slumpmässigt valda aktier har stigit i värde under perioden? b) Vilka slutsatser kan man dra om rådgivningsföretagets skicklighet?

196

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

Kap08r

15-10-25 09.54

803 En grossist köper in glödlampor i stora partier. Istället för att kontrollera varje glödlampa gör han en stickprovsmässig kontroll av varje parti innan affären görs upp. 20 slumpmässigt valda glödlampor kontrolleras och om alla dessa fungerar köper han (accepterar) hela partiet. Finns det någon trasig glödlampa i urvalet avstår han från köp (förkastar partiet). a) Vad är sannolikheten att grossisten accepterar ett parti där 20 procent av lamporna inte fungerar? b) Vad är sannolikheten att grossisten förkastar ett parti där 5 procent av lamporna inte fungerar?

804 Låt X vara antalet erhållna krona vid 400 kast med ett mynt.

Beräkna Pr 181  X  219 om sannolikheten för krona i ett kast är 0,4.

8.1 Klassisk hypotesprövning steg för steg Tekniskt sett kan statistisk hypotesprövning genomföras på olika sätt. Vi börjar med klassisk hypotesprövning och diskuterar därefter p-värdesmetoden som idag i praktiken är helt dominerande.

Noll- och mothypotes Vid all hypotesprövning formulerar man en nollhypotes ( H 0 ) och ett alternativ till denna, en mothypotes ( H 1 ). Mothypotesen kan också kallas för alternativhypotes och betecknas H a . Prövningen leder till att man antingen förkastar nollhypotesen eller inte förkastar den. När man inte förkastar nollhypotesen säger man ibland att man accepterar nollhypotesen. I fortsättningen möter vi båda dessa formuleringar. Och vi kan redan nu avslöja att nästan hela detta kapitel handlar om vad dessa tekniska termer – att förkasta och att inte förkasta nollhypotesen – innebär i praktiken.

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

197

Kap08r

15-10-25 09.54

Exempel 6 Glödlampor, som tillverkas på ett visst sätt, har en lystid som kan beskrivas med en normalfördelning med medelvärdet 1600 timmar och standardavvikelsen 100 timmar.

Man planerar att justera produktionsprocessen. Leder justeringen till att den genomsnittliga lystiden för de producerade lamporna ökar?

Denna frågeställning kan sammanfattas med två hypoteser:

H 0 :   1600 H1 :   1600

 betecknar den genomsnittliga lystiden efter justering av produktionsprocessen. Nollhypotesen innebär att den genomsnittliga lystiden inte ändras (   1600 ). En nollhypotes innebär ofta just detta: noll = ingen förändring.

Mothypotesen anger att en ökning har ägt rum (   1600 ). Detta är en ensidig mothypotes. Den omfattar bara ett av två möjliga alternativ.

Alternativet   1600 har uteslutits därför att vi förutsätter att justeringen inte ger sämre kvalitet på glödlamporna.

Testfunktion När produktionsprocessen har justerats ska vi slumpmässigt välja n lampor ur den nya produktionen. Medellystiden för lamporna i stickprovet betecknas X och är en slumpvariabel med väntevärdet .

Om nollhypotesen H 0 :   1600 är sann är det troligt att stickprovsmedelvärdet x i ett konkret stickprov antar ett värde nära 1600. Det innebär att differensen x  1600 antar ett värde nära noll.

Om mothypotesen H1 :   1600 är sann är det istället troligt att stickprovsmedelvärdet x är större än 1600, dvs. att differensen x  1600 är positiv.

198

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

Kap08r

15-10-25 09.54

Slutsatsen av detta resonemang bör då bli:  förkasta nollhypotesen till förmån för mothypotesen, om stickprovsmedelvärdet är mycket större än det hypotetiska medelvärdet 1600, dvs. om differensen x  1600 är ett stort positivt tal  förkasta inte nollhypotesen om stickprovsmedelvärdet är ungefär lika med det hypotetiska medelvärdet, dvs. om differensen x  1600 är nära noll Vad menas med uttrycken mycket större än och ungefär lika med? Den frågan besvarar vi genom att överföra hela resonemanget till en testvariabel eller testfunktion. Den får vi fram med följande resonemang.

Lystiden är normalfördelad med väntevärdet  , som är okänt efter justeringen, och standardavvikelsen   100, som vi antar inte påverkas av justeringen.

Därför är medellystiden X i ett slumpmässigt stickprov normalfördelad Det med väntevärdet  och standardavvikelsen  / n  100 / n . innebär att uttrycket

Z

X 

/ n



X  100 / n

är en standardiserad normalfördelad variabel. Om nollhypotesen är sann är dessutom   1600 . Sätter vi in detta värde får vi

Z

X  1600 100 / n

Detta uttryck är vår testfunktion.

Genom att byta ut X mot det observerade värdet x får vi testfunktionens observerade värde.

Om nollhypotesen är sann är testfunktionen normalfördelad med väntevärdet noll och standardavvikelsen ett.

Om nollhypotesen är felaktig är väntevärdet av X större än 1600 och testfunktionens väntevärde större än noll. För stora positiva värden på testfunktionen är det därför naturligt att förkasta nollhypotesen. Då drar vi alltså slutsatsen att den genomsnittliga lystiden har ökat.

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

199

Kap08r

15-10-25 09.54

Signifikansnivå. Kritiskt område Var ska gränsen för förkastande av nollhypotesen sättas? Denna gräns bestäms genom signifikansnivån, som är risken att förkasta nollhypotesen när den är sann. Självklart ska denna risk, som brukar betecknas med den grekiska bokstaven  , vara liten men det är omöjligt att helt eliminera den. Vanliga värden på  är 5 procent, 1 procent och 0,1 procent. Vid klassisk hypotesprövning bestäms alltid värdet på  innan urvalet görs.

När vi har beslutat oss för ett visst värde på  blir nästa steg att ange för vilka värden på testfunktionen som nollhypotesen ska förkastas. Dessa värden bildar det kritiska området. Komplementet till det kritiska området kallas acceptansområde.

Anta att signifikansnivån har bestämts till 5 procent. Nollhypotesen ska förkastas för stora positiva värden på testfunktionen. En tabell över den standardiserade normalfördelningen visar att 5 procent av fördelningen faller över värdet 1,64. Vid signifikansnivån 5 procent ska alltså nollhypotesen förkastas om testfunktionens observerade värde överstiger det kritiska värdet 1,64. För tydlighetens skull skriver vi z krit  1,64. För värden mindre än 1,64 kan nollhypotesen inte förkastas.

5%

Acceptansområde

200

1,64

Kritiskt område

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

Kap08r

15-10-25 09.54

Stickprov. Beräkningar. Slutsatser Vi tar nu ett stickprov. Vi mäter lystiden för 25 nytillverkade lampor och beräknar medelvärdet till x  1638 . Testfunktionens observerade värde blir z obs 

1638  1600 100 / 25

 1,90  1,64

Eftersom det observerade värdet z obs  1,90 är större än det kritiska värdet z krit  1,64 ska nollhypotesen förkastas till förmån för mothypotesen. Vi drar därför slutsatsen att justeringen av processen har ökat den genomsnittliga lystiden.

Tips: Rita en normalfördelningskurva och markera det kritiska och det observerade värdet. Då ser man tydligt om nollhypotesen ska förkastas eller inte.

Ibland säger man att den genomsnittliga lystiden har ökat signifikant. Det statistiska fackuttrycket signifikant betyder att man med ett signifikanstest har fastställt att en ökning har skett. Ordet signifikant säger dock inget om hur stor denna ökning är.

Övningsuppgift 805 En variabel är normalfördelad med standardavvikelsen 20. Vi vill undersöka om populationsmedelvärdet är större än 120 och tänker därför ta ett stickprov med 100 observationer. Signifikansnivån ska vara 5 procent. a) Formulera hypoteserna. b) Vilken testfunktion ska vi använda? c) Vilken fördelning följer testfunktionen om nollhypotesen är sann? d) Ange det kritiska området. e) Vi tar ett stickprov. Medelvärdet blir 123,8. Vilka slutsatser kan vi dra?

© FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

201

Svante Körner och Lars Wahlgren är lärare på statistiska institutionen vid Lunds universitet och välkända läromedelsförfattare.

Statistisk DATAANALYS Den här boken handlar om sannolikhetslära, statistisk slutledning med mera…

Statistik kan presenteras på olika sätt. Här sker det med exempel och praktiska tillämpningar och utan onödig krånglig matematik.

De övningsuppgifter som finns i varje kapitel är välstrukturerade.

För den som vill ha lite extra tips hur man löser bokens övningsuppgifter finns sådana att ladda ner från bokens webbsida.

Därför fungerar boken bra även för den som vill lära sig statistik på egen hand.

Statistik upplevs av många som svårt och tråkigt. Med denna bok som blivit en modern klassiker visar författarna ännu en gång att statistik kan både vara lätt och roligt. www.studentlitteratur.se/dataanalys

Femte upplagan

Art.nr 2052

www.studentlitteratur.se