on unness Jonas Sj rรถm Holmst in t r a M dhamre Eva Sme
ISBN 978-91-47-08556-9 © 2011 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare och redaktör: Anders Ankarberg och Sara Ramsfeldt Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting, Malmö Tryck: Graphycems, Spanien 2011
BILDFÖRTECKNING Omslagsfoto: Omslagsfoto: Science Photo Library/IBL Bildbyrå 111ö, 113 Matton Images 111 n Jean-Gabriel Leynaud/ Witness/IBL 115 Nicki Twang/Scanpix
Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/ universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
133 Camilla Cherry/Scanpix 141 Leif R Jansson/Scanpix 165 Res Features/IBL Bildbyrå 171 Matton Images 37 The Art Archive/Musée du Louvre Paris/Gianni Dagli Orti 43 Elvig Hansen/Biofoto/Scanpix
72 Mujo Korach/IBL Bildbyrå 76 Sven Hagolani/Corbis/Scanpix 210 Shutterstock 211 Elan Fleisher/LOOK/IBL bildbyrå 231 Johan Nilsson/Scanpix
Till elever och lärare Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 1c och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. Exempel
Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna!
!
Definition: R
!
Sats: Vertikalv
Tydliga rutor med rubrikerna Definition och Sats, samt regelrutor återkommer genom hela boken.
! Antalet värdesiffro
AKTIVITET
Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på uppgiftsnumren. Grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu svårare. I aktiviteter får du använda matematiken i ett praktiskt sammanhang eller i uppgifter av spelkaraktär. Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband.
DIGITALA RUTAN
I digitala rutan får du använda olika digitala verktyg för att lösa problem.
TEST
Varje kapitel avslutas med ett test i två delar, varav en utan räknare. .
Tankenöt
Tankenötter ger extra stimulans. Lycka till med kursen! Författarna
3
innehåll 1
Taluppfattning och aritmetik
1.9 Avrundning 50
Upptäck & visa: Differens och summa av några bråk 53 Aktivitet: Spetstal 54
Indelning av tal 8
1.1 Implikation och ekvivalens 9 Implikation 9 Ekvivalens 9 1.2 Definition, sats och bevis 11 Definition 11 Sats 11 Bevis 12 1.3 Negativa tal 13 Motsatta tal 13
Addition av ett negativt tal 14 Subtraktion av ett negativt tal 14 Multiplikation och division med negativa tal 15
1.4 Primtal 18
Primtalsfaktorisering 18 1.5 Tal i bråkform 23 Bråkbegreppet 23
Addition och subtraktion av bråk 26 Multiplikation och division av bråk 28
1.6 Potenser 31
Potenser med positiv exponent 31 Potenser med negativ exponent och exponenten noll 34 Potenser med rationell exponent 36 1.7 Positionssystemet och olika talbaser 38 Det decimala talsystemet 38 Det binära talsystemet 38 Det hexadecimala talsystemet 41 Digitala rutan: Binära tal 43 1.8 Tiopotenser och prefix 45 Tiopotenser 46 Prefix 48
4
Sammanfattning 55 test 1 57 Blandade uppgifter 59
2
Algebra och ekvationer
2.1 Räknelagar 64
Kommutativa lagarna 64 Prioriteringsreglerna 64 Distributiva lagen 65 Ta bort parenteser 65 2.2 Uttryck 68 2.3 Formler 71 2.4 Förenklingar av uttryck 74 2.5 Faktorisering 77 2.6 Ekvationer 79
Ekvation och uttryck, hur hör de ihop? 80 Ekvationer med nämnare 85 Potensekvationer 88 Andragradsekvationer 89 Problemlösning med ekvationer 92 2.7 Omskrivning av formler 95 2.8 Olikheter 99
Upptäck & visa: Magiska kvadrater 102 Digitala rutan: Intervallhalveringsmetoden 103 Aktivitet 104 Sammanfattning 105
test 2 107
Blandade uppgifter 109
3
GEOMETRI
3.1 Geometriska satser och bevis 114 Vinklar och trianglar 114 Geometriska bevis med vinklar 118 Kommer du ihåg? 120 Teckna geometriska uttryck 122
Aktivitet: Månghörningar och diagonaler 124 Geometriska bevis med area och volym 125 Pythagoras sats 127
3.2 Likformighet och trigonometri 130 Likformighet 130 Trigonometri 134 Sinus 134 Cosinus och tangens 138 Digitala rutan: Trigonometri 142 Bestämma vinklar 143 3.3 Vektorer 146
Vad är en vektor? 146 Addition och subtraktion av vektorer 150 Vektorer i koordinatsystem 157 3.4 Vektorer och trigonometri 161 Upptäck & visa: Trianglar 165
Sammanfattning 166 test 3 168 Blandade uppgifter 170
4
Samband och förändring
4.1 Procent 176
Procentbegreppet och tre problemtyper 176 Promille och ppm 180 Procentenheter 183 Förändringsfaktor 186 Index 191 Konsumentprisindex 192 Lån och sparande 194 4.2 Funktionsbegreppet 198
Definitionsmängd och värdemängd 203 4.3 Linjära funktioner 206
4.4 Proportionalitet 211
Andra proportionaliteter 215 4.5 Potensfunktioner 218 4.6 Exponentialfunktioner 220 Aktivitet: Studsbollen 224 4.7 Grafiska lösningar 225
Upptäck & visa: Folkmängd 231 Digitala rutan: Nollställe till andragradsfunktion 232 Sammanfattning 233
test 4 236
Blandade uppgifter 239
5
Sannolikhet och statistik
5.1 Hur stor är chansen? 246 5.2 Oberoende händelser 249 5.3 Händelser i flera steg 254
Oberoende händelser i flera steg 254 Beroende händelser i flera steg 258 Komplementhändelse 261 5.4 Hur ofta inträffar en händelse? 263 Aktivitet: Monty Hall-problemet 267 Digitala rutan: Kasta häftstift 268 5.5 Statistik i samhälle och vetenskap 269 Linjediagram 269 Stapel- och stolpdiagram 269 Cirkeldiagram 270 Histogram 270 5.6 Vilseledande statistik 278 5.7 Några statistiska lägesmått 280 Upptäck & visa: Trafikljus 284
Sammanfattning 285 test 5 286 Blandade uppgifter 288 Facit 292 Sakregister 316
5
Mål Här får du lära dig: • använda begreppen definition, sats och bevis i geometriska sammanhang • hantera trigonometriska procedurer och använda dem i verkliga sammanhang • utföra beräkningar av vinklar och längder i rätvinkliga trianglar med och utan digitala verktyg • egenskaper hos vektorer • metoder för beräkningar med vektorer både utanför och i koordinatsystem • tolka verkliga situationer och välja lämpliga metoder för att lösa matematiska problem • argumentera och motivera utifrån dina kunskaper om begreppen i kapitlet
3 Geometri M
atematik är en mänsklig konstruktion och geometrin utvecklades för att lösa de praktiska behov som uppstod ur bland annat lantmäteri, konstruktion och astronomi. Människans nyfikenhet och vilja att lära sig mer är också en ständig drivkraft bakom matematisk utveckling och användning av matematiken. Det var förmodligen nyfikenheten som låg bakom när vetenskapsmannen Erathostenes (276–194 f Kr) med enkla metoder och geometriska beräkningar lyckades få fram ett värde på jordens omkrets. Erathostenes bodde i Alexandria men hade hört talas om en märklig djup brunn i staden Syene (nuvarande Aswan). Om man tittade ner i brunnen mitt på dagen på midsommardagen, kunde man se solen reflekteras i vattnet. Det betydde att solen i Syene då stod rakt upp på himlen, i zenit. H d = R D
a α
R
r tråla ns s
H sole
d Alexandria
När Eratosthenes blev medveten om fenomenet insåg han att han skulle kunna använda sig av det för att bli den första att beräkna jordens omkrets. Hemligheten var att skapa två likformiga trianglar där en okänd sida skulle vara jordens radie. För att göra det använde sig Erathostenes av en hög obelisk som fanns i Alexandria. Precis mitt på dagen på midsommardagen, då solen stod rakt ovanför brunnen i Syene, mätte Erastothenes skuggan från obelisken i Alexandria. Skuggans längd och obeliskens längd fick utgöra två sidor i den ena triangeln. Motsvarande sidor i den andra triangeln var jordens radie och avståndet mellan Syene och Alexandria. Avståndet mellan Syene och Alexandria fick han reda på genom att fråga rutinerade kameldrivare. Med hjälp av likformighet kunde han räkna ut jordens radie och sen jordens omkrets.
Begrepp definition sats bevis vinkelsumma rätvinklig triangel Pythagoras sats likformighet trigonometri sinus cosinus tangens skalär vektor koordinatsystem
Erathostenes beräkning av jordens omkrets för mer än 2000 år sedan är helt fantastisk. Med hjälp av dagens mer exakta metoder för att mäta jordens radie, vet vi att felet i hans beräkning bara var 10 %.
D Syene
α
GEOMETRI
113
KAPITEL 3
3.1 Geometriska satser och bevis Euklides var en av antikens största vetenskapsmän. Han införde bevisföring som modell i sin geometriska sammanställning Elementa ca 300 f Kr. I matematisk bevisföring används i nutid liknande metoder, där logiska resonemang är centrala och varje steg i härledningen är tydligt motiverat. Geometrin är ett område där begreppen definition, sats och bevis blir extra användbara.
Vinklar och trianglar
En vinkel kan ses som en vridning mellan två vinkelben, som t ex visarna på en klocka. Storleken på vridningen mäts i grader.
!
Definition
En rak vinkel, ett halvt varv, är 180°.
180°
Hälften av en rak vinkel kallas en rät vinkel och är 90°.
90°
Vi utgår från figuren nedan till höger, där linjerna L1 och L2 är parallella, för att definiera ytterligare några begrepp.
!
Definition z
w och v är vertikalvinklar u och w är likbelägna vinklar v och u är alternatvinklar z och w är sidovinklar
Följande samband gäller för vinklarna.
!
Sats: Fyra vinkelsamband
Vertikalvinklar: w = v Likbelägna vinklar: u = w Alternatvinklar: u = v Sidovinklar: w + z = 180°
114
3.1 Geometriska satser och bevis
v u
w
L1
L2
KAPITEL 3
Vi ska nu bevisa två satser. När man genomför ett bevis måste varje steg motiveras med t ex en definition eller en sats som tidigare visats. Bevisning kallas det bara när du visar att något gäller generellt. Man brukar avsluta med att skriva v.s.b. som står för ”vilket skulle bevisas”.
Bevis 1:
Bevisa att satsen v = u gäller
Alternatvinklar
v = w (vertikalvinklar)
v
u = w (likbelägna)
u
Detta medför att v = u v.s.b
Bevis 2:
Bevisa att vinkelsumman i en triangel är 180°
Triangelns vinkelsumma
x w
u
w
L
y
Linjen L är parallell v
med triangelns bas.
w = x och v = y (alternatvinklar)
x + u + y = 180° (rak vinkel)
x+u+y=w+u+v⇒
⇒ w + u + v = 180° v.s.b.
!
Sats: Vinkelsumman i trianglar
Vinkelsumman i trianglar är alltid 180°.
80° 60°
40°
GEOMETRI
115
KAPITEL 3
3201 Figurerna är likformiga. Beräkna längden
av den sida som betecknats med x. a)
3205 Trianglarna är likformiga. Beräkna den
större triangelns omkrets.
(m)
(m)(m)
65
x x
5 5 15 15
30 30
b) x
(m)
(m)
10 9
x 8
9
24
8
12
12
3206 Fyrhörningarna är likformiga. Bestäm
arean av den minsta fyrhörningen.
3202 Skuggan av ett träd är 5,6 m och
45
samtidigt är skuggan av en 1,7 m hög käpp 0,75 m. Se figuren. Hur högt är trädet?
(mm)
25 60
(m)
48
3207 Rektanglarna är likformiga. I den
större rektangeln är diagonalen 104 cm. Beräkna den mindre rektangelns area.
1,7
(cm) 4
5,6
10
0,75
3203 Fyrhörningarna är likformiga. Hur stora
är sidorna i den större fyrhörningen?
(cm) y
16
x
12
z
4 14
96
3208 I en rätvinklig triangel ABC är de två
kortaste sidorna 54 cm och 72 cm. Vilken eller vilka av följande trianglar är likformig med triangeln ABC? 6
a)
35
84
8
9
3204 Är de två rektanglarna nedan
likformiga? Förklara hur du tänker. 22
(mm) 48
c)
275
216
132
3.2 Likformighet och trigonometri
15 (cm)
33 69
b)
KAPITEL 3
3209 Vi sätter ett ljus framför en konvex lins
och fångar upp en bild av ljuset på en skärm enligt figuren. Figuren visar att bilden blir förstorad och vänd uppoch-ned. Beräkna det avstånd som är markerat med x. 135 cm
med x i figuren?
(cm)
x
5,2 4,1
9,9
3211 Om vi drar en s.k. parallelltransversal (en
2 cm x
3210 Hur lång är den sträcka som markerats
7 cm
linje parallell med basen) i en triangel får vi en tringel i toppen (topptriangel) som är likformig med hela triangeln. a b
c d
Då gäller följande samband mellan a c sträckorna a, b, c och d: = . b d Sambandet kallas transversalsatsen: Bevisa sambandet med hjälp av likformighet.
GEOMETRI
133
KAPITEL 3
3233 En triangel har sidorna a och b samt
mellanliggande vinkel v. a
h
v b
3234 Från en punkt P på en 200 m hög klippa
observeras två skepp på havet. Skeppen befinner sig vid ett tillfälle i positionerna A och B. Siktvinklarna v och w mäts vid detta tillfället till w = 32° och v = 24°. Bestäm avståndet mellan skeppen. P
a) Teckna en formel för hur triangelns höjd beror av a och v. b) Teckna en formel för hur triangelns area beror av a, b och v.
(m)
v w
200 A
B
Tankenöt:
Bilden visar 3 tändstickor so m bildar en liksidig tria ngel. Kan du med 6 stickor bilda 4 liksidi ga trianglar?
GEOMETRI
141
KAPITEL 3
DIGITALA RUTAN
Trigonometri
1 Undersök med din räknare vad som händer med sinus, cosinus och tangens när vinkeln v närmar sig 90°.
P
1.1
sin(70)
0.939693
cos(70)
0.34202
c
2.74748
tan(70)
a
v b
Använd tabellen nedan. Fundera samtidigt på hur triangelns utseende förändras när vinkeln v ökar och hur detta påverkar kvoterna tan v = a/b, sin v = a/c och cos v = b/c. v
tan v
70° 2,7 80° 5,6 85° 88° 89° 89,9° 89,99
sin v
cos v
0,94 0,98
0,34 0,17
2 Slå nu tan 90°, sin 90° och cos 90°. Försök förklara de värden du får. En hjälp till förståelse och en geometrisk tolkning är bilden ovan till höger. I triangeln flyttas punkten P allt längre upp. Då blir vinkeln v allt större. Undersök nu med din räknare vad som händer med sinus, cosinus och tangens då vinkeln v närmar sig 0°. Använd tabellen nedan. Fundera samtidigt på hur triangelns utseende förändras och hur det påverkar kvoterna tan v = a/b, sin v = a/c och cos v = b/c. v
tan v
sin v
cos v
5° 4° 3° 2° 1° 0,1° 0,01 Slå nu tan 0°, sin 0°och cos 0°. Försök förklara de värden du får.
142
3.2 Likformighet och trigonometri
KAPITEL 3
3408 Ett flygplan som är på väg till Barcelona
flyger i rak sydlig riktning med hastigheten 850 km/h. På vägen kommer det en stark vind rakt från väster med hastigheten 180 km/h. a) Hur stor är flygplanets resulterande hastighet? b) Hur mycket ändras flygplanets flygriktning om man inte korrigerar för den starka sidvinden.
164
3.4 Vektorer och trigonometri
3409 Bestäm resultanten till storlek och
riktning. y
13 N
55°
x
35°
28 N
KAPITEL 3
trianglar
I trianglarna nedan har man från en punkt P på basen dragit linjer till mittpunkterna på de två andra sidorna.
P
P
P
• Mät med linjal och beräkna hela triangelareorna samt de färgade areorna i de tre trianglarna ovan. • Rita själv ytterligare två trianglar och utför samma beräkning! • Formulera en regel om förhållandet mellan den färgade arean och hela triangelarean. • Bevisa din regel!
GEOMETRI
165
KAPITEL 3
Sammanfattning Vinklar
Vertikalvinklar: w = v
z
Likbelägna vinklar: u = w
v
Alternatvinklar: v = u
u
Sidovinklar: w + z = 180°
Trianglar
Likbent triangel s
h
L1
L2
Liksidig triangel s
s
w
h
s
s
I likbenta trianglar är två sidor, s, lika långa. Höjden, h, delar basen, b, mitt itu. Basvinklarna är lika stora.
Pythagoras sats
I liksidiga trianglar är alla sidor, s, lika långa. Höjden, h, delar motstående sida mitt itu. Alla vinklar är lika stora. c
a
a2 + b2 = c2 ⇔ Triangeln är rätvinklig
b
Likformighet
Förhållandet mellan motsvarande sträckor är lika och motsvarande vinklar är lika stora. a
c
Trigonometri
sinv =
närliggande katet b cosv = = hypotenusan c
tanv =
166
GEOMETRI
motstående katet a = hypotenusan c
motstående katet a = närliggande katet b
a b = c d
d
b
c
a b
v
KAPITEL 3
TEST 3 1
6
I figuren är AB en rät linje. Vinkeln x är dubbelt så stor som y. Hur stor är vinkel y?
Visa att y = 45 – x. y
y
x x x
y
A
B
7
I en rätvinklig triangel är hypotenusan 10 cm och ena kateten 6 cm. Hur stor är den andra kateten?
8
Titta på triangeln och ange i bråk form a) sin v b) cos v c) tan v d) sin u e) cos u f) tan u
(Np Ma A vt 1999)
2
Bestäm med hjälp av figuren ett värde på sin 25°.
(cm) 5,0
2,1
25° 4,8
3
Hur många grader skall den liksidiga triangeln vridas runt punkten P för att triangeln ska sammanfalla med den ursprungliga? Ange minsta möjliga gradtal.
5
v 12
9
P
(Np Ma A vt 2005)
4
u
13
Nedan ser du en bild av en del av Öresundsbron. Den 1 092 m långa högbron bärs upp av 80 st kabelknippen. Mellan pylonerna är det ett fritt spann på 490 m. Ungefär hur lång är den längsta kabeln som går från pylonen ner till bron?
Nedan ser du en liksidig triangel med sidan 8 cm. Bestäm vinkeln v.
197 m 490 m
v
57 m
Beräkna längden av sträckan x i figurerna nedan. a) b)
10 5
Nedan ser du en sfär som precis får plats i en kub. Visa att sfären upptar π/6 av hela kuben. 2r
(cm)
x
45
(dm) 69 61°
2r
168
GEOMETRI
2r
37°
x
KAPITEL 3
Blandade uppgifter 1
Titta på triangeln och ange i bråkform. a) sin x b) cos y c) tan y d) sin y 4
y
3
5
Bestäm ur figuren u1 + u2 − u3 grafiskt.
6
Beräkna konens volym.
x
Bestäm den med x markerade sidan. a) (cm)
L1 är parallell med L2. Bestäm vinklarna v1 och v2. v2 L2
v1
32°
b)
(dm)
145° L1
46
8
65°
3
7
32
x
7,5
6,5
5
2
(cm)
x
Bestäm vinklarna i de båda trianglarna. A
150°
Figuren visar två romber ABEF och BCDE. D
E
E
C
B
F u B
A
9
a) Vilka vektorer är lika som u ? b) Vilka vektorer är lika som v ? 4
D
C
v
Addera det tre vektorerna grafiskt. Markera den resluterande vektorn.
Bestäm vinkeln v.
B v
135°
55°
A
C
10 Hur hög är radiomasten?
u1
h 25°
u3 u2
145 m
11 En stege är 4,8 m lång. Hur långt från en
husvägg ska stegen ställas för att nå 4,2 m högt upp på väggen?
170
Blandade uppgifter
KAPITEL 3
12 I en triangel ABC är ∧C 15°. ∧A är dubbelt så
stor som ∧B. Bestäm ∧A.
13 I en rätvinklig triangel är hypotenusan
25 cm och en katet 24 cm. Beräkna triangelns area.
14 Ett triangelformat fönster har arean
1,35 m2. Fönstrets höjd är 30 % kortare än dess bas. Beräkna fönstrets bas och höjd.
15 Figuren visar en mast som står på vågrätt
underlag. Masten säkras med två stålwires AD och BD, som bägge sitter fast i punkten D på en husvägg till höger om masten. a) Beräkna den vinkel v som wiren BD bildar med horisontalplanet. b) Bestäm avståndet mellan A och B. c) För att ytterligare säkra masten fästes en 12,5 meter lång wire mellan punkten B och en punkt på marken till vänster om masten. Beräkna vinkeln mellan denna wire och marken.
17 Rita två vektorer u och v på rutat papper.
Konstruera sedan
a) u + 2v
b) v −
c) 3u − 4v
d)
u 2
v − 3u 2
18 Vektorerna u = (2, 3) och v = (3, −1) är givna.
Bestäm
a) 2u
b) −3v
c) u + v
d) 3u − 4v
19 Avgör för vilken figur som w = u + v .
A
a) B 16,1° v
D
5,75 m
C
8,00 m
16 Visa att om du fördubblar en cirkelns radie
så fyrdubblas dess area.
w
b)
4,05 m
v
c)
u w u
v
w
v
d)
u v u
w
(
)
20 Slå sin sin −1 (0, 5) och förklara
resultatet.
GEOMETRI
171
KAPITEL 1
1.7 Positionssystemet och olika talbaser Vårt talsystem bygger på basen 10. I datorer används talsystem med basen 2, det binära talsystemet, och med basen 16, det hexadecimala talsystemet. Babylonierna använde redan 2000 f.Kr. ett talsystem med basen sextio och Mayafolket i Centralamerika använde ett system med basen 20, 1000 år innan decimalsystemet började användas i Europa.
Det decimala talsystemet
Vårt positionssystem bygger på basen 10. Det kallas positionssystem för att t.ex. en 3:a har olika värde beroende på vilken position den har. Vi studerar talet 2137,135.
2137,135 = 2 · 1000 + 1 · 100 + 3 · 10 + 7 · 1 + 1· 0,1 + 3 · 0,01 + 5 · 0,001 = = 2 · 103 + 1 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100 + 1 · 10–1 + 3 · 10–2 + 5 · 10–3
När man behöver vara tydlig anges basen som ett index. Vi skriver 2137,13510 eller 2137,135tio. Lägg märke till att ordet ”10-system” kommer från basen 10.
Här använder vi de tio siffrorna 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9 när vi skriver talen.
Exempel 1
Förklara varför 0, 375 = Lösning
3 8
0,375 = 3 · 10–1+ 7 · 10–2 + 5 · 10–3 = =
3 7 5 300 70 5 375 75 15 3 + + = + + = = = = 10 100 1000 1000 1000 1000 1000 200 40 8
TALUPPFATTNING OCH ARITMETIK
37
KAPITEL 1
Det binära talsystemet
Om vi istället för 10 använder siffran 2 som bas, får vi ett system som kallas det binära talsystemet. Se tabellen som visar några tvåpotenser. Börja från höger i tabellen och läs åt vänster. 27
26
25
24
23
22
21
20
128
64
32
16
8
4
2
1
E X E MP E L 2
a) Skriv det binära talet 10010 som ett tal i tiosystemet. Lösning
Vi använder tabellen för två potenser och skriver in talet 10010. 128
64
32
16
8
4
2
1
1
0
0
1
0
Sen beräknar vi: 1 · 16 + 0 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1 = 18 Förenkla gärna beräkningen direkt till 16 + 2 = 18tio svar: 10010två = 18tio
b) Skriv talet 22 på binär form. Lösning
Talet 22 ska alltså skrivas som en summa av tal från tvåpotenstabellen. I tabellen ser vi att det största tal som ”får plats i 22” är 16. Skriv siffran 1 under 16 i tabellen nedan. Eftersom 22 – 16 = 6, och 6 kan skrivas som 4 + 2, skriver vi ”ettor” under 4 och 2. Se tabellen. 128
64
32
16
8
4
2
1
1
0
1
1
0
svar: 22tio = 10110två
I det binära talsystemet motsvaras decimaltecknet av en binärpunkt. Se nedan hur ett sådant binärt tal med binärpunkt kan skrivas. 1 1 101.101två = 1 ⋅ 22 + 0 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 + 1 ⋅ 2−1 + 0 ⋅ 2−2 + 1 ⋅ 2−3 = 8 + 1 + + = 9 + 0, 5 + 0,125 = 9, 625 tio 2 8 1 1 + 1 ⋅ 20 + 1 ⋅ 2−1 + 0 ⋅ 2−2 + 1 ⋅ 2−3 = 8 + 1 + + = 9 + 0, 5 + 0,125 = 9, 625 tio 2 8 1 1 1 Siffrorna till höger om binärpunkten har alltså platsvärdet , , … 2 4 8
TALUPPFATTNING OCH ARITMETIK
39
KAPITEL 1
DIGITALA RUTAN
Binära tal
1. Du ska skapa ett kalkylblad som kan räkna om binära tal till decimal form och sen addera dem. I nedanstående exempel behöver du alltså skriva in formler i cellerna K3, K4 och K5.
Prova med några binära tal som är lätta att kontrollera för att se om kalkylbladet räknar rätt, eller kontrollera med din räknare.
2. • Undersök vad som händer när du flyttar alla siffror en position åt vänster och lägger på en nolla. Vad händer med talets värde?
• Försök att förklara varför.
• Jämför med det decimala systemet. A
B
C
D
128
64
32
1
E
F
G
H
I
8
4
2
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
J
Binär form
2
16
3 Tal 1 4 Tal 2 5 Tal 3
1
K Decimal form 5
6
3. Radera alla tal på rad 5 och låt kalkylbladet summera de två decimala talen i cell K5.
Det går att addera binära tal i en uppställning utan digitala hjälpmedel, och utan att först räkna om dem till decimal form.
• Undersök hur du ska tänka med minnessiffrorna!
Börja med att skriva in två stycken tvåsiffriga binära tal i kalkylbladet. Räkna om kalkylbladets summa i cell K5 till binär form och skriv in talet på rad 5. Öka antalet siffror i talen när du behärskar tekniken! A
B
C
1 2
D
E
44
G
H
I
J
128
64
32
16
2
1
0
1
4 Tal 2
1
0
5
1
1
• Formulera en slutsats.
1.7 Positionssystemet och olika talbaser
8
K Decimal form
3 Tal 1
6
F
Binär form 4
1 2 Summa
3
KAPITEL 2
2.3 Formler
Tidigare i kapitlet har vi undersökt uttrycket 40 + 30 · x som beskrev kostnaden för att åka x km med taxi.
Om vi kallar kostnaden för T kan vi skriva formeln T = 40 + 30 · x. Formeln har både ett vänsterled och ett högerled. Ett uttryck har bara ett led.
I detta fall beror kostnaden T av antal körda kilometer x. Vi säger då att T är den beroende variabeln och x den oberoende variabeln. Beroende variabel
Oberoende variabel
T = 40 + 30 · x
Vänsterled
!
4444 Högerled
Definition: Beroende och oberoende variabel
Den beroende variabeln anger resultatet av en beräkning där en eller flera oberoende variabler har använts.
72
2.3 Formler
KAPITEL 2
2.4 Förenklingar av uttryck
Vid förenklingar av uttryck är det viktigt att veta vad man kan förenkla och vad som inte går att förenkla.
Titta på figurerna nedan. Här får kvadraten symbolisera x2 och kuben x3. x x2
x33
x
x
x
x
Nu undersöker vi de 3 uttrycken x2 + x2, x3 + x3 och 2x2 + x3 med hjälp av figurerna. Se nedan.
x2
x2
+
2 x2
=
x2 + x2 går att förenkla till 2x2
x3
+
x3
=
2x3 x3 + x3 går att förenkla till 2x3
2x2
+
x3 x2 + x3 går inte att förenkla
De två första uttrycken kunde vi förenkla men det sista uttrycket x2 + x3 kan vi inte skriva på enklare sätt.
76
2.4 Förenklingar av uttryck
KAPITEL 2
Exempel 1
Förenkla följande uttryck. a) 10x + (x + 6) · 2 – 4(3 – 2x) = 10x + 2x + 12 – 12 + 8x = 20x
svar: 20x
b) x(x – 3) – x(1 – 4x) = x2 – 3x – x + 4x2 = 5x2 – 4x
Lägg märke till att x2-termer och x-termer är av olika slag.
Förenkling av x2-termerna: x2 + 4x2 = 5x2
Förenkling av x-termerna: –3x – x = – 4x
Svaret 5x2 – 4x kan inte förenklas ytterligare.
svar: 5x2 – 4x
c) x(2x2 – 3x + 2) – 3(x3 – 2x2 + 3) = 2x3 – 3x2 + 2x – (3x3 – 6x2 + 9) =
= 2x3 – 3x2 + 2x – 3x3 + 6x2 – 9 = –x3 + 4x2 +2x –9
svar: –x3 + 4x2 +2x –9
2406 a) 3y · 2y + y · y
2401 Utför multiplikationerna
a) x · 2 · 3
b) 2x · 4x
c) x · 3 · 4x
2402 Vilka av följande uttryck kan förenklas
till 5x3?
b) 3x(2x + 4) – 6x · x 2407 Olle gör en förenkling enligt
nedan. Undersök vad Olle har gjort för fel och gör sen en korrekt förenkling.
a) x3 + x3 + x3 + x3 + x3 b) x · x · x · 5 · x · x c) 2x3 + 3x2 d) 2x3 · 3x2 f) 10x · 0,5x2 Förenkla 2403 a) 2(x – 3) + 4(x + 2)
b) 6(a + 1) + (a – 2) · 3 2404 a) 9x + (x – 3) · 2 + 6
b) 6x – 5(2x – 1) – x 2405 a) y(5 – y) – (5y – y2)
e) 23 + 3x2
2x(3x2 + x) – 2(x3 – 6x) = = 5x3 +2x2 –2x3 – 12x = = 3x3 +2x2 –10x
2408 a) Förenkla uttrycket x(x + 2) – 2x(1 – x)
b) Vilket eller vilka av följande uttryck motsvarar uttrycket i uppgift a)?
3x + x x · x · x x · x · 3
b) 5(x – 4) – 2(x – 10)
algebra och ekvationer
77
KAPITEL 4
4306 a) Lös ekvationen 3x – 2 = 6 grafiskt.
b) Lös ekvationen 3x – 2 = 8 – 2x grafiskt. 4307 Lårbenet är det längsta benet i
människokroppen. Man kan beräkna en människas ungefärliga längd genom att mäta längden på personens lårben. Tabellen visar det linjära förhållandet mellan längden på lårbenet och en mans längd. Lårbenets längd (mm)
Ungefärlig längd på en man (cm)
435
165,2
450
168,9
465
172,6
480
176,3
Vid en utgrävning hittades ett lårben från en man. Längden på lårbenet var 425 mm. Vilken ungefärlig kroppslängd borde mannen ha haft? (Np Ma A vt 2010)
4308 Hos ett nyfött barn ändrades vikten från
födseln till och med den nionde veckan enligt diagrammet nedan. Skriv en formel som visar sambandet mellan barnets ålder x i veckor och vikt y i gram. Formeln skall gälla i definitionsmängden 2 < x < 10. g
vikt
5 500 5 000 4 500 4 000 3 500
ålder 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 veckor
4309 Ett barns sömnbehov kan ungefärligt
n 2 där S är antalet timmar sömn per dygn och n är barnets ålder i år.
beräknas med funktionen S(n) = 15 −
a) Bestäm S(4) och tolka resultatet. b) Lös ekvationen S(n) = 11 och tolka din lösning. c) Vilken är defintionsmängden? Motivera ditt val. d) Beskriv med vardagligt språk vad formeln kan betyda. 4310 För en linjär funktion y = f(x) gäller att
f(1) = 1 och f(5) = 9. Bestäm f(0).
4311 Hanna och Fredrik har två lika långa
stearinljus. Hannas ljus är lite tjockare och brinner ner på 18 timmar. Fredrik har ett lite smalare ljus som brinner ner på 12 timmar. Vi antar att de tänder ljusen samtidigt. Hur lång tid tar det innan Hannas ljus är dubbelt så långt som Fredriks?
210
4.3 Linjära funktioner
KAPITEL 4
4.4 Proportionalitet Direkt proportionalitet
Vi gör en värdetabell:
Vi ritar grafen:
Fredrik cyklar med konstant hastighet, 12 m/s. Den sträcka y som han färdats efter x sekunder kan bestämmas med sambandet y = 12 · x. x (s)
1
2
3
4
5
6
y (m)
12
24
36
48
60
72
m 70 60 50 40 30 20 10
x 1 2 3 4 5 6 s
y
Sträckan är direkt proportionell mot tiden. Grafen är en rät linje som utgår från origo. Tittar man på värdena så ser man att y och x ”går i takt”. Fördubblas tiden x så fördubblas sträckan y. Om x blir 3 gånger så stort, så blir också y 3 gånger så stort.
!
Definition: Direkt proportionalitet
Om y är direkt proportionellt mot x så kan sambandet skrivas y = k · x. Grafen är en rät linje som går genom origo. Konstanten k kallas proportionalitetskonstant.
I fallet ovan är proportionalitetskonstanten k = 12 m/s. Den kan bestämmas ur grafen genom att välja en punkt på linjen och beräkna kvoten mellan y och x.
Punkten (6,72) ger k = y / x = 72 / 6 =12 m/s.
samband och förändring
211
KAPITEL 4
4.7 mer om Grafiska lösningar Både ekvationer och olikheter kan vara svåra eller omöjliga att lösa algebraiskt. Då är en grafisk lösning ett bra alternativ. Vi tittar på ett exempel.
Du har vunnit 1000 kr på lotto och har bestämt dig för att placera pengarna på banken. Du får två olika erbjudanden: alternativ 1: Sätt in 1000 kr och ditt kapital kommer att växa med 100 kr per år. alternativ 2: Sätt in 1000 kr och ditt kapital kommer att växa med 3 % per år. Vilket ska du välja? Börja med att teckna kapitalet, K kr, som funktion av tiden, x år, för båda alternativen.
alternativ 1: K1 = 1000 + 100 · x alternativ 2: K2 = 1000 · 1,03x
Hur länge du ska spara för att modell 2 ska vara bäst kan vi uttrycka med olikheten
K1 < K2 ⇒ 1000 + 100 · x < 1000 · 1,03x.
Denna olikhet kan vi lösa grafiskt, men inte algebraiskt. Ur grafen ser vi att den har lösningen x > 71 år. kr 8 000
y
Första året ökar kapitalet med 30 kr och sista året med 242 kr. Den exponentiella tillväxten kommer alltid i kapp den linjära!
(70,6; 8060)
K1 = 1 000 +100 · x
6 000 4 000 2 000
K2 = 1 000 · 1,03x 10 20 30 40 50 60 70
Här ökar kapitalet med 100 kr varje år. x år
samband och förändring
225
KAPITEL 4
Vad händer om startkapitalet istället skulle ha varit 2000 kr?
I grafen nedan ser vi att det då bara skulle ta 33 år innan alternativ 2 är ikapp. Det belopp vi startar med är alltså avgörande. kr 6 000
y (33, 5292)
Efter 33 år är kapitalet större med alternativ 2.
K1 = 2 000 +100 · x
4 000 2 000
K2 = 2 000 · 1,03x x
10
20
30
år
exempel 1
Här ser du graferna till funktionerna f och g där f är den linjära funktionen. a) Lös ekvationen f(x) = g(x) b) Lös olikheten f(x) < g(x) c) Lös olikheten f(x) ≥ g(x)
LÖSNING
a) Ur grafen ser vi att f och g har samma funktionsvärde då x = –3, x = 0 och x = 3. b) Olikheten f(x) < g(x) är uppfylld då den linjära funktionen f ligger under g. Det gör den i intervallet –3 < x < 0 eller x > 3.
c) Olikheten f(x) ≥ g(x) är uppfylld då den linjära funktionen f ligger över g eller är lika med g. Det gör den i intervallet 0 ≤ x ≤ 3 eller x ≤ –3.
226
4.7 Mer om grafiska lösningar
KAPITEL 4
Jönköping har drygt 125 000 invånare, men betydligt fler under mässor och dreamhack.
Folkmängd
Några elever har undersökt folkmängden i en kommun A. Tabellen visar antalet invånare i kommunen under en 10-årsperiod. 1 2
Antal år efter år 2000 x
Kommunens folkmängd i tusental n
Hur stor var befolkningsökningen mellan åren 2006 och 2010?
0
124
3
135
Undersök om befolkningsökningen i kommunen är linjär under 10-årsperioden.
6
148
10
167
3
Tillväxten i A kan skrivas n(x) = C · ax. Sätt x = 0 och bestäm C. Vad står C-värdet för?
4
Undersök om den årliga tillväxten är 2 % , 3 % eller 4 %.
5
Bestäm talet a i formeln.
6
Beräkna n(6) med hjälp av din formel. Tolka resultatet.
7
Hur stor blir folkmängden i A år 2015 enligt din formel.
8
För kommunen B gäller att folkmängden var 260 000 personer år 2000 och år 2005 hade den minskat till 210 000. Använd formeln n(x) = C · ax där n är folkmängd och x = antal år efter år 2000. Bestäm värden på C och a. Gör sedan en prognos för hur många som bor i kommun B år 2015 enligt din formel.
9
Vilket år bor det lika många i de båda kommunerna?
samband och förändring
231
KAPITEL 4
AKTIVITET
Studsbollen
Din uppgift är att studera hur studshöjden hos en studsboll minskar med antalet studsar och beskriva förloppet med en matematisk modell. Du ska alltså beskriva höjden h(x) som en funktion av antalet studsar (x). • Undersök studshöjden h som funktion av x för minst sex studsar och fyll i tabellen. • Sätt ut studshöjden som funktion av antalet studsar i ett koordinatsystem. • Undersök studshöjdens procentuella förändring (förändringsfaktorn) mellan varje studs. Formulera en slutsats. • Teckna funktionen h(x), där x är ett heltal. • Bestäm h(3) med hjälp av din funktion. Stämmer det med de värden du får från grafen och tabellen? • Hur skulle sambandet ändras om du släpper bollen från höjden 2 m? • Använd din grafritande räknare för att rita upp studshöjden som funktion av antalet studsar. • Försök lösa ekvationen h(x) = 36 och tolka resultatet. • Undersök funktionen. Vad händer då x blir väldigt stort. Stämmer det med verkligheten? x (antal studsar) h (cm)
0
1
2
3
4
5
100
förändringsfaktor
224
AKTIVITET
6
7
8
KAPITEL 5
5.5 Statistik i samhälle och vetenskap I samhället förekommer ofta statistik i olika former. Det kan röra sig om allt från undersökningar till nya vetenskapliga forskningsrön. När statistik presenteras sker det ofta med diagram av olika slag.
Linjediagram
Linjediagram används ofta för att åskådliggöra ett förlopp som ändras över tid. Nedan ser du hur temperaturen varierade under en dag i maj i en stad i Norrland. °C
temperatur
12 10 8 6 4 2
tid 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 kl.
Stapeldiagram och stolpdiagram
Vilken är skillnaden mellan stapel- och stolpdiagram?
När antal ska åskådliggöras, i det här fallet antal barn per familj, används stolpdiagram.
stolpdiagram
frekvens
antal barn per familj 1 2 3 4 5
7 6 5 4 3 2 1 Fo tb Is oll ho Hä ck st ey sp Fr ort Gy iidr m ott na s Ba tik sk et
antal familjer 4 3 2 1
stAPEldiagram
När x-axeln inte visar antal utan kategorier, används stapeldiagram. Stapeldiagrammet ovan visar resultatet av en undersökning av ungdomars favoritsport.
Sannolikhet och statistik
269
KAPITEL 5
Cirkeldiagram
Cirkeldiagram används när man vill åskådliggöra andelar.
Här ser du ett cirkeldiagram som beskriver Sveriges elproduktion. Övrigt inkl. vindkraft (15 TWh) 10 % Vattenkraft (60 TWh)
40 % 50 % Kärnkraft (75 TWh)
Histogram
Befolkningspyramider är exempel på liggande histogram.
Nedan ser vi befolkningspyramider för Örebro och Pajala från 2010. Alla åldrar är indelade i femårsgrupper, så kallade klasser. Det innebär att vi t.ex. inte kan se hur många 27 åringar som bor i Örebro utan bara hur många det finns i gruppen 25–29 år.
Vad kan du dra för slutsats om åldersstrukturen i Örebro respektive Pajala?
Örebro Örebro (större (större stad) stad) tusental tusental Män Män
ålder ålder 90 90
Pajala Pajala (glesbygdskommun) (glesbygdskommun) tusental tusental
Kvinnor Kvinnor
Män Män
80 80
3 500 3 500
270
ålder ålder 90 90
Kvinnor Kvinnor
80 80
70 70
70 70
60 60
60 60
50 50
50 50
40 40
40 40
30 30
30 30
20 20
20 20
10 10 0 0
10 10 0 0
3 500 3 500
5.5 Statistik i samhälle och vetenskap
200200
200200
M1c
Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 1c. Den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen. Boken passar också för vuxenutbildning och basår. • Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken. • Nivåindelade uppgifter gör det lätt att individualisera. • Laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, Digitala rutan samt Kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor. • Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Test och Blandade övningar. M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.
Best.nr 47-08556-9 Tryck.nr 47-08556-9