matematik Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Duf책ker
1b
Bl채dd erpro v!
L채rarguide
SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10 Fax 08–587 642 02
Redaktion: Lena Bjessmo, Emelie Reuterswärd och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jan Wilhelmsson, Karin Olofsson, Jakob Robertsson, Jerker von Vegesack och Yann Robardey Bildredaktörer: Margareta Söderberg och Lena Bjessmo Lösningar s. 308–421: Författare: Javier Esparza och Anders Larson Redaktion: Ida Bjessmo, Lena Bjessmo och Olof Edblom Grafisk form och produktion: Exakta AB, Monica Schmidt Illustrationer: Exakta AB, Monica Schmidt
Matematik Origo 1b Lärarguide ISBN 978-91-523-0971-1 © 2014 Niclas Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Printed in Lettland by Livonia Print, 2014
2
funktioner •
Välkommen! ”Teaching is not a science; it is an art. If teaching was a science there would be a best way of teaching and everyone would have to teach like that. Since teaching is not a science, there is great latitude and much possibility for personal differences.” g. polya Lärarguiden är skriven för att göra det lätt för dig att använda Matematik
Origo. Här har vi fört samman tips, idéer och inspiration till din undervisning. Bland mycket annat hittar du här extra exempel, förslag på arbetsuppgifter och didaktiska kommentarer. Vi har valt att sortera innehållet i Lärarguiden kring varje uppslag i elevboken, så att du snabbt och enkelt hittar relevanta kommentarer och användbara arbetsuppgifter. Längst bak i Lärarguiden hittar du dessutom lösningar till samtliga uppgifter i elevboken. Vi tror att all undervisning måste anpassas till de förutsättningar som varje situation och varje möte med en elev medför. I Lärarguiden hittar du därför tips på hur du kan utmana dina mest intresserade elever i form av t.ex. problemlösningsuppgifter och fördjupningar, men också kommentarer kring vad som kan vara vanliga missuppfattningar och hur du kan möta de elever som tycker att matematik är svårt. Dessutom hittar du lektionsaktiviteter som involverar hela klassen och diskussionsfrågor som inbjuder till samtal i klassrummet. Vår förhoppning är att Lärarguiden ska vara ett hjälpmedel för att utveckla alla elevers matematiska förmågor. Eftersom varje lärandesituation är unik är det naturligtvis svårt att försöka skapa exakta anvisningar för hur matematikundervisningen ska utformas på bästa sätt. I Lärarguiden finns därför inga regler för hur du ska genomföra din undervisning, men däremot mängder med tankar och idéer som förhoppningsvis gör din undervisning med Matematik Origo effektivare, roligare och mer varierad. Lycka till med din undervisning! Författarna
funktioner •
3
Procent Procentbegreppet har kanske en mer framträdande roll i samhället än vad det har inom matematiken. Ämnesplanens centrala innehåll betonar vikten av att kunna tillämpa procent i samband med beräkningar av ränta och amortering för olika typer av lån. Men procentbegreppet har en något vidare användning: det används även i sammanhang kring förändringar, som t.ex. befolkningstillväxt eller pris- och löneutveckling. Av det centrala innehållet framgår att det förväntas att eleverna redan känner till begreppet procent och att de även bör kunna utföra enkla procentberäkningar. I kursen Matematik 1b är avsikten i stället att fördjupa procentbegreppet och att lyfta fram begreppen promille, ppm och procentenheter.
4 Procent Delkapitel 4.1˭ Procent˭och˭ procentberäkningar 4.2˭ Procentuella˭förändringar 4.3˭ Procentberäkningar˭i˭ samhället
Förkunskaper •˭ Tal˭i˭bråk-˭och˭decimalform •˭ Ekvationslösning •˭ Potenser˭med˭heltalsexponenter •˭ Avrundning
Centralt innehåll •˭ Fördjupning˭av˭procentbegreppet:˭ promille,˭ppm˭och˭procentenheter •˭ Begreppen˭förändringsfaktor˭och˭ index˭samt˭metoder˭för˭beräkning˭ av˭räntor˭och˭amorteringar˭för˭ olika˭typer˭av˭lån
De förkunskaper kapitlet förutsätter är framförallt beräkningar med tal i decimalform och i bråkform. Vid vissa procentberäkningar och vid en hel del problemlösning är det en fördel 126 om eleven kan använda sig av ekvationer. DetKapitelintroduktion är också anledningen till att detta kapitel är I Lärarguiden får du en bakgrund till placerat efter bokens två kapitel om tal och varje kapitel och kommentarer kring hur författarna tänkt kring kapitlets ekvationer. När eleverna senare i kursen kominnehåll och struktur. Här finns även mer att arbeta med statistik och sannolikhetslära kommer de att ha stor användning av pro-kommentarer och lösningar till kapitlets introduktionsuppgifter. centbegreppet.
Kommentarer till kapitlets innehåll Det första delkapitlet 4.1 Procent och procentberäkningar tar avstamp i elevernas förkunskaper om procent. Det inleds med en kort repetition av procentbegreppet följt av grundläggande procentberäkningar. Därefter behandlas begreppen promille och ppm. I delkapitel 4.2 Procentuella förändringar lyfts förändringsfaktor fram som ett effektivt och användbart verktyg i samband med upprepade
126
lärarguide matematik origo 1b • procent
förändringar. Här behandlas även begreppet procentenhet, och skillnaden mellan procent och procentenheter diskuteras. I det sista delkapitlet 4.3 Procentberäkningar i samhället introducerar vi begreppen index och konsumentprisindex (KPI) och visar hur man kan konstruera och använda indexserier för att jämföra priser över tid. Därefter behandlas metoder för beräkning av räntor och amorteringar för olika typer av lån.
Introduktionsproblem
P
rocenträkning förekommer överallt i samhället. I tidningar, reklamblad, tv- och radiokanaler presenteras jämförelser och undersökningar där man visar resultaten med hjälp av procent. Till exempel uttrycker man valresultat, löneökningar, rabatter, moms och inte minst räntekostnader i procent. Förr i världen kallade man en person som lånade ut pengar mot orimligt hög ränta för procentare. Även om det ordet inte längre används, så möter vi i dag ständigt erbjudanden om snabba lån eller avbetalningsköp där räntan blir orimligt hög. När du är klar med det här kapitlet ska du kunna • skriva bråk och decimaltal i procentform • använda promille och ppm • utföra procentberäkningar med förändringsfaktor • beräkna upprepade procentuella förändringar • ange skillnaden mellan procent och procentenheter • tolka och använda begreppet index • beräkna ränta • beskriva olika sätt att amortera lån
Procentfunderingar Priset på en spikmatta höjs från 400 kr till 500 kr. Därefter sänks priset från 500 kr tillbaka till 400 kr.
De inledande problemen lämpar sig att arbeta med i grupp och sedan diskutera i helklass. Här får eleverna använda sina tidigare kunskaper om procent och visa prov på bl.a. begreppsoch resonemangsförmåga.
• Hur stor är prishöjningen i procent? • Är den procentuella prishöjningen större än, mindre än eller lika stor som prissänkningen? Motivera ditt val. • Undersök andra tal på liknande sätt. Vad kan du dra för slutsats?
Ungdomar och procent I Umeå är ca 50 % av invånarna under 30 år, i Stockholms län är det bara 35 %. • Trots påståendet här ovanför bor det fler ungdomar i Stockholms län. Hur kan det komma sig? • Det bodde 2 025 750 personer i Stockholms län i slutet av år 2009. Hur många av dessa var under 30 år. • Befolkningen i Stockholms län ökade med ca 2 % under år 2010 och man antar att den kommer att öka med 3 % under år 2011. Med hur många procent har då befolkningen ökat från slutet av år 2009 till slutet av år 2011? • Behöver man veta hur stor befolkningen var i slutet av år 2009 för att kunna svara på föregående fråga? Motivera ditt svar.
127
Svar till Ungdomar och procent • Det beror på att det totala antalet invånare är större i Stockholms län än i Umeå. • 2 025 750 ∙ 0,35 ≈ 710 000 personer
Svar till Procentfunderingar 100 • Höjning: ____ = 0,25 = 25 % 400 100 • Sänkning: ____ = 0,20 = 20 % 500 Prishöjningen är större än prissänkningen. • Om ett pris på 600 kr höjs med 50 kr mot50 svarar det en prishöjning på ____ ≈ 0,083 = 600 = 8,3 %. Om det nya priset sedan sänks med 50 kr tillbaka till 600 kronor motsvarar det 50 en prissänkning på ____ ≈ 0,077 = 7,7 %. 650 Att först höja ett pris med x kr och sedan sänka priset med lika många kronor motsvarar inte en lika stor procentuell höjning som sänkning eftersom samma prisförändring i kronor då jämförs med olika stora helheter. Uppgiften syftar till att göra eleverna uppmärksamma på att en procentuell förändring är beroende av vilket värde man jämför med. I uppgiften får eleverna själva undersöka och dra slutsatser utifrån sina beräkningar.
• 2 025 750 ∙ 1,02 ∙ 1,03 ≈ 2 128 250 2 128 250 ________ ≈ 1,05 vilket motsvarar 5 % ökning. 2 025 750 • Nej, ökningen är 5 % oavsett folkmängden år 2009 eftersom x ∙ 1,02 ∙ 1,03 ≈ 1,05x motsvarar en ökning med 5 %. Uppgiften tydliggör skillnaden mellan andel och antal. Eleverna får göra beräkningar av upprepad förändring och fundera kring hur man kan beräkna en sammantagen procentuell förändring om man vet delförändringarna, men inte känner
till startvärdet. Här finns det möjlighet att fånga upp elevernas tidigare kunskaper om procentuella förändringar och förändringsfaktor. Det är viktigt att följa upp hur eleverna gjort sina beräkningar, eftersom det i detta exempel blir nästan samma resultat om man i stället skulle addera procentsatserna (1,03 ∙ 1,02 ≈ 1,05 ger en ökning med 5 % och 2 % + 3 % = 5 %). Det kan vara en idé att visa ytterligare något exempel där det tydligt framgår att man får olika resultat.
lärarguide matematik origo 1b • procent
127
Koordinatsystemet Den grundläggande idén med ett koordinatsystem är att man kan ange en punkts läge med hjälp av talpar. Samma idé används i kartböcker för att ange en plats eller för att beskriva en schackpjäs placering på ett schackbräde, men i dessa fall anges läget med en bokstav och ett tal. En annan viktig skillnad är att koordinaterna i kartböcker och på schackbräden beskriver ett område och inte en exakt punkt. Ett sätt att introducera koordinatsystem är att markera en punkt på tavlan och be eleverna att ange var punkten befinner sig. Eleverna brukar ganska snart komma på att man kan beskriva punktens läge med hjälp av referensaxlar. Övningen kan då utvidgas till att låta eleverna ange läget för en punkt i rummet.
5.1 Ekvationer, tabeller och grafer Koordinatsystemet
Vi kommer endast att arbeta med tvådimensionella koordinatsystem där koordinataxlarna skär varandra under rät vinkel, så kallade rätvinkliga koordinatsystem.
I figuren har vi ritat två tallinjer som skär varandra under rät vinkel. De bildar tillsammans ett koordinatsystem. Tallinjerna kallas koordinataxlar. Den horisontella koordinataxeln kallas oftast x-axel och den vertikala y-axel. Den punkt där de båda axlarna skär varandra kallas origo och svarar mot talet noll på båda axlarna. Koordinataxlarna delar planet i fyra kvadranter.
y 2:a kvadranten
1:a kvadranten
A
B
x
1 1 C 3:e kvadranten
4:e kvadranten
Ett koordinatsystem är ett slags referenssystem där en punkts läge anges med hjälp av tal som kallas koordinater. Punkter namnges ofta med stora bokstäver och markeras med kryss i koordinatsystemet. I figuren här ovanför har punkten A koordinaterna (2, 3). Det första talet är punktens position i förhållande till x-axeln och det andra talet punktens position i förhållande till y-axeln. Punkten B har på samma sätt koordinaterna (–3,5; 2,5), punkten C koordinaterna (–2, –3) och origo som brukar betecknas O har koordinaterna (0, 0). De streckade linjerna i figuren är hjälplinjer för att visa var på axlarna koordinaterna ska avläsas.
7 Exempel:
I koordinatsystemet till höger är punkterna A, B, C och D markerade.
y C
a) Ange punkternas koordinater.
c) Bestäm avståndet mellan punkterna A och B.
Lösning:
B
1
b) Vilken av punkterna ligger i andra kvadranten?
1 D
A
a) Punkternas koordinater avläses ur koordinatsystemet. x-koordinaten avläses på x-axeln, y-koordinaten på y-axeln
Svar: A = (1, –2), B = (1, 2), C = (–1, 4), D = (–2, –3)
b) Svar: Punkten C ligger i andra kvadranten. c) B ligger 4 steg ovanför A. Svar: Avståndet mellan A och B är 4 l.e.
Historik: Descartes och koordinatsystemet Vårt koordinatsystem skapades av den franske matematikern och filosofen René Descartes (1596–1650). Hans latinska namn är Cartesius, och därför kallas vårt koordinatsystem kartesiskt. Det sägs att han kom på idén till koordinatsystemet när han såg en fluga i taket och funderade på hur han skulle beskriva dess läge.
Förkortning för längdenheter
162 funktioner • 5.1 ekvationer, tabeller och grafer
Viktiga begrepp koordinat, ett av de tal som används för att
ange en punkts läge i ett koordinatsystem. koordinatsystem, ett referenssystem där en punkts läge anges med hjälp av tal, så kallade Descartes var en av dem som var först med att koordinater. binda samman geometri och algebra, det områrätvinkligt koordinatsystem, ett (kartesiskt) de inom matematik som i dag kallas analytisk koordinatsystem där koordinataxlarna är Deframstående centrala begreppen geometri. Han var också en filosof, vinkelräta mot varandra. bland annat känd för att Lärarguiden ha myntat lyfter uttrycket fram de centrala punkt, ett objekt med läge men som saknar Härtänker, finner du defini”Cogito, ergo sum”, som begreppen. betyder ”Jag utsträckning. tioner och kommentarer till de alltså finns jag”. År 1649 kom Descartes till Svekvadrant, en av de fyra sektorer som de två viktigaste matematiska termerna rige för att arbeta som lärare och rådgivare åt koordinataxlarna delar in planet i. i varje avsnitt. drottning Kristina men avled året därpå i lungorigo, punkten som i ett koordinatsystem i plainflammation. net har koordinaterna (0, 0).
162
funktioner • 5.1 ekvationer, tabeller och grafer
x
7 Exempel:
Beräkna arean av rektangeln med hörnen i punkterna med koordinaterna (1, 1), (1, 4), (9, 4) och (9, 1).
Lösning:
Rita in punkterna i ett koordinatsystem. Avståndet mellan (1, 1) och (9, 1) ger rektangelns bas, som är 8 l.e.
y 3 l.e. 1
Avståndet mellan (1, 1) och (1, 4) ger rektangelns höjd, som är 3 l.e. Rektangelns area = 8 ∙ 3 a.e. = 24 a.e.
NIVÅ 1
8 l.e.
Förkortning för areaenheter
5104 Bestäm längden av sträckan mellan punkterna med koordinaterna
5101 Rita ett koordinatsystem och markera följande punkter. a) A med koordinaterna (3, 5) c) C med koordinaterna (2, –3)
5102 Vilka är punkternas koordinater?
y A 1
x
B 1
C
D
5103 När Stina kommer till fjällstugan slår hon på värmen. Hon antecknar temperaturen de första sex timmarna. Tid efter start (h)
Temperatur (°C)
0
–2,3
1
12,3
2
14,6
3
18,1
4
19,9
5
20,0
6
20,0
a) (5, –1) och (5, 8)
b) (2, –3) och (–3, –3)
c) (111, 114) och (111, –57)
5105 Dra en linje mellan punkterna med koordinaterna (8, 9), (–4, –2), (8, –2), (–3, 9), (3, –6) och sedan tillbaka till (8, 9). Vilken figur ser du?
b) B med koordinaterna (–1, 4)
x
1
Markera punkterna i ett koordinatsystem. Låt tiden vara x-koordinat och temperaturen y-koordinat.
5106 Beräkna arean av rektangeln med hörnen i punkterna med koordinaterna (1, 5), (1, 9), (3, 5) och (3, 9).
NIVÅ 2 5107 Ange koordinaterna för en punkt i andra ö kvadranten och koordinaterna för en punkt i fjärde kvadranten, så att kortaste vägen mellan dem går genom origo. 5108 Punkterna med koordinaterna (1, 1) och (1, 5) ligger på samma linje. Bestäm x så att punkten (x, 20) också ligger på samma linje.
Att tänka på De flesta elever är vana vid att arbeta med koordinatsystem och har en rätt så god uppfattning om hur man till exempel anger koordinaterna för en punkt. Däremot kan de ha en begränsad erfarenhet av att arbeta med något annat än heltalskoordinater. Det kan därför vara värt att ägna särskild uppmärksamhet åt hur man skriver koordinater för punkter som inte har heltalskoordinater, till exempel (1,5; –3,5). En del elever kan missa att skriva ut parenteserna runt en punkts koordinater. Påpeka gärna att (2, 3) är koordinaterna för en punkt medan 2,3 är ett tal skrivet i decimalform. Det kan också vara bra att framhålla att (2, 3) utläses ”två tre” medan 2,3 utläses ”två komma tre”.
Att origo har koordinaterna (0, 0) är de flesta elever medvetna om. Men det är inte självklart NIVÅ 3 för alla elever att x-koordinaten är 0 för samtliKommentarer 5110 Punkterna med koordinaterna (1, 2) och (–4, –3) ga punkter på y-axeln, och att y-koordinaten är är två av hörnenexempel i en kvadrat. Vilka koordinaoch ter är möjliga för de övriga två hörnen? I Lärarguiden finns författarnas 0 för samtliga punkter på x-axeln. Detta är vik 163 kommentarer till teoritexter och tigt att känna till, exempelvis när man grafiskt exempel. Det finns också komplet- ska bestämma f(0) eller algebraiskt bestämma terande exempel till varje avsnitt. var en linje skär x-axeln. 5109 Punkterna med koordinaterna (1, 1) och (5, 5) ligger på samma linje. Bestäm y så att punkten (20, y) också ligger på samma linje.
funktioner • 5.1 ekvationer, tabeller och grafer
Exempel Exempel Rita ett koordinatsystem och markera följande punkter. Ange också i vilken kvadrant punkterna ligger. a) A med koordinaterna (5, –4) b) B med koordinaterna (–3,5; –2,5) b) C med koordinaterna (0, 3)
Ange koordinaterna för en punkt som ligger 8 l.e. från punkten (1, 2). Hur många sådana punkter finns det?
Lösning/Kommentar T.ex. (–7, 2), (9, 2), (1, 10), (1, –6). Det finns oändligt många sådana punkter, nämligen alla punkter på cirkeln med medelpunkt i (1, 2) och radien 8 l.e.
Lösning/Kommentar Punkt A ligger i fjärde kvadranten och punkt B i tredje kvadranten. Punkt C ligger på y-axeln och tillhör därmed inte någon kvadrant.
Övningsblad Koordinatsystem
funktioner • 5.1 ekvationer, tabeller och grafer
163
Uppgifterna i detta avsnitt tränar eleverna i att avläsa och dra slutsatser från diagram. De flesta diagrammen är hämtade från autentiska undersökningar.
6113 Histogrammet visar åldersfördelningen i en karateklubb. Antal
35 25 15 5 15
Ålder
20 25 30 35 40 45 50
a) Hur stor är klassbredden?
c) Hur många procent av klubbens medlem� mar är över 35 år? d) Uppskatta medelåldern i klubben. Eftersom du inte vet den exakta åldern på medlemmarna kan du istället utgå från mittvärdet i varje klass.
Bilmärke
22
Saab
13
Mercedes
11
100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5
1900
9
Övriga
c) Beskriv med ord hur antalet licensierade spelare varierat från år 2000.
6116 Figuren visar åldersfördelningen hos Sveriges befolkning år 1900 och år 2000.
7
Opel
År
b) Hur många av dessa var 16 år eller yngre?
Antal bilar (frekvens)
Volvo
Antal spelare 140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0
a) Hur många licensierade spelare fanns det säsongen 2009/2010?
6114 Pia antecknade märken på bilarna utanför en stormarknad.
Volkswagen
17
Hon redovisade sitt resultat med följande diagram.
Kommentarer till uppgifterna Antal 25 20
15 10
Till varje avsnitt finns kommentarer till avsnittets uppgifter. Där diskuteras bland annat svårigheter och Diskutera Pias val av diagramtyp och ge för� uppgifternas koppling till olika förslag på ett lämpligare diagram. Motivera ditt mågor. Iblandval.ges även förslag på ledtrådar och möjliga utvidgningar. 5
a
el
rig
en
wa g
Öv
b
es
ce d
ks
M er
Vo l
Sa a
vo
0
Vo l
Uppgift 6120 bör kanske diskuteras lite extra. Dels kan man behöva förklara formuleringen ”i procent av hur många som man beräknade att nyanställa fram till år 2020”, dels är det en intressant uppgift som kan utvidgas med följdfrågor som: ”Vad innebär det att staplarna för arkitekter och jurister ligger nära 100?”.
b) I vilken åldersgrupp är det flest medlem� mar?
Op
Uppgift 6118 b) är en uppgift där eleverna ska förklara hur ett cirkeldiagram förändras när givna data ändras. Den liknar på så sätt exemplet om Matilda som vi gav på sidan 208 här i Lärarguiden. En utmaning ligger i att eleverna tvingas genomföra det matematiska resonemanget på egen hand och formulera sina slutsatser skriftligt.
NIVÅ 2 6115 Diagrammet visar hur antalet licensierade innebandyspelare har förändrats sedan Svenska Innebandyförbundet bildades år 1981. Enligt förbundet var drygt 69 % av alla licensierade spelare 16 år eller yngre säsongen 2009/2010.
198 2 198 4 198 6 198 8 199 0 199 2 199 4 199 6 199 8 200 0 200 2 200 4 200 6 200 8 201 0
Kommentarer till uppgifterna
150 000 120 000 90 000 60 000
30 000
0
2000
0
30 000 60 000 90 000 120 000 150 000
antal
a) Vilket av åren var andelen personer under 10 år störst? b) Beskriv hur åldersfördelningen har för� ändrats under dessa 100 år, och försök ge en förklaring till förändringen.
210 statistik • 6.1 tolka tabeller och diagram
Tips En del elever uppfattar diagram och tabeller som tråkiga och enahanda eller som något de redan kan. Men om man ger dem uppgifter från högskoleprovet brukar de flesta känna sig motiverade. Ger man dessutom eleverna i uppgift att göra uppgifterna på tid, som på det riktiga högskoleprovet, brukar arbetsintensiteten stiga och de inser ganska snart att det här med statistik kan vara riktigt utmanande. Uppgifterna kräver ofta att eleverna noga kontrollerar vad man avläser på de olika axlarna och att de kan göra överslagsberäkningar utan tillgång till miniräknare. På adressen www.hogskoleprovet. se/hogskoleprovet-gamla-prov/ kan man hitta flera gamla högskoleprov.
210
statistik • 6.1 tolka tabeller och diagram
Olika diagramtyper Det finns inte sällan en osäkerhet om skillnaden mellan stolp- och stapeldiagram och varför det ena eller det andra är att föredra i olika sammanhang. Stolpdiagram används framförallt när observationerna är tal. Att man inte vill ha staplar i dessa diagram beror på att observationerna är diskreta värden, dvs. de har ingen utbredning. Om vi gör ett diagram över utfallet vid kast med en tärning, så är ju observationerna exakt talen 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför vill man ha en ”smal” stolpe i diagrammet i stället för en bredare stapel, som ju
6117 Linjediagrammet visar genomsnittligt antal skickade sms per abonnemang och månad i de nordiska länderna.
Antal sms 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Sverige Norge
Danmark Finland
Källa: Kommunikationsmyndigheten PTS
a) Hur stor är den procentuella ökningen av antal skickade sms per abonnemang i Sve� rige mellan år 2005 och 2010? b) Jämför utvecklingen av antal skickade sms mellan åren 2001 och 2010 i de nordiska länderna. c) Ge en rimlig förklaring till att Finlands kurva börjar vid år 2005.
6118 Antalet sjukdomsfall som anmäldes enligt smittskyddslagen var 67 075 år 2008. Dia� grammet nedan visar hur antalet anmälda fall av klamydiainfektion och campylobakte� rinfektion fördelades mot övriga anmälda sjukdomar.
Övriga sjukdomar
Klamydiainfektion
Campylobakterieinfektion
6119 USA ökade sina utsläpp av växthusgaser med 15,8 % från år 1990 till år 2004.
Utsläpp av växthusgaser 2004 Totalt: 17 931,6 miljoner ton Europa
USA
Övriga
Ryssland
Ukraina
Japan Kanada
Australien
a) Ungefär hur många ton växthusgaser släppte USA ut år 2004? b) Ungefär hur många ton släppte de ut år 1990? c) Med hur många ton måste de minska utsläppen fram till år 2012 om de ska uppnå Kyotoprotokollets mål att ha sänkt utsläppen av växthusgaser till 5,2 % under 1990�års nivå?
6120 Diagrammet nedan visar antalet examinerade från högskolan i procent av hur många som man beräknade att nyanställa fram till år 2020.
Lögn och statistik ”Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik” är ett välkänt citat som ibland tillskrivs den brittiske premiärministern Benjamin Disraeli (1804–1881), men dess ursprung är omtvistat. Den som gjorde citatet känt är förmodligen Mark Twain, som nämner det i boken Chapters of my autobiography. Citatet förmedlar tanken att statistik kan snedvridas och överdrivas och på så sätt underbygga nästan vilken åsikt som helst.
Journalister Apotekare Bibliotekarier Ekonomer Veterinärer Arkitekter Jurister Civilingenjörer Psykologer Sjukgymnaster Sjuksköterskor Förskolelärare Fritidspedagoger 0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Källa: Högskoleverket (Diagrammet gäller utbildningar som började hösten 2008.)
a) Hur stor andel av alla de anmälda sjuk� andel av alla de anmälda sjuk� domsfallen var klamydiainfektioner?
a) Emma avläser värdet 180 för journalister. Vad innebär det?
b) Beskriv hur diagrammet skulle förändras om man fick ner antalet fall av klamydia� infektion till hälften utan att antalet fall av övriga sjukdomar förändrades.
b) Staplarna för psykologer och civilingen� jörer är ungefär lika långa. Emma säger att detta betyder att man bör utbilda lika många psykologer som civilingenjörer. Johanna säger att man inte kan dra den slutsatsen av detta diagram. Vem har rätt och varför? (Np MaA vt 2010) statistik • 6.1 tolka tabeller och diagram 211
Övningsblad Tabeller och diagram
Aktivitet Sveriges användning av olja
Övningsblad och Aktiviteter En del elever behöver mer färdighetsträng än vad som erbjuds i läroboken, medan andra elever i stället behöver mer utmanande arbetsuppgifter. Till många avsnitt i läroboken finns därför extra färdighetsträning i form av Övningsblad och mer omfatdå skulle se ut som om den även omfattade värden i tande uppgifter, inte sällan med en laboranärheten av respektive observation. observatiotiv vinkel, som vi kallar När Aktiviteter. nerna är objekt,Övningsbladen så kan man förstås också använda och aktiviteterna säljs separat som nedladdningsbara dokument. stolpdiagram. Ändå föredrar man oftast stapeldia-
gram, antagligen av rent estetiska skäl för att staplarna syns tydligare än smala stolpar. Ett linjediagram görs ofta när något förändras över tid. Linjen visar att förändringen är kontinuerlig, även om observationerna som diagrammet utgår ifrån förstås är diskreta. Mäter man dagligen hur mycket en planta har växt, så måste ju även samtliga
värden på höjden mellan två observationer ha existerat. Därför lämpar sig ett linjediagram. Men man måste vara aktsam när man binder ihop diskreta observationer till ett linjediagram. Vid vissa undersökningar kan det vara olämpligt, t.ex. när observationsvärdena bara kan vara heltal. Det förekommer dock fall där linjediagram är lämpliga även om observationerna bara kan vara heltal. Om man gör ett diagram över befolkningen i en viss kommun över 50 år, så passar ett linjediagram bra även om det inte är möjligt att kommunen har ett invånarantal som inte är ett heltal.
statistik • 6.1 tolka tabeller och diagram
211
Ett snöre runt jorden Ta med en tennisboll, ett snöre och eventuellt en jordglob till lektionen. Låt eleverna föreställa sig att man virar ett snöre runt tennisbollen respektive runt vårt jordklot och mäter snörets längd i båda fallen. Gör nu tankeexperimentet att vi återigen virar ett snöre runt både tennisbollen och jorden, men att snöret nu hela tiden befinner sig precis en meter från tennisbollens respektive jordens yta. Hur mycket längre tror eleverna att snöret behöver vara i de båda fallen? Skriv upp några gissningar på tavlan och låt sedan eleverna genomföra beräkningarna. (Jordens radie är 6 380 km och radien av en tennisboll är ca 3,4 cm.) Eleverna märker troligtvis snart att det i båda fallen bara behövs 6,28 meter längre snöre. Många elever tycker att detta känns märkligt. Med ett matematiskt bevis kan vi visa att snöret alltid kommer att vara ca 6,28 meter längre, oavsett hur stort klot vi utgår ifrån. Anta att klotet har radien x meter. Längden av ett snöre som virats runt klotet är då 2πx meter. Virar vi i stället snöret en meter utanför klotets yta behöver snörets längd vara: 2π(x + 1) = 2πx + 2π meter. Vi ser att skillnaden i snörlängd är 2πx + 2π – 2πx = 2π ≈ 6,28 m oavsett vilken radie klotet har.
NIVÅ 2 8318 Visa att vertikalvinklarna u och v är lika stora, genom att utnyttja att vinkelsumman av sidovinklar är 180°.
u
8323 Sven undersökte sambandet mellan diameter och omkrets i cirklar. Han ritade flera olika cirklar på ett papper, klippte ut dem och mätte sedan diameter och omkrets. Sina mätvärden förde han in i en tabell.
v
Diameter Omkrets Omkrets/ (cm) Diameter
(cm)
8319 Visa att summan av vinklarna α och b är 180°.
α
b
8320 Jämna tal kan allmänt skrivas som 2k, medan udda tal kan skrivas som 2k + 1, där k är hela tal. Visa att summan av två udda tal är jämn. 8321 Visa att produkten av två på varandra följande heltal är delbar med 2. 8322 Avgör utifrån resonemanget här nedanför om det är bevisat att vinkeln mellan höjden och närliggande sida i en liksidig triangel är 30°. Triangeln i figuren är liksidig och AD är höjden mot BC. A
B
D
C
∧A = ∧B = ∧C = 60° Vinklarna är lika i liksidiga trianglar
∧ADC = 90°
Höjden är rätvinklig mot basen
∧DAC + 90° + 60° = 180° Vinkelsumman i en triangel
∧DAC = 180° – 90° – 60° = 30° Enligt samma resonemang är ∧DAB också 30°.
4,2
13,1
3,11
6,7
21,2
3,16
5,4
17,1
3,17
1,9
5,9
3,10
9,2
28,8
3,13
a) Har Sven rätt när han påstår att det nu är bevisat att omkretsen O av en cirkel beror av diametern d enligt O = kd, där k är en konstant som är ungefär 3,1? Motivera ditt svar. b) Hur påverkas giltigheten av Svens bevis om han mäter diameter och omkrets i hundra cirklar till?
8324 Visa att summan av tre på varandra följande heltal är delbar med 3.
NIVÅ 3 8325 En parallellogram är en fyrhörning med parvis parallella sidor. Visa att motstående vinklar i en parallellogram är lika stora. 8326 I en likbent triangel är basens längd lika med a och längden på de lika långa sidorna är lika med b. Visa att 3 a + b < __ av triangelns omkrets 4 8327 De markerade sträckorna i figuren är lika långa som cirkelns radie. Visa att vinkeln u = 120°. r
r
u r
294 geometri och bevis • 8.3 matematiska bevis
Att tänka på
Många elever upplever matematiska bevis som svåra att utföra. Ibland kan det vara bevisens strikta struktur och matematiska språk som innebär ett hinder för elever att komma i gång. Den här uppgiften liknar uppgift 8225 Tips tilli avsnitdin undervisning Enmed bra uppmaning till dessa elever är att först tet om omkrets och area. I Lärarguiden hittar du mängder genomföra beviset muntligt, för att därefter tips till din undervisning. Det kan vara förslag på inledande problem, försöka kom- formulera det skriftligt och med matementarer till kritiska punkter imatiska läran- symboler. det, en historisk utvikning eller en Ett vanligt fel är att eleverna utgår ifrån det matematisk fördjupning. Kommentarer till uppgifterna påstående de ska bevisa. För att synliggöra detta kan man t.ex. låta eleverna jämföra två En ledtråd till uppgift 8325 på Nivå 3 kan vara olika elevlösningar av samma bevis, där den att utnyttja att motstående sidor i en parallelloena elevlösningen innehåller denna typ av fel, gram är parallella. I uppgift 8327 är nyckeln till och diskutera likheter och skillnader samt brislösningen att dra radierna från sträckornas ter och förtjänster i lösningarna. slutpunkter och in mot cirkelns mitt.
294
geometri och bevis • 8.3 matematiska bevis
Pythagoras sats
Pythagoras sats Det finns ett viktigt samband mellan sidorna i rätvinkliga trianglar. Om man känner till två sidor i en rätvinklig triangel, så kan man beräkna den tredje sidan. Sambandet kallas Pythagoras sats och säger att summan av kvadraterna på kateterna är lika stor som kvadraten på hypotenusan.
c2 c
a2
a
b b2
katet
katet
hypotenusa
Pythagoras sats I varje rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på kateterna lika med kvadraten på hypotenusan. a2 + b2 = c2
c
a
b
Det finns över 400 kända bevis av Pythagoras sats. Här återges ett av dem.
Bevis Runt en kvadrat med sidan c ritas fyra rätvinkliga trianglar med sidorna a, b och c.
a
b
a
Vi börjar med att visa att den lilla kvadraten tillsammans med trianglarna bildar den stora kvadraten och att triangelsidorna a och b bildar en sträcka.
b a
c
c
c
b
c
b
a
De tre markerade vinklarna vid den stora kvadratens sida bildar en rak vinkel, eftersom triangelns vinkelsumma är 180°. Tre vinklar från en och samma triangel Av detta följer att den lilla kvadraten tillsammans med trianglarna bildar en stor kvadrat med sidlängden är a + b. För att hitta ett samband mellan sidorna a, b och c, så beräknar vi den stora kvadratens area på två olika sätt areastora kvadraten = (a + b)2
Kvadratens sidlängd är a + b
kvadratens area = sida2
areastora kvadraten = = arean av fyra rätvinkliga trianglar + arean av kvadraten i mitten = a · b = 4 ____ + c2 = 2ab + c2 2
( )
basen ∙ höjden triangelns area = ______________ 2 1:a kvadreringsregeln (a + b)2 = (a + b)(a + b) = = a2 + 2ab + b2
kvadratens area = sida2
Eftersom vi har beräknat arean av samma kvadrat, så måste arean vara densamma i båda fallen. Därför kan vi likställa de två beräkningarna (a + b)2 = 2ab + c2
Använder 1:a kvadreringsregeln i V.L.
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Subtraherar 2ab från ekvationens båda led
a2 + b2 = c2 v.s.b. geometri och bevis • 8.3 matematiska bevis 295
Historik: Pythagoras sats Pythagoras sats är kanske matematikens mest kända sats. Arkeologiska fynd visar att sambandet mellan sidlängderna i en rätvinklig triangel har varit känt sedan åtminstone 1800 f.Kr. Ändå bär satsen den grekiske matematikern Pythagoras namn (född ca 570 f.Kr.). Det sägs att han var den förste som bevisade satsen, men det beviset har gått förlorat. Två bevarade lertavlor från den tiden visar att babylonierna, i omgivningarna runt nuvarande Irak, måste ha känt till Pythagoras sats. Lertavlorna bär namnen YBC 7289 respektive Plimton 322 och kan vara en bra utgångspunkt för en historisk utblick. En sökning på internet ger snabbt bilder och information.
Det har påståtts att den som ville få sin examen som matematiker under medeltiden var tvungen att komma på ett nytt bevis till Pythagoras sats. Det är kanske en av anledningarna till att det i dag finns omkring 400 kända bevis av satsen, däribland ett bevis av en tolvårig Albert Einstein och ett av en amerikansk president (James Garfield). Ett av dessa bevis återges på sidan 295. På webbadressen www.cut-the-knot. org/pythagoras/index.shtml finns 98 bevis eller demonstrationer av Pythagoras sats, flera med Java-applikationer. För oss i dag är Pythagoras sats ett samband mellan tre tal, som kan tolkas som sidorna i en rätvinklig triangel. Men för Pythagoras var det sannolikt snarare ett samband mellan tre kvadraters areor. I den grekiska matematiken representerade nämligen varje tal en sträcka, varje kvadrerat tal en kvadrat osv. Det finns en uppsjö av geometriska bevis som utgår från just kvadraters areor. Ett sätt att inleda lektionen om Pythagoras sats kan vara att visa en geometrisk demonstration av satsen och diskutera om den kan sägas vara ett bevis, t.ex. www.geogebra.org/en/upload/ files/english/taeil_yi/Pythagoras_1.html. Vid genomgången kan det vara bra att påpeka att vi kan tolka satsen som ett samband mellan kvadraters areor och att detta gör det möjligt att tolka satsen geometriskt. En annan möjlighet är att låta eleverna själva utföra en ”klipp och klistra-demonstration” (se Aktivitet på sidan 296).
Viktiga begrepp rätvinklig triangel, en triangel där en vinkel är
90°. katet, någon av de två kortare sidorna i en rätvinklig triangel. hypotenusa, den längsta sidan i en rätvinklig triangel.
geometri och bevis • 8.3 matematiska bevis
295
Vår ¤-uppgift är en större uppgift av problemlösande karaktär som liknar de breddningsuppgifter som tidigare fanns i nationella prov. Den består av flera olika deluppgifter med ökande svårighetsgrad i en förhoppningsvis intresseväckande kontext. Det matematiska innehållet i uppgiften är tydligt kopplat till det kapitel som den finns i, men för att kunna lösa den kan man även behöva använda sig av moment från tidigare kapitel och kurser. Tanken är att det ska vara möjligt för alla elever att lösa någon del av uppgiften, men de avslutande deluppgifterna kan vara riktigt utmanande även för den som har god matematisk förståelse. I ¤-uppgiften prövas även kvalitéer som behövs för högre betyg.
¤-uppgift
¤-uppgift
Typografi För att en bok ska vara lätt att läsa och snygg att se på behövs en grafisk formgivare. Han eller hon arbetar med presentationen av text och bild i en bok. Textarbetet kallas för typografi och handlar bland annat om hur texten placeras på sidorna och vilket typsnitt och storlek som är lämpligt att använda. Typsnittet innebär olika stilar på tecknen och storleken kallas också för graden. Det typografiska måttsystemet är annorlunda än metersystemet som vi använder till vardags. Graden mäts i punkter (p). En punkt är 0,37594 mm. Här intill ser du ordet Origo i typsnittet Klavika satt med olika grad.
Origo 48 p Origo 36 p Origo 24 p Origo 18 p Origo 12 p
• Beräkna hur stort ett typsnitt med graden 18 p borde vara. • Mät höjden på en bokstav i 18 p i texten här till höger. Stämmer måttet med det du har beräknat? Om inte, kan du lista ut varför? • Undersök med hjälp av mätningar och beräkningar om de större graderna är skalenliga förstoringar av de mindre. Motivera noga ditt svar. Läsbarheten hos en text beror bland annat på avståndet mellan raderna. Det finns en typografisk tumregel som säger att man uppnår god läsbarhet om radavståndet är ca 20 % större än typsnittets grad. • En utgåva av ”Origo, talet som försvann” är på 224 sidor, satt med graden 10 p och radavståndet 12 p. Hur många sidor skulle samma text uppta om den sattes i 16 p? Motivera noga de beräkningar du gör. • I en handbok för grafiker står det att om man fördubblar textens grad, så tar den fyra gånger så stort utrymme. Undersök om påståendet stämmer. Var noga med att motivera ditt svar.
Svar till Typografi • 18 ∙ 0,37594 ≈ 6,8 mm
Svar till uppgifter
• Stort O: ca 4,5 mm. Litet o: ca 3 mm.
I Lärarguiden finns svar och lösning till 298 Resonemang och begrepp, ¤-uppgifter, Problem och undersökningar och Historikuppgifter.
Om vi mäter från punkten över i:et till böjen på g:et får vi ca 6 mm. Att det inte blir 6,8 mm har historiska orsaker. De typografiska måtten anger nämligen inte riktigt storleken på bokstäverna utan storleken på de blytyper som användes för att trycka böcker förr i tiden.
geometri och bevis • ¤-uppgift
• Vi mäter höjden på stora O i de olika storlekarna:
Punkter Höjd
48
36
24
18
12
12 mm 9 mm 6 mm 4,5 mm 3 mm
Sedan kontrollerar vi om förhållandet mellan punktstorleken och höjden är lika: 12 __ 4 48 4 ___ = Stämmer! ___ = __ 36 3 9 3 36 3 9 __ 3 __ ___ = __ = Stämmer! 24 2 6 2 24 4 6 __ 4 ___ ___ = __ Stämmer! = 18 3 4,5 3 18 3 4,5 __ 3 ___ ___ = __ = Stämmer! 12 2 3 2 Förhållandena är lika i de fall som vi undersökt. Om förstoringen från 12 till 18, från 18 till 24, från 24 till 36 och från 36 till 48 är skalenliga kommer förstoringen mellan andra kombinationer också att vara skalenliga.
298
geometri och bevis • ¤-uppgift
• Om texten ska förstoras från 10 till 16 punkter tar den 16 ___ = 1,6 gånger mer plats på både höjden och bredden. 10 Det nya radavståndet är 16 ∙ 1,2 dvs. en förstoring på 16 ∙ 1 1,6 ∙ 1,2 _____ _______ = = 1,6 12 10 Radavståndet kommer att ta 1,6 gånger mer plats både på höjden och bredden Alltså: Hela texten (inklusive radavståndet) förstoras 1,6 gånger på höjden och 1,6 gånger på bredden. 1,6 ∙ 1,6 = 2,56 2,56 ∙ 224 = 573,44 ≈ 570 sidor • Om man fördubblar graden tar utrymmet som texten upptar dubbelt så mycket plats på bredden och dubbelt så mycket plats på höjden, dvs. 4 gånger mer plats totalt. Upptar texten utrymmet x ∙ y cm2 från början, så kommer den att efter förstoring uppta utrymmet 2x ∙ 2y cm2 = 4x ∙ y cm2.
historia
Det finns ingen kungsväg …
Ord av Euklides
Matematikämnet i skolan handlar inte bara om att räkna och lösa problem, utan även om att se hur ämnet utvecklats med tiden och att se dess betydelse för individ och samhälle. I historikavsnitten ser vi matematiken ur ett historiskt perspektiv och tar del av levnadsbeskrivningar av personer som betytt mycket för matematikens utveckling. Vi belyser även att matematiken har utvecklats ur såväl praktiska behov som ur människors nyfikenhet och lust att utforska den. Det ger eleven möjlighet att utveckla förmågan att relatera matematiken till dess betydelse och användning i ett samhälleligt och historiskt sammanhang. Varje historikavsnitt avslutas med någon eller några uppgifter som anknyter till det centrala innehållet: ”Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria”.
Kung Ptolemaios var fascinerad av geometri. Han ville förstå allt, men var alldeles för otålig och frågade Euklides om hur man på ett enkelt sätt kunde lära sig geometri. Euklides svarade: Det finns ingen kungsväg till geometrin. En annan gång lär en av studenterna ha frågat Euklides om det fanns någon mening med att lära sig geometri. Varpå Euklides vände sig med följande ord till en av sina betjänter: Belöna omedelbart den här studenten med tre mynt, för att han söker efter meningen med att lära sig geometri.
Svar till historiefrågorna
Euklides Elementa Omkring år 300 f.Kr. hade kung Ptolemaios bestämt sig för att grunda ett universitet i Alexandria, som var en av antikens blomstrande städer, belägen i nuvarande Egypten. Han kallade tidens främsta vetenskapsmän och lärare till universitetet. En av dessa lärare var Euklides och det skulle visa sig att hans arbete skulle användas i matematikundervisningen mer än två tusen år framöver. Euklides hade samlat dåtidens matematiska kunskaper i sitt stora verk, Elementa, som näst efter Bibeln betraktas som den mest spridda boken i världen. Verket är indelat i 13 böcker, de första sex handlar om planfigurer och deras egenskaper, de följande tre om talteori och övriga om irrationella tal och rymdgeometri. I Elementa presenterades matematiken på ett helt nytt sätt. Matematiska påståenden bevisades logiskt med hjälp av definitioner och axiom. Axiom står för enkla, självklara grundsatser som inte behöver bevisas. Euklides Elementa
Euklides från Megara (ca 325–265 f.Kr.)
Några exempel på Euklides axiom: • Det hela är lika med summan av dess delar. • Genom två punkter kan dras en och endast en linje. • Givet en linje l och en punkt P utanför linjen, så går det att dra precis en linje som går genom P och är parallell med l. Detta kallas för parallellaxiomet. c2 = 25 c a b
a2
=9
b2 = 16
Pythagoras sats som den visas i Elementa.
? Vad är det för skillnad på en definition och ett axiom? Vad är det för skillnad på ett påstående och en sats?
Historia
När ett påstående har bevisats, så omvandlas det till en sats. Varje bevisad sats i Elementa avslutas med det latinska uttrycket quad erat demonstrandum som betyder vilket skulle bevisas. Än i dag avslutas bevis med förkortningen q.e.d. eller v.s.b. Euklides har även utvecklat språket genom att tillföra ord som triangel, kvadrat, cirkel, problem, bas, definition, axiom och parallell.
geometri och bevis • historia 299
• En definition är en beskrivning av ett matematiskt begrepp. Ett axiom är ett påstående som man håller för sant utan bevis. • Ett påstående är ett uttalande som kan vara antingen sant eller falskt, medan en sats är ett påstående som är bevisat.
Det finns ingen kungsväg Det här historikavsnittet anknyter främst till det centrala innehåll i Matematik 1b som behandlar satser och bevis. Ett sätt att arbeta med avsnittet är att låta eleverna läsa texten och förklara eller illustrera vad Euklides menar med de axiom som nämns. Uppgiften kan utvidgas till följande axiom, också de hämtade från Euklides Elementa: • Storheter som är lika med en och samma storhet är sinsemellan lika.
• När man adderar lika storheter till lika storheter, så blir även summorna lika storheter. • När lika storheter subtraheras från lika storheter, så blir även resterna lika storheter. • Det hela är större än sin del. I slutet av texten återges en anekdot om hur Euklides ska ha reagerat på en fråga om nyttan med geometrin. Låt eleverna diskutera hur man ska tolka Euklides svar och låt eleverna själva komma med svar på frågan.
geometri och bevis • historia
299
I Problem och undersökningar får eleverna tillfälle att träna problemlösning och ett undersökande arbetssätt. Den annorlunda frågeställningen och laborativa vinklingen hos dessa uppgifter ger eleverna möjlighet att utveckla och fördjupa de kunskaper de har skaffat sig tidigare i kapitlet. Uppgifterna kan med fördel lösas i grupp.
problem och undersökningar
Problem och undersökningar
GEOMETRISKA KROPPAR Tillverka följande geometriska kroppar genom att klippa ur dem ur A3-ark. Kontrollmät volymen med riskorn och ett decilitermått. • Gör en låda: Tillverka en låda med volymen 2 dl.
• Gör en cylinder: Tillverka en cylinder med volymen 2 dl.
• Gör ett prisma: Tillverka ett tresidigt prisma med volymen 2 dl. • Gör en kon: Tillverka en sluten kon med volymen 2 dl.
RANDVINKELSATSEN En vinkel som bildas mellan två linjer som utgår från samma punkt på cirkelbågen kallas randvinkel. En vinkel som bildas mellan två radier till en cirkel kallas medelpunktsvinkel. Den så kallade randvinkelsatsen säger att medelpunktsvinkeln till en cirkelbåge är dubbelt så stor som randvinkeln till samma cirkelbåge.
Svar till Problem och undersökningar
• Bestäm vinkeln u och v i figurerna
Genom sin laborativa inriktning kan den här uppgiften appellera till elever med kinestetisk inlärningsstil. Eleverna får i uppgiften konstruera geometriska kroppar av olika sort men med samma volym. Genom att jämföra sina figurer med varandra kan eleverna få insikten att figurer av samma sort kan ha samma volym även om de har olika mått. Uppgiften kan utvidgas med uppföljande frågor som: Hur mycket större måste bottenytan till konen vara om den ska ha samma höjd som en cylinder med samma volym? 114° • v = ____ = 57° och u = 2 ∙ 48° = 96° 2 • Medelpunktsvinkeln till en halvcirkelbåge är 180°. Enligt randvinkelsatsen är varje randvinkel till denna 180° båge ____ = 90°, dvs. en rät vinkel. 2 • Från cirkelns medelpunkt drar vi två radier till de hörn v som inte bildar vinklarna u a och v. b u
Vinklarna u och v är randvinklar som spänner upp varsin cirkelbåge som hör till dessa medelpunktsvinklar. Av detta följer att a = 2u och b = 2v a + b = 360° ger 2u + 2v = 360° 2(u + v) = 360°
300
v
w
v.s.v.
geometri och bevis • problem och undersökningar
48° v
114° u
Bevisa nu följande påståenden • Randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar.
• I en fyrhörning inskriven i en cirkel är summan av motstående vinklar 180° det vill säga u + v = 180°
300 geometri och bevis • problem och undersökningar
Randvinkelsatsen
u + v = 180°
Medelpunktsvinkel
2v = w
Geometriska kroppar
Medelpunktsvinklarna a och b som bildas är tillsammans 360°.
Randvinkel
v u
tankekarta
Geometri och bevis Matematiska bevis • logiska resonemang utan luckor • allmängiltiga
Matematisk argumentation • påståenden
• ej mätningar eller gissningar
• implikation • ekvivalens
Bevis av en sats • definition • axiom • tidigare bevisade satser • motivera varje steg • v.s.b.
Vinklar • spetsig vinkel
• vertikalvinkel
• rät vinkel
• likbelägna vinklar
• trubbig vinkel
• alternativvinklar
• rak vinkel
• bisektris
Skala • förminskning eller förstoring längd i bild • skala = _________________ längd i verklighet
• månghörningar • kroppar • omkrets, area, volym
Symmetri • symmetrilinje
• vinklar
• spegelsymmetri
• vinkelsumman är 180°
• rotationssymmetri
• trubbvinklig
360° • rotationsvinkel = _____ n
• likbent
Tankekartan ger en samlad och strukturerad bild av hur kapitlets olika delar hänger ihop. Den är inte uppbyggd efter samma ordning som kapitlet utan sätter de matematiska begreppen i centrum. Tankekartan kan användas på olika sätt och vid olika tillfällen. Den kan användas inför ett nytt kapitel för att få en överblick över vad eleverna kan sedan tidigare, som sammanfattning av ett kapitel eller som checklista under arbetets gång.
Geometriska figurer
• sidovinkel
Trianglar
Tankekarta
• liksidig • rätvinklig • Pythagoras sats
geometri och bevis • tankekarta 301
Arbetsförslag Ett sätt att arbeta med tankekartan och elevernas begreppsförmåga är att först dela in eleverna i grupper och sedan låta varje grupp få ansvar för en samling begrepp i tankekartan. Gruppens uppgift är att förklara och exemplifiera begreppen. Arbetet kan sedan redovisas muntligt i helklass och läraren kan ställa fördjupande frågor som t.ex. • Är varje kvadrat en rektangel? • Kan en rätvinklig triangel innehålla en trubbig vinkel? • Är en fyrhörning alltid symmetrisk? • Kan en implikation också vara en ekvivalens?
Arbetsförslag
Läraren kan också låta eleverna ta ställning till sant- eller falskt-påståenden som t.ex.
I varje kapitel ges ett nytt förslag på hur man kan arbeta • Likbelägna vinklar är alltid lika stora. med tankekartan.
• Om en cylinder och en kon har samma basarea och höjd, så är cylinderns volym tre gånger så stor som konens volym. • Om sidlängderna i en triangel uppfyller villkoren i Pythagoras sats, så är triangeln rätvinklig. Sant- eller falskt-påståenden är ofta ett bra sätt att få syn på och resonera kring elevernas uppfattningar och missuppfattningar.
geometri och bevis • tankekarta
301
lösningar
3 Algebra och ekvationer 3101 a) Variabeltermen är 5a och konstanttermen är 8. b) Koefficienten är 5 och variabeln är a. 3102 a) 9x + 2 = 9 ∙ 3 + 2 = 27 + 2 = 29 b) 9x + 2 = 9 ∙ 0 + 2 = 0 + 2 = 2 c) 9x + 2 = 9 ∙ (–2) + 2 = –18 + 2 = –16 3103 (7 + t) år 3104 a) 7 + a = 7 + 4 = 11 b) 5 – 3a = 5 – 3 ∙ 4 = 5 – 12 = –7 c) 2 (det beror inte på värdet av a) 3105 a) 4g är värdet av 4 guldmynt. b) 2g + 6s är värdet av 2 guld- och 6 silvermynt. c) g – s är skillnaden i värde mellan ett guld- och ett silvermynt. 3106 a) a + 2a + a + 2a = 6a b) 2a ∙ a = 2a2 3107 a) (x + y + z) xy b) 2 3108 a) x + 5 y b) 2 c) 4b – 3 3109 Cilla = a Harald = a + 5 Sten = 3a a Nora = 2
c)
Fullständiga lösningar x + y + z = (3 + 7 + 2) st = 12 st 5x + y + 0,5z = (5 I∙ 3Lärarguiden + 7 + 0,5 ∙ 2) kr = finns fullstän= (15 + 7 + 1) kr =diga 23 kr lösningar till lärobokens
3114 a) a – 7 = 3 – 7 = –4
samtliga uppgifter.
b) ab + b2 = 3 ∙ (–2) + (–2)2 = –6 + 4 = –2 a 3 c) + ab 2 = + 3 ⋅ (–2)2 = − 1,5 + 12 = 10,5 b −2 3115 a) 90 är Vasaloppets längd i km. b) Vasa-Nisses fart är 11 km/h. c) Vasa Nisse har kvar (90 – 11 ∙ 5) km= 35 km 3116 Bilen förbrukar 8,3 l bensin på 100 km = 10 mil. 8, 3 = 0,83 l för varje mil. Efter s mil har Det vill säga 10 bilen förbrukat 0,83s l och då finns det kvar (62 – 0,83s) l i tanken. Svar: Det finns (62 – 0,83s) liter bensin i tanken s mil efter att man fyllt den 62 liter stora tanken. 3117 För att räkna ut antalet kvadrater för varje figur, subtraherar vi 3 från produkten av 4 och figurnumret: figur 1: 4 ∙ 1 – 3 = 1 kvadrat figur 2: 4 ∙ 2 – 3 = 5 kvadrater figur 3: 4 ∙ 3 – 3 = 9 kvadrater Svar: figur n har 4n – 3 kvadrater 3118 a) 20 + 3,5t (20 °C från början) b) T.ex. 0 ≤ t ≤ 24 min (temp = 104 °C för t = 24 min) 3119 a) Då x = 5 blir 9,9x = 9,9 ∙ 5 = 49,50 Svar: Godiset kostar 49,50 kr. b) 0,311 kg = 3,11 hg 9,9 ∙ 3,11 = 30,79 kr Svar: Godispåsen kostar 30,79 kr. c) Svar: Ett hekto kostar 9,90 kr.
3110 a) 158 + m b) 158 + 3 ∙ 12 = 158 + 36 = 194 3111 a) m – 1 b) m + 1 c) m + (m – 1) + (m + 1) = 3m 3112 x + 1 och (x + 1) + 2 = x + 3 3113 a) x + y + z är antalet mynt Preben har.
3120 Nej, om p = 2 så blir p + 1 = 3 och båda är primtal. 3121 a) Fast avgift = 55 euro Kostnaden för extra mil = ingenting om s ≤ 30 och (s – 30) ∙ 1,5 euro om s > 30 Svar: Hyrkostnaden är 55 euro om s ≤ 30 och 55 + 1,5 ∙ (s – 30) euro om s > 30 b) s ≤ 30: 55 + 0,9s euro s > 30: 55 + 1,5 ∙ (s – 30) + 0,9s euro
b) 5x + y + 0,5z är totala värdet av mynten.
30 3 334 kapitel lärarguide matematik origo 1b • lösningar kapitel 3: algebra och ekvationer
3134 a) Korrekt b) Felaktig. En möjlig orsak är ett felaktigt teckenbyte inne i parentesen vid borttagandet av den, så att uttrycket skrivits 2a + 3a + 4a. c) Felaktig. Sannolikt är att personen tolkat 7b som ”b och 7 ” och därmed tänkt att eftersom b – b = 0, så återstår endast –7.
3123 a) 5a + 17a = 22a
d) Felaktig. Sannolikt har personen tolkat 2a som ”2 och a” samt 3b som ”3 och b” och därmed tänkt summan som ”2 + 3 och a och b” dvs. ”5 och a och b, vilket då åter felaktigt tolkas som 5ab.
b) 8x – x + 5x = 12x c) 3b + 12b – 5b – 2b = 8b 3124 a) 4x + 16x – 7y = 20x – 7y b) 3a + 7b – 5a = –2a + 7b
3135 (2 x − 1) +
c) –2s + 4t + 7s – 3t = 5s + t 3125 a) 7x + 4 – 3x + 12 = 4x + 16
5x 5x + x + 2 x = 2 x − 1 + + x + 2 x = 7, 5 x − 1 2 2
3136 a)
x
b) 4 ∙ 6 + 16 = 24 + 16 = 40
x x
3126 5a + 2a = (a + a + a + a + a) + (a + a) = = a + a + a + a + a + a + a = 7a
x
b)
a
x b
a b
3127 4x – x = (x + x + x + x) – x = x + x + x + x – x = = x + x + x = 3x, som inte allmänt är lika med fyra. T.ex. för x = 0 blir 4x – x = 4 ∙ 0 – 0 = 0 3128 a) 5a + 5b – 3 + 6a + 8 = 11a + 5b + 5
a
3129 Fia = x kr Lotta = 3x kr x Sahar = + 75 kr 2 x Svar: De har tillsammans x + 3x + + 75 kr = 2 = (4,5x + 75) kr
b) 5x + 227 = 684,50 5x = 457,50 x = 91,50 Svar: Ett liftkort för barn kostar 91,50 euro. 3a 9 a 2a − 9 − − = 7 7 7 7 2b 3a 4b 3a 2b 3a 4b 3a 6b b) − + + = − + + = 5 5 5 5 5 5 5 5 5
3139 a)
3132 a) 20a + (15 – 6a) = 20a + 15 – 6a = 14a + 15 b) 20a – (17a – 20 + b) = 20a – 17a + 20 – b = = 3a – b + 20 c) (3,5x + 12) – (2,5y + x) = 3,5x + 12 – 2,5y – x = = 2,5x – 2,5y + 12 3133 a) (5 + 3a) – (10a – 15) = 5 + 3a – 10a + 15 = –7a + 20
a
3138 a) Kostnaden för barn = x kr Kostnaden för ungdomar = (x + 58) kr Kostnaden för vuxna = (x + 58 + 26,50) kr = = (x + 84,50) kr Kostnaden för hela familjen = 2x + (x + 58) + + (x + 84,50) + (x + 84,50) = 2x + x + 58 + x + + 84,50 + x + 84,50 = 5x + 227 Svar: Liftkorten för hela familjen kostar (5x + 227) kr
3131 a) 4a + (5 + 2a) = 4a + 5 + 2a = 6a + 5 c) 18x – (3x + 10y) = 18x – 3x – 10y = 15x – 10y
b
b) 8x – 4y – 5 = 8 ∙ 3 – 4 ∙ (–1) – 5 = 24 + 4 – 5 = 23
3130 x + (x + 2) + (x + 2) + 2x + (x – 1) = = x + x + 2 + x + 2 + 2x + x – 1 = 6x + 3
b) 3z – (5z – 6y) = 3z – 5z + 6y = 6y – 2z
b
3137 a) (7x – 2y) – (5 + 2y – x) = 7x – 2y – 5 – 2y + x = = 8x – 4y – 5
b) x + 7y – 16x + 3y = – 15x + 10y c) –8a + 3c + 4a + 4c – 13 = – 4a + 7c – 13
a b
c) 3140
7 + b 4a − 2b 7 + b + 4a − 2b 4a − b + 7 + = = 3 3 3 3
a
a a
b) –7a + 20 = –7 ∙ 3 + 20 = –21 + 20 = –1 a
a
a
kapitel 3335 31 lärarguide matematik origo 1b • lösningar kapitel 3: algebra och ekvationer
lösningar
3122 Förslag: 275: kvartalsavgift a: antal öppningsavgifter d: antal minuter till fast telefon dagtid k: antal minuter till fast telefon kvällstid m: antal minuter till mobiltelefon
matematik
1b Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för Gy 2011 med Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Tematiska uppgifter, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, tankekarta och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Tekniska programmet Till varje bok i serien Matematik Origo hör en Lärarguide.
ISBN 978-91-523-0971-1
(523-0971-1)