■ ■ ■
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4c, 5c)
Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, kunskapsfrågor, självrättande prov m.m. Gå gärna in på www.laromedelswebbar.se och prova en demo.
1a
Exponent 1a är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans yrkesprogram. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
e ponent
e ponent
Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/labexponent. Författare till Exponent 1a är Lars-Göran Johansson och Tommy Olsson. Båda är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning på yrkesprogrammen.
1a
e1a_omslag_110525.indd 1
2011-05-30 09.14
innehåll
1. Taluppfattning och aritmetik 12 Intro, 13
1.1 Talens uppbyggnad 14 Decimaltal, 15 Några symboler, 17 Aktivitet – En miljard, 18 Aktivitet – Vilket är ditt födelsetal?, 19 De fyra räknesätten, 20 Avsnittskoll 1:1, 22 ”Pamudas”, 23
1.2 Negativa tal 25 Räkna med negativa tal, 26 Parenteser, addition och subtraktion med negativa tal, 28 Multiplikation med negativa tal, 31 Division med negativa tal, 32 Avsnittskoll 1:2, 33
1.3 Bråk 34 Addition med bråk, 34 Subtraktion med bråk, 36 Förkortning, 37 Förkortning i flera steg, 39 Förlängning, 40 Bråkform och blandad form, 41 Första täljaren mindre än andra täljaren, 42 Från bråktal till decimaltal, 43 Minsta gemensamma nämnare, 44 Multiplikation med bråk, 46 Avsnittskoll 1:3, 48
1.4 Potenser 49 Multiplikation med potenser, 50 Division med potenser, 50 10-potenser, 51 Grundpotensform, 51 100 samt negativa exponenter, 53 Beräkningar med tal i grundpotensform, 55
1.5 Närmevärden 56 1.6 Överslagsräkning 58 Avsnittskoll 1:4, 59
8
1.7 Enheter 60 Enheter för längd, 60 Aktivitet – Mät upp, 62 Enheter för massa, 63 Prefix, 64 Enheter för volym, 65 Avsnittskoll 1:5, 66
1.8 Mönster 67 Aktivitet – Kryptering, 67 Mönster och samband mellan tal, 68 Samband i tabellform, 70 Sammanfattning, 71 Blandade övningar, 73 Hjärnkoll, 77
2. Algebra 78 Intro, 79 Problemlösning, 79
2.1 Uttryck 80 Förenkling av uttryck, 81 Förenkling och beräkning av ett uttrycks värde, 81 Blandade uttryck, 83
2.2 Formler 85 Avsnittskoll 2:1, 87 Aktivitet – Energiförbrukningen, 88
2.3 Ekvationer 89 Ekvationer med addition (+) och subtraktion (–), 89 Prövning av lösningen till en ekvation, 91 Ekvationer med multiplikation, 93 Ekvationer med division, 94 Ekvationer med flera räknesätt, 95 Problemlösning med ekvation, 97 Ekvationer med variabel i båda leden, 99 Avsnittskoll 2:2, 101 Parenteser, 102 Multiplikation med parenteser, 103 Ekvationer med parentesuttryck, 104 Aktivitet – Körkortet, 105 Sammanfattning, 106 Blandade övningar 2, 107 Hjärnkoll, 109
innehåll
Bok 978-91-40-67420-3.indb 8
2011-05-24 08.27
3. Förändring 110 Intro, 111
4.4 Beteckningen f(x) för en funktion 169
3.1 Procentbegreppet 112
4.5 Proportionalitet 171
Omskrivningar, 114 Beräkna procentsatsen, 116 Avsnittskoll 3:1, 118 Beräkna delen, 119 Procentuell förändring. Procentsatsen känd, 121 Förändringsfaktor, 121 Procentuell förändring. Procentsatsen okänd, 124 Avsnittskoll 3:2, 127 Procenttal större än 100 %, 128 Ränta, 130 Procent och procentenheter, 130
4.6 Exponentialfunktioner 174
3.2 Promille 134 3.3 ppm 136 3.4 Lån 139 Amortering, 139 SMS-lån, 141 Kreditkort, 142 Aktivitet – Aktieportföljen, 144 Aktivitet – Bilköpet, 145
3.5 Index 146 Avsnittskoll 3:3, 148 Sammanfattning, 149 Blandade övningar, 150 Hjärnkoll, 153
4. Samband 154 Intro, 155
4.1 Koordinatsystem 156 Avsnittskoll 4:1, 158
4.2 Funktioner 159 Avsnittskoll 4:2, 164 Aktivitet – Skostorlek, 165 Aktivitet – Sänka skepp, 166
4.3 Grafer och värdetabeller 166
Avsnittskoll 4:3, 177 Sammanfattning, 178 Blandade övningar 4, 179 Hjärnkoll, 181
5. Geometri 182 Intro, 183 Geometri, 183
5.1 Vinklar 184 Vinkelsumman i en triangel, 185 Liksidig triangel och likbent triangel, 187
5.2 Omkrets och area 188 Areauppskattning, 189 Area och areaenheter, 191 Rektangelns och kvadratens area, 193 Parallellogram, romb och parallelltrapets, 195 Triangelns area, 198 Aktivitet – Kvadratpyssel, 200 Cirkeln, cirkelns omkrets och π, 201 Talet π, 202 Cirkelns area, 206 Avsnittskoll 5:1, 208 Kvadratrot, 210 Pythagoras sats, 211
5.3 Förminskning och förstoring 214 Förminskning, 214 Förstoring, 216 Avsnittskoll 5:2, 218
5.4 Volym 219 Volymenheter, 219 Enhetssamband, 220 Rätblock och kub, 221 Cylinder, 223 Pyramid, kon och klot (sfär), 225 Aktivitet – Litertävling, 227 Avsnittskoll 5:3, 228
innehåll
Bok 978-91-40-67420-3.indb 9
9
2011-05-24 08.27
5.5 Likformighet* 229 5.6 Trigonometri* 231 Sinus och cosinus för en vinkel, 231 Tangens för en vinkel, 233 Beräkning av en vinkel, 235
5.7 Symmetrier* 237 5.8 Vektorer* 239 Parallellförflyttning, 241 Negativa vektorer, 242 Addera vektorer, 242 Avsnittskoll 5:4, 244 Sammanfattning, 245 Blandade övningar, 248 Hjärnkoll, 251
6. Sannolikhet och statistik 252 Intro, 251
6.1 Statistik – diagram 254
Enkla slumpförsök, 286 Sannolikheter via relativ frekvens, 289 Aktivitet – Uppskattning av sannolikhet, 290 Beroende och oberoende händelser, 291 Träddiagram, 292 Komplementhändelse, 294 Sannolikheter vid riskbedömning, 295 Avsnittskoll 6:4, 297 Sammanfattning, 298 Blandade övningar 6, 300 Hjärnkoll, 304
7. Uppgifter för karaktärsämnen 306 7.1 Barn- och fritidsprogrammet 308 7.2 Bygg- och anläggningsprogrammet 312 7.3 El- och energiprogrammet 316 7.4 Fordons- och transportprogrammet 320
Avläs diagram, 254 Rita stapeldiagram och linjediagram, 256 Frekvenstabeller och stolpdiagram, 258 Histogram, 260 Cirkeldiagram, 262 Avsnittskoll 6:1, 266 Att avslöja diagram som ”ljuger”, 268 Diagramritning med hjälp av kalkylprogram, 270
7.5 Handels- och administrationsprogrammet 324
6.2 Lägesmått 272
7.9 Naturbruksprogrammet 340
Medelvärde, 272 Aktivitet – Tändstickshögar, 274 Median, 275 Typvärde, 275 Avsnittskoll 6:2, 277 Beräkning av medelvärde, median och typvärde med hjälp av kalkylprogram, 278
7.10 Restaurang- och livsmedelsprogrammet 344
6.3 Spridningsmått 280 Kvartilavstånd, 280 Lådagram, 281 Variationsbredd, 282 Avsnittskoll 6:3, 284
10
6.4 Sannolikhetslära 285
7.6 Hantverksprogrammet 328 7.7 Hotell- och turismprogrammet 332 7.8 Industritekniska programmet 336
7.11 VVS- och fastighetsprogrammet 348 7.12 Vård- och omsorgsprogrammet 352 Facit 356 Register, 391 Bildförteckning, 392
innehåll
Bok 978-91-40-67420-3.indb 10
2011-05-24 08.27
6.4 Sannolikhetslära
Teoriomgång
Benämningen sannolikhet har säkert funnits i tusentals år, men teorierna kom mycket senare. Att beräkna sannolikheten för att i spel erhålla vinst, var kanske orsaken till att Gerolamo Cardano (1501–1576) från Italien skrev ”Boken om hasardspel” (”Liber de ludo aleae”) i vilken han bland annat säger att vid kast med tärning, har varje sida lika stor chans att komma upp. I Frankrike diskuterades spelproblem och sannolikhetslära av bl.a. Blaise Pascal (1623–1662) och Pierre de Fermat (1601–1665). Först under 1930-talet kom teorin för stickprovsundersökningar. Några användningsområden för sannolikhetslära är spelteori, ekonomi, informationsbehandling, meteorologi och genetik.
k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 285
285
2011-05-24 08.37
Enkla slumpförsök Om du kastar en vanlig 6-sidig tärning, vilken är då chansen att du ska få en 4:a? För att ta reda på detta måste man veta hur många möjligheter det finns eller som man kallar det på mattespråk, utfallsrummet. I det här fallet är utfallsrummet 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Det är vanligt att man skriver detta så här: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, där bokstaven U står för utfallsrummet. Det finns sex olika utfall i utfallsrummet. Vårt problem gällde chansen till ett av dessa utfall, sannolikheten för en händelse nämligen händelsen en 4:a. Antalet gynnsamma utfall Antalet möjliga utfall
I vårt problem är antalet gynnsamma utfall 1 (det finns bara en fyra) och antalet möjliga utfall är 6, (1, 2, 3, 4, 5, 6). Alltså : 1 Sannolikheten för att få en 4:a = 6 Som du förstår gäller detta svar endast om det är lika stor chans för varje utfall. Falska tärningar hör inte hit. I stället för att skriva ”sannolikheten för att få en 4:a” kan man använda följande skrivsätt: 1 P(fyra) = 6 Bokstaven P kommer från den första bokstaven i det franska ordet probabilité (jämför engelskans probability) som betyder sannolikhet. Svaret på ett sannolikhetsproblem kan skrivas på olika sätt. Det kan vara: 1 ”En på sex”, , ca 0,167 eller ca 16,7 %. 6 Hur liten eller stor kan sannolikheten vara? Vi kastar en vanlig 6-sidig tärning. Hur stor är sannolikheten att få en 7:a? Naturligtvis är P(sjua) = 0 eller 0 % eftersom det inte finns någon 7:a på tärningen. Vad är sannolikheten att det blir 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 om du kastar en vanlig tärning? Naturligtvis är P(1, 2, 3, 4, 5 eller 6) = 1 eller 100 % eftersom det måste bli något av dessa tal. Sannolikheten ligger mellan 0 (0 %), vilket är en omöjlig händelse och 1 (100 %), vilket är en säker händelse.
286
k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 286
2011-05-24 08.37
Sannolikhet Beräkna sannolikheten att snurran stannar på 3?
lösning: Antal gynnsamma utfall = 1. Antal möjliga utfall = 4. P(3) = 1 4
svar: 1 (25 % eller 0,25) 4
6061
övningar 6056
Vilken är sannolikheten för följande händelser? a) Nästa vecka kommer fredag före torsdag. b) Ett mynt kastas. Det blir klave. 6057 Utan att titta får du stoppa ned handen i påsarna och ta upp en golfboll. Vilken påse, I eller II, ger dig största chansen att ta en gul boll? a)
I
6058
II
b)
I
II
c)
I
a)
b) 2
6059
Ett pennskrin innehåller 5 röda, 8 blå, 4 gula och 3 gröna pennor. Hur stor är sannolikheten att slumpmässigt ta en gul penna?
6060
I en låda ligger 10 lappar numrerade från 1 till 10. Om man slumpmässigt tar upp en lapp, hur stor är sannolikheten att det är nummer 4 eller 8?
1 3
2 3
2
1
3
4
4
1 8 7
5
6
a) P(1) b) P(ett jämnt tal)? c) P( >5)
6062
Hilma har fått en sittplats på rad 12 i ett flygplan.
a) Hur stor är sannolikheten att hon har en fönsterplats? b) Hur stor är sannolikheten att hon har en plats vid någon av gångarna?
6063
Gert-Ove kastar ett mynt 500 gånger. Hur många klave bör komma upp i dessa kast?
6064
Sannolikheten för vänsterhänthet är ca 0,135. Karlstad kommun har ca 85000 invånare. Hur många av dessa kan beräknas vara vänsterhänta? k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 287
1 2
c)
II
På ett bord ligger ett ess, en kung, en drottning och en knekt blandade och med baksidan upp. Sune pekar på ett av korten. Hur stor är sannolikheten att han pekar på esset?
Nedan finns några lyckohjul. Vi sätter fart på dem och spelar. Beräkna sannolikheten för
287
2011-05-24 08.37
1 2 3
6065
En resväska har ett kodat lås med 2 ”rattar”. ”Ratt” 1 har bokstäverna A, B, C och D. ”Ratt” 2 har siff rorna 1, 2, 3, 4 och 5. Väskan låses genom att ägaren väljer en bokstav och en siff ra. a) Hur många låskombinationer fi nns det? b) Hur stor är sannolikheten att slumpmässigt slå in rätt kod och öppna väskan?
har du förstått?
1 2
Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. Har du gjort rätt bildar bokstäverna i rätt/fel-rutan en ort i Dalarna som är känd för björnar och spelmän. Rätt
Fel
1.
1, 2, 3, 4, 5, 6 är utfallsrummet på en 6-sidig tärning.
S
M
2.
Probability är det engelska ordet och probabilité är det franska ordet för SANNOLIKHET.
R
O
3.
Sannolikheten att slå en 5:a på en 6-sidig tärning är 5 6
R
A
4.
En påse innehåller 4 kanelbullar och 5 kardemummabullar. Sannolikheten att slumpmässigt ta en kanelbulle är 4 9
O
A
Påstående
utmaning 6:3
Du blundar och sticker ned handen i en säck med 3 gula och 2 röda bollar. Två bollar ska plockas upp. Hur stor är sannolikheten att du först tar upp en röd boll och därefter en gul boll?
288
1 2 3
k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 288
2011-05-24 08.37
Sannolikheter via relativ frekvens
Teoriomgång
Om man kastar en tärning har vi lärt oss att sannolikheten att få en 3:a är 1/6. Kastar man tärningen många gånger och dividerar antalet gynnsamma observationer (3:a) med antalet gjorda kast (observationer) får man den relativa frekvensen, som då även blir 1/6. relativ frekvens Antal gynnsamma observationer Totala antalet observationer
Relativ frekvens 20 elever skrev ett läxprov där man kunde ha högst 3 rätt. Relativ frekvensen har beräknats.
Relativ frekvens och sannolikhet
Antal rätt
a) Hur stor var sannolikheten att ha 1 rätt på provet? b) Hur stor var sannolikheten att ha 2 eller 3 rätt? lösning: a) svar: 0,25 (eller 25 %) b) 0,40 + 0,35 = 0,75
Frekvens
Relativ frekvens
0
0
0/20 = 0
1
5
5/20 = 0,25
2
8
8/20 = 0,40
3
7
7/20 = 0,35
Summa: 20
Summa: 1,00
svar: 0,75 (eller 75 %)
övningar 6066
6067
Vid genomfartsleden i By sitter Pålle och Pelle. De har under dagen bokfört vilka märken personbilarna har som far förbi. Bilmärke
Volvo Volkswagen Toyota Ford
Frekvens
12 8 10
De två jobbarkompisarna avslutar varje tisdag med en tennismatch. 85 matcher har vunnits av Holm. 60 matcher har vunnits av SöderOlsson. a) Hur stor är sannolikheten att Holm vinner nästa match? b) Hur stor är sannolikheten att Söder-Olsson vinner nästa match?
1 2
5
Hur stor är sannolikheten att nästa bil som kommer är en a) Volvo b) Ford c) Volkswagen eller Toyota? k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
exp1a-kap_6M.indd 289
289
2011-05-27 15.42
Aktivitet uppskattning av sannolikhet
1 2
Uppgift n
Ta reda på hur stor sannolikheten är för att ett häftstift vid kast ska hamna med spetsen ner.
Utförande n
Rad 1: Ta 10 häftstift i handen. Skaka om lite. Sätt handen på en viss höjd och släpp stiften mot underlaget. Räkna antalet häftstift med spetsen ner. Anta att antalet är 4. Skriv detta tal på rad 1 i spalten Frekvens. Skriv 4 även i rutan under kumulerad frekvens. Beräkna relativ kumulerad frekvens som visas i tabellen.
Totalt antal kast
1 2 3 4 5 6
För in värdet 0,40 vid 10 kast i diagrammet. n
n
n
290
Frekvens
10 20 30 40
Kumulerad frekvens
4 3 8 2
Relativ kumulerad frekvens
4 7 (4 + 3) 15 (7 + 8) 17 (15 + 2)
4/10 = 0,40 7/20 = 0,35 15/30 = 0,50 17/40 = 0,425
Relativ kumulerad frekvens 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0 0
10
20
30
40
50 ................... 300
Antal kast
Rad 2: Tag 10 häftstift i handen. Skaka om lite. Sätt handen på samma höjd som vid första försöket och släpp stiften mot underlaget. Räkna antalet häftstift med spetsen ner. Anta att antalet är 3. Skriv detta tal på rad 2 i spalten Frekvens. Addera 4 + 3. Skriv 7 i rutan under kumulerad frekvens. Beräkna relativ kumulerad frekvens som visas i tabellen. För in värdet 0,35 vid 20 kast i diagrammet. Rad 3: Tag 10 häftstift i handen. Skaka om lite. Sätt handen på samma höjd om vid första försöket och släpp stiften mot underlaget. Räkna antalet häftstift med spetsen ner. Anta att antalet är 8. Skriv detta tal på rad 3 i spalten Frekvens. Addera 7 + 8. Skriv 15 i rutan under kumulerad frekvens. Beräkna relativ kumulerad frekvens som visas i tabellen. För in värdet 0,50 vid 30 kast i diagrammet. Fortsätt på detta sätt tills totala antalet kast är 300. Ju flera kast som utförs, desto närmare kommer de relativa frekvenserna varandra. Den linje som förbinder de olika resultaten blir till slut nästan vågrät. Läs nu av på vilken höjd (relativ frekvens) den vågräta linjen befinner sig. Här har du svaret!
k apitel 6 ; Sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 290
2011-05-24 08.37
Beroende och oberoende händelser
1
2
3
Teoriomgång
4
Oberoende händelse I en säck ligger 4 lika stora kulor märkta med 1, 2, 3 och 4. Utan att titta plockar Maria upp en kula, skriver upp kulans nummer och lägger tillbaka den i säcken. Efter att ha ruskat om säcken, tar Maria upp en ny kula och noterar dess nummer. Här ser du alla kombinationer som är möjliga: Första siffran, första dragningen och andra siffran, andra dragningen. 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 4,1 4,2 4,3 4,4 Hur stor är sannolikheten att Maria i första dragningen får en 3:a? Jo, i 4 av 16 fall, d.v.s. 4/16 = 1/4 Hur stor är sannolikheten att Maria i andra dragningen får en 3:a? Jo, i 4 av 16 fall, d.v.s. 4/16 = 1/4
Beroende händelse I en säck ligger 4 lika stora kulor märkta med 1, 2, 3 och 4. Utan att titta plockar Maria upp en kula, skriver upp kulans nummer. Utan att lägga tillbaka kulan, tar Maria upp en ny kula och noterar dess nummer. Här ser du alla kombinationer som är möjliga: Första siffran, första dragningen och andra siffran, andra dragningen. 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 4,1 4,2 4,3 Hur stor är sannolikheten att Maria i första dragningen får en 3:a? Jo, i 3 av 12 fall, d.v.s. 3/12 = 1/4 Hur stor är sannolikheten att Maria i andra dragningen får en 3:a? Ja, det beror på hur första dragningen utfallit. Drar Maria en 3:a i första dragningen är sannolikheten att dra en 3:a i andra dragningen 0. Drar hon i första dragningen 1, 2 eller 4 är sannolikheten att få en 3:a i andra dragningen 1/3. Vi ser att sannolikheten vid andra dragningen är beroende av vad hon har fått vid första dragningen. k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 291
291
2011-05-24 08.37
Träddiagram
Vid fl erstegsförsök är sannolikheten för ett utfall lika med produkten av sannolikheterna för de ingående stegen.
Användning av träddiagram Ingela är en bra tävlingsskytt. Sannolikheten för att hon ska träffa är 90 % och sannolikheten för att hon ska bomma är 10 %. Hon skjuter 2 skott mot en tavla. a) Hur stor är sannolikheten att hon träffar med båda skotten? b) Hur stor är sannolikheten att hon bommar med båda skotten? c) Hur stor är sannolikheten att hon bara får en träff? Lösning: Vi illustrerar det hela med ett träddiagram. 0,90
0,10
träff
0,90
träff
bom
0,10
0,90
bom
träff
0,10
bom
a) Sannolikheten för (träff, träff) = 0,90 ∙ 0,90 = 0,81 = 81 % b) Sannolikheten för (bom, bom) = 0,10 ∙ 0,10 = 0,01 = 1 % c) Sannolikheten för (1 träff) = Sannolikheten för (träff, bom) eller (bom, träff) = = 0,90 ∙ 0,10 + 0,10 ∙ 0,90 = 0,18 = 18 % svar: a) 81 %
292
b) 1 %
c) 18 %
k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 292
2011-05-24 08.37
övningar 6068
6069
Vi använder oss av säcken med de 4 kulorna märkta 1, 2, 3 och 4 enligt tidigare exempel och drar kulor utan återläggning. Hur stor är sannolikheten att a) få en 1:a om man fått en 2:a i första dragningen b) få en 3:a om man fått en 3:a i första dragningen? Vid ett syntest finns 4 svarsalternativ (a, b, c, d) av vilka 1 är rätt. a) Hur stor är sannolikheten att få rätt, om den som testas gissar svaret? b) Hur stor är sannolikheten att svara rätt, om den som testas vet att alternativ d är fel?
Lös följande problem genom att först rita ett träddiagram. 6070 Du kastar ett mynt två gånger. Hur stor är sannolikheten att du får klave båda gångerna? 6071
På ett bord ligger 10 kort med kortsymboler. Ivar blundar och tar två kort.
a) Vad är sannolikheten att första kortet är en hjärter? b) Vad är sannolikheten att andra kortet är en spader, om det första kortet är en hjärter? c) Vad är sannolikheten att båda korten är spader? d) Vad är sannolikheten att det är en hjärter och en spader oavsett dragordning?
6072
Hur stor är sannolikheten att en tvåbarnsfamilj har två döttrar? Anta att det är lika sannolikt att få en son som att få en dotter.
6073
En tärning kastas två gånger. Hur stor är sannolikheten att tärningen visar sexa vid båda kasten? 6074 Sannolikheten för att spjutkastaren Conny ska kasta sitt spjut över 70 m är 60 %. Conny gör två kast efter varandra. Hur stor är sannolikheten för att han a) klarar 70-metersgränsen i båda kasten b) klarar 70- metersgränsen i ett av kasten c) inte klar 70-metersgränsen i något av kasten? 6075
Konstnären har 6 gula oljefärgstuber och 4 röda oljefärgstuber i låda A. I låda B har han 5 gula akrylfärgstuber och 10 röda akrylfärgstuber. Han väljer slumpmässigt låda och tar ur denna slumpmässigt upp en färgtub. Hur stor är sannolikheten att det är en gul tub?
k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 293
1 2 3
293
2011-05-24 08.38
1 2 3
6076
Sannolikheten att en kvinna föder en pojke är 0,48. Hur stor sannolikheten är det att vid två närliggande födslar a) föda två pojkar b) föda två flickor c) först föda en flicka och sedan en pojke d) först föda en flicka och sedan en pojke eller tvärtom?
6077
I en låda ligger 4 skedar, 5 gafflar och 3 knivar. Slumpmässigt tar man upp tre bestick. a) Hur stor är sannolikheten att alla tre är knivar? b) Hur stor är sannolikheten att det först är en sked, sedan en gaffel och sist en kniv?
Teoriomgång
Komplementhändelse Känner vi till sannolikheten för en viss händelse, kan man också räkna ut sannolikheten för händelsens motsats. Motsatsen till en händelse kallas komplementhändelse.
P (komplementhändelse) = 1 – P (händelse)
Händelse
P (händelse)
Komplementhändelse
P (komplementhändelse)
Få en sexa då man kastar en tärning
P (6) ≈ 0,17
Få ett, två, tre, fyra eller fem då man kastar en tärning
P (1,2,3,4,5) ≈ 0,83
Få en spader då man drar ett kort i en kortlek
P (spader) = 0,25
Inte få en spader då man drar ett kort i en kortlek
P (ingen spader) = 0,75
Komplementhändelse Sannolikheten för att skidskytten ska träffa sitt mål är 70 % (eller 0,70). Hur stor är sannolikheten att skytten bommar? lösning: 100 % – 70 % = 30 % svar: 30 % (eller 0,30)
294
k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 294
2011-05-24 08.38
Sannolikheter vid riskbedömning En riskbedömning är en bedömning av risken att t.ex. avlida när man arbetar med kemikalier, få en ärftlig sjukdom eller förlora alla pengar som man satsat i ett företag.
Riskbedömning Risken att drabbas av glaukom (grön starr) är ca 5 % för alla över 70 år. I ett samhälle finns 800 personer över 70 år. Gör en riskbedömning över hur många av dessa som kan få sjukdomen. lösning: 0,05 ∙ 800 = 40 svar: 40 personer
övningar 6078
Sannolikheten att magister Bråksson ska ge hemläxa är 40 %. Hur stor är sannolikheten att han inte ska ge läxa? 6079 Hur stor är sannolikheten att det blir nederbörd, då prognosen för uppehåll är 0,85?
6080
Inga-Lisa pendlar till jobbet med sin gamla bil. Sannolikheten att bilen ska starta är 87 %. Rita träddiagram. a) Hur stor är sannolikheten att hennes bil ska starta 2 dagar i rad? b) Hur stor är sannolikheten att hennes bil inte ska starta någon gång 2 dagar i rad?
c) Hur stor är sannolikheten att bilen startar den första dagen, men inte den andra dagen? 6081 Sannolikheten att man i Sverige skall uppnå 75 år är 0,76 för en man och 0,85 för en kvinna. Hur stor är sannolikheten att två makar båda upplever 75-årsdagen? 6082 Att stå i kö för att få en bypassoperation (en typ av hjärtoperation) har sina risker. Risken att dö under väntetiden är ca 1,3 %. Under en tid väntade 250 patienter på operation i ett län. Gör en riskbedömning av hur många som avlider innan de hinner bli opererade. 6083 Risken att under ett år bli matförgiftad i Sverige är ca 0,05. a) Ungefär hur många invånare i Sverige blir matförgiftade varje år? Sveriges har ca 9000000 invånare. b) Hur stor är risken att i Sverige bli matförgiftad 2 år i rad?
1 2 3
k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 295
295
2011-05-24 08.38
296
6084
Om ett ”worst case” antagande görs att samtliga hundar skulle vara smugglade från Litauen (eller land med motsvarande rabiesförekomst) skulle risken för rabies vara cirka 20 gånger större än den genomsnittliga risken, vilket skulle innebära cirka 9 procent risk att få in rabies via smuggelhund under ett år. (Statens Veterinärmedicinska Anstalt) Anta att 1000 hundar smugglas in från Litauen (eller ett land med motsvarande rabiesförekomst). Hur många av dessa är sannolikt rabiessmittade?
6085
Inför svininfluensaepidemin vaccinerades många med H1N1- vaccinet Panderix. Det har visat sig att ungdomar mellan 5–19 år eventuellt kan drabbas av narkolepsi. Risken för detta kan ligga på 0,09 ‰. Säg att en miljon ungdomar vaccinerades, hur många riskerade då att drabbas av narkolepsi?
6086
Bobby ska gå på bio. Risken att han på ditvägen ska träffa elaka Ruben är 40 %. Han kan också på ditvägen träffa söta Wilma. Risken för detta är 70 %. Hur stor är sannolikheten att han både träffar elaka Ruben och söta Wilma? 6087 För att ta reda på hur många olika 3-siffriga tal man kan bilda med siffrorna 7, 8 och 9 utan upprepning, kan man göra följande analys: 7 8 9 7 9 8 8 7 9 8 9 7 9 7 8 9 8 7 Svaret blir således 6 tal. a) Hur många 4-siffriga olika tal kan bildas med siffrorna 5, 6, 7 och 8 och utan upprepning? b) Hur många 5-siffriga olika tal kan bildas med siffrorna 5, 6, 7, 8 och 9 utan upprepning? c) Hur många 6-siffriga olika tal kan bildas med siffrorna 4, 5, 6, 7, 8 och 9 utan upprepning? d) Tänk efter! Kan du finna ett enkelt sätt att räkna ut dessa problem? Prova om din teori håller med uppgiften: Hur många 9-siffriga olika tal kan bildas med siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9 utan upprepning?
1 2 3 4
k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 296
2011-05-24 08.38
avsnittskoll 6:4 Detta ska du förstå innan du fortsätter med nästa avsnitt.
1
Vilken är komplementhändelsen till ”klave” vid ett kast med ett mynt?
2
Vilken är sannolikheten att få en 10:a på en 6-sidig tärning?
3
Birgitta kastar en tärning och behöver en 6:a för att vinna. Jessica kastar ett mynt och behöver klave för att vinna. Vem har störst chans att vinna, Birgitta eller Jessica? Motivera!
4
I en korg med 10 kiwifrukter finns det en frukt som är förstörd. Meleqe blundar och tar en frukt. Hur stor är chansen att hon tar den förstörda frukten?
5
Hur stor är sannolikheten att man får en knekt om man slumpmässigt drar ett kort i en kortlek?
6
Sannolikheten att Vicke ska göra minst ett mål under en fotbollsmatch är 20 %. Hur stor är chansen att Vicke gör mål under två på vardera följande matcher?
7
Kålle Pettsson går till biblioteket för att läsa flera dagstidningar. Sannolikheten att han ska läsa Göteborgsposten först är 65 %. Hur stor är sannolikheten att han 2 gånger i rad börjar med a) Göteborgsposten b) någon annan tidning c) Göteborgsposten först och därefter någon annan tidning?
utmaning 6:4
Hjulet snurras 2 gånger. Hur stor är sannolikheten att ett A och ett E kommer upp?
G
150°
50°
M
1 2 3
A
60° 100°
E
Ord och begrepp 6:4 Koll på avsnittet 6:4 Kapitelprov 6:1 Kapitelprov 6:2
k apitel 6 ; sannolikhet och statistik
Bok 978-91-40-67420-3.indb 297
297
2011-05-24 08.38
■ ■ ■
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4c, 5c)
Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, kunskapsfrågor, självrättande prov m.m. Gå gärna in på www.laromedelswebbar.se och prova en demo.
1a
Exponent 1a är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans yrkesprogram. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
e ponent
e ponent
Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/labexponent. Författare till Exponent 1a är Lars-Göran Johansson och Tommy Olsson. Båda är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning på yrkesprogrammen.
1a
e1a_omslag_110525.indd 1
2011-05-30 09.14