9789144117690 by Smakprov Media AB

KRETSANALYS BILL KARLSTRÃ&#x2013;M

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access . Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 39503 ISBN 978-91-44-11769-0 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2017 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Jens Martin, Signalera Omslagsillustration: spainter_vfx/Shutterstock Printed by Eurographic Danmark A/S, Denmark 2017

Innehåll 1.

Inledning 1 Förutsättningar 1 Storhet, enhet, mätetal

Elektriska kretsar 5 Kretsstorheter 5 Ohms lag 12 Ideala kretselement

Resistiva kretsar 25 Kirchhoffs lagar 25 Resistorkopplingar 40 Spännings- och strömdelning

Analysmetoder 66 Nodanalys 67 Maskanalys 75

Tvåpoler 86

Kretsteorem 112 Tvåpolsatsen 112 Superposition 122 Effektanpassning 128

Operationsförstärkare 138

Energilagrande komponenter 176 Kondensator Spole 183

176

Sinusformat stationärtillstånd 196 Sinusformade storheter 199 Visardiagram 212 Komplexa metoden 227 Komplex effekt 245 Effektanpassning 255

10.

Frekvensberoende 271 Överföringsfunktionen Bodediagram 293 Resonans 310

11.

271

Magnetisk koppling 338 Ömsesidig induktans 339 Prickbeteckningar 340 Ideal transformator 349

12.

Transienta förlopp 365 Stationärtillstånd vid DC 365 In- och urkoppling av kapacitiva och induktiva kretsar 366

13.

Trefas 381 Symmetriskt trefassystem 381 D- och Y-kopplad belastning. 385 Trefaseffekt 394

14.

Fyrpoler 403 Z- och Y-parametrar 403 Transmissionsparametrar 406 Hybridparametrar 408

15.

Bilagor 416 Magnetisk koppling 416 Magnetisk energi i kopplade spolar och bevis för att M12  M21 421 D-Y-transformation 424 När är en kvot mellan komplexa tal reell? Cramers regel 427 Bandbredd 428

Svar 430 Register 445

426

3: Resistiva kretsar Kirchhoffs lagar Den tyske fysikern Gustav Kirchhoff formulerade 1847 två lagar som tillsammans med Ohms lag beskriver sambanden mellan strömmar och spänningar i en krets med diskreta komponenter. Mellan 1861 och 1862 formulerade James Clerk Maxwell 20 ekvationer som ger en allmän beskrivning av det elektromagnetiska fältet. Ekvationerna omformulerades i vektorform av Oliver Heaviside och omfattar nu fyra samband. Kirchhoffs lagar blev då ett specialfall av några av dessa och beskriver situationen då det elektriska fältet är ”instängt” i en elektrisk ledare. Kirchhoffs strömlag (KCL, Kirchhoffs current law) Denna lag bygger på lagen om laddningens bevarande, som fastslår att laddningen är konstant i ett slutet system. I en krets skall vi betrakta två fall av slutet system, en förgreningspunkt (nod) och en del av kretsen. Betrakta fig 3.1 nedan. Enligt lagen om laddningens bevarande är den laddning som varje sekund rör sig in i noden lika stor som den laddning som lämnar noden. Detta betyder att vi får en första formulering av Kirchhoffs strömlag enligt följande: summan av strömmarna in i en nod är lika med summan av strömmarna ut från noden i1  i4  i2  i3

(3.1)

i2 i3

Fig 3.1 Kirchhoffs strömlag

Mycket vanligt är att sätta ut alla strömmar ut från eller in i noden. Detta ger följande i båda fallen i1  i2  i3  i4  0 (3.2)

i2 i3

i4 i3

Fig 3.2 Kirchhoffs strömlag

Betrakta nu ett allmännare fall där vi betraktar de strömmar som går in i eller ut från en del av en krets (skuggad del).

i3 i1

Komponent

i4 Fig 3.3 Kirchhoffs strömlag Enligt ovan gäller i  i1  i4 (3.3) i  i2  i3 (3.4)

(3.3) och (3.4) ger i1  i4  i2  i3

(3.5)

Detta betyder att vi generalisera Kirchhoffs strömlag: summan av strömmarna in i en del av en krets är lika med summan av strömmarna ut från den. Exempel 3.1 Bestäm strömmen i ledare L till storlek och riktning.

-3 A 4A 2A 5A L Fig 3.4 Kirchhoffs strömlag

Lösning Sätt ut strömmen i ledare L med referensriktning in i noden eller ut från noden. Här väljs riktningen ut från noden.

-3A 4A 2A

L Kirchhoffs strömlag ger då

-3  4  i  5  2 i  6A



●

(3.6)

Detta resultat skall tolkas som att strömmen i ledare L är 6A in i noden. Observera också att strömmarna adderas med hänsyn till deras riktning och inte med hänsyn till deras värden. Exempel 3.2

Bestäm strömmen i nedan.

0,7 A

i Fig 3.5 Kirchhoffs strömlag

Lösning

Använd KCL på 1, 2 och 3.

0,7 A

i Det ger 0,7  i



i  0,7 A

(3.7)

●

Detta är i överensstämmelse med påståendet i kapitel 1 att strömmen inte ändras när den passerar en komponent.

Kirchhoffs spänningslag (KVL, Kirchhoffs voltage law)

Denna lag bygger på att energin är bevarad i ett slutet system så att en laddning som rör sig i en sluten bana i en krets tappar lika mycket energi som den vinner. Eftersom spänning definieras som energi per enhetsladdning får vi Kirchhoffs spänningslag enligt följande Den algebraiska summan av spänningarna längs en sluten bana i en elektrisk krets är noll.

Låt oss med hjälp av KVL formulera den ekvation som ger spänningen us i kretsen nedan. Vi går därför runt kretsen medurs med början i A. Observera att spänningen över varje komponent står utanför.

Fig 3.6 Kirchhoffs spänningslag KVL ger  us  u1  u2  u3  u4  0 (3.8) us  u1  u2  u3  u4

(3.9)

Förklaring A-B B-C C-D D-E E-A

Laddningens energi ökar, därav plustecknet Laddningens energi ökar, därav plustecknet Laddningens energi minskar, därav minustecknet Laddningens energi ökar, därav plustecknet Laddningens energi minskar, därav minustecknet

Observera att det är spänningarnas referenspolaritet som bestämmer om laddningens energi ökar eller minskar. Exempel 3.3

Kretsen nedan består av en energikälla och tre apparater 1, 2 och 3. Bestäm spänningen u .

+ 24 V

u -

Fig 3.7 Kirchhoffs spänningslag Lösning

Här finns bara en sluten väg. Vi tillämpar KVL på denna och går runt medurs med början i A.

+ C

+ 24 V

A -

D +

Detta ger 24  7 - u - 9  0

(3.10)



u  22 V

●

Ett resultat av Kirchhoffs spänningslag är att Spänning = potentialdifferens, se exempel 3.6 nedan. Exempel 3.4

Bestäm spänningen u AB i kretsen nedan.

+ u1

uAB 2

B + u2

Fig 3.8 Kirchhoffs spänningslag Lösning

Den nedre ledaren är jordad. Potentialen i A är, enligt definitionen, spänningen mellan A och jord. Alltså v A  u1.

(3.11)

Av motsvarande anledning gäller vB  u2 .

(3.12)

KVL längs slinga 2 ger nu  u1  uAB  u2  0 uAB  u1  u2  v A  vB

(3.13)

 ●

(3.14)

Alltså u AB  v A  v B , spänning = potentialdifferens.

Observera att man vid användningen av KVL kan gå längs en slinga som inte bara passerar komponenter utan även delar av kretsen, slingorna 1 och 2 ovan passerar u1 som är spänninge över apparaterna 2 och 3. Med KVL kan vi också hitta ett sätt att bestämma potentialen i en punkt.

Exempel 3.5

Bestäm potentialen v A i kretsen i fig 3.4 (exempel 3.8). Lösning

KVL i slinga 1 ger  us  u3  u1  0



u1  us  u3

(3.15)

Eftersom , v A  u1 , får vi v A  us  u3

●

(3.16)

Detta kan uttryckas på följande sätt: Potentialen i en punkt fås genom att gå från jord till punkten och addera alla spänningar med tecken. Exempel 3.6

Bestäm strömmen i i kretsen nedan.

Bestäm potentialerna v A och vB i punkterna A resp. B.

R1=100Ω

R2=220Ω

i 17 V

36 V R3=330Ω Fig 3.9 Kirchhoffs spänningslag Lösning

Sätt ut spänningarna med passiva referenser (ström in vid plus) på resistorerna. Teckna dessa spänningar och använd sedan KVL på hela slingan.

R1=100Ω

A +

R2=220Ω i

B 17 V

36 V u3

R3=330Ω Ohms lag ger

u1  R1  i ,

u2  R2  i , u3  R3  i

36  u1  u2  17  u3  0

KVL ger

19  R1  i  R2  i  R3  i  0



i

(3.17)



(3.18)

R1  R2  R3   i  19



19 19   29,2mA R1  R2  R3 100  220  330

(3.19)

(3.20)

v A fås genom att gå från jord till A och addera spänningar

algebraiskt, dvs med tecken. Detta ger

v A  0  36V  36V . (3.21) På motsvarande sätt får vi vB . vB  0  36V  u1  u2



vB  0  36V  R1  i  R2  i 

 0  36  100  29,2  10 3  220  29,2  10 3  26,6V

●

(3.22)

Exempel 3.7

Bestäm spänningen u2 samt strömmarna i1 och i2 nedan.

0,4 A

13 V

16 V

2 -

100Ω +

11 V

4 Fig 3.10 Kirchhoffs spänningslag

Lösning u2 bestäms med KVL längs vägen energikälla-1-2-u2-4. i1 bestäms med Ohms lag när vi känner spänningen över resistorn. Sätt

därför ut denna med beteckningen u1 och passiva referenser (plus där strömmen går in). u1 bestäms sedan med KVL (vänster slinga). Därefter kan i2 bestämmas med KCL. u2

13 V

0,4 A

16 V

+ u1

100Ω

+ KVL:

11 V

16  13  5  u2  11  0



u2  19 V

(3.23)

+ 0,4 A

13 V

16 V

100Ω

+ KVL

11 V

16  13  u1  11  0

(3.24)



u1  14 V

(3.25)

Ohms lag ger i1 

14  0,14 A 100

(3.26)

KCL ger 0,4  i1  i2

(3.27)



i2  0,4  i1  0,4  0,14  0,26 A

●

(3.28)

Exempel 3.8

Bestäm strömmarna i1 och i2 i kretsen endan.

100Ω

40 V i2

20 V

0,1 A

50Ω

Fig 3.11 Kirchhoffs lagar

Lösning

Sätt ut polariteterna på resistorernas spänningar i förhållande till strömriktningarna (in vid plus). Använd sedan KVL i den vänstar slingan och KCL i en av noderna.

100Ω +

40 V i2 +

20 V

0,1 A 50Ω

KVL ger 20  100  i1  40  50  i2  0 100  i1  50  i2  20

(3.29)

(3.30)



2  i1  i2  0,4 (3.31)

KCL i den övre noden ger i1  0,1  i2

(3.32)

i1  i2  0,1

(3.33)



(3.33) ger i1  i2  0,1

(3.34).

Sätt in i (3.31): 2  i2  0,1  i2  0,4

i2  0,0667 A



3  i2  0,2

(3.35)



(3.36)

Sätt in i (3.34): i1  0,0667  0,1  0,167 A

(3.37)

●

Kommentar: (3.31) och (3.32) utgör tillsammans ett ekvationssystem. Detta kan ges en matrisformulering enligt följande  2 1   i1   0,4           1  1  i2    0,1

(3.38).

Denna matrisekvation kan lösas med Cramers regel, vilket ger 0,4 1  0,1  1  0,4    1  1   0,1 i1     0,167 A 2 1 2   1  1  1 1 1

(3.39)

2 0,4 i2 

1  0,1 2   0,1   0,4   1   0,0667 A  2 1 2   1  1  1 1 1

(3.40)

Exempel 3.9

Bestäm spänningen u nedan.

220 Ω

120 Ω

180 Ω

+ u

2· u

Fig 3.12 Kirchhoffs lagar Lösning

Först noterar vi att u  120  i2

(3.41)

Sätt ut strömmar enligt nedan och använd KVL på de två slingorna. Använd dessutom KCL på den övre noden.

+ i1 5V

220 Ω

+ i2

120 Ω

+ u

180 Ω 2

i3 2· u

KVL i slinga 1 ger

5  220  i1  120  i2  0



(3.42)

220  i1  120  i2  5 (3.43)

KVL i slinga 2 ger 120  i2  180  i3  2  u  0



(3.44)

120  i2  180  i3  2  120  i2  0

(3.45)



120  i2  180  i3  0 (3.46)

KCL i övre noden ger i1  i2  i3 (3.47)

Vi skall alltså bestämma i2 ur följande ekvationssystem 220  i1  120  i2  5 (3.48) 120  i2  180  i3  0 (3.49) i1  i2  i3 (3.50)

Sätt först in (3.50) i (3.48): 220  i2  i3   120  i2  5

(3.51)



340  i2  220  i3  5 (3.52)

Lös ut i3 ur (3.49) och sätt in i (3.52). Detta ger i2 . (3.49) ger i3  

120  i2 180

(3.53)

(3.52) ger 340  i2  220 

120  i2  5 180

i2  25,86 mA

(3.55)

(3.54)



(3.41) ger nu u  120  25,86  10 3  3,10 V

(3.56).

●

Universitetsadjunkt Bill Karlström är verksam vid institutionen för elektroteknik på Chalmers tekniska högskola där han haft kurser i ellära, elektronik och transformer för blivande högskole- och civilingenjörer. Han har även tillsammans med Lars Bengtsson gett ut boken Transformer och filter.

KRET SANALYS Analys av elektriska kretsar är viktigt inom alla områden av elektrotekniken, från analog förstärkarteknik och digitalteknik till beräkningar på kraftelektronisk apparatur och trefas elkraftöverföringar. Boken tar upp Kirchhoffs grundläggande lagar för elektriska kretsar och ett antal metoder för att använda dessa, nod- och maskanalys samt några viktiga kretsteorem såsom tvåpolsatsen och superpositionssatsen. I kapitlet Sinusformad AC presenteras den komplexa metoden, ett mycket viktigt verktyg för att studera kretsar vid stationär sinusform, t.ex. filter-kretsar. Som en tillämpning finns även ett avsnitt om operationsförstärkare. Boken är lämplig för kurser i elkretsteori på civilingenjörs- och högskoleingenjörsutbildningar inom elektro, data och mekatronik.

Art.nr 39503

studentlitteratur.se