ng Ly ni
ng Ly ni
B
l lem ös
pr o b
med problemlösning
l lem ös
Problemlösning har en central roll inom matematiken. Enligt Lgr 11 ska undervisningen bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Problemlösning är både ett mål och ett medel och finns därför med både som ett långsiktigt mål och som ett kunskapsområde i det centrala innehållet.
as m
Lärarstöd för strukturerad undervisning
För att utveckla problemlösningsförmågan är det viktigt att arbeta regelbundet och med progression och struktur. I arbetet med Lyckas med problemlösning får eleverna • lösa matematiska problem • använda några strategier • välja en lämplig lösningsstrategi • bedöma om lösningen är rimlig • förklara sina lösningar både skriftligt och muntligt • reflektera kring olika sätt att lösa problem • formulera egna matematiska problem Eleverna får också använda sina kunskaper i arbetshäftet/elevboken De sju portarna. Lyckas med problemlösning B vänder sig i första hand till elever i årskurs 4–6. Författare till materialet är Victoria W Gustafsson och Anette S Panboon. Båda har lång erfarenhet som klasslärare i årskurs 1-5 och att undervisa i matematik. De har skrivit flera läromedel tillsammans.
Victoria W Gustafsson ISBN 978-91-86611-42-2
341 123
Anette S Panboon
pr o b
l
ed
B
k a c s y
ck
ed
c
k as m
k a c s y l
med problemlösning
B
Lärarstöd för strukturerad undervisning
Författare
Victoria W Gustafsson Anette S Panboon Bilder
Daniel Borg
isbn 978-91-86611-42-2 © 2012 Victoria W Gustafsson, Anette S Panboon och Askunge AB produktion • Mirvi Unge Thorsén illustration • Daniel Borg Första upplagan 1
Denna bok uppfyller miljökraven för märkning med Svanen. tryck Elanders Sverige AB 2012
kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Det är inte tillåtet, enligt avtal med Bonus Presskopia, att för undervisningsbruk kopiera ur detta häfte. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. undantag Kopiering är tillåten av de sidor som är markerade Kopiering tillåten. Kopiering får dock endast ske till eleverna på den egna skolan, och kopiorna får inte på något vis spridas utanför den egna skolans verksamhet.
Askunge Thorsén Förlag AB, Manhemsvägen 41, 131 46 Nacka 08-30 95 75, 073-951 13 93 www.askunge.se askunge@askunge.se
2
innehåll Om
materialet ................................................ 4
F örankring
i kursplanen ................................ 4
Syfte........................................................ 5 Centralt innehåll..................................... 5 Konkretisering av mål............................. 5 Bedömning och dokumentation.............. 5 Självvärdering i problemlösning............. 7 A rbetsgång .................................................... 8 V ägvisarens
tips ............................................. 9
Läs och förstå problemet......................... 9 Välj en strategi........................................ 13 Rita en bild....................................... 14 Använd laborativt material............. 17 Sök efter ett mönster....................... 20 Gör en tabell..................................... 23 Gissa och pröva................................ 26 Arbeta bakifrån................................ 29 Gör en ekvation................................ 32 Visa hur du löst uppgiften....................... 35 Bedöm om svaret verkar rimligt.............. 41 Ö ppna
uppgifter ............................................. 43
K lassens De
egna matteproblem ........................... 47
sju portarna ............................................. 53
F acit
till de sju portarna .............................. 54
F acit / lösningar H emligt
till välj en strategi ............. 61
meddelande ....................................... 62
D iplom ........................................................... 63 V ägvisarens
plansch ...................................... 64
3
om materialet För att utveckla problemlösningsförmågan är det viktigt att arbeta regelbundet och med progression och struktur. I Lyckas med problemlösning får eleverna bekanta sig med olika strategier, lösa problem med flera alternativa lösningar, formulera egna uppgifter och använda sina kunskaper i arbetshäftet De sju portarna. Vi vill att eleverna ska få uppleva den känsla som Lars Mouwitz kallar problemlösningslycka: ”Problemlösningslycka handlar inte bara om att man känner lättnad för att arbetet är utfört. En sådan lättnad kan man känna efter många arbetsuppgifter. Inte heller är det känslan av att vara ”duktig”, även om det kan vara trevligt i ett tävlingssammanhang. Lyckokänslan består istället till största delen av insikten att man VET att man har kommit på en lösning. Behovet av facitkontroll eller avstämning gentemot en expert är som bortblåst! Det är en skön och stärkande visshet, som man tar med sig in i framtiden.” Nämnaren nr 4 1999
förankring i kursplanen Problemlösning har en central roll inom matematiken. Enligt Lgr 11 ska undervisningen bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Problemlösning är både ett mål och ett medel och finns därför med både som ett långsiktigt mål och som ett kunskapsområde i det centrala innehållet. I Lgr 11 skiljer man på problemuppgifter och rutinuppgifter. I de långsiktiga målen finns dels förmågan att lösa problem och dels förmågan att lösa rutinuppgifter. ”Matematiska problem är situationer eller uppgifter där eleverna inte på förhand känner till hur problemet ska lösas. Istället måste de undersöka och prova sig fram för att finna en lösning.” Kommentarmaterial i matematik
Det är viktigt att eleverna är medvetna om skillnaden mellan problemlösning och rutinuppgifter. Att lösa problem tar tid, kräver tålamod och uthållighet, men de största hindren är också de som är härligast att övervinna. Det som kan upplevas som ett problem för en elev, kan vara en rutinuppgift för en annan elev som kommit långt i sin kunskapsutveckling.
4
syfte
I Lyckas med problemlösning behandlas främst följande tre långsiktiga mål från kursplanens syfte: Genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att • formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder • föra och följa matematiska resonemang • använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.
centralt innehåll
Problemlösning har en särställning som kunskapsområde, då innehållet ska tillämpas på alla andra kunskapsområden. Enligt kursplanen ska följande centrala innehåll behandlas i årskurs 4-6: • Strategier för matematisk problemlösning i vardagliga situationer. • Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer. konkretisering av mål
I arbetet med Lyckas med problemlösning kan följande konkretisering användas för att göra eleverna medvetna om målen: Du ska få lära dig att • lösa matematiska problem • använda några strategier
Kunskapskrav
• välja en lämplig lösningsstrategi
på nästa sida!
• bedöma om lösningen är rimlig • förklara dina lösningar både skriftligt och muntligt • reflektera kring olika sätt att lösa problem • formulera egna matematiska problem
bedömning och dokumentation
Innan ni påbörjar arbetet med Lyckas med problemlösning bör ni fundera kring hur och när elevernas kunskaper och förmågor ska bedömas, samt hur kunskapsutvecklingen ska dokumenteras. På nästa sida ser du hur kunskapskraven formuleras för årskurs 6.
5
kunskapskrav för betyget e
6
kunskapskrav för betyget c
kunskapskrav för betyget a
Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett i huvudsak fungerande sätt genom att välja och använda strategier och metoder med viss anpassning till problemets karaktär.
Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett relativt väl fungerande sätt genom att välja och använda strategier och metoder med förhållandevis god anpassning till problemets karaktär.
Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett väl fungerande sätt genom att välja och använda strategier och metoder med god anpassning till problemets karaktär.
Eleven beskriver tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och för enkla och till viss del underbyggda resonemang om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen samt kan bidra till att ge något förslag på alternativt tillvägagångssätt.
Eleven beskriver tillvägagångssätt på ett relativt väl fungerande sätt och för utvecklade och relativt väl underbyggda resonemang om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen samt kan ge något förslag på alternativt tillvägagångssätt.
Eleven beskriver tillvägagångssätt på ett väl fungerande sätt och för välutvecklade och väl underbyggda resonemang om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen samt kan ge förslag på alternativa tillvägagångssätt.
Eleven kan redogöra för och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då bilder, symboler, tabeller, grafer och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget.
Eleven kan redogöra för och samtala om tillvägagångssätt på ett ändamålsenligt sätt och använder då bilder, symboler, tabeller, grafer och andra matematiska uttrycksformer med förhållandevis god anpassning till sammanhanget.
Eleven kan redogöra för och samtala om tillvägagångssätt på ett ändamålsenligt och effektivt sätt och använder då bilder, symboler, tabeller, grafer och andra matematiska uttrycksformer med god anpassning till sammanhanget.
I redovisningar och samtal kan eleven föra och följa matematiska resonemang genom att ställa frågor och framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt.
I redovisningar och samtal kan eleven föra och följa matematiska resonemang genom att ställa frågor och framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som för resonemangen framåt.
I redovisningar och samtal kan eleven föra och följa matematiska resonemang genom att ställa frågor och framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som för resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem.
Måla det som stämmer på dig. självvärdering i problemlösning
Läs och förstå problemet
Behöver hjälp för att förstå problemet.
Behöver viss hjälp för att förstå problemet.
Förstår problemet själv.
Välj en lämplig strategi för att lösa uppgiften
Behöver hjälp med att välja en lämplig strategi.
Behöver viss hjälp för att välja en lämplig strategi.
Kan välja en lämplig strategi för att lösa problemet.
Visa hur du har löst uppgiften
Skriftligt Lösningen saknas eller är svår att följa.
Skriftligt Lösningen går att följa men är inte fullständig.
Skriftligt Har en fullständig lösning som går att följa.
Muntligt Behöver hjälp för att förklara lösningen, så att andra förstår.
Muntligt Kan förklara lösningen med hjälp av stödfrågor från läraren.
Muntligt Kan förklara lösningen, så att andra förstår.
Bedöm om svaret verkar rimligt
Kontrollerar inte att frågan besvarats.
Kontrollerar att frågan besvarats.
Kontrollerar inte att svaret är rimligt.
Kontrollerar att svaret är rimligt.
Reflektera kring olika sätt att lösa problem
Har svårt att förstå andras lösningar.
Formulera egna matematiska problem
Behöver hjälp för att formulera ett problem, som är fullständigt.
Förstår delar av andras lösningar.
Behöver hjälp med att se för- och nackdelar med olika metoder.
Kopiering tillåten • Lyckas med problemlösning B © FÖRFATTARNA och askunge AB
Förstår andras lösningar. Kan se för- och nackdelar med olika metoder.
Kan formulera ett enkelt matematiskt problem, som är fullständigt.
Kan formulera ett klurigt matematiskt problem, som är fullständigt.
7
läs och förstå problemet
Läs uppgiften. 30 rymdvarelser skulle på utflykt. Två blev sjuka och kunde inte följa med. Tre skadade sig när de spelade månfotboll. Fem stycken fick ont i magen och en bröt armen när den skulle gå på händer. Alla som hade skadat sig eller mådde dåligt fick åka rymdambulans hem. Varje ambulans hade plats för två rymdvarelser. Hur många ambulanser behövdes?
Vad behöver du veta för att svara på frågan?
Välj ut den information som behövs och skriv den i rutan.
10
Kopiering tillåten • Lyckas med problemlösning B © FÖRFATTARNA och askunge AB
välj en strategi
–
rita en bild
Lös problemet genom att rita en bild. Hilda sågar Hilda ska såga en bräda i sju delar. Det tar tre minuter för henne att såga igenom brädan en gång. Hur lång tid tar det för henne innan hon är klar?
Kopiering tillåten • Lyckas med problemlösning B © FÖRFATTARNA och askunge AB
15
välj en strategi
–
sök efter ett mönster
Lös problemet genom att söka efter ett mönster. En massa jordgubbar Ayla har fått sommarjobb som jordgubbsplockare. Första veckan plockar hon 4 liter per timme. Andra veckan plockar hon 6 liter per timme och tredje veckan 9 liter per timme. Den fjärde veckan plockar hon 13 liter per timme. Hur mycket plockar hon per timme den femte veckan om hon klarar att öka i samma takt?
Kopiering tillåten • Lyckas med problemlösning B © FÖRFATTARNA och askunge AB
21
välj en strategi
–
arbeta bakifrån
Lös problemet genom att arbeta bakifrån. Akvariet När Wilma ska mata fiskarna i sitt akvarium upptäcker hon att 3 stycken guppys blivit uppätna av kampfisken och en neontetra ligger död på botten. Men hon blir glad när hon upptäcker att en av svärdbärarna fått ungar. 8 små yngel simmar omkring bland sjögräset. Totalt räknar Wilma till 27 fiskar i akvariet. Hur många fiskar hade hon från början?
Kopiering tillåten • Lyckas med problemlösning B © FÖRFATTARNA och askunge AB
31
öppna uppgifter
Nöjesfältet Fotbollslaget Maskrosorna har åkt på träningsläger. En dag är de lediga och får åka till nöjesparken. Tränaren har delat upp de 56 spelarna i grupper. Det är lika många spelare i varje grupp. Grupperna springer iväg åt olika håll. Det finns många karuseller att välja bland. Hur många grupper är de indelade i och hur många spelare är det i varje grupp?
Bild – rita en bild som visar lösningen
Symbol – visa lösningen med siffror
44
Kopiering tillåten • Lyckas med problemlösning B © FÖRFATTARNA och askunge AB
ng Ly ni
ng Ly ni
B
l lem ös
pr o b
med problemlösning
l lem ös
Problemlösning har en central roll inom matematiken. Enligt Lgr 11 ska undervisningen bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Problemlösning är både ett mål och ett medel och finns därför med både som ett långsiktigt mål och som ett kunskapsområde i det centrala innehållet.
as m
Lärarstöd för strukturerad undervisning
För att utveckla problemlösningsförmågan är det viktigt att arbeta regelbundet och med progression och struktur. I arbetet med Lyckas med problemlösning får eleverna • lösa matematiska problem • använda några strategier • välja en lämplig lösningsstrategi • bedöma om lösningen är rimlig • förklara sina lösningar både skriftligt och muntligt • reflektera kring olika sätt att lösa problem • formulera egna matematiska problem Eleverna får också använda sina kunskaper i arbetshäftet/elevboken De sju portarna. Lyckas med problemlösning B vänder sig i första hand till elever i årskurs 4–6. Författare till materialet är Victoria W Gustafsson och Anette S Panboon. Båda har lång erfarenhet som klasslärare i årskurs 1-5 och att undervisa i matematik. De har skrivit flera läromedel tillsammans.
Victoria W Gustafsson ISBN 978-91-86611-42-2
341 123
Anette S Panboon
pr o b
l
ed
B
k a c s y
ck
ed
c
k as m