9789147112050 by Smakprov Media AB

Ryggbredd: 35 mm

MATS NEYMARK är f.d. universitetslektor i tillämpad matematik vid Linköpings universitet. Han har mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på framför allt tekniska och naturvetenskapliga program.

MATEMATISK ANALYS

Boken innehåller en stor mängd övningar i slutet av varje kapitel. Till dem ﬁnns svar med mycket kortfattade förklaringar. För att boken ska passa program med olika teoretiskt fokus har delar av teorin samlats i ett appendix.

FLERA VARIABLER

Innehållet spänner över områden som grundbegrepp i R 2, R 3 och allmänt i R n (punkter, vektorer, mängder och funktioner eller avbildningar), gränsvärde och kontinuitet, partiella derivator med tillämpningar, bestämning av maximum och minimum av reellvärda funktioner, både globalt och lokalt, dubbelintegraler, trippelintegraler och allmänna multipelintegraler med n variabler samt elementär vektoranalys i cartesiska koordinater. Teorin illustreras med många exempel.

NEYMARK

MATS NEYMARK

Boken är avsedd att användas i en första kurs i matematisk analys i ﬂera reella variabler. Den förutsätter då kunskaper i matematisk analys i en reell variabel samt elementär linjär algebra.

SIMMONS KRANTZ

MATEMATISK ANALYS Flera variabler

Best.nr 47-11205-0 Tryck.nr 47-11205-0

9789147112050c1c.indd All Pages

12/11/15 7:19 PM

ISBN 978-91-47-11205-0 © 2016 Mats Neymark och Liber AB Förläggare: Peter Rajan Omslag: Nette Lövgren Layout/Illustrationer: Mats Neymark Produktionsledare: Jürgen Borchert Första upplagan 1 Repro: OKS Prepress Services, Indien Tryck: People Printing, Kina, 2016

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se. Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 e-post kundservice.liber@liber.se

9789147112050b1-552c.indd 2

12/11/15 6:38 PM

Förord

Denna bok är avsedd att användas i en kurs i analys i flera variabler på bl a tekniska och naturvetenskapliga utbildningar på universitets- och högskolenivå. Den förutsätter kunskaper i envariabelanalys t ex enligt Matematisk analys i en variabel av Göran Forsling och Mats Neymark. Dessutom förutsätts elementära kunskaper i linjär algebra, även om en del begrepp därifrån behandlas översiktligt i denna bok. Innehållet omfattar grundläggande begrepp i R2 , R3 och allmänt i Rn (punkter, vektorer, mängder och funktioner eller avbildningar med flera reella variabler), vidare gränsvärden och kontinuitet, partiella derivator med tillämpningar av olika slag, bestämning av maximum och mininimum av reellvärda funktioner, både globalt och lokalt, dubbelintegraler, trippelintegraler och allmänna multipelintegraler med n variabler samt elementär vektoranalys i cartesiska koordinater. Teorin med definitioner och satser behandlas i varje avsnitt först för funktioner av två (reella) variabler, så att de väsentliga idéerna framgår i mer konkreta fall. Sedan behandlas teorin för funktioner av tre variabler (ofta mer kortfattat med hänvisning till teorin för två variabler) och slutligen allmänt för n variabler (ännu mer kortfattat). Dubbelintegraler behandlas dock i ett eget kapitel liksom trippelintegraler och allmänna multipelintegraler i ett annat. Definitioner och satser illustreras med många exempel på hur de kan användas i såväl rent matematiska som mer tillämpade problem. Varje kapitel avslutas med övningar på de olika avsnitten i kapitlet. Till övningarna finns svar, i allmänhet med mycket kortfattade förklaringar. Det har varit ett mål att framställa teorin på ett så fullständigt sätt som möjligt. Vissa längre bevis för satser i ett avsnitt har då placerats i slutet av avsnittet för att inte tynga den löpande texten för mycket. I kapitlen om integraler skulle dock fullständiga bevis för satserna om variabelbyte bli alltför omfattande för att rymmas i denna bok. I stället motiveras dessa satser genom resonemang, där integralerna approximeras med summor av uttryck, som i sin tur motiveras genom approximation med geometriska uttryck. Vissa delar av teorin för kontinuerliga funktioner, implicit definierade funktioner och integrerbarhet har placerats i ett teoretiskt appendix. Det kan hoppas över utan

9789147112050b1-552c.indd 3

12/11/15 6:38 PM

FÖRORD

problem men bör kunna ge djupare insikt i analysens grunder för den speciellt intresserade. Boken bör därför kunna användas såväl för tillämpade som för mer teoretiska utbildningar. Linköping den 30 september 2015 Mats Neymark

9789147112050b1-552c.indd 4

12/11/15 6:38 PM

Innehåll

Förord

Innehåll

iii

Det grekiska alfabetet

Grundbegrepp i R2 , R3 , . . .

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2

. . . . . . .

Gränsvärde och kontinuitet

2.1 2.2 2.3 2.4 3

Funktioner och punktmängder . . . . Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionsytor, nivåkurvor och nivåytor Funktioner med värden i R2 , R3 , . . . . Koordinatbyten . . . . . . . . . . . . Några viktiga topologiska begrepp . . Övningar till kapitel 1 . . . . . . . . .

Gränsvärde och kontinuitet för reellvärda funktioner . . . . Gränsvärde och kontinuitet för funktioner med värden i R2 , Några viktiga satser om kontinuerliga funktioner . . . . . Övningar till kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . R3 , . . . . . . . . . . . . .

Derivator med tillämpningar

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

9789147112050b1-552c.indd 5

1 9 19 29 38 46 52

Partiella derivator av första ordningen . . . . . . . . . . . . Partiella derivator av högre ordning . . . . . . . . . . . . . . Differensformeln, differential och differentierbarhet . . . . . Kedjeregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangent, tangentplan, normal, gradient och riktningsderivata Funktionalmatris och funktionaldeterminant . . . . . . . . . Övningar till kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 83 94 97 103

. . . . . . .

103 111 121 131 147 166 176

12/11/15 6:38 PM

INNEHÅLL

Maximum och minimum

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 5

. . . . . .

187 194 201 207 222 237

Taylorutveckling . . . . . . . . Lokalt maximum och minimum Implicit givna funktioner . . . . Inversa avbildningar . . . . . . . Övningar till kapitel 5 . . . . . .

. . . . .

243 251 271 286 297

243

. . . . .

303

Dubbelintegral över en rektangel i R . . . . . . . . Dubbelintegral över en begränsad mängd i R2 . . . . Area av en begränsad mängd i R2 med tillämpningar Variabelbyte i dubbelintegral . . . . . . . . . . . . . Generaliserad dubbelintegral . . . . . . . . . . . . . Övningar till kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

. . . . . .

Trippelintegraler och allmänna multipelintegraler

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 8

. . . . . .

Dubbelintegraler

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 7

. . . . . .

Lokala undersökningar

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6

187

Maximum, minimum och stationär punkt . . . . Maximum och minimum på kompakt mängd . . . Maximum och minimum på icke-kompakt mängd Maximum och minimum med bivillkor . . . . . . Konvexa och konkava funktioner . . . . . . . . . Övningar till kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . .

361

Trippelintegral över en begränsad mängd i R . . . . . Volym av en begränsad mängd i R3 med tillämpningar Variabelbyte i trippelintegral . . . . . . . . . . . . . . Generaliserad trippelintegral . . . . . . . . . . . . . . Multipelintegral över en mängd i Rn . . . . . . . . . . Övningar till kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . .

. . . .

Elementär vektoranalys

8.1 8.2 8.3 8.4

Operationer på skalärfält och vektorfält Kurvor, kurvlängd och kurvintegral . . . Ytor, ytarea och ytintegral i R3 . . . . . Övningar till kapitel 8 . . . . . . . . . .

304 310 319 331 344 355

361 370 379 388 390 402 407

. . . .

407 413 447 471

A Kompletterande teori

477

Svar till övningar

493

Sakregister

531

9789147112050b1-552c.indd 6

12/11/15 6:38 PM

Det grekiska alfabetet

Îą Î˛ Îł Î´ Îľ, Îś Îˇ Ď&#x2018;, Î¸ Îš Îş Îť Îź

A B Î&#x201C; Î&#x201D; E Z H Î&#x2DC; I K Î&#x203A; M

alfa beta gamma delta epsilon zeta eta theta iota kappa lambda my

Î˝ Îž o Ď&#x20AC; , Ď Ď&#x192;, Ď&#x201A; Ď&#x201E; Ď&#x2026; Ď&#x2022;, Ď&#x2020; Ď&#x2021; Ď&#x2C6; Ď&#x2030;

N Î&#x17E; O Î P ÎŁ T ÎĽ ÎŚ X Î¨ ÎŠ

ny xi omikron pi rho sigma tau ypsilon ďŹ chi psi omega

Varianterna , Î¸ , Ď och Ď&#x2020; Ă¤r vanliga i engelsk text (Ď&#x201A; anvĂ¤nds i grekiskan i ordslut). FĂśr Ď&#x20AC; ďŹ nns en variant ( med speciell anvĂ¤ndning i vissa tillĂ¤mpningar.

9789147112050b1-552c.indd 7

12/11/15 6:38 PM

9789147112050b1-552c.indd 8

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1

Grundbegrepp i R2 , R3 , . . .

1.1 Funktioner och punktmängder I envariabelanalys studeras reellvärda funktioner av en reell variabel, alltså funktioner f med definitionsmängd Df och värdemängd Vf båda innehållna i mängden R av alla reella tal. Här ska detta uttryckas så att f är en funktion mellan R och R. Allmänt ska vi säga att f är en funktion eller avbildning mellan en mängd A och en mängd B (av tal, punkter, vektorer etc), om f är en funktion med definitionsmängd Df innehållen i A och värdemängd Vf innehållen i B . Det betyder att f är en regel eller procedur, som till varje element x i mängden Df ordnar ett entydigt bestämt element y i mängden B . Detta y betecknas med f (x) , värdet av f i x, och Vf är då mängden av alla dessa f (x) . Funktionen kan också betecknas med x → f (x) för x ∈ Df , där f (x) kan vara ett uttryck med variabeln x och Df en beteckning för en mängd av x i A. Flervariabelanalys handlar om funktioner av två, tre eller ännu flera reella variabler. Sådana funktioner förekommer naturligt i många tillämpningar. I denna bok ska vi införa och studera olika begrepp först för funktioner och punktmängder med två reella variabler, sedan tre variabler och slutligen ett godtyckligt antal n variabler.

Funktioner och punktmängder med två reella variabler EXEMPEL 1.1

Volymen av en cirkulär cylinder med höjden h och bottencirkelns radie r (längdenheter) ges av en funktion, som till varje ordnat par (h, r) av reella tal h > 0 och r > 0 ordnar värdet V = h · πr 2 (volymsenheter). Det kan skrivas (h, r) → πhr 2

9789147112050b1-552c.indd 9

för

h>0

och

h r

r > 0.

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

Här betyder ordnat par (a, b) att ordningen mellan a och b är väsentlig, så att (a, b) = (b, a) om a = b. EXEMPEL 1.2

Genom

f (x, y) =

4 − x2 − y 2

deﬁnieras en funktion f , som till varje ordnat par (x, y) av reella tal x och y , sådana att 4 − x2 − y 2 ≥ 0, ordnar det reella talet 4 − x2 − y 2 . Det är nu praktiskt att införa följande deﬁnition: DEFINITION 1.1

R2 = { (x, y) : x ∈ R och y ∈ R }.

R2 betecknar alltså mängden av alla ordnade par (x, y) av reella tal x och y . En funktion f mellan R2 och R är då en funktion med definitionsmängd Df innehållen i R2 och värdemängd Vf innehållen i R. Till varje ordnat par (x, y) i mängden Df ordnar funktionen f alltså ett entydigt bestämt reellt tal betecknat med f (x, y) , värdet av f i (x, y) . Ibland talar vi (oegentligt) om funktionen f (x, y) och ifall f (x, y) betecknas med t ex z, om funktionen z = f (x, y) . T ex ges volymen i exempel 1.1 av en funktion mellan R2 och R med definitionsmängden { (h, r) ∈ R2 : h > 0 och r > 0 } innehållen i R2 och värdemängden { V ∈ R : V > 0 } innehållen i R. Funktionen f i exempel 1.2 är också en funktion mellan R2 och R och har definitionsmängden Df = { (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4 } och värdemängden Vf = [0, 2] = { z ∈ R : 0 ≤ z ≤ 2 }. Mängden R2 kan åskådliggöras som mängden av punkter i ett plan, där vi har infört ett koordinatsystem med två koordinataxlar. Här förutsätts att koordinatsystemet är ortonormerat, ett ON-system. Det betyder att att koordinataxlarna är ortogonala (vinkelräta) mot varandra och att vi har samma enhetslängd på båda axlarna. Detta illustreras i fig 1.1. Där svarar en punkt P mot det ordnade paret (x, y) av de reella koordinaterna x och y , som svarar mot punkter på x-axeln resp y -axeln. Det är då praktiskt att skriva P = (x, y)

P = (x, y)

y O = (0, 0)

Fig 1.1

och säga att P är en punkt i R2 . Speciellt är punkten O = (0, 0) origo i koordinatsystemet.

9789147112050b1-552c.indd 10

12/11/15 6:38 PM

1.1 FUNKTIONER OCH PUNKTMÄNGDER

Avståndet d(P1 , P2 ) mellan två punkter P1 = (x1 , y1 ) och P2 = (x2 , y2 ) i R2 ges av d(P1 , P2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 . (1.1) Det visas med hjälp av Pythagoras sats i ﬁg 1.2, med a2 = (x1 − x2 )2 , b2 = (y1 − y2 )2 och c2 = a2 + b2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 med c = d(P1 , P2 ) . y

d(P2 , P3 )

P2 = (x2 , y2 )

c = d(P1 , P2 ) P1 = (x1 , y1 )

b y1

d(P1 , P2 )

a x2

d(P1 , P3 ) P1

Fig 1.3

Fig 1.2

För avstånden mellan punkter P1 , P2 och P3 i R2 gäller nu följande olikhet, den s k triangelolikheten d(P1 , P3 ) ≤ d(P1 , P2 ) + d(P2 , P3 ),

(1.2)

som illustreras i ﬁg 1.3 och då verkar vara geometriskt självklar. Ett strikt bevis ges i avsnitt 1.2 om vektorer. Se sid 19. EXEMPEL 1.3

En sluten cirkelskiva med medelpunkt M = (a, b) i R2 och radie r > 0 är mängden av punkter P = (x, y) ∈ R2 sådana att avståndet d(P, M) = (x − a)2 + (y − b)2 ≤ r . Denna cirkelskiva ges alltså av olikheterna

y P = (x, y) d(P, M) r

M = (a, b) x

(x − a)2 + (y − b)2 ≤ r 2 . Den illustreras i ﬁg 1.4. Genom

Fig 1.4

(x − a) + (y − b) < r 2

ges i stället motsvarande öppna cirkelskiva, där cirkelns periferi (eller omkrets) inte ingår. Cirkelperiferin ges av ekvationen (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 . (När vi i vardagligt språk talar om en cirkel, brukar sammanhanget få avgöra om vi menar cirkelskivan eller cirkelperiferin.)

9789147112050b1-552c.indd 11

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

EXEMPEL 1.4

Deﬁnitionsmängden Df för funktionen f i exempel 1.2 ges av olikheten x2 + y 2 ≤ 4 och är alltså en sluten cirkelskiva med medelpunkt (0, 0) och radie 2.

EXEMPEL 1.5

Genom olikheterna y ≤ x,

x + 2y < 3 och

y≥0 y=x (1, 1) x + 2y = 3

deﬁnieras en mängd, som begränsas av linjerna med ekvation y=x

resp

x + 2y = 3

samt x-axeln och illustreras i ﬁg 1.5. Mängden är då en triangel med hörn i punkterna (0, 0) , (3, 0) och (1, 1) .

(0, 0)

(3, 0)

Fig 1.5

I mängden ingår triangelsidorna längs linjen y = x resp x-axeln inklusive punkten (0, 0) , medan sidan längs linjen x + 2y = 3 (streckad i ﬁguren) inklusive punkterna (3, 0) och (1, 1) (markerade med ofyllda cirkelskivor) inte ingår.

Funktioner och punktmängder med tre reella variabler EXEMPEL 1.6

Volymen V av ett rätblock med kantlängderna a, b och c (längdenheter) ges av en funktion, som till varje ordnad trippel (a, b, c) av reella tal a > 0, b > 0 och c > 0 ordnar värdet V = abc (volymsenheter).

9789147112050b1-552c.indd 12

c a

12/11/15 6:38 PM

1.1 FUNKTIONER OCH PUNKTMÄNGDER

EXEMPEL 1.7

Genom

1 f (x, y, z) = x + 2y + 3z deﬁnieras en funktion f , som till varje ordnad trippel (x, y, z) av reella tal x, y och z med x + 2y + 3z > 0 ordnar det reella talet 1 x + 2y + 3z.

Det nu naturligt att också införa följande deﬁnition: DEFINITION 1.2

R3 = { (x, y, z) : x ∈ R, y ∈ R och z ∈ R }. R3 betecknar alltså mängden av alla ordnade trippler (x, y, z) av reella tal x, y och z. En funktion f mellan R3 och R är då en funktion med definitionsmängd Df innehållen i R3 och värdemängd Vf innehållen i R. Till varje ordnad trippel (x, y, z) i Df ordnar funktionen f alltså ett entydigt bestämt reellt tal f (x, y, z) . Ibland talar vi (också oegentligt) om funktionen f (x, y, z) och ifall f (x, y, z) betecknas med t ex u, om funktionen u = f (x, y, z) . T ex ges volymen i exempel 1.6 av en funktion mellan R3 och R med definitionsmängden { (a, b, c) ∈ R3 : a > 0, b > 0 och c > 0 } och värdemängden { V ∈ R : V > 0 }. Funktionen f i exempel 1.7 är också en funktion mellan R3 och R och har definitionsmängden Df = { (x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + 3z > 0 } och värdemängden Vf = { u ∈ R : u > 0 }, som är intervallet ]0, +∞[. Mängden R3 kan åskådliggöras som mängden av punkter i rummet, där vi har infört ett koordinatsystem med tre koordinataxlar. Här förutsätts också att koordinatsystemet är ortonormerat . Det illustreras i fig 1.6, där en punkt P svarar mot den ordnade trippeln (x, y, z) av de reella koordinaterna x, y och z, som svarar mot punkter på resp x-axeln, y axeln och z-axeln. Med beteckningen P = (x, y, z)

P = (x, y, z) O = (0, 0, 0) y

Fig 1.6

anger vi då också att P är en punkt i R3 . Speciellt är punkten O = (0, 0, 0) origo i koordinatsystemet.

9789147112050b1-552c.indd 13

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

Avståndet d(P1 , P2 ) mellan två punkter P1 = (x1 , y1 , z1 ) och P2 = (x2 , y2 , z2 ) i R3 ges då av (1.3) d(P1 , P2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 , som också visas med hjälp av Pythagoras sats. Triangelolikheten (1.2) gäller också för avstånd mellan punkter P1 , P2 och P3 i R3 . EXEMPEL 1.8

Ett slutet klot med medelpunkt M = (a, b, c) i R3 och radie r > 0 är mängden av alla punkter P = (x, y, z) ∈ R3 , sådana att avståndet d(P, M) ≤ r . Detta klot ges alltså av olikheten

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 ≤ r 2 .

M = (a, b, c)

Det illustreras i ﬁg 1.7. Genom (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < r 2

y x

ges i stället motsvarande öppna klot och genom Fig 1.7

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r 2

ges motsvarande sfär eller klotyta. (Här är språkbruket i dagligt tal litet obestämt. Där kan sfär ibland betyda detsamma som klot.)

EXEMPEL 1.9

Deﬁnitionsmängden för funktionen f i exempel 1.7 är mängden av alla (x, y, z) ∈ R3 som uppfyller olikheten

x + 2y . 3 Den ligger då ovanför ett plan i R3 som ges av ekvationen

x + 2y + 3z > 0,

som ger

z>−

x + 2y + 3z = 0 och innehåller origo i R3 . I ﬁg 1.8 illustreras (en del av) detta plan.

9789147112050b1-552c.indd 14

y x

Fig 1.8

12/11/15 6:38 PM

1.1 FUNKTIONER OCH PUNKTMÄNGDER

Funktioner och punktmängder med n reella variabler EXEMPEL 1.10

Massan m av ett rätblock med kantlängderna a, b och c samt masstätheten (densiteten) d (massenheter per volymsenhet, t ex g/cm3 ) ges av en funktion, som till varje ordnad kvadrupel (a, b, c, d) av reella tal a > 0, b > 0, c > 0 och d > 0 ordnar värdet m = abcd (massenheter). När vi ska ange en funktion av n variabler, är det mer praktiskt att numrera variablerna t ex med heltal 1, 2, 3 o s v till och med n som i följande exempel, där . . . förstås står för talen mellan det första och det sista talet med heltalsindex mellan 1 och n. T ex står x1 , . . . , x6 för x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 och 1 − x1 − · · · − x6 = 1 − x1 − x2 − x3 − x4 − x5 − x6 . EXEMPEL 1.11

Genom f (x1 , . . . , xn ) = ln(1 − x1 − · · · − xn ) deﬁnieras en funktion f , som till varje ordnad n-tipel (x1 , . . . , xn ) av n reella tal x1 , . . . , xn sådana att 1 − x1 − · · · − xn > 0 ordnar det reella talet ln(1 − x1 − · · · − xn ). Det är nu naturligt att införa följande allmänna deﬁnition: DEFINITION 1.3

För varje heltal n > 0 deﬁnieras Rn = { x = (x1 , . . . , xn ) : xj ∈ R och j = 1, . . . , n }. Rn betecknar alltså mängden av alla ordnade n-tipler x = (x1 , . . . , xn ) av reella tal x1 , . . . , xn . T ex är då R4 = { x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) : xj ∈ R; och j = 1, 2, 3, 4 }. Speciellt får vi förstås för n = 2 och n = 3 samma mängder R2 och R3 som förut, där det ibland är mer praktiskt att skriva x = (x1 , x2 ) i stället för (x, y) och x = (x1 , x2 , x3 ) i stället för (x, y, z) . För n = 1 får vi R1 som identiﬁeras med R.

9789147112050b1-552c.indd 15

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

En funktion f mellan Rn och R är då en funktion med definitionsmängd Df innehållen i Rn och värdemängd Vf innehållen i R. Till varje ordnad n-tipel x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Df ordnar funktionen f alltså ett entydigt bestämt reellt tal f (x) = f (x1 , . . . , xn ) . T ex ges massan i exempel 1.10 av en funktion mellan R4 och R med definitionsmängden { (a, b, c, d) ∈ R4 : a > 0, b > 0, c > 0 och d > 0 } och värdemängden { m ∈ R : m > 0 }. Funktionen f i exempel 1.11 har Df = { x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 + · · · + xn < 1 } innehållen i Rn och Vf = R och är alltså en funktion mellan Rn och R. För n > 3 kan mängden Rn naturligtvis inte åskådliggöras geometriskt. Men det är ändå naturligt att tala om det n-dimensionella rummet Rn och punkter x = (x1 , . . . , xn ) i Rn med koordinaterna x1 , . . . , xn . Speciellt kallas punkten 0 = (0, . . . , 0) origo i Rn . Det är också naturligt att generalisera formlerna för avstånd i R2 och R3 genom följande allmänna definition för heltal n > 0: DEFINITION 1.4

Avståndet d(x, y) mellan två punkter x = (x1 , . . . , xn ) och y = (y1 , . . . , yn ) i Rn deﬁnieras som talet d(x, y) = |x − y| = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 . Beteckningen |x − y| motiveras i avsnitt 1.2 om vektorer. Se sid 18. För n = 1 och R1 = R ger deﬁnitionen avståndet d(x, y) = (x − y)2 = |x − y| mellan tal x och y i R eller motsvarande punkter x och y på reella talaxeln. För avstånd mellan punkter x, y och z i Rn gäller också triangelolikheten d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

(1.4)

Ett bevis för denna olikhet ges i avsnitt 1.2. Se sid 19. EXEMPEL 1.12

Deﬁnitionen i exempel 1.8 av klot och klotyta eller sfär i R3 kan naturligt generaliseras till Rn för n > 3: Ett slutet klot med medelpunkt a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn och radie r > 0 är mängden av punkter x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn sådana att avståndet d(x, a) = (x1 − a1 )2 + · · · + (xn − an )2 ≤ r . Detta klot ges alltså av olikheten (x1 − a1 )2 + · · · + (xn − an )2 ≤ r 2 .

9789147112050b1-552c.indd 16

12/11/15 6:38 PM

1.2 VEKTORER

Genom

(x1 − a1 )2 + · · · + (xn − an )2 < r 2

ges i stället det öppna klotet och genom (x1 − a1 )2 + + · · · + (xn − an )2 = r 2 ges sfären (klotytan) med medelpunkt a och radie r i Rn .

EXEMPEL 1.13

Deﬁnitionsmängden för funktionen f i exempel 1.11 är mängden av alla punkter x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn som uppfyller olikheten x1 + · · · + x n < 1 och vi säger då att de ligger på ena sidan av ett plan som ges i Rn av ekvationen x1 + · · · + xn = 1.

1.2 Vektorer Vektorer i R2 Ett ordnat par av reella tal u och v kan vi också åskådliggöra som en vektor v i ett plan med Q ett ortonormerat koordinatsystem. Där kan v y+v v −−→ |v| = d(P, Q) representeras av en riktad sträcka P Q från en y P godtycklig punkt P = (x, y) till motsvarande QO punkt Q = (x + u, y + v) i planet (i R2 ). v −−→ v För varje val av P har här P Q samma riktning och samma längd lika med avståndet d(P Q) = x O x+u u 2 2 d(Q, P ) = u + v . För att ange detta kan vi skriva −−→ Fig 1.9 v = P Q. −−−→ Speciellt kan v representeras av sträckan OQO från punkten O = (0, 0) (origo) till punkten QO = (u, v) . Den kallas då också ortsvektor för QO . Detta illustreras i ﬁg 1.9.

9789147112050b1-552c.indd 17

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

Här är det mer praktiskt att använda v1 och v2 i stället för u och v . Vi skriver då också v 2 v = [v1 , v2 ] i R eller ibland v = 1 i R2 v2 för att markera att det ordnade paret av v1 och v2 ses som en vektor och inte en punkt i R2 . Vi definierar längden eller absolutbeloppet |v| av v som avståndet d(P, Q) mellan P = (x, y) och Q = (x + v1 , y + v2 ) . Då ges |v| av (1.5) |v| = v12 + v22 . Speciellt är 0 = [0, 0] nollvektorn och då gäller att v = 0 ⇐⇒ |v| = 0. I kurser i linjär algebra behandlas vektorer och deras användning noggrant. Här ska vi bara se på några definitioner och formler, som behövs i denna bok. För ett reellt tal λ och en vektor v = [v1 , v2 ] i R2 bildas deras produkt som vektorn λv = [λv1 , λv2 ] i R2 . (1.6) För två vektorer u = [u1 , u2 ] och v = [v1 , v2 ] i R2 bildas deras summa som vektorn u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 ] i R2 . (1.7) Detta illustreras i fig 1.10 och fig 1.11. λ>0 λv2 v

v2 u

λv1 λv

u+v

u2 + v2

λv

λv1 u1 + v1

λv2

λ<0 Fig 1.11

Fig 1.10

Speciellt bildas för v vektorn −v = (−1)v = [−u, −v] i R2

(1.8)

och sedan skillnaden mellan u och v som vektorn u − v = u + (−v) = [u1 − u2 , v1 − v2 ] i R2

(1.9)

Detta illustreras i ﬁg 1.12 och ﬁg 1.13.

9789147112050b1-552c.indd 18

12/11/15 6:38 PM

1.2 VEKTORER

u2 v

u2 − v2 v

−v1

−v2 Fig 1.12

För två vektorer u = [u1 , u2 ] och v = [v1 , v2 ] i R2 bildas också deras skalärprodukt (eller inre produkt) som det reella talet

u · v = |u| · |v| · cos ϕ

v2 ϕ v1

Fig 1.14

u1 u1 − v1 x Fig 1.13

−v u−v

v1 −v

(1.10)

med vinkeln ϕ ∈ [0, π] mellan u och v . Detta illustreras i ﬁg 1.14. I linjär algebra visas att denna skalärprodukt också kan räknas ut med formeln u · v = u1 v! + u2 v2 . (1.11)

Speciellt är u och v ortogonala (mot varandra) om u · v = 0.

(1.12)

Ty det är ekvivalent med att cos ϕ = 0, |u| = 0 eller |v| = 0 och alltså med att vinkeln ϕ = π/2 eller att någon av u och v är nollvektorn 0.

EXEMPEL 1.14

För vektorerna u = [2, 1] och v = [1, 3] i R2 blir och

u + v = [2 + 1, 1 + 3] = [3, 4]

2u − 3v = [2 · 2, 2 · 1] − [3 · 1, 3 · 3] = [4, 2] − [3, 9] = [4 − 3, 2 − 9] = [1, −7]. Dessutom har u = [2, 1] och v = [1, 3] absolutbelopp |u| = 22 + 12 = 5 resp |v| = 12 + 32 = 10 och skalärprodukt

u·v =2·1+1·3=5

enligt (1.11).

9789147112050b1-552c.indd 19

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

För vinkeln ϕ mellan u och v med 0 ≤ ϕ ≤ π gäller då enligt (1.10) 5 = u · v = 5 · 10 · cos ϕ = 5 2 · cos ϕ som ger π 1 och alltså ϕ= . cos ϕ = √ 4 2 För räkning med vektorer v , u, v och w och reella tal λ och μ gäller bl a följande regler: u+v =v+u (u + v) + w = u + (v + w) λ(u + v) = λu + λv

(λ + μ)v = λv + μv

v+0=v

v−v =0

0v = 0

λ0 = 0

De kan visas med hjälp av (1.6)–(1.9). Vidare gäller följande regler för räkning med absolutbelopp och skalärprodukt: |λv| = |λ| · |v|

|v|2 = v · v ≥ 0

u · (v + w) = u · v + u · w u·v=v·u

(λu) · v = u · (λv) = λ(u · v) v·0=0·v=0

De kan visas med hjälp av (1.5)—(1.7) och (1.11). Av deﬁnitionen (1.10) av skalärprodukt följer olikheten |u · v| ≤ |u| · |v| ,

(1.13)

eftersom |cos ϕ| ≤ 1. Den kallas Cauchy1 -(Bunjakovskij2 )-Schwarz3 olikhet. y

För vektorer u och v i R2 gäller också triangelolikheten

v P2 u+v

P1 u

|u + v| ≤ |u| + |v| ,

v O

Fig 1.15

(1.14)

som illustreras i ﬁg 1.15. Där representeras u −−−→ −−−→ av sträckan OP1 , v av sträckan P1 P2 och u + v −−−→ av sträckan OP2 och därmed |u| = d(O, P1 ) , |v| = d(P1 , P2 ) och |u + v| = d(O, P2 ) . Olikheten (1.14) är därför densamma som triangelolikheten (1.2) för dessa avstånd.

Augustin-Louis Cauchy, fransk matematiker, 1789–1857 Viktor Bunjakovskij, ukrainsk-rysk matematiker, 1804–1889 3 Hermann Schwarz, tysk matematiker, 1843–1921 2

9789147112050b1-552c.indd 20

12/11/15 6:38 PM

1.2 VEKTORER

Triangelolikheten kan bevisas strikt med hjälp av Cauchy-Schwarz olikhet. Se sid 19. Det kan vara praktiskt att för punkter P = (a, b) och Q = (a + v1 , b + v2 ) i R2 −−→ samt vektorn v = P Q = [v1 , v2 ] i R2 använda summabeteckningen Q = (a + v1 , b + v2 ) = (a, b) + [v1 , v2 ] = P + v fastän P och Q inte betraktas som vektorer. T ex kan en rät linje i planet beskrivas med hjälp av en punkt P = (a, b) på linjen och en riktningsvektor v = [v1 , v2 ] = 0 för linjen. En punkt Q = (x, y) ligger då på linjen om −−→ och endast om sträckan P Q är parallell med −−→ vektorn v och alltså P Q = tv för något reellt tal t. Det kan också uttryckas så att Q = P + tv för t ∈ R, alltså

Q = (x, y)

v = [v1 , v2 ] P = (a, b) x

(x, y) = (a, b) + t[v1 , v2 ] för

Fig 1.16

eller x = a + tv1

och

y = b + tv2

för

t∈R (1.15)

t ∈ R.

(1.16)

Detta illustreras i ﬁg 1.16. Både (1.15) och (1.16) beskriver linjen i parameterform med parametern t ∈ R. Ibland talar vi då bara om linjen (1.15) eller (1.16). EXEMPEL 1.15

Linjen genom punkterna P1 = (2, 1) och P2 = (−1, 2) i R2 har en riktningsvektor −−−→ v = P1 P2 = [−1 − 2, 2 − 1] = [−3, 1]. Det illustreras i ﬁg 1.17. En punkt Q = (x, y) ligger då på linjen om och endast om (x, y) = (2, 1) + t[−3, 1] eller x = 2 − 3t och y = 1 + t för något t ∈ R. Detta är alltså två sätt att ange linjen med ekvation(er) på parameterform med parametern t ∈ R.

9789147112050b1-552c.indd 21

y P2 = (−1, 2) Q = (x, y) v= [−3, 1] P1 = (2, 1) x

Fig 1.17

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

Vektorer i R3 Analogt med vektorerna i R2 kan en ordnad trippel av reella tal v1 , v2 och v3 åskådliggöras som en vektor v i rummet med ett ortonormerat koordinatsystem. Då −−→ representeras v av en riktad sträcka P Q från en godtycklig punkt P = (x, y, z) till punkten Q = (x + v1 , y + v2 , z + v3 ) i rummet (i R3 ). Detta illustreras i ﬁg 1.18. Vi skriver då också

Q = (x + v1 , y + v2 , z + v3 ) v = [v1 , v2 , v3 ]

P = (x, y, z)

⎤ v1 Fig 1.18 v = [v1 , v2 , v3 ] i R3 eller v = ⎣ v2 ⎦ i R3 v3 och deﬁnierar längden eller absolutbeloppet |v| av v som avståndet P Q. Då ges |v| av |v| = v12 + v22 + v32 . ⎡

Speciellt är 0 = [0, 0, 0] nollvektorn. Då gäller också att v = 0 ⇐⇒ |v| = 0. Vektoroperationerna i (1.6)–(1.9) har förstås motsvarigheter för reella tal λ och vektorer u = [u1 , u2 , u3 ] och v = [v1 , v2 , v3 ] i R3 : λv = [λv1 , λv2 , λv3 ] i R3 u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ] i R3 − v = (−1)v = [−v1 , −v2 , −v3 ] i R3 och

u − v = u + (−v) = [u1 − v1 , u2 − v2 , u3 − v3 ] i R3

och reglerna på sid 12 för räkning med vektorer gäller då förstås också för vektorer i R3 . För vektorerna u = [u1 , u2 , u3 ] och v = [v1 , v2 , v3 ] deﬁnieras också deras skalärprodukt u · v som ett reellt tal genom formeln (1.10) med vinkeln ϕ mellan u och v i rummet. I linjär algebra visas också följande motsvarighet till formeln (1.11): u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . Speciellt gäller villkoret (1.12) för att u och v ska vara ortogonala. Reglerna på sid 12 för räkning med skalärprodukter gäller då förstås också för vektorer i R3 . Av formeln (1.10) följer dessutom att Cauchy-Schwarz olikhet (1.13) också gäller för vektorer i R3 .

9789147112050b1-552c.indd 22

12/11/15 6:38 PM

1.2 VEKTORER

Triangelolikheten (1.14) gäller också för vektorer u och v i R3 . Den är samma olikhet som triangelolikheten (1.2) för avstånd mellan punkter P1 , P2 och P3 i R3 , −−−→ −−−→ −−−→ om u, v och u + v representeras av resp P1 P2 , P2 P3 och P1 P3 . Det kan också här vara praktiskt att tillåta sig att för en punkt P = (a, b, c) i R3 och en vektor v = [v1 , v2 , v3 ] i R3 använda summabeteckningen Q = (a + v1 , b + v2 , c + v3 ) = (a, b, c) + [v1 , v2 , v3 ] = P + v. Analogt med (1.15) och (1.16) kan nu en rät linje i rummet beskrivas med hjälp av en punkt P = (a, b, c) på linjen och en riktningsvektor v = [v1 , v2 , v3 ] = 0. En punkt Q = (x, y, z) ligger på linjen om och endast om den uppfyller ekvationen Q = P +tv för något reellt tal t. (1.15) och (1.16) motsvaras då av parameterformerna (x, y, z) = (a, b, c) + t[v1 , v2 , v3 ] för resp

x = a + tv1 ,

y = b + tv2

och

t∈R

z = c + tv3

Vi kan också beskriva ett plan i rummet med hjälp av en punkt P = (a, b, c) i planet och två vektorer u = (u1 , u2 , u3 ) = 0 och v = (v1 , v2 , v3 ) = 0, som ligger i planet (om de avsätts från P ) och inte är parallella. En punkt Q = (x, y, z) ligger då i planet om och endast om vektorn

för

t ∈ R.

z P

tv su

v Q

−−→ P Q = su + tv

y x

för några reella tal s och t. Det illustreras i ﬁg 1.19 och kan också skrivas

Fig 1.19

Q = (x, y, z) = P + su + tv = (a, b, c) + s[u1 , u2 , u3 ] + t[v1 , v2 , v3 ]

(1.17)

för reella tal s och t. Detta beskriver planet genom en ekvation med parametrarna s och t. Det kan också skrivas i koordinatform x = a + su1 + tv1 ,

y = b + su2 + tv2

och

z = c + su3 + tv3 .

(1.18)

med parametrarna s och t. Ibland talar vi då bara om planet (1.17) eller (1.18). EXEMPEL 1.16

Det plan, som innehåller punkterna P0 = (−1, 1, 1),

9789147112050b1-552c.indd 23

P1 = (1, −1, 0)

och

P2 = (1, 2, 0),

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

kan t ex bestämmas av att det innehåller punkten P0 och vektorerna −−−→ u = P0 P1 = [2, −2, −1] och

−−−→ v = P0 P2 = [2, 1, −1].

u P1

Det ges då av parameterformen (x, y, z) =

v P2

= (−1, 1, 1) + s[2, −2, −1] + t[2, 1, −1]

Fig 1.20

och alltså av x = −1 + 2s + 2t,

y = 1 − 2s + t och

För två vektorer u = [u1 , u2 , u3 ] och v = [v1 , v2 , v3 ] i R3 deﬁnieras i linjär algebra också vektorprodukten eller kryssprodukten u×v som en vektor i R3 med följande egenskaper: Den är ortogonal mot både u och v och har absolutbeloppet |u × v| = |u| · |v| · sin ϕ, där ϕ ∈ [0, 2π] är vinkeln mellan u och v . Dessutom ska u, v och u × v bilda en högerorienterad trippel enligt ﬁg 1.21.

z =1−s−t

z u×v

v ϕ

u y

x Fig 1.21

Om u = 0 eller v = 0 är u × v = 0. När är u × v = 0, då u = 0 och v = 0? I linjär algebra visas också att u × v kan räknas ut genom formeln ⎤

⎡

u2 v3 − u3 v2

u u u u u u

2 3 3 1 1 2

u×v =

= ⎣ u3 v1 − u1 v3 ⎦

v2 v3 v3 v1 v1 v2

u1 v2 − u2 v1

(1.19)

med determinanter deﬁnierade i linjär algebra. Se också sid 168 och sid 410. T ex har vektorerna u = [0, 2, 1] och v = [−1, 0, 1] (i ﬁg 1.21) vektorprodukten

2 1 1

0 2

u×v =

= [2, −1, 2].

0 1 1 −1 −1 0

9789147112050b1-552c.indd 24

12/11/15 6:38 PM

1.2 VEKTORER

Vektorer i Rn När vi studerar funktioner av n reella variabler, är det ibland naturligt att betrakta en ordnad n-tipel av n reella tal v1 , . . . , vn som en vektor, fastän den inte kan åskådliggöras geometriskt. Analogt med beteckningarna för vektorer i R2 och R3 skriver vi ⎡ ⎤ då v1 ⎢ .. ⎥ n v = [v1 , . . . , vn ] i R eller v = ⎣ . ⎦ i Rn . vn Deﬁnitionerna av längd eller absolutbelopp av vektorer i R2 och R3 generaliseras nu till vektorer v = [v1 , . . . , vn ] i Rn genom |v| = v12 + · · · + v12 . (1.20) Speciellt är 0 = [0, . . . , 0] nollvektorn i Rn och då gäller att v = 0 ⇐⇒ |v| = 0. (Att 0 också betecknar punkten (0, . . . , 0) (origo) i Rn bör inte vålla någon förvirring.) Vektoroperationerna i (1.6)—(1.9) generaliseras naturligt för reella tal λ och vektorer u = [u1 , . . . , un ] och v = [v1 , . . . , vn ] i Rn på följande sätt: λv = [λv1 , . . . , λvn ] i Rn

(1.21)

u + v = [u1 + v1 , . . . , un + vn ] i Rn − v = (−1)v = [−v1 , . . . , −vn ] i R och

(1.22) n

u − v = u + (−v) = [u1 − v1 , . . . , un − vn ] i Rn .

(1.23) (1.24)

Likaså generaliserar vi formeln (1.11) för skalärprodukt till följande deﬁnition av skalärprodukten av vektorer u = [u1 , . . . , un ] och v = [v1 , . . . , vn ] i Rn som det reella talet u · v = u1 v1 + · · · + un vn . (1.25) Reglerna på sid 12 för räkning med vektorer gäller förstås också för vektorer i Rn och kan visas med hjälp av (1.20)–(1.25). Dessutom kan vi visa Cauchy-Schwarz olikhet |u · v| ≤ |u| · |v|

(1.26)

med likhet om och endast om u = 0 eller v = λu för något reellt tal λ och alltså u och v är parallella. Ett bevis ges på sid 18. Cauchy-Schwarz olikhet medför att vi nu kan använda motsvarigheten till (1.10), dvs u · v = |u| · |v| · cos ϕ för 0 ≤ ϕ ≤ π, (1.27) för att deﬁniera vinkeln ϕ mellan vektorer u = 0 och v = 0 i Rn .

9789147112050b1-552c.indd 25

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

Speciellt är det naturligt att säga att två vektorer u och v är ortogonala om u · v = 0. Med hjälp av Cauchy-Schwarz olikhet kan vi sedan visa triangelolikheten för vektorer u och v i Rn : |u + v| ≤ |u| + |v| (1.28) med likhet om och endast om u = 0 eller v = λu för något reellt tal λ ≥ 0 och alltså u och v har samma riktning. . Se sid 19. Det kan också här vara praktiskt att tillåta sig att för punkter a = (a1 , . . . , an ) och x = (x1 , . . . , xn ) i Rn och en vektor v = [v1 , . . . , vn ] i Rn skriva x = (x1 , . . . , xn ) = (a1 + v1 , . . . , an + vn ) = (a1 , . . . , an ) + [v1 , . . . , vn ] = a + v fastän a och x inte betraktas som vektorer. Vi kan då också betrakta v som en vektor från a till x och tillåta oss att skriva v = [x1 − a1 , . . . , xn − an ] = (x1 , . . . , xn ) − (a1 , . . . , an ) = x − a men endast som en beteckning för denna vektor. Speciellt blir då absolutbeloppet |v| = |x − a| = (x1 − a1 )2 + · · · + (xn − an )2 lika med avståndet d(x, a) mellan punkterna x och a enligt deﬁnition 1.4. Ekvationerna på parameterform (1.15) och (1.16) för en rät linje i R2 kan nu generaliseras till ekvationer för en rät linje, som går genom en punkt a = (a1 , . . . , an ) i Rn och har en riktningsvektor v = [v1 , . . . , vn ] = 0 i Rn . Linjen deﬁnieras då som mängden av alla punkter x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn som uppfyller ekvationen x = a + tv

(1.29)

för något värde på parametern t ∈ R eller i koordinatform ekvationerna xj = aj + tvj

för

j = 1, . . . , n och

t ∈ R.

(1.30)

BEVIS FÖR CAUCHY-SCHWARZ OLIKHET (1.26)

Om u = 0 gäller (1.26) trivialt med båda leden lika med 0 . Om u = 0 följer med räkneregler för skalärprodukt att för alla reella tal λ gäller |λu − v|2 = (λu − v) · (λu − v) = λ2 (u · u) − λ(u · v) − λ(v · u) + v · v = u · v 2 (u · v)2 + |v|2 − ≥0 = λ2 |u|2 − 2λ(u · v) + |v|2 = λ |u| − |u| |u|2 eftersom |λu − v|2 ≥ 0 .

9789147112050b1-552c.indd 26

12/11/15 6:38 PM

1.3 FUNKTIONSYTOR, NIVÅKURVOR OCH NIVÅYTOR

Speciellt gäller det för λ = u · v/ |u|2 och det ger |v|2 −

(u · v)2 |u|2

≥ 0 =⇒ (u · v)2 ≤ |u|2 |v|2 =⇒ |u · v| ≤ |u| · |v| .

Likhet gäller om och endast om |λu − v| = 0 och alltså v = λu .

BEVIS FÖR TRIANGELOLIKHETEN (1.28)

Med räkneregler för skalärprodukt och Cauchy-Schwarz olikhet följer att |u + v|2 = (u + v) · (u + v) = u · u + u · v + v · u + v · v = |u|2 + 2(u · v) + |v|2 ≤ ≤ |u|2 + 2 |u| · |v| + |v|2 = (|u| + |v|)2 Detta ger

|u + v| ≤ |u| + |v| .

Likhet gäller här om och endast om u · v = |u| · |v| . Enligt beviset för CauchySchwarz olikhet innebär det att u = 0 eller v = λu för något reellt tal λ. Detta medför att u · (λu) = |u| · |λu| och alltså λ |u|2 = |λ| |u|2 och det gäller bara om λ ≥ 0 . Detta bger också ett bevis för triangelolikheten (1.4) för punkter x, y och z i Rn med u = y − x, v = z − y och u + v = z − x så att |u| = d(x, y) , |v| = d(y, z) och |u + v| = d(x, z) .

1.3 Funktionsytor, nivåkurvor och nivåytor

y = f (x) y

I envariabelanalys studeras hur en funktion f mellan R och R, en reellvärd funktion av en reell variabel, kan illustreras med funktionskurvan med ekvation y = f (x)

för

x ∈ Df ,

(1.31)

i ett ortonormerat koordinatsystem i ett plan. Funktionskurvan deﬁnieras då som mängden { (x, y) ∈ R2 : y = f (x) och x ∈ Df },

Fig 1.22

alltså mängden av punkter (x, y) i planet som uppfyller ekvation (1.31). Detta illustreras i ﬁg 1.22. Ibland talar vi då bara om (funktions)kurvan (1.31).

9789147112050b1-552c.indd 27

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

För att på liknande sätt illustrera funktioner av två reella variabler måste vi i stället använda ytor i rummet, som då är mängder i R3 .

Funktionsytor för reellvärda funktioner av två reella variabler EXEMPEL 1.17

Funktionen f i exempel 1.2 kan illustreras med mängden av punkter (x, y, z) ∈ R3 , som uppfyller ekvationen z = f (x, y, z) = 4 − x2 − y 2 för x2 + y 2 ≤ 4. Det är ekvivalent med att z2 = 4 − x2 − y 2 och z ≥ 0 och alltså med att x +y +z =4 2

och

z ≥ 0.

x Enligt exempel 1.8 beskriver detta en halv sfär (klotyta) med medelpunkt (0, 0, 0) och Fig 1.23 radie r = 2 (den halva del av sfären som ligger över x-y -planet). Detta illustreras i ﬁg 1.23 med några latitudcirklar på halvsfären.

Allmänt kan en funktion f mellan R2 och R åtminstone teoretiskt åskådliggöras med sin funktionsyta som ges av ekvationen z = f (x, y)

för

(x, y) ∈ Df

(1.32)

och alltså är mängden av punkter (x, y, z) i R3 som uppfyller (1.32). Ibland talar vi då bara om (funktions)ytan (1.32). T ex är halvsfären i exempel 1.17 funktionsytan för funktionen f i det exemplet. Men i praktiken är det ganska sällan som vi kan åskådliggöra funktionsytan för en funktion mellan R2 och R i ett koordinatsystem i rymden (i R3 ) enligt ﬁg 1.6, så att vi får en uppfattning om hur den ser ut. Vi ska nu se på ett mer användbart sätt att åskådliggöra en sådan funktion.

9789147112050b1-552c.indd 28

12/11/15 6:38 PM

1.3 FUNKTIONSYTOR, NIVÅKURVOR OCH NIVÅYTOR

Nivåkurvor för reellvärda funktioner av två reella variabler EXEMPEL 1.18

Funktionen f mellan R2 och R, som ges av f (x, y) = 4 − x2 − y 2

y C=4

för x2 + y 2 ≤ 4 i exempel 1.2, kan vi också åskådliggöra genom att rita kurvor med ekvation

C =0

x2 + y 2 = C

för några reella värden på konstanten C . För C > 0 är kurvorna cirklarna med medelpunkt (0, 0) och radie C , medan C = 0 bara ger punkten (0, 0) och C < 0 inte ger någon kurva alls. Detta illustreras i ﬁg 1.24 för värdena C = 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5 och 4.

Fig1.24

Allmänt kan vi åskådliggöra en funktion f mellan R2 och R genom att rita funktionens nivåkurvor med ekvation f (x, y) = C

för

(x, y) ∈ Df

(1.33)

med några lämpliga reella värden på konstanten C . T ex är cirklarna i exempel 1.18 nivåkurvor för funktionen f i det exemplet. Jämför dem med latitudcirklarna på funktionsytan för f i exempel 1.17. Genom att projicera dessa cirklar på x-y -planet får vi motsvarande nivåkurvor i R2 . Vi kan ofta beskriva en kurva i ett koordinatsystem i planet som en nivåkurva given av en ekvation (1.33) med en funktion f mellan R2 och R och en reell konstant C . Ibland talar vi då bara om (nivå)kurvan (1.33). EXEMPEL 1.19

Ekvationen är ekvivalent med

x + 3y = 5 x 5 y=− + . 3 3

Den beskriver då enligt envariabelanalys en rät linje planet (i R2 ), som går genom punkten P0 = (0, 5/3) och har lutningen −1/3.

9789147112050b1-552c.indd 29

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

T ex ser vi här att punkterna P1 = (2, 1) och P2 = (−1, 2) ligger på denna linje. Vi har i exempel 1.15 visat att linjen då också kan ges i parameterform x = 2 − 3t

och

y = 1 + t för

t ∈ R.

y P2 = (−1, 2) lutning −1/3

P0 = (0, 5/3)

P1 = (2, 1)

Visa att vi från detta kan härleda ekvationen x + 3y = 5. Omvänt kan vi från denna ekvation härleda ekvationer på parameterform för linjen, t ex genom att sätta y = t och sedan lösa ut x. Varför beskriver det också linjen i exempel 1.15?

Fig 1.25

Allmänt beskriver en ekvation

ax + by = c n = [a, b]

x v = [v1 , v2 ]

(1.34)

med reella konstanter a, b och c en rät linje i planet (utom då a = b = 0). Ibland talar vi då bara om linjen (1.34). Speciellt ger x = c en rät linje parallell med y -axeln och y = c en rät linje parallell med x-axeln. Här gäller dessutom att vektorn

Fig 1.26

n = [a, b]

(1.35)

är ortogonal mot varje vektor v = [v1 , v2 ] på linjen genom att n · v = av1 + bv2 = 0. Visa det genom att se på punkter (x, y) och (x, y) + [v1 , v2 ] = (x + v1 , y + v2 ) , som ligger på linjen. Det gäller bl a för v = [b, −a]. Det är då naturligt att säga att (1.35) ger en normalvektor n till linjen (med ekvation) (1.34). T ex är vektorn n = [1, 3] en normalvektor till linjen x + 3y = 5 i exempel 1.19. Vi ska nu också se på några s k andragradskurvor i R2 : EXEMPEL 1.20

En ekvation, som kan skrivas på formen x2 y 2 + =1 a 2 b2 med konstanter a > 0 och b > 0, beskriver en ellips med halvaxlarna a och b, som illustreras i ﬁg 1.27. Om a = b är ellipsen en cirkel med ekvation x2 + y 2 = a2 .

9789147112050b1-552c.indd 30

12/11/15 6:38 PM

1.3 FUNKTIONSYTOR, NIVÅKURVOR OCH NIVÅYTOR

a x

Fig 1.27

Fig 1.28

En ekvation, som kan skrivas på formen x2 y 2 − =1 a 2 b2 med konstanter a > 0 och b > 0, beskriver en hyperbel, som illustreras i fig 1.28. Motsvarande ekvation x2 y 2 bx − = 0, som är ekvivalent med y = ± , a a 2 b2 ger de två streckade räta linjerna i figuren. Med envariabelanalys kan vi visa att dessa linjer är asymptoter till hyperbeln. En ekvation, som kan skrivas på formen y 2 x2 − =1 b2 a 2 med konstanter a > 0 och b > 0, beskriver också en hyperbel. Hur skulle den ritas i fig 1.28? y

En ekvation, som kan skrivas på formen y 2 = cx med en konstant c > 0, beskriver en parabel, som illustreras i ﬁg 1.29. Den kan deﬁnieras som mängden av punkter P = (x, y) sådana att avståndet P F från P till punkten F = (c/4, 0) är lika med avståndet från P till linjen Λ med ekvation x = − c/4. (Försök att visa det!) Punkten F är parabelns brännpunkt eller fokus och linjen L är parabelns styrlinje .

−c/4

P = (x, y )

F = (c/4, 0)

Fig 1.29

F har också egenskapen att en stråle, som är parallell med x-axeln (parabelns axel) och träﬀar parabeln i P , reﬂekteras av parabeln i riktning mot F .

9789147112050b1-552c.indd 31

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

I linjär algebra studeras också allmänna andragradsekvationer Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 med reella konstanter A, B , C , D , E och F (där A, B och C inte alla är 0). Där visas hur en sådan ekvation kan transformeras till en ekvation för någon av andragradskurvorna i exempel 1.20 med ett variabelbyte, som bevarar avstånd. (I undantagsfall blir det två räta linjer, som skär varandra, är parallella eller sammanfaller, en enda punkt eller en tom mängd.)

Funktions- och nivåytor för reellvärda funktioner av tre reella variabler Begreppet funktionsyta kan generaliseras till en funktion f mellan R3 och R genom att funktionsytan för f deﬁnieras som mängden { (x, y, z, u) ∈ R4 : u = f (x, y, z) }, som är en mängd av punkter i R4 . Men den kan vi förstås inte alls åskådliggöra i någon ﬁgur. EXEMPEL 1.21

Funktionen f mellan R3 och R, som ges av f (x.y, z) = x2 + y 2 + z2

för

(x, y, z) ∈ R3 ,

har funktionsytan { (x, y, z, u) ∈ R4 : u = x2 + y 2 + z2 } i

R4 ,

Däremot kan denna funktion åtminstone teoretiskt åskådliggöras som mängden av punkter (x, y, z) ∈ R3 sådana att f (x.y, z) = x2 + y 2 + z2 = C för några värden på den reella konstanten C .

Denna mängd är sfären med medelpunkt (0, 0, 0) och radie C om C > 0. Den innehåller bara punkten (0, 0, 0) om C = 0 och den är tom om C < 0. Åtminstone teoretiskt kan vi också allmänt åskådliggöra en funktion f mellan R3 och R med funktionens nivåytor med ekvation f (x, y, z) = C

9789147112050b1-552c.indd 32

för

(x, y, z) ∈ Df

(1.36)

12/11/15 6:38 PM

1.3 FUNKTIONSYTOR, NIVÅKURVOR OCH NIVÅYTOR

med några lämpliga reella värden på konstanten C . T ex är sfärerna i exempel 1.21 nivåytor för funktionen f i detta exempel. I praktiken kan vi oftast inte använda nivåytor för att åskådliggöra funktioner mellan R3 och R. Men vi kan ofta beskriva en yta i rummet som mängden av punkter (x, y, z) ∈ R3 som uppfyller en ekvation av formen (1.36) med en funktion f mellan R3 och R och en reell konstant C . Ibland talar vi då bara om (nivå)ytan (1.36). EXEMPEL 1.22

Mängden av punkter (x, y, z) ∈ R3 , som uppfyller ekvationen

x + 2z = 1,

är ett plan i R3 . Vi kan se det genom att t ex sätta y = s och z = t, så att vi får systemet av ekvationer x = 1 − 2t,

y=s

och

u y

z = t. x

Det kan också skrivas som en ekvation Fig 1.30

(x, y, z) = (1, 0, 0) + s[0, 1, 0] + t[−2, 0, 1]

med de reella parametrarna s och t. Den beskriver då ett plan som innehåller punkten P = (1, 0, 0) och vektorerna u = [0, 1, 0] och v = [−2, 0, 1]. Se sid 15. Men detta plan är faktiskt detsamma som planet i exempel 1.16, som där kan beskrivas med ekvationerna x = −1 + 2s + 2t,

y = 1 − 2s + t

och

z= 1−s−t

med reella parametrar s och t. Vi ser lätt att detta system av ekvationer också är ekvivalent med ekvationen x + 2z = 1. (Observera att varje val av s och t ger olika punkter i planet genom de båda systemen av ekvationer.)

Allmänt beskriver en ekvation ax + by + cz = d

(1.37)

med reella konstanter a, b, c och d ett plan i rummet (utom då a = b = c = 0). Ibland talar vi då bara om planet (1.37). Speciellt ger t ex x = d ett plan parallellt med y -z-planet. Vad ger y = d eller z = d?

9789147112050b1-552c.indd 33

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

n = [a, b, c]

Här gäller dessutom att vektorn n = [a, b, c]

v = [v1 , v2 , v3 ]

y x Fig 1.31

(1.38)

är ortogonal mot varje vektor v = [v1 , v2 , v3 ] i planet genom att n · v = au + bv + cw = 0. Visa det genom att se på punkter (x, y, z) och (x, y, z) + [v1 , v2 , v3 ] = (x + u, y + v, z + w) i planet. Det är då naturligt att säga att (1.38) ger en normalvektor till planet (med ekvation) (1.37).

T ex är vektorn n = [1, 0, 2] en normalvektor till planet x+2z = 1 i exempel 1.22. Vi ska nu också se på några s k andragradsytor i R3 : EXEMPEL 1.23

En ekvation, som kan skrivas på formen

x2 y 2 z2 + + =1 a2 b2 c 2 med konstanter a > 0, b > 0 och c > 0, beskriver en ellipsoid med halvaxlarna a, b och c . Den illustreras i ﬁg 1.32 med hjälp av några skärningskurvor med plan parallella med x-z-planet samt skärningskurvan med x-y -planet (som alla är ellipser i resp plan).

y x Fig 1.32

Om a = b = c , är ellipsoiden en sfär med ekvation x2 + y 2 + z2 = a2 . En ekvation, som kan skrivas på formen x2 y 2 z2 + − =1 a 2 b2 c 2 med konstanter a > 0, b > 0 och c > 0, beskriver en enmantlad hyperboloid.. Den illustrereras i ﬁg 1.33 med hjälp av några skärningskurvor med plan parallella med x-y -planet (ellipser i dessa plan) samt skärningskurvan med y -z-planet (en hyperbel i detta plan).

9789147112050b1-552c.indd 34

12/11/15 6:38 PM

1.3 FUNKTIONSYTOR, NIVÅKURVOR OCH NIVÅYTOR

y x

Fig 1.33

Fig 1.34

En ekvation, som kan skrivas på formen x2 y 2 z2 + − = −1 a 2 b2 c 2 med konstanter a > 0, b > 0 och c > 0, beskriver en tvåmantlad hyperboloid. Den illustereras i ﬁg 1.34 med hjälp av några skärningskurvor med plan parallella med x-y -planet (ellipser i dessa plan) samt skärningskurvan med y -z-planet (en hyperbel i detta plan). z

y x

Fig 1.35

Fig 1.36

En ekvation, som kan skrivas på formen x2 y 2 + = cz a 2 b2 med konstanter a > 0, b > 0 och c > 0, beskriver en elliptisk paraboloid. Den illustreras i ﬁg 1.35 med hjälp av några skärningskurvor med plan parallella

9789147112050b1-552c.indd 35

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

med x-y -planet (ellipser i dessa plan) samt skärningskurvan med y -z-planet (en parabel i detta plan). Om a = b är paraboloiden cirkulär genom att ellipserna i figuren är cirklar. Då är punkten F = (0, 0, ca2 /4) brännpunkt eller fokus för paraboloiden. Den har egenskapen att en stråle parallell med z-axeln (paraboloidens axel) reflekteras i paraboloiden i riktning mot F . Detta används bl a av parabolantenner. En ekvation, som kan skrivas på formen x2 y 2 − = cz a2 b2 med konstanter a > 0, b > 0 och c > 0, beskriver en hyperbolisk paraboloid. Den illustreras i fig 1.36 för den del där z ≥ 0 med hjälp av några skärningskurvor mellan paraboloiden och plan parallella med x-y -planet (hyperbler i dessa plan) samt skärningskurvan med x-z-planet (en parabel i detta plan). (Hur skulle den del av paraboloiden där z ≤ 0 se ut?) I linjär algebra studeras också allmänna andragradsekvationer Ax2 + By 2 + Cz2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0 med reella konstanter A, B , C , D , E , F , G , H , I och J (där A, B , C , D , E och F inte alla är 0). Där visas att en sådan ekvation kan transformeras till en ekvation för någon av andragradsytorna i exempel 1.23 med ett variabelbyte, som bevarar avstånd. (I undantagsfall blir det en ”cylinderyta”, som bildas genom att en ellips, hyperbel eller parabel i x-y -planet flyttas parallellt med z-axeln, två plan som skär varandra, är parallella eller sammanfaller, en enda punkt eller en tom mängd.)

Funktions- och nivåytor för reellvärda funktioner av n reella variabler Begreppen funktionsyta och nivåyta kan förstås också generaliseras till funktioner mellan Rn och R fastän vi inte alls kan illustrera det i ﬁgurer som i följande exempel.

9789147112050b1-552c.indd 36

12/11/15 6:38 PM

1.4 FUNKTIONER MED VÄRDEN I R2 , R3 , . . .

EXEMPEL 1.24

Genom f (x) = f (x1 , . . . , xn ) = 2 − |x| =

2− för

x21 + · · · + x2n |x| = x21 + · · · + x2n ≤ 2

n deﬁnieras en funktion f mellan Rn och R med Df = { x ∈ R : |x| ≤ som är ett klot med medelpunkt 0 och radie 2 i Rn .

2 },

För denna funktion kan vi deﬁniera funktionsytan { (x1 , . . . , xn , xn+1 ) ∈ Rn+1 : xn+1 = f (x1 , . . . , xn ) } = = { (x, xn+1 ) ∈ Rn+1 : xn+1 = 2 − |x| }, som är en mängd av punkter i Rn+1 . För varje val av den reella konstanten C kan vi också deﬁniera nivåytan { (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : f (x1 , . . . , xn ) = C } = = { x ∈ Rn : 2 − |x| = C } = { x ∈ Rn : |x| = 2 − C 2 }, n som är en mängd av punkter i Rn . För 0 ≤ C < 2 är nivåytan en sfär i R med medelpunkt 0 och radie 2 − C 2 (se exempel 1.12). För C = 2 innehåller den bara punkten 0 och för C > 2 är den tom.

1.4 Funktioner med värden i R2 , R3 , . . . Funktioner mellan R och R2 och kurvor i R2 på parameterform EXEMPEL 1.25

Genom ekvationerna x = t2

och

y = t3

för

− 1 ≤ t ≤ 1,

beskrivs en kurva i R2 , som är mängden av punkter (x, y) = (t2 , t3 ) ∈ R2 där −1 ≤ t ≤ 1.

9789147112050b1-552c.indd 37

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

Den kan då också deﬁnieras som värdemängden för en funktion mellan R och R2 , som deﬁnieras genom t → (t2 , t3 )

för

(1, 1)

−1≤t≤ 1

och alltså har deﬁnitionmängden [−1, 1]. x

Kurvan kan också beskrivas genom en ekvation (x, y) = (t2 , t3 )

för

−1≤t≤ 1 (1, −1)

och illustreras i ﬁg 1.37. Där anger pilarna att punkten (x, y) rör sig på kurvan från punkten (1, −1) till punkten (1, 1) , då t växer från −1 till 1.

Fig 1.37

Allmänt kan en funktion eller avbildning mellan R och R2 deﬁnieras med två funktioner f1 och f2 mellan R och R genom t → (f1 (t), f2 (t)) ∈ R2

för

t ∈ D f1 ∩ D f2 .

(Df1 ∩Df2 är skärningen av Df1 och Df2 .) Det är då också praktiskt att beteckna denna avbildning med f = (f1 , f2 ) med deﬁnitionsmängden Df = Df1 ∩ Df2 så att f (t) = (f1 (t), f2 (t))

för t ∈ Df .

Speciellt kan en kurva i R2 ofta beskrivas med en sådan avbildning f mellan R och R2 deﬁnierad på ett intervall I i R, åtminstone om funktionerna f1 och f2 är någorlunda ”snälla” (som i avsnitt 2.1, se sid 86). Kurvan är då mängden av punkter (x, y) = f (t) = (f1 (t), f2 (t))

för

t ∈ I,

(1.39)

för

t∈I

(1.40)

och kan ges av denna ekvation eller av ekvationerna x = f1 (t)

och

y = f2 (t)

i parameterform med parametern t. Ibland talar vi då bara om kurvan (1.39) eller (1.40). T ex visas på sid 13 i avsnittet om vektorer hur en rät linje, som går genom en punkt P = (a, b) och har en riktningsvektor v = [v1 , v2 ] i R2 , kan beskrivas på parameterform genom x = a + tv1

och

y = b + tv2

för

t ∈ R.

Med f1 (t) = a + tv1 och f2 (t) = b + tv2 och funktionen f = (f1 , f2 ) mellan R och R2 kan den då också ges av ekvationen (x, y) = f (t) = (f1 (t), f2 (t)) = (a + tv1 , b + tv2 ) = (a, b) + t[v1 , v2 ] för

9789147112050b1-552c.indd 38

t ∈ R.

12/11/15 6:38 PM

1.4 FUNKTIONER MED VÄRDEN I R2 , R3 , . . .

Funktioner mellan R och R3 och kurvor i R3 på parameterform EXEMPEL 1.26

Genom ekvationerna x = cos t,

y = sin t och

z=t

för 0 ≤ t ≤ π,

beskrivs en kurva i R3 , som är mängden av punkter (x, y, z) = (cos t, sin t, t) ∈ R3 där 0 ≤ t ≤ π . Den är då värdemängden för en funktion mellan R och R3 , som deﬁnieras genom att t → (cos t, sin t, t)

för

z (−1, 0, π )

0 ≤ t ≤ π,

och alltså har deﬁnitionsmängden [0, π]. Kurvan kan också beskrivas genom en ekvation (x, y, z) = (cos t, sin t, t)

för

0 ≤ t ≤ π.

(1, 0, 0)

och illustreras i ﬁg 1.38. Punkten (x, y, z) rör sig där på kurvan från punkten (1, 0, 0) till punkten (−1, 0, π) , då t växer från 0 till π . Den prickade kurvan är projektionen av kurvan på x-y -planet.

x Fig 1.38

Allmänt kan en funktion eller avbildning mellan R och R3 deﬁnieras med tre funktioner f1 , f2 och f3 mellan R och R genom t → (f1 (t), f2 (t), f3 (t)) ∈ R3

för

t ∈ D f1 ∩ D f2 ∩ D f3 .

Vi betecknar då denna avbildning med f = (f1 , f2 , f3 ) , med deﬁnitionsmängden Df = Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 så att f (t) = (f1 (t), f2 (t), f3 (t))

för

t ∈ Df .

Analogt med kurvor i R2 kan en kurva i R3 ofta beskrivas med en sådan avbildning f = (f1 , f2 , f3 ) mellan R och R3 deﬁnierad på ett intervall I i R. Kurvan är då mängden av punkter (x, y, z) = f (t) = (f1 (t), f2 (t), f3 (t))

för

t ∈ I,

(1.41)

och kan ges (på parameterform) av denna ekvation eller av ekvationerna x = f1 (t),

y = f2 (t)

och

z = f3 (t)

för

t ∈ I.

(1.42)

Ibland talar vi då bara om kurvan (1.41) eller (1.42). Se också sid 88 och exempel 2.24.

9789147112050b1-552c.indd 39

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

T ex visas på sid 15 hur en rät linje, som går genom en punkt P = (a, b, c) och har en riktningsvektor v = [v1 , v2 , v3 ] i R3 , kan ges på parameterform genom x = a + tv1 ,

y = b + tv2

och

z = c + tv3

för

t ∈ R.

Med f1 (t) = a + tv1 , f2 (t) = b + tv2 och f3 (c + tv3 ) och funktionen f = (f1 , f2 , f3 ) mellan R och R3 kan linjen också ges av ekvationen (x, y, z) = f (t) = (f1 (t), f2 (t), f3 (t)) = = (a + t1 , b + tv2 , c + tv3 ) = (a, b, c) + t[v1 , v2 , v3 ] för

t ∈ R.

Funktioner mellan R och Rn och kurvor i Rn på parameterform EXEMPEL 1.27

Genom ekvationerna x1 = t,

x2 = t2 ,

xn = tn

...,

för

t ∈ R,

beskrivs en mängd i Rn , som också kallas en kurva i Rn , nämligen mängden av punkter x = (x1 , . . . , xn ) = (t, t2 , . . . , tn ) ∈ Rn där t ∈ R. Den är då värdemängden för en funktion mellan R och Rn som deﬁnieras genom t → (t, t2 , . . . , tn )

för

t∈R

och alltså har deﬁnitionsmängden R. Den kan också beskrivas genom en ekvation x = (t, t2 , . . . , tn )

för

t ∈ R.

Allmänt kan en funktion eller avbildning mellan R och Rn deﬁnieras med n funktioner f1 , . . . , fn mellan R och R genom t → (f1 (t), . . . , fn (t)) ∈ Rn

för

t ∈ D f1 ∩ · · · ∩ D fn .

Vi betecknar denna avbildning med f = (f1 , . . . , fn ) och

9789147112050b1-552c.indd 40

så att

f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t))

D f = D f1 ∩ · · · ∩ D fn för

t ∈ Df .

12/11/15 6:38 PM

1.4 FUNKTIONER MED VÄRDEN I R2 , R3 , . . .

En kurva i Rn kan allmänt definieras med en sådan avbildning f = (f1 , . . . , fn ) mellan R och Rn definierad på ett intervall I i R. Kurvan definieras då som mängden av punkter x = f (t) för t ∈ I, och kan ges på parameterform av denna ekvation eller (med x = (x1 , . . . , xn ) ) av ekvationerna x1 = f1 (t), . . . , xn = fn (t) för t ∈ I. T ex definieras på sid 18 en rät linje, som går genom en punkt a = (a1 , . . . , an ) och har en riktningsvektor v = [v1 , . . . , vn ] i Rn , som mängden av punkter x = (x1 , . . . , xn ) i Rn sådana att x = a + tv eller

x1 = a1 + tv1 ,

...,

för

t∈R

xn = an + tvn

för

t ∈ R.

Med fj (t) = aj + tvj för j = 1, . . . , n och funktionen f = (f1 , . . . , fn ) mellan R och Rn kan linjen då också ges av ekvationen x = f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)) = (a1 + tv1 , . . . , an + tvn ) = a + tv

för

t ∈ R.

Se också sid 90 och exempel 2.25.

Funktioner mellan R2 och R2 En funktion eller avbildning mellan R2 och R2 deﬁnieras med två funktioner f1 och f2 mellan R2 och R genom (u, v) → (f1 (u, v), f2 (u, v)) ∈ R2

för

(u, v) ∈ Df1 ∩ Df2 .

Avbildningen kan då betecknas med f = (f1 , f2 ) , så att deﬁnitionsmängden Df = Df1 ∩ Df2 och f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v))

för

(u, v) ∈ Df .

för

0≤u≤2

EXEMPEL 1.28

Genom f1 (u, v) =

u+v 2

och

f2 (u, v) =

u−v 2

och

0≤v≤2

definieras en avbildning f = (f1 , f2 ) mellan R2 och R2 med definitionsmängden Df = { (u, v) ∈ R2 : 0 ≤ u ≤ 2 och 0 ≤ v ≤ 2 }. Denna mängd är kvadraten i u-v -systemet till vänster i fig 1.39.

9789147112050b1-552c.indd 41

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

(0, 2)

(2, 2)

(1, 1)

(x, y)

(u, v) Df

(0, 0) f −1

(0, 0)

(2, 0) x

Vf (1, −1)

(2, 0) u

Fig 1.39

Genom f avbildas punkter (u, v) i denna kvadrat på motsvarande punkter u + v u − v (x, y) = f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v)) = , (1.43) 2 2 i värdemängden Vf , som är kvadraten i x-y -systemet till höger i ﬁg 1.39. Ty ur sambanden mellan x och y och u och v i (1.43) kan vi lösa ut u och v så att u= x+y

och

v =x−y

(1.44)

och alltså 0≤u≤2

och

0≤v≤2

⇐⇒

0 ≤ x + y ≤ 2 och

0 ≤ x − y ≤ 2.

Visa att olikheterna för x och y beskriver kvadraten i x-y -systemet. Avbildningen illustreras med den övre kurvan från punkten (u, v) till punkten (x, y) i ﬁg 1.39. Speciellt ser vi att (0, 0) → (0, 0), (2, 0) → (1, 1), (2, 2) → (2, 0) och (0, 2) → (1, −1). (1.44) ger den inversa avbildningen mellan R2 och R2 , som kan betecknas med f −1 och deﬁnieras genom (u, v) = f −1 (x, y) = (x + y, x − y)

för

(x, y) ∈ Df −1 = Vf .

Den illustreras med den undre kurvan från punkten (x, y) till punkten (u, v) i ﬁg 1.39. En avbildning f = (f1 , f2 ) mellan R2 och R2 , som ges av ett samband av formen f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v)) = (a1 u + b1 v + c1 , a2 u + b2 v + c2 ) med reella konstanter a1 , b1 , c1 , a2 , b2 och c2 , kallas aﬃn. Den kallas linjär om c1 = c2 = 0. Avbildningen f i exempel 1.28 är alltså linjär.

9789147112050b1-552c.indd 42

12/11/15 6:38 PM

1.4 FUNKTIONER MED VÄRDEN I R2 , R3 , . . .

EXEMPEL 1.29

Genom f1 (u, v) = u2 + v 2

och

f2 (u, v) = v

för

u2 + v 2 ≤ 1 och

v≥0

definieras en avbildning f = (f1 , f2 ) mellan R2 och R2 med definitionsmängden Df = { (u, v) ∈ R2 : u2 + v 2 ≤ 1 och v ≥ 0 } som är halvcirkelskivan i u-v -systemet till vänster i fig 1.40. v 2

Df −→ (−u, v)

u +v =1 2

√− x ←− Vf

f (u, v)

−1

(x, y) 1

Fig 1.40

f avbildar punkter (u, v) ∈ Df på motsvarande punkter (x, y) = (u2 + v 2 , v) ∈ Vf ,

(1.45)

där värdemängden Vf bestäms av att (1.45) medför att u2 = x − y 2

och

v = y.

(1.46)

Det medför att u2 + v 2 ≤ 1 och v ≥ 0 Alltså är

⇐⇒ ⇐⇒

0 ≤ x ≤ 1, y ≥ 0 och x − y 2 ≥ 0 √ 0 ≤ x ≤ 1 och 0 ≤ y ≤ x.

Vf = { (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 och 0 ≤ y ≤

√

⇐⇒

x },

som illustreras i x-y -systemet till höger i ﬁg 1.40. Observera att avbildningen f inte har någon invers avbildning. Ty av (1.45) följer att, om punkten (u, v) avbildas på punkten (x, y) , så avbildas punkten (−u, v) på samma punkt (x, y) . I ﬁguren illustreras det med de två kurvorna från (u, v) resp (−u, v) till (x, y) . Vi ser också att sambandet (1.46) ger två omvända samband u = x − y 2 och v = y resp u = − x − y 2 och v = y. Hur avbildar de var för sig mängden Vf på delar av mängden Df ?

9789147112050b1-552c.indd 43

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

Funktioner mellan R2 och R3 och ytor i R3 på parameterform En funktion eller avbildning mellan R2 och R3 deﬁnieras med tre funktioner f1 , f2 och f3 mellan R2 och R genom (u, v) → (f1 (u, v), f2 (u, v), f3 (u, v)) ∈ R3

(u, v) ∈ Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 .

för

Avbildningen kan då betecknas med f = (f1 , f2 , f3 ) så att deﬁnitionsmängden Df = Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 och f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v), f3 (u, v))

för

(u, v) ∈ Df .

Speciellt kan en yta i R3 ofta beskrivas med en sådan avbildning f = (f1 , f2 , f3 ) mellan R2 och R3 . Ytan är då mängden av punkter (x, y, z) = f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v), f3 (u, v))

för

(u, v) ∈ M,

(1.47)

där mängden M är innehållen i Df . Ytan kan ges (på parameterform) av denna ekvation eller av ekvationerna x = f1 (u, v),

y = f2 (u, v)

och

z = f3 (u, v)

för

(u, v) ∈ M.

(1.48)

Ibland talar vi då bara om ytan (1.47) eller (1.48). Se också sid 93. EXEMPEL 1.30

Genom f1 (u, v) = u − v,

f2 (u, v) = u + v

och

f3 (u, v) = u2 + v 2

för − 1 ≤ u ≤ 1 och − 1 ≤ v ≤ 1 deﬁnieras en avbildning f = (f1 , f2 , f3 ) mellan R2 och R3 . Den avbildar kvadraten, som ges av

−1 ≤ u ≤ 1 och − 1 ≤ v ≤ 1 i ett u-v -system i R2 , på ytan, som ges av x = f1 (u, v), y = f2 (u, v) och z = f3 (u, v) i ett x-y -z-system i R3 för dessa värden på u och v . Ytan illustreras i ﬁg 1.41 med några kurvor, som ges av dessa ekvationer för −1 ≤ u ≤ 1 och v konstant resp −1 ≤ v ≤ 1 och u konstant.

9789147112050b1-552c.indd 44

y x Fig 1.41

12/11/15 6:38 PM

1.4 FUNKTIONER MED VÄRDEN I R2 , R3 , . . .

Funktioner mellan R3 och R3 En funktion eller avbildning mellan R3 och R3 deﬁnieras med tre funktioner f1 , f2 och f3 mellan R3 och R genom (u, v, w) → (f1 (u, v, w), f2 (u, v, w), f3 (u, v, w)) ∈ R3 för

(u, v, w) ∈ Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 .

Avbildningen kan då också betecknas med f = (f1 , f2 , f3 ) , så att deﬁnitionsmängden Df = Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 och f (u, v, w) = (f1 (u, v, w), f2 (u, v, w), f3 (u, v, w))

för

(u, v, w) ∈ Df .

EXEMPEL 1.31

Genom f1 (u, v, w) = u + v + w,

f2 (u, v, w) = v + w för

0 ≤ u ≤ 1,

och

f3 (u, v, w) = v − w

0≤v≤1

och

0≤w≤1

deﬁnieras en avbildning f = (f1 , f2 , f3 ) mellan R3 och R3 med deﬁnitionsmängden Df = { (u, v, w) ∈ R3 : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 och 0 ≤ w ≤ 1 }. Den är en kub i ett u-v -w -system i R3 . f avbildar varje punkt (u, v, w) i Df på motsvarande punkt (x, y, z) = (u + v + w, v + w, v − w)

(1.49)

i värdemängden Vf . Här bestäms Vf av att (1.49) medför att u = x − y, så att

y+z 2

och

0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 och 0 ≤ w ≤ 1 ⇐⇒

y−z 2

(1.50)

⇐⇒

0 ≤ x − y ≤ 1, 0 ≤ y + z ≤ 2 och 0 ≤ y − z ≤ 2.

Alltså är Vf = = { (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x − y ≤ 1, 0 ≤ y + z ≤ 2 och 0 ≤ y − z ≤ 2 }. Denna mängd är en parallellepiped i R3 begänsad av de sex planen x − y = 0, x − y = 1, y + z = 0, y + z = 2, y − z = 0 och y − z = 2, som är parvis parallella.

9789147112050b1-552c.indd 45

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

Sambandet (1.50) medför också att avbildningen f har en invers avbildning f −1 mellan R3 och R3 , som ges av y + z y − z , f −1 (x, y, z) = x − y, 2 2 för (x, y, z) ∈ Df −1 = Vf . Avbildningen f är ett exempel på en linjär avbildning mellan R3 och R3 .

Funktioner mellan Rn och Rm Allmänt kan en funktion eller avbildning mellan Rn och Rm deﬁnieras med m funktioner f1 , . . . , fm mellan Rm och R genom u → (f1 (u), . . . , fm (u)) ∈ Rm

u = (u1 , . . . , un ) ∈ Df1 ∩ · · · ∩ Dfm .

för

Avbildningen kan betecknas med f = (f1 , . . . , fm ) och

så att

D f = D f1 ∩ · · · ∩ D fm

f (u) = (f1 (u), . . . , fm (u))

för

u ∈ Df .

1.5 Koordinatbyten Ibland är det lämpligt att göra ett koordinatbyte (eller variabelbyte) för att förenkla hanteringen av funktioner eller mängder med ﬂera reella variabler, bl a i teorin för integraler i kapitlen 6 och 7.

Koordinatbyten i R2 EXEMPEL 1.32

Sambandet

u+v 2

och

y = f2 (u, v) =

u= x+y

och

v =x−y

x = f1 (u, v) =

u−v 2

med det omvända sambandet

i exempel 1.28 kan också uppfattas som ett koordinatbyte i R2 . T ex motsvaras punkter (x, y) i kvadraten i x-y -systemet till vänster i ﬁg 1.42 av punkter (u, v) i kvadraten i u-v -systemet till höger i denna ﬁgur.

9789147112050b1-552c.indd 46

12/11/15 6:38 PM

1.5 KOORDINATBYTEN

(0, 2)

(1, 1)

(0, 0)

(u, v)

(2, 0)

(x, y)

(2, 2)

(1, −1)

(0, 0)

(2, 0) u

Fig 1.42

Detta används t ex i exempel 6.10 i avsnitt 6.4 om variabelbyte i dubbelintegraler. I det ges en funktion f mellan R2 och R av f (x, y) =

x−y 1+x+y

för

(x, y) ∈ D.

Här ges mängden D i R2 av olikheterna 0≤ x+y ≤2

och

0≤x−y ≤2

och är då kvadraten i x-y -systemet i ﬁg 1.42. (Visa det!) Genom (1.50) (med andra beteckningar) överförs f till en funktion g mellan R2 och R, som ges av v g(u, v) = för (u, v) ∈ E. 1+u Här ges mängden E i R2 av olikheterna 0 ≤ u ≤ 2 och

0≤v≤2

och är då kvadraten i u-u-systemet i ﬁg 1.42. (Detta medför att det blir enklare att lösa uppgiften i exempel 6.10.) Däremot kan sambandet x = u2 + v 2

och

y=v

för

u2 + v 2 ≤ 1 och

v≥0

i exempel 1.29 inte uppfattas som ett koordinatbyte i R2 för punkter (x, y) sådana √ att 0 ≤ x ≤ 1 och 0 ≤ y ≤ x. Ty en sådan punkt (x, y) motsvaras i allmänhet av två olika punkter (u, v) sådana att u2 + v 2 ≤ 1 och v ≥ 0. Men det blir ett koordinatbyte med ett omvänt samband för punkter (u, v) sådana att u2 + v 2 ≤ 1, v ≥ 0 och u ≥ 0 eller u2 + v 2 ≤ 1, v ≥ 0 och u ≤ 0.

9789147112050b1-552c.indd 47

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

Allmänt ges ett koordinatbyte i R2 , där punkter (x, y) i ett x-y -system motsvarar punkter (u, v) i ett u-v -system, genom ett samband x = f1 (u, v)

och

y = f2 (u, v)

(1.51)

u = ϕ1 (x, y)

och

v = ϕ2 (x, y).

(1.52)

och ett omvänt samband

Här är f1 och f2 funktioner mellan R2 och R med Df1 = Df2 medan ϕ1 och ϕ2 är funktioner mellan R2 och R med Dϕ1 = Dϕ2 . Avbildningen f = (f1 , f2 ) mellan R2 och R2 har då den inversa avbildningen f −1 = ϕ = (ϕ1 , ϕ1 ) . Vi talar här ibland bara om koordinatbytet (1.51) eller (1.52). Ett koordinatbyte i R2 är aﬃnt, om det ges genom ett samband x = a 1 u + b1 v + c1

och

y = a 2 u + b2 v + c2

med reella konstanter a1 , b1 , c1 , a2 , b2 och c2 . Det är linjärt, om c1 = c2 = 0. Koordinatbytet i exempel 1.32 är alltså linjärt. Ett viktigt koordinatbyte i R2 ges i följande exempel. EXEMPEL 1.33 (POLÄRA KOORDINATER)

I x-y -systemet i ﬁg 1.43 är r = x2 + y 2

(x, y)

avståndet mellan origo (0, 0) och punkten (x, y) . Dessutom är v vinkeln i positiv led (eller moturs) mellan positiva x-axeln och sträckan från (0, 0) till (x, y) . Då följer att x y cos v = och sin v = r r

r (0, 0)

enligt deﬁnitionen av cos v resp sin v (även då x eller y är negativt). Detta ger sambandet x = r cos v och y = r sin v

v x

Fig 1.43

(1.53)

med polära koordinater för punkten (x, y) . Här gäller att r≥0 medan vinkeln v inte är entydigt bestämd. Ty om v0 är ett värde, får vi alla värden på v genom v = v0 + 2πn med heltal n. För (x, y) = (0, 0) är r = 0 medan v är helt obestämt.

9789147112050b1-552c.indd 48

12/11/15 6:38 PM

1.5 KOORDINATBYTEN

För att r och v ska vara entydigt bestämda av (x, y) , så att (1.53) ger ett koordinatbyte med ett motsvarande omvänt koordinatbyte, måste vi begränsa r och v så att r>0

och t ex

v 2π

0 ≤ v < 2π

som i ﬁg 1.44 (eller med något annat halvöppet intervall med längd 2π för v ).

Fig 1.44

T ex beskrivs cirkeln med medelpunkt (0, 0) och radie 2 i polära koordinater r och v genom r = 2 och 0 ≤ v < 2π.

ANMÄRKNING 1.1

Det kan ibland vara praktiskt att använda polära koordinater, som utgår från en annan ﬁx punkt (a, b) än (0, 0) . För en punkt (x, y) i x-y -systemet är r och v då vanliga polära koordinater för punkten (x − a, y − b) . Detta ger x − a = r cos v och y − b = r sin v och alltså x = a + r cos v

och

y = b + r sin v.

EXEMPEL 1.34

Ekvationen

r = 2 cos v

för

π π − ≤v≤ 2 2

med polära koordinater r och v för punkter (x, y) beskriver kurvan i x-y -systemet i ﬁg 1.45. Det lämnas som övning 1.24 att visa att denna kurva också ges av ekvationen (x − 1)2 + y 2 = 1.

r v 1

Fig 1.45

Den är alltså faktiskt en cirkel med medelpunkt (1, 0) och radie 1.

9789147112050b1-552c.indd 49

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

Koordinatbyten i R3 EXEMPEL 1.35

Sambandet

x = u + v + w,

y =v+w

z =v−w

och

med det omvända sambandet u = x − y,

y+z 2

och

y−z 2

i exempel 1.31 kan också uppfattas som ett koordinatbyte i R3 . T ex motsvaras punkter (x, y, z) i parallellepipeden, som ges av olikheterna 0 ≤ x − y ≤ 1,

0 ≤ y + z ≤ 2 och

0 ≤ y − z ≤ 2,

av punkter (u, v, w) i kuben, som ges av olikheterna 0 ≤ u ≤ 1,

0 ≤ v ≤ 1 och

0 ≤ w ≤ 1.

Allmänt ges ett koordinatbyte i R3 , där punkter (x, y, z) i ett x-y -z-system motsvarar punkter (u, v, w) i ett u-v -w -system, genom ett samband x = f1 (u, v, w),

y = f2 (u, v, w)

och

z = f3 (u, v, w)

(1.54)

v = ϕ2 (x, y, z)

och

w = ϕ3 (x, y, z).

(1.55)

och ett omvänt samband u = ϕ1 (x, y, z),

Här är f1 , f2 och f3 funktioner mellan R3 och R med Df1 = Df2 = Df3 , medan ϕ1 , ϕ2 och ϕ3 är funktioner mellan R3 och R med Dϕ1 = Dϕ2 = Dϕ−3 . Avbildningen f = (f1 , f2 , f3 ) mellan R3 och R3 har då den inversa avbildningen f −1 = ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) . Vi talar här ibland bara om koordinatbytet (1.54) eller (1.55). Ett koordinatbyte i R3 är aﬃnt, om det ges genom ett samband x = a1 u + b1 v + c1 w + d1 , och

y = a2 u + b2 v + c2 w + d2

z = a3 u + b3 v + c3 w + d3

med reella konstanter a1 , b1 , c1 , d1 , a2 , b2 , c2 , d2 , a3 , b3 , c3 och d3 . Det är linjärt om d1 = d2 = d3 = 0. Koordinatbytet i exempel 1.35 är alltså linjärt. I följande två exempel behandlas två viktiga koordinatbyten i R3 .

9789147112050b1-552c.indd 50

12/11/15 6:38 PM

1.5 KOORDINATBYTEN

EXEMPEL 1.36 (CYLINDERKOORDINATER)

I x-y -z-systemet i ﬁg 1.46 är r = x2 + y 2

(x, y, z) z

avståndet från origo (0, 0, 0) till punkten (x, y, 0) . Den är den ortogonala projektionen av punkten (x, y, z) på x-y -planet. v är vinkeln i positiv led mellan positiva x-axeln och sträckan från (0, 0, 0) till (x, y, 0) . Det innebär att r och v är polära koordinater för punkten (x, y, 0) i x-y planet enligt exempel 1.33. Detta ger sambandet x = r cos v, y = r sin v

(x, y, 0) r

(0, 0, 0) v

Fig 1.46

z=z

och

(1.56)

med cylinderkoordinater eller cylindriska koordinater r , v och z för punkten (x, y, z) . För att (1.56) ska vara ett koordinatbyte med ett entydigt omvänt koordinatbyte, gäller förstås samma begränsningar för r och v som för polära koordinater i exempel 1.33. T ex beskivs en cirkulär cylinder med axel längs z-axeln och radie 3 i cylinderkoordinater r , v och z genom r = 3 och

0 ≤ v < 2π.

På samma sätt som i anmärkning 1.1 om polära koordinater kan det ibland vara praktiskt att använda cylinderkoordinater, som utgår från en annan ﬁx punkt (a, b, 0) än (0, 0, 0) i x-y -planet. För en punkt (x, y, z) i x-y -z-systemet är r , v och z då vanliga cylinderkoordinater för punkten (x − a, y − b, z) . Det ger x = a + r cos v,

y = b + r sin v

och

z = z.

EXEMPEL 1.37

Ekvationen

r = 2 cos v

för

−

π π ≤v≤ 2 2

med cylinderkoordinater r , v och z för punkter (x, y, z) beskriver en yta i R3 . Den är en cylinder med axeln längs linjen som ges av x = 1, y = 0 och z = t för t ∈ R samt radien 1. Det följer av exempel 1.34, som visar att ytans skärning med x-y -planet är en cirkel med medelpunkt (1, 0, 0) och radie 1.

9789147112050b1-552c.indd 51

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

EXEMPEL 1.38 (SFĂ&#x201E;RISKA ELLER RYMDPOLĂ&#x201E;RA KOORDINATER)

I ďŹ g 1.47 Ă¤r r=

x2 + y 2 + z2

(x, y, z)

z avstĂĽndet frĂĽn origo (0, 0, 0) till punkten r (x, y, z) . Dessutom Ă¤r u vinkeln mellan positiva z-axeln och strĂ¤ckan frĂĽn (0, 0, 0) u (x, y, 0) till (x, y, z) medan v Ă¤r vinkeln i positiv led mellan positiva x-axeln och strĂ¤ckan (0, 0, 0) v frĂĽn (0, 0, 0) till (x, y, 0) . HĂ¤r Ă¤r punkten (x, y, 0) ortogonala projektionen av punkten (x, y, z) pĂĽ x-y -planet (liksom i exempel 1.36). Det medfĂśr att Fig 1.47 z cos u = och sin u = r r (Ă¤ven fĂśr negativa z), dĂ¤r = x2 + y 2 Ă¤r avstĂĽndet frĂĽn (0, 0, 0) till (x, y, 0) . Detta innebĂ¤r att = r sin u och v Ă¤r polĂ¤ra koordinater fĂśr punkten (x, y, 0) i x-y -planet sĂĽ att x = cos v och y = sin v.

Tillsammans ger allt detta sambandet x = r sin u cos v,

y = r sin u sin v

z = r cos u

och

(1.57)

med sfĂ¤riska eller rymdpolĂ¤ra koordinater r , u och v . HĂ¤r gĂ¤ller att r â&#x2030;Ľ 0 och (obs!)

0â&#x2030;¤uâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;

medan v (som i exempel 1.33) inte Ă¤r entydigt bestĂ¤mt av punkten (x, y, z) . FĂśr att (1.57) ska vara ett koordinatbyte med ett entydigt omvĂ¤nt koordinatbyte gĂ¤ller fĂśrstĂĽs ocksĂĽ hĂ¤r samma begrĂ¤nsningar fĂśr r och v som i exempel 1.33. T ex beskrivs en sfĂ¤r med medelpunkt (0, 0, 0) och radie 4 i sfĂ¤riska koordinater r , u och v genom r = 4,

0â&#x2030;¤uâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;

och

0 â&#x2030;¤ v < 2Ď&#x20AC;.

Analogt med anmĂ¤rkning 1.1 kan det ocksĂĽ hĂ¤r ibland vara praktiskt att anvĂ¤nda sfĂ¤riska koordinater, som utgĂĽr frĂĽn nĂĽgon annan ďŹ x punkt (a, b, c) Ă¤n (0, 0, 0) . FĂśr en punkt (x, y, z) i x-y -z-systemet Ă¤r r , u och v dĂĽ vanliga sfĂ¤riska koordinater fĂśr punkten (x â&#x2C6;&#x2019; a, y â&#x2C6;&#x2019; b, z â&#x2C6;&#x2019; c) . Det ger x = a + r sin u cos v,

9789147112050b1-552c.indd 52

y = b + r sin u sin v

och

z = r cos u.

12/11/15 6:38 PM

1.5 KOORDINATBYTEN

EXEMPEL 1.39

Ekvationen r = 2 cos u

för

0≤u≤

π 2

och

0 ≤ v ≤ 2π

med sfäriska koordinater r , u och v för punkter (x, y, z) beskriver en yta i x-y -z-systemet. Det lämnas som övning 1.25 på sid 54 att visa att denna yta också ges av ekvationen x2 + y 2 + (z − 1)2 = 1. Den är alltså en sfär med medelpunkt (0, 0, 1) och radie 1.

Koordinatbyten i Rn EXEMPEL 1.40

Sambandet x1 = u1 + u2 + u3 + u4 ,

x2 = u1 + u2 + u3 ,

x3 = u1 + u2

och

x4 = u1

mellan punkter x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) och punkter u = (u1 , u2 , u3 , u4 ) medför också det inversa sambandet u1 = x4 ,

u2 = x3 − x4 ,

u3 = x2 − x3

och

u4 = x1 − x2 .

Visa det! Det kan då ses som ett koordinatbyte i R4 , där punkter x i ett x1 -x2 -x3 -x4 -system motsvaras av punkter u i ett u1 -u2 -u3 -u4 -system. Allmänt ges ett koordinatbyte i Rn , där punkter x = (x1 , . . . , xn ) i ett koordinatsystem motsvaras av punkter u = (u1 , . . . , un ) i ett annat koordinatsystem, genom ett samband x1 = f1 (u) = f1 (u1 , . . . , un ),

...,

xn = fn (u) = fn (u1 , . . . , un )

...,

un = ϕn (x) = ϕn (x1 , . . . , xn ).

och ett omvänt samband u1 = ϕ1 (x) = ϕ1 (x1 , . . . , xn ),

Här är f1 , . . . , fn funktioner mellan Rn och R med Df1 = · · · = Dfn medan ϕ1 , . . . , ϕn är funktioner mellan Rn och R med Dϕ1 = · · · = Dϕn . Avbildningen f = (f1 , . . . , fn ) mellan Rn och Rn har då den inversa avbildningen f −1 = ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) .

9789147112050b1-552c.indd 53

12/11/15 6:38 PM

KAPITEL 1 GRUNDBEGREPP I R2 , R3 , . . .

1.6 Några viktiga topologiska begrepp Mängder i R2 I envariabelanalys deﬁnieras en omgivning av en punkt a i R, alltså ett reellt tal a, som ett öppet intervall U = ]a − δ, a + δ[ = { x ∈ R : a − δ < x < a + δ }. där δ > 0. Detta har nu följande motsvarighet i R2 : DEFINITION 1.5

En omgivning av en punkt P = (a, b) i R2 är en öppen cirkelskiva U = { (x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 < δ2 } med medelpunkt P och radie δ > 0. Deﬁnitionerna i det följande för mängder av punkter i R2 har också motsvarigheter i envariabelanalys för mängder av punkter x i R. DEFINITION 1.6

En punkt P i R2 är inre punkt i en mängd M av punkter i R2 , ifall P har någon omgivning U , som är helt innehållen i M . Mängden av alla inre punkter i M kallas det inre av M . Den betecknas ofta med M ◦ . Det är klart att varje inre punkt P i M själv tillhör mängden M i deﬁnitionen. DEFINITION 1.7

En punkt P i R2 är randpunkt till en mängd M av punkter i R2 ifall det i varje omgivning U av P ﬁnns både punkter som tillhör M och punkter som inte tillhör M . Mängden av alla randpunkter till M kallas randen av M . De betecknas ofta med ∂M . En randpunkt P till M kan antingen tillhöra eller inte tillhöra mängden M i deﬁnitionen. En punkt P , som tillhör M , är antingen inre punkt i M eller randpunkt till M .

9789147112050b1-552c.indd 54

12/11/15 6:38 PM

1.6 NÅGRA VIKTIGA TOPOLOGISKA BEGREPP

EXEMPEL 1.41

Genom

M = { (x, y) ∈ R : x ≥ 0, y ≥ 0 och 2x+y < 3 } 2

deﬁnieras en mängd M i R2 , som illustreras med triangeln i ﬁg 1.48. Inre punkter är alla (x, y) sådana att

(0, 3)

x=0

2x + y = 3

x > 0, y > 0 och 2x + y < 3. De ligger i den grå ytan innanför triangelns kantlinjer i ﬁguren. Där markeras en av dessa punkter tillsammans med en omgivning, som är innehållen i M. Randpunkter är alla punkter på de heldragna kantlinjerna. De är punkter (x, y) sådana att x=0

och

0≤y<3

eller

(0, 0)

y = 0 och

(3/2, 0) y=0

Fig 1.48

0 ≤ x < 3/2.

Dessa punkter tillhör M . Speciellt gäller att hörnpunkten (0, 0) är en randpunkt, som tillhör M och därför markeras med en fylld cirkel. Men randpunkter är dessutom (x, y) sådana att 2x + y = 3, x ≥ 0 och y ≥ 0. De ligger på den streckade kantlinjen, som markerar att dessa randpunkter inte tillhör M . Speciellt gäller att hörnpunkterna (3/2, 0) och (0, 3) är randpunkter, som inte tillhör M och därför markeras med ofyllda cirklar. Det ﬁnns två ytterlighetsfall. Det ena är följande: DEFINITION 1.8

En mängd M av punkter i R2 är öppen, ifall varje punkt i M är inre punkt i M och alltså M = M ◦ . Det innebär också att ingen randpunkt till M tillhör M .

EXEMPEL 1.42

Varje öppen cirkelskiva M = { (x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 < r 2 } med medelpunkt (a, b) och radie r > 0 är en öppen mängd i R2 .

9789147112050b1-552c.indd 55

12/11/15 6:38 PM

Ryggbredd: 35 mm

MATEMATISK ANALYS

FLERA VARIABLER

NEYMARK

MATS NEYMARK

SIMMONS KRANTZ

MATEMATISK ANALYS Flera variabler

Best.nr 47-11205-0 Tryck.nr 47-11205-0

9789147112050c1c.indd All Pages

12/11/15 7:19 PM