9789147105342

system som huvudsakligen analyserar problem förknippade med start- och förändringssituationer. Boken kompletteras vid behov

BERGSTRÖM SNA AR

Fourieranalys är en lärobok inom elektriska kretsar och linjära

LARS BERGSTRÖM BERTIL SNAAR

med Laplace- och z-transformer (av samma författare) som i höperspektiv. Boken är i första hand avsedd för ingenjörsutbildningar på högskolenivå med inriktning mot datateknik och elektronik.

Fourieranalys utgör en brygga mellan matematikkursen i analys och de tillämpade elektrotekniska ämnena (reglerteknik, filterteori, signalbehandling etc.). Den matematiska bakgrunden

Fourieranalys

gre grad analyserar stadigvarande tillstånd ur signalbehandlings-

Fourieranalys

är väl täckt samtidigt som det rikliga urvalet av lösta exempel huvudsakligen är hämtat från elkretsteorin. Laborationer med olika typer av datorprogram (t.ex. Pspice) kan erbjuda en värdefull komplettering och anknytning till praktiskt tillämpbara och ingenjörsmässiga analysmetoder.

Boken är pedagogiskt genomarbetad med många lösta räkneexempel och ett uttömligt appendix. Varje kapitel avslutas med övningsuppgifter med svar i facit i slutet av boken.

Författarna Lars Bergström och Bertil Snaar har båda lång erfarenhet av undervisning i ämnet vid Chalmers tekniska högskola.

Best.nr 47-10534-2 Tryck.nr 47-10534-2

4710534ot.indd 1

6/21/12 4:59 PM

Fourier — 2012/6/27 — 12:06 — page i — #1

Fourieranalys Lars Bergström Bertil Snaar

Fourier — 2012/6/27 — 12:06 — page iii — #3

Innehåll 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Trigonometriska fourierserier

1

Sinusformen inom elektrotekniken Periodiska funktioner Trigonometrisk fouriersumma En familj av ortogonala trigonometriska funktioner Nödvändiga villkor på fourierkoefficienterna Konvergenssats för fourierserier Jämna och udda funktioner Några exempel på fourierserier Fourierserie för speciella trigonometriska funktionsuttryck Fourierserien på amplitudfasvinkelform Några speciella seriers summor Övningsuppgifter

1 2 4 6 9 12 13 18 24 26 28 32

Parsevals formel – effekt och effektivvärde

38

Parsevals formel Exempel på användning av Parsevals formel Parsevals formel vid amplitudfasvinkelform Medeleffekt vid periodisk växelspänning och -ström Effektivvärdet av en periodisk växelström/spänning Rippelfaktor och klirrfaktor Övningsuppgifter

38 40 42 43 46 49 58

Fourierserier och linjära system

63

Linjära dynamiska system Superposition vid analys av linjära system Fourierserier och superposition Frekvens-, amplitud- och fasfunktion för ett linjärt system Fourierserier och elektriska filter Linjariserad modell av amplitudfunktionen Övningsuppgifter

63 66 70 71 73 81 83

Fourierserien på komplex form

90

Den trigonometriska fourierserien, sammanfattning Den komplexa fourierserien Några exempel på komplexa fourierserier Parsevals formel på komplex form Effekt och effektivvärde

90 91 94 98 100

Fourier — 2012/6/27 — 12:06 — page iv — #4

iv

4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11

Den komplexa fourierserien och linjära system Amplitud- och fasspektrum Den komplexa fourierserien och elektriska filter Den trigonometriska och den komplexa fourierserien Övningsuppgifter

102 105 109 111 113

Fouriertransformen

119

Fouriers transformteori Periodisk utvidgning. Fouriers integralsats Några egenskaper hos fouriertransformen Amplitud- och fasspektrum Symmetri mellan tidfunktion och transform Parsevals formel för fouriertransformen Enohmsenergin för en puls och Parsevals formel Fouriertransformen och linjära system Fouriertransformen och filter Fouriertransformen och laplacetransformen Övningsuppgifter

119 120 124 126 129 130 133 136 139 141 143

APPENDIX Appendix 1

Ortogonalitetsrelationer

150

Appendix 2

Visardiagram

154

Appendix 3

Ett linjärt dynamiskt systems frekvensfunktion

160

Appendix 4

Härledning av den komplexa fourierserien

163

Appendix 5

Komplexa fourierserier och linjära system

168

Appendix 6

Från komplex fourierserie till fourierintegral

173

Svar och anvisningar till övningsuppgifterna

177

Sakregister

194

Formler

197

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 1 — #1

● 1.

1.1

Trigonometriska fourierserier

Sinusformen inom elektrotekniken

Inom elektrotekniken spelar sinusformade förlopp en väsentlig roll. För elkraftdistributionen har t.ex. växelspänning visat sig ha många klara fördelar. Spänningen kan transformeras upp eller ned och därigenom anpassas till aktuella krav. Vid överföring av stora effekter på långa avstånd kan förlusterna begränsas genom att spänningen hålls hög och strömmen därigenom blir relativt låg. Vid förbrukningsstället måste spänningen sänkas, transformeras ned, för att anpassas till för förbrukaren lämplig nivå. Växelspänningen har sinusform, eftersom detta är vad elgeneratorerna naturligt lämnar. Inom radiotekniken har använts och används oscillatorer, vilka också naturligt genererar sinusformad spänning.

En annan viktig fördel med sinusformen är att den är relativt enkel att uttrycka och hantera matematiskt. I samband med att växelspänningen introducerades i elkrafttekniken, utvecklades den komplexa metoden, jω-metoden, för analys av stationära tillstånd i linjära nät matade med sinusformad spänning.

Det är emellertid inte bara historiskt som sinusformen är av grundläggande betydelse inom elektrotekniken. Även modern signalbehandlingsteori utnyttjar dess matematiska fördelar. Därvid utnyttjas en matematisk upptäckt från 1800talets början, nämligen att varje periodisk funktion, med vissa praktiskt oväsentliga inskränkningar, kan skrivas som en summa av oändligt många sinustermer med stigande frekvenser, en s.k. fourierserie. Seriens namn härrör från den franske matematikern Jean Baptiste Fourier (1768–1830) som år 1807 utvecklade metoden i ett arbete om beräkningar rörande värmeutbredning.

Med hjälp av fourierserieutveckling och superpositionsprincipen (som ju gäller för linjära system, exempelvis nät med linjära komponenter), kan analysen av linjära kretsar, matade med periodiska, icke-sinusformade spänningar, återföras till beräkningar gällande sinusspänningar. Det är därvid naturligt att utnyttja den komplexa metoden. Detta är en av huvudpunkterna i den kommande framställningen.

Eftersom denna framställning är tänkt att bl.a. vara en grund för signalteori kommer de behandlade funktionernas oberoende variabel förutsättas vara tiden t.

Detta innebär inte att fourierteorin enbart har tillämpningar inom elektrotekniken eller inom områden där tiden utgör den oberoende variabeln. Fourier uppfann metoden med trigonometriska serieutvecklingar i samband med analys av värmeledningsproblem!

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 2 — #2

2

1.2

Periodiska funktioner

En funktion f (t) sägs vara periodisk med perioden (alternativt periodtiden) T, om en sekvens med längden T ständigt upprepas (se figuren till höger).

Funktionsvärdet f (t) vid en tidpunkt t återupprepas alltid vid tidpunkten t + T oavsett t-värde. Definitionen är sålunda:

f(t) T T

t t

t+T

T

Definition: En funktion f (t) är periodisk med perioden T om för godtyckligt t-värde gäller f (t + nT) = f (t) där n är ett heltal.

Med periodtiden T kommer vi i fortsättningen att avse det minsta tidsintervall för vilket f (t) upprepas!

EXEMPEL 1.1

a)

b)

Funktionen f (t) = sin 4π t är periodisk med minsta perioden T = 0,5 ty f (t + T) = sin 4π (t + 0,5) = = sin(4π t + 2π ) = sin 4π t = f (t) eftersom sin(ϕ + 2π ) = sin ϕ Funktionen g(t) = sin 8π t är periodisk med minsta perioden T = 0,25 ty g(t + T) = sin 8π (t + 25) = = sin(8π t + 2π ) = sin 8π t = g(t)

f (t)

0,5

1

–0.4

t –0.2

0.2

Funktionen h(t) = sin 4π t + sin 8π t är periodisk med minsta perioden T = 0,5 ty h(t + T) = = sin 4π (t + 0,5) + sin 8π (t + 0,5) = = sin 4π t + sin 8π t = h(t)

0.6

–1

g(t)

0,25

1

–0.4

0.2

–0.2 –1

c)

0.4

0.4

0.6

t

0,5

h(t) 0,5 1.5

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

t

0,25 –1.5

-----------------------------------------------------------------------

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 3 — #3

1. TRIGONOMETRISKA FOURIERSERIER

----------------------------------------------------------------------Perioden för h(t) överensstämmer således med perioden för den av de två termerna som har den längsta perioden, d.v.s. 0,5. Däremot är funktionen h(t) inte periodisk med den kortare tiden 0,25, d.v.s. den andra termens period, eftersom h(t + 0,25) = sin 4π (t + 0,25) + sin 8π (t + 0,25) = = sin(4π t + π ) + sin(8π t + 2π ) = − sin 4π t + sin 8π t = h(t) d)

Funktionen y(t) = A, där A är en konstant, har varje tal T som period eftersom

y(t) A t

y(t + T) = A = y(t) för godtyckligt T.

Vinkeln 2π (= ett varv i enhetscirkeln) är perioden för funktionen sin x. Periodtiden T1 för en sinusfunktion med vinkelfrekvensen ω, d.v.s. funktionen sin ωt, bestäms därför av att ωT1 = 2π . Således: Periodtiden T1 för funktionen sin ωt är T1 = 2π/ω.

Funktionen sin kωt, där k är ett positivt heltal, oscillerar k gånger så snabbt som funktionen sin ωt. Den hinner därför genomlöpa k stycken hela perioder medan sin ωt genomlöper en enda period. Detta betyder: Funktionen sin kωt, där k är ett positivt heltal, har perioden Tk =

2π kω

Men varje paket med k stycken perioder av funktionen sin kωt upprepas ju efter tiden 2π/ω, varför sinkωt även är periodisk med den längre periodtiden 2π/ω. Detta är i sin tur periodtiden för funktionen sin ωt!

Av det ovanstående kan vi dra följande slutsats: En funktion s(t) som är en summa av typen s(t) = A0 + a1 sin ωt + a2 sin 2ωt + a3 sin 3ωt + . . . an sin nωt = n

= A0 + ak sin kωt där A0 , a1 , a2 , a3 , . . . an k=1

är konstanter har perioden T = 2π/ω eftersom detta är det kortaste intervall för vilket värdet av alla termer upprepas.

Vi ger ett exempel på nästa sida.

3

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 4 — #4

4

EXEMPEL 1.2

I följande trigonometriska summa har termen med den lägsta frekvensen, 3 sin π t, periodtiden 2, som därmed är den kortaste tid under vilken var och en av de andra termerna upprepar en sekvens av sig själv. f (t) = 1,5π + 3 sin π t − 1,5 sin 2π t + sin 3π t − 0,75 sin 4π t Därmed får även summan f (t) perioden 2, vilket framgår av funktionens graf nedan.

2

f(t) 8 4

–1

1.3

1

2

t

3

Trigonometrisk fouriersumma

Vi låter bilden från exempel 1.2 utgöra bakgrund till den fortsatta framställningen. Grafen till denna periodiska funktion påminner om en deformerad sågtandspulskurva, om än något deformerad (se figuren nedan). f(t) 10

3π

5

–1

1

2

3

t

f (t) = 1,5π + 3 sin π t − 1,5 sin 2π t + sin 3π t − 0,75 sin 4π t Karakteristiskt för den summa som definierar funktionen f (t) ovan är att termerna utgörs av en konstant, 1,5π , och därutöver av sinusfunktioner. Den första av dessa har den lägsta vinkelfrekvensen, π , och de följande termerna de högre vinkelfrekvenserna 2π , 3π respektive 4π , d.v.s. heltalsmultipler av den lägsta vinkelfrekvensen. Vi kallar detta en fouriersumma. Den lägsta vinkelfrekvensen i summan benämner vi grundvinkelfrekvensen. Motsvarande sinusterm har perioden 2, d.v.s. sågtandskurvans period!

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 5 — #5

1. TRIGONOMETRISKA FOURIERSERIER

Här följer ett exempel på en annan periodisk funktion som är uppbyggd enligt samma mönster som funktionen f (t) ovan.

EXEMPEL 1.3

Nedanstående figur återger grafen till funktionen 4 4 4 sin π t + sin 3π t + sin 5π t = π 3π 5π 3 4 1 =1+ sin(2k − 1)π t π k=1 2k − 1

g(t) = 1 +

g(t) 2 1

t –2

–1

1

2

3

Kurvan, grafen till funktionen g(t), kan beskrivas som ett deformerat rektangelpulståg med perioden T = 2, demonstrerat med hjälp av de streckade linjerna i figuren.

Funktionen g(t) byggs upp som summan av fyra termer. Förutom konstanten 1 ingår liksom i föregående exempel sinusfunktioner. Grundvinkelfrekvensen är även här π . Motsvarande sinusfunktions periodtid Tgr bestäms nämligen av att π · Tgr = 2π

⇔

Tgr = 2

d.v.s. sinusfunktionen med den lägsta frekvensen har samma period som rektangelpulståget! De två övriga sinusfunktionernas vinkelfrekvenser, 3π respektive 5π , utgör som tidigare heltalsmultipler av grundvinkelfrekvensen. Dock förekommer här endast multipler av udda heltal!

I exemplen 1.2 och 1.3 har vi sett två prov på fouriersummor, d.v.s. summor med sinustermer vars vinkelfrekvenser är heltalsmultiplar av en grundvinkelfrekvens.

Dessa funktionssummors grafer råkar ha en viss likhet med två ideala pulståg: sågtandskurva respektive rektangelpulståg. Periodtiden för sinusfunktionen med den lägsta frekvensen, grundfrekvensen, överensstämmer med respektive pulstågs periodtid!

5

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 6 — #6

6

Mot bakgrund av dessa exempel kan man fråga sig om man kan starta från det motsatta hållet: • Kan man utgående från en given periodisk funktion bestämma en lämplig summa med sinustermer så att denna summa beskriver den givna funktionen?

Vi hoppas att svaret är ja på denna fråga. Då följer omedelbart nya frågor: • Kan man på detta sätt beskriva varje periodisk funktion?

• Hur väl kan man beskriva den periodiska funktionen?

• Behövs en serie med oändligt många termer?

• Hur ska den konstanta termen och koefficienterna för sinustermerna väljas?

I de följande avsnitten ska vi besvara dessa frågor.

1.4

En familj av ortogonala trigonometriska funktioner

Konstruktion och uppbyggnad av fourierserier bygger på en generellare matematisk teori som gäller ortogonala funktioner. Vi definierar detta begrepp: Definition: Två reella funktioner g(t) och h(t) sägs vara ortogonala1 på ett intervall [a, b] om integralen över detta intervall av deras produkt är lika med noll, d.v.s. om b g(t) · h(t)dt = 0 a

Anmärkning:

Jämför denna definition av ortogonala funktioner med kriteriet för att två geometriska vektorer, a = (a1 , a2 , a3 ) respektive b = (b1 , b2 , b3 ), är ortogonala, d.v.s. vinkelräta mot varandra: a·b=0

⇔

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0, vilket kan skrivas

3

n=1

1

ortogonal = vinkelrät (från grekiskan)

an bn = 0.

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 7 — #7

1. TRIGONOMETRISKA FOURIERSERIER

Summan av produkterna av de tre komponenterna ersätts således i fallet med ortogonala funktioner med en integral av funktionsvärdenas produkter över det aktuella intervallet.

EXEMPEL 1.4

Funktionerna g(t) = sin 2π t och h(t) = sin π t är ortogonala på intervallet [0,2]. Med hjälp av formeln sin x · sin y = 12 cos(x − y) − cos(x + y) finner man nämligen 2

2 sin 2π t · sin π tdt =

0

1 · (cos π t − cos 3π t)dt = 2

0

2

1 1 1 1 1 sin π t − sin 3π t = · sin 2π − sin 6π − = 2 π 3π 2π 3 0

1 1 (0 − 0) = 0 − sin 0 − sin 0 = 3 2π

Däremot är de två funktionerna g(t) och h(t) inte ortogonala på exempelvis intervallet [0, 0,5], ty integralen av g(t) · h(t) över intervallet [0, 0,5] har värdet 3π2 .

Resultatet i detta exempel generaliserar vi i följande sats, som skall komma att ligga till grund för uppbyggnaden av den trigonometriska fourierserien.

Sats 1: Varje par av två olika element i funktionsfamiljen (k och n positiva heltal): 1, sin t, sin 2 t, sin 3 t, . . . , sin k t, . . . , cos t, cos 2 t, cos 3 t, . . . , cos k t, . . . är ortogonala i varje intervall (τ , τ + T) där τ är en godtycklig tidpunkt 2π och T = är den minsta gemensamma perioden för alla funktioner i

familjen Satsen innebär att följande ortogonalitetsrelationer skall gälla: τ +T τ +T 1 · sin k t dt = 1 · cos k t dt =0, τ

τ

(1)

7

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 8 — #8

8

τ +T sin k t · cos n tdt = 0 för alla k och n,

(2)

τ

τ +T τ +T sin k t · sin n tdt = cos k t · cos n tdt = 0 för alla k = n. τ

(3)

τ

Vi verifierar sambanden (1)–(3) i appendix 1. Vi verifierar där dessutom att följande gäller då funktionerna är lika: τ +T τ +T T 2 sin k tdt = cos2 k tdt = 2 τ

(4)

τ

I nästa avsnitt skall vi utnyttja ortogonalitetsegenskaperna (1)–(3) samt (2) då vi konstruerar den trigonometriska fourierserien.

En allmän aspekt på de trigonometriska funktionerna i funktionsfamiljen sin t, sin 2 t, sin 3 t, . . . , sin k t, . . . , cos t, cos 2 t, cos 3 t, . . . , cos k t, . . . är att de representerar toner, som i vissa frekvensområden är konkret avlyssningsbara. Funktionerna sin t och cos t har den lägsta vinkelfrekvensen, d.v.s. , och bildar därför grundtonen i familjen. Funktionerna sin 2 t och cos 2 t har den dubbla frekvensen och representerar andra tonen, vilken ligger en oktav över grundtonen. Tonen med ytterligare dubbla vinkelfrekvensen 4 , fjärde tonen, ligger ännu en oktav högre. Inom denna andra oktav ligger tredje tonen med vinkelfrekvensen 3 , kallad kvinten relativt tonen 2 i denna oktav. Tonerna över grundtonen kallas med ett gemensamt namn för familjens övertoner. Engelskan använder termen harmonic frequencies för dessa toners frekvenser. Termen harmonisk anger alltså att frekvenserna är heltalsmultiplar av grundfrekvensen (eng: fundamental frequency).

Figuren nedan illustrerar situationen då grundtonen är c. (Obs logaritmisk skala!)

c

c′

g′

c″

Ω

2Ω

3Ω

4Ω

ω

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 9 — #9

1. TRIGONOMETRISKA FOURIERSERIER

Nödvändiga villkor på fourierkoefficienterna

1.5

Vi startar med den sista av frågorna i avsnitt 1.3: • Hur måste den konstanta termen och koefficienterna för sinus/cosinustermerna i en summa väljas, för att summan skall beskriva en given periodisk funktion f (t) med perioden T? Av exemplen i avsnitt 1.3 framgår, att då vi vill beskriva funktionen f (t) med en summa av sinus/cosinustermer ur vårt ortogonala funktionssystem, måste gälla: Grundtonen skall ha samma period som f (t).

För grundtonens vinkelfrekvens gäller således att vinkeln T motsvarar ett helt varv, d.v.s. T = 2π . För att vi ska få bästa beskrivning av f (t) bör vi förmodligen ta med oändligt många termer. Sammanfattningsvis betyder detta att vi ska försöka beskriva f (t) med en serie (oändligt många termer) av typen f (t) = A0 +

∞

an cos n t + bn sin n t 2

(5)

n=1

där grundvinkelfrekvensen = 2π/T, och där A0 samt alla koefficienterna an och bn , n = 1, 2, 3, . . . ., är konstanter. Denna serie kallas en trigonometrisk fourierserie.

För ögonblicket lämnar vi de konvergensvillkor som säkerligen är förknippade med denna serieframställning av f (t). För att bestämma koefficienterna utgår vi först från att (5) gäller och utnyttjar sedan ortogonalitetsegenskaperna hos de trigonometriska funktioner som utgör termerna i serien. Frågan om konvergens diskuteras i nästa avsnitt.

Då vi beräknar koefficienterna skall vi utnyttja integration. Vi kommer därvid att få en summa av oändligt många integraler. Vi utnyttjar då de trigonometriska funktionernas ortogonalitetsegenskaper. Alla integraler utom en enda kommer att ha värdet 0!

Vi börjar med att integrera båda leden av (5) över en hel period T och startar i en godtycklig tidpunkt τ :

τ +T τ +T ∞

f (t)dt = an cos n t + bn sin n t dt A0 + τ

2

τ

n=1

I avsnitt 1.9 visar vi att detta samband kan skrivas på formen f (t) = A0 +

∞

n=1

An cos(n t + αn )

9

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 10 — #10

10

Vi byter därefter ordningen mellan integration och summation (”integralen av en summa är lika med summan av integraler”) under antagandet att nödvändiga konvergensvillkor är uppfyllda. Detta ger ⎛ τ +T ⎞ τ +T τ +T

τ +T ∞

⎝ an cos n tdt + bn sin n tdt ⎠ f (t)dt = A0 dt + τ

n=1

τ

τ

τ

τ +T τ +T τ +T ∞

f (t)dt = A0 dt + (0 + 0) =A0 = A0 t ττ +T = A0 · T τ

n=1

τ

τ

Härur finner vi att konstanten A0 bestäms av villkoret A0 = T1

τ +T

f (t)dt

τ

I högerledet återfinner vi här det uttryck som definierar medelvärdet f av den periodiska funktionen f (t).

Vi kan således sammanfatta villkoret på konstanten A0 på följande sätt: 1 A0 = T

τ +T f (t)dt = f = funktionens medelvärde

(6)

τ

För att komma vidare i bestämningen av koefficienterna multiplicerar vi båda leden av likheten (5) med cos k t, där k är ett positivt heltal, och integrerar båda leden över en period: τ +T f (t) cos k tdt = τ

τ +T A0 cos k t +

=

∞

an cos n t cos k t + bn sin n t cos k t dt

n=1

τ

Vi byter nu ordningen mellan integration och summation samt bryter ut den konstanta faktorn i varje integral och får då τ +T τ +T f (t) cos k t dt = A0 · cos k t dt+ τ

τ

+

∞

n=1

τ +T

an ·

cos n t cos k t dt + τ

∞

n=1

τ +T bn · sin n t cos k t dt τ

(7)

Fourier — 2012/6/18 — 16:34 — page 11 — #11

1. TRIGONOMETRISKA FOURIERSERIER

Vid beräkningen av den första termen och det sista summauttrycket i högerledet utnyttjar vi ortogonalitetsrelationerna (1)–(3) på sidan 7 och 8. Vi finner då att för alla n och k gäller: τ +T τ +T ∞ ∞

f (t) cos k t dt = A0 · 0 + an · cos n t cos k t dt + bn · 0 n=1

τ

n=1

τ

I den första summan, d.v.s. summan av integraler av produkterna cos n t cos k t, antar n successivt värdena 1, 2, 3, . . . För de termer där n = k gäller enligt ortogonalitetsrelation (3) på sidan 8 att motsvarande integral får värdet 0. För n = k får vi däremot enligt sambandet (4) på sidan 8 ett bidrag till integralen, d.v.s. τ +T f (t) cos k t dt = τ

=

⎡ ⎤ τ +T τ +T an · cos n t cos k t dt + ⎣an · cos n t cos k tdt ⎦

n =k

τ

τ

= enl. (3) = 0 + ak ·

= n=k

τ +T

T cos2 k t dt = enl. (4) = ak · 2

τ

Koefficienten ak kan alltså bestämmas enligt villkoret 2 ak = · T

τ +T f (t) cos k t dt,

k = 1, 2, 3, . . .

(8)

τ

Koefficienterna bk bestäms på motsvarande sätt: τ +T τ +T τ +T ∞

f (t) sin k tdt = A0 · sin k t dt + an · cos n t sin k t dt + τ

n=1

τ

+

∞

n=1

τ

τ +T bn · sin n t sin k t dt τ

(9)

11

Fourier — 2012/6/27 — 12:37 — page 194 — #18

Sakregister Ord

avsnitt

sida

aktiv effekt amplitud amplitud amplitud-fasvinkelform amplitudfunktion amplitudkarakteristik amplitudspektrum amplitudspektrum (trig serie) amplitudspektrum (komplex serie) amplitudspektrum (transform) bandpassfilter bandspärrfilter begränsad funktion bodediagram brytfrekvens cosinus-sinusform distorderas dynamik dynamiskt system effektfaktor effektivvärde - av växelströmsdelen - av övertonerna - av växelspänningsdelen elektriskt filter enohmsenergi envelopp fasfunktion faskarakteristik faskonstant fasspektrum (trig. serie) fasspektrum (komplex serie) fasspektrum (transform) fasvinkel filter fourierintegral fourierintegral fourierkoefficienter fourierpar Fouriers integralsats

2.4 1.8 A2.1 1.10 3.4 3.4 1.8 1.10 4.7 5.4 3.5 3.5 1.6 3.6 3.4 1.10 2.6 3.1 3.1 2.4 2.5 2.6 2.6 4.5 3.5 5.7 4.7 3.4 3.4 A2.1 1.10 4.7 5.4 1.9 3.5 5.2 A6 1.5 5.2 5.2

43 2 154 26 72, 73 73 21 26 105 126 74 74 12 81 75 26 53 66 66 45 46 49 49 101 73 133 107 73 73 154 26 106 126 25 73 120 176 11 121 121

Fourier — 2012/6/27 — 12:37 — page 195 — #19

SAKREGISTER

Ord

avsnitt

sida

Fouriers integralsats fourierserie fourierserie fourierserie på komplex form fouriersumma fouriertransform fouriertransform frekvensanalys frekvensfunktion frekvensfunktion frekvenskarakteristik Gibbs fenomen grundfrekvens grundton grundvinkelfrekvens harmoniska frekvenser högpassfilter icke-periodisk funktion identiskt lika med invers fouriertransform jω-metoden jω-metoden jämn funktion klirrfaktor komplex fourierserie komplexa metoden komplexa metoden konvergenssats konvergensvillkor - för trigonometrisk fourierserie - för komplex fourierserie kvadratiskt medelvärde laplacetransform likströmseffekt linjärt dynamiskt system linjärt system lågpassfilter medeleffekt medeleffekt ortogonala exponentialfunktioner ortogonala funktioner ortogonalitetsrelation ortogonalitetsrelation

A6 1.1 1.5 4.2 1.3 5.1 5.2 3.3 3.4 A3 3.4 1.8 1.3 1.4 1.3 1.4 3.5 5.2 A2.1 5.1 3.2 A3 1.7 2.6 4.2 3.2 A3 1.6

176 1 9 91 4 119 120 70 72 161 72 21 5 8 5 8 74 120 154 119 66 160 13 53 91 66 160 12

1.6 4.2 2.5 5.1 2.6 3.1 3.1 3.5 2.4 4.5 A1.2 1.4 1.4 A1.1

12 93 46 119 49 66 63 74 43 100 152 6 7 150

195

Fourier — 2012/6/27 — 12:37 — page 196 — #20

196

Ord

avsnitt

sida

Parsevals formel för - trigonometrisk fourierserie - komplex fourierserie - fouriertransform partikulärlösning period periodisk funktion periodisk utvidgning periodisk utvidgning periodtid puls pulskvot pupinisering rippel rippelfaktor RMS stationär signal stationärtillstånd stationärtillstånd styckvis deriverbar funktion superpositionsprincipen symmetri mellan tidfunktion och transform system tidinvariant system tidsfördröjd signal ton transform trigonometrisk fourierserie udda funktion vinkelfrekvens vinkelfrekvenser visardiagram växelströmseffekt överföringsfunktion i frekvensplanet överton övertonseffekt

2.1 4.4 5.6 A3 1.2 1.2 5.2 A6 1.2 5.2 4.7 3.3 2.6 2.6 2.5 3.2 3.2 A3 1.6 3.2 5.3 3.1 3.1 5.3 1.4 5.1 1.5 1.7 1.2 1.8 A2 2.6 3.4 1.4 2.6

38, 42 98 130 160 2 2 120 173 2 120 105 70 53 50 46 66 66 160 12 66 125 63 63 124 6 119 9 13 3 21 155 49 72 7 49

Fourier — 2012/6/27 — 12:06 — page ii — #2

ISBN 978-91-47-10534-2 © 2012 Lars Bergström, Bertil Snaar och Liber AB Projektledare: Kajsa Lindroth Förläggare: Peter Rajan Form: Nette Lövgren Ombrytning: Integra Software Sevices, Indien Illustrationer: Författarna Omslag: Nette Lövgren Omslagsbild: Thinkstock Produktion: Jürgen Borchert Andra upplagan 1 Repro: Integra Software Sevices, Indien Tryck: Zrinski, Kroatien 2012

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08–690 93 30, fax 08–690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se

system som huvudsakligen analyserar problem förknippade med start- och förändringssituationer. Boken kompletteras vid behov

BERGSTRÖM SNA AR

Fourieranalys är en lärobok inom elektriska kretsar och linjära

LARS BERGSTRÖM BERTIL SNAAR

med Laplace- och z-transformer (av samma författare) som i höperspektiv. Boken är i första hand avsedd för ingenjörsutbildningar på högskolenivå med inriktning mot datateknik och elektronik.

Fourieranalys utgör en brygga mellan matematikkursen i analys och de tillämpade elektrotekniska ämnena (reglerteknik, filterteori, signalbehandling etc.). Den matematiska bakgrunden

Fourieranalys

gre grad analyserar stadigvarande tillstånd ur signalbehandlings-

Fourieranalys

är väl täckt samtidigt som det rikliga urvalet av lösta exempel huvudsakligen är hämtat från elkretsteorin. Laborationer med olika typer av datorprogram (t.ex. Pspice) kan erbjuda en värdefull komplettering och anknytning till praktiskt tillämpbara och ingenjörsmässiga analysmetoder.

Boken är pedagogiskt genomarbetad med många lösta räkneexempel och ett uttömligt appendix. Varje kapitel avslutas med övningsuppgifter med svar i facit i slutet av boken.

Författarna Lars Bergström och Bertil Snaar har båda lång erfarenhet av undervisning i ämnet vid Chalmers tekniska högskola.

Best.nr 47-10534-2 Tryck.nr 47-10534-2

4710534ot.indd 1

6/21/12 4:59 PM