9789147109920 by Smakprov Media AB

Matematikboken

I Matematikboken Gamma hittar du: • Centralt innehåll i enlighet med kursplan 2011 • Tydlig struktur • Målsidor • Gemensamma genomgångar med typexempel • Uppgifter på tre färdighetsnivåer • Väl avvägd progression • Sammanfattningar av begrepp och formler

gamma

gamma Matematikboken

gamma

Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

Till Matematikboken Gamma hör följande böcker: • Grundbok (med Facit) • Utmaningen • Bashäfte • A-boken

B-boken

Matematikboken ﬁnns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken Alfa, Beta, Gamma är avsedda för årskurserna 4–6.

n e k

o b -

• B-boken • Lärarhandledning • Onlinebok Grundbok

Best.nr 47-10992-0 Tryck.nr 47-10992-0

4710992_Gamma_B_OMSL .indd 1

Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén

2013-10-28 09.13

gamma Matematikboken

J A G

K >

Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny WelĂŠn

Liber

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 1

2013-10-28 12.31

ISBN 978-91-47-10992-0 © 2013 författarna och Liber AB Redaktion: Sara Ramsfeldt, Mats Juhlin Formgivning och omslag: Sara Ånestrand, Jan Holtz, Bånges Grafiska Form AB Bildredaktör: Nadia Boutani Werner Produktion: Eva Runeberg Påhlman Illustrationer: Johan Unenge Matematiska figurer: Björn Magnusson Första upplagan 1 Repro Repro 8 AB, Stockholm Tryck Kina 2014

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm Tfn 08-690 92 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 2

2013-10-28 12.31

BILDFÖRTECKNING Omslag Lena Johansson/Mira/NordicPhotos omslag Inlaga Susanne Walström/Johnér 3 Chris Tobin /Photodisc/Getty Images 5 Hasse Holmberg/Scanpix 8 Leif R Jansson/Scanpix 12 Posten Frimärken 15 (2) Maurizio Borgese/Hemis/Corbis/Scanpix 24 Lennart Undvall 57 Lena Granefelt/Johnér 59 Lawren /The Image Bank/Getty Images 66 (4) Nasa 72 Ulf Rennéus/Mary Square Images 75, 76 (1) London News Pictures/Rex Features/IBL 106 Johanna Hanno/Scanpix 117 (2) Pontus Lundahl/Scanpix 117 (3) Anders Good/IBL 121 Alf Linderheim/IBL 146 Marcel Jancovic/Shutterstock 152 Övriga fotografier från Haléns, Liber arkiv, OPV-Online, Photodisc, Shutterstock och Thinkstock.

117-160 GAMMA Kapitel 6 med linjer.indd 159

2013-10-28 10.21

Innehåll 4

Algebra och mönster

4.1 Numeriska uttryck 6 4.2 Uttryck med variabel 14 Taluppfattning och huvudräkning 19 4.3 Algebraiska uttryck 20 4.4 Mönster 26 Tänk och räkna: Gauss – ett riktigt mattesnille 4.5 Ekvationer 34 4.6 På fjällvandring 42 Sammanfattning 4 44 Blandade uppgifter 45 Kan du begreppen? 48 Kan du förklara? 48 Träna mera 49 Problemlösning 56

Geometri

Alfa, Beta, Gamma – med sikte på framtiden

117

6.1 Taluppfattning och tals användning 118 6.2 Algebra 126 6.3 Geometri 132 6.4 Sannolikhet och statistik 140 6.5 Samband och förändring 148 Tänk och räkna: Talmaskinen 153 6.6 Problemlösning 155

5.1 Geometriska objekt 60 5.2 Vinklar 67 Tänk och räkna : Vinkelsumma 73 5.3 Spegling och symmetri 74 5.4 Längd och skala 80 Taluppfattning och huvudräkning 88 5.5 Omkrets, area och volym 89 5.6 Motionsslingan 100 Sammanfattning 5 102 Blandade uppgifter 104 Kan du begreppen? 107 Kan du förklara? 107 Träna mera 108 Problemlösning 115

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 3

2013-10-28 12.31

Förord ETT TVÅ TRE FYRA

Boken innehåller sex kapitel som i sin tur är uppdelade i avsnitt. I varje avsnitt finns det uppgifter på fyra nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå fyra ger rejäla utmaningar. Du kan starta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel, men ta för vana att räkna minst två nivåer. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bashäfte Gamma med enklare uppgifter. Om nivå fyra inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaningen Gamma. Sista uppgiften på varje nivå är en ”pratbubbleuppgift”. Den är tänkt som en diskussionsuppgift som du kan lösa med en kamrat. Pratbubbleuppgifterna har inget facit. De uppgifter där du bör använda miniräknare är markerade med en streckad linje. I kapitel 1–5 återkommer följande avsnitt: Målsida Här beskrivs vad du får möjlighet att utveckla i kapitlet. Aktiviteter Praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp. Taluppfattning och huvudräkning Tränar grundläggande matematik. Räkna och häpna Spännande uppgifter som ger överraskande svar. Tänk och räkna Uppgifter av undersökande karaktär. Sammanfattning Sammanfattar kapitlets centrala innehåll. Blandade uppgifter Blandad repetition av kapitlet. Kan du begreppen? Repetition av centrala begrepp. Kan du förklara? Här får du använda begreppen. Träna mera För dig som behöver träna mera. Fördjupning För dig som klarat diagnosen bra. Problemlösning Kluriga problem att lösa individuellt eller parvis. I kapitel 6, Alfa, Beta, Gamma – med sikte på framtiden, repeteras momenten från Alfa, Beta och Gamma. Kapitlet ger därmed en omfattande repetition inför det nationella provet i matematik – och inför fortsatta matematikstudier i åk 7 till 9. I avsnittet Repetition är uppgifterna hämtade från bokens lösta typexempel. Om du behöver hjälp kan du titta tillbaka på exemplet. Boken avslutas med Läxor. Det finns fyra läxor till varje kapitel. I läxorna finns även repetition från tidigare kapitel. Lennart, Christina, Kristina och Conny

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 4

2013-10-28 12.31

Algebra och mönster

När du arbeta r med

yc k ttr

yc k

Pr öv n

ne va tio Ek

M ön st er

g Fö re nk lin

ta ve

av u

ut tr

yc k ttr Vä rd e

tu sk ge br ai Al

Pr io rit er in gs re gl Va er ria be l

i vilke det hä n ordn r kapi ing rä tlet få knesä r du lä teckna tten s ra dig och to k a u t f l ö : k r situat a mat as ematis ioner, utan o k a uttryc ch me k för o förenk d varia lika la och b ler beräk n a värdet konstr uera o av uttr ch bes yck m ed var kriva m teckna iabler önster och lö sa ekv a tioner förkla ra och motive begre ra utif ppen i rån din kapitl a kuns et kaper om

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 5

2013-10-28 12.31

Numeriska uttryck

4.1

AKTIVITET

Fyra i rad materiel: 3 tärningar, spelplan (Aktivitetsblad 5) antal deltagare: 2 Den här aktiviteten är en form av luffarschack. På spelplanen finns talen 1–36. Med hjälp av tärningarna gäller det 1 2 3 4 5 6 att försöka få fyra tal i rad. Men det gäller förstås 7 8 9 10 11 12 också att hindra motståndaren från att få 13 14 15 16 17 18 fyra i rad. 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 A Vi tänker oss att Lukas och Anna spelar. Anna börjar. Hon kastar tärningarna. Hon får 3, 31 32 33 34 35 4 och 2. Anna kombinerar ihop talen med de 1 2 3 4 5 räknesätt som hon själv väljer, till 7 8 9 10 11 exempel 3 · 2 + 4 = 10. Anna markerar talet 13 14 15 16 17 10 på spelplanen med ett kryss.

B Lukas kastar tärningarna. Han får 1, 5 och 6 och kombinerar talen så här 1 + 5 + 6 = 12. Lukas markerar talet 12 på spelplanen med en ring. C Nu är det Annas tur igen. Hon får 3, 4 och 5. Hon räknar 4 · 5 – 3 = 17. D Det gäller nu för Lukas att få talet 3 eller 24. Annars är sannolikheten stor att Anna kommer att vinna.

30 36

6 12 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

1 2 7 8 13 14 19 20 25 26 31 32

3 4 9 10 15 16 21 22 27 28 33 34

5 11 17 23 29 35

6 12 18 24 30 36

E Den som först får fyra i rad vinner. F När ni är klara kan ni spela några gånger till med en likadan spelplan eller med en större och då kanske med flera tärningar.

4 • Algebra och mönster

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 6

2013-10-28 12.31

Uttryck med addition och subtraktion

95 kr 25 kr

15 kr

Dogge har 200 kr. Han köper en biobiljett, en påse popcorn och en läsk. Hur mycket har Dogge kvar av sina pengar efter biobesöket? Vi tecknar ett uttryck för hur många kronor som Dogge har kvar: Med ”teckna ett uttryck” menas att vi skriver ett matematiskt uttryck.

200 – 95 – 25 – 15

Uträkningen kan göras på två olika sätt: 1 Antingen subtraherar vi varje kostnad för sig: 200 – 95 = 105

Först drar vi bort kostnaden för biobiljetten.

105 – 25 = 80

Sen drar vi bort kostnaden för popcornen.

80 – 15 = 65

Sist drar vi bort kostnaden för läsken.

2 Eller så subtraherar vi de sammanlagda kostnaderna: 95 + 25 + 15 = 135

Först räknar vi ut vad biobiljetten, popcornen och läsken kostar sammanlagt.

200 – 135 = 65

Sen drar vi bort den kostnaden från 200 kr.

Båda metoderna ger att Dogge har kvar 65 kr efter sitt biobesök. Vilken metod tycker du är bäst?

4 • Algebra och mönster

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 7

2013-10-28 12.31

Uttryck med alla räknesätten

Amanda köper tre böcker för 79 kr styck. Hon lämnar fram en 500 kronors-sedel när hon ska betala. När vi ska räkna ut hur mycket Amanda ska få tillbaka så tecknar vi det så här: 500 – 79 – 79 – 79 Uttrycket kan vi skriva om så här: 500 – 3 · 79 För att få rätt svar måste vi räkna multiplikationen först. 3 · 79 = 237

Först räknar vi ut vad böckerna kostar.

500 – 237 = 263

Sen räknar vi ut hur mycket Amanda får tillbaka.

Hur blir det om vi räknar i den ordning som talen står? Då får vi: 500 – 3 = 497 497 · 79 = 37 841 Det här exemplet visar att vi inte kan utföra beräkningar i vilken ordning som helst. Det finns så kallade prioriteringsregler som vi måste följa. Det innebär till exempel att räknesätten multiplikation och division utförs före addition och subtraktion. Prioriteringsregler 1. Först räknas multiplikation och division. 2. Sen räknas addition och subtraktion.

4 • Algebra och mönster

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 8

2013-10-28 12.31

EXEMPEL

a) 50 – 17 – 19

b) 10 + 2 · 7

c) 9 · 5 – 27 / 3 Börja med att addera 17 och 19. Subtrahera sen 50 med summan 36.

a) 50 – 17 – 19 = 50 – 36 = 14 b) 10 + 2 · 7 = 10 + 14 = 24 Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental. Det går inte utan att du växlar ner 1 tiotal till 10 ental: 10 – 8 = 2 Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2

Räkna multiplikationen först.

c) 9 · 5 – 27 / 3 = 45 – 9 = 36 Svar: a) 14

b) 24

Räkna multiplikationen och divisionen först.

c) 36

ETT 584

a) 3 + 2 · 4

b) 16 – 5 · 3

c) 24 / 3 + 5

a) __________________________________________________________________ b) __________________________________________________________________ c) __________________________________________________________________ Svar: a) _____________ 585

a) 10 + 5 – 3

b) _____________

b) 10 – 5 – 3

c) _____________ c) 10 – 5 + 3

b) _____________

c) _____________

4 • Algebra och mönster

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 9

2013-10-28 12.31

586

5 kr

Rima köper en banan och tre äpplen. a) Teckna ett uttryck för hur mycket Rima ska betala. b) Räkna ut hur mycket Rima ska betala.

4 kr

Svar: a) __________________________ b) _________________________________________________________________________ 587

a) 6 · 2 + 3 · 7

b) 20 – 15 / 3

c) 40 – 22 – 11

ZZ 588

b) _____________

c) _____________

Alex räknar så här:

20 –14+2=20–1 6= 4 Resonera om Alex uträkning. Tänker han rätt eller fel?

TVÅ 589

a) 14 + 2 · 9

b) 40 + 10 / 2

c) 8 · 4 – 6 · 5

b) _____________

c) _____________

4 • Algebra och mönster

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 10

2013-10-28 12.31

590

a) 16 + 6 · 4

b) 16 – 6 – 4

c) 16 – 6 + 4

På bokrean köper Vanessa två böcker som kostar 95 kr styck. a) Teckna ett uttryck för hur mycket Vanessa får tillbaka på 200 kr. b) Räkna ut hur mycket hon får tillbaka.

Svar: a) __________________________ b) _________________________________________________________________________ 592

a) 5 – 2 + 15

b) 5 + 2 · 15

c) 15 + 5 / 2

ZZ 593

Beskriv en händelse som leder fram till uttrycket 100 – 4 · 19.

4 • Algebra och mönster

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 11

2013-10-28 12.31

TRE 594

a) 30 / 5 + 6 · 9

b) 100 – 72 – 5

c) 12 + 3 · 7 – 10

Tomas Gustafsson vann OS-guld i skridskoåkning på en bana som är 400 m lång. a) Teckna ett uttryck för hur långt Tomas hade kvar att åka av sitt guldlopp när han hade åkt 20 varv. b) Räkna ut hur långt Tomas hade kvar att åka. Tomas Gustafsson är Sveriges genom tiderna bäste skridskoåkare. Här ser du när han vinner guld på 10 000 m vid OS 1988.

Svar: a) _______________________________________________________________________ b) _______________________________________________________________________

4 • Algebra och mönster

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 12

2013-10-28 12.31

596

I Sverige förekommer även skridskobanor som är 250 m långa. a) Teckna ett uttryck för hur långt Tomas skulle haft kvar att åka efter 20 varv om OS-loppet gått på en sådan bana. b) Räkna ut hur långt det hade varit kvar att åka.

Svar: a) _______________________________________________________________________ b) _______________________________________________________________________

597

S a) Teckna ett uttryck för hur mycket Elias får tillbaka B aft .............. .... ul på 50 kr när han köper två glas saft och fyra bullar Sm le ............... .... 2 kr ..... 3 örgå i skolans cafeteria. Frukt s .............. 6 kr .......... kr ... Varm c b) Räkna ut hur mycket han får tillbaka. hoklad ....... 4 kr ...... 5 k r

Svar: a) _______________________________________________________________________ b) _______________________________________________________________________

ZZ 598

Aziz handlar i cafeterian och betalar med 20 kr. Han får 8 kr tillbaka. Resonera om vad Aziz kan ha köpt. Teckna motsvarande uttryck.

Uppgifterna 599–603 ﬁnns i Gamma grundbok

4 • Algebra och mönster

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 13

2013-10-28 12.31

Uttryck med variabel

4.2

Ett ägg väger 60 g. Med multiplikation kan vi då räkna ut hur mycket flera ägg med samma vikt väger. Vi kan göra en tabell. Antal ägg 1 2 3 4 och så vidare

Vikt (g) 1 · 60 = 60 2 · 60 = 120 3 · 60 = 180 4 · 60 = 240

60 g

En sådan här tabell kan göras hur lång som helst. Men det finns ett enklare sätt att beskriva vad äggen väger. Vi kallar antalet ägg för x och kan då teckna vikten för x ägg som x · 60 g. Bokstaven x kallas i det här fallet för en variabel och x · 60 är ett uttryck med variabel. Vi kan också kalla det för ett algebraiskt uttryck. I det här uttrycket kan x vara olika tal. Eftersom det inte finns halva eller tredjedels ägg så är x i det här fallet ett heltal. Oftast skriver vi variabeln sist och får då att vikten är 60 · x g.

EXEMPEL

a) Maja är 2 år yngre än Ida. Teckna ett uttryck för hur gammal Maja är när Ida är x år. b) Teckna ett uttryck för hur gammal Ida är när hon är dubbelt så gammal som x år.

a) Ida är x år. Då är Maja (x – 2) år. Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental.

Parentesen gör att du bara behöver skriva enheten en gång. Men du kan förstås också skriva x år – 2 år.

Det går inte utan att du växlar ner 1 tiotal till Vi får Idas ålder genom att 10 ental: 10 – 8 = 2 multiplicera hennes ålder med 2. Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3

b) Då är Ida 2 · x år.

Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2

Svar: a) Maja är (x – 2) år.

b) Ida är då 2 · x år.

4 • Algebra och mönster

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 14

2013-10-28 12.31

10 kr

EXEMPEL

Teckna ett uttryck för vad det kostar att köpa x st vykort och y st frimärken.

x stycken vykort kostar: 10 · x kr y stycken frimärken kostar: 6 · y kr Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental. Det går inte utan att du växlar ner 1 tiotal till 10 ental: 10 – 8 = 2 Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2

Sammanlagt kostar det: (10 · x + 6 · y) kr

6 kr

Svar: Det kostar (10 · x + 6 · y) kr.

ETT 604

Salome är 5 år äldre än sin lillasyster Jasmin. Teckna ett uttryck för hur gammal Salome är när Jasmin är x år.

Svar: 605

En björnhona väger y kg. Teckna ett uttryck för hur mycket en björnhane väger.

Svar: 606

______________________________________________________________

________________________________

I Sverige finns x björnhonor. Teckna ett uttryck för hur många björnungar som föds varje år.

Svar:

________________________________

Björnhanen är större än honan. En fullvuxen hane väger cirka 100 kg mer än en hona. I genomsnitt föder en hona 2 ungar varje år.

4 • Algebra och mönster

001-058 GAMMA Kapitel 4 med linjer.indd 15

2013-10-28 12.31

Matematikboken

gamma

gamma Matematikboken

gamma

Till Matematikboken Gamma hör följande böcker: • Grundbok (med Facit) • Utmaningen • Bashäfte • A-boken

B-boken

Matematikboken ﬁnns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken Alfa, Beta, Gamma är avsedda för årskurserna 4–6.

n e k

o b -

• B-boken • Lärarhandledning • Onlinebok Grundbok

Best.nr 47-10992-0 Tryck.nr 47-10992-0

4710992_Gamma_B_OMSL .indd 1

Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén

2013-10-28 09.13